Вычисление длины вектора: Онлайн калькулятор. Модуль вектора. Длина вектора.

Содержание

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Пример 3

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Пример 4

Определить, при каких значениях  длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Вычисление длины (модуля) вектора в EXCEL. Примеры и описание


Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор

– это направленный отрезок прямой.

Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется

длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a

x

и a

y

, то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение

=КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9))

позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки

B8:B9

, см.

файл примера

).

Функция

СУММКВ()

возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =

B8*B8+B9*B9

.

В

файле примера

также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение

=КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9))

.

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор

задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой

=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны

C28:C29

и

B28:B29

соответственно.

Функция

СУММКВРАЗН()

в

озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу

=КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках

B43:B43

содержатся длины векторов а и b, а в ячейке

В45

— угол между ними в радианах (в долях числа

ПИ()

).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться

=КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))


Примечание

: для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить

пользовательский формат

, см. например, статью

Отображение широты и долготы в MS EXCEL

4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника

Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.

Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле

=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55))

.

Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).

5. Нахождение координат вектора через координаты точек

Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1 ; a2; … ; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = ( n ai2)1/2
Σ
i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Длина вектора, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти длину вектора всего за пару кликов. Для нахождения длины вектора заданного координатами или по точкам — выберите размерность и способ задания вектора, введите все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам понять решение и закрепить пройденный материал.

Введите данные для вычисления длины вектора


 

Размерность вектора:

2 3

Форма представления вектора:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



вектор длина

Вы искали вектор длина? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление длины вектора, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вектор длина».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вектор длина,вычисление длины вектора,вычисление длины вектора по его координатам,вычисление длины вектора по его координатам доказательство,вычислить длину вектора,длина вектор,длина вектора,длина вектора c,длина вектора в пространстве,длина вектора как найти,длина вектора как обозначается,длина вектора модуль вектора,длина вектора определение,длина вектора по двум точкам,длина вектора по его координатам,длина вектора по координатам,длина вектора по координатам начала и конца,длина вектора по координатам точек,длина вектора по координатам формула,длина вектора равна,длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат,длина вектора формула,длина вектора формула по координатам,длина вектора через координаты,длина вектора это,длина векторов,длина векторов по координатам,длина через координаты вектора,длину вектора,длины векторов,длины векторов как найти,как в прямоугольнике найти длины векторов,как вычислить длину вектора,как вычислить длину вектора по координатам,как зная координаты вектора найти его длину,как зная координаты найти длину вектора,как найти длина вектора,как найти длину вектора,как найти длину вектора ав,как найти длину вектора если известны его координаты,как найти длину вектора если известны координаты вектора,как найти длину вектора зная его координаты,как найти длину вектора зная его координаты начала и конца,как найти длину вектора зная координаты,как найти длину вектора зная координаты его начала и конца,как найти длину вектора и координаты,как найти длину вектора по двум точкам,как найти длину вектора по его координатам,как найти длину вектора по координатам,как найти длину вектора по координатам двух точек,как найти длину вектора по координатам начала и конца,как найти длину вектора формула,как найти длину вектора через координаты,как найти длину векторов,как найти длину и координаты вектора,как найти длины векторов,как найти длины векторов по координатам,как найти квадрат длины вектора,как найти координаты вектора если известна длина вектора,как найти координаты вектора зная длину,как найти координаты вектора зная его длину,как найти координаты вектора зная его длину и координаты начала,как найти координаты вектора и длину,как найти координаты вектора через длину,как найти координаты и длину вектора,как находить длину вектора,как обозначается длина вектора,как определить длину вектора,как определить длину вектора по координатам,как узнать длину вектора,как узнать длину вектора по координатам,квадрат длины вектора формула,координаты вектора длина вектора,модуль вектора длина вектора,модуль вектора определение,найдите длину и координаты вектора,найдите длины векторов,найти длину вектора,найти длину вектора по координатам,найти длину вектора по координатам точек,найти длину и координаты вектора,найти длину по координатам точек вектора,найти длины векторов,найти координаты вектора и длину,найти координаты и длину вектора,нахождение длины вектора,нахождение длины вектора по его координатам,определение вектора длина вектора,определение вектора длины,определение вектора длины вектора,определение длина вектора,определение длины вектора,определение модуль вектора,по координатам точек найти длину вектора,формула вычисления длины вектора,формула вычисления длины вектора по его координатам,формула длина вектора,формула длины вектора,формула длины вектора по его координатам,формула для вычисления длины вектора по его координатам,формула для нахождения длины вектора,формула как найти длину вектора,формула квадрат длины вектора,формула модуля вектора,формула нахождения длины,формула нахождения длины вектора,формула нахождения длины вектора по его координатам,чему равна длина вектора,что такое длина вектора. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор длина. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, вычисление длины вектора по его координатам).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вектор длина Онлайн?

Решить задачу вектор длина вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Вычисление длины вектора по его координатам правило. Как найти координаты вектора. Как найти координаты вектора онлайн

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора
a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Ответ:

a → = 49 + e .

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Ответ:

a → = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A (a x ; a y) и B (b x ; b y) , отсюда вектор A B → имеет координаты (b x — a x ; b y — a y) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2

А если даны точки с заданными координатами A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2

Пример 3

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2: A B → = (- 3 — 1) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = (- 3 — 1 ; 1 — 3) = (- 4 ; 1 — 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 — 3) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ:

A B → = 20 — 2 3 .

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 = (5 — 0) 2 + (2 — 1) 2 + (λ 2 — 2) 2 = 26 + (λ 2 — 2) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ:

26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 26 + (λ 2 — 2) 2 = 30 (λ 2 — 2) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ:

λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Решение

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Ответ:

B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 или A B → = (b x — a x) 2 + (b y — a y) 2 + (b z — a z) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

  • 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
  • 11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.
  • 12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.
  • 13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.
  • 14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.
  • 15. Способы задания прямой на плоскости.
  • 16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
  • 17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).
  • Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.
  • 18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).
  • 19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).
  • 20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).
  • 21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
  • 22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).
  • 23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.
  • 24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).
  • 25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).
  • 26. Угол между плоскостями (вывод).
  • 27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).
  • 28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).
  • 29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).
  • 30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).
  • Составление канонических уравнений прямой в пространстве.
  • Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
  • Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.
  • Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.
  • 31. Угол между прямыми (вывод).
  • 32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).
  • Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.
  • Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
  • Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
  • Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.
  • Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.
  • 33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
  • 34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.
  • 35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?
  • 36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.
  • 37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.
  • 38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.
  • 39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
  • 40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.
  • 41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.
  • 42. Число e.
  • Содержание
  • Способы определения
  • Свойства
  • История
  • Приближения
  • 43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.
  • 44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.
  • Содержание
  • Первый замечательный предел
  • Второй замечательный предел
  • 45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы
  • Левый и правый пределы функции
  • Точка разрыва первого рода
  • Точка разрыва второго рода
  • Точка устранимого разрыва
  • 46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.
  • 47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.
  • 48. Производные простейших элементарных функций.
  • 49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.
  • 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
  • 21.1. Неявно заданная функция
  • 21.2. Функция, заданная параметрически
  • 50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
  • 51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  • 52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
  • 53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.
  • 54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.
  • Теорема (необходимое условие экстремума)
  • 55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.
  • Доказательство
  • 57. Определители n-ого порядка, их свойства.
  • 58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.
  • Определение
  • Связанные определения
  • Свойства
  • Линейное преобразование и ранг матрицы
  • 59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
  • 60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.
  • Определения, понятия, обозначения.
  • Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.
  • Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
  • Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  • Теорема Кронекера – Капелли.
  • Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.
  • Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.
  • Решение систем уравнений, сводящихся к слау.
  • Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.
  • Вектором
    называется направленный отрезок.
    Длиной
    или модулем вектора называется длина
    соответствующего направленного отрезка.

    Модуль
    вектора a

    обозначается
    .
    Векторa

    называется единичным, если
    .
    Векторы называются коллинеарными, если
    они параллельны одной прямой. Векторы
    называются компланарными, если они
    параллельны одной плоскости.

    2. Умножение вектора на число. Свойства операции.

    Умножение
    вектора
    на
    число,
    даёт противоположно направленный вектор
    в длиной враз
    больше. Умножение вектора на число в
    координатной форме производится
    умножением всех координат на это число:

    Исходя
    из определения получается выражение
    для модуля вектора, умноженного на
    число:

    Аналогично
    как и числами, операции сложение вектора
    с самим с собой можно записать через
    умножение на число:

    А
    вычитание векторов можно переписать
    через сложение и умножение:

    Исходя
    из того, что умножение на
    не
    меняет длины вектора, а меняет только
    направление и учитывая определение
    вектора, получаем:

    3. Сложение векторов, вычитание векторов.

    В
    координатном представлении вектор
    суммы получается суммированием
    соответствующих координат слагаемых:

    Для
    геометрического построения вектора
    суммы
    используют
    различные правила (методы), однако они
    все дают одинаковый результат.
    Использование того или иного правила
    обосновывается решаемой задачей.

    Правило
    треугольника

    Правило
    треугольника наиболее естественно
    следует из понимания вектора как
    переноса. Ясно, что результат
    последовательного применения двух
    переносов
    инекоторой
    точки будет тем же, что применение сразу
    одного переноса,
    соответствующего этому правилу. Для
    сложения двух векторовипо
    правилутреугольника

    оба эти вектора переносятся параллельно
    самим себе так, чтобы начало одного из
    них совпадало с концом другого. Тогда
    вектор суммы задаётся третьей стороной
    образовавшегося треугольника, причём
    его начало совпадает с началом первого
    вектора, а конец с концом второго вектора.

    Это
    правило прямо и естественно обобщается
    для сложения любого количества векторов,
    переходя в правило
    ломаной
    :

    Правило
    многоугольника

    Начало
    второго вектора совмещается с концом
    первого, начало третьего — с концом
    второго и так далее, сумма же
    векторов
    есть вектор, с началом, совпадающим с
    началом первого, и концом, совпадающим
    с концом-го
    (то есть изображается направленным
    отрезком, замыкающим ломаную). Так же
    называется правилом ломаной.

    Правило
    параллелограмма

    Для
    сложения двух векторов
    ипо
    правилупараллелограмма

    оба эти векторы переносятся параллельно
    самим себе так, чтобы их начала совпадали.
    Тогда вектор суммы задаётся диагональю
    построенного на них параллелограмма,
    исходящей из их общего начала. (Легко
    видеть, что эта диагональ совпадает с
    третьей стороной треугольника при
    использовании правила треугольника).

    Правило
    параллелограмма особенно удобно, когда
    есть потребность изобразить вектор
    суммы сразу же приложенным к той же
    точке, к которой приложены оба слагаемых —
    то есть изобразить все три вектора
    имеющими общее начало.

    Модуль
    суммы векторов

    Модуль
    суммы двух векторов

    можно вычислить, использую теорему
    косинусов
    :

    Где

    косинус угла между векторамии.

    Если
    векторы изображены в соответствии с
    правилом треугольника и берется угол
    по рисунку — между сторонами
    треугольника — что не совпадает с
    обычным определением угла между
    векторами, а значит и с углом в приведенной
    формуле, то последний член приобретает
    знак минус, что соответствует теореме
    косинусов в ее прямой формулировке.

    Для
    суммы произвольного количества векторов

    применима аналогичная формула, в которой
    членов с косинусом больше: по одному
    такому члену существует для каждой пары
    векторов из суммируемого набора.
    Например, для трех векторов формула
    выглядит так:

    Вычитание
    векторов

    Два
    вектора
    и
    вектор их разности

    Для
    получения разности в координатной форме
    надо вычесть соответствующие координаты
    векторов:

    Для
    получения вектора разности
    начала
    векторов соединяются и началом векторабудет
    конец,
    а концом — конец.
    Если записать, используя точки векторов,
    то.

    Модуль
    разности векторов

    Три
    вектора
    ,
    как и при сложении, образуют треугольник,
    и выражение для модуля разности получается
    аналогичным:

    где

    косинус угла между векторамии

    Отличие
    от формулы модуля суммы в знаке перед
    косинусом, при этом надо хорошо следить,
    какой именно угол берется (вариант
    формулы модуля суммы с углом между
    сторонами треугольника при суммировании
    по правилу треугольника по виду не
    отличается от данной формулы для модуля
    разности, но надо иметь в виду, что для
    тут берутся разные углы: в случае суммы
    берётся угол, когда вектор
    переносится
    к концу вектора,
    когда же ищется модель разности, берётся
    угол между векторами, приложенными к
    одной точке; выражение для модуля суммы
    с использованием того же угла, что в
    данном выражении для модуля разности,
    отличается знаком перед косинусом).

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
    1. Они сонаправлены;
    1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$.2}$.

    Вывод:
    Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Oxy

    О
    А
    ОА
    .

    , откуда ОА
    .

    Таким образом, .

    Рассмотрим пример.

    Пример.

    Решение.

    :

    Ответ:

    Oxyz
    в пространстве.

    А
    ОА
    будет диагональю.

    В этом случае (так как ОА
    ОА
    .

    Таким образом, длина вектора .

    Пример.

    Вычислите длину вектора

    Решение.

    , следовательно,

    Ответ:

    Прямая на плоскости

    Общее уравнение

    Ax + By + C ( > 0).

    Вектор = (А; В)
    — нормальный вектор прямой.

