Все формулы по кинематике: Кинематика. Формулы

Содержание

Кинематика. Формулы

Кинематика. Формулы

Номер Название формулы Запись формулы Примечание
(1)  Закон равноускоренного криволинейного движения vS0 — модуль начальной скорости; aS — ускорение
(2)  Скорость равномерного прямолинейного движения
(3)  Скорость
(4)  Ускорение
(5)  Касательное ускорение dv = dl/dt, т.е. путевая скорость вдоль рассматриваемой траектории
(6)  Нормальное ускорение
(7)  Скорость свободного падения тела
(8)  Время тела при свободном падении
(9)  Время при равномерном движении по окружности
(10)  Скорость равномерного движения по окружности
(11)  Угловая (мгновенная) скорость равномерного движения по окружности Единица измерения угловой скорости — радианы в секунду
(12)  Скорость равноускоренного движения по окружности
(13)  Угловая (мгновенная) скорость равноускоренного движения по окружности

— версия для печати


Определение
Кинематикой называется раздел физики, занимающийся исследованием законов движения идеальных тел
Пояснение
Под чертой вверху буквы подразумевается знак вектора.
Если у вас есть мысли или идеи по поводу данной таблицы или, например, вы считаете, что полезно было бы создать определенную
вспомогательную памятку, то мы обязательно рассмотрим ваше предложение, которое можно изложить по ссылке (где вы также можете поделиться с нами любыми мыслями по поводу сайта scolaire.ru).
Мы готовы устранить любые неудобства, связанные с использованием данной таблицы, или ей подобных, которые можно найти в разделе
«Физика».

© Школяр. Лингвистика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

Формулы кинематики с пояснениями по физике / Блог / Справочник :: Бингоскул

Кинематика — раздел физики, занимающийся исследованием законов движения идеальных тел.

Основные формулы с пояснениями, которые помогут в решении заданий ЕГЭ по физике: движение, скорость, ускорение.

 

Путь, время, скорость

S=v *t

  • S — путь
  • v — скорость
  • t — время

Равномерное движение

x=x_0 + v*t

  • x — координата
  • x0 — начальная координата
  • v — скорость
  • t — время
Равномерно ускоренное движение:

ускорение

a=\frac { v — v_0 } { t }

  • a — ускорение
  • v — скорость
  • v0 — начальная скорость
  • t — время
Равномерно ускоренное движение:

скорость

v=v_0 + at

  • v — скорость
  • v0 — начальная скорость
  • a — ускорение
  • t — время
Равномерно ускоренное движение:

путь

S=vt + \frac { at^2 } { 2 }

  • s — путь
  • v — скорость
  • t — время
  • a — ускорение
Равномерно ускоренное движение:

координата

x=x_0 + vt + \frac { at^2 } { 2 }

  • x — координата
  • x0 — начальная координата
  • v — скорость
  • t — время
  • a — ускорение

Высота тела, брошенного вертикально вверх (вниз)

h=h_0 + v_ { 0 } t — \frac { gt^2 } { 2 }

  • h — высота
  • h0 — начальная высота
  • v0 — начальная скорость
  • t — время
  • g — ускорение свободного падения

Скорость тела, брошенного вертикально вверх (вниз)

v=v_0 — gt

  • v — скорость
  • v0 — начальная скорость
  • g — ускорение свободного падения
  • t — время

Скорость, ускорение, время

v=at

  • v — скорость
  • a — ускорение
  • t — время

Скорость свободно падающего тела

v=gt

  • v — скорость
  • g — ускорение свободного падения
  • t — время

Центростремительное ускорение

a=\frac { v^2 } { R }

  • a — центростремительное ускорение
  • v — скорость
  • R — радиус

Угловая скорость

\omega=\frac { \phi } { t }

  • ω — угловая скорость
  • φ — угол
  • t — время

Равномерное круговое движение

l=R\phi

  • l — длина дуги окружности
  • R — радиус
  • φ — угол
Равномерное круговое движение: линейная скорость

v=R \omega

  • v — линейная скорость
  • R — радиус
  • ω — угловая скорость

 

Период вращения

T=\frac { t } { N }

  • T — период
  • t — время
  • N — число вращений

T=\frac { 2 \pi R } { v }

  • T — период
  • R — радиус
  • v — линейная скорость

T=\frac { 2 \pi } { \omega }

  • T — период
  • ω — угловая скорость

Центростремительное ускорение

a=\frac { 4 \pi^ { 2 } R } { T^2 }

  • a — центростремительное ускорение
  • R — радиус
  • T — период вращения

a=4 \pi^ { 2 } Rn^2

  • a — центростремительное ускорение
  • R — радиус
  • n — частота вращения

Частота вращения

n=\frac { 1 } { T }

  • n — частота вращения
  • T — период вращения

Центростремительное ускорение

a=\omega ^ { 2 } R

  • a — центростремительное ускорение
  • ω — угловая скорость
  • R — радиус

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

x=v_0t \cos(\alpha)

  • x — координата (дальность)
  • v0 — начальная скорость
  • t — время
  • α — угол

Высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

y=v_0t \sin (\alpha) — \frac { gt^2 } { 2 }

  • y — координата (высота подъема )
  • v0 — начальная скорость
  • t — время
  • g — ускорение свободного падения
  • α — угол

Вертикальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту

v_y=v_0* \sin (\alpha) — gt

  • vy — вертикальная скорость
  • v0 — начальная скорость
  • α — угол
  • g — ускорение свободного падения
  • t — время

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

h_max =\frac { v_0^2* \sin (\alpha)^ { 2 } } { 2g }

  • hмакс — максимальная высота
  • v0 — начальная скорость
  • α — угол
  • g — ускорение свободного падения

Общее время движения тела, брошенного под углом к горизонту

t=\frac { 2v_0 * \sin (\alpha) } { g }

  • t — время
  • v0 — начальная скорость
  • α — угол
  • g — ускорение свободного падения

Дальность броска тела, брошенного горизонтально

x=x_0 + vt

  • x — координата (дальность)
  • x0 — начальная координата
  • v — скорость
  • t — время

Высота подъема тела, брошенного горизонтально

y=y_0 — \frac { gt^2 } { 2 }

  • y — координата (высота подъема)
  • y0 — начальная координата (высота)
  • g — ускорение свободного падения
  • t — время

Общее время движения тела, брошенного горизонтально

t_max=\sqrt { \frac { 2h } { g } }

  • tмакс — максимальное время
  • h — высота
  • g — ускорение свободного падения

Смотри также:

Формулы по кинематике, динамике, законам сохранения, молекулярной физике, электричеству, магнетизму, оптике.

Тест

Формулы по кинематике, динамике, законам сохранения, молекулярной физике, электричеству, магнетизму, оптике. Тест — курсы по физике


Skip navigation


  • Элементы математики
  • действия с векторами
  • выражение неизвестной
  • Физические величины
  • Единицы измерения
  • внесистемные единицы
  • Постоянные величины в физике
  • плотность вещества
  • предел прочности, модуль Юнга
  • скорость звука
  • удельная теплота
  • диэлектрическая проницаемость
  • удельное сопротивление
  • электрохимический эквивалент
  • Формулы
  • I. Механика
  • Кинематика
  • равномерное движение
  • относительность движения
  • неравномерное движение
  • равноускоренное движение
  • ускорение свободного падения
  • графики движения
  • движение по окружности
  • параболическое движение
  • Динамика
  • закон тяготения
  • законы Ньютона
  • силы в природе
  • равнодействующая сила
  • Законы сохранения
  • импульс тела, импульс силы
  • закон сохранения импульса
  • работа и мощность
  • кинетическая и потенциальная энергии
  • закон сохранения энергии
  • Статика
  • плечо и момент силы
  • условия равновесия
  • центр тяжести, центр масс
  • Колебания и волны
  • колебательное движение
  • гармонические колебания
  • маятники
  • превращение энергии при колебаниях
  • упругие волны
  • звуковые волны
  • II. Молекулярная физика
  • Молекулярная физика
  • основные положения мкт
  • давление
  • основное уравнение мкт, температура
  • уравнение идеального газа
  • изопроцессы
  • свойства жидкостей*
  • свойства твердых тел
  • Термодинамика
  • количество теплоты
  • работа, внутренняя энергия
  • первый закон термодинамики
  • второй закон термодинамики
  • тепловые двигатели
  • III. Основы электродинамики
  • Электричество
  • электрический заряд
  • закон Кулона
  • напряженность поля
  • потенциал и работа поля
  • диэлектрики, проводники
  • электроемкость, конденсаторы
  • энергия конденсатора
  • Электрический ток
  • электрический ток, сила и плотность
  • закон Ома для участка цепи
  • работа и мощность тока
  • закон Ома для замкнутой цепи
  • электрический ток в различных средах
  • электрические явления
  • Магнетизм
  • магнитное поле
  • сила Ампера
  • сила Лоренца
  • Электромагнетизм
  • магнитный поток
  • закон электромагнитной индукции
  • самоиндукция, энергия поля
  • электромагнитные колебания
  • электромагнитные волны
  • переменный ток
  • трансформатор*
  • IV. Оптика
  • Волновая оптика
  • свет как электромагнитные волны
  • интерференция
  • дифракция
  • Геометрическая оптика
  • законы распространения света
  • линзы, оптические приборы
  • V. Теория относительности
  • Теория относительности
  • постулаты теории относительности
  • VI. Квантовая физика
  • Световые кванты
  • фотон
  • фотоэффект
  • квантовые постулаты Бора
  • излучение и поглощение света
  • Атомное ядро
  • энергия связи ядра
  • ядерные реакции
  • закон радиоактивного распада
  • элементарные частицы и их свойства
  • Современная физика*
  • физика элементарных частиц
  • мир внутри атомного ядра
  • время расщепляем на мгновения
  • нанотехнологии и нанофизика
  • вещество в экстремальных состояниях

Закрыть


Основные понятия кинематики

Определение 1

Кинематика − это раздел механики, который рассматривает движение тел без объяснения вызывающих его причин.  

Определение 2

Механическое движение тела − это изменение положения данного тела в пространстве относительно других тел во времени. 

Как мы сказали, механическое движение тела относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел может быть разным.

Определение 3

Для характеристики движения тела указывается, по отношению к какому из тел рассматривается это движение. Это будет тело отсчета.

Определение 4

Система отсчета − система координат, которая связана с телом отсчета и временем для отсчета. Она позволяет определить положение передвигающегося тела в любой отрезок времени.

В СИ единицей длины выступает метр, а единицей времени – секунда.

У каждого тела есть определенные размеры. Разные части тела расположены в разных пространственных местах. Но в большинстве задач механики не нужно указывать положение отдельных частей тела. Если размеры тела маленькие в сравнении с расстояниями до остальных тел, тогда заданное тело считается его материальной точкой. Таким образом поступают при изучении перемещения планет вокруг Солнца.

Определение 5

Механическое движение называют поступательным, в случае если все части тела перемещаются одинаково.

Пример 1

Поступательное движение наблюдается у кабин в аттракционе «Колесо обозрения» или у автомобиля на прямолинейном участке пути.

При поступательном движении тела его также рассматривают в качестве материальной точки.

Определение 6

Материальная точка − это тело, размерами которого при заданных условиях можно пренебречь. 

Материальная точка в механике

Термин “материальная точка” имеет важное значение в механике.

Определение 7

Траектория движения тела − некоторая линия, которую тело или материальная точка описывает, перемещаясь во времени от одной точки до другой.

Местонахождение материальной точки в пространстве в любой временной отрезок (закон движения) определяют, используя зависимость координат от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t) или зависимость от времени радиус-вектора r→=r→(t), проведенного от начала координат до заданной точки. Наглядно это представлено на рисунке 1.1.1.

Рисунок 1.1.1. Определение положения точки при помощи координат x=x (t), y=y (t) и z=z (t) и радиус-вектора r→(t), r0→ – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени.

Определение 8

Перемещение тела s→=∆r→=r→-r0→ – это направленный отрезок прямой, который соединяет начальное положение тела с его дальнейшим положением. Перемещение является векторной величиной.

Пройденный путь l равняется длине дуги траектории, преодоленной телом за определенное время t. Путь является скалярной величиной.

Если движение тела рассматривается в течение довольно короткого отрезка времени, тогда вектор перемещения оказывается направленным по касательной к траектории в заданной точке, а его длина равняется преодоленному пути.

В случае небольшого промежутка времени Δt преодоленный телом путь Δl практически совпадает с модулем вектора перемещения ∆s→. При перемещении тела по криволинейной траектории модуль вектора движения все время меньше пройденного пути (рисунок 1. 1.2).

Рисунок 1.1.2. Пройденный путь l и вектор перемещения ∆s→ при криволинейном движении тела.
a и b – это начальная и конечная точки пути.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Определение средней и мгновенной скорости движения тела. Основные формулы кинематики

Для описания движения в физике введено понятие средней скорости: υ→=∆s→∆t=∆r→∆t.

Физиков больше интересует формула не средней, а мгновенной скорости, которая рассчитывается как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно маленьком промежутке времени Δt, то есть υ→=∆s→∆t=∆r→∆t; ∆t→0.

В математике данный предел называется производная и обозначается dr→dt или r→˙.

Мгновенная скорость υ→ тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в заданной точке. Отличие между средней и мгновенной скоростями демонстрирует рисунок 1. 1.3.

Рисунок 1.1.3. Средняя и мгновенная скорости. ∆s1→, ∆s2→, ∆s3→ – перемещения за время ∆t1<∆t2<∆t3 соответственно. При t→0, υ→ср→υ→.

При перемещении тела по криволинейной траектории скорость υ→ меняется по модулю и по направлению. Изменение вектора скорости υ→ за какой-то маленький промежуток времени Δt задается при помощи вектора ∆υ→ (рисунок 1.1.4).

Вектор изменения скорости ∆υ→=υ2→-υ1→ за короткий промежуток времени Δt раскладывается на 2 составляющие: ∆υr→, которая направлена вдоль вектора υ→ (касательная составляющая) и ∆υn→, которая направлена перпендикулярно вектору υ→ (нормальная составляющая).

Рисунок 1.1.4. Изменение вектора скорости по величине и по направлению. ∆υ→=∆υ→r+∆υ→n – изменение вектора скорости за промежуток времени Δt.

Определение 9

Мгновенное ускорение тела a→ – это предел отношения небольшого изменения скорости ∆υ→ к короткому отрезку времени Δt, в течение которого изменялась скорость: a→=∆υ→∆t=∆υ→τ∆t+∆υ→n∆t; (∆t→0).

Направление вектора ускорения a→, при криволинейном движении, не совпадает с направлением вектора скорости υ→. Составляющие вектора ускорения a→ – это касательные (тангенциальные) a→τ и нормальные a→n ускорения (рисунок 1.1.5).

 Рисунок 1.1.5.Касательное и нормальное ускорения. 

Касательное ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела по модулю: aτ=∆υ∆t; ∆t→0.

Вектор a→τ направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение показывает, как быстро скорость тела меняется по направлению.

Пример 2

Представим криволинейное движение, как движение по дугам окружностей (рисунок 1.1.6).

Рисунок 1.1.6. Движение по дугам окружностей.

Нормальное ускорение находится в зависимости от модуля скорости υ и радиуса R окружности, по дуге которой тело перемещается в определенный момент времени: an=υ2R.

Вектор an→ все время направлен к центру окружности.

По рисунку 1.1.5 видно, модуль полного ускорения равен a=aτ2+an2.

Итак, основные физические величины в кинематике материальной точки – это пройденный путь l, перемещение s→, скорость υ→ и ускорение a→.

Путь l – скалярная величина.

Перемещение s→, скорость υ→ и ускорение a→ – векторные величины.

Для того чтобы задать какую-нибудь векторную величину, необходимо задать ее модуль и определить направление. Вектора подчиняются математическим правилам: их можно проектировать на координатные оси, складывать, вычитать и др.

основные формулы с пояснениями или определения по физике в 10 классе, какие законы динамики или механики для ЕГЭ

Описать можно все что угодно: картину в галерее, уличного хулигана в кабинете участкового и даже свои душевные переживания на приеме у психотерапевта. Достаточно вооружиться бумагой, ручкой и вперед.

Но что необходимо, чтобы описать движение? На этот вопрос нам поможет ответить кинематика, раздел механики, который как раз и занимается описанием механического движения.

Физика простыми словами | Кинематика

Как описать движение?

Давайте разберемся с терминологией и введем основные понятия, без которых нам никак не обойтись. Итак, движением мы будем называть любое изменение положения тела в пространстве с течением времени.

К слову сразу отметим, что время в физике принято мерить секундами, а само движущееся тело не всегда рассматривается целиком. Зачастую его размерами и формой можно пренебречь и рассматривать как точку, имеющую массу.

В механике вы можете услышать такие понятия как точечное тело или материальная точка. Так вот знайте, речь идет как раз об этом.

К примеру, какие бы габариты не имела ваша машина, если вы едете по трасе из Ростова в Москву, то она в любом случае очень мала в сравнении с расстоянием, а значит мы можем рассматривать её как материальную точку. А вот если, приехав в столицу нашей необъятной родины, вы ищете свободное место где припарковаться, то тут размерами и формой автомобиля пренебречь уже не получится.

Положение тела или материальной точки в пространстве рассматривается с помощью системы координат, за начало которой мы принимаем тело отсчета, относительно которого  происходит движение. В зависимости от сложности этого движения мы можем иметь дело с одномерным, двухмерным, или трехмерным пространством.

Соответственно, наша система координат может иметь одну, две или три оси. Как правило трехмерные пространства в школьной физике практически не встречаются, поэтому мы ограничимся двухмерным с координатными осями х и у.

Чтобы определить координаты нашей материальной точки, необходимо построить её проекции на соответствующие  координатные оси, опустив на них перпендикуляры.

Теперь если наблюдая за движущейся материальной точкой, построить линию, по которой она движется, мы получим траекторию движения. Измерив длину траектории можно определить пройденный путь, а если построить вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки, это будет  перемещение.

Так как единицей длинны в международной системе единиц был принят метр, то путь, пройденный телом, и длина вектора перемещения, или, как еще говорят, его модуль,  так же будут измерятся в метрах. Отметим, что модуль перемещения всегда будет меньше, ну или в крайнем случае равен пути, но никак не больше.

Все просто,  вектора кривыми не бывают, и перемещение не является исключением. А вот что касается траектории, то её мы можем  гнуть как угодно.

Исходя из этого, можно выделить два вида механического движения: прямолинейное — когда траектория прямая линия и криволинейное — когда тело движется по кривой, ну, к примеру, параболе или окружности.

Прямолинейное движение

Давайте представим, что мы едем в автобусе, а для простоты будем считать, что траектория нашего движения — прямая линия. Если разделить весь путь (s), который мы проедем на затраченное время (t), мы получим скорость (v). То есть величину, которая характеризует быстроту движения. Измеряется она в метрах в секунду м/с.

v=s/t

Так как движение относительно, то относительной будет и скорость. К примеру, если наш автобус едет со скоростью v1, ну скажем, равной 20 м/с, а мы, находясь в автобусе, идем в направлении водителя со скоростью v2, равной 1 м/с, то наша скорость относительно  дороги будет определятся как сумма двух этих скоростей. То есть 21 м/с.

v=v1+v2

Ну а если  мы будем идти от водителя, то наша скорость относительно дороги будет уже равна 19 м/с. И казалось бы, ничего не поменялось, и значения скоростей v1 и v2 остались прежними, но изменилось направление нашего движения, а значит, чтобы найти скорость, с которой мы движемся относительно дороги, нам нужно вычесть v2 из v1 .

v=v1-v2

В рассмотренных примерах мы условно принимали движение как равномерное, то есть движение с постоянной скоростью. Но в реальности, автобус то и дело будет останавливаться на светофорах и остановках, а потом опять разгоняться. Обгонять неторопливых автолюбителей.

Да и у нас не получится ходить по нему с постоянной скоростью, тем более если ехать в час пик, когда автобус забит под завязку. В реальности движение будет неравномерным, и скорость будет постоянно меняться.

При неравномерном движении отношение всего пройденного пути ко времени называется средней скоростью.

vср=s/t

И хотя в некоторых случаях она бывает очень удобна, но все же не всегда приемлема при описании движения. Думаю, будет очень трудно доказать сотруднику гос автоинспекции, остановившему вас за превышение скорости, что ваша средняя скорость на всем пути была в пределах нормы.

Тут речь пойдет о мгновенной скорости, или скорости в какой-то определенный момент времени. Если посмотреть на спидометр движущегося автомобиля, то мы как раз её увидим.

И стоит нам по сильнее  нажать на педаль газа, как  в то же мгновение стрелка спидометра начинает ползти вверх, оповещая нас об изменении скорости.

И здесь необходимо ввести понятие ускорения, величины, которая будет  характеризовать изменение скорости движения за какой то промежуток времени (t). Её принято обозначать маленькой буквой a и измерять в м/с2.

а=(V-V0)/t

Ускорение, так же как и скорость, величина векторная, а значит будет иметь свое направление. Причем, если направление вектора ускорения будет совпадать с направлением скорости, то скорость будет возрастать.

Такое движение называют ускоренным. И напротив, снижение скорости, при замедленном движении, будет свидетельствовать о том что вектора ускорения и скорости смотрят в разные стороны. Выразим скорость и перемещение для движения с ускорением:

Если объединить эти уравнения в одно, мы получим формулу разности квадратов скоростей :

Итак, мы ввели основные понятия и величины кинематики и вывели основные уравнения, связывающие их. Но для простоты мы брали прямолинейное движение.

Если же говорить о движении по кривой, то нам придется уже рассматривать его в двухмерном или даже трехмерном пространстве.

Для этого необходимо будет построить проекции векторов скорости, перемещения и ускорения на соответствующие координатные оси, а при работе с проекциями мы опять получим уже знакомые уравнения для прямолинейного движения, которые примут следующий вид:

  1. Sx=  V0x t +(axt2) /2
    Sy= V0у t +(aуt2) /2
    vx=v0x+axt
    vy=v0y+ayt

Или для определения координат движущейся материальной точки:

  1. x= x 0 + V0x t +(axt2) /2
    y= y 0 + V0у t +(aуt2) /2

Где х0, у0 — координаты начального положения точки в пространстве, а х, у — координаты её конечного положения.
Для описания движения в трехмерном пространстве у нас добавится третья ось z, и, соответственно, проекции скорости, ускорения и перемещения на эту ось.

Принцип разложения движения на простые составляющие лежит в основе многих устройств.  Так первые компьютерные  мыши были оснащены шариком, вращение которого приводило во вращение два перпендикулярно расположенных друг к другу колесика со специальными датчиками, они то  и  раскладывали сложные движения мыши на горизонтальные и вертикальные составляющие.

Стоило одному из этих колесиков покрыться толстым слоем грязи, как оно переставало вращаться, и указатель на экране начинал двигаться только по прямой, горизонтальной или вертикальной.

Современные оптические мыши лишены этого недостатка, так как в них шарик и колесики, заменены на лазерные датчики, но тем не менее принцип разложения движения они унаследовали от своих прародительниц.

Источник: https://physicsline.ru/teoriya/fizika-prostymi-slovami/fizika-prostymi-slovami-kinematika/

Основные формулы по физике: кинематика, динамика, статика

Итак, как говорится, от элементарного к сложному. Начнём с кинетических формул:

Также давайте вспомним движение по кругу:

Медленно, но уверенно мы перешли более сложной теме – к динамике:

Уже после динамики можно перейти к статике, то есть к условиям равновесия тел относительно оси вращения:

После статики можно рассмотреть и гидростатику:

Куда же без темы “Работа, энергия и мощность”. Именно по ней даются много интересных, но сложных задач. Поэтому без формул здесь не обойтись:

Основные формулы термодинамики и молекулярной физики

Последняя тема в механике – это “Колебания и волны”:

Теперь можно смело переходить к молекулярной физике:

Плавно переходим в категорию, которая изучает общие свойства макроскопических систем. Это термодинамика:

Основные формулы электричества

Для многих студентов тема про электричество сложнее, чем про термодинамика, но она не менее важна. Итак, начнём с электростатики:

  • Переходим к постоянному электрическому току:
  • Далее добавляем формулы по теме: “Магнитное поле электрического тока”
  • Электромагнитная индукция тоже важная тема для знания и понимания физики. Конечно, формулы по этой теме необходимы:
  • Ну и, конечно, куда же без электромагнитных колебаний:

Это были основные формулы физики

В статье мы подготовили 50 формул, которые понадобятся на экзамене в 99 случая из 100.

Совет: распечатайте все формулы и возьмите их с собой. Во время печати, вы так или иначе будете смотреть на формулы, запоминая их. К тому же, с основными формулами по физике в кармане, вы будете чувствовать себя на экзамене намного увереннее, чем без них.

Надеемся, что подборка формул вам понравилась!

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/bolee-50-osnovnyh-formul-po-fizike/

Теоретическая механика и кинематика

Механика — это наука о простейших формах движения материи, которые сводятся к простым перемещениям или переходам физических тел с одного положения или состояния в пространстве и времени в другое, в результате взаимодействия между ними.

Теоретическая механика

Механика охватывает целый комплекс дисциплин, изучающих движение и взаимодействие различных материальных тел, например, прикладная механика, гидромеханика, аэромеханическая, небесная механика, биомеханика и др. Изучение наиболее общих свойств движения и взаимодействия всех тел является предметом специальной дисциплины, которую называют теоретическая механика.

Итак, теоретическая механика изучает наиболее общие законы движения и взаимодействия тел, считая своей главной задачей познания количественных и качественных закономерностей, наблюдаемых в природе. С определения теоретической механики следует, что она принадлежит к фундаментальным естественным наукам.

Помощь со студенческой работой на тему

Теоретическая механика и кинематика

История развития теоретической механики убеждает в том, что она является одной из научных основ техники и технологии, поскольку существует взаимосвязь между проблемами теоретической механики, проблемами техники и технологии.

Теоретическая механика широко применяет такие методы:

  • абстракции;
  • обобщение;
  • математические методы;
  • методы формальной логики.

Критерием истинности наших знаний является опыт и практика. Таким образом, теоретическая механика имеет дело не с самими материальными объектами, а с их моделями.

Теоретическая механика — это важная наука для подготовки инженерных кадров. Она является основой для изучения таких дисциплин, как:

  • теория колебаний, гидравлика;
  • сопротивление материалов;
  • теория машин, механизмов и тому подобное.

Знание законов теоретической механики, отражающие объективно существующие взаимосвязи, взаимообусловленности механических движений и преобразования энергии, позволяет научно предсказать ход процессов в новых задачах, возникающих при развитии науки, техники и технологии.

Замечание 1

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором изучают методы преобразования одних систем сил в другие, эквивалентные им, а также условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело.

Одним из основных понятий в статике, как и во всей механике, является понятие о силе. Величина, являющаяся мерой механического взаимодействия материальных тел, называется силой. Сила, действующая на тело, является вектором. Она характеризуется точкой приложения, направлением и величиной. В теоретической механике силу принято обозначать $\vec {F} $ cила, $A$- точка приложения силы, прямая $AB$ — линия действия силы.

Рисунок 1. Сила $\vec {F} $. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимают один ньютон (1Н). Ньютон — это такая сила, которая массе в 1 кг оказывает ускорение в 1 $мс_2$ (1Н = 1кг • м • с-2).

Основные понятия теоретической механики

К основным понятиям теоретической механики, прежде всего, относятся понятия материальной точки и абсолютно твердого тела. Они являются идеальными моделями материальных тел с той или иной степенью абстракции конкретных свойств реальных физических тел.

Определение 1

Материальной точкой называется геометрическая точка, которой приписана определенная масса.

Например, изучая движение планет вокруг Солнца, их рассматривают как материальные точки, в каждой из которых сосредоточена вся масса соответствующей планеты, абстрагируясь при этом от размеров планет.

С понятием материальной точки тесно связано понятие о системе материальных точек.

Определение 2

Абсолютно твердым телом называется тело, которое состоит из системы материальных точек, которые непрерывно заполняют определенную часть пространства таким образом, что расстояние между любыми двумя его точками остается неизменной.

Отметим, что абстракция абсолютно твердого тела позволяет изучать механическое движение тел, не связанных с существующим изменением их формы, в частности с деформацией. Изучение механических движений тел, зависит от их деформируемости, а также движения жидкости и газов, которые приводят к новой абстракции в виде понятие сплошной среды.

Раздел кинематика

Замечание 2

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение системы материальных точек с геометрической точки зрения. Кинематику называют также геометрией движения, поскольку в ней рассматриваются геометрические свойства движения.

Механические движения, что изучаются в кинематике, осуществляются в пространстве и времени. Отметим, что в теоретической механике пространство, в котором происходит движение тел, рассматривается как трехмерное, и все измерения выполняются на основании методов евклидовой геометрии. В механике время считается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и не зависит от движения этих систем относительно друг друга. Время сказывается буквой $t$ и рассматривается как непрерывная переменная величина, которая применяется в качестве аргумента.

Изучая движение тела, всегда следует знать, в отношении какого другого тела, которое называется телом отсчета, рассматривается это движение. Совокупность тела отсчета, с которым связана система координат, и часов называют системой отсчета. Эта система может быть как подвижной, так и условно неподвижной. Точки тела, постоянно движущиеся, осуществляют в общем случае различные движения. Поэтому, в первую очередь, возникает необходимость изучить движение отдельных точек тела.

Поскольку движение геометрического образа тела будет известным, когда станет известен закон движения всех его точек, определение движения любого геометрического образа предшествует изучению движения одной его точки.

Эта логика лежит в основе разделения кинематики на такие разделы, как кинематика точки и кинематика твердого тела. Для определения положения точки в пространстве выбирают некоторую систему отсчета (систему координат).

Определение 3

Линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией. Если траектория точки прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория точки кривая, то — криволинейным.

Движение точки относительно выбранной системы отсчета считается заданным, если известно, с помощью которого способа можно определить положение точки в любой момент времени. Основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки является ее положение, скорость и ускорение.

Исходя из этого, основная задача кинематики точки заключается в нахождении способов задания ее положения и методов определения скорости и ускорения. Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и натуральным.

Векторный. Положение точки можно определить с помощью радиус-вектора $\vec {r}$, проведенного с некоторой заданной неподвижной точки $О$ в данную точку $М$. При движении точки радиус-вектор $\vec {r} $меняется по величине и направлению. Каждому моменту времени $t$ соответствует определенное значение $\vec {r}$. Следовательно, $\vec {r}$ является функцией времени $t$, т.е. $\vec {r} = \vec {r} (t) $. Функцию $\vec {r} (t) $ считают однозначной и непрерывной функцией.

Уравнение $\vec {r} = \vec {r} (t) $ называется кинематической уравнением движения точки в векторной форме. Это уравнение выражает закон движения точки, а также уравнение траектории точки в векторной форме.

Замечание 3

Кривую, которую описывает конец любого вектора при условии, что начало его находится все время в одной и той же точке, называют годографом вектора.2}$

Кинематика — Образовательный сайт Казахстана

Абсолютно твердое тело — это
тело, взаимное расположение частиц которого при движении не меняется.
Материальной точкой называется
тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Система отсчета — это совокупность
тела отсчета, системы координат и способа измерения времени.
Тело отсчета — это тело, условно
принятое за неподвижное.
Траектория — это линия, вдоль
которой движется тело.
Поступательным называется движение,
при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям.
Пройденный путь l — это скалярная
величина, численно равная длине траектории, пройденной телом за данный промежуток
времени.
Перемещение
— вектор, соединяющий начало и конец движения.
Скорость — векторная величина,
характеризующая направление и быстроту перемещения материальной точки:
Ускорение — векторная величина,
характеризующая направление и быстроту изменения скорости:
Равномерное прямолинейное движение
— это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью:
Равноускоренное прямолинейное движение
— движение с постоянным по модулю и направлению ускорением:
Графическое изображение равномерного движения
Рис. 7
Рис. 8
Графическое изображение равноускоренного движения
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
По графику скорости можно определить путь, рассчитав площадь
фигуры, образовавшейся между графиком скорости и осью времени.
Равномерное движение по окружности
Частота
Угловая скорость
Линейная скорость
Центростремительное ускорение
Рис. 13
Закон сложения скоростей:
скорость U движении тела относительно неподвижной системы
отсчета равна векторной сумме скорости U1тела
относительно неподвижной системы отсчета и скорости U2
самой подвижной системы относительно неподвижной.
Принцип независимости движений:
если тело одновременно участвует в двух движениях, то результирующее перемещение
равно векторной сумме перемещений:
Свободное падение — это движение
в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести с ускорением свободного
падения , направленным к земле.
Равноускоренное движение
Свободное падение
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Движение тела, брошенного горизонтально
Рис. 14
1) по горизонтали:
2) по вертикали:
В любой точке траектории:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Это криволинейное движение, траектория которого — парабола,
имеющая восходящую» и нисходящую ветви:
Рис. 15
Исходя из принципа независимости движений, сложное движение
по параболе можно разложить на два простых:
1) по горизонтали:
2) по вертикали:
3) в момент падения:
4) учитывая, что обе ветви параболы одинаковы:
Пути, проходимые телом, движущимся с ускорением, в равные,
последовательные промежутки времени, пропорциональны ряду нечетных чисел:
s1:
s2:
s3:…
; sn =
1 : 3 : 5 :…: (2n — 1)
Путь, проходимый телом в первую секунду падения:

кинематических уравнений: список и пример — видео и стенограмма урока

Уравнения кинематики

Есть пять основных кинематических уравнений, которые необходимо знать для решения задач.

В этих пяти уравнениях:

  • t — время, измеренное в секундах
  • vi — начальная скорость, измеренная в метрах в секунду
  • vf — конечная скорость, измеренная в метрах в секунду
  • a — ускорение в метрах в секунду в квадрате
  • y (или иногда x ) — смещение, измеряемое в метрах

Также важно отметить, что для падающих объектов ускорение ( a ) — это ускорение свободного падения ( g ), которое всегда отрицательно 9.8 метров на секунду в квадрате.

Каждое из пяти уравнений содержит четыре переменные, при этом одна переменная отсутствует. Каждый раз, когда вы решаете задачи кинематики, вам нужно дать три числа и попросить найти четвертое. Итак, все, что вам нужно сделать, это найти уравнение с этими четырьмя величинами в нем, подставить числа и решить.

Пример задачи движения

Давайте рассмотрим пример использования уравнений. Допустим, мяч падает с высоты 6 метров, и он падает, пока не достигнет земли.Сколько времени нужно, чтобы достичь земли?

Падающий мяч — это пример проблемы с движением.

Ну, прежде всего мы должны записать то, что мы знаем. Водоизмещение y составляет -6 метров. Почему отрицательный? Что ж, падает вниз. Обычно в физике мы называем восходящий положительный и нисходящий отрицательный. Однако это довольно произвольно, и пока все ваши признаки совпадают, вы должны получить один и тот же ответ.

Хорошо, теперь у нас есть потенциальная проблема: в вопросе нет других номеров. Но вопрос говорит нам о вещах, которые тайком дают нам другие числа, которые мы можем использовать. Во-первых, мяч падает, то есть падает под действием силы тяжести. Таким образом, ускорение, как и для всех падающих предметов, составляет -9,8. Опять же, отрицательный, потому что ускорение направлено вниз.

И вопрос также говорит нам, что мяч упал, что означает, что начальная скорость равна нулю. Когда вы бросаете мяч, в тот момент, когда вы его отпускаете, он не движется и его скорость равна нулю.И нас просят найти время, т , поэтому т =?.

Итак, мы знаем три числа, и нас просят найти четвертое. Так что эта проблема разрешима.

Нам нужно найти уравнение из пяти, которое содержит y , vi , a и t . И это уравнение таково:

Мы подставляем числа в это уравнение, например:

Первый член равен нулю, поэтому эта часть исчезает.Затем измените порядок так, чтобы получилось t предметом, и введите числа в калькулятор. И получаем t = 1,1 секунды. Вот и все; это наш ответ.

Краткое содержание урока

Кинематика — это исследование движения без ссылки на силы, вызывающие движение. В кинематике есть пять важных величин: смещение (изменение положения), начальная скорость, конечная скорость, ускорение и время. Начальная скорость — это скорость движения объекта при t = 0. Конечная скорость — это скорость движения объекта по истечении времени t . Смещение — это то, насколько позиция изменилась за время т . Ускорение — это скорость, с которой скорость изменялась за время t . А время просто … ну, самое время.

Есть пять основных кинематических уравнений, которые необходимо знать для решения задач. В этих пяти уравнениях:

  • t — время в секундах
  • vi — начальная скорость, измеренная в метрах в секунду
  • vf — конечная скорость, измеренная в метрах в секунду
  • a — ускорение в метрах в секунду в квадрате
  • y (или иногда x ) — смещение, измеряемое в метрах

Также важно отметить, что для падающих объектов ускорение a — это ускорение свободного падения g , которое всегда отрицательно 9.8 метров на секунду в квадрате. В каждом из пяти уравнений есть четыре переменных, одна переменная отсутствует. Каждый раз, когда вы решаете задачи кинематики, вам нужно дать три числа и попросить найти четвертое. Итак, все, что вам нужно сделать, это найти уравнение с этими четырьмя величинами в нем, подставить числа и решить.

Результаты обучения

После этого урока вы сможете:

  • Определить кинематику
  • Опишите пять величин в кинематике
  • Определите пять основных кинематических уравнений
  • Решите проблемы с помощью этих уравнений

Формула кинематических уравнений

Кинематика — это исследование движущихся объектов и их взаимосвязей.Существует четыре (4) кинематических уравнения, которые относятся к смещению D, скорости v, времени t и ускорению a.

a) D = v i t + 1/2 при 2 b) (v i + v f ) / 2 = D / t

c) a = (v f — v i ) / t d) v f 2 = v i 2 + 2aD

D = смещение

a = ускорение

т = время

v f = конечная скорость

v i = начальная скорость

Формула кинематических уравнений.

1) Боб едет на велосипеде в магазин со скоростью 4 м / с, когда перед ним выбегает кошка. Он быстро тормозит до полной остановки, с ускорением — 2м / с 2 . Какое у него перемещение?

Ответ: Поскольку Боб остановлен, конечная скорость v f = 0. Его начальная скорость v i = 4 м / с. Ускорение, a = -2 м / с 2 . Время не указано, поэтому используйте уравнение (d) для смещения, D, потому что оно не зависит от времени.

v f 2 = v i 2 + 2aD

(0) 2 = (4 м / с) 2 +2 (- 2 м / с 2 ) D

0 = 16 м 2 / с 2 + (- 4 м / с 2 ) D

-16 м 2 / с 2 = (- 4 м / с 2 ) D

16 м 2 / с 2 = 4 м / с 2 ) D

(16 м 2 / с 2 ) / (4 м / с 2 ) = D

Водоизмещение полное 4 м.

2) Вы путешествуете с постоянной скоростью 11 м / с в течение 5 минут. Как далеко вы уехали?

Ответ: При постоянной скорости v i = v f = 11 м / с. Время t = 5 мин или t = (60 сек / мин x 5 мин) = 300 сек. Теперь используйте уравнение (b), чтобы найти смещение D.

(v i + v f ) / 2 = D / t

D = [(v i + v f ) / 2] t

D = [(11 м / с + 11 м / с) / 2] x 300 с

D = (22 м / с) / 2 x 300 с

D = 11 м / с x 300 с

D = 3300 м. Водоизмещение полное 3,300 м.

3) Каково ускорение автомобиля, который разгоняется с 11 до 40 м / с за 10 секунд?

Ответ: V i = 11 м / с. V f = 40 м / с. Время, t = 10 с. Используйте кинематическое уравнение c), чтобы найти ускорение.

a = (v f — v i ) / t

a = (40 м / с — 11 м / с) / 10 с

a = (29 м / с) / 10 с = 2,9 м / с 2

4) Если автомобиль разгоняется на 3.0 м / с 2 от полной остановки, сколько времени потребуется, чтобы проехать 3000 м?

Ответ: Ускорение a = 2,9 м / с 2 и перемещение D = 3000 м. Автомобиль был неподвижен, поэтому v i = 0. Используйте уравнение a), чтобы найти время.

D = v i t + 1/2 при 2

3000 м = 0t + 1/2 (3,0 м / с 2 ) t 2

3000 м = 1/2 (3,0 м / с 2 ) / т 2

3000 м / 1.5 м / с 2 = t 2

2000 с 2 = t 2

t = 44,72 с

Уравнения движения — гипертекст по физике

Обсуждение

постоянное ускорение

Для большей точности этот раздел должен называться «Одномерные уравнения движения при постоянном ускорении». Учитывая, что такое название было бы стилистическим кошмаром, позвольте мне начать этот раздел со следующей оговорки.Эти уравнения движения действительны только тогда, когда ускорение постоянное и движение ограничено прямой линией.

Учитывая, что мы живем в трехмерной вселенной, в которой единственная константа — это изменение, у вас может возникнуть соблазн сразу отказаться от этого раздела. Было бы правильно сказать, что ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением в любом месте Вселенной в любое время — ни сегодня, ни вчера, ни завтра, ни пять миллиардов лет назад, ни тридцать миллиардов лет в будущем. , никогда.Об этом я могу сказать с абсолютной метафизической уверенностью.

Так что же тогда хорошего в этом разделе? Что ж, во многих случаях полезно предположить, что объект путешествовал или будет двигаться по прямому пути с почти постоянным ускорением; то есть любое отклонение от идеального движения можно по существу игнорировать. Движение по криволинейной траектории можно считать фактически одномерным, если для задействованных объектов имеется только одна степеней свободы .Дорога может изгибаться и поворачиваться и исследовать всевозможные направления, но автомобили, движущиеся по ней, имеют только одну степень свободы — свободу двигаться в одном или противоположном направлении. (Вы не можете двигаться по дороге по диагонали и надеетесь остаться на ней надолго.) В этом отношении это мало чем отличается от движения, ограниченного прямой линией. Аппроксимация реальных ситуаций моделями, основанными на идеальных ситуациях, не считается обманом. Так поступают в физике. Это настолько полезный метод, что мы будем использовать его снова и снова.

Наша цель в этом разделе — вывести новые уравнения, которые можно использовать для описания движения объекта в терминах его трех кинематических переменных: скорости ( v ), положения ( с ) и времени ( т ). Есть три способа объединить их в пары: скорость-время, положение-время и скорость-положение. В этом порядке их также часто называют первым, вторым и третьим уравнениями движения, но нет веских причин для изучения этих имен.

Поскольку мы имеем дело с движением по прямой линии, направление будет обозначено знаком — положительные величины указывают в одну сторону, а отрицательные величины указывают в противоположную сторону.Определение того, какое направление является положительным, а какое отрицательным, совершенно произвольно. Законы физики изотропны ; то есть они не зависят от ориентации системы координат. Однако некоторые проблемы легче понять и решить, если одно направление предпочтительнее другого. Пока вы последовательны в решении проблемы, это не имеет значения.

скорость-время

Связь между скоростью и временем проста при равномерно ускоренном прямолинейном движении.Чем дольше ускорение, тем больше изменение скорости. Изменение скорости прямо пропорционально времени, когда ускорение постоянно. Если скорость увеличивается на определенную величину за определенное время, она должна увеличиваться вдвое на эту величину в два раза быстрее. Если объект уже стартовал с определенной скоростью, то его новая скорость будет равна старой скорости плюс это изменение. Вы должны быть в состоянии увидеть уравнение уже мысленным взором.

Это самое простое из трех уравнений, которое можно вывести с помощью алгебры.Начнем с определения ускорения.

Расширить ∆ v до v v 0 и сжать ∆ t до t .

Затем найдите v как функцию от t .

v = v 0 + при [1]

Это первое уравнение движения . Он записывается как полином — постоянный член ( v 0 ), за которым следует член первого порядка ( на ).Поскольку наивысший порядок равен 1, правильнее называть его линейной функцией .

Символ v 0 [vee naught] называется начальной скоростью или скоростью за время t = 0. Его часто называют «первой скоростью», но это довольно наивный способ Опишите это. Лучшее определение было бы сказать, что начальная скорость — это скорость, которую имеет движущийся объект, когда он впервые становится важным в проблеме. Скажем, метеор был замечен глубоко в космосе, и проблема заключалась в том, чтобы определить его траекторию, тогда начальная скорость, вероятно, будет той скоростью, которую он имел при первом наблюдении.Но если проблема заключалась в том, что тот же самый метеор сгорает при входе в атмосферу, то начальная скорость, вероятно, равна скорости, которую он имел при входе в атмосферу Земли. Ответ на вопрос «Какая начальная скорость?» «Это зависит от обстоятельств». Это оказывается ответом на множество вопросов.

Обозначение v — это скорость через некоторое время t после начальной скорости. Его часто называют конечной скоростью , но это не делает его «последней скоростью» объекта. Возьмем случай с метеором.Какая скорость обозначена символом v ? Если вы внимательно слушали, значит, вы должны были ожидать ответа. По-разному. Это может быть скорость метеора, когда он проходит мимо Луны, входит в атмосферу Земли или ударяется о поверхность Земли. Это также может быть скорость метеорита, находящегося на дне кратера. (В этом случае v = 0 м / с.) Является ли какое-либо из этих значений конечной скоростью? Кто знает. Кто-то мог извлечь метеорит из дыры в земле и уехать вместе с ним.Это актуально? Наверное, нет, но это зависит от обстоятельств. Для такого рода вещей нет правил. Вы должны проанализировать текст задачи на предмет физических величин, а затем присвоить значение математическим символам.

Последняя часть этого уравнения на — это изменение скорости по сравнению с начальным значением. Напомним, что a — это скорость изменения скорости, а t — это время после некоторого начального события . Ставка раз время меняется. Если объект ускоряется со скоростью 10 м / с 2 , через 5 с он будет двигаться на 50 м / с быстрее.Если бы он стартовал со скоростью 15 м / с, то его скорость через 5 с была бы…

15 м / с + 50 м / с = 65 м / с

позиция-время

Смещение движущегося объекта прямо пропорционально скорости и времени. Двигайся быстрее. Иди дальше. Двигайтесь дольше (как и дольше). Иди дальше. Ускорение усугубляет эту простую ситуацию, поскольку скорость теперь также прямо пропорциональна времени. Попробуйте сказать это словами, и это прозвучит нелепо. «Смещение прямо пропорционально времени и прямо пропорционально скорости, которая прямо пропорциональна времени.»Время удваивается, поэтому смещение пропорционально квадрату времени. Автомобиль, разгоняющийся в течение двух секунд, преодолеет в четыре раза расстояние, превышающее скорость автомобиля, ускоряющегося всего за одну секунду (2 2 = 4). Автомобиль, ускоряющийся в течение трех секунды покрыли бы расстояние в девять раз большее (3 2 = 9).

Если бы это было так просто. Этот пример работает, только когда начальная скорость равна нулю. Смещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянное, а начальная скорость равна нулю.Истинное общее утверждение должно учитывать любую начальную скорость и то, как она менялась. Это приводит к ужасно запутанному утверждению соразмерности. Смещение прямо пропорционально времени и пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянно. Функция, которая является одновременно линейной и квадратной, называется квадратичной , что позволяет нам значительно сжать предыдущее утверждение. Смещение является квадратичной функцией времени при постоянном ускорении

Формулировки пропорциональности полезны, но не столь общие, как уравнения.Мы до сих пор не знаем, каковы константы пропорциональности для этой проблемы. Один из способов понять их — использовать алгебру.

Начнем с определения средней скорости.

Расширить ∆ с до с с 0 и сжать ∆ т до т .

Определите позицию.

с = с 0 + vt [a]

Чтобы продолжить, нам нужно прибегнуть к небольшому трюку, известному как теорема о средней скорости или правило Мертона .Я предпочитаю второй вариант, поскольку правило может применяться к любой величине, которая изменяется с одинаковой скоростью, а не только к скорости. Правило Мертона было впервые опубликовано в 1335 году в Мертон-колледже, Оксфорд, английским философом, математиком, логиком и калькулятором Уильямом Хейтсбери (1313–1372). Когда скорость изменения величины постоянна, ее среднее значение находится на полпути между ее конечным и начальным значениями.

v = ½ ( v + v 0 ) [4]

Подставьте первое уравнение движения [1] в это уравнение [4] и упростите его, исключив v .

v = ½ [( v 0 + при ) + v 0 ]

v = ½ (2 v 0 + при )

v = v 0 + ½ при [b]

Теперь замените [b] на [a], чтобы исключить v [vee bar].

с = с 0 + ( v 0 + ½ при ) т

И, наконец, найдите с как функцию от t .

с = с 0 + v 0 т + ½ при 2 [2]

Это второе уравнение движения . Он записывается как полином — постоянный член ( s 0 ), за которым следует член первого порядка ( v 0 t ), за которым следует член второго порядка (½ при 2 ). ). Поскольку наивысший порядок равен 2, правильнее называть его квадратичным .

Символ s 0 [ess naught] часто рассматривается как начальная позиция . Обозначение s является позицией на какое-то время t позже. Если хотите, вы можете назвать ее конечной позицией . Изменение положения (∆ s ) называется смещением или расстоянием (в зависимости от обстоятельств), и некоторые люди предпочитают писать второе уравнение движения таким образом.

с = v 0 t + ½ при 2 [2]

скорость-позиция

Каждое из первых двух уравнений движения описывает одну кинематическую переменную как функцию времени.По сути…

  1. Скорость прямо пропорциональна времени при постоянном ускорении ( v t ).
  2. Смещение пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении (∆ с т 2 ).

Объединение этих двух утверждений приводит к третьему, не зависящему от времени. При замене должно быть очевидно, что…

  1. Смещение пропорционально квадрату скорости при постоянном ускорении (∆ с v 2 ).

Это утверждение особенно важно для безопасности вождения. Когда вы вдвое увеличиваете скорость автомобиля, требуется в четыре раза больше расстояния, чтобы его остановить. Увеличьте скорость втрое, и вам понадобится в девять раз больше расстояния. Это хорошее практическое правило, которое следует запомнить.

Концептуальное введение сделано. Пришло время вывести формальное уравнение.

способ 1

Объедините первые два уравнения вместе таким образом, чтобы исключить время как переменную. Самый простой способ сделать это — начать с первого уравнения движения…

v = v 0 + при [1]

реши на время…

, а затем подставить его во второе уравнение движения…

с = с 0 + v 0 т + ½ при 2 [2]

нравится…

с = с 0 + с 0

в в 0

+ ½ а

в в 0 2

а а
с с 0 = vv 0 v 0 2 + v 2 -2 vv 0 + v 0 2
а 2 а
2 a ( с с 0 ) = 2 ( vv 0 v 0 2 ) + ( v 2 — 2 vv 0 + v 0 2 )
2 a ( с с 0 ) = v 2 v 0 2

Возведите объект в квадрат скорости, и все готово.

v 2 = v 0 2 + 2 a ( с с 0 ) [3]

Это третье уравнение движения . Еще раз, символ s 0 [ess naught] — это начальная позиция , а s — это позиция через некоторое время t позже. Если вы предпочитаете, вы можете написать уравнение, используя ∆ s — изменение положения , смещение или расстояние в зависимости от ситуации.

v 2 = v 0 2 + 2 a s [3]

способ 2

Более сложный способ вывести это уравнение — начать со второго уравнения движения в этой форме…

с = v 0 t + ½ при 2 [2]

и решите ее на время. Это непростая работа, поскольку уравнение квадратично. Переставьте термины так…

½ при 2 + v 0 t — ∆ с = 0

и сравните его с общей формой квадратичного.

топор 2 + bx + c = 0

Решение этого дается известным уравнением…

x = b ± √ ( b 2 — 4 ac )
2 а

Замените символы в общем уравнении эквивалентными символами из нашего преобразованного второго уравнения движения…

т = v 0 ± √ [ v 0 2 — 4 (½ a ) (∆ s )]
2 (½ a )

почисти немного…

т = в 0 ± √ ( в 0 2 -2 a с )
а

, а затем подставьте его обратно в первое уравнение движения.

v = v 0 + при [1]

v = v 0 + a

в 0 ± √ ( в 0 2 -2 a с )

а

Материал отменяется, и мы получаем это…

v = ± √ ( v 0 2 + 2 a с )

Выровняйте обе стороны, и все готово.

v 2 = v 0 2 + 2 a s [3]

Это было не так уж и плохо, не так ли?

исчисления выводов

Исчисление — это сложная математическая тема, но она значительно упрощает вывод двух из трех уравнений движения. По определению, ускорение — это первая производная скорости по времени. Возьмите операцию в этом определении и отмените ее. Вместо того, чтобы дифференцировать скорость, чтобы найти ускорение, интегрируйте ускорение, чтобы найти скорость.Это дает нам уравнение скорости-времени. Если мы предположим, что ускорение постоянное, мы получим так называемое первое уравнение движения [1].

а =
дв = a dt
=
v v 0 = при
в = в 0 + в [1]

Опять же, по определению, скорость — это первая производная положения по времени.Выполните эту операцию в обратном порядке. Вместо того, чтобы различать положение для определения скорости, интегрируйте скорость, чтобы найти положение. Это дает нам уравнение положения-времени для постоянного ускорения, также известное как второе уравнение движения [2].

в =
DS = v dt
DS = ( v 0 + at ) dt
=
т
( v 0 + at ) dt
0
с с 0 = v 0 t + ½ при 2
с = с 0 + v 0 t + ½ при 2 [2]

В отличие от первого и второго уравнений движения, нет очевидного способа вывести третье уравнение движения (то, которое связывает скорость с положением) с помощью расчетов.Мы не можем просто перепроектировать это по определению. Нам нужно разыграть довольно изощренный трюк.

Первое уравнение движения связывает скорость со временем. По сути, мы вывели его из этой производной…

Второе уравнение движения связывает положение со временем. Это произошло от этой производной…

Третье уравнение движения связывает скорость с положением. По логике, это должно происходить от производной, которая выглядит так…

Но что это значит? Ну, ничего по определению, но, как и все количества, оно равно самому себе.Он также равен самому себе, умноженному на 1. Мы будем использовать специальную версию 1 ( dt dt ) и специальную версию алгебры (алгебра с бесконечно малыми). Посмотрите, что происходит, когда мы это делаем. Мы получаем одну производную, равную ускорению ( dv dt ), а другую производную, равную обратной скорости ( dt ds ).

дв = дв 1
DS DS
дв = дв дт
DS DS дт
дв = дв дт
DS дт DS
дв = а 1
DS в

Следующий шаг, разделение переменных.Соберите вместе похожие вещи и интегрируйте их. Вот что мы получаем при постоянном ускорении…

=
в дв = и DS
=
½ ( v 2 v 0 2 ) = a ( с с 0 )
в 2 = v 0 2 + 2 a ( с с 0 ) [3]

Безусловно, умное решение, и оно было не так уж сложно, чем первые два варианта.Однако на самом деле это сработало только потому, что ускорение было постоянным — постоянным во времени и постоянным в пространстве. Если бы ускорение каким-либо образом изменилось, этот метод был бы неудобно трудным. Мы вернемся к алгебре, чтобы спасти наше здравомыслие. Не то чтобы в этом что-то не так. Алгебра работает, а здравомыслие стоит сэкономить.

против = в 0 + при [1]
+
с = с 0 + v 0 т + ½ при 2 [2]
=
v 2 = v 0 2 + 2 a ( с с 0 ) [3]

Кинематические уравнения: когда и как использовать каждую формулу (с производными)

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Автор GAYLE TOWELL

Уравнения кинематики описывают движение объекта, испытывающего постоянное ускорение.Эти уравнения связывают переменные времени, положения, скорости и ускорения движущегося объекта, позволяя решить любую из этих переменных, если другие известны.

Ниже представлено изображение объекта, совершающего движение с постоянным ускорением в одном измерении. Переменная t предназначена для времени, позиция x, скорость v и ускорение a . Индексы i и f обозначают «начальный» и «конечный» соответственно.2 + 2a (x_f — x_i)

Примечания по кинематическим уравнениям

  • Эти уравнения работают только с постоянным ускорением (которое может быть нулевым в случае постоянной скорости).
  • В зависимости от того, какой источник вы читаете, окончательные количества могут не иметь нижнего индекса f и / или могут быть представлены в обозначении функций как x (t) — читать « x как функция времени» или « x при времени t » — и v (t) . Обратите внимание, что x (t) НЕ означает x , умноженное на t !
  • Иногда величина x f — x i записывается как

    Δx , что означает «изменение x », или даже просто как d , что означает смещение.Все равноценны. Положение, скорость и ускорение являются векторными величинами, то есть с ними связано направление. В одном измерении направление обычно указывается знаками — положительные величины находятся в положительном направлении, а отрицательные величины — в отрицательном направлении. Индексы : «0» может использоваться для начального положения и скорости вместо i . Этот «0» означает «при t = 0», а x 0 и v 0 обычно произносятся как «x-ноль» и «v-ноль».»* Только одно из уравнений не включает время. При составлении заданных значений и определении того, какое уравнение использовать, это ключевой момент!

Особый случай: свободное падение

Движение свободного падения — это движение ускоряющегося объекта только за счет силы тяжести при отсутствии сопротивления воздуха. Применяются те же кинематические уравнения; однако значение ускорения у поверхности Земли известно. Величина этого ускорения часто представлена ​​как g , где g = 9.8 м / с 2 . Направление этого ускорения — вниз, к поверхности Земли. (Обратите внимание, что в некоторых источниках г может быть приблизительно равно 10 м / с 2 , а в других может использоваться значение с точностью до более чем двух десятичных знаков.)

Стратегия решения проблем кинематики в одном измерении:

    Нарисуйте схему ситуации и выберите подходящую систему координат. (Напомним, что x , v и a — все векторные величины, поэтому, задав четкое положительное направление, будет легче отслеживать знаки.)

    Напишите список известных величин. (Помните, что иногда известные вещи не очевидны. Ищите фразы вроде «начинается с отдыха», что означает, что v i = 0, или «падает на землю», что означает, что x f = 0, и т. д.)

    Определите, какое количество вы хотите найти в вопросе. Какое неизвестное вы будете решать?

    Выберите соответствующее кинематическое уравнение. Это будет уравнение, которое содержит вашу неизвестную величину вместе с известными величинами.

    Решите уравнение для неизвестной величины, затем подставьте известные значения и вычислите окончательный ответ. (Будьте осторожны с единицами измерения! Иногда вам нужно преобразовать единицы перед вычислением.)

Примеры одномерной кинематики

Пример 1: В рекламе утверждается, что спортивный автомобиль может разогнаться от 0 до 60 миль в час за 2,7 секунды. Какое ускорение у этой машины в м / с 2 ? Как далеко он проходит за эти 2,7 секунды?

Известные и неизвестные количества:

v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {?}

Первая часть вопроса требует решения для неизвестного ускорения. Здесь мы можем использовать уравнение № 1:

v_f = v_i + at \ implies a = \ frac {(v_f-v_i)} t

Однако, прежде чем вводить числа, нам нужно преобразовать 60 миль в час в м / с:

60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}

Итак, ускорение будет:

a = \ frac {(26.8-0)} {2.2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ приблизительно \ pm16 \ text {m / s}

Здесь есть два решения. Какой из них правильный? Из нашей диаграммы мы видим, что конечная скорость должна быть отрицательной. Итак, ответ:

v_f = \ underline {\ bold {-16} \ text {m / s}}

Чтобы найти время, мы можем использовать уравнение №1 или уравнение №2. Поскольку с уравнением №1 проще работать, мы будем использовать его:

v_f = v_i + at \ implies t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {-9,8} \ приблизительно \ underline {\ bold {3.2} \ text {s}}

Обратите внимание, что ответ на первую часть этого вопроса был не 0 м / с. Хотя это правда, что после того, как мяч приземлится, у него будет 0 скорость, этот вопрос хочет знать, насколько быстро он летит за ту долю секунды до удара. Когда мяч касается земли, наши кинематические уравнения больше не применяются, потому что ускорение не будет постоянным.

Кинематические уравнения движения снаряда (два измерения)

Снаряд — это объект, движущийся в двух измерениях под действием силы тяжести Земли.Его путь — парабола, потому что единственное ускорение происходит за счет силы тяжести. Кинематические уравнения движения снаряда немного отличаются от кинематических уравнений, перечисленных выше. Мы используем тот факт, что компоненты движения, которые перпендикулярны друг другу, такие как горизонтальное направление x и вертикальное направление x , являются независимыми.

Стратегия решения проблем для кинематики движения снаряда Задачи:

    Нарисуйте схему ситуации.Как и в случае с одномерным движением, полезно набросать сценарий и указать систему координат. Вместо того, чтобы использовать метки x , v и a для положения, скорости и ускорения, нам нужен способ обозначить движение в каждом измерении отдельно.

    Для горизонтального направления чаще всего используется x для положения и v x для x-компоненты скорости (обратите внимание, что в этом направлении ускорение равно 0, поэтому нам не нужна переменная для Это.) В направлении y чаще всего используется y для позиции и v y для y-компоненты скорости. Ускорение может быть обозначено как a y , или мы можем использовать тот факт, что мы знаем, что ускорение свободного падения составляет g в отрицательном направлении оси y, и просто используйте это вместо этого.

    Напишите список известных и неизвестных величин, разделив задачу на две части: вертикальное и горизонтальное движение.Используйте тригонометрию, чтобы найти x- и y-компоненты любых векторных величин, которые не лежат вдоль оси. Может быть полезно перечислить это в двух столбцах:

    Примечание: если скорость дана как величина вместе с углом, Ѳ , над горизонтом, тогда используйте векторное разложение, v x = vcos (Ѳ ) и v y = vsin (Ѳ) .

    Мы можем рассмотреть наши три кинематических уравнения из предыдущих и адаптировать их к направлениям x и y соответственно.2-2g (y_f — y_i)

    Обратите внимание, что ускорение в направлении y равно -g, если мы предполагаем, что вверх положительно. Распространенное заблуждение — g = -9,8 м / с 2 , но это неверно; g — это просто величина ускорения: g = 9,8 м / с 2 , поэтому нам нужно указать, что ускорение отрицательное.

    Найдите одно неизвестное в одном из этих измерений, а затем вставьте то, что является общим в обоих направлениях. 2 \ подразумевает t = \ sqrt {\ frac {(2 \ times 20)} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s}}

    Затем, чтобы найти место приземления, x f , мы можем использовать уравнение горизонтального движения:

    x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ underline {\ полужирный {101} \ text {s}}

    Пример 2: Мяч запускается со скоростью 100 м / с от уровня земли под углом 30 градусов к горизонту. Где он приземляется? Когда его скорость наименьшая? Каково его местонахождение в настоящее время?

    Известные и неизвестные величины:

    Сначала нам нужно разбить вектор скорости на составляющие:

    v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ приблизительно 86.6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ text {m / s}

    Тогда наша таблица величин:

    Сначала нам нужно найти время, в которое мяч находится в полете. Мы можем сделать это с помощью второго вертикального уравнения_. Обратите внимание, что мы используем симметрию параболы, чтобы определить, что конечная скорость _y является отрицательной по отношению к начальной:

    Затем мы определяем, как далеко она перемещается в направлении x за это время:

    x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ умножить на 10. 2 + 2a (x_f — x_i)

    Уравнения кинематики в двух измерениях

    Уравнения кинематики в двух измерениях

    3.2.
    Уравнения кинематики в двух измерениях

    Рисунок 3.3

    Космический корабль движется с постоянным ускорением a
    х
    параллельно оси x. Нет движения в направлении y, и двигатель y выключен.

    Чтобы понять, как смещение, скорость и ускорение применяются к двумерному движению, рассмотрим космический корабль, оснащенный двумя двигателями, установленными перпендикулярно друг другу.Эти двигатели создают единственные силы, которые испытывает аппарат, и предполагается, что космический аппарат находится в начале координат, когда t 0 = 0 с, так что r 0 = 0 м. В более поздний момент времени t смещение космического корабля составит Dr = r – r 0 = r. Относительно осей x и y смещение r имеет компоненты вектора x и y соответственно.

    На рисунке 3.3 работает только двигатель, ориентированный вдоль направления x, и транспортное средство ускоряется в этом направлении. Предполагается, что скорость в направлении y равна нулю, и она остается нулевой, поскольку двигатель y выключен.Движение космического корабля в направлении x описывается пятью кинематическими переменными x, a x , v x , v 0x и t. Здесь символ «x» напоминает нам, что мы имеем дело с компонентами x векторов смещения, скорости и ускорения. (См. Разделы 1.7 и 1.8 для обзора компонентов вектора.) Переменные x, a x , v x и v 0x являются скалярными компонентами (или для краткости «компонентами»). Как обсуждается в разделе 1.7, эти компоненты являются положительными или отрицательными числами (с единицами измерения), в зависимости от того, указывают ли соответствующие компоненты вектора вдоль оси + x или –x.Если космический аппарат имеет постоянное ускорение в направлении x, движение точно такое же, как описано в главе 2, и можно использовать уравнения кинематики. Для удобства эти уравнения записаны в левом столбце таблицы 3.1.

    Interactive LearningWare 3.1

    Лисица пробегает 85 м на юг за 18 с. Он начинает с отдыха и останавливается на незначительное время в конце бега.Затем он снова взлетает и пробегает 62 м на восток за 21 секунду. Во время этого второго пробега его ускорение постоянное. Для всего 39-секундного интервала найдите величину и направление средней скорости лисы (а) и (б) среднего ускорения. Укажите направления относительно юга.

    Сопутствующее домашнее задание: Проблемы 10

    Таблица 3.1
    Уравнения кинематики для двумерного движения с постоянным ускорением

    Рисунок 3.4 аналогичен рисунку 3.3, за исключением того, что теперь работает только двигатель y, и космический корабль ускоряется в направлении y. Такое движение можно описать с помощью кинематических переменных y, a y , v y , v 0y и t. И если ускорение в направлении y постоянно, эти переменные связаны уравнениями кинематики, как написано в правом столбце Таблицы 3.1. Как и их аналоги в направлении x, скалярные компоненты y, a y , v y и v 0y могут быть положительными (+) или отрицательными (-) числами (с единицами измерения).

    Рисунок 3.4

    Космический корабль движется с постоянным ускорением a
    г
    параллельно оси y. Нет движения в направлении x, и двигатель x выключен.

    Если оба двигателя космического корабля работают одновременно, результирующее движение происходит частично по оси x и частично по оси y, как показано на рисунке 3.5. Тяга каждого двигателя придает автомобилю соответствующую составляющую ускорения.Двигатель x ускоряет корабль в направлении x и вызывает изменение x-компоненты скорости. Точно так же y-двигатель вызывает изменение y-компоненты скорости. Важно понимать, что x-часть движения происходит точно так же, как если бы y-часть не происходила вообще. Аналогично, y-часть движения происходит точно так же, как если бы x-часть движения не существовала. Другими словами, движения по осям x и y не зависят друг от друга.

    Рисунок 3.5

    Двумерное движение космического корабля можно рассматривать как комбинацию отдельных движений по осям x и y.

    ОБЗОР КОНЦЕПЦИЙ Независимость движений по осям x и y лежит в основе двумерной кинематики. Это позволяет нам рассматривать двумерное движение как два отдельных одномерных движения, одно для направления x, а другое — для направления y. Как показано на диаграмме «Обзор концепций» на рисунке 3.6 показано, что все, что мы узнали в главе 2 о кинематике в одном измерении, теперь будет применяться отдельно к каждому из двух направлений. Поступая таким образом, мы сможем описать переменные x и y по отдельности, а затем объединить эти описания, чтобы понять двумерную картину. В примере 4 этот подход применяется к движущемуся космическому кораблю.

    Рисунок 3.6
    ОБЗОР КОНЦЕПЦИИ В двух измерениях движение по направлению x и движение по направлению y не зависят друг от друга. В результате каждый может быть проанализирован отдельно в соответствии с процедурами для одномерной кинематики, описанными в главе 2. На космическом корабле «Челленджер» движение в перпендикулярных направлениях контролируется двигателями. На фотографиях показан «Челленджер» на орбите с активированными двигателями. (С любезного разрешения НАСА).
    Пример 1 Движущийся космический аппарат
    Проверьте свое понимание 2

    Моторная лодка, трогаясь с места, сохраняет постоянное ускорение.По прошествии определенного времени t его смещение и скорость равны r и v. Каковы были бы его смещение и скорость в момент времени 2, если предположить, что ускорение останется прежним?

    (а) 2р и 2в (б) 2р и 4в (в) 4р и 2в (г) 4р и 4в

    Справочная информация:
    Когда объект ускоряется, его перемещение и скорость зависят от времени. Если ускорение постоянное, применяются уравнения кинематики в таблице 3.1.

    По аналогичным вопросам (в том числе по расчетам) см. Тест самооценки 3.1. Этот тест описан в конце раздела 3.3.

    Следующая стратегия рассуждений дает обзор того, как уравнения кинематики применяются для описания движения в двух измерениях, например, в примере 1.

    Copyright © 2000-2003 гг. Компанией John Wiley & Sons, Inc. или родственными компаниями. Все права защищены.

    Список кинематических уравнений в физике (читать)

    Кинематические уравнения в физике
    Кинематика — это раздел механики, имеющий дело с движением тел без ссылки на массу или силу.В физике есть три кинематических уравнения для тел, движущихся с равномерным ускорением. Эти уравнения связывают начальную скорость, конечную скорость, ускорение, время и расстояние, пройденное движущимся телом.
    Для получения уравнений движения мы предполагаем, что движение идет по прямой. Следовательно, мы рассматриваем только величину смещений, скоростей и ускорений.

    Список кинематических уравнений в физике

    Вывод первого уравнения движения графическим методом

    Рассмотрим тело, движущееся с начальной скоростью Vi по прямой с равномерным ускорением a.Его скорость становится равной Vf по прошествии времени t. Движение тела описывается графиком скорость-время, представленным линией AB. Наклон линии AB равен ускорению a. Общее расстояние, пройденное телом, показано заштрихованной областью под линией AB. Из этого графика легко получить кинематические уравнения движения.

    График скорости движения тела и времени показан на рисунке. Наклон линии AB дает ускорение тела.

    См. Также: Законы движения Ньютона

    Вывод второго уравнения движения графическим методом

    Представьте, что тело движется с начальной скоростью «Vi» по прямой линии с равномерным ускорением «a».Пусть его скорость станет «Vf» по прошествии времени t. Движение тела описывается графиком скорость-время линией AB, как показано на рисунке ниже. Общее расстояние «S», пройденное телом, равно общей площади OABD, указанной на графике.

    Известно как 2-е уравнение движения.

    Третье (3-е) уравнение движения графическим методом

    Рассмотрим тело, движущееся с начальной скоростью «vi» по прямой с равномерным ускорением «a».Пусть по прошествии времени t его скорость станет Vf. Движение тела описывается графиком скорость-время, показанным на рисунке линией AB. Общее расстояние «S», пройденное телом, выражается общей площадью OABD под графиком.

    Это третье уравнение движения.
    Условия, при которых могут применяться эти уравнения:
    1: Движение должно быть одномерным.
    2: Ускорение должно быть равномерным.
    3: Система отсчета должна быть инерциальной.
    Связанные темы:

    Уравнения кинематики и постоянное ускорение

    В своих «Диалогах двух новых наук» Галилей вывел взаимосвязь между пройденным расстоянием и временем, когда шары катились по наклонной плоскости. Это часто называют законом падающих тел. Интересно, что в доказательстве Галилея использовалась классическая евклидова геометрия (которая была бы незнакома современному изучающему геометрию из учебников) вместо алгебры, которую мы здесь и представим.Учащиеся продвинутого уровня могут получить те же уравнения, используя математический анализ.

    Основа Закона падающих тел заключается в том, что по мере того, как мяч катится по рампе, он ускоряется. По мере увеличения его скорости увеличивается расстояние, которое он проходит за каждую единицу времени. Галилей определил это с помощью колокольчиков спускового крючка катящегося шарика.

    Процитируем Галилея в переводе:

    По сути, Галилео представил, что не только ускорение вниз по рампе из-за постоянной силы тяжести, но и что скорость увеличивалась линейно с время .Он представил, что положение увеличивается с квадратом времени, что часто называют Законом падающих тел. Последний пункт в этом отрывке, который он представил, заключается в том, что скорость увеличивалась с квадратом расстояния вниз по рампе.

    Основываясь на том, что вы уже узнали и что представил Галилей, у нас есть то, что мой учитель физики, Гленн Глейзер, любил называть пятью священными уравнениями кинематики для постоянного ускорения. В этих уравнениях v — скорость, x — положение, t — время и a — ускорение.Помните, что Δ означает изменение.

    1. или Δx = v ср. Δt

    2. или v f = v o + aΔt или Δv = aΔt

    3.

    4. Δx = v o Δt + ½ a Δt 2

    5. v f 2 = v o 2 + 2aΔx

    Первые два уравнения, которые мы видели раньше. Важно отметить, что первое уравнение использует среднюю скорость , тогда как второе уравнение использует изменение между исходной и конечной скоростью .Связь между ними представлена ​​в третьем уравнении, которое представляет собой просто закон средних чисел. Средняя скорость — это среднее значение исходной и конечной скорости.

    Из этих трех основных определений мы можем вывести следующие два уравнения, используя либо геометрию, либо алгебру (или исчисление).

    Используя алгебру, мы можем вывести уравнение №4.

    Исходя из уравнения № 1

    Δx = v ср. Δt

    Затем мы подставляем определение средней скорости из уравнения №3.

    Отсюда мы подставляем окончательную скорость, полученную в уравнении № 2

    Затем мы распределяем член Δt и упрощаем, комбинируя члены v o .

    Мы упрощаем оставшиеся два члена, чтобы получить

    Стоит отметить, что происходит, когда исходная скорость v o, равна нулю. Это уравнение еще больше упрощается и становится

    .

    Если мы предположим, что исходная позиция и время равны нулю, мы можем дополнительно уменьшить это до

    .

    Используя геометрию, мы можем исследовать область под кривой графика зависимости скорости от времени для движения с постоянным ускорением.

    Если мы посмотрим на область под кривой, мы можем разбить ее на прямоугольник и треугольник. Красный прямоугольник — это вклад исходной скорости объекта. Смещение из-за ускорения представлено зеленым треугольником. Треугольник имеет ширину Δt и высоту aΔt, которые мы знаем из уравнения №2. Член ½ происходит от формулы площади треугольника.

    Мы также можем использовать исчисление для вывода этого уравнения путем интегрирования удвоенного ускорения по времени.

    Пятое священное уравнение может быть получено аналогичными заменами, и его оставят как домашнее задание.

    Теперь давайте рассмотрим несколько примеров задач: Численное решение задач.

    Пример 1

    По легенде, Галилей уронил мяч из Пизанской башни. Если башня имеет высоту 55,9 м и пренебрегает сопротивлением воздуха, сколько времени потребуется свинцовому мячу, чтобы достичь земли?

    Гивенс: a = g ≈ 10 м / с 2

    Δx = 55.9 м

    Неизвестно: t = ???

    Уравнение, связывающее эти переменные, — это священное уравнение 4 -го .

    Δx = v o Δt + ½ a Δt 2

    Как упоминалось ранее, поскольку начальная скорость равна нулю, уравнение упрощается.

    Δx = v o Δt + ½ a Δt 2 = ½ a Δt 2

    Поскольку мы хотим изолировать переменную для времени, мы пересекаем умножение, чтобы переместить ½ и член ускорения на другую сторону.

    Затем извлекаем квадратный корень из обеих частей.

    Это дает выражение для времени. Обратите внимание, что я вставил несколько дополнительных скобок, которые могут вам не понадобиться.

    При подключении номеров это довольно просто то, что мы называем «подключи и давай». Однако с агрегатами нужно быть осторожным. Вы, наверное, догадались, что время будет измеряться в секундах. Однако у вас должна быть возможность отменить фактические единицы, чтобы получить время в секундах.

    Пример 2

    Койот падает со скалы высотой 25 метров. Как быстро койот падает, когда ударяется о землю? Если проблема койота

    Дано x = 25 м

    a = g ≈ 10 м / с 2

    Неизвестно: v = ???

    Эту проблему можно решить несколькими способами. Можно использовать комбинацию или Священные уравнения №2 и №4. Или вы можете напрямую использовать уравнение №5.

    Использование v f 2 = v o 2 + 2aΔx

    Это упрощается, поскольку исходная скорость v o, равна нулю.

    Если извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения

    Обратите внимание, как вы извлекаете квадратный корень из единиц, чтобы получить м / с .

    Мы оставим решение этой задачи с двумя уравнениями для домашней задачи.

    Краткий обзор графиков и проблем уклона и площади под кривыми

    Изучая графики положения, скорости и ускорения, вы сможете рисовать их как взаимозаменяемые.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.