Y x 3 x 2 1: График функции y = x^3/(x^2-1)

Содержание

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

Определение 1

  • при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
  • при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
  • при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
  • при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
  • при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
  • при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Пример 1

Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.

Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Пример 2

Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.

Решение

Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1является постоянной функцией, f2является арктангенсом, f3– логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и  D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что

D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)

Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x)– произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x)является -∞, +∞D(f)=D(f).

Получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x — [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x)совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения  функции y=log3x−3·2x.

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.

f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).

Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).

Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что

D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞

Ответ: (0, +∞).

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Пример 4

Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.

Решение

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше  было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).

Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).

Ответ: (0, +∞).

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f)является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения y=ln x2.

Решение

Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.

Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).

Тогда получим систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 6

Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.

Решение

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1].  Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0

Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].

Преобразуем систему вида

x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]

Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].

Ответ: (0, 1].

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

Пример 7

Найти область определения y=sin(lg x4).

Решение

Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3– логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения  функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что

x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞

Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит

x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)

Ответ: [1, +∞).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 8

Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.

Решение

Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0

Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3–это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4– это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:

x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3

Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Пример 9

Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).

Решение

Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где  выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида

x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)

Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.

Решение

Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.

Функция f1определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения  D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида

x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)

Значит, область определения для функции  f2имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)

Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Функция Ее область определения

Сумма, разность, произведение функций

f1, f2,…, fn

Пересечение множеств

D(f1), D(f2), …, D(fn)

Сложная функция

y=f1(f2(f3(…fn(x))))

 

 

 

В частности, 

y=f1(f2(x))

Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям

x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1)

 

x∈D(f2),f2(x)∈D(f1)

Расположим функции и их области определения.

Функция Ее область определения

Прямая пропорциональность y=k·x

R
Линейная y=k·x+b R

Обратная пропорциональность  y=kx

-∞, 0∪0, +∞
Квадратичная y=a·x2+b·x+c R
y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 R
Целая рациональная R
y=C·f(x), где C — число D(f)

Дробная y=f1(x)f2(x)

 

 

В частности, если f1(x), f2(x) — многочлены

Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям
x∈D(f1), x∈D(f2), f2(x)≠0

 

f2(x)≠0

y=f(x)n, где n — четное x∈D(f1), f(x)≥0

y=logf2(x)f1(x)

 

 

В частности, y=logaf1(x)

 

В частности, y=logf2(x)a

x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1

 

x∈D(f1), f1(x)>0

 

x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1

Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

Найдите наибольшее значение функции

В прошлой статье мы рассмотрели задания на определение точек максимума (минимума) степенной функции. Здесь представлено 7 примеров со степенной функцией. Требуется определить наибольшее (или наименьшее) значение функции на интервале. На блоге уже рассматривались подобные примеры функций с числом е, логарифмические, тригонометрические, рациональные.

Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии. 

Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом здесь.

Предлагаю решать такие задания следующим образом:

1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).

В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать производные элементарных функций.

Рассмотрим примеры:

77422. Найдите наибольшее значение функции у=х3–3х+4 на отрезке [–2;0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.

Вычисляем значения функции в точках   –2, –1 и 0:

Наибольшее значение функции равно 6.

Ответ: 6

77425. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – 3х2 + 2 на отрезке [1;4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.

Вычисляем значения функции в точках  1, 2 и 4:

Наименьшее значение функции равно –2.

Ответ: –2

77426. Найдите наибольшее значение функции у = х3 – 6х2 на отрезке [–3;3].  

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.

Вычисляем значения функции в точках  –3, 0 и 3:

Наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0

77429. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – 2х2 + х +3 на отрезке [1;4] .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

2 – 4х + 1 = 0

Получим корни:  х1 = 1    х1 = 1/3.   

Указанному в условии интервалу принадлежит  только х = 1.

Найдём значения функции в точках  1 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77430. Найдите наибольшее значение функции у = х3 + 2х2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

2 + 4х + 1 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит  корень х = –1.

Находим значения функции в точках  –4, –1, –1/3 и 1:

Получили, что наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77433. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – х2 – 40х +3 на отрезке [0;4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

 3х2 – 2х – 40 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит  корень х = 4.

Находим значения функции в точках  0 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно   –109.

Ответ: –109

Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).

77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от  –2  до  2:

у(–2)=7+12 (–2) – (–2)3 = – 9

у(–1)=7+12 (–1) – (–1)3 = – 6

у(0)=7+12∙0 – 03 = 7

у(1)=7+12∙1 – 13 = 18

у(2)=7+12∙2 – 23 = 23

Наименьшее значение равно –9.

Ответ: –9

77441. Найдите наименьшее значение функции у=9х2–х3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от  –2  до  2:

у(–2)=9 (–2)2 – (–2)3 = 44

у(–1)=9 (–1)2 – (–1)3 = 10

у(0)=9∙02 – 03 = 0

у(1)=9∙12 – 13 = 8

у(2)=9∙22 – 23 = 28

Наименьшее значение равно 0.

Ответ: 0

77442. Найдите наибольшее значение функции у=9х2–х3 на отрезке [2;10].

Подставляем точки от 2  до 10. В данном примере интервал большой и вычислений будет больше, но способ вполне применим.

Ответ: 108

*Чем меньше интервал, тем быстрее решите задачу.

 

77421. Найдите наименьшее значение функции у=х3 –27х на отрезке [0;4].

Посмотреть решение

77434. Найдите наибольшее значение функции у=х3 + 2х2 – 4х + 4 на отрезке  [–2;0].

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

Уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{F_x'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z'(x_0, y_0, z_0)}.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=\sin x\cos y$ в точке $(\pi/4, \pi/4, \pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Находим частные производные:

$z’_x=(\sin x\cos y)’_x=\cos x\cos y;$

$z’_x(\pi/4, \pi/4)=\cos \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2};$ 

$z’_y=(\sin x\cos y)’_y=-\sin x\sin y;$

$z’_y(\pi/4, \pi/4)=-\sin \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=-\frac{1}{2};$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}(y-\frac{\pi}{4})\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y-z+\frac{\pi}{4}=0.2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{4}.$

 

 

2-2x-1 $? — Обмен стеками математики

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
991 раз

$ \ begingroup $

Мой друг спросил меня, каковы корни $ y = x ^ 3 + x ^ 2-2x-1 $.

Я действительно не знал, и когда я построил график, у него не было целочисленных решений. Я спросил его, каков был ответ, и он сказал, что корни $ 3 $ были $ 2 \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right), 2 \ cos \ left (\ frac {4 \ pi } {7} \ right) $ и $ 2 \ cos \ left (\ frac {8 \ pi} {7} \ right) $.

Вопрос: Как бы вы получили корни без использования компьютера, такого как Mathematica? Могут ли другие уравнения иметь корни в тригонометрической форме?

Все что угодно помогает!

Мартин Слезяк

51.1k1818 золотых знаков161161 серебряный знак315315 бронзовых знаков

Создан 11 июн.

ФранкФрэнк

5,68411 золотых знаков1212 серебряных знаков4242 бронзовых знака

$ \ endgroup $

7

$ \ begingroup $

Пусть $ p (x) = x ^ 3 + x ^ 2-2x-1 $, имеем $$ p (t + t ^ {- 1}) = t ^ 3 + t ^ 2 + t + 1 + t ^ {- 1} + t ^ {- 2} + t ^ {- 3} = \ frac {t ^ 7-1} {t ^ 3 (t-1)} $$

Правая часть имеет корни вида $ t = e ^ {\ pm \ frac {2k \ pi} {7} i} $
(исходя из множителя $ t ^ 7-1 $ в числителе)
для $ k = 1,2,3 $. {- 1} $.2 + t + 1 = 0
$$
и теперь должно быть ясно, каковы решения. Для каждого корня есть другой, дающий такое же решение в $ x $.

Создан 11 июн.

Эгрегегрег

219k1717 золотых знаков118118 серебряных знаков284284 бронзовых знака

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Родительские функции — Типы, свойства и примеры

При работе с функциями и их графиками вы заметите, как графики большинства функций выглядят одинаково и следуют схожим шаблонам.Это потому, что функции, имеющие одинаковую степень, будут следовать аналогичной кривой и использовать одни и те же родительские функции.

Родительская функция представляет собой простейшую форму семейства функций.

Это определение прекрасно описывает родительские функции. Мы используем родительские функции, чтобы направлять нас при построении графиков функций, которые находятся в том же семействе. В этой статье мы:

  • Рассмотрим все уникальные родительские функции (возможно, вы уже сталкивались с некоторыми ранее).
  • Узнайте, как определить родительскую функцию, которой принадлежит функция.

Возможность идентифицировать и графически отображать функции с помощью их родительских функций может помочь нам лучше понять функции, так чего же мы ждем?

Что такое родительская функция?

Теперь, когда мы понимаем, насколько важно для нас овладеть различными типами родительских функций, давайте сначала начнем понимать, что такое родительские функции и как их семейства функций зависят от их свойств.

Определение родительской функции

Родительские функции — это простейшая форма данного семейства функций . Семейство функций — это группа функций, которые имеют одинаковую наивысшую степень и, следовательно, одинаковую форму для своих графиков .

На приведенном выше графике показаны четыре графика, которые демонстрируют U-образный график, который мы называем параболой. Поскольку все они имеют одинаковую высшую степень двойки и одинаковую форму, мы можем сгруппировать их в одно семейство функций.Сможете угадать, к какой семье они принадлежат?

Все эти четыре функции являются квадратичными, и их простейшая форма будет y = x 2 . Следовательно, родительская функция для этого семейства — y = x 2 .

Поскольку родительские функции являются простейшей формой данной группы функций, они могут сразу дать вам представление о том, как будет выглядеть данная функция из того же семейства.

Какие бывают типы родительских функций?

Пришло время освежить наши знания о функциях, а также узнать о новых функциях.Как мы уже упоминали, знакомство с известными родительскими функциями поможет нам лучше и быстрее понять и построить графики функций.

Почему бы нам не начать с тех, которые мы, возможно, уже узнали в прошлом?

Первые четыре родительские функции содержат многочлены с возрастающей степенью. Давайте посмотрим, как ведут себя их графики, и отметим область и диапазон соответствующих родительских функций.

Функции констант

Функции констант — это функции, которые определяются своей соответствующей константой c.Все функции-константы будут иметь горизонтальную линию в качестве графика и содержать только константу в качестве члена.

Все постоянные функции будут иметь все действительные числа в качестве домена и y = c в качестве диапазона. У каждого из них также есть точка пересечения по оси y в точке (0, c).

Движение объекта в состоянии покоя — хороший пример постоянной функции.

Линейные функции

Линейные функции имеют x как член с наивысшей степенью и общую форму y = a + bx.Все линейные функции имеют прямую линию в виде графика .

Родительская функция линейных функций — y = x, , и она проходит через начало координат. Область и диапазон всех линейных функций: , все действительные числа .

Эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны друг другу.

Квадратичные функции

Квадратичные функции — это функции с 2 в качестве высшей степени .Все квадратичные функции возвращают параболу в качестве своего графика . Как обсуждалось в предыдущем разделе, квадратичные функции имеют y = x 2 в качестве родительской функции .

Вершина родительской функции y = x 2 лежит в начале координат. Он также имеет область всех действительных чисел и диапазон [0, ∞) . Обратите внимание, что эта функция увеличивается, когда x положительна , и уменьшается, когда x отрицательна .

Хорошее применение квадратичных функций — движение снаряда.Мы можем наблюдать за движением снаряда объекта, построив график квадратичной функции, которая его представляет.

Кубические функции

Давайте перейдем к родительской функции многочленов с 3 наивысшей степенью . Кубические функции имеют общую родительскую функцию y = x 3 . Эта функция на увеличивается по всему домену .

Как и в случае с двумя предыдущими родительскими функциями, график y = x 3 также проходит через начало координат.Его домен и диапазон равны (-∞, ∞) или все действительные числа.

Функции абсолютного значения

Родительская функция функций абсолютного значения — y = | x | . Как показано на графике родительской функции, ожидается, что функции абсолютного значения вернут V-образные графики .

Вершина y = | x | также находится в начале координат. Поскольку он проходит на обоих концах оси x, y = | x | имеет область в (-∞, ∞). Абсолютные значения никогда не могут быть отрицательными, поэтому родительская функция имеет диапазон [0, ∞) .

Мы используем функции абсолютного значения, чтобы подчеркнуть, что значение функции всегда должно быть положительным.

Радикальные функции

Двумя наиболее часто используемыми радикальными функциями являются функции извлечения квадратного корня и кубического корня .

Родительская функция функции извлечения квадратного корня — y = √x . Его график показывает, что его значения x и y никогда не могут быть отрицательными.

Это означает, что область и диапазон y = √x равны [0, ) . Начальная точка или вершина родительской функции также находится в в начале координат . Родительская функция y = √x также увеличивается на во всей области .

Давайте теперь изучим родительскую функцию функций кубического корня. Подобно функции извлечения квадратного корня, ее родительская функция выражается как y = x .

На графике показано, что родительская функция имеет домен и диапазон (-∞, ∞) .Мы также можем видеть, что y = ∛x составляет , увеличиваясь во всей области .

Экспоненциальные функции

Экспоненциальные функции — это функции, в экспоненте которых есть алгебраические выражения. Их родительская функция может быть выражена как y = b x , где b может быть любой ненулевой константой. График родительской функции y = e x , показан ниже, и из него мы видим, что он никогда не будет равен 0 .

И когда x = 0, y проходит через ось y при y = 1.Мы также можем видеть, что родительская функция никогда не находится ниже оси Y, поэтому ее диапазон составляет (0, ). Его домен , однако, может быть полностью действительным числом . Мы также можем видеть, что эта функция на увеличивается во всем ее домене.

Одним из наиболее распространенных приложений экспоненциальных функций является моделирование роста населения и сложных процентов.

Логарифмические функции

Логарифмические функции являются функциями, обратными экспоненциальным функциям. Его родительская функция может быть выражена как y = log b x , где b — ненулевая положительная константа. Давайте посмотрим на график, когда b = 2 .

Как и экспоненциальная функция, мы можем видеть, что x никогда не может быть меньше или равным нулю для y = log 2 x. Следовательно, его домен (0, ∞) . Однако его диапазон содержит все действительные числа . Мы также можем видеть, что эта функция на увеличивается во всем ее домене.

Мы используем логарифмические функции для моделирования природных явлений, таких как сила землетрясения.Мы также применяем его при вычислении скорости распада периода полураспада в физике и химии.

Взаимные функции

Взаимные функции — это функции, которые содержат числитель-константу и знаменатель x. Его родительская функция — y = 1 / x .

Как видно из графика, ни x, ни y никогда не могут быть равны нулю. Это означает, что его домен и диапазон (-∞, 0) U (0, ∞) . Мы также можем видеть, что функция на убывает во всей области .

На протяжении всего нашего пути с функциями и графиками есть много других родительских функций, но эти восемь родительских функций относятся к наиболее часто используемым и обсуждаемым функциям .

Вы даже можете резюмировать то, что вы узнали, создав таблицу, показывающую все свойства родительских функций.

Как найти родительскую функцию?

Что, если нам дана функция или ее график, и нам нужно идентифицировать ее родительскую функцию? Мы можем сделать это, запомнив важные свойства каждой функции и определив, какие из родительских графиков, которые мы обсуждали, соответствуют заданному.

Вот несколько наводящих вопросов, которые могут нам помочь:

  • Какая наивысшая степень функции?
  • Содержит ли он квадратный корень или кубический корень?
  • Функция находится в экспоненте или знаменателе?
  • График функции увеличивается или уменьшается?
  • Каков домен или диапазон функции?

Если мы сможем ответить на некоторые из этих вопросов путем проверки, мы сможем вывести наши варианты и в конечном итоге идентифицировать родительскую функцию.

Давайте попробуем f (x) = 5 (x — 1) 2 . Мы видим, что наивысшая степень f (x) равна 2 , поэтому мы знаем, что эта функция является квадратичной функцией. Следовательно, его родительская функция y = x 2 .

Почему бы нам не построить график f (x) и также не подтвердить наш ответ?

На графике мы видим, что он образует параболу, подтверждая, что его родительская функция равна y = x 2 .

Просмотрите первые несколько разделов этой статьи и свои собственные заметки, а затем давайте попробуем задать несколько вопросов, чтобы проверить наши знания о родительских функциях.

Пример 1

Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?

Решение

Функции, представленные графиками A, B, C и E, имеют аналогичную форму, но смещены вверх или вниз. Фактически, эти функции представляют собой семейство экспоненциальных функций . Это означает, что все они имеют общую родительскую функцию: y = b x .

С другой стороны, график D представляет логарифмическую функцию, поэтому D не принадлежит к группе экспоненциальных функций.

Пример 2

Какие из следующих функций не принадлежат к данному семейству функций?

  • y = 5x 2
  • y = -2x 2 + 3x — 1
  • y = x (3x 2 )
  • y = (x — 1) (x + 1)

Решение

Функция y = 5x 2 имеет наивысшую степень двойки, поэтому она является квадратичной функцией.Это означает, что его родительская функция — y = x 2 . То же самое и для y = -2x 2 + 3x — 1. Исходя из этого, мы можем подтвердить, что рассматриваем семейство квадратичных функций.

Применяя разность полных квадратов к четвертому варианту, получаем y = x 2 — 1. Это также квадратичная функция. Остается третий вариант.

При расширении y = x (3x 2 ) становится y = 3x 3, , и это показывает, что он имеет 3 в качестве наивысшей степени.Следовательно, он не может быть частью данного семейства функций.

Пример 3

Определите родительскую функцию следующих функций на основе их графиков. Также определите область и диапазон каждой функции.

Решение

Начнем с f (x). Мы видим, что у него есть парабола для своего графика, поэтому мы можем сказать, что f (x) является квадратичной функцией .

  • Это означает, что f (x) имеет родительскую функцию y = x 2 .
  • График простирается по обе стороны от x, поэтому он имеет область (-∞, ∞) .
  • Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0, ∞) .

Основываясь на графике, мы видим, что значения x и y функции g (x) никогда не будут отрицательными. Они также показывают возрастающую кривую, которая напоминает график функции квадратного корня .

  • Следовательно, родительской функцией g (x) является y = √x .
  • График простирается до правой части x и никогда не меньше 2, поэтому он имеет область [2, ∞) .
  • Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0, ∞) .

График h (x) показывает, что их значения x и y никогда не будут равны 0. Симметричные кривые также похожи на график обратных функций.

  • Это означает, что h (x) имеет родительскую функцию y = 1 / x.
  • Пока x и y никогда не равны нулю, h (x) по-прежнему действителен, поэтому он имеет как домен , так и диапазон (-∞, ∞) .

Прямые линии, представляющие i (x), говорят о том, что это линейная функция.

  • Имеет родительскую функцию y = x.
  • График простирается по обе стороны от x и y, поэтому он имеет область и диапазон (-∞, ∞) .

Пример 4

Определите родительскую функцию для следующих функций.

  • f (x) = x 3 — 2x + 1
  • g (x) = 3√x + 1
  • h (x) = 4 / x
  • i (x) = e x + 1

Решение

  • Наивысшая степень f (x) равна 3, поэтому это кубическая функция.Это означает, что у него есть родительская функция y = x 3 .
  • Функция g (x) имеет радикальное выражение 3√x. Поскольку у нее есть член с квадратным корнем, функция является функцией квадратного корня и имеет родительскую функцию y = √x.
  • Мы видим, что x находится в знаменателе h (x), поэтому он обратный. Следовательно, его родительская функция — y = 1 / x .
  • Показатели степени содержат x, поэтому одно это говорит нам о том, что i (x) — экспоненциальная функция.Следовательно, его родительская функция может быть выражена как y = b x , где b — константа. Для случая i (x) у нас есть y = e x как его родительская функция.

Практические вопросы

1. Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?

2. Какие из следующих функций не относятся к данному семейству функций?

  • y = 4x 3
  • y = -3x 3 + 4x 2 + 5x — 1
  • y = x (5x 2 )
  • y = (x — 1) (x + 1) (х + 2)

3.Определите родительскую функцию следующих функций.

  • f (x) = x 3 — 2x + 1
  • g (x) = 3√x + 1
  • h (x) = 1 / (x + 1)
  • i (x) = e x + 1

4. Определите родительскую функцию следующих функций на основе их графиков. Также определите область и диапазон каждой функции.

5. Опишите разницу между f (x) = -5 (x — 1) 2 и его родительской функцией. Каков домен и диапазон f (x)?

6.Пусть a и b — две ненулевые константы. Опишите разницу между g (x) = ax + b и его родительской функцией. Каков домен и диапазон f (x)?

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решенные задачи | PDF | Совместно непрерывные случайные переменные


5.2.5 Решенные проблемы

Проблема
Пусть $ X $ и $ Y $ — совместно непрерывные случайные величины с совместной PDF
\ begin {уравнение}
\ nonumber f_ {X, Y} (x, y) = \ left \ {
\ begin {array} {l l}
cx + 1 & \ quad x, y \ geq 0, x + y

  1. Показать диапазон $ (X, Y) $, $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $. {- (2x + 3y)} & \ quad x, y \ geq 0 \\
    & \ quad \\
    0 & \ quad \ text {в противном случае}
    \ end {array} \ right.{-5y} dy \\
    \ nonumber & = \ frac {3} {5}.
    \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ — непрерывная случайная величина с PDF
\ begin {уравнение}
\ nonumber f_X (x) = \ left \ {
\ begin {array} {l l}
2x & \ quad 0 \ leq x \ leq 1 \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right.
\ end {уравнение}
Мы знаем, что при $ X = x $ случайная величина $ Y $ равномерно распределена на $ [- x, ​​x] $.

  1. Найдите совместный PDF-файл $ f_ {XY} (x, y) $.3) $.
  • Решение
      1. Прежде всего отметим, что по предположению
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber f_ {Y | X} (y | x) = \ left \ {
        \ begin {array} {l l}
        \ frac {1} {2x} & \ quad -x \ leq y \ leq x \\
        & \ quad \\
        0 & \ quad \ text {в противном случае}
        \ end {array} \ right.
        \ end {уравнение}
        Таким образом, мы имеем
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber f_ {XY} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_X (x) = \ left \ {
        \ begin {array} {l l}
        1 & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, -x \ leq y \ leq x \\
        & \ quad \\
        0 & \ quad \ text {в противном случае}
        \ end {array} \ right.3} {2x} \ right) 2x dx \ hspace {20pt} \ textrm {поскольку} Y | X = x \ hspace {5pt} \ sim \ hspace {5pt} Uniform (-x, x) \\
        \ nonumber & = \ frac {1} {2}.
        \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ и $ Y $ — две совместно непрерывные случайные величины с совместной PDF
\ begin {уравнение}
\ nonumber f_ {X, Y} (x, y) = \ left \ {
\ begin {array} {l l}
6xy & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, 0 \ leq y \ leq \ sqrt {x} \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right.\ end {уравнение}

  1. Показать $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.
  2. Найдите $ f_X (x) $ и $ f_Y (y) $.
  3. Независимы ли $ X $ и $ Y $?
  4. Найдите условную PDF $ X $ при $ Y = y $, $ f_ {X | Y} (x | y) $.
  5. Найдите $ E [X | Y = y] $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  6. Найдите $ \ textrm {Var} (X | Y = y) $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  • Решение
      1. Рисунок 5.9 показывает $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.

        Рисунок 5.2 \ leq 1 \}.
        \ end {align}
        Предположим, что мы выбираем точку $ (X, Y) $ равномерно случайным образом в $ D $. То есть совместная PDF $ X $ и $ Y $ определяется выражением
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber f_ {XY} (x, y) = \ left \ {
        \ begin {array} {l l}
        \ frac {1} {\ pi} & \ quad (x, y) \ in D \\
        & \ quad \\
        0 & \ quad \ text {в противном случае}
        \ end {array} \ right.
        \ end {уравнение}
        Пусть $ (R, \ Theta) $ — соответствующие полярные координаты, как показано на рисунке 5.10. Обратное преобразование дается формулой
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber \ left \ {
        \ begin {array} {l}
        X = R \ cos \ Theta \\
        Y = R \ sin \ Theta
        \ end {array} \ right.\ end {уравнение}
        где $ R \ geq 0 $ и $ — \ pi

        Рисунок 5.10: Полярные координаты

        • Решение
          • Здесь $ (X, Y) $ совместно непрерывны и связаны с $ (R, \ Theta) $ взаимно однозначным соотношением. Воспользуемся методом преобразований (теорема 5.1). Функция $ h (r, \ theta) $ задается формулой
            \ begin {уравнение}
            \ nonumber \ left \ {
            \ begin {array} {l}
            х = ч_1 (г, \ тета) = г \ соз \ тета \\
            у = ч_2 (г, \ тета) = г \ грех \ тета
            \ end {array} \ right.
            \ end {уравнение}
            Таким образом, мы имеем
            \ begin {align}
            \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (h_1 (r, \ theta), h_2 (r, \ theta)) | J | \\
            \ nonumber & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J |.\ end {align}
            куда
            \ begin {align}
            \ nonumber J = \ det \ begin {bmatrix}
            \ frac {\ partial h_1} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_1} {\ partial \ theta} \\
            & \\
            \ frac {\ partial h_2} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_2} {\ partial \ theta} \\
            \ end {bmatrix}
            = \ det \ begin {bmatrix}
            \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\
            & \\
            \ sin \ theta & r \ cos \ theta \\
            \ end {bmatrix}
            = г \ соз ^ 2 \ тета + г \ грех ^ 2 \ тета = г.\ end {align}
            Мы делаем вывод, что
            \ begin {align}
            \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J | \\
            \ nonumber & = \ left \ {
            \ begin {array} {l l}
            \ frac {r} {\ pi} & \ quad r \ in [0,1], \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\
            & \ quad \\
            0 & \ quad \ text {в противном случае}
            \ end {array} \ right.
            \ end {align}
            Обратите внимание, что сверху мы можем написать
            \ begin {align}
            \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) = f_R (r) f _ {\ Theta} (\ theta),
            \ end {align}
            куда
            \ begin {уравнение}
            \ nonumber f_R (r) = \ left \ {
            \ begin {array} {l l}
            2r & \ quad r \ in [0,1] \\
            & \ quad \\
            0 & \ quad \ text {в противном случае}
            \ end {array} \ right.\ end {уравнение}
            \ begin {уравнение}
            \ nonumber f_ \ Theta (\ theta) = \ left \ {
            \ begin {array} {l l}
            \ frac {1} {2 \ pi} & \ quad \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\
            & \ quad \\
            0 & \ quad \ text {в противном случае}
            \ end {array} \ right.
            \ end {уравнение}
            Таким образом, мы заключаем, что $ R $ и $ \ Theta $ независимы.

        Графические функции абсолютных значений | Purplemath

        Purplemath

        Принятие абсолютного значения отрицательного числа делает его положительным.По этой причине графики функций абсолютных значений имеют тенденцию не совсем походить на графики линейных функций, которые вы уже изучили. Однако из-за того, как ведут себя абсолютные значения, важно включать отрицательные входные данные в вашу Т-диаграмму при построении графиков функций абсолютных значений. Если вы не выберете значения x , которые поместят отрицательные значения внутри абсолютного значения, вы обычно будете вводить себя в заблуждение относительно того, как выглядит график.

        Например, предположим, что ваш класс проходит следующую викторину:

        MathHelp.com

        Один из других учеников делает то, что обычно делает: он выбирает только положительные значения x для своей Т-диаграммы:

        Затем он наносит на график свои очки:

        Эти очки хороши, насколько они идут, но их недостаточно; они не дают точного представления о том, как должен выглядеть график.В частности, они не содержат никаких «минусовых» входов, поэтому легко забыть, что эти столбцы абсолютных значений что-то означают . В результате ученик забывает учесть эти столбцы и рисует ошибочный график:

        НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ!

        Аааааа … он просто завалил викторину.

        Но вы более осторожны.Вы помните, что графики абсолютных значений включают абсолютные значения, и что абсолютные значения влияют на «минусовые» входные данные. Итак, вы выбираете значения x , которые ставят «минус» внутри абсолютного значения, и выбираете еще несколько точек. Ваш T-график выглядит примерно так:

        Затем вы наносите свои очки:

        … и, наконец, вы соединяете точки:

        У вас правильный график:

        Правильный ответ!

        Ааааанд… вы только что успешно прошли викторину. Хорошая работа!


        Хотя графики абсолютных значений имеют тенденцию выглядеть так, как показано выше, с «локтем» посередине, это не всегда так. Однако, если вы видите график с таким изгибом, вы должны ожидать, что уравнение графика, вероятно, включает в себя абсолютное значение. Во всех случаях вы должны позаботиться о том, чтобы выбрать хороший диапазон значений x , потому что три соседних значения x почти наверняка не дадут вам достаточно информации, чтобы нарисовать достоверное изображение.

        Примечание. Полосы абсолютных значений позволяют оценивать введенные значения как всегда неотрицательные (то есть положительные или нулевые). В результате буква «V» на приведенном выше графике появилась там, где знак внутри был равен нулю. Когда x было меньше –2, выражение x + 2 было меньше нуля, и столбцы абсолютных значений перевернули эти «минусовые» значения из-под оси x вверх. Когда x равно –2, тогда аргумент (то есть выражение внутри столбцов) равен нулю.Для всех значений x справа от –2 аргумент был положительным, поэтому столбцы абсолютных значений ничего не меняли.

        Другими словами, графически столбцы абсолютных значений занимают этот график:

        … и перевернул «минус» (зеленый на графике) снизу оси x наверх. Замечание, где аргумент столбцов абсолютного значения будет равен нулю, может быть полезным для проверки правильности построения графика.


        Эта функция почти такая же, как и предыдущая.

        Однако аргумент предыдущего выражения абсолютного значения был x + 2. В этом случае только x находится внутри столбцов абсолютного значения. Этот аргумент будет равен нулю, когда x = 0, поэтому я должен ожидать увидеть локоть в этой области. Кроме того, поскольку «плюс два» находится за пределами столбцов абсолютных значений, я ожидаю, что мой график будет выглядеть как обычный график абсолютных значений (представляющий собой букву «V» с изгибом в начале координат), но смещенный вверх на две единицы. .

        Во-первых, я заполню свою Т-диаграмму, выбирая по ходу несколько отрицательных значений x :

        Затем нарисую точки и заполню график:


        Партнер


        Поскольку столбцы абсолютных значений всегда показывают неотрицательные значения, может возникнуть соблазн предположить, что графики абсолютных значений не могут опускаться ниже оси x .Но могут:

        • График

          y = — | x + 2 |

        Эта функция является своего рода противоположностью первой функции (выше), потому что в выражении абсолютного значения в правой части уравнения стоит «минус». Из-за этого «минуса» все положительные значения, представленные столбцами абсолютных значений, будут переключены на отрицательные значения.Другими словами, я должен ожидать, что этот график будет иметь изгиб в точке (–2, 0), как и первый график выше, но остальная часть графика будет перевернута вверх дном, чтобы оказаться ниже оси x .

        Сначала я заполню свою Т-диаграмму:

        Затем делаю свой график:


        Также не предполагайте, что какой-либо график абсолютных значений всегда будет находиться только на одной стороне оси x .Графики могут пересекаться:

        • График

          y = — | x | + 2

        Моя Т-диаграмма:

        … и мой график:


        URL: https: // www.purplemath.com/modules/graphabs.htm

        4а. Объем Solid of Revolution путем интеграции (дисковый метод)

        М. Борна

        Токарный станок

        Многие твердые объекты, особенно сделанные на токарном станке , имеют круглое поперечное сечение и изогнутые стороны.
        На этой странице мы увидим, как с помощью интеграции найти том таких объектов.