    В векторном виде: + С = 0
    , где — радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

    Частные случаи:

    1) By + C = 0
    — прямая параллельна оси Ox
    ;

    2) Ax + C = 0
    — прямая параллельна оси Oy
    ;

    3) Ax + By = 0
    — прямая проходит через начало координат;

    4) y = 0
    — ось Ox
    ;

    5) x = 0
    — ось Oy
    .

    Уравнение прямой в отрезках

    где a, b
    — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

    Нормальное уравнение прямой
    (рис. 4.11)

    где — угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox
    ; p
    — расстояние от начала координат до прямой.

    Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

    Здесь — нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C
    , если и произвольно, если C = 0
    .

    Нахождение длины вектора по координатам.

    Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

    Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

    Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy
    . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

    Отложим от начала координат (от точки О
    ) вектор . Обозначим проекции точки А
    на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА
    .

    В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА
    равна длине вектора , следовательно, .

    Таким образом, формула для нахождения длины вектора
    по его координатам на плоскости имеет вид .

    Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

    Рассмотрим пример.

    Пример.

    Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

    Решение.

    Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

    Ответ:

    Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz
    в пространстве.

    Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А
    на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА
    будет диагональю.

    В этом случае (так как ОА
    – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА
    равна искомой длине вектора, следовательно, .

    Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат
    , то есть, находится по формуле .

    Пример.

    Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

    Решение.

    Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

    Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

    Определение 1

    Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

    Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

    Определение 2

    Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

    Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

    Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

    Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

    Определение 3

    Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

    Обозначение: $|\overline{a}|$

    Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

    Определение 4

    Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
    1. Они сонаправлены;
    1. Их длины равны (рис. 2).

    Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

    Определение 5

    Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

    $\overline{c}={m,n}$

    Как найти длину вектора?

    Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

    Пример 1

    Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

    Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

    Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

    $=x$, $[ OA_2]=y$

    Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

    $|\overline{α}|^2=^2+^2$

    $|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

    $|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

    Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

    Вывод:
    Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

    Пример задач

    Пример 2

    Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

    Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

    Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

    (* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

    {{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

    {{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

    {{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}}
    {{addToCollection.description.length}}/500

    {{l10n_strings.TAGS}}
    {{$item}}

    {{l10n_strings.PRODUCTS}}

    {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

     

    {{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

    {{l10n_strings.LANGUAGE}}
    {{$select.selected.display}}

    {{article.content_lang.display}}

    {{l10n_strings.AUTHOR}}

     

    {{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

    {{$select.selected.display}}

    {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}}
    {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

    Расстояние между векторами — Исчисление 3

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Расчет длины вектора, онлайн калькулятор

    Наш онлайн-калькулятор позволяет определить длину вектора всего за пару кликов.Чтобы рассчитать длину вектора по заданным координатам или точкам — Выберите размер и метод определения вектора, введите все координаты и нажмите «Рассчитать», калькулятор даст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам понять решение и закрепить покрытый материал.

    Введите данные для расчета длины вектора

    Форма представления векторов:

    по координатам по точкам

    Формула:

    Решено сегодня: раз, всего раз

    Длина или величина вектора, онлайн-калькулятор

    Онлайн-калькулятор для расчета длины вектора с 2 элементами

    Вычислить длину вектора

    Введите вектор, длину которого необходимо вычислить.Затем нажмите кнопку Рассчитать

    Дополнительные векторные функции для 2 элементов

    Векторные функции для 3 или 4 элементов

    Описание для вычисления длины вектора

    В этой статье описывается, как рассчитать величину вектора.
    Величина вектора — это его длина, и ее можно вычислить с помощью теоремы Пифагора.После этого квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
    Длины ног соответствуют соответствующим координатам вектора.

    На следующем рисунке показан вектор \ (\ left [\ matrix {4 \\ 3} \ right] \) в плоскости.

    Величина — это длина вектора, она соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника.2} = \ sqrt {16 + 36 + 144} = \ sqrt {196} = 14 \)

    Эта страница полезна?
    да

    Нет

    Спасибо за ваш отзыв!

    Прошу прощения за это

    Как мы можем это улучшить?

    послать


    13.3: Длина и кривизна дуги

    В этом разделе мы изучаем формулы, относящиеся к кривым как в двух, так и в трех измерениях, и видим, как они связаны с различными свойствами одной и той же кривой. Например, предположим, что векторная функция описывает движение частицы в пространстве. Мы хотели бы определить, как далеко прошла частица за заданный интервал времени, который можно описать длиной дуги пути, по которому она следует. Или предположим, что векторная функция описывает дорогу, которую мы строим, и мы хотим определить, насколько круто изгибается дорога в данной точке.{b} _ {a} \ | \ vecs r ′ (t) \ | dt. \ label {Arc3D} \ end {align} \]

    Эти две формулы очень похожи; они отличаются только тем, что пространственная кривая имеет три составляющие функции вместо двух. Обратите внимание, что формулы определены для гладких кривых: кривых, где вектор-функция \ (\ vecs r (t) \) дифференцируема с ненулевой производной. Условие гладкости гарантирует, что кривая не имеет выступов (или углов), которые могут сделать формулу проблематичной. {5} _ {1} = 20.{3/2}) ≈37,785 \) шт.

    Теперь вернемся к спирали, представленной ранее в этой главе. Векторнозначная функция, описывающая спираль, может быть записана в виде

    \ [\ vecs r (t) = R \ cos \ left (\ dfrac {2πNt} {h} \ right) \, \ hat {\ mathbf {i}} + R \ sin \ left (\ dfrac {2πNt} {h} \ right) \, \ hat {\ mathbf {j}} + t \, \ hat {\ mathbf {k}}, 0≤t≤h, \ nonumber \]

    , где \ (R \) представляет радиус спирали, \ (h \) представляет высоту (расстояние между двумя последовательными витками), а спираль совершает \ (N \) витков.2}. \ End {align *} \]

    Это дает формулу для длины провода, необходимой для образования спирали с \ (N \) витками, имеющими радиус \ (R \) и высоту \ (h \).

    Параметризация длины дуги

    Теперь у нас есть формула для длины дуги кривой, определяемой векторной функцией. Давайте сделаем еще один шаг и рассмотрим, что такое функция длины дуги .

    Если вектор-функция представляет положение частицы в пространстве как функцию времени, то функция длины дуги измеряет, как далеко эта частица проходит как функцию времени. {t} _ { a} ‖ \ vecs r ′ (u) ‖du \ bigg] \\ [4pt] & = \ | \ vecs r ′ (t) \ |.{t} _ {a} ‖ \ vecs r ′ (u) ‖ \, du \]

    Кроме того,

    \ [\ dfrac {ds} {dt} = ‖ \ vecs r ′ (t) ‖> 0. \ nonumber \]

    Если \ (‖ \ vecs r ′ (t) ‖ = 1 \) для всех \ (t≥a \), то параметр \ (t \) представляет длину дуги от начальной точки в \ (t = a \ ).

    Полезное применение этой теоремы — найти альтернативную параметризацию заданной кривой, называемую параметризацией длины дуги . Напомним, что любую векторную функцию можно повторно параметризовать с помощью замены переменных.Например, если у нас есть функция \ (\ vecs r (t) = ⟨3 \ cos t, 3 \ sin t⟩, 0≤t≤2π \), которая параметризует круг радиуса 3, мы можем изменить параметр с \ (t \) to \ (4t \), получив новую параметризацию \ (\ vecs r (t) = ⟨3 \ cos 4t, 3 \ sin 4t⟩ \). Новая параметризация по-прежнему определяет круг радиуса 3, но теперь нам нужно использовать только значения \ (0≤t≤π / 2 \), чтобы пройти по кругу один раз.

    Предположим, что мы нашли функцию длины дуги \ (s (t) \) и можем решить эту функцию для \ (t \) как функцию от \ (s \) . Затем мы можем повторно параметризовать исходную функцию \ (\ vecs r (t) \), подставив выражение для \ (t \) обратно в \ (\ vecs r (t) \). Векторнозначная функция теперь записывается в терминах параметра \ (s \) . Поскольку переменная \ (s \) представляет длину дуги, мы называем это параметризацией длины дуги исходной функции \ (\ vecs r (t) \). Одним из преимуществ поиска параметризации длины дуги является то, что расстояние, пройденное по кривой, начиная с \ (s = 0 \), теперь равно параметру \ (s \).Параметризация длины дуги также появляется в контексте кривизны (которую мы рассмотрим позже в этом разделе) и линейных интегралов.

    Пример \ (\ PageIndex {2} \): поиск параметризации длины дуги

    Найдите параметризацию длины дуги для каждой из следующих кривых:

    1. \ (\ vecs r (t) = 4 \ cos t \, \ hat {\ mathbf {i}} + 4 \ sin t \, \ hat {\ mathbf {j}}, \ quad t≥0 \)
    2. \ (\ vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩, \ quad t≥3 \)

    Решение

    1. Сначала мы находим функцию длины дуги, используя уравнение \ ref {arclength3}:

      \ [\ begin {align *} s (t) & = \ int_a ^ t ‖ \ vecs r ′ (u) ‖ \, du \\ [4pt] & = \ int_0 ^ t ‖⟨ − 4 \ sin u, 4 \ cos u⟩‖ \, du \\ [4pt] & = \ int_0 ^ t \ sqrt {(- 4 \ sin u) ^ 2 + (4 \ cos u) ^ 2} \, du \\ [4pt] & = \ int_0 ^ t \ sqrt {16 \ sin ^ 2 u + 16 \ cos ^ 2 u} \, du \\ [4pt] & = \ int_0 ^ t 4 \, du = 4t, \ end {align *} \]

    2. , который дает соотношение между длиной дуги \ (s \) и параметром \ (t \) как \ (s = 4t; \), то есть \ (t = s / 4 \).Затем мы заменяем переменную \ (t \) в исходной функции \ (\ vecs r (t) = 4 \ cos t \, \ hat {\ mathbf {i}} + 4 \ sin t \, \ hat {\ mathbf {j}} \) с выражением \ (s / 4 \), чтобы получить

      \ [\ vecs r (s) = 4 \ cos \ left (\ frac {s} {4} \ right) \, \ hat {\ mathbf {i}} + 4 \ sin \ left (\ frac {s} {4} \ right) \, \ hat {\ mathbf {j}}. \ nonumber \]

      Это параметризация длины дуги для \ (\ vecs r (t) \). Поскольку исходное ограничение на \ (t \) было задано как \ (t≥0 \), ограничение на s становится \ (s / 4≥0 \) или \ (s≥0 \).t 3 \, du \\ [4pt] & = 3t — 9. \ end {align *} \]

      Следовательно, связь между длиной дуги \ (s \) и параметром \ (t \) равна \ (s = 3t − 9 \), поэтому \ (t = \ frac {s} {3} +3 \). Подставляя это в исходную функцию \ (\ vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩ \), получаем

      \ [\ vecs r (s) = ⟨\ left (\ frac {s} {3} +3 \ right) +3, \, 2 \ left (\ frac {s} {3} +3 \ right) — 4, \, 2 \ left (\ frac {s} {3} +3 \ right)⟩ = ⟨\ frac {s} {3} +6, \ frac {2s} {3} +2, \ frac {2s } {3} + 6⟩. \ Nonumber \]

      Это параметризация длины дуги \ (\ vecs r (t) \).Первоначальное ограничение на параметр \ (t \) было \ (t≥3 \), поэтому ограничение на \ (s \) равно \ ((s / 3) + 3≥3 \) или \ (s≥0 \).

    Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

    Найдите функцию длины дуги для спирали

    \ [\ vecs r (t) = ⟨3 \ cos t, 3 \ sin t, 4t⟩, \ quad t≥0. \ nonumber \]

    Затем используйте соотношение между длиной дуги и параметром \ (t \), чтобы найти параметризацию длины дуги для \ (\ vecs r (t) \).

    Подсказка

    Начните с поиска функции длины дуги.

    Ответ

    \ (s = 5t \) или \ (t = s / 5 \). Подставляя это в \ (\ vecs r (t) = ⟨3 \ cos t, 3 \ sin t, 4t⟩ \), получаем

    \ [\ vecs r (s) = ⟨3 \ cos \ left (\ frac {s} {5} \ right), 3 \ sin \ left (\ frac {s} {5} \ right), \ frac { 4s} {5}⟩, \ quad s≥0 \ nonumber \]

      Кривизна

      Кривизна — важная тема, связанная с длиной дуги. Концепция кривизны позволяет измерить, насколько круто поворачивает плавная кривая.Круг имеет постоянную кривизну. Чем меньше радиус круга, тем больше кривизна.

      Представьте, что вы едете по дороге. Предположим, дорога пролегает по дуге большого круга. В этом случае вам не нужно будет крутить руль, чтобы оставаться на дороге. Теперь предположим, что радиус меньше. В этом случае вам потребуется более крутой поворот, чтобы оставаться на дороге. В случае кривой, отличной от окружности, часто бывает полезно сначала вписать окружность в кривую в данной точке так, чтобы она касалась кривой в этой точке и «обнимала» кривую как можно ближе в точке. окрестность точки (рис. \ (\ PageIndex {1} \)).Кривизна графика в этой точке затем определяется как такая же, как кривизна вписанной окружности.

      Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): график представляет кривизну функции \ (y = f (x). \) Чем круче поворот графика, тем больше кривизна и тем меньше радиус вписанный круг.

      Определение: кривизна

      Пусть \ (C \) будет гладкой кривой на плоскости или в пространстве, заданном как \ (\ vecs r (s) \), где \ (s \) — параметр длины дуги. Кривизна \ (κ \) в точке \ (s \) равна

      .

      \ [κ = \ bigg {\ |} \ dfrac {d \ vecs {T}} {ds} \ bigg {\ |} = ‖ \ vecs T ′ (s) ‖.\]

      Посетите это видео для получения дополнительной информации о кривизне пространственной кривой.

      Формула для определения кривизны не очень полезна с точки зрения расчета. В частности, напомним, что \ (\ vecs T (t) \) представляет единичный касательный вектор к заданной векторнозначной функции \ (\ vecs r (t) \), а формула для \ (\ vecs T (t) \) равно

      \ [\ vecs T (t) = \ frac {\ vecs r ′ (t)} {∥ \ vecs r ′ (t) ∥}. \]

      Чтобы использовать формулу для кривизны, сначала необходимо выразить \ (\ vecs r (t) \) через параметр длины дуги \ (s \), затем найти единичный касательный вектор \ (\ vecs T ( s) \) для функции \ (\ vecs r (s) \), затем возьмем производную от \ (\ vecs T (s) \) по \ (s \).Это утомительный процесс. К счастью, есть эквивалентные формулы для кривизны.

      Теорема: альтернативные формулы кривизны

      Если \ (C \) — гладкая кривая, заданная формулой \ (\ vecs r (t) \), то кривизна \ (κ \) кривой \ (C \) в точке \ (t \) равна

      . 3}.{3/2}}. \ Label {EqK4} \]

      Проба

      Первая формула следует непосредственно из цепного правила:

      \ [\ dfrac {d \ vecs {T}} {dt} = \ dfrac {d \ vecs {T}} {ds} \ dfrac {ds} {dt}, \ nonumber \]

      где \ (s \) — длина дуги вдоль кривой \ (C \). Разделив обе стороны на \ (ds / dt \) и взяв величину обеих сторон, получим

      \ [\ bigg {\ |} \ dfrac {d \ vecs {T}} {ds} \ bigg {\ |} = \ left \ lVert \ frac {\ vecs T ′ (t)} {\ dfrac {ds} {dt}} \ right \ rVert. \ nonumber \]

      Поскольку \ (ds / dt = ‖ \ vecs r ′ (t) ‖ \), это дает формулу для кривизны \ (κ \) кривой \ (C \) в терминах любой параметризации \ (C \ ):

      \ [κ = \ dfrac {‖ \ vecs T ′ (t) ‖} {‖ \ vecs r ′ (t) ‖}.3}. \ Nonumber \]

      Это доказывает \ (\ ref {EqK3} \). Чтобы доказать \ (\ ref {EqK4} \), мы начнем с предположения, что кривая \ (C \) определяется функцией \ (y = f (x) \). Затем мы можем определить \ (\ vecs r (t) = x \, \ hat {\ mathbf {i}} + f (x) \, \ hat {\ mathbf {j}} + 0 \, \ hat {\ mathbf {k}} \). Используя предыдущую формулу кривизны:

      \ [\ begin {align *} \ vecs r ′ (t) & = \, \ hat {\ mathbf {i}} + f ′ (x) \, \ hat {\ mathbf {j}} \\ [4pt ] \ vecs r ″ (t) & = f ″ (x) \, \ hat {\ mathbf {j}} \\ [4pt] \ vecs r ′ (t) × \ vecs r ″ (t) & = \ begin {vmatrix} \ hat {\ mathbf {i}} & \ hat {\ mathbf {j}} & \ hat {\ mathbf {k}} \\ 1 & f ′ (x) & 0 \\ 0 & f ″ ( x) & 0 \ end {vmatrix} = f ″ (x) \, \ hat {\ mathbf {k}}.{3/2}} ≈0,0059 \)

        Нормальные и бинормальные векторы

        Мы видели, что производная \ (\ vecs r ′ (t) \) векторной функции является касательным вектором к кривой, заданной формулой \ (\ vecs r (t) \), и единичным касательным вектором \ (\ vecs T (t) \) можно вычислить, разделив \ (\ vecs r ′ (t) \) на его величину. При изучении движения в трех измерениях два других вектора полезны для описания движения частицы по пути в пространстве: вектор главной единичной нормали и вектор бинормали .

        Определение: бинормальные векторы

        Пусть \ (C \) будет трехмерной гладкой кривой , представленной \ (\ vecs r \) на открытом интервале \ (I \) . Если \ (\ vecs T ′ (t) ≠ \ vecs 0 \), то вектор нормали главной единицы в \ (t \) определяется как

        \ [\ vecs N (t) = \ dfrac {\ vecs T ′ (t)} {‖ \ vecs T ′ (t) ‖}. \ label {EqNormal} \]

        Вектор бинормали в точке \ (t \) определяется как

        \ [\ vecs B (t) = \ vecs T (t) × \ vecs N (t), \ label {EqBinormal} \]

        где \ (\ vecs T (t) \) — единичный касательный вектор.

        Обратите внимание, что по определению вектор бинормали ортогонален как единичному касательному вектору, так и вектору нормали. Кроме того, \ (\ vecs B (t) \) всегда является единичным вектором. Это можно показать с помощью формулы для величины перекрестного произведения.

        \ [‖ \ vecs B (t) ‖ = ‖ \ vecs T (t) × \ vecs N (t) ‖ = ‖ \ vecs T (t) ‖‖ \ vecs N (t) ‖ \ sin \ theta, \ ]

        , где \ (\ theta \) — угол между \ (\ vecs T (t) \) и \ (\ vecs N (t) \). Поскольку \ (\ vecs N (t) \) является производной единичного вектора, свойство (vii) производной векторнозначной функции говорит нам, что \ (\ vecs T (t) \) и \ (\ vecs N (t) \) ортогональны друг другу, поэтому \ (\ theta = π / 2 \).Кроме того, они оба являются единичными векторами, поэтому их величина равна 1. Следовательно, \ (‖ \ vecs T (t) ‖‖ \ vecs N (t) ‖ \ sin \ theta = (1) (1) \ sin (π / 2) = 1 \) и \ (\ vecs B (t) \) — единичный вектор.

        Главный единичный вектор нормали может быть сложно вычислить, потому что единичный касательный вектор включает частное, а это частное часто имеет квадратный корень в знаменателе. В трехмерном случае нахождение векторного произведения единичного касательного вектора и единичного вектора нормали может быть еще более обременительным.К счастью, у нас есть альтернативные формулы для нахождения этих двух векторов, и они представлены в разделе «Движение в пространстве».

        Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск вектора нормали главной единицы и вектора бинормального вектора

        Найдите вектор нормали главной единицы для каждой из следующих векторных функций. 2 \, \ hat {\ mathbf {j}} — 8t \, \ hat {\ mathbf {k}} \)

      Решение

      1. Эта функция описывает круг.2 t}} \\ [4pt]
        & = — \ cos t \, \ hat {\ mathbf {i}} + \ sin t \, \ hat {\ mathbf {j}}. \ end {align *} \]

        Обратите внимание, что единичный касательный вектор и главный единичный нормальный вектор ортогональны друг другу для всех значений \ (t \):

        \ [\ begin {align *} \ vecs T (t) · \ vecs N (t) & = ⟨− \ sin t, — \ cos t⟩ · − \ cos t, \ sin t⟩ \\ [4pt ] & = \ sin t \ cos t− \ cos t \ sin t \\ [4pt] & = 0. \ end {align *} \]

        Кроме того, вектор нормали главной единицы указывает на центр окружности из каждой точки окружности.2−3t) \, \ hat {\ mathbf {i}} + (4t + 1) \, \ hat {\ mathbf {j}} \) и оцените его как \ (t = 2 \).

        Подсказка

        Сначала найдите \ (\ vecs T (t) \), затем используйте \ (\ ref {EqNormal} \).

        Ответ

        \ (\ vecs N (2) = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} (\, \ hat {\ mathbf {i}} — \, \ hat {\ mathbf {j}}) \)

        Для любой гладкой кривой в трех измерениях, которая определяется векторной функцией, теперь у нас есть формулы для единичного касательного вектора \ (\ vecs T \), единичного вектора нормали \ (\ vecs N \) и бинормали. вектор \ (\ vecs B \).Единичный вектор нормали и вектор бинормали образуют плоскость, перпендикулярную кривой в любой точке кривой, называемой нормальной плоскостью. Кроме того, эти три вектора образуют систему отсчета в трехмерном пространстве, называемую системой отсчета Френе (также называемой рамкой TNB ) (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Наконец, плоскость, определяемая векторами \ (\ vecs T \) и \ (\ vecs N \), образует соприкасающуюся плоскость \ (C \) в любой точке \ (P \) на кривой.

        Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): этот рисунок изображает систему координат Френе.В каждой точке \ (P \) на трехмерной кривой единичный касательный, единичный нормальный и бинормальный векторы образуют трехмерную систему отсчета.

        Предположим, что мы формируем круг в соприкасающейся плоскости \ (C \) в точке \ (P \) на кривой. Предположим, что окружность имеет ту же кривизну, что и кривая в точке \ (P \), и пусть окружность имеет радиус \ (r \). Тогда кривизна окружности определяется выражением \ (\ frac {1} {r} \). Мы называем \ (r \) радиусом кривизны кривой, и он равен обратной величине кривизны.Если эта окружность лежит на вогнутой стороне кривой и касается кривой в точке \ (P \), то эта окружность называется соприкасающейся окружностью из \ (C \) в точке \ (P \), как показано. на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

        Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В этом соприкасающемся круге круг касается кривой \ (C \) в точке \ (P \) и имеет ту же кривизну.

        Для получения дополнительной информации о соприкасающихся кругах см. Эту демонстрацию кривизны и кручения, эту статью о соприкасающихся кругах и это обсуждение формул Серре.{3/2}}. \]

        Это дает \ (κ = 6 \). Следовательно, радиус соприкасающегося круга равен \ (R = \ frac {1} {κ} = \ dfrac {1} {6} \). Затем мы вычисляем координаты центра круга. Когда \ (x = 1 \), наклон касательной равен нулю. Следовательно, центр соприкасающегося круга находится прямо над точкой на графике с координатами \ ((1, −1) \). 2 = \ frac {1} {16} \).

        13,3 Длина и кривизна дуги

        Иногда бывает полезно вычислить длину кривой в пространстве; для
        Например, если кривая представляет путь движущегося объекта,
        длина кривой между двумя точками может быть расстоянием, пройденным
        объект между двумя временами.

        Напомним, что если кривая задается вектор-функцией $ \ bf r $, то
        вектор $ \ Delta {\ bf r} =
        {\ bf r} (t + \ Delta t) — {\ bf r} (t) $ точек с одной позиции
        от кривой к другой, как показано на рисунке 13.2.1. Если точки расположены близко друг к другу, длина
        $ \ Delta {\ bf r} $ близка к длине
        кривая между двумя точками. Если сложить длины многих таких
        крошечные векторы, помещенные головой к хвосту вдоль сегмента кривой, мы получаем
        приближение к длине кривой на этом участке. в
        предел, как обычно, эта сумма превращается в интеграл, который вычисляет точно
        длина кривой.
        Во-первых, обратите внимание, что
        $$ | \ Delta {\ bf r} | = {| \ Delta {\ bf r} | \ over \ Delta t} \, \ Delta t \ приблизительно
        | {\ bf r} ‘(t) | \, \ Delta t, $$
        когда $ \ Delta t $ мало.2} \, dx. $$
        К сожалению, такие интегралы часто невозможно сделать точно и
        должны быть приблизительными.

        Одним из полезных применений длины дуги является
        Параметризация длины дуги .
        Вектор
        функция $ {\ bf r} (t) $ дает положение точки в терминах
        параметр $ t $, который часто является временем, но не обязательно. Предположим, что $ s $ — это
        расстояние по кривой от некоторой фиксированной начальной точки; если мы используем
        $ s $ для переменной, мы получаем $ {\ bf r} (s) $, позицию в пространстве в
        с точки зрения расстояния по кривой.Мы все еще можем представить, что
        кривая представляет положение движущегося объекта; теперь мы получаем
        положение объекта в зависимости от того, как далеко объект
        путешествовал.

        Пример 13.3.3. Предположим, что $ {\ bf r} (t) = \ langle \ cos t, \ sin t, 0 \ rangle $. Мы знаем
        что эта кривая представляет собой круг радиуса 1. Хотя $ t $ может представлять
        время, он также может в этом случае представлять обычный угол между
        положительная ось $ x $ и $ {\ bf r} (t) $. 2 (s / \ sqrt2) \ over2} + {1 \ over2}} =
        \ sqrt {{1 \ over2} + {1 \ over2}} = 1.$$
        Итак, в общем случае $ {\ bf r} ‘$ — единичный касательный вектор.

        Учитывая кривую $ {\ bf r} (t) $, мы хотели бы иметь возможность проводить измерения при
        различные точки, насколько она резко изогнута. Ясно, что это связано с
        насколько «быстро» касательный вектор меняет направление, поэтому первое предположение
        может быть, мы можем измерить кривизну с помощью $ | {\ bf r} » (t) | $. Немного
        мысль показывает, что это ошибочно; если мы будем думать о $ t $ как о времени, для
        Например, мы могли бы более или менее быстро проследить кривую
        по прошествии времени. Вторая производная $ | {\ bf r} » (t) | $ включает
        это понятие времени, поэтому оно зависит не только от геометрических
        свойства кривой, но от того, как быстро мы движемся по кривой.

        Пример 13.3.5. Рассмотрим $ {\ bf r} (t) = \ langle \ cos t, \ sin t, 0 \ rangle $ и
        $ {\ bf s} (t) = \ langle \ cos 2t, \ sin 2t, 0 \ rangle $. Оба этих вектора
        функции представляют единичный круг в плоскости $ x $ — $ y $, но если $ t $
        интерпретируется как время, вторая описывает дважды движущийся объект как
        быстро как первый. Вычисляя вторые производные, находим
        $ | {\ bf r} » (t) | = 1 $, $ | {\ bf s} » (t) | = 4 $.
        $ \ квадрат $

        Чтобы убрать зависимость от времени, воспользуемся длиной дуги
        параметризация. Если кривая задается $ {\ bf r} (s) $, то первая
        производная $ {\ bf r} ‘(s) $ является единичным вектором, то есть
        $ {\ bf r} ‘(s) = {\ bf T} (s) $.Теперь вычислим вторую производную
        $ {\ bf r} » (s) = {\ bf T} ‘(s) $ и используйте $ | {\ bf T}’ (s) | $ в качестве
        «официальная» мера
        кривизна , обычно обозначается $ \ kappa $.

        Пример 13.3.6 Мы видели, что параметризация длины дуги
        конкретная спираль $ {\ bf r} (s) =
        \ langle \ cos (s / \ sqrt2), \ sin (s / \ sqrt2), s / \ sqrt2 \ rangle $.
        Вычисление второй производной дает
        $ {\ bf r} » (s) =
        \ langle — \ cos (s / \ sqrt2) / 2, — \ sin (s / \ sqrt2) / 2,0 \ rangle $ с длиной $ 1/2 $.
        $ \ квадрат $

        Что, если нам дана кривая как вектор-функция $ {\ bf r} (t) $, где
        $ t $ — это не длина дуги? Мы видели, что длина дуги может быть сложной.
        вычислить; к счастью, нам не нужно переводить в длину дуги
        параметризация для вычисления кривизны.Вместо этого представим, что у нас есть
        сделали это, поэтому мы нашли $ t = g (s) $, а затем сформировали
        $ \ hat {\ bf r} (s) = {\ bf r} (g (s)) $. Первая производная $ \ hat {\ bf r} ‘(s) $
        является единичным касательным вектором, поэтому это то же самое, что и единичный касательный вектор
        $ {\ bf T} (t) = {\ bf T} (g (s)) $. Взяв производную от этого, мы получаем
        $$ {d \ over ds} {\ bf T} (g (s)) = {\ bf T} ‘(g (s)) g’ (s) = {\ bf T} ‘(t) {dt \ над
        ds}. $$
        Кривизна — это длина этого вектора:
        $$ \ kappa = | {\ bf T} ‘(t) || {dt \ over ds} | = {| {\ bf T}’ (t) | \ over | ds / dt |} =
        {| {\ bf T} ‘(t) | \ over | {\ bf r}’ (t) |}.$$
        (Напомним, что мы видели, что $ ds / dt = | {\ bf r} ‘(t) | $.) Таким образом, мы можем
        вычислить кривизну, вычислив только производные по
        $ t $; нам не нужно выполнять преобразование в длину дуги.

        Пример 13.3.7
        Возвращаясь к спирали, допустим, мы начали с параметризации
        $ {\ bf r} (t) = \ langle \ cos t, \ sin t, t \ rangle $. Затем
        $ {\ bf r} ‘(t) = \ langle — \ sin t, \ cos t, 1 \ rangle $,
        $ | {\ bf r} ‘(t) | = \ sqrt2 $ и $ {\ bf T} (t) = \ langle — \ sin t, \ cos
        t, 1 \ rangle / \ sqrt2 $. Затем
        $ {\ bf T} ‘(t) = \ langle — \ cos t, — \ sin t, 0 \ rangle / \ sqrt2 $ и
        $ | {\ bf T} ‘(t) | = 1 / \ sqrt2 $.Наконец, $ \ kappa = 1 / \ sqrt2 / \ sqrt2 = 1/2 $,
        как прежде.
        $ \ квадрат $

        Пример 13.3.8
        Рассмотрим этот круг радиуса $ a $:
        $ {\ bf r} (t) = \ langle a \ cos t, a \ sin t, 1 \ rangle $. Затем
        $ {\ bf r} ‘(t) = \ langle -a \ sin t, a \ cos t, 0 \ rangle $,
        $ | {\ bf r} ‘(t) | = a $ и $ {\ bf T} (t) = \ langle -a \ sin t, a \ cos
        t, 0 \ rangle / a $. Сейчас же
        $ {\ bf T} ‘(t) = \ langle -a \ cos t, -a \ sin t, 0 \ rangle / a $ и
        $ | {\ bf T} ‘(t) | = 1 $. Наконец, $ \ kappa = 1 / a $:
        кривизна круга везде обратна радиусу. Это
        иногда полезно думать о кривизне как о том, какой круг
        кривая больше всего похожа на точку.{3/2}}. $$
        Изобразив это, мы получим

        Самый высокий
        искривление возникает там, где кривая имеет самую высокую и самую низкую точки,
        и действительно на картинке они кажутся наиболее резко изогнутыми
        части кривой, в то время как кривая представляет собой почти прямую линию
        на полпути между этими точками.
        $ \ квадрат $

        Давайте посмотрим, почему эта альтернативная формула верна. Начиная с
        определение $ {\ bf T} $,
        $ {\ bf r} ‘= | {\ bf r}’ | {\ bf T} $, поэтому по правилу произведения
        $ {\ bf r} » = | {\ bf r} ‘|’ {\ bf T} + | {\ bf r} ‘| {\ bf T}’ $.3 $ дает желаемую формулу.

        Здесь мы использовали тот факт, что $ {\ bf T} ‘$ перпендикулярно $ {\ bf T} $;
        вектор $ {\ bf N} = {\ bf T} ‘/ | {\ bf T}’ | $, таким образом, является единичным вектором
        перпендикулярно $ {\ bf T} $, называемое
        единица нормальная
        к кривой. Иногда используется
        единица бинормальной
        $ {\ bf B} = {\ bf T} \ times {\ bf N} $, а
        единичный вектор, перпендикулярный как $ {\ bf T} $, так и $ {\ bf N} $.

        Упражнения 13.3

        Sage может помочь с несколько утомительным расчетом кривизны.4 $ по цене $ (1,1) $.
        (отвечать)

        Калькулятор единичного вектора

        Этот калькулятор единичного вектора поможет вам преобразовать любой вектор в вектор длины 1 без изменения его направления. Если вы хотите знать, как вычислить компоненты единичного вектора, не смотрите дальше! Вы можете получить результат, разделив компоненты любого произвольного вектора на его величину. Не волнуйтесь, если вы не знаете, как определить величину вектора. Эта статья даст вам пошаговое объяснение.

        Что такое единичный вектор?

        Единичный вектор — это вектор длины, равной 1.

        Когда единичный вектор используется для описания пространственного направления, его можно назвать вектором направления . В декартовой системе координат три единичных вектора, образующие основу трехмерного пространства, следующие:

        • (1, 0, 0) — описывает направление x
        • (0, 1, 0) — описывает направление y
        • (0, 0, 1) — описывает z-направление

        Каждый вектор в трехмерном пространстве равен сумме единичных векторов.

        Формула единичного вектора

        Если вам задан произвольный вектор, можно вычислить единичный вектор в том же направлении.Для этого необходимо применить следующую формулу:

        û = u / | u |

        где:

        • û — единичный вектор,
        • u — произвольный вектор в форме (x, y, z), а
        • | u | — величина вектора и .

        Вы можете рассчитать величину вектора с помощью нашего калькулятора расстояний или просто по уравнению

        | u | = √ (x² + y² + z²)

        Вычисление величины вектора также является полезным навыком для нахождения средней точки сегмента.

        Как вычислить единичный вектор

        Рассмотрим пример вектора u = (8, -3, 5). Чтобы вычислить единичный вектор в том же направлении, вы должны выполнить следующие шаги:

        1. Запишите компоненты x, y и z вектора. В этом случае x₁ = 8, y₁ = -3 и z₁ = 5.

        2. Вычислить величину вектора u :

        | u | = √ (x₁² + y₁² + z₁²)

        | u | = √ (8² + (-3) ² + 5²)

        | u | = √ (64 + 9 + 25)

        | u | = √98

        | u | = 9.9

        1. Теперь, когда вы знаете величину вектора и , вы, вероятно, захотите узнать, как вычислить единичный вектор. Все, что вам нужно сделать, это разделить каждую из составляющих исходного вектора на | u |.

        x₂ = x₁ / | u | = 8 / 9,9 = 0,8081

        y₂ = y₁ / | u | = -3 / 9,9 = -0,3031

        z₂ = z₁ / | u | = 5 / 9,9 = 0,5051

        1. Теперь запишите эти результаты в векторной форме, чтобы найти вектор û = (0.8081, -0,3031, 0,5051).

        2. Вы можете проверить правильность результата. Если это так, величина вашего единичного вектора должна быть равна 1.

        MathScene — Векторы — Урок 3

        MathScene — Векторы — Урок 3

        2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

        Урок
        3

        Векторы в системе координат


        Пример 1

        В
        точка A имеет координаты (2, 2), а точка B — координаты (6, 5) (см. диаграмму).Координаты вектора

        Мы
        можно использовать формулу для расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние
        между A и B, то есть длина вектора

        (см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:

        Подставляя заданные координаты в формулу, получаем:

        Мы видим, что числа под квадратным корнем — это просто координаты
        вектор.Это, конечно, потому, что длина вектора — это просто
        гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.

        Формула длины вектора, начинающегося в точке
        A = (x 1 , y 1 ) и заканчивается на B = (x 2 ,
        y 2 ) равен:

        Если координаты вектора равны

        то у нас есть следующее правило:


        Пример 2

        Найдите вектор

        что параллельно

        и который имеет длину 2 единицы
        (видеть
        диаграмму).

        Два треугольника на диаграмме похожи, поэтому соответствующие
        стороны находятся в одинаковом соотношении.
        ||
        = t ∙ ||.

        Число t — это соотношение между соответствующими сторонами. Соотношение есть.

        Мы можем найти координаты как
        следует:

        Если
        векторы
        и
        находятся
        параллельно, то существует такое число t, что:

        = т ∙


        Пример 3

        Какие из следующих векторов параллельны
        и

        .

        Если
        векторов
        и

        находятся
        параллельно, то существует такое число t, что =
        т ∙.
        Если векторы
        и

        находятся
        параллельно существует такое число r, что
        знак равно
        г ∙.

        Мы
        можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть
        будут ли найдены те же значения, когда мы используем координаты y.

        = т ∙

        3 = t ∙ 13 дает t = 3/13 = 2/9

        4 = t ∙ 18 также дает t = 4/18 = 2/9

        В
        векторов
        и

        соток
        параллель
        .

        = г ∙

        3 = r ∙ 6 дает r =

        4 = r ∙ 9 дает r = 4/9

        В
        векторов
        и

        соток
        не параллельно

        (Это значит, что
        и

        находятся
        тоже не параллельно).

        Вектор на схеме имеет координаты
        .

        В
        вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты
        конечная точка совпадает с координатами самого вектора.Это верно для
        все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в
        точка (0, 0).

        Вектор, начинающийся в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и
        его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A.

        Каждая точка в системе координат может быть представлена ​​своим вектором положения.
        Координаты точки и ее вектор положения совпадают.Это может быть
        очень полезно при просмотре переводов в системе координат.


        Пример 4

        Треугольник, изображенный на схеме, должен быть переведен на вектор
        .

        Мы используем векторы положения точек вершин (−3, 0),
        (2, −2) и (3, 1) и складываем вектор

        каждому из них.

        Это дает нам новый вектор положения каждой вершины.Схема ниже
        показывает перевод.


        Пример 5

        Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если
        A = (1, 2) и B = (4, 3).

        Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина
        из AB тогда:

        знак равно

        + ∙

        Вектор
        является
        вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и
        точка M, которую мы хотим вычислить.Вектор
        вектор положения A. Чтобы достичь средней точки M, нам нужно добавить половину
        вектор.
        Нарисуйте диаграмму, чтобы увидеть это.

        Сначала нам нужно найти вектор
        .

        Теперь мы можем найти

        .

        знак равно

        + ∙

        Координаты M такие же, как у вектора положения.

        или (2, 2) .


        Легко найти формулу, по которой мы сможем найти координаты
        середина отрезка AB.

        2
        = + ∙
        + — ∙

        Мы видим, что вектор положения середины отрезка линии является своего рода
        среднее из векторов положения конечных точек. Таким образом, мы можем найти
        координаты средней точки путем нахождения среднего значения координат x и y
        координаты соответственно.
        Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.

        Середина M отрезка AB задается правилом:

        .

        Правило использования координат:


        Пример 6

        Вершины треугольника ABC равны A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).

        Найдите длину прямой от A до середины стороны BC (медиана
        треугольник ABC).

        Начнем с нахождения середины BC, используя указанное выше правило.

        Назовем среднюю точку M и найдем ее вектор положения
        (видеть
        диаграмму).

        Следовательно, M, середина BC имеет координаты
        М = (3, 1).

        Далее находим координаты вектора
        .

        Наконец, мы можем найти длину вектора как
        обязательный.


        2,55

        =
        +

        =
        + ∙

        =
        — ∙
        — ∙

        Когда мы складываем их вместе,
        выходит и получаем:

        3 =

        + +

        Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x
        и y координаты вершин соответственно.

        Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан
        треугольник, найдя своего рода среднее из векторов положения
        вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки.


        Пример 7

        Найдите точку пересечения T медиан треугольника ABC (
        центр) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см.

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован.