Y модуль x 3: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи




1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
3 Вычислить 5+5
4 Вычислить 7*7
5 Разложить на простые множители 24
6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
9 График y=x+1
10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
11 Найти площадь поверхности сфера (3)
12 Вычислить 54-6÷2+6
13 График y=-2x
14 Вычислить 8*8
15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
17 График y=2
18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
19 Вычислить 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22 График y=x+4
23 График y=-3
24 График x+y=3
25 График x=5
26 Вычислить 6*6
27 Вычислить 2*2
28 Вычислить 4*4
29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30 Вычислить 1/3+13/12
31 Вычислить 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
34 График y=-2
35 Определить наклон y=6
36 Перевести в процентное соотношение 9
37 График y=2x+2
38 График y=2x-4
39 График x=-3
40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
42 Преобразовать в десятичную форму 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Вычислить 16*4
45 Упростить кубический корень 125
46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
47 График x=1
48 График y=6
49 График y=-7
50 График y=4x+2
51 Определить наклон y=7
52 График y=3x+4
53 График y=x+5
54 График 3x+2y=6
55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
60 Разложить на простые множители 14
61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Упростить x
64 Вычислить 6*4
65 Вычислить 6+6
66 Вычислить -3-5
67 Вычислить -2-2
68 Упростить квадратный корень 1
69 Упростить квадратный корень 4
70 Найти обратную величину 1/3
71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
76 График 3x+4y=12
77 График 3x-2y=6
78 График y=-x-2
79 График y=3x+7
80 Определить, является ли полиномом 2x+2
81 График y=2x-6
82 График y=2x-7
83 График y=2x-2
84 График y=-2x+1
85 График y=-3x+4
86 График y=-3x+2
87 График y=x-4
88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
89 График 2x-3y=6
90 График x+2y=4
91 График x=7
92 График x-y=5
93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

Постройте график функции и найдите значение k

Постройте график функции y=|x-3|-|x+3| и найдите значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение:

Разберем как строить график с модулем.

y=|x-3|-|x+3|

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=(x-3)-((x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=(x-3)-(+(x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+(x-3)-(+(x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три. Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U[0;+∞) прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

как построить – сложное простыми словами — ЕГЭ/ОГЭ

График модуля, как построить – очень просто. Особенно, если знать несколько закономерностей. О них расскажу в статье. С помощью них вы поймете как построить график модуля легко и играючи. Без поиска пробных точек.

На самом деле построение графиков функций с модулями – это удовольствие. Раньше они вызывали у вас в лучшем случае пренебрежение? Забудьте – после прочтения статьи вы будете первым по скорости построения графика.

 

 

Построение различных видов графиков, содержащих модуль:

 

  • Воландеморт среди модулей
  • Как калькулятор может помочь при построении графика?
  • Как построить график модуля и одновременно решить уравнение
  • Война среди модулей

 

Господа, перед тем, как мы приступим к светской беседе с модулем. (В которой отдадим дань уважения каждому его виду). Я бы хотел обратить ваше внимание, что модуль никогда не бывает отрицательным. Отсюда и все особенности его графика.

Подмечайте фишки каждой функции, но главное – держите в голове его «неотрицательность».

Главный миф о сложности графиков модуля – полный модуль по правой части

Забудьте сказки про сложность модуля – ведь теперь вы скоро узнаете о методе «Зеркало».

Модуль всей правой части y = |f(x)| отражает график относительно оси X. Все, что было под осью Ox зеркально отражается наверх.

Почему так? Обратите внимание, что значение функции (то есть y) является результатом вычисления модуля. Оно не может быть отрицательным. Согласны? Значит, его заменяют на противоположное ему по знаку. А в построении функций эти зеркальные превращения и есть смена знака у функции.

Уже чувствуете себя как Алиса в Зазеркалье? Ничего страшного – объясню на примере:

Пример: y = |X – 3|

Видите, график функции y = |X – 3| состоит из двух ветвей. Первая y = X – 3, а вторая y = – (X – 3) = 3 – X. Все по определению модуля – не придраться. Зеркально отраженная функция и есть противоположная по знаку той, которую отражали.

Можете так себя проверять – сначала просто отзеркальте конец, который улетает в отрицательную бесконечность (под ось Ох). А потом посмотрите, действительно ли он совпадает с минусовой версией подмодульного выражения. Уверяю, если вы были аккуратны – совпадет.

*Читайте понятное определение модуля в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». После ее прочтения вы научитесь расправляться со всеми видами уравнений с модулем с помощью всего 1 инструкции!

А теперь перейдем к функции, которая заставляет поежиться от недовольства слишком многих. Если б они знали, что ее настолько просто начертитить…то стали бы решать уравнения с ней только графически.

Воландеморт среди модульных функций — Полный модуль по правой части

Модуль всей левой части |y| = f(x) отражает график относительно оси X. Все, что было над осью Oх зеркально отражается вниз.

 

 

 

Смотрим, что является результатом вычисления подмодульного выражения? Ага, все, что стоит справа. Значит, в данном случае Рубиконом является ось Oy – отзеркаливаем относительно нее.

Пример: |y| = X – 3

Мы разобрали две базы графиков с модулями. Дальше уже идут вариации с дополнительными математическими па: поднимите график, опустите, сузьте – расширьте. Давайте и их разберем!

 

 

Как калькулятор может помочь при построении графика? — График содержащий модуль

 

 

Это пример сложной функции, такие функции строятся по этапам. Сложной – не потому что она поддается только сильнейшим умам. Просто в ней собрано несколько последовательных действий: модуль и сложение с «потусторонним членом».

С такими функциями работает способ «калькулятор».

Представьте, что вам нужно вычислить выражение: (217 – 327)/72. С чего вы начнете? Вероятно, с возведения в степень, продолжите подсчетом числителя и только потом перейдете к делению. Будете идти от малого к большому.

Тот же метод работает и со сложной функцией. Начните с ядра и продолжайте справляться со всеми остальными прибамбасами вокруг него.

Пример: y = |x–3| + 5 ( ядром является график прямой y=x-3)

1. Y = X – 3                 {строим график прямой}

 

2. Y = |X –3|                {отражаем график относительно оси X}

 

3. Y = |X – 3| + 5        {поднимаем график 2. на +5}.

 

Вспомните суперспособности графиков – положительное число поднимает график, а отрицательное опускает (вверх/вниз относительно оси Ox). Причем, нет ничего страшного в том, что модульная галка окажется под прямой Ox (в отрицательной области) – это необходимые последующие действия с графиком.

Иногда в качестве «потустороннего члена» выступает переменная. Тут уж хитрить с отражениями и подниманиями – не получится. Придется раскрывать алгебраически модуль для каждого интервала – и уже по вычисленному выражению чертить ветви графика.

О том, как легко раскрыть модуль – написано в статье – Решение уравнений с модулем.

А мы двигаемся навстречу забора из модуля. По правде, такой вид функций очень полезно уметь чертить. Этот скилл способен сэкономить вам время. Ведь частенько по графику намного точнее и проще найти корни уравнения такого вида.

Как построить график модуля и одновременно решить уравнениеМодуль внутри модуля

Пример: y = ||X–2|–3|

{Порядок действий как при работе со сложной функцией – пользуемся методом «Калькулятор»}

1. Y = X – 2

2. Y = |X – 2|

 

3. Y = |X – 2|–3

4. Y = ||X – 2|–3|

Согласитесь, что раскрывать уравнения такого типа довольно муторно. Да и велик риск просчитаться. Начертить график и по нему оценить корни (иногда точно их посчитать) супер просто.

Поэтому графический метод решения уравнений нужно эксплуатировать на все 100% именно в этом случае.

 

 

 

 

Теперь нас ждет один из самых непредсказуемых графиков из всего рода модулей. Никогда не знаешь, что именно он приподнесет. Но и с этой неприятной неожиданностью научимся работать)

 

 

 

Война среди модулей — Несколько модулей

Что делать если в бой вступает сразу несколько модулей? – К сожалению, бороться с ними приходится с помощью арифметики и алгебры. Приходится аккуратно раскрывать на разных областях. Так же, как при решении модульных уравнений – алгебраически.

*Подробнее о том, как раскрывать модуль читайте в статье «Простая инструкция: как решать любые уравнения с модулем». В ней на пальцах объяснено, как раскрыть забор из модулей и НЕ запутаться.

Y = |X–2|+|X+2|

I ) X ∈ (–∞;–2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «–»}

Y1 = – (X – 2) – (X + 2)

Y1 = – X + 2 – X – 2

Y1 = –2X

II ) X ∈ (–2;2] {1 модуль с «–» , 2 модуль с «+»}

Y2 = – (X – 2) + (X + 2)

Y2 = – X + 2 + X + 2

Y2 = 4

III) X ∈ (2; +∞) {1 модуль с «+» , 2 модуль с «+»}

Y3 = (X – 2) + (X + 2)

Y3 = 2X

Вот такая галочка получилась из трех кусочков различных функций. 2 или y=1/x. А как строить графики со знаком модуля?

Задача 1. Построить графики функций y=|x| y=|x-1|.
Решение. Сравним его с графиком функции y=|x|.При положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучём, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| — чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:

y=|x|


Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).


Теперь график y=|x-1|. Если А — точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). (Почему?) Эту точку второго графика можно получить из точки А(a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1.

Построим графики:

y=|x-1|


Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Это была простенькая задачка. Теперь то, что многих приводит в ужас.

Задача 2. Постройте график функции y=3*|x-4| — x + |x+1|.
Решение. Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль, т.е. так называемые «критические» точки функции. Такими точками будут х=-1 и х=4. В этих точках подмодульные выражения могут изменить знак.

