Как строить сечения призмы: Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

Содержание

Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

Задача 1. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 1. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую , принадлежащую плоскости сечения. Благодаря тому, что точки и лежат в основании призмы, прямая также принадлежит плоскости основания, а значит, будет пересекаться с другими прямыми, также лежащими в этой плоскости. Тогда можно провести прямую , и определить точку пересечения и – . Точка принадлежит плоскости грани , поскольку прямая принадлежит ей.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и можно соединить прямой. Прямая пересечет ребро в точке . Проводим прямую в плоскости основания и находим ее пересечение с прямой – точку .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через точки и проводим прямую. Она принадлежит плоскости грани , поэтому обязательно пересечется с прямой этой плоскости – в точке . Точка лежит “под” призмой, ниже ее основания. Точка , благодаря принадлежности прямой , также принадлежит и плоскости грани , а в этой плоскости у нас имеется точка – точка .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Следовательно, можно соединить точки и прямой. Эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка принадлежит прямой , а следовательно, лежит в плоскости грани , таким образом, ее можно соединить с точкой этой же плоскости прямой . Эта прямая пересечет ребро в точке . Для дальнейшего построения нам нужны точки в плоскости верхней грани призмы. Добудем их. Продлим прямую до пересечения с прямой . Отметим точку .

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Проведем прямую , принадлежащую грани , и найдем точку ее пересечения с прямой – точку . Тогда точки и принадлежат плоскости верхней грани (за счет принадлежности прямым этой плоскости) и их можно соединять прямой.

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Находим точки пересечения прямой с ребрами и – точки и .

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончание построения

 

Задача 2. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проведем прямую . Она принадлежит секущей плоскости. Также проведем проекцию этой прямой на плоскость нижнего основания призмы – прямую . Точка их пересечения одновременно принадлежит секущей плоскости и плоскости нижнего основания призмы. Обозначим ее .

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично поступим с точками и : проводим прямую и ее проекцию в плоскости нижнего основания. Их пересечение – точка секущей плоскости , одновременно лежащая в нижнем основании.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Имея две точки в плоскости нижнего основания, проведем через них прямую , точки которой принадлежат секущей плоскости.

Проведем прямую . Она лежит в плоскости основания, но одновременно – в плоскости боковой грани, поэтому ее точки принадлежат этой боковой грани. Точка пересечения прямых и , таким образом, принадлежит плоскости боковой грани призмы и плоскости сечения.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Проводим прямую в плоскости боковой грани и отыскиваем точку пересечения ею ребра – точку .

Осталось немного: найти точку плоскости сечения на ребре , и пару точек в плоскости основания.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямые и в плоскости основания. Они пересекут прямую секущей плоскости в точках и .

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Точки и принадлежат плоскости грани , проведем через них прямую. Найдем точку, где эта прямая пересечет ребро – точку . Точки и лежат в плоскости грани . Проводим через них прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – .

 

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки отрезками.

Задача 2. Шаг 7.

Окончательный вид построенного сечения:

Окончательный вид построенного сечения

 

Задача 3. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 3. Дано

Шаг 1. Проводим прямую секущей плоскости, а также ее проекцию в плоскости основания . Прямая принадлежит плоскости основания и пересечет прямую в точке . Заметим, что точка не является точкой секущей плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости основания (к прямой ), его пересечение с прямой – точка – принадлежит секущей плоскости, а также плоскости грани .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Соединим точки и . Прямая пересечет ребро призмы в точке .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Заполучив точку , можем провести отрезок . Вот тут-то нам и понадобится аксиоматический метод. Так как грань    параллельна грани , то плоскость рассечет ее по прямой, которая будет параллельна . Вот и проведем через такую параллельную прямой прямую. Она пересечет ребро в точке .

Задача 3. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем также через точку прямую, параллельную прямой . Это можно сделать, так как грань параллельна грани . Прямая эта пересечет ребро в точке .

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид:

Задача 3. Окончательный вид

 

 

Задача 4. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки .

Задача 4. Дано

Шаг 1. Через точки и проводим прямую секущей плоскости. Также проведем проекции этой прямой на верхнее и нижнее основание – на верхнее, и – на нижнее. Точки пересечения прямой с проекциями – это точки прокола данной прямой оснований призмы. Верхнее основание прямая прошьет в точке , а нижнее – в точке . Таким образом, мы заполучили точки секущей плоскости в плоскостях верхнего и нижнего оснований.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и принадлежат одной плоскости, проводим через них прямую. Эта прямая даст нам две точки: точку , в которой она пересечет ребро , и точку , в которой она пересечет ребро .

Шаг 3. Приобретя точку в грани , проведем прямую . Она пересечет ребро в точке .

Задача 4. Шаги 2-3.

Шаг 4.  Проведем через точку в плоскости основания призмы прямую, параллельную прямой (или можно провести через точки и ). Эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5.  Соединяем точки  отрезками.

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид:

Окончательный вид сечения

Построение сечений призмы — Электронный образовательный ресурс «Построение сечений многогранников и тел вращения»

Задача №1: Построить сечение
призмы ABCDEA1B1C1D1E1.
Точка М принадлежит верхнему основанию, прямая d лежит в плоскости нижнего основания

1)               
Через
точку M проведем прямую n||d;

2)               
Прямая
n пересекает
ребро B’C’ в точке S и ребро E’D’ в точке Q;

3)               
Так
как прямая d принадлежит плоскости нижнего основания, d пересекает ребра CB, BA, DE в точках X, Y, Z соответственно;

4)               
Так как точки S и X
лежат
в плоскости грани BCC’B’, соединим эти точки. Прямая SX пересекает ребро BB’ в точке N;

5)               
Так как точки Q и Z лежат в
плоскости грани EDD’E’, соединим эти точки. Прямая QZ пересекает ребро EE’ в точке T;

6)               
Так как точки N и Y лежат в
плоскости грани ABB’A’, соединим эти точки. Прямая NY пересекает
ребро AA’ в точке P.

7)               
Соединим последовательно точки S, N, P, T, Q. Получим искомое сечение SNPTQ.

Анимация построения:

Задача №2: Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1.
Точка М принадлежит
боковому ребру, прямая d лежит
в плоскости нижнего основания.

Построение:

1)               
Так
как прямая d принадлежит плоскости нижнего основания, d пересекает ребра CB, EA, DE, BA в точках X, Y, Z, H
соответственно;

2)               
Так
как точки M и Z лежат в плоскости грани EDD’E’,
соединим эти точки. Прямая MZ
пересекает ребро EE’ в точке N и ребро DD’ в точке T
соответственно;

3)               
Так
как точки N и Y лежат в плоскости
грани AEE’A’, соединим эти точки. Прямая NY пересекает
ребро AA’ в точке G;

4)               
Так как точки G и H лежат в плоскости грани ABB’A’, соединим
эти точки. Прямая GH пересекает ребро BB’ в точке P;

5)               
Так как точки P и X лежат в плоскости грани BB’C’C, соединим эти точки. Прямая PX пересекает
ребро CC’ в точке S;

6)               
Соединим последовательно точки P, S, T, N, G. Получим искомое сечение PSTNG.

Анимация построения:

Примеры построения сечений многогранников

Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.

Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах,  встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.

За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.

Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.

Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.

Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.

Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.

Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.

Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:

1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Примеры построения сечений многогранников

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.

Метод следов

I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.

Случай 1.

Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Точка А принадлежит боковой грани призмы:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Случай 1.

Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.

Задачи на построение сечений через точку на грани

1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.

Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).

Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.

2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2).

 Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Сечение многогранников плоскостью


Плоская фигура, полученная при пересечении любого многогранника плоскостью, представляет собой некоторый многоугольник. Вершины этого многоугольника находятся как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.
Сечение призмы проектирующей плоскостью (фиг. 302).



I, а. Пятиугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной призмы;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.
I, б. Нахождение проекций сечений. Фронтальная проекция В2С2А2D2Е2 фигуры сечения совпадает с фронтальной проекцией δ2 плоскости δ, так как вершины фигуры сечения являются точками пересечения ребер призмы с плоскостью δ. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, так как призма прямая и ее ребра и грани перпендикулярны плоскости П1. Профильная проекция фигуры сечения выявится многоугольником, полученным путем построения третьей проекции по двум данным.
I, в. Нахождение натуральной величины фигуры сечения.
а) Метод совмещения. Совместим плоскость δ с плоскостью П1. За ось вращения принимаем горизонтальный след плоскости δ. Проекция δ2 совместится с осью х12. Пользуясь правилом совмещения, находим натуральную величину фигуры сечения ¯A¯B¯C¯D¯E.
б) Метод перемены плоскостей проекций. Принимаем плоскость δ за новую плоскость проекций, а проекцию δ2 — за новую ось проекций s24. Проводим из проекций B2C2A2D2 и Е2 перпендикуляры к новой оси s24 и на них откладываем глубины вершин фигуры сечения, например: E2E4 = E1E4 и т.д. Точки A4, B4, С4, D4, E4 последовательно соединяем прямыми и получаем натуральную величину фигуры сечения.

Фигуру сечения и ее проекции на чертеже выделяют штриховкой под углом 45° к оси х12.

Штриховка может быть наклонена как вправо, так и влево, но для всех проекций и фигуры сечения штриховку следует выполнять в одну сторону.
II. Построение развертки поверхности усеченной призмы. Строим развертку боковой поверхности данной призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладываем размеры оставшихся после отсечения плоскостью частей ребер H, Н1, Н2, H3 и Н4, которые берем с фронтальной и профильной проекций. Соединив последовательно прямыми точки DO, ЕO, АO, ВO, СO, DO, получим линию сечения, по которой плоскость δ рассекает призму на две части. Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим боковым граням пристраиваем фигуру сечения и нижнее основание.
III. Построение аксонометрических проекций усеченной призмы.
III, а. Строим аксонометрическую проекцию призмы, пользуясь координатами на (фиг.302, I, а).
III, б. На соответствующих ребрах боковых граней откладываем от нижнего основания оставшиеся части ребер, используя для этого размеры Н, Н1, Н3, Н3, H4.

Полученные точки А’, В’, С, D’, Е’ и А’ соединяем прямыми. Определяем невидимые и видимые элементы и обводим их соответствующими линиями.
Сечение призмы плоскостью общего положения (фиг.303).



I, а. Треугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена плоскостью а общего положения.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной призмы;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.

В этом случае горизонтальная проекция фигуры сечения сливается с горизонтальной проекцией призмы, так как боковые ребра и грани призмы перпендикулярны плоскости П1. Для построения фронтальной проекции воспользуемся горизонталями. Через точку А1 — горизонтальную проекцию ребра — проводим прямую, параллельную проекции следа k1 — горизонтальную проекцию h1 горизонтали. Затем найдем ее фронтальную проекцию h2, которая, пересекаясь с фронтальной проекцией ребра D2E2 в точке А2 определит фронтальную проекцию точки пересечения ребра призмы с плоскостью а.
I, б. Аналогичным построением находим остальные точки пересечения ребер призмы плоскостью а (В2, С2), после чего соединим последовательно прямыми точки А2, В2, С2 и А2 и получим фронтальную проекцию А2В2С2 фигуры сечения — треугольника.
I, в. Натуральную величину фигуры сечения находим путем совмещения плоскости а с плоскостью П1 вращением вокруг проекции следа k1
II и III. Построение развертки поверхности усеченной призмы и аксонометрических проекций аналогично соответствующим построениям для пятиугольной призмы (фиг.302).
Сечение пирамиды фронтально — проектирующей плоскостью (фиг. 304).



1, а. Правильная четырехугольная пирамида поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью б.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной пирамиды;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной пирамиды (фиг.304, а).
I. б. Фронтальная проекция фигуры сечения — отрезок E2F2К2М2 — совпадает с фронтальной проекцией δ2 так как точки пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью лежат в плоскости δ.

Горизонтальные проекции точек пересечения находят при помощи вертикальных линий связи на горизонтальных проекциях соответствующих ребер, например: точку Е1 на горизонтальной проекции ребра S1A1, точку F1на S1B1 и т.д.

Соединив последовательно прямыми точки Къ Ei, &i, JWi и Кг, получим горизонтальную проекцию фигуры сечения.

Профильная проекция фигуры сечения — четырехугольник E3F3M3K3 находится, как третья проекция, по двум данным (фиг.304,б).
I. в. Натуральная величина фигуры сечения находится способом совмещения плоскости δ с плоскостью П1 и способом перемены плоскостей проекций, где за новую плоскость П4 принята плоскость δ, а за новую ось проекций S24 — проекция δ2 (фиг.304,в).
II. Для построения развертки боковой поверхности находим натуральную величину ребра пирамиды путем построения прямоугольного треугольника S2O2¯D2, у которого S2O2 = H, a O2¯D2 = S1¯D1; гипотенуза S2D2 является натуральной величиной ребра. Зто равносильно повороту ребра до параллельности плоскости П2. Затем строим развертку боковой поверхности нерассеченной пирамиды — фигуру, состоящую из четырех равнобедренных треугольников, основания которых равны сторонам квадрата основания, а боковые стороны — натуральным величинам ребер.

Для определения величины отсеченных частей ребер, вместо поворота их, переносим с профильной проекции на натуральную величину ребра точки E3,F3,M3 и К3, получаем размеры R1,R2,R3,R4 Равные отсеченным частям ребер размер R1 равен отсеченной части S2¯E2, R2 равен S2¯F2 и т. д. (фиг.304, I, б).

Перенеся на развертку при помощи этих размеров на соответствующие ребра точки Ео, Fo, Мо, Ко и Ео и соединив их последовательно прямыми, получим ломаную линию, по которой пирамида рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ. Для получения развертки поверхности усеченной пирамиды к линии сечения присоединяем соответствующей стороной фигуру сечения, а к линии основания — основание пирамиды.
III, а. Для изображения изометрической проекции усеченной пирамиды, пользуясь координатами с (фиг.304, I, б), сначала строим основание и вершину пирамиды, а затем вторичную проекцию фигуры сечения (горизонтальную проекцию фигуры сечения) E’1F’1M’1K’1.
III, б. Соединяем прямыми точку S’ (вершину пирамиды) с точками А’, В’, С и D’ (вершинами основания) — получаем изометрическую проекцию пирамиды.

Из точек Е’1, F’1, M’1 и К’1 параллельно оси z проводим прямые до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды. Точки Е’1, F’1, M’1 и К’1 явятся вершинами фигуры сечения, соединив которые прямыми, получим изометрическую проекцию фигуры сечения.
III, в. Определив видимые и невидимые элементы усеченной призмы, обводим их соответствующими линиями и заштриховываем фигуру сечения. Над усеченной частью пирамиды изображена отсеченная ее часть.


Сечение тел вращения плоскостью…..





 

5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды

Видеоурок: Задачи на построение сечений

Лекция: Сечения куба, призмы, пирамиды

Сечение куба, призмы, пирамиды

Для решения практически всех задач из раздела стереометрии необходимы знания и навыки в построении сечения объемных тел. Именно об этом мы сейчас с вами и поговорим.

Для начала давайте вспомним, что нам необходимо для построения плоскости. Построить плоскость можно:

  • с помощью трёх точек;

  • с помощью двух пересекающихся прямых;

  • с помощью прямой и точки, которая не лежит на прямой;

  • а также с помощью двух параллельных прямых.

Что такое секущие плоскости?

Секущей плоскостью пирамиды, призмы или куба называется такая плоскость, по обе стороны которой будут иметься точки объемного тела.

Сечение пирамиды, куба или призмы – это многоугольник, который состоит из точек, принадлежащих объемному телу.

Построение сечения

Чтобы построить сечение, необходимо выделить минимум три точки, в которых секущая плоскость пересекает объемное тело, а затем соединить их.

Например, на рисунке показан куб, внутри которого находится секущая плоскость, которая пересекла грани куба в 6 точках. Это значит, что сечением данной фигуры будет шестиугольник.

Чтобы построить сечение объемной фигуры, необходимо решить две задачи:

  • Найти линии, по которым пересекаются две плоскости.

Для этого необходимо рассмотреть секущую плоскость и плоскость грани объемной фигуры. Найти хотя бы две точки, в которых эти плоскости пересекаются. После этого точки необходимо соединить прямой. Аналогичные построения выполнить со всеми гранями, которые пересекаются с секущей плоскостью.

  • Найти точку, в которой некоторая прямая пересекает плоскость.

Данная задача сводится к обратному. Рассматриваем грани объемной фигуры, находим точки, в которых данные грани пересекают секущую плоскость, и ставим на этом месте точки. После нахождения всех точек пересечения, соединяем их последовательно.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

Номер: 11-1

Год: 2016

Страницы: 35-41

Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

сечение, позиционная задача, метод внутреннего проектирования, метод следов, метод параллельного переноса прямых и плоскостей , section, positional task, internal design method, method of tracks, method of parallel traces lines and planes

Аннотация к статье

Тема «Позиционные задачи» является одной из основных тем при изучении многогранников и круглых тел. В данной статье представлены различные методы построения сечений многогранников и круглых тел плоскостями. Эта тема исследования является важной составляющей ЕГЭ по математике.

Текст научной статьи

Введение Тема «Позиционные задачи» является очень важной при изучении многогранников и круглых тел в стереометрии. Это связано, в частности, с построением точек пересечения геометрического тела и прямой, с построением сечения многогранника или круглого тела плоскостью и определением площади сечения. В данной работе дано понятие полного изображения пространственной фигуры и позиционной задачи, указаны способы построения сечения многогранников плоскостями. Работа даёт анализ способов построения сечений призм и пирамид плоскостями, приводятся различные примеры с решениями, решение нескольких задач даётся с рисунками. Общие понятия Напомним основные понятия главы «Методы изображений» курса геометрии, связанные с позиционными задачами. Под аффинным репером мы понимаем любую упорядоченную четвёрку точек общего положения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. На плоскости изображений изображение F некоторой фигуры называется полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера так, что все точки, прямые и плоскости фигуры являются заданными. Точка считается заданной, если известна её аксонометрическая и одна из вторичных проекций. Прямая задаётся с помощью двух точек или аксонометрической и одной из вторичных проекций этой прямой, плоскость — с помощью трёх точек или точки и прямой или двух прямых. Зададим в пространстве фигуры и , а на плоскости изображений — их изображения и . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Позиционной задачей называется задача о построении изображения точек пересечения данных фигур и , если известны их изображения и . Если изображения полные, то позиционная задача имеет определённое решение. Наиболее часто в качестве одной из данных фигур выступает прямая l¢ или плоскость П¢, и тогда позиционная задача рассматривается как построение изображения сечения фигуры прямой или плоскостью. Изображения пространственных фигур в школьном курсе математики, как правило, являются полными, поэтому решение позиционной задачи, то есть, например, построение сечения многогранника или круглого тела плоскостью, носит вполне определённый характер. При построении сечения многогранника плоскостью обычно используют следующие методы: — метод внутреннего проектирования, — применение следа секущей плоскости на плоскости основания геометрического тела (метод следов), — метод параллельного переноса прямых и плоскостей, — метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды), — метод разбиения n-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды). Метод внутреннего проектирования Сечение многогранника плоскостью — многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данному многограннику и плоскости, плоскость при этом называется секущей плоскостью. Секущая плоскость может быть задана различными способами, например: а) тремя точками, которые не лежат на одной прямой; б) прямой и точкой, не лежащей на ней; в) двумя пересекающимися прямыми; г) некоторыми из указанных выше геометрических элементов в совокупности с различными зависимостями между ними и элементами (гранями, ребрами, диагоналями и т. д.) многогранника. Построение плоских сечений многогранников выполняется на основе соответствующих пространственных аксиом и теорем. Построить сечение многогранника плоскостью — это значит построить многоугольник все вершины и стороны, которого — соответственно следы секущей плоскости на ребрах и гранях многогранника. Метод внутреннего проектирования как раз и основан на использовании взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. В частности, использовании параллельности прямых и плоскостей, поскольку параллельность сохраняется при параллельном проектировании. Пример 1. Дано изображение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 и трёх точек ÎАА1, ÎBB1,ÎCC1 , лежащих по одной на её боковых ребрах. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через эти точки. Рис. 1 Построение. (См. рис. 1) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром DD1. Пусть А1С1ÇB1D1=O1. Проведём OO1 || АА1, OÎ, тогда точка =OÇDD1 — искомая точка. Действительно, ÎÌ, отсюда Î. Сечение является искомым. Пример 2. Построить изображение сечения четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, заданной тремя точками KÎАА1B1B, LÎBB1C1C, MÎCC1D1D, лежащими по одной на боковых гранях призмы. Решение. 1) Пусть K1 , L1 , M1 — проекции точек K, L, M на нижнее основание (вторичные проекции этих точек). 2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром AA1. Пусть А1L1ÇK1M1=Р1. Проведём РР1||АА1, РÎKM, тогда точка X=LPÇAA1 — искомая точка. Действительно, XÎPLÌKLM, отсюда XÎKLM. 3) Построим Y=XKÇBB1, Z=YLÇCC1, T=ZMÇDD1 , тогда сечение XKYLZMT является искомым. Пример 3. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P, а в гранях SAB и SAD заданы соответственно точки R и Q. Построить сечение плоскостью PQR. Рис. 2 Построение. (См. рис. 2) 1) Пусть R0 =SRÇAB , Q0 =SQÇBC. 2) Найдём точку пересечения D1 секущей плоскости с ребром SD. Для этого строим точки CQ0 ∩ R0D = O0 , PQ ∩ SO0 = O, RO ∩ SD = D1. 3) Пусть A1 =SAÇQD1, B1 =SBÇRA1, тогда A1RB1PD1Q — искомое сечение. Пример 4. Построить изображение сечения четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью α, заданной тремя точками KÎSА, LÎSB, MÎSC, лежащими по одной на боковых рёбрах пирамиды. Решение. Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром SD. Пусть АСÇBD=Р, SРÇKM=T, тогда точка N=LTÇSD — искомая точка. Действительно, NÎTLÌKLM, отсюда NÎKLM. Сечение KLMN является искомым. Метод следов (применение следа секущей плоскости на плоскости основания геометрического тела) Следом плоскости α на плоскости b называют прямую, по которой плоскость α пересекает плоскость b. Следом прямой l на плоскости α называют точку пересечения прямой с плоскостью α. При использовании этого метода сначала строится след секущей плоскости на плоскости одной из граней многогранника (либо на диагональной плоскости или плоскости симметрии), а также следы на прямых, содержащих стороны этой грани. Далее строятся следы секущей плоскости на других гранях при наличии двух следов на прямых, содержащих стороны соответствующей грани. Пример 5. Дана призма ABCDEA1B1C1D1 и три точки M, N, P принадлежащие соответственно рёбрам AA1, BB1, CC1. Построить сечение призмы плоскостью MNP. Рис.3 Построение. (См. рис. 3) 1) NM ∩ A1B1 = X, NP ∩ B1C1 = Y, тогда XY — след секущей плоскости. 2) XY ∩ A1E1 = O, XY ∩ C1D1 = Q. 3) NMOQP — искомое сечение. Пример 6. Построить изображение сечения четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, заданной тремя точками KÎАА1, LÎBB1, MÎCC1, лежащими по одной на боковых рёбрах призмы. Решение. 1) Найдём след секущей плоскости, то есть линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания A1B1C1D1 данной призмы. Пусть MLÇB1C1=S, KMÇA1C1=T, тогда прямая ST — след секущей плоскости. 2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром DD1. Пусть A1D1 Ç ST =R, тогда точка N=KRÇDD1 — искомая точка. Действительно, NÎKRÌKLM, отсюда NÎKLM. Сечение KLMN является искомым. Пример 7. Дана пирамида SABCDE, точки A1 AS, B1 BS, C1 CS. Построить сечение, проходящее через эти точки. Рис.4 Построение. (См. рис. 4) 1) A1B1 ∩ AB = X, B1C1 ∩ BC = Y, прямая XY — след секущей плоскости. 2) DC ∩ XY = Z, ZC1 ∩ DS = D1, EA ∩ XY = M, MA1 ∩ SE = E1. 3) A1B1C1D1E1 — искомое сечение. Пример 8. Построить изображение сечения четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью, заданной тремя точками KÎSА, LÎSB, MÎSC, лежащими по одной на боковых рёбрах пирамиды. Решение. 1) Найдём след секущей плоскости, то есть линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания ABCD данной пирамиды. Пусть MLÇBC=S, KMÇAC=T, тогда прямая ST — след секущей плоскости. 2) Найдём точку пересечения секущей плоскости с ребром SD. Пусть AD Ç ST =R, тогда точка N=KRÇSD — искомая точка, а KLMN является искомым сечением. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей Метод параллельного переноса прямых и плоскостей применяется в тех случаях, когда секущая плоскость a задана как плоскость, проходящая через данную точку М параллельно двум скрещивающимся прямым а и b, или проходящая через данную прямую а параллельно скрещивающейся с ней прямой b, или проходящая через данную точку М параллельно данной плоскости β. Суть метода параллельного переноса прямых заключается в том, что в секущей плоскости проводят прямую, параллельную данной прямой. При этом очень часто приходится проводить вспомогательную плоскость, параллельную той, в которой находится данная прямая. Суть метода параллельного переноса плоскостей состоит в том, что вместо секущей плоскости строится параллельная ей вспомогательная плоскость, которая пересекает все грани некоторого трехгранного (или многогранного в общем случае) угла данного многогранника. Далее путем параллельного переноса строятся некоторые линейные элементы искомого сечения, соответствующие легко строящимся элементам вспомогательной плоскости. При построении используются известные свойства параллельных прямых и плоскостей: 1) Если а || a, то в плоскости a существует прямая b, параллельная а. 2) Через точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости. 3) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны. 4) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. 5) Если плоскость β проходит через прямую а, параллельную плоскости a, и пересекает ее по прямой b, то a || b. 6) Каковы бы ни были скрещивающиеся прямые а и b, существует единственная пара параллельных плоскостей a и β, в которой они соответственно лежат. 7) Признаки параллельности прямых и плоскостей. Пример 9. Даны параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и точки MAA1, NB1C1, K AD. Провести сечение плоскостью проходящей через точку N параллельно прямым MB1 и CK. Рис. 5 Построение. (См. рис. 5) 1) Построим плоскость MB1NP , в которой MP ║ B1N, MB1║ NP. 2) Проведем прямую TN параллельную прямой KC. 3) Прямая TP пересекает ребро DD1 в точке E. 4) (NR) параллельно (TE), RÎ(CC1). Тогда TNRE — искомое сечение. Пример 10. Даны точки M, N и P, лежащие соответственно на боковых ребрах SA, SD и SB четырехугольной пирамиды SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP. Решение. Проводим через вершину D прямую, параллельную MN , до пересечения с ребром SA. Через полученную точку K1 параллельно MP проводим прямую до пересечения с ребром AB в точке K2. Плоскость треугольника DK1K2 параллельна плоскости MNP. Плоскость ASC пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения плоскостей ASC и DK1K2 — прямая K1K3 , где K3 — точка пересечения диагонали AC четырехугольника ABCD и отрезка DK2. Через точку M проводим прямую, параллельную K1K3, до пересечения с ребром SC. Получаем точку Q. Сечение MPQN является искомым. Метод дополнения n-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды) Если данную призму (пирамиду) достроить до треугольной призмы (пирамиды), затем построить сечение полученной треугольной призмы (пирамиды), то искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы (пирамиды). Пример 11. Построить сечение пирамиды DAEGHF плоскостью AMN, где точки M и N лежат на ребрах DE и DF соответственно. Решение. 1) Достраиваем данную пятиугольную пирамиду до треугольной. Для этого получим точки AE Ç HG = C и AF Ç GH = B, и затем проведем отрезки DC и DB. 2) Строим сечение полученной треугольной пирамиды ABCD плоскостью AMN. Для этого последовательно получаем точки AM Ç DC = P и AN Ç DB = Q, и соединяем точки P и Q. Треугольник APQ — есть сечение пирамиды ABCD плоскостью AMN. 3) Осталось получить точки PQ Ç DG = R и PQ Ç DH = S. Тогда пятиугольник AMRSN — искомое сечение данной пятиугольной пирамиды. Метод разбиения n-угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды) Из данной n-угольной призмы (пирамиды) выделяют основную треугольную призму (пирамиду), на боковых ребрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строят сечение этой треугольной призмы (пирамиды), затем строят сечения тех треугольных призм (пирамид), которые имеют общие части с основной призмой (пирамидой). Пример 12. Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью PQR, где точки P и Q лежат на ребрах AA1 и DD1 соответственно, точка R принадлежит плоскости AA1B1B. Решение. 1) Точка R лежит на отрезке EE1, где E Î AB, E1 Î A1B1 , EE1 Î AA1. Треугольник PQR является сечением треугольной призмы ADEA1D1E1. Призмы ADCA1D1C1 и ABCA1B1C1 имеют общую часть с призмой ADEA1D1E1. 2) Получим точки AС Ç DE = M, A1С1 Ç D1E1 = M2. Плоскости ACС1 и EDD1 пересекаются по прямой ММ2. Прямые ММ2 и QR пересекаются в точке М1. 3) Точки Р и М1 принадлежат плоскости ACС1, поэтому прямые PМ1 и CC1 пересекаются в точке T, принадлежащей секущей плоскости PQR. 4) Имеем точку PR Ç BB = K1. Прямые PR и PQ лежат в одной плоскости PQR, поэтому точка K принадлежит плоскости PQR. 5) Точки Q и T лежат в плоскости сечения, значит, прямая QT принадлежит секущей плоскости. Четырехугольник PKTQ — искомое сечение.

Построение сечений

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

 

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию.\circ\).

 

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

 

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

 

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости.

 

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\).

 

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

 

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

 

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\). Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\), не лежащей на прямой \(l\), то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

 

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\). Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\). Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

 

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

 

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA’\) и \(BB’\) (точки \(A’, B’\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A’B’\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\). Точка \(M=a\cap
A’B’\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\).

 

Причем заметим, что все точки \(A, B, A’, B’, M\) лежат в одной плоскости.

 

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA’B’C’D’\). \(A’P=\dfrac 14AA’, \ KC=\dfrac15 CC’\). Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\).

 

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA’, CC’\) перпендикулярны \((ABC)\), то точки \(A\) и \(C\) — проекции точек \(P\) и \(K\).\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\), то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a,
\ AC=a\sqrt2\). Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow
EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\), высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\), считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\), считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

 

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). Т.к. \(DO\perp (ABC)\), то и \(NO\perp (ABC)\). Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\).
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\), то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\), то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\), следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\).

 

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). \(L\) – точка пересечения этих прямых.

 

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\), хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

 

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\).\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a}
=\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow
x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\), значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\).

 

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\)).

 

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\).

 

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\). Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\).

 

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\), она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\). Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\). Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel
BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\), получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\). Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

 

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\), то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\). Но \(SB=SD\), значит и \(SK=SP\). Таким образом, можно найти только \(SP:PD\).

 

Рассмотрим \(\triangle ASC\).\circ\), то \(\triangle
ABD=\triangle CBD\), следовательно, \(AD=CD\), следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\).

 

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\); наклонная \(BK\perp AC\), значит и проекция \(HK\perp AC\). Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\). Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\).

 

Соединив точки \(A\) и \(H\), получим отрезок \(AN\), по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\). Тогда \(\triangle
ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\).

 

Обозначим \(AB=CB=DB=x\). Тогда \(BK\), как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\), равна \(\frac12 AC\), следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\).

 

Рассмотрим \(\triangle BKD\). Найдем отношение \(DH:HK\).

 

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\), то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\). Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x
\Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

 

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\). Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\).

Interactivate: сечения

Наставник: Если вы разрежете кубик, какая форма будет вырезана?

Студент: Квадрат!

Наставник: Это всегда правда? Что, если разрезать куб под углом?

Студент: Ну, тогда две стороны будут длиннее двух других, поэтому я предполагаю, что форма будет
прямоугольник.

Наставник: Верно. Что будет, если вы разрежете куб под другим углом — скажем, если вы просто
отрезать самый кончик кубика?

Студент: Тогда… Думаю, это будет треугольник, например:

Наставник: Совершенно верно! Как вы думаете, какие еще формы можно было бы создать, разрезав поперечное сечение
квадратный?

Студент: Хм, я уверен, что если вы можете создать треугольник, отрезав только угол куба,
тогда вы можете создать пятиугольник, отрезав кусок побольше, например:

Наставник: Это хорошо, так что вы видите, что вы можете создать поперечное сечение с большим количеством сторон, чем у оригинала.
форма.Что произойдет, если вы наклоните поперечное сечение еще больше, чтобы верхний угол
поперечное сечение тоже было отрезано?

Студент: Тогда у вас будет … шестиугольник!

Наставник: Совершенно верно! Как вы думаете, можно ли построить фигуру с большим количеством сторон, например, семиугольник?

Студент: Я не могу понять, как это сделать, так как я не могу отрезать больше двух из четырех
углы.

Наставник: Не волнуйтесь, то, что я просил сделать, на самом деле невозможно! На кубе всего шесть граней,
так что максимальное количество сторон — шесть.

Студент: В этом есть смысл. Бьюсь об заклад, вы можете сделать это с любой призмой — просто нужно повернуть
сечение правильно, чтобы пересечь все грани.

Наставник: Вы совершенно правы, любую призму можно разрезать так, чтобы в поперечном сечении было как можно больше сторон.
поскольку у призмы есть грани. Однако не все формы обладают этим же свойством. Вы можете придумать
3-х мерная фигура, стороны которой
не может ли все быть рассечено одной плоскостью?

Ученик: Возможно, это икосаэдр, потому что нет плоскости, которая могла бы пересечь все двадцать его сторон:

Наставник: Хорошо, Икосаэдр — это пример многогранника, который не является призмой.Если рассматривать призмы
только то, что будет с поперечными сечениями призмы, если количество боковых граней
приблизилась к бесконечности?

Студент: Я никогда не слышал о призме с бесконечной гранью …

Наставник: Ну, когда вы пытаетесь визуализировать то, чего раньше не видели, попробуйте построить
то, что вы уже знаете. Представьте себе правильный квадрат, затем правильный пятиугольник, затем правильный квадрат.
шестиугольник и так далее. По мере увеличения количества сторон, какая еще форма делает фигуру?
подход?

Студент: Хм, он начинает больше походить на круг, потому что вы не видите никого из людей.
стороны.

Наставник: Совершенно верно. Фактически, математики формально определяют круг как правильный многоугольник с бесконечной
количество сторон. Итак, что произойдет, если вы разрежете круговую призму, также известную как
цилиндр?

Ученик: Ну, очевидно, вы могли бы сделать круг, если бы разрезать фигуру по горизонтали, и вы могли бы сделать
прямоугольник, если вырезать фигуру вертикально. Однако более интересным является тот факт, что вы можете
сделайте овал, если разрезать цилиндр под углом:

Наставник: Существует бесконечное количество трехмерных фигур, каждая из которых имеет собственное поперечное сечение.Фактически, любую двумерную форму можно определить как поперечное сечение трехмерного объекта.
форма. Это пригодится при обсуждении конических сечений, но также будет полезно, если
вы решили пройти обучение по многомерному исчислению и другие математические классы высокого уровня.

Студент: Зачем определять двумерные формы как поперечные сечения? Почему бы просто не оставить их в двух измерениях?

Наставник: При работе с двухмерными фигурами обычно
— это проще, просто оставить их в двух измерениях.Тем не менее, поперечные сечения широко используются для
рассчитать объем неправильных фигур. Изучив исчисление, вы научитесь
вычислить площадь практически любой двумерной формы. Поскольку трехмерный объект может быть
разделенных на большое количество поперечных сечений, площади этих поперечных сечений можно использовать для
рассчитать объем трехмерного объекта.

Призмы

Если концы твердого тела (т. Е. Трехмерного объекта) не являются правильным многоугольником, но имеют идентичные поперечные сечения при разрезе плоскостью, параллельной
один из концов, то твердое тело называется неправильной призмой .

Объем призмы

В этом разделе мы рассмотрим объем куба, кубоида, цилиндра и треугольной призмы.

Если бы прямоугольная коробка была заполнена кубиками размером 1 см, то было бы:

Так как есть 3 слоя,

Теперь обратите внимание, что площадь основания коробки определяется по формуле:

Из приведенного выше обсуждения мы можем вывести формулу для объема прямоугольной коробки следующим образом:

Всего:

Объем призмы V равен

, где A — площадь основания (или поперечного сечения) призмы.
а h — высота.

Объем следующих твердых веществ часто требуется для решения реальных
мировые проблемы, связанные с количеством, вместимостью, массой и силой
материалы, включая жидкости.

Куб с длиной стороны л единиц имеет объем В куб.
единиц от

Кубоид длиной л единиц, шириной w единиц и высотой h единиц имеет объем V кубических единиц, определяемый

Цилиндр радиусом r единиц и высотой h единиц имеет
объем В куб. из

Треугольная призма длиной l шт., Треугольная
поперечное сечение имеет основание b единиц и высоту h единиц, имеет
объем В куб. из

Пример 2

Найдите объем куба со стороной 5 см.

Оценка и решение для объема призм

В последнем разделе вы разработали формулу объема для призмы, V = Bh , где B представляет площадь основания призмы, а h представляет высоту призмы. Вы также использовали формулу объема для решения задач, связанных с прямоугольными призмами.

Однако не все призмы являются прямоугольными. Рассмотрим небоскребы из разных городов, которые показаны ниже.

Флэтайрон-билдинг в Нью-Йорке представляет собой треугольную призму , поскольку крыша и контур улицы представляют собой совпадающие прямоугольные треугольники.

Башня JPMorgan Chase Tower в Хьюстоне представляет собой пятиугольную призму , поскольку крыша и улица представляют собой конгруэнтные пятиугольники.

Башня в Форт-Уэрте представляет собой восьмиугольную призму , поскольку крыша и очертания улицы представляют собой совпадающие восьмиугольники.

Источник: Edificio Fuller (Flatiron) Edit, lmelenchon, Wikimedia Commons

Источник: Башня, 500 Трокмортон, Форт-Уэрт, Техас, Магнус Манске, Wikimedia Commons

В этом разделе вы сосредоточитесь на треугольных призмах, которые представляют собой призмы с треугольным основанием.

Воспользуйтесь интерактивом, чтобы создать несколько треугольных призм.Используйте размеры в интерактивном режиме, чтобы произвести расчеты, чтобы заполнить таблицу ниже. Запишите объем призмы с интерактивного экрана. Используйте таблицу, чтобы ответить на следующие вопросы.

Нужны дополнительные направления?

Скопируйте приведенную ниже таблицу в свои заметки или текстовый редактор, чтобы ввести данные в таблицу.

Номер призмы Площадь базы Высота призмы Объем призмы

1

6.18

5

30,9

2

3

4

Посмотреть примеры ответов.

Свойства прямоугольных призм | Sciencing

Обновлено 22 декабря 2020 г.

Карл Валлулис

Свойства призм одинаковы для всех типов призм, каждая из которых определяется формой, составляющей основу призмы. Основанием призмы может быть любой многоугольник.

Прямоугольная призма — это трехмерное твердое тело с несколькими свойствами, связанными с его формой, объемом и площадью поверхности. Прямоугольные призмы, в частности, являются одной из самых фундаментальных и распространенных форм в трехмерной геометрии, а также используются в таких областях, как столярные изделия и графический дизайн.

Призма: математическое определение

Призма — это тип трехмерного многогранника. Он имеет две параллельные друг другу «базы». Эти основания представляют собой однотипные многоугольники. Другие грани (также известные как «стороны») призмы — параллелограммы (это верно независимо от формы основания).

Имя этого многоугольника используется для имени призмы. Например, призма с треугольниками вместо оснований называется треугольной призмой. Прямоугольные призмы называются прямоугольными.Призмы на основе восьмиугольника называются восьмиугольными призмами и т. Д.

Объем

Объем трехмерного твердого тела определяется как количество вещества, которое оно может удерживать внутри своих стенок. Объем прямоугольной призмы рассчитывается по одной из двух формул:

\ text {Volume} = \ text {length} × \ text {width} × \ text {depth} \\ \ text {Volume} = \ text { площадь основания призмы} × \ text {высота призмы}

Интересным свойством прямоугольных призм является то, что тип прямоугольной призмы с наибольшим объемом относительно площади ее поверхности — это куб.Другими словами, куб — это прямоугольная призма, которая оптимизирует объем.

Площадь поверхности

Площадь поверхности трехмерного твердого тела представляет собой сумму площадей всех его граней. Прямоугольная призма имеет шесть граней, обычно называемых основанием, вершиной и четырьмя сторонами. Основание и верх всегда имеют одинаковую площадь, как и пары противоположных сторон.

Формула площади поверхности прямоугольной призмы:

\ text {S.A. } = 2 (lw + wd + ld)

, где « l », « w » и « d » — длина, ширина и глубина призмы.

Эта формула выводится из того, как площадь каждой грани является произведением размеров грани. Есть две стороны с размерами длины и ширины, две с размерами ширины и высоты и две с размерами длины и высоты.

Форма

Прямоугольная призма имеет в общей сложности 24 угла (по четыре на каждой из шести сторон), все из которых являются идеальными прямыми углами (90 градусов). У него 12 ребер, которые можно разделить на три группы по четыре параллельные линии (линии, которые никогда не пересекаются).

Каждая кромка пересекает другие кромки призмы перпендикулярно (под прямым углом). Прямоугольная призма, длина, ширина и глубина которой равны, называется кубом.

Поперечные сечения

Двумерный срез трехмерного твердого тела называется сечением. Прямоугольные призмы обладают уникальным свойством: перпендикулярное поперечное сечение (срез призмы под углом 90 градусов) всегда создает прямоугольник, независимо от того, где на призме берется поперечное сечение.

Существует три различных типа поперечных сечений прямоугольной призмы: x — ось, y — ось и z — поперечные сечения, соответствующие сечениям по одному из трех измерений. пространства. Сумма этих трех поперечных сечений равна половине площади поверхности призмы.

Прямоугольные призмы в реальной жизни

Вы можете видеть прямоугольные призмы повсюду: коробки для салфеток, картонные коробки с хлопьями, кубики сахара, детские кубики и квадратные торты — это лишь несколько примеров призм, которые вы можете увидеть в реальной жизни.

Геометрические сетки — квадратная призма

Квадрат — это трехмерная фигура с шестью
прямоугольная форма
стороны, по крайней мере, две из которых являются квадратами. Все его углы прямые. Его также можно назвать
кубовидный.

Куб и квадратная призма — особые типы
прямоугольная призма. Имейте в виду, что квадрат — это просто особый вид
прямоугольник!

  • Кубики представляют собой прямоугольные призмы, в которых все три
    размеры (длина, ширина и высота) имеют одинаковые размеры.
  • Квадратные призмы — это прямоугольные призмы, в которых любые две
    трех измерений имеют одинаковые размеры.

Исследуйте квадратную призму, вырезав геометрическую сетку,
складываем и приклеиваем язычки.

Прямоугольная призма, у которой два измерения совпадают
измерение

(также известное как квадратная призма)

Квадратная призма — обычная:
Вы можете нарисовать это на декоративной бумаге или украсить по своему усмотрению

Square Prism — милые лица:
(цвет)
или (Ч / Б)

Призмы Holiday Square:

Квадратная призма — Рождество:
(цвет)
или же
(Ч / Б)

Квадратная призма — День святого Валентина:
(цвет) или
(Ч / Б)

Прямоугольная призма, у которой все три измерения одинаковы
измерение

(также известное как
куб)

Куб — Обычный: вы можете нарисовать его на декоративной бумаге (бумаге для скрапбукинга).
работает хорошо) или украсить по своему усмотрению

Cube — милые лица:
(цвет)
или (Ч / Б)

Праздничные кубики:

Куб — Рождество:
(цвет)
или же
(Ч / Б)

Куб — День святого Валентина:
(цвет)
или же
(Ч / Б)


Характеристики квадратной призмы:

  • призма (трехмерная форма, в которой
    поперечное сечение указывает на тип призмы — значит треугольная призма
    имела бы треугольное поперечное сечение, прямоугольная призма имела бы
    прямоугольное сечение, квадратная призма будет иметь квадрат
    поперечное сечение и так далее).«Поперечное сечение» — это просто причудливый способ
    говоря, что вы нарезаете предмет, как если бы вы делали буханку хлеба — каждый
    «кусочек» призмы одинаков.
  • противоположных сторон
    параллелограммы (формы напротив друг друга идентичны)
  • 6 граней
  • 8 вершин
  • 12 кромок

Формулы квадратной призмы:

Площадь поверхности квадратной призмы
= 2 (ширина x длина) + 2 (ширина x высота) + 2 (длина x высота)

Объем квадратной призмы = длина x ширина x высота

Трехмерные фигуры — Призмы — Глубина

Призма — это
многогранник, в основе которого лежат два конгруэнтных параллельных многоугольника.Другой
грани призмы — параллелограммы, чаще всего прямоугольники. Призма названа
за форму его основания. Например, эта призма называется шестиугольной.
призма, потому что два ее основания — шестиугольники.

Визуализация
трехмерные фигуры — важная часть геометрии, которая помогает
наращивать умственные математические мышцы. Изучите этот двухмерный узор. Если мы сложим
его стороны вместе, чтобы сформировать космическую фигуру в трех измерениях, какая фигура
мы бы получили? Можете ли вы представить себе, как эти части будут сочетаться друг с другом?

Эта цифра
— знакомый куб, представляющий собой разновидность прямоугольной призмы.Куб тоже
называется «правильным шестигранником», потому что у него 6 конгруэнтных граней.
«Гекса» по-гречески означает «шесть» — это снова одно из тех греческих имен!

Все космические фигуры
иметь объем. Вы можете найти объем любой призмы по этой формуле:

В
= Bh

где
B равно площади основания призмы, а h — ее высоте. Представьте себе
база проходит через всю призму, как лифт, поднимающийся вверх.Космос
через что проходит основание — это объем призмы.

г.
единицы объема называются «кубическими единицами». Кубические футы, кубические метры,
кубические дюймы, кубические ярды, кубические сантиметры — это все примеры единиц
объема. Все они могут быть записаны в виде степени 3, потому что у них есть три
Габаритные размеры.

Примеры
единиц объема:

кубические футы (футы 3 )
кубические дюймы (в 3 )
кубические ярды (ярды 3 )
кубических метров (м 3 )
кубические сантиметры (см 3 )

С учетом габаритов
Как показано на рисунке, давайте вычислим объем этой призмы.

Сначала у нас есть
чтобы найти площадь треугольника, образующего основу этой призмы. Площадь
треугольника составляет половину основания треугольника, умноженную на высоту
треугольник. Не получить высоту треугольника и высоту призмы
перепутал! Треугольник имеет основание 14 дюймов и высоту 12 дюймов.
Если мы подставим эти значения в формулу, мы получим 84 квадратных дюйма для
площадь треугольника.

Высота
призма 20 дюймов. Если подставить значения в формулу объема,
мы находим, что объем призмы составляет 1680 кубических дюймов.

назад
наверх

Как найти площадь поверхности призмы

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.