Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y x 2 3: Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=9

Содержание

Урок 24. вычисление площадей с помощью интегралов — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №24. Вычисление площадей с помощью интегралов.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью определенного интеграла.

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М. : Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым. ( зависит от расположения криволинейной трапеции)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y= x, y = 5 – x, x = 1, x = 2, используя определенный интеграл.

Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а) .

Рассчитываем разность F(b)  — F(а)    , это и будет ответ

№2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4-х2,у=3х, у=0 и находящейся в 1-й четверти.

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b)  .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а) .

Рассчитываем разность F(b)  — F(а)    , это и будет ответ.

Решение. S=SOAB +SABC

№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b)  .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а) .

Рассчитываем разность F(b)  — F(а), это и будет ответ.

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые
называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур — на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла
предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу — ось
абсцисс (Ox), а слева и справа — некоторые прямые. Простота в том,
что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить
большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во
всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

  1. Определённый интеграл от функции,
    задающей кривую
    , которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает
    первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу.
    Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком
    минус
    .
  2. Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих
    фигуру слева и справа: x = a, x = b, где
    a и b — числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу)
должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x).

Значения «икса» должны принадлежать отрезку [ab]. То есть
не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок,
а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже,
это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси «иксов». А значит с пределами
интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s
криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

 (1).

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox),
то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно
y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры
вычисляется по формуле

.  (3)

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс (Ox)
и прямыми x = 1, x = 3.

Решение. Так как y = 1/x > 0
на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс (Ox)
и прямой x = 4.

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в
точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку ,
по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
и
находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры,
заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной
трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB
пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC
абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и
параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью Ox).
Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим

(абсциссу точки A) и
(абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично
получим ,
(абсциссы точек
C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB,
если уравнение кривой CD
и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек:
Площадь криволинейной
трапеции находим по формуле (1):

.

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox)
и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

.

Найдём отдельно каждое слагаемое:

.

.

Окончательно находим площадь:

.

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
и кривой
.

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

,

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их,
решая совместно уравнения:

Отсюда

Окончательно находим площадь:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Начало темы «Интеграл»

Площадь фигуры ограниченной кривыми в прямоугольных координатах

Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом
от разницы кривых, где одна из них всегда принимает не меньшие значения чем другая , а также кривые непрерывны.
Пределы интегрирования — прямые x1=a, x2=b — ограничивают фигуру (a<b чаще всего это точки пересечения заданных кривых).
Данный цикл задач в первую очередь подойдет студентам мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко для прохождения практикума из математического анализа.
Студенты других Вузов могут набираться практики на подобных интегралах, и изучать методику вычисления.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича). 

 

Пример 2.81 (2397). Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах ax=y2, ay=x2,(a>0).

Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

На графике они будут иметь следующий вид

Площадь между кривыми и нужно найти. Как правило, Вам редко будет известно сам график, поэтому в заданиях где не заданы области на которой находить площадь в первую очередь необходимо найти точки пересечения кривых.
Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций y1(x)=y2(x):

Как видите таким условием есть условие равенства функций.
Из последнего уравнения получим две точки x1=0, x2=a.
Дальше, когда Вы не видите графика функций необходимо установить какая из кривых принимает большие значения. Это нужно лишь для того, чтобы с первого раза получить положительное значение площади фигуры. Поскольку площадь всегда больше нуля, а интеграл может принимать произвольные значения, то без проверки следующего условия для нахождения площади интеграл нужно брать за модулем.
Выбираем произвольную точку из отрезка интегрирования [0;a] и убеждаемся в правильности неравенства , то есть проверяем которая из кривых принимает большее значения .
Как отмечалось выше, это нужно для того, чтобы после интегрирования получить положительную площадь фигуры между кривыми.
Вычисляем площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми интегрированиям:

Здесь мы имели достаточно простые функции, поэтому возведя их к табличным интегралам найти площадь достаточно легко. Следующие примеры будут содержать все более тяжелые функции, для интегрирования которых нужно применять знание практически всех формул интегрирования.
Следует заметить: значения площадей (во всех заданиях) измеряются в квадратных единицах (кв. од.), об этом Вы должны помнить, однако для экономии места и времени здесь будут приведены лишь значения определенных интегралов.

 

Пример 2.82 (2398) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x2, x+y=2.
Вычисление: По методике записываем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y1(x)=x2, y2(x)=2-x.
Здесь функции выразить достаточно просто.
Вычислим пределы интегрирования, приравняв между собой функции y1(x)=y2(x):
x2=2-x.
Переносим переменные по одну сторону от знака равенства и решаем квадратное уравнение
x2+x-2=0;
(x+2)(x-1)=0.
Следовательно, корни уравнения x1=-2, x2=1.
Сам график кривых и фигуры, площадь которой ищем, приведен на рисунку

Подстановкой любой точки из промежутка [-2;1], например x=0 в функции убеждаемся, что выполняется неравенство
, поэтому .
Площадь фигуры вычисляем интегрированием разницы кривых в найденных пределах:

Площадь равна S=4,5 квадратных единиц.
По физическому содержанию площадь фигуры равна разнице площадей двух криволинейных трапеций. Первая отвечает за верхний график y2(x), нижняя криволинейная трапеция за функцию, которая принимает меньшие значения y2(x). Разница заключается в том, что здесь еще нужно определять пределы интегрирования.

 

Пример 2.83 (2399) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x2, x+y=0.
Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают искомую фигуру:
y1(x)=-x, y2(x)=2x-x2.
Из условия равенства функций y1(x)=y2(x) найдем пределы интегрирования:
2x-x2=-x;
x2-3x=0;
x (x-3) =0.
Следовательно, x1=0, x2=3.
Подстановкой единицы видим, что на промежутке [0;3] исполняется неравенство
, то есть .

Находим площадь фигуры ограниченной заданными кривыми:

Под интегралом простая квадратичная функция, поэтому само интегрирование не сложно.
Следующие функции будут более сложными в плане интегрирования, однако используя табличные интегралы площадь найти удается.

 

Пример 2.84 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x, y=2, x=0.
Вычисление: Запишем подынтегральные функции:
y1(x)=2x, y2(x)=2, а также прямую x1=0 (ограничивает фигуру по оси абсцисс).
Найдем вторую границу интегрирования из условия равенства функций y1(x)=y2(x):
2x=2, 2x=21, отсюда имеем вторую точку x1=1.
На промежутке [0;1] исполняется неравенство , поэтому .
График  степенной функции и прямой приведен ниже.

Площадь фигуры, которая ограничена кривыми равна интегралу:

При интегрировании получим логарифм.
На калькуляторах можете проверить, что площадь положительна.

 

Пример 2.85 (2401) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x, y=x+sin2x, .

Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y1(x)=x, y2(x)=x+sin2x.
Дальше пределы интегрирования:
x1=0, x2=Pi (это известно нам по условию).
На промежутке справедливо неравенство
, поэтому .

Если бы существовала дополнительная точка пересечения, то площадь была бы равна сумме двух интегралов.
Площадь фигуры вычисляем интегрированием: квадрат синуса под интегралом понижаем и выражаем с помощью косинуса двойного угла, а дальше за классической формулой интегрирования

Площадь равна Pi/2, что приблизительно равно 1,5708.

 

Пример 2.86 (2402) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Переписываем функции

Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций из условия y1(x)=y2(x):
Поскольку функция парная

то найдем половину площади и результат умножим на двойку.
Из условия находим

что пределы равны плюс, минус бесконечности.
Чтобы легко представить, что мы интегрируем наведем график подынтегральных функций

Учитывая четность функции интегрировать будем от 0 к бесконечности , а полученное значение умножим на двойку.
Получим несвойственный интеграл первого рода (детальнее о нем в части ІІІ).
Площадь фигуры вычисляем через предел интеграла:

В результате интегрирования получим арктангенс, который в предельном случае стремится к Pi/2.
Конечная формула достаточно компактна и удобна для расчетов, хотя с таким типом интегралов Вы знакомитесь впервые.

 

Пример 2.87 (2403) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление: Все Вы должны знать, что такой формулой задается уравнение эллипса.
Так как оси эллипса в канонической системе координат являются его осями симметрии, то эти оси делят эллипс на 4 равные части. Поэтому будем рассматривать часть эллипса, который находится в первом квадранте канонической (прямоугольной) системы координат.
Выражаем уравнение функции, которая ограничивает искомую площадь (четверть эллипса):

Запишем пределы интегрирования: из аналитической геометрии известно, что четверть эллипса ограничена прямыми x1=0, x2=a.

Для вычисления площади эллипса в самом интеграле необходимо выполнить замену переменных, что в свою очередь ведет к изменению пределов интегрирование. При этом придем к квадрату косинуса, который понижаем через косинус двойного угла.
В конце манипуляций приходим к табличным интегралам, которые легко интегрируем и подставляем пределы:

Получили классическую формулу площади эллипса S=Pi*a*b .
Видим, если эллипс вырождается в круг при (a=b=R), тогда формула площади круга S=Pi*R2.

 

Пример 2.88 (2404) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y2=x2(a2-x2).
Вычисление: Так как все переменные в заданном уравнении входят в квадратах, то оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии фигуры, которая ограничена этой линией, потому эти оси делят заданную фигуру на 4 равных части. Достаточно рассмотреть часть фигуры, которая заходиться в первом квадранте прямоугольной системы координат.
Построим график функции, которая ограничивает искомую площадь четвертины фигуры:

График неизвестной фигуры подобен на крылья бабочки.

При y=0 имеем два корня уравнения x1=0 и x2=a.
Площадь фигуры равна 4 умножить на интеграл с найденными пределами.
Во время интегрирования выполняем замену переменных и пределов интегрирования

Это позволяет перейти к показательной функции, которая легко интегрируется.
Всегда помните, что замена переменных под интегралом ведет к изменению пределов интегрирования.

 

Пример 2.89 Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

Вычисление: Запишем графику функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Определим пределы интегрирования из условия y1(x)=y2(x):
 отсюда x1=0 и x2=1.
Между функциями справедлива зависимость на [0;1], поэтому .
График функций, что анализируем следующий

Площадь фигуры через определенный интеграл равна 1/3 (сравните 2.81 при a=1) :

 

Пример 2.90 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Вычислим пределы интегрирования из условия равенства функций y1(x)=y2(x):

Из биквадратного уравнения получим значение точек пересечения:
 x1=-1 и x2=1.
Сами же функции в прямоугольных координатах будут иметь вид

Интегрированием находим площадь фигуры (смотри рисунок и образец 2.89) :

Первый интеграл даст арктангенс, запомните хорошо эту формулу.

 

Пример 2.91 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ex, y=e-x,x=1.
Вычисление: Из условия, которое Вы из-за повторяемости должны выучить y1(x)=y2(x) находим точки пересечения кривых:
ex=e-x,x=-x, 2x=0, следовательно, x1=0.
x2=1 (известно за условием).
График функций следующий

Экспоненту интегрировать не трудно, а площадь фигуры выражается формулой (смотри рисунок и образец 2.84) :

 

Пример 2.92 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x), y=ln2(x).
Вычисление: Пределы интегрирования из условия равенства функций y=ln(x), y=ln2(x) равны x1=1 и x2=e.

Интегрированием логарифмов находим площадь фигуры (смотри рисунок):

Здесь надо проинтегрировать по частям, положив ln(x) =u, (ln2(x)=u) и dx=dv. Попробуйте промежуточные действия провести самостоятельно.

 

Пример 2.93 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
y=ln(x), y=ln(a), y=ln(b), x=0, где 0<a<b.
Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
x (y) =ey (то есть обратная функция к заданной функции y(x)=ln(x)) .
Такой прием применяют, когда пределы интегрирования параллельны оси Оx, то есть y=const.
Запишем пределы интегрирования:
y1=ln(a), y2=ln(b) (берем из начального условия).
График искомой фигуры следующий

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми:

 

Пример 2.94 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Пределы интегрирования в формуле площади находим из условия y1(x)=y2(x):
ln(x)/(4x)=x*ln(x).
Упростив на логарифм (если он больше нуля), получим
1=4x2; 4x2-1=0, x1=1/2.
Из условия на логарифм (=0) получим
ln(x) =0; x2=1.
ОДЗ: x>0.
График фигуры в прямоугольных координатах следующий

Площадь фигуры между кривыми (на [0,5;1]) находим интегрированием:
для вычисления интегралов используем метод замены переменных

Вычисление не так просты, поэтому с превращениями попробуйте разобраться самостоятельно.

 

Пример 2.95 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=arcsin(x), y=arccos(x), y=0.
Вычисление: Находим точки пересечения кривых из равенства x1(y)=x2(y):
sin(x)=cos(y), отсюда y1=0 (известно за условием) и y1=Pi/4 (образец 2.93).
На графике это выглядит следующим образом

Учитывая справедливость неравенства вычисляем площадь фигуры:

Думаю, что с такими заданиями на экзамене или модулях Вы справитесь.

 

Пример 2.96 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=tg(x), y=2/3*cos(x), x=0.
Вычисление: Найдем пределы интегрирования, то есть абсциссы точек  пересечения заданных функций y1(x)=y2(x):
tg(x)=2/3*cos(x), отсюда
(вторая точка известна за условием).
Кривые на плоскости имеют вид

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми () равна интегралу:

 

Пример 2.97 (2400) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=|ln(x)|, y=0, x=0,1; x=10.
Вычисление: Выписываем пределы интегрирования x1=0,1; x2=10 из начального условия.
Как строить модуль от логарифма Вы, по-видимому, еще не забыли

Площадь фигуры равна сумме двух интегралов, причем первый берем со знаком минус ():

Во время интегрирования использовали интегрирование частями.

 

Пример 2.98 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=(x+1)2, x=sin(Pi*y), y=0 .
Вычисление: Построим график функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
(здесь взяли обратную функцию к заданной y1(x)=(x+1)2), x2=sin(Pi*y).
Выпишем пределы интегрирования:
y1=0; y2=1 (известно за условием).
График функций приведен ниже

Неизвестную площадь фигуры вычисляем интегрированием ():

 

Пример 2.99 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=sin(x), y=cos(x), y=0
Вычисление: Из рисунку видно, что площадь S лучше разбить на две части: S=S1+S2.

Запишем уравнение функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Интегрируем синус и косинус функции и находим площадь.

Второй вариант заключается в интегрировании разницы обратных функций по y.

 

Пример 2407 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (циссоида Диокла) x=2a (a>0).
Вычисление: Поскольку график функции симметричен относительно оси Ox, то будем рассматривать половину площади фигуры (над осью Ox) и результат умножим на 2.
В точке x=2a функция не определена, поэтому будем иметь интеграл второго рода (детальнее смотрите часть ІІІ), он совпадает и, следовательно, площадь будет выражена числом.
Запишем пределы интегрирования:
x1=0 (потому что ) x2=2a (за условием).
График функций следующий

Площадь фигуры, что ограниченна заданной кривой находится достаточно непростым интегрированием

Здесь пришлось трижды выполнять замену переменных, чтобы прийти к правильному ответу.
Еще раз внимательно разберите интеграл.

 

Пример 2408 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (трактриса), y=0.
Вычисление: Трактриса — кривая, по которой двигается объект, когда его тянуть по горизонтальной плоскости за бечевку фиксированной длины, если направление движения тягача является ортогональным к начальному положению бечевки и скорость тягача бесконечно малая величина.
Очевидно, что (смотри рисунок).

Принимая к сведению, что положительному приросту x отвечает отрицательный прирост y, и что фигура не квадрируема (в общем понимании), допускаем

где дифференциал за x находим через производную

Площадь фигуры через определенный интеграл равна

Следующим идет материал из которого Вы научитесь находить площадь фигуры, ограниченной кривыми заданными параметрически.

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

0. y
=
x2
– 2x
+
2,
y
=
x
+ 2.

Решение варианта
0.

Данная
фигура сверху ограничена прямойy
= x
+ 2, снизу параболой y
=
x2
– 2x
+
2.
Искомую
площадь вычислим по формуле S = 
Пределами
интегрирования будут абсциссы точек
пересечения параболы и прямой. Решая
систему уравнений y
=
x2
– 2x
+
2,
y
=
x
+ 2 находим:

,

,
т. е. a
= 0, b
= 3. Таким
образом получаем:

S
=

=

=

=
=–9 +

  1. y
    =
    x
    +
    1, y
    = cosx,
    y
    = 0.

  1. xy
    =
    – 2,
    y
    =
    x
    – 3.

  1. y
    =
    x2,
    y
    =
    3 – x.

  1. y
    =
    x2
    + 4x,
    y
    =
    x
    + 4.

  1. y
    =
    ,y
    =
    x3.

  1. y
    =

    x
    2
    + 4, 2x
    + y
    – 4 = 0.

  1. y
    =
    x
    2,
    y
    =
    x(2
    x).

  1. y
    =
    x2
    – 4x
    ,
    y
    =
    0.

  1. y2
    =
    9x,
    y
    =
    3x.

  1. y
    =
    x2
    – 3x
    +
    6,
    y
    =
    x2
    x
    6.

  1. y2
    =
    4x,
    x2
    =
    4y.

  1. x
    = y2
    – 6y
    +
    8,
    x
    + y
    = 4.

  1. y
    =
    x2,
    y
    =
    2 – x2.

  1. y
    =
    x2
    + 2x
    1,
    y
    =
    x
    + 1.

  1. y
    =
    ,y
    =
    .

  1. y
    =
    ,
    y =
    0.

  1. xy
    =5,
    x
    + y
    =
    6.

  1. y
    =
    x2
    + x
    +
    3,
    y
    =
    x2
    – 5x
    17.

  1. xy
    =4,
    x
    + y

    5 = 0.

  1. y
    = lnx,
    y
    = –x
    +1 + e,
    y
    = 0.

  1. y
    =
    x,
    y
    =
    2x,
    y
    =
    .

  1. y
    = tgx,
    y
    = 2x
    +1 –
    ,y
    = 0.

  1. y2
    =
    x
    + 1,
    y
    2
    =
    9 – x.

  1. y
    = tgx,
    y
    =
    sinx.

  1. y
    =
    x2
    + 2, x
    + y

    4 = 0.

Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной линиями:

0. y
= sinx,
(0≤x≤),
y =
0, Ox.

Решение варианта
0.

Изобразим указанное
тело на чертеже.

Искомый объем
вычислим по формуле V
=
.
Имеем:

V
=
==
=
.

  1. y
    = 2x
    x2,
    y
    = x,
    Ox.

  1. y2
    = 2x,
    x
    = 4, y
    = 0, Ox.

  1. y
    =
    ,
    y
    = x2,
    Ox.

  1. y
    = lnx,
    (0≤xa),
    y
    = 0, Ox.

  1. y2
    = x,
    x2
    = y,
    Ox.

  1. y2
    = 4x,
    x
    = 2, y
    = 0, Ox.

  1. y2
    = 4 – x,
    x
    =
    0, Oy.

  1. xy
    =4, 2x
    + y
    – 6 = 0, Ox.

  1. y
    =
    ,
    (1≤x≤2),
    y
    = 0, Ox.

  1. y
    =
    2

    ,
    x
    + y
    = 2, Oy.

  1. y
    = –x2
    + 8, y
    = x2,
    Ox.

  1. y
    =
    ,
    y
    = x,
    Ox.

  1. y
    = x3,
    x
    = 0, y
    = 8, Oy.

  1. y
    = 4 – x2,
    x
    0, y
    = 0, Oy.

  1. y
    = x
    x2,
    y
    = 0, Ox.

  1. y
    = x2
    – 3x
    +
    2,
    y
    = 0, Ox.

  1. y
    = x2,
    y2
    = 8x,
    Oy.

  1. y
    = sinx,
    (0≤x≤),
    y
    = 1, Ox.

  1. y
    =
    ,
    (0≤x≤4),
    y
    = 0,
    Ox.

  1. y
    =

    ,
    y
    =
    x,
    Ox.

  1. Oy.

  1. y
    = tgx,
    (0≤x≤),
    y
    = 0, Ox.

  1. 2y2
    = x3,
    y
    = 0,x
    = 4, Ox.

  1. y3
    = 4x2,
    x
    = 0, y
    = 2, Oy.

  1. x2
    + y4
    = y2,
    Oy.

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.

x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1  и y=0 пересекаются в точке (2;0).

x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x∈0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x∈1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=∫01x3dx+∫12(-log2x+1)dx.

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x∈0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x∈1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S(G)=∫02x3dx-∫12×3-(-log2x+1)dx

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y))dy.  Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.

Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x: 

y=x3⇒x=y3y=-log2x+1⇒log2x=1-y⇒x=21-y

Получим искомую площадь:

S(G)=∫01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144—21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14

Ответ: S(G)=1ln 2-14

Как найти площадь фигуры ограниченной линиями

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла, которое заключается в аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функций.

По определению интеграла, он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции. Когда требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями, речь идет о кривых, заданных на графике двумя функциями f1(x) и f2(x).

Пусть на некотором интервале [a, b] заданы две функции, которые определены и непрерывны. Причем одна из функций графике расположена выше другой. Таким образом, образуется визуальная фигура, ограниченная линиями функций и прямыми x = a, x = b.

Тогда площадь фигуры можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале [a, b]. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.

Пример1.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями y = -1/3·x – ½, x = 1, x = 4 и параболой y = -x² + 6·x – 5.

Решение.
Постройте графики всех линий. Вы можете увидеть, что линия параболы находится выше прямой y = -1/3·x – ½. Следовательно, под знаком интеграла в данном случае должна стоять разность между уравнением параболы и заданной прямой. Интервал интегрирования, соответственно, находится между точками x = 1 и x = 4:
S = ∫(-x² + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x² +19/3·x – 9/2)dx на отрезке [1, 4].

Найдите первообразную для полученного подынтегрального выражения:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.

Подставьте значения концов отрезка:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.

Пример2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 2), y = x и прямой x = 7.

Решение.
Эта задача является более сложной по сравнению с предыдущей, поскольку в ней нет второй прямой, параллельной оси абсцисс. Это значит, что второе граничное значение интеграла неопределенно. Следовательно, его нужно найти из графика. Постройте заданные линии.

Вы увидите, то прямая линия y = x проходит диагонально относительно координатных осей. А график функции корня – это положительная половина параболы. Очевидно, что линии на графике пересекаются, поэтому точка пересечения и будет нижним пределом интегрирования.

Найдите точку пересечения, решив уравнение:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 [x ≥ -2] → x² – x – 2 = 0.

Определите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Очевидно, что значение -1 не подходит, поскольку абсцисса токи пересечения – положительная величина. (3/2)) = 59/6.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

b {f \ left (x \ right) dx} = F \ left (b \ right) — F \ left (a \ right), \]

, где \ (F \ left (x \ right) \) — любая первообразная от \ (f \ left (x \ right). \)

Рисунок 1.

Мы можем расширить понятие площади под кривой и рассмотреть площадь области между двумя кривыми. b {\ left [{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right)} \ right] dx}.b {\ left [{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right)} \ right] dx}} = {F \ left (b \ right) — G \ left (b \ right) — F \ left (a \ right) + G \ left (a \ right),} \]

, где \ (F \ left (x \ right) \) и \ (G \ left (x \ right) \) — первообразные функций \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right), \) соответственно.

Обратите внимание, что эта область всегда будет неотрицательной как \ (f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right) \ ge 0 \) для всех \ (x \ in \ left [{a, b } \ right]. \)

Если есть точки пересечения, мы должны разбить интервал на несколько подынтервалов и определить, какая кривая больше на каждом подынтервале.\ prime \ left (t \ right), \) \ (y \ left (t \ right) \) здесь предполагается непрерывными на интервале \ (\ left [{a, b} \ right]. \) Кроме того то есть функция \ (x \ left (t \ right), \) должна быть монотонной на этом интервале.

Рис. 5.

Если \ (x = x \ left (t \ right), \) \ (y = y \ left (t \ right), \) \ (0 \ le t \ le T \) являются параметрическими уравнениями гладкая кусочно замкнутая кривая \ (C \), пересекаемая против часовой стрелки и ограничивающая область слева (рис. \ prime \ left (t \ right) y \ left (t \ right)} \ right] dt}.2} \) на интервале \ (\ left [{1, b} \ right] \) равно \ (1? \)

Пример 3

Найдите координату точки \ (a \), которая разделяет область под корневой функцией \ (y = \ sqrt {x} \) на интервале \ (\ left [{0,4} \ right] \) на равные части.

Пример 4

Область ограничена вертикальными линиями \ (x = t \), \ (x = t + \ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \), осью \ (x — \) и кривая \ (y = a + \ cos x, \), где \ (a \ ge 1. \). Определите значение \ (t \), при котором область имеет наибольшую площадь.{t + \ frac {\ pi} {2}}} = {a \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right) + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi } {2}} \ right)} — ​​{at — \ sin t} = {\ cancel {at} + \ frac {{a \ pi}} {2} + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi} {2}} \ right)} — ​​{\ cancel {at} — \ sin t} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + \ sin \ left ({t + \ frac {\ pi } {2}} \ right) — \ sin t.} \]

Использование тождества разницы синусов

\ [{\ sin \ alpha — \ sin \ beta} = {2 \ cos \ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} \ sin \ frac {{\ alpha — \ beta}} {2}, } \]

получаем

\ [{A = \ frac {{a \ pi}} {2}} + {2 \ cos \ frac {{t + \ frac {\ pi} {2} + t}} {2} \ sin \ frac {{\ cancel {t} + \ frac {\ pi} {2} — \ cancel {t}}} {2}} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ left ( {t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ sin \ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + 2 \ cos \ left ({ t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ cdot \ frac {{\ sqrt 2}} {2}} = {\ frac {{a \ pi}} {2} + \ sqrt 2 \ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right). } \]

Область имеет наибольшую площадь, когда \ (\ cos \ left ({t + \ large {\ frac {\ pi} {4}} \ normalsize} \ right) = -1. \)

Решая это уравнение, находим

\ [{\ cos \ left ({t + \ frac {\ pi} {4}} \ right) = — 1,} \; \; \ Rightarrow {t + \ frac {\ pi} {4} = \ pi + 2 \ pi n,} \; \; \ Rightarrow {t = \ frac {{3 \ pi}} {4} + 2 \ pi n, \, n \ in \ mathbb {Z}.} \]

Пример 5.

Найдите площадь области, заключенной между кривой \ (y = \ sqrt {x + 1} \) и прямой \ (y = x + 1. \)

Решение.0} = {\ left ({\ frac {2} {3} — 0 — 0} \ right) — \ left ({0 — \ frac {1} {2} + 1} \ right)} = {\ frac {2} {3} — \ frac {1} {2}} = {\ frac {1} {6}.} \]

Пример 6.

Найдите площадь области, заключенной между корневой кривой \ (y = \ sqrt {x} \) и прямой \ (y = kx, \), где \ (k \ gt 0. \)

Решение.

Сначала находим точки пересечения обеих кривых:

\ [{\ sqrt x = kx,} \; \; \ Rightarrow {\ sqrt x — kx = 0,} \; \; \ Rightarrow {\ sqrt x \ left ({1 — k \ sqrt x} \ right) = 0,} \; \; \ Rightarrow {{x_1} = 0, \;} \ kern0pt {{x_2} = \ frac {1} {{{k ^ 2}}}. {2 \ pi} {\ left ({3 + 4 \ cos \ theta + \ cos 2 \ theta} \ right) d \ theta}} = {\ frac {1} {4} \ left.{2 \ pi}} = {\ frac {3} {{16}} \ cdot 2 \ pi} = {\ frac {{3 \ pi}} {8}} \]

MathScene — Интеграция — Урок 3

MathScene — Интеграция — Урок 3

2010 Rasmus ehf
и Джанн Сак

Интеграция

Урок 3

.

Области между графиками
функции


Области, ограниченные графиками функций, можно найти интегрированием.Для
Например, мы найдем площадь, ограниченную двумя графиками f (x) = x 2 + 5x 3
и y = x.
Это площадь, показанная в калькуляторе:

Начнем с
найти точки пересечения двух графиков, чтобы дать нам границы
площади:

х 2 + 5х 3 = х

х 2 + 4х 3 = 0

Упрощать.

(x 2 4x + 3) = 0 Взять
1 из кронштейна.

(x 1) (x 3) = 0 Факторизация .

(x 2 4x + 3) = 0

(х 1) (х 3) = 0

Точки пересечения — x = 1 и x = 3.Они лежат на прямой y = x, поэтому
координаты y такие же, как координаты x, то есть (1, 1) и (3, 3).

Нам нужно только
используйте координаты x для вычисления площади между каждой кривой и осью x.

Интеграл
дает площадь
между осью x и функцией
f (x) = x 2 + 5x 3 на интервале от 1 до 3.

Это
заштрихованная область графика ниже

Таким же образом

это область
между y = x и x — на том же интервале.На графике снова показана площадь
нашел.

Если мы сложим эти два графика вместе, мы увидим, что область, которую мы хотим найти, — это
разница между двумя выше.

Итак, мы просто
нужно взять разницу между двумя интегралами, чтобы найти площадь, которую мы
требовать.



Упростите перед интеграцией

Теперь посмотрим
если этот метод работает, если мы сдвинем оба графика вниз на две единицы так, чтобы
требуемая область находится как выше, так и ниже оси x.

Новое уравнение
параболы будет f (x) = x 2 + 5x 3 2
= x 2 + 5x 5 и прямой y = x
2. На диаграмме показана новая ситуация.

Точки пересечения остаются такими же, поскольку мы добавили 2 к обеим сторонам
уравнение. Ниже приведены расчеты, если вы не уверены!

х 2 + 5x 5 = х 2

х 2 + 4х 3 = 0

Упростим
.

2
4x + 3) = 0

(x 1) (x 3) = 0 Факторизация.

Снова решения

x = 1 и x = 3. Интегрируя таким же образом, вы видите, что 2
снова упрощается, поэтому мы получаем тот же результат, что и раньше.

Это означает
что при расчете площади между кривыми нам не нужно беспокоиться о
независимо от того, находится ли область выше или ниже оси x, метод всегда один и тот же.

Площадь
ограниченный сверху графиком
f (x)
а ниже по графику g (x) составляет:

Границы
х = а и х = b
являются решениями уравнения

е (х) = г (х)

Пример
1

Найдите площадь между параболами f (x) = x 2
4 и прямая y = x 2.

Начнем с
решение уравнения x 2 4 = x 2
найти район
границы

х 2 4 = х 2

х 2
4 х + 2 = 0

х 2 х 2 = 0

(х + 1) (х
2) = 0

Решения x = 1
и x = 2.

Хорошая идея — посмотреть на график и область, вовлеченную в
калькулятор.

Мы видим, что
линия ограничивает область выше, поэтому мы вычитаем интеграл от
парабола от линии.

Пример
2

Найдите площадь, заключенную между графиками f (x) = sin x и g (x) = cos x
на интервале 0 ≤ x <2p
Калькулятор показывает нам область, которую мы собираемся найти.

Снова мы должны
начните с поиска точек пересечения двух графиков.

Решение уравнения
грех х = соз х.

грех х / соз х
= 1

Разделить на

cos x

загар х = 1

х = загар 1
1 = / 4
+ п

Это означает
что x = / 4
и х = 5/4
на интервале 0 ≤ x <2

График f (x) = sin x лежит над графиком g (x) = cos x на всех
интервал между точками пересечения, поэтому расчет площади выполняется как
следует:

Сейчас
потому что
/ 4
= грех / 4
знак равно
и cos 5/4
= грех 5/4
знак равно

Таким образом, точная стоимость площади составляет

.

Пример
3

Найдите площадь, ограниченную графиками прямой y = 3x + 1 и
многочлен f (x) = ⅓ x 3 2x 2 + 3x + 1.

Сначала граф
нарисован с помощью калькулятора. Следующие значения окна должны работать

Вот график:

Теперь вычислите точки пересечения.

⅓ x 3 2x 2 + 3x + 1 = 3x + 1

⅓ x 3 2x 2 = 0

х 2 (⅓ x 2) = 0

Решения

x = 0 и x = 6 необходимых нам границ. Линия верхняя
функция.

Вы можете проверить свой ответ в калькуляторе (с помощью RUN, OPTN, F4 и F4).


Практика
затем эти методы проходят тест 3 на интеграцию.

Запомните контрольный список !!

1.

1: Площадь между двумя кривыми

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  1. Площадь, ограниченная двумя функциями от \ (y \)
  2. Приложение
  3. Авторы и авторства

Напомним, что площадь под кривой и над осью x может быть вычислена с помощью определенного интеграла.1 \\ & = \ big (- \ dfrac {3} {4} + \ dfrac {3} {2} \ big) — \ big (\ dfrac {3} {4} — \ dfrac {3} {2} \ big) \\ & = \ dfrac {3} {2} \ end {align *}. \]

Приложение

Пусть \ (y = f (x) \) будет функцией спроса на продукт, а \ (y = g (x) \) будет функцией предложения. Затем мы определяем точку равновесия как пересечение двух кривых. Излишек потребителя определяется площадью выше равновесного значения и ниже кривой спроса, в то время как излишек производителя определяется площадью ниже равновесного значения и выше кривой предложения. х \) и \ (у = 2х +1 \).

Авторы и авторство

Исчисление I — площадь между кривыми

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6-2: Площадь между кривыми

В этом разделе мы собираемся найти область между двумя кривыми. На самом деле есть два случая, которые мы собираемся рассмотреть.

В первом случае мы хотим определить область между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{ яркий]\). Мы также будем предполагать, что \ (f \ left (x \ right) \ ge g \ left (x \ right) \). Взгляните на следующий рисунок, чтобы понять, на что мы изначально будем смотреть.

В разделе «Формулы площади и объема» главы «Дополнительно» мы вывели следующую формулу для площади в данном случае. 2} \) и \ (y = \ sqrt x \).Показать решение

Прежде всего, что мы подразумеваем под «замкнутой территорией». Это означает, что интересующая нас область должна иметь одну из двух кривых на каждой границе области. Итак, вот график двух функций с заштрихованной областью.

Обратите внимание, что мы не берем какую-либо часть области справа от точки пересечения этих двух графиков. В этой области нет границы с правой стороны и поэтому она не является частью замкнутой области.2} \) является верхней функцией, и они будут правильными для подавляющего большинства \ (x \) ‘s. Однако в данном случае это младшая из двух функций.

Пределы интегрирования для этого будут точками пересечения двух кривых. В этом случае довольно легко увидеть, что они будут пересекаться в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \), так что это пределы интегрирования.

Итак, интеграл, который нам потребуется вычислить, чтобы найти площадь, равен

. 2} \, dx}} \\ & = \ left.1 \\ & = \ frac {1} {3} \ end {align *} \]

Прежде чем перейти к следующему примеру, следует отметить несколько важных моментов.

Во-первых, почти во всех этих задачах граф требуется. Часто ограничивающую область, которая дает пределы интегрирования, трудно определить без графика.

Кроме того, без графика часто бывает сложно определить, какая из функций является верхней, а какая нижней функцией.Это особенно верно в случаях, подобных последнему примеру, где ответ на этот вопрос фактически зависел от диапазона значений \ (x \), которые мы использовали.

Наконец, в отличие от площади под кривой, которую мы рассматривали в предыдущей главе, площадь между двумя кривыми всегда будет положительной. Если мы получим отрицательное число или ноль, мы можем быть уверены, что где-то допустили ошибку, и нам нужно будет вернуться и найти ее.

Также обратите внимание, что иногда вместо того, чтобы говорить регион, заключенный в, мы говорим регион, ограниченный. 2}}} \), \ (y = x + 1 \), \ (x = 2 \) и ось \ (y \) -.

Показать решение

В этом случае последние две части информации, \ (x = 2 \) и ось \ (y \), сообщают нам правую и левую границы области. Также напомним, что ось \ (y \) задается линией \ (x = 0 \). Вот график с заштрихованной областью.

Здесь, в отличие от первого примера, две кривые не пересекаются. Вместо этого мы полагаемся на две вертикальные линии, чтобы ограничить левую и правую стороны области, как мы отметили выше

Вот интеграл, который даст площадь.2} + 10 \) и \ (y = 4x + 16 \).

Показать решение

В этом случае точки пересечения (которые нам в конечном итоге понадобятся) будет нелегко идентифицировать по графику, поэтому давайте займемся их получением. Обратите внимание, что для большинства этих проблем вы не сможете точно определить точки пересечения на графике, поэтому вам нужно будет определить их вручную. 2} — 4x — 6 & = 0 \\ 2 \ left ({x + 1} \ right) \ left ({x — 3} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Итак, похоже, что две кривые пересекутся в точках \ (x = — 1 \) и \ (x = 3 \).Если они нам нужны, мы можем получить значения \ (y \), соответствующие каждому из них, вставив значения обратно в любое из уравнений. Мы предоставим вам проверить, что координаты двух точек пересечения на графике равны \ (\ left ({- 1,12} \ right) \) и \ (\ left ({3,28} \ right) ) \).

Также обратите внимание, что если вы не умеете строить графики, знание точек пересечения может помочь хотя бы в начале построения графика. Вот график региона.

Теперь с помощью графика мы можем определить верхнюю и нижнюю функцию, и теперь мы можем найти замкнутую область.2} + 10 \), \ (y = 4x + 16 \), \ (x = — 2 \) и \ (x = 5 \).