Пусть x<-1. Тогда х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Пусть -1< = x < = 4. Тогда х+1>0, |x+1|=x+1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
Пусть х>4. Тогда х+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |x-4|=x-4; Следовательно у= 3(х-4)-х+х+1= 3х-11. 2 — |x| — 3|

Итак, всем спасибо! Теперь мы получили ту базу знаний, необходимую для построения графиков со знаком модуля! А то его так все боятся.

Вот ссылка, которая поможет вам проверить ваши построения:

Методы построения графиков функций содержащих модуль

Цель урока:

  • повторить построение графиков функций
    содержащих знак модуля;
  • познакомиться с новым методом построения
    графика линейно-кусочной функции;
  • закрепить новый метод при решении задач.

Оборудование:

  • мультимедиа проектор,
  • плакаты.

Ход урока

Актуализация знаний

На экране слайд 1 из презентации.

Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).

(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных
углов)

Найдите соответствие между функциями и
графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).

Рисунок 1

y=| x+3|

y=| x| +3

y=-2| x| -2

y=6-| x-5|

y=1/3| x-6| -3

Расскажите алгоритм построения графиков
функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x2-2x-3|
(слайд 4)

Ученик: чтобы построить график данной функции
нужно

— построить параболу y=x2-2x-3

— часть графика над ОХ сохранить, а часть
графика расположенную ниже ОХ отобразить
симметрично относительно оси ОХ (слайд 5)

Рисунок 2

Рисунок 3

Расскажите алгоритм построения графиков
функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x2-2|x|-3
(слайд 6).

Ученик: Чтобы построить график данной функции
нужно:

— построить параболу.

— часть графика при х 0
сохраняется и отображается симметрии
относительно оси ОУ (слайд 7)

Рисунок 4

Расскажите алгоритм построения графиков
функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x2-2|x|-3|
(слайд 8).

Ученик: Чтобы построить график данной функции
нужно:

— нужно построить параболу у=x2-2x-3

— строим у= x2-2|x|-3, часть графика сохраняем
и симметрично отображаем относительно ОУ

— часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть
симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)

Рисунок 5

Следующее задание выполняем письменно в
тетрадях.

1. Построить график линейно-кусочной
функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Ученик на доске с комментарием:

— находим нули подмодульных выражений х1=-2,
х2=1, х3=3

— разбиваем ось на промежутки

— для каждого промежутка запишем функцию

при х < -2, у=-х-4

при -2 х<1, у=х

при 1 х<3, у = 3х-2

при х 3, у = х+4

— строим график линейно-кусочной функции.

Мы с вами построили график функции используя
определение модуля (слайд 10).

Рисунок 6

Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”,
который позволяет строить график
линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм
построения дети записывают в тетрадь.

Метод вершин

Алгоритм:

  1. Найдем нули каждого подмодульного выражения
  2. Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем
    по одному значению аргумента слева и справа
  3. Нанесем точки на координатную плоскость и
    соединим последовательно

2. Разберем этот метод на той же функции
у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Учитель на доске, дети в тетрадях.

Метод вершин:

— найдем нули каждого подмодульного выражения;

— составим таблицу, в которой кроме нулей
запишем по одному значению аргумента слева и
справа

х -3 -2 1 3 4

у -1 -2 1 7 8

— нанесем точки на координатную плоскость и
соединим последовательно.

Графиком линейно-кусочной функции является
ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд
12) .

Рисунок 7

Каким же методом график получается быстрее и
легче?

3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю
выполнить следующее задание:

При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1|
принимает наибольшее значение.

Следуем алгоритму; ученик на доске.

у=|х-2|-|х+1|

х1=2, х2=-1

у(-2)=4-1=3

у(-1)=3

у(2)=-3

у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.

унаиб = 3

4. Дополнительное задание

При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет
два корня.

5. Домашняя работа

а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2|
принимает наименьшее значение.

б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) — возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак — как у числа Y.

math.fabs(X) — модуль X.

math.factorial(X) — факториал числа X.

math.floor(X) — округление вниз.

math.fmod(X, Y) — остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) — возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) — X * 2i. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) — сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) — является ли X числом.

math.isinf(X) — является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) — является ли X NaN (Not a Number — не число).

math.modf(X) — возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) — усекает значение X до целого.

math.exp(X) — eX.

math.expm1(X) — eX — 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) — логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) — натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) — логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) — логарифм X по основанию 2. Новое в Python 3.3.

math.pow(X, Y) — XY.

math.sqrt(X) — квадратный корень из X.

math.acos(X) — арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) — арксинус X. В радианах.

math.atan(X) — арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) — арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math.cos(X) — косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) — синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) — тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) — вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) — конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) — конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) — вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) — вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) — вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) — вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) — вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) — вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) — функция ошибок.

math.erfc(X) — дополнительная функция ошибок (1 — math.erf(X)).

math.gamma(X) — гамма-функция X.

math.lgamma(X) — натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi — pi = 3,1415926…

math.e — e = 2,718281…

Модуль числа | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 🙂 Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.

Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.

Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например,  Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например,

Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен:

Определение модуля

Вот оно:

От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.

Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию 🙂

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например,  так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или:  так так как выражение под модулем неположительно при любых z.

Геометрическая интерпретация модуля

Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.

Рассмотрим простейшее уравнение . Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения  есть два решения: x = 3 и x = −3.

Вообще, если имеются два числа a и b, то равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)

Ясно, что (расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки до точки a).

Решим уравнение . Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.

Перейдём к неравенствам. Решим неравенство .

Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Ответ: (-11; -3).

Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ:

График функции 

Этот график надо знать обязательно. Для имеем y = x. Для имеем y = −x. В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.

Корень из квадрата

Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить , где – некоторое число или выражение. Не забывайте, что 

Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Оно равно при и при , т. е. как раз .

Примеры заданий ЕГЭ

1. Найдите значение выражения при .
Заметим, что при . Следовательно, значение нашего выражения равно: .

2. Найдите значение выражения при .

Действуем аналогично:

В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.

Читайте также: Уравнения с модулем

Графические функции абсолютных значений | Purplemath

Purplemath

Принятие абсолютного значения отрицательного числа делает его положительным. По этой причине графики функций абсолютных значений имеют тенденцию не совсем походить на графики линейных функций, которые вы уже изучили. Однако из-за того, как ведут себя абсолютные значения, важно включать отрицательные входные данные в вашу Т-диаграмму при построении графиков функций абсолютных значений.Если вы не выберете значения x , которые поместят отрицательные значения внутри абсолютного значения, вы обычно будете вводить себя в заблуждение относительно того, как выглядит график.

Например, предположим, что ваш класс проходит следующую викторину:

MathHelp.com

Один из других учеников делает то, что обычно делает: он выбирает только положительные значения x для своей Т-диаграммы:

Затем он наносит на график свои очки:

Эти очки хороши, насколько они идут, но их недостаточно; они не дают точного представления о том, как должен выглядеть график.В частности, они не включают никаких «минусовых» входов, поэтому легко забыть, что эти столбцы абсолютных значений означают что-то . В результате ученик забывает учесть эти столбцы и рисует ошибочный график:

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ!

Аааааа … он просто завалил викторину.

Но вы более осторожны.Вы помните, что графики абсолютных значений включают абсолютные значения, и что абсолютные значения влияют на «минусовые» входные данные. Итак, вы выбираете значения x , которые ставят «минус» внутри абсолютного значения, и выбираете еще несколько точек. Ваш T-график выглядит примерно так:

Затем вы наносите свои очки:

… и, наконец, вы соединяете свои точки:

У вас есть правильный график:

Правильный ответ!

Ааааанд… вы только что успешно прошли тест. Хорошая работа!


Хотя графики абсолютных значений имеют тенденцию выглядеть так, как показано выше, с «локтем» посередине, это не всегда так. Однако, если вы видите график с таким изгибом, вы должны ожидать, что уравнение графика, вероятно, включает в себя абсолютное значение. Во всех случаях вы должны позаботиться о том, чтобы выбрать хороший диапазон значений x , потому что три соседних значения x почти наверняка не дадут вам достаточно информации, чтобы нарисовать достоверную картину.

Примечание. Полосы абсолютных значений позволяют оценивать введенные значения как всегда неотрицательные (то есть положительные или нулевые). В результате буква «V» на приведенном выше графике появилась там, где знак внутри был равен нулю. Когда x было меньше –2, выражение x + 2 было меньше нуля, и столбцы абсолютных значений перевернули эти «минусовые» значения из-под оси x вверх. Когда x равняется –2, аргумент (то есть выражение внутри столбцов) равен нулю.Для всех значений x справа от –2 аргумент был положительным, поэтому столбцы абсолютных значений ничего не меняли.

Другими словами, графически столбцы абсолютных значений занимают этот график:

… и перевернул «минус» (зеленый на графике) снизу оси x на верхнюю. Замечание, где аргумент столбцов абсолютного значения будет равен нулю, может быть полезным для проверки правильности построения графика.


Эта функция почти такая же, как и предыдущая.

Однако аргумент предыдущего выражения абсолютного значения был x + 2. В этом случае только x находится внутри столбцов абсолютного значения. Этот аргумент будет равен нулю, когда x = 0, поэтому я должен ожидать увидеть локоть в этой области. Кроме того, поскольку «плюс два» находится за пределами столбцов абсолютных значений, я ожидаю, что мой график будет выглядеть как обычный график абсолютных значений (представляющий собой букву «V» с изгибом в начале координат), но смещенный вверх на две единицы. .