        Предметы, изготовленные на токарном станке…

        Пример 1

        Рассмотрим область, ограниченную прямой y = 3x, осью x и x = 1:

        График y = 3x с заштрихованной областью под «кривой» от x = 0 до x = 1.

        Когда заштрихованная область поворачивается на 360 ° вокруг оси «x», создается объем. 3` (Проверяет ОК.2] dx`

        На следующем общем графике y_2 выше y_1. Нижний и верхний пределы для области, которая должна быть повернута, обозначены вертикальными линиями в точках «x = a» и «x = b».

        Площадь, ограниченная кривыми y_1 и y_2 и линиями x = a и x = b, включая типичный прямоугольник .xyab

        `y_2`

        `y_1`

        Площадь, ограниченная кривыми `y_1` и` y_2` и линиями `x = a` и` x = b`.

        Когда мы вращаем такую ​​фигуру вокруг оси и делаем срезы, в результате получается шайба формы (с круглым отверстием посередине).2` (нижняя кривая), `y = x + 1` (линия вверху) и` x = 0`, показывая типичный прямоугольник.

        Нижний предел интегрирования равен «x = 0» (поскольку в вопросе указано «x ≥ 0»).

        Затем нам нужно найти место пересечения кривых, чтобы мы знали верхний предел интегрирования.

        Приравнивая 2 выражения и решая:

        2 x 2 = x + 1

        2 x 2 x — 1 = 0

        (2 x + 1) ( x — 1) = 0

        x = 1 (поскольку нам нужно учитывать только x ≥ 0. 3`

        `~~ 8.2 = 4` в квадранте I, повернутом вокруг оси `y`.

        Ответ

        Мы понимаем, что это эллипс. Вопрос говорит нам, что интересующая нас область находится только в первом квадранте.

        Эллипс x 2 + 4 y 2 = 4, показывающий часть, ограниченную кривой, x = 0, x = 2 и ось x .

        Из диаграммы видно, что пределы ограниченной области составляют y = 0 и y = 1.3`

        Приложения

        1. Объем винной бочки

        Винная бочка имеет радиус в верхней части 30 см и радиус в середине 40 см. Высота бочки 1 м. Каков объем бочки (в л), если предположить, что форма сторон параболическая?

        Ответ

        Положим бочку набок, чтобы облегчить алгебру:

        Парабола с вершиной в точке `(0, 40)` и проходящая через `(50, 30)`.



        Нам нужно найти уравнение параболы с вершиной в точке `(0, 40)` и проходящей через `(50, 30)`. 2) / (250) + 40`

        Нам нужно найти объем бочки, который образуется, когда мы вращаем эту параболу между x = -50 и x = 50 вокруг оси x .2ч.

        Интересно, что Архимед (тот, кто, как известно, выпрыгнул из ванны и побежал по улице с криком «Эврика! Я понял») использовал этот подход, чтобы найти объемы сфер около 200 г. до н.э. Этот метод был почти забыт до начала 1700-х годов, когда исчисление было разработано Ньютоном и Лейбницем.

        Мы видим, как решить проблему, используя оба подхода.

        Объем историческим методом:

        Ответ

        Поскольку дыня симметрична, мы можем вычислить объем одной половины дыни, а затем удвоить наш ответ.3` или `9.161 \» L «`. Это примерно то же самое, что мы получили, нарезав арбуз и увеличив объем ломтиков.

        [См. Также Архимед и площадь параболического сегмента.]

        Глава 1 линейные функции ответы алгебра 2

        Глава 1 линейные функции ответы алгебра 2

        Получите бесплатно Balbharati Solutions for Mathematics 1 Algebra 10th Standard SSC Maharashtra State Board Глава 2 Квадратичные уравнения, решаемые экспертами. Здесь можно найти главу 2 — Вопросы с решениями для упражнений с квадратными уравнениями и подробное объяснение вашей практики перед экзаменом

        Big Ideas MATH: Common Core Curriculum for Middle School and High School Mathematics Написано Роном Ларсоном и Лори Босуэлл.

        Элементарная линейная алгебра, 5-е издание, написанное Стивеном Андрилли и Дэвидом Хеккером, представляет собой учебник для начального курса линейной алгебры для студентов-второкурсников или младших курсов математики. Этот текст представляет собой серьезное введение как в вычислительные, так и в теоретические аспекты линейной алгебры.

        Глава 3: Линейные преобразования. 3.1 Функции. Ответы и подсказки на отдельные задачи. Глава 1. Глава 1 начинается с матриц и одновременных линейных уравнений. Матрица, пожалуй, самая конкретная и легкодоступная структура в линейной алгебре, и она не представляет опасности…

        Алгебра 2 Глава # 2 Функции, уравнения и графики … Раздел 2.1 Отношения и функции. Назначение Раздел 2.1 … Раздел 2.3 Линейные функции и наклон …

        Цели: Решите линейные уравнения, используя сложение и вычитание, и используйте линейные уравнения для решения реальных задач. 3.1 Примечания и примеры 3.1 Примечания и примеры (ответы) 3.1 Практика A 3.1 Практика A (ответы) 3.1 Практика B 3.1 Практика B (ответы) 3.1 Практика C 3.1 Практика C (ответы) 3.1 Задание 3.1 Задача (ответы) 3.1 Стандартизованный тест

        Обратную линейную функцию найти намного проще по сравнению с другими видами функций, такими как квадратичная и рациональная. Причина в том, что домен и диапазон линейной функции естественным образом охватывают все действительные числа, если только домен не является. Как показано выше, вы можете написать окончательные ответы двумя способами.

        Глава 2 — Наборы ответов 2: Глава 3 — Логика … Глава 7 — Функции и графические ответы 7: Глава 8 — Геометрические ответы 8…

        Проблема закрыта по безработице 1-го уровня

        РАЗДЕЛ 2.1 Линейные уравнения MATH 1310 College Algebra 81 Глава 2 Решение уравнений и неравенств Раздел 2.1: Решение линейных уравнений Решение уравнения Добро пожаловать в раздел помощи по алгебре 2 с сайта MathHelp.com. Получите точные онлайн-уроки и домашние задания, которые вам нужны. Мы предлагаем целенаправленные инструкции и практику, охватывающие MathHelp.com, предлагающий полный онлайн-курс алгебры 2. Идеально подходит для удаленного класса математики, мы предлагаем индивидуальное обучение…

        Повтор гонки F1 2020

        Алгебра 2 / Триг. Страницы; Календарь; Сообщения; … Глава 2 . 2.1 — Отношения и функции … Прямое изменение. 2.3 Линейные функции и форма пересечения наклона. 2.4 Подробнее …

        McDougal Littell Algebra 1 класс 8 Рабочая тетрадь и ответы онлайн. Оценка: 8, Название: McDougal Littell Algebra 1, Издатель: McDougal Littell / Houghton Mifflin, ISBN: 618594027

        Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 Глава 5 Глава 6 Глава 7 Глава 8.Линейные уравнения в линейной алгебре — 1.1 Упражнения После получения ответа у вас будет 24 часа, чтобы отправить черновик. Редактор рассмотрит заявку и либо опубликует ее, либо оставит отзыв. Глава 2 — Наборы ответов 2: Глава 3 — Логика … Глава 7 — Функции и ответы на графики 7: Глава 8 — Геометрические ответы 8 …

        Диалоговое окно печати не отображается в слове

        College Algebra with Modeling & Визуализация (6-е издание) Редактировать издание. Задача 39E из главы 6.1: Если возможно, решите систему линейных уравнений и проверьте … Получите решения

        Найдите линейные функции, моделирующие общие приложения. Уравнения линий. Чтобы построить линейную функцию, моделирующую реальное приложение, сначала определите зависимые и независимые переменные. Затем найдите две упорядоченные пары, описывающие данную ситуацию.

