Вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Содержание

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями с примерами решения

Содержание:

  1. Примеры с решением

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Площадь требуемой фигуры на рисунке можно найти, вычитая из площади площадь

Каждую площадь можно вычислить как определенный интеграл на заданном промежутке.

Эти суждения можно обобщить следующим образом.

Так как функции и непрерывны на отрезке и на этом отрезке выполняется условие (т.е.график функции ) расположен выше графика функции то площадь ограниченная графиками функций и прямыми можно выразить следующим выражением:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Графики функций не имеют общих точек.

Примеры с решением

Пример 1.

Найдите площадь, ограниченную графиками функций и и прямыми

Решение:

=

Графики функций пересекаются в двух точках.

Пример 2.

Найдите площадь, ограниченную графиками функций

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций.

Полученные значения являются границами определенного интеграла.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 3.

Найдите площадь, заключенную между графиками функций и

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечени графиков.

Значит, графики пересекаются в точках с абсциссами По графикам функций также видно, что площадь, которую мы должны найти, состоит из площади, ограниченной графиками на промежутке и на промежутке На промежутке выполняется условие на промежутке выполняется условие (разность функций учитываются при записи интеграла).

! Вычислите требуемую площадь при помощи интеграла

Какой результат вы получили?

Пример 4.

Члены школьного клуба юных конструкторов работают над созданием нового двигателя для автомобиля, который будет меньше засорять окружающую среду. Для нового мотора изменение количества частиц (млрд), загрязняющих атмосферу, в год можно выразить следующим образом: Количество загрязняющих частиц, выбрасывамых старым мотором имеет вид:

a) В какой год они будут выбрасывать в атмосферу одинаковое количество частиц?

b) Какова разница между количеством вредных частиц, выброшенных в атмосферу, за этот период

Решение:

а) при удовлетворяющего условию количество вредных частиц будет одинаково.

Значение не соответствует смыслу задачи. На 3-ий год новый мотор будет давать такое же количество вредных частиц, как и старый. b) Разность количества вредных частиц равна разности площадей на промежутке [0;3].

(млрд. частиц)

Пример 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и окружностью

Решение:

Сначала схематически изобразим эту площадь. Из рисунка видим

что заданные кривые ограничивают две различающиеся плоские фигуры (меньшую и большую). Каждая из этих фигур, в свою очередь, состоит из двух симметричных относительно оси частей.

Поэтому достаточно вычислить площадь верхней части каждой фигуры и затем умножить ее на два.

Найдем сначала площадь меньшей фигуры. Преобразуем уравнение окружности и определим координаты ее центра и величину радиуса.

Следовательно, центр окружности находится в точке а ее радиус Найдем точки и пересечения обеих линий, решая систему двух

уравнений

Найдем уравнение границы (части окружности) Из условия на ординаты точек границы имеем

по этой же причине уравнение нижней части границы на отрезке

По формуле (1) находим

но

— это площадь четверти окружности. Площадь всей окружности равна Второй интеграл легко вычисляется Теперь найдем искомую площадь

Теперь, чтобы найти площадь большей фигуры, необходимо из площади круга вычесть площадь меньшей фигуры:

Проверим значение первого интеграла

Обозначим

тогда при при (четвертая четверть). Поэтому

Пример 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Второе уравнение запишем так , отсюда следует, что это означает, что вся фигура (парабола) расположена левее точки она симметрична относительно оси так как при замене на уравнение не изменяется. Ветви параболы направлены влево; ее вершина находится в точке Определим точки ее пересечения с осью

Ветви второй параболы направлены также влево, а ее вершина совпадает с началом координат.

Определим точки пересечения этих кривых из решения системы

Одна точка пересечения вторая —

Изобразим эту фигуру на чертеже. Здесь проще вычислить площадь по формуле (2) т. е.

Подготовка к ЕГЭ по теме «Первообразная»

Подготовка к ЕГЭ по теме «Первообразная»

 

Задания уровня
В.                                

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = ,  у = 0,5х

Ответ:

 

2. Первообразная функции f(х) = 3х2
+ 2х при х = 1 принимает значение В1. Найдите ее значение при х = -1

Ответ: 79

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=2, у=3–х,  х = 0

Ответ:

 

4. Первообразная функции f(х) = 4х3+2х
при = 1 принимает значение 25. Найдите ее значение при х = 2

Ответ: 43

 

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 2х2, у = 4х

Ответ: 8/3

 

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = х2, у = -2х

Ответ: 4/3

 

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у= 9х2–6х+1, у = 0, х= 0

Ответ:

 

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 4х2 + 12х + 9, у = 0, х = 0          

Ответ: 4,5

 

9. найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 1–х, у = 0 и у=(х+1)2, где х ≥ -1

Ответ: 5/6

 

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = х – 1, у = 0 и у=(х-3)2, где х ≤ 3

Ответ: 5/6

 

11. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = -х2+х-4 и осями координат.

Ответ: 8/3

 

12. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=х2+6х+9 и осями координат

Ответ: 9

 

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции          у=х2 -4х-4 и прямой у=-х

Ответ: 125/6

 

14. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=3-х2 и прямой у=2х

Ответ: 32/3

 

15. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=х2-4х+4, у=0 и х=0

Ответ: 8/3

 

16. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у= и у=

Ответ: 4/3

 

17. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у-х2=0 и у2-х=0

Ответ:

 

18. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=(1-х) (х-5), у=4 и х=1

Ответ: 2

 

19. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у-х2=0 и у2+х=0

Ответ:

 

20. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у=(х+1) (3-х), у=4 и х=3

Ответ: 2

 

21. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=sinх, касательной к
графику в его точке с абсциссой х0=π и прямой х=0,5π

Ответ:-1

 

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=cosх, касательной к нему в его точке с абсциссой х0=1,5π
и прямой х=2π

Ответ: S=-1

 

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=sin х, определенной на отрезке [о;π], и прямой,
проходящей через точки М(π/2;1) и N
(π; 0)

Ответ: 1 

 

24. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=cosх, определенной на отрезке [-π/2; π/2] и
прямой, проходящей через точки А(-π/2; 0) и В (0; 1)

Ответ: 1 

 

25. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиком функций у=х3/4 и у=

Ответ: 1

 

26. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у=х3/9 и у=

Ответ: 3,75

 

27. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=, у=6-х, у=0

Ответ: 7

 

28. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=, у=х-6, у=0

Ответ: 18

 

Задания уровня С                                                 

1. Составьте уравнение касательной,
проведенной к графику функции   f(х)=-х2+4
параллельно прямой у=-2х+6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком
данной функции, этой касательной и осью ординат.

Ответ: у=5-2х; S=.

 

2. Составьте уравнение касательной,
проведенной к графику функции   f(х)=-х2+4х
параллельно прямой у=2х+3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком
данной функции, этой касательной и осью ординат.

Ответ: у=2х+1; S=.

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=- х2+3 и двумя
касательными к этому графику, проходящими через точку на оси ОУ и образующими
между собой угол 90º

Ответ:

 

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=х2+2,5 и двумя
касательными к этому графику, проходящими через точку на оси ОУ и образующими
между собой угол 90º.

Ответ:

 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у= — х2+1 и
касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения его с осью
абсцесс

Ответ: 4/3

 

6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=-х2+4х и касательными, проведенными к этому
графику в точках пересечения его с осью абсцисс

Ответ: 16/3

 

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции f(х)=2х-2 и графиком ее первообразной F(х), зная, что F(0)=1

Ответ:

 

8. Функция F является первообразной для
функции f(х)=2х-4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций f и F,
зная, что график функции F проходит через точку А(0; 4)

Ответ: 4/3

 

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
параболой у=4х-х2 и прямой, проходящей через точки (4; 0) и (0; 4)

Ответ:

 

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
параболой у=3х2(х≤0), прямой у=0 и прямой, проходящей через
точки (-3; 0) и (0; 4,5)

Ответ: 4

 

11. Составьте уравнение касательной к
графику функции у=-3х2+6х+1 в точке пересечения этого графика с осью
ординат. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции,
найденной касательной и прямой х=2

Ответ: у=6х+1; 8

 

12. Составьте уравнение касательной к
графику функции у=-2х2+4х+1 в точке пересечения этого графика с осью
ординат. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции,
найденной касательной и прямой х=2

Ответ: у=4х+1;

 

13. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции                          и прямой у=1,5

Ответ: 4/3

 

14. Найдите площадь фигуры, ограниченной 
графиком функции у= S 3t2dt и прямой у=1

Ответ: 0,5

 

15. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у= —  и прямыми у=0, х= — 5, х
= -2,5. Не пользуясь микрокалькулятором, сравните полученное значение площади с
числом 2

Ответ: S=ln4,
S<2

 

16. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=ех+1 и прямыми х= -2, х= -1, у=0. Не пользуясь
микрокалькулятором, сравните полученное значение площади с числом 0,5

Ответ: S=1-е-1; S>0,5

 

17. Для каждого а>0 найдите площадь
фигуры, ограниченной графиком функции у= -х3+ах2 и осью
абсцисс. При каких значениях, а эта площадь равна 4/3?

Ответ: S=а4/12; S=4/3 при а=2

 

18. Для каждого а<0 найдите площадь
фигуры, ограниченной прямыми х=2а, х=а, у=0 и графиком функции у= -3/х.
Сравните полученное значение площади с числом 3.

Ответ: S=3ln;
S<3

19. В каком отношении делится площадь
четырехугольника ОВСД, где 0(0;0), В(1; 2) С(4; 2), Д(4; 0), параболой у=(2-х)2+1

Ответ: 17; 4 (или 4,25; возможен ответ 4;
17)

 

20. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у= х3, у=3-х, у=
-4х

Ответ: 5

 

21. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=-  х3, у=х+4,
у=5х

Ответ: 7

 

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями х · [у]=2, х=1, х=3

Ответ: 4ln
3

 

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями х [у]=3, х=1, х=2

Ответ: 6ln
2

 

25. Докажите, что площадь фигуры,
ограниченной графиком функции у=2е и прямыми у=0, х= -0,5; х=t
(при t< -0,5), меньше 1

 

26. Найдите ту первообразную функции
f(х)=2х+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0

Ответ: Первообразная у=х2+4х+4,
площадь 2,25

 

27. Найдите ту первообразную функции
f(х)=2х-2, график которой касается прямой у= -4х. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у= -4х, у=0

Ответ: Первообразная у=х2-2х+1,
площадь 2/3

 

28. Фигура ограничена линиями у=  х2 и у=х.
Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой
х=а, делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.

 

29. Фигура ограничена линиями у= х2 и у=-3х.
Отрезок наибольшей длины, заключённый внутри этой фигуры и принадлежащей прямой
х=а, делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.

 

30. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=х2-2х+3, касательной к графику в его точке с
абсциссой 2 и прямой х=-1.

Ответ: 9

 

31. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=3+2х-х2, касательной к графику в его точке с
абсциссой 3 и прямой х=0.

Ответ: 9

 

32. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=(х-2)(2х-3) и у=0

Ответ:

 

33. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=(3х+2)(х-1) и у=0

Ответ: 125/54

 

34. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=  и у= х

Ответ:

 

35. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у= , у=х и х=е.

Ответ: 0,5(е2-3)

 

36. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=  и у=6-х.

 

37. Найдите площадь фигуры, ограниченной
параболой у= 4х-х2 и прямой, проходящей через вершину параболы и
начало координат.

Ответ: 12-5ln5

 

38. Найдите площадь фигуры, ограниченной
параболой у=х2-6х и прямой, проходящей через вершину параболы и
начало координат.

Ответ: 4/3

 

39. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции                  у= -х3-2х2-х+3 и
касательной к нему, проведённой в точке графика с абсциссой -1

Ответ:

 

40. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции             у=х3-4х2+4х-5 и касательной
к нему, проведённой в точке графика с абсциссой 2.

Ответ: 4/3

 

41. Найдите площадь фигуры, ограниченной
параболами у-х2-2х и у=  х2.

Ответ: 16/3

 

42. Найдите площадь фигуры, ограниченной
параболами у-4х-х2 и у=  х2.

Ответ: 6

 

43. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у=  и   у=3-х

Ответ:

 

44. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у=х2 и у=2х-х2.

Ответ: 16/3

 

45. Укажите все первообразные функции g(х)=3х2+2х-2,
графики которых имеют ровно две общие точки с графиком функции , графики
которых имеют ровно две общие точки с графиком функции g(х).

Ответ: G1(х)=х32-2х-3;  G2(х)=х32-2х+6

 

46. Укажите все первообразные функции f(х)=5+2х-3х2,
графики которых имеют с графиком функции f(х)
ровно две общие точки.

Ответ: F1(х)=
32+5х-13; F2(х)=-х32+5х+5

 

27. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=(3-х)3, у=0,5х, у=0.

Ответ: 1,25

 

28. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=х2-4х+4 и касательными к этому графику,
проходящими через начало координат

Ответ: 16/3

 

29. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=х2+6х+9 и касательными к этому графику,
проходящими через начало координат.

Ответ:18

 

30. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у= -4(х+3)3,  у+х=0, у=2х.

Ответ: 12

 

31. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=3(х-2)3, у+3х=0, у=х

Ответ: 6

32. Фигура ограничена линиями: у=0; у= -х2+2х+3.
Найдите отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком
функции у=(х+1)2

Ответ: 2: 8=  или 3 : 1

 

33. Фигура ограничена линиями у=0 и у=-х2+6х-5.
Найдите отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком
функции у=(х-5)2

Ответ: 3 (или 1/3)

 

34. Найдите площадь  фигуры, ограниченной
линиями у=, у=(х+2)3,
у=1 и у=0

Ответ: 1

 

35. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у= у=2-(х+3)3 и
у=3

Ответ: 8

 

36. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=, у=2+(х-4)3 и
у=3

Ответ: 8

 

 

Сложные задания       

1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =  и у= .

Ответ:
 —  ln3

 

2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=  и у=

Ответ:  —  ln2

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
гиперболой у= -1/х, касательной к этой кривой, проведённой в точке с абсциссой
х=1, и прямой х=2.

Ответ: ln2-0,5

 

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у=, касательной к этой
кривой, проведённой в точке с абсциссой х=1, и прямой х=-1.

Ответ: ln3

 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=, у=3- .

Ответ: 6,5- ln2

 

6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=  и у=2+4.

Ответ: 32

 

 

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями х=1, у=е, у=-е, х=0, а
также отрезком прямой х=1 при -1≤ у ≤ 1.

Ответ: 4

 

8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями ху2=1, у= -1, у=1, х=0,  х=0, а также отрезком прямой х=2
при —  ≤ у ≤

Ответ: 2

 

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=х2-2х, у= -4х-1 и у=4х-9

Ответ: 16/3

 

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=-х2+6х-9, у=2х-5 и у= -2х+7

Ответ: 2/3

 

11. Пользуясь геометрической
интерпретацией определённого интеграла, вычислите S dх.

Ответ:  +

 

12. Пользуясь геометрической
интерпретацией определённого интеграла, вычислите  dх.

Ответ:  —

13. Найдите все такие точки М графика
функции у=х2-4х, что площадь фигуры. Ограниченной этим графиком,
касательной к графику, проходящей через точку М, и осью ординат, равна 72

Ответ: (6; 60) и (6; 12)

 

14.
Найдите все такие точки М графика функции у=6х-х2, что площадь
фигуры, ограниченной графиком этой функции, касательной к графику, проходящей
через точку №, и осью ординат равна 41

Ответ: (1/5; 5) и (-5; -55)

 

15. Докажите, что при всех к > 0
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=к2х5-кх2 
и осью абсцисс, не зависит от к.

Ответ: Sор=
 и не зависит от к.

 

16. Докажите, что при всех к > 0
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= х4— х9 и осью
абсцисс, не зависит от к.

Ответ: ; COS???<0

 

17. Докажите, что площади фигур, каждая из
которых ограничена графиком функции у=х3-6х2+1  и одной
из касательных к этому графику, параллельных оси абсцисс, равны.

Ответ: Sор=1/10

 

18. Докажите, что площадь фигуры,
ограниченной осью ординат, графиком функции у=4х-х2  и касательной к
этому графику в точке с абсциссой х0 ≠ 0, равна площади
фигуры, ограниченной графиком той же функции, касательной к графику в точке с
абсциссой (-х0) и осью ординат.

Ответ:

 

19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у=0,5х2-2х-1 и у=6,5-1,5×.

Ответ: 25,5

 

20. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у=-0,5х2+х+7,5 и у=1,5()-1.

Ответ: 25,5

 

21. При каком t площадь фигуры,
ограниченной графиком функции у=х4+2х2, касательной к
нему, проведённой в точке графика с абсциссой t, и прямой х=t-1, наименьшая?

Ответ: t=0,25

 

22. Найдите такое р, чтобы площадь фигуры,
ограниченной графиком функции у=х-х4, касательной к нему,
проведённой в точке графика с абсциссой р, и прямой х=р+2, была наименьшей.

Ответ: р=-0,5

 

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=х+1, у=1- х и у=1-(х-2)3.

Ответ: 2

 

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=(х+2)3+3, у=-4х и у=-  х.

Ответ: 5

 

25. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у=4+,            у=-0,6х+2,8
и х=.

Ответ: 12,5

 

26. Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями х+=0, у=+4 и у=  х+ .

Ответ: 38/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Формирование познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий (стр. 16 из 17)

Δх

Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим

6. Подведение итогов урока. Вывод о проблеме урока. Задание домашнего задания.

Урок-КВН по теме «Интеграл»

Цель: обобщение изученного материала по теме, формирование умений применять математические задания к решению практических задач.

Задачи:

Развивающие: развитие познавательной потребности, творческих способностей.

Воспитательные: воспитание интереса к предмету, воспитание чувства коллективизма и взаимовыручки.

КВН проводится интерактивно с помощью сайта школы.

На экране ЭВМ написано:

(Ниже ведётся запись полученных очков).

Правила игры.

Класс разбивается на две команды.

Выбираются капитаны команд.

Капитаны назначают консультантов.

Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.

Ход урока.

1 этап. Разминка – ведется на бумажном носителе.

На экране ЭВМ написаны задания.

Докажите, что функция F(х) является первообразной для функции f(х) на промежутке

F(х) =

+ 3х – 5,

f(х) = 3(

+ 1)

Найдите общий вид первообразной для функции:

f(х) = 2х3 – 6

+ х – 1

Вычислите интеграл:

а)

;

б)

.

Найдите первообразную функцию f(х) = 4 –

, график которой проходит через точку (–3; 10).

Решение:

F'(х) = (х3 +3х – 5)’ = 3

+ 3 = 3( +1)

F'(х) = f(х).

F(х) является первообразной f(х)

2.

3. а)

б)

4.

Консультанты каждой команды собирают тетради и передают консультантам другой команды для проверки. Побеждает та команда, у которой больше сумма очков.

II этап. Блиц – турнир – проводится с помощью ЭВМ (желательно применение проектора). Найдите ошибку: (с классом)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

S = 0,5

+ 3t + 2(м),

где t – время движения в секундах.

Найти U тела через 7 сек.

U (7) = 10 м/сек.

III этап. Домашнее задание.

К доске приглашаются по 1 ученику от каждой команды.

1. С помощью интеграла вывести формулу объёма конуса.

2. С помощью интеграла вывести формулу объёма шара.

Решение:

Рисунок 1

Дано: АВ = R

ОВ = H.

Вывести формулу V конуса.

