Вычислить площадь плоской области d ограниченной заданными линиями онлайн: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Содержание

Вычисление площадей фигур, ограниченных заданными линиями

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃаb f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл  ʃаb f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃаb f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃаb f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃаb f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х3,
{у = 1.

Таким образом, имеем х1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = SDACE – SDABE = ʃ12 x3 dx – 1 = x4/4|12 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃаb(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫49 (√x – 2)dx = ∫4√x dx –∫49 2dx = 2/3 x√х|4– 2х|4= (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции уmin = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х3 – 4х = 0 или х(х2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х1 = 0, х2 = 2, х3 = -2 (не подходит, т. к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ02 (x3 – 4x)dx|.

Имеем: ʃ02 (x3 – 4х)dx =(x4/4 – 4х2/2)|02= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х2 – 2х + 1, прямыми  х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х0 = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х0 = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у0 = 2 · 22 – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Гу =  2х2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

xb = -b/2a;

xb = 2/4 = 1/2;

yb = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: SОAВD = SOABC – SADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле SADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

SADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

SOABC = ʃ02(2x2 – 2х + 1)dx = (2x3/3 – 2х2/2 + х)|02 = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: SОAВD = SOABC – SADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла Геометрический смысл определенного интеграла

Если непрерывная кривая задана в
прямоугольных координатах уравнением

 

, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой
кривой, двумя вертикалями в точках

 и

, и отрезком оси абсцисс

 определяется
формулой:



То есть определенному интегралу
(если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

На основании геометрического смысла
определенного интеграла покоится целый класс задач на нахождение площадей
фигур, ограниченных линиями.

В более общем случае, если площадь

 ограничена
непрерывными кривыми

 и

 и двумя
вертикалями

 и

, где

 при

, то будем иметь:



Если кривая задана уравнениями в
параметрической форме

,

, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой
кривой, двумя вертикалями, соответствующими

 и

, и отрезком оси

, выражается интегралом:


где

 и

 определяются из
уравнений:





 на отрезке

 

Если непрерывная кривая задана в
полярных координатах уравнением

, то площадь сектора

, ограниченного дугой кривой и двумя полярными
радиусами

 и

, соответствующими значениям

 и

, выразится интегралом



Задача 1

Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями;


Решение

Сделаем
чертеж:


Искомую
площадь можно найти по формуле:




В этом примере для вычисления неопределенного интеграла используется
непосредственное табличное интегрирование

Ответ:

Задача 2

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды




и осью

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Площадь
криволинейной трапеции, заданной параметрически, выражается интегралом:

Ответ:

Задача 3

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой

Решение

Сделаем
чертеж:


Площадь
фигуры, заданной в полярных координатах:


Найдем
площадь одного лепестка. В этом случае:



Искомая
площадь трехлепестковой розы:


Ответ:

Вычисление площади фигуры в полярных координатах

В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями y=f(x), x=g(y) в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур.

Краткий обзор статьи

  • Начнем с определения понятия криволинейного сектора, получим формулу для вычисления его площади. Для этого мы используем понятие определенного интеграла Дарбу.
  • Подробно разберем решения задач с использованием таких кривых как кардиоида, архимедова спираль и лемниската Бернулли.
  • В отдельную подтему мы выделили нахождение площади фигуры, которая представлена как разность двух криволинейных секторов.

Полярная система координат и криволинейный сектор

Определение 1

Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ0 и полярный радиус r0≥0. Полярный угол φ0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r0 — это расстояние от заданной точки до начала координат.

На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ0=3π4 и расстоянием до полюса r0=4.

Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью. 

Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r=x2+y2φ=arctgyx, x≠0 и обратно x=r·cosφy=r·sinφ.

Координаты красной точки на чертеже 23; 2. Положение этой точки задается углом φ0=arctg223=π6 и расстоянием r0=232+22=4.

В полярной системе координат равенство φ=α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ=0. Равенство r=C>0 задает окружность с центром в начале координат, где  — это радиус.

Функция r=p(φ), φ∈α; β определяет некоторую линию в полярных координатах.

Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r=p(φ), φ∈α; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ=φ0∈α; β. Однако мы будем встречать и отрицательные значенияr=p(φ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

Дадим определение криволинейному сектору.

Определение 2

Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ=α, φ=β и некоторой линией  r=p(φ)≥0, непрерывной на участке α; β.

На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ=-π6, φ=π6, которые не являются ее границами.

Площадь криволинейного сектора — вывод формулы

Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: Sкругового сектора=γ·R22. Задаем внутренний угол γ в радианах.

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами 

φ=φ1, φ=φ2,…, φ=φn-1, что α=φ0<φ1<φ2<…<φn-1<β и λ=maxi=1, 2,…, nφi-φi-1→0 при n→+∞.

Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S(G) как сумму площадей секторов S(Gi) на каждом из участков разбиения:

S(G)=∑i=1nS(Gi)

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r=p(φ) на i-ом отрезке φi-1; φi, i=1, 2,…, n как Rmini и Rmaxi . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора Pi и Qi с максимальным и минимальным радиусами Rmini и Rmaxi соответственно.

Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Qi, i=1, 2,…, n; Pi, i=1, 2,…, n , обозначим как P и Q соответственно.

Их площади будут равны S(P)=∑i=1nS(Pi)=∑i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1 и S(Q)=∑i=1nS(Qi)=∑i=1n12(Rmaxi)2·φi-φi-1, причем S(P)≤S(G)≤S(Q).

Так как функция r=pφ непрерывна на отрезке α; β, то функция 12p2φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S(P) и S(Q) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

limλ→0S(P)=limλ→0S(Q)=S(G)⇒S(G)=limλ→0∑ i=1n12(Rmini)2·φi-φi-1==limλ→0∑ i=1n12(Rmaxi)·φi-φi-1=12∫βαp2φdφ

Определение 3

Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид:

S(G)=12∫βαp2φdφ

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

Пример 1

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r=2sin2φи лучами φ=π6, φ=π3.

Решение

Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r=2sin(2φ)положительна и непрерывна на отрезке φ∈π6, π3.

Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.

S(G)=12∫π6π3(2sin(2φ)2dφ=∫π6π32(sin(2φ)2dφ=∫π6π32·1-cos4φ2dφ=∫π6π3(1-cos(4φ))dφ=φ-14sin(4φ)π6π3==π3-14sin4π3-π6-14sin4π6=π6+34

Ответ: S(G)=π6+34

Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ=φ1, φ=φ2, ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r=p(φ). В этих случаях применить формулу S(G)=12∫αβp2(φ)dφ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p(φ)≥0  для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r=pφ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться  только на область определения и период функции.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r=-3·cos3φ.

Решение

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство -3·cos3φ≥0:

-3·cos3φ≥0⇔cos3φ≤0⇔cos φ≤0⇔⇔π2+2πk≤φ≤3π2+2πk, k∈Z

Построим функцию в полярных координатах на отрезке φ∈π2; 3π2 (при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π2+2πk и 3π2+2πk соответственно для любого целого значения k.

S(G)=12∫π23π2(-3·cos3φ)dφ=92∫π23π2cos6φdφ

Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), где Kn(x)=∫cosn(x)dx.

∫cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+56∫cos4φdφ==sin φ·cos5φ6+56sin φ·cos3φ4+34cos2φdφ==sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+1524sin φ·cos φ2+12∫cos0φdφ==∫π23π2cos6φdφ=sin φ·cos5φ6+5sin φ·cos3φ24+15sin φ·cos φ48+15φ48π23π2==1548·3π2-1548·π2=5π16

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S(G)=92∫π23π2cos6φdφ=92·5π16=45π32.

Ответ: S(G)=45π32

В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

Пример 3

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r=3·cos(3φ).

Решение

Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.

cos(3φ)≥0⇔-π2+2πk≤3φ≤π2+2πk, k∈Z-π6+2π3k≤φ≤π6+2π3k, k∈Z

Таким образом, период функции r=3·cos3φ равен 2π3. Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.

Построим фигуру на графике.

Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φ∈π2; 5π6(при k=1):

12∫π25π69cos(3φ)dφ=12·3sin(3φ)π25π6=32sin3·5π6-sin3·π2=32(1-(-1)=3

Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Определение 4

Лемниската Бернулли задается уравнением r=α·cos2φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при -π4+π·k≤φ≤π4+π·k, k∈Z.

Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

Для вычисления площади используем нужную формулу:

S(G)=2·12∫-π4π4a2cos(2φ)2φ=a22(sin(2φ))-π4π4==a22sin2·π4-sin2·-π4=a2

Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a.

