Уравнение с дробью как решать: Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из
слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением
является уравнение .

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

  • найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
  • заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
  • решить получившееся целое уравнение,
  • исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и
правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

.

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их
числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а
следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

.

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

.

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

.

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются
корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное
уравнение. Общий знаменатель —

.

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на
общий знаменатель. Получим:

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к
квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Если x = -3, то
найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

,

то же самое, если x = 3.

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а,
поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное
уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

.

Общий знаменатель — выражение

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно,
числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Введём новую переменную, обозначив .
Получим уравнение с переменной y:

.

Корни этого уравнения:

Значит

или .

Из уравнения находим, что

.

Из уравнения находим, что

.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

, .

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45

x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

b/x + c = d

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

  • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

1 + 2x = 5х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

4 = х + 2

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


Линейные уравнения с дробями | Алгебра

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

   

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

   

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.

   

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

   

Ответ: -4 6/7.

   

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

   

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

   

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».

   

После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.

   

   

   

   

Ответ: -34.

   

Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:

   

   

Раскрываем скобки и упрощаем

   

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: -5.

   

Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):

   

   

   

   

при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.

   

Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:

   

Ответ: 0,1875.

Как решать дробные уравнения? | О математике понятно

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

 

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        

        Или такое:

        

        Или вот такое:

        

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

 

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

        

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

        Умножаем:

        

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

        

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        2∙3 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

 

        Решаем следующий примерчик:

        

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

        Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        

        Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».    

        Вперёд!

        

        А вот теперь — снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

        Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

        

        Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

        Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

        С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

        (9 — х)∙х = 20

        Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

        9х — х2 = 20

        Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

        

        Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

        х1 = 4

        х2 = 5

        И все дела.)

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

 

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

 

Раскладываем на множители!

        Решаем третье уравнение по списку:

        

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x2+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х2+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

        х2+2х = х(х+2)

        Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

        С удовольствием сокращаем все дроби:

        

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x2 + 2x — 3x — 6 + 3 — х = 0

        x2 — 2x — 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

        x1 = -1

        x2 = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

 

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

 

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Ну что, порешаем?)

        Решить уравнения:

        

 

        Ответы (как обычно, вразброс):

        x = 3

        x1 = 0,5;    x2 = 3

        x = 2

        х = 6

        x = 2,6

        x1 = 2;    x2 = 5

 

        Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути — избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

        Но об этом — дальше.)

Уравнения с дробями | Математика

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. 

Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

   

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

   

   

   

Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей:

   

После сокращения имеем:

   

(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

2 способ:

   

Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

   

При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От  линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Ответ: -4/5.

Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

 

   

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

   

   

Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Сокращаем дробь на 3:

   

Ответ: 5/11.

   

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

   

В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 2,9.

В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

Урок 53. обобщение и систематизация знаний по теме «смешанные дроби. уравнения» — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 53

Обобщение и систематизация знаний по теме «Смешанные дроби. Уравнения»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение, вычитание, умножение и деление смешанных дробей с разными знаками;

– уравнения, корни уравнения;

– уравнение как перевод условия задачи на математический язык;

– решение задач с помощью уравнений.

Тезаурус

Натуральные числа – это числа, которые используются при подсчёте предметов.

Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Положительная смешанная дробь есть сумма натурального числа и правильной дроби.

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получают верное числовое равенство.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Учение – путь к умению!» –гласит известная поговорка. Сегодня мы будем учиться решать уравнения со смешанными дробями. Для этого сегодня мы повторим действия сложения, умножения, вычитания и деления смешанных дробей.

Для начала вспомним правило сложения (вычитания) смешанных дробей.

Чтобы сложить (вычесть) смешанные дроби, надо:

1) отдельно сложить (вычесть) их целые части;

2) отдельно сложить (вычесть) дробные части.

Если дроби с разными знаменателями, то нужно их привести к общему знаменателю.

При этом необходимо помнить, что дроби складываются, если они с одинаковыми знаками, при этом знак дробей сохраняется. Если дроби с разными знаками, то они вычитаются. Из большего модуля вычтем меньший и перед разностью поставим знак слагаемого с большим модулем. При необходимости из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят её в дробную часть.

А теперь вспомним правило умножения смешанных дробей.

Сначала переводим смешанные дроби в неправильные. Затем выполняем вычисления с дробями: определяем знак результата и выполняем действия с модулями (с положительными дробями), находим произведение отдельно числителей и отдельно знаменателей. Произведение числителей пишем числителем новой дроби, а произведение знаменателей, знаменателем новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака произведения используем следующее правило. Если количество отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным, если количество отрицательных множителей нечётное, то знак произведения будет отрицательным.

Чётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «+»

Нечётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «–»

Вспомним общий алгоритм деления смешанных дробей.

Сначала переводим смешанную дробь в неправильную.