Вывод: При вращении прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси ОХ, содержащей катет

ОВ получается конус. Треугольник ОАВ является частным случаем криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(х) (прямой ОА), прямыми х = 0 и х = Н, осью абсцисс. V тела вращения вычисляется по формуле

Найдём уравнения прямой ОВ:

Вывод: V конуса равен

произведения площади основания на высоту.

Решение 2:

Рисунок 2

Дано: полукруг (О;R)

Вывести формулу V шара.

Вывод: При вращении полукруга вокруг оси ОХ, получаем тело вращения шар.

Полукруг является частным видом криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(х) и прямыми х = – R, х = R, у = 0.

Уравнение окружности имеет вид

+ = = –

Подставим в формулу:

Вывод: V шара радиуса R равен 4/3

.

IV этап. Конкурс капитанов.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

В процессе решения задач капитанами, учащиеся решают задачи капитанов из противоположных команд и готовят для него вопросы по теме заданий. По результатам решения задачи и ответов на вопросы, капитаны получают соответствующие баллы.

Решение задания 1.

1. Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций:

2. Постройте графики данных функций с применением ИКТ.

V этап. Конкурс болельщиков – задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы.

1). Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за отрезок времени от t1=1с до t2 = 4с, если скорость точки U(t) = (2t? – 3t) м/с?

Чему равно ускорение этой точки в момент времени t = 2с?

2). Тело движется прямолинейно со скоростью U(t) = (3

– 2t)

Найти путь, пройденный телом за первые 5 сек.

Чему равно ускорение тела в момент t = 5 c?

Решение 1.

Решение 2.

VI этап. Конкурс эрудитов — задания проектируются на доску с помощью проектора, а также дублируются на сайте школы

1. Вычислите:

2. Вычислите:

Решение 1.

Пусть

Решение 2.

Пусть

VII этап. Конкурс консультантов. (дополнительный) – проводится при помощи Mathcad.

Урок алгебры и начала анализа в 11-м классе по теме: «Площадь криволинейной трапеции»

Цели:

  • формирование понятия криволинейной трапеции на
    ориентировочном этапе;
  • формирование понятия первообразная на этапе
    применения.

Задачи:

  • познакомить учащихся с понятием криволинейной
    трапеции;
  • научить находить площадь криволинейной
    трапеции.

Тип урока: объяснение нового
материала.

Домашнее задание: п.29 № 353(в), 354 (а,б,г),
дополнительное опережающее задание для сильных
учащихся:

  1. Найдите площадь, ограниченную графиком функции
    у = 2х – х2 и осью абсцисс.
  2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
    функции у = х3 – 12х и прямыми х = 0, х = -2, у = 0.
  3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
    графиком функции у = х(4-х) и осью абсцисс.
  4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
    функции у = х2-4х+4 и прямой у = -х+8.
  5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной
    графиком функции у = х4-4х+3 и прямыми х =0, х =
    -1, у =0.
  6. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
    функции у = -х2-2х, касательной к этому
    графику, проходящей через точку с абсциссой х = -2,
    и осью ординат.

ХОД УРОКА

1. Повторить понятие первообразной,
основные формулы.

    Определение: Функция F называется первообразной
    для функции f на заданном промежутке, если для
    всех x из этого промежутка выполняется равенство:

    F'(x)=f(x)

    Основное свойство первообразных:


    Любая первообразная для функции f на
    промежутке I может быть записана в виде

    F(x) + C,

    где F(x) – одна из первообразных для функции f(x)
    на промежутке I, С — произвольная постоянная.

    Геометрический смысл основного свойства
    первообразных:


    Графики двух первообразных для функции
    f получаются друг из друга параллельным
    переносом
    вдоль оси Оу.

    Производные и первообразные:













    Функция f(x)

    Производная f ‘(x)

    Первообразная F(x)

    С

    0

    Сх +С

    ах

    ах . ln а

    1/ln а .  
    ах+C

    ех

    ех

    ех + C

    ln х

    1/х

    log а x

    1/х ln а

    1/х

    _1/х 2

    ln х + C

    sin x

    cos x

    -cos x + C

    cos x

    — sin x

    sin x + C

    tg x

    1/cos 2 x

    ctg x

    _1/sin 2 x

Правило 1. Если F есть
первообразная для f, а G – первообразная для g, то
F+G есть первообразная для f+g.
Правило 2. Если F есть первообразная
для f, а k – постоянная, то функция kF –
первообразная для kf.
Правило 3. Если F(х) есть
первообразная для f(х), а k и b – постоянные, причём,
k0, то 1/k • F(kx+b)
есть первообразная для f(kx+b)

2. Объяснение нового материала.



Площадь криволинейной трапеции

Если на [а;b] ([а;b] ?Ох) функция у=f(х)
непрерывная, не меняет знак (график не пересекает
ось абсцисс), тогда фигура, ограниченная графиком
функции f, отрезком [а;b] и прямыми х = а, х = b,
называется криволинейной трапецией.

Если f — непрерывная и неотрицательная на
отрезке [а;b] функция, а F – её первообразная на
этом отрезке, то площадь S соответствующей
криволинейной трапеции равна приращению
первообразной на отрезке [а;b], т.е.



Рассмотрите примеры криволинейных трапеций в
учебнике на стр. 185; пример нахождения площади
криволинейной трапеции на стр. 187 (рис. 121).



Пример: Вычислить площадь криволинейной
трапеции, ограниченной линиями у = 4 — х2 и у =
0

Решение:

1. Построим криволинейную трапецию:

у = 4 — х2— квадратичная функция, график –
парабола, ветви направлены вниз.

у = 0 — ось абсцисс.

2. Найдём [а;b]:

4-х2 = 0; х2 = 4

х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по
формуле: S = F(b) – F(а)

3. Решение упражнений № 353 (а, б, г), 355 (б,
г)

4. Итог урока. Выставление оценок
учащимся.

1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?




Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потомпараболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:


После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж

и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.


И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:


и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:


Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .

В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:


таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14

Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,


хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;

2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:


и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.

Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |




Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.


Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!


С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Контрольная работа № 4. Алгебра


Просмотр содержимого документа

«Контрольная работа № 4. Алгебра»

Алгебра 27.01.2021

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Вычислите интеграл:

2 . Вычислите площадь заштрихованной области.

3. С помощью геометрического смысла интеграла вычислите значение (необходимо построить график):

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , касательной к нему в точке и осью .

Алгебра 27.01.2021

Контрольная работа № 4

Вариант 2

1. Вычислите интеграл:

2 . Вычислите площадь заштрихованной области.

3. С помощью геометрического смысла интеграла вычислите значение (необходимо построить график):

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к нему в точках и .

Алгебра 27.01.2021

Контрольная работа № 4

Вариант 3

1. Вычислите интеграл:

2 . Вычислите площадь заштрихованной области.

3. С помощью геометрического смысла интеграла вычислите значение (необходимо построить график):

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функций и касательной к нему в точке .

Алгебра 27.01.2021

Контрольная работа № 4

Вариант 4

1. Вычислите интеграл:

2 . Вычислите площадь заштрихованной области.

3. С помощью геометрического смысла интеграла вычислите значение (необходимо построить график):

4. При каком положительном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями , равна .

Тематические тесты по математике «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Площадь криволинейной трапеции.

Формула Ньютона – Лейбница.

1.Вычислите:

2. Вычислите:

21

3. Вычислите:

-3

4. Вычислите:

5. Вычислите:

6. Вычислить интеграл:

8

7. Вычислить интеграл:

8. Вычислите интеграл:

9. Вычислите интеграл6

10. Вычислите интеграл:

3

11. Вычислите интеграл:

ln4

12. Вычислите интеграл:

13. Вычислите интеграл:

14. Вычислите интеграл:

15. Вычислите интеграл:

16. Вычислите интеграл:

17. Вычислите интеграл:

18. Вычислите интеграл:

19. Вычислите интеграл:

20. Найдите площадь фигуры, заключённой между линиями .

ln4

21. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = -х2 + 5х и осью абсцисс.

20

22. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

21

23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 – 5х + 4, у = -3х + 4.

24.Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х + у = 4, у = 3х и осью Оу.

2

25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми у = 4 – х, у = 3х и осью Ох.

6.

26. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е, у = 0, х = 0, х = 2.

27. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х3, у = х2, х = 1.

28. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, у = 0, х = а, равна 9?

3

29. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, у = 0, х = а, a>0, равна 4?

2

30. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, у = 0, х = а, а>0, равна64?

4

31. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 -4х + 9, касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = 3 и осью ординат.

9

32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(3 – х) и осью абсцисс.

33. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4 – х) и осью абсцисс.

34. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 9х – х2 и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 1 и осью ординат.

35. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

2

36. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4х – х2, у = 5, х = 0 , х = 3.

6

37. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

1

38. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х – х2, у = х2 – х.

39. Площадь фигуры, ограниченной линиями равна:

1,5

40. Площадь фигуры, ограниченной линиями равна:

1.

41. Площадь фигуры, ограниченной линиями равна:

.

42. При каких значениях параметра а значение интеграла не превосходит 3?

43. При каких значениях параметра а значение интеграла максимально?

44. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 0, х = 1, х = 3.

8.

45. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 – х и осью абсцисс.

.

46. Найдите объём фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х2, х = 0 и х = 1, у = 0 вокруг оси абсцисс.

Область между двумя функциями | Суперпроф

В этой статье мы обсудим, как вычислить площадь между двумя функциями. Мы специально сконцентрируемся на том, как вычислить площадь между кривой и прямой линией и площадь между двумя кривыми.

Область между двумя функциями

Область между двумя функциями равна площади функции, расположенной выше, за вычетом области функции, расположенной ниже. Математически мы можем обозначить эту область следующим образом:

Лучшие преподаватели математики

Первый урок бесплатно

Область между кривой и прямой

Теперь давайте разберемся, как вычислить площадь между кривой и прямой. прямая линия через следующие примеры

Пример 1

Найдите площадь пространства, ограниченного параболой

и прямой линией, проходящей через точки A (−1, 0) и B (1, 4).

Решение

Шаг 1. Найдите уравнение прямой линии

На этом этапе мы вычислим уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Для этого сначала мы должны вычислить наклон прямой, проходящей через точки A (-1, 0) и B (1, 4). Для вычисления наклона мы будем использовать следующую формулу:

Подставьте значения точек A и B в приведенную выше формулу:

Теперь подставьте этот наклон в уравнение точки пересечения ниже:

Следовательно, уравнение прямой имеет вид y = 2x + 2.

Шаг 2 — Нарисуйте график

На этом шаге мы нарисуем график функции

и линию следующим образом:

Шаг 3 — Вычислите границы

Точки пересечения линии параболы будут границами или пределами функции. Как видно из приведенного выше графика, линия пересекает параболу в точках

и. Следовательно, это пределы функции.

Шаг 4 — Вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла сначала используйте информацию из предыдущих шагов, чтобы записать функции в следующей форме:

Перепишите функцию

, используя правило суммы / разности определенных интегралов, например:

Чтобы вычислить определенный интеграл, мы сначала найдем первообразную функции.Первообразная функции —

Теперь используйте основную теорему исчисления:

Замените 2 и 0 в первообразной функции следующим образом:

Пример 2

Вычислите площадь фигуры ограниченный функцией

и линиями y = x, при x = 0 и x = 2.

Решение

Шаг 1 — Нарисуйте график

В этом примере нам уже дано уравнение линии y = Икс.Следовательно, нам не нужно его рассчитывать. Мы просто начнем с наброска графика функций

и.

На приведенном выше графике вы можете видеть, что от x = 0 до x = 1 прямая линия проходит над параболой, а от x = 1 до x = 2 прямая линия проходит под параболой. Следовательно, мы будем вычислять площади, используя эти пределы выше и ниже параболы отдельно.

Шаг 2 — Вычислите границы

Границы или пределы графика уже указаны в этом примере, они равны 0 и 1.

Шаг 3 — Вычисление определенного интеграла

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала используйте информацию из предыдущих шагов, чтобы записать функции в следующей форме:

Область, где прямая линия находится над параболой:

Найдите первообразную функции. Первообразная функции —

Используйте основную теорему исчисления:

Замените 1 и 0 в первообразной функции следующим образом:

Область, где прямая линия находится под параболой:

Найдите первообразную функции.3} {3} —

В следующем разделе мы увидим, как вычислить площадь между двумя кривыми по их уравнениям.

Площадь между двумя кривыми

Следующие примеры позволят вам понять, как рассчитать площадь между двумя кривыми.

Пример 1

Найдите область, ограниченную графиками функций

и

Решение

Шаг 1 — Нарисуйте график

Шаг 2 — Найдите границы

Чтобы определить, где расположены графики двух кривых пересекаются друг с другом, приравняем уравнения двух кривых:

или

Следовательно, границы равны

и 0.

Шаг 3 — Вычисление определенного интеграла

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала используйте информацию из предыдущих шагов, чтобы записать функции в следующей форме:

Найдите первообразную функции . Первообразная функции —

. Используйте основную теорему исчисления:

. Подстановка

и 0 в первообразную функции даст нам следующее значение площади:

Пример 2

Найдите площадь между двумя кривые

и.

Решение

Выполните следующие действия, чтобы рассчитать площадь.

Шаг 1 — Нарисуйте график

График двух кривых приведен ниже:

Шаг 2 — Найдите границы

Вычислите границы функции по уравнению и следующим уравнениям:

или

Следовательно, границы функции равны 0 и 2.

Шаг 3 — Вычислить определенный интеграл

Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала используйте информацию из предыдущих шагов для записи функции в следующем виде:

Найдите первообразную функции.Первообразная функции —

Используйте основную теорему исчисления:

Замените 2 и 0 в первообразной функции:

6.1: Области между кривыми — математика LibreTexts Введение

до интеграции, мы разработали концепцию определенного интеграла для вычисления площади под кривой на заданном интервале. В этом разделе мы расширяем эту идею, чтобы вычислить площадь более сложных регионов.Мы начинаем с поиска области между двумя кривыми, которые являются функциями \ (\ displaystyle x \), начиная с простого случая, когда одно значение функции всегда больше другого. Затем мы рассмотрим случаи, когда графики функций пересекаются. Наконец, мы рассмотрим, как вычислить площадь между двумя кривыми, которые являются функциями \ (\ displaystyle y \).

Площадь области между двумя кривыми

Пусть \ (\ displaystyle f (x) \) и \ (\ displaystyle g (x) \) будут непрерывными функциями на интервале \ (\ displaystyle [a, b] \) так, что \ (\ displaystyle f (x) ≥g (Икс) \) на \ (\ Displaystyle [а, Ь] \).Мы хотим найти область между графиками функций, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Область между графиками двух функций \ (\ displaystyle f (x) \) и \ (\ displaystyle g (x) \) на интервале \ (\ displaystyle [a, b] \)

Как и раньше, мы собираемся разделить интервал по оси x и аппроксимировать область между графиками функций прямоугольниками. Итак, для \ (\ displaystyle i = 0,1,2,…, n \) пусть \ (\ displaystyle P = {x_i} \) будет регулярным разделом \ (\ displaystyle [a, b] \).b_a [f (x) −g (x)] dx. \]

Эти результаты резюмируются в следующей теореме.

Определение области между двумя кривыми

Пусть \ (\ displaystyle f (x) \) и \ (\ displaystyle g (x) \) будут непрерывными функциями, так что \ (\ displaystyle f (x) ≥g (x) \) в интервале [\ (\ стиль отображения a, b] \). Пусть R обозначает область, ограниченную сверху графиком \ (\ displaystyle f (x) \), снизу графиком \ (\ displaystyle g (x) \), а слева и справа линиями \ (\ displaystyle x = a \) и \ (\ displaystyle x = b \) соответственно.b_a [f (x) −g (x)] dx. \]

Мы применим эту теорему в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск области области между двумя кривыми I

Если \ (\ textbf {R} \) — это область, ограниченная сверху графиком функции \ (\ displaystyle f (x) = x + 4 \) и ниже графиком функции \ (\ displaystyle g ( x) = 3− \ dfrac {x} {2} \) на интервале \ (\ displaystyle [1,4] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Решение

Регион показан на следующем рисунке.2 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Если \ (\ textbf {R} \) — это область, ограниченная графиками функций \ (\ displaystyle f (x) = \ dfrac {x} {2} +5 \) и \ (\ displaystyle g (x ) = x + \ dfrac {1} {2} \) на интервале \ (\ displaystyle [1,5] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Изобразите функции, чтобы определить, какой график функции образует верхнюю границу, а какой — нижнюю, а затем выполните процесс, использованный в примере.

Ответ

\ (\ displaystyle 12 \) единиц 2

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы определили интересующий интервал как часть постановки задачи. Однако довольно часто мы хотим определить интересующий нас интервал на основе того, где пересекаются графики двух функций. 2 \) и ниже графиком функции \ (\ displaystyle g (x) = 6 − x \), найдите площадь области \ (\ textbf {R} \).4 \) найдите площадь области \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Используйте процесс из примера \ (\ PageIndex {2} \).

Ответ

\ (\ displaystyle \ dfrac {3} {10} \) единица 2

Участки составного округа

До сих пор мы требовали \ (\ displaystyle f (x) ≥g (x) \) на всем интересующем интервале, но что, если мы хотим посмотреть на области, ограниченные пересекающимися друг с другом графиками функций? В этом случае мы модифицируем только что разработанный процесс, используя функцию абсолютного значения.b_a | f (x) −g (x) | dx. \]

На практике применение этой теоремы требует, чтобы мы разбили интервал \ (\ displaystyle [a, b] \) и вычислили несколько интегралов в зависимости от того, какое из значений функции больше в данной части интервала. Мы исследуем этот процесс на следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск области области, ограниченной функциями, пересекающими

Если \ (\ textbf {R} \) — это область между графиками функций \ (\ displaystyle f (x) = \ sin x \) и \ (\ displaystyle g (x) = \ cos x \) над интервал \ (\ displaystyle [0, π] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Решение

Регион показан на следующем рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Область между двумя кривыми можно разбить на две подобласти.
Графики функций пересекаются в точке \ (\ displaystyle x = π / 4 \). Для \ (\ Displaystyle x∈ [0, π / 4], \ cos x≥ \ sin x, \) так

\ (\ Displaystyle | е (х) −g (х) | = | \ грех х — \ соз х | = \ соз х- \ грех х. \)

С другой стороны, для \ (\ displaystyle x∈ [π / 4, π], \ sin x ≥ \ cos x, \), поэтому

\ (\ Displaystyle | е (х) −g (х) | = | \ грех х — \ соз х | = \ грех х — \ соз х.π_ {π / 4} \\ [4pt] = (\ sqrt {2} −1) + (1+ \ sqrt {2}) = 2 \ sqrt {2}. \ end {align *} \]

Площадь региона равна \ (\ displaystyle 2 \ sqrt {2} \) единиц 2 .

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Если \ (\ textbf {R} \) — это область между графиками функций \ (\ displaystyle f (x) = \ sin x \) и \ (\ displaystyle g (x) = \ cos x \) над интервал \ (\ displaystyle [π / 2,2π] \), найдите площадь региона \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Две кривые пересекаются в точке \ (\ displaystyle x = (5π) / 4.\)

Ответ

\ (\ displaystyle 2 + 2 \ sqrt {2} \) единиц 2

Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск области сложной области

Рассмотрим область, изображенную на рисунке \ (\ PageIndex {6} \). Найдите область \ (\ textbf {R} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Для вычисления площади этой области требуются два интеграла.

Решение

Как и в примере \ (\ PageIndex {3} \), нам нужно разделить интервал на две части.2_1 = \ dfrac {1} {2}. \)

Складывая эти области вместе, получаем

\ (\ Displaystyle A = A_1 + A_2 = \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {5} {6}. \)

Площадь региона равна \ (\ displaystyle 5/6 \) единиц 2 .

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Рассмотрим регион, изображенный на следующем рисунке. Найдите область \ (\ textbf {R} \).

Подсказка

Две кривые пересекаются при x = 1

Ответ

\ (\ displaystyle \ dfrac {5} {3} \) единиц 2

Регионы, определенные в соответствии с

В примере \ (\ PageIndex {4} \) нам нужно было вычислить два отдельных интеграла, чтобы вычислить площадь области.2 \) как функция от \ (\ displaystyle y \). Однако, судя по графику, ясно, что нас интересует положительный квадратный корень.) Точно так же правый график представлен функцией \ (\ displaystyle y = g (x) = 2 − x \), но может просто так же легко может быть представлено функцией \ (\ displaystyle x = u (y) = 2 − y \). Когда графики представлены как функции от \ (\ displaystyle y \), мы видим, что область ограничена слева графиком одной функции и справа графиком другой функции. Следовательно, если мы интегрируем по \ (\ displaystyle y \), нам нужно вычислить только один интеграл.Давайте разработаем формулу для этого типа интеграции.

Пусть \ (\ displaystyle u (y) \) и \ (\ displaystyle v (y) \) будут непрерывными функциями на интервале \ (\ displaystyle [c, d] \) так, что \ (\ displaystyle u (y) ≥v (y) \) для всех \ (\ displaystyle y∈ [c, d] \). Мы хотим найти область между графиками функций, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): мы можем найти область между графиками двух функций, \ (\ displaystyle u (y) \) и \ (\ displaystyle v (y) \).d_c [u (y) −v (y)] dy. \ end {align *} \]

Эти результаты резюмируются в следующей теореме.

Нахождение области между двумя кривыми, интегрирование по оси Y

Пусть \ (\ displaystyle u (y) \) и \ (\ displaystyle v (y) \) будут непрерывными функциями, так что \ (\ displaystyle u (y) ≥v (y) \) для всех \ (\ displaystyle y ∈ [c, d] \). Пусть \ (\ textbf {R} \) обозначает область, ограниченную справа графиком \ (\ displaystyle u (y) \), слева графиком \ (\ displaystyle v (y) \ ), а сверху и снизу — линиями \ (\ displaystyle y = d \) и \ (\ displaystyle y = c \) соответственно.d_c [u (y) −v (y)] dy. \]

Пример \ (\ PageIndex {5} \): интеграция с учетом y

Вернемся к примеру \ (\ PageIndex {4} \), только на этот раз давайте проинтегрируем по \ (\ displaystyle y \). Пусть \ (\ textbf {R} \) будет областью, изображенной на рисунке \ (\ PageIndex {9} \). Найдите площадь \ (\ textbf {R} \) путем интегрирования по \ (\ displaystyle y \).

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): площадь области \ (\ textbf {R} \) может быть вычислена с использованием одного интеграла, только если кривые рассматриваются как функции от \ (\ displaystyle y \).

Решение

Сначала мы должны выразить графики как функции от \ (\ displaystyle y \). Как мы видели в начале этого раздела, кривая слева может быть представлена ​​функцией \ (\ displaystyle x = v (y) = \ sqrt {y} \), а кривая справа может быть представлена ​​как функция \ (\ Displaystyle x = u (y) = 2 − y \).

Теперь нам нужно определить пределы интеграции. Область ограничена осью x снизу, поэтому нижний предел интегрирования равен \ (\ displaystyle y = 0 \).1_0 \\ [4pt] = \ dfrac {5} {6}. \ end {align *} \]

Площадь региона равна \ (\ displaystyle 5/6 \) единиц 2 .

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Давайте вернемся к контрольной точке, связанной с примером \ (\ PageIndex {4} \), только на этот раз, давайте проинтегрируем по \ (\ displaystyle y \). Пусть \ (\ textbf {R} \) будет областью, изображенной на следующем рисунке. Найдите площадь \ (\ textbf {R} \) путем интегрирования по \ (\ displaystyle y \).

Подсказка

Следуйте процессу из предыдущего примера.

Ответ

\ (\ displaystyle \ dfrac {5} {3} \) единиц 2

Площадь

Площадь области, ограниченной графиком функции, осью x и двумя вертикальными границами, может быть определена непосредственно путем вычисления определенного интеграла. Если f (x ) ≥ ​​0 на [ a, b ], то площадь ( A ) области, лежащей ниже графика f (x ), выше оси x и между строками x = a и x = b — это

Рисунок 1 Нахождение области под неотрицательной функцией.

Если f (x ) ≤ 0 на [ a, b ], то область ( A ) области, лежащей над графиком f (x ), ниже оси x , а между строками x = a и x = b равно

Рисунок 2 Нахождение области над отрицательной функцией.

Если f (x ) ≥ ​​0 на [ a, c ] и f (x ) ≤ 0 на [ c, b ], то площадь ( A ) области, ограниченной график f (x ), ось x и линии x = a и x = b будут определяться следующими определенными интегралами:

Рисунок 3 Область, ограниченная функцией, знак которой меняется.

Обратите внимание, что в этой ситуации необходимо определить все точки, в которых график f (x ) пересекает ось x и знак f (x ) на каждом соответствующем интервале.

Для некоторых задач, требующих области областей, ограниченных графиками двух или более функций, необходимо определить положение каждого графика относительно графиков других функций области. Возможно, потребуется найти точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования.Например, если f (x ) ≥ ​​ g ( x ) на [ a, b ], то площадь ( A ) области между графиками f (x ) и g ( x ), а строки x = a и x = b — это

Рисунок 4 Область между двумя функциями.

Обратите внимание, что аналогичное обсуждение может быть проведено для областей, определенных графиками функций y , оси y и линий y = a и y = b .

Пример 1: Найдите площадь области, ограниченной x = x 2 , осью x , x = –2 и x = 3.

Поскольку f (x ) ≥ ​​0 на [–2,3], площадь ( A ) равна

Пример 2: Найдите площадь области, ограниченной x = x 3 + x 2 -6 x и осью x .

Установив y = 0, чтобы определить, где график пересекает ось x , вы обнаружите, что

Поскольку f ( x ) ≥ ​​0 на [–3,0] и f ( x ) ≤ 0 на [0,2] (см. Рисунок 5), площадь ( A ) регион

Рисунок 5 Диаграмма для примера 2.

Пример 3: Найдите площадь, ограниченную x = x 2 и y = 8- x 2 .

Поскольку y = x 2 и y = 8- x 2 , вы обнаружите, что

, следовательно, кривые пересекаются в точках (–2,4) и (2,4). Поскольку 8 — x 2 x 2 на [–2,2] (см. Рисунок 6), площадь ( A ) области составляет

Рисунок 6 Диаграмма для примера 3.

6.1 Области между кривыми — Объем исчисления 1

Цели обучения

  • 6.1.1 Определите площадь области между двумя кривыми путем интегрирования по независимой переменной.
  • 6.1.2 Найдите площадь составной области.
  • 6.1.3 Определите площадь области между двумя кривыми путем интегрирования по зависимой переменной.

В разделе «Введение в интеграцию» мы разработали концепцию определенного интеграла для вычисления площади под кривой на заданном интервале. В этом разделе мы расширяем эту идею, чтобы вычислить площадь более сложных регионов.Мы начинаем с нахождения области между двумя кривыми, которые являются функциями x, x, начиная с простого случая, когда одно значение функции всегда больше другого. Затем мы рассмотрим случаи, когда графики функций пересекаются. Наконец, мы рассмотрим, как вычислить площадь между двумя кривыми, которые являются функциями y.y.

Площадь области между двумя кривыми

Пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) — непрерывные функции на интервале [a, b] [a, b] такие, что f (x) ≥g (x) f (x) ≥g (x) на [a, b].[а, б]. Мы хотим найти область между графиками функций, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 6.2 Область между графиками двух функций, f (x) f (x) и g (x), g (x), на интервале [a, b]. [A, b].

Как и раньше, мы собираемся разделить интервал по оси x и аппроксимировать область между графиками функций прямоугольниками. Итак, для i = 0,1,2,…, n, i = 0,1,2,…, n, пусть P = {xi} P = {xi} — регулярное разбиение [a, b]. [ а, б]. Тогда для i = 1,2,…, n, i = 1,2,…, n выберем точку xi * ∈ [xi − 1, xi], xi * ∈ [xi − 1, xi], и на каждый интервал [xi − 1, xi] [xi − 1, xi] строит прямоугольник, который простирается по вертикали от g (xi *) g (xi *) до f (xi *).f (xi *). На рисунке 6.3 (a) показаны прямоугольники, когда xi * xi * выбрано в качестве левой конечной точки интервала и n = 10.n = 10. На рис. 6.3 (b) подробно показан типичный прямоугольник.

Рис. 6.3 (a) Мы можем аппроксимировать область между графиками двух функций, f (x), f (x) и g (x), g (x), прямоугольниками. (b) Площадь типичного прямоугольника переходит от одной кривой к другой.

Высота каждого отдельного прямоугольника равна f (xi *) — g (xi *) f (xi *) — g (xi *), а ширина каждого прямоугольника — Δx.Δx. Сложив площади всех прямоугольников, мы видим, что площадь между кривыми приблизительно равна

.
A≈∑i = 1n [f (xi *) — g (xi *)] Δx.A≈∑i = 1n [f (xi *) — g (xi *)] Δx.

Это сумма Римана, поэтому мы берем предел при n → ∞n → ∞ и получаем

A = limn → ∞∑i = 1n [f (xi *) — g (xi *)] ∆x = ∫ab [f (x) −g (x)] dx.A = limn → ∞∑i = 1n [f (xi *) — g (xi *)] Δx = ab [f (x) −g (x)] dx.

Эти результаты резюмируются в следующей теореме.

Теорема 6.1

Нахождение площади между двумя кривыми

Пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) — непрерывные функции такие, что f (x) ≥g (x) f (x) ≥ g (x) на интервале [a, b]. [a, b]. Обозначим через RR область, ограниченную сверху графиком f (x), f (x), снизу графиком g (x), g (x), а слева и справа прямыми x = ax = a и x = b, x = b соответственно.Тогда площадь RR равна

.
A = ab [f (x) −g (x)] dx.A = ab [f (x) −g (x)] dx.

(6,1)

Мы применим эту теорему в следующем примере.

Пример 6.1

Определение площади области между двумя кривыми 1

Если R — это область, ограниченная сверху графиком функции f (x) = x + 4f (x) = x + 4 и ниже графиком функции g (x) = 3 − x2g (x) = 3 − x2 на интервале [1,4], [1,4], найти площадь области

RR

Решение

Регион показан на следующем рисунке.

Рис. 6.4 Показана область между двумя кривыми, где одна кривая всегда больше другой.

У нас

A = ab [f (x) −g (x)] dx = ∫14 [(x + 4) — (3 − x2)] dx = ∫14 [3×2 + 1] dx = [3×24 + x] | 14 = (16−74) = 574.A = ab [f (x) −g (x)] dx = ∫14 [(x + 4) — (3 − x2)] dx = ∫14 [3×2 + 1] dx = [3×24 + x] | 14 = (16−74) = 574.

Площадь области 574 единицы2,574 единицы2.

КПП 6.1

Если RR — область, ограниченная графиками функций f (x) = x2 + 5f (x) = x2 + 5 и g (x) = x + 12g (x) = x + 12 на интервале [1, 5], [1,5], найти площадь области R.Р.

В примере 6.1 мы определили интересующий интервал как часть постановки задачи. Однако довольно часто мы хотим определить интересующий нас интервал на основе того, где пересекаются графики двух функций. Это показано в следующем примере.

Пример 6.2

Определение площади области между двумя кривыми 2

Если RR — область, ограниченная сверху графиком функции f (x) = 9− (x / 2) 2f (x) = 9− (x / 2) 2, а снизу графиком функции g (x ) = 6 − x, g (x) = 6 − x, найти площадь области R.Р.

Решение

Регион показан на следующем рисунке.

Рисунок 6.5 На этом графике показана область под графиком f (x) f (x) и над графиком g (x) .g (x).

Сначала нам нужно вычислить, где пересекаются графики функций. Полагая f (x) = g (x), f (x) = g (x), получаем

f (x) = g (x) 9− (x2) 2 = 6 − x9 − x24 = 6 − x36 − x2 = 24−4xx2−4x − 12 = 0 (x − 6) (x + 2) = 0. f (x) = g (x) 9− (x2) 2 = 6 − x9 − x24 = 6 − x36 − x2 = 24−4xx2−4x − 12 = 0 (x − 6) (x + 2) = 0.

Графики функций пересекаются, когда x = 6x = 6 или x = −2, x = −2, поэтому мы хотим проинтегрировать от −2−2 до 6.6. Поскольку f (x) ≥g (x) f (x) ≥g (x) для −2≤x≤6, −2≤x≤6, получаем

A = ∫ab [f (x) −g (x)] dx = ∫ − 26 [9− (x2) 2− (6 − x)] dx = ∫ − 26 [3 − x24 + x] dx = [3x −x312 + x22] | −26 = 643.A = ab [f (x) −g (x)] dx = ∫ − 26 [9− (x2) 2− (6 − x)] dx = ∫ − 26 [3 − x24 + x] dx = [3x − x312 + x22] | −26 = 643.

Площадь области 64/364/3 шт. 2 .

КПП 6.2

Если R — область, ограниченная сверху графиком функции f (x) = xf (x) = x и снизу графиком функции g (x) = x4, g (x) = x4, найти площадь р-на р.Р.

Участки составных участков

До сих пор мы требовали f (x) ≥g (x) f (x) ≥g (x) на всем интересующем интервале, но что, если мы хотим посмотреть на области, ограниченные графиками функций, которые пересекают один Другой? В этом случае мы модифицируем только что разработанный процесс, используя функцию абсолютного значения.

Теорема 6.2

Нахождение площади области между пересекающимися кривыми

Пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) — непрерывные функции на интервале [a, b].[а, б]. Пусть RR обозначает область между графиками f (x) f (x) и g (x), g (x), и ограничена слева и справа линиями x = ax = a и x = b, x = b соответственно. Тогда площадь RR равна

.
A = ab | f (x) −g (x) | dx. A = ab | f (x) −g (x) | dx.

На практике применение этой теоремы требует, чтобы мы разбили интервал [a, b] [a, b] и вычислили несколько интегралов в зависимости от того, какое из значений функции больше в данной части интервала. Мы исследуем этот процесс на следующем примере.

Пример 6.3

Нахождение площади области, ограниченной пересекающимися функциями

Если R — это область между графиками функций f (x) = sinxf (x) = sinx и g (x) = cosxg (x) = cosx на интервале [0, π], [0, π ], найдите площадь региона

руб.

Решение

Регион показан на следующем рисунке.

Рис. 6.6 Область между двумя кривыми можно разбить на две подобласти.

Графики функций пересекаются в точке x = π / 4.х = π / 4. Для x∈ [0, π / 4], x∈ [0, π / 4], cosx≥sinx, cosx≥sinx, поэтому

| f (x) −g (x) | = | sinx − cosx | = cosx − sinx. | f (x) −g (x) | = | sinx − cosx | = cosx − sinx.

С другой стороны, для x∈ [π / 4, π], x∈ [π / 4, π], sinx≥cosx, sinx≥cosx, поэтому

| f (x) −g (x) | = | sinx − cosx | = sinx − cosx. | f (x) −g (x) | = | sinx − cosx | = sinx − cosx.

Затем

A = ∫ab | f (x) −g (x) | dx = ∫0π | sinx − cosx | dx = ∫0π / 4 (cosx − sinx) dx + ∫π / 4π (sinx − cosx) dx = [sinx + cosx] | 0π / 4 + [- cosx − sinx] | π / 4π = (2−1) + (1 + 2) = 22. A = ∫ab | f (x) −g (x) | dx = ∫ 0π | sinx − cosx | dx = ∫0π / 4 (cosx − sinx) dx + ∫π / 4π (sinx − cosx) dx = [sinx + cosx] | 0π / 4 + [- cosx − sinx] | π / 4π = (2−1) + (1 + 2) = 22.

Площадь области 2222 единицы 2 .

КПП 6.3

Если R — это область между графиками функций f (x) = sinxf (x) = sinx и g (x) = cosxg (x) = cosx на интервале [π / 2,2π], [π / 2,2π], найти площадь региона

руб.

Пример 6.4

Определение участка сложного района

Рассмотрим область, изображенную на рисунке 6.7. Найдите площадь

р.

Рис. 6.7 Для вычисления площади этой области требуются два интеграла.

Решение

Как и в примере 6.3, нам нужно разделить интервал на две части. Графики функций пересекаются при x = 1x = 1 (установите f (x) = g (x) f (x) = g (x) и решите для x ), поэтому мы вычисляем два отдельных интеграла: один по interval [0,1] [0,1] и один — на интервале [1,2]. [1,2].

В интервале [0,1], [0,1] область ограничена сверху f (x) = x2f (x) = x2 и ниже осью x , поэтому мы имеем

A1 = ∫01x2dx = x33 | 01 = 13.A1 = ∫01x2dx = x33 | 01 = 13.

На интервале [1,2], [1,2] область ограничена сверху g (x) = 2 − xg (x) = 2 − x и ниже осью x, осью x, поэтому у нас

A2 = ∫12 (2 − x) dx = [2x − x22] | 12 = 12. A2 = ∫12 (2 − x) dx = [2x − x22] | 12 = 12.

Складывая эти области вместе, получаем

А = А1 + А2 = 13 + 12 = 56. А = А1 + А2 = 13 + 12 = 56.

Площадь области 5/65/6 шт. 2 .

КПП 6.4

Рассмотрим регион, изображенный на следующем рисунке. Найдите площадь

р.

Регионы, определенные в соответствии с

и

В примере 6.4, нам нужно было вычислить два отдельных интеграла, чтобы вычислить площадь области. Однако есть другой подход, требующий только одного интеграла. Что, если мы будем рассматривать кривые как функции от y, y, а не как функции от x? X? Просмотрите Рисунок 6.7. Обратите внимание, что левый график, показанный красным, представлен функцией y = f (x) = x2.y = f (x) = x2. Мы могли бы так же легко решить это для xx и представить кривую функцией x = v (y) = y.x = v (y) = y. (Обратите внимание, что x = −yx = −y также является допустимым представлением функции y = f (x) = x2y = f (x) = x2 как функции от y.у. Однако, судя по графику, ясно, что нас интересует положительный квадратный корень.) Аналогично, правый график представлен функцией y = g (x) = 2 − x, y = g (x) = 2− x, но с таким же успехом может быть представлена ​​функцией x = u (y) = 2 − yx = u (y) = 2 − y. Когда графики представлены как функции от y, y, мы видим, что область ограничена слева графиком одной функции и справа графиком другой функции. Следовательно, если мы интегрируем по y, y, нам нужно вычислить только один интеграл.Давайте разработаем формулу для этого типа интеграции.

Пусть u (y) u (y) и v (y) v (y) — непрерывные функции на интервале [c, d] [c, d] такие, что u (y) ≥v (y) u (y) ≥v (y) для всех y∈ [c, d] .y∈ [c, d]. Мы хотим найти область между графиками функций, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 6.8 Мы можем найти область между графиками двух функций, u (y) u (y) и v (y) .v (y).

На этот раз мы собираемся разделить интервал по оси Y и использовать горизонтальные прямоугольники для аппроксимации области между функциями.Итак, для i = 0,1,2,…, n, i = 0,1,2,…, n, пусть Q = {yi} Q = {yi} — регулярное разбиение [c, d]. [ CD]. Тогда для i = 1,2,…, n, i = 1,2,…, n выберем точку yi * ∈ [yi − 1, yi], yi * ∈ [yi − 1, yi], затем над каждый интервал [yi − 1, yi] [yi − 1, yi] строит прямоугольник, который простирается по горизонтали от v (yi *) v (yi *) до u (yi *). u (yi *). На рисунке 6.9 (a) показаны прямоугольники, когда yi * yi * выбрано в качестве нижней конечной точки интервала и n = 10.n = 10. На рис. 6.9 (b) подробно показан типичный прямоугольник.

Рисунок 6.9 (a) Аппроксимация области между графиками двух функций u (y) u (y) и v (y), v (y) прямоугольниками.(б) Площадь типичного прямоугольника.

Высота каждого отдельного прямоугольника равна ΔyΔy, а ширина каждого прямоугольника равна u (yi *) — v (yi *). U (yi *) — v (yi *). Следовательно, площадь между кривыми составляет примерно

.
A≈∑i = 1n [u (yi *) — v (yi *)] Δy.A≈∑i = 1n [u (yi *) — v (yi *)] Δy.

Это сумма Римана, поэтому мы берем предел при n → ∞, n → ∞, получая

A = limn → ∞∑i = 1n [u (yi *) — v (yi *)] ∆y = ∫cd [u (y) −v (y)] dy.A = limn → ∞∑i = 1n [u (yi *) — v (yi *)] Δy = ∫cd [u (y) −v (y)] dy.

Эти результаты резюмируются в следующей теореме.

Теорема 6.3

Нахождение площади между двумя кривыми, интегрирование по оси

y

Пусть u (y) u (y) и v (y) v (y) — непрерывные функции такие, что u (y) ≥ v (y) u (y) ≥v (y) для всех y∈ [c, d] .y∈ [c, d]. Обозначим через RR область, ограниченную справа графиком u (y), u (y), слева графиком v (y), v (y), а сверху и снизу линиями y = dy = d и y = c, y = c соответственно. Тогда площадь RR равна

.
A = cd [u (y) −v (y)] dy.A = ∫cd [u (y) −v (y)] dy.

(6.2)

Пример 6.5

Интеграция в соответствии с

и

Давайте вернемся к примеру 6.4, только на этот раз давайте проинтегрируем по годам. Пусть RR будет областью, изображенной на рисунке 6.10. Найдите площадь RR, интегрировав по y.y.

Рисунок 6.10 Площадь области RR может быть вычислена с использованием одного интеграла, только если кривые рассматриваются как функции от y.y.

Решение

Сначала мы должны выразить графики как функции от y.у. Как мы видели в начале этого раздела, кривая слева может быть представлена ​​функцией x = v (y) = y, x = v (y) = y, а кривая справа может быть представлена ​​функцией функция x = u (y) = 2 − yx = u (y) = 2 − y.

Теперь нам нужно определить пределы интеграции. Область ограничена снизу осью x , поэтому нижний предел интегрирования равен y = 0.y = 0. Верхний предел интегрирования определяется точкой пересечения двух графиков, то есть точкой (1,1), (1,1), поэтому верхний предел интегрирования равен y = 1.у = 1. Таким образом, мы имеем [c, d] = [0,1]. [C, d] = [0,1].

Рассчитав площадь области, получаем

A = ∫cd [u (y) −v (y)] dy = ∫01 [(2 − y) −y] dy = [2y − y22−23y3 / 2] | 01 = 56.A = ∫cd [u (y) −v (y)] dy = ∫01 [(2 − y) −y] dy = [2y − y22−23y3 / 2] | 01 = 56.

Площадь области 5/65/6 шт. 2 .

КПП 6.5

Давайте вернемся к контрольной точке, связанной с примером 6.4, только на этот раз давайте проинтегрируем по y.y. Пусть RR будет областью, изображенной на следующем рисунке. Найдите площадь RR интегрированием по y.у.

Раздел 6.1. Упражнения

Для следующих упражнений определите площадь области между двумя кривыми на данном рисунке путем интегрирования по оси x. Оси x.

1.

y = x2−3andy = 1y = x2−3andy = 1

2.

y = x2andy = 3x + 4y = x2andy = 3x + 4

Для следующих упражнений разделите область между двумя кривыми на две меньшие области, а затем определите площадь путем интегрирования по оси x.x-оси. Обратите внимание, что вам нужно будет решить два интеграла.

3.

y = x3y = x3 и y = x2 + xy = x2 + x

4.

y = cosθy = cosθ и y = 0,5, y = 0,5, для 0≤θ≤π0≤θ≤π

Для следующих упражнений определите площадь области между двумя кривыми путем интегрирования по оси y. Оси y.

5.

x = y2andx = 9x = y2andx = 9

6.

y = xandx = y2y = xandx = y2

Для следующих упражнений нарисуйте уравнения и закрасьте область между кривыми. Определите его площадь, интегрировав по оси абсцисс.ось абсцисс.

7.

y = x2andy = −x2 + 18xy = x2andy = −x2 + 18x

8.

y = 1x, y = 1×2 и x = 3y = 1x, y = 1×2 и x = 3

9.

y = cosxy = cosx и y = cos2xy = cos2x на x = [- π, π] x = [- π, π]

10.

y = ex, y = e2x − 1 и x = 0y = ex, y = e2x − 1 и x = 0

11.

y = ex, y = e − x, x = −1andx = 1y = ex, y = e − x, x = −1andx = 1

12.

y = e, y = ex и y = e − xy = e, y = ex иy = e − x

Для следующих упражнений нарисуйте уравнения и закрасьте область между кривыми. При необходимости разбейте регион на подобласти, чтобы определить всю его площадь.

14.

y = sin (πx), y = 2x и x> 0y = sin (πx), y = 2x и x> 0

15.

y = 12 − x, y = x и y = 1y = 12 − x, y = x и y = 1

16.

y = sinxy = sinx и y = cosxy = cosx по x = [- π, π] x = [- π, π]

17.

y = x3andy = x2−2xy = x3andy = x2−2x по x = [- 1,1] x = [- 1,1]

18.

y = x2 + 9andy = 10 + 2xy = x2 + 9andy = 10 + 2x по x = [- 1,3] x = [- 1,3]

19.

y = x3 + 3xy = x3 + 3x и y = 4xy = 4x

Для следующих упражнений нарисуйте уравнения и закрасьте область между кривыми.Определите его площадь, интегрируя по оси y. Оси y.

20.

x = y3andx = 3y − 2x = y3andx = 3y − 2

21.

x = 2yandx = y3 − yx = 2yandx = y3 − y

22.

x = −3 + y2andx = y − y2x = −3 + y2andx = y − y2

24.

x = | y | и 2x = −y2 + 2x = | y | и 2x = −y2 + 2

25.

x = siny, x = cos (2y), y = π / 2 и y = −π / 2x = siny, x = cos (2y), y = π / 2 и y = −π / 2

Для следующих упражнений нарисуйте уравнения и закрасьте область между кривыми. Определите его площадь, интегрировав по оси x или y , в зависимости от того, что кажется более удобным.

27.

y = xex, y = ex, x = 0 и x = 1y = xex, y = ex, x = 0 и x = 1

29.

x = y3 + 2y2 + 1 и x = −y2 + 1x = y3 + 2y2 + 1 и x = −y2 + 1

30.

y = | x | andy = x2−1y = | x | andy = x2−1

31.

y = 4−3xandy = 1xy = 4−3xandy = 1x

32.

y = sinx, x = −π / 6, x = π / 6 и y = cos3xy = sinx, x = −π / 6, x = π / 6 иy = cos3x

33.

y = x2−3x + 2andy = x3−2×2 − x + 2y = x2−3x + 2andy = x3−2×2 − x + 2

34.

y = 2cos3 (3x), y = −1, x = π4 и x = −π4y = 2cos3 (3x), y = −1, x = π4 и x = −π4

35.

y + y3 = xand2y = xy + y3 = xand2y = x

36.

y = 1 − x2andy = x2−1y = 1 − x2andy = x2−1

37.

y = cos − 1x, y = sin − 1x, x = −1 и x = 1y = cos − 1x, y = sin − 1x, x = −1 и x = 1

Для следующих упражнений найдите точную площадь области, ограниченной данными уравнениями, если это возможно. Если вы не можете определить точки пересечения аналитически, воспользуйтесь калькулятором, чтобы аппроксимировать точки пересечения с тремя десятичными знаками и определить приблизительную площадь области.

38.

[T] x = eyandy = x − 2x = eyandy = x − 2

39.

[T] y = x2andy = 1 − x2y = x2andy = 1 − x2

40.

[T] y = 3×2 + 8x + 9and3y = x + 24y = 3×2 + 8x + 9and3y = x + 24

41.

[T] x = 4 − y2andy2 = 1 + x2x = 4 − y2andy2 = 1 + x2

42.

[T] x2 = y3andx = 3yx2 = y3andx = 3y

43.

[T] y = sin3x + 2, y = tanx, x = −1,5 и x = 1,5y = sin3x + 2, y = tanx, x = −1,5 и x = 1,5

44.

[T] y = 1 − x2andy2 = x2y = 1 − x2andy2 = x2

45.

[T] y = 1 − x2andy = x2 + 2x + 1y = 1 − x2andy = x2 + 2x + 1

46.

[T] x = 4 − y2andx = 1 + 3y + y2x = 4 − y2andx = 1 + 3y + y2

47.

[T] y = cosx, y = ex, x = −π и x = 0y = cosx, y = ex, x = −π и x = 0

48.

Самый большой треугольник с основанием на оси x, ось x, который входит в верхнюю половину единичной окружности y2 + x2 = 1y2 + x2 = 1, задается формулами y = 1 + xy = 1 + x и y = 1−. ху = 1 — х. См. Следующий рисунок. Какая площадь находится внутри полукруга, но вне треугольника?

49.

У фабрики по продаже сотовых телефонов функция предельных затрат C (x) = 0.01×2−3x + 229, C (x) = 0,01×2−3x + 229, где xx представляет количество сотовых телефонов, а функция предельного дохода определяется как R (x) = 429−2x.R (x) = 429− 2х. Найдите площадь между графиками этих кривых и x = 0.x = 0. Что представляет собой эта область?

50.

Парк развлечений имеет функцию предельных затрат C (x) = 1000e − x + 5, C (x) = 1000e − x + 5, где xx представляет количество проданных билетов, и функцию предельного дохода, задаваемую R (x ) = 60−0,1xR (x) = 60−0,1x. Найдите общую прибыль, полученную при продаже 550550 билетов.При необходимости используйте калькулятор для определения точек пересечения с точностью до двух знаков после запятой.

51.

Черепаха против зайца: скорость зайца задается синусоидальной функцией H (t) = 1 − cos ((πt) / 2) H (t) = 1 − cos ((πt) / 2), тогда как скорость черепахи равна T (t) = (1/2) tan − 1 (t / 4), T (t) = (1/2) tan − 1 (t / 4), где tt — время, измеряемое в часах. и скорость измеряется в милях в час. Найдите площадь между кривыми с момента времени t = 0t = 0 до первого момента по истечении одного часа, когда черепаха и заяц движутся с одинаковой скоростью.Что это собой представляет? При необходимости используйте калькулятор для определения точек пересечения с точностью до трех знаков после запятой.

52.

Черепаха против зайца: Скорость зайца задается синусоидальной функцией H (t) = (1/2) — (1/2) cos (2πt) H (t) = (1/2) — ( 1/2) cos (2πt), тогда как скорость черепахи равна T (t) = t, T (t) = t, где tt — время, измеряемое в часах, а скорость измеряется в километрах в час. Если гонка закончилась через 11 часов, кто и на сколько выиграл гонку? При необходимости используйте калькулятор для определения точек пересечения с точностью до трех знаков после запятой.

Для следующих упражнений найдите площадь между кривыми путем интегрирования по xx, а затем по y.y. Один метод проще другого? Вы получите такой же ответ?

53.

y = x2 + 2x + 1andy = −x2−3x + 4y = x2 + 2x + 1andy = −x2−3x + 4

55.

x = y2−2andx = 2yx = y2−2andx = 2y

Для следующих упражнений решите с помощью математического анализа, а затем проверьте свой ответ с помощью геометрии. 2 $.{1}

долл. США

Ставя лимиты, получаем,

$ = (1 + 1) — \ left (\ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {3} \ right)

$

$ = 2- \ dfrac {2} {3}

$

$ A = \ dfrac {4} {3}

$
Интеграция

: площадь и кривые

Интеграция и функция площади

Площадь между графиком функции y = f (x)
а ось x, начиная с x = 0, называется функцией площади A (x)

Пример

Найдите площадь под графиком y = 2x
между x = 2 и x = 4

Область между 2 и 4 можно описать как
область между x = 0 и x = 4 минус
область между x = 0 и x = 2

у = 2x

Определенные интегралы

Площадь графика y = f (x)
между x = a и x = b равно

Пример

Найдите заштрихованную область как определенный интеграл.

Площадь между кривой и осью Y

Иногда необходимо найти
область между функцией и
ось ординат.

Это дается как

Не всегда можно выразить функцию
y = f (x) через x = f (y).

Также может быть проще вычислить

и вычтите это как составную площадь.

Основная теорема исчисления

Примеры

Оценить

Оценить

Найдите положительное значение z: —

Области, ограниченные графиком и осью абсцисс.

При вычислении площади, заключенной между графиком и осью абсцисс: —

  • Всегда рисовать эскиз
  • Рассчитать площади выше и ниже оси x по отдельности
  • Игнорировать отрицательные знаки и добавить.

Пример
Вычислите площадь, заключенную на графике y = x + 2.
и ось x для -6 ​​≤ x ≤1

График отсекает ось абсцисс в точке (-2, 0)

Площадь ниже оси x =

Площадь над осью абсцисс =

Область между двумя графиками

Область между двумя графиками можно найти путем вычитания
область между нижним графиком и осью x от
область между верхним графиком и осью абсцисс.

Пример

Рассчитать область, заштрихованную между графиками
у = х + 2 и у = х 2
.

Графики пересекаются в точках (-1, 1) и (2,4).

Площадь между верхней кривой и осью абсцисс

Площадь между нижней кривой и осью абсцисс

Всего:

Формула для площади между двумя графиками

Пример

Рассчитайте затененную область между
параболы с уравнениями

y = 1 + 10x — 2x 2 и
у = 1 + 5х — х 2 .(Высшее 2002, стр. 2)

Определение площади (почти) любой закрытой области

Здравствуйте, ребята, Алекс здесь! Я подумал, что начну этот блог правильно, с одной из самых популярных (и головокружительных) задач, которые бросают моим студентам-математикам. Проблема выглядит примерно так:

Найдите площадь области, заключенную между линиями \ (y = 2x \), \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \). Вы должны использовать исчисление, иначе вы не получите никаких кредитов!

Ух ты.Сильные слова от парня с зачетной книжкой. Хорошо, надеюсь, вы уже видели проблемы, которые запрашивают область между и двумя функциями . Если нет, достаньте учебник;). Задачи с двумя функциональными областями решаются путем интеграции разницы между функциями «сверху» и «снизу», например:

Но подождите минутку! Наша проблема заключается в том, чтобы дать нам ТРИ функции, а не две. Как, во имя Бибера, мы можем применить приведенную выше формулу к области, заключенной между тремя функциями?

Расскажу как.Мы собираемся найти способ, как разложить , или разбить эту сложную проблему на несколько более мелких и простых задач. Кстати, умение разбирать проблемы — это причина, по которой вы должны заниматься расчетом по своей специальности — даже если вы никогда больше не увидите другого интеграла за всю свою жизнь. Исчисление — отличный способ научиться более общим навыкам решения проблем, математике или другим предметам.

Хорошо, вернемся к нашей проблеме. Я повторю это здесь, так как я довольно много бродил с тех пор, как впервые заявил об этом:

Найдите площадь области, заключенную между линиями \ (y = 2x \), \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \).Вы должны использовать исчисление, иначе вы не получите никаких кредитов!

Во-первых, я хочу, чтобы вы изобразили линии на одних и тех же осях. Я также хочу, чтобы вы пометили линии соответствующими уравнениями. Попробуйте сделать это самостоятельно, прежде чем смотреть на мой график. ПОДСКАЗКА: вы можете построить график любой линии, выбрав два разных значения \ (x \), подставив их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения \ (y \), нанеся эти две точки и проведя через них прямую линию. .

Глядя на это изображение, неясно, какая функция является «верхней», а какая «нижней» функцией.Ну, строка \ (y = 2 \) выглядит как верхняя функция, а \ (y = 2x \) выглядит как нижняя функция, но как насчет \ (y = 3x \)? Это сверху, снизу или где-то еще?

Ответ состоит в том, что \ (y = 3x \) также находится наверху. Иногда бывает. На самом деле, это зависит от того, на какую часть треугольника мы смотрим. Если мы разрежем эту область в точке пересечения \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \), то часть, которая находится слева от разреза, будет ограничена сверху \ (y = 3x \). Часть справа от разреза ограничена сверху \ (y = 2 \).Позвольте мне показать вам, что я имею в виду:

Я нарисовал пунктирную линию, чтобы показать, где я вырезал область. Если вы посмотрите на каждую деталь по отдельности, вы увидите, что теперь каждая из них имеет различные функции «вверху» и «внизу». Это горячо. Теперь нам просто нужно использовать формулу, чтобы найти площадь каждой части, а затем сложить их вместе, чтобы получить окончательный ответ.

Хорошо, значит, кусок слева от пунктирной линии ограничен сверху \ (y = 3x \), а снизу — \ (y = 2x \). Это дает нам этот интеграл:

Фрагмент справа от пунктирной линии ограничен сверху \ (y = 2 \), а снизу — \ (y = 2x \).Это дает нам интеграл:

Отлично! Мы готовы к интеграции, верно? Держи это, партнер. Формула площади требует определенного интеграла , а это означает, что нам нужны пределы интегрирования (также известные как «границы»). Что ж, помните, что наши границы — это просто значения \ (x \), которые говорят нам, где область начинается и заканчивается. Чтобы найти их, давайте еще раз посмотрим на график:

Если посмотреть вдоль оси x, левая часть начинается с 0 и заканчивается пунктирной линией.Вы можете спросить, каково значение x у пунктирной линии? Обратите внимание, что он проходит через точку пересечения \ (y = 3x \) и \ (y = 2 \). Чтобы найти значение x этой точки, мы просто устанавливаем эти два уравнения равными друг другу, например:

Правая часть начинается с пунктирной линии (которая, как мы только что обнаружили, находится в \ (x = \ frac {2} {3} \)) и заканчивается цифрой 1. Почему 1? Потому что здесь пересекаются верхняя и нижняя функции , таким образом закрывая область. Мы можем показать это математически, установив уравнения верхней и нижней функций равными друг другу:

Хорошо, теперь у нас есть границы (от 0 до \ (\ frac {2} {3} \) для левой области и от \ (\ frac {2} {3} \) до 1 для правой области), мы готовы установить и решить наши определенные интегралы.Для левой части получаем:

Для правой части получаем:

Чтобы получить площадь всего региона, мы просто складываем площади отдельных частей:

Вот и все. Не так уж и плохо, правда? Как я сказал ранее, эта проблема — отличный пример того, почему мы заставляем студентов, изучающих бизнес и биологию, заниматься математическим анализом. Конечно, вам, вероятно, никогда не придется искать область ограниченного региона, когда вы обедаете с Гордоном Гекко или лечите рак, но он учит, как решать сложные проблемы, разбивая их на более простые части.И каждый рано или поздно сталкивается с трудной проблемой в жизни.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.