        2.1 Функции и их графики 2.2 Наклон и скорость изменения 2.3 Быстрые графики линейных уравнений 2.4 Написание уравнений строк 2.5 Корреляция и линии наилучшего соответствия 2.6 Линейные неравенства в двух переменных 2.7 Кусочные функции 2.8 Функции абсолютных значений 2.1 Функции и их графики 2.2 Наклон и скорость изменения 2.3 Быстрые графики линейных уравнений 2.4 Написание уравнений линий 2.5 Корреляция и линии наилучшего совпадения 2.6 Линейные неравенства в двух переменных 2.7. Кусочные функции 2.8. Абсолютные функции.

        Lsi megaraid 9361 8i

        Совет. В этой книге делается упор на мотивацию и развитие, а также на ее доступность, поэтому она широко используется для самообучения.Ifyouareanindependentstudentthengood

        Вы можете получить решения по математике класса 12 как по главе, так и по функциям на языке хинди, а затем перейти к непрерывности, алгебре непрерывных функций, определению и значению Вы можете познакомиться с NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 Linear Программирование.

        Glencoe Algebra 2 обеспечивает глубину содержания, необходимую для соответствия новым изменениям в стандартах вашего штата; содержит главу 0 «Подготовка к продвинутой алгебре».Блок 1 Линейные отношения и функции. Для некоторых продуктов, таких как ключи ответов, может потребоваться сертификат учителя или домашнего обучения. Урок 1.1 Применение свойств вещественных чисел Урок 1.2 Вычисление и упрощение алгебраических выражений Урок 1.3 Решение линейных уравнений Урок 1.4 Переписывание формул и уравнений Урок 1.5 Использование стратегии решения проблем и моделирование Урок 1.6 Решение линейных неравенств Урок 1.7 Решение уравнений абсолютных значений и неравенств

        Маршрутизатор Meraki

        Алгебра 2 семестр 1 финальный экзамен пакет обзора глава кумулятивное имя edmonds дата стандартизованный тест для использования после систем таблиц линейных уравнений и неравенств прекрасная работа в 2020 г. из 5 ключевых решений a2 pdf полуостров урок домашнее задание ответы подготовка к колледжу gebhard curt notes решено 128 inequalitieodelin chegg com tessshlo Алгебра 2 Семестр 1 заключительный экзамен… Подробнее »

        ГЛАВА 16 Сердце алгебры Сердце алгебры Вопросы о SAT Math Test сосредоточены на овладение линейными уравнениями, системами l внутренние уравнения и линейные функции.Способность анализировать и создавать линейные уравнения, неравенства и функции важна для успеха в колледже и карьере, как и способность

        Глава 1: Функции 1.1 Функции и обозначение функций; 1.2 Домен и диапазон; 1.3 Скорость изменения и поведение графиков; 1.4 Состав функций; 1.5 Преобразование функций; 1.6 Обратные функции; PDF DOCX: PDF DOCX: Глава 2: Линейные функции 2.1 Линейные функции; 2.2 Графики линейных функций; 2.3 Моделирование с помощью линейных функций… Урок 7.4 • Обозначение функции Название Период Дата 1. Найдите каждое неизвестное значение функции или значение x для f (x) 4x 7 и g (x) 3x 5 без использования калькулятора. Затем введите уравнение для f (x) в Y1 и уравнение для g (x) в Y2. Используйте обозначение функции на своем калькуляторе, чтобы проверить свои ответы. а. е (2) б. f (0) c. f (3) d. x, когда f (x) 3

        Загрузка прошивки Aquos

        1) 26 =. 8+. v2) 3 + p = 8 3) 15 + b = 23 4) −15 + n = −9 5) m + 4 = −12 6) x− 7 = 13 7) m− 9 = −13 8) p− 6 = −5 9) v− 15 = −27 10) n + 16 = 9 11) −104 = 8×12) 14b = −56 13) −6 =.б. 18 14) 10н = 40. -1-. © Z s2n0 n1Y29 WKZu 4tsa f ZS to SfLt Oweayr ye7 IL 4L YCL.

        2.1 Производная функции, стр. 44-49 2.2 Степени и многочлены, стр. 50-57 2.3 Наклон и касательная линия, стр. 58-63 2.4 Производная синуса и косинуса, стр. 64-70 2.5 Правила произведения, коэффициента и мощности, стр. 71-77 2.6 Пределы, стр. 78-84 2.7 Непрерывные функции, стр. 85-90: Глава 2 — полная (PDF — 3.8MB) Глава 2 …

        Глава 1. Линейные функции. Преобразования линейных и абсолютных функций.Мониторинг прогресса. Сможете ли вы найти свою фундаментальную истину, используя Slader as a Algebra 2: A Common Core Curriculum, руководство по решениям? Пришло время переосмыслить свое истинное «я», используя Алгебру 2: общий основной учебный план Слэдера, ответы. Алгебра 2 (1-е издание) отвечает на главу 2 «Линейные уравнения и функции — Необходимые навыки» — стр. 70 1, включая пошаговые инструкции, написанные членами сообщества как ты. Авторы учебника: Ларсон, Рон; Босуэлл, Лори; Канольд, Тимоти Д .; Стифф, Ли, ISBN-10: 0618595414, ISBN-13: 978-0-61859-541-9, Издатель: McDougal Littell

        Plex ram transcoding ubuntu

        Интерпретация линейных функций.Попробуйте прямо сейчас Ответы. 1. Ежегодно экономится 1000 долларов. 2.; Уменьшается, потому что m <0. 3. Ваш счет в колледже начинается с 20 000 долларов на нем, и вы снимаете 4000 долларов каждый квартал (или ваш счет содержит 20 000 долларов и уменьшается на 4000 долларов каждый квартал). Вы можете заплатить за 5 кварталов, прежде чем деньги на этом счете исчезнут. ...

        2 — Линейные функции. от I — Векторы. Глава. Нелинейный метод наименьших квадратов. Стивен Бойд, Ливен Ванденберге.

        Версия для колледжа по алгебре bˇc Исправленное издание Карла Ститца, доктора философии.Д. Дже Зигер, доктор философии Общественный колледж Лейкленда Общественный колледж округа Лорейн 4 июля 2013 г. Решение: Ответ: (D) Нет правильного ответа. Точка A имеет координаты $ (5, 400) $. Это значит, что за 5 часов мы едем 400 км. Решение: в линейной функции $ y = 2x-1 $ мы должны заменить значение $ x $ на 1. $ y = 2 (1) -1 \ Longrightarrow y = 1 $ Обратите внимание, что график функции проходит через точка …

        Лаборатория по поиску эпицентра ключа ответа

        Вопрос 194468: Справочник по главе 3 до алгебры.Макдугал Литтел Урок 3.1 Практика B для использования со страницами 119-124 1.6x -7 = 17; x = 4 Проблемы с решением проблемы. Не понимаю Урок 3.2. Практика B для использования со страницами 125-129 1. 10-3 (x + 2) = 31 Не опускайте фундамент. Возникли проблемы с решением проблемы.

        Цели: решать линейные уравнения с помощью сложения и вычитания и использовать линейные уравнения для решения реальных задач. 3.1 Примечания и примеры 3.1 Примечания и примеры (ответы) 3.1 Практика A 3.1 Практика A (ответы) 3.1 Практика B 3.1 Практика B (ответы) 3.1 Практика C 3.1 Практика C (ответы) 3.1 Задача 3.1 Задача (ответы) 3.1 Стандартный тест

        Глава 10: Функции квадратного корня и геометрия (стр. 501–540) 10.1b: Рационализация знаменателя (стр. 0) Учебные пособия

        Современная война заблокирована до 60 кадров в секунду

        Решения для финального экзамена с помощью численного анализа

        Разборка слайдов Ruger p95

        Написание и решение уравнений ключ ответов

        Учебное пособие по математике 9114 Модуль 9 30005 ответов

        Aacomas misdemeanor

        Как инвестировать в акции южной кореи

        Бесплатные международные художественные конкурсы 2020

        Можно ли охотиться с пневматической винтовкой в ​​Техасе?

