Построить график функции y x2: функция y=x² и её график, свойства, примеры

2$

9

6,25

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их кривой:

Полученный график называют параболой. Точка (0;0) — это вершина параболы. Вершина делит график на левую и правую части, которые называют ветвями параболы.

Содержание

Свойства параболы y=x²

1. Область определения $x \in (- \infty;+ \infty)$ — все действительные числа.

2. Область значений $y \in [0;+ \infty)$ — все неотрицательные действительные числа.

3. Функция убывает при $x \lt 0$, функция возрастает при $x \gt 0$.

4. Наименьшее значение функции y = 0 — в вершине параболы при x = 0. Вершина параболы совпадает с началом координат.

5. Все точки на ветвях параболы лежат выше оси абсцисс, для них $y \gt 0$. 2$, кроме двух точек с $ x \neq \pm 1 $.

2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

 Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так
называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для
функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

 

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии паработы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Функции y=x2 и y=x3 и их графики

Вопросы
занятия:

· 
рассмотреть функцию y
=
x2,
её
свойства и график;

· 
рассмотреть функцию y
= х3,
её свойства и график.

Материал
урока

На
одном из предыдущих уроков мы с вами познакомились с линейной функцией, которую
можно задать формулой вида:

Также
вспомним, что графиком линейной функции является прямая.

На
этом уроке мы рассмотрим  функции:

А
точнее, мы научимся строить графики этих функций и выясним некоторые их
свойства.

Начнём
с того, что выразим формулой зависимость площади квадрата от длины его стороны.

Таким
образом, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции.

Давайте
построим график этой функции.

Составим
таблицу значений x,
y.

Далее
полученные точки изобразим на координатной плоскости и проведём через них
плавную линию.

Обратите
внимание, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от
оси игрек.

Теперь
выясним некоторые свойства функции y
=
x2.

Из
последнего свойства графика следует, что точки графика, имеющие противоположные
абсциссы, симметричны относительно оси игрек.

Теперь
давайте выразим формулой зависимость объёма куба от длины его ребра.

 Если
мы будем менять длину ребра, то и его объём будет меняться.

Зависимость
объёма куба от длины его ребра является примером функции.

Построим
график этой функции. Для этого придадим несколько значений аргументу икс и
вычислим соответствующие значения функции.

Изобразим
точки с полученными координатами на координатной плоскости и проведём через них
плавную линию.

Обратите
внимание, что этот график можно неограниченно продолжать справа от оси игрек
вверх и слева от оси игрек вниз.

Поговорим
о свойствах функции игрек равняется икс в кубе.

Следовательно,
точки графика, которые имеют противоположные абсциссы, расположены симметрично
относительно начала координат. 2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует. 3 называется кубической функцией. Графиком кубической функции называется кубическая парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.  

Если график квадратичной функции был симметричен оси Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки (0;0).

Свойства кубической функции

Перечислим основные свойства кубической функции

  • При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
  • У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
  • Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
  • Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Умножение одночленов и возведение одночлена в степень + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspАбсолютная погрешность: понятие, как вычислить + примеры

Постройте график функции y x2 4x 3. Квадратичная и кубическая функции.

Основные свойства квадратичной функции

Разберем как строить график с модулем.

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=

(x-3)-(

(x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=

(x-3)-(+

(x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+

(x-3)-(+

(x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.

На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.

Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три. Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U; график f(х) = х + 2 – это прямая, параллельная прямой f(х) = х, но сдвинутая на две единицы вверх и поэтому проходящая через точку с координатами (0,2) (потому что постоянная равна 2).

Построение графика сложной функции

    Найдите нули функции.
    Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. {2}}}}
    ), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х». В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:

«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» — Решение. у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика:

|

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

python — Библиотека matplotlib: построение графика функции |y| = x^2 — 2x — 3

Примерно так:

import matplotlib. 2 - 2x - 3')
plt.ylabel('Ось y')
plt.xlabel('Ось x')
plt.grid()
plt.axis([-10, 16, -10, 10]) 
plt.scatter(x1, y1, s = 1, c = 'b')
plt.scatter(x1, -y1, s = 1, c= 'b')
plt.plot(x2, y2, 'r--')
plt.plot(x2, -y2, 'r--')
plt.show()

Вывод:

Надеюсь, из кода всё понятно, но немного поясню.

Поскольку |y| может быть только больше нуля, нам нужно выделить значения функции, которые >= 0 и нарисовать в основной части графика только их. Для этого мы делаем булевую маску для всех значений f(x) (в моём коде это значение обозначено как y, но мой y это не y из вашей формулы).

ind = y >= 0

Более понятно можно записать так:

ind = (y >= 0)

В ind у нас теперь булева маска, содержащая True на тех позициях, где y >= 0 и False, где y < 0.

Далее, мы отбираем по этой маске значения из наших массивов x и y:

x1 = x[ind]
y1 = y[ind]

А также мы отбираем остальные значения x и y, для чего инвертируем маску с помощью булевой операции инверсии ~ (где было True станет False и наоборот:

x2 = x[~ind]
y2 = y[~ind]

После этого мы рисуем основной график, причём два раза — один раз используя f(x), а другой раз -f(x) (по формуле |y| = f(x) получается, что у нас есть два графика: y = f(x) и y = -f(x)).

И затем рисуем псевдо-график там, где функция f(x) могла бы продолжаться, но из-за условия равенства модулю |y| она в этом месте прерывается.

Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


Тема 5.


Построение графика квадратичной функции с помощью преобразований.


Рассмотрим частные случаи


y = ax2 + n и y = a(xm)2.


В одной системе координат построим графики функцийy=12×2 и y=12×2+5.


Составим таблицу значений функции: y=12×2




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


4,5


2


0,5


0


0,5


2


4,5


Чтобы получить таблицу значений для функции y=12×2+5 для тех же значений аргумента, необходимо к найденным значениям функции y=12×2 прибавить 5.




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


9,5


7


5,5


5


5,5


7


9,5


Получается, что каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вверх вдоль оси y.


График функции y=12×2+5 – парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции y=12×2.


График функции y = ax2 + n – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n


В одной системе координат построим графики функций y=12×2 и y=12x-52. Составим таблицы значений для этих функций.


y=12×2




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


4,5


2


0,5


0


0,5


2


4,5


y=12x-52




x


2


3


4


5


6


7


8


y


4,5


2


0,5


0


0,5


2


4,5


Значит, если переместить каждую точку графика y=12×2 вправо на 5 единиц, то получим соответствующую точку графика функции y=12x-52. Иначе говоря, каждую точку второго графика можно получить из соответствующей точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси x.


График функции y=12x-52 – парабола, полученная y=12x-52 в результате сдвига вправо графика функции y=12×2.


График функции y = a(xm)2 – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m


Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции y = a(xm)2. Например, график функции y=12x-52+3 можно получить из графика функции y=12×2 с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси x на 5 единиц вправо и вдоль оси y на 3 единицы вверх.


Таким образом, график функции y = a(xm)2 можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль x на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n


Заметим, что данные преобразования можно производить в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси x, а затем вдоль оси y или наоборот.


Преобразования, которые мы рассмотрели применимы для любых функций.


Рассмотрим пример.


Построим график функции y = x2 — 4x двумя способами: с помощью преобразований, которые мы сегодня рассмотрели и с помощью таблицы значений функции.


Для того, чтобы построить график функции с помощью преобразований, необходимо его представить в виде y = a(xm)2. Для этого надо выделить полный квадрат. Итак, в нашу функцию y = x2 — 4x добавим 4 и вычтем 4. Получим:


y=x2-4x+4-4=x-22-4


График данной функции можно получить из графика функции y = x2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на 2 единицы вправо, и сдвига вдоль оси y на 4 единицы вниз.


Чтобы построить график функции вторым способом, составим таблицу ее значений. Возьми нечетное количество точек, например, пять и семь. В центре поставь координаты вершины параболы.


xв=-b2a=—42∙1=2


yв=22-4∙2=-4


График квадратичной функции симметричен относительно прямой, параллельной оси y, проходящей через вершину параболы. В данном случае прямая x = 2 является осью симметрии.




x


-1


0


1


2


3


4


5


y


5


0


-3


-4


-3


0


5

2 здесь
у = х ** 2

# установка осей в центре
fig = plt. {3} $.3 здесь
у = х ** 3

# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines [‘влево’]. set_position (‘центр’)
ax.spines [‘дно’]. set_position (‘центр’)
ax.spines [‘правильно’]. set_color (‘нет’)
ax.spines [‘вверху’]. set_color (‘нет’)
ax.xaxis.set_ticks_position (‘снизу’)
ax.yaxis.set_ticks_position (‘влево’)

# построить функцию
plt.plot (x, y, ‘g’)

# показать сюжет
plt.show ()

Тригонометрические функции

Здесь мы строим тригонометрическую функцию $ y = \ text {sin} (x) $ для значений $ x $ между $ — \ pi $ и $ \ pi $.У метода linspace () интервал установлен от $ — \ pi $ до $ \ pi $.


импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np

# 100 чисел с линейным интервалом
х = np.linspace (-np.pi, np.pi, 100)

# функция, которая здесь y = sin (x)
у = np.sin (х)

# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax. spines ['влево']. set_position ('центр')
ax.spines ['дно']. set_position ('центр')
топор.колючки ['право']. set_color ('нет')
ax.spines ['вверху']. set_color ('нет')
ax.xaxis.set_ticks_position ('снизу')
ax.yaxis.set_ticks_position ('влево')

# построить функцию
plt.plot (x, y, 'b')

# показать сюжет
plt.show ()

Построим его вместе с еще двумя функциями, $ y = 2 \ text {sin} (x) $ и $ y = 3 \ text {sin} (x) $. На этот раз мы помечаем функции.


import matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np

# 100 чисел с линейным интервалом
х = np.linspace (-np.pi, np.pi, 100)

# функция, которая здесь y = sin (x)
у = np.sin (х)

# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines ['влево']. set_position ('центр')
ax.spines ['дно']. set_position ('центр')
ax.spines ['правильно']. set_color ('нет')
ax.spines ['вверху']. set_color ('нет')
ax.xaxis.set_ticks_position ('снизу')
топор.yaxis.set_ticks_position ('влево')

# построить график функций
plt. plot (x, y, 'b', label = 'y = sin (x)')
plt.plot (x, 2 * y, 'c', label = 'y = 2sin (x)')
plt.plot (x, 3 * y, 'r', label = 'y = 3sin (x)')

plt.legend (loc = 'верхний левый')

# показать сюжет
plt.show ()

И здесь мы строим вместе как $ y = \ text {sin} (x) $, так и $ y = \ text {cos} (x) $ через один и тот же интервал от $ — \ pi $ до $ \ pi $.


import matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np

# 100 чисел с линейным интервалом
х = np.linspace (-np.pi, np.pi, 100)

# здесь функции y = sin (x) и z = cos (x)
у = np.sin (х)
z = np.cos (х)

# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines ['влево']. set_position ('центр')
ax.spines ['дно']. set_position ('центр')
ax.spines ['правильно']. set_color ('нет')
ax.spines ['вверху']. set_color ('нет')
ax.xaxis.Икс')
plt.legend (loc = 'верхний левый')

# показать сюжет
plt.show ()

Графические уравнения, система уравнений с программой «Пошаговое решение математических задач»

Описание

Команда plot генерирует график практически любой функции или отношения, обнаруживаемого в математике средней школы и колледжа. Он будет отображать функции, заданные в форме y = f (x), например y = x 2 или y = 3x + 1, а также отношения вида f (x, y) = g (x, y) , например x 2 + y 2 = 4.

Чтобы использовать команду построения графика, просто перейдите к основному
страницу графика, введите свое уравнение (в терминах x и y), введите набор
значения x и y, для которых должен быть построен график, и нажмите «График»
кнопка. Ваше уравнение будет автоматически построено, и будет показан ответ.
в вашем браузере в течение нескольких секунд. Если вы хотите больше контроля над
процесс построения, продвинутый
страница графика позволяет отображать несколько графиков на одной диаграмме, а также
для точной настройки внешнего вида графиков с помощью ряда опций.2 = 1 от x = -2 до x = 2, y = -1,8 до y = 1,8

Опции (только расширенная страница)

Деления

Значения: отмечено или не отмечено
По умолчанию: отмечено

Если установлен флажок «Отметки», на осях графика будут отображаться отметки и числовые шкалы.


Линии сетки

Значения: установлен или не установлен
По умолчанию: не установлен

Если установлен флажок Линии сетки, на график будет наложена синяя сетка.


Оси

Значения: Нет или Автоматическая исходная точка или Исходная точка в (#, #)
По умолчанию: Автоматическая исходная точка

Параметр «Оси» управляет внешним видом и расположением осей на графике. Если установлен флажок «Нет», оси не будут отображаться вообще. Когда установлен флажок «Автоматическое начало координат», будут отображаться оси. Две оси обычно пересекаются в точке (0,0), но иногда эта точка пересечения может быть расположена в другом месте. Когда установлен флажок «Исходная точка в (#, #)» и вводится точка, оси будут отображаться, и их точка пересечения будет принудительно находиться в указанной точке.


Соотношение сторон

Значения: Один к одному или Золотое сечение или #: #
По умолчанию: Один к одному

Параметр Соотношение сторон управляет соотношением высоты графика к его ширине. Когда установлен флажок «Один к одному», соотношение составляет 1: 1, и масштабы на двух осях будут идентичными. Это гарантирует, что круги, например, действительно будут отображаться на экране круглыми. Когда выбрано золотое сечение, соотношение сторон составляет 1: 1 / г, где g — золотое сечение (приблизительно 1.6180). Это якобы дает соотношение высоты к ширине, которое особенно «приятно» для глаз. Когда выбрано #: # и введены два значения, будет применяться указанное соотношение сторон. Это полезно, если сюжет сильно сжат в одном или другом направлении и его нужно «растянуть», чтобы сделать его более четким.

РЕШЕНИЕ: 2) Для функции y = x2 — 4x — 5 выполните следующие задачи: a) Представьте функцию в форме y = a (x

РЕШЕНИЕ: 2) Для функции y = x2 — 4x — 5, выполнять следующие задачи:
а) Представьте функцию в виде y = a (x — h) 2 + k.Отвечать:

Показать работы в этой области

б) Что такое т

Алгебра ->
Квадратичные уравнения и параболы
-> РЕШЕНИЕ: 2) Для функции y = x2 — 4x — 5 выполните следующие задачи:
а) Представьте функцию в виде y = a (x — h) 2 + k.
Отвечать:

Показать работы в этой области

б) Что такое т

Войти в систему



Вопрос 71677: 2) Для функции y = x2 — 4x — 5 выполните следующие задачи:
a) Представьте функцию в форме y = a (x — h) 2 + k.
Ответ:

Показать работы в этой области

б) Какое уравнение представляет собой линия симметрии графика этой функции?
Ответ:

c) Постройте график функции, используя уравнение из части a. Объясните, почему нет необходимости наносить точки на график при использовании y = a (x h) 2 + k.
Показать график здесь.

Пояснения к графическому изображению.

г) Опишите своими словами, как этот график сравнивается с графиком y = x2?

Ответ:


Ответ пользователя stanbon (75887) (Показать источник):
Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!
2) Для функции y = x ^ 2 — 4x — 5 выполните следующие задачи:
a) Представьте функцию в виде y = a (x — h) 2 + k. 2
(x-2) перемещает все точки 2 вправо.
Когда x = 2, y = -9; -9 перемещает все точки на 9 вниз.
========
Ура,
Стэн Х.

