Построить график функции у 2х: Постройте график функции у = 2х а) координаты точек пересечения прямой с осью х и осью у; б) значения аргумента, при которых у > 0, у

Содержание

Как построить график функций? Постройте график функции у 0 5 х2

Сегодня мы внимательно изучим функции, графиком которых является прямая линия.

Запиши в тетрадь тему урока

«Линейная функция и прямая пропорциональность».

Внимательно выполняй все задания и
старайся запомнить новые для тебя определения.

Запомни определение:
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — некоторые числа.

Например: если k = 0,5 и b = -2, то у = 0,5х — 2.

Задание:
Построить график линейной функции у = 0,5х — 2.

Составь таблицу значений пар (х, у).
Отметь их на координатной плоскости.
Соедини точки линией.

Проверь решение:
Построим график линейной функции у = 0,5х — 2.

Для построения графика у = -х + 3 вычислим координаты двух точек

Отметим их на координатной плоскости две точки и соединим их прямой.

А сможешь ли ты определить:
принадлежит ли точка А(36; 5) графику линейной функции ?

Да

Нет

А теперь сравни эти два графика и увидим, что у линейной функции у = kx + b,
еще до его построения можно «предугадать» расположение прямой линии на координатной плоскости!

Как?
Просто надо внимательно посмотреть на числа k и b…

И они многое нам расскажут!

Попробуй догадаться…

Функция у = 0,5х — 2 Функция у = -х + 3

Итак, наблюдаем и делаем выводы:
1) Первый пересекает ось ОУ в точке (0; -2), а второй в (0; 3)
!!! у первого b = -2, а у второго b = 3
Вывод: по числу b в формуле y = kx + b мы определим в какой точке прямая пересечет ось ординат.

2) Первый наклонен к положительному направлению оси ОХ под острым углом, а второй — под тупым углом.
!!! у первого k > 0, а у второй функции k
Вывод: если в формуле y = kx + b мы видим, что число k > 0 значит график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под острым углом;
если же число k Число k (коэффициент при х) называют за это — угловым коэффициентом.
Запомни это все! Нам такие знания еще не раз пригодятся

Если в формуле y = kx + b, мы возьмем b = 0, то получим формулу y = kx.

Запомни определение:
Функция, которую можно задать формулой y = kx, где k — некоторое число не равное 0, х — переменная, называется прямой пропорциональностью.

Выполни в своей тетради задание:
Придумай несколько формул прямой пропорциональности с разными коэффициентами k и построй их графики в одной координатной плоскости.

Поскольку у прямой пропорциональности b = 0, то график пересечет ось ОУ в точке (0; 0).

На одной координатной плоскости мы можем нарисовать и несколько графиков!

У линейной функции график — прямая линия.
А прямые могут быть параллельными или пересекаться в одной точке…
Интересно, а до построения графиков, только посмотрев (внимательно!) на их формулы, мы может сделать вывод:

Графики этих функций — пересекутся,
графики этих функций — расположены параллельно.



Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Урок алгебры в 9 классе по теме «Построение
графиков функции, аналитическое выражение
которых содержит знак абсолютной величины» был
построен на основе компьютерных технологии,
применяя исследовательскую деятельность
обучения.

Цели урока: Обучающая: Наглядно
продемонстрировать учащимся возможности
использования компьютера при построении
графиков функции с модулями; для самоконтроля,
экономии времени при построении графиков
функций вида у=f
|(х)| ,
у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.

Развивающая: Развитие интеллектуальных умений
и мыслительных операций — анализ и синтез
сравнение, обобщение. Формирование ИКТ
компетентности учащихся.

Воспитывающая: Воспитание познавательного
интереса к предмету путем введения новейших
технологий обучения. Воспитание
самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: Оборудование: компьютерный
класс, интерактивная доска, презентация на тему
«Построение графиков функции, аналитическое
выражение которых содержит знак абсолютной
величины», раздаточный материал: карточки для
работы с графической моделью функций, листы для
фиксирования результатов исследования функций,
персональные компьютеры. Лист самоконтроля.

Программное обеспечение: презентация Microsoft
PowerPoint «Построение графиков функции,
аналитическое выражение которых содержит знак
абсолютной величины»

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение, обобщение и систематизация. Это
этап урока сопровождается компьютерной
презентацией.


График функции у=f
|(х)|


у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| =
f | х |

График этой функции симметричен относительно
оси координат.

Следовательно, достаточно построить график
функции у=f
(х) для х>0,а затем достроить его
левую часть, симметрично правой относительно оси
координат.

Например, пусть графиком функции у=f
(х)
является кривая, изображенная на рис.1, тогда
графиком функции у=f
|(х)| будет кривая,
изображенная на рис.2.

1. Исследование графика функции у= |х|

Таким образом, искомый график есть ломанная,
составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся
сделают вывод, что второй получается из первого
зеркальным отображением относительно ОХ той
части первого графика, которая лежит под осью
абсцисс. Это положение вытекает из определения
абсолютной величины.

Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х,
сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из
графика у = f (x) при х

0
симметричным отображением
относительно оси ОУ.

Можно ли применять этот метод построения
графиков для любой функции, содержащей
абсолютную величину?


Слайд 3 и 4.

1. Построите график функции у=0,5 х 2 — 2|х| — 2,5

1) Поскольку |х| = х при х
0,
у=0,5 х 2 — 2х — 2,5
.
Если ху=0,5 х 2
+ 2х — 2,5
.

2) Если рассмотрим график у=0,5 х 2 -2х — 2,5
при х

Можно ли применять этот метод построения
графиков дл квадратичной функции, для графиков
обратной пропорциональности, содержащие
абсолютную величину?

1) Поскольку |х| = х при х
0,
требуемый график
совпадает с параболой у=0,25 х 2 — х — 3.
Если
ху=0,25 х 2
+ х — 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 — х — 3 при
х
0 и
отобразить его относительно оси ОУ мы получим
тот же самый график.

(0; — 3) координаты точки пересечения графика
функции с осью ОУ.

у =0, х 2 -х
-3 = 0

х 2 -4х -12 = 0

Имеем, х 1 = — 2; х 2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) — координаты точки пересечения
графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика,
соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

На тетрадях ученики доказывают, что график
функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f
(х) на множестве неотрицательных значений
аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ
на множестве отрицательных значений аргумента.

Доказательство:
Если х 0, то f |(х)|= f (х),
т.е. на множестве неотрицательных значений
аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)|
совпадают. Так как у = f |(х)| — чётная функция, то её
график симметричен относительно ОУ.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно
получить из графика функции у = f (х) следующим
образом:

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х
отразить
построенную часть

относительно оси ОУ.

Слайд 5

4. Исследовательская работа по построению
графика функции у = | f
(х)|

Построить график функции у = |х 2 — 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х 2 — 2х0,
т.е. если х
0 и х2, то |х 2 —
2х|= х 2 — 2х

Если х 2 — 2х

Видим, что на множестве х
0 и х2 графики функции

у = х 2 — 2х и у = |х 2 — 2х|совпадают, а на
множестве (0;2)

графики функции у = -х 2 + 2х и у = |х 2 — 2х|
совпадают. Построим их.

График функции у = | f (х)| состоит из части
графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично
отражённой части у = f(х) при у

Построить график функции у = |х
2 — х —
6|

1) Если х 2 — х -6 0, т.е. если х
-2 и х3, то |х 2 — х -6|= х 2 — х -6.

Если х 2 — х -6

Построим их.

2) Построим у = х 2 — х -6 . Нижнюю часть
графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Работа на тетрадях.

Докажем, что график функции у = | f (х)|

совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и
симметрично отражённой частью у = f(х) при у

Действительно, поопределению абсолютной
величины, можно данную функцию рассмотреть как
совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х)
0; у = — f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

Если же f(х) )

симметричнаточке(х; f (х)) относительно
оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика
отражаем симметрично относительно оси ОХ
«отрицательную» часть графика у = f(х).



Вывод: действительно для построения графика
функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

F(х)

Вывод: Для построения графика функции у=|f
(х)
|

1.Построить график функции у=f
(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней
полуплоскости, т.е., где f
(х)

Слайды 8-13.

5. Исследовательская работа по построению
графиков функции у=|f
|(х)| |

Применяя определение абсолютной величины и
ранее рассмотренные примеры, построим графиков
функции:

у = |2|х| — 3|

у = |х 2 — 5|х||

у = | |х 2 | — 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f
|(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е.
построенный график симметрично отражать
относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные
в нижней полуплоскости, преобразовывать на
верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | — 3| (1-й
способ по определению модуля)

1. Строим у = 2|х | — 3
, для 2 |х| — 3
> 0 , |
х
|>1,5 т.е. х1,5

а) у = 2х — 3
, для х>0

б) для х

2. Строим у = —2 |х| + 3
, для 2|х | — 3

а) у = —2х + 3
, для х>0

б) для х

У = | 2|х | — 3|

1) Строим у = 2х-3, для х>0.

2) Строим прямую, симметричную построенной
относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней
полуплоскости, отображаю симметрично
относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они
одинаковые.

у = | х 2
— 5|х| |

1. Строим у = х 2 — 5 |х|, для х 2 — 5 |х| > 0
т.е. х >5 и х

а) у = х 2 — 5 х, для х>0

б) для х

2. Строим у = — х 2 + 5 |х| , для х 2 — 5 |х|

а) у = — х 2 + 5 х, для х>0

б) для х

У = | х 2 — 5|х| |

а) Строим график функции у = х 2 — 5 х для
х>0.

Б) Строим часть графика, симметричную
построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней
полуплоскости, преобразовываю на верхнюю
полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они
одинаковые. (Рис.10)

3. Подведение итогов урока.

14,15 слайды.

у=f
|(х)|

1.Построить график функции у=f
(х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f
(х) |

1.Построить график функции у=f
(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней
полуплоскости, т.е., где f
(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f
|(х)|
|

1. Построить график функции у=f
(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную
построенной относительно оси ОУ, т.к. данная
функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней
полуплоскости, преобразовывать на верхнюю
полуплоскость симметрично оси ОХ.

Здравствуйте, Давид.

График функции представляет собой её геометрический образ. Он показывает, где на координатной плоскости находится точка, координаты которой (Х и У) связаны определенным математическим выражением (функцией).

