Уравнение дискриминанта формула: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Содержание

Формулы корней квадратных уравнений

здравствуйте тема этого урока формула корней квадратного уравнения мы уже с вами знаем что уравнение вида x квадрат плюс bx плюс c равна нулю называется полным квадратным уравнением а этот урок вам поможет узнать как решать такие уравнения что такое дискриминант и как с помощью значения дискриминанта определить количество корней как использовать формулы для решения квадрату полных квадратных уравнений начнем с первого понятия что такое дискриминант дискриминант квадратного уравнения называется выражение в квадрат минус 4 акция и реакция где b a и c это коэффициенты квадратного уравнения обозначается дискриминант большой латинской буквой д а вычисляется формулой d равна b квадрат минус 4 от c при решении дискриминанта возможны три случая дискриминант может быть больше 0 может оказаться значение равное нулю и может быть значение меньше 0 давайте рассмотрим случай если дискриминант больше нуля в этом случае уравнение имеет два действительных корни которые вычисляются по следующей формуле минус b плюс минус корень квадратный из дискриминанта разделить на 2а где b это коэффициент квадратного уравнения минус bms коэффициент минус b мы используем для ночь и счисления корней квадратного уравнения а значит коэффициент бы сюда мы должны поставлять противоположным знаком и коэффициент а мы используем для того чтобы вычислить корни квадратного уравнения если дискриминант меньше нуля то уравнение корней не имеет и действительно нам необходимо будет вычислять арифметический квадратный корень из дискриминанта а мы уже знаем по свой что по свойству что арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует поэтому атлетам такое уравнение всегда будет решений нет если дискриминант равен нулю в этом случае уравнение имеет один действительный корень и действительно проверим если мы формулу корней минус b плюс минус корень квадратный из 0 разделить на над на 2-ом проведем вычисления то получаем что корень квадратный корень данного квадратного уравнения можно вычислить минус b разделить на 2а это будет единственный корень уравнения рассмотрим пример решим такое вот простое уравнение 2x квадрат минус 5 x плюс 2 равна нулю решаются не очень просто и легко главное запомнить три главных шага первое определяем официанты вспоминаем что коэффициентами уравнения квадратного являются значение стоящие для коэффициента а это значение стоящая перед x квадрат знать о коэффициент б это значение стоящие перед x с его знаком и коэффициент ция это свободный член уравнения итак нашем уравнении коэффициента равны и равен двум b равно минус 5 и c равно 2 следующий шаг мы находим дискриминант для этого используем формулу квадратных корней формула дискриминанта d равно b квадрат минус 4 отце где b a и c это те значения которые мы определились этого уравнения коэффициенты этого уравнения подставляя коэффициенты полученные выше мы получаем результат в данной ситуации дискриминант равен 9 а мы уже говорили выше так как дискриминант больше нуля то уравнение имеет два действительных корни находим корни по формуле x равно минус b плюс-минус арифметический квадратный корень из дискриминанта разделить на два соответственно подставляем x 1 находим у нас коэффициент b равен был -5 формулу корней мы подставляем положительное число 5 корень квадратный из дискриминанта равен 3 помним что дискриминант у нас данной ситуации был равен 9 знаменателе 2 умножить на коэффициент а который был равен двум выполнив это вычисление мы получаем корень 1 2 же нахождение 2 корня единственно что изменяется это знак 5 плюс 3 и деленное на те же множитель едва-едва в результате вычислений мы получаем второй корень и тогда в ответ этого уравнения мы записываем x первое равное 2 и 2 равна целых пять десятых рассмотрим следующее уравнение 2x квадрат минус 3 x плюс пять равно нулю действую тем же самым способом первое находим коэффициенты в этом уравнении коэффициентами будет а равное 2 b равна -3 и c равная 5 находим дискриминант подставляем формула дискриминанта b квадрат минус 4 акция соответствующие коэффициенты то есть вместо b подставляем минус 3 и возводим в квадрат вместо а подставляем 2 вместо c подставляем множитель 5 в результате вычисления мы получаем минус 31 из вышесказанного мы знаем так как дискриминант меньше нуля то уравнения не имеют действительных корней а значит в ответ уравнения мы напишем решений нет есть уравнение решения не имеет решим еще одно уравнение x квадрат минус 2 x плюс 1 равная действием точно также первый шаг всегда находим коэффициенты определяем в этом уравнении а равную 1 b равно минус 2 и c равно единице следующий шаг находим дискриминант формула тоже самое b квадрат минус 4ac и подставляя формулу коэффициенты которые мы получили из этого уравнения мы получаем значение дискриминанта и в данном уравнении дискриминант равен нулю мы уже знаем что равенстве дискриминанта нулю уравнение имеет один корень а значит подставляя формулу x равна минус b разделить на 2 мы сможем найти этот корень уравнения подставляем в значение вместо b значения минус 2 вместо а значение 1 вычисление нам дает икс равное единице и в ответ мы записываем что решением уравнения является корень x равна 1 решение квадратных уравнений уравнений с использованием формул квадратных корней очень легкий способ главное запомнить и правильно определить первое во значит определить коэффициенты данного уравнения напоминаю что коэффициентами являются значения стоящей коэффициент а это значение перед x квадрат с его знаком значит коэффициент б это значение стоящие перед x с его знаком и коэффициент ция это свободный член уравнения с его знаком следующий шаг мы находим дискриминант подставляя формулу b квадрат минус 4 акции значение b и c соответственно выбор взятые в данном уравнении и уже по значению которое мы получаем дискриминанта мы можем дать ответ если дискриминант равен нулю соответственно мы выбираем форму x равно минус b разделить на 2а если дискриминант меньше нуля то уравнение решения и если дискриминант больше нуля то мы вычисляем корни данного уравнения по формуле минус b плюс минус корень квадратный из дискриминанта разделить на 2а если вы будете следовать этому алгоритму у вас все получится желаю успехов до новых уроков