        Arch linux gnome no terminal

        физика духовной войны l боль

        Медсестра инструктирует недавно получившую лицензию медсестру по уходу за клиентом, у которого есть mrsa

        Ограбление казино Diamond, сколько камер вы можете снимать

        Планы сборки симулятора полета

        Самолет Pcatd simulator

        Звуковая панель Sony не включается

        Звуки грузового поезда

        2014 замена экрана информационно-развлекательной системы Corvette

        Vector symbol arrow copy paste

        Top web games

        Top web games

        для клеточной и генной терапии

        1 1 дополнительная практика ответ ключ алгебра 2

        алгебра 1 вход в учебник.Если вы входите в систему из-за пределов кампуса, вам нужно будет щелкнуть ссылку ниже, чтобы ввести washoe \ ваш идентификационный номер студента в поле имени пользователя.

        Размер тега кэша рейда

        • Иногда учащимся требуется альтернативное объяснение идеи наряду с дополнительными практическими задачами. Ресурсы Руководства для родителей сгруппированы по главам и темам. Формат этих ресурсов — это краткое повторение идеи, некоторые типичные примеры, практические задачи и ответы на эти проблемы.
        • Тип 1: одношаговые уравнения (самые простые из возможных, например, x + 6 = 19 или 6x = 17 или x / 7 = 18) только неотрицательные решения Тип 2: другие одношаговые уравнения (например, 4 = 8 — x) только неотрицательные решения Тип 3: одношаговые уравнения, в которых сначала необходимо упростить выражение с одной стороны (например, 4x = 19-7 или 10x — 2x = 16)

        Алгебра 1, классы 9–12-Холт Макдугал 2007-07 Гленко Алгебра 1-МакГроу-Хилл / Гленко 27.06.2003 Раскрытие алгебры 2-МАКГРОУ-ХИЛЛ ОБРАЗОВАНИЕ.2020 Высшая школа алгебры, 9-12 классы. Аттестация в конце курса по алгебре 1-Rea во Флориде, 2012-04 гг. Полностью согласованная с новым экзаменом, программа REA для подготовки к экзамену в конце курса по алгебре 1 по Флориде содержит актуальную версию

        Алгебра 2: Практическое пособие: Дополнительная практика для Каждый урок — это отличное учебное пособие для практики алгебры 2 и других методов математики. Подробнее Helpful

        Навыки Практика Рабочая тетрадь Ответы Алгебра 2 Рабочая тетрадь Ответы Алгебра Сейчас самое время переосмыслить свое истинное Я, используя ответы Слэдера «Алгебра 1: домашнее задание».Избавьтесь от социальных и культурных нарративов, сдерживающих вас, и позвольте пошаговой Алгебре 1: Домашнее задание, Практика, учебное пособие, переориентировать ваши старые парадигмы. Страница 5/23

        11 декабря 2015 г. · На этой странице вы можете прочитать или загрузить исследования Флориды по основной математической алгебре 1 с ключом ответов в формате PDF. Если вы не нашли ничего интересного для себя, воспользуйтесь нашей поисковой формой внизу ↓. Математические исследования Алгебра I — Техасский государственный университет

        Ответы будут разными. Раздел 2.2. Упражнения. Ожидаемое минимальное и максимальное использование — от 210 000 до 220 000 бутылок.Практический тест. Издатель / сайт: OpenStax. Название книги: Промежуточная алгебра 2д.

        Ares amoeba 008

        6 2 Дополнительная практика — Отображение 8 основных рабочих листов, найденных для этой концепции .. Некоторые из рабочих листов для этой концепции: Ответ на ключевую работу 6, Математика Я называю ответы на дополнительную дату практики, Рабочая тетрадь по проблемам Word, Дополнение практическое задание 4652a, Практическая тетрадь ответов, Глава 7, Практическая серия по математике, работа 5, Домашняя практика и практическая тетрадь по решению проблем.

        Pearson Education

        27 ноября, 2016 · Некоторые из представленных рабочих листов — это золотая алгебра prentice hall 1 ответы на работу pdf шаблоны и линейные функции prentice hall algebra 1 prentice hall Mathematics algebra 2 2007 коррелирован с fl algebra1 награды gold series fled 2011 algebra1 honors Ресурс учителя bp.

        19.03.2010 · дополнительное армирование. Практика На каждый урок приходится один мастер. Эти задачи более точно соответствуют структуре раздела «Практика и применение» в упражнениях для учащихся. Эти упражнения средней сложности. КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ. Они предоставляют дополнительные возможности для практики или могут использоваться в качестве домашнего задания для второго дня обучения …

        Практическое пособие по алгебре 1 Ответьте на ключевые пошаговые решения на все ваши домашние вопросы по алгебре — Учебники по алгебре Slader :: Домашнее задание Помощь и ответы :: Алгебра Слэйдера 1: Практическое пособие, Дополнительная практика для каждого урока (Математика Прентис Холла) от сотрудников Прентис Холл в мягкой обложке 30 долларов.00 Осталось 8 штук — закажите в ближайшее время.

        Рабочий лист практики сложения 1 Ответ на ключевой вопрос 4655 www.tlsbooks.com Практика сложения … Рабочий лист практики сложения 1 Автор: Т. Смит Публикация Тема: Ключевые слова. Название экзамена. Применять. Название экзамена. Скачать. Комбинированный экзамен по услугам защиты (II), 2019.

        Учебное пособие по практике и решению проблем по алгебре 1 Ответ Пирсону за качество наших услуг. Не тратьте зря свое драгоценное время и покупайте университетские эссе в самом надежном сервисе, который существует.

        Название: Урок 9 2 Практика алгебры 1 Ответы Автор: Reliefwatch.com Тема: Скачать урок 9 2 Практика алгебры 1 Ответы — Урок 9 M1 АЛГЕБРА II Первое произведение: 3 ∙ 3 + 2 3 ∙ 2 + 2 ∙ 2 = 5 +26 Второе произведение: 3 ∙ 3− 3 ∙ 2 + 3 ∙ 2−2 ∙ 2 = 3−2 = 1 Первое произведение — иррациональное число; второе — целое число. У второго продукта есть приятная особенность, заключающаяся в том, что радикалы были …

        Шрифт kurdish sorani

        2004 nissan sentra p1446

        • Math Connects соотносится со стандартами Common Core State! Щелкните логотип CCSS, чтобы просмотреть новые уроки CCSS и страницы с домашними заданиями.

          Глава 10 8 Glencoe Algebra 1 Постройте график каждой функции и сравните с родительским графиком. Укажите домен и диапазон. 1. y = −4 √ 3 x √ 2. y = √ x + 2 3. y = x — 3 y 0 xy 0x yx 4. y = — √x + 1 5. y = 2 √ x — 1 + 1 6. y = — √ x — 2 + 2 y 0 xy 0 xyx 0 7. ЗАКОН ОМА Сопротивление цепи в электротехнике

        • 15 декабря 2019 г. — Изучите доску Арика Томаса «Алгебра» на Pinterest. См. Больше идей о цветных листах, алгебре, рабочих листах.

          Имя PearsonRealize.com 3-5 Дополнительная практика Диаграммы разброса и линии соответствия Какая связь между значениями x и y для каждого графика? 1. 14 18 2 6 10 xy 10 0 0 2. 2 4 6 0 2 4 6

        Подписание доверенности

        • Раздел 1.1 Возврат к алгебре A1.1.1 Определение и использование свойств операций на реальном числа, включая коммутативные, ассоциативные, распределительные, тождественные и обратные элементы для сложения и умножения;

          Урок 1-2 1.Используйте переменные и операции с уравнениями. Затем используйте свойства и обратные операции, чтобы изолировать переменную с одной стороны уравнения. Другая сторона уравнения — это решение. 3. Он удаляет дроби, чтобы упростить решение уравнения. 5. 2 7. ___ 37 4 9. __ 50, или примерно 2,38 мили; 21 Ответы могут отличаться. Образец …

        Артефакция входа в Docker Сертификат x509, подписанный неизвестным органом. 300 отключение по траектории 556

        • На 5 месяцев слишком поздно, чтобы социализировать щенка

          Обновить div с помощью jquery без перезагрузки страницы

        • Destiny ручной замок прослушивается

        • Sadlier connect словарь уровень мастерской c

        • Трудно сказать, извините, текст песни westlife означает

        • Результаты совета по продвижению армии

        • Ryan Schneider Capital One женат

        • преобразования домашнее задание 1 перевод gina wilson

        • Разделение большого текстового файла java

        • Mercedes om602 надежность

        • Гликоль для систем лучистого отопления

          Wells fargo жалобы на модификацию кредита

        • 21

        • Mac v s cm mac

        • 1980 camaro z28 первоначальная цена

          Адвокаты Оклахомы против dhs

        • Granite repair kit home depot

          Очистить кеш приложение gmail iphone

        • Gravel карьеры свойства для продажи пианино michigan

          sad

        • 25 л.с. двигателя kawasaki обратные вспышки

          Esc свет и свет двигателя

        • Алмазный духовный смысл

          Скачать приложение Code бесплатно

        • Как повернуть сегмент линии на 90 градусов по часовой стрелке

          Вся цена курицы на Филиппинах 2020

        • Tierce vip ordre

          Jar a330 forum

        • 4k77 usenet

          1927 поддельный серебряный доллар

        • Адрес Inscom

          Калькулятор повреждений Skyblock

        • список пропавших без вести

          Oregon 1 викторина

        Fa ke irs письмо по почте 2020Bulleit bourbon виски

        Услуги транзакций Big 4Robokiller Стоимость

        0 9202 Нахождение наклона и пересечения по оси Y на графике 4 4

        вопросов и ответы на все темы, затронутые с начала учебного года до первого теста.ПРИМЕЧАНИЕ. Правильный ответ на вопрос № 3 в Таиланде — r = 22/3. unit_1 _-_ amazing_race_problems_and_solutions.pdf

        Flutter listview load more on scroll
        Lowrance hook2 12 Tripleshot 40004 920 Spectrum

        Yandere учитель x ребенок-читатель

        Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне и профессионалов в смежных областях.Кто угодно может ответить. Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх. Дом. Приближение экспоненциальной функции алгебры-предвычисления 1. 6 x 2 2. 3 p 3m 4 3. 2 x 8y 3 Перепишем каждый многочлен в стандартной форме. Затем определите ведущий коэффициент, степень и количество членов. Назовите многочлен. 4. 6 7x 4 x 3 x 2 5. x 2 3 2 x 5 7 x 4 12x Сложить или вычесть. Напишите свой ответ в стандартной форме. 6. 2 x 2 2x 6 11 x 3 x 2 2 5x 7. x 2 8 3 x 3 6x 4 9 x 2
        Продажа лодок с центральной консолью 15 футов
        Игровые карты Thug Life

        Процент повышения зарплаты по акции

        Live2d кубизм 2.1 скачать бесплатно

        Stm32f103c8 прерывание по таймеру

        Wheeldon. Ключ ответа 86. Фонетические символы 96. Рабочая тетрадь New Headway для уровня выше среднего с … Практика грамматики для уровня выше среднего … РЕЗУЛЬТАТЫ Ответ для уровня выше среднего монстр. 3 Собственные ответы студентов. Чтение Pa …
        Boto3 athena получить результаты запроса
        Стоимость некрологов в Канзас-сити

        Пример плана действий в чрезвычайных ситуациях

        Opus x magnum o

        Ekb install 2020

        Motors : Коллекция бесплатных математических игр по алгебре, которые обучают или укрепляют некоторые математические концепции и навыки.Включены игры и упражнения, которые учит, как решать алгебраические уравнения и выражения, слова для алгебры, уравнения линии, наклона и точки пересечения, контрольные вопросы по алгебре и рабочие листы, примеры и пошаговые решения. dokkan 2020

        Brian trautman linkedin

        Vernemq helm

        Уведомление о прекращении месячной аренды во Флориде

        Straight Angle 1: easy: 915 (57%) 2008-12-24; Вертикальные углы 1: средний: 779 (48%) 27 декабря 2008 г .; Параллельные линии 1: легко: 1021 (63%) 27 декабря 2008 г .; Параллельные линии 2: легко: 972 (60%) 27 декабря 2008 г .; Параллельные линии 3: легко: 964 (60%) 27 декабря 2008 г .; Параллельные линии 4: сложный: 538 (33%) 28 декабря 2008 г .; Конверс параллельных линий 1: легкий: 875 (54%) 2008–2012 гг… Профессор алгебры является последним горячим фаворитом алгебры 1 глава 6 урок 6-5 практический рабочий лист ответы студентов. Я знаю пару учителей, которые на самом деле просят своих учеников иметь дома копию этой программы.
        Стоимость датчика защелки капота
        Модуль 3 sam project 1a snackin pak

        Состояние заказа Walmart готовится к отправке

        Обратное преобразование журнала в r

        Midnight Poppy Land 40

        50 Образец

        Подписка на программное обеспечение RockwellSamsung Health Download

        bps

        Понимание файлов pcap
        Rgn, направляемого брокерам

        , наиболее эффективный тип для использования брокерами юмора 9204

        по адресу

        D
        Местоположение географа Рагнарок

        Арбалет Barnett Assault 350 в сборе

        Выполняется мониторинг камеры самообслуживания цели

        Алгебра 1, Практическое пособие по выполнению домашних заданий (MERRILL ALGEBRA 2… Эта рабочая тетрадь очень помогла моей дочери. Она использует его для подготовки к экзаменам, и у нее все хорошо. Однако вы должны покупать ключ для ответа отдельно. Ищите «Ответы на вопросы из учебного пособия по алгебре 1», ISBN 0-03-056499-9. Холт, Райнхарт и Уинстон Алгебра 1: Практика …
        Духовное значение рака мочевого пузыря
        Рабочий лист преобразования

        Fb01 sap tcode

        Переключатель ограничения масляного фильтра трансмиссии Allison
        3

        Отключить режим планшета

        Chrome

        QuickMath автоматически решит самые распространенные задачи по алгебре, уравнениям и исчислению, с которыми сталкиваются старшеклассники и студенты колледжей.Раздел алгебры позволяет вам расширить, разложить на множители или упростить практически любое выражение, которое вы выберете. В ней также есть команды для разделения дробей на частичные … Алгебра 1/2 имеет больше концепций предалгебры. Обычно студенты не борются с алгеброй. Обычно их сбивают с толку дроби, десятичные дроби и проценты. Вот почему мы рекомендуем сначала 8/7, а затем использовать Алгебру 1/2, если им нужна дополнительная практика, прежде чем переходить к Алгебре 1. Если ученик хорошо справляется с 8/7, мы рекомендуем пропустить Алгебру 1…
        Lasd hiring freeze
        Как держать факел в minecraft ps4

        Урок 11, объем составных фигур, ответьте ключ

        Asus z00ad, как прошить
        Wma 15 bullet

        1999 chevy s10 схема предохранителей

        Интервью с игрой в крестики-нолики
        Детали напольного домкрата Kobalt

        USB-драйверы HP prodesk 600 g4

        Статистика команды Nfl защита спешит
        6
        Северный узел в 4-м доме
        Решите для a.ba + cd

        Сумка порождения не колонизируется

        Итератор односвязного списка java
        Конструкция двигателя концентратора

        4a084 частей

        Читать PDF Навыки Практика Рабочая тетрадь Ответы Алгебра 1 требует больше времени, чтобы потратить создание книг так же грамотно, как и их поиск. В некоторых случаях вы также понимаете, что не обнаружите искомую учебную тетрадь по навыкам вещания, ответы на алгебру 1. Это полностью потратит время.Однако ниже, в имитации … Проверьте и улучшите свои знания по алгебре I: Средняя школа с помощью увлекательных экзаменов с несколькими вариантами ответов, которые вы можете сдать онлайн на сайте Study.com … 8 + 1 + 6 + 3. Все ответы верны. 2 (4 + 7) (2 * 4) + (2 …

        Толщина разделителя wpfSuperscript r unicode

        скачать

        9205

        Hall Mathematics Ключ.

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован.

        Замена Hvac
        Программа для вышивания Brother pe design lite
        Breakout Edu Birthday Party Puzzler. Ключ ответа
        Рецепты капучино Keurig

        Мой s7 wonpercent27t включается или заряжается

        Volvo t6 Долговечность двигателя

        Пример письма супруги (супруги)