Перед тем, как приступить к построению графика функций, сначала необходимо начертить оси координат ОХ и ОУ. Лучше всего для этого использовать масштабно — координатную бумагу. Далее следует определить тип функции, потому что у различных функций графики очень сильно отличаются. К примеру, линейная функция, о которой пойдет речь ниже, имеет график в виде прямой линии. После этого нужно определить область определения функций, т.е. ограничения для значений Х и У. К примеру, если Х находиться в знаменателе дроби, то его значение не может быть равным 0. Далее надо найти нули функции, то есть места пересечения графика функции с осями координат.

Приступим к построению графика функции, указанной в пункте а) вашего вопроса.

Функция у= — 6х + 4
, график которой требуется построить в первой задаче вашего вопроса, является линейной функцией, т.к. линейные функции представлены выражением y = kx + m. Областью определения линейной функции считается вся прямая ОХ. Параметр m в линейной функции определяет точку, в которой график линейной функции пересекает ось OY.

Для того, чтобы построить график линейной функции достаточно определить хотя бы две её точки, потому что графиком функции является прямая. Если найти больше точек, то можно построить более точный график. Вообще, при построении графика линейной функции необходимо определить точки, в каких график пересечет оси координат Х, У.

Итак, в вашем случае точки пересечения графика функции с осями координат будут такими:

При Х=0, У= -6*0+4=4 Таким образом, мы получили значение параметра m в линейной функции.

У=0, то есть 0= -6*Х+4, то есть 6х=4, следовательно Х=4/6=0,667

При Х= -1, У=-6*-1+4=10

При Х=1, У= -6*1+4=-2

При Х=2, У= -6*2+4=-8

Получив все вышеуказанные точки, вам остается только отметить их на координатной плоскости, соединить прямой линией, как показано в примере на рисунке, который прикреплен к данной статье.

Теперь построим график функции, указанной в пункте б) вашего вопроса.

Сразу видно, что функция у= 0,5х
, из второй задачи, также является линейной функцией. В отличие от первого примера, в данном выражении отсутствует значение m, а это говорит о том, что график функции у= 0,5х проходит через начало осей координат, то есть в их нулевой точке.

При Х=0, У= 0,5*0=0

При Х= 1, У=0,5*1=0,5

При Х=2, У= 0,5*2=1

При Х=3, У=0,5*3=1,5

При Х= -1, У=0,5*-1= -0,5

При Х= -2, У= 0,5*-2= -1

При Х= -3, У=0,5*3= -1,5

Теперь, имея все вышеуказанные значения Х и У вы без труда сможете поставить эти точки на координатной плоскости, соединить их прямой линией при помощи линейки, и у вас получится график линейной функции у=0,5х

Ниже я привела ссылку, перейдя по которой, вы можете найти уроки по математике, алгебре, геометрии и русскому языку. Я бы посоветовала вам прочитать несколько тем, которые касаются построения графиков функций. В данном учебном материале очень наглядно показано, как можно построить графики линейных функций, а в темах, которые расположены далее можно увидеть примеры построения графиков других функций. Все написано достаточно подробно, поэтому это будет понятно не только тем, кто давно закончил школу и имеет представление о том, как можно построить график функции, но и тем, кто только начинает постигать азы науки. Я считаю, что увидев наглядно на конкретных примерах, как строятся графики функций, вы потом без проблем сможете решить любую задачу по построению графика функций.

Рабочая тетрадь по математике «Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы»

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Бурятский республиканский техникум строительных и промышленных технологий»

Рабочая тетрадь по математике

/часть 2/

ФИ студента:___________________________________________________

Группа, курс, профессия:___________________________________________

Тема: Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

г. Кяхта, 2017г.

Рассмотрено на заседании ЦК

Общеобразовательных дисциплин

Протокол № ____ от ____________20__ г.

Председатель ЦК

Цыдыпова Т.С./____________

ФИО, подпись

Разработчик: Цыдыпова Т.С., преподаватель математики.

Рабочая тетрадь по математике предназначена для самостоятельной работы с учебником, а так же для контроля знаний обучающихся по теме: Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы. Является пособием для проверки теоретических знаний. Включает разнообразные задания, тесты позволяющие закрепить теоретические знания по данной теме.

Рабочая тетрадь предназначена для самостоятельной работы студентов. Служит рубежным контролем знаний по теме: «Производные».

Предполагает вписывание ответов непосредственно в бланк рабочей тетради.

Пояснительная записка

Рабочая тетрадь по математике для студентов составлена в соответствии с рабочими программами и учебниками «Математика», пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования (базовый уровень) часть 1 и 2 под редакцией М.И. Башмакова.

Основной целью является формирование необходимых знаний, умений и навыков по теме «Производная» на доступном для студентов уровне.

Задачи: — побуждение и развитие интереса к математике;

— способствовать формированию математических компетенций;

— формирование навыков работы с учебной литературой.

Рабочая тетрадь может быть использована студентами для самостоятельной работы, для выполнения домашних заданий.

Тетрадь содержит упражнения по основным темам главы «Производная». Имеются сложные задачи, решение которых требует определенных умений и навыков, и могут служить основой для дальнейшего изучения курса алгебры и начала анализа.

Методическую разработку можно использовать при изучении нового материала, формировании и совершенствовании знаний, умений и навыков, обобщении и систематизации знаний на практических занятиях, внеаудиторных самостоятельных работах. Рабочая тетрадь ориентирована на студентов со средними учебными возможностями и на «слабых».

Необходимость разработки рабочей тетради по математике для студентов образовательного учреждения обусловлена контингентом, поступившим после окончания основной школы со слабыми знаниями по алгебре и геометрии.

В тетради приведены примеры с подробными решениями, на которые указан значокНа окончание решения примеров указывает красная линия.

  1. Исследование функции на монотонность

Что такое исследовать функцию на монотонность?

Исследовать функцию на монотонность – это значит, выяснить на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает.

Теорема 1.Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f´(x)≥0 (причем равенство f´(x)=0 либо не выполняется, либо выполняется в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.

Рассмотрим исследование функции на монотонность

Пример: Докажите, что заданная функция у = 2х5 +4х3 — 1 возрастает.

Решение: Область определения функции множество действительных чисел у´= 10х4 + 12х2 = 5х4 + 6х2.

Очевидно, что 5х4 + 6х2 ≥0.

Значит, функция возрастает на промежутке.

По образцу исследования функции на монотонность докажите, что следующие функции возрастают.

Задача 1.Докажите, что функция у = 4х – 5 возрастает.

Задача 2. Докажите, что функция у = х7 +2х5 +5х + 10 возрастает.

Задача 3. Докажите, что функция у = х5 +3х3 +9х возрастает.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ´(x)≤ 0 ( причем равенство f ´(x)=0 либо не выполняется, либо выполняется в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Пример: Докажите, что заданная функция у = 5 – 2х убывает.

Решение: Область определения функции множество действительных чисел у´= (5 – 2х)´ = — 2, у´ ≤ 0

Значит, функция убывает на промежутке.

По образцу нахождения промежутков убывания докажите следующее:

Задача 4. Докажите, что функция у = 3 — х убывает

_______________________________________________________________

Задача 5. Найдите промежутки убывания функции у = 8х2 – 3х + 1

Задача 6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции

у = х2 + 3х – 4

  1. Рассмотрим примеры на нахождение промежутков возрастания и убывания сложных функций.

Алгоритм:

  1. Найти область определения функции

  2. Найти производную функции

  3. Найти точки, при которых производная равна нулю

  4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой ∞

  5. Найти знаки производных на промежутках

  6. Указать промежутки возрастания и убывания функции

Пример: Исследовать намонотонность функцию у = — х2 + 2х – 3

  1. О.О.Ф. – (- ∞; +∞)

  2. у ´= — 2х +2

  3. у ´= 0

  4. — 2х +2 = 0 х = 1

+ 1

  1. На (- ∞;1| возрастает, |)убывает

По образцу исследования на монотонность найдите промежутки возрастания и убывания функций.

Задача 7. Исследовать функцию у = 5х2 – 3х + 1 на монотонность

Задача 8. Исследовать функцию у = х3 – 3х2 на монотонность

  1. Исследование функции на монотонность и построение графика функции

Алгоритм:

  1. Найти область определения функции

  2. Найти производную функции

  3. Найти точки, при которых производная равна нулю

  4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой ∞

  5. Найти знаки производных на промежутках

  6. Указать промежутки возрастания и убывания функции

  7. Построить график функции

Пример исследования и построения графика функции у = х3 – 27х

  1. о.о.ф. — ( — ∞; +∞)

  2. у ʹ = 3х3 – 27

  3. у ʹ = 0

  4. 3 – 27 = 0 х=3, х= — 3

  5. + — +

-3 3

6. На ((- ∞;- 3| ˅ |) возрастает, |- 3убывает

7. Построение графика

у

у = х3 – 27х

— 3 0 3 Х

По данному образцу исследуйте функцию с построением графика.

Задача 9.Исследовать функцию и построить график функции

у = 2х3 – 3х2 — 36х + 40

Задача 10. Исследовать функцию и построить график функции

у = х3 – 3х – 6

  1. Проверочная работа (Проверь себя!)

  1. Найти производную функции:

  1. у = х3 + х2+ 10 ________________________________________

  2. у = — 5х2 + х + 8 ________________________________________

  3. у = cos(3x + ) __________________________________________

  4. у = 2sin( + 7x) _________________________________________

  1. По графику функции определить промежутки монотонности.

У y = f ‘(x)у y = f ‘(x)

— 2 0 2 Х 4 — 3 0 2 3 Х

_________________________________________________ _____________________________________________

у y y = f ‘(x)

y = f ‘(x)

— 6 0 Х — 2,5 0 2,5 x

____________________________ ________________________

  1. Исследуйте функцию у = — х3 + 3х +2 на монотонность

  1. Точки экстремума функции и их нахождение

Определение1. Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≥ f (x0)

Определение2. Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0)

Точка минимума и точка максимума – это точки экстремума.

Как найти точки экстремума?

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых функция равна нулю называют стационарными. Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими.

Упрощенная формулировка: Если в точке х0 производная функции меняет знак с (-) на (+), то х0 есть точка минимума(min).

Если в точке х0 производная функции меняет знак с (+) на (-), то х0 есть точка максимума (max).

Условная схема:

— +

х0 – min

+ —

x0— max

x0

экстремума нет

+ +

x0

экстремума нет

Алгоритм нахождения точек экстремума

  1. Найти производную функции

  2. Найти стационарные и критические точки

  3. Отметить точки на числовой прямой и отметить знаки производной на получившихся промежутках

  4. Найти промежутки монотонности функции

  5. Найти точки экстремума

Пример: Найти точки экстремума функции у = 2х3 +3х2 – 4

Решение:

  1. уʹ = 6х2 + 6х = х2 + х

  2. уʹ = 0 х2 + х = 0 х = 0 х = — 1

— 1 0

4. + — +

— 1 0

5. х = -1 точка максимума

х = 0 точка минимума

По образцу найдите точки экстремума функции:

Задача 11.Найти точки экстремума функции у = 9 + 8х2 – х4

Задача 12.Найти точки экстремума функции у = 5 + 12х – х3

5. Построение графиков функций

1. Графики любых функций строятся по точкам

2. Графики функций можно построить при нахождении особо важных точек:

стационарные и критические точки;

точки экстремума;

точки пересечения графика с осями координат;

точки разрыва функции и другие контрольные точки

Схема исследования функции

  1. Найти производную функции

  2. Найти стационарные и критические точки

  3. Отметить точки на числовой прямой и отметить знаки производной на получившихся промежутках

  4. Найти промежутки монотонности функции

  5. Найти точки экстремума

  6. Найти точки пересечения графика с осями координат и другие контрольные точки

  7. Построение графика функции

Пример: Исследуйте функцию у = х3 – 3х + 2 и постройте ее график

  1. уʹ = 3х2 – 3 = х2 – 1

  2. уʹ = 0

  3. х2 – 1 = 0 х = 1 х = — 1

  4. + — +

— 1 1

5. х = — 1 — точка максимума, х = 1- точка минимума.

Точки пересечения с осью ОХ: у = 0

х3 – 3х + 2 = 0

х3 – х – 2х +2= 0

х(х2 — 1) – 2(х — 1) = 0

(х — 1)(х (х — 1) — 2) = 0

(х — 1)(х2+ х — 2) = 0

х = 1 х = 1 х = — 2

Точки пересечения с осью ОУ: ( 0; 2)

  1. Построение графика функции

Контрольные точки: у (- 1) = 4 у (1) = 0

y

4

2

-2 x

0 1

По образцу исследования функции выполните следующие задания

Задача 13. Исследуйте функцию у = х3 + 3х2 и постройте ее график

__________________________________________________________________

Задача 14. Исследуйте функцию у = х3 – 27х + 26 и постройте ее график

__________________________________________________________________

6. Проверочная работа (Проверь себя!)

Задания

Варианты ответов

1

2

3

4

1

Найти производную функции и ее значение в указанной точке у = (3 – 2х)(2х + 3)

у(- 2)= ?

— 16

17

16

— 17

2

Найти производную функции у = — 0,8х2 + 5х + 11

х3 – 1,5х

х3 – 1,6х+5

— 1,6х+5

-1,6х

3

Найдите промежутки возрастания функции

у = х3 — 6х2 + 5

(-∞;+∞)

|0 ;4|

(0 ; 4|

(-∞;0| ˅ |4;+∞)

4

Найдите промежутки убывания функции

у = х3 — 3х

(-∞;- 1|

|1 ;+∞)

(-∞;+∞)

|- 1 ;1|

5

Найдите точки экстремума функции у = — х4

— 0,5

0,25

Критерии оценивания проверочной работы:

За правильное решение 5 заданий ставится оценка «5»

4 задания — «4»

2 — 3 задания – «3»

1 задание — «2»

Замечания преподавателя

Используемая литература:

  1. А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.. В 2 частях. Часть1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.:Мнемозина, 2012;

  2. А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.. В 2 частях. Часть2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.:Мнемозина, 2012;

  3. А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник – М.: Просвещение, 2006

  4. Л.С.Атанасян Геометрия. 10-11 класс.Учебник (базовый и профильный уровни) – М.:Просвещение. 2013

  5. Л.А.Александрова Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы. 10 класс. – М. Мнемозина, 2010

  6. А.Г.Мордкович Алгебра и начала. 10-11 кл.. Методическое пособие для учителя. – М.:Мнемозина, 2010.

дилер LADA в г. Владимир

LADA подвела итоги 2020 года

В 2020 году продолжалась модернизация производства, выпущен 30-миллионный автомобиль, внедорожник Niva снова стал выпускаться под маркой LADA, а также появились новые модификации во всех семействах автомобилей – весомый ответ на вызовы уходящего года, ставшего самым сложным в современной истории для мировой автомобильной индустрии.Развитие Бренда LADALADA 4х4 с новым интерьеромГод открылся стартом продаж обновлённой LADA 4х4: заслуженный автомобиль стал значительно комфортней. Улучшены сиденья, панель приборов, обивки салона, расширен пакет шумоизоляции. Таким образом инженеры реализовали актуальный запрос рынка. Немаловажна и безопасность, поэтому все LADA 4х4 получили систему ЭРА-ГЛОНАСС. Примечательно, что новый интерьер гармонично сочетается с классическим, узнаваемым стилем LADA 4х4.XRAY Cross: первая LADA с сервисами Яндекс.АвтоXRAY Cross получил специальную версию Instinct, оснащенную системой Яндекс.Авто. Ситуация на дорогах, навигация, музыка и видео, социальные сети и подкасты, голосовой помощник Алиса – теперь водителю доступно множество сервисов. Для удобства пользования экран мультимедиа увеличен с 7 до 8 дюймов. Не забыт стиль автомобиля – XRAY Cross Instinct получил черную крышу и контрастную отделку в черном глянце. Наконец, LADA XRAY Cross Instinct стал первой LADA, продажи которой стартовали в онлайн-режиме. Наряду с противопандемийными мерами на производстве и в автосалонах, это стало еще одной противовирусной программой LADA: при желании автомобиль можно заказать, купить и получить, не выходя их дома.LADA Largus Cross и Granta Cross в специальной серии QuestСпециальная модификация, ориентированная на любителей путешествий, появилась сразу в двух семействах. LADA Largus Cross Quest отличается новыми сиденьями с трёхступенчатым подогревом, улучшенной шумоизоляцией. А на LADA Granta Cross Quest применена контрастная отделка, а также практичная водоотталкивающая обивка сидений. Непременный атрибут специальной серии – контрастный стиль и шильды с названием Quest.Спецсерия [BLACK]: энергия черного цветаСразу три модели получили специальное исполнение [BLACK]: Vesta Cross, XRAY Cross и 4×4. Все автомобили специальной серии отличаются черными акцентами интерьера и экстерьера в сочетании с оригинальными деталями и бейджами с надписью [BLACK]. А также выгодной ценой на пакеты опций.LADA Vesta Cross [BLACK] создан на базе комплектации Comfort c «зимним» пакетом, включающим такие комфортные опции как подогрев лобового стекла, передних сидений и рулевого колеса в практичной отделке из эко-кожи, а также предусмотрены чёрная крыша, контрастный рисунок колесных дисков, чёрная обивка потолка и специальная ткань сидений.LADA XRAY Cross [BLACK] помимо стильных черных элементов дизайна оснащен мультимедиа системой с популярными сервисами Яндекс.Авто, 4G модемом и камерой заднего вида.4х4 [BLACK] был создан на базе комплектации Urban, но теперь его черные корпуса зеркал выгодно дополняют полностью черные колесные диски и темная обивка потолка и сидений.LADA Niva Travel: популярный внедорожник вернулся в семьюЛетом модель Niva cнова стала выпускаться под маркой LADA, а уже декабре было запущено серийное производство новой LADA Niva Travel. Внедорожник получил новый оригинальный дизайн кузова, защитного обвеса и светотехники. В новом облике автомобиль стал более выразительным и мужественным. При этом LADA Niva остается настоящим внедорожником с системой постоянного полного привода, возможностью механической блокировки межосевого дифференциала и включения понижающего ряда передач.Новый LADA Largus: будущее уже рядомОбновленный LADA Largus выйдет в 2021 году, но в конце 2020 года было показано первое изображение долгожданного универсала. Автомобиль приобрел узнаваемый Икс-дизайн, а также новый салон с улучшенной эргономикой. Более подробно о технических характеристиках нового Largus будет сообщено отдельно.50 лет первому автомобилюВыпуская новые модели, АВТОВАЗ бережно сохраняет историю марки LADA. 19 апреля исполнилось 50 лет с момента сборки первых ВАЗ-2101 – этот юбилей отметили заводчане и любители марки LADA. Поздравил сотрудников АВТОВАЗа и Президент России Владимир Путин.ВАЗ-2101 стал самой массовой моделью за историю автопрома России (4,8 млн машин). За 50 лет освоено более 50 серийных моделей LADA – но все началось с «Единички»!В 2020 году юбилею LADA было посвящено ежегодное ГУМ-Авторалли. 100 автомобилей ВАЗ-2101, 2102, 2103 и 2106 70-х годов производства стартовали от стен Кремля и проехали 80-километровый маршрут ретро-ралли по самым красивым местам столицы.Символично, что именно в год 50-летия выпуска первых LADA был изготовлен 30-миллионный автомобиль LADA. Юбиляром стала LADA Granta, и в этом торжестве заслужено принял участие ВАЗ-2101 из заводского музея.Признание экспертов LADA Vesta занимает второе место по результатам продаж в России (после Granta), но первое по количеству отраслевых наград.В 2020 году LADA Vesta SW Cross стала лауреатом Ежегодной профессиональной премии «Внедорожник года». Автомобиль выиграл в номинации «Компактные моноприводные кроссоверы». LADA Vesta SW Cross отличается динамичным стилем с внедорожными элементами – это черный пластиковый обвес кузова и 17-дюймовые колеса с контрастными рисунком спиц. Также LADA Vesta SW Cross обладает дорожным просветом в 203 мм, системами антипробуксовки и помощи при старте на склоне – что делает автомобиль приспособленным к сложным дорожным условиям.Также в 2020 году LADA Vesta снова получила звание Автомобиль года в России. По итогам голосования флагман модельного ряда LADA стал победителем в номинации «Малый класс».Спортивные достиженияПилоты команды LADA Sport ROSNEFT провели свой лучший сезон, став чемпионами в личном и командном зачетах во всех классах и дисциплинах, где принимали участие – в кольцевых гонках, ралли и картинге.Основные успехи гонщиков заводской команды связаны с Российской серией кольцевых гонок, где Кирилл Ладыгин за рулем отечественного седана LADA Vesta Sport TCR впервые стал чемпионом в самом престижном классе «Туринг». В классе «Супер-Продакшн» быстрейшей стала турбированная Vesta Владислава Незванкина, а в «Туринг-Лайте» 8 побед и чемпионский титул завоевал Владимир Шешенин. Во всех классах трех классах LADA Sport ROSNEFT стала лучшей командой сезона.Не менее успешно год сложился у пилотов раллийной и картинговой команд. Дмитрий Воронов и Кирилл Еникеев стали авторами уникального достижения – они выиграли все гонки Кубка России по ралли, в которых участвовали. А Артем Северюхин и Иван Чубаров завоевали титул Чемпионов страны в самых быстрых категориях российского картинга.

преобразование нейронной активности пациента с анартрией в текст / Блог компании ua-hosting.company / Хабр

Одним из важнейших аспектов выживания вида является общение между его представителями. Информация, передаваемая от одного организма к другому, может быть закодирована в виде химических сигналов, визуальных стимулов или звуковых волн. Дабы общаться между собой животным необходимы голосовые связки (или аналогичные им по функционалу органы), а также достаточно развитая ЦНС, способная не только воспринимать звуки, но и декодировать заложенное в них послание. Человека от его соседей по планете отличает не только развитый интеллект, умение пользоваться и создавать инструменты, прямохождение и т.д., но и очень развитая звуковая коммуникация — другими словами, речь. С помощью речевого общения мы получаем друг от друга львиную долю информации, посему возможность крайне важна. Однако в некоторых случаях человек ввиду травмы, заболевания или врожденных дефектов лишен возможности воспроизводить слова, несмотря на то, что в его мозге они формируются вполне нормально. Один из вариантов такой патологии является анартрия, т.е. расстройство речи ввиду нарушения артикуляции, вызванного поражением мышц или нервов. Ученые из калифорнийского университета (Сан-Франциско, США) создали систему нейропротезирования, преобразующую сигналы мозга в текст, отображаемый на экране. Какие фундаментальные техники были использованы для реализации системы, кто стал первым ее пользователем, и насколько эффективна система преобразования речи? Ответы на эти вопросы мы найдем в докладе ученых. Поехали.

Основа исследования

Тело человека это удивительный механизм, в котором все работает по определенной схеме. Сложные процессы протекают практически мгновенно, позволяя нашим конечностям двигаться, органам чувств воспринимать внешние сигналы, мозгу обрабатывать и хранить информацию и т.д. Однако, как и в любом механизме, в теле человека могут возникнуть поломки, нарушающие его работу. Некоторые травмы или заболевания могут приводить к полному отказу какой-либо системы, в других же случаях лишь часть системы перестает работать так, как положено.

К таким случаям относится и анартрия, когда человек не может артикулировать слова, хотя в подновляющих случаях способен формировать их у себя в мозге и даже производить ограниченные оральные движения и недифференцированные звуки при попытке говорить. Анартрия может быть результатом различных заболеваний и травм, в том числе инсульта* или бокового амиотрофического склероза*.

Инсульт* — острое нарушение кровоснабжения головного мозга.

Боковой амиотрофический склероз* — прогрессирующее, неизлечимое дегенеративное заболевание центральной нервной системы, когда поражены верхние и нижние двигательные нейроны, что приводит к параличам и атрофии мышц.

За последние годы было достигнуто немало успехов в создании интерфейсов мозг-компьютер, позволяющих людям с нарушениями речи составлять сообщения по буквам, управляя курсором компьютера. Однако такой вариант, который работает за счет записей нейронных сигналов, крайне медленный и требует от пользователя больших усилий. По мнению авторов исследования, куда проще и эффективнее было бы прямое декодирование целых слов (а не отдельных букв) из областей мозга, контролирующих речь.

Проблема многих методик преобразования нейронных сигналов в слова заключается в том, что записи нейронной активности не могут быть точно согласованы с предполагаемой речью из-за отсутствия речевого вывода, что усложняет машинное обучение. Кроме того, остается неясно сохраняются ли нейронные сигналы, связанные с контролем речи, у пациентов, которые не говорили в течение нескольких лет, а то и десятилетий.

Чтобы выяснить, можно ли напрямую декодировать речь из нейронной активности человека, авторы рассматриваемого нами сегодня труда протестировали декодирование слов и предложений в реальном времени на основе корковой активности человека с параличом конечностей и анартрией, вызванной инсультом ствола головного мозга.

Подготовка к исследованию

Участником исследования стал мужчина в возрасте 36 лет (правша). В возрасте 20 лет у него был обширный инсульт, связанный с расслоением правой позвоночной артерии, что привело к тяжелому спастическому квадрипарезу и анартрии. При этом когнитивные функции остались практически невредимы, что было подтверждено тестированием по методике MMSE (mini mental state examination). Балл пациента составил 26 по шкале от 0 до 30 (чем выше балл — тем лучше умственные способности). Ввиду паралича достичь 30 баллов было физически невозможно. Пациент мог издавать некоторые звуки, но не мог говорить. Движение глаз было нормальным.

До проведения исследования пациент общался с помощью компьютерного интерфейса с набором текста, контролируемого остаточными движениями головы. Скорость набора составляла примерно правильных 5 слов (или правильных 18 символов) в минуту.

Для проведения тестов был использован нейронный имплант: электродная решетка (6.7 х 3.5 х 0.51 мм), на которой были размещены 128 плоских дискообразных электрода по решетчатой схеме 16 х 8 (расстояние между соседствующими электродами — 4 мм).

Массив электродов имплантировался на пиальную поверхность мозга в субдуральном пространстве сенсомоторной коры левого полушария. Размеры массива позволяли получить сигналы сразу от нескольких важных областей: левая прецентральная извилина, постцентральная извилина, задняя средняя лобная извилина и задняя нижняя лобная извилина. Чрескожный соединитель вводили экстракраниально на противоположную выпуклость черепа и прикрепляли к черепу. Этот соединитель передавал кортикальные сигналы от имплантированного электродного массива через доступные извне контакты к съемному цифровому каналу и кабелю, обеспечивая передачу полученной мозговой активности на компьютер.

Для сбора и обработки сигналов использовалась система цифровой обработки сигналов NeuroPort System. Сигналы от всех 128 электродов поступали на компьютер, где с помощью специального программного обеспечения проводился их анализ в реальном времени.

Само тестирование состояло из 50 сеансов на протяжении 81 недели. Участник выполнял задания двух типов: с отдельными словами и с предложениями. После проведения тестов было получено примерно 27 минут нейронной активности во время выполнения заданий за каждый сеанс. Во время теста участнику показывали слово (или предложение) на экране, после чего он должен был попытаться произнести его.

В заданиях с отдельными словами участнику был предоставлен набор из 50 бытовых слов на английском языке. Во время теста на экране показывалось одно из этих слов, затем следовала пауза в 2 секунды, а потом участник должен был попытаться его произнести. Суммарно было собрано данных по 9800 попыткам.

В заданиях с предложениями участник должен был создать последовательность слов из вышеописанного набора. В начале каждого теста участнику предоставлялось целевое предложение, которое он должен был воспроизвести максимально быстро без (важно) дополнительных усилий. Всего было собрано данных по 250 попыткам с предложениями.

Собранные в ходе вышеописанных тестов данные послужили базой знаний для создания моделей распознавания речи и классификации слов, которые использовали методы глубокого обучения для прогнозирования нейронной активности. Дабы распознавание речи по активности мозга работало в режиме реального времени дополнительно была использована модель естественного языка и декодер Витерби.

Изображение №1

Модель обнаружения речи обрабатывала каждый момент времени нейронной активности во время тестов и обнаруживала начала и флуктуации в активностях во время попыток произношения слов участником.

Для каждой обнаруженной попытки модель предсказывала набор вероятных слов путем обработки нейронной активности, охватывающей от 1 секунды до начала попытки произношения и до 3 секунд после обнаруженного начала попытки произношения слова. Прогнозируемая вероятность, связанная с каждым словом в наборе из 50 слов, количественно определяла, насколько вероятно, что участник пытался сказать то или иное слово во время обнаруженной попытки.

В английском языке слова в предложении имеют определенную последовательность. Модель учитывала данную лингвистическую структурированность для определения вероятности какого-либо слова вслед за предыдущим в последовательности (т.е. в предложении).

Заключительной частью моделирования был декодер Витерби — система, которая определяет наиболее вероятную последовательность слов с учетом вероятностей предсказанных слов из классификатора и вероятностей последовательности слов из модели естественного языка.

Таким образом в результирующей системе были задействованы сразу три модели: распознавание отдельных слов, распознавание предложений и совмещающий в себе элементы предыдущих двух декодер Витерби.

Результаты исследования

Во время декодирования предложений в реальном времени средний коэффициент ошибок в словах для 15 блоков предложений (каждый блок состоял из 10 сеансов) составил 60.5% без языкового моделирования и 25.6% с языковым моделированием (вверху на

2A

).

Изображение №2

Самый низкий коэффициент ошибок в словах, наблюдаемый для блока с одним предложением, составил 7.0%. Суммарно во всех 150 сеансах за 1 минуту декодировалось 15.2 слов либо 12.5 слов в минуту, если учитывать только совершенно правильные слова (по центру на 2A). В 92.0% сеансов количество обнаруженных слов было равно количеству слов в целевом предложении (снизу на 2A).

Во время тестов с использованием целевых предложений практически не наблюдалось ошибок. Использование модели естественного языка (2B) позволило верно декодировать слова в 80 из 150 сеансов. Также использование модели естественного языка во время декодирования улучшило производительность за счет исправления грамматически и семантически неправдоподобных последовательностей слов в предсказанных предложениях (2C).

Демонстрация работы системы: тесты со словами и с предложениями.

После тестов был проведен анализ данных из 9000 попыток произношения отдельных слов без использования модели естественного языка. Точность классификации составила 47.1% с использованием детектора речи и классификатора для прогнозирования целевого слова на основе корковой активности мозга. Точность меньше половины кажется недостаточной, однако точность системы без каких-либо разработанных моделей (т.е. контрольная модель) составила всего лишь 2%.

В общей сложности успешно обнаружено было 98% из всех попыток произношения слов: 191 — не обнаружены вообще, а 968 — ложно обнаружены (не были связаны с попытками произнести слова).

Дополнительно анализ данных показал, что электроды в самой вентральной части вентральной сенсомоторной коры способствовали классификации слов куда сильнее, чем электроды в дорсальной части вентральной сенсомоторной коры, которые больше влияли на способность распознавания речи ().

Изображение №3

При этом точность классификации была практически постоянной для всех целевых слов (средняя точность для 50 слов составила 47.1 ± 14.5%; 3B).

Как уже упоминалось ранее, сеансы тестирования проводились периодически в течение 81 недели. За счет столь длительного времени ученые могли проверить, насколько их система стабильна при продолжительном использовании. В результате система работала стабильно и не требовала каждодневной (или даже еженедельной) калибровки.

Изображение №4

Также был получен вполне ожидаемый эффект — система в конце периода тестирования была точнее, так как использовала набор данных по нейронной активности, собранный за весь этот период времени (график выше).

Для более детального ознакомления с нюансами исследования рекомендую заглянуть в доклад ученых и дополнительные материалы к нему.

Эпилог

В данном труде ученые создали систему, способную преобразовывать нейронную активность речевых областей коры головного мозга в реальные слова и предложения. Авторы исследования отмечают, что подобные труды уже проводились ранее, но тогда роль испытуемого играли пациенты, которые могли говорить и без интерфейса мозг\компьютер. В данном же случае в тестировании принимал участие парализованный мужчина с анартрией. В результате между нейронной активностью и фактическим произношением слов (т.е. попытками это сделать) существует некая задержка, усложняющая процесс декодирования и классификации слов. Однако ученым удалось решить эту проблему путем объединения в своей системе сразу трех моделей, способных распознавать отдельные слова и/или предложения, а также декодировать их, основываясь на имеющихся данных по нейронной активности. Другими словами, система использовала данные активности мозга для предсказания того или иного слова, дополнительно используя лингвистическую структуру предложений на английском языке для предсказания слов на основе предыдущих в цепочке.

В результате система позволила значительно повысить точность определения слов с 2% (без внедрения моделей) до 47.1%. Система, работающая в реальном времени за счет прямого подключения электродного массива к коре головного мозга, позволяла декодировать примерно 12 правильных слов в минуту. Эти показатели, хоть и кажутся не особо впечатляющими, все же не так малы, как можно подумать.

Одним из самых очевидных ограничений проведенного исследования является факт того, что в нем участвовал лишь один человек. В будущем авторы труда намерены расширить свое исследования, включив в него больше пациентов с разной степенью паралича и/или речевой дисфункцией. Мозг имеет определенные особенности которые варьируются от человека к человеку. Потому большее число испытуемых позволит лучше настроить систему и расширить ее базу данных по нейронной активности.

Разработанная методика пока еще на зачаточной стадии, однако в ней есть немалый потенциал. Когда речь заходит о том, чтобы дать людям с ограниченными речевыми возможностями инструменты, позволяющие им коммуницировать с родными и близкими, можно только пожелать ученым удачи в таком благом деле.

Благодарю за внимание, оставайтесь любопытствующими и хорошей всем рабочей недели, ребята. 🙂

Немного рекламы

Спасибо, что остаётесь с нами. Вам нравятся наши статьи? Хотите видеть больше интересных материалов? Поддержите нас, оформив заказ или порекомендовав знакомым,

облачные VPS для разработчиков от $4.99

,

уникальный аналог entry-level серверов, который был придуман нами для Вас:Вся правда о VPS (KVM) E5-2697 v3 (6 Cores) 10GB DDR4 480GB SSD 1Gbps от $19 или как правильно делить сервер?

(доступны варианты с RAID1 и RAID10, до 24 ядер и до 40GB DDR4).

Dell R730xd в 2 раза дешевле в дата-центре Maincubes Tier IV в Амстердаме? Только у нас 2 х Intel TetraDeca-Core Xeon 2x E5-2697v3 2.6GHz 14C 64GB DDR4 4x960GB SSD 1Gbps 100 ТВ от $199 в Нидерландах! Dell R420 — 2x E5-2430 2.2Ghz 6C 128GB DDR3 2x960GB SSD 1Gbps 100TB — от $99! Читайте о том Как построить инфраструктуру корп. класса c применением серверов Dell R730xd Е5-2650 v4 стоимостью 9000 евро за копейки?

ГБУ РО «Областная клиническая больница»

Областная клиническая больница – это крупнейшая больница Рязанской области. Мы развиваемся для того, чтобы рязанские пациенты получали медицинскую помощь на уровне столичных клиник в родном регионе. Для этого мы вкладываем много труда в повышение профессионализма всех сотрудников больницы. 

Уровень развития любой клиники в первую очередь определяет хирургическая служба. Поэтому мы внедряем высокие технологии в хирургию, развиваем малоинвазивные методики, которые позволяют проводить операции через небольшие разрезы. Это помогает пациентам быстрее восстановиться и вернуться к привычному образу жизни.  

Травматологи осваивают артроскопические операции на суставах, сложные операции на мозге проводят нейрохирурги, наши врачи дают шансы на жизнь пациентам с онкологическими заболеваниями, челюстно-лицевые хирурги проводят реконструктивные операции. Многие из этих оперативных вмешательств считаются топовыми даже в клиниках мирового уровня. 

Все манипуляции требуют от операционных бригад высокой квалификации. Поэтому мы постоянно перенимаем опыт коллег. Для внедрения медицинских инноваций с мастер-классами в нашу больницу приезжают высококлассные российские и зарубежные специалисты. Мы обучаемся у них, чтобы помогать рязанским пациентам. 

Для динамического наблюдения пациентов, своевременной госпитализации, оказания высококвалифицированной помощи при заболеваниях терапевтического профиля работают наши терапевтические отделения. Параклинические отделения обеспечивают точность и быстроту диагностики заболевания, эффективность лечения и восстановления здоровья пациентов. 

Коллектив Областной клинической больницы трудится для того, чтобы качество жизни рязанцев стало выше. Не стесняйтесь сообщать нам ваше мнение о работе врачей, медицинских сестер, персонала стационара и поликлиники. Все обращения пациентов приходят на личную почту главного врача ОКБ Андрея Юрьевича Карпунина. Вместе мы сделаем нашу работу еще лучше.

Уважаемые рязанцы!

Напоминаем вам, что в регионе введён режим повышенной готовности в связи с распространением коронавирусной инфекции. По возможности, оставайтесь дома. Если есть необходимость воспользоваться транспортом — соблюдайте правила. Держитесь на расстоянии не менее 2х метров друг от друга на остановках и в транспорте. Сохраняйте спокойствие. Помогите пожилым родственникам с закупкой продуктов.

Берегите себя и своих близких!

Как построить график функции


В этой статье разобран самый простой метод получения графика функции.


Суть метода: найти несколько точек принадлежащих графику, расставить их на координатной плоскости и соединить. Этот способ не лучший (лучший – построение графиков с помощью элементарных преобразований), но если вы все забыли или ничего не учили, то знайте, что у вас всегда есть план Б – возможность построить график по точкам.


Итак, алгоритм по шагам:


1. Представьте, как выглядит ваш график.


Строить гораздо легче, если вы понимаете, что примерно должны получить в итоге. Поэтому сначала посмотрите на функцию и представьте, как примерно должен выглядеть ее график. Все виды графиков элементарных функций вы можете найти здесь. Этот пункт желательный, но не обязательный.


Пример: Построить график функции \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)


Данная функция — гипербола с ветвями расположенными во второй и четвертой четверти. Её график выглядит как-то так:


2. Составьте таблицу точек, принадлежащих графику:


Теперь подставим разные значения «иксов» в функцию, и для каждого икса посчитаем значение «игрека».


Пример: \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)








при \(x=-1\)


\(y=-\)\(\frac{2}{-1}\)\(=2\)


при \(x=0\)


\(y\) — не существует (делить на ноль нельзя)


при \(x=1\)


\(y=-\)\(\frac{2}{1}\)\(=-2\)


при \(x=2\)


\(y=-\)\(\frac{2}{2}\)\(=-1\)


при \(x=3\)


\(y=-\)\(\frac{2}{3}\)


при \(x=4\)



\(y=-\)\(\frac{2}{4}\)\(=-\)\(\frac{1}{2}\)


Результат вычислений удобно представлять в виде таблицы, примерно такой:




\(x\)


\(-1\)


\(0\)


\(1\)


\(2\)


\(3\)


\(4\)


\(y\)


\(2\)


\(-\)


\(-2\)


\(-1\)


\(-\)\(\frac{2}{3}\)


\(-\)\(\frac{1}{2}\)


Как вы могли догадаться, полученные пары «икс» и «игрек» — это точки, лежащие на нашем графике.


4. Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки из таблицы.


Пример:



5. Если нужно, найдите еще несколько точек и нанесите их на координатную плоскость.


Пример:  Чтобы построить график мне не хватает нескольких точек из отрицательной части, а также рядом с осью игрек, поэтому я добавлю столбцы с   \(x=-2\), \(x=-4\), \(x=\)\(\frac{1}{2}\) и \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)






при \(x=-2\)


\(y=-\)\(\frac{2}{-2}\)\(=1\)


при \(x=-4\)


\(y=-\)\(\frac{2}{-4}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)


при \(x=\)\(\frac{1}{2}\)


\(y=-\)\(\frac{2}{\frac{1}{2}}\)\(=-2:\)\(\frac{1}{2}\)\(=-2 \cdot 2=-4\)


при \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)


\(y=-\)\(\frac{2}{-\frac{1}{2}}\)\(=-2:(-\)\(\frac{1}{2}\)\()\)\(=-2 \cdot (-2)=4\)




\(x\)


\(-1\)


\(0\)


\(1\)


\(2\)


\(3\)


\(4\)


\(-2\)


\(-4\)


\(\frac{1}{2}\)


\(-\)\(\frac{1}{2}\)


\(y\)


\(2\)


\(-\)


\(-2\)


\(-1\)


\(-\)\(\frac{2}{3}\)


\(-\)\(\frac{1}{2}\)


\(1\)


\(\frac{1}{2}\)


\(-4\)


\(4\)


6. Постройте график


Теперь аккуратно и плавно соединяем точки.


Готово!

Скачать статью

Графические линейные функции | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Построение линейной функции путем нанесения точек
  • Постройте линейную функцию, используя наклон и точку пересечения оси Y
  • Построение линейной функции с помощью преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Есть три основных метода построения графиков линейных функций.Первый заключается в нанесении точек, а затем в проведении линии через точки. Второй — с использованием точки пересечения y- и наклона. Третий — применение преобразований к тождественной функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Построение графика функции по точкам

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию по этим входным значениям и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат.Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [latex] f \ left (x \ right) = 2x [/ latex], мы можем использовать входные значения 1 и 2. Оценка функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4).Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не попадают на одну линию, мы знаем, что допустили ошибку.

Как сделать: для данной линейной функции построить график с помощью точек.

  1. Выберите минимум два входных значения.
  2. Оцените функцию для каждого входного значения.
  3. Используйте полученные выходные значения для определения пар координат.
  4. Нанесите пары координат на сетку.
  5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем в качестве входных значений числа, кратные 3. Мы выберем 0, 3 и 6.

Оцените функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для определения пар координат.