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r=2a(1+cosφ). В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2π. Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число,  а верхним, то, которое на 2π больше нижнего.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=2a(1+cosφ), для φ∈0; 2π:

S(G)=12∫02π(2a(1+cosφ))2dφ=2a2∫02π(1+2cosφ+cos2φ)dφ==2a2∫02π1+2cosφ+1+cos2φ2dφ==2a2∫02π32+2cosφ+cos(2φ)2dφ==2a232φ+2sin φ+14sin2φ02π=6π·a2

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r=b+2a·cosφ. В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при  b=2a.

Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда  функцию r неотрицательная.

При b<-2a функция r=b+2a·cosφ будет отрицательной для любого значения угла φ.

При b=-2a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

При -2a< b< 0 функция r=b+2a·cosφ неотрицательна для φ∈-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, k∈Z.

При 0<b<2a функция r=b+2a·cosφ неотрицательна для φ∈-arccos-b2a+2πk; arccos-b2a+2πk, k∈Z. Она ограничивает фигуру, которая по конфигурации напоминает кардиоиду.

При b>2a функция r=b+2a·cosφ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b.

Пример 4

Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r=-3+6cosφ и r=5+4cosφ в полярной системе координат.

Решение

Формула r=-3+6cosφ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..

Функция r=-3+6cosφ определена для всех значений угла φ. Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:

-3+6cosφ≥0⇔cosφ≥12⇔-π3+2πk≤φ≤π3+2πk, k∈Z

Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля: 

S(G)=12∫-π3π3(-3+6cosφ)2dφ=92∫-π3π3(1-4cosφ+4cos2φ)dφ==92∫-π3π31-4cosφ+4·1+cos2φ2dφ==92∫-π3π3(3-4cosφ+2cos(2φ))dφ=92·3φ-4sinφ+sin(2φ-π3π3==92·3·π3-4sinπ3+sin2π3-3·-π3-4sin-π3+sin-2π3==92·2π-33

Улитка Паскаля, определяемая формулой r=5+4cosφ, соответствует пятому пункту. Функция r=5+4cosφ определена и положительна для всех действительных значений φ. Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:

S(G)=12∫02π(5+4cosφ)2dφ=12∫02π(25+40cosφ+16cos2φ)dφ==12∫02π25+40cosφ+16·1+cos(2φ)2dφ==12∫02π(33+40cosφ+8cos(2φ))dφ=12·33φ+40sinφ+4sin(2φ02π==12·33·2π+40sin(2π+4sin(4π)-33·0+40sin 0+4sin 0=33π

Ответ: S(G)=33π

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r=αφ, α>0, а вторая первым витком логарифмической спирали r=αφ, α>1.

Решение

Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

S(G)=12∫02π(αφ)2dϕ=α22∫02πφ2dφ=α22·φ3302π=4α3π33

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

S(G)=12∫02π(αϕ)2dϕ=12∫02πa2φdφ=14ln a·a2φ02π==14ln a·a4π-1

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ=α, φ=β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ∈α; β функциями r=p1(φ) и r=p2(φ), причем p1(φ)≤p2(φ) для любого угла φ=φ0∈α; β.

Находим площадь фигуры по формуле S(G)=12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ.

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G2 и G1.

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

S(G)=S(G2)-S(G1)=12∫αβp22(φ)dφ-12∫αβp12(φ)dφ==12∫αβp22(φ)-p12(φ)dφ

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Пример 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ=0, φ=π3, r=32, r=12φв полярной системе координат.

Решение

Построим заданную фигуру на графике.

Очевидно, что r=32 больше r=12φ для любого φ∈0; π3. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

S(G)=12∫0π3322-12φ2dφ=12∫0π394-2-2φdφ==12·94φ+12·2-2φln 20π3=12·94φ+1ln 2·122φ+10π3==12·94·π3+1ln 2·122·π3+1-94·0+1ln 2·122·0+1==12·3π4+2-2π3-12·ln 2

Ответ: S(G)=12·3π4+2-2π3-12·ln 2

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

Пример 7

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y=13x, x=3x, окружностями (x-2)2+(y-3)2=13, (x-4)2+(y-3)2=25.

Решение

В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

x=r·cosφy=r·sinφ⇒y=13x⇔r·sinφ=r·cosφ3⇔tgφ=13⇔φ=π6+πky=3x⇔r·sinφ=3·r·cosφ⇔tgφ=3⇔φ=π3+πk(x-2)2+(y-3)2=13⇔x2+y2=4x+6y⇔r=4cosφ+6sinφ(x-4)2+(y-3)2=25⇔x2+y2=8x+6y⇔r=8cosφ+6sinφ

Функция r=8cosφ+6sinφ больше r=4cosφ+6sinφ для любого φ∈π6; π3. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

S(G)=12∫π6π38cosφ+6sinφ2-4cosφ+6sinφ2dφ==12∫π6π3(48cos2φ+48cosφ·sinφ)dφ==24∫π6π3cos2φdφ+24∫π6π3cosφ·sinφdφ==12∫π6π3(1+cos2φ)dφ+24∫π6π3sinφd(sinφ)==12·φ+12sin(2φ)π6π3+12·sin2φπ6π3==12·π3+12sin2π3-π6+12sin2π6+12·sin2π3-sin2π6==12·π6+12·322-122=2π+6

Ответ: S(G)=2π+6

Двойной интеграл. 2}{6}\) .


2012-12-05 • Просмотров [ 20022 ]

Методические материалы к ПР Решение задач на приложения двойных интегралов

Практическая работа №20

Тема: «Решение задач на приложения двойных интегралов»

  1. Формируемые профессиональные и общие компетенции:

ОК 1: Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2: Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3: Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4: Осуществлять поиск информации, для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного роста.

ОК 5: Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 8: Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

  1. Знания: понятие функции двух переменных, предел функции двух переменных, определенный интеграл и его свойства, таблица неопределенных интегралов, свойства двойных интегралов, двукратный интеграл;

Умения: Находить двойные интегралы сведением его к повторному (двукратному) интегралу.

  1. Методические рекомендации:

Понятие двойного интеграла.

Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана непрерывная функция z=(х, у) (рис.1).

Рис.1

Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей с площадями S1, ∆S2, ∆S3, …∆Sn и в каждой из них произвольно выберем по одной точке Mi(xi,yi). Умножим значение функции в этой точке f(xi,yi) на площадь Si соответствующей области и составим сумму этих произведений, т. е. , которая называется интегральной суммой функции (х, у) в области D.

Двойным интегралом функции f(x, у) по области D называется предел этой суммы:

где d – наибольший из диаметров элементарных областей Si . Функция z=(х, у), для которой предел (1) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.

В прямоугольных координатах дифференциал площади равен dS = dxdy, тогда двойной интеграл примет вид

Если f(x,y)>0, то двойной интеграл функции z= f(x, у) по области D равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит контур фигуры D, и снизу плоскостью z=0 (рис. 1).

Основные свойства двойного интеграла.

. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3°. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т. е. если область D состоит из двух областей D1 и D2, то

Понятие повторного (двукратного) интеграла.

1) Если область D, в которой рассматривается двойной интеграл , есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями х=а, x=b (, у = с, y=d (рис. 2), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул

Рис.2

переменной y.

Если нижняя или верхняя линии границы состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси Оу, на такие части, чтобы каждый из участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных интегралов.

Пример 1.

Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной линиями y=x, y=4x, y= .

Решение:

Находим точки пересечения этих линий (рис.5):

Рис.5

Область D разобьем на две области D1 и D2, которые соответственно определяются системами неравенств

Вычислим двойной интеграл по области D1:

Вычислим двойной интеграл по области D2:

Значит,

Приложения двойного интеграла

Двойной интеграл применяется для вычисления:

а) Объема тела

Объем цилиндрического тела находится по формуле

где — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху;

б) Площади плоской фигуры

Формула для вычисления площади S области D

в) Массы плоской фигуры

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле

г) Статических моментов плоской фигуры

Статические моменты плоской фигуры D относительно осей Ox и Oy вычисляются соответственно по формулам

д) Координат центра тяжести плоской фигуры.

Координаты центра масс фигуры вычисляются по формулам

Используемая литература:

Конспект лекций по высшей математике: полный курс/- Д.Т.Письменный – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.-608с.

Практическая работа №20

Дисциплина: «Элементы высшей математики» 2 курс 3 семестр

Тема: «Решение задач на приложения двойных интегралов»

ВАРИАНТ 1

1) Вычислить площадь области, ограниченной линиями .

2) Найти массу фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры равна произведению координат точки.

ВАРИАНТ 2

1)Вычислить площадь области, ограниченной линиями .

2) Найти массу круглой пластинки радиуса 10 , если плотность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна 5 на краю пластинки

ВАРИАНТ 3

1)Вычислить площадь области, ограниченной линиями

2)Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами ОВ=3, OA=4, если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА

ВАРИАНТ 4

1) Вычислить площадь области, ограниченной линиями

x+2y=2, y=0.

2)Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной линиями и

Площадь фигуры ограниченной линиями с примерами решения

 

Расчет площади фигуры является, пожалуй, одной из самых сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить области базовых геометрических фигур, таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т. д. Однако часто приходится иметь дело с вычислением площадей более сложных форм. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Пример 1.

Найти площадьфигуры,офаниченной линиями Построить чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения параболы и прямой. Приравняем правые части уравнений, задающих функции, и решим полученное уравнение

Фигура, площадь которой нужно найти, изображена на рисунке. Используя приведенную формулу, получим

Ответ: площадь фигуры равна 13,5 кв. ед.

Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат

Пусть плоская фигура ограничена линией и лучами

тогда ее площадь можно найти по формуле

Если же фигура ограничена линиями и лучами как на рисунке, то площадь фигуры равна

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат уравнением

Решение:

Ответ: площадь данной фигуры 9,5л кв. ед.

Пример З.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат

Решение:

Фигура, площадь которой требуется найти, показана на рисунке.

Найдем точки пересечения окружности и кардиоиды. Решая совместно данные уравнения, получим точки

По рисунку видно, что фигура симметрична. Вычислим площадь половины фигуры, учитывая, что она в свою очередь разделена на части и (см. рисунок).

Ответ: площадь фигуры

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 4.3.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Из чертежа (см. рис. 7) видно, что искомая площадь криволинейного треугольника равна разности двух площадей: каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла. Решая систему

получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (2;4)

Тогда Окончательно,

Данная задача может быть также решена другим способом. По определению определенного интеграла

Если на то интеграл численно равен площади

криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми

Другими словами, в данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось ординат). Теперь возвращаясь к задаче нашего примера, можем записать:

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрическими уравнениями

прямыми и и отрезком оси то ее площадь вычисляется по формуле где и определяются из равенства

Пример 4.

5.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и

Решение:

Решая систему уравнений, находим абсциссы точек пересечения эллипса и параболы Каждое из уравнений разрешаем относительно и учетом симметрии области получаем:

Для вычисления первого интеграла применяем подстановку

Второй интеграл вычисляется непосредственно.

Ответ:

Пример 4.6

Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом

Решение:

В силу симметричности эллипса относительно координатных осей вычислим часть области, лежащей в первой четверти, кода и следовательно По формуле а) вычисления площади находим

Пример 4.7

Вычислить площадь области, ограниченной лемнискатой

Решение:

Принимая во внимание симметрию линии относительно полярной оси, получаем:

Пример 4.8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми и кривыми

Решение:

Так как максимум функции достигается в точке и равен а функция на отрезке то

Пример 4.

9

Вычислить площадь фигуры, лежащей в первом квадранте, ограниченной линиями и осью

Решение:

Функция

составной график которой ограничивает трапецию сверху, является непрерывной на промежутке

Площадь криволинейной трапеции равна

Пример 5.0

Найти площадь астроиды

Решение:

Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде

Здесь удобнее вычислить сначала Отсюда

Исчисление I — Формулы площади и объема

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-6: Формулы площади и объема

В этом разделе мы выведем формулы, используемые для определения площади между двумя кривыми и объема тела вращения.

Площадь между двумя кривыми

Начнем с формулы для определения площади между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{ яркий]\). Мы также будем предполагать, что \ (f \ left (x \ right) \ ge g \ left (x \ right) \) на \ (\ left [{a, b} \ right] \).

Теперь мы продолжим действовать так же, как когда мы рассматривали проблему площади в главе «Интегралы». * \), и затем мы можем использовать прямоугольники на каждом интервале следующим образом.{{\, b}} {{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right) \, dx}} \]

Формула выше будет работать при условии, что две функции имеют вид \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \). Однако не все функции имеют такую ​​форму.

Иногда нам приходится работать с функциями в виде между \ (x = f \ left (y \ right) \) и \ (x = g \ left (y \ right) \) на интервале \ (\ left [{c, d} \ right] \) (интервал значений \ (y \)…). Когда это происходит, вывод идентичен.{{\, d}} {{f \ left (y \ right) — g \ left (y \ right) \, dy}} \]

Итак, независимо от формы, в которой находятся функции, мы используем в основном одну и ту же формулу.

Объемы для Solid of Revolution

Прежде чем вывести формулу для этого, мы, вероятно, должны сначала определить, что такое твердое тело революции. Чтобы получить твердое тело вращения, мы начинаем с функции \ (y = f \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a, b} \ right] \). * \).{{\, b}} {{A \ left (x \ right) \, dx}} \ end {align *} \]

Итак, в этом случае объем будет интегралом площади поперечного сечения при любых \ (x \), \ (A \ left (x \ right) \). Также обратите внимание, что в этом случае площадь поперечного сечения представляет собой круг, и мы могли бы пойти дальше и получить формулу для этого. Однако приведенная выше формула является более общей и будет работать для любого способа получения поперечного сечения, поэтому мы оставим все как есть.

В тех разделах, где мы фактически используем эту формулу, мы также увидим, что есть способы создания поперечного сечения, которые фактически дают площадь поперечного сечения, которая является функцией \ (y \) вместо \ (x \).{{\, d}} {{A \ left (y \ right) \, dy}} \]

Двойные повторные интегралы для вычисления площадей областей на плоскости

Вот как вычислить площади с помощью двукратных интегралов. Мы увидим, как рассчитать площади в зависимости от выбранного порядка интеграции, с пошаговыми решениями упражнений.

.

Поехали!

Вычисляет площади с двукратным повторением интегралов с порядком интегрирования dy.dx

Рассмотрим плоскую область R, ограниченную:

Которая представлена ​​графически:

Эта область R состоит из бесконечных прямоугольников dx, представленных в виде вертикального прямоугольника:

Этот вертикальный прямоугольник dx имеет две очень важные характеристики:

    1. Перемещается по горизонтали между пределами x a и b.
    2. В зависимости от положения его высота изменяется, адаптируясь к функциям g2 (x) и g1 (x), всегда оставаясь в пределах обеих функций, поэтому его высота ограничена сверху функцией выше g2 (x) и ниже функцией ниже g1 ( Икс).

Следовательно, с помощью этого прямоугольника мы можем вывести пределы интегрирования для переменной x, которые представляют собой два предела, между которыми прямоугольник может перемещаться по горизонтали, поэтому площадь этой области задается определенным интегралом:

С другой стороны, мы можем переписать интегрирующий g2 (x) -g1 (x) как новый определенный интеграл, но интегрированный для переменной «y».

Посмотрим, как это сделать.

Пределы этого интеграла определяются высотой прямоугольника dx, то есть между функциями g2 (x) и g1 (x) и будучи переменной интегрирования «y», дифференциал в этом случае равен dy:

Мы решаем этот интеграл, используя правило Барроу, и он подходит:

Следовательно, заменив в интеграле, определенном выше, подынтегральное выражение g2 (x) -g1 (x) на интеграл по «y», площадь области R может быть выражена как повторный интеграл:

Вертикальный прямоугольник означает порядок интегрирования dy.dx.

Вычисляет площади с двукратным повторением интегралов с порядком интегрирования dx.dy

Аналогичным образом мы можем вычислить площадь области, изменив порядок интегрирования на dy.dx.

В этом случае область R ограничена:

Обратите внимание, что теперь функции, среди которых ограничена переменная x, зависят от «y».

Как и раньше, эта область R состоит из бесконечных прямоугольников, но на этот раз прямоугольники горизонтальны и соответствуют dy. Следовательно, dy представляется в виде горизонтального прямоугольника:

Этот горизонтальный прямоугольник dy имеет две очень важные характеристики:

    1. Перемещается по вертикали между пределами «y» c и d.
    2. В зависимости от положения его длина изменяется, адаптируясь к функциям h3 (y) и h2 (y), всегда оставаясь в пределах обеих функций, поэтому его длина ограничена сверху функцией h3 (y), а ниже — функцией h2 (y ).

.

Следовательно, с помощью этого прямоугольника мы можем вывести пределы интегрирования для переменной и, которые являются двумя пределами, между которыми прямоугольник может перемещаться по вертикали.

Пределы интегрирования для переменной x определяются длиной прямоугольника, то есть обеими функциями.

В этом случае площадь области R может быть выражена повторным интегралом:

Горизонтальный прямоугольник, подразумевает порядок интегрирования dx.dy . .

Двойные повторные интегралы для вычисления площади

Таким образом, если мы хотим вычислить значение площади области на плоскости с помощью повторного интеграла, это будет равно:

1- Если R определяется по:

, где g1 и g2 непрерывны в [a, b], тогда площадь R будет:

2- Если R определяется по:

, где h2 и h3 непрерывны в [c, d], тогда площадь R будет:

Как узнать, какой повторный интеграл использовать для вычисления площадей?

