Вычислить арккосинус: Онлайн калькулятор: Обратные тригонометрические функции

2


Содержание

Урок 44. тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №44. Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции и тождества, связывающие тригонометрические и обратные тригонометрические функции
  • Применение тождеств на несложных примерах и для вычисления выражений, включающих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс
  • Применение тождеств с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом для преобразования выражений.

Глоссарий по теме

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и . Арккосинус числа m обозначают: .

Арксинусом числа m называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают:

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и .

Арккотангенс числа n обозначают: .

Основная литература:

Фёдорова Н.Е., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Шабунин М.И. под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 310-322.

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс. сс. 286-321, 327-354.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы познакомились с понятиями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и с самыми простыми тождествами, которые связывают их с тригонометрическими функциями:

для любого значения m:;

для любого значения m;

  1. для любого α:
  2. для любого α: .
  3. для любого α: .
  4. для любого α:

Однако, эти тождества не позволяют вычислять значения более сложных выражений, например, таких:

1)

2)

3)

На этом уроке мы рассмотрим несколько тождеств, которые позволят нам вычислять значения выражений и преобразовывать достаточно сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями.

Задание.

Попробуйте вычислить значение выражения:

Решение:

В этом случае мы не можем воспользоваться тождеством, так как . Но в этом случае мы имеем табличные значения:

Ответ:

Задание

Вычислим значение выражения

Решение:

В этом случае мы также имеем табличные значения:

Ответ:

1. Рассмотрим сначала задачи, связанные с вычислением табличных значений обратных тригонометрических функций.

Пример 1.

Найдите значение: .

Решение:

При решении данной задачи будем пользоваться табличными значениями аркфункций тождеством:

Ответ: .

Пример 2.

Вычислить:

Решение:

На первый взгляд, использование тождества приводит к получению ответа:. Но заметим, что аргумент синуса не удовлетворяет промежутку . Поэтому ответ является неверным. Таким образом, нужно найти такое значение a , что:. Таким значением является . Значит, ответом является число .

2 вариант. Найдем численное значение . Оно равно . Теперь найдем . Оно равно.

Заметим, что второй вариант решения возможен в том случае, когда мы имеем дело с табличными значениями тригонометрических функций.

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить:

Решение:

В этом примере возможен только ход рассуждений по первому варианту, так как мы имеем дело не с табличными значениями косинуса. Очевидно, что число 10 не является правильным ответом, поскольку оно не принадлежит промежутку . Таким образом, нам нужно найти такое число a из промежутка , косинус которого равен косинусу 10. Таким значением a является число , так как значит, и, с учетом формул приведения: .

Ответ: 1

2. Рассмотрим некоторые тождества

С использованием тождеств, связывающих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, рассмотрим решение некоторых примеров:

Пример 4.

Вычислите: .

Решение:

При решении этой задачи используется только знание табличных значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций:

.

Ответ: 0.

Пример 5.

Вычислить:

Решение:

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся тождеством (22):

Ответ: -3

Пример 6.

Вычислить:

Решение:

Сначала воспользуемся табличными значениями обратных тригонометрических функций и заменим . Теперь воспользуемся для преобразования формулой тангенса двух аргументов:

. Теперь, используя тождества для арктангенса и табличные значения тангенса, получим результат:

Ответ:

Решение задачи 2

Вычислить: .

Решение:

Данное выражение вообще не содержит табличных значений тригонометрических функций, поэтому при решении этой задачи будем использовать тождества второй группы. Но сначала воспользуемся формулой косинуса суммы аргументов. Таким образом, получим:

Ответ:.

Решение задачи 3

Вычислить

Решение:

Воспользуемся для начала формулой синуса двойного аргумента и получим:

.

Теперь, используя тождества и преобразуя полученное выражение, получим окончательный результат:

Ответ:

3. Рассмотрим более сложные задачи.

Пример 7

Вычислить: .

Решение:

Найдем . Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы аргументов:

Поэтому сумма арктангенсов – это такое число, тангенс которого равен -1. Для того чтобы найти окончательно это число, определим, какому промежутку оно должно принадлежать. и принадлежат промежутку , поскольку в силу монотонности функции арктангенс (он монотонно возрастает) каждый из рассматриваемых арктангенсов больше чем , который равен . А в силу ее ограниченности каждый из них меньше чем . Поэтому сумма этих арктангенсов принадлежит промежутку . В этом промежутке содержится единственное число, тангенс которого равен -1. Это . Таким образом значение выражения равно: .

Ответ: 0,75

Пример 8

Найдите в виде целого числа, если .

Решение:

Сначала воспользуемся формулой, связывающей значения тангенса и котангенса одного аргумента:

. Это позволяет вычислить . Теперь, подставив найденное значение в выражение, значение которого нужно найти, получим искомый результат:

Ответ: 5.

Пример 9

Вычислить:

Решение:

При вычислении значения данного выражения прежде всего воспользуемся формулами синуса двойного аргумента, выражающего его через тангенс, и тангенса половинного аргумента:

.

Теперь воспользуемся тождеством (19) и получим окончательный результат:

Пример 10

Вычислить:

Решение:

Заметим, что при вычислении значения данного выражения можно использовать формулы котангенса суммы и разности аргументов, а затем формулы котангенса половинного аргумента. Но мы будем использовать другой путь. Один из аргументов и другой . Сумма и разность аргументов представляют собой очень привлекательные выражения: и . Попробуем это использовать. Преобразуем данное выражение, воспользовавшись формулой суммы котангенсов: . И далее используя в знаменателе формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:. Таким образом получим:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Упростить выражение: , где

Решение:

При выполнении преобразования данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного аргумента, а также тождествами, позволяющими выразить и. В результате получим:

.

Ответ: 2.

2. Упростите выражение: .

Решение:

Воспользуемся формулой преобразования косинуса суммы аргументов, а затем тождествами:

Ответ: .

3. Найдите значение выражения:

Решение:

С одной стороны, можно попытаться воспользоваться тождеством: . Но в этом случае мы получим в качестве значения выражения: , значение которого вычислять не очень удобно. Поэтому мы будем действовать другим способом: сначала вычислим значение , а затем – значение косинуса в найденной точке.

Для вычисления воспользуемся выражением косинуса через котангенс половинного аргумента: . Используя этот результат, получим:

Теперь найдем , Ответ:

Как посчитать арккосинус

Арккосинус — это тригонометрическая функция, обратная функции косинус. Аргумент этой функции может принимать значения, начинающиеся с -1 и заканчивающиеся на +1. Этот диапазон называют «областью определения» функции, а ее «областью значений» является диапазон от нуля до числа Пи (в радианах), что соответствует диапазону от 0° до 180°. То есть вы можете вычислять только арккосинус чисел, не выходящих за пределы диапазона от -1 до +1 и получите результат, который будет лежать в диапазоне от 0° до 180°.

Запомните некоторые значения арккосинуса, если вам приходится возвращаться время от времени к его вычислению:- арккосинус от -1 равен числу Пи (в радианах), что соответствует 180°;- арккосинус от -1/2 равен 2/3 числа Пи или 120°;- арккосинус от 0 равен половине числа Пи или 90°;- арккосинус от 1/2 равен 1/3 числа Пи или 60°;- арккосинус от 1 равен нулю, как в радианах, так и в градусах;

Воспользуйтесь встроенными калькуляторами поисковых систем Google или Nigma, если надо получить результат расчета арккосинуса в радианах. Для этого достаточно ввести соответствующий поисковый запрос — например, для вычисления этой функции от числа 0.58 наберите в поле поиска «арккосинус 0.58» или «arccos 0.58».

Посчитайте значение арккосинуса с помощью программного калькулятора ОС Windows, если результат нужен в градусах. Открыть его можно через главное меню системы на кнопке «Пуск» — ищите ссылку «Калькулятор» в секции «Служебные», которая помещена в подраздел «Стандартные» раздела «Все программы».

Используйте научный или инженерный вариант интерфейса калькулятора, так как в открываемом по умолчанию обычном варианте тригонометрических функций нет. Откройте раздел «Вид» в меню программы и выберите соответствующую строку.

Введите числовое значение, арккосинус которого нужно найти, а затем поставьте метку в чекбоксе, помеченном надписью Inv. Эта отметка инвертирует все тригонометрические функции, размещенные на управляющих кнопках калькулятора. Поэтому, когда вы щелкните кнопку с надписью cos, калькулятор применит к указанному вами числу функцию арккосинус.

Результат по умолчанию вы получите в градусах, но при необходимости можно задать другие единицы измерения (радианы и грады), поставив отметку в соответствующем поле интерфейса калькулятора.

Функция ACOS — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи».

Синтаксис

ACOS(число)

Аргументы функции ACOS описаны ниже.

Замечания

Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.





Формула


Описание


Результат

=ACOS(-0,5)

Арккосинус числа -0,5 в радианах, 2*ПИ/3 (2,094395)

2,094395102

=ACOS(-0,5)*180/ПИ()

Арккосинус -0,5 в градусах

120

=ГРАДУСЫ(ACOS(-0,5))

Арккосинус -0,5 в градусах

120

1 arcsin 0

Вы искали 1 arcsin 0? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 4 arcsin, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 arcsin 0».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 arcsin 0,4 arcsin,arccos,arccos 1,arccos вычислить,arccos как вычислить,arccos таблица,arccos что это такое,arcsin,arcsin 0 1,arcsin 0 6,arcsin 1 в пи,arcsin 2 pi,arcsin 3 4,arcsin 4,arcsin arccos таблица,arcsin pi 2,arcsin вычислить,arcsin калькулятор,arcsin калькулятор онлайн,arcsin онлайн,arcsin онлайн калькулятор,arcsin таблица,arcsin0,online arcsin,арккосинус,арккосинус 0,арккосинус 0 5,арккосинус 0 8,арккосинус 1,арккосинус как вычислить,арккосинус найти,арккосинус нуля,арккосинус таблица,арккосинуса таблица,арксин,арксинус,арксинус 0,арксинус 0 5,арксинус 0 равен 0,арксинус 3 4,арксинус в градусах онлайн калькулятор,арксинус вычислить,арксинус вычислить онлайн,арксинус как вычислить,арксинус калькулятор,арксинус калькулятор онлайн,арксинус калькулятор онлайн в градусах,арксинус найти,арксинус онлайн,арксинус онлайн калькулятор,арксинус онлайн калькулятор в градусах,арксинус посчитать,арксинус посчитать онлайн,арксинус таблица,арктангенс 0 2,вычисление арккосинуса,вычисление арксинуса,вычисление арксинуса онлайн,вычислить arcsin,вычислить арксинус,вычислить арксинус онлайн,как вычислить arccos,как вычислить арккосинус,как вычислить арксинус,как найти арккосинус числа,как найти арксинус,калькулятор arcsin,калькулятор arcsin онлайн,калькулятор арксинус,калькулятор арксинуса,калькулятор арксинусов,калькулятор арксинусов онлайн,калькулятор обратных тригонометрических функций,калькулятор онлайн arcsin,калькулятор онлайн с арксинусом,калькулятор с арксинусом,калькулятор с арксинусом онлайн,найти арксинус,найти арксинус онлайн,обратные тригонометрические функции калькулятор онлайн,обратные тригонометрические функции онлайн калькулятор,онлайн вычисление арксинуса,онлайн калькулятор arcsin,онлайн калькулятор арксинусов,онлайн калькулятор обратные тригонометрические функции,онлайн калькулятор с арксинусом,посчитать арксинус,посчитать арксинус онлайн,таблица arccos,таблица arcsin,таблица arcsin arccos,таблица арккосинус,таблица значений arcsin,что такое arccos,что это arccos. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 arcsin 0. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, arccos).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 arcsin 0 Онлайн?

Решить задачу 1 arcsin 0 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Арксинус и арккосинус. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Арксинус и арккосинус − теория, примеры и решения

Функция арксинус и ее график

Как известно, функция синус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции синус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию синус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция sin x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arcsin y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (1) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Свойства функции арксинус.

  1. Область определения функции: .
  2. Область значений функции: .
  3. Функция является нечетной: .
  4. Функция возрастает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором sin x>1 (см. график функции синус (Рис.1). При |a|≤1, в отрезке (дуга DAB) уравнение (2) имеет одно решение (см. Рис.3):

В отрезке (дуга DCB) функция синус убывает и принимает значения от 1 до −1. Следовательно в этом отрезке уравнение (2) также имеет решение:

Действительно:

А из

следует

т.е.

Таким образом уравнение (3) имеет два решения в отрезке :

которые совпадают при |a|=1.

Поскольку функция синус периодичная с основным периодом , имеем

Тогда получим решение (2) в виде

Решения (3) и (4) удобно представить одним уравнением:

Действительно. При четных k (k=2n) из уравнения (5) получают все решения, представленные уравнением (3), а при нечетных k (k=2n+1) − все решения, представленные уравнением (4).

При a=1, arcsin a и π−arcsin a совпадают (т.к. ), следовательно решение уравнения sin t=1 имеет вид:

При |a|=−1, из (3) и (4) следует:

Но поворот эквивалентно повороту . То есть уравнения (6) и (7) эквивалентны. Тогда решение уравнения sin t=−1 запишем в виде:

При |a|=0, из (3) и (4) имеем следующее решение уравнения sin t=0:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Функция арккосинус и ее график

Как известно, функция косинус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции косинус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию косинус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция cos x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (8) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Свойства функции арксинус.

  1. Область определения функции: .
  2. Область значений функции: .
  3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
  4. Функция убывает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором cos x>1 (см. график функции косинус (Рис.4). При |a|≤1, в отрезке [0; π] (дуга ABC) уравнение (9) имеет одно решение t1=arccos a. В отрезке [−π; 0] (дуга CDA) уравнение (9) имеет одно решение t2=−arccos a(см. Рис.6):

Таким образом, в интервале [−π; π] уравнение (9) имеет два решения y=± arccos a, которые совпадают при a=1.

Поскольку функция косинус периодичная с основным периодом :

то общее решение (9) имеет следующий вид:

При a=1, числа arccos a и −arccos a совпадают (они равны нулю), тогда решение уравнения cos t=1 можно записать так:

При a=−1, имеем cos t=−1,

При a=0, имеем cos t=0,

Решение тригонометрического уравнения cos t=0 можно записать одним уравнением:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воcпользуемся формулой (10):

Так как , то

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

Так как (), то

Пример 3. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

С помощью онлайн калькулятора вычисляем : . Тогда решение можно записать так:

Python. Модуль math. Тригонометрические функции


Содержание


Поиск на других ресурсах:

1. Особенности применения тригонометрических функций. Преобразование радиан в градусы и наоборот

Чтобы использовать тригонометрические функции в программе, нужно подключить модуль math

import math

Все тригонометрические функции оперируют радианами. Зависимость между радианами и градусами определяется по формуле:

1 радиан = 180°/π = 57.2958°

Если известен угол в градусах, то для корректной работы тригонометрических функций, этот угол нужно преобразовать в радианы.

Например. Задан угол, имеющий n градусов. Найти арккосинус этого угла. В этом случае формула вычисления результата будет следующей:

...
n_rad = n*3.1415/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
...

Чтобы получить более точное значение результата, в программе можно использовать константу math.pi, которая определяет число π. В этом случае текст программы будет иметь следующий вид

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

  ⇑

2. Средства языка Python для конвертирования из градусов в радианы и наоборот. Функции math.degrees(x) и math.radians(x)

В языке Python существуют функции преобразования из градусов в радианы и, наоборот, из радиан в градусы.

Функция math.degrees(x) конвертирует значение параметра x из радиан в градусы.
Функция math.radians(x) конвертирует значение параметра x из градусов в радианы.

Пример.

# Функция math.degrees(x)
import math

x = 1 # x - угол в радианах
y = math.degrees(x) # y = 57.29577951308232 - угол в градусах

x = math.pi # x = 3.1415...
y = math.degrees(x) # y = 180.0

# Функция math.radians(x)
x = 180.0/math.pi
y = math.radians(x) # y = 1.0

x = 45 # x - угол в градусах
y = math.radians(x) # y = 0.7853981633974483

  ⇑

3. Ограничения на использование тригонометрических функций

При использовании тригонометрических функций следует учитывать соответствующие ограничения, которые следуют из самой сущности этих функций. Например, не существует арксинуса из числа, которое больше 1.
Если при вызове функции задать неправильный аргумент, то интерпретатор выдаст соответствующее сообщение об ошибке

ValueError: math domain error

  ⇑



4. Функция math.acos(x). Арккосинус угла

Функция acos(x) возвращает арккосинус угла x. Аргумент x задается в радианах и может быть как целым числом, так и вещественным числом.

Пример.

# Функция math.acos(x)
import math

n = float(input('n = ')) # ввести n

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

print('n_rad = ', n_rad)
print('ac = ', ac)

Результат работы программы

n = 35
n_rad = 0.6108652381980153
ac = 0.913643357298706

  ⇑

5. Функция math.asin(x). Арксинус

Функция math.asin(x) вычисляет арксинус угла от аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.asin(x)
import math

n = 10 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 0.17453292519943295

# вычислить арксинус
asn = math.asin(n_rad) # asn = 0.17543139267904395

  ⇑

6. Функция math.atan(x). Арктангенс

Функция math.atan(x) возвращает арктангенс аргумента x, значение которого задается в радианах. При использовании функции важно помнить допустимые значения x, которые можно задавать при вычислении арктангенса.

Пример.

# Функция math.atan(x)
import math

n = 60 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 1.0471975511965976

# вычислить арктангенс
atn = math.atan(n_rad) # atn = 0.808448792630022

  ⇑

7. Функция math.atan2(x, y). Арктангенс от x/y

Функция math.atan2(x, y) вычисляет арктангенс угла от деления x на y. Функция возвращает результат от —π до π. Аргументы x, y определяют координаты точки, через которую проходит отрезок от начала координат. В отличие от функции atan(x), данная функция правильно вычисляет квадрант, влияющий на знак результата.

Пример.

# Функция math.atan2(x,y)
import math

x = -2
y = -1

res = math.atan2(x, y) # res = -2.0344439357957027

  ⇑

8. Функция math.cos(x). Косинус угла

Функция math.cos(x) вычисляет косинус угла для аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.cos(x)
import math

x = 0
y = math.cos(x) # y = 1.0

x = math.pi
y = math.cos(x) # y = -1.0

x = 2 # 2 радианы
y = math.cos(x) # y = -0.4161468365471424

  ⇑

9. Функция math.sin(x)

Функция math.sin(x) возвращает синус угла от аргумента x, заданного в радианах.

Пример.

# Функция math.sin(x)
import math

x = math.pi
y = math.sin(x) # y = 1.2246467991473532e-16

x = 0
y = math.sin(x) # y = 0.0

x = 2 # 2 радиана
y = math.sin(x)

  ⇑

10. Функция math.hypot(x, y). Евклидовая норма (Euclidean norm)

Функция возвращает Евклидовую норму, которая равна длине вектора от начала координат до точки x, y и определяется по формуле

Пример.

# Функция math.hypot(x, y)
import math

x = 1.0
y = 1.0
z = math.hypot(x, y) # z = 1.4142135623730951

x = 3.0
y = 4.0
z = math.hypot(x, y) # z = 5.0

  ⇑

11. Функция math.tan(x). Тангенс угла x

Функция math.tan(x) возвращает тангенс от аргумента x. Аргумент x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.tan(x, y)
import math

x = 1.0
y = math.tan(x) # y = 1.5574077246549023

x = 0.0
y = math.tan(x) # y = 0.0

  ⇑


Связанные темы

  ⇑


 

cos (x) | функция косинуса

cos (x), функция косинуса.

Определение косинуса

В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin (α) равен
определяется как отношение между стороной, прилегающей к углу α, и
сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):

cos α = b / c

Пример

b = 3 дюйма

c = 5 дюймов

cos α = b / c = 3/5 = 0.6

График косинуса

TBD

Правила косинуса

Название правила Правило
Симметрия cos (- θ ) = cos θ
Симметрия cos (90 ° — θ ) = sin θ
Пифагорейская идентичность sin 2 (α)
+ cos 2 (α) = 1
cos θ = sin θ / tan θ
cos θ = 1 / сек θ
Двойной угол cos 2 θ = cos 2 θ
— sin 2 θ
Сумма углов cos ( α + β ) = cos α cos
β — sin α sin β
Разница углов cos ( α-β ) = cos α cos β + sin
α sin
β
Сумма к продукту cos α + cos β = 2 cos
[( α + β ) / 2] cos [( α-β ) / 2]
Отличия от продукта cos α — cos β = — 2 sin
[( α + β ) / 2]
sin [( α-β ) / 2]
Закон косинусов
Производная cos ‘ x = — sin x
Интегральный ∫ cos x d x = sin x + C
Формула Эйлера cos x = ( e ix + e ix ) / 2

Функция обратного косинуса

Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

cos y = x

Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:

arccos x = cos -1 x = y

Пример

arccos 1 = cos -1 1 = 0 рад = 0 °

См .: Функция Arccos

Таблица косинусов

x

(°)

x

(рад)

cos x
180 ° π -1
150 ° 5π / 6 -√3 / 2
135 ° 3π / 4 -√2 / 2
120 ° 2π / 3 -1/2
90 ° π / 2 0
60 ° π / 3 1/2
45 ° π / 4 √2 / 2
30 ° π / 6 √3 / 2
0 ° 0 1


См. Также

Обратный синус, косинус, тангенс

Быстрый ответ:

Для прямоугольного треугольника:

Синус Функция sin принимает угол θ и дает отношение против гипотенузы

Обратный синус sin -1 принимает отношение против гипотенузы и дает угол θ

Косинус и тангенс следуют аналогичной идее.

Пример (длина до одного десятичного знака):

sin (35 °) = Противоположно / Гипотенуза

= 2,8 / 4,9

= 0,57 …

sin -1 (Напротив / Гипотенуза) = sin -1 (0,57 …)

= 35 °

А теперь подробнее:

Синус, косинус и тангенс — все основаны на прямоугольном треугольнике

Они очень похожи по функциям…
поэтому мы рассмотрим синусоидальную функцию , а затем обратный синус , чтобы понять, что это такое.

Синусоидальная функция

Синус угла θ равен:

  • длина стороны Противоположный угол θ
  • делится на длины гипотенузы

Или проще:

sin ( θ ) = Противоположно / Гипотенуза

Пример: Что такое синус 35 °?

Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

sin (35 °) = Противоположно / Гипотенуза
= 2.8 / 4,9
= 0,57 …

Функция синуса может помочь нам решить такие задачи:

Пример: используйте синусоидальную функцию

, чтобы найти «d»

Мы знаем

  • Угол наклона кабеля к морскому дну составляет 39 °
  • Длина кабеля 30 м.

И мы хотим знать «d» (расстояние вниз).

Начать с: sin 39 ° = противоположно / гипотенуза

sin 39 ° = d / 30

Поменять местами стороны: d / 30 = sin 39 °

С помощью калькулятора найдите sin 39 °: d / 30 = 0.6293…

Умножить обе стороны на 30: d = 0,6293… x 30

d = 18,88 до 2 знаков после запятой

Глубина «d» 18,88 м

Функция обратной синусоиды

Но иногда нам нужно найти угол .

Вот где появляется «обратный синус».

Он отвечает на вопрос «какой угол имеет синус, равный противоположному / гипотенузе?»

Символ обратного синуса — sin -1 , или иногда arcsin .

Пример: найти угол

«a»

Мы знаем

  • Расстояние вниз 18,88 м.
  • Длина кабеля 30 м.

И мы хотим знать угол «а»

Начать с: sin a ° = противоположно / гипотенуза

sin a ° = 18,88 / 30

Вычислить 18,88 / 30: sin a ° = 0,6293 …

Какой угол имеет синус, равный 0.6293 …?
Обратный синус нам расскажет.

Обратный синус: a ° = sin −1 (0,6293 …)

С помощью калькулятора найдите sin −1 (0,6293 …): a ° = 39,0 ° (с точностью до 1 знака после запятой)

Угол «а» равен 39,0 °

Они как вперед, так и назад!

  • sin принимает угол и дает нам отношение «противоположность / гипотенуза»
  • sin -1 берет отношение «противоположность / гипотенуза» и дает нам угол .

Пример:

Функция синуса: sin ( 30 ° ) = 0,5

Обратный синус: sin −1 ( 0,5 ) = 30 °

Калькулятор

На калькуляторе вы нажимаете одну из следующих кнопок (в зависимости от марки вашего калькулятора):
либо «2ndF sin», либо «shift sin».

На вашем калькуляторе попробуйте использовать sin, а затем sin -1 , чтобы увидеть, что произойдет

Больше чем один угол!

Обратный синус показывает только один угол … но есть и другие ракурсы, которые могут сработать.

Пример: два угла, где противоположность / гипотенуза = 0,5

На самом деле существует бесконечно много углов , потому что вы можете продолжать складывать (или вычитать) 360 °:

Помните об этом, потому что бывают случаи, когда вам действительно нужен один из других углов!

Сводка

Синус угла θ равен:

sin ( θ ) = Противоположно / Гипотенуза

и обратный синус:

sin -1 (противоположно / гипотенуза) = θ

Что насчет «кос» и «загар»…?

Идея точно такая же, но с другим соотношением сторон.

Косинус

Косинус угла θ равен:

cos ( θ ) = Соседний / Гипотенуза

И обратный косинус равен:

cos -1 (смежный / гипотенуза) = θ

Пример: найти величину угла a °

cos a ° = Соседний / Гипотенуза

cos a ° = 6,750 / 8,100 = 0.8333 …

a ° = cos -1 (0,8333 …) = 33,6 ° (с точностью до 1 знака после запятой)

Касательная

Тангенс угла θ составляет:

загар ( θ ) = напротив / рядом

Таким образом, обратный тангенс равен:

tan -1 (напротив / рядом) = θ

Пример: Найдите размер угла x °

tan x ° = напротив / рядом

tan x ° = 300/400 = 0.75

x ° = tan -1 (0,75) = 36,9 ° (с точностью до 1 десятичного знака)

Другие названия

Иногда sin -1 называется asin или arcsin
Аналогично cos -1 называется acos или arccos
И tan -1 называется atan или arctan

Примеры:

  • arcsin (y) совпадает с sin -1 (y)
  • атан (θ) совпадает с tan -1 (θ)
  • и др.

Графики

И, наконец, вот графики синуса, обратного синуса, косинуса и обратного косинуса:

синус

Обратный синус

Косинус

Обратный косинус

Вы что-нибудь заметили в графиках?

  • Они чем-то похожи, правда?
  • Но обратный синус и обратный косинус не «продолжаются вечно», как синус и косинус …

Давайте посмотрим на примере косинуса.

Вот косинус и обратный косинус , нанесенные на тот же график:

Косинус и обратный косинус

Они зеркальные (примерно по диагонали)

Но почему обратный косинус обрезается сверху и снизу (точки на самом деле не являются частью функции) …?

Потому что, чтобы быть функцией, она может дать только один ответ
, когда мы спрашиваем «что такое cos -1 (x)?»

Один ответ или бесконечно много ответов

Но мы видели ранее, что существует бесконечно много ответов , и пунктирная линия на графике показывает это.

Так что да, — это бесконечно много ответов …

… но представьте, что вы вводите 0,5 в свой калькулятор, нажимаете cos -1 , и это дает вам бесконечный список возможных ответов …

Итак, у нас есть правило, что функция может дать только один ответ .

Итак, отсекая его вот так, мы получаем только один ответ, но мы должны помнить, что могут быть другие ответы .

Касательная и обратная касательная

А вот и функция касательной и арктангенс.Вы видите, как они зеркальные (примерно по диагонали) …?

Касательная

Обратный тангенс

математических слов: обратный косинус

Обратный
Косинус
cos -1
Cos -1
arccos
Arccos

функция, обратная косинусу.

Основная идея : найти cos -1 (½),
мы спрашиваем «что
угол имеет косинус, равный ½? »
ответ 60 °.В результате мы говорим cos -1 (½)
= 60 °.
В радианах это cos -1 (½).
= π / 3.

Подробнее : На самом деле существует много углов, у которых косинус равен ½.
Мы действительно спрашиваем, «какой самый простой, самый основной угол, который
косинус равен ½? «Как и прежде,
ответ 60 °. Таким образом, cos -1 (½)
= 60 ° или cos -1 (½) = π / 3.

Подробности : Что такое cos -1 (–½)?
Выбираем ли мы 120 °, –120 °, 240 °,
или под другим углом?
Ответ — 120 °.Обратным косинусом выбираем угол в верхней половине блока.
круг. Таким образом, cos -1 (–½)
= 120 ° или
cos -1 (–½) = 2π / 3.

В
другими словами, диапазон cos -1 равен
ограничивается [0, 180 °] или [0, π].

Примечание: arccos означает «арккосинус»,
или радианная мера дуги на окружности, соответствующая
заданное значение косинуса.

Техническое примечание : Поскольку ни одна из шести триггерных функций не синусоида,
косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс взаимно однозначны,
их обратные не являются функциями.Каждая триггерная функция может иметь свой
домен ограничен, однако, чтобы сделать его инверсию функцией.
Некоторые математики пишут эти ограниченные триггерные функции и их
переворачивается с заглавной буквы (например, Cos или Cos -1 ).
Однако большинство математиков не следуют этой практике. Этот
веб-сайт не делает различий между заглавными и не заглавными буквами
триггерные функции.

См.
также

обратный
тригонометрия, обратная
триггерные функции, интервальное обозначение

Калькулятор обратного косинуса — вычислить arccos (x)

Найдите угол в градусах или радианах, используя обратный косинус с помощью калькулятора arccos ниже.

Как найти Arccos

Arccos — это тригонометрическая функция для вычисления обратного косинуса. Arccos также можно выразить как cos -1 (x).

Arccos используется для отмены или отмены функции косинуса. Если вы знаете косинус угла, вы можете использовать arccos для вычисления угла.

Поскольку arccos — это функция, обратная косинусу, а многие углы имеют одно и то же значение косинуса, arccos является периодической функцией. Каждое значение arccos может привести к нескольким значениям угла.Первичный результат для arccos известен как главное значение и представляет собой угол в диапазоне от 0 ° до 180 °.

Для вычисления arccos используйте научный калькулятор и функцию acos или просто воспользуйтесь калькулятором выше. В большинстве научных калькуляторов для вычисления cos требуется значение угла в радианах.

Формула обратного косинуса

Формула обратного косинуса:

y = cos (x) | х = arccos (y)

Таким образом, если y равно косинусу x , то x равно arccos y .

График обратного косинуса

Если вы построите график функции arccos для каждого возможного значения косинуса, он образует кривую от (-1, π) до (1, 0).

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1, кривая обратного косинуса начинается при x = -1 и заканчивается при x = 1. Поскольку пик косинусоидальной волны находится в 0 радиан, а угол падения волны составляет π радиан, значение y заканчивается в этих точках.

Таблица обратных косинусов

В таблице ниже показаны общие значения косинуса и arccos или угла для каждого из них.

Таблица, показывающая общие значения косинуса и значения обратного косинуса для каждого в градусах и радианах
Косинус Угол (градусы) Угол (радианы)
-1 180 ° π
–√6 + √24 165 ° 11π12
–√32 150 ° 5π6
–√22 135 ° 3π4
–12 120 ° 2π3
–√6 — √24 105 ° 7π12
0 90 ° π2
√6 — √24 75 ° 5π12
12 60 ° π3
√22 45 ° π4
√32 30 ° π6
√6 + √24 15 ° π12
1 0 ° 0

Возможно, вас заинтересуют наши калькуляторы обратного синуса и арктангенса.

Обратные тригонометрические функции

Вы изучили, как

тригонометрические функции

грех

(

Икс

)

,

потому что

(

Икс

)

, и

загар

(

Икс

)

может использоваться, чтобы найти неизвестную длину стороны прямоугольного треугольника, если известны длина одной стороны и величина угла.

В

обратные тригонометрические функции

грех

1

(

Икс

)

,

потому что

1

(

Икс

)

, и

загар

1

(

Икс

)

, используются для нахождения неизвестной меры угла прямоугольного треугольника, когда известны две длины сторон.


Пример 1:

Основание лестницы размещено

3

в футах от

10

-стена высотой до стопы, так чтобы верх лестницы совпадал с верхом стены. Каков угол между лестницей и землей?

Здесь у нас есть прямоугольный треугольник, длина двух катетов которого нам известна, то есть сторон, противоположных и прилегающих к углу. Итак, мы используем функцию обратной касательной.Если вы введете это в калькулятор, установленный в режим «градус», вы получите

загар

1

(

10

3

)

73,3

°

Если у вас установлен калькулятор в радианах, вы получите

загар

1

(

10

3

)

1,28

Если вы запомнили отношения длин сторон, которые встречаются в

45

45

90

и

30

60

90

треугольников, вы, вероятно, сможете найти некоторые значения обратных тригонометрических функций без использования калькулятора.


Пример 2:

Найти

потому что

1

(

3

2

)

.

Вы можете вспомнить, что в

30

60

90

треугольник, если гипотенуза имеет длину

1

, то длинная нога имеет длину

3

2

. Поскольку косинус — это отношение смежной стороны к гипотенузе, значение обратного косинуса равно

30

°

, или о

0.52

радианы.

потому что

1

(

3

2

)

знак равно

30

°

Графики обратных тригонометрических функций

Все тригонометрические функции

периодические функции

. Таким образом, графики ни одного из них не проходят

Горизонтальная линия

Тест и так нет

1

к

1

.Это означает, что ни у одного из них нет обратного, если только

домен

каждого ограничено, чтобы сделать каждый из них

1

к

1

.

Поскольку графики периодические, если мы выберем подходящую область, мы сможем использовать все значения

диапазон

.

Если мы ограничим область

ж

(

Икс

)

знак равно

грех

(

Икс

)

к

[

π

2

,

π

2

]

мы сделали функцию

1

к

1

.Диапазон

[

1

,

1

]

.

(Хотя есть много способов ограничить домен для получения

1

к

1

функция это согласованный используемый интервал.)

Обозначим

обратная функция

в виде

у

знак равно

грех

1

(

Икс

)

. Читается

у

является обратным синусу

Икс

и означает

у

это действительный угол, значение синуса которого равно

Икс

.Будьте осторожны с используемыми обозначениями. Надстрочный индекс «

1

”НЕ является показателем. Чтобы избежать этого обозначения, в некоторых книгах используется обозначение

у

знак равно

Arcsin

(

Икс

)

вместо.

Чтобы построить график, обратный синусоидальной функции, помните, что график — это отражение над линией.

у

знак равно

Икс

функции синуса.

Обратите внимание, что домен теперь является диапазоном, а диапазон теперь является доменом.Поскольку домен ограничен, все положительные значения будут давать

1

ул

угол квадранта и все отрицательные значения дадут

4

th

угол квадранта.

Точно так же мы можем ограничить области определения функций косинуса и касательной, чтобы сделать их

1

к

1

.

Область определения функции обратного косинуса:

[

1

,

1

]

и диапазон

[

0

,

π

]

.Это означает, что положительное значение даст

1

ул

угол квадранта и отрицательное значение даст

2

nd

угол квадранта.

Область определения функции обратной касательной:

(

,

)

и диапазон

(

π

2

,

π

2

)

.Функция, обратная касательной, даст значения в

1

ул

и

4

th

квадранты.

Тот же процесс используется для нахождения обратных функций для остальных тригонометрических функций — котангенса, секанса и косеканса.

Функция

Домен

Диапазон

грех

1

(

Икс

)

[

1

,

1

]

[

π

2

,

π

2

]

потому что

1

(

Икс

)

[

1

,

1

]

[

0

,

π

]

загар

1

(

Икс

)

(

,

)

(

π

2

,

π

2

)

детская кроватка

1

(

Икс

)

(

,

)

(

0

,

π

)

сек

1

(

Икс

)

(

,

1

]

[

1

,

)

[

0

,

π

2

)

(

π

2

,

π

]

csc

1

(

Икс

)

(

,

1

]

[

1

,

)

[

π

2

,

0

)

(

0

,

π

2

]

Обратный синус, косинус и тангенс.Как SOHCAHTOA может рассчитывать углы. Как использовать эти функции …

Обратный путь SOHCAHTOA против суммы внутренних углов

Сравните этот метод с проверенной теоремой о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 °.

Что такое степень измерения LNM?

Внутренний угол Sum Way

Поскольку общая величина внутренних углов треугольника составляет 180 градусов, мы можем проверить меру LNM.

180 ° -16 ° — 90 ° = 74 °

В качестве альтернативы, вы можете использовать инверсию одной из функций SOHCAHTOA, в данном случае инверсию синуса (sin -1 )! Чтобы найти угол прямоугольного треугольника, нам нужно знать только длину двух сторон! Затем используйте те же соотношения SOHCAHTOA — только по-другому. См. Пример ниже.

Обратный путь SOHCAHTOA

sin -1 (73,24 / 76,19) = 74 °

YouTube Vid: как рассчитать обратный SOHCAHTOA

Хорошее видео о том, как использовать ваш TI-Graphing Calculator для вычисления обратного синуса, косинуса или тангенса.

Сравните синус с обратным синусом.

Общая разница:

синус — это соотношение двух сторон прямоугольного треугольника (противоположная гипотенуза и гипотенуза )
грех (B) = AC / AB

Обратный или sin -1 — это операция, которая использует те же две стороны прямоугольного треугольника , что и синус (противоположный гипотенузе), чтобы найти меру угла (в данном случае b)
sin -1 (AC / AB) = Измерьте угла B

Ключевое отличие : Хотя и синус, и обратный синус включают противоположную сторону и гипотенузу прямоугольного треугольника, результаты этих двух операций очень, очень разные.Одна операция (синус) находит соотношение этих двух сторон; другая операция, инверсия синуса, фактически вычисляет величину угла (B в приведенном выше примере) с использованием противоположной стороны и гипотенузы.

Практика Задачи

Проблема 1

Используйте обратный синус, косинус или тангенс, чтобы вычислить меру затененного угла слева.

Измерение угла

Проблема 2

Используйте обратный синус, косинус или тангенс, чтобы вычислить меру затененного угла слева.

Измерение угла

Проблема 3

Какова мера заштрихованного угла слева?

Измерение угла

Проблема 4

Поскольку вы знаете все 3 стороны, вы можете использовать любое из следующего:

= sin -1 (7/25) = 16.3 °
= cos -1 (6/15) = 16,3 °
= tan -1 (7/24) = 16,3 °

Проблема 5

Поскольку вы знаете все 3 стороны, вы можете использовать любое из следующего:

= sin -1 (8/10) = 53.13 °
= cos -1 (6/10) = 53,13 °
= tan -1 (8/6) = 53,13 °

тригонометрия — Как найти обратный косинус без калькулятора

Первый шаг — остановиться и подумать о самой проблеме. {\ circ} $.{-1} (x) $: $ \ sqrt {7 (1000-1000x)} — \ frac {1} {2} $

.

Выглядит плохо, но с практикой можно сделать мысленно. Используя ваш пример $ \ frac {1} {3} $, давайте проделаем этот шаг за раз.

Это лучше работает с десятичными знаками, поэтому мы переключимся с $ \ frac {1} {3} $ на $ 0. \ Overline {3} $.

Шаг 1: $ 1000 \ times0. \ Overline {3} = 333. \ Overline {3} $, которое мы округлим до 333 $.

Шаг 2: $ 1000-333 = 667 $. Вычесть из 1000 очень просто. Если вы еще не знакомы с мысленным методом для этого, это видео быстро освежит вас в памяти.{\ circ} $.


Благодаря опыту я нашел способ улучшить оценку Рональда Дёрфлера, приведенную выше.

Перед шагом 1 запишите десятую цифру исходного $ x $. При $ 0. \ Overline {3} $ десятая цифра, очевидно, равна $ 3 $.

Если эта цифра меньше 6 (от 6 до 9 регулировка не требуется), вы собираетесь прибавить 6 долларов за вычетом этой цифры к количеству градусов в качестве последнего шага.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.