Сначала я заполню свою Т-диаграмму, выбирая по ходу несколько отрицательных значений x :

Затем нарисую точки и заполню график:


Партнер


Поскольку столбцы абсолютных значений всегда показывают неотрицательные значения, может возникнуть соблазн предположить, что графики абсолютных значений не могут опускаться ниже оси x .Но могут:

  • График

    y = — | x + 2 |

Эта функция является своего рода противоположностью первой функции (выше), потому что в выражении абсолютного значения в правой части уравнения стоит «минус». Из-за этого «минуса» все положительные значения, предоставленные столбцами абсолютных значений, будут переключены на отрицательные значения.Другими словами, я должен ожидать, что этот график будет иметь изгиб в точке (–2, 0), как и первый график выше, но остальная часть графика будет перевернута вверх дном, чтобы оказаться ниже оси x .

Сначала я заполню свою Т-диаграмму:

Затем делаю свой график:


Также не предполагайте, что какой-либо график абсолютных значений всегда будет находиться только на одной стороне оси x .Графики могут пересекаться:

  • График

    y = — | x | + 2

Моя Т-диаграмма:

… и мой график:


URL: https: // www.purplemath.com/modules/graphabs.htm

Функция модуля

Функция модуля y = │x│

Абсолютное значение x определяется как

Это всегда дает положительный результат.

Пример

y = 3x 2 + 6x-2 имеет график

В то время как

y = | 3x² + 6x − 2 | имеет график

Обратите внимание, как были отрицательные части
отражается по оси абсцисс.

Пример

y = | 3tanx |

y = | 3x + 2 |

Нечетные и четные функции

Нечетные функции имеют полуоборотную симметрию относительно начала координат,
поэтому f (-x) = — f (x)

Пример

y = x 3

y = x 5 −3x

Пример

Покажите, что x 5 + 3x 3 — нечетная функция.

Четные функции симметричны относительно оси y
поэтому f (-x) = f (x)

Пример

y = x 4 — 1

Пример

Является ли x 6 + 3x 2 четной функцией?

Асимптоты

Калькулятор асимптот Symbolab

Асимптота кривой — это прямая линия,
кривая приближается, но не достигает.

Пример f (x) = 1 / x

График y = 1 / x имеет вертикальную асимптоту x = 0
и горизонтальная асимптота y = 0.

Слева от прямой x = 0 f (x) стремится к — ∞
поскольку x стремится к нулю.

Справа от прямой x = 0 f (x) стремится к ∞
поскольку x стремится к нулю.

Пример f (x) = (x-3) / (x 3 +1)

График y = (x-3) / (x 3 +1) имеет вертикальную асимптоту x = -1
и горизонтальная асимптота y = 0.

Слева от линии x = -1, f (x) стремится к ∞
поскольку x стремится к -1.

Справа от прямой x = -1, f (x) стремится к -∞
поскольку x стремится к -1.

Пример f (x) = (x + 1) (x − 3) / (x + 3) (x − 4)

График имеет вертикальные асимптоты x = -3 и x = 4
и горизонтальная асимптота y = 1

Нахождение асимптоты

Вертикальные асимптоты находятся с учетом
что делает знаменатель нулевым.

Требуется горизонтальная и наклонная асимптоты
немного дальнейших действий.

Используйте алгебраическое деление, чтобы уменьшить функцию.
Частное становится асимптотой.

Пример
Найти асимптоты функции

Альтернативно: —

Можно найти асимптоты, параллельные оси x
приравнивая коэффициент максимальной мощности
x до нуля.Те, которые параллельны оси y, могут быть
найдено приравниванием максимального коэффициента
y к нулю.

Чтобы найти наклонные асимптоты, подставьте y = mx + c
в уравнение и приравняем коэффициенты
двух старших степеней x к нулю.

Пример

Построение асимптоты

Чтобы набросать функцию, которая имеет асимптоты, выполните следующие действия: —

  • Определите любые вертикальные асимптоты
  • Определите любые горизонтальные или наклонные асимптоты
  • Определите точку пересечения оси y
  • Определите точку пересечения по оси x
  • Найти стационарные точки
  • Определить характер стационарных точек
  • Исследуйте, что происходит, когда значения приближаются к бесконечности
  • Набросок и аннотации

Пример

Используя приведенный выше пример, нарисуйте функцию

Вертикальные асимптоты находятся при нулевом знаменателе:

Горизонтальные и наклонные асимптоты находятся делением на дробь:

Перехват по оси y происходит, когда x = 0

Перехват по оси x происходит, когда y = 0

Чтобы найти стационарные точки, установите первую производную
функции до нуля, затем факторизуйте и решите.

Нарисуйте график

Другой пример

набросок функции

Вертикальные асимптоты:

У — перехват:

Х — перехват:

Стационарных точек:

Найдите характер поворотных точек

Эскиз

© Александр Форрест

Абсолютное значение в алгебре

Абсолютное значение означает…

насколько число от нуля:

«6» отстоит от нуля на 6,
и «−6» отстоит от также на 6 от нуля.

