Вертикальные углы что это: Что такое вертикальные углы? Ответ на webmath.ru

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые [wiki.eduVdom.com]

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Рис.1

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Рис.2

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рис.3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рис.4

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Рис.5

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».



Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.

44° + х = 180°.

Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.


Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.

∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.


Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.

Значит, смежные углы равны 45° и 135°.


Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1

∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Смежные и вертикальные углы | Геометрия

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

∠ABD  и  ∠DBC  — это смежные углы,  AC  — прямая, луч  BD  — общая сторона углов и наклонная к прямой  AC∠ABC  — развёрнутый угол,  B  — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

∠ABD + ∠DBC = 2d,

где  d  — это обозначение прямого угла  (d = 90°).

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

∠AOB  и  ∠COD,  а также  ∠AOD  и  ∠BOC  — вертикальные углы.

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы  1  и  3:

Сумма  1  и  2  равна развёрнутому углу  (180°).  Сумма  2  и  3  тоже равна развёрнутому углу  (180°).  Значит:

1 + 2 = 2 + 3

Следовательно,  1 = 3.  Равенство вертикальных углов доказано.

что такое в геометрии, признаки, равны или нет, теорема, как доказать

Вертикальные углы — что это такое в геометрии, определение

Определение

Вертикальные углы – пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых таким образом, что стороны одного из них являются продолжением сторон другого. \circ\).

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — это… Что такое ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ?

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол.

Большой Энциклопедический словарь.
2000.

  • ВЕРТИКАЛЬНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ
  • ВЕРТИНСКАЯ Анастасия Александровна

Смотреть что такое «ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ» в других словарях:

  • Вертикальные углы —         пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рис. две пары В. у.                           Рис. к ст. Вертикальные углы …   Большая советская энциклопедия

  • вертикальные углы — см. Угол. * * * ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) …   Энциклопедический словарь

  • Вертикальные углы — Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая  из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух …   Википедия

  • ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • углы геометрической видимости — Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор параллелен грунту. Эти сегменты… …   Справочник технического переводчика

  • углы геометрической видимости — 2.12 углы геометрической видимости: Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Инсоляционные углы светопроема — горизонтальные и вертикальные углы, в пределах которых на плоскости светопроема возможно поступление прямых солнечных лучей. При расчете инсоляционных углов глубина световых проемов принимается равной расстоянию от наружной плоскости стены до… …   Официальная терминология

  • ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… …   Энциклопедия Кольера

  • Угол — У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан …   Википедия

  • ГОСТ Р ИСО 12509-2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели — Терминология ГОСТ Р ИСО 12509 2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели оригинал документа: 3.1.5 габаритная ширина (overall width): Расстояние между двумя вертикальными плоскостями объемного… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Что такое прилегающие углы.

Вертикальные углы. Что такое смежный угол

Что такое смежный угол

Угол
– это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).


СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
— два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы
— (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема:
сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:

Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы
— два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1.
Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1.
Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3.
Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4.
Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5.
Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6.
Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7.
Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4

Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились.
Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов.
Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними — как 7: 5. Нужно найти эти углы.
2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы?
3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго.

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а — через а1 и а2, а прямой b — через b1 i b2.
2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте:
а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку…
б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку…
в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = …, потому что…
г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = …, потому что…

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

  1. Что такое угол?
  2. Какие бывают типы углов?
  3. Какая особенность смежных углов?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

Определение угла
. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

Стороны угла.
Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

Вершина угла
. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла
. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

Название угла
. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине
; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

Таким образом угол ABC есть угол B или

угол ABC = углу B.

Знак угла.
Слово угол заменяют иногда знаком

.

Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

Прилежащие углы
. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD

Чтобы иметь понятие о взаимной величине двух углов, имеющих разные вершины, накладывают один угол на другой. При наложении совмещают их вершины и по одной стороне, тогда направление другой стороны даст возможность сравнивать их величину. Чтобы сравнить два угла ABC и DEF (черт. 15), накладывают угол DEF на угол ABC так, чтобы сторона EF пошла по стороне BC, точка E совмещалась с точкой B; тогда сторона ED может занять три положения: она может совпасть со стороной BA, упасть внутри и вне угла ABC.

a) Если линия ED совпадет с линией BA, углы называются равными

уг. ABC = уг. DEF.

b) Если линия ED упадет внутри угла ABC и займет положение BG, угол ABC будет больше угла DEF

уг. ABC > уг. DEF.

c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

уг. ABC

Сложение, вычитание, умножение и деление углов.
Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

Из равенства (а) вытекает равенство:

∠ABC = ∠ABD — ∠CBD

∠CBD = ∠ABD — ∠ABC,

т. е. угол ABC есть разность углов ABD и CBD, и угол CBD есть разность углов ABD и ABC.

Если при точке O (черт. 16) находится несколько равных прилежащих углов, т. е. если

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

то угол AOC, равный сумме углов AOB и BOC равен двум углам AOB,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, след. ∠AOC = 2AOB.

Угол AOD равен трем углам AOB

Обратно, угол AOB составляет половину угла AOC, треть угла AOD, четверть угла AOE.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

Отсюда выводим, что углы как величины можно не только складывать и вычитать, но также умножать и делить на отвлеченное число
.

Если из двух прилежащих углов ACD и DCB (чер. 17) две стороны CA и CB лежат на одной прямой, их называют смежными.

. Смежными называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.

Если линия CD, поворачиваясь около точки C, займет положение CE, то угол ACD уменьшаясь обратится в угол ACE, а угол BCD увеличиваясь обратится в угол BCE. Линия CD, продолжая поворачиваться, может принять такое положение, что два смежных угла сделаются равными. Когда два смежных угла ACD и DCB равны (чер. 18), их называют прямыми углами
.

В этом случае линия CD называется перпендикулярной к линии AB или просто перпендикуляром к линии AB.

На чертеже 19 начерчен один прямой угол без другого смежного с ним.

Прямой угол есть один из равных смежных углов.

Перпендикуляр есть прямая линия, образующая с другой линией прямой угол.

На чертеже 18 углы ACD и DCB, оставаясь смежными и равными, получают название прямых углов. Линия DC будет перпендикулярной к линии AB. Такое взаимное отношение двух линий выражают иногда письменно: CD ⊥ AB.

Так как линия AB будет также перпендикулярна к линии CD, то линия AB и CD будут взаимно-перпендикулярны, т. е. если CD ⊥ AB, то и AB ⊥ CD.

Подошва перпендикуляра
. Точка взаимной встречи двух перпендикулярных линий называется подошвою перпендикуляра.

Точка C (чер. 18) есть подошва перпендикуляра CD.

В каждой точке линии AB можно провести перпендикуляр к линии AB.

Провести перпендикуляр к линии (AB) из точки, лежащей на линии, значит восставить перпендикуляр. Провести же перпендикуляр (DC) к линии (AB) из точки (D), лежащей вне прямой, значит опустить перпендикуляр
(черт. 18).

Наклонная линия

. Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.

На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

Острый угол
есть всякий угол меньше прямого
, а тупой угол
есть угол больший прямого
.

Одноименные и разноименные углы
. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

Теорема 3
. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

Дана
прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

Требуется доказать
, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

Доказательство
. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.

Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

уг. DCA > уг. ACE,

неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

Теорема 4
. Все прямые углы равны.

Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

Требуется доказать, что прямые углы равны.

Доказательство
. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

Заключение
. Прямой угол есть величина постоянная.

Мера углов
. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

В таком случае
всякий острый угол
всякий тупой угол > d.

Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

Теорема 5
. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

Доказательство
. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB — ECD = d — ECD

Сложив эти равенства, имеем:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

Из теоремы 5 вытекает следствие
. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

Теорема 6
(обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

Требуется доказать, что ACB прямая линия.

Доказательство
. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

ACD + DCB = ACD + DCE

откуда выходит при сокращении

заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

Теорема 7
. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

Требуется доказать, что

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказательство
. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

Теорема 8
. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

Требуется доказать, что

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказательство
. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

Точно также

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Сложив эти равенства, имеем:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Так как AOG + GOB = AOB, то

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

Вертикальные углы
. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

Теорема 9
. Вертикальные углы равны между собой.

Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказательство
. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d

следовательно,

ACB + BCD = BCD + DCE

откуда, отняв по равному углу BCD, находим

Подобным же образом доказывают, что

∠BCD = ∠ACE.

Равносекущая (биссектриса

) есть линия, делящая угол пополам.

На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

Теорема 10
.

Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

Доказательство
. По условию

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Сложив эти равенства, имеем:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Так как ACB + BCD = 2d, то

ECB + BCF = ½ ·
2d = d.

Так как ECB + BCF = ECF, то

Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180°
.

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1.
Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение.

Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.

44° + х = 180°.

Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2.
Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение.

Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.

∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3.
Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение.

Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.

Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4.
Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение.

Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1

∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

краткое содержание других презентаций

«Определение параллельных прямых» — Самостоятельная работа. Задачи. Точка. Урок геометрии. Признаки параллельности прямых. Сумма односторонних углов. Совершенствование навыков доказательства теорем. Параллельные отрезки. Выберите рисунки с пересекающимися прямыми. Решение задач. Рисунки, на которых приведены параллельные лучи. Теорема. Углы. Секущая. Номера рисунков. Определение параллельных прямых.

«Проект «Треугольник»» — Планируемые результаты обучения. Материалы для дифференцированного обучения. Материалы на печатной основе. Программное обеспечение. Методические задачи. Зачем нужно изучать свойства треугольников. Выявление интересов и опыта самих учащихся. Сведения о проекте. Сбор и систематизация информации по теме. Краткое содержание проекта. График оценивания. Какой треугольник можно считать основным. Учебные мероприятия.

««Задачи по геометрии» 7 класс» — Углы. OE – биссектриса. Отрезок АС. AOB = 45. BOC = 23. Начальные геометрические сведения. EDK = 36. Отрезок FD. ABD = 100. Измерение углов. Отрезок AB. OC – биссектриса. Измерение отрезков. ABC = 72. Отрезок MP. Отрезок KE. OD – биссектриса. AOB = 55. Вертикальные углы. Отрезок АD. Отрезок DF. Смежные углы. Отрезок KN.

«Задачи на неравенство треугольника» — Неравенство треугольника. Диагональ. Длина любой стороны треугольника. Противоречие. Отрезок. Четырехугольник. Треугольник. Следствия из неравенства треугольника. Точки внутри четырехугольника. В четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных. Стороны треугольника. Целое число.

«Задачи на готовых чертежах» — Биссектриса. Условия. Угол ВАС. Доказать: FВ ll АС. Задачи на готовых чертежах. Найти: FM. Признаки параллельных прямых. Доказать: a ll b. Найти. Доказать: АB ll DF. Доказать: АК-биссектриса. Найти параллельные прямые. Доказать: АС ll ВD. Cf-биссектриса. Укажите параллельные прямые. Найти условия, при которых AB ll DC. Прямые. Секущая. Доказать:AB ll CD. Доказать: AВ ll CD. Задача. Параллельные прямые.

«Геометрия «Задачи на построение»» — Построение угла. Деление отрезка пополам. Построение угла, равного данному. Задачи на построение. Линейка и циркуль. Построение. Построение перпендикулярной прямой. Искомая прямая. Построение треугольника. Построение биссектрисы угла.


Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

Два угла называются смежными
, если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:

Углы MOP
и PON
смежные, так как луч OP
— общая сторона, а две другие стороны — OM
и ON
составляют прямую.

Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой
, на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром
.

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными
, если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:

Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 — вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Докажем, что вертикальные углы равны:

Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому — ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем.

Вертикальные углы / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Начальные геометрические сведения
  5. Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пары углов, имеющие общую вершину и образованные при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжениями другого.

При пересечении двух прямых получается четыре угла с общей вершиной О (Рис.1), из которых вертикальными будут пары углов 1 и 3, 2 и 4.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны (Рис.2).

 

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения



Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс


Задание 18,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 93,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 165,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 173,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 176,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 203,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 282,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 303*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 551,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 14,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Углы при параллельных прямых и их свойства

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые  и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы  и  — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы  и ,  и  — тоже вертикальные.

Углы  и  — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

,

,

,

.

Углы  и  — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы  и  — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

,

.

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

,

.

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

,

,

,

.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть  — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и  равны  и  соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и  параллельны,  — секущая, углы и  являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник  — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

.

Отсюда , .

Ответ: .

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы  и  — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

°.

Итак,

, тогда .

Ответ: .

вертикальных углов | Определение, теорема и примеры (видео)

В этом уроке используются два слова, которые часто неправильно понимают: вертикальный и дополнительный . Слово «вертикальный» обычно означает «вверх и вниз», но с вертикальными углами оно означает «относящийся к вершине» или углу. Дополнительный в математике означает «прибавление к 90 °», но это также прилагательное, обычно используемое для обозначения «объединение таким образом, чтобы что-то усилить», например, два человека с дополнительными навыками — например, один готовит, а другой печет.

Держите в уме математическое значение этих двух слов, и вы четко определите вертикальные углы и дополнительные углы.

Содержание

  1. Определение вертикальных углов
  2. Теорема о вертикальных углах
  • Пример дополнительных углов
  • Что такое вертикальные углы?
  • Определение вертикальных углов

    Когда две прямые пересекаются в геометрии, они образуют четыре угла. Углы прицела — углы, противоположные друг другу.Любые две пересекающиеся линии образуют две пары вертикальных углов, например:

    При беглом взгляде на рисунок возникает несколько назойливых вопросов:

    1. Вертикальные углы совпадают?
    2. Смежны ли вертикальные углы?
    3. Вертикальные углы являются дополнительными?
    4. Вертикальные углы дополняют друг друга?

    Давайте займемся этим по очереди. Возьмите два прямых предмета, например, бамбуковые шпажки или карандаши. Перебросьте их так, чтобы они пересеклись и образовали две пары углов.Теперь посмотрите на углы, которые они образуют.

    Если вы изучите любую пару противоположных углов в предметах, которые вы выбросили, вы увидите, что они имеют общую точку в своих вершинах, своих углах. Это делает их вертикальными углами. Вы также заметите, что, большие или маленькие, они кажутся зеркальными отражениями друг друга. Они есть; они имеют одинаковый угол, отраженный поперек вершины.

    Теорема о вертикальных углах

    Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые противоположны друг другу и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, совпадают.Вертикальные углы всегда совпадают, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ.

    Соответствуют ли вертикальные углы?

    Да, согласно теореме о вертикальном угле, независимо от того, как вы бросаете шпажки или карандаши, чтобы они пересекались, или как пересекаются две пересекающиеся линии, вертикальные углы всегда будут конгруэнтны или равны друг другу. Это закреплено в математике в теореме о вертикальных углах.

    Смежны ли вертикальные углы?

    Вертикальные углы по определению не могут быть рядом с (рядом друг с другом). Другая пара вертикальных углов прерывается, поскольку противоположных углов являются вертикальными. Смежные углы берут один угол из одной пары вертикальных углов и другой угол из другой пары вертикальных углов.

    Являются ли вертикальные углы дополнительными?

    Дополнительные углы добавляют к 180 °, и только одна конфигурация пересекающихся линий дает дополнительные, вертикальные углы; когда пересекающиеся линии перпендикулярны.

    Это становится очевидным, когда вы понимаете противоположные, совпадающие вертикальные углы, называя их обязательным решением этого простого алгебраического уравнения:

    2a = 180 °

    а = 90 °

    У вас есть шанс 1 к 90 случайным образом получить дополнительные вертикальные углы в результате случайного выброса двух отрезков прямой так, чтобы они пересекались.

    В то время как вертикальные углы не всегда являются дополнительными, смежные углы всегда являются дополнительными . Возьмите любые два смежных угла из четырех углов, образованных двумя пересекающимися линиями. Эти два смежных угла всегда будут составлять 180 °. Мы можем убедиться в этом, если начнем с верхнего левого угла и обойдем цифру по часовой стрелке:

    • EMI является дополнением к IMU и EMP
    • IMU является дополнением к PMU и EMI
    • ∠UMP является дополнением к IMU и EMP
    • EMP является дополнением к EMI и ∠UMP

    Вертикальные углы дополняют друг друга?

    Если вертикальные углы не всегда являются дополнительными, составляют ли они по крайней мере дополнительных углов , то есть прибавляя к 90 °?

    Опять же, мы можем использовать алгебру для подтверждения того, что очевидно на рисунках для вертикальных углов a:

    2a = 90 °

    а = 45 °

    Только когда вертикальные углы a составляют 45 °, они могут быть дополнительными. Острые вертикальные углы могут быть дополнительными ; у вас есть шанс 1 из 45 на это.

    Пример дополнительных углов

    Дополнительные углы добавить к 90 °. Дополнительные углы не обязательно соединять с общей вершиной, точкой или линией. Они могут быть смежными или вертикальными на пересекающихся линиях. Они могут быть в двух разных многоугольниках, если сумма их углов равна точно 90 °. Дополнительные углы — это острые углы.

    В большинстве случаев вы можете найти только один дополнительный угол, если вы знаете меру его дополнительного угла.Если вам говорят, что треугольник имеет ∠T, дополнительный к P в неправильном пятиугольнике, вы ничего не можете знать о двух углах, кроме того, что оба они острые.

    Если, однако, мы скажем, что ∠P в пятиугольнике составляет 57 °, тогда мы сразу узнаем отсутствующее ∠T, угол составляет 33 °:

    90 ° — 57 ° = 33 °

    Что такое вертикальные углы?

    Пара вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых. Вертикальные углы противоположны друг другу и имеют общую вершину. Давайте рассмотрим, что еще мы узнали о вертикальных углах:

    1. Могут ли вертикальные углы совпадать?
    2. Могут ли вертикальные углы быть дополнительными?
    3. Когда вертикальные углы будут дополнять друг друга?

    Для № 1, мы надеемся, вы сказали, что вертикальные углы всегда совпадают!

    Для № 2, вы сказали, что вертикальные углы являются дополнительными, только когда линии перпендикулярны?

    Для № 3 вы писали, что вертикальные углы будут дополнять друг друга, только если каждый из них составляет 45 °?

    Можно так много узнать об углах и соотношениях углов.

    Следующий урок:

    Теорема о средней точке

    Деревянный наружный угол в сборе

    Независимо от того, какие деревянные наружные углы вы предпочитаете — вертикальные или горизонтальные — для деревянного дождевика, Climate-Shield предлагает красивые внешние углы из натурального дерева, чтобы удовлетворить ваши потребности в дизайне и строительстве, а также варианты, соответствующие бюджету вашего проекта.

    Деревянный дождевик для наружных углов включает как вертикальные, так и горизонтальные углы.Поскольку традиционные вертикальные деревянные уголки довольно распространены и имеют более низкую стоимость, давайте начнем с них.

    Вертикальная деревянная шторка от дождя Climate-Shield® с наружными углами

    «Если вам нравится традиционный вид вертикального внешнего угла вашей деревянной системы сайдинга от дождя, вот пошаговая инструкция по грунтовке, которая поможет вам сэкономить время при сборке, сборке и установке их на месте».


    Как собрать и установить: Вертикальный деревянный дождевик за пределами углов

    Шаг первый: Выберите древесину подходящей породы и размера для деревянных углов.Здесь мы показываем деревянную дождевую завесу 5/4 x 4 Ipe за пределами углов. Мы сделаем их для вас под углом к ​​угловому профилю замкового соединения. Обратите внимание на то, что левый и правый компоненты завершают вертикальный внешний угол. Если вы строите уголки для защиты от дождя на месте, мы отправим их вам отдельно.

    Шаг второй: Поскольку система защиты от дождя Climate-Shield создает однородную полость wall дюйма в стене, вы захотите использовать фанерные фланцы дюйма для подкладки.Разорвите ¾-дюймовую морскую фанеру на 8-дюймовые полосы, чтобы получился крепежный фланец для крепления к задней части внешнего скошенного углового узла. Мы обнаружили, что при разрезании одного куска фанеры на ширину 2–3 / 4 дюйма, а другого куска на ширину 3–1 / 2 дюйма, вы получите фланец примерно в 1 дюйм при использовании древесного углового материала номиналом 4 дюйма.

    Шаг третий: После того, как две полосы фанеры будут разорваны, скрепите их вместе винтами из нержавеющей стали для увеличения срока службы.

    Шаг четвертый: Предварительно просверлите фанеру через каждые 12 дюймов, используя зенковку, чтобы разместить головку винта из нержавеющей стали.

    Шаг пятый: Если вы планируете использовать гидроизоляцию или строительную пленку для защиты фанеры, сейчас лучшее время для этого. Прикрепите деревянные внешние угловые детали к фанерному угловому узлу. Теперь вы готовы просверлить заднюю часть деревянного уголка.

    Шаг шестой: Опция A Если вы выбрали , чтобы не использовать эпоксидную смолу , теперь вы можете закрепить углы деревянного экрана от дождя с помощью винтов из нержавеющей стали размером 1-1 / 4 дюйма через заднюю часть фанеры. .

    Шаг шестой: Опция B Если вы решили использовать эпоксидную смолу, снимите зажимы и осторожно нанесите небольшое количество эпоксидной смолы на скошенные углы замкового соединения. Также «смажьте» заднюю часть деревянных уголков эпоксидной смолой. Теперь вы можете снова зажать сборку и закрепить деревянные внешние углы винтами из нержавеющей стали диаметром 1-1 / 4 дюйма через заднюю часть фанеры. Прежде чем снимать зажимы, дайте эпоксидной смоле застыть в течение рекомендованного времени.

    Шаг седьмой: Используя наждачную бумагу с зернистостью 80, удалите все дефекты на поверхности древесины, неровности в углах или излишки клея. Для достижения наилучших результатов и внешнего вида рекомендуется перед установкой очистить и протереть угловой узел и нанести на дерево герметик, препятствующий ультрафиолетовому излучению. (Для достижения наилучших результатов всегда следуйте инструкциям производителя покрытия.)

    Шаг восьмой: Установите деревянную угловую защиту от дождя в сборе к внешнему углу конструкции, используя соответствующие винты или крепежные детали.



    Горизонтальная деревянная защита от дождя за пределами углов для системы защиты от дождя Climate-Shield

    Горизонтальные деревянные внешние уголки

    Мы понимаем, что многим архитекторам и профессионалам в области дизайна нравится внешний вид горизонтального внешнего угла с деревянными дождевыми экранами. Вот несколько вещей, которые вам следует знать. Из-за природы дерева, особенно для наружных помещений, этот метод оформления внешних углов требует тщательного планирования и квалифицированной установки.Из-за природы древесины и открытых торцевых волокон сайдинга создание горизонтального деревянного внешнего угла может быть немного сложным.

    Торцевая текстура внешней древесины — самая уязвимая часть деревянной обшивки. Это та часть плиты, где может происходить «капание» и быстрая потеря влаги. В то время как любая часть деревянной сайдинговой доски может двигаться со временем, торцевая текстура более склонна к торцевому проводу и движению натурального дерева, особенно когда требуется угол под углом 45 °.Благодаря этим естественным характеристикам и поведению наружной древесины компания Climate-Shield протестировала и разработала лучшее решение для проектирования и сборки этого типа горизонтальных деталей внешнего угла.

    Climate-Shield Горизонтальный внешний угол

    Climate-Shield разработал внешний угол с высокими эксплуатационными характеристиками для горизонтальной установки деревянных экранов от дождя. После испытаний этого стыка в течение последних нескольких лет в суровых погодных условиях в реальных полевых условиях мы обнаружили, что этот стык под углом отлично работает с сайдингом из твердой древесины.Хотя этот метод по-прежнему имеет угол наклона 45 ° на торцевых волокнах сайдинга, угол наклона ласточкин хвост и шпонка замечательно удерживают соединение вместе, что помогает обеспечить лучшую защиту торцевых волокон сайдинга.

    Горизонтальный внешний угол Climate-Shield предварительно изготовлен для быстрой сборки на месте. Мало того, что эта угловая система со временем будет работать лучше, чем скошенные углы, изготовленные на месте, мы обнаружили, что дополнительные затраты на эту деталь быстро компенсируются снижением затрат на рабочую силу из-за отсутствия скоса, торцевого уплотнения, предварительного сверления, установки винта и заглушки на место внешние угловые сборки.

    СКАЧАТЬ БРОШЮРУ ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ВНЕШНЕГО УГОЛА КЛИМАТИЧЕСКОГО ЩИТКА

    СКАЧАТЬ ИНСТРУКЦИИ ПО СБОРКЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ВНЕШНЕГО УГЛА

    ПРОВЕРИТЬ ВИДЕО СБОРКИ


    Другие варианты деревянных уголков для защиты от дождя

    Горизонтальный угол скоса за пределами углового поля

    Некоторые дизайнеры будут использовать деталь «под углом», чтобы свести к минимуму естественное воздействие и обнажение торцевых волокон деревянного сайдинга.Опытные подрядчики также быстро закроют обрезанные концы, чтобы свести к минимуму проверку концов и возможное раскалывание. В этой сборке требуется завинчивание торцевых шурупов, чтобы древесина оставалась на месте во время критического периода акклиматизации и в дальнейшем в сезон. Винты с обрезной головкой можно использовать для ограничения появления головки винта по углам. Другой вариант — зенкование и установка головок винтов подходящей породой деревянного сайдинга.

    Хотя концы сайдинговых досок наиболее уязвимы для атмосферных воздействий и некоторых движений, в частности, коробок, винты помогают удерживать доски на месте более эффективно и имеют тенденцию минимизировать количество движений натурального дерева.

    Ссылка на типовой проект

    При наилучшем замысле проектирования и строительных практиках этот метод должен со временем работать достаточно хорошо. В зависимости от степени воздействия, условий на участке и преобладающих погодных условий при необходимости могут потребоваться «выскочившие» деревянные заглушки или случайный ремонт угловой детали из-за движения натурального дерева.

    (PDF) Точное определение местоположения транспортного средства на основе вертикального угла с использованием 3D-лидара в городской местности

    Датчики 2016,16, 1268 22 из 23

    9.

    Levinson, J .; Монтемерло, М .; Трун, С. Локализация точных транспортных средств на основе карт в городских условиях.

    В области робототехники и систем; MIT Press: Кембридж, Массачусетс, США, 2007.

    10.

    Hate, A .; Вольф, Д. Обнаружение дорожной разметки с использованием данных об интенсивности отражения LIDAR и его применение

    для определения местоположения транспортных средств. В материалах 17-й Международной конференции IEEE 2014 г. по интеллектуальным транспортным системам

    (ITSC), Циндао, Китай, 8–11 октября 2014 г.

    11.

    Wolcott, R.W .; Юстис, Р. Визуальная локализация в LIDAR Maps для автоматизированного городского вождения.

    In Proceedings of the 2014 IEEE / RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS

    2014), Chicago, IL, USA, 14–18 сентября 2014.

    12.

    Wolcott, R.W .; Юстис, Р. Быстрая локализация лидаров с использованием карт гауссовской смеси с несколькими разрешениями.

    В материалах Международной конференции IEEE по робототехнике и автоматизации (ICRA) 2015 г., Сиэтл, Вашингтон,

    США, 26–30 мая 2015 г.

    13.

    Li, Y .; Олсон, Э. Извлечение объектов общего назначения из данных LIDAR. В материалах Международной конференции по робототехнике и автоматизации IEEE

    , Анкоридж, штат AK, США, 3–7 мая 2010 г.

    14.

    Chee, Y.W .; Ян, Т. Vision и LIDAR Feature Extraction; Технический отчет; Корнельский университет: Итака, Нью-Йорк,

    США, 2013.

    15.

    Park, Y.S .; Yun, S.M .; Won, C.S .; Душить.; Гм, К.Х .; Сим, С. Калибровка между цветной камерой и приборами 3D

    LIDAR с полигональной плоской платой.Датчики 2014,14, 5333–5353. [CrossRef] [PubMed]

    16.

    Hadji, S.E .; Hing, T.H .; Khattak, M.A .; Али, M.S.M .; Кази, С. Выделение 2D признаков в координатах датчика

    для лазерного дальномера. В материалах 15-й Международной конференции по робототехнике, контролю и производственным технологиям

    (ROCOM ’15), Куала-Лумпур, Малайзия, 23–25 апреля 2015 г.

    17.

    Ян, Р .; Wu, J .; Wang, W .; Lim, S .; Lee, J .; Хан, К. Алгоритм извлечения естественных углов в 2D Неизвестно

    Внутренняя среда с лазерным датчиком.В материалах 12-й Международной конференции по контролю 2012 г.,

    Автоматизация и системы, остров Чеджу, Корея, 17–21 октября 2012 г.

    18.

    Siadat, A .; Djath, K .; Dufaut, M .; Хассон Р. Лазерная навигация мобильных роботов в структурированной среде

    . В материалах Европейской конференции по контролю (ECC) 1999 г., Карлсруэ, Германия,

    31 августа — 3 сентября 1999 г.

    19.

    Vazquez-Martin, R .; Nunez, P .; Бандера, А .; Сандовал, Ф.Описание среды на основе кривизны для навигации роботов

    с использованием лазерных датчиков дальности. Датчики 2009,9, 5894–5918. [CrossRef] [PubMed]

    20.

    Lee, S.Y .; Сонг, Дж. Б. Локализация мобильного робота с использованием датчиков дальности: последовательное сканирование и совместное сканирование

    . Int. J. Control Autom. Syst. 2005,3, 1–14.

    21.

    Zhang, X .; Rad, A.B .; Вонг, Ю. Сочетание датчиков монокулярных камер и лазерных дальномеров для задач одновременной локализации и картирования (SLAM)

    в автономных мобильных роботах.Датчики

    2012

    , 12,

    429–452. [CrossRef] [PubMed]

    22.

    Велодин LiDAR. Velodyne HDL-32E, Руководство пользователя и Руководство по программированию; LIDAR Manufacturing Company:

    Morgan Hill, CA, USA, 2012.

    23.

    Arras, K.O .; Зигварт, Р. Извлечение объектов и интерпретация сцен для навигации по карте и карты

    Building. В материалах симпозиума по интеллектуальным системам и перспективному производству, Питтсбург,

    PA, США, 14-17 октября 1997 г .; Том 3210, стр.42–53.

    24.

    Borges, G.A .; Алдон, М.Дж. Извлечение линий в 2D-изображениях для мобильной робототехники. J. Intell. Робот. Syst.

    2004

    ,

    40, 267–297. [CrossRef]

    25.

    Siadat, A .; Каске, А .; Klausmann, S .; Dufaut, M .; Хассон Р. Оптимизированный метод сегментации для лазерного сканера 2D

    , применяемый для навигации мобильных роботов. В материалах 3-го симпозиума IFAC по интеллектуальным компонентам и приборам

    для приложений управления, Анси, Франция, 9–11 июня 1997 г.

    26.

    Harati, A .; Сигварт, Р. Новый подход к сегментации двухмерных диапазонов сканирования на линейные области.

    В материалах Международной конференции IEEE / RSJ по интеллектуальным роботам и системам, Сан-Диего, Калифорния,

    США, 29 октября — 2 ноября 2007 г.

    27.

    Nguyen, V .; Мартинелли, А .; Tomatis, N .; Сигварт, Р. Сравнение алгоритмов извлечения линий с использованием лазерного дальномера 2D

    для внутренней мобильной робототехники. В материалах Международной конференции IEEE / RSJ по интеллектуальным роботам и системам

    , Эдмонтон, AB, Канада, 2–6 августа 2005 г.

    28.

    Grisetti, G .; Kummerle, R .; Stachniss, C .; Бургард, В. Учебное пособие по SLAM на основе графов. IEEE Intell. Трансп.

    Syst. Mag. 2010,2, 31–43. [CrossRef]

    29.

    Sunderhauf, N .; Protzel, P. На пути к надежному фону для Pose Graph SLAM. В материалах Международной конференции по робототехнике и автоматизации IEEE

    , Сент-Пол, Миннесота, США, 14–18 мая 2012 г.

    Classic — Две недели для просмотра планировщика с золотыми углами, вертикальный, черный, 6.62 x 3,25 дюйма

    Если вы не на 100% удовлетворены своей покупкой, вы можете вернуть товар и получить полную компенсацию за товар. Вы можете вернуть товар в течение 30 дней с даты покупки. Любой возвращаемый товар должен быть в том же состоянии, в котором вы его получили, и в оригинальной упаковке. Сохраните квитанцию.

    Если вы нанесли чернила на перьевую ручку, свяжитесь с нами, чтобы узнать о вариантах возврата.

    Запрос разрешения на возврат

    Чтобы вернуть товар, воспользуйтесь нашим порталом возврата.

    В течение 24 часов после получения вашего запроса мы отправим вам по электронной почте инструкции по возврату, включая этикетку обратной доставки. При стандартном возврате мы вычтем фиксированную ставку в размере 5,99 долларов США за этикетку возврата из вашего возмещения. Если ваш возврат произошел из-за дефекта продукта, мы бесплатно выдадим вам этикетку возврата.

    Упаковка и отправка возврата

    Получив этикетку возврата по электронной почте, аккуратно упакуйте товар в его первоначальном состоянии, включая всю оригинальную упаковку и материалы (руководства, аксессуары и т. Д.).). Не пишите на упаковке продукта. Пожалуйста, упакуйте товар надлежащим образом для отправки.

    После получения нашим отделом возврата, Atlas Stationers принимает на себя полную ответственность за все товары. Мы не несем ответственности за утерю или кражу до того, как товар окажется в нашем распоряжении.

    Если продукт возвращается как новый, но явно использовался или был поврежден до его возврата, мы оставляем за собой право полностью отказать в возмещении.

    Если вы заказали товар неправильно или передумали, мы вернем покупную стоимость неоткрытого товара, подлежащего пополнению, за вычетом затрат на доставку.

    Возврат без предварительного разрешения

    Если возврат получен без предварительного разрешения на возврат, отгрузка может быть отклонена и / или возвращена вам за ваш счет.

    Гарантии производителя

    Если на нашем сайте не указано иное, вся продукция продается с полной гарантией производителя. Срок действия гарантии зависит от производителя и продукта. Если у вас возникли проблемы с товаром по истечении 30-дневного периода, обратитесь напрямую к производителю.

    Обработка возврата / замены

    Как только мы получим ваши возвращенные товары, мы их проверим и обработаем. Замена и возврат средств обычно обрабатываются в течение 3-5 рабочих дней.

    По всем дополнительным вопросам обращайтесь по электронной почте [email protected] или по телефону 866-892-4515. Мы всегда рады помочь!

    Вертикальная строчка и усиленные углы

    Модель Код Цена Вес Информация
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 3 x 5 VS5 15 долларов США.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 4 x 6 VS6 108,00 $ 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 5 x 8 VS8 $ 15.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 5 x 9 1/2 VS9 108 долларов США.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 6 x 10 VS10 $ 15.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 8 x 12 VS12 108,00 $ 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 10 x 15 VS15 15 долларов США.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 10 x 19 VS19 108,00 $ 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 12 x 18 VS18 $ 15.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 15 x 25 VS25 108 долларов США.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 20 x 30 VS30 $ 15.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 20 x 38 VS38 108,00 $ 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 25 x 40 VS40 16 долларов.00 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 30 x 50 VS50 108,00 $ 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа
    Вертикальная строчка / усиленные углы — 30 x 60 VS60 16,00 $ 0,00 Добавьте «VS» к номеру позиции для заказа

    Бревенчатые углы — Колорадо Бревенчатые дома

    Заявление об ограничении ответственности: Цены, указанные на нашем веб-сайте, не являются гарантированными и могут измениться в любое время.Звоните, чтобы узнать актуальные цены.

    В связи с повышенным спросом Allpine начала резку бревен. Эти углы — отличная отделка любого сайдинга из бревен. Мы предлагаем изделия самых разных стилей и размеров, чтобы завершить ваш новый проект.

    Полные круглые ложные углы:
    Звоните, чтобы узнать цены

    Углы с выемкой под седло: Цена по квоте

    Вертикальные углы:

    8 дюймов — 10 долларов США.06 LN FT
    10 дюймов — 10,56 долларов США LN FT
    12 дюймов — 11,07 долларов США LN FT

    Стыковые и проходные углы: Расчетная цена

    Доступны все углы бревна с обтесанной вручную стороной

    трещин на углах | Журнал Concrete Construction

    Вопрос: Я участвую в ремонте здания с вертикальными трещинами по углам.Однако образцы трещин в этом проекте не такие, как те, которые я видел раньше.

    Во-первых, в здании есть окна с вертикальными полосами, которые чередуются с каменными простенками шириной 10 футов между окнами. Я думаю, что с этими опорами шириной всего 10 футов, горизонтального расширения не будет.

    Далее, эти трещины не распространяются на всю высоту угла, а проходят только на уровне углов полки.

    Наконец, это здание было построено в 1960-х годах, и углы полок были установлены без каких-либо компенсаторов под ними.Верх стены ограничен нижней стороной бетонной кровельной системы, которая выступает из здания как архитектурный элемент. Кажется, что постоянное вертикальное расширение может быть частью проблемы. Я не уверен, что вызывает эти трещины. Любые идеи?

    Ответ: Из того, что вы описали, кажется вероятным, что эти трещины были вызваны несанкционированным вертикальным дифференциальным перемещением между кладкой из глиняного кирпича и структурным каркасом здания.Бетонные каркасные здания со временем сядут Кладка из глины, напротив, будет расти в результате расширения влаги.

    Большие сжимающие напряжения вызывают развитие горизонтальных растягивающих напряжений в кладке. Часто в узких вертикальных участках кладки появляются трещины. Однако, поскольку вы заявили, что трещины возникают на уровне пола, трещины могли быть вызваны смещением выпуклости наружу под углами полки. Это выступание наружу происходит из-за того, что перед уголком полки имеется стык из раствора.

    Когда стены были построены впервые, под углом, вероятно, был какой-то зазор. Когда этот зазор закрывается, из-за вертикального дифференциального движения между глиняной кладкой и бетонным каркасом раствор, который перекрывает стык перед углом полки, принимает на себя всю нагрузку. Эта эксцентрическая нагрузка создает движение во внешней стороне, которое вызывает смещение кирпичной кладки наружу.

    Вертикальное движение также поднимет кладку с угла, поскольку зазор под углом закрывается.Это уменьшает или устраняет трение на уголке и, следовательно, устраняет боковое ограничение в этом месте. Хотя эта выпуклость будет довольно небольшой, ее будет более чем достаточно для образования вертикальных трещин, длина которых может достигать нескольких футов с центром на линиях пола каждого этажа.

    Чтобы решить эту проблему и предотвратить повторное появление трещин, необходимо установить горизонтальные компенсаторы с учетом разницы в вертикальном росте. Перед проведением ремонта кирпич над углом должен быть надлежащим образом поддержан для передачи нагрузок обратно на строительную конструкцию.Ремонт следует начинать наверху здания, предварительно вырезав стык между нижней стороной бетонной балки и верхней частью кладки. Затем выполните ремонт углов полок и компенсаторов сначала на верхних этажах, а затем продвигайтесь вниз, чтобы уменьшить вес, который несет временная опора. Углы, вероятно, потребуется удалить, переустановить или заменить, поскольку движение могло нарушить крепление уголка к бетону.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.