[латекс] \ begin {array} {llllll} x = 0 & & f \ left (0 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (0 \ right) + 5 = 5 \ Rightarrow \ left ( 0,5 \ right) \\ x = 3 & & f \ left (3 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (3 \ right) + 5 = 3 \ Rightarrow \ left (3,3 \ вправо) \\ x = 6 & & f \ left (6 \ right) = — \ frac {2} {3} \ left (6 \ right) + 5 = 1 \ Rightarrow \ left (6,1 \ right) \ end {array} [/ latex]

Постройте пары координат и проведите линию через точки.На приведенном ниже графике показана функция [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex].

Анализ решения

График функции представляет собой линию, как и ожидалось для линейной функции. Кроме того, график имеет наклон вниз, что указывает на отрицательный наклон. Это также ожидается от отрицательной постоянной скорости изменения уравнения для функции.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {3} {4} x + 6 [/ latex] путем нанесения точек.

Показать решение

Построение линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графиков линейных функций — использование конкретных характеристик функции, а не точек.Первая характеристика — это точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить [latex] x = 0 [/ latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее уклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов.Другой способ думать о наклоне — разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или бег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с точкой пересечения y-, так и с наклоном в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 [/ latex]

Уклон [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклоняться вверх слева направо.Пересечение y- — это точка на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и пересечение y . Мы можем начать построение графика с построения точки (0, 1). Мы знаем, что уклон возрастает над пробегом, [latex] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex]. В нашем примере мы имеем [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], что означает, что подъем равен 1, а диапазон равен 2. Начиная с нашего интервала y (0, 1) , мы можем подняться на 1 и затем пробежать 2 или пробежать 2 и затем подняться на 1.Мы повторяем, пока не получим несколько точек, а затем проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]

  • b — пересечение графика y и указывает точку (0, b ), в которой график пересекает ось y .
  • м — это наклон линии, указывающий вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек.Напомним формулу наклона:

[латекс] m = \ frac {\ text {изменение на выходе (подъем)}} {\ text {изменение на входе (запуск)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y} _ {2} — {y} _ {1}} {{x} _ {2} — {x} _ {1}} [/ latex]

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ?

Да. Все линейные функции пересекают ось Y и, следовательно, пересекаются по оси Y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения оси y.Имейте в виду, что вертикальная линия — единственная линия, которая не является функцией.)

Практическое руководство. Получив уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точку пересечения

y и наклон.

  1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти точку пересечения y-.
  2. Определите уклон.
  3. Постройте точку, представленную точкой пересечения y-.
  4. Используйте [latex] \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} [/ latex], чтобы определить еще как минимум две точки на линии.
  5. Проведите линию, проходящую через точки.

Пример: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона

График [латекс] f \ left (x \ right) = — \ frac {2} {3} x + 5 [/ latex] с использованием точки пересечения y- и наклона.

Показать решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересечет ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии составляет [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex].Это говорит нам о том, что для каждого вертикального уменьшения «подъема» на [латекс] –2 [/ латекс] единиц, «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив точку пересечения y . От начального значения (0, 5) мы перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Анализ решения

График наклонен вниз слева направо, что означает, что он имеет отрицательный наклон, как и ожидалось.

Попробуйте

Найдите точку на графике, который мы нарисовали в примере: построение графика с использованием точки пересечения y и угла наклона, которая имеет отрицательное значение x .

Показать решение

Возможные ответы: [латекс] \ left (-3,7 \ right) [/ latex], [latex] \ left (-6,9 \ right) [/ latex] или [latex] \ left (-9, 11 \ справа) [/ латекс].

Построение линейной функции с помощью преобразований

Другой вариант построения графиков — использовать преобразования для функции идентичности [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex].Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функция также может быть преобразована с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx [/ latex], m действует как вертикальное растяжение или сжатие функции идентичности. Когда м отрицательное, также наблюдается вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex] на m растягивает график f на коэффициент m единиц, если m > 1, и сжимает график f с коэффициентом м единиц, если 0 < м <1.Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче наклон.

Вертикальные растяжения, сжатия и отражения на функции [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].

Вертикальный сдвиг

В [latex] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что добавление значения b к уравнению [latex] f \ left (x \ right) = x [/ latex] сдвигает график f всего на b единиц вверх, если b равно положительный и | b | единиц вниз, если значение b отрицательное.

Этот график иллюстрирует вертикальные сдвиги функции [латекс] f \ влево (x \ вправо) = x [/ латекс].

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ определения различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построить график функций такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Практическое руководство. Учитывая уравнение линейной функции, используйте преобразования, чтобы построить график линейной функции в виде [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex].

  1. График [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ latex].
  2. Растянуть или сжать график по вертикали в м .
  3. Сдвинуть график вверх или вниз b единиц.

Пример: построение графиков с использованием преобразований

График [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex] с использованием преобразований.

Показать решение

Уравнение для функции показывает, что [latex] m = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому функция идентичности сжимается по вертикали посредством [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].Уравнение для функции также показывает, что [latex] b = -3 [/ latex], поэтому функция идентичности сдвинута по вертикали на 3 единицы.

Сначала изобразите функцию идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Функция [latex] y = x [/ latex] сжимается с коэффициентом [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].

Затем покажите вертикальный сдвиг.

Функция [latex] y = \ frac {1} {2} x [/ latex] сдвинута на 3 единицы вниз.

Попробуйте

График [латекс] f \ left (x \ right) = 4 + 2x [/ latex], с использованием преобразований.

Показать решение

Вопросы и ответы

В примере: построение графиков с помощью преобразований, могли бы мы изобразить график, изменив порядок преобразований на противоположный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на заданном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку операций, пусть на входе будет 2.2-х-6

Уравнение y = 2x 2 — x — 6

a) Чтобы найти точку пересечения y, подставьте x = 0 в y = 2x 2 — x — 6.

у = 2 (0) 2 -0-6

y перехват — 6.

b) Чтобы найти точку пересечения с x, подставьте y = 0 в y = 2x 2 — x — 6

2x 2 — x — 6 = 0

2x 2 — 4x + 3x — 6 = 0

2x (x — 2) + 3 (x — 2) = 0

(x — 2) (2x + 3) = 0

x — 2 = 0 и 2x = — 3

х = 2 и х = — 3/2

х перехватов 2 и -3/2.

c) y = 2x 2 — x — 6

Сравните это с y = ax 2 + bx + c

а = 2, б = — 1, в = — 6

Найти вершину оси симметрии x = — b / 2a

х = — (- 1) / 2 (2)

х = 1/4

Чтобы найти координату y вершины, подставьте x = 1/4 в y = 2x 2 — x — 6.

у = 2 (1/4) 2 — (1/4) — 6

у = 1/8 — 1/4 — 6

у = (1-2-48) / 8

у = — 49/8

Вершина равна (x, y) = (1/4, -49/8) или (0.25, — 6,125).

График

Выберите случайные значения для y и найдите соответствующие значения для x .

х

y = 2x 2 — x — 6

(х, у)

1

у = 2 (1) 2 -1-6

(1, — 5)

— 1

у = 2 (-1) 2 + 1-6

(-1, — 3)

— 2

у = 2 (-2) 2 + 2-6

(-2, 4)

2.5

у = 2 (2,5) 2 — 2,5 — 6

(7, — 3)

1. Нарисуйте координатную плоскость.

2. Постройте пересечения осей симметрии x, y и координаты точек, найденных в таблице.

3. Затем нарисуйте график, соединив точки плавной кривой.

Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) — Mathplanet

Линейное уравнение — это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию.График линейного уравнения — это набор точек на координатной плоскости, которые все являются решениями уравнения. Если все переменные представляют собой действительные числа, можно изобразить уравнение, нанеся на график достаточно точек, чтобы распознать шаблон, а затем соединить точки, чтобы включить все точки.

Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.


Пример

Постройте функцию y = x + 2

Начните с выбора пары значений для x, например. -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислите соответствующие значения y.

х Y = х + 2 Заказанная пара
-2 -2 + 2 = 0 (-2, 0)
-1 -1 + 2 = 1 (-1, 1)
0 0 + 2 = 2 (0, 2)
1 1 + 2 = 3 (1, 3)
2 2 + 2 = 4 (2, 4)

Теперь вы можете просто построить пять упорядоченных пар в координатной плоскости

На данный момент это пример дискретной функции.Дискретная функция состоит из изолированных точек.

Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получаем противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.

Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка, в которой график пересекает ось x, называется отрезком x, а точка, в которой график пересекает ось y, называется отрезком y.Пересечение по оси x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а точка пересечения по оси y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).

Стандартная форма линейного уравнения —

$$ Ax + By = C, \: \: A, B \ neq 0 $$

Прежде чем вы сможете построить линейное уравнение в его стандартной форме, вы сначала должны решить уравнение относительно y.

$$ 2y-4x = 8 $$

$$ 2y-4x \, {\ color {green} {+ \, 4x}} = 8 \, {\ color {green} {+ \, 4x}} $$

$$ 2y = 4x + 8 $$

$$ \ frac {2y} {{\ color {green} 2}} = \ frac {4x} {{\ color {green} 2}} + \ frac {8} {{\ color {green} 2}} $

$$ y = 2x + 4 $$

Отсюда вы можете построить уравнение, как в примере выше.

График y = a представляет собой горизонтальную линию, где линия проходит через точку (0, a)

В то время как график x = a представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку (a, 0)


Видеоурок

Постройте график линейного уравнения y = 3x — 2

Mathscene — Функции 1 — Урок 1

Mathscene — Функции 1 — Урок 1

2007 Rasmus ehf и Jhann sak

Функции
Я

Печать

Урок 1

Функции и графики


Пример 1

У нас есть уравнение
у = 2х + 4.

Сначала делаем таблицу из
values ​​вычисление значений y из выбранных нами значений x. Когда мы замышляем
эти точки в системе координат мы видим, что они лежат на прямой линии. Мы присоединяемся
точки вместе.

х

у = 2х + 4

-2 2 (-2) +
4 = 0
-1 2 (-1) +
4 = 2
0 20 + 4
= 4
1 21 + 4
= 6
2 22 + 4
= 8

Это очень просто сделать
с помощью графического калькулятора.Если у нас есть Casio, мы выбираем ТАБЛИЦА в меню.

Затем мы пишем 2x + 4 в
Открывается функциональное меню таблицы. Y1 = 2x + 4 теперь на экране

Теперь мы должны решить, что x
значения, которые мы хотим использовать. Для этого выбираем RANGE, нажимая F5. Следующие
появляется экран:

Мы решили начать с
−2 и заканчивается на 2. Шаг сообщает нам, на какие шаги мы хотим поднять x.В нашем
случае оставим его равным 1 и нажмем EXE.

Следующий набор действий
выполняет это:

Это возвращает нас к
предыдущий экран, где мы выбираем ТАБЛИЦА, нажимая F6. Таблица значений затем
появляется.

Мы можем нарисовать график
выбирая G-CON (F5).

Также можно использовать
программа EXCEL для составления таблицы значений и построения графика.

В EXCEL вводим
числа −2 и −1 в ячейках A2
и A3 (см. таблицу EXCEL выше), мы можем автоматически заполнить оставшуюся часть столбца
A, заблокировав A2 и A3, а затем скопировав.Формула в B2: = 2A2 + 4, что является
скопировал.

Мы можем нарисовать график
блокируя числа в двух столбцах, а затем нажимая кнопку графика
(1). Выберем xy-scatter (2) и
затем выберите один из связанных графиков (3) перед нажатием кнопки Finish (4).
Затем мы можем внести любые изменения во внешний вид графика, указав
наведите указатель мыши на элемент, который нужно изменить, и нажмите правую кнопку мыши.

А теперь давайте посмотрим еще на
Примеры.


Пример
2

Составьте таблицу значений и нарисуйте следующие
графики

График
у
= х
x г.
= х
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
График
y =
2
x г.
= 2
-2 2
-1 2
0 2
1 2
2 2
График y = x 2
x г.
= 2
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
График y = 2 x
x г.
= 2 x

-2
-1
0 1
1 2
2 4

Теперь мы рассмотрим еще несколько примеров, которые
нельзя поступить таким же образом.В этих примерах формула не
записывается как y = ….. и поэтому мы не можем использовать табличную функцию в нашем
калькулятор.


Пример
3

х = 2

Единственное условие здесь — x принимает значение
2. Когда мы составляем таблицу значений, мы всегда должны иметь x равным 2. y может принимать
любое значение, мы выбрали −2, −1, 0, 1 og 2. Здесь вы можете увидеть наши
таблица значений.

График
х = 2
х
= 2
y
2 -2
2 -1
2 0
2 1
2 2

Получится вертикальная линия, проходящая через точку 2
по оси x.


Пример
4

Теперь давайте рассмотрим взаимосвязь y 2
= х.

Когда мы решаем это уравнение относительно y, мы получаем два
ответы.

у = х.

Другими словами, есть два значения y для каждого
x, который мы выбираем. Также мы ограничены выбором только положительных значений для x как
мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Ниже
вы можете увидеть таблицу значений и график.

График
у = х
x y
-1 Нет
в наличии
0 0
1 1
2 2
3 3

Пример
5

Теперь посмотрим на уравнение x 2 + y 2
= 4.

Решение для y:

х 2
+ у 2 = 4

л 2
= 4 — х 2

Снова мы получаем два значения y для каждого значения x, которое
мы выбираем. Мы также обнаружили, что мы не можем выбрать любые значения x вне интервала
[−2, 2], потому что тогда мы получаем отрицательное число под
квадратный корень.

Таблица значений и график показаны ниже.

Когда мы наносим точки, мы видим, что все они лгут
на окружности с центром в начале координат (0, 0).Радиус круга
составляет 2 единицы.

Этот результат легко понять, потому что
х 2 + у 2
= 4 на самом деле является правилом Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой.
длины 2, а другие стороны длины x и y. Эти примеры показывают, что некоторые
уравнения, которые дают правило, связывающее x и y, имеют только одно значение y для каждого x
которые мы выбираем, и некоторые уравнения имеют более одного y для каждого x.

Уравнения, связывающие один y с одним x, очень
важны в науках и называются ФУНКЦИЯМИ.Мы говорим, что y — это
функция x и напишите y = f (x). Мы читаем это как y равно f of x

Когда
мы смотрим на графики уравнений, которые
функции мы видим, что вертикальные линии никогда не разрезают график более одного раза.

Мы увидим это, если посмотрим на графики в
примеры мы уже проработали.

Красная вертикальная линия отсекает графики 2, 3 и 4 дюйма
два или более места, показывающих нам, что это не графики функций.

В примере 1 любую вертикальную линию мы
draw обрезает график только один раз. Это график функции с уравнением y
= х 2 .

А также записать это уравнение как y = x 2
мы можем записать это как f (x) = x 2
где y = f (x)
. Мы используем f (x) вместо y, чтобы показать, что
значение y зависит от значения x и является функцией x.

В этом примере, если мы выберем x = 2, мы можем
вычислить y по формуле y
= 2 2 = 4.

На функциональном языке мы говорим, что f = 2 равно 4.

Используя обозначение функции, мы можем записать f (2) = 2 2
= 4.


Пример
6

Учитывая функцию

Найти
f (0), f (1) и f (3)

Ставим
значения 0, 1 и 3 в уравнение вместо x и вычислить
значение функции (значение y) в каждом случае.


Это

невозможно

Мы можем вводить как буквы, так и цифры в
функции.

Если
f (x) = x 3 + x 2
тогда например:

f (a) = a 3
+ 2

f ( 2 )
= 6 + 4

f (а + 1) = (а + 1) 3 + (а + 1) 2 .


Пример
7

Учитывая функцию f (x) = x 2 , найдите f (a), f (2a), f (a + 1) и f (a + b).

f (а) = а 2

f (2a) = 4a 2

f (a + 1) = (a + 1) 2 = a 2
+ 2a + 1

f (a + b) = (a + b) 2 = a 2
+ 2ab + b 2


Попробуйте пройти тест 1 по функциям I.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Графические логарифмические функции

Функция

у

знак равно

бревно

б

Икс

является обратной функцией

экспоненциальная функция

у

знак равно

б

Икс

.

Рассмотрим функцию

у

знак равно

3

Икс

.Это можно изобразить как:

График обратной функции любой функции — это отражение графика функции относительно линии

у

знак равно

Икс

.

Итак, график логарифмической функции

у

знак равно

бревно

3

(

Икс

)

что является обратной функцией

у

знак равно

3

Икс

является отражением приведенного выше графика относительно линии

у

знак равно

Икс

.

Икс

1

9

1

3

1

3

9

27

81 год

у

знак равно

бревно

3

Икс

2

1

0

1

2

3

4

Область определения функции — это набор всех положительных действительных чисел.

Если база не записана, предположим, что журнал является базовым.

10

.

Икс

1

1000

1

100

1

10

1

10

100

1000

у

знак равно

бревно

Икс

3

2

1

0

1

2

3

Логарифмическая функция,

у

знак равно

бревно

б

(

Икс

)

,

можно сдвинуть

k

единиц по вертикали и

час

единиц по горизонтали с уравнением

у

знак равно

бревно

б

(

Икс

+

час

)

+

k

.


Вертикальный сдвиг

Если

k

>

0

, график сдвинется вверх.

Если

k

< 0 , график сместится вниз.


Горизонтальный сдвиг

Если

час

>

0

, график сдвинется влево.

Если

час

< 0 , график сдвинется вправо.

Рассмотрим логарифмическую функцию

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

3

]

.

Это можно получить, переведя родительский граф

у

знак равно

бревно

2

(

Икс

)

Пару раз.

Рассмотрим график функции

у

знак равно

бревно

2

(

Икс

)

.

С

час

знак равно

1

,

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

]

перевод

у

знак равно

бревно

2

(

Икс

)

на одну единицу влево.

Сейчас же,

k

знак равно

3

.График

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

]

будет перемещен

3

единицы вниз, чтобы получить

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

]

3

.

Вы можете вспомнить, что логарифмические функции определены только для положительных действительных чисел.Это связано с тем, что для отрицательных значений соответствующее экспоненциальное уравнение не имеет решения. Например,

3

Икс

знак равно

1

не имеет реального решения, поэтому

бревно

3

(

1

)

не определено.

Итак, как насчет такой функции, как

у

знак равно

бревно

4

(

Икс

)

?

Это определено только для отрицательных значений

Икс

.

Найдите значения функции для нескольких отрицательных значений

Икс

. Для упрощения расчета вы можете использовать экспоненциальную форму уравнения,

4

у

знак равно

Икс

.

Икс

1

2

4

8

16

32

у

знак равно

бревно

4

(

Икс

)

или

4

у

знак равно

Икс

0

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

Постройте точки и соедините их плавной кривой.

Вы можете видеть, что график является отражением графика функции

у

знак равно

бревно

4

(

Икс

)

о

у

-ось.

Что означает производная первого порядка? Ну, он говорит нам несколько вещей, где функция …

Краткий обзор

  • Первая производная в первую очередь говорит нам о направлении движения функции.То есть он сообщает нам, увеличивается или уменьшается функция.
  • Первую производную можно интерпретировать как мгновенную скорость изменения.
  • Первую производную также можно интерпретировать как наклон касательной.

Производная как наклон касательной линии

Напомним, что определение производного инструмента —

$$
\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {(x + h) — x}.$$

Без ограничения эта дробь вычисляет наклон линии, соединяющей две точки функции (см. Левый график ниже).

Единственное, что делает лимит, — это перемещать две точки ближе друг к другу, пока они не окажутся точно друг над другом. Но фундаментальный расчет — это все же уклон. Таким образом, конечный результат — это наклон линии, касательной к кривой в точке $$ (x, f (x)) $$.2-8 = 7
$$

Отвечать

Касательная линия в точке $$ x = 1 $$ имеет наклон $$ m = 7 $$.

Увеличение и уменьшение

Знак производной в определенной точке скажет нам, увеличивается или уменьшается функция вблизи этой точки. Это легко понять, если мы подумаем о производной как о наклоне касательной.Как показано на двух графиках ниже, когда наклон касательной линии положительный, функция будет увеличиваться в этой точке. Точно так же, когда наклон касательной отрицательный, функция будет уменьшаться.

Мы всегда читаем графики слева направо. Так сказать, функция увеличивается, это означает, что, когда мы смотрим слева направо, значения функции становятся больше — выше по оси $$ y $$ -.

Точно так же значения $$ y $$ — уменьшающейся функции становятся меньше, если мы смотрим слева направо.2 + х — 12) = 6 (х + 4) (х-3)
$$

Шаг 2

Нарисуйте быстрый график производной.

Шаг 3

Интерпретируйте график.

Мы знаем, что когда производная положительна, функция возрастает. График выше показывает, что производная положительна (т.е.е., над осью $$ x $$ -), когда $$ x и $$ x> 3 $$.

Мы также можем видеть, что производная отрицательна (ниже оси $$ x $$ -), когда $$ — 4

Отвечать

Функция возрастает на интервалах от $$ (- \ infty, -4) \ cup (3, \ infty) $$. Точно так же функция убывает в интервале $$ (- 4,3) $$.

График функции показан ниже для справки.

Дериватив как скорость изменения

Предположим, что $$ D (t) $$ представляет собой расстояние бегуна от стартовой линии. Тогда производная $$ D (t) $$ определяется выражением

$$ D ‘(t) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {D (t + h) — D (t)} {(t + h) -t} $$

Без ограничения дробь представляет

$$
\ begin {align *}
\ frac {D (t + h) — D (t)} {(t + h) -t} & = \ frac {\ mbox {Расстояние между двумя временами}} {\ mbox {Прошедшее время}} \ \ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение расстояния}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt]
& = \ mbox {Средняя скорость изменения расстояния во времени} \\ [6pt]
& = \ mbox {Средняя скорость}
\ end {выровнять *}
$$

Когда мы применяем ограничение, прошедшее время приближается к нулю.Таким образом, значение предела — это скорость в конкретный момент времени. Это все еще скорость изменения, но теперь она происходит мгновенно.

Пример 3

Предположим, что расстояние бегуна от стартовой линии можно описать функцией $$ D (t) = 10 \ sqrt {t} + 5 $$ для всех значений $$ t \ in (0,16) $$, где $ $ t $$ в секундах, а расстояние в метрах. Какова скорость бегуна при $$ t = 9 $$?

Шаг 1

Найдите первую производную.{-1/2} = \ frac 5 {\ sqrt t}
$$

Шаг 2

Оцените $$ D ‘(9) $$.

$$
D ‘(9) = \ frac 5 {\ sqrt 9} = \ frac 5 3
$$

Шаг 3

Интерпретируйте числовое значение.

Поскольку производная положительна, мы знаем, что функция возрастает.Это означает, что расстояние бегуна от стартовой линии увеличивается, поэтому бегун удаляется от стартовой линии.

Значение производной говорит нам, насколько быстро движется бегун. Знак производной говорит нам, в каком направлении движется бегун.

Отвечать

Через 9 секунд бегун удаляется от линии старта со скоростью $$ \ frac 5 3 \ приблизительно 1.{th} $$ час работы. Что означает уравнение $$ B ‘(4) = 25 $$ с точки зрения продаж и времени?

Шаг 1

Определите единицы производной.

$$
B ‘(t) = \ frac {dB} {dt} = \ frac {\ mbox {Изменение количества книг}} {\ mbox {Изменение во времени}} = \ frac {\ mbox {Количество книг}} {\ mbox {часы}}
$$

Единицами производного финансового инструмента являются: книги, проданные за час.

Отвечать

$$ B ‘(4) = 25 $$ означает, что в течение 4-го рабочего часа книги продавались со скоростью 25 книг в час.

Практические задачи

Проблема 1

Предположим, что $$ f (x) = \ sin x $$.Найдите наклон касательной в точке $$ x = \ frac \ pi 3 $$

Покажи ответ

Шаг 1

Найдите первую производную.

Шаг 2

Вычислить $$ f ‘\ left (\ frac \ pi 3 \ right) $$.

Шаг 2 Ответ

$$
f ‘\ left (\ frac \ pi 3 \ right) = \ cos \ frac \ pi 3 = \ frac 1 2
$$

Проблема 2

Предположим, что $$ f (x) = 5e ^ {3x} $$. 2 — 6x + 3 $$.Найдите интервалы, в течение которых $$ f $$ увеличивается, и интервалы, в течение которых он уменьшается.

Покажи ответ

Шаг 1

Найдите первую производную.

Шаг 1 Ответ

$$
f ‘(x) = \ frac 1 2 x — 6
$$

Шаг 2

Определите, где $$ f ‘(x)> 0 $$.

Шаг 2 Ответ

$$
\ begin {align *}
f ‘(x) &> 0 \\ [6pt]
\ frac 1 2 x — 6 &> 0 \\ [6pt]
\ frac 1 2 x &> 6 \\ [6pt]
x &> 12
\ end {выровнять *}
$$

Поскольку производная линейна и положительна, когда $$ x> 12 $$, мы знаем, что производная будет отрицательной, когда $$ x. 2 (4x-5)
\ end {выровнять *}
$$

Шаг 3

Изучите график $$ f ‘(x) $$.

Шаг 3 Ответ

На графике видно, что производная отрицательна (под осью $$ x $$), когда $$ x. Мы также можем видеть, что производная положительна (над осью $$ x $$ -), когда $$ \ frac 5 4 и $$ x> 2 $$.

Отвечать

Покажи ответ

Функция убывает в интервале $$ (- \ infty, 5/4) $$. 2 $$ представляет собой высоту самолета (в тысячах футов) после $$ t $$ часов полета.Найдите $$ A ‘(3) $$ и интерпретируйте его контекстно.

Покажи ответ

Шаг 2

Шаг 2 Ответ

$$
А ‘(3) = 8-4 (3) = 8-12 = -4
$$

Шаг 3

Определите единицы производной.

Шаг 3 Ответ

$$
\ begin {align *}
A ‘(t) & = \ frac {dA} {dt} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение высоты}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение в тысячах футов}} {\ mbox {Изменение в часах}} \\ [6pt]
& \ Rightarrow \ mbox {тысячи футов в час}
\ end {выровнять *}
$$

Шаг 4

Расшифровка знака производной.

Шаг 4 Ответ

Поскольку производная отрицательна, мы знаем, что функция (высота) убывает. Значит, самолет должен снижаться.

Отвечать

Покажи ответ

После 3 часов полета самолет снижается со скоростью 4000 футов в час.2 + 13x — 12 $$ представляет собой прибыль, полученную конкретной компанией (в тысячах долларов) от продажи $$ x $$ тонн товаров. Найдите $$ P ‘(15) $$ и интерпретируйте его контекстно.

Покажи ответ

Шаг 2

Шаг 2 Ответ

$$
П ‘(15) = -2 (15) + 13 = 13 — 30 = -17
$$

Шаг 3

Определите единицы производной.

Шаг 3 Ответ

$$
\ begin {align *}
P ‘(x) & = \ frac {dP} {dx} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение прибыли}} {\ mbox {Изменение объема продаж}} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {тысячи долларов}} {\ mbox {тонны товаров}} \\ [6pt]
& = \ mbox {тысяча долларов за тонну товара}
\ end {выровнять *}
$$

Шаг 4

Расшифровка знака производной.

Шаг 4 Ответ

Поскольку производная отрицательна, функция (прибыль) убывает.

Отвечать

Покажи ответ

При продажах на уровне 15 тонн прибыль уменьшается на 17 тысяч долларов за тонну.То есть, если бы продажи увеличились, можно было бы ожидать, что прибыль упадет с такой скоростью.

Примечание: в бизнесе больше продаж не обязательно означает большую прибыль. Если затраты слишком высоки, производство большего количества товаров для продажи может стоить больше, чем деньги, полученные от продажи товаров.

Проблема 7

Предположим, что $$ B (t) $$ представляет собой количество сахара в кровотоке человека (в миллиграммах сахара на децилитр крови) через $$ t $$ минут после еды.Объясните контекстуально, что означает $$ B ‘(30) = -8 $$.

Покажи ответ

Шаг 1

Определите единицы производной.

Шаг 1 Ответ

$$
\ begin {align *}
B ‘(t) & = \ frac {dB} {dt} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение уровня сахара в крови}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение в миллиграммах на децилитр}} {\ mbox {Изменение в минутах}} \\ [6pt]
& = \ mbox {миллиграммы на децилитр в минуту}
\ end {выровнять *}
$$

Шаг 2

Расшифровка знака производной.

Шаг 2 Ответ

Поскольку производная отрицательна, функция (уровень сахара в крови) уменьшается.

Отвечать

Покажи ответ

Через 30 минут уровень сахара в крови снижается со скоростью 8 миллиграммов на децилитр в минуту.

Проблема 8

Предположим, что $$ L (t) $$ представляет собой длину ногтя (в мм) через $$ t $$ дней после того, как он был обрезан.Объясните контекстуально, что означает $$ L ‘(6)> 0,08 $$.

Покажи ответ

Шаг 1

Укажите единицы производного финансового инструмента.

Шаг 1 Ответ

$$
\ begin {align *}
L ‘(t) & = \ frac {dL} {dt} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение длины}} {\ mbox {Изменение во времени}} \\ [6pt]
& = \ frac {\ mbox {Изменение в мм}} {\ mbox {Изменение в днях}} \\ [6pt]
& = \ mbox {миллиметры в день}
\ end {выровнять *}
$$

Шаг 2

Расшифровка знака производной.

Шаг 2 Ответ

Поскольку производная положительна, функция (длина) возрастает.

Отвечать

Покажи ответ

Через шесть дней после стрижки ноготь растет быстрее нуля.08 миллиметров в день.

Проблема 9

Предположим, что $$ D (t) $$ представляет собой расстояние, на которое конкретный человек находится от своего дома в $$ t $$ минут после 8 утра.Напишите уравнение, которое означает: «В 8:30 этот человек приближался к своему дому со скоростью 400 футов в минуту».

Покажи ответ

Шаг 1

Определите значение $$ t $$ в измеряемой точке.

Шаг 1 Ответ

Поскольку $$ t $$ измеряет время в минутах с 8 утра, интересующее нас время составляет $$ t = 30 $$.

Шаг 2

Определите стоимость производной.

Шаг 2 Ответ

Поскольку расстояние до человека изменяется со скоростью 400 футов в минуту, значение производной равно 400.

Шаг 3

Определите знак производной.

Шаг 3 Ответ

Поскольку расстояние от дома уменьшается, производная должна быть отрицательной.

Отвечать

Покажи ответ

$$
\ Displaystyle D ‘(30) = -400
$$

Проблема 10

Предположим, что $$ V (t) $$ представляет собой напряжение в конкретной электрической цепи через $$ t $$ секунд после включения цепи.Напишите неравенство, означающее: «Через шесть секунд после включения цепи напряжение увеличивалось со скоростью 0,04 вольта в секунду».

Покажи ответ

Шаг 1

Определите значение $$ t $$ в измеряемый момент времени.

Шаг 1 Ответ

Поскольку мы измеряем напряжение через шесть секунд после включения цепи, $$ t = 6 $$.

Шаг 2

Определите стоимость производной.

Шаг 2 Ответ

Поскольку напряжение увеличивается со скоростью 0.04 вольта в секунду, значение производной 0,04.

Шаг 3

Определите знак производной.

Шаг 3 Ответ

Поскольку напряжение увеличивается, производная положительна.

Ошибка: Нажмите «Не робот» и повторите попытку.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.