Таким образом, абсолютное значение 6 равно 6 ,
, а абсолютное значение −6 также равно 6

Символ абсолютного значения

Чтобы показать, что нам нужно абсолютное значение, мы помещаем «|» отмечает обе стороны (называемые «стержнями»), как в этих примерах:

Символ «|» находится чуть выше клавиши ввода на большинстве клавиатур.

Более формальный

Формально:

Что говорит о том, что абсолютное значение x равно:

  • x, когда x больше нуля
  • 0, когда x равно 0
  • −x, когда x меньше нуля (это «переворачивает» число обратно в положительное значение)

Итак, когда число положительное или нулевое, мы оставляем его в покое, когда оно отрицательное, мы меняем его на положительное с помощью −x.

Пример: что такое | −17 | ?

Ну, это меньше нуля, поэтому нам нужно вычислить «−x»:

— (−17) = + 17

(Потому что два минуса составляют плюс)

Полезные свойства

Вот некоторые свойства абсолютных значений, которые могут быть полезны:

  • | а | ≥ 0 всегда!

    В этом есть смысл… | а | никогда не может быть меньше нуля.

  • | а | = √ ( 2 )

    Возведение a в квадрат делает его положительным или нулевым (для a как действительного числа). Тогда извлечение квадратного корня «отменит» возведение в квадрат, но оставит его положительным или нулевым.

  • | a × b | = | а | × | b |

    Значит это то же самое:

    • абсолютное значение (a, умноженное на b), и
    • (абсолютное значение a) раз (абсолютное значение b)

    Что также может быть полезно при решении

  • | u | = a то же самое, что и u = ± a, и наоборот

    Что часто является ключом к решению большинства вопросов абсолютной ценности.

Пример: Решить | x + 2 | = 5

Использование «| u | = a то же самое, что и u = ± a «:

это: | x + 2 | = 5

то же самое, что и это: x + 2 = ± 5

У которого есть два решения:

х + 2 = -5 х + 2 = +5
х = −7 х = 3

Графически

Давайте изобразим этот пример:

| x + 2 | = 5

Легче построить график, когда у нас есть уравнение «= 0», поэтому вычтем 5 с обеих сторон:

| x + 2 | — 5 = 0

Итак, теперь мы можем построить y = | x + 2 | −5 и найти, где оно равно нулю.

Вот график y = | x + 2 | −5, но ради удовольствия давайте построим график , сдвинув его примерно на :

Начать с y = | x | , затем сдвиньте его влево, чтобы
получилось y = | x + 2 |
, затем сдвиньте его вниз, чтобы
получилось y = | x + 2 | −5

И два решения (в кружке): −7 и +3.

Неравенства абсолютных значений

Смешивание абсолютных ценностей и неравенств требует некоторой осторожности!

Есть 4 неравенства:

< >
менее меньше чем

или равно
больше больше чем

или равно

меньше, меньше или равно

Используя «<» и «≤», мы получаем один интервал с центром в нуле:

Пример: Решить | x |

<3

Это означает, что расстояние от x до нуля должно быть меньше 3:

.

Все, что находится между (но не включая) -3 и 3

Его можно переписать как:

−3 <х <3

В качестве интервала можно записать:

(-3, 3)

То же самое работает для «Меньше или равно»:

Пример: Решить | x | ≤ 3

Все между , включая -3 и 3

Его можно переписать как:

−3 ≤ х ≤ 3

В качестве интервала можно записать:

[−3, 3]

Как насчет более крупного примера?

Пример: Решить | 3x-6 | ≤ 12

Записать как:

−12 ≤ 3x − 6 ≤ 12

Добавить 6:

−6 ≤ 3x ≤ 18

Наконец, умножьте на (1/3).Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся:

−2 ≤ х ≤ 6

Готово!

В качестве интервала можно записать:

[−2, 6]

больше, больше или равно

Это другое … мы получаем два отдельных интервала :

Пример: Решить | x | > 3

Это выглядит так:

до -3 или начиная с 3

Его можно переписать как

x <−3 или x> 3

В качестве интервала можно записать:

(−∞, −3) U (3, + ∞)

Осторожно! Не записывайте как

−3> х> 3

«x» не может быть меньше -3 и больше 3 одновременно

Это действительно:

x <−3 или x> 3

x меньше −3 или больше 3

То же самое работает для «Больше или равно»:

Пример: Решить | x | ≥ 3

Можно переписать как

x ≤ −3 или x ≥ 3

В качестве интервала можно записать:

(−∞, −3] U [3, + ∞)

График функции модуля

В этом уроке мы научимся строить графики таких функций, как | x — 4 |, | x + 1 |, | 2x — 1 | и т. Д.

Для их построения мы снова воспользуемся определением, как и для | x |. Начнем с первого.

\ (| x — 4 | = \ left \ {\ begin {matrix}
x, & когда \ x \ ge4 \\
-x, & когда \ x <4
\ end {matrix} \ right. \)

Это означает, что для построения графика y = | x — 4 | мы должны построить график

.

y = x — 4, когда x ≥ 4

y = 4 — x, когда x <4

То есть для x ≥ 4 мы нарисуем линию, наклон которой равен 1, а пересечение оси y равно –4.Для x <4 мы нарисуем линию с наклоном –1 и пересечением по оси y 4.

А вот как бы выглядел график.

Это похоже на график | x |, но «сдвинут» вправо.

Попробуем второй. Вернемся к определению.

\ (| x + 1 | = \ left \ {\ begin {matrix}
x + 1, & когда \ x \ ge-1 \\
-x-1, & когда \ x <-1
\ end {matrix } \ right. \)

Это означает, что для построения графика y = | x + 1 | мы должны построить график

.

y = x + 1, когда x ≥ –1

y = –x — 1, когда x <–1

А вот как бы выглядел график.

Еще раз, аналогично графику | x |, но со смещением влево.

Вы видите закономерность? Можете ли вы построить график | x — 2 | и | x + 3 |?

Вот они.

| x — 2 |

| x + 3 |

Если вы не можете понять, почему графики должны выглядеть так, попробуйте следовать определению, как в первых двух случаях.

Возьмем последний пример, | 2x — 1 |.

\ (| 2x — 1 | = \ left \ {\ begin {matrix}
2x-1, & когда \ x \ ge1 / 2 \\
-2x + 1, & когда \ x <1/2
\ end { матрица} \ right. \)

Это означает, что для построения графика y = | 2x — 1 | мы должны построить график

.

y = 2x — 1, когда x ≥ 1/2

y = –2x + 1, когда x <1/2

А вот как бы выглядел график.

А вот апплет, который показывает график y = | ax + b |.

Перетащите ползунки, чтобы изменить значения a и b, и посмотрите, как изменится график.На что обратить внимание

  • график всегда имеет V-образную форму
  • график всегда лежит выше оси X (кроме одной точки)
  • крутизна «V» контролируется
  • расположение вершины контролируется b (и a)

Вот и все на этом уроке. В ближайшее время мы будем использовать эти графики для решения уравнений и неравенств. Это будет весело!

2. Площадь под кривой путем интегрирования

М.Борн

Мы встречали области под кривыми ранее в разделе «Интеграция» (см. 3. Область под кривой), но здесь мы развиваем концепцию дальше. (Вас также может заинтересовать Архимед и область параболического сегмента, где мы узнаем, что Архимед понимал идеи, лежащие в основе исчисления, на 2000 лет раньше, чем это сделали Ньютон и Лейбниц!)

Перед тем, как начать, важно обрисовать ситуацию.

Мы хотим найти площадь под кривой `y = f (x)` от `x = a` до` x = b`.1`

`= (1 / 4-16 / 4)`

`= -15 / 4`

`= -3,25`

Это , а не , правильный ответ для площади под кривой. Это — это значение интеграла, но ясно, что площадь не может быть отрицательной.

Всегда лучше нарисовать кривую, прежде чем искать области под кривыми.

Резюме (на данный момент)

В каждом из случаев 1, 2 и 3 мы суммируем элементы слева направо, например:

Мы (эффективно) находим область на по горизонтали
добавляем площади прямоугольников шириной `dx` и
высоты `y` (которые мы находим, подставляя значения` x` в `f (x)`).bf (x) dx`

(со знаками абсолютного значения, где
необходимо, если кривая идет под осью `x`).

Случай 4: Некоторые кривые намного проще суммировать по вертикали

В некоторых случаях площадь легче найти, если взять вертикальных сумм. Иногда единственный возможный способ — суммировать по вертикали.

В данном случае площадь равна сумме прямоугольников, высот `x = f (y)` и ширины `dy`.

Если нам задано `y = f (x)`, то нам нужно перевыразить это как `x = f (y)`, и нам нужно суммировать снизу вверх.df (y) dy`

Пример дела 4

Найдите площадь области, ограниченной кривой `y = sqrt (x-1)`, осью `y` и линиями` y = 1` и `y = 5`.

Ответ

Первый эскиз:

51015202530123456xy

x

dy

x = y 2 + 1

Кривая x = y 2 + 1, показывающая часть «под» кривой от y = 1 до y = 5.5`

`= 45 1/3 \ text [квадратные единицы]`

Примечание: В этом конкретном примере мы могли бы также суммировать его по горизонтали (интегрируя `y` и используя` dx`), но сначала нам нужно будет разбить его на части.

Нарисуйте график y = | x + 3 | и вычислить интеграл | x + 3 | от -6 до 0.

Knockout JEE Main April 2021 (один месяц)

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Наставничество от наших экспертов,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

14000 ₹ / —

4999 / —

купить сейчас

Нокаут NEET, август 2021 г. (один месяц)

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Наставничество от наших экспертов,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

14000 ₹ / —

4999 / —

купить сейчас

Knockout JEE Main Май 2021 г.

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Наставничество от наших экспертов,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

22999 ₹ / —

9999 ₹ / —

купить сейчас

Нокаут NEET Август 2021 г.

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Наставничество от наших экспертов,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

22999 ₹ / —

9999 ₹ / —

купить сейчас

Серия тестов JEE Main May 2021

Мудрые тесты без ограничений по главам,
Неограниченные предметные мудрые тесты,
Неограниченные полные пробные тесты,
Получите персонализированный отчет об анализе производительности.

6999 / —

2999 / —

купить сейчас

Функция абсолютного значения, функция модуля

| x | всегда положительный, независимо от того, начали ли мы с + x или -x.

| y | всегда положительный, независимо от того, начали ли мы с + y или -y.

Сложив или вычтя их без абсолютных значений, вы получите один из четырех возможных результатов:

(+ x) + (+ y) или (+ x) + (-y) или (-x) + (+ y) или (-x) + (-y)

Поскольку оба имеют одинаковый знак (xy> 0), это первое утверждение всегда верно, оно верно даже для x> y во втором утверждении. Но второе утверждение, | x | — | y | = | x — y | тогда xy <0 кажется ложным.

Сначала разберемся со сложением … Мы будем использовать x = 3 и y = 10 для наших примеров:

Оба отрицательные: -3 + (-10) = -13.

Оба положительных: 3 + 10 = 13.

Итак, пока оба числа имеют одинаковый знак (именно это означает xy> 0), ответ будет ± 13. Как только вы поместите это в абсолютное значение, оба результата будут положительными 13 и | x | + | y ​​| = | x + y |

Значение | -3 | + | -10 | = 3 + 10 = 13 (индивидуальные значения абс) и

| (-3) + (-10) | = | -13 | = 13 (объединены в один абс) (13 = 13, так что работает)

| x | + | y ​​| = | х + у | если оба числа имеют одинаковый знак (xy> 0)

Здесь оба числа положительные:

| 3 | + | 10 | = 3 + 10 = 13 и | 3 + 10 | = | 13 | = 13 (13 = 13 так работает)

С другой стороны, если одно положительное, а другое отрицательное, вы, по сути, вычитаете.

Например, -3 + 10 = 7 или 3 + (-10) = -7

С разными знаками вы получите +7 или -7 в зависимости от порядка вычитания. Если вы поместите любой из этих результатов в абсолютное значение, вы получите ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ 7.

Все четыре случая с вычитанием, когда x

Оба положительных: | 3 | — | 10 | = 3 — 10 = -7 и вместе внутри | 3-10 | = | -7 | = 7 (-7 ≠ 7 так не получится!)

Оба отрицательных: | -3 | — | -10 | = 3 — 10 = -7 и вместе внутри | -3 — (-10) | = | 7 | = 7 (-7 ≠ 7 так не получится!)

Различных знаков (xy <0):

Негатив «3» и положительный «10»: | -3 | — | 10 | = 3 — 10 = -7 и вместе внутри | -3 — 10 | = | -13 | = 13 (-7 ≠ 13 так не получится!)

Негатив 10 и 3 позиции: | 3 | — | -10 | = 3 — 10 = -7 и вместе внутри | 3 — (-10) | = | 3 + 10 | = 13 (-7 ≠ 13 так не получится!)

Второй, | x | — | y | = | x — y | когда xy <0, не работает ни в одном из четырех случаев, пока x

(примечание: | x | — | y | может дать отрицательный результат (когда | x | <| y |), а | x - y | всегда будет положительным)

Но, если мы потребуем, чтобы x> y, так что теперь x = 10 и y = 3, мы имеем это:

Обе позиции: | 10 | — | 3 | = 10 — 3 = 7 и | 10 — 3 | = | 7 | = 7 (7 = 7 так работает)

Оба негатива: | -10 | — | -3 | = 10 — 3 = 7 и | -10 — (-3) | = | -10 + 3 | = | -7 | = 7 (7 = 7 так работает)

«10» отрицательных и «3» положительных: | -10 | — | 3 | = 10 — 3 = 7 и | -10 — (+3) | = | -13 | = 13 (7 ≠ 13, так что НЕ РАБОТАЕТ!)

Положения «10» и отрицательные «3»: | 10 | — | — = 3 | = 10 — 3 = 7 и | 10 — (-3) | = | 10 + 3 | = | 13 | = 13 (7 ≠ 13, так что НЕ РАБОТАЕТ!)

Таким образом, вторая формулировка исходной задачи, вероятно, должна сказать xy> 0 AND x> y.

Я нашел это в Интернете — истинное утверждение:

| x-y |> | x | — | y | для xy <0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *