X y 2x 2 2y 2 разложить на множители: Разложить на множители x-y-2x^2+2y^2 — Школьные Знания.com

Содержание

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.

Предварительные навыки

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:

6x + 3xy = 3x(2 + y)

В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.

В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y). По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)

Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y). Вынесем его за скобки:


Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.

Рассмотрим следующий многочлен:

ax + ay + 3x + 3y

Члены ax и ay имеют общий множитель a. Выпишем эти члены и заключим их в скобки:

(ax + ay)

Далее в многочлене ax + ay + 3x + 3y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:

(3x + 3y)

Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»

(ax + ay) + (3x + 3y)

В многочлене (ax ay) вынесем за скобки общий множитель a, а в многочлене (3+ 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:

Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:

Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:

Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(+ 3). Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y

(x + y)(+ 3) = ax + ay + 3x + 3y


Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.

Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a. Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»

(9x − 9y) + (ax − ay)

В первой группе (9x  − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a

(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y)

Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)

(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y) = (x − y)(9 + a)


Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b− 3a на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a. А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b2. Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»

(ab − 3a) + (−3b + b2)

В первой группе вынесем за скобки общий множитель a, во второй группе — общий множитель b

(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(−3 + b)

Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)

(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3)

Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)

(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b)


Пример 4. Разложить многочлен x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:

В первой группе вынесем за скобки общий множитель x, во второй группе — общий множитель y, в третьей группе — общий множитель 2

Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:


Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

a+ 2ab + b2 = (a + b)2

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a+ 2ab + b2, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).

a+ 2ab + b2 = (a + b)(a + b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x2 + 12xy + 9y2

Чтобы воспользоваться формулой a+ 2ab + b2 = (a + b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член многочлена 4x2 + 12xy + 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, поскольку (3y)2 = 9y2, а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x, а переменная b равна 3y

a = 2x
b = 3y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x2 + 12xy + 9y2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y)2, но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x2 + 12xy + 9y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2+ 3y)2

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

А поскольку (2x + 3y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y), то исходный многочлен 4x2 + 12xy + 9y2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

Полностью решение можно записать так:

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)


Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 + 12x + 36

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x2 = x2, третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 62 = 36, а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6, поскольку 2 × x × 6 = 12x.

Воспользуемся формулой a+ 2ab + b2 = (a + b)2. Роль переменной a играет одночлен x, а роль переменной b играет одночлен 6. Отсюда:

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

А поскольку (x + 6)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6), то исходный многочлен x2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)

x2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)


Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a2 − 2ab + b2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x2 − 12xy + 4y2

Чтобы воспользоваться формулой a2 − 2ab + b2 = (a − b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x, поскольку (3x)2 = 9x2. Третий член 4y2является результатом возведения в квадрат одночлена 2y, поскольку (2y)2 = 4y2, а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2 × 3× 2y = 12xy.

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x, а переменная b равна 2y

a = 3x
b = 2y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x2 − 12xy + 4y2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y)2, но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x2 − 12xy + 4y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y)2

9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)2

А поскольку (3x − 2y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y), то исходный многочлен 9x− 12xy + 4y2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)

9x− 12xy + 4y2 = (3x − 2y)(3x − 2y)

Полностью решение можно записать так:

9x− 12xy + 4y2 = (3x)2 − 2 × 3× 2y + (2y)2 = (3x − 2y)2 = (3x − 2y)(3x − 2y)


Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

x2 − 4x + 4 = x2 − 2 × x × 2 + 22 = (x − 2)2 = (x − 2)(x − 2)


Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a+ 3a2+3abb3, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)(a + b)(a + b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m

m3 = m3

Последний член 8n3 является результатом возведения в куб одночлена 2n

(2n)3 = 8n3

Второй член 6m2n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n

3 × m2 × 2n = 6m2n

Третий член 12mn2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n

3 × m × (2n)2 = 3 × m × 4n2 = 12mn2

То есть исходный многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m, а переменной b соответствует 2n

a = m
b = 2n

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m+ 6m2+ 12mn2 + 8n3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n)3, но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n)3

m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)3

А поскольку (m + 2n)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n), то исходный многочлен m+ 6m2+ 12mn2 + 8n3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)

m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x

(5x)3 = 125x3

Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1

13 = 1

Второй член 75x2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1

3 × (5x)2 × 1 = 3 × 25x2 = 75x2

Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1

3 × 5x × 12 = 15x

Воспользуемся формулой a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3. Роль переменной a играет одночлен 5x, а роль переменной b играет одночлен 1

a = 5x
b = 1

Поэтому,

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)3

А поскольку (5x + 1)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1), то исходный многочлен 125x+ 75x+ 15+ 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)


Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.

Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:

(a − b)3 = a− 3a2b + 3ab− b3

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a− 3a2b + 3ab− b3 = (a − b)3

Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a− 3a2b + 3ab− b3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).

a− 3a2b + 3ab− b3 = (a − b)(a − b)(a − b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3

Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4

43 = 64

Последний член 8x3 является результатом возведения в куб одночлена 2x

(2x)3 = 8x3

Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x

3 × 42 × 2x = 3 × 16 × 2x = 96x

Третий член 48x2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x

3 × 4 × (2x)2 = 3 × 4 × 4x2 = 48x2

Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4, а переменной b соответствует 2x

a = 4
b = 2x

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96+ 48x− 8x3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x)3, но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96+ 48x− 8x3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x)3

64 − 96+ 48x− 8x3 = (4 − 2x)3

А поскольку (4 − 2x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x), то исходный многочлен 64 − 96+ 48x− 8x3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x), (4 − 2x) и (4 − 2x)

64 − 96+ 48x− 8x3 = (4 − 2x)(4 − 2x)(4 − 2x)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x2 − 125x3

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3

33 = 27

Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x

(5x)3 = 125x3

Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x

3 × 32 × 5x = 3 × 9 × 5x = 135x

Третий член 225x2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x

3 × 3 × (5x)2 = 3 × 3 × 25x2 = 225x2

Воспользуемся формулой a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3. Роль переменной a играет одночлен 3, а роль переменной b играет одночлен 5x

a = 3
b = 5x

Поэтому,

27 − 135x + 225x2 − 125x3 = (3 − 5x)3

А поскольку (3 − 5x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x), то исходный многочлен 27 − 135+ 225x− 125x3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x), (3 − 5x) и (3 − 5x)

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (3 − 5x)(3 − 5x)(3 − 5x)


Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a2 − b2 на множители (a − b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x2 − 25y2

Чтобы воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член 16x2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x

(4x)2 = 16x2

Второй член 25y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y

(5y)2 = 25y2

То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x, а переменной b соответствует одночлен 5y

a = 4x
b = 5y

Теперь можно воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b). Подставим в неё наши значения a и b

(4x)2 − (5y)2 = (4− 5y)(4+ 5y)

Полностью решение можно записать так:

16x2 − 25y2 = (4x)2 − (5y)2 = (4− 5y)(4+ 5y)

Для проверки можно выполнить умножение (4− 5y)(4+ 5y). Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x2 − 25y2

(4− 5y)(4+ 5y) = 16x2 − 20xy + 20xy − 25y2 = 16x2 − 25y2


Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − y2

В данном случае переменной a соответствует x, а переменной b соответствует y. Тогда по формуле квадрата разности имеем:

x2 − y2 = (x − y)(x + y)

Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b.

Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.

Например, чтобы разложить многочлен 4x− 9y6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x2)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x4

(2x2)2 = 4x4

А член 9y6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3y3)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y6

(3y3)2 = 9y6

Теперь мы знаем, чему равны a и b. Они равны 2x2 и 3y3 соответственно. Подставим их в формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b)

(2x2)2 − (3y3)2 = (2x23y3)(2x2 + 3y3)

Полностью решение можно записать так:

4x− 9y6 = (2x2)2 − (3y3)2 = (2x23y3)(2x2 + 3y3)

Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.

Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x− 9y6

(2x23y3)(2x2 + 3y3) = 2x2(2x2 + 3y3) − 3y3(2x2 + 3y3)
= 4x+ 6x2y3 − 6x2y3 − 9y6 = 4x− 9y6


Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64

Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

81 − 64 = 92 − 82 = (9 − 8)(9 + 8)


Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:

(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Эта формула позволяет разложить выражение вида a3 + b3 на множители (a + b) и (a2 − ab + b2).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x3 + 64y3

Представим члены 27x3 и 64y3 в виде одночленов, возведённых в куб

27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x, переменная b равна 4y

27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3 = (3x + 4y)((3x)2 − 3x × 4y + (4y)2) =
(3x + 4y)(9x2 − 12xy + 16y2)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8

Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:

125 + 8 = 53 + 23

Далее воспользуемся формулой суммы кубов:

125 + 8 = 53 + 23 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)


Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Эта формула позволяет разложить выражение вида a3b3 на множители (a − b) и (a2 + ab + b2).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x3 − 27y3

Представим члены 64x3 и 27y3 в виде одночленов, возведённых в куб:

64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x, переменная b равна 3y

64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3 = (4x − 3y)((4x)2 + 4x × 3y + (3y)2) =
(4x − 3y)(16x2 + 12xy + 9y2)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27

Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:

64 − 27 = 43 − 33 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)


Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x3 − 1

Представим члены 125x3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:

125x3 − 1 = (5x)3 − 13

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x, переменная b равна 1

125x3 − 1 = (5x)3 − 13 = (5x − 1)((5x)2 + 5x × 1 + 12) =
(5x − 1)(25x2 + 5x + 1)


Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax2 − ay2 

В данном многочлене содержится общий множитель a. Вынесем его за скобки:

ax2 − ay2 = a(x2 − y2)

При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:

ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x2 + 6xy + 3y2

Вынесем за скобки общий множитель 3

3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2)

В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y. Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y)2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)

3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2) = 3(x + y)2 = 3(x + y)(x + y)


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 2. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 3. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 4. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 5. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 6. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 7. Разложите на множители многочлен:

x2 + 12x + 36

Решение:

x2 + 12x + 36 = x2 + 2 × x × 6 + 62 = (x + 6)2 = (x + 6)(x + 6)

Задание 8. Разложите на множители многочлен:

8xy + y2 + 16x2

Решение:

8xy + y2 + 16x2 = 16x2 + 8xy + y2 = (4x)2 + 2 × 4x × y + y2 = (4x + y)2 = (4x + y)(4x + y)

Задание 9. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 10. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 11. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 12. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 13. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 14. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 15. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 16. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 17. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 18. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 19. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 20. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 21. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 22. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 23. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 24. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 25. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 26. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 27. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 28. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 29. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 30. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 31. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 32. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 33. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 34. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 35. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 36. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 37. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 38. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 39. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 40. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 41. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 42. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 43. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 44. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 45. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 46. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 47. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 48. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 49. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 50. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 51. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 2a, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:

Задание 52. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 4, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:

Задание 53. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 2x2y2, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:

Задание 54. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 4x3y3, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Разложить на множители x-y-2x^2+2y^2

Найдем ОДЗ:

x

Приступим к решению:

Возможно я туплю, сори.
Если смотреть по ответам, то это — A)

Задача на производительность.(в системе линейных минусы,где на точки похоже)
На карандаш нигде внимания не обращать,все пишется ручкой.
Ответ:Первому понадобится 3 дня,второму 6 дней.

1 ящик = х-5

2 ящик = 2х

3 ящик=х

Всего 49 кг

Складываем:

х-5+2х+х=49

4х=54

х=13,5(3 ящик)

2 ящик =2х=13,5*2=27

1 ящик=х-5=13,5-5=8,5

Проверка:8,5+13,5+27=49

Удачи))))♥♥♥

Tg(arcsina) = sin(arcsina)/cos(arcsina)
Находим: sin(arcsina) = a
Теперь найдем cos(arcsina).2)

Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника через x см , тогда длина большей стороны будет равна (x + 3) см . По условию задачи площадь прямоугольника равна 54 см² . Составим и решим уравнение :

x * (x + 3) = 54

x² + 3x — 54 = 0

D = 3² — 4 * (- 54) = 9 + 216 = 225 = 15²

x₂ — не подходит, так как сторона прямоугольника не может выражаться отрицательым числом .

Значит длина меньшей стороны прямоугольника равна 6 см, а длина большей стороны равна 6 + 3 = 9 см .

Периметр прямоугольника равен :

P = (6 + 9) * 2 = 30 см

«Разложение на множители способом группировки»

Урок

по теме: «Разложение на множители способом группировки» (7 класс)

Цели урока:

  1. Сформировать умение школьников раскладывать многочлен на множители способом группировки.

  2. Совершенствовать общеучебные умения и навыки работы с учебной литературой и самоконтроля.

План урока

  1. Актуализация опорных ЗУН. Совершенствование навыка разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

  2. Сообщение новых знаний. Формирование навыка самостоятельной работы с учебной литературой.

  3. Первичное закрепление нового материала. Совершенствование навыка самоконтроля.

  4. Рефлексия. Постановка целей на будущие уроки.

Ход урока

Учитель. Сегодня на уроке мы продолжим учиться раскладывать многочлен на множители. Мы уже познакомились со способом разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

  • Фронтальная работа с классом. Учащимся предлагается устная работа Что значит разложить многочлен на множители?

  • Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

  • Сформулируйте алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки.

Задание 1.

Вынести за скобки общий множитель:

  • 1) 6а+9х;

  • 2) ay–ax;

  • 3) a2 –a³b;

  • 4) 16mn – 4mn3 ;

  • 5) 12(a+b) –x(a+b).

Математический диктант:

  1. 15х + 10y; 1) 9n + 6m;

  2. b² — ab; 2) a2 – ab;

3) a²bc+ab² — abc

3) abx² + bx +2xb²; 4) 8m2n – 4mn3 ;

4) 20x³y² + 4x²y³; 5) 3(x + y) +c(x + y).

5) 6(m + n)+s(m + n).

Задание 2. Представить многочлен с5–9b2c–2b3–3 в виде

а) суммы двух многочленов так, чтобы один из многочленов не содержал
переменной с; [(с5 – 9b2с) + (–2b3–3)]

б) разности двух многочленов так, чтобы один из многочленов не содержал
переменной b; [(с5–3)–(9b2с + 2b3)]

Задание 3. Разложить на множители многочлен x2 + 3x + 6 + 2x

Учащиеся подмечают, что данный многочлен разложить на множители известным способом нельзя.

Учитель. Сегодня на уроке мы познакомимся с еще одним способом разложения многочлена на множители. Тема урока «Разложение на множители способом группировки». В конце урока каждый должен уметь раскладывать многочлен на множители способом группировки. Способ группировки — это …. Вообще, что обозначает слово группировать?

Учащиеся. Группировать – значит объединять по какому-то признаку.

Учитель. x2 + 3x + 6 + 2x =

РЕШЕНИЕ:

  • Пристально посмотрим на левую часть,

  • Общего множителя нет.

  • Попробуем объединить в группы:

  • = (x2 + 3x) + (6 + 2x) =

  • Теперь у одночленов в скобках появились общие множители

  • = х(x + 3) + 2(3 + x) =

  • = (х + 3)(х +2).

Способ группировки

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

  1. Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена.

  2. Вынести этот общий множитель за скобки.

Учитель. Теперь рассмотрим пример 2.

Разложить на множители многочлен:

хy – 6 + 3х — 2y

Первый способ группировки:

xy-6+3х-2y=(xy-6)+(3x-2y).

Учитель. Не получилось. В чем причина? (Группировка неудачна.)

Второй способ группировки:

xy-6+3х-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2).

Третий способ группировки:

xy-6+3х-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=

=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3).

Ответ: xy-6+3х-2y=(x-2)(y+3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной.

Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее и ищите иной способ.

Учащиеся. Группировать одночлены надо так, чтобы после вынесения из каждой группы общего для ее членов множителя получить в скобках одинаковые выражения.

Учитель. Всякий ли многочлен можно разложить на множители? Разложите на множители многочлен х3 – 5х2 – 2х – 10.

Учащиеся, х3 – 5х2 – 2х – 10= (х3 – 5х2) + (–2х – 10) = х2(х – 5) – 2(х + 5) =

Этот многочлен нельзя разложить на множители. Значить не каждый многочлен можно разложить на множители.

Учитель. Мы познакомились с новым способом разложения многочлена на множители — способом группировки. А теперь будем учиться применять этот способ при решении примеров.

Фронтальная работа с классом. Комментированное письмо. Ученик комментирует решение, учитель оформляет записи на доске, учащиеся выполняют записи в тетрадях.

РАЗЛОЖИТЕ НА МНОЖИТЕЛИ:

1). ах + 3х + 4а + 12 = (a+3)(x+4)

2). аb — 8а – bх + 8х = (b-8)(a-x)

3). x2m — x2n + y2m — y2n = (m-n)(x²+y²)

Учитель. Выполним самостоятельную работу.

Дифференцированные задания по уровням

А. Задания нормативного уровня.

1) 7а — 7в + аn – bn = (7a – 7b) + (an – bn) = 7(a – b) + n(a – b) =(7+n)(a-b)

2) xy + 2y + 2x + 4 =(xy+2y) + (2x+4) = y(x+2) +2(x+2) = (x+2)(y+2)

3) y2a — y2b + x2a — x2b = (y²a-y²b) + (x²a-x²b) = y²(a-b) + x²(a-b) = (a-b)(y²+x²)

Б. Задания компетентного уровня

1) xy + 2y — 2x – 4 = (xy+2y) – (2x+4) = y(x+2) – 2(x+2) = (x+2)(y-2)

2) 2сх – су – 6х + 3у = (2cxcy) – (6x-3y) = c(2xy) – 3(2xy) = (2xy)(c-3)

3) х2 + xy + xy2 + y3 = (x²+xy) + (xy²+y³) = x(x+y) + y²(x+y) = (x+y)(x+y²)

С. Задания творческого уровня

1) x4 + x3yxy3 y4 = x³(x+y) — y³(x+y) = (x+y)(x³-y³) = (x+y)(xy)(x²+xy+y²)

2) ху2ву2ах + ав + у2а = (xy²-by²+y²) – (ax-ab+a) = y²(x-b+1) – a(x-b+1) = (x-b+1)(y²-a)

3) х2 – 5х + 6 = (x² -2x) – (3x-6) = x(x-2) – 3(x-2) = (x-2)(x-3)

Решение самостоятельной работы выписано за доской.

Во время проверки учащиеся сверяют свои записи с выписанным решением, вносят исправления в свое решение, задают вопросы. При необходимости комментируют решение учащиеся, которые верно выполнили работу. Подводятся итоги успешного выполнения самостоятельной работы, что позволяет выявить уровень усвоения темы.

Учитель. Если есть вопросы, задайте их. Я рада, что вы разобрались в новом материале. У вас получилось. Можно немного отдохнуть. Предлагаю составить уравнение к задаче:

«Мотоциклист выехал из города М в город N. Если он будет ехать со скоростью 35км/ч, то опоздает к намеченному сроку на 2 ч, если же он будет ехать со скоростью 50км/ч, то приедет в N на 1 ч раньше срока. Сколько километров должен проехать мотоциклист?»

Учащиеся самостоятельно составляют уравнение к задаче. Затем один из учеников комментирует ход решения, учитель фиксирует этапы рассуждений на доске. Учащиеся пользуются сигнальными карточками.

Пусть х ч требуется на весь путь.

S км

v км/ч

t ч

1

35(х + 2)

35

х+2

2

50(х–1)

50

х–1

35(х + 2) = 50(х–1)

Учитель. Решив уравнение, мы ответим на вопрос задачи?

Учащиеся. Нет. Необходимо будет найти значение выражения 50(х –1) или

значение выражения 35(х + 2).

Решение самостоятельной работы выписано за доской.

Во время проверки учащиеся сверяют свои записи с выписанным решением, вносят исправления в свое решение, задают вопросы. При необходимости комментируют решение учащиеся, которые верно выполнили работу. Подводятся итоги успешного выполнения самостоятельной работы, что позволяет выявить уровень усвоения темы.

Учитель. Итак, подведём итог урока. Что нового мы узнали на уроке? Чему научились?

Учащиеся отвечая на вопросы учителя, планируют работу на следующие уроки.

Учитель. Запишите домашнее задание № 32.1 – 32.6(в,г).

Урок окончен.

Разложение на множители с помощью комбинирования различных способов. 7-й класс

Цели урока:


Дидактические:


а) повторение и обобщение изученного материала;


б) закрепление навыков и умений разложения на множители многочлена, применяя различные способы.


Развивающие:


а) развитие умения планировать полный или частичный ход урока;


б) развитие логического мышления.


Воспитательные:


а) развитие познавательного интереса;


б) воспитание нравственных качеств личности, трудолюбия.


Ход урока


I. Мотивация к учебной деятельности и постановка целей урока


Учитель сообщает тему и  цели урока. Слайд 1, Слайд 2


Сегодня на уроке мы с Вами закрепим наши знания, умения и навыки разложения многочлена на множители.


II. Повторение необходимых знаний. Слайд 3


А как вы понимаете задание: Разложить на множители?


