В каких случаях минус на минус дает плюс: Почему минус на минус всегда даёт плюс?

Содержание

Минус на минус даёт плюс. А почему?

Минус на минус даёт плюс – это правило, которые мы выучили в школе и применяем всю жизнь. А кто из нас интересовался почему? Конечно, проще без лишних вопросов запомнить данное утверждение и глубоко не вникать в суть вопроса. Сейчас и без того достаточно информации, которую необходимо «переварить». Но для тех, кого всё же заинтересует этот вопрос, постараемся дать объяснение этому математическому явлению.

С древних времён люди пользуются положительными натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5,… С помощью чисел считали скот, урожай, врагов и т.д. При сложении и умножении двух положительных чисел получали всегда положительное число, при делении одних величин на другие  не всегда получали натуральные числа – так появились дробные числа. Что же с вычитанием?  С детских лет мы знаем, что лучше к большему прибавить меньшее и из большего вычесть меньшее, при этом мы опять же не используем отрицательные числа. Получается, если у меня есть 10 яблок, я могу отдать кому-то только меньше 10 или 10. Я никак не смогу отдать 13 яблок, потому что у меня их нет. Нужды в отрицательных числах не было долгое время.

Только с VII века н.э. отрицательные числа использовались в некоторых счётных системах, как вспомогательные величины, которые позволяли получить положительное число в ответе.

Рассмотрим пример, 6х – 30 = 3х – 9. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные — в правую: 6х – 3х = 30 – 9, 3х = 21, х = 7. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Мы могли бы члены с неизвестными перенести в правую часть, а без неизвестных — в левую: 9 – 30 = 3х – 6х, (-21) = (-3х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 7.

Что мы видим?

Действия с использованием отрицательных чисел должны привести нас к такому же ответу, что и действия только с положительными числами. Мы можем больше не думать о практической непригодности и осмысленности действий – они помогают нам решить задачу гораздо быстрее, не приводя уравнение к виду только с положительными числами. В нашем примере мы не использовали сложных вычислений, но при большом количестве слагаемых вычисления с отрицательными числами могут облегчить нам работу.

Со временем, после проведения длительных опытов и вычислений удалось выявить правила, которым подчиняются все числа и действия над ними (в математике они называются аксиомами). Отсюда и появилась аксиома, которая утверждает, что при умножении двух отрицательных чисел получаем положительное.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.


Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.


Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

 

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.


Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»


Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица


Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три


Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Сравните числа −2 и 1

Задание 2. Сравните числа −5 и −2

Задание 3. Сравните числа −5 и −16

Задание 4. Сравните числа 15 и 20

Задание 5. Сравните числа −7 и 0

Задание 6. Сравните числа 5 и 0

Задание 7. Сравните числа 5 и 7


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Почему минус на минус дает плюс? | Математика

Как известно, уже в школе всем говорят, что минус на минус дает плюс. Можно даже привести примеры:
$$x-(-y)=x+y; (-x)\cdot (-y)=x\cdot y; -x/\left(-y \right)=x/y$$
Но самое интересное в другом. Если у кого угодно спросить а почему так, то мало кто сможет ответить. Вам скажут — так принято или так должно быть по правилам. А ответить почему такие правила и откуда они появились еще труднее. И даже если задать такой же вопрос в поисковой системе, то можно прочитать все что угодно, начиная с дурацких примеров и заканчивая попытками объяснения из области теории групп. Ну как школьнику или даже студенту можно объяснить что такое кольца из теории групп? Поэтому требуется нормальное объяснение, основанное на понятных и легко проверяемых понятиях и правилах. Как оказалось, это можно сделать фактически в одну строку. Смотрите выкладки:

$$A-(-B)=X\Rightarrow A=X+(-B)\Rightarrow A=X-B\Rightarrow A+B=X\Rightarrow A-(-B)=A+B$$
Тут тоже могут возникать вопросы: «Почему при переносе слагаемого меняется знак на противоположный?» Ответ будет такой: «Мы ничего никуда не переносим, а просто добавляем в левую и правую части выражения одну и ту же величину»:

$$A-(-B)=X\Rightarrow A-\left(-B \right)+(-B)=X+(-B)$$
А вот теперь обозначим:

$$-B=Z$$
и после подстановки все становится очевидным:

$$A-Z=X\Rightarrow A-Z+Z=X+Z\Rightarrow A=X+Z$$
Теперь осталось вернуться к старой (заменной переменной), используя выражение:

$$-B=Z$$
И в результате получим, что при «переносе вправо слагаемого его знак поменялся на противоположный»:

$$ A=X-B$$
Вот и все преобразования, объясняющие почему если в выражении идет два минуса подряд, то в итоге их надо заменить на плюс. Теперь займемся случаем умножения двух отрицательных чисел.

$$(-A)\cdot (-B)=X\Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)-\left(A\cdot B \right)=X\Rightarrow …$$ $$… \Rightarrow (-A)\cdot (-B)+\left(A\cdot B \right)+ \left(-A \right) \cdot B=X\Rightarrow …$$ $$…\Rightarrow \left(-A \right)\left[\left(-B \right)+B \right]+A\cdot B=X\Rightarrow \left(-A\ \right) \cdot 0+A\cdot B=X\Rightarrow A\cdot B=X$$
Теперь осталось приравнять, с одной стороны:

$$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=X$$
а с другой стороны:

$$A \cdot B =X$$
Тогда, окончательно:

$$\left(-A \right)\cdot \left(-B \right)=A \cdot B$$
Как вам понятно, с делением двух отрицательных чисел уже не возникает проблем, так как операцию деления можно легко заменить операцией умножения на обратное. Остается выяснить почему минус из знаменателя можно поднимать в числитель. Один из вариантов:

$$\frac{1}{-A}=\frac{1\cdot \left(-1 \right)}{-A\cdot \left(-1 \right)}=\frac{-1}{A}$$
Предлагаем все высказываться в комментариях, если что кому не понравилось. Эта статья подготовлена студенческой лабораторией для любознательных школьников и их учителей.
 

© Studlab.com

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

  • знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
  • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4)3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

Пример 8

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

  • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
  • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
  • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Эпиляция Казань, косметология Казань

Ваша конфиденциальность очень важна для нас. Мы хотим, чтобы Ваша работа в Интернет по возможности была максимально приятной и полезной, и Вы совершенно спокойно использовали широчайший спектр информации, инструментов и возможностей, которые предлагает Интернет.

Личная информация, собранная при оформлении заявки (или в любое другое время) преимущественно используется для подготовки Продуктов или Услуг в соответствии с Вашими потребностями. Ваша информация не будет передана или продана третьим сторонам.

Какие данные собираются на сайте

При добровольной регистрации на скидку вы отправляете свое Имя и Телефон через форму.

С какой целью собираются эти данные

Имя используется для обращения лично к вам, а ваш e-mail для отправки вам писем рассылок, новостей саммита, полезных материалов.

Ваши имя и телефон не передаются третьим лицам, ни при каких условиях кроме случаев, связанных с исполнением требований законодательства.

Вы можете отказаться от получения писем рассылки и удалить из базы данных свои контактные данные в любой момент, кликнув на ссылку для отписки, присутствующую в каждом письме.

Как эти данные используются

При помощи этих данных собирается информация о действиях посетителей на сайте с целью улучшения его содержания, улучшения функциональных возможностей сайта и, как следствие, создания качественного контента и сервисов для посетителей.

Вы можете в любой момент изменить настройки своего браузера так, чтобы браузер блокировал все файлы cookie или оповещал об отправке этих файлов. Учтите при этом, что некоторые функции и сервисы не смогут работать должным образом.

Как эти данные защищаются

Для защиты Вашей личной информации мы используем разнообразные административные, управленческие и технические меры безопасности. Наша Компания придерживается различных международных стандартов контроля, направленных на операции с личной информацией, которые включают определенные меры контроля по защите информации, собранной в Интернет.

Наших сотрудников обучают понимать и выполнять эти меры контроля, они ознакомлены с нашим Уведомлением о конфиденциальности, нормами и инструкциями.

Тем не менее, несмотря на то, что мы стремимся обезопасить Вашу личную информацию, Вы тоже должны принимать меры, чтобы защитить ее.

Мы настоятельно рекомендуем Вам принимать все возможные меры предосторожности во время пребывания в Интернете. Организованные нами услуги и веб-сайты предусматривают меры по защите от утечки, несанкционированного использования и изменения информации, которую мы контролируем. Несмотря на то, что мы делаем все возможное, чтобы обеспечить целостность и безопасность своей сети и систем, мы не можем гарантировать, что наши меры безопасности предотвратят незаконный доступ к этой информации хакеров сторонних организаций.

В случае изменения данной политики конфиденциальности вы сможете прочитать об этих изменениях на этой странице или, в особых случаях, получить уведомление на свой e-mail.

Минус на минус дает плюс только в математике. Во всех остальных случаях

ШУТКА

Минус на минус дает плюс только в математике. Во всех остальных случаях получается просто двойной п*здец.


 5 лет назад 

+3

похожие

Минус на минус дает плюс только в математике. Во всех остальных случаях получается просто двойной трындец.

Минус на минус дает плюс только в математике, в реальном мире вообще какая-то дикая херня получается.

Если девушка страшная — это минус.
Если девушка стервозная — это тоже минус.
По идее, минус на минус — дает плюс,
Но если этот плюс еще и не дает…..

Плюс на минус всегда даёт минус. Беседа мудреца с идиотом всегда заканчивается беседой двух идиотов.

На жизнь надо смотреть позитивно. Например, если вас долбануло током, то в этом был не только минус, но и плюс.

Минус — это сплюснутый плюс.

— Посмотри прогноз погоды.
— Минус 6, по ощущениям минус 17.
— Какие неприятные ощущения…

— У тебя какое зрение?
— Минус восемь.
— Минус?! А глаза не мёрзнут?

У зимы есть один большой минус. Минус тридцать.

— У нас сегодня минус 20, а в Польше плюс 10.
— Конечно. Полякам же американцы помогают!

Чтобы узнать возраст девушки, не задавая вопроса напрямую, спросите, кто она по восточному гороскопу. Погрешность плюс-минус 12 лет.

Минус — это уже половина плюса, а плюс — это, порой, целых два минуса…

Минус одиночества в том, что через время начинаешь получать от этого кайф. И просто не пускаешь никого в свою жизнь

Самый хуевый минус одиночества в том, что через время начинаешь получать от этого кайф, и просто не пускаешь никого в свою жизнь.

— Ты знаешь, у меня ведь — крупный счет в банке! Только есть один минус.
— Какой?
— Перед первой цифрой.

— Я у тебя первый парень?
— Ну, если считать с минус восьми, то да..

Любишь худеть — люби и грудь минус первого размера.

Все бабы одинаковые… если у тебя зрение минус 8.

— Барсик, на улице минус 10, представляешь?
— Не понимаю, зачем вы вообще туда ходите…

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Числа могут быть положительными или отрицательными

Это числовая строка:

Отрицательные числа (-) Положительные числа (+)

«-» — отрицательный знак. «+» — положительный знак

Отсутствие знака означает положительный результат

Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число .

Воздушные шары и гири

Давайте подумаем о числах как о воздушных шарах (положительных) и весах (отрицательных):

К этой корзине привязаны воздушные шары и гирьки:

Добавление положительного числа

Сложение положительных чисел — это просто сложение.

Мы можем добавить шары (мы добавляем положительное значение )

корзина тянется вверх (положительно)

Пример: 2 + 3 = 5

на самом деле говорит

«Положительное 2 плюс Положительное 3 равно Положительное 5»

Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

Вычитание положительного числа

Вычитание положительных чисел — это просто вычитание.

Воздушные шары можно забрать ( вычитаем положительное значение )

корзина тянется вниз (минус)

Пример: 6 — 3 = 3

на самом деле говорит

«Положительных 6 минус Положительных 3 равно Положительных 3»

Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

Добавление отрицательного числа

Теперь посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел :

Мы можем добавлять веса (мы добавляем отрицательные значения )

корзина тянется вниз (минус)

Пример: 6 + (−3) = 3

на самом деле говорит

«Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»

Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)

Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного числа) или прибавление веса (добавление отрицательного числа) заставляет корзину опускаться.

Значит, результат тот же :

  • (+6) — (+3) = (+3)
  • (+6) + (−3) = (+3)

Другими словами, вычитание положительного то же самое, что добавление отрицательного .

Вычитание отрицательного числа

Наконец, мы можем убрать веса (мы вычитаем отрицательных значений )

корзина тянется вверх (положительно)

Пример: Что такое 6 — (−3)?

6 — (- 3) = 6 + 3 = 9

Да, действительно! Вычесть отрицание — это то же самое, что и сложить!

Два отрицания дают положительный результат

Что мы нашли?

Добавление положительного числа — это простое сложение…

Добавление положительного значения Добавление

Положительное и отрицательное вместе …

Вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Пример: Что такое 6 — (+3)?

6 — (+ 3) = 6 3 = 3

Пример: Что такое 5 + (−7)?

5 + (- 7) = 5 7 = −2

Вычитание негатива…

Вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

Пример: Что такое 14 — (−4)?

14 — (- 4) = 14 + 4 = 18

Правила:

Все это можно поместить в два правила :

Правило Пример
+ (+) Два одинаковых знака превращаются в знак плюс 3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5
— (-) 6 — (- 3) = 6 + 3 = 9
+ (-) Два непохожих знака превращаются в знак минуса 7 + (- 2) = 7 2 = 5
— (+) 8 — (+ 2) = 8 2 = 6

Они «как знаки», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковые).

Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

Два знака типа становятся положительным знаком

Два знака , отличных от , становятся отрицательным знаком

Пример: Что такое 5 + (- 2)?

+ (-) — это в отличие от знаков (они не совпадают), поэтому они становятся отрицательным знаком .

5 + (- 2) = 5 2 = 3

Пример: Что такое 25 — (- 4)?

— (-) — это , как знак , поэтому они становятся положительным знаком .

25 — (- 4) = 25 + 4 = 29

Пример: Что такое −6 + (+ 3)?

+ (+) — это , как и знак , поэтому они становятся положительным знаком .

−6 + (+ 3) = −6 + 3 = −3

Начните с −6 на числовой прямой, двигайтесь вперед на 3, и вы получите −3

А теперь поиграйте!

Попробуйте сыграть в Casey Runner, вам нужно знать правила положительного и отрицательного, чтобы добиться успеха!

Объяснение здравого смысла

И есть объяснение «здравого смысла»:

Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас поесть (положительный результат)

Если я скажу «Не ешьте!» Я говорю об обратном (отрицательном).

Теперь, если я говорю: « НЕ, не ешьте!», Я говорю, что не
хочу, чтобы вы умерли с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, тогда
вы сделали!

Другое объяснение здравого смысла

Друг +, враг —

.

+ + ⇒ + друг друга мой друг
+ — ⇒ — друг врага — мой враг
— + ⇒ — враг друга — мой враг
— — ⇒ + враг врага мой друг

Пример банка

Пример. В прошлом году банк по ошибке снял с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

Итак, банк должен забрать отрицательные 10 долларов.

Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов, поэтому у вас будет:

80 долларов — (- 10 долларов) = 80 долларов + 10 долларов = 90 долларов

Итак, вы получаете на свой счет долларов, еще 10 .

Длинный пример, который вам может понравиться

Очки союзника

Элли может быть непослушным или милым. Так родители Элли сказали

«Если вы будете любезны, мы добавим 3 балла (+3).
Если вы непослушны, снимаем 3 балла (−3).
Когда вы набираете 30 очков, вы получаете игрушку. »

Союзник начинает день с 9 очками: 9
Мама Элли обнаруживает пролитое молоко: 9 — 3 = 6

Тогда папа признается, что пролил молоко и пишет «отменить».

Как «отменить» минус 3?
Мы добавляем 3 снова!

Итак, мама считает: 6 — (−3) = 6 + 3 = 9

Итак, когда мы вычитаем отрицательное, мы получаем
баллов (т.е.е. так же, как добавление очков).

Таким образом, вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

Несколько дней спустя. У Элли 12 очков.
Мама добавляет 3 очка, потому что комната Элли чистая. 12 + 3 = 15
Папа говорит: «Я убрал эту комнату» и пишет «отменить» на диаграмме.Мама считает: 15 — (+3) = 12
Папа видит, как Элли чистит собаку. Пишет на графике «+3». Мама считает: 12 + (+3) = 15
Элли бросает камень в окно. Папа пишет на диаграмме «−3».Мама считает: 15 + (−3) = 12

См .: как « 15 — (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.

Итак:

Неважно, вычтете ли вы положительные
баллов или добавите отрицательные,
вы все равно потеряете баллы.

Таким образом, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Попробуйте эти упражнения…

Теперь попробуйте этот лист и посмотрите, как у вас дела.

А еще попробуйте эти вопросы:

Вычитание целых чисел — ChiliMath

Если вы умеете складывать целые числа, я уверен, что вы также можете вычитать целые числа. Ключевым шагом является преобразование задачи вычитания целых чисел в задачу сложения целых чисел. Процесс очень прост. Вот как:

Шаги по вычитанию целых чисел

Шаг 1 : Преобразуйте задачу вычитания целых чисел в задачу сложения целых чисел.Вот как:

  • Во-первых, сохраните первое число (известное как уменьшаемое).
  • Во-вторых, измените операцию с вычитания на сложение.
  • В-третьих, получите знак, противоположный второму числу (известное как вычитаемое)
  • Наконец, продолжите обычное сложение целых чисел.

Шаг 2 : Продолжайте обычное сложение целых чисел.

Обратите внимание, что в конечном итоге вы добавите целые числа. Итак, для вашего удобства, вот краткое изложение правил добавления целых чисел.

  • Случай 1 : сложение двух целых чисел с одинаковым знаком

Сложите их абсолютные значения и сохраните общий знак.

  • Случай 2 : сложение двух целых чисел с разными знаками

Вычтите их абсолютные значения (большее абсолютное значение минус меньшее абсолютное значение), затем возьмите знак числа с большим абсолютным значением.


Примеры целочисленного вычитания

Пример 1 : Вычтите указанные ниже целые числа.

Решение:

Нам нужно будет преобразовать задачу от вычитания к сложению. Для этого мы сохраняем первое число, равное –13, меняем операцию с вычитания на сложение, затем меняем знак + 4 на 4.

Последний шаг — продолжить регулярное добавление. Сложите их абсолютные значения. Затем определяем знак окончательного ответа. Поскольку мы добавляем целые числа с одинаковым знаком, мы сохраним общий знак, который в данном случае отрицательный.


Пример 2 : Вычтите целые числа, указанные ниже.

Решение:

Как и раньше, преобразуйте задачу вычитания в задачу сложения. Остается положительное 9, переключите операцию с «минус» на «плюс», затем получите противоположный знак вычитания (второе число) с отрицательного на положительный.

А теперь добавим их. Мы складываем два положительных целых числа, поэтому ожидаем, что ответ также будет положительным, потому что общий знак положительный.


Пример 3 : Найдите разность двух целых чисел.

Решение:

Надеюсь, вы уже разбираетесь в этом. Давайте сначала сделаем это задачей сложения целых чисел, а затем приступим к регулярному сложению целых чисел с разными знаками.

Итак, мы сначала вычитаем их абсолютные значения, а затем получаем знак числа с большим абсолютным значением.

Вычитая абсолютные значения, получаем 24 минус 19, что дает нам +5. Но окончательный ответ — 5, потому что знак идет от 24.


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Целочисленное сложение
Целочисленное умножение
Целочисленное деление

Делают ли два минуса плюсом? (1)

За последние несколько недель я посетил несколько классов 7, 8 и 9 классов, и одной из областей внимания были целые числа. Не секрет, что целые числа могут быть проблематичными для многих студентов (и, я бы добавил, взрослых тоже). Беседуя с некоторыми студентами, я слышал такие вещи, как «Два минуса — плюс»: правда ли это? Я видел, как студенты использовали это правило, чтобы затем сказать, что ¯3 + ¯3 = 6.Меня беспокоит то, что у студентов возникли неправильные представления, потому что они сразу перешли к абстрактной части конкретной-диаграммно-абстрактной части этого континуума. Итак, вот несколько упражнений, которые я использовал, чтобы помочь им пройти конкретную и схематическую фазы, чтобы они могли понять абстрактное:

1) Моя первая цель — научить студентов складывать целые числа. Как и многие учителя, я использую целые плитки для конкретного представления целых чисел:

Я говорю студентам, что это самая важная концепция: если красная плитка представляет отрицательную 1, а желтая — положительную 1, то вместе они образуют одноименную «нулевую пару».Каждый раз, когда они видят нулевую пару, это означает значение 0 (даже если вы видите две плитки).
Затем я прошу студентов использовать плитки для представления таких величин, как ¯3 и 5:

Затем я прошу их использовать эти два набора для вычисления ¯3 + 5. Что здесь полезно, так это фактическим актом сложения (т.е. объединением двух групп) мы получаем что-то вроде этого:

Затем я даю ученикам другие примеры для работы:

Одна из вещей, которую я здесь пытаюсь сделать, — это заставить учащихся визуализировать решение.Например, в четвертом вопросе выше студенты (которые использовали плитки для первых трех вопросов) смогли изобразить (мысленно или с помощью гистограммы) 19 желтых плиток в паре с 19 красными плитками (что дает 19 нулевых пар), оставляя 4 красных плитки, или отрицательный 4.
После того, как приведено достаточно этих примеров, я прошу студентов заполнить следующее утверждение:

Добавление негатива аналогично …

Вскоре приходит консенсус, что это то же самое, что вычитать положительный результат.Это намного лучше, чем говорить «минус, а плюс — минус».

2) После того, как мы установили, что добавление отрицательного числа — это то же самое, что вычитание положительного, я хотел бы показать, как мы можем использовать числовую линию, чтобы показать это:

Некоторым студентам этот способ нравится, другим — меньше, но я позволяю им выбирать, какой метод лучше всего подходит для них.

3) Вычитание целых чисел также можно смоделировать с помощью целочисленных плиток, но мне всегда нравилось представлять это таким образом. Сначала я вызываю трех студентов и раздаю каждому по четыре карточки.У двух из них есть карты с номерами от 1 до 4, а у третьего есть карты с номерами от ¯4 до ¯1. Затем я рассказываю очень, очень банальную шутку типа «Как вы называете муху без крыльев? Прогулкой!» и попросите студентов поставить мне отметку за мою шутку. Например, я могу получить это:

Я симулирую разочарование учеником, поставившим мне отрицательную оценку, и класс смеется над этим. Затем мы получаем мою общую сумму, в данном случае 4 + 2 + ¯3 дает 3. На этом этапе я выражаю решительный протест против студента, который поставил мне отрицательную оценку до такой степени, что требую убрать эту оценку и Я провожу их в угол комнаты.Опять смех повсюду. Затем я возвращаюсь к оставшимся ученикам:

Затем я спрашиваю студентов, какой у меня «новый» результат, и они говорят мне 6. Затем я говорю: «Мы начали с 3 и закончили с 6. Но что произошло между ними?» Обычно ответ такой: «Вы убрали отрицательную 3». Затем я записываю то, что они сказали:

Я повторяю это еще для пары плохих шуток, затем прошу их взглянуть на результаты и закончить предложение:

Вычитание негатива аналогично…

Опять же, вскоре пришли к общему мнению, что вычитание отрицательного — это то же самое, что и добавление положительного. Для некоторых студентов это просто сногсшибательно, и я говорю им, что могу понять, почему они могут посчитать это нелогичным, но это потому, что они всегда считали, что вычитание уменьшает. Однако упражнения показали, что вычитание отрицательного числа увеличивает число: нравится нам это или нет, но мы не можем спорить с этой красивой математической логикой!

Это можно смоделировать с помощью целочисленных плиток:

Обратите внимание, что мы не можем «убрать» отрицательное число 3, потому что в нашей модели нет трех красных плиток.Однако мы можем преодолеть это, добавив достаточное количество нулевых пар:

Теперь мы можем убрать негатив 3:

Некоторым студентам такой подход нравится, другим — меньше. В любом случае это укрепляет идею о том, что вычитание отрицательного — это то же самое, что добавление положительного. Это намного лучше, чем говорить «два минуса — плюс». И снова я продолжаю это, предлагая студентам задать несколько вопросов, которые отучат их от конкретного и заставят мыслить схематично и абстрактно.

Темы по алгебре: Отрицательные числа

Урок 3: Отрицательные числа

/ ru / algebra-themes / exponents / content /

Что такое отрицательные числа?

Отрицательное число — любое число меньше нуля. Например, -7 — это число, которое на на семь меньше , чем 0.

-7

Может показаться немного странным сказать, что число меньше , чем 0. В конце концов, мы часто думаем, что ноль означает ничего .Например, если в вашей конфетной чаше осталось 0 кусочков шоколада, у вас останется без конфет. Осталось , ничего не осталось . В этом случае сложно представить, что у вас будет меньше, чем ничего.

Однако в реальной жизни бывают случаи, когда вы используете числа меньше нуля. Например, вы когда-нибудь были на улице в очень холодный зимний день, когда температура была ниже нуля? Любая температура ниже нуля — отрицательное число. Например, температура на этом термометре составляет -20 , или на двадцать градусов ниже нуля.

Вы также можете использовать отрицательные числа для более абстрактных идей. Например, в финансах отрицательные числа можно использовать для отображения долга . Если я переоцениваю свой счет (вынимаю больше денег, чем у меня есть на самом деле), мой новый банковский баланс будет отрицательным числом . У меня не только не будет денег в банке — на самом деле у меня будет меньше , чем ничего, потому что я должен банку денег.

Посмотрите видео ниже, чтобы узнать больше об отрицательных числах.

Любое число без знака минус перед ним считается положительным числом , то есть числом, которое на больше нуля . Таким образом, в то время как -7 — это отрицательная семерка , 7 — это положительная семерка или просто семь .

Отрицательные числа

Как вы могли заметить, вы записываете отрицательные числа с помощью того же символа, который вы используете при вычитании: знака минус (-). Знак минус не означает, что вы должны думать о числе типа -4 как о и вычесть четыре .В конце концов, как бы это вычесть?

-4

Вы не могли — потому что вычесть это не из чего. Мы можем написать -4 само по себе именно потому, что не означает, что вычитает 4 . То есть напротив из четырех.

Посмотрите на 4 и -4 в числовой строке:

Вы можете представить числовую прямую как состоящую из трех частей: положительного направления , отрицательного направления и нулевого .Все, что находится справа от нуля, — это положительное значение , а все, что находится слева от нуля, — это отрицательное значение . Мы думаем о положительных и отрицательных числах как о , противоположных , потому что они находятся на противоположных сторонам числовой прямой.

Еще одна важная вещь, которую нужно знать об отрицательных числах, заключается в том, что они становятся на меньше, чем , чем дальше они уходят от 0. На этой числовой строке, чем дальше от слева находится число , тем оно меньше. Таким образом, 1 меньше, чем 3 .-2 меньше 1 , а -7 меньше -2 .

Абсолютное значение

Когда мы говорим об абсолютном значении числа , мы говорим о расстоянии этого числа от 0 на числовой прямой. Помните, как мы сказали, что 4 и -4 были на одном и том же расстоянии от 0? Это означает, что 4 и -4 имеют одинаковое абсолютное значение. Представим взятие абсолютного значения числа двумя прямыми вертикальными линиями | | .Например, | -3 | = 3. Это читается как «абсолютное значение отрицательных трех равно трем».

Важно помнить: хотя отрицательные числа на меньше по мере удаления от 0, их абсолютное значение становится на больше . Например, -10 меньше -6. Однако | -10 | больше чем | -6 | потому что -10 имеет большее расстояние от 0, чем -6.

Вычисление с отрицательными числами

Использовать отрицательные числа в арифметике довольно просто.Следует помнить лишь о нескольких особых правилах.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Когда вы складываете и вычитаете отрицательные числа, полезно подумать о числовой прямой, по крайней мере, сначала. Давайте посмотрим на эту проблему: 6-7 . Даже если 7 больше 6, вы можете вычесть его точно так же, как и любое другое число, если вы понимаете, что есть числа , меньшие , чем 0.

6-7 = -1

Хотя числовая прямая позволяет легко представить себе эту проблему, есть также уловка, которую вы могли бы использовать для ее решения.

Во-первых, на мгновение игнорируйте отрицательные знаки. Просто найдите разницу в между двумя числами. В данном случае это означает решение для 7 — 6 , что составляет 1. Затем посмотрите на свою исходную проблему. У какого числа наибольшее абсолютное значение ? В данном случае это -7. Поскольку -7 — отрицательное число, наш ответ тоже будет единичным: -1. Поскольку абсолютное значение -7 больше, чем расстояние между 6 и 0 , наш ответ оказывается на меньше 0 .

Добавление отрицательных чисел

Как бы вы решили эту проблему?

6 + -7

Вы не поверите, но это точно та же проблема, которую мы только что решили!

Это потому, что знак «плюс» просто указывает на то, что вы объединяете два числа. Когда вы объединяете отрицательное число с положительным, сумма будет на минус , чем исходное число, поэтому вы также можете получить , вычитая . Итак, 6 + -7 — это то же самое, что 6-7 , и оба они равны -1.

6 + -7 = -1

Всякий раз, когда вы видите положительный и отрицательный знак рядом друг с другом, вы должны читать его как отрицательный . Так же, как 6 + -7 это то же самое, что 6-7:

  • 10 + -11 равно 10-11.
  • 3 + -2 равно 3-2.
  • 50 + -100 равно 50-100.

Это верно всякий раз, когда вы добавляете отрицательное число. Добавление отрицательного числа всегда аналогично вычитанию абсолютного значения этого числа.

Вычитание отрицательных чисел

Если сложение отрицательного числа фактически равно вычитанию, как вы из вычитаете отрицательное число? Например, как решить эту проблему?

6 — — 3

Если вы догадались, что вы прибавите их , то вы правы. И вот почему: помните, как мы сказали, что отрицательное число противоположно положительному? Мы сравнили их с вами и вашим зеркальным отображением. Ваше зеркальное отражение — ваша противоположность, а это значит, что противоположность вашего зеркального отражения — , вы .Другими словами, противоположность вашей противоположности — вы .

Таким же образом вы можете упростить эти два знака минус, прочитав их как два отрицания. Первый знак минус отрицает — или делает отрицательным — второе. Поскольку отрицательное или противоположное отрицательное значение является положительным, вы можете заменить оба знака минус знаком плюс. Это означает, что вы должны решить это:

6 + 3

Это намного проще решить, верно? Если это кажется запутанным, вы можете просто запомнить этот простой трюк: Когда вы видите два знака минус подряд , замените их знаком плюс .

Итак, 6 минус отрицательное 3 равно 6 плюс 3. Это равно 9. Другими словами, 6 — -3 равно 9.

Может быть сложно запомнить все правила сложения и вычитания чисел. Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как вам помочь.

Умножение и деление отрицательных чисел

Есть два правила умножения и деления чисел:

  • Если вы умножаете или делите два положительных или отрицательных числа, результатом будет положительных .
  • Если вы умножаете или делите положительное число и отрицательное число, ваш результат будет отрицательным .

Вот и все! Вы умножаете или делите как обычно, а затем пользуетесь этими правилами, чтобы определить положительный или отрицательный ответ. Например, возьмем эту задачу: -3 -4 . 3 ⋅ 4 равно 12. Поскольку оба умноженных числа были отрицательными, ответ будет положительным : 12.

-3 ⋅ -4 = 12

С другой стороны, если бы мы умножили 3 ⋅ -4 на , мы получили бы другой ответ:

3 ⋅ -4 = -12

Опять же, 3 ⋅ 4 равно 12.Но поскольку один из наших кратных равен отрицательным , а другой — положительным , наш ответ также должен быть отрицательным : -12.

То же самое и с делением. -40 / -10 равно 4, потому что — 40 и -10 оба являются отрицательными . Однако -40 / 10 равно -4, потому что одно число — отрицательное , а другое — положительное .

/ ru / алгебра-темы / обратные-и-обратные-числа / содержание /

предварительное вычисление алгебры — Почему отрицательное умножение на отрицательное = положительное?

Следует понимать одну вещь: этот закон нельзя доказать так же, как можно доказать законы положительной рациональной и интегральной арифметики.Причина этого в том, что у негативов отсутствует какое-либо «внешнее» (внешнее по отношению к математике, т.е. доаксиоматическое, интуитивное, концептуальное, эмпирическое, физическое, и т.д., ) определение.

Например. Даже не вдаваясь в аксиомы Пеано, я могу доказать, что, где $ a $ и $ b $ — натуральные числа, $ ab = ba $. В самом деле, $ ab $ — это просто процесс взятия $ a $ наборов из $ b $. Возьмите по одному элементу из каждого из этих наборов, образуя набор из $ a $ элементов. Повторите это $ b $ раз: вы явно израсходуете в точности все элементы и получите $ b $ наборов из $ a $ элементов, другими словами, $ ba $.Подобные неформальные (но вполне убедительные, разумные и, я бы сказал, неопровержимые) рассуждения можно использовать, например, для демонстрации правил манипулирования положительными дробями.

Обратите внимание, что в предыдущем абзаце я использовал тот факт, что как положительные целые числа, так и положительное целочисленное умножение имеют преаксиоматические, «физические» определения.

Спросите кого-нибудь, почему произведение двух отрицаний является положительным, и лучшее, что они могут сделать, это объяснить , а не доказать . «Ну, отрицательный вид означает« противоположность », поэтому двойное выполнение противоположного означает выполнение обычного, то есть положительного» не является доказательством, а просто объяснением, служащим для того, чтобы сделать принятую математическую аксиому менее удивительной.Другой распространенный вариант начинается со слов «мы хотели бы, чтобы обычные свойства арифметики выполнялись, поэтому предположим, что они имеют …», но затем остается объяснить, почему так важно, чтобы выполнялись обычные законы арифметики. Сам Эйлер в одной из первых глав своего учебника по алгебре дал следующее в высшей степени сомнительное оправдание. Обосновав $ (- a) b = — (ab) $ по аналогии с долгами, он пишет:

Осталось разрешить случай, когда — умножается на -; или, например, -a на -b.По буквам с первого взгляда очевидно, что это будет ab; но сомнительно, стоит ли ставить перед ним знак + или знак -, все, что мы знаем, это то, что это должен быть тот или иной из этих знаков. Теперь я говорю, что это не может быть знак -: for -a by + b дает -ab, а -a by -b не может дать того же результата, что и -a by + b …

Без неуважения к Эйлеру (особенно учитывая то, что это было задумано как вводный учебник), я думаю, мы можем согласиться с тем, что это довольно сомнительный с философской точки зрения аргумент.

Причина, по которой это невозможно, состоит в том, что не существует преаксиоматического определения того, что на самом деле представляет собой отрицательное число или отрицательное умножение. О, вы, вероятно, могли бы придумать одно, включающее противоположные «направления» и понятия симметрии, но это было бы довольно искусственным и вовсе не явно «лучшим» определением. На мой взгляд, негатив лучше всего понимать как чисто абстрактные объекты. Бывает так — и это довольно загадочно, — что эти совершенно абстрактные законы вычислений приводят к физически значимым результатам.Это было красиво выражено в 1778 году математиком Джоном Плейфэром, когда он обратился к тогдашним спорным вопросам отрицательных и комплексных чисел:

Вот парадокс, который еще предстоит объяснить. Если операции этой воображаемой арифметики непонятны, почему они не совсем бесполезны? Неужели расследование — это искусство настолько механическое, что его можно проводить вручную? Или правда так легко обнаруживается, что для успеха наших исследований не нужен интеллект?

цитируется в Negative Math: Как математические правила могут быть положительно искажены Альберто А.Мартинес.

Одним из способов решения проблемы является идея, что отрицательные числа — это другое название для вычитания . Различия между вычитанием и сложением вынуждают нас, если мы отвергаем отрицания, создавать множество разных правил, охватывающих все различные возможности ($ a — b $, $ b — a $ и $ a + b $, и если конкретная теорема или проблема включает более двух переменных, сложность усугубляется …). Идею негативов можно описать как понимание того, что вместо двух операций и одного типа числа мы можем иметь одну операцию и два типа числа .В самом деле, если вы начнете с некоторых совершенно физически значимых аксиом о вычитании, вы обнаружите, что закон $ (- 1) (- 1) = 1 $, по-видимому, подразумевается внутри них. Подсказка: исходя из очень разумных аксиом $ a (b-c) = ab-ac \, \ a — (b — c) = a — b + c $, рассмотрим произведение $ (a-b) (c-d) $.

Но даже это объяснение меня не совсем удовлетворяет. Я пришел к убеждению, что мое образование обмануло меня, понимая, насколько глубоки отрицательные числа, и я ожидаю, что они будут озадачивать их еще долгие годы.В любом случае, я надеюсь, что кое-что из вышеперечисленного кому-то пригодится.

1.5 Почему ОТРИЦАТЕЛЬНО ВРЕМЯ ОТРИЦАТЕЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНО?

Когда мы открываем отрицательные числа, мы, естественно, даже без сомнения, предполагаем, что они подчиняются тем же законам арифметики, что и обычные положительные счетные числа. То есть нам нравится верить, что основные законы, такие как \ (a \ times b = b \ times a \) и \ (a \ times 1 = a \) и \ (a \ times 0 = 0 \), выполняются для всех числа, как положительные, так и отрицательные, и что мы можем раскрывать скобки даже с отрицательными записями, и так далее.Конечно, эти правила предполагают, что мы знаем, что априори умеет умножать на отрицательные числа.

УМНОЖЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ НОМЕРОВ

В начальной учебной программе умножение вводится в контексте целых счетных чисел и соответственно определяется как повторное сложение. Например, \ (4 \ times 5 \) читается как «четыре группы по пять» и вычисляется следующим образом: \ (4 \ times 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \).

На самом деле довольно удивительно, что \ (5 \ умножить на 4 \), «пять групп по четыре», дает тот же числовой ответ, что и четыре группы по пять.Вычисление совершенно иное, когда числа 5 и 4 служат для смены ролей.

Вопрос: Как бы вы убедили молодого студента в том, что 193 группы из 307 человек обязательно будут иметь такую ​​же ценность, как 307 групп из 193 человек? Почему мы хотим, чтобы верили, что \ (a \ times b = b \ times a \) для подсчета чисел? (ПОДСКАЗКА: расставьте точки в прямоугольные массивы.)

Повторное сложение позволяет нам умножить положительное число и отрицательное число.Например, \ (2 \ times \ left (-3 \ right) \) может читаться как «две группы отрицательных трех» и поэтому вычисляется как \ (2 \ times \ left (-3 \ right) = — 3 + \; — 3 = -6 \). По сваям и ямкам это выглядит так:

Однако интерпретировать отрицательное умножение на положительное и отрицательное, умноженное на отрицательное, путем повторного сложения проблематично.

Что может означать \ (\ left (-2 \ right) \ times 3 \)? «Отрицательные две группы по три» не имеет смысла.

И \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \) одинаково странно: «две отрицательные группы из трех отрицательных.”

На самом деле умножение здесь не имеет значения в контексте повторяющегося сложения. Мы вступили на новую территорию, и если мы хотим открыть наш мир для новых типов чисел, неудивительно, что ранее конкретные, буквальные определения начинают ошибаться. Итак, мы должны провести сложный сдвиг мышления, отказавшись от вопроса Что такое умножение? , чтобы вместо этого спросить:

Как бы мы хотели, чтобы вело себя умножение?

Комментарий: Позвольте мне подчеркнуть этот момент.На вопрос: «Что означает умножение отрицательных чисел?» Это вводящий в заблуждение вопрос, и это не тот вопрос, который следует задавать на данном этапе нашей работы: мы все еще пытаемся решить проблему того, каким может быть умножение в мире отрицательных чисел. Чтобы приблизиться к этому, мы сначала должны четко определить, какие особенности арифметики, по нашему мнению, должны оставаться верными.

ДУМАЯ НАШЕ ЧЕРЕЗ ВЕЩИ

Положительные, умноженные на Отрицательные : Кажется убедительным придерживаться понятия «повторное сложение» для произведения отрицательного и положительного:

\ (2 \ times \ left (-3 \ right) = \) две группы отрицательных трех \ (= — 3 + -3 = -6 \).

Большинство людей согласны с тем, что мы должны придерживаться этой идеи.

Отрицательное время Положительное : Это проблематично: \ (\ left (-2 \ right) \ times 3 =? \)

Но кажется убедительным сказать, что закон коммутативности \ (a \ times b = b \ times a \) должен выполняться для всех типов чисел, включая отрицательные числа. В этом случае мы можем написать:

\ (\ left (-2 \ right) \ times 3 = 3 \ times \ left (-2 \ right) \) три группы отрицательных двоек \ (= — 2 + -2 + -2 = -6 \).

Отрицательное время Отрицательное : Как нам вычислить \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \)?

Применение закона коммутативности и представление об этом как о \ (\ left (-3 \ right) \ times \ left (-2 \ right) \) в этом случае не помогает.Итак, какая математика может направлять нас в нашем мышлении?

Мы действительно сказали, что нам нравится верить, что все обычные законы арифметики (\ (a \ times b = b \ times a \), \ (a \ times 1 = a \), \ (a \ times 0 = 0 \), раскрывающиеся скобки и т. д.) должны выполняться для всех типов чисел. Поскольку модель площади — это просто представление, которое мы верим в расширяющиеся скобки, модель площади должна работать и для отрицательных чисел!

КЛЮЧЕВОЙ ПРИМЕР: Вот три способа вычислить \ (17 \ times 18 \), считая \ (17 \) либо \ (10 ​​+ 7 \), либо \ (20+ \ left (-3 \ right) \) и \ (18 \) как \ (10 ​​+ 8 \) или \ (20 + \ left (-2 \ right) \).Несмотря на то, что геометрически нет смысла иметь отрицательную длину стороны геометрической фигуры, мы видим, что математика, которую представляет каждая диаграмма, по-прежнему является правильной математикой.

Но есть четвертая возможная картина!

Математика раскрывающихся скобок предполагает, что правильное значение \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \) равно \ (+ 6 \). (У продукта должен быть ответ \ (306 \).)

УПРАЖНЕНИЕ: Нарисуйте четыре диаграммы, представляющие \ (26 \ times 35 \), и используйте последнюю, чтобы продемонстрировать, почему мы должны установить \ (\ left (-4 \ right) \ times \ left (-5 \ right) = +20 \).

ТОЧНЫЙ ЛОГИЧЕСКИЙ АРГУМЕНТ, ПОЧЕМУ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ВРЕМЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ДОЛЖЕН БЫТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ

Как только мы договоримся, что \ (2 \ times \ left (-3 \ right) = — 6 \) (посредством повторного сложения) и \ (\ left (-3 \ right) \ times 2 = -6 \) (через a убежденность в коммутативности), что отрицательное умножение на отрицательное является положительным, является вынужденным логическим следствием следующих двух основных убеждений арифметики: \ (a \ times 0 = 0 \) и \ (a \ left (b + c \ right) = ab + ас \). Вот почему:

Докажем \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) = + 6 \).

По первому правилу мы должны сказать: \ (\ left (-2 \ right) \ times 0 = 0 \).

Переписывая первый ноль, мы должны договориться, что: \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (3+ \ left (-3 \ right) \ right) = 0 \).

При распределении мы также должны согласиться с тем, что: \ (\ left (-2 \ right) \ times 3 + \ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) = 0 \).

Это читается так: \ (- 6 + \ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) = 0 \).

Отсюда следует, что \ (\ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \) должно быть \ (+ 6 \).

УПРАЖНЕНИЕ: Создайте аналогичный аргумент, чтобы установить, что \ (\ left (-4 \ right) \ times \ left (-5 \ right) = + 20 \).

ТАК… ЧТО ТАКОЕ УМНОЖЕНИЕ?

В контексте положительных целых чисел это повторное сложение.

В контексте положительных и отрицательных целых чисел я лично не знаю, что это такое, кроме математически согласованной операции, установленной так, что если \ (a \) и \ (b \) — положительные целые числа, то \ ( a \ times \ left (-b \ right) = — ab \), и с логическими следствиями \ (\ left (-a \ right) \ times b = b \ times \ left (-a \ right) = — ab \) и \ (\ left (-a \ right) \ times \ left (-b \ right) = ab \).

Люди пытаются придать всему этому конкретный смысл с помощью моделей солдат, идущих по числовым линиям, меняющих направление, систем прибыли и долга, работы с температурами выше и ниже нуля и т. Д. Каждая модель хороша для иллюстрации НЕКОТОРЫХ аспектов арифметики отрицательных чисел, но не всех. Например, идея «убрать пять градусов холода — это то же самое, что добавить пять градусов тепла» может сработать для некоторых, чтобы объяснить, почему \ (- \ left (-5 \ right) \) должно равняться \ (5 \) , но это не объясняет само по себе, почему отрицательное, умноженное на отрицательное, дублируется положительным.

С педагогической точки зрения нам нужно отойти от начинающих учеников думать об умножении отрицательных чисел с помощью моделей, которые пытаются, но в какой-то момент должны потерпеть неудачу, «объяснить», что такое умножение отрицательных чисел. Вместо этого мы должны начать с обсуждения того, что, по нашему мнению, должно быть правдой в отношении умножения в целом и как оно ведет себя. Расширение скобок с помощью модели площади дает студентам убедительную иллюстрацию того, что математика «хочет», чтобы отрицательные значения, умноженные на отрицательные, были положительными.(А для студентов, готовых к этому, это решает аксиоматический подход.) Что на самом деле означает «отрицательное, умноженное на отрицательное, — положительное» — я понятия не имею. Я просто знаю, что это алгебраически непротиворечиво.

УПРАЖНЕНИЕ: a) Докажите, что \ (- a \) и \ (\ left (-1 \ right) \ times a \) — одно и то же число. (ПОДСКАЗКА: \ (a + \ left (-1 \ right) \ times a = 1 \ times a + \ left (-1 \ right) \ times a = \ ldots \).)

b) Если вы считаете, что \ (- \ left (-5 \ right) = 5 \), объясните, почему теперь следует, что \ (\ left (-1 \ right) \ times \ left (-1 \ right) = 1 \).

Присоединяйтесь к обсуждению в Facebook и Twitter и любезно поделитесь этой страницей с помощью кнопок ниже.

Facebook

Twitter

Отрицательные числа — объяснения и примеры

Некоторым людям может показаться немного скучным изучение отрицательных чисел.

У этих людей есть вопросы, например, зачем изучать отрицательные числа?

Как отрицательные числа связаны с их повседневной жизнью?

Что ж, в этой статье мы узнаем, что такое отрицательные числа, как они действуют и как числа связаны в реальной жизни.

История отрицательных чисел началась тысячу лет назад, когда математики с Индийского субконтинента начали их использовать. Позже европейцы проявили интерес к отрицательным числам, но очень не хотели их принимать.

Египтяне также пренебрегали отрицательными числами и в какой-то момент посчитали отрицательные числа смешными. Это потому, что математика, которую они использовали в то время, основывалась только на геометрических понятиях, таких как окружность и площадь. Позже европейцы начали догонять отрицательные числа, когда ученые начали переводить арабские тексты, полученные из Северной Африки.

Из этой краткой истории мы узнали, что, тем не менее, этим поколениям блестящих и умных людей поначалу было трудно принять концепцию отрицательных чисел.

Они наконец приняли эту идею после открытия значения отрицательных чисел.

Что такое отрицательное число?

Отрицательное число — это число, значение которого меньше нуля. Отрицательные числа обозначаются знаком минус или тире (-) перед числом.

Они представлены на числовой строке слева от исходной точки.Отрицательные числа могут быть целыми, дробными или десятичными. Например, — 2, — 3, — 4, — 5, -2/3, -5/7, -3/4, -0,5, -0,7. и т.д. являются примерами отрицательных чисел. В этом случае эти числа произносятся как отрицательные два, отрицательные три, отрицательные четыре и так далее.

Отрицательное число может интерпретироваться по-разному. А это:

  • Отрицательное число — это число, которое меньше нуля
  • Числа слева от нуля на числовой строке
  • Число, противоположное положительному числу
  • Отрицательное число представляет потерю или отсутствие чего-либо.
  • Величина, имеющая направление

Что такое отрицательное целое число?

Отрицательное целое число — это целое число, значение которого меньше нуля. Отрицательные целые числа обычно представляют собой целые числа, например, -3, -5, -8, -10 и т. Д.

Операции с отрицательными целыми числами

Отрицательные целые числа имеют правила для выполнения различных вычислений. Это:

  • Сложение отрицательного и положительного целого числа

При сложении отрицательного и положительного целого числа вычтите целые числа и запишите знак большего абсолютного значения.Другими словами, когда небольшое отрицательное целое число добавляется к большему положительному целому числу, целые числа вычитаются и им присваивается положительный знак. Например,

8 + (- 2) = 6. Точно так же, когда добавляются небольшое положительное и большое отрицательное целое число, сумма всегда отрицательна. Например, — 5 + 3 = — 2.

При сложении отрицательных целых чисел числа складываются, и сумма принимает знак исходных целых чисел. Например, — 5 + (-1) = — 6.

  • Вычитание целых чисел со знаком

Вычитание положительного целого числа из отрицательного целого числа эквивалентно сложению отрицательного целого числа.Например, -10-15 = -10 + (-15) = -25.

Вычитание отрицательного целого числа из другого отрицательного целого числа равносильно сложению положительного целого числа. Например, 13 — (-14) = 13 + 14 = 27.

  • Умножение и деление отрицательных целых чисел

Когда отрицательное целое число умножается на другое отрицательное целое число, произведение оказывается положительным. Пример: -4 x -4 = 16. Аналогично, деление отрицательного целого числа на другое отрицательное целое число дает положительное частное.

Умножение положительного целого числа на другое отрицательное целое число дает отрицательный результат. Например, -2 х 5 = -10. И деление положительного целого числа на отрицательное дает отрицательное частное.

Применение отрицательных целых чисел в реальной жизни

Отрицательные целые числа, независимо от их значения, широко применяются в различных сферах жизни. Следующие ниже примеры применения отрицательных чисел в реальной жизни побудят вас увидеть преимущества их изучения.

  • Банковско-финансовый сектор.

Банки и финансовые учреждения влекут за собой дебет, кредит и деньги. По этой причине необходимо иметь номера, которые различают кредитную и дебетовую транзакции. Прибыль и убыток также определяются положительным и отрицательным числом соответственно. Еще одно поле, в котором используются отрицательные числа, — это фондовый рынок. Положительные и отрицательные числа используются для обозначения взлетов и падений цены акций.

Депозиты обычно обозначаются положительным знаком, тогда как снятие средств обозначается отрицательным знаком.

  • Наука, техника и медицина

Отрицательные числа используются в прогнозировании погоды, чтобы показать температуру в регионе. Отрицательные целые числа используются для отображения температуры по шкале Фаренгейта и Цельсия.

Например, в машиностроении такие приборы, как котлы и паровые двигатели, используют манометры и термометры, откалиброванные от отрицательного до положительного целого числа.

Все приборы для измерения артериального давления, массы тела и тестирования на наркотики работают по концептуальной отрицательной или положительной шкале.

  • Другие практические применения отрицательных целых чисел

Разница мячей в таких видах спорта, как футбол, хоккей и баскетбол, обозначается отрицательными целыми числами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.