Графические экспоненциальные функции: дополнительные примеры

Графики
Экспоненциальные функции: примеры
(стр.
4 из 4)

Разделы: Вводные
концепции, пошаговые инструкции по построению графиков,
Работал примеров


    Это может показаться немного
    сложнее построить график, потому что почти все мои y -значения
    будут десятичные приближения.Но если я округлюсь до разумного числа
    десятичных знаков (один или два, как правило, подходят для
    построение графиков), то этот график будет довольно простым. Мне просто нужно сделать
    уверен, что я нарисовал красивый аккуратный график с последовательным масштабом на моем
    топоры.

Если степень в экспоненте
не линейный (например, « x «),
но вместо этого является квадратичным (например, «2 x 2 «)
или что-то еще, тогда график может выглядеть иначе.Также, если есть
если в функции больше одного экспоненциального члена, график может выглядеть иначе.
Ниже приведены несколько примеров, чтобы показать вам, как они работают.

    Потому что сила
    является отрицательной квадратичной функцией, степень всегда отрицательна (или равна нулю).
    Тогда этот график обычно должен быть довольно близок к оси x .

    Авторские права
    Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Есть
    здесь очень мало точек, которые разумно изобразить.Больной
    присоединяйтесь к набранным мною пунктам и убедитесь, что я не забываю рисовать
    график в виде кривой линии:

  • Изобразите следующий график:

    Это действительно полезный
    функция (называемая «функцией гиперболического синуса»), но вы
    вероятно, не увижу его снова до исчисления. В любом случае я подсчитываю очки
    и участок, как обычно:

Иногда вы увидите
более сложные экспоненциальные функции, подобные этим. На этом этапе в
ваша математическая карьера, скорее всего, вы будете в основном иметь дело
со стандартной экспоненциальной формой. Так что убедитесь, что вам удобно
с его общей формой и поведением.


На рассмотрение: некоторые из них
различные вариации одной и той же базовой экспоненциальной функции с
соответствующий график под каждым уравнением. Обратите внимание, что даже если график
перемещен влево или вправо, вверх или вниз, или перевернут вверх ногами, он все еще
отображает ту же кривую. Убедитесь, что вы знакомы с этой формой!

<< Предыдущий Топ | 1 | 2
| 3 | 4
| Возвращаться
в индекс

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета. «Графические экспоненциальные функции: примеры». Пурпурная математика .
Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/graphexp4.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016

Графические квадратные уравнения с использованием факторинга

Квадратное уравнение


это

многочлен

уравнение

степень

2

.Стандартная форма квадратного уравнения:

0

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

где

а

,

б

а также

c

все реальные числа и

а

0

.

Если мы заменим

0

с участием

y

, то получаем

квадратичная функция

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

чей график будет

парабола

.

Точки пересечения графика

Икс

-оси будут решениями уравнения,

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

знак равно

0

. То есть, если многочлен

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

может быть учтен на

(

Икс

п

)

(

Икс

q

)

, мы знаем по

свойство нулевого продукта

что если

(

Икс

п

)

(

Икс

q

)

знак равно

0

, либо

(

Икс

п

)

знак равно

0

или же

(

Икс

q

)

знак равно

0

.потом

п

а также

q

являются решениями уравнения

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

знак равно

0

и поэтому

Икс

-перехваты квадратного уравнения.

Поскольку

Икс

-координата

вершина параболы

это точно середина

Икс

-перехватывает

, то

Икс

-координата вершины будет

п

+

q

2

.

Вы можете использовать

Икс

-координата вершины для нахождения

y

-координат.

Теперь у вас есть вершина и

2

другие точки параболы (а именно,

Икс

-перехватывает). Вы можете использовать эти три точки для построения графика.


Пример 1:

Постройте график функции

y

знак равно

Икс

2

8

Икс

+

12

с использованием факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой,

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

. Поскольку значение

а

положительный, парабола открывается.

Разложите на множители трехчлен,

Икс

2

8

Икс

+

12

.

Идентифицировать

2

числа, сумма которых

8

и продукт

12

.Цифры

2

а также

6

. Это,

Икс

2

8

Икс

+

12

знак равно

(

Икс

2

)

(

Икс

6

)

.

Икс

2

8

Икс

+

12

знак равно

0

(

Икс

2

)

(

Икс

6

)

знак равно

0

Итак, по свойству нулевого продукта либо

(

Икс

2

)

знак равно

0

или же

(

Икс

6

)

знак равно

0

. Тогда корни уравнения равны

2

а также

6

.

Следовательно

Икс

-перехваты функции

6

а также

2

.

В

Икс

-координата вершины — это середина х-точек пересечения. Итак, вот

Икс

-координата вершины будет

2

+

6

2

знак равно

4

.

Заменять

Икс

знак равно

4

в уравнении

y

знак равно

Икс

2

8

Икс

+

12

найти

y

-координата вершины.

y

знак равно

(

4

)

2

8

(

4

)

+

12

знак равно

16

32

+

12

знак равно

4

То есть координаты вершины равны

(

4

,

4

)

.

Теперь у нас 3 очка

(

4

,

4

)

,

(

2

,

0

)

а также

(

6

,

0

)

которые находятся на параболе. Нанесите точки.

Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.


Пример 2:

Постройте график функции

y

знак равно

Икс

2

2

Икс

+

8

с использованием факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой,

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

. Поскольку значение

а

положительный, парабола открывается.

Разложите на множители трехчлен,

Икс

2

2

Икс

+

8

.

Во-первых, фактор вне

1

.

Икс

2

2

Икс

+

8

знак равно

1

(

Икс

2

+

2

Икс

8

)

Разложите выражение на множители в скобках. Идентифицировать

2

числа, сумма которых

2

и продукт

8

.Цифры

4

а также

2

. Это,

Икс

2

+

2

Икс

8

знак равно

(

Икс

+

4

)

(

Икс

2

)

.

Тогда данная функция принимает вид

y

знак равно

(

Икс

+

4

)

(

Икс

2

)

.

Так,

y

знак равно

0

следует из свойства нулевого продукта,

Икс

+

4

знак равно

0

или же

Икс

2

знак равно

0

.

Следовательно

Икс

-перехваты графика

4

а также

2

.

В

Икс

-координата вершины параболы — середина

Икс

-перехватывает.Итак, вот

Икс

-координата вершины будет

4

+

2

2

знак равно

1

.

Заменять

Икс

знак равно

1

в уравнении

y

знак равно

Икс

2

2

Икс

+

8

найти

y

-координата вершины.

y

знак равно

(

1

)

2

2

(

1

)

+

8

знак равно

1

+

2

+

8

знак равно

9

Итак, координаты вершины равны

(

1

,

9

)

.

Теперь у нас есть

3

точки

(

1

,

9

)

,

(

4

,

0

)

а также

(

2

,

0

)

которые находятся на параболе. Нанесите точки.

Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

График параболы — Темы в предварительном исчислении

5

Постоянная функция

Функция идентичности

Функция абсолютного значения

y = x 2 : парабола

Функция квадратного корня

Кубическая функция

Обратная функция

СЛЕДУЮЩИЕ ГРАФИКИ, которые встречаются в аналитической геометрии и исчислении.Учащийся должен уметь рисовать их и узнавать их исключительно по форме. Наносить точки не обязательно.

Постоянная функция

Вот график y = f ( x ) = 3. Это прямая линия, параллельная оси x . Она называется постоянной функцией, потому что каждому значению x соответствует одно и то же значение y : 3.

Является ли постоянная функция однозначной? Да, это так, потому что каждому значению x соответствует одно и только одно значение y . 3.

Постоянная функция имеет вид

y = c ,

, где c — константа, то есть число.

Функция идентичности и функция абсолютного значения

y = x называется функцией идентичности, потому что значение y идентично значению x .Координатные пары равны ( x , x ).

В функции абсолютного значения отрицательных значений из y в функции идентичности отражаются в положительную сторону.
Для, | — x | = | x | = х . Координатные пары равны ( x , | x |).

Пример.

a) Какова область действия функции идентичности?

Нет естественного ограничения на значения x .Следовательно, область, в которой «живет» функция, включает каждое действительное число.

−x

Прежде всего обратите внимание, что бесконечность «» — это не число и не место. Это слово вместе с символом мы используем для обозначения: не существует ограничений на значения x , которые мы могли бы назвать.

Обратите внимание, что мы пишем « x меньше ». Равенство до бесконечности не имеет смысла.

б) Каков диапазон функции идентичности?

Диапазон — это те значения y , которые соответствуют значениям в домене.Изучение графика покажет, что и также будут принимать все действительные значения.

−y

Парабола и функция квадратного корня

В параболе y = x 2 пары координат равны ( x , x 2 ). Мы видим, что на графике есть следующие точки: (1, 1), (−1, 1), (2, 4), (−2, 4) и так далее.

График функции квадратного корня относится к y = x 2 .Это его обратное. Координатные пары равны ( x ,). Например, (1, 1), (4, 2), (9, 3) и так далее.

Обратите внимание, что функция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Ибо квадратный корень отрицательного числа не является действительным.

Кроме того, символ относится к одному неотрицательному числу, называемому главным квадратным корнем. (См. Урок 26 алгебры, пример 2.) y =, следовательно, функция.

Проблема 1.Какова область определения функции y = x 2 и каков ее диапазон?

Эта функция определена для всех значений x : −∞ x

Что касается диапазона, то самое низкое значение y равно 0. И нет предела максимальному значению. 0 ≤ y ∞.

Проблема 2. Какова область определения функции квадратного корня и каков ее диапазон?

Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений x .Домен: x ≥ 0.

Что касается диапазона, то самое низкое значение y равно 0. И нет предела максимальному значению. 0 ≤ ярдов

Кубическая функция

Кубическая функция: y = x 3 . Когда x отрицательно, y отрицательно: Нечетные степени отрицательного числа отрицательны.

Проблема 3.Какова область определения кубической функции и каков ее диапазон?

Домен: −∞ x

Диапазон: −∞ y

Обратная функция

Когда x — очень большое положительное число — в крайнем правом углу оси x — его обратное число — очень маленькое положительное число. График очень близок к оси x .

Когда x — очень маленькое положительное число — близкое к x = 0 — его обратное число является очень большим положительным числом.

Подобные свойства сохраняются при отрицательном значении x .

Обратите внимание, однако, что x не может быть 0. 0 — единственное значение, которое должно быть исключено из домена.

Подробнее об этом мы поговорим в теме 18.

Следующая тема: Словарь полиномиальных функций

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Wolfram | Примеры альфа: построение и графика


Функции

Изобразите функцию одной переменной в виде кривой на плоскости.

Постройте функцию одной переменной:

Укажите явный диапазон для переменной:

Постройте функцию с действительным знаком:

Постройте функцию в логарифмическом масштабе:

График в логарифмическом масштабе:

Другие примеры


3D графики

Изобразите функцию двух переменных как поверхность в трехмерном пространстве.

Постройте функцию от двух переменных:

Укажите явные диапазоны для переменных:

Другие примеры


Уравнения

Постройте набор решений уравнения с двумя или тремя переменными.

Постройте решение уравнения с двумя переменными:

Другие примеры


Неравенства

Постройте набор решений неравенства или системы неравенств.

Постройте область, удовлетворяющую неравенству двух переменных:

Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:

Другие примеры


Полярные графики

Нарисуйте график точек или кривых в полярной системе координат.

Укажите диапазон для переменной theta:

Другие примеры


Параметрические графики

Графические параметрические уравнения в двух или трех измерениях.

Укажите диапазон для параметра:

Нарисуйте параметрическую кривую в трех измерениях:

Нарисуйте параметрическую поверхность в трех измерениях:

Другие примеры


Другие примеры

Числовые строки

Нанесите набор чисел или значений на числовую линию.

Визуализируйте набор действительных чисел на числовой строке:

Показать несколько наборов в числовой строке:

Другие примеры

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.