С помощью каких способов можно выполнить разложение на множители?


А) Вынесение за скобку общего множителя.


Б) Способ группировки слагаемых.


В) Формулы сокращённого умножения.


Мы с вами  рассмотрим разложение на множители, применяя различные способы.


Устно:






7ab — 14a2 =

2c + ax + cx + 2a =

p2 — 4 =

5bc2 + bc =

36 — 49y2 =

-50a2 + 25ax =

2x — 7y — 14 — xy =

9a2 — 16x2 =

-30by2 — 6b2 =

x2y4 — 1 =

I. Разложение на множители методом группировки. Слайд 4


Учащимся выдают карточки с заданиями двух уровней сложности. Задания варианта А учащиеся разбирают с помощью учителя. Задания варианта Б решают самостоятельно. 


Разложите на множители способом группировки:


По коду в таблице подпишите название планет. Слайд 5


Таблица 1. Буквенные коды для задания на разложение на множители способом группировки.











Название планеты

Код

Буквенный код

Вариант А

Буквенный код

Вариант В

Земля

1

(b+c)(a+x)

(b+c)(a+p)

Марс

2

(a+b)(5+m)

(a+b)(4+y)

Венера

3

(b-4)(5-x)

(b-5)(3+a)

Меркурий

4

(x+a)(2+c)

(x+2a)(2x-3)

Юпитер

5

(a+1)(b-1)

(a+b)(3a-m)

Сатурн

6

(a-m)(3+y)

(a-c)(3+x)

Плутон

7

(b+c)(a-4)

(a+y)(b+c+m)

Уран

8

(x-y)(2c+p)

(n-m)(1+y)

Нептун

9

(x-p)(1+c)

(c+2)(2c+3)

Слайд 7, Слайд 8


Вариант А  (учащиеся решают на доске) (Приложение 1)


Рис. 1. Задание варианта А на разложение на множители способом группировки.


Слайд 6

Вариант Б (учащиеся решают самостоятельно) (Приложение 2)


Рис. 2. Задание варианта Б на разложение на множители способом группировки.

Найдите числовые коды планет. Заполните пропуски в тексте.


3 ВЕНЕРА – самая жаркая планета, хотя и расположена дальше от Солнца, чем 4 МЕРКУРИЙ. Температура на её поверхности достигает 500°. 2 МАРС называется «красной» планетой. Его поверхность покрыта каменистой пылью красного цвета. 5 ЮПИТЕР  самая большая планета. Из – за своих сверкающих ярких колец 6 САТУРН считается самой красивой планетой. Его кольца состоят из осколков льда, камней и пыли. Самая отдалённая планета 7 ПЛУТОН. Однако каждые 248 лет он оказывается ближе к Солнцу, чем его «сосед» 9 НЕПТУН.   8 УРАН стоит из газов, в том числе метана, который придаёт планете синевато – зелёный цвет. В древности были известны только 5 планет, видимые невооружённым взглядом: Венера, Марс, Меркурий, Сатурн, Юпитер. Остальные три планеты ПЛУТОН, УРАН, НЕПТУН были открыты за последние 200 лет.


II. Разложение на множители, используя формулу квадрата разности или суммы.


Слайд 9


В эпоху Пифагора (VI в. до н. э.) греки именовали планеты не так, как они называются сейчас. Слайд 10


Разложите на множители, используя формулу квадрата разности или суммы.


Таблица 2. Вариант А.








Пирой

x2 + 10x + 25 =

Стилбон

a2 + 8z + 16 =

Фаэтон

9x2 — 6x + 1 =

Фенон

x2 — 6x + 9 =

Фосфорос

y2 — 2y + 1 =

Геспер

1 — 2y + y2 =

Таблица 3. Вариант Б.








Пирой

x2 — 4xy + 4y2 =

Стилбон

4x2 + 4xy + y2 =

Фаэтон

x4 — 2x2y + y2 =

Фенон

y4 — 4xy2 + 4x2 =

Фосфорос

0,25x2 + 2xy + 4y2 =

Геспер

4y2 + 1/4x2 + 2xy =

Таблица 4. Таблица кодов для задания на разложение на множители с использованием формул квадрата разности или суммы.





Вар. А

(y-1)2

(x+5)2

(a+4)

(x-3)2

(3x-1)2

Вар. Б

(0,5x+2y)2

(x-2y)2

(2x+y)

(y2-2x)2

(x2-y)2

 

Венера

Марс

Меркурий

Сатурн

Юпитер

Слайд 11, Слайд 12


Известные грекам планеты в древности именовались:


Сатурн –  ФЕНОН (в переводе означает сияющий),


Юпитер –  ФАЭТОН  (блистающий, лучезарный),


Марс  – ПИРОЙ (огненный, пламенный),


Меркурий –  СТИЛБОН  (сверкающий),


Венера имела два названия  –  ФОСФОРОС (несущая утро) и ГЕСПЕР (вечер), т. к. рассматривалась греками как две  различные планеты. Позже, когда стало ясно, что это одна планета, её стали называть Фосфорос.


III. Разложение на множители вынесением за скобку общего множителя. Слайд 13


В IV веке до н. э. греки дали планетам имена своих богов. Венера, например, вместо названия Фосфорос стала называться именем богини красоты Афродиты. Об этих новых названиях планет писал в своих работах Аристотель. Слайд 14


Вынесите за скобку общий множитель.


Арес   y5 + 3y6 + 4y7 =


Кронос -5x2 +10x3 +15x4 =


Зевс 3a3b — 6a2b2=


Гермес -20c2 + 80bc =


Сатурн 4y — 12x2y — 8xy =


Меркурий 15c2 — 60bc =


Марс -8y2 — 2 — 6y =


Слайд 15


По совпадающим многочленам оставшимся в скобках, соотнесите греческое название планет с римскими, ныне используемыми. Оставшееся греческое название – ЗЕВС соответствует римскому, ныне употребляемому названию  – Юпитер. Римляне, перенявшие греческую культуру, просто перевели на свой язык имена планет, которые мы используем сейчас.


Гермес  МЕРКУРИЙ,  Арес  МАРС, Зевс ЮПИТЕР, Кронос  САТУРН.


IV. Комбинирование различных способов. Слайд 16


«Ясность – главное достоинство речи»


Какому философу  принадлежит высказывание?


В свободные части «паутинки»  запишите разложение на множители

9x2 — 81 =

ay2 — 4a =

5a — ab — 5 + b =

6a2 + 12ab + 6b2 =

-12x3 +12x2 — 3x =

Таблица 5. Буквенный код к заданию на разложение на множители.



и

а

л

т

т

9(a-3)(a+3)

-3x(2x-1)2

6(a+b)2

(5-b)(a-1)

a(y-2)(y+2)

Слайд 17


Рис. 3. Задание на разложение на множители путем комбинирования различных способов.

V. Подведение итогов урока.


Учитель оценивает работу учащихся.


VI. Домашнее задание. Слайд 18, Слайд 19, Слайд 20, Слайд 21


В астрономической литературе и календарях использовались специальные знаки. Некоторые из этих знаков возникли в глубокой древности и представляли собой символические фигуры небесных светил и планет.


Разложите на множители, применяя все известные вам способы.


Таблица 6. Задание на разложение на множители.












Знак

Планета

Вариант А

Вариант Б

ЗЕМЛЯ

4a2 — 4b2 =

8x2 — 8y2 =

МАРС

11m2 — 11 =

500a2x2 — 5a6 =

МЕРКУРИЙ

1 — 49a2 =

(x+4)2 — 1 =

ЮПИТЕР

5a3 — 80a5 =

64 — (7+a)2 =

ВЕНЕРА

2x2 + 12xy + 18y2 =

(7-3x)2 — 9 =

САТУРН

-2a3 + 4a2 — 2a =

x2 + 2xy + y2 — 64 =

УРАН

3x2 — 24xy + 48y2 =

(a-3b)(a2-9b2) =

НЕПТУН

3a — 3a3 =

8a2b2 — 72a2c2 =

ПЛУТОН

x2 + 2xy + y2 — 49 =

2x6 — 16y9 =

Таблица 7. Таблица с кодом.











 

Вариант А

Вариант Б

Венера

2(x+3y)2

(4-3x)(10-3x)

Марс

11(m-1)(m+1)

5a2(10x-a2)(10x+a2)

Нептун

3a(1+a)(1-a)

8a2(b-3c)(b+3c)

Юпитер

5a3(1-4a)(1+4a)

(1-a)(a+15)

Сатурн

-2a(a-1)2

(x+y-8)(x+y+8)

Уран

3(x-4y)2

(a-3b)(1+a+3b)

Плутон

(x+y-7)(x+y+7)

2x6(1-2y)(1-2y+4y2)

Меркурий

(1-7a(1+7a))

(x+3)(x+5)

Земля

4(a-b)

8(x-y)(8+y)

Литература:

  1. Алгебра. 7 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 240 с.
  2. Лебединцева Е. А., Беленкова Е. Ю. Алгебра 7 класс. Задания для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект – центр, 2004. – 152 с.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Сумма нечетных степеней

      Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.

      Таблица 3. – Сумма нечетных степеней

Название формулы Формула
Сумма кубов x3 + y3 = (x + y) (x2xy + y2)
Сумма пятых
степеней
x5 + y5 = (x + y) (x4x3y + x2y2xy3 + y4)
Сумма седьмых
степеней
x7 + y7 = (x + y) (x6x5y + x4y2x3y3 + x2y4xy5 + y6)
Сумма степеней
порядка  2n + 1  
x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n x2n – 1y + x2n – 2 y2 – …xy2n – 1 + y2n)

Сумма кубов

x3 + y3 =
= (x + y) (x2xy + y2)

Сумма пятых степеней

x5 + y5 =
= (x + y) (x4x3y +
+ x2y2xy3 + y4)

Сумма седьмых степеней

x7 + y7 =
= (x + y) (x6x5y +
+ x4y2x3y3 +
+ x2y4xy5 + y6)

Сумма степеней порядка  2n + 1  

x2n + 1 + y2n + 1 =
= (x + y) (x2n
x2n – 1y +
+ x2n – 2 y2
– …xy2n – 1 + y2n)

Разность нечетных степеней

      Если в формулах из Таблицы 3 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):

      Таблица 4. – Разность нечетных степеней

Название формулы Формула
Разность кубов x3y3 = (x y) (x2 + xy + y2)
Разность пятых
степеней
x5y5 = (x y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых
степеней

x7y7 = (x y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)
Разность степеней
порядка  2n + 1
x2n + 1y2n + 1 = (xy) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + …+ xy2n – 1 + y2n)

Разность кубов

x3y3 =
= (x y) (x2 + xy + y2)

Разность пятых степеней

x5y5 =
= (x y) (x4 + x3y +
+ x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых
степеней

x7y7 =
= (x y) (x6 + x5y +
+ x4y2 + x3y3 +
+ x2y4 + xy5 + y6)

Разность степеней порядка  2n + 1

x2n + 1y2n + 1 =
= (xy) (x2n +
+ x2n – 1y +
+ x2n – 2 y2 +
+ …+ xy2n – 1 + y2n)

Разность четных степеней

      Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.

      Таблица 5. – Разность четных степеней

Название формулы Формула
Разность квадратов x2y2 = (x + y) (x y)
Разность четвертых
степеней
x4y4 =
= (x + y) (x3x2y + xy2y3) =
= (x + y) (x y) (x2 + y2)
Разность шестых
степеней
x6y6 =
= (x + y) (x5x4y + x3y2x2y3 + xy4y5) =
= (x + y) (x y) (x2 xy + y2) (x2 + xy + y2)
Разность восьмых
степеней
x8y8 =
= (x + y) (x7x6y + x5y2x4y3 + x3y4x2y5 + xy6y7) =
= (x + y) (x y) (x2 + y2) (x4 + y4)
Разность степеней
порядка  2n
x2ny2n = (x + y) (x2n – 1 x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – …+ xy2n – 2 y2n – 1) ,
x2ny2n = (x y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + …+ xy2n – 2 + y2n – 1)

Разность квадратов

x2y2 = (x + y) (x y)

Разность четвертых степеней

x4y4 =
= (x + y) (x3x2y +
+ xy2y3) =
= (x + y) (x y) (x2 +
+ y2)

Разность шестых степеней

x6y6 =
= (x + y) (x5x4y +
+ x3y2
x2y3 +
+ xy4y5) =
= (x + y) (x y) (x2
– xy
+ y2) (x2 +
+ xy + y2)

Разность восьмых степеней

x8y8 =
= (x + y) (x7x6y +
+ x5y2x4y3 +
+ x3y4
x2y5 + xy6y7) =
= (x + y) (x y) (x2 +
+ y2) (x4 + y4)

Разность степеней порядка  2n

x2ny2n =
= (x + y) (x2n – 1
x2n – 2 y +
+ x2n – 3 y2
– …+ xy2n – 2
y2n – 1)

* * *

x2ny2n =
= (x y) (x2n – 1 +
+ x2n – 2 y +
+ x2n – 3 y2 +
+ …+ xy2n – 2 +
+ y2n – 1)

      Замечание. Оба разложения на множители двучлена:

x2ny2n ,

приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.

      Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Разложение на множители. Теория и практика

Разложение на множители. Понятие и примеры.

        Напоминаю, что тождественные преобразования выражений — основа всей математики. Превращение, шаг за шагом, страшного и неудобного выражения в белое и пушистое. Смысл любого тождественного преобразования — это запись математического выражения в другом виде c сохранением его сути. Кто не в теме — сходите по ссылке. Там всё предельно просто и доступно.)

        Что такое разложение на множители? Всё элементарно. Прямо из самого названия. Можно не помнить (или не знать — кому как), что такое множитель, но то что это слово происходит от глагола «умножить» догадаться-то можно?)

        Так вот:

        Разложить на множители означает: представить исходное выражение в виде умножения чего-то на что-то.

        И все дела. Надеюсь, математика и русский язык на меня не в обиде…)

        Допустим, надо разложить число 18. Можно записать:

        18=2·9

        Вот мы и разложили число 18 на множители. Представили 18 в виде умножения 2 на 9. Обратите внимание, что циферки справа (2 и 9) совсем другие, нежели слева (1 и 8). Но при этом мы прекрасно понимаем, что 18 и 2·9 — одно и то же. Суть числа 18 от преобразования не изменилась.

        А можно ли разложить 18 по-другому? Можно! Например:

        18 = 2·9 = 3·6 = 2·3·3 = 0,5·36 = 1,5·12 = 4·3,5 = …….

        Вариантов разложения — бесчисленное множество.

        Зачем раскладывать на множители? Вопрос философский. Просто так — незачем, конечно. Но есть в математике темы, где без разложения на множители не обойтись. Ну вот прям никак…) Если говорить о числовых выражениях, то, прежде всего, это сокращение дробей и действия с корнями.

 

        Например, задание:

        Вычислить:

        

        Пример не подарок, прямо скажем. Как из такого здоровенного числа корень извлекать? Без калькулятора! Да и извлечётся ли он нацело? Непонятно… Зато, если разложить число 7056 на множители, да сгруппировать в кучки одинаковые, жизнь-то наладится!

        

        И калькулятора не понадобилось!)

 

        Но числовые выражения — ещё полдела. А вот разложение на множители алгебраических (т.е. буквенных) выражений — штука не просто полезная, она — необходимая! Сомневаетесь? Напрасно. Чисто для примера:

        Упростить выражение:

        

        Кто не в теме, как раскладывать на множители, решить этот пример не сможет. А кто в теме, упрощает и получает:

        

        Класс, правда?) Кстати, решение довольно простое. Ниже сами увидите. Или, к примеру, такое задание:

        Решить уравнение:

        x10x9=0

        Страшно? Решается в уме, между прочим! С помощью разложения на множители. Ответ: x=0; x=1.

        А если уравнение заменить на неравенство? Например:

        x10x9<0

        Задание другое, но первый шаг решения всё равно тот же самый! Один в один. Разложение на множители.

        Ответ: x (0; 1)

        Чуть ниже мы разберём оба этих примера.

 

        Или другой пример, для старшеклассников:

        Решить уравнение:

        lg10x lg9x =0

        Что, внушает? А вы не бойтесь! Читайте дальше и увидите, как всё просто! Ответ будет такой:

        x=0; x=10

        На этих примерах я показал основную цель разложения на множители. А именно — упрощение выражений и решение некоторых типов уравнений и неравенств.

        Практические советы:

        1. Если перед нами сложное дробное выражение, то можно попробовать разложить числитель и знаменатель на множители. Очень часто дробь сокращается и упрощается.

        2. Если перед нами злое уравнение или неравенство, где слева — что-то страшное, а справа — ноль, то можно попытаться разложить левую часть на множители. Чаще всего это проясняет ситуацию.

 

Как раскладывать на множители? Основные способы разложения.

        Итак, вот они:

        1. Вынесение общего множителя за скобки;

        2. Группировка;

        3. Формулы сокращённого умножения;

        4. Разложение квадратного трёхчлена.

        Прошу запомнить этот джентльменский набор! Причём именно в таком порядке. Это важно. Все замороченные примеры имеет смысл проверять на все возможные способы разложения. От простого к сложному. Что-то работает, что-то нет. Это нормально.)

        Вот и мы начнём. По порядочку. Итак!

 

        1. Вынесение общего множителя за скобки

        Самый простой и в то же время самый распространённый способ. Хуже никогда не делает. Делает либо лучше, либо никак.) Потому и стоит первым пунктом.

        Все вы знаете (уж я-то надеюсь!) распределительный закон умножения:

        a(b+c) = ab+ac

        Или, если слагаемых несколько:

        a(b+c+d+…) = ab+ac+ad+…

        Все равенства в математике работают в обоих направлениях. Как слева направо, так и справа налево. Имеем полное право записать:

        ab+ac = a(b+c)

        Или:

        ab+ac+ad+… = a(b+c+d+…)

        Что происходит при такой записи? Слева буковка а — общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё что есть. А справа это самое а находится уже за скобками. Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.

        Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала пример совсем примитивный. Но на этом примитивном примере я покажу самые важные моменты для любого разложения на множители. Итак, вникаем.

        Разложить на множители:

        ху+10у

        Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Игрек, конечно! Его и будем выносить за скобки. Делается это так. Сразу пишем игрек за скобками:

        ху+10у = y(….

        А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый игрек. По порядочку. Вот так:

        

        И все дела.) Разумеется, так подробно расписывать не нужно. Это действие в уме делается. Но понимать, что, как и откуда крайне желательно.

        Фиксируем в голове:

        При вынесении пишем общий множитель за скобками. В скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый общий множитель. Поочерёдно.

        Вот мы и разложили выражение ху+10у на множители. Превратили его в умножение игрека на (х+10). Кстати, обращаю ваше внимание, что исходное выражение тоже содержало в себе умножение. Даже два: x·y и 10·y. Но оно не было разложено на множители! Почему? Потому, что в исходном выражении, помимо умножения, было ещё и сложение, знак «+»! А выражении y(x+10) — только умножение! Почувствуйте разницу!

        «Стоп-стоп! Но ведь в скобках по-прежнему есть сложение!» — слышу я недовольные возгласы…

        Да. Внутри скобок есть сложение. Но весь фокус в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой! С этой точки зрения в выражении y(x+10) кроме умножения ничего нет.

        Кстати, насчёт раскрытия скобок! А как проверить, всё ли мы правильно сделали? Элементарно! Достаточно заново раскрыть скобки, т.е. обратно помножить на скобки то что вынесли. И посмотреть, получилось ли исходное выражение?

        Смотрим:

        y(x+10) = xy+10y

        Всё путём!)

        Этот-то пример совсем простецкий, чисто для знакомства. Но если слагаемых несколько, да с разными знаками, то «ашипки» сыплются как из рога изобилия!

        Запоминаем простую вещь:

        При необходимости проверяем результат разложения обратным перемножением.

 

        Усложняем задачу.

        Разложить на множители:

        2ху+10у

        Ищем общий множитель. Ну, с игреком всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Есть! Это двойка. Можно ведь записать наше выражение вот как:

        2ху+10у=2xy+2·5y

        Теперь видно, что общим множителем будет 2y. Именно его и выносим:

        2ху+10у = 2y(x+5)

        Разложили.)

        Кстати, а что будет, если вынести только игрек? Да ничего необычного:

        2ху+10у = y(2x+10)

        Это тоже будет разложением на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть такая возможность. В данном случае в скобках можно вынести двойку:

        y(2x+10) = 2y(x+5)

        Как видите, всё то же самое, только с одним лишним действием. Посему запоминаем:

        При вынесении общего множителя за скобки стремимся вынести максимально возможный общий множитель.

 

        Продолжаем наши игры?

 

        Разложить на множители:

        2xy+10y–3x–15

       

        Что будем выносить? Двойку? Икс? Игрек? Не-а.) Не катит. Напоминаю, что выносить за скобки можно только общий множитель. Тот, который сидит во всех слагаемых без исключения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать? Ну да, рано обрадовались.)

        Знакомимся!

 

        2. Группировка

        Строго говоря, группировка не является самостоятельным способом разложения на множители. Скорее, это продвинутый метод вынесения общего множителя за скобки для более крутых примеров. В чём суть: надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Словами это не описать, только на конкретном примере показать можно.

        Итак, перед нами выражение:

        2xy+10y–3x–15

        Видно, что какие-то общие числа и буквы имеются. Но! Общего множителя, который был бы во всех слагаемых, нет! Что делать?

        Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Поступаем красиво и элегантно. Разбиваем выражение на кусочки! Или — группируем. Как разбиваем? Элементарно! Ставим скобки. Например, можно так:

        2xy+10y–3x–15 = (2xy+10y)–(3x+15)

        Вот здесь всплывает частый ляп. Обратите внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, но слагаемые 3x и 15 внутри скобок стали с плюсом. Если обратно раскрыть скобки, то знаки поменяются и мы получим исходное выражение. Т.е. суть исходного выражения от скобок не изменилась.

        Но если вы просто взяли и воткнули скобки, не учитывая смену знака, например вот так:

        2xy+10y–3x–15 = (2xy+10y) — (3x–15)  ,

        то это будет грубейшей ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет ясно. Дальше решать нет смысла, да…

        Но вернёмся к разложению на множители. Итак, с помощью скобок мы разбили исходное выражение на две группы. Такое, казалось бы, надуманное действие приводит (иногда) к потрясным результатам! Смотрим на первые скобки (2xy+10y) и соображаем, что можно вынести. Ну, этот пример мы выше уже решили. Можно вынести :

        (2xy+10y) = 2y(x+5)

        А теперь изучаем вторые скобки (3x+15). Здесь можно вынести тройку:

        (3x+15) = 3(x+5)

        Всё наше выражение будет выглядеть вот так:

        (2xy+10y)–(3x+15) = 2y(x+5)–3(x+5)

        Разложили на множители? Нет. Напоминаю, что в результате разложения должно получиться только умножение. А у нас знак минус торчит посерёдке, всё портит… Но! В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (x+5). Я не зря говорил, что скобки целиком — это единое цельное выражение, которое можно рассматривать как одну букву. Значит, эти скобки можно… вынести за скобки.) Да, именно так!

        Выносим (x+5) за скобки. В скобках пишем результат деления каждого слагаемого на (x+5).  Получится:

        2y(x+5)–3(x+5) = (x+5)(2y-3)

        Всё! Вот теперь в нашем выражении кроме умножения ничего нет. Значит, разложение на множители увенчалось успехом. Вот так оно выглядит:

        2xy+10y–3x–15 = (x+5)(2y-3)

 

        Итак, запоминаем суть группировки:

        Если в исходном выражении нет общего множителя, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри каждой скобки общий множитель ИМЕЛСЯ. Выносим его для каждой из скобок и смотрим, что получилось. Если повезло и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, то выносим эти скобки за скобки.

       

        Но не так всё просто. Может и не повезти. Группировка — процесс творческий. Не всегда с первого раза получается. Иногда приходится всячески хитрить: пробовать другую комбинацию, менять слагаемые местами или даже добавлять слагаемые. Главное — не падать духом!

        Поучительный пример:

        Разложить на множители:

        х2+3xy+2y2

        С чего начинать? Общего множителя явно нет, выносить за скобки нечего. Группировка также не катит: три слагаемых красиво не сгруппируешь. Но! Если расписать 3xy как сумму 2xy+xy, (т.е. разбить одно из слагаемых на два), всё получится! Смотрите!

        х2+3xy+2y2 = х2+2xy+xy+2y2 = (х2+2xy)+(xy+2y2)

        Как я додумался именно до такого разбиения? Открываю секрет. Я посмотрел на исходный пример и поприкидывал. Примерно так:

        «Так, значит… С ходу не группируется, слагаемых — три, одно остаётся без пары. Хотя бы четыре для группировки нужно. Да и коэффициенты не ахти. Придётся выкручиваться и какое-то слагаемое разбивать на два. Но какое? Для удачной группировки важно иметь как можно больше одинаковых значков и как можно меньше — разных! Посмотрю-как я на коэффициенты! Надо же за что-то цепляться, искать хоть что-то общее!

        При х2 я вижу единичку. А при y2 — двойку. У среднего же члена, 3xy, вместо тройки тоже хотелось бы единичку и двойку получить. Чтобы числа стали хоть как-то похожи друг на друга, было что с чем сгруппировать. Как из тройки сделать единичку и двойку? Расписать 3xy как 2xy+xy!

        Получится: х2+3xy+2y2 = х2+2xy+xy+2y2 = (х2+2xy)+(xy+2y2)«

        Верные мысли! Теперь коэффициенты в каждой группе — только единичка и двойка. Дальше всё ясно. В первых скобках выносим икс, во вторых — игрек. Будет:

        (х2+2xy)+(xy+2y2) = x(x+2y)+y(x+2y)

        О! В скобках — одинаковые выражения! Йес!!!

        x(x+2y)+y(x+2y) = (x+2y)(x+y)

        Ура! Разложили! Вот что получилось:

        х2+3xy+2y2 = (x+2y)(x+y)

        Вот такой финт ушами.)

        Запоминаем секретный приёмчик:

        Если многочлен содержит нечётное число слагаемых (три, пять и т.д.), то можно попробовать разбить одно (или несколько) слагаемых на два. Так, чтобы всё сгруппировалось. И зацепкой (что и как разбивать) будут служить коэффициенты при оставшихся членах. Разбивать члены надо так, чтобы получить как можно больше одинаковых коэффициентов в примере.

 

        Примеры заданий

        А теперь, набравшись полезных знаний, можно и злые примеры порешать. Была у нас в начале урока четвёрка таких.

 

        Упростить выражение:

        

        По сути, пример этот мы уже разобрали. Незаметно для себя.) Ещё раз напоминаю: если перед нами жуткая дробь, первым делом пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.

        Ну, со знаменателем всё ясно, он никак не раскладывается. А числитель? Числитель мы уже разложили в параграфе про группировку! Вот так:

        2xy+10y–3x–15 = (x+5)(2y-3)

        Вставляем результат разложения в числитель дроби:

        

        Основное свойство дроби помните? По правилу сокращения дробей, мы имеем право разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число или выражение. Дробь от этого не изменится. Вот и делим и числитель и знаменатель на выражение (2y-3). В числителе останется (x+5), а в знаменателе — единичка. А если в знаменателе единичка, то этот знаменатель можно и вовсе не писать. Продолжаем:

        

        Окончательный результат упрощения:

        

        И все дела.) Особо хочу подчеркнуть, что сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда и в числителе и в знаменателе только умножение! Именно поэтому разложение алгебраических выражений на множители так важно для упрощения. Разумеется, если множители сверху и снизу разные, то и не сократится ничего. Всяко бывает. Но разложение на множители даёт шанс! Намёк понятен?)

        Следующий пример, с уравнением:

        Решить уравнение:

        x10x9=0

        Тут и думать нечего. Выносим общий множитель x9 за скобки. Получится:

        x9(x-1)=0

        Осталось догадаться, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Что, сомневаетесь? Тогда предъявите мне два ненулевых числа, которые в произведении ноль дадут.) Не получается? То-то… Вот и приравниваем к нулю, сначала первый множитель:

        x9=0

        Ну и какое число в девятой степени ноль даст? Только ноль! Никакое другое… Поэтому:

        х=0

        Один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем:

        x-1=0

        x=1

        Вот вам и ответ: x1=0; x2=1. Два корня. Оба подходят к нашему уравнению. Переходим к следующему примеру, меняем уравнение на неравенство.

        Решить неравенство:

        x10x9<0

        С неравенством возни чуть поболее будет, но первая часть решения та же самая. Слева — выражение, справа — ноль. Раскладываем левую часть на множители:

        x9(x-1)<0

        А дальше — стандартный алгоритм метода интервалов. Расписывать детально не буду, это тема отдельного урока. Кто знает, и так поймёт. Делаем из неравенства уравнение, решаем его и получаем те же самые два корня.

        x9(x-1)=0

        x1=0; x2=1

        Чертим числовую ось, отмечаем точками найденные корни. Неравенство строгое, соответственно обе точки будут выколотыми. Ставим знаки +/- в соответствии с исходным выражением и рисуем старую добрую «змейку». Получаем картинку:

        

        Смотрим на знак неравенства. Нас интересует минусовая область иксов. Смело пишем:

        Ответ: x (0; 1)

 

        Пример для старшеклассников:

        Решить уравнение:

        lg10x lg9x =0

        Чем-то похоже на предыдущие примеры, правда? Совершенно верно. Та же песня! Разложение на множители.) Страшные значки lg пусть вас не смущают, базовые преобразования (а разложение на множители — именно одно из базовых преобразований) работают во всей математике! Смело выносим общий множитель lg9x за скобки:

        lg9x(lgx — 1) =0

        Дальше всё как в предыдущем примере:

        lg9x=0

        lgx=0

        x=1

        Это первый корень. Переходим ко второму множителю:

        lgx — 1=0

        lgx=1

        x=10

        Вот и ответ готов: x1=1; x2=10

        Кстати, обратите внимание на один важный момент в решении уравнений! После разложения на множители мы решаем уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравниваем к нулю отдельно. Это означает, что если у нас будет не два множителя, а три, пять, да хоть двадцать пять, то решать будем аналогично. По кусочкам.

        Например:

        x2(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=0

        Кто раскроет скобки, перемножит всё и приведёт подобные, тот навсегда зависнет на этом уравнении. Мартышкин труд.) Наблюдательный ученик сразу увидит, что слева — произведение, а справа — ноль. И начнёт поочерёдно приравнивать к нулю каждый множитель. И за 10 секунд получит (в уме!) верный ответ:

        x1=0; x2=-1 x3=2; x4=-3; x5=4

        Красиво, правда? Такое простое и элегантное решение возможно только если левая часть разложена на множители! Вот и весь секрет.)

 

       Как решать нестандартные примеры? ОДЗ и прочие подводные камни.

        Ну и на десерт рассмотрим слегка нестандартный примерчик на ту же тему. Который по шаблону не решается, или решается легко, но… неправильно.

        Например, такое уравнение:

        xlgxx+lgx–1 =0

        Что здесь необычного? Да. Это уравнение смешанного типа. Иксы стоят как внутри логарифмов, так и просто так. К сожалению, аналитически такие уравнения, как правило, не решаются вовсе. На 99%. Зато оставшемуся одному проценту самое место в этом уроке! Почему? А потому, что именно разложение на множители даёт нам шанс разделить разные типы переменных!

        В чём суть? Нужно добиться, чтобы после разложения разные типы переменных разошлись по разным множителям! Логарифмы отдельно, а иксы без логарифмов — отдельно. Вот и раскладываем. Кто освоил группировку, тот даже не заметит трудностей. Группируем, получаем:

        (xlgx-x)+(lgx-1)=0

        x(lgx-1)+(lgx-1)=0

        (lgx-1)(x+1)=0

        Вот так. Как говорится, мухи отдельно, котлеты — отдельно. 🙂 Теперь слева произведение, справа — ноль. Можно приравнивать к нулю каждый множитель по порядочку. Независимо друг от друга.

        Для первых скобок, решая простейшее логарифмическое уравнение, получим:

        lgx-1=0

        lgx=1

        x=10

        Для вторых скобок получим:

        x+1=0

        x=-1

        Получили два корня. Рука уже тянется к бумаге, но… Разумеется, думать и держать в голове всю остальную математику (ОДЗ и прочие хитрые штучки) никто не отменял, да.)

        Ответ в виде:

        x1=-1; x2=10

        это неверный ответ! Окончательный корень — один. А именно:

        x=10

        В чём же дело? Вы правы. Дело в ОДЗ, да.) Но сначала вскрою проблемку на более глубоком уровне. Дело всё в том, что так горячо любимое всеми школьниками заклинание: «Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю» — строго говоря, неверное, да…) Точнее, неполное. Это и приводит к подобным промахам.

        А полная и строгая форма звучит вот как:

        Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом НЕ ТЕРЯЮТ СМЫСЛА.

        А в нашем примере при x=-1 множитель (х+1) обнуляется, но множитель (lgx-1) теряет смысл! Не существует логарифмов от отрицательных чисел, да…) Так что всё честно.

        Поэтому, чтобы такого не было, перед решением данного уравнения надо сразу записывать ОДЗ. А именно — аргумент логарифма, где бы он ни стоял, должен быть всегда строго больше нуля:

        x>0

        Забыли? Значит, имеются пробелы в знаниях о логарифмах. Гуляйте по ссылочке.)

        Вот теперь записанная ОДЗ сразу снимает все вопросы! Смотрим на наши иксы. Первый корень x=10 нас (и ОДЗ) вполне устраивает: десятка больше нуля. А вот второй, x=-1, никуда не годится. Минус один меньше нуля. ОДЗ — штука бескомпромиссная.

        Ответ: x=10

 

        Полезные советы:

        1. Если перед вами нестандартное уравнение смешанного типа, первым делом пробуем разделить разные типы переменных. Чаще всего с помощью разложения на множители.

        2. Вне зависимости от типа уравнения, прежде всего записываем ОДЗ, если это необходимо. Это убережёт от досадных и обидных ляпов в виде посторонних корней на 100%.

 

        Надеюсь, вы ощутили весь потенциал разложения на множители. Мощная штука, правда?

        В этом уроке мы поговорили о вынесении общего множителя за скобки и о группировке. Осталось рассмотреть формулы сокращённого умножения и разложение квадратного трёхчлена. Это — темы отдельных уроков.

 

 

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение на множители — это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль — попробовать  разложить левую часть на множители.

Перечислим основные  способы разложения многочлена на множители:

  • вынесение общего множителя за скобку
  • использование формул сокращенного умножения
  • по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
  • способ группировки
  • деление многочлена на двучлен
  • метод неопределенных коэффициентов

В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.

Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.

Схема вынесения общего множителя выглядит так:

Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен:  

Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.

1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.

2. Устанавливаем, что переменная  содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная  содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.

Переменная  содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.

Итак, общий множитель равен 

3. Выносим за скобки множитель  пользуясь схемой, приведенной выше:

 

Пример 2. Решить уравнение: 

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :

Итак, получили уравнение 

Приравняем каждый множитель к нулю:

или 

Получаем  —   корень первого уравнения.

Корни квадратного уравнения  :

или 

Ответ: -1, 2, 4

 

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Если  количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.

1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых, то пытаемся применить формулу разности квадратов:

   

или формулу разности кубов:

   

Здесь буквы и обозначают  число или алгебраическое выражение.

2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов:

   

3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы:

   

или формулу квадрата разности:

 

   

 

Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

Здесь  и  — корни квадратного уравнения 

Пример 3.  Разложить на множители выражение:

Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:

Пример 4. Разложить на множители выражение: 

Рещение. Перед нами разность квадратов  двух выражений. Первое выражение: , второе выражение: 

Применим формулу для разности квадратов:

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:

Пример 5. Разложить на множители выражение: 

Решение. Перед нами  многочлен, состоящий из трех слагаемых. Заметим, что ; ;

 Так как перед удвоенным произведением стоит знак «минус», воспользуемся формулой для квадрата разности:

Внимание!  Коэффициенты обоих членов трехчлена, которые являются квадратами одночленов, положительны.

Пример 6. Разложить на множители квадратный трехчлен 

Приготовим для разложения квадратного трехчлена готовую форму:

Впишем значения корней в готовую форму:

Внесем множитель 3 во вторую скобку:

Итак:

Факторинг Пошаговое решение математических задач

3.1 Основные множители для многочленов

Студент должен начать эту главу с обзора идеи факторизации целых чисел. который обсуждался в главе 1.

Многочлен P называется множителем или делителем многочлена R, если существует многочлен Q такой, что

R = PQ

Обратите внимание, что Q также является делителем R.

В этой главе мы согласимся, что наши многочлены должны иметь только целые коэффициенты.2-1 = (х-1) (х + 1)

= (- 1) (- х + 1) (х + 1)

, и мы не хотим различать эти факторизации, мы согласимся с тем, что, если коэффициенты различаются только кратным -1, они будут считаться эквивалентными. При таком понимании верно следующее: каждый многочлен может быть однозначно выражен как произведение простых множителей отдельно от порядка, в котором они написаны, и подверженных тривиальным изменениям знака. Это известно как теорема уникальной факторизации многочленов.

Проблема нахождения всех простых множителей данного многочлена, в общем, является сложной. В этой главе мы рассмотрим методы нахождения множителей некоторых типов многочленов. Чтобы найти простые множители данного многочлена, мы должны уметь определять, является ли многочлен простым. Один тип многочлена, который всегда является простым, — это многочлен первой степени, ax + b, для которого единственными общими множителями a и b являются + -1. Например, 3x + 4 является простым делителем, поскольку 3 и 4 имеют только + -1 в качестве общих делителей, в то время как 4x + 6 не является простым делителем, поскольку 2 является общим делителем 4 и 6.5z)

Пример 3. Фактор (a + b) x- (a + b) y + (a + b) z.

Общий множитель (a + b) и, следовательно,

(а + б) х- (а + б) у + (а + б) г = (а + б) (х-у + г)

Если в примере 3 полином был записан как

топор + bx-ay-by + az + bz

, то ни один фактор не является общим для всех терминов. Требуется определенный опыт, чтобы понять, что термины можно сгруппировать так, чтобы у каждой группы был общий фактор. Например, ax + bx-ay-by + az + bz можно сгруппировать, чтобы получить выражение из Примера 2, а именно

ax + bx-ay-by + az + bz = (a + b) x- (a + b) y + (a + b) z

Иногда есть более одного способа сгруппировать члены 2.2-9)

= (2x-1) (2x + 1) (x-3) (x + 3)

Давайте посмотрим, как наш математический решатель учитывает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Фактор

по группировке — методы и примеры

Теперь, когда вы узнали, как разложить многочлены на множители с помощью различных методов, таких как; Наибольший общий множитель (GCF, сумма или разность в двух кубах; метод разницы в двух квадратах; и метод триномина.

Какой метод вы считаете самым простым из них?

Все эти методы факторизации многочленов так же просты, как ABC, только если они применяются правильно.

В этой статье мы изучим еще один простейший метод, известный как разложение на множители по группировке, но прежде чем переходить к теме разложения по группировке, давайте обсудим, что такое разложение многочлена.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента.Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены.

Примеры многочленов: 12x + 15, 6x 2 + 3xy — 2ax — ay, 6x 2 + 3x + 20x + 10 и т. Д.

Как разложить на множители по группировке?

Фактор по группировке полезен, когда нет общего множителя среди терминов, и вы разбиваете выражение на две пары и множите каждую из них отдельно.

Разложение многочленов на множители — это операция, обратная умножению, поскольку она выражает полиномиальное произведение двух или более множителей.Вы можете разложить многочлены на множители, чтобы найти корни или решения выражения.

Как разложить на множители трехчлены путем группировки?

Чтобы разложить на множители трехчлена вида ax 2 + bx + c путем группирования, мы выполняем процедуру, как показано ниже:

  • Найдите произведение ведущего коэффициента «a» и константы «c».

⟹ a * c = ac

  • Найдите множители «ac», которые добавляют к коэффициенту «b».
  • Записываем bx как сумму или разность множителей ac, которые складываются с b.

⟹ ax 2 + bx + c = ax 2 + (a + c) x + c

⟹ ax 2 + ax + cx + c

⟹ ax (x + 1) + c (x + 1)

⟹ (ax + c) (x + 1)

Пример 1

Фактор x 2 — 15x + 50

Решение

Найдите два числа, сумма которых равно -15, а произведение равно 50.

⟹ (-5) + (-10) = -15

⟹ (-5) x (-10) = 50

Записываем данный многочлен как;

x 2 -15x + 50⟹ x 2 -5x — 10x + 50

Разложите каждый набор групп на множители;

⟹ x (x — 5) — 10 (x — 5)

⟹ (x — 5) (x — 10)

Пример 2

Фактор трехчлена 6y 2 + 11y + 4 по группировке.

Решение

6y 2 + 11y + 4 ⟹ 6y 2 + 3y + y + 4

⟹ (6y 2 + 3y) + (8y + 4)

⟹ 3y (2y + 1) + 4 (2y + 1)

= (2y + 1) (3y + 4)

Пример 3

Фактор 2x 2 — 5x — 12.

Решение

2x 2 — 5x — 12

= 2x 2 + 3x — 8x — 12

= x (2x + 3) — 4 (2x + 3)

= (2x + 3) (x — 4)

Пример 4

Фактор 3y 2 + 14y + 8

Решение
3y 2 + 14y + 8 ⟹ 3y 2 + 12y + 2y + 8

905 + 12y) + (2y + 8)

= 3y (y + 4) + 2 (y + 4)
Следовательно,

3y 2 + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

Пример 5

Фактор 6x 2 — 26x + 28

Решение

Умножьте старший коэффициент на последний член.
⟹ 6 * 28 = 168

Найдите два числа, сумма которых равна произведению 168, а сумма равна -26
⟹ -14 + -12 = -26 и -14 * -12 = 168

Запишите выражение, заменив bx на два числа.
⟹ 6x 2 — 26x + 28 = 6x 2 + -14x + -12x + 28
6x 2 + -14x + -12x + 28 = (6x 2 + -14x) + (-12x + 28)

= 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)
Следовательно, 6x 2 — 26x + 28 = (3x -7) (2x — 4)

Как разложить на множители биномы по группировке?

Бином — это выражение, в котором два члена объединены знаком сложения или вычитания.Для разложения бинома на множители применяются следующие четыре правила:

  • ab + ac = a (b + c)
  • a 2 — b 2 = (a — b) (a + b)
  • a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )
  • a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )

Пример 6

Фактор xyz — x 2 z

Решение

xyz — x 2 z = xz (y — x2) (y — x2) Пример 7

Фактор 6a 2 b + 4bc

Решение

6a 2 b + 4bc = 2b (3a 2 + 2c)

83 Пример 80005

84

Пример 80002

84

полностью: x 6 — 64

Решение

x 6 — 64 = (x 3 ) 2 — 8 2

= (x 3 + 8) (x 3 -8) = (x + 2) (x 2 — 2x + 4) (x — 2) (x 2 + 2x + 4)

Пример 9

Фактор: x 6 — y 6 .

Решение

x 6 — y 6 = (x + y) (x 2 — xy + y 2 ) (x — y) (x 2 + xy + y 2 )

Как разложить многочлены на множители путем группировки?

Как следует из названия, факторинг по группировке — это просто процесс группировки терминов с общими факторами перед факторингом.

Чтобы разложить полином на множители путем группирования, выполните следующие действия:

  • Проверьте, имеют ли члены полинома наибольший общий коэффициент (GCF).Если да, вычеркните это и не забудьте включить его в свой окончательный ответ.
  • Разбейте многочлен на наборы по два.
  • Вынесите за скобки GCF каждого набора.
  • Наконец, определите, можно ли еще разложить оставшиеся выражения на множители.

Пример 10

Разложить на множители 2ax + ay + 2bx + на

Решение

2ax + ay + 2bx + by
= a (2x + y) + b (2x + y)
= (2x + y) (a + b)

Пример 11

Фактор ax 2 — bx 2 + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2

Решение

ax 2 — bx 2 + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2
= x 2 (a — b) + y 2 (a — b) + z 2 (a — b)
= (a — b) (x 2 + y 2 + z 2 )

Пример 12

Фактор 6x 2 + 3xy — 2ax — ay

Решение

6x 2 + 3xy — 2ax — ay
= 3x (2x + y) — a (2x + y)
= (2x + y) (3x — а)

9 0002 Пример 13

x 3 + 3x 2 + x + 3

Решение

x 3 + 3x 2 + x + 3
= (x 3 3x 2 ) + (x + 3)
= x 2 (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x 2 + 1)

Пример 14

6x + 3xy + y + 2

Решение

6x + 3xy + y + 2

= (6x + 3xy) + (y + 2)

= 3x (2 + y) + 1 (2 + y)

= 3x (y + 2) + 1 (y + 2)

= (y + 2) (3x + 1)

= (3x + 1) (y + 2)

Пример 15

ax 2 — bx 2 + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2
Решение
ax 2 2 — b + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2

Выносим за скобки GCF в каждой группе из двух терминов
⟹ x 2 (a — b) + y 2 (a — b) + z 2 (a — b)
= (a — b) ( x 2 + y 2 + z 2 )

Пример 16

Фактор 6x 2 + 3x + 20x + 10.

Решение

Вынесите GCF за скобки в каждом наборе из двух членов.

⟹ 3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)

= (3x + 10) (2x + 1)

Практические вопросы

Разложите на множители, сгруппировав следующие многочлены:

  1. 15ab 2 — 20a 2 b
  2. 9n — 12n 2
  3. 24x 3 — 36x 2 y
  4. 10x 3 — 15x 2
  5. 36x — 605 3 905 y 3 z
  6. 9x 3 — 6x 2 + 12x
  7. 18a 3 b 3 — 27a 2 b 3 + 36a 3 b 2 3 + 21x 4 y — 28x 2 y 2
  8. 6ab — b 2 + 12ac — 2bc
  9. x 3 — 3x 2 + x — 3
  10. ab (x 2 + y 2 ) — xy (a 2 + b 2 )

Ответы

  1. 5ab (3b — 4a)
  2. 3n (3 — 4n)
  3. 12x 2 (2x — 3y)
  4. 5x 2 (2x — 3)
  5. 12x 2 y (3x — 5y 2 z)
  6. 3x 3x 2 — 2x + 4)
  7. 9a 2 b 2 (2ab — 3b + 4a)
  8. 7x 2 (2x + 3xy — 4y 2 )
  9. (b + 2c) ( 6a — b)
  10. (x 2 + 1) (x — 3)
  11. (bx — ay) (ax — by)

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Факторинг «по парам» (или «по группам»)

Purplemath

Есть один особый случай факторинга, который может вам понадобиться, а может и не понадобится, в зависимости от того, как структурирована ваша книга, и как ваш инструктор намеревается преподавать квадратичный факторинг.Я называю это «факторинг попарно», но в вашей книге он может именоваться «факторингом по группировке». Каким бы ни было название, этот метод иногда бывает полезен, но в основном он полезен как средство введения в рассмотрение квадратичных множителей, которые представляют собой полиномы второй степени. Или, по крайней мере, большинство авторов учебников, похоже, считают, что это полезный шаг на пути от базового факторинга к квадратичному.

Когда вы выполняете базовое разложение многочленов, вы обычно вычитаете общий множитель из каждого члена многочлена.Что произойдет, если они дадут вам четыре условия, но нет общего фактора?

MathHelp.com

Каждый раз, когда вы сталкиваетесь с такой ситуацией, вы должны попробовать попарно разложить на множители.Это довольно безопасная ставка, особенно когда вы выполняете разложение на множители перед квадратиками, что четырехчленный многочлен, который они вам дали , является факторизуемым , и что метод, который они ожидают от вас, будет «попарно».

  • Фактор

    xy -5 y -2 x + 10

Есть ли что-нибудь, что влияет на все четыре условия? Нет.Когда у меня есть четыре члена, и из всех них ничего не учитывается, я знаю, что мне нужно подумать о том, чтобы попытаться учитывать «попарно». Чтобы разложить на множители попарно, я сначала разбиваю выражение на две пары терминов, а затем факторизую пары терминов по отдельности. Если я все настроил правильно, я должен получить общий множитель в биномиальной форме.

В этом случае я оставлю четыре члена в их текущем порядке.

Что я могу выделить из первой пары? Я могу взять y :

Что я могу вынести из второй пары? Я могу достать –2:

xy -5 y -2 x + 10

= y ( x — 5) — 2 x + 10

= y ( x — 5) — 2 ( x — 5)

Что случилось со знаками в последней приведенной выше факторизации? Я вычеркнул –2 из этих двух последних членов, а не +2, потому что первым знаком в паре был «минус».И я получил –5 в скобках, потому что, когда я разделил положительных 10 на отрицательных 2, в результате получилось отрицательных 5. (Будьте осторожны со своими знаками!)

Теперь, когда у меня есть общий фактор, я могу действовать как обычно:

xy -5 y -2 x + 10

= y ( x — 5) — 2 ( x — 5)

= ( x -5) ( y -2)


Попарное разложение на множители чаще всего используется для введения квадратичного разложения.Итак, вы можете увидеть упражнения, которые выглядят так:

  • Фактор

    x 2 + 4 x x — 4.

Этот многочлен состоит из четырех членов без общего множителя для всех четырех, поэтому я попытаюсь разложить на множители попарно:

x 2 + 4 x x — 4

= x ( x + 4) — 1 ( x + 4)

= ( x + 4) ( x — 1)

Почему во второй строке выше я вычитал 1? Потому что, если исключить «ничего», то исключить «1».


  • Фактор

    x 2 — 4 x + 6 x — 24.

У меня есть четыре члена, которые не имеют общих множителей, поэтому я попытаюсь разделить их попарно:

x 2 — 4 x + 6 x — 24

= x ( x — 4) + 6 ( x — 4)

= ( x -4) ( x + 6)


Иногда они дают вам четыре члена, не имеющие общих множителей, и кажется, что попарное разложение на множители не работает.Прежде чем сдаться, попробуйте распределить термины по разным парам.

  • Фактор

    x 2 + 3 y — 3 x xy

Попробую разложить на множители попарно, указав термины в их текущем порядке. Для второй пары терминов я вытащу «минус» за скобки, поэтому мне нужно не забыть переворачивать знаки внутри скобок:

( x 2 + 3 y ) — (3 x + xy )

1 ( x 2 + 3 y ) — x (3 + y)

Ладно, не сработало.Что, если я поменяю условия? Как насчет того, чтобы сгруппировать, скажем, два термина, которые содержат переменную x ?

x 2 xy + 3 y — 3 x

( x 2 xy ) + (3 y -3 x )

x ( x y ) + 3 ( y x )

Ооо, так близко! Если бы только вычитание во второй скобке было отменено.Но, я помню, я могу обратить вычитание; Мне просто нужно не забыть перевернуть знак вне скобок. Это дает мне:

x ( x y ) — 3 ( x y )

( x y ) ( x — 3)

Будут времена, как указано выше, когда одна перестановка терминов не сработает.Не стесняйтесь попробовать что-нибудь еще.


  • Фактор

    ab -2 + a -2 b

Я вижу, что первые два члена не имеют общих факторов. Итак, я знаю, что, если попарное разложение сработает, мне сначала придется изменить условия. Думаю, я попробую объединить термины без двойки, а два других члена объединить с двойками:

ab + a -2-2 b

a ( b + 1) — 2 (1 + b )

а ( б + 1) — 2 ( б + 1)

( b + 1) ( a -2)


Кстати, не одна перестановка терминов может быть успешной.Например, предположим, что я решил сгруппировать термины, содержащие переменную b . Тогда мои шаги были бы такими:

ab — 2 b + a — 2

( ab -2 b ) + ( a -2)

b ( a — 2) + 1 ( a — 2)

( a -2) ( b + 1)

Да, множители расположены в обратном порядке, но порядок не имеет значения для умножения.Любой ответ правильный.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в факторизации многочлена путем группировки. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Фактор по группировке», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления .)


Если вы будете использовать попарное разложение на множители для квадратичного разложения (это не тот метод, который я использую), в вашей книге этот процесс будет обозначаться терминологией, такой как «разложение по группировке», и процесс факторизации будет работать следующим образом:

Во-первых, мне нужно найти множители последнего члена –6, которые в сумме дают числовой коэффициент среднего члена –5. Я буду использовать числа –6 и +1, потому что (–6) (+ 1) = –6 и (–6) + (+1) = –5.Используя эти числа, я разделю средний член «–5 x » на два члена «–6 x » и «+1 x ». Это позволит мне попарно разложить на множители:

x 2 — 5 x — 6

= x 2 — 6 x + 1 x — 6

= x ( x — 6) + 1 ( x — 6)

= ( x — 6) ( x + 1)


  • Фактор 6

    x 2 -13 x + 6.

Эта факторизация немного сложнее, потому что старший коэффициент (то есть число в члене x 2 ) не является простым 1. Но я все же могу разложить многочлен на множители.

Во-первых, мне нужно найти множители (6) (6) = 36, которые в сумме дают –13. Я буду использовать числа –9 и –4, потому что (–9) (- 4) = 36 и (–9) + (–4) = –13. Используя эти числа, я могу разделить средний член –13 x на два члена –9 x и –4 x , а затем я могу разложить на множители попарно:

6 x 2 13 x + 6

= 6 x 2 9 x — 4 x + 6

= 3 x (2 x — 3) — 2 (2 x — 3)

= (2 x — 3) (3 x — 2)


Метод разложения на множители в последних двух примерах выше — в частности, та часть, где я выбрал два числа для разделения среднего члена квадратичного — вероятно, сейчас кажется вам довольно волшебным.Это нормально. Для полного объяснения этих двух последних примеров, пожалуйста, изучите мой урок по квадратичному разложению на множители. Страницы, посвященные «простому» квадратичному факторингу, а затем «жесткому» квадратичному разложению, должны полностью прояснить тему.


URL: https://www.purplemath.com/modules/simpfact3.htm

Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра


Другие примеры

Решение уравнения

Решите уравнения с одной или несколькими переменными как символически, так и численно.

Решите полиномиальное уравнение:

Решите систему линейных уравнений:

Решите уравнение с параметрами:

Другие примеры


Другие примеры

Полиномы

Решайте, строите и находите альтернативные формы полиномиальных выражений от одной или нескольких переменных.

Вычислить свойства многочлена от нескольких переменных:

Другие примеры


Другие примеры

Рациональные функции

Вычислить разрывы и другие свойства рациональных функций.

Вычислить свойства рациональной функции:

Вычислить частичное разложение дроби:

Другие примеры


Другие примеры

Упрощение

Упростите алгебраические функции и выражения.

Другие примеры


Другие примеры

Матрицы

Найдите свойства и выполните вычисления с матрицами.

Выполните базовую арифметику с матрицами:

Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы:

Другие примеры


Другие примеры

Кватернионы

Выполните вычисления в кватернионной системе счисления.

Получите информацию о кватернионе:

Проведите расчеты с кватернионами:

Другие примеры


Другие примеры

Конечные группы

Откройте для себя свойства групп, содержащих конечное число элементов.

Получите информацию о конечной группе:

Спросите о собственности группы:

Сделайте алгебру с перестановками:

Другие примеры


Другие примеры

Конечные поля

Откройте для себя свойства полей, содержащих конечное число элементов.

Вычислить свойства конечного поля:

Вычислить конкретное свойство:

Другие примеры


Другие примеры

Домен и диапазон

Найдите область и диапазон математических функций.

Вычислить область определения функции:

Вычислить диапазон функции:

Другие примеры

Математика (алгебра) Решения для класса 9 по математике Глава 3

Страница № 42:
Вопрос 1:

Добавьте следующее выражение.
(i) 2 a + b + 7; 4 a + 2 b + 3
(ii) 3 x + y — 8; y + 4-7 x
(iii) 3 x 2 + 5 x — 4; 8 x — 2 x 2 + 11
(iv) 5x — 4y + 2; 2x + 7лет — 5

Ответ:

(i)

2 a + b + 7
4 a + 2 b + 3
———————
6 a + 3 b + 10

(ii)

3 x + y — 8
— 7 x + y + 4
——— ————-
-4 x + 2 y — 4

(iii)

3 x 2 + 5 x — 4
-2 x 2 + 8 x + 11
———————
x 2 + 13 x + 7

(iv)

5x — 4y + 2 2x + 7y — 5 7x + 3y — 3

Страница № 42:
Вопрос 2:

Вычтите второе выражение из первого:

(i) 5 x 2 — 6 xy + 2; 3 x 2 + 10 xy -8
(ii) m 2 n — 8 + mn 2 ; 7 — м 2 n mn 2
(iii) 5 x 2 + 4 y 2 -6 y + 8; x 2 — 5 y 2 + 2 xy + 3 y — 10

Ответ:

i 5×2 — 6xy + 2 3×2 + 10xy — 8 — — + 2×2 — 16xy +10

ii m2n — 8 + mn2 -m2n + 7 -mn2 + — + 2m2n — 15 + 2mn2

iii 5×2 + 4y2 — 6y + 8 x2 — 5y2 + 2xy + 3y — 10 — + — — + 4×2 + 9y2 — 2xy — 9y + 18

Страница № 42:
Вопрос 3:

Что нужно добавить к 5 x 2 + 2 xy + y 2 , чтобы получить 3 x 2 + 4 xy ?

Ответ:

Мы можем получить требуемое выражение, вычитая 5 x 2 + 2 xy + y 2 из 3 x 2 + 4 xy следующим образом:

3 x 2 + 4 xy
5 x 2 + 2 xy + y 2
— — —
————— ———-
— 2 x 2 + 2 xy y 2

Страница № 42:
Вопрос 4:

Что нужно вычесть из 2 a + 6 b — 5, чтобы получить — 3 a + 2 b + 3?

Ответ:

Мы можем получить требуемое выражение, вычитая — 3 a + 2 b + 3 из 2 a + 6 b — 5 следующим образом:

2 a + 6 b — 5
— 3 a + 2 b + 3
+ — —
————————-
5 a + 4 б — 8

Страница № 42:
Вопрос 5:

Вычтем 4 x + y + 2 из суммы 3 x — 2 y + 7 и 5 x — 3 y — 8.

Ответ:

Сумма 3 x — 2 y + 7 и 5 x — 3 y — 8:

3 x — 2 y + 7
5 x — 3 y — 8
———————
8 x — 5 y — 1

Теперь, вычитание 8 x — 5 y — 1 и 4 x + y + 2:

8 x — 5 y — 1
4 x + y + 2
— — —
——- —————
4 x — 6 y — 3

Страница № 42:
Вопрос 6:

Упростить:
(i) 5 x (2 x + 3 y )
(ii) (2 x y ) (3 x + 5 y )
(iii ) (3 xy 2 + 4 x 2 ) ( xy -3 x 2 )

Ответ:

i 5x2x + 3y = 5x × 2x + 5x × 3y = 10×2 + 15xy

ii 2x-y3x + 5y = 2x3x + 5y — y3x + 5y = 6×2 + 10xy — 3xy — 5y2 = 6×2 + 7xy — 5y2

iii 3xy2 + 4x2xy — 3×2 = 3xy2xy — 3×2 + 4x2xy — 3×2 = 3x2y3 — 9x3y2 + 4x3y — 12 x4

Страница № 42:
Вопрос 7:

Разделите первое выражение на второе.Напишите частное и остаток.
(i) a 2 b ; a b

(ii) x 2 -14×2; х — 12x

Ответ:

(i)

∴ Частное = a + b и остаток = 0

(ii)

∴ Частное = x + 12x и остаток = 0

Страница № 44:
Вопрос 1:

Факторизуйте следующее:
1.4 x -8 y

Ответ:

4x — 8 лет = 4x — 2 года

Страница № 44:
Ответ:

5т + 25т2 = 5т1 + 5т

Страница № 44:
Ответ:

x4y5 — 3x5y4 = x4y4y — 3x

Страница № 44:
Вопрос 4:

x 2 + xy -3 x -3 y

Ответ:

x2 + xy — 3x — 3y = xx + y — 3x + y = x + yx-3

Страница № 44:
Вопрос 5:

6 ax — 6 by — 4 ay + 9 bx

Ответ:

6ax — 6by -4ay + 9bx = 6ax + 9bx-4ay- 6by = 3x2a + 3b — 2y2a + 3b = 2a + 3b3x-2y

Страница № 44:
Вопрос 6:

7 x 2 -21 x + 2 xy -6 y

Ответ:

7×2 — 21x + 2xy — 6y = 7xx-3 + 2yx-3 = x-37x + 2y

Страница № 44:
Вопрос 7:

2 x 2 -3 xy -8 xy 2 + 12 y 3

Ответ:

2×2 — 3xy — 8xy2 + 12y3 = x2x-3y — 4y22x-3y = 2x-3yx-4y2

Страница № 44:
Ответ:

81×2 — 64y2 = 9×2 — 8y2 = 9x + 8y9x-8y

Страница № 44:
Ответ:

27a2 — 75b2 = 39a2 — 25b2 = 33a2 — 5b2 = 33a + 5b3a — 5b

Страница № 44:
Ответ:

3a3 — 3a = 3aa2 — 1 = 3aa2 — 12 = 3aa + 1a — 1

Страница № 44:
Вопрос 11:

x 2 y 2 — 6 x — 6 y

Ответ:

x2 — y2 -6x — 6y = x + y x-y — 6 x + y = x + y x — y — 6

Страница № 44:
Вопрос 12:

( a + b ) ( c + d ) — a 2 + b 2

Ответ:

a + b c + d — a2 + b2 = a + b c + d — a2 — b2 = a + b c + d — a + b a — b = a + b c + da — b = a + b c + Г-а + б

Страница № 44:
Вопрос 13:

x 2 + 8 x + 24 y — 9 y 2

Ответ:

x2 + 8x + 24y — 9y2 = x2 — 9y2 + 8x + 24y = x2 — 3y2 + 8x + 3y = x + 3yx — 3y + 8x + 3y = x + 3y x — 3y + 8

Страница № 44:
Вопрос 14:

a 2 — 12 ab + 36 b 2 — 25

Ответ:

a2 — 12ab + 36b2 — 25 = a2 — 2 × a × 6b + 6b2 — 25 = a — 6b2 — 52 = a — 6b + 5a — 6b — 5

Страница № 44:
Вопрос 15:

x 2 + 9 y 2 — 25 м 2 — 16 n 2 + 6 xy + 40 mn

Ответ:

x2 + 9y2 -25m2 — 16n2 + 6xy + 40mn = x2 + 9y2 + 6xy -25m2 — 16n2 + 40mn = x2 + 6xy + 9y2 -25m2 — 40mn + 16n2 = x2 + 2 × x × 3y + 3y2 -5m2 — 2 × 5m × 4n + 4n2 = x + 3y2 — 5m — 4n2 = x + 3y + 5m — 4nx + 3y-5m — 4n = x + 3y + 5m — 4n x + 3y-5m + 4n

Страница № 46:
Вопрос 1:

Факторизуйте следующее.
8 x 3 + 125 y 3

Ответ:

8×3 + 125y3 = 2×3 + 5y3 = 2x + 5y 2×2 — 2x × 5y + 5y2 = 2x + 5y 4×2 — 10xy + 25y2

Страница № 46:
Ответ:

2a3 — 54b3 = 2a3 — 27b3 = 2a3 — 3b3 = 2a — 3b a2 + a × 3b + 3b2 = 2a — 3b a2 + 6ab + 9b2

Страница № 46:
Ответ:

a + b3 — 8 = a + b3 — 23 = a + b — 2a + b2 + a + b × 2 + 22 = a + b — 2 a2 + 2ab + b2 + 2a + 2b + 4

Страница № 46:
Вопрос 4:

м364 + n327

Ответ:

m364 + n327 = m43 + n33 = m4 + n3m42 -m4 × n3 + n32 = m4 + n3m216 -mn12 + n29

Страница № 46:
Ответ:

8y3 — 125y3 = 2y3 — 5y3 = 2y — 5y2y2 + 2y × 5y + 5y2 = 2y — 5y4y2 + 10 + 25y2

Страница № 46:
Вопрос 6:

( a + b ) 3 — ( a b ) 3

Ответ:

a + b3 — a-b3 = a + b — a-ba + b2 + a + ba-b + a-b2 = 2ba2 + 2ab + b2 + a2 — b2 + a2 — 2ab + b2 = 2b3a2 + b2

Страница № 46:
Вопрос 7:

(2 м + 3 n ) 3 — (3 м + 2 n ) 3

Ответ:

2m + 3n3 — 3m + 2n3 = 2m + 3n -3m + 2n 2m + 3n2 + 2m + 3n3m + 2n + 3m + 2n2 = -m + n4m2 + 12mn + 9n2 + 6m2 + 4mn + 9mn + 6n2 + 9m2 + 12mn + 4n2 = -m + n19m2 + 37mn + 19n2

Страница № 46:
Вопрос 8:

(3 x + 5 y ) 3 — (2 x y ) 3

Ответ:

3x + 5y3 — 2x — y3 = 3x + 5y-2x — y3x + 5y2 + 3x + 5y2x — y + 2x — y2 = x + 6y9x2 + 25y2 + 30xy + 6×2 -3xy + 10xy -5y2 + 4×2 — 4xy + y2 = х + 6y19x2 + 33xy + 21y2

Страница № 46:
Вопрос 9:

27 ( x -1) 3 + y 3

Ответ:

27x-13 + y3 = 3x-13 + y3 = 3x-1 + y3x-12 — 3x-1 × y + y2 = 3x + y -33x-32-3xy + 3y + y2 = 3x + y -39×2-18x + 9-3xy + 3y + y2

Страница № 46:
Ответ:

a6 — b6 = a23 — b23 = a2 — b2 a22 + a2b2 + b22 = a + ba — ba4 + a2b2 + b4

Страница № 47:
Вопрос 1:

Факторизуйте следующее:
2 x 2 + 3 x — 5

Ответ:

2×2 + 3x — 5 = 2×2 + 5x -2x — 5 ∵ 2 × -5 = -10 5 × -2 = -10и 5 + -2 = 3 = x 2x + 5 — 12x + 5 = 2x + 5x — 1

Страница № 47:
Ответ:

3×2 — 14x + 8 = 3×2 — 12x -2x + 8 ∵ 3 × 8 = 24-12 × -2 = 24 и -12+ -2 = -14 = 3x x — 4 — 2x — 4 = x — 43x — 2

Страница № 47:
Вопрос 3:

6 x 2 + 11 x — 10

Ответ:

6×2 + 11x — 10 = 6×2 + 15x -4x — 10 ∵ 6 × -10 = -60, 15 × -4 = -60 и 15+ -4 = 11 = 3x 2x + 5 — 22x + 5 = 2x + 53x — 2

Страница № 47:
Ответ:

Имеем, 2×2 -7x — 15 = 2×2 + 3x -10x — 15 Так как, 2 × -15 = -30 3 × -10 = -30 и 3+ -10 = -7 = x 2x + 3 -52x + 3 = 2х + 3х -5

Страница № 47:
Вопрос 5:

x 2 + 9 xy + 18 y 2

Ответ:

x2 + 9xy + 18y2 = x2 + 6xy + 3xy + 18y2 ∵ 1 × 18 = 18, 6 × 3 = 18 и 6 + 3 = 9 = x x + 6y + 3yx + 6y = x + 6yx + 3y

Страница № 47:
Вопрос 6:

a 2 — 5 ab — 36 b 2

Ответ:

a2 -5ab — 36b2 = a2 + 4ab — 9ab -36b2 ∵ 1 × -36 = -36, 4 × -9 = -36 и 4 + -9 = -5 = a a + 4b -9ba + 4b = a + 4ba -9b

Страница № 47:
Вопрос 7:

a 2 + 14 ab — 51 b 2

Ответ:

a2 + 14ab — 51b2 = a2 + 17ab — 3ab -51b2 ∵ 1 × -51 = -51 17 × -3 = -51 и 17 + -3 = 14 = a a + 17b -3ba + 17b = a + 17ba -3b

Страница № 47:
Вопрос 8:

2 m 2 + 19 mn + 30 n 2

Ответ:

2m2 + 19mn + 30n2 = 2m2 + 15mn + 4mn + 30n2 ∵ 2 × 30 = 60 15 × 4 = 60 и 15 + 4 = 19 = m 2m + 15n + 2n2m + 15n = 2m + 15nm + 2n

Страница № 47:
Вопрос 9:

3 a 2 -11 ab + 6 b 2

Ответ:

3a2 -11ab + 6b2 = 3a2 -9ab — 2ab + 6b2 ∵ 3 × 6 = 18-9 × -2 = 18and -9 + -2 = -11 = 3a a — 3b -2ba -3b = a — 3b3a -2b

Страница № 47:
Вопрос 10:

6 x 2 + 7 xy -13 y 2

Ответ:

6×2 -7xy — 13y2 = 6×2 + 6xy — 13xy -13y2 ∵ 6 × -13 = -78 6 × -13 = -78 и 6 + -13 = -7 = 6x x + y -13yx + y = x + y6x — 13лет

Страница № 47:
Вопрос 11:

2×2 + 3x + 2

Ответ:

2 x2 + 3x + 2 = 2 x2 + 2x + x +2 ∵ 2 × 2 = 2, 2 × 1 = 2 и 2 + 1 = 3 = 2 x x +2 + 1x + 2 = x +22 x + 1

Страница № 48:
Вопрос 1:

Разложите на множители:
x 4 — 8 x 2 y 2 + 12 y 4

Ответ:

Имеем x4 — 8x2y2 + 12y4.Пусть x2 = a и y2 = bi.e., x4 = a2, y4 = b2 и x2y2 = ab∴ x4 — 8x2y2 + 12y4 = a2 — 8ab + 12b2 = a2 — 6ab- 2ab + 12b2 = aa — 6b -2ba — 6b. = a — 6ba — 2b Подставляя значения a и b, получаем: x4 — 8x2y2 + 12y4 = x2 — 6y2x2 — 2y2

Страница № 48:
Вопрос 2:

2 x 4 -13 x 2 y 2 + 15 y 4

Ответ:

У нас 2х4 — 13х2у2 + 15у4.Пусть x2 = a и y2 = bi.e., x4 = a2, y4 = b2 и x2y2 = ab∴2 x4 — 13x2y2 + 15y4 = 2a2 — 13ab + 15b2 = 2a2 — 10ab-3ab + 15b2 = 2aa — 5b -3ba — 5b = a — 5b2a — 3b Подставляя значения a и b, получаем: 2×4 — 13x2y2 + 15y4 = x2 — 5y22x2 — 3y2

Страница № 48:
Вопрос 3:

6 a 4 + 11 a 2 2 b 2 — 10 b 4

Ответ:

У нас 6a4 + 11a2b2 — 10b4.Пусть a2 = m и b2 = n, т.е. a4 = m2, b4 = n2 и a2b2 = mn∴6a4 + 11a2b2 — 10b4 = 6m2 + 11mn — 10n2 = 6m2 + 15mn -4mn- 10n2 = 3m2m + 5n -2n2m + 5n = 2m + 5n3m — 2n Подставляя значения m и n, получаем: 6a4 + 11a2b2 — 10b4 = 2a2 + 5b23a2 — 2b2

Страница № 48:
Вопрос 4:

3 ( x 2 -5 x ) 2 — 2 ( x 2 -5 x + 5) — 6

Ответ:

У нас 3х2 — 5х2 — 2х2 — 5х + 5 — 6.Пусть x2 -5x = a∴3×2 — 5×2 — 2×2 — 5x + 5-6 = 3a2 — 2a + 5-6 = 3a2 — 2a-16 = 3a2 — 8a + 6a-16 = a3a — 8 + 23a — 8 = 3a — 8 a + 2 Подставляя значение a, получаем: 3×2 — 5×2 — 2×2 — 5x + 5 — 6 = 3×2 — 5x — 8 x2 — 5x + 2 = 3×2 -15x -8×2 -5x +2

Страница № 48:
Вопрос 5:

( y 2 + 5 y ) ( y 2 + 5 y — 2) — 24

Ответ:

У нас есть y2 + 5yy2 + 5y — 2-24.Пусть y2 + 5y = a∴y2 + 5yy2 + 5y — 2 — 24 = aa-2 — 24 = a2 — 2a-24 = a2 — 6a + 4a-24 = aa — 6 + 4a — 6 = a — 6 a + 4Подставляя значение a, получаем: y2 + 5yy2 + 5y — 2 — 24 = y2 + 5y -6 y2 + 5y + 4 = y2 + 6y -y-6 y2 + 4y + y + 4 = yy + 6 — 1y +6 yy + 4 + 1y + 4 = y + 6 y-1 y + 4 y + 1

Страница № 51:
Вопрос 1:

Разложите на множители:
x 3 -27 y 3 + 125 + 45 xy

Ответ:

x3 — 27y3 + 125 + 45xy = x3 + -3y3 + 53 — 3 × x-3y5 = x + -3y + 5×2 + -3y2 + 52-x × -3y — 3y × 5 — 5 × x = x-3y + 5×2 + 9y2 + 25 + 3xy + 15y -5x

Страница № 51:
Вопрос 2:

a 3 b 3 + 8 c 3 + 6 abc

Ответ:

a3 — b3 + 8c3 + 6abc = a3 + -b3 + 2c3 — 3 × a × -b × 2c = a + -b + 2c a2 + -b2 + 2c2 -a × -b — -b × 2c — 2c × a = A-b + 2c a2 + b2 + 4c2 + ab + 2bc — 2ca

Страница № 51:
Вопрос 3:

8 a 3 + 27 b + 64 c 3 -72 abc

Ответ:

8a3 + 27b3 + 64c3 — 72abc = 2a3 + 3b3 + 4c3 — 3 × 2a × 3b × 4c = 2a + 3b + 4c 2a2 + 3b2 + 4c2 -2a × 3b — 3b × 4c — 4c × 2a = 2a + 3b + 4c 4a2 + 9b2 + 16c2 — 6ab — 12bc -8ca

Страница № 51:
Вопрос 4:

-27 x 3 + y 3 z 3 — 9 xyz

Ответ:

-27×3 + y3 -z3 -9xyz = -3×3 + y3 + -z3 — 3 × -3xy-z = -3x + y + -z-3×2 + y2 + -z2—3x × yy × -z — -z × -3x = -3x + y-z9x2 + y2 + z2 + 3xy + yz -3zx

Страница № 51:
Вопрос 5:

y 6 + 32 y 3 — 64

Ответ:

У нас есть y6 + 32y3 — 64.Здесь 32y3 не может быть записано в кубическом формате, поэтому 32y3 разделится на 8y3 + 24y3. y6 + 8y3 + 24y3 — 64 = y6 + 8y3 — 64 + 24y3 = y23 + 2y3 + -43 — 3 × y2 × 2y × -4 = y2 + 2y + -4 y22 + 2y2 + -42 — y2 × 2y -2y × -4 — -4 × y2 = y2 + 2y -4 y4 + 4y2 + 16 -2y3 + 8y + 4y2 = y2 + 2y -4 y4 -2y3 + 8y2 + 8y + 16

Страница № 51:
Ответ:

У нас x6-10×3-27.Здесь -10×3 не может быть записано в кубической форме, поэтому мы разделим -10×3 на -9×3 -x3.x6 -9×3 -x3 -27 = x6 -x3-27-9×3 = x23 + -x3 + -33 — 3 × x2 × -x × -3 = x2 + -x + -3 x22 + -x2 + -32 — x2 × -x —x × -3 — -3 × x2 = x2 -x -3 x4 + x2 + 9 + x3 -3x + 3×2 = x2 -x -3 x4 + x3 + 4 x2 -3x + 9

Страница № 51:
Ответ:

У нас есть a3 + 4 -1a3. Здесь 4 не может быть записано в кубической системе, поэтому мы разделим 4 на 1 + 3. a3 + 1 + 3-1a3 = a3 + 1-1a3 + 3 = a3 + 13 + -1a3-3 × a × 1 × -1a = a + 1 + -1aa2 +12 + -1a2-a × 1-1 × -1a — 1a × a = a + 1-1aa2 + 1 + 1a2-a + 1a + 1 = a + 1-1aa2 + 2 + 1a2-a + 1a

Страница № 51:
Вопрос 8:

( p — 3 q ) 3 + (3 q -7 r ) 3 + (7 r — 9) 3

Ответ:

Имеем p-3q3 + 3q-7r3 + 7r-p3 Пусть p-3q = a, 3q-7r = b и 7r-p = c∴p-3q3 + 3q-7r3 + 7r-p3 = a3 + b3 + c3 Здесь a + b + c = p-3q + 3q-7r + 7r-p = 0 Однако мы знаем, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc∴p-3q3 + 3q-7r3 + 7r- p3 = 3p-3q3q-7r 7r-p

Страница № 51:
Вопрос 9:

(5 x -6 y ) 3 + (7 z -5 x ) 3 + (6 y -7 z ) 3

Ответ:

Имеем 5x-6y3 + 7z-5×3 + 6y-7z3 Пусть 5x-6y = a, 7z-5x = b и 6y-7z = c∴5x-6y3 + 7z-5×3 + 6y-7z3 = a3 + b3 + c3 Здесь a + B + c = 5x-6y + 7z-5x + 6y-7z = 0 Однако мы знаем, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc∴5x-6y3 + 7z-5×3 + 6y-7z3 = 35x-6y7z-5x 6y-7z

Страница № 51:
Вопрос 10:

27 ( a b ) 3 + (2 a b ) 3 + (4 b -5 a ) 3

Ответ:

Имеем 27a-b3 + 2a-b3 + 4b-5a3 = 3a-b3 + 2a-b3 + 4b-5a3 Пусть 3a-b = x, 2a-b = y и 4b-5a = z∴3a-b3 + 2a- b3 + 4b-5a3 = x3 + y3 + z3 Здесь x + y + z = 3a-b + 2a-b + 4b-5a = 0 Однако мы знаем, что если x + y + z = 0, то x3 + y3 + z3 = 3xyz∴3a-b3 + 2a-b3 + 4b-5a3 = 33a-b2a-b4b-5a

Страница № 52:
Вопрос 1:

Какие из следующих выражений являются полиномами?
(i) 5 x 2 — 7 x + 4

(ii) 24

(iii) 5 a 2 + a + 4

(iv) 78x — 4×4 + 5×3

(v) t2 + 2 t -7

(vi) 3 x 2 + 7x- 7 x

(vii) x 38 — 4

(viii) 3 x -2 + x -1 + 5

(ix) y23 + 7y — 8

(x) 5×3 — 1

Ответ:

i 5×2 — 7x + 4 — это полиномиальное выражение, поскольку степени переменной x являются целыми положительными числами.

ii 24 — ненулевая константа, и каждая ненулевая константа является полиномиальным выражением. Следовательно, это полиномиальное выражение.

iii У нас есть 5a2 + a + 4 = 5a2 + a12 + 4 5a2 + a + 4 не является полиномиальным выражением, поскольку одна из степеней переменной a равна 12, что не является целым числом.

iv 78x-4×4 + 5×3 является полиномиальным выражением, поскольку все степени переменной x являются положительными целыми числами.

v t2 + 2 t — 7 является полиномиальным выражением, поскольку все степени переменной t являются целыми положительными числами.

vi У нас есть 3×2 + 7 x-7x = 3×2 + 7x-1-7x 3×2 + 7 x- 7x не является полиномиальным выражением, поскольку одна из степеней переменной x равна -1, что не является положительным целым числом.

vii x38-4 — это полиномиальное выражение, поскольку все степени переменной x являются положительным целым числом.

viii 3x-2 + x-1 + 5 не является полиномиальным выражением, поскольку степени переменной x равны -2 и -1, которые не являются целыми положительными числами.

ix y23 + 7y-8 не является полиномиальным выражением, поскольку одна из степеней переменной y равна 23, что не является целым числом.

x У нас x35-1 = x35-1 x35-1 не является полиномиальным выражением, поскольку степень переменной x равна 35, что не является целым числом.

Страница № 52:
Вопрос 3:

Напишите степень каждого из следующих многочленов:

(i) 5

(ii) -32

(iii) 4p — 5

(iv) 3 y + 4 y 2

(в) x 9 x 4 + _ x 12 + x — 2

(vi) 5 м 2 n — 3

(vii) 2 xy + 4 x 3

(viii) 7 p 2 q 3 t — 11 p 4 4 t t p 8

(ix) 5 x 2 y z 3 + xy 4 z 2

(x) ab c ab — 3 a 2 bcd 3 + 2 ac 4

Ответ:

i 5 — ненулевой постоянный член.Степень ненулевого постоянного члена равна нулю. ∴ Степень 5 = ​​0

ii -32 — ненулевой постоянный член. Степень ненулевого постоянного члена равна нулю. ∴ Степень -32 = 0

iii 4p — 5 — многочлен от переменной p. Наибольшая степень p в данном выражении равна 1. ∴ Степень 4p-5 = 1

iv 3y + 4y2 — многочлен от переменной y. Наибольшая степень y в данном выражении равна 2. ∴ Степень 3y + 4y2 = 2

v x9-x4 + x12 + x-2 является многочленом от переменной x.Наибольшая степень x в данном выражении равна 12. ∴ Степень x9-x4 + x12 + x-2 = 12

vi 5m2n — многочлен от переменных m и n. Сумма степеней m и n в данном выражении = 2 + 1 = 3 ∴Degree of 5m2n = 3

vii 2xy + 4×3 является многочленом от переменных x и y. Максимальная сумма степеней x и y в данном выражении равна 3.∴ Степень 2xy + 4×3 = 3

viii 7p2q3t-11p4t + 2p8 — многочлен от переменных p, q и t. Максимальная сумма степеней p, q и t в данном выражении равна 8.∴ Степень 7p2q3t-11p4t + 2p8 = 8

ix 5x2yz3 + xy4z2 является полиномом от переменных x, y и z. Максимальная сумма степеней x, y и z в данном выражении равна 7. ∴ Степень 5x2yz3 + xy4z2 = 7

x ab2cd-3a2bcd3 + 2ac4 является многочленом от переменных a, b, c и d. Максимальная сумма степеней a, b, c и d в данном выражении равна 7. ∴ Степень ab2cd-3a2bcd3 + 2ac4 = 7

Страница № 53:
Вопрос 2:

Запишите следующие многочлены в стандартной форме (нисходящий тип):
(i) 3 x x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 — 5

( ii) 3 x + 5 + x 3

(iii) 7 + 4 t 2 + 5 t

(iv) 118×2 + 2 — 7x

(v) 7 х + 4 х 2 + 3×3 — 14

Ответ:

i Стандартный вид убывающего типа уравнения 3x — x4 + 5×3 + 2×2 — 5 будет -x4 + 5×3 + 2×2 + 3x — 5.

ii Нисходящий тип стандартной формы уравнения 3x + 5 + x3 будет x3 + 3x + 5.

iii Нисходящий тип стандартной формы уравнения 7 + 4t2 + 5 t будет 4t2 + 5 t + 7.

iv Стандартный вид убывающего типа уравнения 118×2 + 2 — 7x будет иметь вид 118×2 — 7x + 2.

v Стандартный вид убывающего типа уравнения 7x + 4×2 + 3 x3-14 будет 3 x3 + 4×2 + 7x- 14.

Страница № 54:
Вопрос 1:

Найдите сумму следующих многочленов и запишите степень полученной суммы

(i) 2 x 3 -7 x 2 + 3 x + 4; 2 x 3 — 3 x 2 + 4 x + 1
(ii) 3 x 2 + 5 x x 7 ; — 3 x 2 + 5 x + 8
(iii) x 4 + 5 x 3 + 7 x ; 4 x 3 — 3 x 2 + 5
(iv) y 2 + 2 y — 5; y 3 + 2 y 2 + 3 y + 4; y 3 + 7 y -2
(v) 5 м 2 + 3 м + 8; м 3 -6 м 2 + 4 м ; м 3 м 2 м + 5

Ответ:

i Требуемый многочлен = 2×3-7×2 + 3x + 4 + 2×3-3×2 + 4x + 1 = 2×3-7×2 + 3x + 4 + 2×3-3×2 + 4x + 1 = 2×3 + 2×3-7×2-3×2 + 3x + 4x + 4 +1 = 4×3-10×2 + 7x + 5 Здесь максимальная степень равна 3.∴ Степень многочлена = 3

ii Требуемый многочлен = 3×2 + 5x-x7 + -3×2 + 5x + 8 = 3×2 + 5x-x7-3×2 + 5x + 8 = -x7 + 3×2-3×2 + 5x + 5x + 8 = — x7 + 10x + 8 Здесь наибольшая степень равна 7. Степень полинома = 7

iii Требуемый многочлен = x4 + 5×3 + 7x + 4×3-3×2 + 5 = x4 + 5×3 + 7x + 4×3-3×2 + 5 = x4 + 5×3 + 4×3-3×2 + 7x + 5 = x4 + 9×3-3×2 + 7x + 5 Здесь наибольшая степень равна 4.∴ Степень многочлена = 4

iv Требуемый многочлен = y2 + 2y-5 + y3 + 2y2 + 3y + 4 + y3 + 7y-2 = y2 + 2y-5 + y3 + 2y2 + 3y + 4 + y3 + 7y -2 = y3 + y3 + y2 + 2y2 + 2y + 3y + 7y-5 + 4-2 = 2y3 + 3y2 + 12y-3 Здесь максимальная степень равна 3. ∴ Степень полинома = 3

v Требуемый полином = 5m2 + 3m + 8 + m3-6m2 + 4m + m3-m2-m + 5 = 5m2 + 3m + 8 + m3-6m2 + 4m + m3-m2-m + 5 = m3 + m3 + 5m2-6m2-m2 + 3m + 4m -m + 8 + 5 = 2m3-2m2 + 6m + 13 Здесь максимальная мощность равна 3.∴ Степень полинома = 3

Страница № 54:
Вопрос 2:

Вычтите второй многочлен из первого и запишите степень полученного многочлена.

(i) x 4 + x 2 + x — 1; x 4 x 3 x 2 -1
(ii) n 3 -5 n 2 + 6; n 2 — 3 n + 8
(iii) 2 a + 3 a 2 — 7; 3 a 2 — 12 + 2 a

Ответ:

i Требуемый многочлен = x4 + x2 + x-1-x4-x3-x2 + 1 = x4 + x2 + x-1-x4 + x3 + x2-1 = x4-x4 + x3 + x2 + x2 + x-1 -1 = x3 + 2×2 + x-2 Здесь наибольшая степень равна 3.∴ Степень многочлена = 3

ii Требуемый многочлен = n3-5n2 + 6-n3-3n + 8 = n3-5n2 + 6-n3 + 3n-8 = n3-n3-5n2 + 3n + 6-8 = — 5n2 + 3n-2 Здесь наибольшая степень равна 2. Степень полинома = 2

iii Требуемый многочлен = 2a + 3a2-7-3a2-12 + 2a = 2a + 3a2-7-3a2 + 12-2a = 3a2 -3a2 + 2a-2a-7 + 12 = 5 Здесь многочлен является ненулевой константой.Мы знаем, что степень ненулевой константы равна 0. Степень многочлена = 0

Страница № 54:
Вопрос 3:

Упростить:

(i) (3 x 2 -2 x + 1) + ( x 2 + 5 x -3) + (4 x 2 + 8)
(ii) (2 y 3 + 3 y -7) — (8 y -6) + (4 y 3 -2 y + 1)
( iii) 5 м 3 м + 6 м 2 — (3 м 2 — 2 + м )

Ответ:

i 3×2-2x + 1 + x2 + 5x-3 + 4×2 + 8 = 3×2-2x + 1 + x2 + 5x-3 + 4×2 + 8 = 3×2 + x2 + 4×2-2x + 5x + 1-3 + 8 = 8×2 + 3x + 6

ii 2y3 + 3y-7-8y-6 + 4y3-2y + 1 = 2y3 + 3y-7-8y + 6 + 4y3-2y + 1 = 2y3 + 4y3 + 3y-8y-2y- 7 + 6 + 1 = 6y3-7y

iii 5м3-м + 6м2-3м2-2 + м = 5м3-м + 6м2-3м2 + 2-м = 5м3 + 6м2-3м2-м-м + 2 = 5м3 + 3м2-2м + 2

Страница № 54:
Вопрос 4:

Какой полином нужно добавить к 2 x 4 -3 x 2 + 5 x + 8, чтобы получить 2 x 2 -5 x + 4?

Ответ:

Пусть добавляемый многочлен равен p (x).Тогда 2×4-3×2 + 5x + 8 + p (x) = 2×2-5x + 4⇒p (x) = 2×2-5x + 4-2×4-3×2 + 5x + 8 = 2×2-5x + 4-2×4 + 3×2-5x -8 = -2×4 + 2×2 + 3×2-5x-5x + 4-8 = -2×4 + 5×2-10x-4∴-2×4 + 5×2-10x-4 нужно добавить к 2×4-3×2 + 5x + 8, чтобы получить 2×2-5x +4.

Страница № 54:
Вопрос 5:

Какой полином следует вычесть из y 3 + 2 y 2 + 5 y -1, чтобы получить 2 y 2 + 12?

Ответ:

Пусть вычитаемый многочлен равен p (x).Тогда y3 + 2y2 + 5y-1- p (x) = 2y2 + 12⇒p (x) = y3 + 2y2 + 5y-1 -2y2 + 12 = y3 + 2y2 + 5y-1-2y2-12 = y3 + 2y2-2y2 + 5y- 1-12 = y3 + 5y-13∴ y3 + 5y-13 следует вычесть из y3 + 2y2 + 5y-1, чтобы получить 2y2 + 12.

Страница № 54:
Вопрос 6:

Из суммы z 3 + 3 z 2 + 5 z + 8 и 4 z 3 + 2 z 2 -7 z -2 вычитание 2 x 3 — 3 z 2 + z — 4.

Ответ:

Требуемый многочлен = z3 + 3z2 + 5z + 8 + 4z3 + 2z2-7z-2-2z3-3z2 + z-4 = z3 + 3z2 + 5z + 8 + 4z3 + 2z2-7z-2-2z3 + 3z2-z + 4 = z3 + 4z3-2z3 + 3z2 + 2z2 + 3z2 + 5z-7z-z + 8-2 + 4 = 3z3 + 8z2-3z + 10

Страница № 56:
Вопрос 1:

Найдите произведение следующих многочленов и укажите степень их произведения.

(i) x 2 + 3 x + 1; 2 x — 3
(ii) 3 x 2 + 5 x ; x 2 + 2 x + 1
(iii) x 3 + 4 x + 2; x 2 + x + 5
(iv) x 3 — 1; x 2 x + 4
(v) 2 y 2 + 3; 3 y 3 + 1

Ответ:

i У нас есть x2 + 3x + 12x-3 = x22x-3 + 3x2x-3 + 12x-3 = 2×3-3×2 + 6×2-9x + 2x-3 = 2×3 + 3×2-7x-3∴Degree = 3

ii У нас есть 3×2 + 5xx2 + 2x + 1 = 3x2x2 + 2x + 1 + 5xx2 + 2x + 1 = 3×4 + 6×3 + 3×2 + 5×3 + 10×2 + 5x = 3×4 + 11×3 + 13×2 + 5x∴Degree = 4

iii. x3 + 4x + 2×2 + x + 5 = x3x2 + x + 5 + 4xx2 + x + 5 + 2×2 + x + 5 = x5 + x4 + 5×3 + 4×3 + 4×2 + 20x + 2×2 + 2x + 10 = x5 + x4 + 9×3 + 6×2 + 22x + 10∴Degree = 5

iv Имеем x3-1×2-x + 4 = x3x2-x + 4-1×2-x + 4 = x5-x4 + 4×3-x2 + x-4∴Degree = 5

v Имеем 2y2 + 33y3 + 1 = 2y23y3 + 1 + 33y3 + 1 = 6y5 + 2y2 + 9y3 + 3 = 6y5 + 9y3 + 2y2 + 3∴Degree = 5

Страница № 56:
Вопрос 2.1:

В каждом из следующих случаев разделите первый многочлен на второй многочлен и выразите его как Divident = Divisor ✕ factor + Remainder.

(i) x 3 -5 x 2 + 4 x + 8; х + 2

Ответ:

Здесь частное = x 2 -7 x + 18
и остаток = -28

∴x3-5×2 + 4x + 8 = x + 2×2-7x + 18-28

Страница № 56:
Вопрос 2.2:

y 3 -6 y 2 + 6 y + 1; y — 1

Ответ:

Здесь частное = y 2 5y + 1
и остаток = 2

∴y3-6y2 + 6y + 1 = y-1y2-5y + 1 + 2

Страница № 56:
Вопрос 2.3:

y 3 — 64; y — 4

Ответ:

Здесь частное = y 2 + 4 y + 16
и остаток = 0

∴y3-64 = y-4y2 + 4y + 16 + 0

Страница № 56:
Вопрос 2.4:

6 x 3 + 5 x 2 — 21 x + 10, 3 x — 2

Ответ:

Здесь частное = 2 x 2 + 3 x -5
и остаток = 0

∴6×3 + 5×2-21x + 10 = 3x-22×2 + 3x-5 + 0

Страница № 56:
Вопрос 2.5:

3 x 5 — 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x ; х 2 — 3

Ответ:

Здесь частное = 3 x 3 -4 x 2 + 12 x -12
и остаток = 38 x -36

∴3×5-4×4 + 3×3 2x = x2-33×3-4×2 + 12x-12 + 38x-36

Страница № 59:
Вопрос 1:

Выразите следующие полиномы в форме коэффициентов:

(i) 2 x 2 + 5 x + 12
(ii) y 4 — 3 y 2 + 2 y — 7
(iii) x 5 + 3 x 2
(iv) y 4 — 3
(v) 9 x

Ответ:

(i) Степень данного многочлена равна 2.
∴ Количество членов в индексной форме многочлена = 2 + 1 = 3
Многочлен 2×2 + 5x + 12 может быть записан в индексной форме как 2×2 + 5x + 12.
∴ Коэффициент данного многочлена равен (2, 5, 12).

(ii) Степень данного многочлена равна 4.
∴ Количество членов в индексной форме многочлена = 4 + 1 = 5
Многочлен y4-3y2 + 2y-7 может быть записан в индексной форме как у4 + 0 у3-3у2 + 2у-7.
∴ Коэффициент данного полинома равен (1, 0, — 3, 2, — 7).

(iii) Степень данного многочлена равна 5.
∴ Количество членов в индексной форме многочлена = 5 + 1 = 6
Многочлен x5 + 3×2 может быть записан в индексной форме как x5 + 0 x4 +0 х3 + 3х2 + 0 х + 0.
∴ Коэффициент данного полинома равен (1, 0, 0, 3, 0, 0).

(iv) Степень данного многочлена равна 4.
∴ Количество членов в индексной форме многочлена = 4 + 1 = 5
Многочлен y4-3 может быть записан в индексной форме как y4 + 0 y3 +0 у2 + 0 у-3.
∴ Коэффициент данного полинома равен (1, 0, 0, 0, -3).

(v) Степень данного многочлена равна 1.
∴ Количество членов в индексной форме полинома = 1 + 1 = 2
Многочлен 9x может быть записан в индексной форме как 9x + 0
∴ Коэффициент формы данного многочлена (1, 0).

Страница № 59:
Вопрос 2:

Выразите следующие многочлены в форме индекса, приняв ‘x’ в качестве переменной.

(i) (3, 2, 7)
(ii) (2, 0, 0, -4)
(iii) (1, 0, -3, 1, 5)
(iv) (-2, 3, -5, 6)
(v) (1, 0, 0, 0, 0, 0, 64)

Ответ:

(i) Полином (3, 2, 7) содержит 3 коэффициента.
, т.е. степень полинома = 3 — 1 = 2
∴ Индексная форма данного полинома равна 3 x 2 + 2 x + 7.

(ii) Многочлен (2, 0, 0, — 4) содержит 4 коэффициента.
, т.е. степень полинома = 4 — 1 = 3
1 Индексная форма данного полинома равна 2 x 3 + 0 x 2 + 0 x — 4.

(iii ) Полином (1, 0, — 3, 1, 5) содержит 5 коэффициентов.
, т.е. степень полинома = 5 — 1 = 4
∴ Индексная форма данного полинома: x 4 + 0 x 3 -3 x 2 + x + 5.

(iv) Многочлен (-2, 3, — 5, 6) содержит 4 коэффициента.
то есть, степень полинома = 4 — 1 = 3
index Форма индекса данного полинома равна -2 x 3 + 3 x 2 -5 x + 6.

( v) Полином (1, 0, 0, 0, 0, 0, 64) содержит 7 коэффициентов.
то есть, степень полинома = 7 — 1 = 6
∴ Форма индекса данного полинома: x 6 + 0 x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 64.

Страница № 59:
Вопрос 3.1:

Используйте метод синтетического деления для выполнения следующих делений. Запишите результат в виде
Делитель = Делитель × Частное + Остаток.

(i) ( x 3 -4 x 2 -2 x + 1) ÷ ( x -3)

Ответ:

Дивиденд = x3-4×2-2x + 1 Форма индекса = x3-4×2-2x + 1 Коэффициент формы = 1, -4, -2, 1 Сравнивая делитель x-3 с xa, мы получаем a = 3

Теперь частное в форме коэффициентов 1, -1, -5∴Quotient = x2-x-5 в переменной xRemainder = -14∴x3-4×2-2x + 1 = x-3×2-x-5-14

Страница № 59:
Вопрос 3.2:

(2 x 3 — 3 x 2 + 4 x + 2) ÷ ( x — 1)

Ответ:

Дивиденд = 2 x3-3×2 + 4x + 2 Форма индекса = 2 x3-3×2 + 4x + 2 Коэффициент формы = 2, -3, 4, 2 Сравнивая делитель x-1 с xa, мы получаем a = 1

Теперь, частное в форме коэффициентов = 2, -1, 3∴ Частное = 2×2-x + 3 в переменной xRemainder = 5∴ 2×3-3×2 + 4x + 2 = x-12×2-x + 3 +5

Страница № 59:
Вопрос 3.3:

( y 3 + 343) ÷ ( y + 7)

Ответ:

Дивиденд = y3 + 343 Форма индекса = y3 + 0 y2 + 0 y + 343 Форма коэффициента = 1, 0, 0, 343 Сравнивая делитель y + 7 с ya, мы получаем a = -7

Теперь частное в форме коэффициента = 1, -7, 49∴Quotient = y2-7y + 49 в переменной yRemainder = 0∴ y3 + 343 = y + 7y2-7y + 49 +0

Страница № 59:
Вопрос 3.4:

( x 5 + x 3 + x 2 -2 x + 4) ÷ ( x + 3)

Ответ:

Дивиденд = x5 + x3 + x2-2x + 4 Форма индекса = x5 + 0 x4 + x3 + x2-2x + 4 Коэффициент формы = 1, 0, 1, 1, -2, 4 Сравнивая делитель x + 3 с xa, получаем a = -3

Теперь частное в форме коэффициентов = 1, -3, 10, -29, 85∴Quotient = x4-3×3 + 10×2-29x + 85 в переменной xRemainder = -251∴ x5 + x3 + х2-2х + 4 = х + 3х4-3х3 + 10х2-29х + 85-251

Страница № 59:
Вопрос 3.5:

( x 3 + 2 x 2 + x + 2) ÷ ( x — 1)

Ответ:

Дивиденд = x3 + 2×2 + x + 2 Форма индекса = x3 + 2×2 + x + 2 Коэффициент формы = 1, 2, 1, 2 Сравнивая делитель x-1 с xa, мы получаем a = 1

Теперь, частное по коэффициенту form = 1, 3, 4∴Quotient = x2 + 3x + 4 в переменной xRemainder = 6∴ x3 + 2×2 + x + 2 = x-1×2 + 3x + 4 +6

Страница № 59:
Вопрос 3.6:

( y 2 -11 y + 30) ÷ ( y -5)

Ответ:

Дивиденд = y2-11y + 30 Форма индекса = y2-11y + 30 Форма коэффициента = 1, -11, 30 Сравнивая делитель y-5 с ya, мы получаем a = 5

Теперь частное в форме коэффициента = 1, — 6∴Quotient = y-6 в переменной yRemainder = 0∴ y2-11y + 30 = y-5y-6 +0

Страница № 59:
Вопрос 3.7:

( x 3 -3 x 2 -12 x + 4) ÷ ( x -2)

Ответ:

Дивиденд = x3-3×2-12x + 4 Форма индекса = x3-3×2-12x + 4 Коэффициент формы = 1, -3, -12, 4 Сравнивая делитель x-2 с xa, мы получаем a = 2

Теперь, частное в виде коэффициентов = 1, -1, -14∴ Quotient = x2-x-14 в переменной xRemainder = -24∴ x3-3×2-12x + 4 = x-2×2-x-14-24

Страница № 59:
Вопрос 3.8:

(2 x 4 + 3 x 2 + 5) ÷ ( x + 2)

Ответ:

Дивиденд = 2×4 + 3×2 + 5 Форма индекса = 2×4 +0 x3 + 3×2 + 0 x + 5 Коэффициент формы = 2, 0, 3, 0, 5 Сравнивая делитель x + 2 с xa, получаем a = -2

Теперь частное в форме коэффициентов равно 2, -4, 11, -22.∴ Quotient = 2×3-4×2 + 11x-22 в переменной xRemainder = 49∴2×4 + 3×2 + 5 = x + 22×3-4×2 + 11x-22 +49

Страница № 60:
Вопрос 1:

Найдите значение полинома x 2 + 2 x + 5, когда,

(i) x = 0
(ii) x = 3
(iii) x = — 1
(iv) x = — 3
(v) x = a

Ответ:

Пусть p ( x ) = x 2 + 2 x + 5

i Чтобы найти значение px, когда x = 0, поместите x = 0 в данный многочлен.px = x2 + 2x + 5⇒p0 = 02 + 2 × 0 + 5 = 5⇒p0 = 5∴ Значение полинома равно 5, когда x = 0

ii Чтобы найти значение px, когда x = 3, положите x = 3 в данном полиноме. px = x2 + 2x + 5⇒p3 = 32 + 2 × 3 + 5 = 9 + 6 + 5 = 20⇒p3 = 20∴ Значение полинома равно 20, когда x = 3

iii Чтобы найти значение px когда x = -1, положите x = -1 в данный многочлен. px = x2 + 2x + 5⇒p-1 = -12 + 2 × -1 + 5 = 1-2 + 5 = 4⇒p-1 = 4∴ Значение полинома равно 4, когда x = -1

iv Чтобы найти значение px, когда x = -3, поместите x = -3 в данный многочлен.px = x2 + 2x + 5⇒p-3 = -32 + 2 × -3 + 5 = 9-6 + 5 = 8⇒p-3 = 8∴ Значение полинома равно 8, когда x = -3

v Чтобы найти значение px, когда x = a, поместите x = a в данный многочлен. px = x2 + 2x + 5⇒pa = a2 + 2 × a + 5 = a2 + 2a + 5⇒pa = a2 + 2a + 5∴ Значение полинома равно a2 + 2a + 5, когда x = a

.

Страница № 60:
Вопрос 2:

Найдите значение полинома y 3 -5 y -2 y 2 + 3 когда.

(i) y = 1
(ii) y = 2
(iii) y = — 2
(iv) y = 4
(v) y = — b

Ответ:

Пусть p ( y ) = y3-5y-2y2 + 3

i Чтобы найти значение py, когда y = 1, поместите y = 1 в данный многочлен. py = y3-5y-2y2 + 3⇒p1 = 13-5 × 1-2 × 12 + 3 = 1-5-2 + 3 = -3⇒p1 = -3∴ Значение полинома равно -3, когда y = 1

ii Чтобы найти значение py при y = 2, положите y = 2 в данный многочлен.py = y3-5y-2y2 + 3⇒p2 = 23-5 × 2-2 × 22 + 3 = 8-10-8 + 3 = -7⇒p2 = -7∴ Значение полинома равно -7, когда y = 2

iii Чтобы найти значение py при y = -2, положите y = -2 в данный многочлен. py = y3-5y-2y2 + 3⇒p-2 = -23-5 × -2-2 × -22 + 3 = -8 + 10-8 + 3 = -3⇒p-2 = -3∴ Значение полинома равно -3, когда y = -2

iv Чтобы найти значение py, когда y = 4, поместите y = 4 в данный многочлен. py = y3-5y-2y2 + 3⇒p4 = 43-5 × 4-2 × 42 + 3 = 64-20-32 + 3 = 15⇒p4 = 15∴ Значение полинома равно 15, когда y = 4

v Чтобы найти значение py, когда y = -b, поместите y = -b в данный многочлен.py = y3-5y-2y2 + 3⇒pb = -b3-5 × -b-2 × -b2 + 3 = -b3 + 5b-2b2 + 3 = -b3-2b2 + 5b + 3⇒pb = -b3- 2b2 + 5b + 3∴ Значение полинома равно -b3-2b2 + 5b + 3, когда y = -b

Страница № 60:
Вопрос 3:

Если значение полинома x 2 mx + 7 равно 35, когда x = 2, найдите m .

Ответ:

Пусть px = x2-mx + 7, тогда p2 = 22-m × 2 + 7 = 4-2m + 7∴p2 = -2m + 11, но p2 = 35 Гивени.е., — 2м + 11 = 35⇒-2м = 35-11⇒-2м = 24∴м = -12

Страница № 60:
Вопрос 4:

Значение полинома ay 2 + 2 y — 6 для y = — 3 равно 15, найти a .

Ответ:

Пусть py = ay2 + 2y-6, тогда p-3 = a-32 + 2-3-6 = 9a-6-6∴p-3 = 9a-12, но p-3 = 15 Giveni.e., 9a-12 = 15⇒9a = 15 + 12⇒9a = 27∴ a = 3

Страница № 63:
Вопрос 1:

Найдите нуль многочлена в каждом из следующих значений:

(i) p ( x ) = x + 2
(ii) q ( x ) = 4 x — 12
(iii) r ( x ) = 5-6 x
(iv) p ( y ) = y + 1
(v) p ( m ) = м
(vi) q ( y ) = 4 y

Ответ:

i Чтобы найти ноль пикселя, решим уравнение px = 0.Имеем x + 2 = 0⇒x = -2∴-2 — нуль данного многочлена.

ii Чтобы найти нуль qx, мы решим уравнение qx = 0. Имеем 4x-12 = 0 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3∴3 — нуль данного многочлена.

iii Чтобы найти нуль rx, мы решим уравнение rx = 0. Имеем 5-6x = 0 ⇒ -6x = -5 ⇒x = -5-6 = 56∴56 — это нуль данного многочлена.

iv Чтобы найти ноль py, решим уравнение py = 0. Имеем y + 1 = 0 ⇒ y = -1∴-1 — нуль данного многочлена.

v Чтобы найти ноль pm, решим уравнение pm = 0. Имеем m = 0∴0 — нуль данного многочлена.

vi Чтобы найти нуль qy, решим уравнение qy = 0. Имеем 4y = 0 ⇒y = 0∴0 — нуль данного многочлена.

Страница № 63:
Вопрос 2:

Убедитесь, что:
(i) 2 является нулем многочлена p ( x ) = ( x — 2).
(ii) 2 и 9 являются нулями полинома p ( x ) = ( x — 2) ( x — 9).
(iii) 4 и — 3 являются нулями полинома p ( x ) = x 2 x — 12.

Ответ:

i У нас есть px = x-2⇒p2 = 2-2⇒ p2 = 0∴2 — это нуль данного многочлена.

ii У нас есть px = x-2x-9⇒p2 = 2-22-9⇒p2 = 0 × -7⇒p2 = 0 и p9 = 9-29-9⇒p9 = 7 × 0⇒p9 = 0∴2. а 9 — нули данного многочлена.

iii У нас есть px = x2-x-12⇒p4 = 42-4-12⇒p4 = 16-4-12⇒p4 = 0 и p-3 = -32—3-12 ⇒p-3 = 9+. 3-12⇒p-3 = 0∴2 и -3 — нули данного многочлена.

Страница № 63:
Вопрос 3:

Найдите нули следующих квадратичных многочленов и проверьте связь между нулями и коэффициентами:
(i) x 2 + 10 x + 16
(ii) x 2 — 4 х — 5

Ответ:

i У нас есть x2 + 10x + 16 = x2 + 8x + 2x + 16 = xx + 8 + 2x + 8 = x + 8x + 2 Полином имеет нули, когда px = 0i.е., x + 8 = 0 или x + 2 = 0⇒x = -8 или x = -2∴ Нули многочлена x2 + 10x + 16 равны -8 и -2. Теперь сумма нулей = — 8 + -2 = -10 = -101 = -baи произведение нулей = -8 × -2 = 16 = 161 = ca Следовательно, проверено.

ii У нас есть x2-4x-5 = x2-5x + x-5 = xx-5 + 1x-5 = x-5x + 1 Полином имеет нули, когда px = 0, т.е. x-5 = 0 или x + 1 = 0⇒x = 5 или x = -1 Нули многочлена x2 + 10x + 16 равны 5 и -1. Теперь сумма нулей = 5 + -1 = 4 = — 41 = -baи произведение нулей = 5 × -1 = -5 = -51 = ca Следовательно, проверено.

Страница № 63:
Вопрос 4:

Найдите квадратный многочлен, сумма и произведение нулей которого равны соответственно:

(i) 5 и — 50
(ii) — 11 и 10

Ответ:

i Мы знаем, что квадратный многочлен имеет вид x2-α + βx + αβ. Здесь α + β — сумма нулей, а αβ — произведение нулей. Дано: α + β = 5 и αβ = — 50∴Требуемый квадратичный многочлен = x2-5x + -50 = x2-5x-50

ii Мы знаем, что квадратичный многочлен имеет вид x2-α + βx + αβ.Здесь α + β — сумма нулей, а αβ — произведение нулей. Дано: α + β = -11 и αβ = 10 Требуемый квадратичный многочлен = x2—11x + 10 = x2 + 11x + 10

Страница № 64:
Вопрос 1:

Используя теорему об остатке, найдите остаток, если:

(i) 3 x 2 + x + 7 делится на x + 2.
(ii) 4 x 3 + 5 x — 10 делится на x — 3.
(iii) x 3 ax 2 + 2 x — a делится на x a

Ответ:

i Пусть, px = 3×2 + x + 7 Здесь divisor = x + 2 Когда x + 2 = 0 ⇒x = -2 По теореме об остатках, положив x = -2 в пикселях, мы получим, Остаток = p-2 = 3-22 + -2 + 7 = 3 × 4-2 + 7 = 12-2 + 7 = 17∴Остаток = 17

ii Пусть px = 4×3 + 5x-10 Здесь делитель = x-3 Когда x-3 = 0, у нас есть x = 3 Положив x = 3 в пикселях, мы получим: p3 = 433 + 53-10 = 4 × 27 + 15-10 = 108 + 15-10 = 113 Остаток = 113

iii Пусть px = x3-ax2 + 2x-a Здесь divisor = xa. Когда xa = 0, мы имеем x = a. Положив x = a в px, мы получим: pa = a3-aa2 + 2a-a = a3-a × a2 + 2a-a = a3- a3 + 2a-a = a∴ Остаток = a

Страница № 64:
Вопрос 2:

Если p ( x ) = 2 x 3 — 3 x 2 + 4 x — 5.Найдите остаток от деления p ( x ) на.

(i) x — 2
(ii) x + 3
(iii) x — 1

Ответ:

i У нас есть px = 2×3-3×2 + 4x-5. Здесь divisor = x-2. Когда x-2 = 0, мы имеем x = 2. Положив x = 2 в px, мы получим: p2 = 223-322 + 42-5. = 2 × 8-3 × 4 + 8-5 = 16-12 + 8-5 = 7 Остаток = 7

ii У нас есть px = 2×3-3×2 + 4x-5 Здесь делитель = x + 3 Когда x + 3 = 0, имеем x = -3 Положив x = -3 в пикселях, получим: p-3 = 2-33-3-32 + 4-3-5 = 2 × -27-3 × 9-12-5 = -54-27-12-5 = -98∴Оставка = -98

iii У нас есть px = 2×3-3×2 + 4x-5 Здесь делитель = x-1 Когда x-1 = 0, мы имеем x = 1 x = 1 в пикселях, получаем: p1 = 213-312 + 41-5 = 2 × 1-3 × 1 + 4-5 = 2-3 + 4-5 = -2∴Остаток = -2

Страница № 64:
Вопрос 3:

Когда x 3 + a x 2 + 4 x — 5 делится на x + 1, остаток равен 14.Найдите a .

Ответ:

Пусть px = x3 + ax2 + 4x-5 Здесь divisor = x + 1 Когда x + 1 = 0, мы имеем x = -1 Положив x = -1 в px, мы получим: Остаток = p-1 = -13 + a -12 + 4-1-5 = -1 + a-4-5 = a-10 Дано: остаток = 14, т.е. a-10 = 14⇒a = 14 + 10∴a = 24

Страница № 65:
Вопрос 1:

Используя теорему о множителях, покажите, что:

(i) ( x + 2) является множителем x 2 — 4.
(ii) ( x — 3) — коэффициент x 3 — 27.
(iii) ( x — 1) — коэффициент 2 x 4 + 9 x 3 + 6 x 2 — 11 x — 6.
(iv) ( x + 4) является множителем x 2 + 10 x + 24.

Ответ:

i Пусть px = x2-4 Когда x + 2 = 0, мы имеем x = -2 Положив x = -2 в px, мы получим: p-2 = -22-4 = 4-4 = 0∴ По теореме множителей x +2 — множитель x2-4.

ii Пусть, px = x3-27 Когда x-3 = 0, мы имеем x = 3 Подставив x = 3 в px, мы получим: p3 = 33-27 = 27-27 = 0∴ По теореме множителей x-3 равно фактор x3-27.

iii Пусть px = 2×4 + 9×3 + 6×2-11x-6. Когда x-1 = 0, мы имеем x = 1. Подставляя x = 3 в px, получаем: p1 = 214 + 913 + 612-111-6 = 2 + 9. + 6-11-6 = 0∴ По теореме о множителях x-1 является множителем 2×4 + 9×3 + 6×2-11x-6.

iv Пусть, px = x2 + 10x + 24 Когда x + 4 = 0, мы имеем x = -4 Положим x = -4 в пикселях, мы получим, p-4 = -42 + 10-4 + 24 = 16-40 + 24 = 0∴ По теореме о множителях x + 4 является множителем x2 + 10x + 24.

Страница № 65:
Вопрос 2:

Используйте теорему о множителях, чтобы определить, является ли ( x -2) множителем x 3 -3 x 2 + 4 x + 4.

Ответ:

Пусть px = x3-3×2 + 4x + 4 Когда x-2 = 0, мы имеем x = 2 Положив x = 2 в px, мы получим: p2 = 23-322 + 42 + 4 = 8-12 + 8 + 4 = 8We имеем p2 ≠ 0i.е., 2 не является нулем px. ∴ По теореме о факторах, x-2 не является множителем x3-3×2 + 4x + 4.

Страница № 65:
Вопрос 3:

Найдите значение ‘ a ‘, если ( x -2) является множителем 2 x 3 -6 x 2 + 5 x + a .

Ответ:

Пусть px = 2×3-6×2 + 5x + a Когда x-2 = 0, мы имеем x = 2 Положив x = 2 в px, мы получим: p2 = 223-622 + 52 + a = 16-24 + 10 + a = a + 2x-2 — это ноль пикселя.По теореме о факторах имеем: p2 = 0⇒a + 2 = 0∴a = -2

Страница № 173:
Вопрос 1:

Добавьте следующие выражения:

(i) 5 m + 0,3 n — 1,2 t ; 0,23 м — 2,8 т + 4 n

(ii) a2-7b3 + 3c4; 5a2-2b3-7c4

Ответ:

i У нас 5м + 0,3н-1.2т + 0,23м-2,8т + 4n = 5м + 0,3n-1,2т + 0,23м-2,8т + 4n = 5м + 0,23м + 0,3n + 4n-1,2т-2,8т = 5,23м + 4,3n-4т

ii У нас есть a2-7b3 + 3c4 + 5a2-2b3-7c4 = a2-7b3 + 3c4 + 5a2-2b3-7c4 = a2 + 5a2-7b3-2b3 + 3c4-7c4 = 6a2-9b3-4c4 = 3a-3b- в

Страница № 173:
Вопрос 2:

Вычтите второе выражение из первого:

(i) m3 + n2; m6 + n 4

(ii) 0,07p2q + 3,6pq2-p2q2-0,003pq2 + 2p2q-8.5p2q2

Ответ:

i У нас есть m3 + n2-m6 + n4 = m3 + n2-m6-n4 = m3-m6 + n2-n4 = 2m6-m6 + 2n4-n4 = m6 + n4

ii У нас 0.07p2q + 3,6pq2-p2q2-0,003pq2-2p2q + 8,5p2q2 = 0,07p2q + 3,6pq2-p2q2-0,003pq2 + 2p2q-8.5p2q2 = 0,07p2q + 2p2q + 3,6pq2-0,003pq2-p2q2-8,5p2q2 + 2,07p2q2 3.597pq2-9.5p2q2

Страница № 173:
Вопрос 3:

Упростить:

(i) 3c (2b-2a) + 2a (b + 3c) — 2b (3c + a)

(ii) mm3-m2 + 1-2m4-m3-1 + m2m2-m + 2

(iii) 2×2 + y-3 + 7×2-y + 2-3y-3×2-1

(iv) x + yx-y + 2x-y3x + y

(v) 2a + bc-2d + a -b2c + 3d + 4ac + bd

Ответ:

i У нас есть 3c2b-2a + 2ab + 3c-2b3c + a = 6bc-6ac + 2ab + 6ac-6bc-2ab = 6bc-6bc-6ac + 6ac + 2ab-2ab = 0

ii У нас есть mm3-m2 + 1-2m4-m3-1 + m2m2-m + 2 = m4-m3 + m-2m4 + 2m3 + 2 + m4-m3 + 2m2 = m4-2m4 + m4-m3 + 2m3-m3 + 2m2 + m + 2 = 2m2 + m + 2

iii Имеем 2×2 + y-3 + 7×2-y + 2-3y-3×2-1 = 2×2 + 2y-6 + 7×2-7y + 14-3y + 9×2 + 3 = 2×2 + 7×2 + 9×2 + 2y-7y-3y-6 + 14 + 3 = 18×2-8y + 11

iv Имеем x + yx-y + 2x-y3x + y = xx-y + yx-y + 2x3x + y-y3x + y = x2-xy + xy-y2 + 6×2 + 2xy-3xy-y2 = x2 + 6×2-xy + xy + 2xy-3xy-y2-y2 = 7×2-xy-2y2

v Имеем 2a + bc-2d + a-b2c + 3d + 4ac + bd = 2ac-2d + bc-2d + a2c + 3d-b2c + 3d + 4ac + bd = 2ac-4ad + bc-2bd + 2ac + 3ad-2bc-3bd + 4ac + 4bd = 2ac + 2ac + 4ac-4ad + 3ad + bc-2bc-2bd-3bd + 4bd = 8ac-ad-bc-bd

Страница № 173:
Вопрос 4.1:

Факторизация:
x216 — y225

Ответ:

У нас есть x216-y225 = x42-y52 = x4 + y5x4-y5

Страница № 173:
Вопрос 4.2:

x 2 — (2 y + 3 z ) 2

Ответ:

Имеем x2-2y + 3z2 = x + 2y + 3zx-2y + 3z = x + 2y + 3zx-2y-3z

Страница № 173:
Вопрос 4.3:

16a-b2-4c-d2

Ответ:

Имеем 16a-b2-4c-d2 = 44a-b2-c-d2 = 4 2a-b2-c-d2 = 42a-b + c-d2a-bcd = 42a-2b + c-d2a-2b-c + d

Страница № 173:
Вопрос 4.4:

( a b ) 2 + 8 ( a b ) + 15

Ответ:

У нас есть a-b2 + 8a-b + 15 = a-b2 + 5a-b + 3a-b + 15 = a-ba-b + 5 + 3a-b + 5 = a-b + 5a-b + 3 = a-b + 5a-b + 3

Страница № 173:
Вопрос 4.5:

9 a 2 -18 ab -4 ab 2 + 8 b 3

Ответ:

Имеем 9a2-18ab-4ab2 + 8b3 = 9aa-2b-4b2a-2b = a-2b9a-4b2

Страница № 173:
Вопрос 4.6:

6 x 2 + 4 xy — 9 xy 2 — 6 y 3

Ответ:

Имеем 6×2 + 4xy-9xy2-6y3 = 2x3x + 2y-3y23x + 2y = 3x + 2y2x-3y2

Страница № 173:
Вопрос 4.7:

a2 + 4ab + 4b2-9m2 + 6mn-n2

Ответ:

Имеем a2 + 4ab + 4b2-9m2 + 6mn-n2 = a2 + 4ab + 4b2-9m2-6mn + n2 = a2 + 2 × a × 2b + 2b2-3m2-2 × 3m × n + n2 = a + 2b2. -3m-n2 = a + 2b + 3m-na + 2b-3m-n = a + 2b + 3m-na + 2b-3m + n

Страница № 173:
Вопрос 4.8:

(2 a + b ) 3 — ( a + 3 b ) 3

Ответ:

Имеем 2a + b3-a + 3b3 = 2a + b-a + 3b2a + b2 + 2a + ba + 3b + a + 3b2 = a-2b4a2 + b2 + 4ab + 2a2 + 7ab + 3b2 + a2 + 9b2 + 6ab. = a-2b4a2 + 2a2 + a2 + b2 + 3b2 + 9b2 + 4ab + 7ab + 6ab = a-2b7a2 + 13b2 + 17ab

Страница № 173:
Вопрос 4.9:

8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2

Ответ:

Имеем 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2 = 2a3 + b3 + 6ab2a + b = 2a3 + b3 + 3 × 2a × b2a + b = 2a + b3 = 2a + b2a + b2a + b

Страница № 173:
Вопрос 4.10:

2×2-6×2-8×2-6x + 3-40

Ответ:

Имеем 2×2-6×2-8×2-6x + 3-40 Подставляя x2-6x = a, получаем: 2×2-6×2-8×2-6x + 3-40 = 2a2-8a + 3-40 = 2a2-8a-24-40 = 2a2-8a-64 = 2a2-4a-32 = 2a2-8a + 4a-32 = 2aa-8 + 4a-8 = 2a-8a + 4 Подставляя значение a, получаем: 2×2-6×2-8×2-6x + 3-40 = 2×2-6x-8×2-6x + 4

Страница № 173:
Вопрос 4.11:

a2-2a + 3a2-2a + 5-35

Ответ:

Имеем a2-2a + 3a2-2a + 5-35 Подставляя a2-2a = x, получаем: a2-2a + 3a2-2a + 5-35 = x + 3x + 5-35 = x2 + 5x + 3x + 15 -35 = x2 + 8x-20 = x2 + 10x-2x-20 = xx + 10-2x + 10 = x + 10x-2 Подставляя значение a, получаем: a2-2a + 3a2-2a + 5-35 = a2-2a + 10a2-2a-2

Страница № 173:
Вопрос 4.12:

x3-8y3-64z3-24xyz

Ответ:

Имеем x3-8y3-64z3-24xyz = x3 + -2y3 + -4z3-3 × x × -2y × -4z = x + -2y + -4zx2 + -2y2 + -4z2-x-2y — 2y-4z — 4zx = x -2y-4zx2 + 4y2 + 16z2 + 2xy-8yz + 4xz

Страница № 173:
Вопрос 4.13:

п3-10 + 27п3

Ответ:

Имеем p3-10 + 27p3 = p3 + 8-18 + 27p3 = p3 + 8 + 27p3-18 = p3 + 23 + 3p3-3 × p × 2 × 3p = p + 2 + 3pp2 + 22 + 3p2-p. × 2-2 × 3п-3п × п = п + 2 + 3пп2 + 4 + 9п2-2п-6п-3

Страница № 173:
Вопрос 4.14:

8×6 + 95×3 + 1

Ответ:

Имеем 8×6 + 95×3 + 1 = 8×6 + 125×3-30×3 + 1 = 8×6 + 125×3 + 1-30×3 = 2×23 + 5×3 + 13-3 × 2×2 × 5x × 1 = 2×2 + 5x + 12×22 + 5×2 + 12-2×2 × 5x-5x × 1-1 × 2×2 = 2×2 + 5x + 14×4 + 25×2 + 1-10×3-5x-2×2 = 2×2 + 5x + 14×4-10×3 + 25×2-2×2-5x + 1 = 2×2 + 5x + 14×4-10×3 + 23×2-5x + 1

Страница № 173:
Вопрос 4.15:

8×3 + 27y3 + 125z3-90xyz

Ответ:

Имеем 8×3 + 27y3 + 125z3-90xyz = 2×3 + 3y3 + 5z3-3 × 2x × 3y × 5z = 2x + 3y + 5z2x2 + 3y2 + 5z2-2x × 3y-3y × 5z-5z × 2x = 2x + 3y + 5z4x2 + 9y2 + 25z2-6xy-15yz-10xz

Страница № 173:
Вопрос 5:

Что нужно добавить к 6×2 — 3xy + 4y2, чтобы получить 2y2 + xy — 4×2?

Ответ:

Пусть px добавляется к 6×2-3xy + 4y2, чтобы получить 2y2 + xy-4×2.т.е. 6×2-3xy + 4y2 + px = 2y2 + xy-4×2⇒px = 2y2 + xy-4×2-6×2-3xy + 4y2⇒px = 2y2 + xy-4×2-6×2 + 3xy-4y2⇒px = 2y2-4y2 + xy + 3xy-4×2-6×2⇒px = -2y2 + 4xy-10×2⇒px = -10×2-2y2 + 4xy∴-10×2-2y2 + 4xy можно добавить к 6×2-3xy + 4y2, чтобы получить 2y2 + xy-4×2.

Страница № 173:
Вопрос 6:

Что нужно вычесть из 3 м 2 n + 5 mn 2 — 2 m 2 n 2 , чтобы получить -3 m 2 + 7 mn 2 + 4 m 2 n 2 ?

Ответ:

Пусть пиксели вычтены из 3m2n + 5mn2-2m2n2, чтобы получить -3m2n + 7mn2 + 4m2n2.∴3m2n + 5mn2-2m2n2 -px = -3m2n + 7mn2 + 4m2n2⇒px = 3m2n + 5mn2-2m2n2 —3m2n + 7mn2 + 4m2n2⇒px = 3m2n + 5mn2-2m2n2 + 3m2n-7mn2-4m2n2npx + 3m2n-7mn2-4m2n2npx + 3m2n-7mn2-4m2n2n2 + 5mn2-7mn2-2m2n2 -4m2n2⇒px = 6m2n-2mn2-6m2n2∴6m2n-2mn2-6m2n2 можно вычесть из 3m2n + 5mn2-2m2n2, чтобы получить -3m2n + 7mn2 + 4m2n2.

Страница № 173:
Вопрос 7:

Вычтем 6 x + 8 y + 4 из 4 x — 2 y + 3 и 2 y x + 3?

Ответ:

Требуемый многочлен = 4x-2y + 3 + 2y-x + 3-6x + 8y + 4 = 4x-2y + 3 + 2y-x + 3-6x-8y-4 = 4x-x-6x-2y + 2y- 8лет + 3 + 3-4 = -3x-8лет + 2

Страница № 173:
Вопрос 8:

Найдите периметр прямоугольника, две смежные стороны которого равны
5 x 2 + 2 xy — 13; 2 x 2 -6 xy + 11.

Ответ:

Двумя соседними сторонами прямоугольника являются его длина и ширина. Периметр = 2 длина + ширина = 2 сумма двух смежных сторон = 25×2 + 2xy-13 + 2×2-6xy + 11 = 25×2 + 2xy-13 + 2×2-6xy + 11 = 25×2 + 2×2 + 2xy-6xy-13 + 11 = 27×2-4xy-2 = 14×2-8xy-4

Страница № 173:
Вопрос 9:

Периметр треугольника равен 9 м 2 -2 n + 8, а его две стороны составляют 4 м 2 + 3 n и 7 м 2 + 5 n — 12.Найдите третью сторону треугольника.

Ответ:

Пусть первая сторона треугольника будет 4m2 + 3n. Вторая сторона треугольника = 7m2 + 5n-12 Третья сторона = pxPerimeter = 9m2-2n + 8Теперь 4m2 + 3n + 7m2 + 5n-12 + px = 9m2-2n + 8 ⇒ px = 9m2-2n + 8-4m2 + 3n + 7m2 + 5n-12⇒px = 9m2-2n + 8-4m2-3n-7m2-5n + 12⇒px = 9m2-4m2-7m2-2n-3n-5n + 8 + 12⇒px = -2m2-10n + 20∴ Третья сторона треугольника = -2m2-10n + 20

Страница № 173:
Вопрос 10:

Месячная зарплата Рахула составляет рупий.2 p 3 + p — 3. Его годовые расходы составляют 14 p 2 + 6 p — 10. Найдите его годовые сбережения.

Ответ:

Дано: Месячная зарплата Рахула = 2 пенса + р-3, Годовая зарплата = 12 мес. Зарплаты = 122 п.л. + п-3 = 24 п.п. + 12 п.-36 И его годовые расходы = 14 п.п. + 6 п. = 24p2 + 12p-36-Rs 14p2 + 6p-10 = Rs 24p2 + 12p-36-14p2 + 6p-10 = 24p2 + 12p-36-14p2-6p + 10 = 24p2- 14p2 + 12p-6p- 36 + 10 = 10р2 + 6п-26

Страница № 173:
Вопрос 11.1:

Используйте метод синтетического деления для выполнения следующих делений. Напишите, является ли делитель коэффициентом дивиденда. Оправдывать.

(i) (3 п 4 -4 п 3 -3 п -1) ÷ ( п -1)

Ответ:

Дивиденд = 3p4-4p3-3p-1 Форма индекса = 3p4-4p3 + 0p2-3p-1 Коэффициент формы = 3, -4, 0, -3, -1 Сравнивая делитель p-1 с pa, получаем a = 1

∴ Частное в форме коэффициентов = 3, -1, -1, -4i.е., частное = 3p3-p2-p-4 в переменной pHere, остаток -5 отличен от нуля. p-1 не является множителем 3p4-4p3-3p-1.

Страница № 173:
Вопрос 11.2:

(ii) ( x 3 — 8) ÷ ( x — 2)

Ответ:

Дивиденд = x3-8 Форма индекса = x3 + 0 x2 +0 x-8 Форма коэффициента = 1, 0, 0, -8 Сравнивая делитель x-2 с xa, получаем a = 2

∴ Частное в форме коэффициента = 1, 2, 4i.е., частное = x2 + 2x + 4 по переменной x Здесь остаток равен нулю. x-2 является множителем x3-8.

Страница № 173:
Вопрос 11.3:

(4 x 4 + 10 x 3 — 3 x 2 + 2 x — 21) ÷ ( x + 3)

Ответ:

Дивиденд = 4×4 + 10×3-3×2 + 2x-21 Форма индекса = 4×4 + 10×3-3×2 + 2x-21 Коэффициент формы = 4, 10, -3, 2, -21 Сравнивая делитель x + 3 с xa, получаем a = -3

∴ Частное в форме коэффициентов = 4, -2, 3, -7i.е., частное = 4×3-2×2 + 3x-7 в переменной x Здесь остаток равен 0 нулю. x + 3 является множителем 4×4 + 10×3-3×2 + 2x-21.

Страница № 173:
Вопрос 11.4:

(3 м 2 + м -10) ÷ ( м + 2)

Ответ:

Дивиденд = 3 м2 + m-10 Форма индекса = 3 м2 + m-10 Форма коэффициента = 3, 1, -10 Сравнивая делитель m + 2 с ma, получаем a = -2

∴ Частное в форме коэффициента = 3, — 5i.е., частное = 3m-5 в переменной m Остаток = 0 Здесь остаток равен 0 нулю. m + 2 является множителем 3m2 + m-10.

Страница № 174:
Вопрос 12:

Найдите ноль в каждом полиноме, приведенном ниже:
(i) p ( x ) = 9 x — 3
(ii) p ( y ) = 5 y + 25

Ответ:

i Чтобы найти ноль пикселя, решим уравнение px = 0.У нас есть 9x-3 = 0 ⇒ 9x = 3 ∴x = 39 = 13 Ноль данного многочлена равен 13.

ii Чтобы найти ноль py, мы решим уравнение py = 0. Имеем 5y + 25 = 0 ⇒ 5y = -25 ∴ y = -255 = -5∴ Нуль данного многочлена равен -5.

Страница № 174:
Вопрос 13:

Найдите значение полинома 2 a 2 — 5 a 3 + 7 a — 3 для a = 0, 2 и — 1

Ответ:

Пусть p ( a ) = 2 a 2 -5 a 3 + 7 a -3

Чтобы найти значение pa при a = 0, положите a = 0 в данном полиноме.т.е. p0 = 202-503 + 70-3 = -3∴ Когда a = 0, значение полинома равно -3.

Аналогично, когда a = 2, мы имеем: p2 = 222-523 + 72-3 = 2 × 4-5 × 8 + 14-3⇒p2 = -21∴ Когда a = 2, значение полинома равно -21.

Опять же, когда a = -1, мы имеем: p-1 = 2-12-5-13 + 7-1-3 = 2 + 5-7-3⇒p-1 = -3∴ Когда a = — 1 значение полинома равно -3.

Страница № 174:
Вопрос 14:

Если значение полинома x 3 + 2 x 2 ax + 1 при x = 2 равно 11, найти a .

Ответ:

Пусть px = x3 + 2×2-ax + 1, тогда p2 = 23 + 222-a2 + 1 = 8 + 8-2a + 1∴p2 = -2a + 17, но p2 = 11 GivenNow, -2a + 17 = 11⇒-2a = 11-17⇒-2a = -6∴ a = 3

Страница № 174:
Вопрос 15:

Если a -2 y + 5 y 2 делится на ( y -2), остаток равен 7, тогда найдите значение a .

Ответ:

Пусть py = a-2y + 5y2 Здесь divisor = y-2 Когда y-2 = 0, мы имеем y = 2 Подставляя y = 2 в py, получаем: Остаток = p2 = a-22 + 522 = a-4 + 20 = a + 16 Дано: Остаток = 7 Теперь a + 16 = 7⇒a = 7-16∴a = -9

Страница № 174:
Вопрос 16:

Когда 2 x 2 ax + 7 и ax 2 + 7 x + 12 делятся на ( x — 3) и ( x + 1) соответственно, остаток такой же.Найдите a .

Ответ:

Пусть px = 2×2-ax + 7 Здесь divisor = x-3 Когда x-3 = 0, мы имеем x = 3 Положив x = 3 в px, мы получим: Остаток = p3 = 232-a3 + 7 = 18-3a + 7 = -3a + 25 Аналогично, пусть qx = ax2 + 7x + 12 Здесь divisor = x + 1 Когда x + 1 = 0, мы имеем x = -1 Подставляя x = -1 в qx, получаем: Остаток = q-1 = a- 12 + 7-1 + 12 = a-7 + 12 = a + 5 Принято, что остатки в обоих случаях одинаковы.то есть — 3a + 25 = a + 5⇒-3a-a = 5-25⇒-4a = -20∴a = 5

Страница № 174:
Вопрос 17:

Если 2x + 1 является множителем (3b + 2) x 3 + (b — 1), найдите b.

Ответ:

Пусть px = 3b + 2×3 + b-1 Дано: 2x + 1 — множитель px. Когда мы разделим px на 2x + 1, остаток будет равен нулю. Здесь divisor = 2x + 1. Когда 2x + 1 = 0, мы имеем x = -12∴Remainder = p-12 = 0 ⇒3b + 2-123 + b-1 = 0 ⇒3b + 2-18 + b-1. = 0 ⇒- 3b + 2 + 8b-18 = 0 ⇒- 3b + 2 + 8b-1 = 0 ⇒- 3b-2 + 8b-8 = 0 ⇒5b-10 = 0 ⇒5b = 10 ∴b = 2

Страница № 174:
Вопрос 18:

R 1 и R 2 — остатки, когда полином ax 3 + 3 x 2 — 3 и 2 x 3 — 5 x 2 a делятся на ( x — 4) соответственно.Если 2R 1 — R 2 = 0, то найдите значение a .

Ответ:

Пусть px = ax3 + 3×2-3. Здесь divisor = x-4. Когда x-4 = 0, мы имеем x = 4Given: когда px делится на x-4, остаток равен R1.Remainder = R1 = p4 ⇒R1 = a43 + 342-3 ⇒R1 = 64a + 48-3 ⇒R1 = 64a + 45 … 1 Опять же, пусть qx = 2×3-5x + 2a Здесь divisor = x-4 Когда x-4 = 0, мы имеем x = 4Given: Когда qx делится на x-4, остаток равен R2.∴Остаток = R2 = q4 ⇒R2 = 243-54 + 2a ⇒R2 = 128-20 + 2a ⇒R2 = 2a + 108 … 2 Дано, что 2R1-R2 = 0 Подставляем значения R1 и R2 из 1 и 2 , Получаем: 264a + 45-2a + 108 = 0⇒128a + 90-2a-108 = 0⇒126a-18 = 0⇒126a = 18⇒a = 18126 = 17∴a = 17

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 9

Разница двух квадратов — Полный курс алгебры

С к и л л

в н

А Л Г Е Б Р А

19

Геометрическая алгебра

Краткое описание умножения / факторинга

2-й уровень:

Форма ( a + b ) ( a b )

Факторинг по группировке

Сумма и разность нечетных степеней

Разница четных степеней

КОГДА СУММА двух чисел умножает их разницу —

( a + b ) ( a b )

— тогда произведение их квадратов:

( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2

For, аналогичные условия будут отменены.(Урок 16.)

Симметрично разность двух квадратов может быть разложена на множителей :

x 2 -25 = ( x + 5) ( x -5)

x 2 — квадрат x . 25 — квадрат 5.

Сумма двух квадратов — a 2 + b 2 — не может быть разложена на множители. См. Раздел 2.

Пример 1.Умножьте ( x 3 + 2) ( x 3 — 2).

Решение . Узнай форму:

( a + b ) ( a b )

Произведение будет разностью двух квадратов:

( x 3 + 2) ( x 3 — 2) = x 6 — 4.

x 6 — квадрат x 3 .4 — это
пл. 2.

Увидев форму ( a + b ) ( a b ), студент должен , а не , выполнять метод FOIL. Студент должен сразу понять, что продукт будет a 2 b 2 .

Это навык в алгебре.

И порядок факторов не имеет значения:

( a + b ) ( a b ) = ( a b ) ( a + b ) = a 2 95 b

905 2 .

Задача 1. Напишите только конечный продукт ..

a) ( x + 9) ( x — 9) = x 2 — 81

b) ( y + z ) ( y z ) = y 2 z 2

c) (6 x — 1) (6 x + 1) = 36 x 2 — 1

d) (3 y + 7) (3 y — 7) = 9 y 2 — 49

e) ( x 3 — 8) ( x 3 + 8) = x 6 — 64

f) ( xy + 10) ( xy — 10) = x 2 y 2 -100

г) ( x y 2 z 3 ) ( x y 2 + z 3 ) = x 2 68 4 — z 6

h) ( x n + y m ) ( x n y m y m x яр 2 м

Проблема 2.Фактор.

a) x 2 — 100 = ( x + 10) ( x — 10)

б) y 2 — 1 = ( y + 1) ( y — 1)

c) 1 — 4 z 2 = (1 + 2 z ) (1-2 z )

d) 25 м 2 — 9 n 2 = (5 m + 3 n ) (5 m — 3 n )

e) x 6 — 36 = ( x 3 + 6) ( x 3 — 6)

f) y 4 — 144 = ( y 2 + 12) ( y 2 — 12)

г) x 8 y 10 = ( x 4 + y 5 ) ( x 4 y 5 )

h) x 2 n — 1 = ( x n + 1) ( x n — 1)

Проблема 3.Фактор полностью.

a) x 4 y 4 = ( x 2 + y 2 ) ( x 2 y 2 )
= ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) ( x y )
b) 1- z 8 = (1 + z 4 ) (1- z 4 )
= (1 + z 4 ) (1 + z 2 ) (1- z 2 )
= (1 + z 4 ) (1 + z 2 ) (1 + z) (1- z )

Проблема 4.Полностью учитывайте каждое из следующих утверждений. Сначала удалите общий фактор. Затем множите разность двух квадратов.

a) x y 2 x z 2
= x ( y 2 z 2 ) = x ( y + z ) ( y z )

б) 8 x 2 — 72
= 8 ( x 2 — 9) = 8 ( x + 3) ( x — 3)

c) 64 z z 3
= z (64 — z 2 ) = z (8 + z ) (8 — z )

d) rs 3 r 3 s
= rs ( s 2 r 2 ) = rs ( s + r ) ( s r )

e) 32 м 2 n -50 n 3
= 2 n (16 m 2 -25 n 2 ) = 2 n (4 m + 5 n ) (4 m -5 n )

f) 5 x 4 y 5 -5 y 5 =

е)
5 y 5 ( x 4 — 1) = 5 y 5 ( x 2 + 1) ( x + 1) ( x — 1)

Геометрическая алгебра

Вся фигура слева представляет собой квадрат со стороной a .Квадрат b 2 был вставлен в верхний левый угол, так что заштрихованная область представляет собой разность двух квадратов, a 2 b 2 .

Теперь, на рисунке справа, мы переместили прямоугольник ( a b ) b в сторону. Заштрихованная область теперь равна прямоугольнику

.

( a + b ) ( a b ).

То есть

a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ).

*

«Разница двух квадратов» завершает наше изучение произведения биномов. Эти продукты появляются так часто, что учащийся должен уметь распознавать и применять каждую форму.

Краткое описание умножения / факторинга

Итак, вот четыре формы умножения / разложения, которые характеризуют алгебру.

1. Общий множитель 2 ( a + b ) = 2 a + 2 b
2. Квадратичный трехчлен ( x + 2) ( x + 3) = x 2 + 5 x + 6
3.Трехчлен совершенного квадрата ( x -5) 2 = x 2 -10 x + 25
4. Разница двух квадратов ( x + 5) ( x — 5) = x 2 — 25

Проблема 5.Различайте каждую форму и напишите только конечный продукт.

а) ( x — 3) 2
= x 2 — 6 x + 9. Трехчлен полного квадрата.

b) ( x + 3) ( x — 3)
= x 2 — 9. Разность двух квадратов.

c) ( x — 3) ( x + 5)
= x 2 + 2 x — 15.Квадратичный трехчлен.

г) (2 x — 5) (2 x + 5)
= 4 x 2 — 25. Разность двух квадратов.

e) (2 x -5) 2
= 4 x 2 — 20 x + 25. Трехчлен полного квадрата.

f) (2 x — 5) (2 x + 1)
= 4 x 2 — 8 x — 5. Квадратичный трехчлен.

Проблема 6.Фактор. (Какая это форма? Есть ли общий множитель? Разница двух квадратов? …)

а) 6 x — 18
= 6 ( x — 3). Общий делитель.

б) x 6 + x 5 + x 4 + x 3
= x 3 ( x 3 + x 2 + x + 1). Общий делитель.

в) x 2 — 36
= ( x + 6) ( x — 6). Разница в два квадрата.

г) x 2 — 12 x + 36
= ( x — 6) 2 . Трехчлен полного квадрата.

e) x 2 — 6 x + 5
= ( x — 5) ( x — 1). Квадратичный трехчлен.

f) x 2 x — 12
= ( x — 4) ( x + 3)

г) 64 x 2 — 1
= (8 x + 1) (8 x — 1)

ч) 5 x 2 — 7 x — 6
= (5 x + 3) ( x — 2)

i) 4 x 5 + 20 x 4 + 24 x 3
= 4 x 3 ( x 2 + 5 x + 6) = 4 x 3 ( x + 3) ( x + 2)

2-й уровень

Следующий урок: Экспоненты II

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.2

Knockout JEE Main, апрель 2021 г. (один месяц)

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

14000 ₹ / —

4999 / —

купить сейчас

Нокаут NEET, август 2021 г. (один месяц)

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

14000 ₹ / —

4999 / —

купить сейчас

Knockout JEE Main Май 2021 г.

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

22999 ₹ / —

9999 ₹ / —

купить сейчас

Нокаут NEET Август 2021

Персонализированный наставник с ИИ и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

22999 ₹ / —

9999 ₹ / —

купить сейчас

Нокаут BITSAT 2021

Это модуль исчерпывающей подготовки, созданный специально для взлома BITSAT..

4999 / —

2999 / —

купить сейчас

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.