X 2 4 решить уравнение: Решите уравнение x^2=4 (х в квадрате равно 4)

Содержание

Решите уравнение
x2=4 — Школьные Знания.com

В інтернет-магазині пропонується на вибір 100 моделей сучасних смартфонів та 50 моделей навушників. Скількома способами можна обрати комплект «смартфо

н + навушники»?

Скільки різних шестицифрових чисел можна скласти з цифр 8, 1, 2, 7, 0, 5, якщо цифри в числі не повторюються?

Учень навмання називає число у червні. Яка ймовірність того, що назване число буде кратним 4? (Обчислення запишіть у відповідь. Відповідь надйте точну

, не округлюйте) *

У кошику 7 яблук, 10 бананів і 8 груш. Яка ймовірність того, що навмання обраний фрукт виявиться грушею?

Сельскохозяйственный производственный кооператив по итогам работы за 2019 год получил распределяемую прибыль в размере 8000тыс.р. Определите минимальн

ую сумму кооперативных выплат, направляемую на приращение паев членов кооператива, если известно, что после выплаты дивидендов и премирования осталась сумма 6000тыс.р.?

Сельскохозяйственный производственный кооператив по итогам работы за 2019 год получил распределяемую прибыль в размере 10000тыс. 2 – 10 = 0. а) 0 ; б) 10; в) 3; г) -10.

трикутники авс і а1в1с1 подібні. знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо вс= 4см, ас= 3см, в1с1=12 а1в1=15см

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением
с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это
значит, для каждого значения а найти значения
х, удовлетворяющие этому уравнению.



Пример 1. ах = 0

  1. Если а = 0, то 0х = 0

                             
    х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =

                            
    х = 0



Пример 2. ах = а

  1. Если а = 0, то 0х = 0

                             
    х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =

                           
    х = 1



Пример 3.

х + 2 = ах

х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней
нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =



Пример 4.

(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3

(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)

(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0

                         
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2

                         
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а
соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.


Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =



Ответы:

  1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

  1. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

  1. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число,
кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

  1. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

  1. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

  1. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = —с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а
+ 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0


х = –

В случае а 1 выделим
те значения параметра, при которых Д
обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2
+ 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2
+ 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16



a =



a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет
действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1,
то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,



х = – = –



Пример 2. При каких значениях
параметра а уравнение



х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2
различных отрицательных корня?



Д = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2
– 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)

                    
х1х2 = 9а – 5

По условию х1 < 0, х2 < 0 то
–2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0


В итоге 4(а – 1)(а – 6) > 0

— 2(а + 1) < 0

9а – 5 > 0
а < 1: а > 6
а > — 1
а > 5/9

(Рис. 1)

< a
< 1, либо a > 6



Пример 3. Найдите значения а, при
которых данное уравнение имеет решение.


х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0


Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2
– 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а

4а2 – 16 0

4а(а – 4) 0


а(а – 4)) 0


а(а – 4) = 0


а = 0 или а – 4 = 0

                
а = 4

(Рис. 2)



Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах2
– (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2
+ 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а2
– 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10
– 3аа2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х2 + х
а = 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х2 +ах
+ 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы
один общий корень?



Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром



Пример 1.Найти все значения а,
при которых уравнение

9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х =
0 (1) имеет ровно два корня.



Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х,
получим равносильное уравнение

32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2)
примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0,
или

(у – 2)(уа) = 0, откуда у1 =2, у2
= а.

Если у = 2, т. е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х =
log32 , или х2хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д = log232 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х +
1/х = log3а, или х2 хlog3а
+ 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда



Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а
< -2, то 0 < а < 1/9.



Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.



Пример 2. При каких значениях а
уравнение 2– (а – 3) 2х – 3а = 0
имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х1 = -3, х2
= а = >



а – положительное число.



Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25х – (2а + 5)*5х-1/х + 10а * 5-2/х
= 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный
корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4х — (5а-3)2х +4а2 – 3а =
0 имеет единственное решение?



Ответ:

  1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 < а
    3/4 и а = 1


Логарифмические уравнения с
параметром



Пример 1. Найти все значения а,
при которых уравнение

log4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.



Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х
> 0, х 1/4 (3)

х = у

ау2у + 1 = 0 (4)


Если а = 0, то – 2у + 1 = 0

2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау2
– 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный
положительный корень х = 1, удовлетворяющий
условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4)
имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет
действительные корни разных знаков. Это условие
выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0
и 1/а < 0, т.е. при а < 0.



Пример 2. Найти все значения а,
при которых уравнение

log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x)
= log259 имеет решение.



Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53

(1) х + 2 – а = 3(а
– 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем
неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций у = 2 – а и
у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0;
2), где а0 < 0 и а0 – корень
уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)2

а2 – а – 1 = 0

а0 =

Ответ: < a
2


Дидактический материал

  1. Найдите, при каких значениях а уравнение log 3
    (9x + 9a3)= x имеет ровно
    два корня.
  2. Найдите, при каких значениях а уравнение log 2
    (4xa) = x имеет единственный корень.
  3. При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а
    – 9х) = 0 не имеет корней.

 

Ответы:

  1. при а < 1/3 36
  2. при а = -1/4
  3. при а < -1/8


Литература


Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика.
Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

  • Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное
    изучение курса алгебры и математического
    анализа. – М.: Просвещение, 1990
  • Крамор В.С. Повторяем и систематизируем
    школьный курс алгебры и начал анализа. – М.:
    Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.
    Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала
    анализа. Решение экзаменационных задач. – М.:
    Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические
    материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение,
    2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи
    по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. –
    М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.:
    Экзамен, 2001–2008.
  • Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений

    Пример 4. Решить квадратное уравнение x2 + 12x + 36 = 0.

    Решение.
    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.

    Так как b = 12 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

    D1 = (b/2)2 — ac = 62 — 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.

    Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
    x2 + 12x + 36 = 0 (x+6)2 = 0 x = -6.

    Ответ: -6.

    Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

    Решение.
    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

    Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

    D1 = (b/2)2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.

    Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

    4x2 -28x + 49 = 0 (2x-7)2 = 0 2x = 7 x = 7/2.

    Ответ: 7/2.

    Пример 6. Решить уравнение .

    Решение.
    Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

    Умножив обе части уравнения на -4, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
    x2 + 3x = 0 x(x+3) = 0

    x = 0, x = 0,
    x — 3 = 0 x = 3.

    Ответ: 0, 3.

    Пример 7. Решить уравнение .

    Решение.
    Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

    Получим 6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
    D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    Ответ: 5/6, 2.

    Пример 8. Решить уравнение .

    Решение.
    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

    Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D1:

    D1 = (b/2)2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    Ответ: -√2-1, -√2+1.

    Пример 9. Решить уравнение .

    Решение.
    Умножим левую и правую части уравнения на 6:

    Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

    Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D1:

    D1 = (b/2)2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.

    Пример 10. Решить уравнение x4 — 17x2 + 16 = 0.

    Решение.
    Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

    x4 — 17x2 + 16 = 0 => t2 — 17t + 16 = 0.

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

    D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

    Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

    Ответ: ±1, ±4.

    Пример 11. Решить уравнение 9x4 + 32x2 — 16 = 0.

    Решение.
    Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

    9x4 + 32x2 — 16 = 0 => 9t2 + 32t — 16 = 0

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

    Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D1:

    D1 = (b/2)2 — ac = 162 — 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

    Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.

    Ответ: ±2/3.

    Пример 12. Решить уравнение x4 + 3x2 — 10 = 0.

    Решение.
    Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

    x4 + 3x2 — 10 = 0 => t2 + 3t — 10 = 0

    Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

    D = b2 — 4ac = 32 — 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

    Первое уравнение x2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = ±√2.

    Ответ: ±√2.

    Уравнения и задачи на подбор параметра в Excel

    Часто нам нужно предварительно спрогнозировать, какие будут результаты вычислений при определенных входящих параметрах. Например, если получить кредит на закупку товара в банке с более низкой процентной ставкой, а цену товара немного повысить – существенно ли возрастет прибыль при таких условиях?

    При разных поставленных подобных задачах, результаты вычислений могут завесить от одного или нескольких изменяемых условий. В зависимости от типа прогноза в Excel следует использовать соответствующий инструмент для анализа данных.

    Подбор параметра и решение уравнений в Excel

    Данный инструмент следует применять для анализа данных с одним неизвестным (или изменяемым) условием. Например:

    2x+1=7

    • y=7 является функцией x;
    • нам известно значение y, следует узнать при каком значении x мы получим y вычисляемый формулой.

    Решим данную задачу встроенными вычислительными инструментами Excel для анализа данных:

    1. Заполните ячейки листа, так как показано на рисунке:
    2. Перейдите в ячейку B2 и выберите инструмент, где находится подбор параметра в Excel: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра».
    3. В появившемся окне заполните поля значениями как показано на рисунке, и нажмите ОК:

    В результате мы получили правильное значение 3.

    Получили максимально точный результат: 2*3+1=7

    

    Второй пример использования подбора параметра для уравнений

    Немного усложним задачу. На этот раз формула выглядит следующим образом:

    x2=4

    Решение:

    1. Заполните ячейку B2 формулой как показано на рисунке:
    2. Выберите встроенный инструмент: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра» и снова заполните его параметрами как на рисунке (в этот раз значение 4):
    3. Сравните 2 результата вычисления:

    Обратите внимание! В первом примере мы получили максимально точный результат, а во втором – максимально приближенный.

    Это простые примеры быстрого поиска решений формул с помощью Excel. Сегодня каждый школьник знает, как найти значение x. Например:

    x=(7-1)/2

    Excel в своих алгоритмах инструментов анализа данных использует более простой метод – подстановки. Он подставляет вместо x разные значения и анализирует, насколько результат вычислений отклоняется от условий указанных в параметрах инструмента. Как только будет, достигнут результат вычисления с максимальной точностью, процесс подстановки прекращается.