Когда функции, между которыми определяется область, задаются как функция от x, прямоугольник, представляющий область, будет вертикальным и, следовательно, порядок интегрирования будет dy.dx.

С другой стороны, если функции заданы как функция «y», репрезентативный прямоугольник будет горизонтальным, а порядок интегрирования будет dy.dx.

Однако мы можем изменить порядок интегрирования, изменив границы области.

Для каждой конкретной задачи один из двух заказов упростит расчеты. Выбранный порядок интегрирования влияет на сложность вычислений, но не на результат. В каждом случае выбирается наиболее удобный порядок интеграции.

Давай посмотрим на него, чтобы он сделал несколько определенных упражнений.

Разрешенные упражнения по вычислению площадей с двукратными повторениями интегралов

Задача решена 1

Вычислите площадь, ограниченную этими двумя функциями, с помощью двойного итерационного интеграла:

Поскольку функции определены в функции x, мы собираемся использовать порядок интегрирования dy.dx

Прежде всего, мы собираемся вычислить точки отсечения этих двух функций, так как точки отсечения будут пределами интегрирования переменной x, то есть пределами, между которыми вертикальный прямоугольник dx перемещается по горизонтали.

Чтобы найти точки отсечения, мы сопоставляем две функции:

У нас осталось уравнение второй степени, поэтому мы передаем все члены одному члену и равняемся нулю:

Упрощаем термины:

И решаем уравнение. Решения:

Итак, пределы для dx равны -2 и 1. Мы всегда помещаем в нижний предел наименьшее число, а в верхний предел — наивысший предел.

Пределы для переменной «y» определяются высотой прямоугольника, который перемещается между двумя функциями.Функция вверху — это верхний предел, а функция внизу — нижний предел.

Чтобы узнать это, мы можем нарисовать обе функции:

Видим, что над функцией:

Таким образом, именно эта функция определяет верхний предел, а другая функция — нижний предел.

Мы также можем подставить одно и то же значение x для каждой функции, и чье значение функции больше, будет функция, указанная выше.Мы собираемся заменить, например, x = 0 в обеих функциях:

Мы снова видим, что функция 4-x² дает значение больше x + 2, поэтому показано, что 4-x² является верхним пределом.

Следовательно, когда мы знаем пределы, мы можем записать в двукратный итерационный интеграл:

Осталось:

Теперь мы сначала интегрируем интеграл, который остается внутри, то есть тот, который зависит от dy, с помощью правила Барроу:

Заменим результат интеграла на верхний предел и вычтем результат замены результата интеграла на нижний предел:

Мы оперируем в скобках:

Остается интеграл, зависящий от переменной x. Мы интегрируем, применяя правило Барроу:

Вычитаем, подставив верхний предел минус нижний предел:

Мы работаем и придумываем решение:

Не забывайте, что решение должно быть в квадратных единицах, так как мы вычисляем площади.

Задача решена 2

Нарисуйте область, площадь которой дается интегралом:

Представьте ту же область, изменив порядок интегрирования на dy.dx или убедитесь, что два интеграла дают одинаковый результат.

Мы видим, что порядок интегрирования — dx.dy и что область определяется пределами:

Это означает, что в этом случае dy представлен горизонтальным прямоугольником, что внешние пределы двойного интеграла, 0 и 2, являются пределами, между которыми dy может перемещаться по вертикали, а внутренние пределы и² и 4 являются пределами, между которыми длина прямоугольника dy адаптирована.

Другими словами, площадь ограничена слева функцией y² и справа линией x = 4. Его размер также ниже по оси x (y = 0) и выше на значение 4 (y = 4):

Рассчитаем значение этого интеграла:

Мы интегрируем и применяем правило Барроу для внутреннего интеграла, интегрированного по x:

Теперь проделаем то же самое для оставшегося интеграла, проинтегрированного по и:

Теперь изменим порядок интеграции на dy.dx.

Для этого мы сначала определяем функцию в терминах x, очищая y:

Теперь в предыдущей области разместим вертикальный треугольник dx:

Мы видим, что треугольник можно перемещать по горизонтали между значениями x 0 и 4:

Каковы внешние пределы суммирования для переменной x.

Мы также видим, что высота прямоугольника dx перемещается между осью x (y = 0) и функцией (теперь определяемой как функция от x):

Каковы внутренние пределы интегрирования для переменной «и», тогда площадь области определяется интегралом:

Мы собираемся показать, что результат такой же, как и с предыдущим интегралом.

Интегрируем внутренний интеграл и применяем правило Барроу:

Проделаем то же самое с оставшимся интегралом:

И мы видим, что действительно результат такой же.

Расчет площадей с более чем одним двойным итерационным интегралом

Иногда невозможно вычислить площадь области с помощью одного интеграла. В этих случаях область может быть разделена на подобласти, площади которых могут быть вычислены с использованием двукратных повторных интегралов.

Общая площадь будет суммой площадей.

Рассмотрим пример:

Вычислите площадь области R между параболой y = 4x-x², осью x и над прямой y = -3x + 6:

Сначала мы делим площадь на две части в точке, где линия пересекает ось x:

В обоих регионах удобно использовать вертикальный прямоугольник dx, поэтому порядок интегрирования будет dy.dx.

Область слева определяется между точками 1 и 2 (точки отсечения линии с параболой и осью x соответственно), где прямоугольник может перемещаться по горизонтали:

и соответствуют внешним пределам.

Внутренние пределы интегрирования относительно и определяются высотой прямоугольника, который ограничен прямой линией внизу и параболой вверху:

В области справа вертикальный треугольник dx может перемещаться между точками 2 и 4 (точка отсечения линии с осью x и параболы с осью x):

Высота прямоугольника определяется осью x (y = o) и параболой. Для которых внутренние пределы интегрирования относительно «и» составляют:

Следовательно, площадь будет определяться суммой двух интегралов:

Вот мы их решаем и все:

15.6. Вычисление центров масс и моментов инерции

Мы уже обсудили несколько приложений множественных интегралов, таких как определение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области. В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью. Плотность обычно считается постоянной величиной, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.

Центр масс в двух измерениях

Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле. Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана точка \ (P \) как центр масс пластинки. Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): пластина идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластины находится на шпинделе.

Чтобы найти координаты центра масс \ (P (\ bar {x}, \ bar {y}) \) пластинки, нам нужно найти момент \ (M_x \) пластины относительно \ ( x \) — ось и момент \ (M_y \) относительно оси \ (y \) -. Нам также нужно найти массу \ (m \) пластинки. Тогда

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} \]

и

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m}. \]

См. Определения и методы однократного интегрирования для определения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня) в разделе «Моменты и центры масс».Мы собираемся использовать здесь аналогичную идею, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластину, и мы используем двойной интеграл.

Если мы допускаем функцию постоянной плотности, то \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} \) и \ (\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} \) дают центроид пластинки.

Предположим, что пластинка занимает область \ (R \) в плоскости \ (xy \), и пусть \ (\ rho (x, y) \) будет ее плотностью (в единицах массы на единицу площади) в любой точке. \ ((х, у) \). Следовательно,

\ [\ rho (x, y) = \ lim _ {\ Delta A \ rightarrow 0} \ dfrac {\ Delta m} {\ Delta A} \]

, где \ (\ Delta m \) и \ (\ Delta A \) — масса и площадь небольшого прямоугольника, содержащего точку \ ((x, y) \), а предел принимается как размеры прямоугольника go в \ (0 \) (см. следующий рисунок).{x = 3} = \ dfrac {27} {8}. \]

Вычисление несложное и дает ответ \ (m = \ dfrac {27} {8} \, kg \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Рассмотрим ту же область \ (R \), что и в предыдущем примере, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите общую массу.

Ответ

\ (\ dfrac {9 \ pi} {8} \, кг \)

Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.2 y \, dy \, dx = \ dfrac {81} {20}, \]

Расчет довольно прост.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Рассмотрим ту же пластину \ (R \), что и выше, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите моменты \ (M_x \) и \ (M_y \).

Ответ

\ (M_x = \ dfrac {81 \ pi} {64} \) и \ (M_y = \ dfrac {81 \ pi} {64} \)

Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс в терминах интегралов. Обозначим координату центра масс x как \ (\ bar {x} \), а координату y как \ (\ bar {y} \). В частности,

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

и

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

Пример \ (\ PageIndex {3} \): центр масс

Снова рассмотрим ту же треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (0,3), \, (3,0) \) и с функцией плотности \ (\ rho (x, у) = ху \).Найдите центр масс.

Раствор

По разработанным формулам имеем

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}, \]

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}. \]

Следовательно, центром масс является точка \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right).\)

Анализ

Если мы выберем плотность \ (\ rho (x, y) \) вместо однородной по всей области (т. Е. Константу), например значение 1 (подойдет любая константа), то мы сможем вычислить центроид,

\ [x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1, \]

\ [y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1. \]

Обратите внимание, что центр масс \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right) \) не совпадает с центром тяжести \ ((1,1) \ ) треугольной области.Это связано с переменной плотностью \ (R \). Если плотность постоянна, мы просто используем \ (\ rho (x, y) = c \) (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). 2 \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) = x \) в интервале \ (0 \ leq x \ leq 1 \).2 + 1) \ вправо). \]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Вычислить центр тяжести области между кривыми \ (y = x \) и \ (y = \ sqrt {x} \) с равномерной плотностью в интервале \ (0 \ leq x \ leq 1 \).

Ответ

\ (x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {1/15} {1/6} = \ dfrac {2} {5} \) и \ (y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {1/12} {1/6} = \ dfrac {1} {2} \)

Моменты инерции

Для ясного понимания того, как рассчитывать моменты инерции с использованием двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению в разделе \ (6.2 \ rho (r \, \ cos \, \ theta, \, r \, \ sin \, \ theta) \, dA \).

Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск моментов инерции треугольной пластинки

Используйте треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x, y) = xy \), как в предыдущих примерах. 2) xy \, dy \, dx = I_x + I_y = 8 \]

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \).2 \) где \ (r \) — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения .

Следовательно, радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат равны

\ [R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}}, \, R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}}, \ и \, R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}}, \]

соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, как далеко (перпендикулярное расстояние) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда бывает необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {7} \): определение радиуса вращения для треугольной пластинки

Рассмотрим ту же треугольную пластину \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x , y) = xy \), как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

Раствор

Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что \ (m = 2 \). Мы нашли моменты инерции этой пластины в Примере \ (\ PageIndex {4} \). Исходя из этих данных, радиусы вращения относительно оси \ (x \), \ (y \) — оси и начала координат равны

соответственно.

\ [\ begin {align} R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8/3} {2}} = \ sqrt {\ dfrac {8} {6}} = \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3}, \\ R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {16/3} {2}} = \ sqrt { \ dfrac {8} {3}} = \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3}, \\ R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8} { 2}} = \ sqrt {4} = 2. \ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Используйте тот же регион \ (R \) из примера \ (\ PageIndex {7} \) и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

Подсказка

Выполните шаги, показанные в предыдущем примере.

Ответ

\ (R_x = \ dfrac {6 \ sqrt {35}} {35}, \, R_y = \ dfrac {6 \ sqrt {15}} {15}, \) и \ (R_0 = \ dfrac {4 \ sqrt {42}} {7} \).2z \). Найдите центр масс.

Подсказка

Убедитесь, что \ (M_ {xy} = \ dfrac {27} {35}, \, M_ {xz} = \ dfrac {243} {140}, \) и \ (M_ {yz} = \ dfrac {81} {35} \). Затем используйте \ (m \) из предыдущего вопроса о контрольной точке.

Ответ

\ (\ left (\ dfrac {3} {2}, \ dfrac {9} {8}, \ dfrac {1} {2} \ right) \)

Мы завершаем этот раздел примером нахождения моментов инерции \ (I_x, \, I_y \) и \ (I_z \). 2yz.2z \). Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.

Ответ

Моменты инерции тетраэдра \ (Q \) относительно плоскости \ (yz \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (xy \) равны \ (99/35, \, 36/7 \) и \ (243/35 \) соответственно.

Ключевые понятия

Определение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в двойных интегралах:

  • Для пластинки \ (R \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) \) в любой точке \ ((x, y) \) на плоскости масса равна \ [m = \ iint_R \ rho (х, у) \, дА.2) \ rho (x, y) \, dA. \]

Определение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в тройных интегралах:

  • Для твердого объекта \ (Q \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y, z) \) в любой точке \ ((x, y, z) \) в пространстве масса равна \ [ m = \ iiint_Q \ rho (x, y, z) \, dV. \]
  • Моменты относительно плоскости \ (xy \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (yz \) равны \ [M_ {xy} = \ iiint_Q z \ rho (x, y, z ) \, dV, \, M_ {xz} = \ iiint_Q y \ rho (x, y, z) \, dV, \, M_ {yz} = \ iiint_Q x \ rho (x, y, z) \, dV \]
  • Центр масс определяется выражением \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_ {yz}} {m}, \, \ bar {y} = \ dfrac {M_ {xz}} {m}, \, \ bar {z} = \ dfrac {M_ {xy}} {m}. *) \, \ Delta A = \ iint_R x \ rho (x, y) \, dA \]
  • Центр масс пластинки \ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x , y) \, dA} \ и \, \ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho ( х, у) \, dA} \]

Глоссарий

радиус вращения
расстояние от центра масс объекта до его оси вращения

Авторы и авторство

  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

Как рассчитать размеры конической и цилиндрической цилиндрической мишени

При загрузке бокового изображения мишени цилиндра в диспетчер целей необходимо учитывать фактическую форму и окружность объекта. Поскольку Target Manager требует, чтобы определенные параметры и загруженные изображения имели точные размеры, необходимо правильно рассчитать форму, с которой вы работаете.

Чтобы убедиться, что загруженные изображения правильно инкапсулируют плоское тело реального физического объекта, плоская часть тела, представляющая боковую поверхность цилиндрического или конического объекта, рассчитывается как развернутая плоская поверхность. Представленная здесь математика особенно актуальна, когда объект имеет форму конуса или усеченного конуса. Мы представляем расчеты для объектов конической, цилиндрической и конической формы.

Определения размеров

На следующем рисунке показана общая форма усеченного конуса, которая представляет наиболее общий случай для конических цилиндрических целей, и его основные геометрические параметры.

Рисунок 1 : Типовой корпус конической формы

где

  • d и D — это диаметры Bottom и Top конического объекта с d и
  • sL Длина стороны объекта.

ПРИМЕЧАНИЕ : В общем случае длину стороны не следует путать с высотой цилиндра. Однако для особого случая настоящего цилиндра, когда верхний и нижний диаметры идентичны, а боковая поверхность выровнена вертикально, длина стороны равна высоте.

Общий случай — цилиндр

Цилиндр — это особый случай общей конической формы, поскольку цилиндр имеет прямые края, как показано на следующем рисунке.

Рисунок 2: Цилиндр общего корпуса

Верхний и нижний диаметры (d, D) идентичны, а длина стороны просто соответствует высоте цилиндра.

Рисунок 3 : Развернутый вид цилиндра

Поскольку r ‘ здесь не определен, корпус цилиндра представляет собой прямоугольник, где:

ПРИМЕЧАНИЕ : Плоское тело должно быть ориентировано так, чтобы вертикальная ось изображения (пунктирная линия) была параллельна вертикальной оси объекта и заполняла область изображения.

Общий случай — конструкция плоского цилиндрического корпуса

На следующем рисунке показаны две разные формы плоской боковой поверхности. Все остальные экземпляры (например, конусы) являются вариациями этих форм. Следующие разделы разделены на Случай 1 и Случай 2, в которых описываются два метода вычисления ширины и высоты вложенного изображения.

Рисунок 4 : Два различных возможных общих случая поверхности мантии цилиндрического объекта (левый D-d sL)

Кейс 1

В следующем случае разница между диаметрами Top и B ottom меньше, чем S ide Длина

Рисунок 5 : Плоское построение формы части тела — общий случай I

Плоское тело можно легко сконструировать с использованием заданных параметров, применив следующие формулы для вычисления радиусов двух составляющих окружностей:

  1. Радиус внутренней окружности: r ‘= (d * sL) / (D — d)
  2. Радиус внешней окружности: R ‘= r’ + sL

Для дальнейших вычислений используйте диаметр внешнего круга, который имеет следующий вид:

  1. D ‘= 2R’ = 2 (r ‘+ sL)

Теперь можно построить фигуру, выполнив следующие действия:

  1. Нарисуйте две концентрические окружности с радиусами r ‘ и R’.
  2. Отметьте пунктирную вертикальную центральную линию, как показано на рисунке выше.
  3. Измерьте длину дуги πD / 2 на внешнем круге с обеих сторон от точки пересечения круга с вертикальной центральной линией.
  4. Проведите лучи от двух получившихся точек к центру круга.

Форма, заключенная между двумя кругами и лучами, представляет собой развернутую поверхность усеченного конуса.

  1. Круглый сегмент должен быть ориентирован на целевом изображении так, чтобы он был симметричным относительно вертикальной оси изображения (пунктирная линия).Границы сегмента должны касаться всех четырех сторон изображения.
Футляр 2

В этом случае разница между верхним и нижним диаметрами больше, чем длина стороны цилиндра.

Рисунок 6 : Плоское построение формы части тела — общий случай II

Конструкция плоского изображения аналогична случаю 1, но этот рисунок используется для справки.

Ширина и высота бокового изображения цилиндра

Ширину и высоту изображения боковой поверхности цилиндра можно вычислить по заданным параметрам и по вычисленным значениям для построения окружностей.
В случае, когда D-d , ширина и высота изображения представлены следующими уравнениями:

  1. ширина = D ‘sin (πD / D’)
  2. высота = sL + r ‘((1 — cos (πD / D’))

, а в случае, когда D — d> = sL , применяются следующие уравнения:

  1. ширина = D ‘
  2. высота = (D ‘/ 2) ((1 + sin ((π / 2) — (2D — D’) / D ‘))

Соотношение сторон бокового изображения цилиндра

Соотношение сторон растрового изображения можно вычислить по следующей формуле:

соотношение сторон = bitmapWidth / bitmapHeight = w / h ± 2%

Эта формула определяет, что фактическое соотношение сторон растрового изображения может отклоняться на 2% от требуемого вычисленного соотношения. Это отклонение может быть полезно, когда существующие объекты используются для вырезания, разворачивания и сканирования.

Особый случай — конус

Конус — это еще один частный случай конической формы. Конус характеризуется острым концом либо сверху, либо снизу, так что один из диаметров (верхний или нижний, D или d) равен нулю. См. Пример конуса на следующем рисунке.

Рисунок 7: Конус для особого случая

Рисунок 8: Развернутый конус (слева d> sL, справа d

Поскольку один из диаметров конуса равен нулю, формулы можно упростить следующим образом:

  1. r ‘= 0 и R’ = sL — радиус окружности идентичен радиусу , длина стороны , таким образом,
  2. D ‘= 2sL

В случае, когда d , ширина изображения равна длине хорды секции:

  1. w = 2 sL si n ( πd /2 sL ) — ширина целевого изображения = длина хорды секции.

, при этом высота изображения равна длине стороны:

  1. h = sL — высота изображения цели = длина стороны.

В случае, когда d> = sL , ширина изображения в два раза больше длины стороны:

  1. w = 2sL — ширина целевого изображения = двойная длина стороны.

, а высота изображения представлена ​​следующей формулой:

  1. h = sL (1 + si n (π / 2 ( d — sL ) / sL ))

ПРИМЕЧАНИЕ : Сегмент конуса должен быть ориентирован таким образом, чтобы целевое изображение было симметричным относительно вертикальной оси изображения (пунктирная линия).Границы сегмента должны касаться всех четырех сторон изображения.

Площадь и объем

— она ​​любит математику

В этом разделе рассматриваются:

Одно очень полезное приложение интеграции — это нахождение области и объема «изогнутых» фигур, которые мы обычно не могли бы получить без использования математического анализа. Поскольку мы уже знаем, что с помощью интеграла можно получить площадь между осями \ (x \) и \ (y \) и функцией, мы также можем получить объем этой фигуры, повернув фигуру на вокруг любого одна из осей.

Поскольку мы знаем, как получить площадь под кривой здесь, в разделе с определенными интегралами , мы также можем получить площадь между двумя кривыми путем вычитания нижней кривой из верхней кривой везде, где находится верхняя кривая. выше нижней кривой. Самое классное в этом то, что это работает, даже если одна из кривых находится ниже оси \ (x \) — до тех пор, пока более высокая кривая всегда остается выше нижней кривой в интервале интегрирования.

Обратите внимание, что нам может потребоваться выяснить, где пересекаются две кривые (и где они пересекают ось \ (x \)), чтобы получить пределы интегрирования.А иногда приходится делить интеграл, если функции пересекаются на интервале интегрирования.

Вот формальное определение площади между двумя кривыми:

Площадь области между двумя кривыми

Для функций \ (f \) и \ (g \), где \ (f \ left (x \ right) \ ge g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) в \ ([a, b] \), площадь области, ограниченная графиками и вертикальными линиями \ (x = a \) и \ (x = b \) равно:

\ (\ text {Area} = \ int \ limits_ {a} ^ {b} {{\ left [{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right)} \ right]}} \, dx \)

Давайте попробуем некоторые проблемы:

Область интеграции Проблема и решение
Set up определенный интеграл , который дает следующую область (не решать):

\ (\ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = {{x} ^ {2}} — 2x \\ g \ left (x \ right) = 0 \ end {array} \)

Решение:

\ (\ int \ limits_ {0} ^ {2} {{\ left [{ 0- \ left ({{{x} ^ {2}} — 2x} \ right)} \ right] dx}} = — \ int \ limits_ {0} ^ {2} {{\ left ({{{x} ^ {2}} — 2x} \ right ) dx}} \)

Установите и решите определенный интеграл , который дает следующую область:

\ (\ begin {array} {l} f \ left (x \ right) = {{ x} ^ {2}} — 5x + 6 \\ g \ left (x \ right) = — {{x} ^ {2}} + x + 6 \ end {array} \)

Решение:

\ (\ Displaystyle \ begin {align} & \ int \ limits_ {0} ^ {3} {{\ left [{\ left ({- {{x} ^ {2}} + x + 6} \ right) — \ left ({{{x} ^ {2}} — 5x + 6} \ right)} \ right] dx}} \\\, \, \, & \, \, \, = \ int \ limits_ {0} ^ {3} {{\ left ({-2 {{x} ^ {2}} + 6x} \ right) dx}} = \ left [{- \ frac {2} {3} {{ x} ^ {3}} + 3 {{x} ^ {2}}} \ right] _ {0} ^ {3} \\\, \, \, & \, \, \, = \ left ({ — \ frac {2} {3} {{{\ left (3 \ right)}} ^ {3}} + 3 {{{\ left (3 \ right)}} ^ {2}}} \ right) — \ left ({- \ frac {2} {3} {{{\ left (0 \ right)}} ^ {3}} + 3 {{{\ left (0 \ right)}} ^ {2}}} \ right) = 9 \ end {align} \)

Установите и решите определенный интеграл , который дает следующую область ( не решать):

\ (\ begin {array} {l} f \ left (\ theta \ right) = — \ sin \ theta \\ g \ left (\ theta \ right) = 0 \ end {array} \)

Решение : разделите график на два отдельных интеграла, так как от \ (- \ pi \) до 0, \ (f \ left (\ theta \ right) \ ge g \ left (\ theta \ right) ) \) и от 0 до \ (\ pi \), \ (g \ left (\ theta \ right) \ ge f \ left (\ theta \ right) \):

\ (\ displaystyle \ begin {align} & \ int \ limits _ {{- \ pi}} ^ {0} {{\ left ({- \ sin \ theta -0} \ right) d \ theta}} + \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi} {{\ left [{0- \ left ({- \ sin \ theta} \ right)} \ right] d \ theta}} \\ & \, \, = \ int \ limits _ {{- \ pi}} ^ {0} {{\ left ({- \ sin \ theta} \ right) d \ theta}} + \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi} {{\ left ({\ sin \ theta } \ right) d \ theta}} \\ & \, \, = \ left [{\ cos x} \ right] _ {{- \ pi}} ^ {0} + \ left [{- \ cos x} \ right] _ {0} ^ {\ pi} \\ & \, \, = \ cos \ left (0 \ right) — \ cos \ left ({- \ pi} \ right) + \ left [{- \ cos \ left (\ pi \ right) + \ cos \ left (0 \ right)} \ right] \, \, \\ & \, \, = 1- \ left ({-1} \ right) + \ left ({1 + 1} \ right) = 4 \ end {align} \)

Нарисуйте область, ограниченную графиками, и найдите область :

\ (\ displaystyle f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} +1, \, \, \, g \ left ( x \ right) = \ frac {1} {2} x + 1 \)

Решение : нарисуйте кривые и установите их равными друг другу, чтобы увидеть, где будут пределы интегрирования:

\ ( \ Displaystyle \ sqrt {x} + 1 = \ frac {1} {2} x + 1; \, \, \, \, \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x; \, \, \, \, x = \ frac {{{{x} ^ {2}}}} {4}; \, \, \, \, 4x = {{x} ^ {2}} \)

\ ( \ Displaystyle {{х} ^ {2}} — 4x = 0; \, \, \, \, x \ left ({x-4} \ right) = 0; \, \, \, x = 0, \ , \, 4 \)

Интегрировать из 0 в 4 :

\ (\ displaystyle \ begin {align} & \ int \ limits_ {0} ^ {4} {{\ left [{\ left ( {\ sqrt {x} +1} \ right) — \ left ({\ frac {1} {2} x + 1} \ right)} \ right] dx}} = \ int \ limits_ {0} ^ {4 } {{\ left ({{{x} ^ {{\ frac {1} {2}}}} — \ frac {x} {2}} \ right) \, dx}} \\ & \, \, \, = \ left [{\ frac {2} {3} {{x} ^ {{\ frac {3} {2}}}} — \ frac {1} {4} {{x} ^ {2}) }} \ right] _ {0} ^ {4} = \ left [{\ frac {2} {3} {{{\ left (4 \ right)}} ^ {{\ frac {3} {2}} } } — \ frac {1} {4} {{{\ left (4 \ right)}} ^ {2}}} \ right] -0 = \ frac {4} {3} \ end {align} \)

Обратите внимание на следующую проблему, где намного проще найти площадь относительно \ (y \), поскольку нам не нужно делить график на части. Когда мы интегрируем относительно \ (y \), у нас будет горизонтальных прямоугольников (параллельных оси \ (x \)) вместо вертикальных прямоугольников (перпендикулярных оси \ (x \)), поскольку мы будем использовать «\ (dy \)» вместо «\ (dx \)». Если у нас есть функции в терминах \ (x \), нам нужно использовать Обратные функции , чтобы получить их в терминах \ (y \).

9456 9

Проблема области интеграции повернута вокруг \ (\ boldsymbol {x} \) -ось Проблема области интеграции повернута вокруг \ (\ boldsymbol {y} \) -1517
Нарисуйте область, ограниченную графиками, и найдите область , относительно \ (x \) :

\ (y = 2x, \, \, \, y = 2 -2x, \, \, \, y = 0 \)

Решение : нарисуйте три линии и задайте уравнения, равные друг другу, чтобы получить пределы интегрирования.

Нам нужно разделить график на два отдельных интеграла, поскольку функция «сверху» изменяется с \ (2x \) на \ (2-2x \) при \ (x = .5 \). (Мы также можем получить пересечение, приравняв уравнения друг другу :). Мы видим \ (x \) — точки пересечения 0 и 1 .

Два отдельных интеграла относятся к интервалам от 0 до ,5 и ,5 до 1 . (Эта область представляет собой треугольник \ (\ displaystyle \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot 1 =.{2}}} \ right) \\\, & \, \, =. 5 \ end {align} \)

Нарисуйте область, ограниченную графиками, и найдите область , относительно \ (y \) :

\ (y = 2x, \, \, \, y = 2-2x, \, \, \, y = 0 \)

Решение :

Если мы используем горизонтальных прямоугольников, нам нужно взять , обратный функций, чтобы получить \ (x \) в терминах \ (y \), поэтому у нас есть \ (\ displaystyle x = \ frac {y} {2} \) и \ (\ Displaystyle х = \ гидроразрыва {{2-y}} {2} \). {3}} + 2 \ left ({-1} \ right)} \ right) \\ & \, \, = 9 \ end {align} \)

Теперь, когда мы знаем, как получить области под кривыми и между ними, мы можем использовать этот метод позволяет получить объем трехмерного твердого тела либо с поперечными сечениями, либо путем вращения кривой вокруг заданной оси.Подумай об этом; каждый день инженеры заняты работой, пытаясь выяснить, сколько материала им понадобится, например, для определенных металлических деталей, и они используют вычисления, чтобы выяснить это!

<

Давайте сначала поговорим о получении объема твердых тел по сечениям определенных форм. При выполнении этих задач думайте о том, что нижняя часть твердого тела плоская на горизонтальной бумаге, а его трехмерная часть выходит из бумаги. Поперечные сечения могут быть квадратами, прямоугольниками, треугольниками, полукругами, трапециями или другими формами.{b} {{A \ left (x \ right)}} \, dx \)

Вот примеры объемов поперечных сечений между кривыми. Срезы объема показаны, чтобы лучше понять, как получается объем:

Объемы твердых тел по поперечным сечениям

Квадраты

, чтобы найти интеграл. объем твердого тела, основание которого ограничено графиком \ (f \ left (x \ right) = \ sqrt {{\ sin \ left (x \ right)}} \), \ (x = 0, \ , x = \ pi \), и ось \ (x \) с перпендикулярными поперечными сечениями, которые составляют квадратов .{3}}} \ right]} \ right) \\ & = \ frac {{256}} {3} \ pi \ end {align} \)

Установите (не решайте) интеграл что дает объем твердого тела, образованный вращением области, ограниченной уравнениями \ (y = 2 \ sqrt {x}, \, \, \, y = 0, \, \, \, x = 9 \) около заданных линий :

(a) Повернуто вокруг оси \ (x \)

(b) Повернуто вокруг линии \ (x = 9 \)

Решение : Нарисуйте первый:

(a) (b)

(a) Поскольку вращение происходит вокруг оси \ (x \), радиус каждого круга будет равен \ (x \) — осевая часть функции, или \ (2 \ sqrt {x} \). {2}} dy}} \).

Метод шайбы похож на дисковый метод, но он охватывает тела вращения, которые имеют «отверстия», у которых есть внутренние и внешние функции, т.е. внутренний и внешний радиусы.

Итак, теперь у нас есть два вращающихся тела, и мы вычитаем площадь внутреннего тела из площади внешнего. Обратите внимание, что для того, чтобы это работало, средняя функция должна полностью находиться внутри (или касаться) внешней функции в течение интервала интегрирования.{2}}} \ right)}} \, \, dy \)

Попробуем некоторые проблемы:

Объем с использованием метода промывки Проблема Объем Использование дисковой шайбы Задача
Установите и решите интеграл, который дает объем твердого тела, образованного вращением области вокруг оси \ (x \):

\ (\ displaystyle y = 1, \, \, \, y = 3- \ frac {{{{x} ^ {2}}}} {2} \)

Решение : Найдите место пересечения функций:

\ (\ displaystyle 1 = 3- \ frac {{{{x} ^ {2}}}} {2}; \, \, \, \, \, \ frac {{{{x} ^ {2}}) }} {2} = 2; \, \, \, \, x = \ pm 2 \)

Теперь график. {5}}}} {{20}}} \ right)} \ right] \\ & = 19.2 \ pi \ end {align} \)

Установить (не решать) интеграл что дает объем твердого тела, образованный вращением области, ограниченной уравнениями \ (y = x, \, \, \, y = 4, \, \, \, x = 1 \) вокруг заданных линий :

(a) Повернут вокруг линии \ (y = 5 \)

(b) Повернут вокруг оси \ (y \)

Решения : Сначала начертите:

(a)

(b)

(a) Поскольку мы вращаемся вокруг линии \ (y = 5 \), чтобы получить радиус для функции «снаружи», то есть \ ( y = x \) , нам нужно использовать \ (5-x \) вместо просто \ (x \) (попробуйте с действительными числами, и вы увидите).{2}} — 1} \ right)}} \, dy \)

Примечание: Это совпадение, что мы интегрируем вверх по оси \ (y \) от 1 до 4 , как мы это делали для ось \ (x \). Это потому, что мы используем линию \ (y = x \), поэтому для обоих интегралов мы переходим от 1 к 4 . Обычно пределы \ (y \) будут отличаться от пределов \ (x \).

Метод оболочки для определения объема твердого тела вращения использует интегрирование по оси , перпендикулярной оси вращения, вместо параллели , как мы видели с методами диска и шайбы.Хорошая вещь в методе оболочки заключается в том, что вы можете интегрировать по оси \ (y \) и не использовать обратные функции. Кроме того, во вращающемся твердом теле может быть отверстие (или нет), поэтому оно будет немного более прочным. Однако это не интуитивно понятно, поскольку имеет дело с бесконечным количеством «поверхностей» прямоугольников в форме цилиндров (оболочек).

Вот уравнения для метода оболочки :

Объемы твердых тел: метод оболочки

Оборот вокруг \ (\ boldsymbol) — ось:

\ (\ text {Volume} = 2 \ pi \ int \ limits_ {a} ^ {b} {{x \, f \ left (x \ right)}} \, dx \)

Оборот вокруг оси \ (\ boldsymbol {x} \) :

\ (\ displaystyle \ text {Volume} = 2 \ pi \ int \ limits_ {a} ^ {b} {{ y \, f \ left (y \ right)}} \, dy \)

Поскольку я считаю, что метод оболочки больше не требуется, тесты Calculus AP (по крайней мере, для теста AB), я не буду приводить примеры и изображения этого метода. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы хотите обсудить это дальше.

Изучите эти правила и практикуйтесь, практикуйтесь, практикуйтесь!


Нажмите «Отправить» (стрелка справа от проблемы), чтобы решить эту проблему. Вы также можете ввести больше проблем или щелкнуть 3 точки в правом верхнем углу, чтобы просмотреть, например, проблемы.

Если вы нажмете «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», вы перейдете на сайт Mathway , где вы можете зарегистрироваться для получения полной версии (шаги включены) программного обеспечения.Вы даже можете получить рабочие листы по математике.

Вы также можете перейти на сайт Mathway здесь, где вы можете зарегистрироваться, или просто использовать программное обеспечение бесплатно без подробных решений. Есть даже приложение Mathway для вашего мобильного устройства. Наслаждаться!

Переходим к Интеграция по частям — готово!

Двухмерный график с заполненной областью — область MATLAB

Цвет заливки области, заданный как триплет RGB, шестнадцатеричный цветовой код, имя цвета или «плоский» .

Начиная с R2017b, значением по умолчанию является триплет RGB из свойства ColorOrder осей.В предыдущих выпусках значение по умолчанию было «плоский» , а цвета основывались на цветовой карте.

Для пользовательского цвета укажите триплет RGB или шестнадцатеричный код цвета.

  • Триплет RGB — это трехэлементный вектор-строка, элементы которого
    укажите интенсивность красного, зеленого и синего
    компоненты цвета. Интенсивности должны быть в
    диапазон [0,1] ; например, [0.4
    0,6 0,7]
    .

  • Шестнадцатеричный цветовой код — это вектор символов или строка.
    скаляр, который начинается с хеш-символа ( # )
    за которыми следуют три или шесть шестнадцатеричных цифр, которые могут варьироваться
    с 0 по F . В
    значения не чувствительны к регистру.Таким образом, цветовые коды
    '# FF8800' ,
    '# ff8800' ,
    '# F80' и
    '# f80' эквивалентны.

Вы также можете указать некоторые общие цвета по имени. В этой таблице перечислены названные цвета
параметры, эквивалентные триплеты RGB и шестнадцатеричные цветовые коды.

920 912 912 920 920 920 920 920 920 920 920 920 920 [1 0 0]

20

o цвет

Название цвета Краткое название Триплет RGB Шестнадцатеричный код цвета Внешний вид
'# FF0000'
«зеленый» 'g' [0 1 0FF]

122 ‘
' синий ' ' b ' [0 0 1] ' # 0000FF '

0 голубой ‘

'c' [0 1 1] '# 00FFFF'
'пурпурный' 972 1] '# FF00FF'
'желтый' 'y' [1 1 0] FF
'черный' 'k' [0 0 0] '# 000000' 11

11

11

912 белый 'w' [1 1 1] '#FFFFFF'
'нет' Неприменимо 20

Вот триплеты RGB и шестнадцатеричные цветовые коды для цветов по умолчанию, которые MATLAB ® использует во многих типах графиков.

2 [0,8500 0,3250 0,0980]

5

9

Триплет RGB Шестнадцатеричный цветовой код Внешний вид
[0 0,4470 0,7410]

9

215 9

215

'# D95319'
[0,9290 0,6940 0,1250] '# EDB120000

73 5

73 5 54940 0,1840 0,5560] '# 7E2F8E'
[0,4660 0,6740 0,1880] '# 77AC30 '121073 5 '# 4DBEEE'
[0,6350 0,0780 0,1840] '# A2142F' 152

600 91РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЕЙ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ФОРМЫ

5. РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛЕЙ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ФОРМЫ



5.1 Пример 1
5.2 Пример 2


Распространенной проблемой для геодезистов является расчет площади поверхности
поле фермера. Поля часто нерегулярны, что позволяет производить прямые вычисления.
из их районов сложно. В таком случае поля делятся на ряд обычных
области (треугольники, прямоугольники и т. д.), из которых можно вычислить поверхности
с простыми формулами. Все площади рассчитываются отдельно, и их сумма
area дает общую площадь поля.

На рисунке 29 показано поле неправильной формы, площадь поверхности которого необходимо определить.

Рис.29 Поле неправильной формы

Следующая процедура:

Шаг 1

Сделайте грубый набросок поля (см. Рис.29a) с указанием углов поля (A, B, C, D и E) и границ поля (прямые линии). Вдобавок какой-то крупный ориентир! обозначены (дороги, канавы, дома, деревья и т. д.), которые могут помочь определить местонахождение поля.

Рис. 29а Черновой набросок поля

Шаг 2

Разделите поле, как показано на эскизе, на области правильной формы. В этом примере поле можно разделить на 3 треугольника ABC (основание AC и высота BB), AEC (основание AC и высота EE 1 ) и CDE (основание EC и высота DD 1 ) (см. Рис.29b).

Рис. 29б Разделение поля на области правильной формы

Шаг 3

Отметьте на поле углы A, B, C, D и E колышками.

Шаг 4

Разместите вехи для измерения дальности на линиях AC (основание треугольников ABC и AEC) и EC (основание треугольника EDC) (см. Рис. 29c) и измерьте расстояния AC и EC.

Рис. 29c Отметьте углы колышками и разложите мачты для измерения дальности

Шаг 5

Проведите линию BB (высота треугольника ABC) перпендикулярно базовой линии AC (см. Рис.29d) одним из методов, описанных в главе 4. Измерьте расстояние BB,

Рис. 29d Проведите линию BB перпендикулярно к AC

Шаг 6

Таким же образом устанавливаются и измеряются высота EE треугольника AEC и высота DD треугольника CDE (см. Рис. 29e).

Рис. 29e Разместите линию DD 1 перпендикулярно EC и линию EE1 перпендикулярно AC

Шаг 7

Основание и высота трех треугольников были измерены.Окончательный расчет можно произвести следующим образом:

Измерено

Треугольник ABC: основание = AC = 130 м
высота = BB 1 = 55 м
Треугольник ACE: основание = AC = 130 м
высота = EE 1 = 37 м
Треугольник CDE: основание = EC = 56 м
высота = DD 1 = 55 м

Ответ

Площадь = 0,5 x основание x высота
= 0,5 x 130 м x 55 м = 3 575 м 2

Площадь = 0. 5 x 130 м x 37 м = 2 405 м
Площадь = 0,5 м x 56 м x 55 м = 1 540 м²

Поле ABCDE:

Площадь треугольника ABC = 3 575 м 2
Площадь треугольника ACE = 2405 м 2
Площадь треугольника CDE = 1 540 м 2

Общая площадь = 3 575 м 2 + 2 405 м 2 + 1540 м 2
= 7 520 м- = 0,752 га

Площадь поля, показанного на рис. 30, должна быть определена в то время, когда поле покрыто высокой культурой (например.грамм. кукуруза или сахарный тростник).

Рис.30 Поле, покрытое высоким урожаем

Поле можно разделить на два треугольника ABD и BCD (см. Рис. 31a). К сожалению, из-за высокого урожая невозможно установить и измерить базовый BD и две высоты AA 1 и CC 1 .

Рис. 31a Разделение поля на два треугольника

В этом случае площадь треугольника ABD может быть рассчитана с использованием AD в качестве основания и BB 1 в качестве соответствующей высоты. BB 1 можно установить и измерить за пределами посевной площади. Таким же образом можно рассчитать треугольник BCD, используя основание BC и соответствующую высоту DD 1 (см. Рис. 31b).

Рис. 31b Определение площадей двух треугольников

Порядок действий в поле:

Шаг 1

Отметьте 4 угла (A, B, C и D) с помощью опорных стоек.

Шаг 2

Линия AD проходит с опорными мачтами и проходит за A.Линия BC также проходит и продолжается за C (см. Рис. 32a). Измерьте расстояния AD (основание треугольника ADB) и BC (основание треугольника BCD).

Рис. 32a Измерение оснований двух треугольников

Шаг 3

Проведите линию BB 1 (высота треугольника ABD) перпендикулярно расширенной базовой линии AD, используя один из методов, описанных в главе 4. Таким же образом устанавливается линия DD 1 (высота треугольника BCD). перпендикулярно удлиненной базовой линии BC (см. рис.32b) Измерьте расстояние BB 1 и DD 1 .

Рис. 32b Измерение высоты двух треугольников

Шаг 4

Основание и высота обоих треугольников были измерены. Окончательные расчеты можно произвести следующим образом:

Измерено

Треугольник ABD: основание = AD = 90 м
высота = BB 1 — 37 м

Треугольник BCD: основание = BC = 70 м
высота = DD 1 — 50 м

Ответ

Площадь = 0.5 x основание x высота
= 0,5 x 90 м x 37 м = 1665 м 2

Площадь = 0,5 x 70 м x 50 м = 1750 м 2

Поле ABDC:

Треугольник площади ABD = 1 665 м²
Треугольник площади BCD = 1 750 м 2

Общая площадь = 1665 м 2 + 1750 м 2 = 3415 м 2
= 0,3415 га = ок.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.