Знак подобности треугольников: Знак подобия в геометрии

Содержание

Какой значок в геометрии обозначает подобие?

Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с данной плоскостью углы 30 и 45 градусов. Найдите расстояние между основаниями наклонных, ес

ли большая наклонная равна 12 см, а угол между наклонными прямой.

ПОМОГИТЕ СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА!!! Из точки K, взятой на биссектрисе угла ABC проведены перпендикуляры KA и KC к сторонамэтого угла так, что ∠AKC = 120°. Н

айдите BK, если AK = 24 см. ​

Е нуктесы NM диаметыри мен AB хордасы озара перпендикуляр.NE=4см EM=8 жане AOBцентырлык бурышы 60⁰ка тен екендыгын белгыле​

2. Для параллелепипеда, все трани которого являнутся одинаковым рожбами:1) докажите, что одно из диагональных сечений периленкуярто плоскостиоснования

, адругое является прямоугольном:2) нарисуйте проекцио верхнего основанияна нижнее,3) докажите, что можно так соединить одну из вершин гарна детето да е тре-мя ближайшими вершинами, что получится правильный тетраэдр (пустьКострый угол ромба равен 60). Выразите высоту параллелепипеда через егосторону,​

Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конуса ( формулы )​

ДАЮ 30 БАЛЛОВ
В равнобедренном треугольнике NLG проведена биссектриса GM угла G у основания NG,
∡ GML = 120°. Определи величины углов данного треуголь

ника (если это необходимо, промежуточные вычисления и ответ округли до тысячных).
∡ N = ?
∡ G = ?
∡ L = ?

мальчик прошёл от дома по направлению на восток 990м. затем повернул на север и прошёл 200м.на каком расстоянии в метрах от дома оказался мальчик? ​

Прошу срочно геометрия ( желательно с объяснением )

Прошу срочно, геометрия 7 класс( желательно с объяснением )

ПОМОГИТЕ!!!!!!!111!!!!! СРОЧНО даю 90 балов
Найдите равнобедренные, правильные, разносторонние, остроугольные, прямоугольные, тупоугольные треугольник

и!
прямоугольные треугольники-
тупоугольные треугольники-
правильные треугольники-
разностороние треугольники-
остроугольные треугольники-
равнобёдренные треугольники-
Варианты ответа:
треугольник BMH
треугольник PKF
треугольник MHO
треугольник PRF
треугольник FED
треугольник HOP
треугольник ABC
треугольник OPF
треугольник BMH
треугольник MHO
треугольник PKF
треугольник HOP
треугольник DEF
треугольник OPF
треугольник OPK
треугольник PRF

Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие

Ниже представлена таблица с основными математическими символами и знаками, которые используются в геометрии с 7 класса и старше.

Знак Название Значение/описание Пример
угол фигура, состоящая из двух лучей и вершины ∠ABC = 30°
острый угол угол от 0 до 90 градусов ∠AOB = 60°
прямой угол угол, равный 90 граусам ∠AOB = 90°
тупой угол угол от 90 до 180 градусов ∠AOB = 120°
развернутый угол угол, равный 180 градусам ∠AOB = 180°
°
(или deg)
градус единица измерения угла, равна 1/360 окружности 45°
минута единица измерения угла, 1° = 60′ α = 70°59′
секунда единица измерения угла, 1′ = 60″ α = 70°59′59″
линия бесконечная прямая без начала и конца
отрезок участок на прямой между точками A и B
луч бесконечная прямая, имеющая начало в точке A, но не имеющая конца
дуга дуга, образованная между точками A и B
перпендикулярность линии (прямые), расположенные под углом 90° по отношению друг к другу AC ⊥ BC
|| параллельность непересекающиеся прямые (линии) AB || CD
пересечение множество одинаковых элементов, принадлежащих как множеству A, так и B A ∩ B
∈ / ∉ принадлежность/
непринадлежность
элемент является/не является элементом заданного множества a ∈ S
конгуэнтность эквивалентность геометрических форм и размеров ∆ABC ≅ ∆XYZ
~ подобие та же форма, но разные размеры ∆ABC ~ ∆XYZ
Δ треугольник фигура треугольника ΔABC ≅ ΔBCD
|x-y| дистанция дистанция между точками X и Y | x-y | = 5
π константа «Пи» отношение длины окружности к диаметру круга, π = C/d π = 3.141592654…
рад (rad)
или c
радиан единица измерения угла 360° = 2π c

microexcel.ru

Знак подобия в геометрии — правило и примеры обозначения

В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.

Определение и знак подобия в геометрии

Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

∆ABC ~ ∆A1B1C1
— треугольники ABC и A1B1C1
подобны.

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.

Коэффициент подобия треугольников и знак подобия

Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:

В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.

В алгебре высказываний знаком ~ обозначают логическую операцию «эквиваленция».

При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.

Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.

Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.

Утверждения:

  • треугольник ∆ABC и треугольник ∆A1B1C1 считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;

  • отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство подобия треугольников через среднюю линию

Имеется треугольник ∆ABC, mn — средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.

Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.

Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:

Отсюда делаем вывод, что ∆MBN ~ ∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач по геометрии на тему «Подобие треугольников»

_____________________________________________________________________

Предыдущая

ГеометрияКуб — свойства, виды и формулы

Следующая

ГеометрияЭллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Признаки подобия треугольников

При изучении геометрии вы непременно обращали внимание, что часть фигур очень похожа на другие. Отличаются только размеры. Но геометрия — наука точная и слово «похожие» не всегда определяет реальное положение вещей. Например, прямоугольный треугольник похож на равносторонний, но при ближайшем рассмотрении легко обнаружить различия, — отличаются углы, длины сторон, конфигурация.

В геометрии применяется другое понятие — «подобие». Это более узкий термин, который определяет фигуры, которые идентичны по всем параметрам, кроме размера. Если увеличить, или уменьшить одну из фигур, то получится другая, с полным соответствием. Знак подобия в геометрии  «~» имеет очень большой смысл. Это не просто обозначение «похожести», а специальный термин. Он говорит о том, что из одной фигуры можно получить другую, если преобразовать ее особым образом.

Самый простой способ — увеличение размеров. Но не простое увеличение, а пропорциональное. То есть, каждая сторона фигуры увеличивается на строго определенную величину. Соотношение новой длины и исходной называется коэффициентом подобия. Согласно правилам математики К≠ 0. Смысл ясен, на ноль делить нельзя. В остальном значение К может принимать любое значение, в том числе, и дробное. Если в десятичном исчислении коэффициент находится в диапазоне от ноля до единицы, то фигура уменьшается при проецировании, если К ≥ 1, то фигура получится больше, или идентичной исходной.

Каждая из геометрических фигур имеет ряд признаков, по которым ее можно сравнить с другой и определить, подобные фигуры, или просто похожие. У треугольников таких признаков три. Рассмотрим их более подробно. В идеале, треугольники называются подобными, если у них три угла одинаковые, а три стороны пропорциональны, согласно коэффициенту К. Но не всегда есть возможность измерить углы и стороны. Есть ряд признаков, требующих меньшего числа измерений, по которым легко определить, подобные треугольники, или нет.

Первый признак подобия

Если два угла произвольного треугольника равны двум углам другого, значит, фигуры подобные.  В геометрической графике это записывается так:

ΔАВС ~ΔА1В1С1  А=∠А1, ∠В=∠В1, ∠С=∠С1.

Доказательство первого признака подобия приводить не будем, ввиду того, что признак проверен и доказан, информация об этом есть в любом учебнике. Намного важнее, что из этого признака вытекает следствие, которое не менее важно, чем сам признак. Во многих задачах на ЕГЭ и в учебниках упор делается именно на знание этого правила. «Если три стороны одного треугольника попарно параллельны трем сторонам другого, то эти фигуры подобны».

Утверждение не менее очевидно, чем первый признак подобия. Формулируется оно так:

Если две соответствующие стороны треугольников пропорциональны, а углы между ними равные, то фигуры подобные.

Это правило называется признаком подобия по двум сторонам и углу между ними. Геометрическая запись выглядит так:

ΔАВС ~ΔА1В1С1 ↔ ∠ А=∠А1, АВ/А1В1 = АС/А1С1.

Самый простой и наиболее понятный признак подобия: если три стороны одной фигуры пропорциональны трем сторонам другой с одинаковым коэффициентом К, то треугольники подобные. Записывается такое утверждение таким образом:

ΔАВС ~ΔА1В1С1↔АВ/А1В1 = АС/А1С1= ВС/В1С1..

Доказательство этого утверждения опять же приводить не будем вследствие дефицита размера статьи. Лучше остановимся на следствиях, которые вытекают из этих утверждений. Многие из параметров геометрических фигур можно определить, пользуясь названными правилами.

Один из способов применения признаков подобия демонстрирует теорема об отношении периметров подобных треугольников. В формулировке говорится о том, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту пропорциональности сторон. На практике это выглядит так — вам нужно найти периметр треугольника со сторонами в несколько километров, что часто требуется в строительстве, агротехнике и геодезии. Если нарисовать подобный треугольник на бумаге, со сторонами в несколько сантиметров и вычислить периметр, то он будет ровно настолько же меньше, как и стороны треугольников. То есть, коэффициент К работает и в случае с периметром.

Вторая задача — найти соотношение площадей подобных треугольников. Здесь тоже существует определенная пропорция, но уже квадратичная. То есть, соотношение площадей фигур равно квадрату К.

S1/S = k2.

При решении задач поможет также лемма о подобных треугольниках, говорящая о том, что любая прямая, пересекающая треугольник параллельно одной из сторон, отсекает от него подобную фигуру.

Пользуясь полученной информацией, несложно решить любую задачу по определению параметров подобных треугольников.

 

 

 

Подобные треугольники. Признаки подобия | Геометрия

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника  ABC  и  A1B1C1,  у которых  ∠A = ∠A1∠B = ∠B1∠C = ∠C1:

Стороны  AB  и  A1B1BC  и  B1C1CA  и  C1A1,  лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB  =  BC  =  AC  = k,
A1B1 B1C1 A1C1

k  — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если  k = 1,  то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком  ~ABC ~ A1B1C1.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами  S  и  S1,  то:

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Если  ∠A = ∠A1∠C = ∠C1,

то  ABC ~ A1B1C1.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если   AB  =  AC ,  ∠A = ∠A1,
A1B1 A1C1
то  ABC ~ A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Если   AB  =  BC  =  AC ,
A1B1 B1C1 A1C1
то  ABC ~ A1B1C1.

Подобие фигур в математике: определение и примеры

Подобие фигур — это две геометрические фигуры или два геометрических тела называются подобными, если одно представляет собой уменьшенную модель другого.

Содержание:

  1. Понятие подобия фигур
  2. Подобие треугольников
  3. Подобие многоугольников

Понятие подобия фигур

В окружающем мире часто встречаются предметы, одинаковые по форме, но различные по размерам: мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледокола и сам корабль, карты, фотоснимки различных размеров одного и того же здания. В геометрии такие фигуры называют подобными.

Существуют фигуры, которые всегда подобны друг другу, например, круги, квадраты, кубы.

