Y 1 2 модуль x: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Постройте график функции y = |-2

Задание.
Постройте график функции y = |-2 – |x + 5||.

Решение.
Страшная на первый взгляд функция на самом деле строиться не так уж сложно.
Чтобы разобраться в ее построении вспомним, что представляет собой модуль. Как известно из алгебры, модулем любого числа (то ли оно положительное, то ли отрицательное) всегда будет положительное число. Также модуль называют расстоянием, а как известно, расстояние не может быть отрицательным – это всегда положительное число.
Под знаком модуля в заданной функции стоит сумма неизвестного числа х и числа 5, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому для построения графика этой функции нужно рассмотреть обе возможности.
Пусть сумма (х + 5) будет положительным числом. Тогда, при открытии знака модуля, функция примет следующий вид:
y = |–2 – |x + 5|| = |-2 – x – 5| = |– x – 7|
Здесь также возможны два варианта:
1) –х – 7 – положительное, тогда у = –х – 7
2) –х – 7 – отрицательное, тогда у = х + 7
Таким образом, при х > –5:
1) –х – 7 > 0
При x < –7 функция существовать не будет
2) –х – 7 < 0
При x > –7 функция будет существовать для х > –5, а тогда:
у (–4) = –4 + 7 = 3 – точка (–4; 3)
у (0) = 0 + 7 = 7 – точка (0; 7)

Пусть сумма (х + 5) будет отрицательным числом.2$

Функции вида $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=\tan x, k(x)=\cot x$ называются тригонометрическими функциями. Область определения $f(x)=\sin x $ и $g(x)=\cos x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$. А области определения $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ следующие:

$h(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos x=0 \rightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{2} \rightarrow$

$D_h=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

$h(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin x=0 \rightarrow x=k\pi \rightarrow$

$D_k=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

Также отметим, что $-1 \leq \sin x \leq 1 $ и $ -1 \leq \cos x \leq 1$. Следовательно,

$R_f=[-1,1] \,\,\,\,\,\, R_g=[-1,1]$

Множество значений of $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$.

Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin x+\cos x$.

Решение:
Область определения $\sin x $ и $\cos x$ это все действительные числа, следовательно область определения

$f(x)=\sin x+\cos x$

также все действительные числа.4 \pi x = 0 \rightarrow \sin \pi x=0 \rightarrow \pi x=k \pi \rightarrow x=k \in \mathbb{Z}$

Значит

$D_f=\mathbb{Z}$

Согласно $D_f=\mathbb{Z}$, можно переписать функцию как

$f(x)=\cos \pi x=\pm 1$

Теперь очевидно, что

$R_f= \lbrace \pm 1 \rbrace$

Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin (\log (\log x))$.

Решение:
Согласно тому, что уже было сказано относительно логарифмической функции

$D_f= \lbrace x| x \in \mathbb{R}; \log x>0,x>0 \rbrace$

$= \lbrace x| x\in \mathbb{R}, x>1,x>0 \rbrace =(1,+\infty)$

Также стоит отметить, что

$|\sin (\log (\log x))| \leq 1 \rightarrow |y| \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1$

Значит

$R_f=[-1,1]$

График $f$ это

Определение:
Пусть $f$ функция, у которой область определения это $D_f$. Функция $f$ является инъективной тогда и только тогда, если для всех $x_1$ и $x_2$ в $D_f$, если $f(x_1)=f(x_2)$, то $x_1=x_2$.{\log x} \rightarrow y=(f \circ g)_{(x)}\,\,\, x \in (0,1) \rightarrow 0
Теперь, для того, чтобы найти множество значений $g \circ f$, отметим, что

$Z=(g\circ f)_{(x)}=x \rightarrow x=Z\in (1,+\infty) \rightarrow Z>1 \rightarrow R_{g \circ f}=(1,+\infty)$

Графиком $f$ является

Графиком $g$ является

График $f \circ g$ это

График $g \circ f$ это

Пример:
Если $f(x)=x-1$ and $(f \circ g)_{(x)}=\dfrac{1}{x-1}$, то найти область определения и множество значений $g \circ f$.

Решение:
Сначала найдем $ g \circ f$

$f(x)=x-1 \rightarrow f(g(x))=g(x)-1 \rightarrow (f \circ g)_{(x)}=g(x)-1 \rightarrow \\ \dfrac{1}{x-1}=g(x)-1 \rightarrow g(x)=\dfrac{x}{x+1}$

Значит

$y=(g \circ f)_{(x)}=g(f(x))=\dfrac{f(x)}{f(x)-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$

Следовательно

$D_{g \circ f}=\lbrace x|x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \rbrace \rightarrow D_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace$

Также

$y=\dfrac{x-1}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2y-1}{y-1}$

$R_{g \circ f}=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, y \neq 1 \rbrace \rightarrow$

$R_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$

График $f$ это

График $f \circ g$ это

Графиком $g$ является

Графиком $g \circ f$ является

Упражнения

1) Если $f(x)=2^{\log_2 x}$ and $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-x}$, то найти область определения и множество значений $f \circ g$.2 2kx \,\,\, -1 \leq \sin 2kx \leq 1$

$\rightarrow \sin 2kx= \pm 1 \rightarrow y=\dfrac{1}{4} , \sin 2x=0 \rightarrow y=1$

$\rightarrow \dfrac{1}{4} \leq y \leq 1 \rightarrow R_f=[\dfrac{1}{4},1]$

Part 1

Построение графиков содержащих знак модуля построение графика функции содержащей переменную или функцию под знаком модуля согласно определению модуля

Построение
графиков, содержащих знак модуля

Построение
графика функции, содержащей переменную

или функцию
под знаком модуля согласно определению
модуля:

x,
если х>=0 f(x),
если f(x)>=0

|x|
= ; |f(x) | =

-x,
если x<0 -f(x),
если f(x)<0

Пример:

Построить
график функции у=|2x-3|-х.

Рассмотрим
два случая.

2х-3>=0 2х-3<0

y=2x-3-x или y=-2x+3-x

x>= x<

y=x-3 y=
-3x+3

Таким образом,
чтобы построить график функции у=|2x-3|-x,
надо построить графики функций, заданными
различными выражениями на различных
промежутках.

х-3,
х>=

у=

— 3х+3, х<

График
изображен ниже:

y=|2x-3|-x

Построить
график:

  1. Y=|X|+X

  2. Y=|X| · (X-2)

  3. Y=|X+4| · X

  4. Y=

  5. Y=

  6. Y=2–1)

  7. Y=2+4X+3)

  8. Y=

  9. Y=

  10. Y=X — 1 — |X-1|

  11. Y=|3X-4|-X

  12. Y=

13. Y=

  1. Y=

  2. Y=

  3. Y=

  4. Y=X2
    — 2|X+1|-1

  5. Y=X+

  6. Y=|X2-4X+3|+2X

  7. Y=

  8. Y=|X2-4|+4X

  9. Y=

Элементарные
преобразования графика функции у=f(x)

Если
формула зависимости имеют вид |y|
= f(x):

  1. Надо построить график у = f(x)

  2. Часть графика, расположенную выше оси
    Ох (и на самой оси) оставить без изменения

  3. Часть графика расположенную ниже оси
    Ох стереть

  4. Для оставленной части построить
    симметричную относительно оси Ох

Пример:

Построить
график |y| = 2х-1

Построить
график
:

  1. Y|=5X-4

  2. |Y|=9-X2

  3. |Y|=

  4. |Y|=(X+4)2-5

  5. |Y|=

  6. |Y|=X+2

  7. |Y|=X2-6X+8

  8. |Y|=X2-4X

  9. X|Y|=2

  10. |Y|=

  11. |Y| · (X+1)=1

  12. |Y|=1-

  13. |Y|=|2X-X2|

  14. Y2=-2X

  15. |Y|=8+2X-X2

  16. Y2=0,5X

Элементарные
преобразования графика функции у=f(x)

Если
формула зависимости у = f(|x|):

  1. Надо построить график функции у = f(x),
    часть графика расположенную правее
    оси Оу(и на самой оси) оставить без
    изменения

  2. Часть графика расположенную левее оси
    Оу стереть

  3. Построить для оставленной части
    симметричную относительно оси Оу

Пример:

Построить
график у=2|x|-1

Построить
график:

  1. Y=5|X|-5

  2. Y=9-|X|2

  3. Y=

  4. Y=

  5. Y=

  6. Y=(|X|+4)2-5

  7. Y=

  8. Y=

  9. Y=|X|-1

  10. Y=

  11. Y=X2-|X|-6

  12. Y=-X2+6|X|-8

  13. Постройте график.
    С его помощью укажите пути функции,
    интервалы знакопостоянства, промежутки
    монотонности, наибольшее и наименьшее
    значения функции, область значений
    функции:

2-,
если |X|<=4

у= ,
если |X|>4

  1. Y=X2-|X|-2

  2. Решите уравнение X2+3|X|-18=0
    графически.

  3. Y=|X|-X2

  4. Y=

Элементарные
преобразования графика функции у=f(x)

Если формула зависимости имеет вид у =
|f(x)|,

  1. График функции у = f(x)
    выше оси Ох (и на самой оси Ох) оставить
    без изменения

  2. Для части графика расположенной ниже
    оси Ох строят симметричную относительно

оси Ох

  1. Часть графика расположенная ниже оси
    Ох стирается.

Пример:

Построить
график функции у=|2x-1|

Построить
график:

  1. Y=|5X-4|

  2. Y=|9 -X2|

  3. Y=

  4. Y=|(X-4)2-5)|

  5. Y=|X+2|

  6. Y=|X-1|

  7. Y=|X2+2X|

  8. Y=

  9. Y=||

  10. Y=||X2-3|-1|

  11. Y=|X2-1|

  12. Y=|X+1|-2

  13. Y=4+|X-3|

  14. Y=3 ∙ |X-2|

  15. Найдите
    наибольшее и наименьшее значение
    функции Y=:

а)на
отрезке [-2;2]

б)на луче [0;+ )

в)на
луче (- ;3]

г)на отрезке
[-5;0]

16.Найдите
наименьшее и наибольшее значение функции
Y=:

а)на луче (- ;5]

б)на
отрезке [4;7]

в)на луче [2;+ )

г)на полуинтервале
[-1;6]

17.Решите
уравнение графически:

а)|X2-9|=5 б)|X-2|=X2 в)|X+1|=
-2X2

г)|X2-1|=|X2-X+1| д)|X-3|=X2+1 е)|X+5|=-X-1

ё) -2(X+2)2 ж) з)(X+3)2

и)-X

Построение
графиков уравнений, содержащих несколько
модулей

Пример:
построить график функции

1). Найти те
значения переменной, при которых
выражение, стоящее под знаком модуля,
равно нулю. ;
;
.

2). Числовую
прямую разбивают на промежутки точками,
соответствующими найденным значениям
переменной

0 1

3). На каждом
промежутке определяют знак выражения,
стоящего под знаком модуля (берут числа
из промежутка и ставят в под модульное
выражение). Определяют знак выражения
стоящего под знаком модуля

− 0 − 1 +

− + +

4). Берут
промежуток, раскрывают модуль (пользуясь
определением модуля) на данном промежутке
и упрощают

Составляют
формулу кусочной функции


y

Строят
график кусочной функции

1

x

0 1

1). Найдите
промежутки убывания функции
и ее наибольшее значение на отрезке
. Ответ:
,
.

2). Найдите
множество значений функции
и ее наименьшее значение на отрезке
. Ответ:

,
.

3). Найдите
множество значений функции
и значения, которые функция принимает
ровно три раза. Ответ: ;
;
.

4). Найдите все
значения ,
при которых значения функции
положительны и значения, принимаемые
функцией ровно 2 раза. Ответ: ;
,
.

5). Постройте
график функции
и для каждого
укажите количество общих точек этого
графика и прямой .

а). . Ответ:
Общих точек нет при ;

При ,
одна точка;

При
и ,
две точки;

При ,
бесконечное множество точек.

б). . Ответ:
Общих точек нет при ;

При ,
одна точка;

При
и ,
две точки;

При ,,
три точки;

При ,
четыре точки.

6). Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке . Ответ:
;
.

7). Найдите
наименьшее значение функции

а). .Ответ:

при .

б). .Ответ:

при .

9). Докажите,
что если ,
то наименьшее значение функции
равно .

10). Исследуйте
функцию на промежутки монотонности

а). . Ответ:
На промежутках
;
функция убывает. На промежутках
возрастает.

б). . Ответ:
На промежутках
;
функция убывает. На промежутках
и
возрастает. На промежутках
и
функция постоянна.

11). Постройте
графики функций

1). 2).

3). 4).

Решение
неравенств, содержащих знак модуля

Неравенства
вида

> ,
где >
0

Если выражение,
стоящее под знаком модуля , обозначить
через t (f(x)
= t), то данное неравенство
примет вид
> .
Используя геометрический смысл
модуля (модуль на числовой прямой
представляет собой расстояние от точки,
которая изображает данное число, до
точки ноль). Изображаем на числовой
прямой все точки, расстояние от которых
до ноля больше .

———∙——————∙—————∙————►t


0

t < —
или t
>

Решаем
совокупность неравенств

Пример:

Решите
неравенство
> 11

Решение:
> 11

Пусть
,
>11

———∙——————∙—————∙————►t

-11 0 11

;
;

Ответ:
;
;

Неравенство
вида
> ,
где <
0 верно при всех
из области допустимых значений
неравенства.

Решите
неравенства

1).
> 11. Ответ:

2). .
Ответ:

3). . Ответ:
:
.

4). . Ответ:
.
.

5).
. Ответ: .

6). . Ответ:
.

7). . Ответ:
.

8). . Ответ:
.

9). .
Ответ: .

10). >2. Ответ:

.

Неравенства
вида

>

Учитывая
свойство модуля
=

и свойство
неравенства: если обе части неравенства
неотрицательны, то при возведении в
квадрат получаем неравенство равносильное
данному .

Неравенство

>
можно заменить равносильным неравенством
>
это
>0
()
∙ (+)
>0

Далее решать
методом интервалов или заменить
совокупностью систем

Аналогично
решаются неравенства вида
< .

Решите
неравенства

1). . Ответ:
.

2). Найти
целочисленные решения неравенства .

Ответ: -8; -7; -6; … -1;0.

3). . Ответ:
.

4). . Ответ:
.

5). . Ответ:
.

6). . Ответ:
.

7). . Ответ:
.

8). . Ответ:
.

9). . Ответ:
.

10). . Ответ:
.

11). . Ответ:
.

12). . Ответ:
.

13). . Ответ:
.

14). . Ответ:
.

15). . Ответ:
.

16). . Ответ:
.

17). . Ответ:
.

18). . Ответ:
.

19). . Ответ:
.

20). . Ответ:
.

21). . Ответ:
.

22). . Ответ:
.

23). . Ответ:
.

Решение
неравенств вида

;

Неравенство

Доказательство:

.

Неравенство

Доказательство:

.

.

Решите
неравенства

1). . Ответ:
.

2). . Ответ:
.

3). . Ответ:
.

4). . Ответ:
.

5). . Ответ:
.

6). . Ответ:

или .

7). . Ответ:
.

8). . Ответ:

; .

9). . Ответ:

.

10). . Ответ:

.

11). . Ответ:
.

12). . Ответ:

или .

13). . Ответ:

; .

14). . Ответ:

или .

15). . Ответ:
.

16). . Ответ:
.

17). . Ответ:
.

18). . Ответ:
.

19). . Ответ:
.

20). . Ответ:

; .

Решение
неравенств, содержащих несколько модулей
методом интервалов

Суть метода
состоит в следующем:

Пример:

1). Находят те
значения переменной при которых
выражения, стоящие под знаком модуля
равно нулю.

2). Числовую
ось разбивают на промежутки точками,
соответствующими значениям переменной

1

3). На каждом
промежутке, определяют знак выражения,
стоящего под знаком модуля (берут число
из промежутка, ставят в подмодульное
выражение, определяют знак выражения,
стоящего под знаком модуля)


— 0 + 1
+

-1
— —
+

4). Берут
промежуток, раскрывают каждый модуль,
пользуясь определением модуля на данном
промежутке, и решают неравенство

5). Проверяют,
принадлежат ли найденные решения
неравенства рассматриваемому промежутку;
если принадлежат, то их включают в ответ

0

2

Если нет –
отбрасывают. Так поступают с каждым
промежутком.

6). Объединяют
все решения исходного неравенства,
найденные на всех промежутках, и учитывая
область допустимых значений первоначального
неравенства, выписывают ответ.

Ответ: -2<<3

Решите
неравенство

1). Ответ:

2). Ответ:

3). Ответ:

4). Ответ:

5).Укажите
целочисленные решения неравенства
Ответ:
3;4

6). Ответ:

7). Ответ:

8). Ответ:

9). Ответ:

10). Ответ:

11). Ответ:

12). Ответ:

13). Ответ:

14). Ответ:

15). Ответ:

16). Ответ:

Решение
неравенств, содержащих знак модуля,
методом введения новой переменной.

1). Найти область
значений переменной, входящей в
неравенство.

2). Если в
уравнении неоднократно встречается
фиксированное выражение, зависящее от
неизвестной величины, то имеет смысл
обозначить это выражение, какой либо
буквой. Когда вводится обозначение
желательно сразу отбросить все или
некоторые значения
при которых уравнение
=
не имеет решений , т.е. полезно сразу
указать область значений функции
= .

3). Решить
неравенство относительно введенной
неизвестной.

4). Решить
неравенство относительно исходной
переменной.

5). Учитывая
область допустимых значений исходного
неравенства записать ответ.

Пример:

Учитывая
свойство модулей
имеем
Пусть
= ,
,
тогда неравенство примет вид =1;
=-3.
f

Учитывая, что

имеем

Учитывая
область допустимых значений исходного
неравенства Ответ:

Решите
неравенства

1). Ответ:

2). Ответ:

3). Ответ:

4). Ответ:

5). Ответ:

6). Ответ:

7). Ответ:

8). Ответ:

9). Ответ:

10). Ответ:

Изображение
на координатной плоскости множества
точек, координаты которых
удовлетворяют данному неравенству

Чтобы на
координатной плоскости изобразить
множество точек, координаты которых

удовлетворяют неравенству надо:

1). Построить
множество точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению (если
неравенство строгое, то линия изображается
пунктирной, если не строгое, то сплошной).

2). График
или графики уравнений разбивают
координатную плоскость на части.

3). Взять
координаты точки, принадлежащей каждой
части по очереди и поставить в неравенство.
Если координаты точки удовлетворяют
неравенству, то эту часть координатной
плоскости заштриховать.

Пример:
Изобразить на координатной плоскости
множество точек, координаты которых


удовлетворяют неравенству .

1). Построим график уравнения .


или

III
II I

-1 0 1

Прямые

и изображаем
сплошными линиями, так как неравенство
не строгое. Прямые разбивают координатную
плоскость на три области. Неравенству
удовлетворяют координаты точек,
принадлежащих II части,
поэтому заштриховываем II
часть.

Изобразите на координатной плоскости
множество точек, координаты которых
удовлетворяют неравенству.

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

6). .

7). .

8). .

9). .

10). .

11). .

12). .

13). .

14). .

15). .

16). .

17). .

18). .

19).

20). .

21). .

22). .

23. .

24). .

Изобразите на
координатной плоскости множество точек,
удовлетворяющих условию

а) . б).

в) г)

д) е) .

Системы
неравенств с параметрами, содержащие
знак модуля

1). Найдите все
значения параметра ,
при которых система неравенств имеет
единственное решение.

а).
Ответ: При .

б). Ответ:
При .

2). При каких
значениях параметра
система неравенств имеет ровно одно
решение?. Для всех таких
найдите это решение.

а). Ответ:
При ,
;

При ,
.

б). Ответ:
При ,
;

При ,
.

3). При каких
значениях параметра
система не имеет решения.

а). Ответ:
При .

б). Ответ:
При .

4). Для каждого
значения параметра
решите систему неравенств.

а). Ответ:
При ,
;

При ,
;

При
,
;

При ,
.

б). Ответ:
При
и ,
;

При ,
;

При ,
;

При ,
;

При ,
.

Нестандартные
уравнения и неравенства, содержащие
знак модуля

К
нестандартным ,обычно относятся такие
уравнения и неравенства, где традиционные
алгоритмы решения не проходят. Во многих
случаях, решение таких уравнений и
неравенств осуществляется на функциональном
уровне, т.е с помощью графиков, или за
счет сопоставления некоторых свойств
функций, содержащихся в левой и правой
частях уравнения или неравенства.

Если,
например, наименьшее значение одной из
функций
совпадает с наибольшим значением
функции ,
то уравнение
=
заменяют равносильной системой
, где
— наименьшее значение
или наибольшее значение .

Решение
системы является решением уравнения

= .

1). Решите
уравнение

Уравнение
необходимо решить графически. Ответ:

2). Решите
неравенство

.
Применить метод оценки. Ответ:

3). Решите
уравнение

. Решить
уравнение графически. Ответ:

4). Решите
уравнение

.
Применить свойство: сумма неотрицательных
функций равна нулю тогда и только тогда,
когда все функции одновременно равны
нулю. Ответ:

5). Решите
уравнение

.Область
допустимых значений (ОДЗ) уравнения
состоит из конечного числа значений.
Для решения достаточно проверить все
эти значения. Ответ:

Применение
свойства
=
для любого

при
нахождении значения выражения

Вычислите:

1). Ответ:
-6

2).
, если t = -10; t
= 127. Ответ: -8; 127

3).
. Ответ: 0,125

4).
.
Ответ: -6

5).
.
Ответ: 2

6).
.
Ответ: 8

7).
+ .
Ответ: 2

8).
+ .
Ответ: 6

9).
+ .
Ответ: 2

10).
+ .
Ответ: 10

11).
.
Ответ: -3

12).
.
Ответ: -6

13).

− 0,5.
Ответ: 0

14).
+ .
Ответ:1

15).
+
Ответ: 1

16). .
Ответ: 8

17). Найти

и ,
если =

.
Ответ: 28; -2

18). Найти

и ,
если =

.
Ответ: 40; -2

19). Сравните
значение выражения


с числом .
Ответ:

20). Сравните
значение выражения


с числом
. Ответ:

21).
Докажите, что выражение

является корнем уравнения =
1.

22).
Докажите, что выражение
является корнем уравнения =
1.

23).
Удовлетворяет ли число
неравенству 7+58+13>0
.

Ответ: нет

24).
Удовлетворяет ли число
неравенству 11+26-730
.

Ответ: да

Л
и т е р а т у р а

1). Алгебра: 8; 9; 10
– 11 класс.

Авторы:
А.Г.Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е.
Тульчинская.

2). Задания по
математике для подготовки к письменному
экзамену в 9 классе.

Авторы: Л.И.
Звавич, Д.И.Аверьянов, Б.П. Пигарёв, Т.Н.
Грушанина.

3). Сборник
задач по алгебре 8 – 9 класс.

Авторы: М.Л.
Галицкий,А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.

4). Сборник для
проведения письменного экзамена за
курс средней школы 11 класс.

Авторы: Г.В.
Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова.

5). Алгебраический
тренажер.

Авторы: А.Г.
Мерзляк,В.Б.Полонский, М.С.Якир

6). Материалы
ЦТ и ЭГЭ за 2002 – 2005 годы.

7). Математика.
Самостоятельные и контрольные работы
8; 9; 10 – 11 классы.

Авторы: А.П.
Ершова, В.В. Голобородько.

8). Различные
сборники для поступающих в В У З Ы.

ML Studio (классическая модель): замена дискретных значений — Azure



  • Чтение занимает 6 мин

В этой статье

Заменяет дискретные значения из одного столбца числовыми значениями из другого столбца

Категория: статистические функции

Примечание

Применимо к: машинное обучение Studio (классическая модель)

Это содержимое относится только к Studio (классическая модель). Аналогичные модули перетаскивания были добавлены в конструктор Машинное обучение Azure. Дополнительные сведения см. в статье сравнение двух версий.

Обзор модуля

В этой статье описывается использование модуля замены дискретных значений в машинное обучение Azure Studio (классическая модель) для создания оценки вероятности, которая может быть использована для представления дискретного значения. Эта оценка может быть полезной для понимания информационного значения дискретных значений.

Принцип работы.

Выберите столбец, содержащий дискретное значение (или категория), а затем выберите другой столбец для использования в качестве ссылки.

В зависимости от того, является ли второй столбец категориями или не относится к категории, модуль выдает одно из следующих значений:

  • Условная вероятность для второго столбца с учетом значений в первом столбце.
  • Среднее и стандартное отклонение для каждой группы значений в первом столбце.

Модуль выводит как набор данных с оценками, так и функцию, которую можно сохранить и применить к другим наборам данных.

Настройка замены дискретных значений

Совет

В каждый момент времени рекомендуется работать только с одной парой столбцов. Модуль не вызывает ошибку, если выбрано несколько столбцов для анализа. Однако на практике при выборе нескольких столбцов они сопоставляются внутренним эвристическим алгоритмом, а не по порядку выбора.

Поэтому рекомендуется каждый раз выбирать одну пару столбцов, одну для дискретных столбцов и одну для замещения столбцов.

Если необходимо создать оценки для нескольких столбцов, используйте отдельные экземпляры Replace дискретные значения.

  1. Добавьте модуль замены дискретных значений в свой эксперимент. Этот модуль можно найти в группе статистические функции в списке элементы эксперимента в машинное обучение Azure Studio (классическая модель).

  2. Подключите набор данных, содержащий хотя бы один столбец данных по категориям.

  3. Дискретные столбцы: нажмите кнопку запустить селектор столбцов , чтобы выбрать столбец, содержащий дискретные значения (или категории категорий).

    Все выбранные дискретные столбцы должны быть упорядочены по категориям. Если возникает ошибка, измените тип столбца с помощью модуля изменение метаданных .

  4. Заменяющие столбцы: нажмите кнопку запустить селектор столбцов , чтобы выбрать столбец, содержащий значения, используемые при вычислении оценки замены.

    Если для дискретных столбцов выбрано несколько столбцов, необходимо выбрать одинаковое число заменяющих столбцов.

  5. Запустите эксперимент.

    Примечание

    Нельзя выбрать, какую статистическую функцию применить. Модуль вычисляет подходящую меру на основе типа данных столбца, выбранного для столбца замещения.

Результаты

Модуль рассчитывает одно из следующих значений для каждой пары столбцов:

  • Если второй столбец содержит значения категории, модуль рассчитывает условную вероятность второго столбца, учитывая значения в первом столбце.

    Например, предположим, что выбран occupation из набора данных перепись в качестве дискретного столбца и выбран в gender качестве заменяющего столбца. Выходные данные модуля будут выглядеть так:

    P(gender | occupation)

  • Если второй столбец содержит значения, не упорядоченные по категориям, которые можно преобразовать в числа (например, числовые или логические значения, не помеченные как категория), то модуль выводит Среднее и стандартное отклонение для каждой группы значений в первом столбце.

    Например, предположим, что используется в occupation качестве дискретного столбца , а второй столбец — числовой столбец hours-per-week . Модуль выводит следующие новые значения:

    Mean(hours-per-week | occupation)

    Std-Dev(hours-per-week | occupation)

Помимо оценки вероятности, модуль также выводит преобразованный набор данных. В этом наборе данных столбец, выбранный в качестве заменяющего столбца , заменяется на столбец, содержащий вычисленные показатели.

Совет

Столбцы в исходном наборе данных фактически не изменяются или удаляются операцией. столбцы оценки — это новые, созданные модулем и выходные данные вместо исходных данных.

Чтобы просмотреть исходные значения вместе с показателями вероятности, используйте модуль Добавление столбцов .

Примеры

Использование замены дискретных значений может быть продемонстрировано в некоторых простых примерах.

Пример 1. замена значения категории на показатель вероятности

Следующая таблица содержит категориальный столбец X и столбец Y со значениями True или False, которые рассматриваются как категориальные значения. При использовании замены дискретных значений вычисляется условная оценка вероятности для вероятности Y, заданной X, как показано в третьем столбце.

X Y P (Y|X)
Синий 0 P(Y=0|X=Blue) = 0.5
Синий 1 P(Y=1|X=Blue) = 0.5
Зеленый 0 P(Y=0|X=Green) = 2/3
Зеленый 0 P(Y=0|X=Green) = 2/3
Зеленый 1 P(Y=1|X=Green) = 1/3
Красный 0 P(Y=0|X=Red) = .75
Красный 0 P(Y=0|X=Red) = .75
Красный 1 P(Y=1|X=Red) = .25
Красный 0 P(Y=0|X=Red) = .75

Пример 2. вычислить среднее и стандартное отклонение по столбцу, не упорядоченному по категориям

Если второй столбец является числовым, Замена дискретных значений вычисляет среднее и стандартное отклонение вместо оценки условной вероятности.

Следующий пример основан на образце набора данных Auto prices , упрощенном следующим образом:

  • Выбрано небольшое подмножество столбцов.

  • Извлекаются только первые 30 строк, с помощью параметра head модуля Partition и Sample .

  • Модуль замены дискретных значений использовался для вычисления среднего и стандартного отклонения для веса «бордюр». с учетом столбца категорий, num-of-doors .

В следующей таблице показаны результаты.

Текст Число-дверей Снаряженный-вес Среднее (бордюры|num-of-двери) STD-dev (бордюр-вес|номеров дверей)
стандарт two 2548 2429,785714 507,45699
стандарт четыре 2337 2625,6 493,409877
стандарт two 2507 2429,785714 507,45699
турбо четыре 3086 2625,6 5 493,409877
стандарт четыре 1989 2625,6 493,409877
турбо 2191
стандарт четыре 2535 2625,6 493,409877

Среднее значение для каждой группы значений можно проверить с помощью AVERAGEIF функции в Excel.

Пример 3. Обработка отсутствующих значений

В этом примере показано, как отсутствующие значения (значения NULL) распространяются на результаты при вычислении результатов условной вероятности.

  • Если столбец дискретных значений и столбец уточняющего вычисления содержат какие-либо отсутствующие значения, то такие значения передаются в новый столбец.

  • Если столбец дискретных значений содержит только отсутствующие значения, модуль не может обработать такой столбец, и появляется сообщение об ошибке.

X Y P (Y|X)
1 True P(Y=true|X=1) = 1/2
1 False P(Y=false|X=1) = 1/2
2 True P(Y=true|X=2) = 1/3
2 False P(Y=false|X=2) = 1/3
2 NULL P(Y=null|X=2) = null

Технические примечания

  • Необходимо убедиться, что все дискретные столбцы, которые необходимо заменить, являются категориальными, или модуль вернет ошибку. Для этого используйте модуль изменение метаданных .

  • Если второй столбец содержит логические значения, значения True и False обрабатываются как числа, при этом False = 0 и True = 1.

  • Формула для столбца стандартного отклонения вычисляет стандартное отклонение совокупности. Таким образом, в знаменателе используется N, а не (N-1).

  • Если второй столбец содержит неупорядоченные данные (числовые или логические значения), модуль вычисляет среднее и стандартное отклонение Y для заданного значения X.

    То есть для каждой строки в наборе данных, индексированном по i :

    Mean(Y│X)i = Mean(Y│X = Xi)

    StdDev(Y│X)i = StdDev(Y│X = Xi)

  • Если второй столбец содержит данные по категориям или значения, которые не являются ни числовыми, ни логическими, модуль рассчитывает условную вероятность Y для заданного значения X.

  • Все логические значения во втором столбце обрабатываются как числовые данные, при этом false = 0 и true = 1.

  • Если в дискретном столбце имеется такой класс, например, в котором строка с отсутствующими значениями присутствует во втором столбце, то сумма условных вероятностей внутри класса меньше единицы.

Ожидаемые входные данные

Параметры модуля

Имя Диапазон Тип По умолчанию Описание
Дискретные столбцы Любой Выбор столбцов Выбор столбцов, содержащих дискретные значения
Столбцы замены Любой Выбор столбцов Выбор столбцов, содержащих данные для использования вместо дискретных значений

Выходные данные

Имя Type Описание
Дополняемый набор данных Таблица данных Набор данных с замененными данными
Функции преобразования Интерфейс ITransform Определение функции преобразования, которую можно добавить к другим наборам данных

Исключения

Исключение Описание
Ошибка 0001 Исключение возникает, если не удалось найти один или несколько столбцов указанного набора данных.
Ошибка 0003 Исключение возникает, если один или несколько входных аргументов имеют значение NULL или пусты.
Ошибка 0020 Исключение возникает, если количество столбцов в некоторых наборах данных, переданных модулю, слишком мало.
Ошибка 0021 Исключение возникает, если количество строк в некоторых наборах данных, переданных модулю, слишком мало.
Ошибка 0017 Исключение возникает, если один или несколько указанных столбцов относятся к типу, который не поддерживается в текущем модуле.
Ошибка 0026 Исключение возникает, если столбцы с одинаковыми именами не допускаются.
Ошибка 0022 Исключение возникает, если количество выбранных столбцов в наборе входных данных не равно ожидаемому числу.

Список ошибок, относящихся к модулям студии (классическая версия), см. в разделе машинное обучение коды ошибок.

Список исключений API см.2}ρ=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2​.

Напишите программу определяющую евклидово расстояние между двумя точками, координаты которых заданы.

Формат входных данных
На вход программе подается четыре вещественных числа, каждое на отдельной строке – x_{1}, \, y_{1}, \, x_{2}, \, y_{2}x1​,y1​,x2​,y2​​.

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно число – евклидово расстояние.

import math
x1, x2, y1, y2 = float(input()), float(input()), float(input()), float(input())
print(math.hypot(x1 - y1, x2 - y2))

Площадь и длина

Напишите программу определяющую площадь круга и длину окружности по заданному радиусу RR.

Формат входных данных
На вход программе подается одно вещественное число RR​.

Формат выходных данных
Программа должна вывести два числа – площадь круга и длину окружности радиуса RR.2 xsinx+cosx+tan2x по заданному числу градусов xx.

Формат входных данных
На вход программе подается одно вещественное число xx измеряемое в градусах​. 

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно число – значение тригонометрического выражения.

Примечание 1. Тригонометрические функции принимают аргумент в радианах. Чтобы перевести градусы в радианы, воспользуйтесь формулой r = {{x \cdot \pi } \over 180}r=180xπ

Примечание 2. Модуль math содержит встроенную функцию radians(), которая переводит угол из градусов в угол в радианах.

from math import *
x = radians(float(input()))
print(sin(x) + cos(x) + tan(x)**2)

Пол и потолок

Напишите программу, вычисляющее значение \lceil x\rceil + \lfloor x\rfloor⌈x⌉ +⌊x⌋ по заданному вещественному числу xx.2 + bx + c = 0.ax2+bx+c=0.Формат входных данных
На вход программе подается три вещественных числа a \neq 0, \, b, \, ca=0,b,c, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести вещественные корни уравнения если они существуют или текст «Нет корней» в противном случае.

Примечание. Если уравнение имеет два корня, то следует вывести их в порядке возрастания.

from math import *

a = float(input())
b = float(input())
c = float(input())
d = b**2-4*a*c

if d < 0:
    print('Нет корней')
elif d == 0:
    print(-b / (2*a))
elif d > 0:
    x1 = (-b - d ** 0.5) / (2*a)
    x2 = (-b + d ** 0.5) / (2*a)
    print(min(x1, x2))
    print(max(x1, x2))

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.2}{4\tg \left(\dfrac{\pi}{n}\right)}S=4tg(​)na2​Даны два числа: натуральное число nn и вещественное число aa. Напишите программу, которая находит площадь указанного правильного многоугольника.

Формат входных данных
На вход программе подается два числа nn и aa, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести вещественное число – площадь многоугольника.

from math import *
n, a = float(input()), float(input())
ans = (n * pow(a, 2)) / (4 * tan(pi / n))
print(ans)

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x, который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [a; b], так и открытый интервал (a; b), (a; b], [a; b), бесконечный интервал (a; b), (a; b], [a; b) либо бесконечный промежуток -∞; a, (-∞; a], [a; +∞), (-∞; +∞).

В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной  переменной y=f(x)y=f(x).

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Определение 1

Наибольшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x – это значение max y=f(x0)x∈X, которое при любом значении xx∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).

Определение 2

Наименьшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x– это значение minx∈Xy=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(Xf(x)≥f(x0).

Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x0, а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x0.

Определение 3

Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки?  Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на  некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще  функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с  границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [-6;6].

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [-3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает max y (наибольшее значение) и min y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (-6;6).

Если мы возьмем интервал [1;6), то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x, равном 6, если бы x=6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5.

На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (-3;2], а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь max y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1. Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y=3.

Если мы возьмем интервал x∈2; +∞, то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2, то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x=2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y=3. Именно этот случай изображен на рисунке 8.

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

  1. Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
  2. Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
  3. Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
  4. Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x=a и x=b.
  5. 5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 1

Условие: задана функция y=x3+4×2. Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [1;4] и [-4;-1].

Решение:

Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0. Иными словами, D(y): x∈(-∞; 0)∪0; +∞. Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y’=x3+4×2’=x3+4’·x2-x3+4·x2’x4==3×2·x2-(x3-4)·2xx4=x3-8×3

Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].

Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x3-8×3=0. У него есть только один действительный корень, равный 2. Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [1;4].

Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x=1, x=2 и x=4:

y(1)=13+412=5y(2)=23+422=3y(4)=43+442=414

Мы получили, что наибольшее значение функции max yx∈[1; 4]=y(2)=3 будет достигнуто при x=1, а наименьшее min yx∈[1; 4]=y(2)=3 – при x=2.

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

y(-1)=(-1)3+4(-1)2=3

Значит,  max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.

Ответ: Для отрезка [1;4] — max yx∈[1; 4]=y(2)=3, min yx∈[1; 4]=y(2)=3, для отрезка [-4;-1] — max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.

См. на рисунке:

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

  1. Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
  2. Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
  3. Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0, решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям.  Их определяет вид интервала.
  • Если интервал имеет вид [a;b), то нам надо вычислить значение функции в точке x=a и односторонний предел limx→b-0f(x).
  • Если интервал имеет вид (a;b], то нам надо вычислить значение функции в точке x=b и односторонний предел limx→a+0f(x).
  • Если интервал имеет вид  (a;b), то нам надо вычислить односторонние пределы limx→b-0f(x),limx→a+0f(x).
  • Если интервал имеет вид [a; +∞), то надо вычислить значение в точке x=a и предел на плюс бесконечности limx→+∞f(x).
  • Если интервал выглядит как (-∞; b], вычисляем значение в точке x=b и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x).
  • Если -∞; b, то считаем односторонний предел limx→b-0f(x) и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x)
  • Если же -∞; +∞, то считаем пределы на минус и плюс бесконечности limx→+∞f(x),  limx→-∞f(x).
  1. В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4-8 в первой части материала.

Пример 2

Условие: дана функция y=3e1x2+x-6-4. Вычислите ее наибольшее  и наименьшее значение в интервалах  -∞; -4, -∞; -3, (-3;1], (-3;2), [1;2), 2; +∞, [4; +∞).

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0:

x2+x-6=0D=12-4·1·(-6)=25×1=-1-52=-3×2=-1+52=2⇒D(y): x∈(-∞; -3)∪(-3; 2)∪(2; +∞)

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

y’=3e1x2+x-6-4’=3·e1x2+x-6’=3·e1x2+x-6·1×2+x-6’==3·e1x2+x-6·1’·x2+x-6-1·x2+x-6′(x2+x-6)2=-3·(2x+1)·e1x2+x-6×2+x-62

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x=-12. Это стационарная точка, которая находится в интервалах (-3;1] и (-3;2).

Вычислим значение функции при x=-4 для промежутка (-∞; -4], а также предел на минус бесконечности:

y(-4)=3e1(-4)2+(-4)-6-4=3e16-4≈-0.456limx→-∞3e1x2+x-6=3e0-4=-1

Поскольку 3e16-4>-1, значит, max yx∈(-∞; -4]=y(-4)=3e16-4. Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение -1, поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к -3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

limx→-3-03e1x2+x-6-4=limx→-3-03e1(x+3)(x-3)-4=3e1(-3-0+3)(-3-0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→-∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1

Значит, значения функции будут расположены в интервале -1; +∞

Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке  x=-12, если x=1. Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к -3 с правой стороны:

y-12=3e1-122+-12-6-4=3e425-4≈-1.444y(1)=3e112+1-6-4≈-1.644limx→-3+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1-3+0+3(-3+0-2)-4==3e1(-0)-4=3e-∞-4=3·0-4=-4

У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке max yx∈(3; 1]=y-12=3e-425-4. Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до -4.

Для интервала (-3;2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

y-12=3e1-122+-12-6-4=3e-425-4≈-1.444limx→-3+03e1x2+x-6-4=-4limx→2-03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2-0+3)(2-0-2)-4==3e1-0-4=3e-∞-4=3·0-4=-4

Значит, max yx∈(-3; 2)=y-12=3e-425-4, а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом -4.

Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция примет при x=1, а найти наименьшее невозможно.

На промежутке (2; +∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка -1; +∞.

limx→2+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2+0+3)(2+0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1

Вычислив, чему будет равно значение функции при x=4, выясним, что max yx∈[4; +∞)=y(4)=3e114-4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y=-1.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Это все, что мы  хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Решение более простых абсолютных уравнений | Purplemath

Purplemath

Когда мы берем абсолютное значение числа, мы всегда получаем положительное число (или ноль). Независимо от того, был ли вход положительным или отрицательным (или нулевым), выход всегда положительный (или нулевой). Например, | 3 | = 3 и | –3 | = 3 тоже.

Это свойство — положительное и отрицательное превращение в положительное — делает решение уравнений абсолютного значения немного сложным.Но как только вы усвоите «трюк», они не так уж и плохи. Начнем с простого:

MathHelp.com

Я уже решил эту проблему в своем обсуждении выше:

Значит, x должно быть равно 3 или равно –3.

Но как мне решить эту проблему, если я, , еще не знаю ответа? Я буду использовать свойство положительного / отрицательного абсолютного значения, чтобы разделить уравнение на два случая, и я буду использовать тот факт, что знак «минус» в отрицательном случае означает «противоположный знак», а не «отрицательное число».

Например, если у меня x = –6, то «- x » означает «противоположность x » или, в данном случае, — (- 6) = +6, положительное число.Знак «минус» в «- x » просто указывает на то, что я меняю знак на x . Это означает, что , а не , означает отрицательное число. Это различие очень важно!

Каким бы ни было значение x , взятие абсолютного значения x делает его положительным. Поскольку значение x изначально могло быть положительным, а может быть отрицательным, я должен признать этот факт, когда удаляю столбцы абсолютного значения.Я делаю это, разбивая уравнение на два случая. Для этого упражнения это следующие случаи:

а. Если значение x было неотрицательным (то есть, если оно было положительным или нулевым) для начала, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, не меняя его знака, давая мне уравнение x = 3.

г. Если значение x изначально было отрицательным, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, изменив знак на x , получив уравнение — x = 3, которое решает как х = –3.

Тогда мое решение —


Кстати, мы можем проверить это решение графически. Когда мы пытаемся решить уравнение абсолютных значений | x | = 3, мы, по сути, приравниваем два линейных уравнения друг другу и находим, где они пересекаются. Например:

Выше я построил график y 1 = | x | (синяя линия, которая выглядит как «V») и y 2 = 3 (зеленая горизонтальная линия).Эти два графика пересекаются при x = –3 и x = +3 (две красные точки).

Если вы хотите проверить свои ответы на тесте (перед тем, как сдать его), может быть полезно подключить каждую сторону исходного уравнения абсолютного значения в ваш калькулятор как их собственные функции; затем спросите у калькулятора точки пересечения.

Конечно, любое решение также можно проверить, вставив его обратно в исходное упражнение и подтвердив, что левая часть (LHS) уравнения упрощается до того же значения, что и правая часть (RHS). уравнение.Вот мой чек для приведенного выше уравнения:

Если вы когда-нибудь сомневаетесь в своем решении уравнения, попробуйте построить график или попробуйте снова вставить свое решение в исходный вопрос. Проверяю свою работу всегда нормально!


Шаг выше, где уравнение абсолютного значения было переформулировано в двух формах, одна со знаком «плюс», а другая со знаком «минус», дает нам удобный способ упростить ситуацию: когда мы изолировали абсолютное значение и перейти к снятию стержней, мы можем разделить уравнение на два случая; мы обозначим эти случаи, поставив «минус» на противоположной стороне уравнения (для одного случая) и «плюс» на противоположной стороне (для другого).Вот как это работает:

  • Решить |

    x + 2 | = 7, и проверьте свое решение (я).

Абсолютное значение выделено в левой части уравнения, поэтому я уже настроил его, чтобы разделить уравнение на два случая. Чтобы очистить столбцы абсолютного значения, я должен разделить уравнение на два возможных случая, по одному для каждого случая, если содержимое столбцов абсолютного значения (то есть, если «аргумент» абсолютного значения) отрицательное, и если он неотрицательный (то есть положительный или нулевой).Для этого я создаю два новых уравнения, единственное различие между которыми — это знак в правой части. Сначала сделаю «минусовый» случай:

x + 2 = –7

x + 2 = –7

x = –9

Теперь я займусь неотрицательным случаем, когда я могу просто опустить столбцы и решить:

Теперь мне нужно проверить свои решения.Я сделаю это, вставив их обратно в исходное уравнение, поскольку оценщик не видит, как я проверяю графики на моем графическом калькуляторе.

Оба решения проверяют, поэтому мой ответ:


  • Решить | 2

    x — 3 | — 4 = 3

Во-первых, я выделю часть уравнения, относящуюся к абсолютным значениям; то есть, я получу само выражение абсолютного значения с одной стороны от знака «равно», а все остальное — с другой стороны:

| 2 x — 3 | — 4 = 3

| 2 x — 3 | = 7

Теперь я очищу столбцы абсолютных значений, разделив уравнение на два случая, по одному для каждого знака аргумента.Сначала сделаю отрицательный случай:

2 x — 3 = –7

2 x = –4

x = –2

А затем сделаю неотрицательный случай:

2 x — 3 = 7

2 x = 10

х = 5

Это упражнение не говорит мне о проверке, поэтому я не буду.(Но, если бы я хотел, я мог бы вставить «abs (2X – 3) –4» и «3» в свой калькулятор (как Y1 и Y2, соответственно), и увидеть, что точки пересечения были на моем x -значения.) Мой ответ:


URL: https://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm

Графики и решения систем линейных уравнений

Результаты обучения

  • Графические системы уравнений
    • Постройте систему двух линейных уравнений
    • Постройте систему двух линейных неравенств
  • Оценить заказанные пары как решения для систем
    • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений
    • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
  • Классифицируйте решения по системам
    • Определите, какой тип решения будет иметь система, на основе ее графика

Путь течения реки зависит от многих переменных, включая размер реки, количество воды в ней, какие предметы плавают в реке, идет ли дождь или нет, и так далее.Если вы хотите лучше всего описать его поток, вы должны принять во внимание эти другие переменные. В этом может помочь система линейных уравнений.

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Вы найдете системы уравнений во всех приложениях математики. Они являются полезным инструментом для обнаружения и описания взаимосвязи поведения или процессов.Например, редко можно найти схему транспортного потока, на которую влияет только погода. Несчастные случаи, время суток и крупные спортивные события — это лишь некоторые из других переменных, которые могут повлиять на движение транспорта в городе. В этом разделе мы исследуем некоторые основные принципы построения графиков и описания пересечения двух линий, составляющих систему уравнений.

Построить систему линейных уравнений

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными.Сначала мы попрактикуемся в построении графика двух уравнений на одном и том же наборе осей, а затем исследуем различные соображения, которые необходимо учитывать при построении графика двух линейных неравенств на одном и том же наборе осей. Для построения графика системы линейных уравнений используются те же методы, что и для построения графиков отдельных линейных уравнений. Мы можем использовать таблицы значений, уклона и интервала y или интерцептов x и y , чтобы построить обе линии на одном и том же наборе осей.

Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex]

Давайте изобразим их на графике с использованием формы пересечения наклона на одном и том же наборе осей. Помните, что форма пересечения наклона выглядит как [latex] y = mx + b [/ latex], поэтому мы захотим решить оба уравнения для [latex] y [/ latex].

Сначала найдите y в [latex] 2x + y = -8 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} 2x + y = -8 \\ y = -2x — 8 \ end {array} [/ latex]

Во-вторых, решите относительно y в [latex] x-y = -1 [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {r} x-y = -1 \, \, \, \, \, \\ y = x + 1 \ end {array} [/ latex]

Теперь система записывается как

[латекс] \ begin {array} {c} y = -2x — 8 \\ y = x + 1 \ end {array} [/ latex]

Теперь вы можете построить оба уравнения, используя их наклоны и точки пересечения на одном и том же наборе осей, как показано на рисунке ниже.Обратите внимание на то, что графики имеют одну общую точку. Это их точка пересечения, точка, которая лежит на обеих линиях. В следующем разделе мы проверим, что эта точка является решением системы.

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система для построения графика, состоящая из двух параллельных линий.

Пример

Постройте график системы [latex] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex], используя наклоны и пересечения линий по оси Y.

Показать решение

Сначала построим график [латекс] y = 2x + 1 [/ latex], используя наклон m = 2 и точку пересечения по оси y (0,1)

Затем добавьте [latex] y = 2x-3 [/ latex], используя наклон m = 2 и точку пересечения y (0, -3)

Обратите внимание на то, что это параллельные линии, и они не пересекаются.В следующем разделе мы обсудим, как не существует решений системы уравнений, представляющих собой параллельные прямые.

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система, уравнения которой выглядят по-разному, но после построения графика оказываются той же линией.

Пример

Изобразите систему [латекс] \ begin {array} {c} y = \ frac {1} {2} x + 2 \\ 2y-x = 4 \ end {array} [/ latex], используя x — и y -перехватывает.

Показать решение

Сначала найдите точки пересечения x и y [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex]

Пересечение x будет иметь значение 0 для y, поэтому подставьте y = 0 в уравнение и выделите переменную x.

[латекс] \ begin {array} {c} 0 = \ frac {1} {2} x + 2 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, — 2 \, \, \, \, \, \, — 2} \\ — 2 = \ frac {1} {2} x \\\ left (2 \ right) \ left (-2 \ right) = \ left (2 \ справа) \ frac {1} {2} x \\ — 4 = x \ end {array} [/ latex]

Х-точка пересечения [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] равна [latex] \ left (-4,0 \ right) [/ latex].

Угол пересечения по оси Y найти легче, поскольку это уравнение имеет форму пересечения с угловым коэффициентом. Y-точка пересечения равна (2,0).

Теперь мы можем построить [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex], используя точки пересечения

Теперь найдите перехваты [latex] 2y-x = 4 [/ latex]

Подставьте y = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения с x.

[латекс] \ begin {массив} {c} 2y-x = 4 \\ 2 \ left (0 \ right) -x = 4 \\ x = -4 \ end {array} [/ latex]

Перехватчик x [latex] 2y-x = 4 [/ latex] равен [latex] \ left (-4,0 \ right) [/ latex].

Теперь подставьте x = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения оси y.

[латекс] \ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2y-0 = 4 \\ 2y = 4 \\ y = 2 \ end {array} [/ latex]

Y-пересечение [latex] 2y-x = 4 [/ latex] равно [latex] \ left (0,2 \ right) [/ latex].

ПОДОЖДИТЕ, это те же перехваты, что и [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex]! Фактически, [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] и [latex] 2y-x = 4 [/ latex] на самом деле являются одним и тем же уравнением, выраженным по-разному.Если бы вы записали их оба в форме пересечения наклона, вы бы увидели, что это одно и то же уравнение.

Если вы построите график, это одна и та же линия. В следующем разделе мы увидим, что системы с двумя одинаковыми уравнениями в них имеют бесконечное число решений.

Построение графика системы линейных уравнений состоит из выбора метода построения графиков, который вы хотите использовать, и построения графиков обоих уравнений на одном и том же наборе осей. Когда вы строите график системы линейных неравенств на одном и том же наборе осей, вам необходимо учесть еще несколько вещей.

Изобразите систему двух неравенств

Помните из модуля по построению графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области. По одну сторону лежат все решения неравенства. С другой стороны, решений нет. Рассмотрим график неравенства [латекс] y <2x + 5 [/ latex].

Пунктирная линия [латекс] y = 2x + 5 [/ latex]. Каждая упорядоченная пара в заштрихованной области под линией является решением [latex] y <2x + 5 [/ latex], поскольку все точки под линией делают неравенство истинным.Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство — вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.

Граничная линия делит координатную плоскость пополам. В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было [латекс] y \ leq2x + 5 [/ латекс], то граница была бы сплошной.

Изобразим еще одно неравенство: [latex] y> −x [/ latex].Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам нужно построить график двух или более неравенств вместе. Давайте использовать [latex] y <2x + 5 [/ latex] и [latex] y> −x [/ latex], поскольку мы уже изобразили каждый из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств.Эта область является решением системы неравенств . Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для [latex] y> −x [/ latex], так и для [latex] y <2x + 5 [/ latex].

В следующем примере вам дана система двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу.

Примеры

Постройте график системы [latex] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Границы для этой системы такие же, как и для системы уравнений из предыдущего примера:

[латекс] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex]

Построение граничных линий будет аналогичным, за исключением того, что неравенство [латекс] y \ lt2x-3 [/ latex] требует, чтобы мы нарисовали пунктирную линию, а неравенство [латекс] y \ ge2x + 1 [/ латекс] потребует сплошная линия.Графики будут выглядеть так:

Теперь нам нужно добавить регионы, представляющие неравенства. Для неравенства [латекс] y \ ge2x + 1 [/ latex] мы можем проверить точку по обе стороны от линии, чтобы увидеть, какую область закрасить. Давайте проверим [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex], чтобы упростить задачу.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} [/ latex]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex].График теперь будет выглядеть так:

Теперь закрасим область, которая показывает решения неравенства [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]. Опять же, мы можем выбрать [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] для тестирования, потому что это упрощает алгебру.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} [/ latex ]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [латекс] y \ lt2x-3 [/ latex].График теперь будет выглядеть так:

У этой системы неравенства нет общих черт.

Как бы выглядел график, если бы система выглядела так?

[латекс] \ begin {массив} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ gt2x-3 \ end {array} [/ latex].

Проверка точки [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] вернет положительный результат для неравенства [latex] y \ gt2x-3 [/ latex], и тогда график будет выглядеть следующим образом:

Фиолетовая область — это область перекрытия обоих неравенств.

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств. Мы проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений

Линии на графике выше определены как

[латекс] \ begin {массив} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex].

Они пересекаются в том, что выглядит как [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex].

Используя алгебру, мы можем проверить, что эта общая точка на самом деле [latex] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], а не [latex] \ left (-2.999, -1.999 \ right) [/ latex ]. Подставляя значения x и y упорядоченной пары в уравнение каждой линии, вы можете проверить, находится ли точка на обеих линиях. Если подстановка приводит к истинному утверждению, значит, вы нашли решение системы уравнений!

Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, вам нужно будет проверить точку в каждом уравнении.В следующем примере мы заменим -3 на x и -2 на y в каждом уравнении, чтобы проверить, действительно ли это решение.

Пример

[латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] решение системы

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex]

Показать решение
Сначала проверьте [латекс] 2x + y = -8 [/ latex]:

[латекс] \ begin {массив} {r} 2 (-3) + (- 2) = -8 \\ — 8 = -8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Теперь проверьте [латекс] x-y = -1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} (- 3) — (- 2) = -1 \\ — 1 = -1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] является решением [латекса] x-y = -1 [/ latex]

Поскольку [latex] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] является решением каждого из уравнений в системе, [latex] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] это решение системы.

Ответ

[латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex] — это решение системы.

Пример

— это (3, 9) решение системы

[латекс] \ begin {array} {r} y = 3x \\ 2x – y = 6 \ end {array} [/ latex]

Показать решение
Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, отметьте точку в каждом уравнении.

Замените 3 на x и 9 на y в каждом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x \\ 9 = 3 \ left (3 \ right) \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(3, 9) представляет собой раствор [латекс] y = 3x [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {r} 2x – y = 6 \\ 2 \ left (3 \ right) –9 = 6 \\ 6–9 = 6 \\ — 3 = 6 \ text {FALSE } \ end {array} [/ latex]

(3, 9) — это , а не раствор [латекс] 2x – y = 6 [/ латекс].

Поскольку (3, 9) не является решением одного из уравнений системы, оно не может быть решением системы.

Ответ

(3, 9) не является решением системы.

Подумай об этом

[латекс] (- 2,4) [/ латекс] решение для системы

[латекс] \ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} [/ latex]

Прежде чем производить какие-либо вычисления, посмотрите на заданную точку и первое уравнение в системе. Можете ли вы предсказать ответ на вопрос, не занимаясь алгеброй?

Показать решение

Подставьте -2 вместо x и 4 вместо y в первое уравнение:

[латекс] \ begin {array} {l} y = 2x \\ 4 = 2 \ left (-2 \ right) \\ 4 = -4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]

Вы можете остановить тестирование, потому что точка, которая является решением системы, будет решением обоих уравнений в системе.

[latex] (- 2,4) [/ latex] НЕ является решением для системы

[латекс] \ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} [/ latex]

Помните, что для решения системы уравнений значения точки должны быть решением обоих уравнений. Как только вы найдете одно уравнение, для которого точка неверна, вы определили, что оно не является решением для системы.

Мы можем использовать тот же метод, чтобы определить, является ли точка решением системы линейных неравенств.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На графике выше вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.

Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства [latex] y> −x [/ latex], а точка A является решением неравенства [latex] y <2x + 5 [/ latex], ни одна из точек не является решением для система .В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 2x + y <8 [/ latex]?

Показать решение
Проверьте суть каждого неравенства. Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — решение для [латекса] 2x + y <8. [/ Latex]

Поскольку (2, 1) является решением каждого неравенства, оно также является решением системы.

Ответ

Точка (2, 1) является решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 2x + y <8 [/ latex].

Вот график системы в примере выше. Обратите внимание, что (2, 1) находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 3x + y <4 [/ latex]?

Показать решение

Отметьте точку с каждым неравенством. Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \\ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]

(2, 1) — это , а не , решение для [латекса] 3x + y <4 [/ latex].

Поскольку (2, 1) — это , а не как решение одного из неравенств, оно не является решением системы.

Ответ

Точка (2, 1) не является решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 3x + y <4 [/ latex].

Вот график этой системы. Обратите внимание, что (2, 1) не находится в фиолетовой области, которая является перекрывающейся областью; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения области, в которой они находятся. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств. Общие шаги описаны ниже:

  • Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным.
  • Определите, с какой стороны каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку на каждой стороне
  • Закрасьте область, которая представляет решения для обоих неравенств

Пример

Закрасьте область графика, которая представляет решения для обоих неравенств.[латекс] x + y \ geq1 [/ латекс] и [латекс] y – x \ geq5 [/ латекс].

Показать решение
Изобразите одно неравенство. Сначала нарисуйте граничную линию, используя таблицу значений, пересечений или любой другой метод, который вы предпочитаете. Граница для [латекса] x + y \ geq1 [/ latex] — это [латекс] x + y = 1 [/ latex] или [латекс] y = −x + 1 [/ latex]. Поскольку знак равенства стоит вместе со знаком «больше», граница будет сплошной.

Найдите упорядоченную пару по обе стороны от ограничивающей линии. Вставьте значения x и y в неравенство [latex] x + y \ geq1 [/ latex] и посмотрите, какая упорядоченная пара дает истинное утверждение.

[латекс] \ begin {array} {r} \ text {Test} 1: \ left (−3,0 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ — 3 + 0 \ geq1 \\ — 3 \ geq1 \\\ text {FALSE} \\\\\ text {Test} 2: \ left (4,1 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ 4 + 1 \ geq1 \\ 5 \ geq1 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Поскольку (4, 1) приводит к истинному утверждению, область, которая включает (4, 1), должна быть заштрихована.

Проделайте то же самое со вторым неравенством. Постройте граничную линию, затем проверьте точки, чтобы определить, какая область является решением неравенства. В этом случае граница [латекс] y – x = 5 \ left (\ text {или} y = x + 5 \ right) [/ latex] сплошная.Контрольная точка (−3, 0) не является решением [latex] y – x \ geq5 [/ latex], а контрольная точка (0, 6) является решением.

Ответ

Фиолетовая область на этом графике показывает набор всех решений системы.

В этом разделе мы увидели, что решения систем линейных уравнений и неравенств могут быть упорядоченными парами. В следующем разделе мы будем работать с системами, у которых нет решений или есть бесконечно много решений.

Используйте график для классификации решений для систем

Напомним, что линейное уравнение отображается в виде линии, что означает, что все точки на линии являются решениями этого линейного уравнения.Есть бесконечное количество решений. Как мы видели в предыдущем разделе, если у вас есть система линейных уравнений, которые пересекаются в одной точке, эта точка является решением системы. Что произойдет, если линии никогда не пересекаются, как в случае с параллельными линиями? Как бы вы описали решения для такой системы? В этом разделе мы исследуем три возможных результата решения системы линейных уравнений.

Три возможных исхода решений систем уравнений

Напомним, что решение системы уравнений — это значение или значения, которые являются истинными для всех уравнений в системе.Есть три возможных исхода решений систем линейных уравнений. Графики уравнений внутри системы могут сказать вам, сколько решений существует для этой системы. Посмотрите на изображения ниже. На каждой показаны две линии, составляющие систему уравнений.

Одно решение Нет решений Бесконечные решения
Если графики уравнений пересекаются, то существует одно решение, истинное для обоих уравнений. Если графики уравнений не пересекаются (например, если они параллельны), то для обоих уравнений нет истинных решений. Если графики уравнений одинаковы, то существует бесконечное количество решений, которые верны для обоих уравнений.
  • Одно решение: Когда система уравнений пересекается в упорядоченной паре, система имеет одно решение.
  • Бесконечные решения: Иногда два уравнения отображаются в виде одной линии, и в этом случае у нас есть бесконечное количество решений.
  • Нет Решение: Когда линии, составляющие систему, параллельны, решений нет, потому что эти две линии не имеют общих точек.