Затем переводим деление в умножение, переворачивая вторую дробь, т.е. умножаем делимое на число обратное делителю. И находим произведение числителей и знаменателей. Это будут соответственно числитель и знаменатель новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака частного используем такое же правило, как и при умножении. Если количество отрицательных дробей чётное, то частное будет положительным, если количество отрицательных дробей нечётное, то знак частного будет отрицательным.

Все арифметические действия можно использовать при решении уравнений и задач, которые сводятся к уравнениям. Напомним алгоритм решения задач с помощью уравнений.

Во-первых, неизвестную величину нужно обозначить буквой.

Во-вторых, используя условие задачи, составить уравнение.

Затем решить это уравнение.

И ответить на вопрос задачи.

Решая уравнение, мы можем использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя знак числа на противоположный;

– делить или умножать обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Задача на движение

Путь от пункта А до пункта В у мотоциклиста занимает 30 мин, а у велосипедиста – 2 часа. Скорость мотоциклиста на 42 км/ч больше скорости велосипедиста. С какой скоростью движется велосипедист?

Решение

Обозначим через х км/ч скорость велосипедиста и сведём известные и неизвестные величины в таблицу.

Тогда скорость мотоциклиста (х + 42) км/ч.

Путь велосипедиста 2х км.

Расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом – одинаковое.

Составим уравнение:

Решаем уравнение.

Умножим левую и правую часть уравнения на 2:

х + 42 = 4х.

Перенесём х в правую часть с противоположным знаком:

42 = 4х – x,

42 = 3x.

Разделим обе части уравнения на 3:

x = 14 (км/ч).

Ответ: скорость велосипедиста составляет 14 км/ч.

Разбор заданий тренировочного модуля

Решение

Чтобы сравнить данное выражение с нулём, нужно вспомнить, что значит число в третьей степени. Это значит, что число умножается само на себя три раза, В условии задачи – отрицательное число, при умножении знак «минус» будет повторяться три раза, значит, в результате получится отрицательное число, а любое отрицательное число меньше нуля.

Тип 2. Девочке задали на лето прочитать книгу, в которой х страниц. Она читала её три дня. В первый день девочка прочитала 21 страницу книги. Во второй день она прочитала 1/5 книги. В третий день она прочитала 1/2 от прочитанного во второй день. Сколько страниц она прочитала в третий день?

Решение

Перенесём 21 в правую часть уравнения и выполним арифметические действия с х в левой части уравнения:

Ответ: 3 страницы было прочитано в третий день.

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю.2+11х-5=20х+4$

Тогда дробь примет вид

\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

\[{\rm 20х+4=0}\]

Решим линейное уравнение:

$20x=-4$

$X=-0,2$

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

\[2x-1\ne 0 x+3\ne 0\]

х$\ne 0,5$ х$\ne -3$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ:$-0,2.$

4.9: Решение уравнений с дробями

Отмена вычитания

Мы все еще можем добавить одинаковую сумму к обеим частям уравнения, не меняя решения.

Пример 1

Решите относительно x : \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} \).

Решение

Чтобы «отменить» вычитание 5/6, прибавьте 5/6 к обеим сторонам уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x — \ frac {5} {6} + \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Add} \ frac {5} {6} \ text {в обе стороны.}} \\ x = \ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 2} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 6.}} \\ x = \ frac {2} {6} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text { Упростить.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Add.}} \ End {align} \ nonumber \]

Вполне допустимо оставлять свой ответ в виде неправильной дроби. Если вы хотите или если вас попросят сделать это, вы можете изменить свой ответ на смешанную дробь (7, разделенное на 6, равно 1, а остаток — 1).То есть \ (x = 1 \ frac {1} {6} \).

Проверка решения

Замените 7/6 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {7} {6} — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 7/6 на} x.} \\ \ frac {2} {6 } = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \\ \ frac {1} {3} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Уменьшить.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку последнее утверждение верно, мы заключаем, что 7/6 является решением уравнения x — 5/6 = 1/3.

Отмена добавления

Вы по-прежнему можете вычесть одинаковую сумму из обеих частей уравнения, не меняя решение.

Пример 2

Решите относительно x : \ (x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} \).

Решение

Чтобы «отменить» сложение 2/3, вычтите 2/3 из обеих частей уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + \ frac {2} {3} — \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} — \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} \ frac { 2} {3} \ text {с обеих сторон.}} \\ x = — \ frac {3 \ cdot 3} {5 \ cdot 3} — \ frac {2 \ cdot 5} {3 \ cdot 5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 15.}} \\ x = — \ frac {9} {15} — \ frac {10} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \\ x = — \ frac {19} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решите относительно x : \ (x + \ frac {3} {4} = — \ frac {1} {2} \)

Ответ

−5/4

Отмена умножения

Мы «отменяем» умножение делением. Например, чтобы решить уравнение 2 x = 6, мы разделим обе части уравнения на 2.Аналогичным образом мы могли бы разделить обе части уравнения

\ [\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \ nonumber \]

на 3/5. Однако более эффективно использовать обратные. Для удобства мы напоминаем читателям о мультипликативном обратном свойстве .

Мультипликативное обратное свойство

Пусть a / b будет произвольной дробью. Число b / a называется мультипликативной обратной величиной или обратной величиной a / b .Произведение обратных величин 1.

\ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {b} {a} = 1. \ nonumber \]

Давайте применим наши знания о взаимных вычислениях.

Пример 3

Решите относительно x : \ (\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \).

Решение

Чтобы «отменить» умножение на 3/5, умножьте обе части на обратное 5/3 и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {5} {3} \ left (\ frac {3} {5} x \ right) = \ frac {5} {3} \ left (\ frac {4} {10} \ right) & ~ \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 5/3.}} \\ \ left (\ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} \ right) x = \ frac {20} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева используйте ассоциативное свойство для перегруппировки.} \\ \ text {Справа — умножение.} \ end {array}} \\ 1x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} \ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} = 1. \\ \ text {Справа уменьшите:} \ frac {20} {30} = \ frac {2} {3}.\ end {array}} \\ x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x.} \ end {align} \ nonumber \]

Проверка решения

Замените 2/3 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {3} { 5} \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 2/3} x.} \\ \ frac { 6} {15} = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение числителей; умножьте знаменатели.}} \\ \ frac {2} {5} = \ frac {2} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Уменьшить обе стороны до наименьших значений.}} \ end {align} \ nonumber \]

Поскольку это последнее утверждение верно, мы заключаем, что 2/3 является решением уравнения (3/5) x = 4/10.

Упражнение

Решить относительно y : \ (\ frac {2} {3} y = \ frac {4} {5} \)

Ответ

6/5

Пример 4

Решите относительно x : \ (- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \).

Решение

Чтобы «отменить» умножение на −8/9, умножьте обе части на обратное −9/8 и упростите.

\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ — \ frac {9 } {8} \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = — \ frac {9} {8} \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Умножьте обе стороны на} -9/8.} \\ \ left [- \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) \ right] x = — \ frac {3 \ cdot 3} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot 3 \ cdot 3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} { l} \ text {Слева используйте ассоциативное свойство для перегруппировки.} \\ \ text {Справа, простой множитель.} \ end {array}} 1x = \ frac {\ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} — \ frac {9 } {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = 1. \\ \ text {Справа отмените общие множители.} \ End {array}} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x. \ text {Умножение справа.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решите относительно z: \ (- \ frac {2} {7} z = \ frac {4} {21} \)

Ответ

-2/3

Удаление дробей из уравнения

Хотя техника, продемонстрированная в предыдущих примерах, является надежной математической техникой, работа с дробями в уравнении не всегда является наиболее эффективным использованием вашего времени.

Удаление дробей из уравнения

Чтобы удалить все дроби из уравнения, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, встречающихся в уравнении.

Давайте реализуем эту идею.

Пример 5

В примере 1 нас попросили решить следующее уравнение для x :

\ [x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3}. \ Nonumber \]

Найдите минутку, чтобы рассмотреть технику решения в примере 1. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6 \ left (x — \ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 6.}} \\ 6x — 6 \ left (\ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Распределить 6.}} \ \ 6x-5 = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с каждой стороны.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {6 \ left (\ frac {5} {6} \ right ) = 5 \ text {и} 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) = 2.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью очищено от дробей, что значительно упрощает его решение.

\ [\ begin {align} 6x — 5 + 5 = 2 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 к обеим сторонам.}} \\ 6x = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {6x} {6} = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 6.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в примере 1.

Упражнение

Найдите t : \ (t — \ frac {2} {7} = — \ frac {1} {4} \)

Ответ

1/28

Пример 6

В примере 4 нас попросили решить следующее уравнение для x .

\ [- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \ nonumber \]

Найдите минутку, чтобы просмотреть решение в примере 4. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 18 \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножаем обе стороны на 18.}} \\ — 16x = 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {С каждой стороны, отменить и умножить.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {18 \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = -16 \ text {и} 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) = 5.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Продолжая,

\ [\ begin {align} \ frac {-16x} {- 16} = \ frac {5} {- 16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -16.} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в примере 4.

Упражнение

Решить относительно u :

\ [- \ frac {7} {9} u = \ frac {14} {27} \ nonumber \]

Ответ

-2/3

Пример 7

Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \).

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.} } \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor { red} {\ text {Умножьте обе стороны на 12.}} \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) + 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева распределите 12 штук.}} \\ 8x + 9 = 6 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) = 8x, ~ 12 \ left (\ frac { 3} {4} \ right) = 9,} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {и} 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 6.} \ end {выровнено } \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x , на одной стороне уравнения.

\ [\ begin {align} 8x + 9 — 9 = 6 — 9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 9 с обеих сторон.}} \\ 8x = — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {8x} {8} = \ frac {-3} {8} ~ & \ textcolor { red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = — \ frac {3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решить относительно r : \ (\ frac {3} {4} r + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {2} \)

Ответ

-2/9

Пример 8

Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8}.\)

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей в уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 24.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) — 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) — 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {С обеих сторон распределите по 24 штуки.}} \\ 16 — 18x = 12x — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Left:} 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) = 16, ~ 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 18x.} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {Right:} 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 12x, ~ 24 \ слева (\ frac {1} {8} \ right) = 3.} \ end {выравнивается} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x, на одной стороне уравнения.

\ [\ begin {align} 16 — 18x — 12x = 12x — 3 — 12x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ 16 — 30x = -3 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} -18x — 12x = -30x. \\ \ text {Right:} 12x — 12x = 0. \ end {align}} \\ 16 — 30x — 16 = -3 — 16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 16 с обеих сторон.} } \\ -30x = -19 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} 16-16 = 0. \\ \ text {Right:} -3 — 16 = -19. \ end {align}} \\ \ frac {-30x} {- 30} = \ frac {-19} {- 30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -30.} \ \ x = \ frac {19} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Найти с. : \ (\ frac {3} {2} — \ frac {2s} {5} = \ frac {s} {3} — \ frac {1} {5} \).

Ответ

Добавьте сюда текст. Не удаляйте сначала этот текст.

Приложения

Давайте посмотрим на некоторые приложения, в которых используются уравнения, содержащие дроби.Для удобства мы повторяем Требования для решения проблем Word .

Требования к решению проблем Word

  1. Настройка словаря переменных . Вы должны сообщить своим читателям, что представляет собой каждая переменная в вашей проблеме. Это можно сделать несколькими способами:
    1. Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
    2. Обозначение неизвестных значений переменными в таблице.
    3. Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
  2. Установите уравнение . Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
  3. Решите уравнение . Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
  4. Ответьте на вопрос . Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз.Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче. Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами. 5. Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить свое решение в своем уравнении. В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке задачи.”

Пример 9

В третьей четверти баскетбольного матча дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 12 250 человек. Если это две трети вместимости, найдите полную вместимость баскетбольной арены.

Решение

Мы соблюдаем требования для решения проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . Пусть F представляет полную пассажировместимость. Примечание: гораздо лучше использовать переменную, которая «звучит как» величина, которую она представляет.В этом случае использование F для представления полной вместимости пассажиров более наглядно, чем использование x для представления полной вместимости.

2. Установите уравнение . Две трети от полной вместимости — 12 250 человек.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Две трети} & \ text {of} & \ colorbox {cyan} {Полная вместимость} & \ text {is} & 12,250 \\ \ frac {2} {3} & \ cdot & F & = & 12,250 \ end {align} \ nonumber \]

Следовательно, уравнение

\ [\ frac {2} {3} F = 12250.\ nonumber \]

3. Решите уравнение . Умножьте обе части на 3, чтобы очистить дроби, затем решите.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} F = 12250 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 \ left (\ frac {2} {3} F \ right) = 3 (12250) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 3.}} \\ 2F = 36750 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ \ \ frac {2F} {2} = \ frac {36750} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ F = 18375 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

4. Ответить на вопрос . Полная вместимость — 18 375 человек.

5. Оглянуться назад . В словах проблемы указано, что 2/3 пассажировместимости составляет 12 250 человек. Давайте возьмем две трети нашего ответа и посмотрим, что мы получим.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} \ cdot 18375 & = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {18375} {1} \\ & = \ frac {2} {3 } \ cdot \ frac {3 \ cdot 6125} {1} \\ & = \ frac {2} {\ cancel {3}} \ cdot \ frac {\ cancel {3} \ cdot 6125} {1} \\ & = 12250 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Это правильная посещаемость, поэтому наше решение правильное.

Упражнение

Посещаемость игры «Селтикс» составила 9 510 человек. Если это 3/4 вместимости, какова вместимость арены «Селтикс»?

Ответ

12 680

Пример 10

Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

Решение

Мы соблюдаем требования для решения проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . Наш словарь переменных будет иметь форму хорошо размеченной диаграммы.

2. Установите уравнение . Площадь A треугольника с основанием b и высотой h составляет

\ [A = \ frac {1} {2} bh. \ Nonumber \]

Заменить A = 20 и b = \ (2 \ frac {1} {2} \).

\ [20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h. \ Nonumber \]

3. Решите уравнение . Измените смешанную дробь на неправильную дробь, а затем упростите.

\ [\ begin {align} 20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 20 = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Смешано с неправильным:} 2 \ frac {1} { 2} = \ frac {5} {2}.} \\ 20 = \ left (\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} { \ text {Ассоциативное свойство.}} \\ 20 = \ frac {5} {4} h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} = \ frac {5} {4}.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Теперь умножьте обе части на 4/5 и решите.

\ [\ begin {align} \ frac {4} {5} (20) = \ frac {4} {5} \ left (\ frac {5} {4} h \ right) ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Умножьте обе стороны на 4/5.}} \\ 16 = h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} \ frac {4} {5} (20) = 16} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {5} {4} = 1.} \ end {align} \ nonumber \]

4. Ответить на вопрос . Высота треугольника 16 дюймов.

5. Оглянуться назад . Если высота составляет 16 дюймов, а основание — \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, то площадь равна

.

\ [\ begin {align} A & = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) (16) \\ & = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {16} {1} \\ & = \ frac {5 \ cdot 16} {2 \ cdot 2} \\ & = \ frac {(5) \ cdot ( 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2)} {(2) \ cdot (2)} \\ & = \ frac {5 \ cdot \ cancel {2} \ cdot \ cancel {2} \ cdot 2 \ cot 2 } {\ cancel {2} \ cdot \ cancel {2}} & = 20 \ end {align} \ nonumber \]

Это правильная площадь (20 квадратных дюймов), поэтому наше решение правильное.

Упражнение

Площадь треугольника составляет 161 квадратный фут. Если основание треугольника имеет размер \ (40 \ frac {1} {4} \) футов, найдите высоту треугольника.

Ответ

8 футов

Упражнения

1. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {5} {8} = \ frac {5} {8} \)?

2. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {1} {3} = \ frac {5} {12} \)?

3. Является ли −8/15 решением уравнения \ (\ frac {1} {4} x = — \ frac {1} {15} \)?

4.Является ли −18/7 решением уравнения \ (- \ frac {3} {8} x = \ frac {25} {28} \)?

5. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x + \ frac {4} {9} = \ frac {17} {18} \)?

6. Является ли 1/3 решением уравнения \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {13} {12} \)?

7. Является ли 3/8 решением уравнения \ (x — \ frac {5} {9} = — \ frac {13} {72} \)?

8. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x — \ frac {3} {5} = — \ frac {1} {10} \)?

9. Является ли 2/7 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {9} = — \ frac {8} {63} \)?

10.Является ли 1/9 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {7} = — \ frac {31} {63} \)?

11. Является ли 8/5 решением уравнения \ (\ frac {11} {14} x = \ frac {44} {35} \)?

12. Является ли 16/9 решением уравнения \ (\ frac {13} {18} x = \ frac {104} {81} \)?


В упражнениях 13-24 решите уравнение и упростите свой ответ.

13. \ (2x — 3 = 6x + 7 \)

14. \ (9x — 8 = −9x — 3 \)

15. \ (- 7x + 4 = 3x \)

16. \ (6x + 9 = −6x \)

17.\ (- 2x = 9x — 4 \)

18. \ (- 6x = −9x + 8 \)

19. \ (- 8x = 7x — 7 \)

20. \ (- 6x = 5x + 4 \)

21. \ (- 7x + 8 = 2x \)

22. \ (- х — 7 = 3х \)

23. \ (- 9x + 4 = 4x — 6 \)

24. \ (- 2x + 4 = x — 7 \)


В упражнениях 25–48 решите уравнение и упростите свой ответ.

25. \ (x + \ frac {3} {2 = \ frac {1} {2} \)

26. \ (x — \ frac {3} {4} = \ frac {1} {4} \)

27. \ (- \ frac {9} {5} x = \ frac {1} {2} \)

28.\ (\ frac {7} {3} x = — \ frac {7} {2} \)

29. \ (\ frac {3} {8} x = \ frac {8} {7} \)

30. \ (- \ frac {1} {9} x = — \ frac {3} {5} \)

31. \ (\ frac {2} {5} x = — \ frac {1} {6} \)

32. \ (\ frac {1} {6} x = \ frac {2} {9} \)

33. \ (- \ frac {3} {2} x = \ frac {8} {7} \)

34. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {7} {5} \)

35. \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {9} \)

36. \ (x — \ frac {1} {9} = — \ frac {3} {2} \)

37. \ (x — \ frac {4} {7} = \ frac {7} {8} \)

38.\ (x + \ frac {4} {9} = — \ frac {3} {4} \)

39. \ (x + \ frac {8} {9} = \ frac {2} {3} \)

40. \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {4} \)

41. \ (x + \ frac {5} {2} = — \ frac {9} {8} \)

42. \ (x + \ frac {1} {2} = \ frac {5} {3} \)

43. \ (- \ frac {8} {5} x = \ frac {7} {9} \)

44. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {5} {9} \)

45. \ (x — \ frac {1} {4} = — \ frac {1} {8} \)

46. \ (x — \ frac {9} {2} = — \ frac {7} {2} \)

47. \ (- \ frac {1} {4} x = \ frac {1} {2} \)

48.\ (- \ frac {8} {9} x = — \ frac {8} {3} \)


В упражнениях 49–72 решите уравнение и упростите свой ответ.

49. \ (- \ frac {7} {3} x — \ frac {2} {3} = \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {3} \)

50. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} = \ frac {3} {2} x + \ frac {3} {4} \)

51. \ (- \ frac {7} {2} x — \ frac {5} {4} = \ frac {4} {5} \)

52. \ (- \ frac {7} {6} x + \ frac {5} {6} = — \ frac {8} {9} \)

53. \ (- \ frac {9} {7} x + \ frac {9} {2} = — \ frac {5} {2} \)

54.\ (\ frac {5} {9} x — \ frac {7} {2} = \ frac {1} {4} \)

55. \ (\ frac {1} {4} x — \ frac {4} {3} = — \ frac {2} {3} \)

56. \ (\ frac {8} {7} x + \ frac {3} {7} = \ frac {5} {3} \)

57. \ (\ frac {5} {3} x + \ frac {3} {2} = — \ frac {1} {4} \)

58. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {8} {3} = — \ frac {2} {5} \)

59. \ (- \ frac {1} {3} x + \ frac {4} {5} = — \ frac {9} {5} x — \ frac {5} {6} \)

60. \ (- \ frac {2} {9} x — \ frac {3} {5} = \ frac {4} {5} x — \ frac {3} {2} \)

61. \ (- \ frac {4} {9} x — \ frac {8} {9} = \ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} \)

62.\ (- \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {3} = \ frac {8} {7} x + \ frac {7} {3} \)

63. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {8} = — \ frac {1} {8} x + \ frac {5} {7} \)

64. \ (- \ frac {3} {2} x + \ frac {8} {3} = \ frac {7} {9} x — \ frac {1} {2} \)

65. \ (- \ frac {3} {7} x — \ frac {1} {3} = — \ frac {1} {9} \)

66. \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {2} {9} = — \ frac {9} {5} \)

67. \ (- \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {7} = \ frac {8} {7} x — \ frac {1} {3} \)

68. \ (\ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} = — \ frac {5} {2} x — \ frac {1} {4} \)

69.\ (- \ frac {3} {4} x — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} x — \ frac {1} {2} \)

70. \ (\ frac {1} {3} x — \ frac {5} {7} = \ frac {3} {2} x + \ frac {4} {3} \)

71. \ (- \ frac {5} {2} x + \ frac {9} {5} = \ frac {5} {8} \)

72. \ (\ frac {9} {4} x + \ frac {4} {3} = — \ frac {1} {6} \)


73. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 302 человека. Если это 2/9 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.

74.На местном баскетбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 5 394 человека. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость баскетбольного стадиона.

75. Площадь треугольника составляет 51 квадратный дюйм. Если длина основания составляет \ (8 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

76. Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

77. Площадь треугольника составляет 18 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (4 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

78. Площадь треугольника составляет 44 квадратных дюйма. Если длина основания составляет \ (5 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

79. На местном хоккейном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 536 человек. Если это 2/11 вместимости, найдите полную вместимость хоккейного стадиона.

80. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 6 970 человек. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.


81. Пираты . Около одной трети пиратских нападений в мире в 2008 году произошло у побережья Сомали. Если у побережья Сомали было 111 пиратских нападений, оцените количество пиратских нападений во всем мире в 2008 году.

82. Ядерный арсенал . U.С. и Россия договорились сократить ядерные арсеналы ядерного оружия большой дальности примерно на треть, до 1 550. Сколько сейчас ядерного оружия большой дальности? Associated Press-Times-Standard 04/04/10 Ядерный центр обеспокоен сокращением ракет.

83. Хранилище семян . Глобальное хранилище семян на Свальбарде собрало полмиллиона образцов семян и теперь хранит не менее одной трети семян сельскохозяйственных культур в мире. Оцените общее количество семян сельскохозяйственных культур в мире. Associated Press-Times-Standard 15.03.10 Норвегия в хранилище семян судного дня достигла отметки в полмиллиона.

84. Товарный поезд . Поезд «Юнион Пасифик» длиной в три с половиной мили примерно в 2 1 2 раза длиннее обычного грузового поезда. Какова длина обычного грузового поезда? Associated Press-Times-Standard 13.01.10 Необычно длинный поезд вызывает опасения по поводу безопасности.


Уравнения с дробями — Полный курс алгебры

24

Очистка фракций

2-й уровень

Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать.Методика называется очисткой от фракций.

Пример 1. Решите относительно x :

x
3
+ x -2
5
= 6.

Решение . Очистить следующие дроби:

Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей.Тогда каждый знаменатель разделит на кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

15 · x
3
+ 15 · x -2
5
= 15 · 6

Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 — в этом и суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:

5 x + 3 ( x -2) = 90.
Легко решается следующим образом:
5 x + 3 x — 6 = 90
8 x = 90 + 6
x = 96
8
= 12.

Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но при этом пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому сначала мы делим НОК на каждый знаменатель и, таким образом, очищаем его от дробей.

Мы выбираем кратное каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

.

x
2
5 x
6
= 1
9

Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 — и отмените.

9 x -15 x = 2.

Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто посмотреть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

Затем посмотрите и увидите, что 6 будет в 18 три (3) раза.Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два раза (2). Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

Вот очищенное уравнение и его решение:

9 x -15 x = 2
−6 x = 2
x = 2
−6
x = 1
3

Пример 3.Решить относительно x :

½ (5 x — 2) = 2 x + 4.

Решение . Это уравнение с дробью. Очистить дроби путем умножения обеих сторон на 2:

5 x -2 = 4 x + 8
5 x — 4 x = 8 + 2
x = 10.

В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Задача 1. x
2
x
5
= 3
LCM — это
10.Вот очищенное уравнение и его решение:
5 х 2 x = 30
3 x = 30
x = 10.

При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете —

5 x -2 x = 30

— должно иметь без дробей.

Задача 2. x
6
= 1
12
+ x
8
LCM — это
24.Вот очищенное уравнение и его решение:
4 x = 2 + 3 x
4 x — 3 x = 2
x = 2
Задача 3. x -2
5
+ x
3
= x
2
LCM — это
30. Вот очищенное уравнение и его решение:
6 (x -2) + 10 x = 15 x
6 x — 12 + 10 x = 15 x
16 x -15 x = 12
x = 12.

Задача 4. Дробь равна дроби.

x — 1
4
= x
7
LCM — это
28. Вот очищенное уравнение и его решение:
7 ( x — 1) = 4 x
7 x — 7 = 4 x
7 x -4 x = 7
3 x = 7
x = 7
3

Мы видим, что когда единственная дробь равна единственной дроби, тогда уравнение может быть очищено «перекрестным умножением».«

Если
a
b
= c
d
,
, затем
ad = до н.э. .
Задача 5. x — 3
3
= x -5
2
Вот очищенное уравнение и его решение:
2 ( x — 3) = 3 ( x — 5)
2 x — 6 = 3 x -15
2 x -3 x = — 15 + 6
х = −9
x = 9
Задача 6. x — 3
x — 1
= x + 1
x + 2
Вот очищенное уравнение и его решение:
( x — 3) ( x + 2) = ( x — 1) ( x + 1)
x ² — x — 6 = x ² — 1
х = −1 + 6
х = 5
x = −5.
Задача 7. 2 x — 3
9
+ x + 1
2
= x — 4
LCM — это
18. Вот очищенное уравнение и его решение:
4 x — 6 + 9 x + 9 = 18 x — 72
13 x + 3 = 18 x — 72
13 x -18 x = — 72 — 3
−5 х = −75
x = 15.
Задача 8. 2
x
3
8 x
= 1
4
LCM — это
8 х . Вот очищенное уравнение и его решение:
16–3 = 2 x
2 x = 13
x = 13
2

2-й уровень

Следующий урок: Задачи со словами

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Одношаговые уравнения с дробями — предалгебра

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как найти переменную как часть дроби

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решайте уравнения с дробями или десятичными знаками — элементарная алгебра

Решение линейных уравнений и неравенств

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите уравнения с дробными коэффициентами
  • Решите уравнения с десятичными коэффициентами

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

  1. Умножить:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Найдите ЖК-дисплей и.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  3. Умножьте 4,78 на 100.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите уравнения с дробными коэффициентами

Давайте воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, введенной ранее для решения уравнения,.

Этот метод работал нормально, но многие студенты не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби.Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется «очисткой» уравнения дробей.

Давайте решим аналогичное уравнение, но на этот раз воспользуемся методом, исключающим дроби.

Как решать уравнения с дробными коэффициентами

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Обратите внимание на (рисунок), как только мы очистили уравнение дробей, уравнение было похоже на те, которые мы решили ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

Стратегия решения уравнений с дробными коэффициентами.

  1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
  2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает фракции.
  3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Решить:.

Решение

Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Решить:.

Решить:.

В следующем примере у нас снова есть переменные по обе стороны уравнения.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

В следующем примере мы начнем с использования свойства распределения. Этот шаг сразу очищает дроби.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

В следующем примере, даже после распределения, у нас все еще есть дроби, которые нужно очистить.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В некоторых уравнениях есть десятичные дроби.Такое уравнение возникает, когда мы решаем проблемы, связанные с деньгами или процентами. Но десятичные дроби также могут быть выражены дробями. Например, и. Итак, с уравнением с десятичными знаками мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для очистки дробей, — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Решить:.

Решение

Посмотрите на десятичные дроби и подумайте об эквивалентных дробях.

Обратите внимание, ЖК-дисплей — 100.

Умножая на ЖК-дисплей, мы удалим десятичные дроби из уравнения.

Решить:.

Решить:.

В следующем примере используется уравнение, которое типично для денежных приложений из следующей главы. Обратите внимание, что мы распределяем десятичную дробь до того, как очистим все десятичные дроби.

Решить:.

Решить:.

Решить:.

Ключевые понятия

  • Стратегия решения уравнения с дробными коэффициентами
    1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
    2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает фракции.
    3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.
Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с дробными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение с дробными коэффициентами.

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В следующих упражнениях решите каждое уравнение с десятичными коэффициентами.

Повседневная математика

Монеты Тейлор имеет? 2.00 в десять центов и пенни. Количество пенни на 2 больше, чем количество монет. Решите уравнение для количества десятицентовиков.

Марок Паула купила марки стоимостью 49 центов и марки 21 цент на сумму 22,82 евро. Марок номиналом 21 цент было на 8 меньше, чем марок стоимостью 49 центов. Решите уравнение для s , чтобы найти количество 49-центовых марок, купленных Паулой.

Письменные упражнения

Объясните, как найти наименьший общий знаменатель, и.

Если уравнение состоит из нескольких дробей, как умножение обеих частей на ЖК-дисплей упрощает решение?

Если в уравнении дроби только с одной стороны, зачем нужно умножать обе части уравнения на ЖК-дисплей?

В уравнении что такое ЖК-дисплей? Откуда вы знаете?

100. Обоснования могут быть разными.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ В целом, после просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

Узнайте, как решать дробные уравнения

В этом видео мы собираемся решить дробные уравнения, например, используя наименьший общий знаменатель. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.

Например: , найдите значение x

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, который равен 6x .Умножьте каждый числитель на 6x

x и 6 сокращаются со знаменателем, оставляя нам

Теперь давайте решим его, как любые другие уравнения. Вычтем 24 с обеих сторон.

Изолируйте x и у нас

Примеры дробных уравнений

Пример 1

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, которым является. Умножьте каждый числитель на

, и сократимся со знаменателем, в результате чего получится

Вычесть с обеих сторон

Разделите с обеих сторон, чтобы изолировать

Теперь у нас

Пример 2

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, которым является.Умножьте каждый числитель на

И, сократимся со знаменателем, в результате чего получится

.

Вычесть с обеих сторон

Разделите с обеих сторон, чтобы изолировать

Теперь у нас

Стенограмма видеоурока

В этом уроке мы рассмотрим дробные уравнения.

Это просто уравнение с дробями. Но это алгебра.

Итак, это будет немного сложно.

Например:

Вернемся на секунду к обычным дробям.Просто небольшое примечание.

Если мы собираемся добавить

нам нужен общий знаменатель.

Мы не можем просто добавить это так, как есть.

Общий знаменатель для них.

Чтобы изменить знаменатель на, мы должны умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

В первой дроби мы должны умножить на, а вторую дробь нужно умножить на.

Мы собираемся использовать ту же концепцию при решении дробных уравнений.

Во-первых, мы должны найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Итак, наш наименьший общий знаменатель (ЖКД).

Но вместо того, чтобы получить наименьший общий знаменатель и по-прежнему иметь дроби, мы просто умножим все на наименьший общий знаменатель.

Если мы умножим все на, все будет отменено.

И это больше не будет дробным уравнением. Это будут регулярные уравнения.

Теперь мы можем отменить знаменатели.

Теперь мы можем решить это как обычное уравнение.

Мы хотим изолировать, используя обратные операции.

Наш ответ:

Итак, для дробных уравнений мы должны найти наименьший общий знаменатель.

Но мы не собираемся манипулировать ими, чтобы иметь общий знаменатель.

Вместо этого мы собираемся умножить каждый член на наименьший общий знаменатель, чтобы знаменатель каждого члена сократился.

Затем мы получаем новое уравнение, которое мы можем найти.

Решение уравнений, записанных в виде дробей — Введение в уравнения — KS3 Maths Revision

Чтобы решить уравнения, записанные в виде дробей, вы должны сделать то же самое с каждой стороной уравнения, чтобы получить ответ.

Полезно знать, что \ (\ frac {1} {2} x \) совпадает с \ (\ frac {x} {2} \), а \ (\ frac {1} {4} x \) совпадает с \ (\ frac {x} {4} \) и т. д.

Например, посмотрите на уравнение:

\ [\ frac {1} {2} x = 3 \]

Это можно переписать как:

\ [\ frac {x} {2} = 3 \]

Если затем умножить обе части на \ (2 \), мы получим ответ:

\ [x = 6 \]

Вопрос

Решите уравнение:

\ [2x — 3 = \ frac {1} {2} \]

Показать ответ

Навигация по записям

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.