    По умолчанию инструмент выполняет 100 повторений (итераций) с точностью 0.001. Если нужно увеличить количество повторений или повысить точность вычисления измените настройки: «Файл»-«Параметры»-«Формулы»-«Параметры вычислений»:

    Таким образом, если нас не устраивает результат вычислений, можно:

    1. Увеличить в настройках параметр предельного числа итераций.
    2. Изменить относительную погрешность.
    3. В ячейке переменной (как во втором примере, A3) ввести приблизительное значение для быстрого поиска решения. Если же ячейка будет пуста, то Excel начнет с любого числа (рандомно).

    Используя эти способы настроек можно существенно облегчить и ускорить процесс поиска максимально точного решения.

    О подборе нескольких параметров в Excel узнаем из примеров следующего урока.

    ОГЭ по математике | Задание 21

    Задание 21 из ОГЭ по математике открывает вторую часть экзаменационного билета, предназначенную для оценки углубленных знаний девятиклассников. За его выполнение начисляется 2 балла. Если будет допущена вычислительная ошибка или описка, но при этом логика решения сохранится, то будет начислен 1 балл.

    В данном случае нужно решить уравнение (обычно кубическое или биквадратное), неравенство, систему уравнений или неравенств, алгебраическое выражение. Большой выбор разновидностей примеров несколько усложняет подготовку. Алгоритм решения зависит от того, с каким видом придется столкнуться, универсальных рекомендаций в этом случае нет. Наиболее распространенный вариант — уравнение, так что изучению этого раздела математики следует уделить побольше времени.

    Что нужно знать?

    Перед экзаменом повторите еще раз следующие темы:

    • сокращение дробей;
    • уравнения и их системы;
    • неравенства;
    • преобразования рациональных выражений.

    Секреты успеха

    Несмотря на то, что вторая часть билета сложнее первой, справиться с заданием вполне реально, для этого не нужно дополнительных знаний, достаточно внимательно изучить школьный курс алгебры. Обязательно потренируйтесь перед экзаменом в решении заданий такого типа.

    Во время тестирования постарайтесь быстро выполнить задачи первой части, чтобы для сложных разновидностей осталось больше времени.

    При изучении условия обратите внимание на поставленный вопрос. Распространенная ошибка — приступать к вычислениям, не поняв до конца, какой ответ требуется.

    В решении можно использовать методы введения новых переменных, разложения на множители, а также иные стандартные приемы, которые были изучены на уроках алгебры.

    Обязательно проверяйте каждый свой шаг. В процессе преобразований выражений есть большой риск «потерять» минус, перепутать цифру, допустить ошибку в подсчетах. В таком случае, даже если все остальные шаги будут выполнены верно, ответ получится неправильный. В таком случае за выполнение задания будет начислен всего один балл вместо двух. Чтобы избежать такой обидной промашки, не пренебрегайте проверками каждого совершенного действия и окончательного результата.

    Мы желаем вам плодотворной подготовки и легкой сдачи ОГЭ!

    Калькулятор онлайн

    С этим удобным калькулятором вы можете производить элементарные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) с положительными и отрицательными числами. Доступны действия с дробями и процентами. А также можно выполнить возведение в степень, найти корень из числа и вычислить логарифм.

    Для всех возможных действий приведены примеры. Если вам нужно больше функций, откройте научный калькулятор.

    Арифметические операции

    Сложение

    Сложение объединяет два числа (слагаемые) в одно (сумму чисел).

    2 &plus; 3 =

    Вычитание

    Вычитание является обратной операцией к сложению. Вычитание находит разность между двумя числами (уменьшаемое число минус вычитаемое).

    3 − 2 =

    Умножение

    Умножение объединяет два числа в одно число – произведение чисел. Два исходных числа называются множимым и множителем.

    2 × 3 =

    Деление

    Деление является обратной операцией к умножению. Деление находит частное от двух чисел (делимого, поделенного на делитель). Деление любого числа на 0 не определено.

    4 ÷ 2 =

    Действия с дробями

    Дробь представляет собой часть целого или, в более общем смысле, любое количество равных частей. Обычная (простая) дробь состоит из числителя, отображаемого над чертой (или перед косой чертой), и ненулевого знаменателя, отображаемого ниже (или после) черты. Действия с дробями производятся так же, как и с целыми числами.

    1 ÷ 2 &plus; 1 ÷ 4 =

    Десятичные дроби

    Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой не указан явно, но понимается как целое число, равное десяти в степени один (10), два (100), три (1000) и так далее.

    . 2 &plus; . 0 3 =

    Нахождение обратного числа

    Обратное число к x, обозначаемое 1/x или x-1, представляет собой число, которое при умножении на x дает единицу.

    2 1/x =

    Действия с процентами

    Процент — сотая часть (обозначается знаком %), используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.

    Нахождение процента от числа

    40 × 5 % =

    Увеличение (уменьшение) числа на процент

    40 &plus; 5 % =

    Возведение в степень

    Возведение в степень — математическая операция, записанная как xy, включающая два числа: основание x и показатель степени (или степень) y. Когда y — положительное целое число, возведение в степень соответствует многократному умножению основания на себя: то есть, xy — произведение умножения y оснований.

    2 xy 4 =

    Возведение числа в квадрат

    Выражение x2 называется «квадратом x» или «x в квадрате», потому что площадь квадрата с длиной стороны x равна x×x или x2.

    2 x2 =

    Возведение числа в куб

    Выражение x3 называется «кубом x» или «x в кубе», потому что объем куба с длиной стороны x равен x×x×x или x3.

    2 x3 =

    Возведение в степень числа 10

    Возведение в степень с основанием 10 используется для обозначения больших или малых чисел. Например, 299792458 м/с (скорость света в вакууме в метрах в секунду) можно записать как 2,99792458 × 108 м/с, а затем округлить до 2,998 × 108 м/с.

    4 10x =

    Мнимая единица

    Мнимая единица i определяется только тем свойством, что её квадрат равен −1.

    i x2 =

    Корень из числа

    В математике y-ый корень числа x, где y обычно является положительным целым числом, представляет собой число z, которое при возведении в степень y дает x, где y — степень корня.

    16 y√x 4 =

    Квадратный корень

    Квадратный корень числа x — это число z, которое в квадрате становится x.

    9 √x =

    Кубический корень

    Кубический корень числа x — это число z, куб которого является x.

    8 3√x =

    Вычисление логарифма

    Логарифм заданного числа x является показателем степени, в которую должно быть возведено другое фиксированное число (основание) y, чтобы получить это число x.

    log 8 , 2 =

    Десятичный логарифм

    Десятичным логарифмом является логарифм с основанием 10.

    log 100 =

    Натуральный логарифм

    Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию число е.

    log 3 , e =

    2- (4) = 0

    Пошаговое решение:

    Шаг 1:

     
    Попытка разложить на множители как разность квадратов:

    1,1 Факторинг: x 2 -4

    Теория: разница двух полные квадраты, A 2 — B 2 можно разложить на (A + B) • (AB)

    Доказательство: (A + B) • (AB) =
    A 2 — AB + BA — B 2 =
    A 2 — AB + AB — B 2 =
    A 2 — B 2

    Примечание: AB = BA — коммутативное свойство умножения.

    Примечание: — AB + AB равно нулю и поэтому исключается из выражения.

    Проверка: 4 — квадрат 2
    Проверка: x 2 — квадрат x 1

    Факторизация: (x + 2) • (x — 2)

    Уравнение в конце шага 1:
     (x + 2) • (x - 2) = 0
     

    Шаг 2:

    Теория — Истоки продукта:

    2.1 Произведение нескольких терминов равно нулю.

    Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

    Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

    Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

    Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

    Решение уравнения с одной переменной:

    2.2 Решите: x + 2 = 0

    Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
    x = -2

    Решение уравнения с одной переменной:

    2.3 Решите: x-2 = 0

    Добавьте 2 к обеим сторонам уравнения:
    x = 2

    Было найдено два решения:

    1. x = 2
    2. x = -2

    Квадратное уравнение

    Стандартная форма квадратного уравнения:

    ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0

    В уравнении a, b и c — константы, а x — переменная. Степень уравнения 2 (показатель степени при x) делает уравнение квадратичным.Квадратные уравнения этой формы могут быть решены относительно x, чтобы найти корни уравнения, которые являются точкой (точками), где уравнение равно 0. Корни также могут называться нулями.

    Решение квадратных уравнений

    Существует несколько различных методов решения квадратного уравнения. Ниже приведены несколько из них.

    Квадратные уравнения вида ax

    2 + c = 0

    Квадратное уравнение без члена x 1 решить относительно просто.Нам не нужно множить или использовать квадратную формулу (обсуждается позже). Все, что нам нужно сделать, это выделить x, как если бы мы пытались найти x в любом уравнении, а затем извлечь квадратный корень из константы.

    Пример

    Учитывая x 2 — 4 = 0, найти x:

    х 2 = 4

    x = & pm; = & pm; 2

    Одна из ключевых вещей, которые нам нужно помнить при решении квадратных уравнений, — это то, что x может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поскольку и -2 × -2, и 2 & times 2 = 4. это также означает, что если bot a и c положительны или отрицательны, реальных решений не существует, поскольку невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа без использования мнимых чисел.

    Использование факторинга

    Решение уравнений с использованием факторизации основывается на использовании одного из свойств 0. Если произведение двух чисел или выражений равно 0, то хотя бы одно из выражений должно быть равно 0. Это позволяет нам разделить множители и установить их равными. до 0 индивидуально, чтобы найти решение (я) уравнения.

    Примеры

    1. Решите 2x 2 — 8x = 0:

    2x (x — 4) = 0

    Мы можем разделить это и решить для 2x = 0 и x — 4 = 0:

    2x = 0

    х = 0

    и

    х — 4 = 0

    х = 4

    Уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 4.

    2. Решить x 2 — 4x + 4 = 0:

    x 2 — 4x + 4 = (x — 2) 2 = 0

    x — 2 = & pm; 0

    х = 2

    В этом случае, даже если мы извлекаем квадратный корень, 0 не является ни положительным, ни отрицательным, поэтому есть только одно решение. Это всегда будет иметь место в уравнениях, которые можно разложить на множители в форме (x — c) 2 , поэтому, как только вы начнете распознавать эти уравнения в их развернутой форме, x 2 — 2cx + c 2 , вы ‘ Я смогу решить их относительно быстро.

    3. Решить x 2 — x — 6 = 0:

    x 2 — x — 6 = (x — 3) (x + 2) = 0

    х — 3 = 0

    х = 3

    и

    х + 2 = 0

    х = -2

    Два решения уравнения: x = 3 и x = -2.

    Используя формулу корней квадратного уравнения

    Термины «квадратная формула» и «квадратное уравнение» иногда используются как синонимы, но их не следует путать. Квадратичная формула относится к формуле, используемой для решения квадратных уравнений:

    Квадратичную формулу можно рассматривать как метод «грубой силы» для решения квадратных уравнений, поскольку ее можно использовать для решения любого квадратного уравнения в стандартной форме, как и все приведенные выше примеры. Однако в зависимости от конкретного квадратного уравнения часто бывает проще использовать такой метод, как разложение на множители, завершение квадрата или какой-либо другой метод, где это возможно, перед использованием формулы квадратичного. При этом сама квадратная формула относительно проста в использовании, если уравнение имеет стандартную форму.

    Все a, b и c в квадратной формуле являются константами и относятся к коэффициентам стандартной формы квадратного уравнения:

    топор 2 + bx + c

    Чтобы решить квадратное уравнение с помощью формулы квадратиков, нужно просто подставить коэффициенты уравнения в формулу.

    Пример

    Решить 7x 2 — 13x + 6 = 0:

    В приведенном выше уравнении a = 7, b = -13 и c = 6. Подставляя их в формулу корней квадратного уравнения:

    x = и x =

    Хотя квадратная формула утомительна, она очень эффективна в том смысле, что позволяет нам решать любое квадратное уравнение, если мы представим его в стандартной форме.

    В квадратной формуле выражение под знаком квадратного корня, b 2 — 4ac, называется дискриминантом.Стоит отметить, что если:

    b 2 — 4ac = 0, есть только одно решение

    b 2 — 4ac> 0, есть два реальных решения

    б 2 — 4ac

    Еще один метод решения квадратных уравнений — завершение квадрата.

    Решение квадратного уравнения: примеры

    Здравствуйте. В этом уроке я расскажу о нескольких примерах решения квадратных уравнений.Ничего особенного.

    Пример 1 Решите уравнение x 2 = 4.

    Решение Easy. Сначала я разложу его на два линейных выражения, а затем приравняю каждый множитель к нулю, чтобы получить корни.

    Уравнение эквивалентно x 2 — 4 = 0 или (x — 2) (x + 2) = 0. Это дает нам x = 2 и x = –2 .

    Надеюсь, вы поняли, что этот шаг факторизации не требуется. Мы можем напрямую решить уравнение следующим образом:

    x 2 = 4 => x = ± 2

    То есть каждое квадратное уравнение вида x 2 = a имеет решение x = ± \ (\ sqrt {a} \).Больше нет необходимости в факторизации.

    Теперь я хотел бы обратить ваше внимание на распространенное здесь заблуждение.

    Люди делают следующее: x 2 = 4 => x = \ (\ sqrt {4} \) (извлечение квадратного корня из обеих частей) => x = ± 2, а затем заключение, что \ (\ sqrt {4} \) = ± 2.

    Это неверно. \ (\ sqrt {4} \) равно 2, а не ± 2. Знак \ (\ sqrt {} \) обозначает положительный квадратный корень. Итак, какой же тогда правильный путь?

    x 2 = 4 => x = ± \ (\ sqrt {4} \) => x = ± 2.2} \) = | х |.

    Пример 2 Решите уравнение x 2 — 8x = 0.

    Решение Это тоже несложно. Давайте снова разложим на множители.

    Уравнение принимает вид x (x — 8) = 0, что дает x = 0 и x = 8 .

    А вот еще одна типичная ошибка, которую делают люди: x 2 — 8x = 0 означает x 2 = 8x. И после «отмены» x с обеих сторон получаем x = 8.

    Ну, это неправильно.Почему? Потому что мы потеряли там драгоценный корень (0) — квадратное уравнение должно иметь два корня.

    А что именно мы сделали не так? Отмена неизвестного термина, который мог быть нулевым.

    Вот правило: нельзя отменять любой член с обеих сторон уравнения, если он не является ненулевым членом.