Для обозначения подобия фигур употребляется знак . На рисунке 2.434 изображены подобные фигуры . Запись читается: фигура подобна фигуре 

Для подобных фигур вводится понятие — коэффициент подобия, он обозначается k; k всегда больше нуля. Коэффициент подобия показывает, в каком отношении находятся соответствующие расстояния между точками фигур. На рисунке 2.434 коэффициент подобия можно определить, найдя отношения сторон квадратиков изображенной сетки.

Подобие фигур широко используется при разработке планов построек зданий или при изображении на картах городов или других участков земной поверхности. Всякий план или карта является подобным изображением реального объекта или участка земной поверхности, т. е. фигурой, подобной реальному объекту. При этом план или карта может изображать реальный объект в разном масштабе.

Определение. Масштаб — это коэффициент подобия соответствующих фигур.

Подобие треугольников

На рисунке 2.435 изображены два чертежных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30°. Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза:  У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против разных углов, пропорциональны:  Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называют сходственными.

Определение. Подобными называют треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Подобие треугольников записывается так:  Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия. В случае, изображенном на рисунке 2.435, коэффициентом подобия треугольников  будет число 2. Если же взять отношения , коэффициент подобия будет равен .

Подобные треугольники могут быть произвольно расположены как на плоскости, так и в пространстве.

Если фигуры равны, то они подобны с коэффициентом подобия, равным 1. Если фигуры подобны, то они не обязательно равны.

Теорема 1. (Лемма о подобии треугольников). Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведенная параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному.

Для выявления подобия треугольников существуют признаки подобия треугольников.

Теорема 2. (Первый признак — по двум равным углам.) Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Следствия из этой теоремы.

1.    Равносторонние треугольники подобны.

2.    Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3.    Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

4.    Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 3. (Второй признак — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.) Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 4. (Третий признак — по пропорциональности трех сторон.) Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Теорема 5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подобие многоугольников

Определение. Если стороны одного многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и соответственные углы этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.

На рисунке 2.436 изображены два подобных пятиугольника , у них  а также  k — коэффициент подобия.

Для многоугольников с числом сторон больше трех признак подобия, аналогичный третьему признаку подобия треугольников, будет неверен. Например, квадрат и ромб, отличный от квадрата, не будут подобны, хотя их стороны пропорциональны (рис. 2.437). Недостаточно для подобия двух прямоугольников и равенства их соответствующих углов. Например, квадрат не подобен четырехугольнику, не все стороны которого равны (рис. 2.438).

Теорема 6. Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их сходственных сторон (коэффициенту подобия).

Теорема 7. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

 

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Математика с нуля. Пошаговый курс изучения математики

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

[email protected] Mailing List Archive

Уважаемые коллеги!

Мне удалось решить проблему с символом подобия треугольников.

Для этого я установил пакет stix (http://www.stixfonts.org/install.html).

Последняя версия этого пакета, вышедшая в этом году, совместима с LaTeX и pdfLaTeX.

Искомый символ подобия треугольников содержится в таблице символов stix-extra1 и имеет номер 012 в восьмеричной системе счисления и номер 010 в десятичной системе счисления (см. файл stix.pdf, который входит в состав пакета stix, страница 43).

О том, как взять из пакета stix только один искомый символ, я прочитал на странице http://tex.stackexchange.com/questions/174814/how-to-get-only-one-symbol-from-a-symbol-package (правда, там рассматривается извлечение из пакета stix другого символа, а именно, символа системы Wolfram Mathematica).

Итог вложен в это письмо.

Я буду очень рад, если вдруг все это окажется полезным еще кому-нибудь.

Если мое решение является не оптимальным, то, пожалуйста, сообщите мне об этом.

С уважением, Костин Сергей Вячеславович ([email protected]).

Fri, 08 Aug 2014 03:14:26 +0400 от «Сергей Костин» <[email protected]>:

Уважаемые коллеги!

Меня устроит символ ‘INVERTED LAZY S’ (U+223E) (∾) (кстати, так выглядит символ подобия треугольников в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна), но как его напечатать?

Команда \invlazys есть в пакете stix, но работает ли этот пакет с pdfLaTeX?

Могу ли я установить пакет stix (у меня MiKTeX 2.9)? Если да, то существует ли способ сделать это автоматически, а не вручную?

Заранее огромное спасибо.

С уважением, Костин Сергей Вячеславович ([email protected]).

Thu, 07 Aug 2014 20:50:43 +0400 от «Alexey Borisenkov» <[email protected]>:

07.08.2014 03:11, Сергей Костин пишет:
> Уважаемые пользователи Латеха!
>
> Извините, пожалуйста, за беспокойство.
>
> Не знает ли кто-нибудь, как в Латехе напечатать символ подобия
> треугольников?
>
> Этот символ должен выглядеть так, как он выглядит в учебнике
> геометрии А.В. Погорелова, а именно, это нечто среднее между символом
> \backsim и символом \infty (то есть у символа \backsim надо
> «закруглить» концы).
>
> Можно также сказать, что символ должен выглядеть как прописная
> латинская буква S, повернутая на 90 градусов по часовой стрелке.

Если я правильно понял, то речь идёт про символ вроде юникодного
‘INVERTED LAZY S’ (U+223E) (∾), только не перевёрнутого? Не
перевёрнутого я в юникоде не нашёл, и в LaTeX я такого тоже не видел.

================================================
CyrTeX-ru mailing list Archives and Information:
https://info.vsu.ru/Lists/CyrTeX-ru/List.html

 

(906)

 

(86K)

похожих треугольников — объяснения и примеры

Теперь, когда мы закончили с конгруэнтными треугольниками, мы можем перейти к другой концепции, называемой подобных треугольников.

В этой статье мы узнаем о похожих треугольниках, особенностях подобных треугольников, о том, как использовать постулаты и теоремы для определения похожих треугольников, и, наконец, как решать похожие задачи о треугольниках.

Что такое похожие треугольники?

Понятия «одинаковые треугольники» и «равные треугольники» — это два разных термина, которые тесно связаны. Подобные треугольники — это два или более треугольника одинаковой формы, равных пар соответствующих углов и одинакового отношения соответствующих сторон.

Иллюстрация подобных треугольников:

Рассмотрим три треугольника ниже. Если:

  1. Соотношение соответствующих сторон равно.

AB / PQ = AC / PR = BC = QR, AB / XY = AC / XZ = BC / YZ

  1. ∠ A = ∠ P = ∠X, ∠B = ∠Q = ∠Y, ∠C = ∠R = ∠Z

Следовательно, ΔABC ~ ΔPQR ~ ΔXYZ

Сравнение похожих треугольников и конгруэнтных треугольников

Характеристики Конгруэнтных треугольников похожих треугольников размер одинаковый размер и форма Та же форма, но другой размер
Символ ~
Соответствующие длины сторон Соотношение сторон конгруэнтных треугольников всегда равно постоянное число 1. Соотношение всех соответствующих сторон в подобных треугольниках согласовано.
Соответствующие углы Все соответствующие углы равны. Каждая пара соответствующих углов равна.

Как определить похожие треугольники?

Мы можем доказать сходство в треугольниках, применяя аналогичные теоремы о треугольниках. Это постулаты или правила, используемые для проверки похожих треугольников.

Существует трех правил для проверки похожих треугольников: правило AA , правило SAS или правило SSS.

Правило угла-угла (AA):
Согласно правилу AA два треугольника считаются подобными, если два угла в одном конкретном треугольнике равны двум углам другого треугольника.

Правило стороны-угла-стороны (SAS):
Правило SAS гласит, что два треугольника подобны, если соотношение их соответствующих двух сторон равно, а также угол, образованный двумя сторонами, равен.

Правило стороны-стороны-стороны (SSS):
Два треугольника подобны, если все соответствующие три стороны данных треугольников находятся в одинаковой пропорции.

Как решать похожие треугольники?

Существует двух типов одинаковых задач треугольника ; это задачи, которые требуют от вас доказательства того, что данный набор треугольников подобен, и те, которые требуют, чтобы вы вычислили недостающие углы и длины сторон подобных треугольников.

Давайте посмотрим на следующие примеры:

Пример 1

Проверьте, похожи ли следующие треугольники

Решение

Сумма внутренних углов в треугольнике = 180 °

Следовательно, учитывая Δ PQR

P + ∠Q + ∠R = 180 °

60 ° + 70 ° + ∠R = 180 °

130 ° + ∠R = 180 °

Вычтем обе стороны на 130 °.

∠ R = 50 °

Рассмотрим Δ XYZ

∠X + ∠Y + ∠Z = 180 °

∠60 ° + ∠Y + ∠50 ° = 180 °

∠ 110 ° + ∠Y = 180 °

Вычтем обе стороны на 110 °

∠ Y = 70 °

Отсюда;

  • По правилу угла-угла (AA) ΔPQR ~ ΔXYZ.
  • ∠Q = ∠ Y = 70 ° и ∠Z = ∠ R = 50 °

Пример 2

Найдите значение x в следующих треугольниках, если ΔWXY ~ ΔPOR.

Решение

Учитывая, что два треугольника подобны, тогда;

WY / QR = WX / PR

30/15 = 36 / x

Перекрестное умножение

30x = 15 * 36

Разделите обе стороны на 30.

x = (15 * 36) / 30

x = 18

Следовательно, PR = 18

Давайте проверим, равны ли пропорции соответствующих двух сторон треугольников.

WY / QR = WX / PR

30/15 = 36/18

2 = 2 (RHS = LHS)

Пример 3

Проверьте, похожи ли два треугольника, показанные ниже, и рассчитайте значение k.

Решение

По правилу SAS, два треугольника подобны.

Доказательство:
8/4 = 20/10 (LHS = RHS)

2 = 2

Теперь вычислите значение k

12 / k = 8/4

12 / k = 2

Умножьте оба стороны на k.

12 = 2k

Разделите обе части на 2

12/2 = 2k / 2

k = 6.

Пример 4

Определите значение x на следующей диаграмме.

Решение

Пусть треугольник ABD и ECD подобны треугольникам.

Примените правило стороны-угла-стороны (SAS), где A = 90 градусов.

AE / EC = BD / CD

x / 1,8 = (24 + 12) / 12

x / 1,8 = 36/12

Перекрестное умножение

12x = 36 * 1,8

Разделите обе стороны на 12.

x = (36 * 1,8) / 12

= 5,4

Следовательно, значение x равно 5,4 мм.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как определить, похожи ли треугольники

Два треугольника похожи, если имеют:

  • все их углы равны
  • соответствующие стороны находятся в таком же соотношении

Но нам не нужно знать все три стороны и все три угла… два-три из шести обычно хватает.

Есть три способа определить, похожи ли два треугольника: AA , SAS и SSS :

AA

AA означает «угол, угол» и означает, что два угла треугольников равны.

Если у двух треугольников два угла равны, треугольники подобны.

Пример: эти два треугольника похожи:

Если два их угла равны, то третий угол также должен быть равным, потому что углы треугольника всегда складываются и составляют 180 °.

В данном случае недостающий угол составляет 180 ° — (72 ° + 35 °) = 73 °

Таким образом, AA можно также назвать AAA (потому что, когда два угла равны, все три угла должны быть равны).

SAS

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где:

  • соотношение между двумя сторонами такое же, как соотношение между двумя другими сторонами
  • , и мы также знаем, что включенные углы равны.

Если два треугольника имеют две пары сторон с одинаковым соотношением сторон, и включенные углы также равны, то треугольники подобны.

Пример:

В этом примере мы видим, что:

  • одна пара сторон находится в соотношении 21: 14 = 3: 2
  • другая пара сторон находится в соотношении 15: 10 = 3: 2
  • между ними угол совпадения 75 °

Итак, информации достаточно, чтобы сказать нам, что два треугольника похожи на .

Использование тригонометрии

Мы также можем использовать тригонометрию для вычисления двух других сторон, используя закон косинусов:

Продолжение примера

В треугольнике ABC:

  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos A
  • a 2 = 21 2 + 15 2 — 2 × 21 × 15 × Cos 75 °
  • a 2 = 441 + 225 — 630 × 0.2588 …
  • a 2 = 666 — 163,055 …
  • a 2 = 502,944 …
  • Итак, a = √502.94 = 22.426 …

В треугольнике XYZ:

  • x 2 = y 2 + z 2 — 2yz cos X
  • x 2 = 14 2 + 10 2 — 2 × 14 × 10 × Cos75 °
  • x 2 = 196 + 100 — 280 × 0,2588 …
  • x 2 = 296 — 72,469 …
  • х 2 = 223.530 …
  • Итак, x = √223,530 … = 14,950 …

Теперь давайте проверим соотношение этих двух сторон:

a: x = 22,426 …: 14,950 … = 3: 2

такое же соотношение, как и раньше!

Примечание: мы также можем использовать закон синусов, чтобы показать, что два других угла равны.

ССС

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника со всеми тремя парами соответствующих сторон в одинаковом соотношении.

Если два треугольника имеют три пары сторон с одинаковым соотношением, то треугольники подобны.

Пример:

В этом примере соотношение сторон:

  • a: x = 6: 7,5 = 12: 15 = 4: 5
  • б: у = 8: 10 = 4: 5
  • с: z = 4: 5

Все эти отношения равны, поэтому два треугольника подобны.

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию, мы можем показать, что два треугольника имеют равные углы, используя закон косинусов в каждом треугольнике:

В треугольнике ABC:

  • cos A = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc
  • cos A = (8 2 + 4 2 — 6 2 ) / (2 × 8 × 4)
  • cos A = (64 + 16 — 36) / 64
  • cos A = 44/64
  • cos A = 0.6875
  • Угол A = 46,6 °

В треугольнике XYZ:

  • cos X = (y 2 + z 2 — x 2 ) / 2yz
  • cos X = (10 2 + 5 2 — 7,5 2 ) / (2 × 10 × 5)
  • cos X = (100 + 25 — 56,25) / 100
  • cos X = 68,75 / 100
  • cos X = 0,6875
  • Угол X = 46,6 °

Значит, углы A и X равны!

Аналогичным образом мы можем показать, что углы B и Y равны, а углы C и Z равны.

похожих треугольников — доказательство, определение и теоремы (видео)

Подобные треугольники (определение, доказательство и теоремы)

Сходство в математике не означает того же, что сходство в повседневной жизни. Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но с разными размерами сторон.

  1. Определение похожих треугольников
  • Проверочные треугольники аналогичные
  • Теоремы подобия треугольника
  • Определение похожих треугольников

    Мороженое с шоколадной крошкой и мороженое с шоколадной крошкой похожи, но не одинаковы.Слово «подобный» используется в повседневной жизни, но не так, как мы используем его в математике.

    В геометрии две формы похожи , если они одинаковой формы, но разных размеров. У вас может получиться квадрат со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см; они были бы похожи. Равносторонний треугольник со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см не похожи друг на друга, потому что это разные формы.

    Подобные треугольники легко идентифицировать, потому что к треугольникам можно применить три теоремы.Эти три теоремы, известные как Угол — Угол (AA) , Сторона — Угол — Сторона (SAS) и Сторона — Сторона — Сторона (SSS) , являются надежными методами определения сходства в треугольниках.

    1. Угол — Угол (AA)
    2. Сторона — Угол — Сторона (SAS)
    3. Сторона — Сторона — Сторона (SSS)

    Соответствующие углы

    В геометрии соответствие означает, что конкретная часть одного многоугольника точно соответствует аналогичной части другого.Даже если два треугольника ориентированы по-разному друг от друга, если вы можете повернуть их, чтобы ориентироваться одинаково и увидеть, что их углы одинаковы, вы можете сказать, что эти углы совпадают.

    Три теоремы подобия в треугольниках зависят от соответствующих частей. Вы смотрите на один угол одного треугольника и сравниваете его с таким же углом другого треугольника.

    Пропорции

    Сходство связано с пропорцией. Треугольники легко оценить на предмет пропорциональных изменений, которые делают их похожими.Их сравнительные стороны пропорциональны друг другу; их соответствующие углы идентичны.

    Вы можете установить отношения для сравнения длин сторон двух треугольников. Если отношения совпадают, соответствующие стороны подобны друг другу.

    Уголок в комплекте

    Включенный угол относится к углу между двумя парами соответствующих сторон. Вы не можете сравнить две стороны двух треугольников, а затем перепрыгнуть на угол, который не находится между этими двумя сторонами.

    Проверка аналогичных треугольников

    Вот два равных треугольника. Чтобы облегчить вам жизнь, мы сделали их оба равносторонними треугольниками.

    △ FOX сравнивается с △ HEN. Обратите внимание, что ∠O на △ FOX соответствует ∠E на △ HEN. Оба ∠O и ∠E — это , включая углы между сторонами FO и OX на △ FOX и сторонами HE и EN на HEN.

    Side FO конгруэнтен боковому HE; сторона OX конгруэнтна стороне EN, а ∠O и ∠E — входящие конгруэнтные углы.

    Два равносторонних треугольника одинаковые, за исключением букв.Они одинакового размера, поэтому представляют собой одинаковых треугольника . Если бы они оба были равносторонними треугольниками, но сторона EN была бы вдвое длиннее стороны HE, они были бы аналогичными треугольниками .

    Теоремы подобия треугольника

    Угол-угол (AA) Теорема

    Угол-угол (AA) говорит, что два треугольника подобны, если у них есть две пары соответствующих углов, которые совпадают. Два треугольника могут быть на больше, чем на , чем аналогичные; они могли быть идентичными.Для AA все, что вам нужно сделать, это сравнить две пары соответствующих углов.

    Примерка Угол-Угол

    Вот два разносторонних треугольника △ JAM и △ OUT. Мы уже отметили два внутренних угла каждого треугольника с помощью сокращения геометрии для сравнения: маленьких косых черт. Одинарная косая черта для внутреннего A и такая же одинарная косая черта для внутреннего ∠U означает, что они совпадают. Обратите внимание, что ∠M совпадает с ∠T, потому что на каждом из них есть две маленькие косые черты.

    Поскольку ∠A конгруэнтно U, а ∠M конгруэнтно ∠T, теперь у нас есть две пары конгруэнтных углов, поэтому теорема AA утверждает, что эти два треугольника подобны.

    Уловки торговли

    Остерегайтесь уловок из учебников, онлайн-заданий и учителей математики. Иногда треугольники ориентированы по-разному, когда вы на них смотрите. Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы увидеть, сможете ли вы найти две пары соответствующих углов.

    Еще одна проблема: два угла измеряются и идентифицируются на одном треугольнике, но два разных угла измеряются и идентифицируются на другом.

    Поскольку каждый треугольник имеет только три внутренних угла, по одному каждому из идентифицированных углов должен быть конгруэнтным.Вычитая измеренные идентифицированные углы каждого треугольника из 180 °, вы можете узнать меру недостающего угла. Затем вы можете сравнить любые два соответствующих угла для сравнения.

    Боковой угол-сторона (SAS) Теорема

    Вторая теорема требует точного порядка: сторона, затем включенный угол, затем следующая сторона. Теорема Side-Angle-Side (SAS) утверждает, что если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого треугольника, и их соответствующие включенные углы совпадают, эти два треугольника подобны.

    Попытка бокового угла

    Вот два треугольника, расположенных бок о бок и ориентированных одинаково. △ RAP и △ EMO определили стороны размером 37 дюймов на △ RAP и 111 дюймов на EMO, а также стороны 17 на △ RAP и 51 дюйм на EMO. Обратите внимание, что угол между указанными измеренными сторонами одинаков для обоих треугольников: 47 °.

    Отношение 37/111 совпадает с соотношением 17/51? Да; эти два соотношения пропорциональны, так как каждое из них упрощается до 1/3.Эти два треугольника схожи с одинаковым углом между ними.

    Теорема Сторона-Сторона-Сторона (SSS)

    Последняя теорема — Side-Side-Side или SSS . Эта теорема утверждает, что если два треугольника имеют пропорциональные стороны, они подобны. Это может показаться большим скачком, игнорирующим их углы, но подумайте об этом: единственный способ построить треугольник со сторонами, пропорциональными сторонам другого треугольника, — это скопировать углы.

    Попытка сторона-сторона-сторона

    Вот два треугольника: FLO и △ HIT.Обратите внимание, мы не определили внутренние углы. Стороны △ FLO имеют длину 15, 20 и 25 см. Стороны △ HIT имеют длину 30, 40 и 50 см.

    Вам необходимо задать соотношения сторон и оценить их:

    1530 = 12

    2040 = 12

    2550 = 12

    Все они имеют одинаковое соотношение при упрощении. Их всех 12. Итак, даже не зная внутренних углов, мы знаем, что эти два треугольника похожи, потому что их стороны пропорциональны друг другу.

    Краткое содержание урока

    Теперь, когда вы изучили этот урок, вы можете определять и идентифицировать похожие фигуры, а также можете описать требования к треугольникам, чтобы они были похожими (они должны иметь либо две конгруэнтные пары соответствующих углов, либо две пропорциональные соответствующие стороны с включенными соответствующими угол конгруэнтный, или все соответствующие стороны пропорциональны).

    Вы также можете применить три теоремы подобия треугольников, известные как Угол — Угол (AA), Сторона — Угол — Сторона (SAS) или Сторона — Сторона — Сторона (SSS), чтобы определить, похожи ли два треугольника.

    Следующий урок:

    Постулаты конгруэнтности треугольника

    Что такое теоремы подобия треугольника?

    Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но не обязательно одного размера. Когда треугольники похожи, они обладают многими одинаковыми свойствами и характеристиками. Теоремы подобия треугольников определяют условия, при которых два треугольника подобны, и имеют дело со сторонами и углами каждого треугольника. Как только определенная комбинация углов и сторон удовлетворяет теоремам, вы можете считать треугольники похожими.

    TL; DR (слишком длинный; не читал)

    Существуют три теоремы подобия треугольников, которые определяют, при каких условиях треугольники похожи:

    • Если два угла совпадают, третий угол одинаков и треугольники похожи.
    • Если три стороны имеют одинаковые пропорции, треугольники аналогичны.
    • Если две стороны имеют одинаковые пропорции и угол наклона одинаковый, треугольники подобны.

    Теоремы AA, AAA и угол-угол

    Если два из углов двух треугольников совпадают, треугольники аналогичны.Это становится ясно из наблюдения, что сумма трех углов треугольника должна составлять 180 градусов. Если известны два угла, третий можно найти путем вычитания двух известных углов из 180. Если три угла у двух треугольников одинаковы, треугольники имеют одинаковую форму и похожи.

    Теорема SSS или сторона-сторона-сторона

    Если все три стороны двух треугольников одинаковы, они не только похожи, но и совпадают или идентичны. Для подобных треугольников три стороны двух треугольников должны быть пропорциональными.Например, если один треугольник имеет стороны 3, 5 и 6 дюймов, а второй треугольник имеет стороны 9, 15 и 18 дюймов, каждая из сторон большего треугольника в три раза больше длины одной из сторон меньшего. треугольник. Стороны пропорциональны друг другу, а треугольники похожи.

    Теорема SAS или стороны-угла-стороны

    Два треугольника подобны, если две из сторон двух треугольников пропорциональны, а прилегающий угол или угол между сторонами одинаков.Например, если две стороны треугольника составляют 2 и 3 дюйма, а стороны другого треугольника — 4 и 6 дюймов, стороны пропорциональны, но треугольники могут не быть похожими, потому что две третьи стороны могут быть любой длины. Если включенный угол одинаков, то все три стороны треугольников пропорциональны, а треугольники подобны.

    Другие возможные комбинации угла и стороны

    Если одна из трех теорем подобия треугольника выполняется для двух треугольников, треугольники подобны.Но есть и другие возможные комбинации бокового угла, которые могут гарантировать, а могут и не гарантировать сходство.

    Для конфигураций, известных как угол-угол-сторона (AAS), угол-сторона-угол (ASA) или угол-угол-угол (SAA), не имеет значения, насколько велики стороны; треугольники всегда будут похожи. Эти конфигурации сводятся к теореме угол-угол AA, что означает, что все три угла одинаковы, а треугольники похожи.

    Однако конфигурации стороны-стороны-угла или угла-стороны-стороны не гарантируют сходства.(Не путайте стороны-стороны-угол с боковым-углом-стороной; «стороны» и «углы» в каждом названии относятся к порядку, в котором вы встречаете стороны и углы.) В некоторых случаях, например, для правого треугольники со скругленными углами, если две стороны пропорциональны, а углы, которые не включены, одинаковы, треугольники подобны. Во всех остальных случаях треугольники могут быть похожими, а могут и не быть.

    Подобные треугольники вписываются друг в друга, могут иметь параллельные стороны и масштабироваться от одного до другого. Определение того, похожи ли два треугольника с помощью теорем подобия треугольников, важно, когда такие характеристики применяются для решения геометрических задач.

    Ярлыки подобия — Концепция — Геометрия Видео от Brightstorm

    Существует четыре ярлыка конгруэнтности треугольника: SSS, SAS, ASA и AAS. У нас есть подобие треугольника, если (1) две пары углов конгруэнтны (AA) (2) две пары сторон пропорциональны, а включенные углы конгруэнтны (SAS), или (3) если три пары сторон пропорциональны (SSS) . Обратите внимание, что AAA, AAS и ASA не указаны — их включение было бы излишним, поскольку все они имеют два совпадающих угла.

    Если вы докажете, что два треугольника похожи, мы проведем сравнение с конгруэнтностью, о чем мы говорили ранее. Мы сказали, что существует 4 простых способа доказать конгруэнтность двух треугольников. И эти 4 ярлыка были угловыми, боковыми, боковыми, боковыми и угловыми.
    Итак, если бы вы знали только три вещи об этих двух треугольниках, если это один из этих ярлыков, то да, вы могли бы сказать, что эти треугольники должны быть конгруэнтными.Есть два, которые не сработали. И это были угловые и боковые углы. Таким образом, эти два ярлыка не дали вам достаточно информации, чтобы сказать, что эти два треугольника должны быть конгруэнтными, потому что, используя только три угла, вы можете построить два треугольника разных размеров.
    Мы собираемся провести сравнение со сходством. Давайте начнем с рассмотрения случая, когда все, что мы знаем о двух треугольниках, — это то, что два угла совпадают. Но сумма углов треугольника, если эти два угла конгруэнтны, то третий угол в каждом из этих треугольников должен быть конгруэнтным.И да, это был бы ярлык для того, чтобы сказать, что эти два треугольника должны быть похожими. Это означает, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Итак, под нашими ярлыками подобия я собираюсь использовать здесь другой маркер. Этот на исходе. Мы собираемся сказать, что угол — это сокращение.
    Теперь обратите внимание, что я не записал угол, угол, угол. Причина в том, что если все, что вы знаете, это 2 угла, этого достаточно, потому что третий угол, который, я думаю, я мог бы записать, также должен быть конгруэнтным.Таким образом, угловой угол — это ярлык.
    Давайте рассмотрим второй случай. Допустим, все, что вы знали, — это сторона, включенный угол и другая сторона. И вы также знали, что соответствующие стороны пропорциональны. Что ж, этой информации было бы достаточно, чтобы сказать, что эти два треугольника похожи. Итак, мы собираемся включить сторону бокового угла в наш список ярлыков подобия. И последнее, скажем, если бы все, что мы знали, это то, что 3 стороны двух разных треугольников, которые соответствуют, пропорциональны. Таким образом, мы могли бы записать эту пропорцию, которая постоянна между соответствующими сторонами.Эти два треугольника также должны быть конгруэнтными. Итак, мы собираемся сказать, что эта боковая сторона также является ярлыком.
    Теперь, если я сравню эти два списка, вы заметите, что я пропустил угловой боковой угол. И это я пропустил угловую сторону. Причина в том, что если вы знаете, что эти два угла совпадают, то это просто сокращение угла. То же самое и с ярлыком «угол угол». Пока вы знаете, что два угла совпадают, это все, что мне нужно знать для сходства.
    Теперь вы заметите, что в этом списке нет бокового угла. Так что это что-то вроде странного человека, ищущего совпадения и сходства. Этой информации недостаточно, чтобы сказать, что 2 треугольника должны быть похожими. Таким образом, у вас есть только три ярлыка сходства, которые вам нужно запомнить. Угол, сторона, о нет, я как бы стер это там. Угловой угол, сторона бокового угла и боковая сторона стороны.

    похожих треугольников

    Интерактивная математика 9-го класса — второе издание

    Подобные треугольники

    Если углы одного треугольника равны
    равны углам другого треугольника, тогда треугольники называются равноугольными .

    Равноугольные треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разную форму.
    размеры. Итак, равносторонние треугольники еще называют подобными.
    Треугольники
    .

    Например, треугольник DEF похож на треугольник ABC как
    их три угла равны.

    Длина каждой стороны треугольника DEF умножается на
    такое же число 3, чтобы дать стороны треугольника ABC .

    Всего:

    Если два треугольника похожи на , то соответствующие стороны равны
    в таком же соотношении.

    Пример 26

    Найдите значение x в следующей паре
    треугольники.

    Решение:


    Примечание:

    Равные углы обозначены на схемах аналогичным образом.

    Пример 27

    Найдите значение местоимения на следующей диаграмме.

    Решение:

    Применение подобия

    Подобные треугольники можно использовать для решения реальных задач.

    Пример 28

    Найдите значение высоты h м на следующей диаграмме по адресу
    по которому теннисный мяч должен попасть так, чтобы он просто прошел над сеткой
    и приземлиться на расстоянии 6 метров от основания сети.

    Решение:

    Итак, высота, на которой должен быть ударен мяч, составляет 2,7 м.

    Примечание:

    а. Равные углы обозначены на схемах аналогичным образом.

    г. Два треугольника подобны, если:

    • две пары соответствующих сторон находятся в одинаковом соотношении и
      Углы между ними равны.

    • соответствующие стороны находятся в таком же соотношении.

    • соответствующие углы совпадают.

    Ключевые термины

    одинаковых треугольника, равноугольных

    Обнаружение похожих треугольников | StudyPug

    Треугольник

    определить сходство

    Когда вы слышите, что два треугольника похожи, что это на самом деле означает? Значит, их единственное отличие — размер.В противном случае их углы будут одинаковыми, когда вы их сопоставите! Вы можете увидеть перевернутые или повернутые треугольники, но они все равно могут быть похожими, если разница только в размере.

    Следует также отметить, что у двух одинаковых треугольников соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение. Так, например, один треугольник может быть 1: 2 для другого треугольника, поэтому все их соответствующие стороны будут 1: 2 для другого треугольника.

    Давайте рассмотрим разные способы, чтобы доказать, что два треугольника похожи.

    Теорема подобия SAS

    Теорема подобия SAS означает боковой угол сторона. Когда у вас есть два треугольника и соотношение сторон двух из них одинаковое, плюс один из их углов равны, вы можете доказать, что эти два треугольника похожи. Вы только что узнали определение SAS! Но это еще не все …

    Теорема подобия SSS

    В теореме подобия SSS вы смотрите на доказательство со стороны стороны. Когда у вас есть два треугольника с тремя сторонами, которые имеют одинаковое соотношение, вы еще раз можете доказать, что у вас есть два одинаковых треугольника SSS.

    AA Теорема подобия

    Теорема подобия AA названа в честь угла угол. В этом случае вы можете доказать, что два треугольника подобны, если два из их соответствующих углов равны. Это нетрудно понять, поскольку вы знаете, что внутренние углы каждого треугольника должны равняться 180 градусам. Если у вас выяснены два угла, то вы знаете, что значение последнего также. По сути, это означает, что если вы знаете, что 2 из углов в двух соответствующих треугольниках одинаковы, последний угол из двух треугольников также будет таким же.

    Примеры задач

    Вопрос 1:

    Определить, похожи ли треугольники:

    Решение:

    Чтобы вам было легче справиться с этим вопросом, попробуйте переориентировать треугольники так, чтобы они были ориентированы примерно одинаково. Это поможет вам легче сравнивать стороны и углы. Когда вы это сделаете, давайте посмотрим на соотношение сторон этих двух треугольников.

    Соотношение сторон:

    DEAB = 1.80,9 = 2 \ frac {DE} {AB} = \ frac {1,8} {0,9} = 2ABDE = 0,91,8 = 2
    EFBC = 21 = 2 \ frac {EF} {BC} = \ frac {2} {1} = 2BCEF = 12 = 2

    Две стороны треугольников имеют одинаковое соотношение. Вы также можете видеть, что в обоих треугольниках есть угол 90. Таким образом, вы доказали, что они похожи на основе правила треугольника SAS.

    Вопрос 2:

    Какие треугольники похожи?

    В подобном треугольнике все углы должны быть равны / совпадают. Итак, о треугольнике GHI не может быть и речи.Теперь рассчитайте соотношение сторон. Для треугольников JKL и DEF отношение сторон равно 2. Для треугольников DEF и ABC отношение равно 1,25. Мы можем заключить, что треугольник ABC, DEF и JKL подобны треугольникам.

    Не уверены в доказательствах для подобных треугольников? Посмотрите на эту интерактивную интерактивную диаграмму, которая показывает, как меняются углы и соотношение сторон двух одинаковых треугольников по мере того, как один треугольник становится меньше или больше.

    Чтобы помочь вам понять больше о треугольниках, не стесняйтесь повторять теорему Пифагора и то, как использовать отношения Пифагора.Это хорошая ступенька, которая поможет вам понять стороны треугольников.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.