Пример

Используя график [latex] \ begin {array} {r} y = x \\ x + 2y = 6 \ end {array} [/ latex], показанный ниже, определите, сколько решений есть в системе.

Показать решение
Линии пересекаются в одной точке. Таким образом, у этих двух линий есть только одна общая точка, есть только одно решение системы.

Ответ

Есть одно решение этой системы.

Пример (расширенный)

Используя график [latex] \ begin {array} {r} y = 3,5x + 0,25 \\ 14x – 4y = -4,5 \ end {array} [/ latex], показанный ниже, определите, сколько решений имеет система. .

Показать решение
Линии параллельны, то есть не пересекаются. Решения по системе нет.

Ответ

Нет решений по системе.

Пример

Сколько решений имеет система [latex] \ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} [/ latex]?

Показать решение

Сначала изобразите оба уравнения на одних и тех же осях.

Два уравнения изображены на одной линии. Таким образом, каждая точка на этой линии является решением системы уравнений.

Ответ

Система [latex] \ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} [/ latex] имеет бесконечное количество решений.

В следующем разделе мы изучим некоторые алгебраические методы нахождения решений систем уравнений. Напомним, что линейные уравнения с одной переменной могут иметь одно решение, без решения или много решений, и мы можем проверить это алгебраически.Мы будем использовать те же идеи для алгебраической классификации решений систем с двумя переменными.

Модуль 10 — Производная функции


В этом уроке вы будете использовать несколько различных функций TI-83 для поиска и понимания производных.


В модуле 9 вы видели, что скорости соответствуют наклонам на графике положения во времени. Средняя скорость соответствует наклону

Секущая линия — это линия, проходящая через две точки на кривой.

секущая линия, соединяющая две точки, а мгновенная скорость соответствует наклону касательной к кривой.

Средняя скорость определяется как

, который представляет собой наклон секущей линии через точки
( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) .

Мгновенная скорость определяется выражением

, который представляет собой наклон касательной к кривой в ( a , f ( a )).

Наклон касательной к графику функции в точке называется производной функции в этой точке. Формальное определение производной приведено ниже.


Формальное определение производной

Производная функции f при x = a равна

при условии, что лимит существует.


Иллюстрация сходимости секущих линий

Для функций, имеющих касательную, если точка ( a , f ( a )) на кривой зафиксирована, поскольку h приближается к нулю, вторая точка ( a + h , f ( a + h )) приближается к фиксированной точке, и соответствующие секущие линии сходятся к касательной в этой точке.

В описанной ниже процедуре будет найдено значение производной функции f ( x ) = 2 x x 2 в точке (0,5, 0,75) с использованием метода, аналогичного тому, который вы использовали для найти мгновенные скорости.

  1. Найдите наклоны нескольких секущих линий и используйте их, чтобы оценить наклон касательной как x = 0,5.
  2. Затем возьмите предел наклона секущих линий, чтобы найти производную.

На приведенном ниже графике показано f ( x ) = 2 x x 2 в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1] с тремя секущими линиями через фиксированные точка (0,5, 0,75), которая приближается к касательной в точке (0,5, 0,75).


Нахождение наклонов секущих линий

Первый шаг в описанной выше процедуре — найти наклон секущих линий, которые будут использоваться для оценки производной.Чтобы найти уклоны, вам нужно ввести функцию f ( x ) = 2 x x 2 в редакторе Y =.

Наклон секущей линии через точки (0,5, f (0,5)) и (0,5 + h , f (0,5 + h )) можно найти, оценив коэффициент разности

.

Нас интересуют значения h , которые малы, так что две точки находятся близко друг к другу.Результирующая секущая линия будет приближаться к касательной.

Вы можете оценить коэффициент разницы для h = 0,1 на TI-83, используя команду, состоящую из двух частей. Первая часть команды сохранит 0,1 в h , а вторая часть команды будет оценивать коэффициент разницы. Две команды будут объединены вместе с символом двоеточия.

Наклон секущей линии, содержащей (0.5, f (0,5)) и (0,6, f (0,6)) составляет 0,9.


Использование меньших значений h

Когда точка (0,5 + h , f (0,5 + h )) приближается к точке (0,5, f (0,5)), h приближается к 0, и секущие линии сходятся к касательной.

Чтобы оценить коэффициент разницы для меньших значений h , измените значение H в последнем выражении на главном экране с 0.От 1 до 0,01 и оцените коэффициент разницы.

Наклон соответствующей секущей линии равен 0,99.

  • Оцените коэффициент разницы с h = 0,001 и с h = 0,0001.

Наклон секущих линий равен 0,999 и 0,9999 соответственно.

10.1.1 Предскажите производную в (0,5, f (0,5)). Щелкните здесь, чтобы получить ответ.


Коэффициенты левой разности

В описанной выше процедуре использовались правые разностные коэффициенты. Коэффициенты левой разности могут быть найдены, если h быть отрицательным числом.

  • Оцените коэффициент разницы с h = -0,01 и h = -0.001.
    Вставьте отрицательный знак, а затем используйте

    чтобы удалить нули в предыдущем выражении.

Коэффициенты левой разности

Наклон соответствующих секущих линий равен 1,01 и 1,001. С фиксированной точкой (0,5, 0,75) одна секущая проходит через (0,49, f (0,49)), а другая через (0,499, f (0,499)).


Нахождение производной в точке

Как указывалось ранее, производная при x = 0.5 определяется как предел

.

Прежде чем этот предел можно будет оценить, выражение

должны быть расширены и упрощены. Напомним, что интересующая функция: f ( x ) = 2 x x 2 .

Следовательно,

и производная от f ( x ) = 2 x x 2 при x = 0.5 равно 1.


Использование числовой производной команды

Вы также можете аппроксимировать производную функции в точке с помощью числовой производной команды nDeriv (, которая находится в меню Math. Синтаксис для поиска производной в точке: nDeriv (выражение, переменная, значение ).

  • Перейдите на главный экран, нажав

    [ПОКИДАТЬ].

  • Откройте меню Math, нажав

    . nDeriv ( — восьмой пункт в меню.

  • Вставьте nDeriv ( на главный экран, нажав

    .

  • Завершите команду nDeriv (Y 1 , X, 0.5).
  • Выполните команду, нажав

    .


Команда nDeriv

nDeriv ( фактически вычисляет коэффициент симметричной разности и приближает производную.Вы можете добавить необязательный четвертый параметр, чтобы изменить значение по умолчанию h , которое установлено на 0,001. Например, чтобы оценить коэффициент симметричной разности при x = 0,5 с h = 0,01, введите команду

nDeriv (Y 1 , X, 0,5, 0,01)


Рисование касательной линии

Поскольку точка на кривой и производная в этой точке известны, уравнение для касательной можно найти с помощью

Уравнение для прямой, проходящей через точку (x1, y1) с уклоном м : y y 1 = м ( x x 1).

точечно-наклонная форма линии. Если наклон касательной в точке (0,5, 0,75) равен 1, то уравнение для касательной линии будет: y — 0,75 = 1 ( x — 0,5).

График f ( x ) = 2 x x 2 и его касательная линия в точке (0.5, 0,75).

  • Установить Y 1 = 2 X X 2 .
  • Установите Y 2 = (X-0,5) + 0,75.
  • Постройте график функции и касательной в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1].

Линия кажется касательной к кривой при x = 0,5.


  • Основной ИНДЕКС
  • Месячный ИНДЕКС
  • ПРЕД.
  • СЛЕДУЮЩИЙ
    Имя пользователя atrig
    Время записи в протоколе 09:50:33 3 июля 2002 г.
    Регистрационный номер 87113

    keyword = Trigger-Download

     
    Загрузка триггера в среду, 3 июля, 09:50:32 EDT 2002
    Каталог базы данных = / adaqfs / halla / atrig / trigger
    Импульс левого спектрометра 4000.00 МэВ / c
    Импульс правого спектрометра 4000.00 МэВ / c
    Предполагаемая задержка 0,0 нс
    ФИД левого спектрометра:
      Протон
    ФИД правого спектрометра:
      Протон
    
    -----------------------
    Подробный дамп данных:
    
    
    0) s12L_l_disc LeCroy4413
    ящик: 1 слот: 5 - дисплей-X 1 -Y 1
    Настройка дескриминатора 45 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    1) s12L_l_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 6 - дисплей-X 2 -Y 1
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 6 [1]: 6 [2]: 8 [3]: 2 [4]: ​​2 [5]: 3 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 6 [9]: 4 [10]: 3 [11]: 2 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    2) s12L_logic LeCroy4516
    ящик: 1 слот: 8 - дисплей-X 3 -Y 2
    Состояние модуля: и / или
    -----------------------
    3) s12L_r_disc LeCroy4413
    ящик: 1 слот: 14 - дисплей-X 1 -Y 3
    Настройка дескриминатора 45 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    4) s12L_r_delay LeCroy4418 / 32
    ящик: 1 слот: 11 - дисплей-X 2 -Y 3
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 3 [1]: 3 [2]: 2 [3]: 1 [4]: ​​1 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 3 [9]: 4 [10]: 2 [11]: 3 [12]: 1 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    5) s12L_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 9 - дисплей-X 4 -Y 2
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    6) stbL_delay1 LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 16 - дисплей-X 3 -Y 3
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 14 [1]: 14 [2]: 14 [3]: 14 [4]: ​​14 [5]: 14 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    7) stbL_delay2 LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 17 - дисплей-X 4 -Y 3
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 11 [1]: 11 [2]: 11 [3]: 11 [4]: ​​11 [5]: 11 [6]: 3 [7]: 3
    [8]: 3 [9]: 3 [10]: 3 [11]: 3 [12]: 3 [13]: 3 [14]: 3 [15]: 3
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    8) stbL_logic LeCroy4516
    ящик: 1 слот: 18 - дисплей-X 5 -Y 3
    Состояние модуля: или-или
    -----------------------
    9) retimeL_logic LeCroy4516
    ящик: 1 слот: 19 - дисплей-X 6 -Y 3
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    10) cherL_disc LeCroy4413
    ящик: 2 слот: 2 - дисплей-X 1 -Y 5
    Настройка дескриминатора 30 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    11) cherL_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 2 слот: 4 - дисплей-X 2 -Y 5
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    12) coinL_mlu LeCroy2373
    ящик: 2 слот: 7 - дисплей-X 4 -Y 7
    Состояние модуля: импульсный
    MLU файл 1 mlu_t2t4.данные
    -----------------------
    13) LR_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 2 слот: 9 - дисплей-X 5 -Y 7
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 15 [2]: 15 [3]: 15 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    14) L_delay_1 LeCroy4518 / 300
    ящик: 2 слот: 10 - дисплей-X 6 -Y 7
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 12 [1]: 4 [2]: 1 [3]: 5 [4]: ​​13 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 5 [13]: 5 [14]: 15 [15]: 15
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    15) LR_coin_logic LeCroy4516
    ящик: 2 слот: 11 - дисплей-X 7 -Y 7
    Состояние модуля: и / или
    -----------------------
    16) Ltrig4_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 2 слот: 13 - дисплей-X 5 -Y 9
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 14 [1]: 14 [2]: 14 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 3 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    17) L_delay_2 LeCroy4518 / 300
    ящик: 2 слот: 14 - дисплей-X 8 -Y 7
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 6 [2]: 5 [3]: 8 [4]: ​​13 [5]: 3 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    0) s12R_l_disc LeCroy4413
    ящик: 1 слот: 4 - дисплей-X 1 -Y 1
    Настройка дескриминатора 45 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    1) s12R_l_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 5 - дисплей-X 2 -Y 1
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 6 [1]: 5 [2]: 5 [3]: 5 [4]: ​​4 [5]: 4 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 5 [9]: 3 [10]: 1 [11]: 3 [12]: 2 [13]: 0 [14]: 2 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    2) s12R_logic LeCroy4516
    ящик: 1 слот: 9 - дисплей-X 3 -Y 2
    Состояние модуля: и / или
    -----------------------
    3) s12R_r_disc LeCroy4413
    ящик: 1 слот: 15 - дисплей-X 1 -Y 3
    Настройка дескриминатора 45 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    4) s12R_r_delay LeCroy4418 / 32
    ящик: 1 слот: 13 - дисплей-X 2 -Y 3
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 2 [1]: 1 [2]: 1 [3]: 1 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 2 [9]: 1 [10]: 1 [11]: 1 [12]: 1 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    5) s12R_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 10 - дисплей-X 4 -Y 2
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    6) stbR_delay1 LeCroy4418 / 32
    ящик: 1 слот: 18 - дисплей-X 3 -Y 3
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 14 [1]: 14 [2]: 14 [3]: 14 [4]: ​​14 [5]: 14 [6]: 7 [7]: 14
    [8]: 6 [9]: 6 [10]: 6 [11]: 6 [12]: 6 [13]: 6 [14]: 6 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    7) stbR_delay2 LeCroy4418 / 32
    ящик: 1 слот: 20 - дисплей-X 4 -Y 3
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 1 [1]: 1 [2]: 1 [3]: 1 [4]: ​​1 [5]: 1 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    8) stbR_logic LeCroy4564
    ящик: 1 слот: 21 - дисплей-X 5 -Y 3
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    9) cherR_disc LeCroy4413
    ящик: 2 слот: 2 - дисплей-X 1 -Y 5
    Настройка дескриминатора 30 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    10) cherR_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 2 слот: 4 - дисплей-X 2 -Y 5
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    11) coinR_mlu LeCroy2373
    ящик: 2 слот: 8 - дисплей-X 5 -Y 7
    Состояние модуля: импульсный
    MLU файл 1 mlu2_t4_s1ors2.данные
    -----------------------
    12) retimeR_delay1 LeCroy4518 / 300
    ящик: 2 слот: 12 - дисплей-X 3 -Y 8
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 14 [1]: 13 [2]: 13 [3]: 13 [4]: ​​13 [5]: 8 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 15 [15]: 15
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    13) trigR_delay2 LeCroy4518 / 100
    ящик: 2 слот: 13 - дисплей-X 4 -Y 8
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 2 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    14) trigR_delay3 LeCroy4518 / 300
    ящик: 2 слот: 15 - дисплей-X 5 -Y 8
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 4 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​9 [5]: 14 [6]: 0 [7]: 6
    [8]: 15 [9]: 5 [10]: 11 [11]: 15 [12]: 15 [13]: 14 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    15) RL_coin_logic LeCroy4516
    ящик: 2 слота: 16 - дисплей-X 6 -Y 8
    Состояние модуля: и / или
    -----------------------
    16) aroR_l_disc LeCroy4413
    ящик: 1 слот: 1 - дисплей-X 1 -Y 9
    Настройка дескриминатора 60 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    17) aroR_l_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 1 слот: 23 - дисплей-X 2 -Y 9
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    18) aroR_r_disc LeCroy4413
    ящик: 2 слота: 1 - дисплей-X 1 -Y 10
    Настройка дескриминатора 60 мВ
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
    19) aroR_r_delay LeCroy4418 / 16
    ящик: 2 слот: 23 - дисплей-X 2 -Y 10
    Настройки задержки (в единицах наименьшего количества):
    [0]: 0 [1]: 0 [2]: 0 [3]: 0 [4]: ​​0 [5]: 0 [6]: 0 [7]: 0
    [8]: 0 [9]: 0 [10]: 0 [11]: 0 [12]: 0 [13]: 0 [14]: 0 [15]: 0
    Состояние модуля: нет
    -----------------------
     

  • Символьная математика в Python — конспект лекций Scipy

    Автор : Фабиан Педрегоса

    Цели

    1. Вычисляйте выражения с произвольной точностью.
    2. Выполнять алгебраические манипуляции с символическими выражениями.
    3. Выполнение основных расчетных задач (пределы, дифференцирование и
      интегрирование) с символьными выражениями.
    4. Решайте полиномиальные и трансцендентные уравнения.
    5. Решите некоторые дифференциальные уравнения.

    Что такое SymPy? SymPy — это библиотека Python для символьной математики. Это
    стремится быть альтернативой таким системам, как Mathematica или Maple, сохраняя при этом
    код максимально простой и легкий
    расширяемый.SymPy полностью написан на Python и не требует никаких
    внешние библиотеки.

    Документацию

    Sympy и пакеты для установки можно найти на
    http://www.sympy.org/

    3.2.1.1. Использование SymPy в качестве калькулятора

    SymPy определяет три числовых типа: Real , Rational и Integer .

    Класс Rational представляет рациональное число в виде пары двух
    Целые числа: числитель и знаменатель, поэтому Rational (1, 2)
    представляет 1/2, Rational (5, 2) 5/2 и так далее:

     >>> импортировать sympy как sym
    >>> a = симв.Рациональный (1, 2)
    
    >>> а
    1/2
    
    >>> а * 2
    1
     

    SymPy использует mpmath в фоновом режиме, что позволяет
    выполнять вычисления с использованием арифметики произвольной точности. Что
    Кстати, некоторые специальные константы, например,, (Бесконечность),
    рассматриваются как
    символов и может быть вычислено с произвольной точностью:

     >>> sym.pi ** 2
    пи ** 2
    
    >>> sym.pi.evalf ()
    3,14159265358979
    
    >>> (sym.pi + sym.exp (1)). evalf ()
    5,85987448204884
     

    , как видите, evalf вычисляет выражение как число с плавающей запятой.

    Существует также класс, представляющий математическую бесконечность, называемый
    oo :

     >>> sym.oo> 99999
    Правда
    >>> sym.oo + 1
    оо
     

    Упражнения

    1. Вычислить со 100 десятичными знаками.
    2. Вычислить по рациональной арифметике.

    3.2.1.2. Символы

    В отличие от других систем компьютерной алгебры, в SymPy вы должны объявить
    символьные переменные явно:

     >>> x = симв.Символ ('x')
    >>> y = симв. символ ('y')
     

    Тогда вы можете ими манипулировать:

     >>> х + у + х - у
    2 * х
    
    >>> (х + у) ** 2
    (х + у) ** 2
     

    Символами теперь можно управлять с помощью некоторых операторов Python: + , -`,
    `` *
    , ** (арифметика), &, | , ~, >>, << (логическое).

    Печать

    Sympy позволяет управлять отображением вывода. Отсюда мы используем
    следующая настройка для печати:

     >>> сим.init_printing (use_unicode = False, wrap_line = True)
     

    SymPy способен выполнять мощные алгебраические манипуляции. Хорошо
    ознакомьтесь с некоторыми из наиболее часто используемых: расширять и упрощать.

    3.2.2.1. Развернуть

    Используйте это, чтобы раскрыть алгебраическое выражение. Он будет пытаться опровергнуть
    степени и умножения:

     >>> симв. Развернуть ((x + y) ** 3)
     3 2 2 3
    х + 3 * х * у + 3 * х * у + у
    >>> 3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3
     3 2 2 3
    х + 3 * х * у + 3 * х * у + у
     

    Дальнейшие варианты можно задать в форме по ключевым словам:

     >>> сим.развернуть (x + y, комплекс = True)
    re (x) + re (y) + I * im (x) + I * im (y)
    >>> sym.I * sym.im (x) + sym.I * sym.im (y) + sym.re (x) + sym.re (y)
    re (x) + re (y) + I * im (x) + I * im (y)
    
    >>> sym.expand (sym.cos (x + y), trig = True)
    -sin (x) * sin (y) + cos (x) * cos (y)
    >>> sym.cos (x) * sym.cos (y) - sym.sin (x) * sym.sin (y)
    -sin (x) * sin (y) + cos (x) * cos (y)
     

    3.2.2.2. Упростить

    Используйте упрощение, если вы хотите преобразовать выражение в
    более простая форма:

     >>> сим.упростить ((x + x * y) / x)
    у + 1
     

    Упрощение — это несколько расплывчатый термин,
    существуют альтернативы упрощению: powsimp (упрощение
    экспоненты), trigsimp (для тригонометрических выражений), logcombine ,
    radsimp вместе.

    Упражнения

    1. Рассчитать развернутую форму.
    2. Упростить тригонометрическое выражение

    3.2.3.1. Лимиты

    Limits легко использовать в SymPy, они следуют синтаксису limit (function,
    переменная, точка)
    , поэтому для вычисления предела как
    , вы должны выдать limit (f, x, 0) :

     >>> сим.предел (sym.sin (x) / x, x, 0)
    1
     

    , вы также можете рассчитать предел на бесконечности:

     >>> sym.limit (x, x, sym.oo)
    оо
    
    >>> sym.limit (1 / x, x, sym.oo)
    0
    
    >>> сим. предел (х ** х, х, 0)
    1
     

    3.2.3.2. Дифференциация

    Вы можете различать любое выражение SymPy, используя diff (func,
    var)
    . Примеры:

     >>> sym.diff (sym.sin (x), x)
    cos (x)
    >>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x)
    2 * соз (2 * х)
    
    >>> сим.diff (sym.tan (x), x)
       2
    загар (х) + 1
     

    Проверить правильность можно по:

     >>> sym.limit ((sym.tan (x + y) - sym.tan (x)) / y, y, 0)
       2
    загар (х) + 1
     

    Высшие производные можно вычислить с помощью метода diff (func, var, n) :

     >>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 1)
    2 * соз (2 * х)
    
    >>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 2)
    -4 * грех (2 * x)
    
    >>> sym.diff (sym.sin (2 * x), x, 3)
    -8 * соз (2 * х)
     

    3.2.3.3. Расширение серии

    SymPy также знает, как вычислить ряд Тейлора выражения в
    точка.Используйте серию (expr, var) :

     >>> sym.series (sym.cos (x), x)
         2 4
        х х / 6 \
    1 - - + - + O \ x /
        2 24
    >>> sym.series (1 / sym.cos (x), x)
         2 4
        х 5 * х / 6 \
    1 + - + ---- + O \ x /
        2 24
     

    Упражнения

    1. Рассчитать
    2. Вычислить производную для.

    3.2.3.4. Интеграция

    SymPy поддерживает неопределенную и определенную интеграцию трансцендентных
    элементарные и специальные функции через средство интегрировать () , которое использует
    мощный расширенный алгоритм Риша-Нормана и некоторые эвристики и шаблоны
    соответствие.Можно интегрировать элементарные функции:

     >>> sym.integrate (6 * x ** 5, x)
     6
    Икс
    >>> sym.integrate (sym.sin (x), x)
    -cos (х)
    >>> sym.integrate (sym.log (x), x)
    х * журнал (х) - х
    >>> sym.integrate (2 * x + sym.sinh (x), x)
     2
    х + ch (х)
     

    Также легко обрабатываются специальные функции:

     >>> sym.integrate (sym.exp (-x ** 2) * sym.erf (x), x)
      ____ 2
    \ / пи * erf (х)
    --------------
          4
     

    Можно вычислить определенный интеграл:

     >>> сим.интегрировать (x ** 3, (x, -1, 1))
    0
    >>> sym.integrate (sym.sin (x), (x, 0, sym.pi / 2))
    1
    >>> sym.integrate (sym.cos (x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2))
    2
     

    Также поддерживаются несобственные интегралы:

     >>> sym.integrate (sym.exp (-x), (x, 0, sym.oo))
    1
    >>> sym.integrate (sym.exp (-x ** 2), (x, -sym.oo, sym.oo))
      ____
    \/ Пи
     

    SymPy может решать алгебраические уравнения в одном и нескольких
    переменные с использованием solutionset () :

     >>> сим.набор решений (x ** 4-1, x)
    {-1, 1, -I, I}
     

    Как видите, первым аргументом является выражение, которое
    предполагается равным 0. Он также имеет (ограниченную) поддержку трансцендентного
    уравнения:

     >>> sym.solveset (sym.exp (x) + 1, x)
    {I * (2 * n * pi + pi) | n в целых числах}
     

    Системы линейных уравнений

    Sympy может решить большую часть
    полиномиальные уравнения, а также может решать несколько
    уравнения относительно нескольких переменных, дающие кортеж в качестве второго
    аргумент.Для этого вы используете команду solution () :

     >>> решение = sym.solve ((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))
    >>> решение [x], решение [y]
     

    (-3, 1)

    Другой альтернативой в случае полиномиальных уравнений является
    фактор . Фактор возвращает многочлен, разложенный на несократимые
    условия, и способен вычислять факторизацию по различным
    домены:

     >>> е = х ** 4 - 3 * х ** 2 + 1
    >>> сим.фактор (f)
    / 2 \ / 2 \
    \ x - x - 1 / * \ x + x - 1 /
    
    >>> sym.factor (f, модуль = 5)
           2 2
    (х - 2) * (х + 2)
     

    SymPy также может решать логические уравнения, то есть определять,
    определенное логическое выражение выполнимо или нет. Для этого мы используем
    выполнимая функция:

     >>> симв. Удовлетворительно (x & y)
    {x: верно, y: верно}
     

    Это говорит нам, что (x & y) истинно, если x и y оба истинны.Если выражение не может быть истинным, т.е. никакие значения его аргументов не могут сделать
    выражение True, оно вернет False:

     >>> сим. Удовлетворительно (x & ~ x)
    Ложь
     

    Упражнения

    1. Решите систему уравнений,
    2. Существуют ли логические значения x , y , которые делают (~ x | y) & (~ y | x) истинным?

    3.2.5.1. Матрицы

    Матрицы создаются как экземпляры из класса Matrix:

     >>> сим.Матрица ([[1, 0], [0, 1]])
    [1 0]
    []
    [0 1]
     

    , в отличие от массива NumPy, в него также можно поместить символы:

     >>> x, y = симв. Символы ('x, y')
    >>> A = sym.Matrix ([[1, x], [y, 1]])
    >>> А
    [1 х]
    []
    [y 1]
    
    >>> А ** 2
    [х * у + 1 2 * х]
    []
    [2 * y x * y + 1]
     

    3.2.5.2. Дифференциальные уравнения

    SymPy может решать (некоторые) обыкновенные дифференциалы.
    Для решения дифференциальных уравнений используйте dsolve. Сначала создайте
    неопределенная функция путем передачи cls = Function в функцию symbols:

     >>> f, g = симв.символы ('f g', cls = симв. функция)
     

    f и g теперь являются неопределенными функциями. Мы можем назвать f (x), и он будет представлять
    неизвестная функция:

     >>> f (x)
    f (x)
    
    >>> f (x) .diff (x, x) + f (x)
             2
            d
    е (х) + --- (е (х))
             2
           dx
    
    >>> sym.dsolve (f (x) .diff (x, x) + f (x), f (x))
    f (x) = C1 * sin (x) + C2 * cos (x)
     

    аргументов ключевого слова могут быть переданы этой функции, чтобы помочь, если
    найти наилучшую возможную систему разрешения. Например, если вы знаете
    что это разделяемые уравнения, вы можете использовать ключевое слово hint = 'separable'
    чтобы заставить dsolve разрешить его как разделяемое уравнение:

     >>> сим.dsolve (sym.sin (x) * sym.cos (f (x)) + sym.cos (x) * sym.sin (f (x)) * f (x) .diff (x), f (x) , подсказка = 'разделимый')
                   / C1 \ / C1 \
     [f (x) = - acos | ------ | + 2 * пи, f (x) = acos | ------ |]
                   \ соз (х) / \ соз (х) /
     

    Упражнения

    1. Решите дифференциальное уравнение Бернулли
    1. Решите то же уравнение, используя подсказку = 'Бернулли' . Что вы наблюдаете?

    Комплексные числа: абсолютное значение

    Комплексные числа: абсолютное значение

    Важным понятием для чисел, действительных или комплексных, является абсолютное значение . Напомним, что абсолютное значение | x | действительного числа x само, если оно положительное или ноль, но если x отрицательно, то его абсолютное значение | x | это его отрицание — x, то есть соответствующее положительное значение. Например, | 3 | = 3, но | –4 | = 4. Функция абсолютного значения лишает знак действительного числа.

    Для комплексного числа z = x + yi, определяем абсолютное значение | z | как расстояние от z до 0 в комплексной плоскости C .Это расширит определение абсолютного значения для действительных чисел, поскольку абсолютное значение | x | действительного числа x можно интерпретировать как расстояние от x до 0 на строке действительного числа.

    Мы можем найти расстояние | z | с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с одной вершиной в 0, другой в z и третьим в x на действительной оси непосредственно под z (или выше z , если z оказывается ниже действительной оси).Горизонтальная сторона треугольника имеет длину | | x |, вертикальная сторона имеет длину | y |, а диагональная сторона имеет длину | z |. Следовательно,

    | z | 2 = x 2 + y 2 .

    (Обратите внимание, что для вещественных чисел, таких как x, , мы можем опустить абсолютное значение при возведении в квадрат, поскольку | x | 2 = x 2 .) Это дает нам формулу для | z |, а именно,


    Единичный круг.

    Некоторые комплексные числа имеют абсолютное значение 1. Конечно, 1 — это абсолютное значение как 1, так и –1, но это также абсолютное значение как i , так и — i , поскольку они оба на одну единицу от 0 на мнимая ось. Единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в 0. Он включает в себя все комплексные числа с абсолютным значением 1, поэтому он имеет уравнение | z | = 1.

    Комплексное число z = x + yi ​​ будет лежать на единичной окружности, когда x 2 + y 2 = 1.Некоторые примеры, кроме 1, –1, i, и — 1 равны ± √2 / 2 ± i √2 / 2, где плюсы и минусы могут быть взяты в любом порядке. Это четыре точки на пересечении диагональных линий y = x и y = x с единичной окружностью. Позже мы увидим их как квадратные корни из i и — i.

    Вы можете найти другие комплексные числа на единичной окружности из троек Пифагора.Тройка Пифагора состоит из трех целых чисел a, b, и c , так что a 2 + b 2 = c 2 Если разделить это уравнение на c 2 , то вы обнаружите, что
    ( a / c ) 2 + ( b / c ) 2 = 1. Это означает, что a / c + i b / c — это комплексное число, которое лежит в блоке круг.Самая известная тройка Пифагора — 3: 4: 5. Эта тройка дает нам комплексное число 3/5 + i 4/5 на единичной окружности. Некоторые другие пифагорейские тройки: 5:12:13, 15: 8: 17, 7:24:25, 21:20:29, 9:40:41, 35:12:27 и 11:60:61. Как и следовало ожидать, их бесконечно много. (Для
    немного больше о троек Пифагора см. в конце страницы по адресу http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/right.html.)

    Неравенство треугольника.

    Существует важное свойство комплексных чисел, относящееся к сложению с абсолютным значением, называемое неравенством треугольника.Если z и w — любые два комплексных числа, то

    Вы можете увидеть это из правила сложения параллелограмма. Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z, и z + w.
    Одна сторона треугольника от 0 до z + w имеет длину | z + w |. Вторая сторона треугольника от 0 до z, имеет длину | z |.И третья сторона треугольника, от z до z + w, , параллельна и равна прямой от 0 до w, и, следовательно, имеет длину | w |. Итак, в любом треугольнике любая сторона меньше или равна сумме двух других сторон, и, следовательно, мы имеем неравенство треугольника, показанное выше.

    Графические линейные уравнения с двумя переменными — Элементарная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Определите взаимосвязь между решениями уравнения и его графиком.
    • Постройте линейное уравнение, нанеся точки.
    • График вертикальных и горизонтальных линий.

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    1. Оценить, когда.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    2. Решите в общем.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    Распознать связь между решениями уравнения и его графика

    В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения.Они перечислены на (Рисунок). Итак, упорядоченные пары, и являются некоторыми решениями уравнения. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (Рисунок).

    Обратите внимание, как точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получился график уравнения. См. (Рисунок). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают на продолжение линии.

    Каждая точка на линии является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой.Пункты , а не на линии, не являются решением.

    Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок). Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.

    Итак, дело в решении уравнения. (Фраза «точка с координатами» часто сокращается до «точка».)

    Значит, это не решение уравнения. Следовательно, дело не в контуре.См. (Рисунок). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов». Линия показывает вам всех решений уравнения. Каждая точка на линии — это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения.

    График линейного уравнения

    График линейного уравнения представляет собой линию.

    • Каждая точка на линии является решением уравнения.
    • Каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой.

    Используйте график, чтобы решить, будет ли каждая упорядоченная пара:

    • решение уравнения.
    • на линии.

    ⓐ да, да ⓑ да, да

    Используйте график, чтобы определить, составляет ли каждая заказанная пара:

    • решение уравнения
    • по линии

    ⓐ нет, нет ⓑ да, да

    Построение линейного уравнения по точкам

    Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения.Метод, который мы использовали для построения графиков, называется построением точек или методом построения точек.

    Как построить уравнение по точкам

    Постройте уравнение, нанеся точки.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Действия, которые необходимо предпринять при построении линейного уравнения путем нанесения точек, приведены ниже.

    Постройте линейное уравнение путем нанесения точек.

    1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения.Разложите их в виде таблицы.
    2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
    3. Проведите линию через три точки. Расширьте линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

    Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использовать три точки — хорошая привычка. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения.Это будет неправильная линия.

    Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (a) и частью (b) на (Рисунок).

    Приведем еще один пример. На этот раз мы покажем последние два шага в одной сетке.

    Изобразите уравнение.

    Решение

    Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Здесь, опять же, легче выбрать значения для.Вы понимаете почему?

    Перечислим точки на (Рисунок).

    Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Постройте уравнение, нанеся точки:.

    Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем заменить на любые числа. Но математика будет проще, если мы сделаем «правильный» выбор значений.Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые сложно построить точным графиком.

    Изобразите уравнение.

    Решение

    Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значения, кратные 2, являются хорошим выбором?

    Точки показаны на (Рисунок).

    Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    До сих пор все уравнения, которые мы построили на графике, были выражены в терминах. Теперь изобразим уравнение с одной и той же стороной и на одной стороне. Посмотрим, что получится в уравнении. Если в чем ценность?

    Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы можем построить график этой точки, трудно быть точным, указав дроби. Помните, что в этом примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби.Если мы решим уравнение для, будет легче найти три решения уравнения.

    Решения для, и показаны на (Рисунок). График представлен на (Рисунок).

    Можете ли вы определить точку, которую мы нашли, пропустив на линии?

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Если вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, совпадает ли ваш график с тем, который показан в ответах в книге? Если точки пересечения графиков осей x и y совпадают, графики совпадают!

    Уравнение на (Рисунок) было записано в стандартной форме, с обеими и на одной и той же стороне.Мы решили это уравнение всего за один шаг. Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить, поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, позволяя и решая для. Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем решив для. Затем мы построим третью точку, используя другое значение для или.

    Изобразите уравнение.

    Решение

    Мы перечисляем упорядоченные пары на (Рисунок). Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.См. (Рисунок).

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Вертикальные и горизонтальные линии графика

    Можно ли построить уравнение только с одной переменной? Просто и нет, или просто без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?

    Давайте рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную,. Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от. Независимо от того, что есть, ценность всегда есть.

    Итак, чтобы составить таблицу значений, впишите все значения. Затем выберите любые значения для. Поскольку не зависит от, вы можете выбрать любые числа, которые вам нравятся. Но чтобы соответствовать точкам на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

    Постройте точки из (Рисунок) и соедините их прямой линией. Обратите внимание на (Рисунок), что мы построили вертикальную линию .

    Вертикальная линия

    Вертикальная линия — это график уравнения вида.

    Линия проходит через ось x в точке.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Что делать, если в уравнении есть, но нет? Давайте изобразим уравнение в виде графика. На этот раз значение y — является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от. Заполните 4 для всех (рисунок), а затем выберите любые значения для. Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

    График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4. См. (Рисунок).

    Горизонтальная линия

    Горизонтальная линия — это график уравнения вида.

    Линия проходит по оси y в точке.

    Постройте уравнение

    Изобразите уравнение.

    Изобразите уравнение.

    Уравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и?

    Уравнение содержит и.Значение зависит от значения. Координата y изменяется в зависимости от значения. Уравнение имеет только одну переменную. Значение постоянно. Координата y всегда равна 4. Она не зависит от значения. См. (Рисунок).

    Обратите внимание, что на (Рисунок) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    Решение

    Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная, а во втором — нет.См. (Рисунок). Два графика показаны на (Рисунок).

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    График и в той же прямоугольной системе координат.

    Ключевые понятия

    • Построение линейного уравнения по точкам
      1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
      2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают.Если нет, внимательно проверьте свою работу!
      3. Проведите линию через три точки. Расширьте линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.
    Повседневная математика

    Стоимость дома на колесах. Робинсоны арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах обходится им в 594 фунта плюс 0,32 фунта за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость проезда на несколько миль. Рассчитайте стоимость аренды за проезд 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.

    ? 722,? 850,? 978

    Еженедельный доход. В художественной галерее, где он работает, Сальвадору платят 200 фунтов в неделю плюс 15% от продаж, которые он совершает, поэтому уравнение дает сумму, которую он зарабатывает на продаже произведений искусства в долларах. Подсчитайте сумму, которую Сальвадор зарабатывает от продажи 900, 1600 и 2000 фунтов стерлингов, а затем изобразите эту линию.

    Письменные упражнения

    Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии.

    В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.