    В противном случае произойдут странные вещи: 0 = 0 => 4 x 0 = 5 x 0 => 4 x ø = 5 x ø => 4 = 5. Очень странные вещи.

    Чтобы перестраховаться, вы должны свести все члены в одну сторону, разложить на множители и приравнять все множители к нулю.

    Перейдем к следующему примеру.

    Пример 3 Решите уравнение x 2 + 6x + 5 = 0.

    Решение Я пока не буду использовать формулу корней квадратного уравнения. Я попытаюсь преобразовать это уравнение в форму, аналогичную той, что была в первом примере.

    Добавление 9 к обеим сторонам дает мне x 2 + 6x + 9 + 5 = 9. Это становится (x + 3) 2 + 5 = 9 или (x + 3) 2 = 4.

    Теперь вы знаете, что делать дальше, верно?

    Получаем x + 3 = ± 2.Или x = ± 2 — 3. Это дает x = 1 и x = 5 .

    Метод, который я использовал здесь, известен как завершение полного квадрата .

    То есть, если вы видите что-то вроде 2 + 2ab, сложите и вычтите b 2 , чтобы получить (a + b) 2 — b 2 , тем самым завершив идеальный квадрат (a + b) 2 .

    Будет ли этот метод работать всегда? Да.

    И это сама идея квадратной формулы (фактически, любой математической формулы).То есть составьте формулу из конечного результата метода (верный выстрел), чтобы сэкономить время.

    И это то, что я сделал на предыдущем уроке, когда я сложил и вычитал (\ (\ frac {b} {2a} \)) 2 завершил идеальный квадрат, нашел корни и сохранил формулу .

    Теперь мы официально сертифицированы для использования формулы квадратичного уравнения.

    Пример 4 Решите уравнение 2x 2 + x — 1 = 0.

    Решение Если мы сравним это с общей формой, т.е.2-4 (2) (- 1)}} {2 (2)} \) = \ (\ frac {-1 \ pm3} {4} \). Это дает x = –1 и x = 1/2 . Довольно аккуратно, правда?

    И это все на этом уроке. В следующей части я расскажу об уравнениях, которые можно преобразовать в квадратные уравнения. Увидимся там.

    Завершение площади

    Заполнение Квадрата — это метод, используемый для решения

    квадратное уровненеие

    изменив форму уравнения так, чтобы левая часть

    идеальный квадрат

    трехчлен

    .

    Решать

    а

    Икс

    2

    +

    б

    Икс

    +

    c

    знак равно

    0

    завершив квадрат:

    1. Преобразуйте уравнение так, чтобы постоянный член,

    c

    , один на правой стороне.

    2. Если

    а

    , старший коэффициент (коэффициент

    Икс

    2

    срок), не равно

    1

    , разделите обе стороны на

    а

    .

    3. Добавьте квадрат половины коэффициента

    Икс

    -срок,

    (

    б

    2

    а

    )

    2

    к обеим сторонам уравнения.

    4. Разложите левую часть на множители квадрата двучлена.

    5. Возьмите

    квадратный корень

    с обеих сторон. (Помнить:

    (

    Икс

    +

    q

    )

    2

    знак равно

    р

    эквивалентно

    Икс

    +

    q

    знак равно

    ±

    р

    . )

    6. Решите для

    Икс

    .


    Пример 1:

    Решать

    Икс

    2

    6

    Икс

    3

    знак равно

    0

    заполнив квадратик.

    Икс

    2

    6

    Икс

    знак равно

    3

    Икс

    2

    6

    Икс

    +

    (

    3

    )

    2

    знак равно

    3

    +

    9

    (

    Икс

    3

    )

    2

    знак равно

    12

    Икс

    3

    знак равно

    ±

    12

    знак равно

    ±

    2

    3

    Икс

    знак равно

    3

    ±

    2

    3


    Пример 2:

    Решать:

    7

    Икс

    2

    8

    Икс

    +

    3

    знак равно

    0

    7

    Икс

    2

    8

    Икс

    знак равно

    3

    Икс

    2

    8

    7

    Икс

    знак равно

    3

    7

    Икс

    2

    8

    7

    Икс

    +

    (

    4

    7

    )

    2

    знак равно

    3

    7

    +

    16

    49

    (

    Икс

    4

    7

    )

    2

    знак равно

    5

    49

    Икс

    4

    7

    знак равно

    ±

    5

    7

    я

    Икс

    знак равно

    4

    7

    ±

    5

    7

    я

    (

    Икс

    3

    )

    2

    знак равно

    12

    Икс

    3

    знак равно

    ±

    12

    знак равно

    ±

    2

    3

    Икс

    знак равно

    3

    ±

    2

    3

    Завершение квадрата и квадратичной формулы

    Результаты обучения

    • Заполните квадрат, чтобы решить квадратное уравнение.
    • Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы решить квадратное уравнение.
    • Используйте дискриминант, чтобы определить количество и тип решений квадратного уравнения.

    Не все квадратные уравнения могут быть разложены на множители или могут быть решены в их исходной форме с использованием свойства квадратного корня. В этих случаях мы можем использовать другие методы для решения квадратного уравнения .

    Завершение площади

    Один метод известен как — завершение квадрата .{2} -6x = 13 [/ латекс].

    Показать решение

    [латекс] x = 3 \ pm \ sqrt {22} [/ латекс]

    Использование квадратичной формулы

    Четвертый метод решения квадратного уравнения заключается в использовании квадратной формулы , формулы, которая решает все квадратные уравнения. Хотя квадратная формула работает с любым квадратным уравнением в стандартной форме, легко сделать ошибку при подстановке значений в формулу. Будьте внимательны при замене и используйте круглые скобки при вставке отрицательного числа.{2} — \ left (4 \ right) \ cdot \ left (1 \ right) \ cdot \ left (2 \ right)}} {2 \ cdot 1} \ hfill \\\ hfill & = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1–8}} {2} \ hfill \\ \ hfill & = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {-7}} {2} \ hfill \\\ hfill & = \ frac {-1 \ pm я \ sqrt {7}} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Решение уравнения: [latex] x = \ frac {-1} {2} + \ frac {i \ sqrt {7}} {2} [/ latex] и [latex] x = \ frac {-1 } {2} — \ frac {i \ sqrt {7}} {2} [/ latex].

    . Обратите внимание, что они записаны в стандартной форме комплексного числа. Когда решение представляет собой комплексное число, необходимо отделить действительную часть от мнимой части и записать ее в стандартной форме.{2} -4 \ left (3 \ right) \ left (15 \ right) = — 80 [/ латекс]. Будет два сложных решения.

    Внесите свой вклад!

    У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    Как избавиться от квадратного корня в уравнении

    Обновлено 20 ноября 2020 г.

    Лиза Мэлони

    Когда вы впервые узнали о квадратных числах, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции возведения в квадрат числа, то есть о квадратном корне.Эта обратная связь между возведением чисел в квадрат и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет действие другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями в нем, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.

    TL; DR (слишком долго; не читал)

    Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень на одной стороне уравнения.Затем возведите обе части уравнения в квадрат и продолжайте поиск переменной. Не забудьте в конце проверить свою работу.

    Простой пример

    Перед рассмотрением некоторых потенциальных «ловушек» решения уравнения с квадратными корнями в нем рассмотрим простой пример: Решите следующее уравнение для x :

    \ sqrt {x } + 1 = 5

      Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы изолировать выражение квадратного корня на одной стороне уравнения. 2

      x = 16

      Вы удалили знак квадратного корня и , у вас есть значение x , так что ваша работа здесь сделана. Но подождите, есть еще один шаг:

      Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:

      \ sqrt {16} + 1 = 5

      4 + 1 = 5

      5 = 5

      Поскольку это вернуло допустимый оператор (5 = 5, в отличие от недопустимого оператора, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным.В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод устранения радикалов иногда может давать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении. Так что лучше иметь привычку всегда проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная с этого момента.

    Пример посложнее

    Что делать, если под знаком корня (квадратного корня) стоит более сложное выражение? Рассмотрим следующее уравнение. Вы по-прежнему можете применить тот же процесс, что и в предыдущем примере, но это уравнение выделяет пару правил, которым вы должны следовать.2

    y — 4 = 576

    Теперь, когда вы исключили радикальный или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:

    y = 580

    Как и раньше, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает:

    \ sqrt {580 — 4} + 5 = 29

    \ sqrt {576} + 5 = 29

    Упрощение радикала дает:

    24 + 5 = 29

    29 = 29

    истинное утверждение, указывающее на действительный результат.

    Факторинговые квадратные уравнения — методы и примеры

    Вы знаете, что такое факторизация многочленов ? Поскольку теперь у вас есть основная информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.

    Прежде всего, давайте быстренько рассмотрим квадратного уравнения . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0.Термин «а» называется старшим коэффициентом, а «с» — абсолютным членом f (x).

    Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно называемых корнями уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

    По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давай выясним.

    Как разложить квадратное уравнение на множители?

    Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов.Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.

    Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации используются следующие шаги :

    • Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
    • Переместите все члены в левую часть знака равенства.
    • Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
    • Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения

    Пример 1

    Решите: 2 (x 2 + 1) = 5x

    Решение

    Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства.

    ⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0

    ⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0

    ⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

    ⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0

    Приравняем каждый множитель к нулю и решим

    ⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

    ⟹ x = 2 или x = 1212

    Следовательно, решения x = 2, 1/2.

    Пример 2

    Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0

    Решение

    3x 2 — 9x + x — 3 = 0

    ⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0

    ⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0

    ⟹ x = 3 или x = -13

    Пример 3

    Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3) 2 = 25

    Решение

    Разверните уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить;

    ⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0

    ⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0

    Разделите каждый член на 4, чтобы получить;

    ⟹ x 2 — 3x — 4 = 0

    ⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

    ⟹ x = 4 или x = -1

    Существует множество методов факторизации квадратных уравнений. В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1.

    Поэтому мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.

    Факторинг, когда коэффициент x

    2 равен 1

    Чтобы разложить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.

    СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны

    Пример 4

    Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0

    Перечислите множители 10:

    1 × 10, 2 × 5

    Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:

    1 + 10 ≠ 7
    2 + 5 = 7.

    Проверьте множители, используя распределительное свойство умножения.

    (x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10

    Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)

    Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

    x + 2 = 0 ⟹x = -2

    x + 5 = 0 ⟹ x = -5

    Следовательно, решение будет x = — 2, x = — 5

    Пример 5

    х 2 + 10х + 25.

    Решение

    Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.

    5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10

    Проверьте факторы.

    x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25

    = x (x + 5) + 5x + 25

    = x (x + 5) + 5 (x + 5)

    = (x + 5) (x + 5)

    Следовательно, x = -5 — это ответ.

    СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно

    Пример 6

    Решите x 2 + 4x — 5 = 0

    Решение

    Запишите множители -5.

    1 × –5, –1 × 5

    Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.

    1 — 5 ≠ 4
    –1 + 5 = 4

    Проверьте факторы, используя свойство распределения.

    (x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5
    (x — 1) (x + 5) = 0

    x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
    x + 5 = 0 ⇒ x = -5

    Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.

    ВАРИАНТ 3: Когда b и c отрицательны

    Пример 7

    x 2 — 5x — 6

    Решение

    Запишите множители — 6:

    1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

    Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:

    1 + (–6) = –5

    Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство.

    (x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6

    Приравнять каждый множитель к нулю и решить, чтобы получить;
    (x + 1) (x — 6) = 0

    x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
    x — 6 = 0 ⇒ x = 6

    Следовательно, решение x = 6, x = -1

    СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно

    Пример 8

    x 2 — 6x + 8 = 0

    Решение

    Запишите все множители 8 .

    –1 × — 8, –2 × –4

    Определить факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
    –1 + (–8) ≠ –6
    –2 + (–4) = –6

    Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.

    (x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8

    Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;

    (x — 2) (x — 4) = 0

    x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
    x — 4 = 0 ⇒ x = 4

    Пример 9

    Разложить на множители x 2 + 8x + 12.

    Решение

    Запишите множители 12;

    12 = 2 × 6 или = 4 × 3
    Найдите множители, сумма которых равна 8:

    2 + 6 = 8
    2 × 6 ≠ 8

    Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители;

    = x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

    = x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

    Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;

    (x + 6) (x + 2)

    x = -6, -2

    Факторинг, когда коэффициент x

    2 больше 1

    Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.

    Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.

    Пример 10

    Решите 2x 2 — 14x + 20 = 0

    Решение

    Определите общие множители уравнения.

    2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10)

    Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:

    –1 × –10, –2 × –5

    Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:

    1 + (–10) ≠ –7
    –2 + (–5) = –7

    Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.

    2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10)
    = 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20

    Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
    2 (x — 2) (x — 5) = 0

    x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
    x — 5 = 0 ⇒ x = 5

    Пример 11

    Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0

    Решение

    Запишите множители 7 и 11.

    7 = 1 × 7

    11 = 1 × 11

    Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:

    (7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11

    (7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11

    Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;

    7x 2 + 18x + 11 = 0
    (7x + 11) (x + 1) = 0

    x = -1, -11/7

    Пример 12

    Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3

    Решение

    2x 2 — 7x + 3 = 0

    (2x — 1) (x — 3) = 0

    x = 1/2 или x = 3

    Пример 13

    Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0

    Решение

    Разложить на множители, чтобы получить:

    (3x + 1) (3x + 1) = 0

    (3x + 1) = 0,

    Следовательно, x = −1 / 3

    Пример 14

    Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0

    Решение

    6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0

    Разложите выражение на множители;

    ⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

    ⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

    ⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

    ⟹ 3x = 2 или 2x = 1

    ⟹ x = 2/3 или x = ½

    Пример 15

    Факторизация x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0

    Решение

    Разверните уравнение;

    x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0

    Разложить на множители;

    ⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

    x + 4) (x — 3y) = 0

    ⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

    ⟹ x = -4 или x = 3y

    Таким образом, x = -4 или x = 3y

    Практические вопросы

    Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:

    1. 3x 2 — 20 = 160 — 2x 2
    2. (2x — 3) 2 = 49
    3. 16x 2 = 25
    4. (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
    5. 2x 2 + x — 6 = 0
    6. 3x 2 = x + 4
    7. (x — 7) (x — 9) = 195
    8. x 2 — (a + b) x + ab = 0
    9. x 2 + 5 x + 6 = 0
    10. x 2 -2 x — 15 = 0

    Ответы

    1. 6, -6
    2. -2, 5
    3. — 5/4, 5/4
    4. -3, 3
    5. -2, 3/2
    6. -1 , 4/3
    7. -6, 22
    8. a, b
    9. –3, –2
    10. 5, — 3

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.