Уравнение с двойным модулем: Решить уравнение с двойным модулем: ||5x-3|+3|=4

Двойные неравенства. 2 способа решения


Например:


\(5<11<17\)

\(-2\leq3x+5\leq2\)

\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)


Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому  их всегда можно представить в виде системы.


Например:


\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)

\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)


Но делать это нужно не всегда.


1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).


Пример: Решите двойное неравенство:





\(-2\leq3x+5\leq2\)    \(|-5\)


Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.

Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.


\(-7≤3x≤-3\)   \(|:3\)


 


Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).


\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\)


 


Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

Ответ: \([-\)\(\frac{7}{3}\)\(;-1]\)


2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.


Пример: Решите двойное неравенство:








\(2x-5<3x+7≤8x\)


В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.


\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)


Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.


\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\)


Приводим подобные слагаемые


\(\begin{cases}-x<12   \\-5x\leq-7   \end{cases}\)


«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.


\(\begin{cases}x>-12   \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\)


Отметим на числовой оси оба решения


  


Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.


Ответ: \([\)\(\frac{7}{5}\)\(;\infty)\)

Последние новости туризма на сегодня 2022

Отдых и Туризм — Новости туризма 2022

Февраль 12, 2022

8 комментариев

С чем у любого туриста ассоциируется Хорватия? В первую очередь — отличная экология, чистейшее лазурного цвета Адриатическое море и невероятно живописные берега. ..

Февраль 1, 2022

Февраль 1, 2022

Февраль 1, 2022

Февраль 2, 2022

Правильное питание

Ноябрь 19, 2021

5 комментариев

Хотя общая идея заключается в том, что замороженные фрукты не несут никакой пользы для здоровья, многочисленные доказательства противоречат…

Ноябрь 19, 2021

17 комментариев

Ноябрь 19, 2021

10 комментариев

Ноябрь 19, 2021

20 комментариев

Общество

Ноябрь 19, 2021

7 комментариев

Найти идеальный подарок на Новый год для близких и друзей — непростая задача. Если нет уверенности в правильности своего решения, то может…

Ноябрь 19, 2021

20 комментариев

Ноябрь 19, 2021

4 комментария

Ноябрь 19, 2021

5 комментариев

Cпорт отдых туризм

Ноябрь 20, 2021

16 комментариев

Занять всю семью непросто. И что ж, нужно время, чтобы постоянно придумывать новые…

Бизнес

Ноябрь 20, 2021

2 комментария

Во французском языке существительное menu имеет два совершенно разных…

Спорт

Ноябрь 21, 2021

8 комментариев

Если вы все-таки решились на покупку первого сноуборда, при выборе однозначно не стоит…

Предварительное вычисление алгебры — Уравнение с двойным абсолютным значением

$\begingroup$

У меня проблема с решением следующего уравнения.

$$2x — |5-|x-2|| = 1$$

Как обрабатывать абсолютное значение в абсолютном значении?
Я пытался несколько раз решить это, но я не получаю решения.

  • алгебра-предварительное исчисление
  • абсолютное значение

$\endgroup$

$\begingroup$

Нет «легкого выхода». Найдите первое абсолютное значение $$|x-2|=\begin{cases}-x+2, & x<2\\\phantom{-}x-2, & x\ge 2 \end{cases}$$ взять случаев

  • Случай 1: $x<2$. Тогда $$2x-|5-|x-2||=2x-|5-(-x+2)|=2x-|x+3|$$ А теперь возьмем подслучай (но не забывайте, что вы находятся в $x<2$) в зависимости от второго абсолютного значения $$|x+3|=\begin{cases}-x-3, & \hspace{26.5pt}x<-3\\ \phantom{-}x+3, & -3\le x <2 \\ \end{cases}$$ Итак, $$2x-|x+3|=\begin{cases}2x-(-x-3)=3x+3, & \hspace{26.5pt}x<-3 \\ 2x-(x+3)=x-3, & -3\le x < 2 \end{cases}$$ Теперь рассмотрим каждый подслучай отдельно: $$3x+3=1\iff x=-\frac23\not <-3$$, так что здесь нет решения. Второй подслучай: $$x-3=1\iff x=4 \notin-3\le x<2$$ так что здесь тоже ничего.
  • Случай 2: $x\ge 2$. Тогда $$2x-|5-|x-2||=2x-|5-(x-2)|=2x-|7-x|$$ А теперь возьмем подслучай (но не забывайте, что вы в $x\ge 2$) в зависимости от второго абсолютного значения
    $$|7-x|=\begin{cases} \phantom{-}7-x, & 2\le x<7\\-7+x, & 7\le x \end{cases}$$ Итак, $$2x-|7-x|=\begin{case}2x-(7-x)=3x-7, & 2\le x<7 \\2x-(-7+x)=x+7, & 7\le x \end{cases}$$ Теперь рассмотрим каждый подслучай отдельно: $$3x-7=1\iff x=\frac83\приблизительно2.67\in [2,7)$$ так что, бинго! первое решение здесь. Второй подслучай: $$x+7=1\iff x=-6 \not \ge 7$$ так что здесь ничего нет.

Единственным решением является $x_0=\frac83=2\frac23$.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

$$2x — |5-|x-2|| = 1$$
$$|5-|x-2||=2x-1$$
Следовательно, $x\ge\frac12$

$5-|x-2|=2x-1$ или $5-|x-2|=1-2x$

$|x-2|=6-2x$ или $|x-2|=4+2x$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Обозначение

. Для чего используются знаки двойного модуля?

спросил

Изменено
7 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено
27 тысяч раз

$\begingroup$

Насколько я могу судить, автор использует $\|\cdot\|$ для обозначения величины вектора, но я видел только обозначение $|\cdot|$ для обозначения величины вектора. Есть ли разница? Если да, то? А если нет, то зачем заморачиваться?

  • обозначения
  • векторы

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Причина, по которой некоторые авторы предпочитают использовать $\| Обозначение \cdot \|$ вместо $| \cdot |$ позволяет лучше различать векторы и скаляры.

Например, запись тождества $|kv|=|k||v|$ несколько неоднозначна, тогда как $\|kv\| = |k|\|v\|$ не является.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Это обычный символ нормы в математике. Я думаю, в вашем случае это означает длину вектора.

Для получения дополнительной информации о нормах в целом см. Нормированное векторное пространство (Википедия).

$\endgroup$

$\begingroup$

В обычных векторах они обычно эквивалентны. (примечание: «обычный» здесь не является особым подмножеством векторов, он относится к общепринятому значению «вектора»)

Однако существуют векторные пространства, которые не являются просто списком чисел, как обычные векторы находятся. И в некоторых из этих векторных пространств абсолютное значение чего-то может быть более расплывчатым.

Например, рассмотрим векторное пространство для функций, состоящее из функций косинуса и синуса. Отсюда имеем
$$
\|\грех(х)\| = 1
$$
поскольку $\sin(x)$ — единичная функция в пространстве (из-за нормализации). Однако $|\sin(x)|$ представляет всегда положительную функцию, а не норму функции.

При формальной обработке векторных пространств важно сохранять различия. При простой работе с обычными векторами особой необходимости нет, это выбор автора.

$\endgroup$

$\begingroup$

В принципе то, что вы говорите, означает норму. Так что же такое норма? Норма — это, по сути, функция в заданном векторном пространстве $V$ над полем $F$ комплексных чисел. Таким образом, нормой на $V$ называется функция $p:V\rightarrow \Bbb{R}$, обладающая следующими свойствами:

1) $p(av)=|a|p(v)$

2) $ p(u+v)\leq p(u)+p(v)$

3) Если $p(v)=0$ $\iff$ $v$ нулевой вектор.

Где $a \in F $ и $v,u \in V $

Вы можете найти другие свойства и другие варианты использования нормы здесь: http://en.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *