Как строить сечение многогранника плоскостью: Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Содержание

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео.

Вспомним, что сечение многогранника плоскостью представляет собой плоский многоугольник, вершины которого принадлежат сторонам, а ребра — граням многогранника. Две соседние вершины принадлежат одной грани многогранника. 

Чтобы найти точку, лежащую одновременно в двух плоскостях, нужно найти точку пересечения прямой, лежащей в первой плоскости, с прямой, лежащей во второй плоскости.

 

В подсказках и ответах изображение  дополнительных прямых, используемых при построении сечения, сплошными линиями или пунктирными, не зависит от того, видимы эти прямые или нет.

Рядом с каждой дополнительной прямой указан ее порядковый номер при построении сечения. Все прямые проведены через две точки, принадлежащие определенной плоскости. Прямые пронумерованы в порядке их построения. Рекомендуется при использовании подсказки и воспроизведении построения сечения проговаривать, какой плоскости принадлежит данная прямая, каким плоскостям принадлежит точка их пересечения.

Постройте сечения, проходящие через точки .

Задание 1:

Подсказка. показать

Ответ. показать

Задание 2:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 3:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 4:

 

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 5:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 6:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 7:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 8:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 9:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 10:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

 

Задание 11:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Пошаговое построение сечения параллелепипеда

Построение сечения методом следов – это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.

Задача 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 1. Дано

Шаг 1. Чезез точки и , которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой , которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую , и находим точку ее пересечения с прямой – .

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую , принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра – .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Точка лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой , которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую , которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой – . Через две точки задней грани проводим прямую , и находим место пересечения этой прямой с ребром – .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

Задача 1. Шаг 4.

 

Задача 2. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 

Задача 2. Дано.

Шаг 1. Точки и лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Точки и также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра – .

Задача 2. Шаг 2

Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч и найдем его пересечение с прямой – ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения – точка . Точки и можно соединить отрезком.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком ребра – точку .

Задача 2. Шаг 4

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

Задача 2. Шаг 5

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 

Задача 3. Дано.

Шаг 1. Построим прямую , это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.

Задача 3. Шаг 1

Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую и найдем точку ее пересечения с прямой – .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – точка .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней  грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка – точка . Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую  и найдем пересечение этой прямой с прямой – точка .

Задача 3. Шаг 4

Шаг 5. Проводим прямую , отыскиваем точки пересечения ею ребер – точку , и ребра – точку .

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Задача 3. Шаг 6

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончательный вид

Задача 4. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  . Точка в задней грани.

Задача 4. Дано

Шаг 1.  Проводим прямую через две точки одной плоскости – и .  Определяем точку пересечения данной прямой ребра – .

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Продолжение прямой пересечется с продолжением прямой – так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка , и тогда можно провести прямую .

Задача 4. Шаг 2.

Шаг 3. Точка – точка пересечения прямой ребра . Продлим также ребро и найдем пересечение прямой и прямой – точку , которая принадлежит плоскости основания.

Задача 4. Шаг 3

Шаг 4. Соединяем Точки и плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром – точку . Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Задача 4. Шаг 4.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончание построения

Обучение с МК




Пример: модели МК в электронном учебнике



Сечения многогранников


ТЕОРИЯ


В этом разделе мы рассмотрим методы построения сечений многогранников. Плоскость сечения, как правило, будет задаваться тремя точками – K, L, M. Сложность такой задачи во многом определяется расположением точек, задающих плоскость сечения.

Пример 1


Самый простой случай – когда точки лежат на трёх смежных рёбрах пирамиды – не нуждается в разборе.




Модель 1


Основной метод, который используется при построении сечений, называется методом следов.

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника. Если такой след найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Пример 2


Пусть теперь точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания.




Модель 2

  1. Проведём в плоскости SAC прямую KL – след сечения в этой плоскости.
  2. Отметим точку P пересечения KL с SC.
  3. Проведём прямую PM – след сечения в плоскости SBC, – и отметим точку пересечения PM и BC.
  4. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.
Пример 3


Несколько труднее случай, когда одна из точек лежит на ребре, а две другие — на гранях пирамиды.




Модель 3


Теперь сразу построить след плоскости сечения в какой-то из граней нельзя.

  1. Рассмотрим вспомогательную плоскость SKM, которая пересекает рёбра AC и BC в точках E и F соответственно.
  2. Построим в этой плоскости прямую KM – след плоскости сечения – и отметим точку P пересечения KM с EF.
  3. Точка P лежит в плоскости сечения и в плоскости ABC. Но в этой же плоскости лежит и точка L. Проведём прямую PL – след сечения в плоскости ABC – и отметим точку пересечения PL с BC.
  4. Строим след сечения в плоскости SBC и отмечаем точку его пересечения с SC.
  5. Строим след сечения в плоскости SAC и отмечаем точку его пересечения с SA.
  6. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

Использованный на первом шаге построения приём часто называют методом вспомогательных плоскостей. Рассмотрим ещё один пример, где он используется.

Пример 4


Рассмотрим теперь самый общий случай, когда все три точки K, L и M лежат на гранях пирамиды.




Модель 4


  1. Как и в предыдущем случае проведём вспомогательную плоскость CKM, которая пересекает рёбра SA и SB в точках E и F соответственно.
  2. Построим в этой плоскости прямую KM — след плоскости сечения – и отметим точку P пересечения KM с EF.
  3. Точка P, как и L, лежит в плоскости SAB, поэтому прямая PL будет следом сечения в плоскости SAB, а её точки пересечения с SA и SB – вершинами сечения.
  4. Теперь можно построить следы сечения в плоскостях SAC и SBC и отметить их точки пересечения с рёбрами AC и BC.
  5. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

С помощью метода вспомогательных плоскостей можно строить сечения, «не выходя» за пределы многогранника. Вернёмся в связи с этим к примеру 2.

Пример 2’


Точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.




Модель 5


  1. Проведём вспомогательную плоскость SLB и в ней отрезок LM, который принадлежит плоскости сечения.
  2. Проведём ещё одну вспомогательную плоскость BCK и построим точку пересечения SL и CK – точку E. Эта точка принадлежит обеим вспомогательным плоскостям.
  3. Отметим точку пересечения отрезков LM и EB – точку F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости BCK.
  4. Проведём прямую KF и отметим точку пересечения этой прямой c BC – точку N. Эта точка будет недостающей четвёртой вершиной сечения.
  5. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

Можно использовать ту же самую идею иначе. Проведём в начале анализ построенного сечения – т.е. начнём с конца. Допустим, что по точкам K, L и M построено сечение KLMN.




Модель 6


Анализ

Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN. Проведём прямую CF и обозначим через F1 точку её пересечения с гранью SAB. С другой стороны, точка F1 совпадает с точкой пересечения прямых KB и MA, исходя из чего её и можно построить.

Построение

  1. Проведём прямые KB и MA и отметим точку их пересечения F1.
  2. Проведём прямые CF1 и LM и отметим точку их пересечения F.
  3. Проведём прямую KF и отметим точку её пересечения с ребром CB – точку N. Эта точка будет недостающей четвёртой вершиной сечения.
  4. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

Использованный в этом решении приём называют методом внутреннего проектирования. Построим с его помощью сечение из примера 4, когда все три точки лежат на гранях пирамиды.

Пример 3’


Точки K, L и M лежат на гранях пирамиды. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.

Допустим, что сечение уже построено.




Модель 7


Анализ

Пусть плоскость сечения пересекает ребро CB в точке P. Обозначим через F точку пересечения KM и LP. Построим центральные проекции точек K, F и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K1, F1 и M1. Точки K1 и M1 легко находятся, а точку F1 можно получить как точку пересечения K1M1 и LB.

Построение

  1. Построим центральные проекции точек K и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K1 и M1.
  2. Проведём прямые K1M1 и LB и отметим точку их пересечения F1.
  3. Проведём прямые CF1 и KM и отметим точку их пересечения F.
  4. Проведём прямую LF и отметим точку её пересечения с ребром CB – точку P. Это первая вершина искомого сечения.
  5. Проведём прямую PM и отметим точку её пересечения с ребром SB. Это вторая вершина сечения.
  6. Из второй вершины проведём прямую через точку L и найдём третью вершину сечения.
  7. Из третьей вершины проведём прямую через точку K и найдём четвёртую вершину сечения.
  8. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.


УПРАЖНЕНИЯ


Более сложные упражнения помечены звёздочкой.

1. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).

2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).

3. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L и M. Постройте:

4*. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L, M, P, N и Q. Постройте:

5*. На ребре AB треугольной пирамиды SABC отмечена точка K. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной BC и SA.




Модель


6*. На рёбрах AB и CS треугольной пирамиды SABC отмечены точки K и M. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K и M и параллельной AS.




Модель


7*. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M, лежащих в плоскостях её боковых граней (но не на самих гранях!).




Модель


8*. На плоскости проведены три луча с общим началом – a, b и с – и отмечены три точки – A, B и C. Постройте треугольник, вершины которого лежат на этих лучах, а стороны проходят через точки A, B и C.




Модель


Сложные сечения. Метод следа — Сечения многогранников и тел вращения

                Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

                Основные правила построения сечений методом следа:

  • Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
  • Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
  • Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

                       То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. 
                       Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. 
                      В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения». 

Рассмотрим задачи:

Пример 1

Постройте сечение призмы A1B1C1D1ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K. Рассмотрите все случаи расположения точек M, N, K на поверхности призмы

Рассмотрим случай

M ϵ BB1 , N ϵ CC1D1D,  K ϵ AA1E  .  В данном случае очевидно, что М1 =
В1  .

Построение

1.     MN ∩ M1N1
= X

2.     MK M1K1
= Y

3.     XY =s – след секущей плоскости

4.     A1K1
∩ s  = A0

5.     A1K∩ AA1
=A, A1K∩ EE1 = E.

6.     D1N1
∩ s =D0

7.     D0N ∩ DD1
=D, D0N ∩ CC1 = C.

AMCDE — искомое сечение
Пример 2

Постройте сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку M, принадлежащую грани SBC и прямую l, лежащую в грани SED 

Построение

1.    
SM ∩ BC = M1

2.    
l  ∩SD = D, l ∩ SE=E.

3.    
ME ∩ ME1 = X, l ∩ ED= Y, XY=s – след секущей плоскости

4.    
s ∩ AB = K, s ∩ AE = N

5.    
BC ∩ s = B0, B0M ∩ SB = B, B0M ∩ SC = C.

6.    
KBCDEN – искомое сечение

                 При объяснении шагов построения можно использовать  факты стереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачи фигурах. Например, в последнем примере комментарии учителя могут быть следующими: 

  • То, что дано, считается построенным.
  • Так как точка M лежит в грани SBC, то прямые SM и BC пересекаются, следовательно, легко построить их точку пересечения M1
  • Прямая l лежит в грани SED, значит, она пересекает ребра SD и SE в точках D’ и E’ (на рисунке эти имена даны с верхней горизонтальной чертой)
  • Находим прямую s пересечения плоскости основания и секущей плоскости, используя известные точки M, D’, E’ в секущей плоскости
  • Очевиден шаг построения
  • Прямые BC и s лежат в одной плоскости, B0 – их точка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и в плоскости SBC. Точка M лежит в секущей плоскости и в плоскости SBC. Следовательно, прямая B0M является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SBC. Таким образом, легко построить точки и B’, C’

Пример 3 Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R

Построение

  • Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
  • Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
  • Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
  • Прямая S1S2 — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
  • Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
  • PQRTU – искомое сечение.

