Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Урок 20. построение графиков функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №20. Построение графиков функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Исследование функций;
  2. Построение графиков функций;
  3. Применение производной для решения графических задач.

Глоссарий по теме

Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.

Полная схема построения графика функции:

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
  3. Найти асимптоты.
  4. Найти стационарные и критические точки.
  5. Найти промежутки монотонности.
  6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
  7. Найти точки перегиба
  8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
  9. По полученным данным построить график функции.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Постройте график функции у = х3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

Решение:

1) D(y) = (-∞; +∞)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) Асимптот нет

4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.

Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.

7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 1)

1

(1; +∞)

f’(x)

+

0

0

+

f(x)

5

1

max

min

8) Координаты некоторых точек:

9) По полученным данным строим график (рис. 1)

Рисунок 1 – график функции у = х3 – 3х + 3

Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.

Решение:

1)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) х = 1 – вертикальная асимптота

4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.

х = 2, х = 0 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

Так как в точке х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», то х = 0 – точка максимума.

Так как в точке х = 2 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 2 – точка минимума.

х = 1 – не является точкой экстремума

6) Найдем интервалы выпуклости функции.

; при функция выпукла вверх.

; при функция выпукла вниз.

7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

x

(-∞; 0)

0

(0; 1)

1

(1; 2)

2

(2; +∞)

f’(x)

+

0

Не сущ.

0

+

f’’(x)

Не сущ.

+

+

f(x)

-4

Не сущ.

0

max

min

8) Координаты некоторых точек:

x

-1

0,5

1,5

3

f(x)

-4,5

-4,5

0,5

0,5

9) По полученным данным строим график (рис.{\prime \prime}=0 : x=1$ ; при $x=0$ и
$x=2$ вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и
$(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках
$(-\infty ; 0)$ и
$(1 ; 2)$ — выпукла. Так как при переходе через точку
$x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

4.17. Общая схема исследования функции

Пусть – некоторая заданная функция. Требуется провести ее всестороннее (полное) исследование и построить ее график. Указанное полное исследование функции можно провести по следующей схеме.

1. Находим область определения функции. Заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва.

2. Исследуем функцию на четность-нечетность и тем самым устанавливаем возможную симметрию графика функции (относительно оси Oy или относительно начала координат). Для этого записываем выражение и сравниваем его с :

А) Если , то функция – четная. Ее график симметричен относительно оси Оу (рис. 4.16 (а)).

Б) Если , то функция – нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат (рис. 4.16 (б)).

В) Если не имеет место ни вариант (а) ни вариант (б), то функция – общего вида (ее график симметрией (а) и (б) не обладает).

3. Исследуем функцию на периодичность (на повторяемость ее графика). Из элементарных функций это имеет смысл делать лишь для тригонометрических функций, ибо прочие функции заведомо не периодичны.

4. Исследуем поведение функции возле найденных в пункте 1 точек ее разрыва, а также возле границ области ее определения, учитывая при этом информацию, полученную в пунктах 2 и 3. Заодно устанавливаем (определяем) вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции (см. § 3 главы 3).

5. Находим интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума (с помощью первой производной ). Заодно находим вершины и впадины графика функции и устанавливаем их тип (округлые; острые).

6. Находим интервалы выпуклости и интервалы вогнутости функции и точки ее перегиба (с помощью второй производной ). Заодно находим точки перегиба графика функции.

7. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

8. Строим график функции.

Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. Реализуем изложенную выше схему.

1. Область определения функции – любые X, кроме . То есть функция определена (а следовательно, и непрерывна) на всей числовой оси Ох, кроме точки , которая, таким образом, является единственной точкой разрыва функции.

2. Исследуем функцию на четность-нечетность. Имеем: ; тогда . Как видим, . Значит, наша функция – нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. А значит, в дальнейшем достаточно исследовать функцию лишь для , ибо для можно будет учесть указанную выше симметрию.

3. Функция – алгебраическая (не тригонометрическая), а следовательно, не периодична.

4. Исследуем поведение функции возле точки ее разрыва (справа, при ), а также при (на правой границе области ее определения):

А) При функция

То есть

( при ).

А это значит, что вертикальная прямая с уравнением (ось Оу) является вертикальной асимптотой графика функции. К ней справа (при ) неограниченно приближается график функции, устремляясь при этом вверх (рис. 4.17 (А)):

Б) При функция стремится, очевидно, к , ибо

.

При этом, очевидно, при функция стремится к эквивалентно функции , так как при . А это значит, что график нашей функции при стремится к прямой . То есть прямая – асимптота (наклонная асимптота) графика нашей функции. Причем график функции при стремится к прямой Сверху, ибо для всех (рис. 4.17 (Б)).

5. Найдем интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции (схема исследования изложена выше).

а) Находим производную :

;

Б) Найдем точки (значения X), подозрительные на экстремум:

.

не существует .

Точку исследовать не будем, так как она не входит в область определения функции. Не будем исследовать и отрицательную точку (см. пункт 2).

В) Нанесем оставшуюся подозрительную на экстремум точку на область определения функции (на ось Ох). При этом ограничимся рассмотрением лишь положительной полуоси :

В обоих получившихся интервалах найдем знак производной и отметим его. Тем самым устанавливаем интервал возрастания и интервал убывания функции. Заодно устанавливаем, что – точка минимума функции.

Г) Найдем значение функции в точке минимума и тем самым определим впадину графика функции:

; точка – впадина графика функции (округлая, т. к. ).

6. Найдем интервалы выпуклости и интервалы вогнутости функции, а также точки перегиба функции и ее графика (схема исследования изложена выше).

А) Найдем :

;

Б) Найдем точки (значения X), подозрительные на перегиб:

таких X нет.

не существует .

Но учитывать точку не будем, так как она не входит в область определения функции. Итак, рассматриваемая функция не имеет подозрительных на перегиб точек, а значит, точек перегиба у неё нет. И так как для , то для всех функция наша вогнутая.

7. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

А) С осью Ох:

таких X нет.

Б) С осью Оу:

– не сущ.

Таким образом, ни с осью Ох, ни с осью Оу график нашей функции не пересекается.

8. Строим график функции – сначала для , а затем, по симметрии относительно начала координат, и для (рис. 4.18).

Упражнения

1. Провести полное исследование и построить графики функций:

А) ; б) ; в) .

Ответ:

< Предыдущая   Следующая >

y = x^3 + x^2 – x – 1 полное исследование функции и построение графика

Задание.2 — x – 1 и построение графика.

Решение.

  1. Функция определяется для любых значений аргумента х, поэтому ее область определения от —\pi до +\pi.
  2. Точки, в которых функция пересекается с координатными осями.

Ось Ох: при у = 0 нужно решить уравнение:

   

Преобразуем данное выражение, вынеся из двух первых слагаемых множитель х в квадрате, а из вторых двух слагаемых — минус:

   

Общий множитель выносим за скобки:

   

Решим полученное уравнение, разбив его на два более простых:
или

   

   

Получили две точки пересечения (—1; 0) и (1; 0).
Ось Оу:  при х = 0. Подставим это значение в уравнение функции:

   

  1. Определим четность функции:

   

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Степенные функции непериодичны.
  2. Вычислим промежутки возрастания или убывания, а также точки экстремумов:

   

Найдем критические точки:

   

   

   

   

Рассмотрим поведение производной функции на трех полученных промежутках:
От —\pi до—1:
— функция возрастающая
От —1 до 1/3:
— функция убывает
От 1/3 до +\pi:
— функция возрастает
Получаем в точке —1 — точку максимума, а в точке 1/3 — точку минимума.
Найдем координату у этих точек:

   

   

  1. Вычислим промежутки выпуклости или вогнутости и точку ее перегиба:

   

   

   

Рассмотрим знак 2-й производной на промежутках:
От —\pi до —1/3:
— функция выпукла вверх
От —1/3 до +\pi:
— функция выпукла вниз
Найдем координаты точки перегиба:

   

  1. Функция не имеет точек разрыва.
  2. Строим график функции.

Построение графиков с помощью производной

Презентация на тему: Построение графиков с помощью производной

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

доцент кафедры математического образования доцент кафедры математического образования Батан Любовь Федоровна

№ слайда 3

Описание слайда:

№ слайда 4

Описание слайда:

Данная тема является очень важной и значимой, т. к. в материалах ЕГЭ большое внимание уделяется заданиям, связанным с исследованием функции с помощью графика, с построением графика заданной функции. Данная тема является очень важной и значимой, т. к. в материалах ЕГЭ большое внимание уделяется заданиям, связанным с исследованием функции с помощью графика, с построением графика заданной функции. Успешное изучение этой темы поможет вам хорошо сдать государственный экзамен по математике.

№ слайда 5

Описание слайда:

Урок закрепления изученного материала в форме самостоятельной групповой работы по карточкам Урок закрепления изученного материала в форме самостоятельной групповой работы по карточкам

№ слайда 6

Описание слайда:

Для учителя Для учителя Для ученика

№ слайда 7

Описание слайда:

Обобщить и закрепить свои знания и умения при построении графика функции с помощью ее исследования. Обобщить и закрепить свои знания и умения при построении графика функции с помощью ее исследования. Применить (ИКТ) новые информационные технологии для проверки результатов построения с помощью программы MathCAD Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели

№ слайда 8

Описание слайда:

Систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся при построении графиков функций. Систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся при построении графиков функций. Развивать умения наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации с использованием ИКТ и программы MathCAD. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, коммуникативную и информационную культуру. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю и самоанализу своей деятельности.

№ слайда 9

Описание слайда:

Формировать устойчивый интерес к математике через дифференцированный подход к учащимся. Формировать устойчивый интерес к математике через дифференцированный подход к учащимся. Вовлекать каждого ученика в процесс активного учения через интерактивные методы обучения. Развивать познавательный интерес, графическую культуру, культуру речи, память, самостоятельность мышления.

№ слайда 10

Описание слайда:

№ слайда 11

Описание слайда:

На уроке мы должны закрепить и обобщить свои знания и умения при построении графика функции с помощью производной и убедиться в правильности своего построения с помощью программы MathCAD. На уроке мы должны закрепить и обобщить свои знания и умения при построении графика функции с помощью производной и убедиться в правильности своего построения с помощью программы MathCAD.

№ слайда 12

Описание слайда:

Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить точки, в которых: Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить точки, в которых:

№ слайда 13

Описание слайда:

№ слайда 14

Описание слайда:

Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить: Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить:

№ слайда 15

Описание слайда:

Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить: Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить:

№ слайда 16

Описание слайда:

Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить: Задача1. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке, определить:

№ слайда 17

Описание слайда:

№ слайда 18

Описание слайда:

№ слайда 19

Описание слайда:

№ слайда 20

Описание слайда:

№ слайда 21

Описание слайда:

№ слайда 22

Описание слайда:

№ слайда 23

Описание слайда:

№ слайда 24

Описание слайда:

№ слайда 25

Описание слайда:

№ слайда 26

Описание слайда:

№ слайда 27

Описание слайда:

Задача2. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6). Задача2. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6).

№ слайда 28

Описание слайда:

№ слайда 29

Описание слайда:

Задача2. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6). Задача2. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6).

№ слайда 30

Описание слайда:

№ слайда 31

Описание слайда:

На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6).

№ слайда 32

Описание слайда:

№ слайда 33

Описание слайда:

Задача 2. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6). Задача 2. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на промежутке (-5;6).

№ слайда 34

Описание слайда:

№ слайда 35

Описание слайда:

Задача3. Найти асимптоты графика функции Задача3. Найти асимптоты графика функции

№ слайда 36

Описание слайда:

х=2 – вертикальная асимптота х=2 – вертикальная асимптота у=х – наклонная асимптота

№ слайда 37

Описание слайда:

Класс делится на 3 группы. Каждая группа учащихся получает задание на карточке. Класс делится на 3 группы. Каждая группа учащихся получает задание на карточке. Первая группа – задание базового уровня. Вторая группа – задание основного уровня. Третья группа – задание продвинутого уровня. Задание: Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график. Исследовав функцию с помощью производной и построив ее график на листе бумаги, учащиеся сканируют свою работу и сохраняют ее на Smart – доске. Осуществляют самопроверку с помощью программы МаthCAD.

№ слайда 38

Описание слайда:

базовый уровень базовый уровень основной уровень продвинутый уровень

№ слайда 39

Описание слайда:

Базовый уровень: Базовый уровень: Исследовать функцию и построить ее график у = x4 – 8×2

№ слайда 40

Описание слайда:

Основной уровень: Основной уровень: Исследовать функцию и построить ее график

№ слайда 41

Описание слайда:

Продвинутый уровень: Продвинутый уровень: Исследовать функцию и построить ее график

№ слайда 42

Описание слайда:

1.Область определения функции. 1.Область определения функции. 2.Множество значений функции. 3.Чётность. 4.Периодичность. 5.Первая производная: по ней определяются участки монотонности и точки экстремума. 6.Вторая производная: по ней определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба. 7.Точки пересечения с осями координат. 8.Таблица значений.

№ слайда 43

Описание слайда:

1.Область определения функции. 1.Область определения функции. 2.Множество значений функции. 3.Чётность. 4.Периодичность. 5.Первая производная: по ней определяются участки монотонности и точки экстремума. 6.Вторая производная: по ней определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба. 7.Точки пересечения с осями координат. 8.Таблица значений.

№ слайда 44

Описание слайда:

1.Область определения функции. 1.Область определения функции. 2.Множество значений функции. 3.Чётность. 4.Периодичность. 5.Первая производная: по ней определяются участки монотонности и точки экстремума. 6.Вторая производная: по ней определяются участки выпуклости и вогнутости и точки перегиба. 7.Точки пересечения с осями координат. 8.Таблица значений.

№ слайда 45

Описание слайда:

Замечаем, что функция четная и ее график симметричен оси ОУ, достаточно исследовать ее на интервале от 0 до +∞ . Замечаем, что функция четная и ее график симметричен оси ОУ, достаточно исследовать ее на интервале от 0 до +∞ . Данные исследования заносим в таблицу:

№ слайда 46

Описание слайда:

№ слайда 47

Описание слайда:

№ слайда 48

Описание слайда:

№ слайда 49

Описание слайда:

№ слайда 50

Описание слайда:

Если а = ± 4, то одно решение. Если а = ± 4, то одно решение. Если |а| &gt; 4, то два решения. Если -4&lt;a&lt;4, то нет решений.

№ слайда 51

Описание слайда:

Графики функций можно строить «по точкам». Графики функций можно строить «по точкам». Однако при таком способе построения можно пропустить важные особенности графика. Можно строить график функции с помощью преобразований: сдвига прямой на а единиц; растяжения прямой от точки О с коэффициентом k; центральной симметрии относительно точки О; симметрии относительно оси абсцисс и оси ординат. А можно строить график методом исследования функции с помощью производной.

№ слайда 52

Описание слайда:

Вот что сказал Декарт по поводу методов: «Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное, и без излишней траты умственных силах, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно.»

№ слайда 53

Описание слайда:

Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла. Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла. В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений. В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований. Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”. И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде она изучается и по сей день.

№ слайда 54

Описание слайда:

Исследуя функцию с помощью производной, я научился находить : Исследуя функцию с помощью производной, я научился находить : Область определения функции; Определять четность функции; Критические точки и выделять из них точки экстремума; Промежутки монотонности функции; Точки перегиба; Промежутки выпуклости; Строить график функции

№ слайда 55

Описание слайда:

До свидания!!! До свидания!!! Удачи вам!!!

№ слайда 56

Описание слайда:

3.2 Производная как функция — Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Определите производную функцию заданной функции.
  • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение

Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, — это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

.

Говорят, что функция дифференцируема на , если
существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция — это функция, в которой существует в своей области.

В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

Нахождение производной функции квадратного корня

Найдите производную от.

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

Нахождение производной квадратичной функции

Найдите производную функции.

Решение

Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

Найдите производную от.

Решение

Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

.

Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в технике и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где — разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

.

Фигура 1.Производная выражается как.

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

Построение производной с помощью функции

Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

Решение

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Проба

Если дифференцируем в, то существует и

.

Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,

Следовательно, поскольку определено и, мы заключаем, что непрерывно в точке.

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

.

Этот предел не существует, потому что

.

См. (Рисунок).

Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема. Рассмотрим функцию:

.

Значит, не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

.

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

Итого:

  1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
  2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция

Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

.

Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

Поиск второй производной

Для, найдите.

В поисках ускорения

Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

  • Производная функция

В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.

1.

2.

3.

4.

Решение

5.

6.

Решение

7.

8.

Решение

9.

10.

Решение

Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

11.

12.

Решение

13.

14.

Решение

Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в.Найти и .

15.

16.

Решение

17.

18.

Решение

19.

20.

Решение

Для следующих функций:

  1. зарисовать график и
  2. используйте определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

21.

23

Для следующих графиков

  1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
  2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.

25.

Для следующих функций используйте, чтобы найти.

28.

29.

30.

Решение

Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

31. [Т]

33. [Т]

35. [Т]

Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.

37. обозначает население города во время в годах.

38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на концессии клиентами в парке развлечений.

Решение

а. Средняя ставка, с которой клиенты потратили на уступки, в тысячах на одного покупателя.
г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

Решение

а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

Решение

а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

Решение

а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.

Решение

а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

Время (секунды) Высота (метры)
0 0
1 2
2 4
3 13
4 25
5 32

47. В чем физический смысл? Какие единицы?

48. [T] Создайте таблицу значений и нанесите график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените как левый предел, так и правый предел и усредните их.)

Решение
Время (секунды) (м / с)
0 2
1 2
2 5.5
3 10,5
4 9,5
5 7

Как сравнить график функции и ее производной — блог Magoosh

Чтение графика производной является важной частью учебной программы AP Calculus. Типичные задачи исчисления включают получение функции или графика функции и поиск информации о точках перегиба, наклоне, вогнутости или существовании производной.

Существует ли производная?

Во-первых, глядя на график, мы должны знать, существует ли вообще производная функции. В нашем производном посте в блоге есть немного больше информации об этом.

Три ситуации, когда производная не существует

Нет производной, если есть разрыв на кривой.

Это любой момент, когда есть разрыв кривой, когда две части кривой не соединяются.

Виды несплошностей:

Имеется устранимая несплошность.Представьте себе линейную функцию, такую ​​как y = x + 3. Если бы мы добавили ограничение, в котором x не определено при x = 0, у нас был бы такой разрыв.

Бесконечный разрыв. Это происходит, когда у нас есть какое-либо уравнение, в котором есть разрыв между двумя непрерывными участками кривой из-за того, что асимптоты достигают бесконечности. Например, пусть y = 3 / (x-2). Обратите внимание, у нас есть две вертикальные асимптоты, которые не соединяются.

И, наконец, разрыв скачка.Это происходит с кусочными функциями, где две секции просто не соединяются.

Производная не существует там, где есть острый угол.

Это часто происходит с проблемами абсолютного значения. Давайте посмотрим на график y = √x 2

При x = 0 производной нет, потому что у нас есть резкий изгиб кривой.

Наконец, нет производной везде, где есть вертикальный разрез графика.

Если есть вертикальное сечение графика, наклон не определен; следовательно, производной не существует.

Чтение графика производных.

Глядя на график, мы должны иметь возможность быстро увидеть уклон на любом участке и получить приблизительное представление о том, каким должен быть уклон. Это позволяет легко сопоставить график с его производной.

Глядя на первый график, можете ли вы выяснить, какой из трех приведенных ниже графиков является графиком производной?

f ‘(x):

a

b

c

Несколько ключей к правильному ответу.Сразу должно быть видно, что это какая-то тригонометрическая функция. Мы знаем, что наклон функции равен 0 в нескольких точках; поэтому график производной в какой-то момент должен проходить через ось абсцисс. Также, глядя на график, мы должны увидеть, что это происходит где-то между -2,5 и 0, а также между 0 и 2,5. Одного этого достаточно, чтобы увидеть, что последний график является правильным ответом.

Построение графика функции на основе производной и двойной производной.

Производная и двойная производная говорят нам несколько ключевых вещей о графике:

(Хорошая практика AP: как мы можем определить, является ли он минимальным или максимальным?)

график производной функции f (x).

Вот график функции. Можем ли мы увидеть, как они соотносятся?

Умение читать графики производной и знать, какой должна быть общая форма исходной функции, является важной частью учебной программы AP Calculus. Убедитесь, что вы знаете, как определять точки перегиба, локальные минимумы и максимумы, а также где функция увеличивается или уменьшается.

Гарантированно повысьте свой результат по SAT или ACT. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!

Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT.Нажмите сюда, чтобы узнать больше!

О Захари

Захари — бывший инженер-механик, учитель физики, математики и информатики в средней школе. Он окончил Университет Макгилла в 2011 году и работал в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподает и занимается репетиторством в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его за приключениями, чтением, скалолазанием и путешествиями, когда появляется такая возможность.

AC Вторая производная

Для дифференцируемой функции \ (y = f (x) \ text {,} \) мы знаем, что ее производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) равна связанная функция, вывод которой в \ (x = a \) сообщает нам наклон касательной к \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \) То есть высоты на графике производной говорят нам значения наклона на графике исходной функции.

В точке, где \ (f ‘(x) \) положительно, наклон касательной к \ (f \) положительный. Следовательно, на интервале, где \ (f ‘(x) \) положительно, функция \ (f \) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \ (f ‘(x) \) отрицательно на интервале, график \ (f \) убывает (или убывает).

Производная от \ (f \) сообщает нам не только , , увеличивается или уменьшается функция \ (f \) на интервале, но также , как функция \ (f \) увеличивается или уменьшается.Посмотрите на две касательные, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что около точки \ (A \) значение \ (f ‘(x) \) положительно и относительно близко к нулю, и около этой точки график медленно растет. Напротив, около точки \ (B \ text {,} \) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \ (f \) быстро убывает около \ (B \ text {.} \)

Рисунок 1.6.1. Две касательные на графике.

Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным и является ли оно большим или малым, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»

Поскольку производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) сама по себе является функцией, мы можем рассмотреть возможность взятия ее производной — производной от производной — и спросить, «что говорит производная от производной. нас о том, как ведет себя исходная функция? » Начнем с исследования движущегося объекта.

Предварительный просмотр 1.6.1.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.2. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \ ((2,4) \) на графике означает, что через 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.

Рисунок 1.6.2. График \ (y = s (t) \ text {,} \) положения автомобиля (измеренного в тысячах футов от исходного местоположения) в момент времени \ (t \) в минутах.

  1. На обыденном языке опишите поведение автомобиля за указанный промежуток времени. В частности, вам следует внимательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \ ([0,1] \ text {,} \) \ ([1,2] \ text {,} \) \ ([2,3 ] \ text {,} \) \ ([3,4] \ text {,} \) и \ ([4,5] \ text {,} \) плюс дать общий комментарий о том, что машина делает в интервале \ ([0,12] \ text {.} \)

  2. На левой оси, представленной на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \ (y = s ‘(t) \ text {.} \)

  3. Что означает функция \ (y = s ‘(t) \) в контексте данной проблемы? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \ (s ‘(t) \) положительно? когда \ (s ‘(t) \) равно нулю? когда \ (s ‘(t) \) отрицательно?

  4. Переименуйте функцию, которую вы построили в (b), чтобы она вызывалась \ (y = v (t) \ text {.} \) Опишите поведение \ (v \) словами, используя такие фразы, как «\ (v \) возрастает на интервале \ (\ ldots \) ​​», а« \ (v \) постоянно на интервале \ (\ ldots \ text {.} \) ”

  5. Нарисуйте график функции \ (y = v ‘(t) \) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \ (v ‘(t) \) связано с графиком \ (y = v (t) \ text {.} \)

Рисунок 1.6.3. Оси для построения \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \ text {.} \)

Подраздел 1.6.1 Увеличение или уменьшение

До сих пор мы использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , интуитивно для описания графика функции.Здесь мы определим эти термины более формально.

Определение 1.6.4.

Для функции \ (f (x) \), определенной на интервале \ ((a, b) \ text {,} \), мы говорим, что \ (f \) возрастает на \ ((a, b) \ ) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \), если \ (x \ lt y \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt f (y) \ text {.} \) Аналогично, мы говорим, что \ (f \) убывает на \ ((a, b) \) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \) если \ (x \ lt y \ text {,} \), то \ (f (х) \ gt е (у) \ текст {.} \)

Проще говоря, возрастающая функция — это функция, которая возрастает при перемещении слева направо по графику, а убывающая функция — это функция, которая падает при увеличении значения ввода. Если функция имеет производную, знак производной говорит нам, увеличивается или уменьшается функция.

Пусть \ (f \) — функция, дифференцируемая на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Можно показать, что если \ (f ‘(x)> 0 \) для каждое \ (x \) такое, что \ (a \ lt x \ lt b \ text {,} \), то \ (f \) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) аналогично, если \ (f ‘(x) \ lt 0 \) на \ ((a, b) \ text {,} \), то \ (f \) убывает на \ ((a, b) \ text {.} \)

Например, функция, изображенная на рисунке 1.6.5, возрастает на всем интервале \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \ text {,} \) и убывает на интервале \ (0 \ lt x \ lt 2 \ text {.} \) Обратите внимание, что значение \ (x = 0 \) не входит ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция изменяется с увеличения на уменьшение.

Рисунок 1.6.5. Функция, убывающая на интервалах \ (- 3 \ lt x \ lt -2 \) и \ (0 \ lt x \ lt 2 \) и возрастающая на \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \) и \ (2 \ lt х \ lt 3 \ текст {.} \)

Подраздел 1.6.2 Вторая производная

Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \ (f \) — это новая функция, заданная правилом

.

\ begin {уравнение *}
f ‘(x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ text {.}
\ end {уравнение *}

Поскольку \ (f ‘\) сам по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \ (y = [f’ (x)] ‘\ text {.} \) Мы называем эту получившуюся функцию второй производной от \ (y = f (x) \ text {,} \) и обозначаем вторую производную как \ (y = f » (x) \ text {.} \) Следовательно, мы иногда будем называть \ (f ‘\) «первой производной» от \ (f \ text {,} \), а не просто «производной» от \ (f \ text {.} \)

Определение 1.6.6.

Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть

\ begin {уравнение *}
f » (x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f ‘(x + h) -f’ (x)} {h} \ text {.}
\ end {уравнение *}

Значение производной функции все еще сохраняется, поэтому, когда мы вычисляем \ (y = f » (x) \ text {,} \), эта новая функция измеряет наклон касательных линий к кривой \ (y = f ‘( x) \ text {,} \), а также мгновенную скорость изменения \ (y = f ‘(x) \ text {.} \) Другими словами, так же, как первая производная измеряет скорость, с которой оригинал функция изменяется, вторая производная измеряет скорость, с которой изменяется первая производная. Вторая производная поможет нам понять, как изменяется сама скорость изменения исходной функции.

Подраздел 1.6.3 Вогнутость

В дополнение к вопросу , увеличивается или уменьшается функция, естественно также спросить , как функция увеличивается или уменьшается. Есть три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может увеличиваться все более и более быстро, она может увеличиваться с той же скоростью, или она может увеличиваться медленным образом. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, при естественном сравнении с линиями, которые вообще не изгибаются.Более того, мы хотим понять, как изгиб в графике функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.

Рисунок 1.6.7. Три функции, которые все увеличиваются, но делают это с возрастающей, постоянной и убывающей скоростью соответственно.

На крайней левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. При движении слева направо наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью .Для крайнего правого графика на рис. 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \ (x \) функция увеличивается, но наклон касательных линий уменьшается. Эта функция на увеличивается со скоростью убывания.

Аналогичные параметры используются для уменьшения функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции включают отрицательные наклоны. Отрицательные числа представляют собой интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\ (- 100 \) больше, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Но мы должны помнить, что« больше чем »описывает расположение чисел на числовой строке: \ (x \ gt y \) при условии, что \ (x \) лежит справа от \ (y \ text {.} \) Итак, конечно, \ (- 100 \) меньше, чем \ (- 2 \ text {.} \) Неформально, может быть полезно сказать, что «\ (- 100 \) более отрицательно, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся все более отрицательными по мере увеличения ввода, функция должна уменьшаться.

Рисунок 1.6.8. Слева направо три функции, которые уменьшаются, но делают это по-разному.

Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, убывающую с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклон этих линий становится все менее и менее отрицательным по мере того, как мы движемся слева направо. Это означает, что значения первой производной, хотя все отрицательные, увеличиваются, и поэтому мы говорим, что крайняя левая кривая — , убывающая с возрастающей скоростью . x \ text {,} \), мы говорим, что кривая на вогнута вверх. на этом интервале.{x} \ text {,} \) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.

На рисунке 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута вверх, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклон касательных линий увеличивается при движении слева направо. Другими словами, функция \ (f \) вогнута вверх на показанном интервале, потому что ее производная \ (f ‘\ text {,} \) возрастает на этом интервале.Точно так же на правом графике на рисунке 1.6.9, где показанная функция вогнута вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат над кривой, а наклон касательных линий уменьшается по мере того, как мы перемещаемся слева направо. Тот факт, что его производная \ (f ‘\ text {,} \) убывает, делает \ (f \) вогнутым вниз на интервале.

Рисунок 1.6.9. Слева функция, вогнутая вверх; справа — вогнутая вниз.

Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально как определения терминов вогнуты вверх и вогнуты вниз .

Определение 1.6.10.

Пусть \ (f \) — дифференцируемая функция на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Тогда \ (f \) будет на вогнутым вверх на \ ((a, b) \), если и только если \ (f ‘\) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) \ (f \) на вогнуто вниз на на \ ((a, b) \) тогда и только тогда, когда \ (f ‘\) уменьшается на \ ((a, b) \ text {.} \)

Мероприятие 1.6.2.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.11. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \) в предварительном упражнении 1.6.1.

Рисунок 1.6.11. График \ (y = s (t) \ text {,} \) положения автомобиля (измеренного в тысячах футов от исходного местоположения) в момент времени \ (t \) в минутах.

  1. На каких интервалах функция положения \ (y = s (t) \) увеличивается? уменьшается? Почему?

  2. На каких интервалах функция скорости \ (y = v (t) = s ‘(t) \) увеличивается? уменьшается? ни один? Почему?

  3. Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость, с которой изменяется скорость объекта.Скажем, функция ускорения автомобиля называется \ (a (t) \ text {.} \) Как \ (a (t) \) вычисляется из \ (v (t) \ text {?} \) Как \ ( a (t) \) вычисляется из \ (s (t) \ text {?} \) Объясните.

  4. Что вы можете сказать о \ (s » \) всякий раз, когда \ (s ‘\) увеличивается? Почему?

  5. Используя только слова увеличивающийся , убывающий , постоянный , вогнутый вверх , вогнутый вниз и линейный , завершите следующие предложения.Для функции положения \ (s \) со скоростью \ (v \) и ускорением \ (a \ text {,} \)

    • на интервале, где \ (v \) положительно, \ (s \) равно.

    • на интервале, где \ (v \) отрицательно, \ (s \) равно.

    • на интервале, где \ (v \) равно нулю, \ (s \) равно.

    • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (v \) положительно.

    • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (v \) равно.

    • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (v \) равно.

    • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (s \) равно.

    • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (s \) равно.

    • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (s \) равно.

Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая производная и ее вторая производная связаны друг с другом. В действии 1.6.2 мы можем заменить \ (s \ text {,} \) \ (v \ text {,} \) и \ (a \) произвольной функцией \ (f \) и ее производными \ (f ‘\) и \ (f’ ‘\ text {,} \) и, по сути, все те же наблюдения верны.В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \ (f \) вогнут вверх, \ (f ‘\) возрастает, а \ (f’ ‘\) положительно. Аналогично, на интервале, где график \ (f \) вогнут вниз, \ (f ‘\) убывает, а \ (f’ ‘\) отрицательно.

Мероприятие 1.6.3.

Картофель помещается в духовку, и температура картофеля \ (F \) (в градусах Фаренгейта) в различные моменты времени измеряется и записывается в следующей таблице. Время \ (t \) измеряется в минутах.В упражнении 1.5.2 мы вычислили приближения к \ (F ‘(30) \) и \ (F’ (60) \) с использованием центральных разностей. Эти и другие значения представлены во второй таблице ниже, а также некоторые другие, вычисленные таким же образом.

Таблица 1.6.12. Выберите значения \ (F (t) \ text {.} \)

\ (t \) \ (F (t) \)
\ (0 \) \ (70 \)
\ (15 \) \ (180,5 \)
\ (30 \) \ (251 \)
\ (45 \) \ (296 \)
\ (60 \) \ (324.5 \)
\ (75 \) \ (342,8 \)
\ (90 \) \ (354,5 \)

Таблица 1.6.13. Выберите значения \ (F ‘(t) \ text {.} \)

\ (t \) \ (F ‘(t) \)
\ (0 \) NA
\ (15 \) \ (6,03 \)
\ (30 \) \ (3,85 \)
\ (45 \) \ (2,45 \)
\ (60 \) \ (1.56 \)
\ (75 \) \ (1,00 \)
\ (90 \) NA
  1. Каковы единицы измерения значений \ (F ‘(t) \ text {?} \)

  2. Используйте центральную разность, чтобы оценить значение \ (F » (30) \ text {.} \)

  3. Что означает значение \ (F » (30) \), которое вы вычислили в (b) в терминах температуры картофеля? Напишите несколько осторожных предложений, в которых обсуждаются, с соответствующими единицами, значения \ (F (30) \ text {,} \) \ (F ‘(30) \ text {,} \) и \ (F’ ‘(30) \ text {,} \) и объясните общее поведение температуры картофеля в данный момент времени.

  4. В целом, температура картофеля растет с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с уменьшающейся скоростью? Почему?

Мероприятие 1.6.4.

Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как нарисовать график \ (f ‘\) с учетом графика \ (f \ text {.} \)

На рис. 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух различных функций \ (f \ text {,} \), нарисуйте соответствующий график \ (f ‘\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \ (f’ ‘ \) на втором наборе осей.Кроме того, для каждого из них напишите несколько осторожных предложений в духе действий 1.6.2, которые связывают поведение \ (f \ text {,} \) \ (f ‘\ text {,} \) и \ (f » \ text {.} \) Например, напишите что-нибудь вроде

\ (f ‘\) находится на интервале, что связано с тем, что \ (f \) находится на том же интервале, а \ (f’ ‘\) находится на интервале.

, но, разумеется, с заполненными пробелами. На всем протяжении рассматривайте масштаб сетки для графика \ (f \) как \ (1 \ times 1 \ text {,} \) и принимайте горизонтальный масштаб сетки для графика \ (f ‘\) идентичен графику для \ (f \ text {.} \) Если вам нужно отрегулировать вертикальный масштаб по осям для графика \ (f ‘\) или \ (f’ ‘\ text {,} \), вы должны обозначить это соответствующим образом.

Рисунок 1.6.14. Две заданные функции \ (f \ text {,} \) с осями, предусмотренными для построения \ (f ‘\) и \ (f’ ‘\) ниже.

Заметки по исчислению I, раздел 2-10

Заметки по исчислению I, разделы 2-10
Заметки,
Урок 2.10

Что значит f ‘
Сказать про f ?

Первая производная
функции — это выражение, которое сообщает нам наклон касательной
линия к кривой в любой момент.Из-за этого определения первый
производная функции многое говорит нам о функции. Если положительный, то должен увеличиваться. Если отрицательный, то должен уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть
при относительном максимуме или относительном минимуме. говорит нам похожие вещи о. также
дает нам ценную информацию о. В
в частности, он сообщает нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз,
или есть точка перегиба. Такой же тип информации
указал о
по и так далее.

увеличение

+
уменьшение
относительный мин. или макс. 0
вогнуться увеличение +
вогнуться уменьшение
точка перегиба относительный мин. или макс. 0
вогнуться увеличение +
вогнуться уменьшение
точка перегиба относительный мин.или макс. 0
вогнуться увеличение
вогнуться уменьшение
точка перегиба относительный мин. или макс.
вогнуться
вогнуться
точка перегиба

Использование Инструменты для обогащения
Calculus
CD (пришел
вместе с книгой), загрузите и запустите модуль
2.10
.
Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации.
о
f
‘для определения наклона графика f ..

Определение:

Первоначальное Первоначальная производная f является
функция F такая, что F
= f .

Здесь мы видим процесс, обратный тому, что мы
изучение.Мы начинаем с производной, и мы хотим найти функцию. Этот
тип
процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных
встреча.

Во-первых, нам нужно знать, что разные функции могут
результат в
точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

Здесь мы видим семейство кривых, построенных с их
общая производная.

Семейство параболических функций:, где c принимает на себя
значения: -1, 0, 1, 2, 3 и 4.

Прямая линия на графике выше. Это
производная функция для всех шести параболических функций.
Поскольку дериватив — это прежде всего инструмент для
определение формы
функции положение графика не влияет на форму.
Следовательно
конгруэнтные кривые, которые ориентированы одинаково, но имеют разные
должность
имеют такую ​​же производную.

Проверить концепции
# 1: положительная производная
что насчет функции?

Выберите одну функцию
положительная функция отрицательная функция
возрастающая функция убывающая

# 2: отрицательная секунда
производная говорит, что насчет
функция?

Выберите одну функцию
уменьшается Функция вогнута вниз Функция
отрицательный

# 3: Верно или неверно.В
производная функции также
функция.

Выберите одну истину ложь

# 4: Вторая производная
нуля говорит, что насчет
оригинальная функция?

Выберите там
точка перегиба Есть относительный минимум или максимум It
должна быть постоянной функцией

# 5: Верно или неверно.А
вторая производная функции
дает ценную информацию о функции.

Выберите одну истину ложь

Исчисление I — Форма графа, часть II

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-6: Форма графа, часть II

В предыдущем разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы получить некоторую информацию о графике функции.В этом разделе мы рассмотрим информацию о графике функции, которую может дать вторая производная функции.

Прежде чем мы это сделаем, нам понадобится пара определений. Основная концепция, которую мы обсудим в этом разделе, — это вогнутость. Вогнутость легче всего увидеть с помощью графика (математическое определение мы дадим немного позже).

Итак, функция вогнута вверх, , если она «открывается» вверх, и функция , вогнута вниз, , если она «открывается» вниз.Также обратите внимание, что вогнутость не имеет ничего общего с увеличением или уменьшением. Функция может быть вогнутой вверх и увеличиваться или уменьшаться. Точно так же функция может быть вогнутой вниз и увеличиваться или уменьшаться.

Вероятно, это не лучший способ определить вогнутость, указав, в какую сторону она «открывается», поскольку это несколько расплывчатое определение. Вот математическое определение вогнутости.

Определение 1

Учитывая функцию \ (f \ left (x \ right) \), тогда

  1. \ (f \ left (x \ right) \) — это вогнутое вверх на интервале \ (I \), если все касательные к кривой на \ (I \) находятся ниже графика \ (f \ влево (х \ вправо) \).
  2. \ (f \ left (x \ right) \) — это вогнутое вниз на интервале \ (I \), если все касательные к кривой на \ (I \) находятся над графиком \ (f \ left (х \ право) \).

Чтобы показать, что приведенные выше графики действительно имеют заявленную выше вогнутость, вот еще раз график (немного увеличенный для большей ясности).

Итак, как вы можете видеть, на двух верхних графиках все нарисованные касательные линии находятся под графиком функции, и они вогнуты вверх.На двух нижних графиках все касательные линии находятся над графиком функции и вогнуты вниз.

Опять же, обратите внимание, что вогнутость и аспект увеличения / уменьшения функции полностью разделены и не имеют ничего общего друг с другом. Это важно отметить, потому что студенты часто смешивают эти два и используют информацию об одном, чтобы получить информацию о другом.

Есть еще одно определение, от которого нам нужно избавиться.

Определение 2

Точка \ (x = c \) называется точкой перегиба , если функция непрерывна в этой точке и вогнутость графика изменяется в этой точке.

Теперь, когда у нас есть все определения вогнутости, нам нужно добавить вторую производную. В конце концов, мы начали этот раздел, говоря, что собираемся использовать вторую производную для получения информации о графике. Следующий факт связывает вторую производную функции с ее вогнутостью.Доказательство этого факта можно найти в разделе «Доказательства на основе производных приложений» главы «Дополнительно».

Факт

Учитывая функцию \ (f \ left (x \ right) \), тогда

  1. Если \ (f » \ left (x \ right)> 0 \) для всех \ (x \) в некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) вогнуто вверх на \ (I \).
  2. Если \ (f » \ left (x \ right) <0 \) для всех \ (x \) в некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) вогнут вниз на \(Я\).

Итак, этот факт говорит нам, что точками перегиба будут все точки, в которых вторая производная меняет знак.В предыдущей главе мы видели, что функция может менять знаки, если она равна нулю или не существует. Обратите внимание, что мы работали с первой производной в предыдущем разделе, но тот факт, что функция, возможно, меняющая знаки, когда она равна нулю или не существует, не имеет ничего общего с первой производной. Это просто факт, который применим ко всем функциям, независимо от того, являются они производными или нет.

Это, в свою очередь, говорит нам, что список возможных точек перегиба будет состоять из тех точек, где вторая производная равна нулю или не существует, поскольку это единственные точки, где вторая производная может изменить знак.

Однако будьте осторожны, чтобы не сделать предположение, что точка будет точкой перегиба только потому, что вторая производная равна нулю или не существует. Мы узнаем, что это точка перегиба, только после того, как определим вогнутость с обеих сторон от нее. Это будет точка перегиба только в том случае, если вогнутость различна по обе стороны от точки.

Теперь, когда мы знаем о вогнутости, мы можем использовать эту информацию, а также информацию об увеличении / уменьшении из предыдущего раздела, чтобы получить довольно хорошее представление о том, как должен выглядеть график.2} — 1} \ right) \ end {align *} \]

Давайте начнем с увеличения / уменьшения информации, так как мы должны чувствовать себя комфортно после последнего раздела.

У этой функции есть три критических точки: \ (x = — 1 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \). Ниже находится числовая линия для увеличения / уменьшения информации.

Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Increasing:}} & — \ infty

Обратите внимание, что из теста первой производной мы также можем сказать, что \ (x = — 1 \) является относительным максимумом и что \ (x = 1 \) — относительный минимум. Также \ (x = 0 \) не является ни относительным минимумом, ни максимумом.

Теперь давайте возьмем интервалы, в которых функция вогнута вверх и вогнута вниз. Если задуматься, этот процесс почти идентичен процессу, который мы используем для определения интервалов увеличения и уменьшения.Единственное отличие состоит в том, что мы будем использовать вторую производную вместо первой.

Первое, что нам нужно сделать, это определить возможные точки перегиба. Это будут места, где вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная в этом случае является полиномом и поэтому будет существовать везде. В следующих точках он будет равен нулю.

\ [x = 0, \, \, x = \ pm \ frac {1} {{\ sqrt 2}} = \ pm \, 0.7071 \]

Как и в случае с увеличивающейся и убывающей частью, мы можем нарисовать числовую линию вверх и использовать эти точки, чтобы разделить числовую линию на области.В этих областях мы знаем, что вторая производная всегда будет иметь один и тот же знак, поскольку эти три точки — единственные места, где функция может изменить знак . Поэтому все, что нам нужно сделать, это выбрать точку из каждого региона и вставить ее во вторую производную. Тогда вторая производная будет иметь этот знак во всей области, откуда пришла точка из

.

Вот числовая линия для этой второй производной.

Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы вогнутости.

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Concave Up:}} & — \ frac {1} {{\ sqrt 2}}

Это также означает, что

\ [x = 0, \, \, x = \ pm \ frac {1} {{\ sqrt 2}} = \ pm 0.7071 \]

— все точки перегиба.

Вся эта информация может быть немного сложной, когда вы собираетесь рисовать график. Первое, что нам нужно сделать, это получить некоторые отправные точки. Критические точки и точки перегиба — хорошие отправные точки.Итак, сначала обозначим эти точки.

С этого момента есть несколько способов продолжить рисование графика. Способ, который мы считаем наиболее простым (хотя вы можете этого не делать, и это совершенно нормально…), — это начать с увеличения / уменьшения информации и начать рисовать график только на основе этой информации, как мы это делали в предыдущем разделе. Однако, в отличие от предыдущего раздела, на этот раз, когда мы рисуем увеличивающуюся или убывающую часть кривой, мы также будем обращать внимание на вогнутость кривой, когда мы это делаем.

Итак, если мы начнем с \ (x <- 1 \), мы знаем, что у нас есть возрастающая функция. В то же время мы знаем, что в этом диапазоне мы также должны быть вогнутыми вниз. Итак, мы можем начать с наброска возрастающей кривой, которая также вогнута вниз, пока мы не достигнем \ (x = - 1 \).

В этот момент график начинает уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока мы не достигнем \ (x = 1 \). Однако по мере того, как мы уменьшаем вогнутость, необходимо переключиться на вогнутую при \ (x \ приблизительно — 0.707 \), а затем переключитесь обратно на вогнутость вниз в точке \ (x = 0 \) с последним переключением на вогнутость вверх в точке \ (x \ приблизительно 0,707 \).

Как только мы достигаем \ (x = 1 \), график начинает увеличиваться и все еще остается вогнутым, и оба этих поведения продолжаются для остальной части графика.

Объединение всей этой информации даст нам следующий график функции.

Мы можем использовать предыдущий пример, чтобы проиллюстрировать другой способ классификации некоторых критических точек функции как относительных максимумов или относительных минимумов.

Обратите внимание, что \ (x = — 1 \) является относительным максимумом и что функция в этой точке вогнута вниз. Это означает, что \ (f » \ left ({- 1} \ right) \) должно быть отрицательным. Аналогично, \ (x = 1 \) является относительным минимумом, и функция в этой точке вогнута вверх. Это означает, что \ (f » \ left (1 \ right) \) должно быть положительным.

Как мы вскоре увидим, нам нужно быть очень осторожными с \ (x = 0 \). В этом случае вторая производная равна нулю, но на самом деле это не означает, что \ (x = 0 \) не является относительным минимумом или максимумом.Мы увидим несколько примеров этого чуть позже, но сначала нам нужно позаботиться о другой информации.

Здесь также важно отметить, что все критические точки в этом примере были критическими точками, в которых первая производная была равна нулю, и это необходимо для работы. Мы не сможем использовать этот тест в критических точках, где не существует производной.

Вот тест, который можно использовать для классификации некоторых критических точек функции.Доказательство этого теста можно найти в разделе «Доказательства производных приложений» главы «Дополнительно».

Тест второй производной

Предположим, что \ (x = c \) — критическая точка \ (f \ left (x \ right) \) такая, что \ (f ‘\ left (c \ right) = 0 \) и что \ (f’ ‘\ left (x \ right) \) непрерывно в области вокруг \ (x = c \). Затем

  1. Если \ (f » \ left (c \ right) <0 \), то \ (x = c \) является относительным максимумом.
  2. Если \ (f » \ left (c \ right)> 0 \), то \ (x = c \) является относительным минимумом.
  3. Если \ (f » \ left (c \ right) = 0 \), то \ (x = c \) может быть относительным максимумом, относительным минимумом или ни одним из них.

Важно обратить внимание на третью часть теста второй производной. Если вторая производная равна нулю, то критической точкой может быть что угодно. Ниже приведены графики трех функций, каждая из которых имеет критическую точку в точке \ (x = 0 \), вторая производная всех функций равна нулю в точке \ (x = 0 \), и все же показаны все три возможности.3} \), и этот график не имел ни относительного минимума, ни относительного максимума при \ (x = 0 \).

Итак, мы видим, что нам нужно быть осторожными, если мы попадаем в третий случай. В тех случаях, когда мы попадаем в этот случай, нам придется прибегнуть к другим методам классификации критической точки. Обычно это делается с помощью теста первой производной.

Давайте вернемся и взглянем на критические точки из первого примера и, если возможно, воспользуемся для них вторым производным тестом.3} — 30x \]

Все три критические точки (\ (x = — 1 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \)) этой функции являются критическими точками, где первая производная равна нулю, поэтому мы знаем, что по крайней мере, есть шанс, что второй производный тест сработает. Значение второй производной для каждого из них составляет

\ [h » \ left ({- 1} \ right) = — 30 \ hspace {0,5 дюйма} h » \ left (0 \ right) = 0 \ hspace {0,5 дюйма} h » \ left (1 \ справа) = 30 \]

Вторая производная в точке \ (x = — 1 \) отрицательна, поэтому согласно тесту второй производной эта критическая точка является относительным максимумом, как мы видели в первом примере.Вторая производная в точке \ (x = 1 \) положительна, поэтому мы имеем здесь относительный минимум по тесту второй производной, как мы также видели в первом примере.

В случае \ (x = 0 \) вторая производная равна нулю, и поэтому мы не можем использовать тест второй производной для классификации этой критической точки. Однако обратите внимание, что мы знаем из теста первой производной, который мы использовали в первом примере, что в этом случае критическая точка не является относительным экстремумом.

Давайте рассмотрим еще один пример.{\ frac {4} {3}}}}} \]

Критические точки:

\ [t = \ frac {{18}} {5} = 3,6 \ hspace {0,5 дюйма} t = 6 \]

Также обратите внимание, что мы не сможем использовать тест второй производной для \ (t = 6 \), чтобы классифицировать эту критическую точку, поскольку производная в этой точке не существует. Чтобы классифицировать это, нам понадобится информация об увеличении / уменьшении, которую мы получим, чтобы набросать график.

Однако мы можем использовать второй производный тест, чтобы классифицировать другую критическую точку, так что давайте сделаем это, прежде чем мы продолжим работу с эскизами.Вот значение второй производной при \ (t = 3,6 \).

\ [f » \ left ({3.6} \ right) = — 1.245

Итак, согласно тесту второй производной \ (t = 3.6 \) является относительным максимумом.

Теперь давайте продолжим работу, чтобы получить набросок графика и заметим, что как только у нас будет информация об увеличении / уменьшении, мы сможем классифицировать \ (t = 6 \).

Вот числовая строка для первой производной.

Итак, согласно тесту первой производной мы можем проверить, что \ (t = 3,6 \) на самом деле является относительным максимумом. Мы также можем видеть, что \ (t = 6 \) — относительный минимум.

Будьте осторожны, чтобы не предположить, что критическая точка, которую нельзя использовать во втором тесте производной, не будет относительным экстремумом. Теперь мы ясно увидели как на этом примере, так и в обсуждении после того, как у нас был тест, что то, что мы не можем использовать Второй производный тест или Второй производный тест, ничего не говорит нам о критической точке, не означает что критическая точка не будет относительными экстремумами.Это распространенная ошибка, которую допускают многие студенты, поэтому будьте осторожны при использовании теста второй производной.

Хорошо, давайте покончим с проблемой. Нам понадобится список возможных точек перегиба. Это,

\ [t = 6 \ hspace {0,5 дюйма} t = \ frac {{72}} {{10}} = 7.2 \]

Это числовая линия для второй производной. Обратите внимание, что нам это понадобится, чтобы увидеть, действительно ли две указанные выше точки являются точками перегиба.

Итак, вогнутость изменяется только при \ (t = 7.2 \), так что это единственная точка перегиба для этой функции.

Вот набросок графика.

Изменение вогнутости в точке \ (t = 7,2 \) трудно увидеть, но это просто очень тонкое изменение вогнутости.

Как вычислить и построить производную функции с помощью Python — Matplotlib?

В этой статье мы построим производную функции с помощью matplotlib и python.Для этого мы используем следующие модули в Python:

  • Matplotlib: Matplotlib — один из самых популярных пакетов Python, используемых для визуализации данных. Это кроссплатформенная библиотека для создания 2D-графиков из данных в массивах.
  • NumPy: Это библиотека Python, которая используется для работы с массивами, она также поддерживает большие многомерные массивы и матрицы, а также имеет несколько математических функций.
  • SciPy: Python имеет библиотеку SciPy, которая используется для математических, научных и инженерных расчетов.Эта библиотека зависит от NumPy и предоставляет различные числовые операции.

Чтобы сначала построить производную функции, мы должны ее вычислить. Библиотека scipy.misc имеет функцию производная () , которая принимает один аргумент как функцию, а другой — переменную w.r.t, от которой мы будем дифференцировать функцию. Итак, мы создадим метод с именем function (), который будет возвращать исходную функцию, и второй метод с именем производное (), который будет возвращать производную этой функции.

После этого вычисления производной входной функции мы будем использовать функцию NumPy linspace () , которая устанавливает диапазон оси x. Функция plot () будет использоваться для построения графика функции, а также производной этой функции.

Обращение:

  • Импортируйте необходимые модули.
  • Определите методы для функции и ее производной
  • Используйте функцию NumPy linspace, чтобы задать интервал по оси x.
  • Постройте функцию и ее производную
  • Измените пределы оси с помощью функции gca ()
  • Постройте текст с помощью функции text ()

Пример 1: (Производная от кубической)

В этом примере, мы дадим функцию f (x) = 2x 3 + x + 3 в качестве входных данных, затем вычислим производную и построим график функции и ее производной.

Python3

импорт matplotlib.pyplot as plt

из scipy.misc import производный

numpy импорт numpy

def функция (x):

возврат 2 * x * x * x + +

def производная (x):

return производная (функция, x)

y np. np.linspace ( - 6 , 6 )

plt.plot (y, функция (y), цвет = 'фиолетовый' 9231522, этикетка = «Функция» )

plt.plot (y, производная (y), цвет = «зеленый» , метка = «Производная» )

plt.легенда (loc = 'верхний левый' )

plt.grid ( True )

Вывод:

Пример 2: (Производная полинома степени Poly)

В этом примере мы дадим функцию f (x) = x 4 + x 2 +5 в качестве входных данных, затем вычислим производную и построим график функции и ее производной.

Python3

импорт matplotlib.pyplot as plt

из scipy.misc import производный

import numpy as np

def функция ( возврат x * x * x * x + x * x +

производная (x):

возврат производная (функция, x)

y = np.linspace ( - 15 , 15 )

plt.plot (y, функция (y), цвет = 'красный' 9231522, этикетка = «Функция» )

plt.plot (y, производная (y), цвет = «зеленый» , метка = «Производная» )

plt.легенда (расположение = 'верхний левый' )

plt.grid ( True )

Вывод:

Пример 3: Производная квадратичной с форматированием по тексту)

В этом примере мы построим производную от f (x) = 4x 2 + x + 1. Кроме того, мы будем использовать некоторое форматирование с помощью функции gca () , которая изменит пределы оси так, чтобы обе оси x, y пересекались в начале координат.Функция text () , которая входит в библиотеку matplotlib, отображает текст на графике и принимает аргумент в виде координат (x, y). Мы также сделаем некоторое форматирование.

Python3

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.misc import производное

numpy импорт numpy

def функция (x):

возврат 4 * x * * 2 + x 900

def производная (x):

возврат производная (функция, x)

y = np.linspace ( - 6 , 6 )

plt.plot (y, функция (y), цвет = 'коричневый' 9231522, этикетка = «Функция» )

plt.plot (y, производная (y), цвет = «синий» , метка = «Производная» )

plt.gca (). spines [ 'left' ] .set_position ( 'zero' ,)

plt.gca (). spines [ 'bottom' ] .set_position ( 'ноль' ,)

plt.legend (loc = 'верхний левый' )

22 plt.text (

5,0 , 1.0 , r "$ f '(x) = 8x + 1 $" , горизонтальное выравнивание = ' центр ',

размер шрифта = , цвет = «синий» )

plt.2 + x + 1 $ ' , горизонтальное выравнивание = ' по центру ' ,

размер шрифта = 18 , цвет = ' '

plt.grid ( True )

Вывод:

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединитесь к Машинное обучение - курс базового уровня

Исчисление - Производная функция - Математика Открытый справочник

Это устройство не может отображать анимацию Java. Вышеупомянутое статическое изображение заменяет

1. Парабола

Апплет изначально показывает параболу слева и производную
функция параболы справа.Внизу апплета находится значок
ползунок, который управляет координатой x , которая отображается в
поле ввода рядом с ползунком. На левом графике красная линия,
представляет касательную линию в координате x . Переместите ползунок
и обратите внимание, что касательные линии перемещаются так, что они всегда касаются
парабола в координате x , заданной ползунком. На
нижний левый угол графика функции - это поле, в котором
значение функции f ( x ).

Теперь посмотрите на правый график, на котором показана производная функция, f
'
( x ). Сначала посмотрите на красную касательную линию; что это
склон? Его наклон должен быть производной по текущей координате x ,
так что это также должно быть значение производной функции для
координата x . Этот уклон показан в рамке внизу.
левый угол производного графика. Точка на графике
производная функция также отмечена красным перекрестием.

Щелкните поле «x =» и замените его содержимое на 0. Теперь перетащите
ползунок вправо. Обратите внимание на то, что наклон красной касательной
увеличивается, функция производной также увеличивается. Перетащите ползунок на
слева за 0. Обратите внимание, что по мере того, как наклон красной касательной становится больше
отрицательная, так же как и производная функция. Производная функция сообщает
вы скорость изменения f для любого данного x , что составляет
эквивалентно описанию наклона графика f для любого
учитывая x .

Когда производная положительна, функция возрастает. Когда
производная отрицательна, функция убывает. Следовательно, производная
сообщает вам кое-что об исходной функции. Что происходит, когда
производная равна 0? Где это происходит в этом примере? Почему
производная 0 в этой точке?

Также обратите внимание, что производная функция выглядит как прямая линия. Делать
вы думаете, что так будет всегда, или это из-за каких-то особых
свойство парабол?

2.Синусоидальная функция

В раскрывающемся меню выберите второй пример, показывающий синус
функция. Как выглядит производная функция? Перетащите ползунок,
понаблюдайте за наклоном красной касательной и посмотрите, сможете ли вы связать
наклон касательной к значению производной функции. Это
производная 0 в любых точках? Что характеризует эти точки?

3. Показательная функция

Выберите третий пример, показывающий экспоненциальную функцию. Что значит
как выглядит производная функция? Перетащите ползунок, посмотрите наклон
красную касательную и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной
линии к значению производной функции.Обратите внимание, что для
экспоненциальная функция, ее производная функция никогда не бывает отрицательной (т. е.
правый график никогда не опускается ниже оси x ). Почему? Что такое
это о графике экспоненциальной функции, что означает, что производная
никогда не отрицательный?

4. Гипербола

Выберите четвертый пример, показывающий гиперболу. Что это
производная функция похожа? Перетащите ползунок, посмотрите наклон
красная касательная линия, и посмотрите, сможете ли вы связать наклон касательной
к значению производной функции.Обратите внимание, что для этой гиперболы
его производная функция никогда не бывает положительной (т.е. правый график
никогда не поднимается выше оси x ). Почему? Что это за
график гиперболы, который означает, что производная никогда не бывает положительной?

Что происходит при x = 0 для гиперболы? Почему производная
неопределенный? Каков наклон касательной (есть ли касательная
линия)?

Исследуйте

Вы также можете ввести собственное определение функции в поле "f (x) =", чтобы
посмотреть, как выглядят производные от других функций.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.