Показать решение

Итак, функции, используемые в этой задаче, идентичны функциям из первой задачи. Разница в том, что мы расширили ограниченную область за пределы точек пересечения. Поскольку это те же функции, которые мы использовали в предыдущем примере, мы больше не будем утруждать себя поиском точек пересечения.

Вот график этого региона.

Хорошо, у нас тут небольшая проблема.Наша формула требует, чтобы одна функция всегда была верхней функцией, а другая функция всегда была нижней функцией, а здесь этого явно нет. Однако на самом деле проблема не в этом, как может показаться на первый взгляд. Есть три области, в которых одна функция всегда является верхней функцией, а другая всегда является нижней функцией. Итак, все, что нам нужно сделать, это найти площадь каждой из трех областей, что мы можем сделать, а затем сложить их все.

Вот площадь.5 \\ & = \ frac {{14}} {3} + \ frac {{64}} {3} + \ frac {{64}} {3} \\ & = \ frac {{142}} {3 } \ end {align *} \]

Пример 5 Определите площадь области, заключенной в \ (y = \ sin x \), \ (y = \ cos x \), \ (x = \ frac {\ pi} {2} \) и \ ( у \) — ось. 2} — 2y — 8 \\ 0 & = \ left ({y — 4} \ right) \ left ({y + 2} \ right) \ end {align *} \]

Итак, похоже, что две кривые пересекутся в точках \ (y = — 2 \) и \ (y = 4 \), или, если нам нужны полные координаты, они будут: \ (\ left ({- 1, — 2 } \ right) \) и \ (\ left ({5,4} \ right) \).

Вот эскиз двух кривых.

Теперь у нас будет серьезная проблема, если мы не будем осторожны. До сих пор мы использовали верхнюю функцию и нижнюю функцию. Для этого обратите внимание, что на самом деле есть две части региона, которые будут выполнять разные нижние функции. В диапазоне \ (\ left [{- 3, — 1} \ right] \) парабола фактически является как верхней, так и нижней функцией.

Чтобы использовать формулу, которую мы использовали до сих пор, нам нужно решить параболу для \ (y \).Это дает,

\ [y = \ pm \ sqrt {2x + 6} \]

, где «+» означает верхнюю часть параболы, а «-» — нижнюю часть. {{\, 5}} {{- x + 1 \, dx}} \\ & = \ left.{{\, d}} {{\ left (\ begin {array} {c} {\ mbox {right}} \\ {\ mbox {function}} \ end {array} \ right) — \ left (\ begin {array} {c} {\ mbox {left}} \\ {\ mbox {function}} \ end {array} \ right) \, dy}}, \ hspace {0,5 дюйма} c \ le y \ le d \ ]

, и в нашем случае у нас есть одна функция, которая всегда слева, а другая всегда справа. Так что в данном случае это определенно правильный путь. Обратите внимание, что нам нужно будет переписать уравнение линии, поскольку оно должно быть в форме \ (x = f \ left (y \ right) \), но это достаточно легко сделать.4 \\ & = 18 \ end {align *} \]

Это то же самое, что мы получили, используя первую формулу, и это было определенно проще, чем первый метод.

Итак, в этом последнем примере мы видели случай, когда мы могли использовать любую формулу для определения площади. Однако второе было определенно легче.

Студенты часто приходят в класс по математике с идеей, что единственный простой способ работать с функциями — использовать их в форме \ (y = f \ left (x \ right) \). bv (t) \, dt \ text {.2 \) и \ (g (x) = 4-x \ text {.} \)

  1. Используйте алгебру, чтобы найти точки пересечения графиков \ (f \) и \ (g \).

  2. Нарисуйте точный график \ (f \) и \ (g \) на предусмотренных осях, пометив кривые по имени, а точки пересечения — упорядоченными парами.

  3. Найдите и точно вычислите интегральное выражение, которое представляет площадь между \ (y = f (x) \) и осью \ (x \) на интервале между точками пересечения \ (f \) и \ (g \текст{.} \)

  4. Найдите и точно вычислите интегральное выражение, которое представляет область между \ (y = g (x) \) и осью \ (x \) на интервале между точками пересечения \ (f \) и \ (g \ text {.} \)

  5. Какова точная площадь между \ (f \) и \ (g \) между их точками пересечения? Почему?

Рисунок 6.1.1. Оси для построения \ (f \) и \ (g \) в предварительном просмотре 6.1.1

Подраздел 6.1.1 Площадь между двумя кривыми

В действии предварительного просмотра 6. 2 + 1] \, dx = \ frac {21} {2} — 6 = \ frac {9} {2} \ text {.} \ Label {wfW} \ tag {6.1.1}
\ end {уравнение}

Мы также можем думать о площади таким образом: если мы разрежем область между двумя кривыми на тонкие вертикальные прямоугольники (в том же духе, в котором мы изначально разрезали область между одной кривой и осью \ (x \) в разделе 4.2), мы видим (как показано на рисунке 6.1.4), что высота типичного прямоугольника определяется разницей между двумя функциями: \ (g (x) — f (x) \ text {,} \) и его ширина равна \ (\ Delta x \ text {.3 (g (x) — f (x)) \, dx \ text {.} \ Label {oBx} \ tag {6.1.2}
\ end {уравнение}

Во многих приложениях с определенным интегралом нам будет полезно подумать о «репрезентативном срезе» и использовать определенный интеграл для добавления этих срезов. Здесь интеграл суммирует площади тонких прямоугольников.

Наконец, не имеет значения, думаем ли мы о площади между двумя кривыми как о разнице между площадью, ограниченной отдельными кривыми (как в (6. 1.1)), или как о пределе римановой суммы площадей тонких прямоугольники между кривыми (как в (6.б (д (х) — е (х)) \, dx \ text {.} \)

Мероприятие 6.1.2.

В каждой из следующих задач наша цель — определить площадь описываемого региона. Для каждой области (i) определить точки пересечения кривых, (ii) нарисуйте область, область которой находится, (iii) нарисуйте и пометьте репрезентативный срез и (iv) укажите площадь репрезентативного среза. Затем укажите определенный интеграл, значение которого является точной площадью области, и оцените интеграл, чтобы найти числовое значение области области.2 — y — 2 = 0 \ text {.} \) Таким образом, мы находим \ (y = -1 \) или \ (y = 2 \ text {,} \), поэтому точки пересечения двух кривых равны \ ( (0, -1) \) и \ ((3,2) \ text {.} \)

Если мы попытаемся использовать вертикальные прямоугольники, чтобы разрезать область (как на центральном графике на рис. 6.1.6), мы увидим, что от \ (x = -1 \) до \ (x = 0 \) кривые, ограничивающие верх и низ прямоугольника — одно и то же. Это предполагает, как показано на крайнем правом графике на рисунке, что мы попробуем использовать горизонтальные прямоугольники.

Обратите внимание, что ширина горизонтального прямоугольника зависит от \ (y \ text {.2-1)] \, dy \ text {.} \ Label {Neh} \ tag {6.1.3}
\ end {уравнение}

Мы подчеркиваем, что мы интегрируем относительно \ (y \ text {;} \), потому что мы решили использовать горизонтальные прямоугольники, ширина которых зависит от \ (y \), а толщина обозначена \ (\ Delta y \ text {.} \) Это несложное упражнение — вычислить интеграл в уравнении (6.1.3) и найти, что \ (A = \ frac {9} {2} \ text {.} \)

Так же, как и с использованием вертикальных прямоугольников толщиной \ (\ Delta x \ text {,} \), у нас есть общий принцип нахождения площади между двумя кривыми, который мы формулируем следующим образом.{y = d} (g (y) — f (y)) \, dy \ text {.}
\ end {уравнение *}

Мероприятие 6.1.3.

В каждой из следующих задач наша цель — определить площадь описываемого региона. Для каждой области (i) определить точки пересечения кривых, (ii) нарисуйте область, область которой находится, (iii) нарисуйте и пометьте репрезентативный срез и (iv) укажите площадь репрезентативного среза. Затем укажите определенный интеграл, значение которого является точной площадью области, и оцените интеграл, чтобы найти числовое значение области области.2-2y \) и \ (y = x \ text {.} \)

Подраздел 6.1.3 Определение длины кривой

Мы также можем использовать определенный интеграл, чтобы найти длину участка кривой. Мы используем тот же фундаментальный принцип: мы разрезаем кривую на небольшие части, длину которых мы можем легко приблизительно определить. В частности, мы подразделяем кривую на небольшие аппроксимирующие отрезки прямых, как показано слева на рисунке 6.1.7.

Рисунок 6.1.7. Слева непрерывная функция \ (y = f (x) \), длину которой мы ищем на интервале от \ (a = x_0 \) до \ (b = x_3 \ text {.} \) Справа — увеличенный вид части кривой. 2} \ text {.2 + 1 \ text {,} \) и делает это с постоянной скоростью 7 см / сек, где и \ (x \), и \ (y \) измеряются в см (то есть кривая \ (y = f (x) \) — это путь, по которому фактически движется объект; кривая не является «функцией положения»). Найдите положение частицы при \ (t = 4 \) сек, предполагая, что при \ (t = 0 \ text {,} \) положение частицы равно \ ((0, f (0)) \ text {.} \)

4а. Объем Solid of Revolution путем интеграции (дисковый метод)

М. Борна

Токарный станок

Многие твердые предметы, особенно сделанные на токарном станке , имеют круглое поперечное сечение и изогнутые стороны.На этой странице мы видим, как с помощью интеграции найти том таких объектов.

Предметы, изготовленные на токарном станке …

Пример 1

Рассмотрим область, ограниченную прямой y = 3x, осью x и x = 1:

График `y = 3x` с заштрихованной областью под» кривой «от` x = 0` до `x = 1`. 3` (Проверяет ОК.2] dx`

На следующем общем графике y_2 выше y_1. Нижний и верхний пределы для области, которая должна быть повернута, обозначены вертикальными линиями в точках «x = a» и «x = b».

Площадь, ограниченная кривыми y_1 и y_2 и линиями x = a и x = b, включая типичный прямоугольник .xyab

`y_2`

`y_1`

Площадь, ограниченная кривыми `y_1` и` y_2` и линиями `x = a` и` x = b`.

Когда мы вращаем такую ​​фигуру вокруг оси и делаем срезы, в результате получается шайба формы (с круглым отверстием посередине).2` (нижняя кривая), `y = x + 1` (линия вверху) и` x = 0`, показывая типичный прямоугольник.

Нижний предел интегрирования равен «x = 0» (поскольку в вопросе указано «x ≥ 0»).

Затем нам нужно найти место пересечения кривых, чтобы мы знали верхний предел интегрирования.

Приравнивая 2 выражения и решая:

2 x 2 = x + 1

2 x 2 x — 1 = 0

(2 x + 1) ( x — 1) = 0

x = 1 (поскольку нам нужно учитывать только x ≥ 0. 3`

`~~ 8.2 = 4` в квадранте I, повернутом вокруг оси `y`.

Ответ

Мы понимаем, что это эллипс. Вопрос говорит нам, что интересующая нас область находится только в первом квадранте.

Эллипс x 2 + 4 y 2 = 4, показывающий часть, ограниченную кривой, x = 0, x = 2 и ось x .

Из диаграммы видно, что пределы ограниченной области равны y = 0 и y = 1.3`

Приложения

1. Объем винной бочки

Винная бочка имеет радиус в верхней части 30 см и радиус в середине 40 см. Высота бочки 1 м. Каков объем бочки (в л), если предположить, что форма сторон параболическая?

Ответ

Положим бочку набок, чтобы облегчить алгебру:

Парабола с вершиной в точке `(0, 40)` и проходящая через `(50, 30)`.



Нам нужно найти уравнение параболы с вершиной в точке `(0, 40)` и проходящей через `(50, 30)`. 2) / (250) + 40`

Нам нужно найти объем бочки, который образуется, когда мы вращаем эту параболу между x = -50 и x = 50 вокруг оси x .2ч.

Интересно, что Архимед (тот, кто, как известно, выпрыгнул из ванны и побежал по улице с криком «Эврика! Я понял») использовал этот подход, чтобы найти объемы сфер около 200 г. до н.э. Этот метод был почти забыт до начала 1700-х годов, когда исчисление было разработано Ньютоном и Лейбницем.

Мы видим, как решить проблему, используя оба подхода.

Объем историческим методом:

Ответ

Поскольку дыня симметрична, мы можем вычислить объем одной половины дыни, а затем удвоить наш ответ.3` или `9.161 \» L «`. Это примерно то же самое, что мы получили, нарезав арбуз и увеличив объем ломтиков.

[См. Также Архимед и площадь параболического сегмента.]

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.