Сечение многогранника плоскостью — Энциклопедия по машиностроению XXL







Сечение многогранника плоскостью  [c.115]

Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами — отрезки прямых пересечения граней многогранника с той же плоскостью.  [c.61]

Поэтому построение сечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью или же к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей ( 10). Так как решение первой задачи проще, нежели решение второй, то обычно при построении сечения многогранника строят вершины сечения как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. После построения вершин сечения следует соединить отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника. При этом стороны сечения, лежащие в видимых гранях, будут видимы, а лежащие в невидимых гранях — невидимы.  [c.61]












Рассмотрим несколько примеров построения сечения многогранника плоскостью, причем вначале разберем простейшие случаи, когда либо секущая плоскость, либо поверхность многогранника является проецирующей.  [c.62]

Различают два способа построения сечения многогранника плоскостью способ ребер — определяются вершины многоугольника-сечения способ граней — определяются стороны многоугольника-сечения.  [c.40]

На рис. 48 приведена упрощенная схема машинного построения сечения многогранника плоскостью по способу ребер. В машину вводятся координаты Xt, Уи Zf всех вершин многогранника с указанием всех ji ребер многогранника, проходящих через каждую вершину, и коэс ициенты уравнения секущей плоскости Г.  [c.41]

Из предыдущего известно, что в сечении многогранника плоскостью образуется многоугольник, который может быть построен либо определением точек встречи ребер многогранника с секущей плоскостью, либо определением линий пересечения граней многогранника с этой плоскостью.  [c.89]

Пересечение многогранника плоскостью. Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны-линиями пересечения граней с плоскостью (рис. 51, а). Таким образом, построение сечения многогранника плоскостью сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линии пересечения плоскостей.  [c.42]

СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ  [c.134]

При сечении многогранников получаются плоские многоугольники, число сторон которых равно числу пересеченных граней. Стороны этих многоугольников представляют собой линии пересечения граней многогранников и секущей плоскости, а их вершины— точки пересечения ребер многогранников — с секущей плоскостью. Таким образом, для решения задачи на построение сечения многогранника плоскостью необходимо уметь 1) строить линии пересечения двух плоскостей и 2) определять точки пересечения прямой с плоскостью.  [c.134]

Рассмотренные примеры следует использовать при решении задач на построение сечений многогранников плоскостью.  [c.137]

Контрольные вопросы и упражнения. 1. К каким простым задачам сводится задача на построение сечения многогранника плоскостью 2. Постройте три проекции призмы (рис. 253, а) и натуральную величину фигуры сечения ее плоскостью Р. 3. В какой последовательности следует строить аксонометрические проекции усеченных многогранников 4. Постройте прямоугольную диметрическую проекцию усеченной шестиугольной призмы (рис. 253,6).  [c.141]












Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются плоские многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника .  [c.123]

Построить сечение многогранника плоскостью общего положения, проведенной под углом а к П1.  [c.148]

Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением. Проекции многоугольника сечения могут преобразовываться (вырождаться) в прямые и точки.  [c.113]

Многоугольником сечения является шестиугольник 134562, ГЗ 4 5 6 2. Для построения линии пересечения многогранника плоскостью вспомогательные секущие плоскости можно выбирать каждую через одну грань многогранника.  [c.115]

Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника. Очевидно, сечение представляет собой плоский многоугольник с его внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многоугольников, вырождаться в прямые и точки.  [c.40]

Построение сечений многогранников проецирующими плоскостями и плоскостями общего положения.  [c.41]

Сначала строят сечение многогранника проецирующей плоскостью. Эта задача решается весьма просто, так как одна проекция сечения вырождается в отрезок прямой, а построение второй проекции сводится к многократному решению задачи на принадлежность.  [c.41]

Фигура сечения (1 — 2 — 3) многогранника плоскостью 3( 32), которая параллельна его основанию, подобна фигуре основания (рис. 111,6).  [c.121]

При пересечении какой-либо поверхности или тела плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Очевидно, что сечение многогранника может быть ограничено только отрезками прямых, причем оно может состоять из одного или нескольких многоугольников . Число сторон такого многоугольника равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Например, в зависимости от направления секущей плоскости сечением куба может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник (рис. 119).  [c.85]

Плоские сечения многогранников представляют собой замкнутые фигуры, вершины и стороны которых определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного геометрического тела. Таким образом, для построения сечений находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые, по которым плоскость пересекается с гранями тела. Первый способ называют способом ребер, второй — способом граней. Покажем применение их на следующих конкретных примерах.  [c.97]

Фигурой сечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник, чи ло вершин и сторон которого определяется числом пересеченных ребер и граней многогранника.  [c.135]



Рис. 57. Сечение многогранника фронтальной плоскостью

Многогранная поверхность называется выпуклой, если она расположена по одну сторону от плоскости любой ее грани. Сечение выпуклого многогранника плоскостью-всегда выпуклый многоугольник.  [c.36]

Плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью, называется сечением. Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадает с проецирующим следом плоскости.  [c.42]

Итак, при решении задач на пересечение многогранника плоскостью необходимо выделить частный случай, когда один из пересекающихся элементов (секущая плоскость или пересекаемая поверхность) занимает проецирующее положение и одна проекция сечения известна.  [c.42]

В сечении многогранника плоскостью образуется многоугольник. Вершины многоугольника образуются пересечением ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника — линии пёре-сечения плоскости с гранями многогранника. Задача на определение сечения многогранника плоскостью может быть решена или определением точек встречи ребер фигуры с секущей плоскостью (способ ребер), или нахождением линии пересечения граней многогранника плоскостью (способ граней). Чаще применяется первый способ.  [c.81]



Задачу решаем в такой последовательности (рис. 164). Через прямую EF проводим вспомогательную плоскость Р, обычно проецирующую. Строим фигуру сечения многогранника этой вспомогательной плоскостью. Точки пересечения сторон многоугольника сечения с прямой являются точками пересечения прямой с многогранником. Если прямая EiFi не пересекает многоугольник сечения, то она не пересекает и многогранник.  [c.115]

Сечение многогранника нлоскосгыо представляет собой плоский многоугольник (отсек п.юскости), число сторон которого равно числу пересечегщых граней. Стороны такого многоугольника представляют собой линии пересечения граней многогранника и секущей плоскос и, а его aepujHHbi — точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью (рис. 94).  [c.46]

Грани призмы являются плоскостями уровня. Поэтому построение линии пересечения поверхностей многогранников выполним способом граней. Сначала строим сечение пирамиды плоскостью Г верхней грани призмы. Из полученного треугольного сечения выделяем ломаную 1234, раеполо-женную в пределах верхней грани призмы. Затем строим треу10льное  [c.117]

В ряде случаев решение получается графически проще и точнее, если данную прямую заключить в плоскость общего положения. Обычно это имеет место, если или данная прямая или часть ребер поверхности многогранника являются профильными прямыми уровня. Также полезно заключать данную прямую в плоскость общего положения, если в этом случае сечение многогранника имеет значительно меньше вершин по сравнению с сечением многогранника проецирующей плоскостью. Например, требуется построить точки пересечения прямой I с поверхностью пирамиды SAB D (рис. 53).  [c.43]

Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются MHoroyi ольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости).  [c.131]

Сечение многогранника может быть ограничено только отрезками прямых. Число сторон такого многоугольника равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Вершинами многоугольника сечения являются точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью. Следовательно, число верпшн многоугольника равно числу рёбер многогранника, пересекаемых секущей плоскостью.  [c.89]

Эпюрное решение линии пересечения двух пирамид одинаковой высоты представлено на рис. 205. И здесь ось пучка простейших секущих плоскостей является их горизонталью. Поэтому горизонтальные следы вспомогательных плоскостей параллельны Отличительная особенность рассматриваемого на рис. 205 примера заключается в том, что линия пересечения пирамид распалась на две замкнутые ломаные два треугольника. Для определения вершин искомой ломаной через каждое ребро проводилась простейшая секущая плоскость, строилось сечение многогранника этой плоскостью и, наконец, отмечались точки пересечения исследуемого ребра с построенным плоским сечением. Так, через ребро З Р проведена плоскость горизонтальный след которой проходит через одноименный след ребра — точку / параллельно 1 2. Треугольник 51Л11Л1а является сечением пирамиды ЗхАВС плоскостью  [c.119]


построить сечение пирамиды

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

 

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

 

 

 

 

 

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

 

Треугольник MNP — искомое сечение.

 

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

 

 

 

Треугольник BKL — искомое сечение.

 

 

 

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

 

 

 

 

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

 

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

 

 

 

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с  прямой AS. Назовем эту точку R.

 

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

 

 

 

 

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

 

 

 

 

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

 

 

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

 

 

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

 

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Урок 7. тетраэдр и параллелепипед — Геометрия — 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок №7. Тетраэдр и параллелепипед

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. понятие тетраэдра;
  2. понятие параллелепипеда;
  3. свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда;
  4. определение сечения в фигуре;
  5. метод следа.

Глоссарий по теме

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник   Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

Тетраэдр состоит:

  1. из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
  2. из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
  3. из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается АВС — основание, остальные грани — боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Архитектурные решения

Солнечные панели

Рисунок 2 — тетраэдр в повседневной жизни

Параллелепипед.

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Рисунок 3 – параллелограмм

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

AB=DC,  BC=AD

 

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

∟A=∟C, ∟B=∟D

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

BO=OD, AO=OC

  1. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

  1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

∟BAC=∟ACD, ∟BCA=∟CAD

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 параллельны.

АВСDА1В1С1D1 — параллелепипед.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы — грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A1B1C1D1 — основания, остальные грани — боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A1C, D1B, AC1, DB1.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

Свойства параллелепипеда

  1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
  2. Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательство 1

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1грани ВВ1С1С и AA1D1D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ1 и В1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА1 и A1D1 другой; эти грани и равны, так как В1С1 = A1D1, В1В= А1А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ1С1= ∟АA1D1.

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Доказательство 2

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС1 и ВD1, и проведём вспомогательные прямые АD1 и ВС1 (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D1С1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD1С1В есть параллелограмм, в котором прямые С1А и ВD1 —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС1, с третьей диагональю, положим, с В1D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B1D и АС1 и диагонали АС1 и BD1(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали 
АС1. Наконец, взяв эту же диагональ АС1 с четвёртой диагональю А1С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС1. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется — плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

  1. Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
  2. Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
  3. Многогранник и плоскость имеют общую грань.
  4. Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

  • сечение параллельное плоскости основания,
  • диагональное сечение,
  • сечение, параллельное плоскости грани,
  • произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

    1. треугольник;
    2. четырехугольник;
    3. пятиугольник;
    4. шестиугольник.

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Задача №1.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Решение.

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

  1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
  2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
  3. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
  4. Прямая S1S2 — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
  5. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
  6. PQRTU – искомое сечение.

  Основные правила построения сечений методом следа:

  • Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
  • Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
  • Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. 

Задача №2.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р. 

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN.

Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р21 – искомое сечение.

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Пример 2.

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Доказательство

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано. 

Рисунок 12 — чертеж к примеру 2

Трехмерные фигуры

Трехмерные фигуры

Вернуться к содержанию

Обзор базовой геометрии — Урок 9

Обзор урока

Плоскости: параллельные, перпендикулярные и прочие

Точка, линия и плоскость — неопределенные термины. Несколько предположений
были сделаны вокруг них с помощью постулата точка-линия-плоскость
в уроке 1.
Для самолетов мы должны добавить еще три предположения ниже.

  • Плоскость Допущение: Если две точки лежат на плоскости,
    линия, содержащая их, лежит в плоскости.
  • Допущение уникальной плоскости: Через три неколлинеарных точки,
    есть ровно один самолет.
  • Пересекающиеся плоскости Допущение: Если две разные плоскости
    имеют общую точку, то их пересечение является линией.

Самолеты не имеют неровностей и, как линии, продолжаются вечно.Три (неколлинеарные) точки определяют плоскость.
Также определяют три точки: треугольник; линия и точка не на линии;
и две пересекающиеся линии. Ровно один самолет содержит их.
Таким образом, стул на трех ножках стабилен, но большее количество ножек может вызвать
стул качаться.
Поскольку линии не имеют толщины, плоскости также не имеют толщины.
Линия, не лежащая на плоскости, может пересекать плоскость не более чем в одной точке.

Мера наименьшего из всех возможных углов определяет
угловая мера между линией и плоскостью.
Если линия l пересекает плоскость X в точке P , то
линия l перпендикулярна плоскости X
( л X )
тогда и только тогда, когда l перпендикулярно каждой линии в X , которая содержит
П .
Теорема о прямом и плоскости перпендикуляра:
Если линия перпендикулярна двум разным линиям в их точке
пересечения, то он перпендикулярен плоскости, которая содержит эти прямые.

Две плоскости равны параллельным плоскостям тогда и только тогда, когда у них нет точек.
общие или они идентичны.
Опять же, это всеобъемлющее определение не используется повсеместно.
Расстояние между параллельными плоскостями — это длина сегмента
перпендикулярно плоскостям с концами в каждой плоскости.
Измеряется расстояние между плоскостью и точкой не на ней.
по перпендикулярному отрезку от точки к плоскости.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла .
Меру этих углов можно указать, построив
лучей, перпендикулярных линии пересечения, и измеряя те
углы образовались.
Косые линии — это некомпланарные линии, которые не пересекаются.

Так же, как есть разница между многоугольником и многоугольной областью,
мы различаем поверхность трехмерной фигуры и пространство
он включает.С этого мы начинаем твердую геометрию .
Коробка , поверхность прямоугольного твердого тела , или
параллелепипед — одна из важнейших трехмерных фигур.
Коробка имеет шесть граней , каждая из которых представляет собой прямоугольную область.
Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях.
Куб — это прямоугольник с квадратными областями всех граней.
ребер — это линейные сегменты, где грани пересекаются.
Концами ребер являются вершин .Коробка имеет 12 ребер и 8 вершин.
На рисунке справа показано типичное двухмерное изображение.
а также

tesserack или гиперкуб — это четырехмерный аналог куба.
На рисунке слева показано двухмерное представление этого четырехмерного объекта.
Более подробную информацию о них можно найти
видел и
нашел.
Многие люди с трудом верят, что такое может существовать, поэтому такие книги, как
Плоская земля
(Эбботт, 1884 г.),
Sphereland
(Бюргерс, 1983), и
Флаттерленд
(Стюарт, 2001) были
написано.

Цилиндрические твердые тела / поверхности: призмы и цилиндры

Цилиндрическое тело — это набор точек между областью и
его переводное изображение в пространстве, включая регион и его изображение.
Цилиндрическая поверхность — это граница цилиндрического твердого тела.
Цилиндр представляет собой поверхность цилиндрического твердого тела с круглым основанием.
Призма — это поверхность цилиндрического твердого тела с многоугольным основанием.

Цилиндрические тела имеют два основания , которые конгруэнтны и параллельны плоскостям.
Поверхность, исключая основания, известна как боковая поверхность .
Высота или высота — это расстояние между самолетами.
баз. Если вектор трансляции перпендикулярен плоскостям
основания, цилиндрическое тело — это правый цилиндр или правая призма ,
в противном случае — косой .Призмы названы по форме их
база. Неосновные грани призмы известны как боковые грани , которые
сходятся на боковых гранях . Правая призма, основание которой — правильный многоугольник
это обычная призма .

Конические тела / поверхности: пирамиды и конусы

Коническое тело — это набор точек на любом сегменте между областью
(основание ) и точка (вершина ) не в плоскости
база.
Коническая поверхность — это граница конического твердого тела.
Пирамида — это поверхность конического твердого тела с многоугольным основанием.
Конус — это поверхность конического твердого тела с круглым основанием.

Конические тела имеют только одно основание .
Пирамиды имеют боковых граней, соединяющих вершины основания.
многоугольник с вершиной . В конусе боковой гранью является любой отрезок.
конечными точками которого являются вершина и точка на основной окружности.Треугольные, неосновные грани пирамиды — это боковых граней .
Пирамиды и конусы также могут быть правыми или наклонными .
Правильная пирамида с правильным многоугольным основанием также правильная .
Конус также имеет ось , которая является
линия (не сегмент) через вершину и центр основания.
Высота коники — это расстояние между вершиной и вершиной.
самолет, содержащий базу.
В правильной пирамиде наклонная высота
высота любой боковой грани (треугольника).Только в правом конусе она равна длине бокового края.
Конус или пирамида могут быть усеченными — многие стаканы
усеченные конусы. Усеченный конус тоже
известен
в виде усеченного конуса .

Сферы и прочие предметы круглые

Сфера — это множество точек в пространстве на
определенное расстояние ( радиус ) от точки ( центр ).

Сферы имеют нулевых оснований .Сферу можно рассматривать как трехмерный аналог круга.
Двойной радиус — это , диаметр .
Hypersphere или 4-ball — это четырехмерный аналог сферы.
(Аналог намеренно пишется по-другому, но здесь тоже правильно.)
Шар (круг, сфера, гиперсфера) размером n называется шаром n .

Плоское сечение трехмерной фигуры — это
пересечение этой фигуры с плоскостью.

Сфера и плоскость могут пересекаться очень немногими способами. Во-первых, самолет мог
касайтесь сферы только в точке. Эта плоскость должна быть касательной в этой точке.
таким образом линия, содержащая центр сферы и точку
пересечение будет нормальным (перпендикулярным) к плоскости. Во-вторых,
плоскость пересекается более чем в одной точке, и в этом случае пересечение
это круг. Это пересечение называется малым кругом .
если плоскость не содержит центр круга, в этом случае
он известен как большой круг .Большие круги делят сферы на полушарий , буквально полусферы.
Маршруты большого круга очень
важны в навигации, потому что они содержат кратчайшее расстояние
между двумя точками на поверхности.
Геодезическая — это общий термин для кратчайшего расстояния между двумя точками.
Метрика — это термин из общей теории относительности. Так мы измеряем пространство-время.
В терминах дифференциального исчисления это:
dx 2 + dy 2 + dz 2 c 2 dt 2 . Antipode прямо противоположное или противоположное; также точки сферы, такие
как земля, которые диаметрально противоположны (противоположные концы диаметра).

Земля представляет собой сплюснутый сфероид (в форме M & M, то есть сплющенный на полюсах).
и из трех взаимно перпендикулярных радиусов повторяется тем длиннее).
Вытянутый сфероид больше похож на футбольный мяч или сигару
(из трех взаимно перпендикулярных радиусов повторяется тем короче).В эллипсоиде три взаимно перпендикулярных радиуса имеют разную длину.
Посмотреть этот сайт
для некоторых диаграмм и определений, включая тор или пончик.

Гипотеза Кеплера

К 1606 году Кеплер начал работу над тем, что стало известно как
Гипотеза Кеплера
после получения письма от Харриота
которые работали над проблемой не менее 15 лет.
Сэр Уолтер Рэли
фактически предложил это своему помощнику Харриоту.Проблема заключается в наиболее эффективном расположении упаковки.
для пушечных ядер или, в конечном счете, атомов в кристалле,
хотя в то время о строении атома было мало что известно.
В конце концов Кеплер предположил, что
гранецентрированная кубическая (FCC) [и эквивалентно
гексагональная плотная упаковка (HCP)]
оба дали оптимальную плотность упаковки сфер.
В конце концов, эта проблема стала частью C проблемы 18 Гильберта.
знаменитый список из 23 человек, созданный в 1900 году.
До 1990-х годов это оставалось одним из последних
нерешенные проблемы дискретной геометрии.В 1990 г. У-И Сян разослал препринты, а в 1992 г.
представил для публикации 100-страничное доказательство, которое осталось
неприемлемым в математическом сообществе из-за его
нечеткость и отсутствие логической прогрессии.
Хотя он был опубликован в
International Journal of Mathematics , у некоторых есть
«сомнения в серьезности судейства»
поскольку «журнал Journal редактируется коллегами Сяна из Беркли».
Это «нельзя считать доказательством».»
( Гипотеза Кеплера , Джордж Спиро, 2003, стр. 150.)
Примерно в 1996 году Хейлз начал противоречивое доказательство, которое следует
вычислительный подход.
9 августа 1998 г. Сэм Хейлз объявил
доступность
статей и препринтов, доказывающих гипотезу Кеплера.
В январе 1999 г. недельный семинар, посвященный исключительно гипотезе Кеплера.
был проведен в Институте перспективных исследований в Принстоне, где эксперты
чистил его со всех сторон. Они требовали публикации в
Анналы математики .В конечном итоге он был (будет?) Опубликован, но
с беспрецедентным отказом от ответственности, что судьи не могут
проверить доказательство.

Конические секции

Nappes является множественным числом от Nappe .
Конус называется двойным, если мы говорим о полном конусе.
который больше похож на песочные часы или две «круговые пирамиды»
соединились в их вершинах.
Одиночная «пирамида с круговым основанием» — это то, что большинство студентов подумают как конус.

Выше показано пересечение плоскости с конусом — двойным
ворсанный конус. Эти loci (наборы точек) представляют собой конические секции.
Loci имеет множественное число для , локус (набор точек).
Эти конические сечения ( круг , эллипс , парабола ,
и гипербола ) будут изучены более широко в алгебре II.
См. Эту веб-страницу для получения более подробной информации.

Платоновы тела

Платоново тело — это выпуклые многогранники с
все грани одинаковые многоугольники.
Как показано ниже, их ровно пять.

Платоновы тела также известны как правильные многогранники.
Тетраэдр также известен как треугольная пирамида .
Шестигранник также известен как куб .
Дуалы особенно важны в кристаллографии, где
рассеянное излучение
(электроны,
нейтроны,
рентгеновские лучи)
лучше всего изучать в обратном пространстве.
Глядя на таблицу выше, подумайте о формуле Эйлера
который связывает количество граней, вершин и ребер любых многогранников:
F + V = E + 2.

Нетрудно показать, что правильных многогранников всего пять.
(выпуклый и грани все же правильный многоугольник).
Подумайте, сколько одинаковых правильных многоугольников может сойтись в одной вершине.
Нам всегда нужно больше двух, если мы собираемся сложить его и
оградить любое пространство.
Для треугольников (с углом 60 °) шесть составят мозаику плоскости.
Следовательно, необходимо учитывать три, четыре и пять, и результаты могут быть
рассматриваемый выше как тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.Для квадратов (с углом 90 °) четыре будут разбивать плоскость мозаикой.
Следовательно, нужно рассматривать только три, и куб является результатом.
Для пятиугольника (с углом 108 °) четыре превышают 360 °.
Следовательно, нужно рассматривать только три, и в результате получается додекаэдр.
Три шестиугольника (с углом 120 °) образуют мозаику на плоскости.
Таким образом, мы исчерпали все возможности, в результате чего получилось пять
правильные многогранники или платоновы тела.

Эта ссылка
ведет на страницу с описанием пяти платоновых тел с
цветные фигурки.Этот сайт
есть твердые тела, которые можно вращать.
Этот сайт
ссылки на многие другие хорошие сайты.
Древние связывали пять платоновых тел с огнем (4), землей (6),
воздух (8), вода (20) и космос (12).

Твердые тела Архимеда

В Archimedian Solid твердое тело выпуклое, все вершины идентичны,
все грани — правильные многоугольники, но не все одинаковые.

Твердые тела Архимеда можно классифицировать по набору чисел, который указывает
количество сторон многоугольников в каждой вершине.Таким образом, {3,6,6} будет обозначать один треугольник и два шестиугольника в каждой вершине.
Остальные двенадцать: {3,8,8}; {4,6,6}; {3,10,10}; {5,6,6};
{3,3,4,4}; {3,3,5,5}; {3,4,4,4}; {4,6,8}; {3,4,4,5}; {4,6,10}; {3,3,3,3,4};
и {3,3,3,3,5}.
Эта (неработающая) ссылка
ведет на страницу с описанием тринадцати архимедовых или полурегулярных тел,
в комплекте с цветными фигурами.

C 60 — высокосимметричная молекула чистого углерода.
Форма такая же, как у футбольного мяча или
Archimedian Solid усеченный икосаэдр: {5,6,6}.C 60 часто обозначается как Buckyballs.
Технически это твердое тело Архимеда представляет собой усеченный изокаэдр .
Это имя происходит от имени Ричарда Бакминстера Фуллера,
известен своими геодезическими куполами .
Степан центр
в Нотр-Дам является местным примером.
C 60 является одним из класса известных соединений
как фуллерены также называют в честь американского архитектора выше.
Молекула C 60 была открыта в 1985 году, когда группа
пытался понять спектры поглощения межзвездной пыли.Их работа принесла им Нобелевскую премию по химии 1996 года.
Первоначально производился в очень малых количествах или извлекался из сажи.
теперь доступен и является центром множества разнообразных исследований.
Длинные углеродные трубки называются
нанотрубки также были произведены.
C 60 представляет собой новую, неожиданную кристаллическую форму твердого вещества.
углерод. Другие формы: тетраэдрическая углеродная связь в алмазе.
и соединение листового типа в графите имеет гораздо более долгую историю.Видеть
На этой странице представлена ​​краткая, хорошо задокументированная история C 60 .

Пентамино

Пентамино.

Мои исследовательские интересы связаны с утроением пентамино из
подмножество 9 из 12.
Можете ли вы утроить все 9 в наборе или даже все 12?
Можете ли вы втрое повторить данное пентамино со всеми 220 подмножествами?

Симметрия, виды и сети

Отражения меняют ориентацию, таким образом, как двумерные фигуры, трехмерные фигуры могут
также быть прямо конгруэнтным или противоположно конгруэнтным .Это особенно важно в органической химии, где ориентация
из четырех связей вокруг углерода (тетраэдр) имеет решающее значение для жизни.
Посмотри это

ссылка для получения дополнительной информации (загрузить
плагин звонка).

Я думал, что в последние годы была распространена диетическая добавка с обоими изомерами,
и много людей погибло,
но триптофан
похоже, в конечном итоге возникла другая (димерная) проблема.

Архитекторы часто рисуют в масштабе просмотров или планы зданий.Некоторые могут назвать эти отметок .
Этот сайт
есть сети для многих твердых тел и другие лакомые кусочки.

Сетка — это двухмерная фигура, которую можно складывать на сегменты
или изогнутый на своих границах в трехмерную поверхность.

Раскраска карты

http://www.ams.org/notices/199807/thomas.pdf

Сколько цветов необходимо и сколько цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на плоскости?
На сфере (4)?
На ленте Мебиуса (6)?
На торе (7)?
Карты с границами, состоящими только из прямых или окружностей
может понадобиться еще меньше цветов! (Смотрите рисунок справа.)
За исключением плоскости / сферы, эти вопросы были
легко ответить.

Как и сеть, карта представляет собой двумерное приближение для трехмерной фигуры.
Когда это карта земли, часто встречаются различные искажения.

Если вы взяли глобус и разрезали его примерно через каждые 15 ° долготы,
в результате пробок (см. рисунок слева) можно было уложить ровно. Это было бы
довольно точно, но довольно неудобно — разные части
одна и та же страна будет на разных глубинах и фактической форме
этих стран трудно увидеть.Исторически сложилось так, что проекция Меркатора , созданная
обычно используется фламандский картограф 1569 года.
Особенно искажены участки земли возле полюсов, что приводит к
Африка (11 миллионов миль 2 ) размером с Гренландию
(менее 1 миллиона миль 2 ).
Это происходит потому, что проекция Меркатора на самом деле является чистой
для цилиндра, а не для сферы. Преобразование может быть сгенерировано расширением
лучи из центра земли на боковую грань цилиндра.Как указано выше, это преобразование не является изометрией.
Однако он сохраняет промежуточность и коллинеарность,
по линиям долготы и широты.
Таким образом, четыре направления (север, юг, восток и запад)
находятся на перпендикулярных линиях.

Изучив карты, Фрэнсис Гатри в 1852 году предположил, что любой
карту на сфере или плоскости можно выделить / раскрасить
всего четыре цвета. Нетрудно заметить, что необходимы четыре цвета (см. Справа).Однако доказательство достаточности части было завершено только в 1976 году.
Даже тогда доказательство, предоставленное Хакеном и Аппелем , было спорным.
уже много лет. Споры возникли из-за того, что они использовали компьютер
чтобы доказать, что нужны были только четыре цвета
для каждого из 1952 типов возможных карт. Проблема была встроена в
теория графов
перед этим анализом.

Теорема о четырех цветах .
Предположим, что области, имеющие общую границу некоторой длины, должны иметь
разные цвета.Тогда любая карта регионов на плоскости или сфере может
быть раскрашенным таким образом, чтобы потребовалось всего четыре цвета.
Предположено Гутри в 1852 году; доказано Хакеном и Аппелем в 1976 году.

Ниже представлен раздаточный материал для домашнего задания 9.8 №26.
(Где-то добавить угол наклона / склонения и
график для двугранных углов.)

Многогранник | Encyclopedia.com


Многогранник — это замкнутое трехмерное твердое тело, полностью ограниченное по крайней мере четырьмя многоугольниками, два из которых не находятся в одной плоскости.Многоугольники — это плоские двухмерные фигуры (плоскости), ограниченные прямыми сторонами. Квадрат и треугольник — два примера многоугольников.

Количество сторон каждого многоугольника — главная особенность, отличающая многогранники друг от друга. Некоторые общие многоугольники — это треугольник (с тремя сторонами), четырехугольник (с четырьмя сторонами), пятиугольник (с пятью сторонами), шестиугольник (с шестью сторонами), семиугольник (с семью сторонами) и восьмиугольник (с восемью сторонами). стороны).

Правильный многоугольник, как и квадрат, имеет равные внутренние углы и равные длины сторон.Многоугольник считается неправильным, если его внутренние углы не равны или если длины его сторон не равны.

Каждый многоугольник многогранника называется гранью. Прямая сторона, пересекающая две грани, называется ребром. Точка, в которой встречаются три или более ребра, называется вершиной. На рисунке ниже показаны эти особенности для куба, который представляет собой хорошо известный многогранник, состоящий из шести квадратных граней.

Связь между количеством вершин ( v ), граней ( f ) и ребер ( e ) задается уравнением v + f — e = 2.Например, куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер, что дает 8 + 6 — 12 = 2. Значение v + f — e для многогранника называется эйлеровой характеристикой поверхности многогранника. в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783). Используя эйлерову характеристику и зная две из трех переменных, можно вычислить третью переменную.

Платоновы и архимедовы тела

Существует множество групп многогранников, классифицируемых по определенным характеристикам — слишком много, чтобы обсуждать их здесь.Одна общая группа известна как Платоновы тела, названные так потому, что ее пять членов появились в трудах греческого философа Платона. Платоновы тела входят в большую группу, известную как правильные многогранники, в которой многоугольники каждого из них правильные и конгруэнтные (то есть все многоугольники одинаковы по размеру и форме, а все ребра одинаковы по длине) и характеризуются одинаковыми количество полигонов, пересекающихся в каждой вершине.

На иллюстрации ниже изображены пять Платоновых тел (слева направо): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Тетраэдр состоит из четырех треугольных граней и представлен как {3, 3}, в котором первые 3 указывают, что каждая грань состоит из трех сторон, а вторые 3 указывают, что три грани встречаются в каждой вершине. Куб, иногда называемый шестигранником, имеет шесть квадратных граней и представлен как {4, 3}. Октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольников и состоит из двух одинаковых квадратных пирамид, основанных на основании. Октаэдр представлен как {3, 4}. Додекаэдр состоит из пяти сторон каждой грани и трех пятиугольников, пересекающихся в каждой из двадцати вершин многогранника.Он представлен {5, 3}. Икосаэдр состоит из пяти равносторонних треугольников вокруг каждой вершины. Он содержит равносторонние равносторонние треугольники с двадцатью гранями и двенадцатью вершинами и описывается как {3, 5}.

Архимедовы тела. Другая распространенная группа многогранников — это архимедовы тела, в которых появляются два или более различных типа многоугольников. Каждая грань представляет собой правильный многоугольник, и вокруг каждой вершины появляются одинаковые многоугольники в той же последовательности. Например, усеченный додекаэдр состоит из последовательности пятиугольник-пятиугольник-треугольник.

Сетки

Многогранник можно «раскрыть» вдоль некоторых его краев до тех пор, пока его поверхность не расплющится, как коврик. Полученная карта, похожая на выкройку портнихи, называется сеткой. Сеть содержит все грани многогранника, некоторые из которых разделены угловыми промежутками. Поскольку сетка представляет собой плоский узор, который затем можно сложить по краям и связать вместе, чтобы восстановить исходный многогранник, сетка, таким образом, позволяет легко создавать базовые многогранники из бумаги. Построение моделей многогранников может облегчить изучение геометрических понятий.

см. Также Сети.

Уильям Артур Аткинс с

Филип Эдвард Кот

Библиография

Хендерсон, Кеннет Б. Современная геометрия: ее структура и функции. Сент-Луис: Webster Division McGraw-Hill Book Company, 1962.

Многогранники (трехмерные формы) | NZ Maths

Назначение

В этом разделе учащиеся создают и исследуют различные многогранники (трехмерные объекты), уделяя особое внимание созданию сетей.

Конкретные результаты обучения

  • Создавайте модели многогранников из структурированных или повседневных материалов.
  • Используйте термины грани, ребра и вершины для описания моделей многогранников.

Описание математики

Многоугольник — это двумерная фигура с прямыми сторонами. Многогранник — это полностью замкнутый трехмерный объект, грани которого представляют собой многоугольники. Существует много различных семейств многогранников, включая призмы, пирамиды и Платоновы тела.

Термины, обычно используемые для описания атрибутов многогранников, включают:

  • Грань: один многоугольник в твердой фигуре
  • Кромка: линия, где две грани соединяются
  • Вершина: точка пересечения ребер — угол

В 1750-х годах Леонард Эйлер обнаружил известную связь между этими тремя владениями. Количество вершин плюс количество граней, отведенных от двух, равно количеству ребер.

E = V + F — 2

Возможности адаптации и дифференциации

Учебные действия в этом разделе можно дифференцировать, варьируя предоставленные строительные леса или изменяя сложность задач, чтобы сделать возможности обучения доступными для широкого круга учащихся.Способы поддержки студентов включают:

  • предоставляет готовые версии моделей, на которые студенты могут ссылаться при создании своих собственных
  • предоставляет сети, которые студенты могут использовать для изготовления моделей
  • , ограничивающее количество моделей, которые студентам предлагается сделать.

Этот модуль ориентирован на построение определенных геометрических фигур и поэтому не установлен в реальном контексте. Есть способы адаптировать его к интересам и опыту ваших учеников.Например, учащимся может быть предоставлена ​​возможность украсить модель своего любимого твердого тела многогранника в стиле, который они выберут для демонстрации в классе. Это могут быть как культурные мотивы, так и любимые цвета, узоры или изображения.

Действия

Начало работы

  1. Покажите студентам PowerPoint One. На первом слайде показан футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников.
    Что вы знаете об этой твердой форме?
  2. Попросите студентов обратить внимание на формы, составляющие твердое тело.
    Какие формы вы видите? (Пентагоны и шестиугольники)
    Посмотрите на вершины (углы). Сколько каждой формы пересекаются в одной вершине? Эта комбинация одинакова для каждой вершины? (Два шестиугольника и один пятиугольник пересекаются в каждой вершине.)
  3. На втором слайде показан куб. Покажите учащимся куб, который вы построили из пластиковых многоугольников (полидронов, геоформ и т. Д.) Или карты (см. Ниже).

    Как называется эта сплошная форма? (куб)
    Из каких форм он сделан? (квадраты)
    Сколько таких фигур необходимо? (шесть)
    Как вы можете сосчитать лица, чтобы проверить, пересчитаете ли вы их все? (e.грамм. сверху и снизу, четыре грани вокруг середины.)

  4. Объясните, что углы можно назвать вершинами.
    Сколько вершин у куба? (восемь)
    Как вы их посчитали?
    Сколько ребер у куба?
    (12)

  5. Задайте себе задачу:
    Сколько различных твердых тел вы можете сделать, используя только равносторонние треугольники или квадраты? Давайте попробуем построить твердые тела, которые выглядели бы сбалансированными.
    При необходимости вернитесь к примеру с футбольным мячом, чтобы показать пример симметричного сбалансированного тела.

    Дайте студентам время собрать твердые тела. После того, как подходящая коллекция будет сформирована, соберите класс вместе. Ищите тетраэдр и октаэдр.
    Что общего в этих двух твердых телах? (состоит только из треугольников)

    Твердое тело слева называется тетраэдром. Что означает тетра? (четыре)
    Твердое тело справа называется октаэдром.Что означает окта? (восемь)

  6. Отметьте, что правильные многогранники названы по количеству граней.
    Есть ли у кого-нибудь другой многогранник, составленный только из треугольников?
    Если ученик создал икосаэдр (икоса- означает двадцать), обратите на него внимание класса. Если нет, покажите четвертый слайд PowerPoint One.

    Посмотрите внимательно на каждую вершину трех многогранников, которые мы составили из треугольников.
    Что вы заметили?

  7. Сосредоточьте обсуждение на последовательном шаблоне вокруг каждой вершины. Три треугольника окружают каждую вершину тетраэдра, четыре треугольника — октаэдр и пять — икосаэдр.

  8. Можно ли окружить каждую вершину шестью треугольниками и образовать твердое тело?
    Попросите учащихся проверить, работает ли это.

    Окружение вершины шестью треугольниками создает мозаику, покрывающую плоскость или плоскую поверхность.Внутренние углы равносторонних треугольников составляют 60 °. Шесть углов по 60 ° добавляют к 360 °, что составляет полный оборот и становится «плоским» при соединении. Следовательно, невозможно создать твердое тело с шестью равносторонними треугольниками в каждой вершине.

  9. Один из учеников, вероятно, сделал этот многогранник, который называется треугольной дипирамидой (состоящей из двух пирамид).

    Это твердое вещество не относится к ним (тетра-, окта- и икоса-). Почему нет?
    Если вы посчитаете количество треугольников, окружающих каждую вершину, что вы получите?

    Некоторые вершины имеют четыре пересекающихся треугольника (вокруг «экватора»), а некоторые — три пересекающихся треугольника (верхний и нижний).Не существует одинакового числа, встречающегося в каждой вершине, что является требованием для Платоновых тел.

  10. Другие студенты, вероятно, сделали эти твердые тела.

    Обратите внимание учащихся на конфигурацию многоугольников вокруг каждой вершины. В пирамиде с квадратным основанием вершина окружена четырьмя треугольниками, а каждая базовая вершина имеет квадрат и два треугольника. Пирамида с квадратным основанием может быть исключена из набора сбалансированных симметричных тел, поскольку она не сбалансирована, если находится на одной из своих треугольных сторон.Для кубооктаэдра есть два квадрата и два треугольника вокруг каждой вершины. Для ромбокубооктаэдра есть один квадрат и три треугольника вокруг каждой вершины.

  11. Для всех сбалансированных симметричных тел, состоящих из треугольников и квадратов, попросите своих учеников определить, сколько граней имеет каждое твердое тело. Для тетра-, окта- и икосаэдра префикс называет многогранник. Однако подсчитать грани кубооктаэдра и ромбокубооктаэдра немного сложнее.Поощряйте своих учеников систематически записывать свои данные:

    твердый

    Количество и форма граней

    Количество вершин

    Количество кромок

    Тетраэдр

    4 треугольника

    Октаэдр

    8 треугольников

    Икосаэдр

    20 треугольников

    Треугольная дипирамида

    6 треугольников

    Кубооктаэдр

    8 треугольников

    6 квадратов

    Ромбокубооктаэдр

    8 треугольников

    18 квадратов

  12. Ищите систематические способы подсчета количества лиц.Это может включать в себя разделение твердого тела на части или методический учет каждой вершины.
Вторая сессия
  1. Напомните студентам, что на предыдущем занятии им разрешалось использовать только треугольники и квадраты.
    Какие твердые тела мы сделали?
    Как помнят ученики, вытащите модель твердого тела и назовите ее.
  2. Объясните, что существует особая группа многогранников, называемых Платоновыми телами, которые были найдены древними греками.Объясните, что существует два критерия платоновского твердого тела:
    • Все грани твердого тела — одинаковые правильные многоугольники.
    • В каждой вершине встречается одинаковое количество граней.

    Обратите внимание, что правильный означает, что стороны, а следовательно, и углы многоугольника одинаковы. Мелом нарисуйте диаграмму Кэрролла и поместите в нее модели. Это сложная классификация, поэтому вам может потребоваться помощь учащимся в ее выполнении.

    Каждая вершина
    такая же
    Вершины различаются
    Одна правильная форма

    Более одной формы

    Твердые тела в верхнем левом квадранте идеальны, остальные — нет.

    Какие еще формы есть в вашем наборе?
    Можно ли создать любые другие совершенные твердые тела с другими формами?

  3. Предложите ученикам изучить возможность других совершенных твердых тел. Существует только один, додекаэдр (dodeca- префикс двенадцати).

  4. Студенты могли обнаружить, что шестиугольники не работают.
    Почему из , а не из можно сделать идеальное тело с шестиугольниками?
    По крайней мере, три многоугольника необходимо вокруг вершины.Внутренние углы шестиугольника составляют 120 °. Три партии по 120 ° в сумме составляют 360 °, что составляет полный оборот. Следовательно, при соединении сторон многоугольники не заполняются незаполненными углами, чтобы они оторвались от плоскости.

  5. Добавьте додекаэдр в набор совершенных тел. Включите его в таблицу вместе с другими данными.

  6. Начнем с тетраэдра, который является простейшим платоновым телом. Поднимите модель этого твердого тела.
    Представьте, если я открою тетраэдр и положу его ровно.Этот узор называется сеткой.
    Как вы думаете, как это будет выглядеть?
    Попросите учащихся набросать свои прогнозы для сети. Они могут проверить свои прогнозы, составив каждую сетку и сложив ее, чтобы проверить.
    Есть две возможные сети:

    Существует также расположение треугольников, которое работает не с , а с .

    Почему две верхние сети работают, а нижняя — нет?
    Причины, по которым сеть не будет работать, иногда столь же важны, как и причины, по которым сеть будет работать.Все сети состоят из четырех равносторонних треугольников. Это необходимое условие. Сети, которые складываются в тетраэдр, при складывании допускают только три угла треугольника вокруг каждой вершины. Дно позволяет сделать четыре угла вокруг центральной вершины, поэтому не будет складываться в тетраэдр.

  7. Попросите учеников исследовать:
    Сколько разных сеток будет для куба?
    Раздайте каждой паре студентов лист с квадратной сеткой и шесть квадратных полидронов.Дайте ученикам достаточно времени, чтобы найти и записать возможные сети.

Третья сессия

На этом занятии студенты пытаются найти набор решений для всех сетей куба.

  1. Предложите ученикам поработать в парах, чтобы найти все возможные сети для куба.
    Сколько разных сеток можно сделать, чтобы получился куб?
  2. После того, как ученики нарисовали несколько сетей, предложите нескольким ученикам поделиться своей любимой сеткой.Начните галерею возможных сетей. Важный вопрос — как установить, что две сети разные. Вы можете использовать следующий пример:

    Эти сети одинаковые или разные?
    Учащиеся могут заметить, что одну цепь можно сопоставить с другой путем отражения или вращения, или в данном случае и того, и другого. Это означает, что сети не уникальны (разные в математическом смысле).

  3. Напомните ученикам, что вы ищете полный набор сетей.
    У кого-нибудь есть система поиска всех сетей?
  4. Некоторые студенты, возможно, заметили семейство сетей, состоящих из четырех квадратов в ряд.Центральная линия четырех может оставаться постоянной, а две другие грани перемещаются, образуя уникальные сети. Вот три сети «четыре в ряд». Таких сетей шесть.

    Может возникнуть вопрос:
    Можно ли сделать сетку, в которой не более трех квадратов подряд?
    А как насчет двух квадратов подряд?

  5. Пусть ученики продолжают исследовать возможные сети, пока они не решат, что нашли их все. Могут ли они обосновать, что эти сети — полный комплект?
  6. Соберите класс и пополните галерею, попросив учащихся создать «новую» сеть.Убедитесь, что каждое предложение не является отраженной или повернутой копией другой сети. Для этого полезны модели полидронов, так как их можно поворачивать и переворачивать для сопоставления друг с другом.

  7. Всего 11 сетей. Тщательная организация сетей может помочь учащимся увидеть общую структуру в семьях сетей. Например, вот четыре квадрата в ряду.

    Обратите внимание, что четыре верхние сетки фиксируют верхний левый квадрат и перемещают правый квадрат в разные положения.Следующие две сети прикрепляют левый квадрат ко второму центральному квадрату и находят две новые позиции для правого квадрата. Верхняя правая и нижняя правая позиции уже покрыты первыми четырьмя сетками.
    Еще четыре сети можно найти, организовав три квадрата в ряд и манипулируя тремя другими.

    В финальной сетке не более двух квадратов подряд.

  8. Попросите своих учеников проверить все новые сети на уникальность, что означает, что новая сеть не отображается на существующую сеть путем отражения и / или вращения.Например, в этом образце работы Уильям сигнализирует о том, что новая сеть такая же, как предыдущая, заключая ее в скобки.

  9. Ваши ученики могут попытаться найти сети для трех других Платоновых тел. Попросите их нарисовать сетку для твердого тела на бумаге с сеткой. Они могут проверить точность своей сети, сделав ее из полидронов и складывая.

  10. У ваших учеников:
    Используйте симметрию, чтобы сформировать сеть?
    Разделить твердое тело на две половины, чтобы упростить задачу?
    Зафиксируем одно лицо как основание или верх и представим, что другие грани соединены с ним?
    Изобразите складку лиц, чтобы правильно их расположить?

Четвертая сессия
  1. Покажите своим ученикам PowerPoint Two.На первом слайде показаны три разных вида октаэдра. Попросите их нарисовать различные виды, рисуя только те края и вершины, которые они могут видеть, а не рисовать те, которые скрыты. На втором слайде есть простые рисунки тех же видов. Некоторым ученикам сложно не рисовать то, что они не видят. Попросить их представить, что «увидит» цифровая камера, а затем создать рисунок, — хорошая стратегия. Сравнение рисунка с изображением, полученным с цифровой камеры, помогает учащимся понять, что именно было запечатлено.
  2. Попросите своих учеников взять одно из созданных ими твердых тел и нарисовать его в трех разных ракурсах. Более сложные твердые тела, такие как икосаэдр и ромбокубооктаэдр, может быть довольно сложно рисовать, но более простые твердые тела очень доступны.
    Например, куб (шестигранник) имеет множество возможных видов.
  3. После того, как учащиеся создали виды выбранного твердого тела, они могут передать эти виды партнеру, который пытается представить себе, с какой точки зрения было нарисовано твердое тело.
  4. Интересно обсудить, как перспектива меняет способ появления форм. При просмотре куба квадрат выглядит как неквадратный прямоугольник и ромб. Квадрат также может выглядеть как трапеция под определенным углом.
Пятая сессия

На этом занятии студенты создают точные сети для двух семейств многогранников, называемых призмами и пирамидами. Они ищут свойства в сетях и учитывают относительную длину ребер / сторон.

  1. Покажите студентам PowerPoint Three.На первом слайде представлены три примера призм.
    Чем эти твердые тела одинаковы и чем они отличаются?
    Учащиеся должны заметить, что все три тела имеют прямоугольные грани, хотя их торцы разные (треугольник, квадрат и шестиугольник). Скажите ученикам, что твердые тела являются примерами призм, многогранников с постоянным поперечным сечением. Представьте себе, что каждое твердое тело было буханкой хлеба. Можно разрезать твердое тело на части одинаковой формы.
    Каждая призма известна своим поперечным сечением.Например, треугольная призма имеет треугольное сечение.
  2. Попросите ваших учеников представить сеть для прямоугольной призмы. Попросите их набросать его форму в воздухе. Сосредоточьтесь на формах, которые должны быть в сети, и соотнесите эти формы с изображением на первом слайде. Четыре прямоугольника должны охватывать торцы, которые являются квадратами. Раздайте ученикам квадратную сетку размером 1 см. Квадраты удобны для выдерживания прямых углов и измерения длины.
  3. Попросите учащихся использовать линейку и карандаш, чтобы создать точную сетку для кубоида.Точная сетка должна складываться так, чтобы стороны точно совпадали, чтобы стать краями. Студенты могут проверить свои сети, разрезав их и сложив. Обычная проблема для учащихся заключается в том, что стороны сети, которые встречаются для образования ребер, должны быть конгруэнтными (одинаковой длины).
  4. Как только сетка для прямоугольной призмы установлена, сфокусируйтесь на треугольной и шестиугольной призмах.
    Что нужно изменить в сети, чтобы сформировать треугольную или шестиугольную призму?
    Понимают ли учащиеся, что торцы должны быть треугольниками или шестиугольниками и что количество прямоугольников должно соответствовать количеству сторон? Например, треугольная призма будет иметь только три прямоугольника.Предложите своим ученикам создать сети для других призм. Бумажная сетка по-прежнему будет полезна, хотя получить совпадающие стороны сложнее.
  5. Посмотрите, как ваши ученики создают треугольники и шестиугольники, длина стороны которых равна длине короткой стороны прямоугольника.
  6. Соберите студентов вместе, чтобы они делили свои сети.
    Что общего у всех сетей?
    В чем отличия?
    Представьте себе сетку для восьмиугольной призмы.Как бы это выглядело?
  7. Вы можете создать таблицу данных о призмах и искать закономерности, или вы можете сосредоточить урок на сетях.

    Призма

    Кол-во граней

    Количество кромок

    Количество вершин

    треугольная

    5

    9

    6

    прямоугольный

    6

    12

    8

    шестигранник

    8

    18

    12

    Восьмиугольник

    10

    24

    16

  8. Как вариант, перейдите ко второму слайду в PowerPoint 3, чтобы обсудить общие особенности твердых тел.На всех фотографиях изображены пирамиды. Основание пирамиды называет это. Например, пирамида с квадратным основанием имеет квадратное основание. Начните с квадратной пирамиды.
    Какие формы заключены в сетку этого твердого тела?
    Как узнать, что треугольников будет четыре?

  9. Попросите учащихся сделать набросок своего предсказания для сети.
    Какие стороны должны быть одинаковой длины?

  10. Учащиеся могут сделать точную сетку для пирамиды с квадратным основанием или попробовать сложные пирамидальные сети.Сеть для восьмиугольной пирамиды — отличная задача для среднего уровня. Как и в случае с призмами, вы можете создать таблицу данных и искать закономерности.

    Пирамида

    Кол-во граней

    Количество кромок

    Количество вершин

    Треугольная основа

    4

    6

    4

    Квадрат на основе

    5

    8

    5

    Гексагональная на основе

    7

    14

    7

    Восьмиугольная на основе

    9

    18

    9

Домашняя ссылка

Дорогая семья и ванау,

На этой неделе мы изучали многогранники.Попросите учащегося объяснить, как у этих твердых форм есть грани, края и вершины. Для домашнего задания вашего ученика попросили:

  1. найти фотографии разных многогранников из журналов и создать страницу с плакатом для своего учебника по математике; или
  2. использует материалы, найденные дома, для создания икосаэдра.

Сколько правильных многогранников существует в этой или любой другой Вселенной?

Сколько правильных многогранников существует в этой или какой-либо другой Вселенной?

  Сколько правильных многогранников существует в этой или какой-либо другой Вселенной? 

Академия Лоуренса Фримена Кенвуда
                               5015 Блэкстоун Авеню
                               Чикаго, Иллинойс 60615
                               1-312-536-8850 (основная школа)

                          Фон 

     Идея «регулярности» в геометрии очень древняя.Он восходит к
древнегреческие математики / философы. (См., Например, платоновскую теорию
"идеалы"). Таким образом, правильные многоугольники - это выпуклые многоугольники, все углы при вершинах которых равны
равны (или конгруэнтны) и чьи стороны также равны.

     Первый учебник геометрии, Элементы Евклида, предполагал выпуклость без
упоминание об этой концепции. Мы будем понимать выпуклость в ее интуитивном смысле. Выпуклый
многоугольники обладают очень интересным свойством: возьмите любую вершину и нарисуйте все возможные
диагонали внутри многоугольника.Этот процесс подразделяет многоугольник из n сторон на
n-2 неперекрывающихся треугольника. Поскольку три угла при вершине треугольника имеют сумму
180 градусов, n вершин n-стороннего выпуклого многоугольника должны иметь сумму углов
180 (n-2) градусов. Теперь, если наш n-сторонний многоугольник также правильный, каждый из его n
конгруэнтные углы при вершинах должны составлять одну n-ю этой суммы углов.

     Выражая этот факт для нескольких правильных многоугольников, получаем следующее
данные:
                 Количество Степень меры
                   Стороны любой угол при вершине

                     3 60 градусов
                     4 90
                     5 108
                     6 120
Обратите внимание, что по мере увеличения количества сторон градусная мера угла при вершине
делает то же самое.(Мысленный эксперимент для вдумчивого читателя: Внешний вид
углы выпуклого многоугольника становятся меньше по мере увеличения числа сторон, но
как вы думаете, что происходит с суммой всех внешних углов выпуклой
многоугольник, правильный или нет? Сможете ли вы доказать или опровергнуть свою догадку? Попытайся!)

                      Правильные многогранники

     Многогранник представляет собой «твердую» трехмерную фигуру, аналогичную двумерной.
многомерный многоугольник, рассмотренный выше. Многогранники имеют вершины, ребра и грани.
которые для Евклида имели размеры ноль, один и два соответственно.Если многогранник
имеет грани, которые являются правильными и конгруэнтными многоугольниками - все они - и если на
в каждой вершине встречается ровно одинаковое количество граней, тогда у нас есть "регулярный"
многогранник. Вопрос в том, «сколько именно таких« тварей »существует?»
Очевидно, что число бесконечно, если учесть размер, поэтому мы исключим это
размышления и просто спросите, сколько "истинно" различных правильных многогранников может
существовать.

     Требуется дополнительная номенклатура (извините). В двухмерной плоской геометрии
углы - это просто углы, но в трех измерениях жизнь усложняется: когда
две плоскости пересекаются, они пересекаются по прямой.Выберите любую точку на такой линии
пересечения (кромки) и в каждой плоскости построить линию, перпендикулярную прямой
пересечения. Угол между этими двумя перпендикулярами равен "ДИГЕДРАЛЬНОМУ.
УГОЛ "двух пересекающихся плоскостей. В правильных многогранниках эти двугранные
все углы равны (совпадают). Вычисление их меры может быть весьма
2
сложно, но не обязательно для этого проекта.

     В каждой вершине (точке или углу) нашего многогранника есть твердое тело или
ТРИЭДРАЛЬНЫЙ угол.Как измеряются такие углы - если эта концепция вообще
применяется - автор не знает. Ясно одно: трехгранный угол
должен быть местом встречи трех или более плоскостей - граней - многогранника.
И напомним, что все грани представляют собой конгруэнтные многоугольники с конгруэнтными углами при вершинах.
в соответствии с приведенной выше таблицей и формулой.

     Давайте разберемся, как можно сделать трехгранные углы: Соберите три или более
многоугольники так, чтобы они пересекались по общим сторонам с одной общей вершиной.Если сумма
углов при вершине меньше 360 градусов, то есть зазор между
внешние, непревзойденные края. Устранение этого разрыва путем соединения двух несогласованных краев.
дает трехгранный угол. Работа с правильными многоугольниками делает нашу работу анализа
возможно .... Начнем с простейшего правильного многоугольника, равностороннего
треугольник, изготовьте все возможные трехгранные углы только из этого элемента, а затем
продвинуться вверх настолько, насколько это необходимо, до точки, где сумма углов равна или превышает 360
градусов.Последнее утверждение является ключом к доказательству (решение или ответ на
начальный вопрос). Если сумма углов равна 360, то промежутка не будет.
закрыто. В такой ситуации трехгранный угол вырождается в плоскость, а не в плоскость.
«выпуклость», а многогранник существовать не может. Если к
сборки они будут ПЕРЕКЛЮЧАТЬСЯ, и у такого «твари» будет отрицательный зазор.
Его ОБЯЗАТЕЛЬНО нельзя сложить так, чтобы получился трехгранный угол.

     Таким образом, вокруг трехгранника могут поместиться три, четыре или пять равносторонних треугольников.
угол.Это вершины правильного тетраэдра, октаэдра или
икосаэдр соответственно. Мы можем быть уверены, что никакие другие правильные многогранники не могут
существуют равносторонние треугольники вместо лиц.

     Далее переходите к правильному четырехугольнику - квадрату. По крайней мере, три
квадраты должны составлять этот трехгранный угол; и это все для квадрата, потому что
если к сборке добавить четвертый квадрат, сумма углов будет точно 360
градусов. Единственный правильный многогранник, имеющий квадраты в качестве граней, является самым известным,
куб.Теперь счет составляет четыре правильных многогранника; вперед ....

     У правильного пятиугольника пять сторон, а каждый угол при вершине имеет размер 108.
градусов. Три правильных пятиугольника, как и раньше, дают 324 градуса и зазор.
всего 36 градусов. Когда этот небольшой промежуток закрывается, мы получаем вершину (трехгранник)
угол последнего возможного правильного многогранника, знаменитого правильного додекаэдра
двенадцати лиц.

     Наша задача на этом закончена, потому что теперь нужно попытаться построить трехгранные углы
из правильных шестиугольников, правильных семиугольников и правильных многоугольников большего
количество сторон (каждая с соответственно большей мерой угла при вершине).Три
правильные шестиугольники имеют сумму углов при вершинах ровно 360 градусов, и они не будут
сложите в трехгранный угол, потому что нет зазора. Сумма углов трех
углы при вершинах правильного семиэдра больше 360 градусов. три вершины
углы правильного семиэдра больше 360 градусов, поэтому углы nomertex
правильного семиэдра больше 360 градусов. нужно больше правильных полигонов
быть исследованным.

     Итак, существует всего пять возможных правильных многогранников. Период.

     На этом дело древних закончилось.Примерно двести лет назад
это. Затем было замечено, что никто никогда явно не призывал CONVEX
многогранники. Иоганн Кеплер и позже Пуансо сочли возможным добавить к
реестр правильных многогранников путем создания "ямчатых" и / или звездчатых правильных
3
многогранники. Дополнительные правильные многогранники в этом отчете обсуждаться не будут, но
информацию о них можно найти в библиографии.

     Вот краткое описание пяти выпуклых правильных многогранников:
                               Номер Номер Номер
   Рег.Многогранник граней вершин ребер

   Тетраэдр 4 T's * 4 6
   Куб 6 S * 8 12
   Октаэдр 8 T's 6 12

   Додекаэдр 12 P's * 20 30
   Икосаэдр 20 T's 12 30
   *: T = равносторонний треугольник; S = квадрат; P = правильный пятиугольник
     Обратите внимание на две вещи в этой таблице: во-первых, в каждом случае количество
грани, вершины и ребра удовлетворяют формуле Эйлера F + V = E + 2.(Посмотрите
доказательство этого когда-нибудь). Во-вторых, из интервала таблицы обратите внимание, что
количество граней и вершин меняется между Кубом и Октаэдром, а также между
Додекаэдр и Икосаэдр. Такие отношения приводят к изучению темы
«двойственность», основа продвинутой евклидовой геометрии, а также фактически основа
«проективной геометрии» (расширенное расширение геометрии).

     Если из каждого из этих многогранников составлены проволочные модели с прозрачными гранями,
подходящего «размера», то каждая пара двойников поместится внутри каждого
другое, что вершина одного будет лежать в центре грани другого
двойная пара.БИБЛИОГРАФИЯ

Канди, Х. М. и Роллетт, А. П. «Математические модели». Лондон: Оксфордский университет
Press, 1961 (издание второе).

Холден, Алан. «Формы, пространства и симметрия». Нью-Йорк: Колумбия
University Press, 1971.

Олсон, Альтон Т. «Математика через складывание бумаги.» Рестон В.А.: Национальный
Совет учителей математики, 1975 г.
Донован Джонсон).

Радемахер, Ганс и Теплиц, Отто. «Удовольствие от математики.12345678) ТАК Я ПОТЕРЯЛА ВРЕМЯ НА ПОВТОРЯЮЩУЮ БОЖЬЮ ПРОБЛЕМУ!

                           ЗАДАЧИ
     Продемонстрировать простой доказываемый, но удивительный факт элементарной геометрии.
     Чтобы проиллюстрировать один метод математического (логического) доказательства - метод Коши.
знаменитый метод кейсов, в котором все возможности изучаются по очереди.
     Чтобы создать атмосферу, в которой ученик, учитель или оба могут расширить свои
знания путем создания дополнительных предположений (правдоподобных гипотез), достойных
изучение.МАТЕРИАЛЫ
     Доска для ярлыков, режущий инструмент (ножницы, нож Xacto или бритва с одной кромкой).
4
лезвие), и паста или (предпочтительно) «Скотч» торговой марки «Волшебная прозрачная лента».
     Модели завершенных многогранников, каждого соответствующего трехгранного угла и ученика.
комплекты последних должны быть сложены, обработаны и исследованы.

                          СТРАТЕГИИ
     Для основной теоремы («Сколько ...?») Используйте метод случаев Коши, чтобы
проиллюстрируйте силу терпения. Практическая работа почти завершает доказательство.
безупречно, очень убедительно и (сюрприз!) теоретически правильно.Классный мозговой штурм должен породить множество дополнительных предположений.
в области эффектной раскраски лиц, дуализма, проволочных моделей, лучших
аппроксимация сферы, измерение двугранных углов, вычисление
меры таких углов, «формула Эйлера» и ее жуткость и т. д.
     Наконец, даже высококонкурентоспособные и успешные люди скоро увидят достоинства
сотрудничество в изготовлении собственных моделей трехгранных углов, целых
многогранники, звёздчатые и раскраски.Чем умнее ученик, тем
быстрее осознать, что массовое производство экономит время и труд.

121121112111121111121111112111111121111111121111111112111111111121111111111
12 .......
(Вышеупомянутая иррациональная мысль напрасно заканчивает это упражнение.
трудно перенести последние три раздела в начало статьи, но
неопытность, нехватка времени, чтобы исправить то, что выглядело фатальной ошибкой, сделали это
невозможно.......).
                  ..
                   ...
                    .... Ларри Фриман 10:37 утра, 30 июля 1986 г.

Вернуться к указателю математики

Математических изображений | Плоские развертки геометрических тел: Тетраэдр

Правильный тетраэдр — это многогранник с четырьмя равносторонними треугольными гранями,
четыре вершины и шесть ребер.
Это платоническое тело.

Объем тетраэдра равен одной трети призмы, в которой он находится.

Дюрер первым опубликовал плоские сети многогранников. В его
В книге «Underweysung der Messung» («Четыре книги измерений», издано в 1525 г.) автор рисует разработки нескольких самолетов.
Платоновы и архимедовы тела, например, этот правильный тетраэдр:

«[Дюрер] Он вводит технику передачи информации о трехмерных объектах на плоской поверхности через
складная бумага, которую в наше время называют сеткой.Метод заключается в развёртывании поверхности многогранника на плоскость.
лист бумаги так, чтобы получившуюся фигуру можно было вырезать как единый соединенный кусок, а затем сложить, чтобы сформировать трехмерный
модель исходного многогранника ». (Кромвель, стр.127)

Играя с приложением, вы можете увидеть, как тетраэдр превращается в плоскую сеть. Это очень типичная плоская сетка тетраэдра, но она
отличается от плоской сети, которую нарисовал Дюрер:

В следующем приложении мы можем увидеть плоское развитие тетраэдра, как это сделал Дюрер:

РЕКОМЕНДАЦИИ

Эрвин Панофски — Жизнь и искусство Альбрехта Дрера — Princeton University Press

Дэн Педо — Геометрия и гуманитарные науки — Св.Martin’s Press (стр.76)

Хьюго Штайнхаус — Математические снимки — Oxford University Press — Третье издание (стр. 197)

Магнус Веннингер — «Модели многогранников», Cambridge University Press.

Питер Р. Кромвель — «Многогранники», Cambridge University Press, 1999.

Х. Мартин Канди, А. П. Ролле, «Математические модели», Oxford University Press, второе издание, 1961 г. (стр. 87).

W.W. Роуз Болл и H.S.M. Кокстер — «Математические развлечения и эссе», компания MacMillan, 1947.

БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

Первый рисунок плоской сетки правильного октаэдра был опубликован Дрером в его книге «Underweysung der Messung» («Четыре книги измерений»), опубликованной в 1525 году.

Объем октаэдра в четыре раза больше объема тетраэдра. Его легко вычислить, и тогда мы можем получить объем тетраэдра.

Вы можете снять фаску с куба, и тогда вы получите многогранник, похожий (но не равный) усеченному октаэдру.Также можно получить ромбический додекаэдр.

Мы изучаем разные призмы и видим, как они превращаются в плоскую сеть. Затем мы объясним, как рассчитать площадь боковой поверхности.

Плоские сетки призм с правильным основанием с разным бортовым номером, разрезанные наклонной плоскостью.

Мы изучаем разные цилиндры и видим, как они превращаются в плоскость. Затем мы объясним, как рассчитать площадь боковой поверхности.

Изучаем различные цилиндры, разрезанные наклонной плоскостью.Получается сечение эллипса.

Плоская сетка пирамид и пирамидальной усеченной пирамиды. Как рассчитать площадь боковой поверхности.

Плоская сетка пирамид, рассеченная косой плоскостью.

Плоские развертки конусов и усеченного конуса. Как рассчитать площадь боковой поверхности.

Плоские развертки конусов, срезанных косой плоскостью. Сечение представляет собой эллипс.

В своей статье «Две удивительные теоремы о конгруэнции Кавальери» Говард Ив описывает интересный тетраэдр.На этой странице мы рассчитываем площади его поперечного сечения и объем.

Особые сечения тетраэдра представляют собой прямоугольники (и даже квадраты). Мы можем вычислить площадь этих поперечных сечений.

Мы хотим вычислить площадь поверхности сечений сферы, используя теорему Пифагора. Мы также изучаем связь с геометрическим средним и теоремой о высоте прямоугольного треугольника.

geom3d — Обмен файлами — MATLAB Central

1.24

новые функции для обработки трехмерных сеток (исправление, упрощение), переименование эллипсоида инерции в эквивалентный эллипсоид.

1.23.1.1

пакет как файл mltbx

1.23.1.0

Пакет как ящик для инструментов.

1.23.0.0

добавить meshes3d / meshFaceAreas.m, добавить geom3d / isTransform3d.m (спасибо Oqilipo), обновлен тип возвращаемого значения для некоторых функций рисования, исправлена ​​ошибка в orientBox3d

1.22.0.0

добавил несколько функций для чтения / записи трехмерных сеток в форматах PLY и OFF, а также новые функции для работы с трехмерными сетками (distancePointMesh, isPointInMesh).

1.21.0.0

объединить несколько вкладов (oqilipo, Roozbeh).добавлять сетки обрезки / разделения / конкатенации, новые преобразования из векторов.

1.20.0.0

удалить устаревшие функции, обновить некоторые функции отображения

1.19.2.0

исправить ошибку в clipConvexPolyhedronHP, исправить ошибку в nomalizePlane.m для нескольких плоскостей (спасибо Zubiao Xiong), добавить orientBox3d

1.19.1.0

исправить ошибку в многограннике Centroid

1.19.0.0

Несколько обновлений для обработки сеток (IntersectPlaneMesh, IntercctLineSphere), для отображения сеток, для вычисления и отображения эллипсоидов инерции

1.18.0.0

добавлена ​​функция trimMesh (которая удаляет несвязанные вершины из сетки), обновлено mergeCoplanarFaces и обновлено управление допусками в interesectLineMesh4d

1.17.0.0

Исправить различные мелкие ошибки

1.16.0.0

исправлена ​​ошибка в surfToMesh

1.15.0.0

мелкие исправления ошибок, новые функции для управления полигонами, улучшения скорости (спасибо Свену Холкомбу!)

1.14.0.0

несколько исправлений ошибок, новые функции (fitLine3d, parallelPlane, reversePlane, correctPlaneMesh, meshCentroid…), а также функции для создания сеток из патчей или геометрических примитивов.

1.13.0.0

исправить ошибки в демонстрациях

1.12.0.0 Исправлены ошибки

, добавлены новые функции для сферических многоугольников, для чтения сеток (вне рамок), для расстояния между точками и краями и для вычисления площади поверхности трехмерных многоугольников, сеток или эллипсоидов.

1.10.0.0

различные очистки кода и улучшения скорости, в основном внесены Свеном Холкомбом (большое спасибо!)

1.9.0.0

использовать градусы для рисования фигур, разбить библиотеку на пакеты geom3d и meshes3d

1.8.0.0

Добавьте новые функции для сеток и многогранников, а также для трехмерных преобразований (вращения, базисное преобразование). См. Журнал изменений файла.txt

1.5.0.0

исправлены ошибки при поворотах и ​​отрисовке некоторых фигур, добавлено вращение по углам Эйлера, различные обновления в документации и в коде

1.4.0.0

добавить недостающие демонстрации

1.3.0.0

некоторые исправления ошибок, демонстрационные файлы в виде опубликованных m-файлов.

1.0,0.0

5.3: Плоские графы — математика LibreTexts

Расследование !

Когда связный граф можно нарисовать без пересечения ребер, он называется плоским . Когда плоский граф нарисован таким образом, он делит плоскость на области, называемые гранями .

  1. Нарисуйте, если возможно, два разных плоских графа с одинаковым количеством вершин, ребер и граней.
  2. Нарисуйте, если возможно, два разных плоских графа с одинаковым количеством вершин и ребер, но с разным количеством граней.

Когда можно нарисовать граф так, чтобы ни одно из ребер не пересекалось? Если этот является возможным , мы говорим, что график плоский (так как вы можете нарисовать его на плоскости ).

Обратите внимание, что определение плоского включает фразу «это возможно». Это означает, что даже если график не выглядит плоским, он все равно может быть таким.Возможно, вы сможете перерисовать его так, чтобы края не пересекались. Например, это планарный граф:

Это потому, что мы можем перерисовать его так:

Графики такие же, поэтому, если один плоский, другой тоже должен быть. Однако исходный рисунок графика не был планарным представлением графика.

Когда плоский граф нарисован без пересечения ребер, ребра и вершины графа делят плоскость на области.Мы будем называть каждый регион лицом . График выше имеет 3 грани (да, мы с по включаем «внешнюю» область как грань). Количество граней не меняется независимо от того, как вы рисуете граф (если вы делаете это без пересечения ребер), поэтому имеет смысл приписать количество граней как свойство плоского графа.

ВНИМАНИЕ: подсчитывать грани можно только тогда, когда график нарисован в плоскости. Например, рассмотрим эти два представления одного и того же графа:

Если вы попытаетесь подсчитать лица, используя график слева, вы можете сказать, что имеется 5 лиц (включая внешнюю).Но рисование графа в плоском представлении показывает, что на самом деле всего 4 грани.

Существует связь между количеством вершин (\ (v \)), количеством ребер (\ (e \)) и количеством граней (\ (f \)) в любом связном плоском графе. Эта связь называется формулой Эйлера.

Определение: формула Эйлера для плоских графов

Для любого (связного) плоского графа с \ (v \) вершинами, \ (e \) ребрами и \ (f \) гранями мы имеем

\ begin {уравнение *} v-e + f = 2 \ end {уравнение *}

Почему формула Эйлера верна? Один из способов убедиться в его обоснованности — пошагово нарисовать планарный граф.Начнем с графика \ (P_2 \ text {:} \)

Любой связный граф (кроме одной изолированной вершины) должен содержать этот подграф. Теперь доработайте до своего графа, добавляя ребра и вершины. Каждый шаг будет состоять либо из добавления новой вершины, соединенной новым ребром, с частью вашего графа (таким образом, создавая новый «шип»), либо из соединения двух вершин, уже находящихся в графе, новым ребром (завершение схемы).

Что делают эти «ходы»? При добавлении шипа количество ребер увеличивается на 1, количество вершин увеличивается на единицу, а количество граней остается прежним.Но это означает, что \ (v — e + f \) не меняется. При завершении схемы добавляется одно ребро, одна грань и остается неизменным количество вершин. Итак, снова \ (v — e + f \) не меняется.

Поскольку мы можем построить любой граф, используя комбинацию этих двух ходов, и это никогда не изменит количество \ (v — e + f \ text {,} \), это количество будет одинаковым для всех графов. Но обратите внимание, что наш начальный граф \ (P_2 \) имеет \ (v = 2 \ text {,} \) \ (e = 1 \) и \ (f = 1 \ text {,} \), поэтому \ (v — e + е = 2 \ текст {.} \) Этот аргумент является доказательством по индукции. Хорошим упражнением было бы переписать его как формальное индукционное доказательство.

Непланарные графы

Расследование !

Для полных графов \ (K_n \ text {,} \) мы хотели бы иметь возможность сказать кое-что о количестве вершин, ребер и (если граф плоский) граней. Сначала рассмотрим \ (K_3 \ text {:} \)

  1. Сколько вершин у \ (K_3 \)? Сколько ребер?
  2. Если \ (K_3 \) плоский, сколько граней у него должно быть?

Повторите части (1) и (2) для \ (K_4 \ text {,} \) \ (K_5 \ text {,} \) и \ (K_ {23} \ text {.} \)

А как насчет полных двудольных графов? Сколько вершин, ребер и граней (если бы они были плоскими) у \ (K_ {7,4} \)? Для каких значений \ (m \) и \ (n \) являются \ (K_n \) и \ (K_ {m, n} \) планарными?

Не все графики плоские. Если ребер слишком много, а вершин слишком мало, некоторые ребра должны пересекаться. В первый раз это происходит в \ (K_5 \ text {.} \)

Если вы попытаетесь перерисовать это без пересечения краев, у вас быстро возникнут проблемы.Кажется, одного края слишком много. Фактически, мы можем доказать, что независимо от того, как вы его нарисуете, \ (K_5 \) всегда будет пересекать ребра.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \)

\ (К_5 \) не плоский.

Доказательство

Доказательство от противоречия. Итак, предположим, что \ (K_5 \) плоский. Тогда граф должен удовлетворять формуле Эйлера для плоских графов. \ (K_5 \) имеет 5 вершин и 10 ребер, поэтому получаем

\ begin {уравнение *} 5 — 10 + f = 2 \ end {уравнение *}

, который говорит, что если граф нарисован без пересечения ребер, будет \ (f = 7 \) граней.

Теперь посчитайте, сколько ребер окружают каждую грань. Каждая грань должна быть окружена как минимум 3 краями. Пусть \ (B \) будет общим количеством границ вокруг всех граней в графе. Таким образом, мы имеем \ (B \ ge 3f \ text {.} \) Но также и \ (B = 2e \ text {,} \), поскольку каждое ребро используется как граница ровно дважды. Собирая это вместе, получаем

\ begin {уравнение *} 3f \ le 2e \ end {уравнение *}

Но это невозможно, поскольку мы уже определили, что \ (f = 7 \) и \ (e = 10 \ text {,} \) и \ (21 \ not \ le 20 \ text {.} \) Это противоречие, поэтому на самом деле \ (K_5 \) не планарен.

\ (\ квадрат \)

Другой простейший граф, который не является плоским, — это \ (K_ {3,3} \)

Доказательство того, что \ (K_ {3,3} \) не является плоским, дает ответ на загадку домов и коммунальных служб: невозможно подключить каждый из трех домов к каждой из трех инженерных сетей без пересечения линий.

Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

\ (K_ {3,3} \) не плоский.

Доказательство

Опять же, мы идем от противоречия.Предположим, что \ (K_ {3,3} \) были плоскими. Тогда по формуле Эйлера будет 5 граней, так как \ (v = 6 \ text {,} \) \ (e = 9 \ text {,} \) и \ (6 — 9 + f = 2 \ text {.} \)

Сколько границ окружают эти 5 граней? Пусть это число \ (B \). Поскольку каждое ребро используется в качестве границы дважды, мы имеем \ (B = 2e \ text {.} \) Кроме того, \ (B \ ge 4f \), поскольку каждая грань окружена 4 или более границами. Мы знаем, что это правда, потому что \ (K_ {3,3} \) двудольный, поэтому не содержит 3-реберных циклов. Таким образом,

\ begin {уравнение *} 4f \ le 2e.\ end {уравнение *}

Но это означало бы, что \ (20 \ le 18 \ text {,} \), что явно неверно. Таким образом, \ (K_ {3,3} \) не плоский.

\ (\ квадрат \)

Обратите внимание на сходство и различие в этих доказательствах. Оба являются доказательствами от противоречия, и оба начинаются с использования формулы Эйлера для определения (предполагаемого) количества граней в графе. Затем мы находим взаимосвязь между количеством граней и количеством ребер в зависимости от того, сколько ребер окружают каждую грань.Это единственная разница. В доказательстве для \ (K_5 \ text {,} \) мы получили \ (3f \ le 2e \), а для \ (K_ {3,3} \) идем \ (4f \ le 2e \ text {.} \ ) Коэффициент при \ (f \) является ключевым. Это наименьшее количество ребер, которое может окружать любую грань. Если какое-то количество ребер окружает грань, то эти ребра образуют цикл. Таким образом, это число является размером наименьшего цикла на графике.

В общем, если мы позволим \ (g \) быть размером наименьшего цикла в графе (\ (g \) означает обхват , что является техническим термином для этого), то для любого плоского графа мы имеем \ (gf \ le 2e \ text {.} \) Когда это не согласуется с формулой Эйлера, мы точно знаем, что граф не может быть плоским.

Многогранники

Расследовать!

Куб — это пример выпуклого многогранника. Он содержит 6 одинаковых квадратов для граней, 8 вершин и 12 ребер. Куб представляет собой правильный многогранник (также известный как платоново твердое тело ), потому что каждая грань представляет собой идентичный правильный многоугольник, и каждая вершина соединяет равное количество граней.

Есть ровно четыре других правильных многогранника: тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр с 4, 8, 12 и 20 гранями соответственно.Сколько вершин и ребер у каждого из них?

Еще одна область математики, в которой вы, возможно, слышали термины «вершина», «ребро» и «грань», — это геометрия. Многогранник представляет собой геометрическое тело, состоящее из плоских многоугольных граней, соединенных ребрами и вершинами. Нас особенно интересуют выпуклых многогранников, что означает, что любой отрезок прямой, соединяющий две точки внутри многогранника, должен полностью содержаться внутри многогранника.

Обратите внимание, что поскольку \ (8 — 12 + 6 = 2 \ text {,} \) вершины, ребра и грани куба удовлетворяют формуле Эйлера для плоских графов.Это не совпадение. Мы можем представить куб в виде плоского графа, спроецировав вершины и ребра на плоскость. Одна такая проекция выглядит так:

Фактически, на каждые выпуклых многогранников можно спроецировать на плоскость без пересечения ребер. Представьте себе размещение многогранника внутри сферы с источником света в центре сферы. Ребра и вершины многогранника отбрасывают тень на внутреннюю часть сферы. Затем вы можете вырезать отверстие в сфере в середине одной из проецируемых граней и «растянуть» сферу, чтобы она легла на плоскость.Проколотая грань становится «внешней» гранью плоского графа.

Дело в том, что мы можем применить то, что мы знаем о графах (в частности, о плоских графах), к выпуклым многогранникам. Поскольку каждый выпуклый многогранник может быть представлен в виде плоского графа, мы видим, что формула Эйлера для плоских графов верна и для всех выпуклых многогранников. Мы также можем применить те же рассуждения, которые мы используем для графов в других контекстах, к выпуклым многогранникам. Например, мы знаем, что не существует выпуклого многогранника с 11 вершинами степени 3, так как это даст 33/2 ребра.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Есть ли выпуклый многогранник, состоящий из трех треугольников и шести пятиугольников? А как насчет трех треугольников, шести пятиугольников и пяти семиугольников (7-сторонних многоугольников)?

Решение

Сколько ребер было бы у таких многогранников? Для первого предложенного многогранника треугольники дадут в общей сложности 9 ребер, а пятиугольники — 30. Однако это учитывает каждое ребро дважды (поскольку каждое ребро граничит ровно с двумя гранями), что дает 39/2 ребра, что невозможно.Такого многогранника нет.

Второй многогранник не имеет этого препятствия. Дополнительные 35 ребер семиугольников дают в сумме 74/2 = 37 ребер. Все идет нормально. Сколько вершин у этого предполагаемого многогранника? Мы можем воспользоваться формулой Эйлера. Имеется 14 граней, поэтому мы имеем \ (v — 37 + 14 = 2 \) или, что эквивалентно, \ (v = 25 \ text {. \ circ \)), поэтому сумма степеней вершин не менее 75.Так как сумма степеней должна быть ровно вдвое больше числа ребер, это говорит о том, что имеется строго более 37 ребер. Опять же, такого многогранника нет.

Чтобы завершить это применение плоских графов, рассмотрим правильные многогранники. Выше мы утверждали, что их всего пять. Как мы узнаем, что это правда? Мы можем доказать это с помощью теории графов.

Теорема \ (\ PageIndex {3} \): правильные многогранники

Правильных многогранников ровно пять.

Доказательство

Напомним, что у правильного многогранника все грани идентичны правильным многоугольникам, и что каждая вершина имеет одинаковую степень.Рассмотрим случаи, разбитые на то, что может быть правильным многоугольником.

Случай 1: Каждая грань представляет собой треугольник. Пусть \ (f \) — количество граней. Тогда имеется \ (3f / 2 \) ребер. Используя формулу Эйлера, мы имеем \ (v — 3f / 2 + f = 2 \), поэтому \ (v = 2 + f / 2 \ text {.} \) Теперь каждая вершина имеет одинаковую степень, скажем, \ (k \ text { .} \) Таким образом, количество ребер также равно \ (kv / 2 \ text {.} \). Собирая это вместе, получаем

\ begin {уравнение *} e = \ frac {3f} {2} = \ frac {k (2 + f / 2)} {2} \ end {уравнение *}

, где указано

\ begin {уравнение *} k = \ frac {6f} {4 + f} \ end {уравнение *}

Нам нужно, чтобы \ (k \) и \ (f \) оба были положительными целыми числами.Обратите внимание, что \ (\ frac {6f} {4 + f} \) является возрастающей функцией для положительного \ (f \ text {,} \) и имеет горизонтальную асимптоту в 6. Таким образом, единственные возможные значения для \ (k \ ) равны 3, 4 и 5. Все они возможны. Чтобы получить \ (k = 3 \ text {,} \) нам понадобится \ (f = 4 \) (это тетраэдр). В качестве \ (k = 4 \) возьмем \ (f = 8 \) (октаэдр). В качестве \ (k = 5 \) возьмем \ (f = 20 \) (икосаэдр). Таким образом, есть ровно три правильных многогранника с треугольниками вместо граней.

Случай 2: Каждая грань представляет собой квадрат. Теперь у нас есть \ (e = 4f / 2 = 2f \ text {.} \) Используя формулу Эйлера, мы получаем \ (v = 2 + f \ text {,} \), а подсчет ребер с использованием степени \ (k \) каждой вершины дает нам

\ begin {уравнение *} e = 2f = \ frac {k (2 + f)} {2} \ end {уравнение *}

Решение относительно \ (k \) дает

\ begin {уравнение *} k = \ frac {4f} {2 + f} = \ frac {8f} {4 + 2f} \ end {уравнение *}

Это снова возрастающая функция, но на этот раз горизонтальная асимптота равна \ (k = 4 \ text {,} \), поэтому единственное возможное значение, которое может принять \ (k \), — 3. Это дает 6 граней и у нас есть куб.Есть только один правильный многогранник с квадратными гранями.

Случай 3: Каждая грань представляет собой пятиугольник. Мы выполняем те же вычисления, что и выше, на этот раз получая \ (e = 5f / 2 \), поэтому \ (v = 2 + 3f / 2 \ text {.} \) Затем

\ begin {уравнение *} e = \ frac {5f} {2} = \ frac {k (2 + 3f / 2)} {2} \ end {уравнение *}

так

\ begin {уравнение *} k = \ frac {10f} {4 + 3f} \ end {уравнение *}

Теперь горизонтальная асимптота равна \ (\ frac {10} {3} \ text {.} \). Это меньше 4, поэтому мы можем только надеяться получить \ (k = 3 \ text {.} \) Мы можем сделать это, используя 12 пятиугольников, получив додекаэдр. Это единственный правильный многогранник с пятиугольниками в качестве граней.

Случай 4: Каждая грань представляет собой \ (n \) — угольник с \ (n \ ge 6 \ text {.} \). Следуя той же процедуре, что и выше, мы делаем вывод, что

\ begin {уравнение *} k = \ frac {2nf} {4+ (n-2) f} \ end {уравнение *}

, которая будет возрастать до горизонтальной асимптоты \ (\ frac {2n} {n-2} \ text {.} \). Когда \ (n = 6 \ text {,} \) эта асимптота находится в \ (k = 3 \ text {.} \) Любое большее значение \ (n \) даст еще меньшую асимптоту.Следовательно, не существует правильных многогранников с гранями больше пятиугольника.

\ (\ квадрат \)

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.