Кубическое уравнение, Корни кубического уравнения, Дискриминант кубического уравнения, формула Кардане

Кубическим называется уравнение:

Это уравнение с помощью формулы x = z — а/3 можно привести к виду:
Корни кубического уравнения вычисляются по формуле z = u+v (формула Кардане)
Все три корня уравнения определяются следующими формулами:
где u1 — любое из трех значений и, определяемых первой из формул, v1 — то из трех значений v, которое соответствует u на основании равенства

Дискриминантом кубического уравнения называется выражение

Из уравнения при D 0 — три различных действительных корня.

Замечание. Третий случай ( D > 0 ) называется неприводимым. В этом случае все корни уравнения с действительными коэффициентами являются действительными, однако для нахождения их по формуле z = … следует извлекать кубические корни из комплексных чисел.

Формула называется формулой Кардане. Правило, соответствующее этой формуле, впервые опубликовано в книге итальянского ученого Д. Кардане «Великое искусство или о правилах алгебры» (1545). Это правило решения кубического уравнения было получено ранее (1535) другим итальянским математиком Н. Тартальей.

Пример решения кубического уравнения смотрите ниже

Как найти дискриминант. Формула

Нам дано: ax 2 + bx + c = 0.

Формула дискриминанта: D = b 2 — 4ac
.

Как найти корни дискриминанта

По знаку дискриминанта определяется количество корней:

  1. D = 0, у уравнения один корень;
  2. D > 0, у уравнения два корня.

Корни у квадратного уравнения находятся по следующей формуле:

X1= -b + √D/2а; X2= -b + √D/2a.

Если D = 0, то Вы можете смело использовать любую из представленных формул. У Вас получится одинаковый ответ в любом случае. А если получается так, что D > 0, то тогда Вам не придется ничего считать, так как корней уравнение не имеет.

Надо сказать, что находить дискриминант — это не так уж сложно, если знать формулы и внимательно осуществлять подсчеты. Иногда возникают ошибки при подстановке отрицательных чисел в формулу (нужно помнить, что минус на минус дает плюс). Будьте внимательны, и все получится!

1 корень дискриминант

Вы искали 1 корень дискриминант? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 формула дискриминанта, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 корень дискриминант».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 корень дискриминант,2 формула дискриминанта,2 формулы дискриминанта,b корень из дискриминанта,d 0 формула,d1 дискриминант,d1 дискриминант формула,d1 как найти,d1 формула,d1 формула дискриминанта,x1 x2 дискриминант,x1 дискриминант,алгебра дискриминант,все о дискриминанте,все формулы дискриминанта,вторая формула дискриминанта,вычисление дискриминанта,вычислить дискриминант,д1 дискриминант,две формулы дискриминанта,дескрименант формула,дескриминант,дискременант,дискреминант,дискрименант,дискриминант,дискриминант 0,дискриминант 0 формула,дискриминант 1,дискриминант 1 как найти,дискриминант 1 корень,дискриминант 1 корень формула,дискриминант 1 формула,дискриминант 1 формула д1,дискриминант 2,дискриминант 2 формула,дискриминант d1,дискриминант d1 формула,дискриминант k,дискриминант k2 ac,дискриминант x1,дискриминант x1 x2,дискриминант x1 x2 формула,дискриминант алгебра,дискриминант без с,дискриминант больше нуля,дискриминант в каком классе проходят,дискриминант все формулы,дискриминант вычислить,дискриминант д1,дискриминант д1 формула,дискриминант деленный на 4 формула,дискриминант для четного b,дискриминант и как найти корни,дискриминант и корни,дискриминант и корни формулы,дискриминант из 1,дискриминант икс 1 и икс 2,дискриминант к,дискриминант как найти,дискриминант как найти х,дискриминант как решать,дискриминант как считается,дискриминант квадратного уравнения,дискриминант квадратного уравнения формула,дискриминант квадратное уравнение,дискриминант квадратные уравнения,дискриминант когда равен 1,дискриминант корень,дискриминант корень 1,дискриминант корни,дискриминант корни формула,дискриминант математика,дискриминант матрицы как найти,дискриминант меньше нуля,дискриминант меньше нуля формула,дискриминант меньше нуля что значит,дискриминант неполный,дискриминант ноль,дискриминант один,дискриминант половинный,дискриминант при 0,дискриминант при четном b,дискриминант пример,дискриминант примеры,дискриминант примеры для решения,дискриминант примеры с решением,дискриминант равен,дискриминант равен 0,дискриминант равен 0 как найти,дискриминант равен 0 как найти корень,дискриминант равен 0 квадратное уравнение,дискриминант равен 0 сколько корней,дискриминант равен 0 формула,дискриминант равен 0 формула корня,дискриминант равен 1,дискриминант равен 1 формула,дискриминант равен нулю,дискриминант равен нулю формула,дискриминант решение,дискриминант решение квадратных уравнений,дискриминант решение уравнений,дискриминант решить,дискриминант с минусом,дискриминант сокращенный,дискриминант таблица,дискриминант тема,дискриминант теорема,дискриминант уравнение,дискриминант уравнения,дискриминант формула,дискриминант формула 0,дискриминант формула 1 корень,дискриминант формула 2,дискриминант формула д1,дискриминант формула если 0,дискриминант формула корней,дискриминант формула примеры,дискриминант формула примеры и решение с объяснением,дискриминант формула х1,дискриминант формула х1 х2,дискриминант формула через k,дискриминант формулы,дискриминант формулы и корни,дискриминант формулы х1 х2,дискриминант х1 формула,дискриминант х1 х2 формула,дискриминант через k формула,дискриминант через к,дискриминант четный,дискриминант что такое,дискриминант что это,дискриминант что это такое,дискриминант это,дискриминант это что,дискриминанта,дискриминанта уравнения,дискриминанта формула д1,дискриминантное уравнение,дискриминанты,дискриминация формула,дискримінант,дискримінант формула,если д равен 0,если дискриминант,если дискриминант 0 формула,если дискриминант 1,если дискриминант больше нуля,если дискриминант меньше 0,если дискриминант равен,если дискриминант равен 0 как найти корень,если дискриминант равен 0 какая формула,если дискриминант равен 1,если дискриминант равен 1 какая формула,если дискриминант равен нулю какая формула,если дискриминант равен нулю то как найти корень,задачи дискриминант,задачи с дискриминантом,как вычислить дискриминант,как вычисляется дискриминант,как дискриминант считается,как искать дискриминант,как найти 1 дискриминант,как найти d1,как найти x если дискриминант равен 0,как найти x через дискриминант,как найти x1 и x2 в дискриминанте,как найти дискриминант,как найти дискриминант 1,как найти дискриминант и х1 и х2,как найти дискриминант квадратного уравнения,как найти дискриминант равен 0,как найти дискриминант формула,как найти дискриминант х,как найти дискриминант х1 и х2,как найти дискриминант через k,как найти дискриминант через х,как найти корень дискриминанта,как найти корень если дискриминант равен 0,как найти корень квадратного уравнения если дискриминант равен 0,как найти корни дискриминанта,как найти корни квадратного уравнения через дискриминант,как найти корни уравнения через дискриминант,как найти х дискриминант,как найти х если дискриминант равен 0,как найти х через дискриминант,как найти х через дискриминант формула,как найти х1 и х2 дискриминант,как найти через k дискриминант,как найти через дискриминант x,как находится дискриминант,как находится дискриминант формула,как находить дискриминант,как находить дискриминант формула,как посчитать дискриминант,как решается дискриминант,как решать дискриминант,как решать дискриминант примеры,как решать дискриминантные уравнения,как решать квадратное уравнение через дискриминант,как решать квадратные уравнения через дискриминант,как решать по дискриминанту,как решать уравнение через дискриминант,как решать уравнения с дискриминантом,как решать уравнения через дискриминант,как решать через дискриминант,как решать через дискриминант 1,как решать через дискриминант формула,как решаются квадратные уравнения через дискриминант,как решить дискриминант,как решить дискриминантное уравнение,как решить уравнение с дискриминантом,как решить уравнение через дискриминант,как решить через дискриминант,как считается дискриминант,как считать дискриминант,как через дискриминант найти корни,какая формула если дискриминант равен 0,какая формула если дискриминант равен 1,какая формула если дискриминант равен нулю,какая формула когда дискриминант равен 0,какая формула при дискриминанте 0,квадратное уравнение дискриминант,квадратное уравнение дискриминант равен 0,квадратное уравнение примеры с решением через дискриминант,квадратное уравнение решение через дискриминант,квадратное уравнение с дискриминантом,квадратное уравнение через дискриминант,квадратное уравнение через дискриминант решение,квадратные уравнения дискриминант,квадратные уравнения дискриминант равен нулю,квадратные уравнения примеры с дискриминантом,квадратные уравнения через дискриминант,когда дискриминант равен 0 какая формула,когда дискриминант равен 1,когда дискриминант равен нулю формула,корень дискриминант,корень дискриминанта,корень дискриминанта формула,корень из дискриминанта,корень из дискриминанта формула,корень квадратного уравнения через дискриминант формула,корень при дискриминанте равном 0,корни дискриминант,корни дискриминанта,корни дискриминанта формула,корни из дискриминанта,корни уравнения через дискриминант,корни через дискриминант,математика дискриминант,может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь дискриминант 23,найдите дискриминант уравнения,найти дискриминант,найти дискриминант квадратного уравнения,нахождение дискриминанта,нахождение дискриминанта формула,нахождение корней через дискриминант,нахождение корней через дискриминант формула,неполный дискриминант,нулевой дискриминант,определение дискриминанта,поиск дискриминанта,половинный дискриминант,половинный дискриминант формула,правила дискриминанта,правило дискриминанта,при дискриминанте равном 0,при дискриминанте равном 0 формула,пример дискриминант,пример дискриминанта,пример решения формула дискриминанта,пример с дискриминантом,пример формула дискриминанта,примеры дискриминант,примеры дискриминанта,примеры на дискриминант,примеры на дискриминант 9 класс,примеры по алгебре с дискриминантом,примеры решение квадратных уравнений через дискриминант,примеры решение уравнений через дискриминант,примеры с дискриминантом,примеры с дискриминантом по алгебре,примеры уравнения с дискриминантом примеры,примеры формула дискриминанта,примеры через дискриминант,равен х если дискриминант равен 0,решение дискриминант,решение дискриминанта,решение дискриминанта примеры,решение квадратного уравнения через дискриминант,решение квадратного уравнения через дискриминант формулы,решение квадратных уравнений дискриминант,решение квадратных уравнений через дискриминант,решение по дискриминанту,решение с дискриминантом,решение уравнений дискриминант,решение уравнений с дискриминантом,решение уравнений через дискриминант,решение уравнения через дискриминант,решение через дискриминант,решение через дискриминант формула,решить дискриминант,решить уравнение через дискриминант,свойства дискриминанта,сокращенная дискриминанта формула,сокращенная формула дискриминанта,сокращенный дискриминант,сокращенный дискриминант формула,таблица дискриминант,таблица дискриминанта,таблица дискриминантов,таблица дискриминантов по алгебре,тема дискриминант,теорема дискриминант,теорема дискриминант формула,теорема дискриминанта,уравнение дискриминант,уравнение дискриминанта,уравнение дискриминанта примеры решения,уравнение дискриминанта формула,уравнение с дискриминантом,уравнение с дискриминантом пример,уравнение с дискриминантом формула,уравнение через дискриминант,уравнение через дискриминант примеры,уравнение через дискриминант решить,уравнения дискриминант,уравнения дискриминанта,уравнения на дискриминант,уравнения с дискриминантом,уравнения с дискриминантом как решать,уравнения с дискриминантом примеры,уравнения через дискриминант,уравнения через дискриминант примеры,формула 0 дискриминанта,формула d 0,формула d1,формула d1 дискриминант,формула x1 x2 дискриминант,формула вычисления дискриминанта,формула д1 дискриминант,формула д1 дискриминант к,формула д1 дискриминанта,формула дескрименант,формула дискрименанта,формула дискриминант 0,формула дискриминант деленный на 4,формула дискриминант равен 1,формула дискриминант равен нулю,формула дискриминанта,формула дискриминанта 0,формула дискриминанта 1,формула дискриминанта 1 через k,формула дискриминанта 2,формула дискриминанта d1,формула дискриминанта вторая,формула дискриминанта д1,формула дискриминанта деленного на 4,формула дискриминанта для 0,формула дискриминанта для четных чисел,формула дискриминанта если он равен 0,формула дискриминанта и его,формула дискриминанта и его корней,формула дискриминанта и его корней при 0,формула дискриминанта и его корней через k,формула дискриминанта и корней,формула дискриминанта и нахождения корней,формула дискриминанта и х1,формула дискриминанта и х1 х2,формула дискриминанта квадратного уравнения,формула дискриминанта корня,формула дискриминанта нахождения корней,формула дискриминанта при 0,формула дискриминанта при b четном,формула дискриминанта при четном b,формула дискриминанта пример,формула дискриминанта пример решения,формула дискриминанта примеры,формула дискриминанта равного 0,формула дискриминанта сокращенная,формула дискриминанта сокращенного,формула дискриминанта х1 х2,формула дискриминанта через k,формула дискриминанта через к,формула дискриминанта четверти,формула дискриминанта четная,формула дискриминанта четного,формула дискриминация,формула дискримінант,формула дискримінанта,формула дискримінанту,формула для дискриминанта,формула для дискриминанта 0,формула для нахождения дискриминанта,формула если дискриминант 0,формула если дискриминант равен 0,формула как найти дискриминант,формула квадратного уравнения дискриминант,формула корень дискриминанта,формула корень из дискриминанта,формула корней дискриминанта,формула корня дискриминанта,формула корня если дискриминант равен 0,формула нахождения x1 и x2 через дискриминант,формула нахождения дискриминанта,формула нахождения дискриминанта и корней,формула нахождения корней дискриминанта,формула неполного дискриминанта,формула нулевого дискриминанта,формула отрицательного дискриминанта,формула половинного дискриминанта,формула при дискриминанте 0,формула при дискриминанте равном 0,формула решения квадратного уравнения через дискриминант,формула сокращенного дискриминанта,формула х в дискриминанте,формула х1 дискриминант,формула х1 и х2 дискриминант,формула х1 и х2 при дискриминанте,формула четверти дискриминанта,формула четного дискриминанта,формулы 2 дискриминанта,формулы дискриминанта,формулы дискриминанта 1,формулы дискриминанта 1 через k,формулы дискриминанта 2,формулы дискриминанта все,формулы дискриминанта и корней,формулы дискриминанта корней,формулы дискриминанта при 0,формулы дискриминанта через к,формулы дискриминантов,формулы для дискриминанта,формулы корней дискриминанта,формулы корней квадратного уравнения дискриминант,формулы нахождения дискриминанта,формулы с дискриминантом,формулы х1 х2 дискриминант,функция дискриминанта,чему равен дискриминант,чему равен дискриминант 1,чему равен дискриминант квадратного уравнения,через дискриминант,четверть дискриминанта,четверть дискриминанта формула,четная формула дискриминанта,четный дискриминант,четный дискриминант формула,что делать если дискриминант равен 1,что если дискриминант меньше нуля,что если дискриминант равен 1,что такое в алгебре дискриминант,что такое в математике дискриминант,что такое дискриминант,что такое дискриминант в алгебре,что такое дискриминант в математике. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 корень дискриминант. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2 формулы дискриминанта).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 корень дискриминант Онлайн?

Решить задачу 1 корень дискриминант вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Дискриминант с отрицательным показателем. Квадратное уравнение

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2

+ х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет
.

Решить уравнение 2х 2

+ 5х – 7 = 0
.

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1
.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2


+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



, затем с меньшим
bx
, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2



.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2



+ 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

  1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
  2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

  • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел. (1/2).
  • Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
  • Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.
  • Некоторые частные случаи

    В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

    1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
    2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

    Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

    Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

    Приведенное уравнение второй степени

    Приведенным именуют
    такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2–4*a*c.

    Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D)
    :
    D>0
    – уравнение имеет 2
    различных действительных корня;
    D=0
    — уравнение имеет 1
    корень (2
    совпадающих корня):
    D Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
    .

    Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения
    :

    Корни уравнения находим по формуле
    Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
    В таких случаях корни уравнения находят по формуле

    Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

    Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
    Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
    Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
    Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

    До 4
    уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6,
    следовательно корнями могут быть значения (1, 6)
    и (2, 3)
    или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7
    (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.

    Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
    Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

    Давайте попробуем разобраться,

    что описывает дискриминант?

    В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
    Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
    Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0)
    ,

    или парабола ветвями вниз (a

    Вершина параболы лежит посередине между корнями

    Физический смысл дискриминанта:

    Если дискриминант больше нуля (D>0)
    парабола имеет две точки пересечения с осью Ox
    .
    Если дискриминант равен нулю (D=0)
    то парабола в вершине касается оси абсцисс.
    И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D

    Неполные квадратные уравнения

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Виды квадратных уравнений

    Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
    ключевым словом является «квадратное».
    Оно означает, что в уравнении обязательно
    должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
    И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

    Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

    Здесь a, b и с
    – какие-то числа. b и c
    – совсем любые, а а
    – любое, кроме нуля. Например:

    Здесь а
    =1; b
    = 3; c
    = -4

    Здесь а
    =2; b
    = -0,5; c
    = 2,2

    Здесь а
    =-3; b
    = 6; c
    = -18

    Ну, вы поняли…

    В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
    членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
    икс в первой степени с коэффициентом b
    и свободный член с.

    Такие квадратные уравнения называются полными.

    А если b
    = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
    От умножения на ноль такое случается. ) Получается, например:

    5х 2 -25 = 0,

    2х 2 -6х=0,

    -х 2 +4х=0

    И т.п. А если уж оба коэффицента, b
    и c
    равны нулю, то всё ещё проще:

    2х 2 =0,

    -0,3х 2 =0

    Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
    Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

    Кстати, почему а
    не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
    нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

    Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

    Решение квадратных уравнений.

    Решение полных квадратных уравнений.

    Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

    Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно. ) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
    , b
    и c
    .

    Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

    Выражение под знаком корня называется дискриминант
    . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
    .
    Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
    в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

    Например, в уравнении:

    а
    =1; b
    = 3; c
    = -4. Вот и записываем:

    Пример практически решён:

    Это ответ.

    Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

    Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
    . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
    !

    Предположим, надо вот такой примерчик решить:

    Здесь a
    = -6;
    b
    = -5;
    c
    = -1

    Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

    Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
    . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

    Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
    Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

    Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

    Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
    .

    Решение неполных квадратных уравнений.

    Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
    .

    Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
    а c
    ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

    ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
    и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
    , а b
    !

    Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

    И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
    Не получается? То-то…
    Следовательно, можно уверенно записать:
    х 1 = 0
    , х 2 = 4
    .

    Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
    — то, что меньше, а х 2
    — то, что больше.

    Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

    Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

    Тоже два корня.
    х 1 = -3
    , х 2 = 3
    .

    Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
    Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

    Дискриминант. Формула дискриминанта.

    Волшебное слово дискриминант

    ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
    квадратных уравнений:

    Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
    . Формула дискриминанта:

    D = b 2 — 4ac

    И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
    Ведь -b,
    или 2a
    в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

    Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

    1. Дискриминант положительный.
    Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

    2. Дискриминант равен нулю.
    Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
    . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

    3. Дискриминант отрицательный.
    Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

    Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
    не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

    Итак, как решать квадратные уравнения
    через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
    . Умеете внимательно
    подставлять их в формулу корней и внимательно
    считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

    А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

    Приём первый

    . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
    Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

    Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
    Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

    И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

    А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
    У вас должны получиться корни 2 и -1.

    Приём второй.

    Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
    уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
    , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

    . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

    Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
    с противоположным

    знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
    , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
    Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
    Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

    Приём третий

    . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

    Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

    Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

    Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

    Итак, подытожим тему.

    Практические советы:

    1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
    .

    2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

    3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

    4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

    Теперь можно и порешать. )

    Решить уравнения:

    8х 2 — 6x + 1 = 0

    х 2 + 3x + 8 = 0

    х 2 — 4x + 4 = 0

    (х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

    Ответы (в беспорядке):

    х 1 = 0

    х 2 = 5

    х 1,2 =
    2

    х 1 = 2

    х 2 = -0,5

    х — любое число

    х 1 = -3

    х 2 = 3

    решений нет

    х 1 = 0,25

    х 2 = 0,5

    Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

    Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
    ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

    10 способов решения квадратных уравнений

    Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

    учитель математики

    с.Копьево, 2007

    1. История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

    1.3 Квадратные уравнения в Индии

    1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

    1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

    1.6 О теореме Виета

    2. Способы решения квадратных уравнений

    Заключение

    Литература

    1.

    История развития квадратных уравнений

    1. 1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

    Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

    X

    2

    +

    X

    = ¾;

    X

    2



    X

    = 14,5

    Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

    Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

    В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

    При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

    Вот, к примеру, одна из его задач.

    Задача 11.

    «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

    Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

    , другое же меньше, т.е. 10 — х

    . Разность между ними

    .

    Отсюда уравнение:

    (10 + х)(10 — х) = 96

    100 — х 2
    = 96

    х 2
    — 4 = 0 (1)

    Отсюда х = 2

    . Одно из искомых чисел равно 12

    , другое 8

    . Решение х = -2

    для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

    Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

    у(20 — у) = 96,

    у 2
    — 20у + 96 = 0. (2)

    Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

    1.3

    Квадратные уравнения в Индии

    Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

    ах 2
    +

    b

    х = с, а > 0. (1)

    В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

    , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

    В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

    Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

    Задача 13.

    «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

    Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

    Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

    На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

    Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

    Соответствующее задаче 13 уравнение:

    (
    x

    /8) 2
    + 12 =

    x

    Бхаскара пишет под видом:

    х 2
    — 64х = -768

    и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

    , получая затем:

    х 2
    — 64х + 32 2
    = -768 + 1024,

    (х — 32) 2
    = 256,

    х — 32 = ± 16,

    х 1
    = 16, х 2
    = 48.

    1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

    В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

    1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
    + с =

    b

    х.

    2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
    = с.

    3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

    4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2
    + с =

    b

    х.

    5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
    +

    bx

    = с.

    6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

    bx

    + с = ах 2
    .

    Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

    ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

    Задача 14.

    «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
    + 21 = 10х).

    Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

    Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

    1.5 Квадратные уравнения в Европе

    XIII



    XVII

    вв

    Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

    Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

    х 2
    +

    bx

    = с,

    при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

    , с

    было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

    Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

    1.6 О теореме Виета

    Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

    +

    D

    , умноженное на A



    A

    2

    , равно BD

    , то A

    равно В

    и равноD

    ».

    Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

    , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
    ), гласные же В,

    D

    — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

    (а +

    b

    )х — х 2
    =

    ab

    ,

    х 2
    — (а +

    b

    )х + а

    b

    = 0,

    х 1
    = а, х 2
    =

    b

    .

    Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

    2. Способы решения квадратных уравнений

    Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

    Формула сворачивания квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
    2 + bx
    + c
    = 0, где коэффициенты a
    , b
    и c
    — произвольные числа, причем a ≠ 0.

    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

    1. Не имеют корней;
    2. Имеют ровно один корень;
    3. Имеют два различных корня.

    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
    .

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0. Тогда дискриминант — это просто число D
    = b
    2 − 4ac
    .

    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

    1. Если D
    2. Если D
      = 0, есть ровно один корень;
    3. Если D
      > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 8x
      + 12 = 0;
    2. 5x
      2 + 3x
      + 7 = 0;
    3. x
      2 − 6x
      + 9 = 0.

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a
    = 1, b
    = −8, c
    = 12;
    D
    = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a
    = 5; b
    = 3; c
    = 7;
    D
    = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a
    = 1; b
    = −6; c
    = 9;
    D
    = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
    > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения

    Когда D
    = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

    1. x
      2 − 2x
      − 3 = 0;
    2. 15 − 2x
      − x
      2 = 0;
    3. x
      2 + 12x
      + 36 = 0.

    Первое уравнение:
    x
    2 − 2x
    − 3 = 0 ⇒ a
    = 1; b
    = −2; c
    = −3;
    D
    = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D
    > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2x
    − x
    2 = 0 ⇒ a
    = −1; b
    = −2; c
    = 15;
    D
    = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D
    > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

    Наконец, третье уравнение:
    x
    2 + 12x
    + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    1. x
      2 + 9x
      = 0;
    2. x
      2 − 16 = 0.

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
    = 0 или c
    = 0, т.е. коэффициент при переменной x
    или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
    = c
    = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
    2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
    = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
    = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
    2 + c
    = 0. Немного преобразуем его:

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
    /a
    ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax
      2 + c
      = 0 выполнено неравенство (−c
      /a
      ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (−c
      /a
      )

    Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
    /a
    ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
    2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax
    2 + bx
    = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 7x
      = 0;
    2. 5x
      2 + 30 = 0;
    3. 4x
      2 − 9 = 0.

    x
    2 − 7x
    = 0 ⇒ x
    · (x
    − 7) = 0 ⇒ x
    1 = 0; x
    2 = −(−7)/1 = 7.

    5x
    2 + 30 = 0 ⇒ 5x
    2 = −30 ⇒ x
    2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4x
    2 − 9 = 0 ⇒ 4x
    2 = 9 ⇒ x
    2 = 9/4 ⇒ x
    1 = 3/2 = 1,5; x
    2 = −1,5.

    Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ».
    Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

    Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

    Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим!
    Содержание статьи:

    Квадратное уравнение – это уравнение вида:

    где коэффициенты a,
    b
    и с произвольные числа, при чём a≠0.

    В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

    1. Имеют два корня.

    2. *Имеют только один корень.

    3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

    Как вычисляются корни? Просто!

    Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

    Формулы корней имеют следующий вид:

    *Эти формулы нужно знать наизусть.

    Можно сразу записывать и решать:

    Пример:

    1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

    2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

    3. Если D

    Давайте рассмотрим уравнение:

    По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

    Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

    х 1 = 3 х 2 = 3

    Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

    Теперь следующий пример:

    Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

    Вот и весь процесс решения.

    Квадратичная функция.

    Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

    Это функция вида:

    где х и у — переменные

    a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

    Графиком является парабола:

    То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть
    статью у Инны Фельдман.

    Рассмотрим примеры:

    Пример 1:
    Решить 2x
    2
    +8
    x
    –192=0

    а=2 b=8 c= –192

    D = b
    2
    –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

    Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

    *Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

    Пример 2:
    Решить


    x 2
    –22
    x+121 = 0

    а=1 b=–22 c=121

    D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

    Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

    В ответе допустимо записать х = 11.

    Ответ: х = 11

    Пример 3:
    Решить

    x 2 –8x+72 = 0

    а=1 b= –8 c=72

    D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

    Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

    Ответ: решения нет

    Дискриминант отрицательный. Решение есть!

    Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

    Понятие комплексного числа.

    Немного теории.

    Комплексным числом z называется число вида

    z = a + bi

    где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

    a+bi

    – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

    Мнимая единица равна корню из минус единицы:

    Теперь рассмотрим уравнение:

    Получили два сопряжённых корня.

    Неполное квадратное уравнение.

    Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

    Случай 1. Коэффициент b = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем:

    Пример:

    4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

    Случай 2. Коэффициент с = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем, раскладываем на множители:

    *Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    Пример:

    9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

    x 1 = 0 x 2 = 5

    Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

    Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

    Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

    Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

    а
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    =0
    выполняется равенство

    a
    +
    b
    + с = 0,
    то

    — если для коэффициентов уравнения а
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    =0
    выполняется равенство

    a
    + с =
    b
    ,
    то

    Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

    Пример 1: 5001
    x
    2
    –4995
    x
    – 6=0

    Сумма коэффициентов равна 5001+(
    4995)+(
    6) = 0, значит

    Пример 2: 2501
    x
    2
    +2507
    x
    +6=0

    Выполняется равенство a
    + с =
    b
    ,
    значит

    Закономерности коэффициентов.

    1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

    х 1 = –6 х 2 = –1/6.

    2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

    х 1 = 15 х 2 = 1/15.

    3. Если в уравнении
    ax 2
    + bx

    c = 0
    коэффициент «b»

    равен (a 2

    – 1), а коэффициент «c»

    численно равен коэффициенту «a»
    ,
    то его корни равны

    аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

    х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

    4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

    х 1 = 10 х 2 = – 1/10

    Теорема Виета.

    Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

    45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

    В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

    Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

    СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

    При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
    Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

    Если а
    ± b+c
    ≠ 0, то используется прием переброски, например:

    2х
    2 – 11х+
    5 = 0 (1) => х
    2 – 11х+
    10 = 0 (2)

    По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

    Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

    х 1
    = 5 х 2
    =
    0,5.

    Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

    Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

    Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

    У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

    Потому результат и делим на 2.

    *Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

    Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

    Кв. ур-ие и ЕГЭ.

    О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

    Что стоит отметить!

    1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

    15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

    Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

    2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

    Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

    10 способов решения квадратных уравнений

    Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

    учитель математики

    с. Копьево, 2007

    1. История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

    1.3 Квадратные уравнения в Индии

    1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

    1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

    1.6 О теореме Виета

    2. Способы решения квадратных уравнений

    Заключение

    Литература

    1.

    История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

    Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

    X

    2

    +

    X

    = ¾;

    X

    2



    X

    = 14,5

    Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

    Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

    В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

    При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

    Вот, к примеру, одна из его задач.

    Задача 11.

    «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

    Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

    , другое же меньше, т.е. 10 — х

    . Разность между ними

    .

    Отсюда уравнение:

    (10 + х)(10 — х) = 96

    100 — х 2
    = 96

    х 2
    — 4 = 0 (1)

    Отсюда х = 2

    . Одно из искомых чисел равно 12

    , другое 8

    . Решение х = -2

    для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

    Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

    у(20 — у) = 96,

    у 2
    — 20у + 96 = 0. (2)

    Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

    1.3

    Квадратные уравнения в Индии

    Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

    ах 2
    +

    b

    х = с, а > 0. (1)

    В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

    , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

    В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

    Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

    Задача 13.

    «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

    Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

    Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

    На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

    Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

    Соответствующее задаче 13 уравнение:

    (
    x

    /8) 2
    + 12 =

    x

    Бхаскара пишет под видом:

    х 2
    — 64х = -768

    и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

    , получая затем:

    х 2
    — 64х + 32 2
    = -768 + 1024,

    (х — 32) 2
    = 256,

    х — 32 = ± 16,

    х 1
    = 16, х 2
    = 48.

    1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

    В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

    1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
    + с =

    b

    х.

    2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
    = с.

    3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

    4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2
    + с =

    b

    х.

    5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
    +

    bx

    = с.

    6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

    bx

    + с = ах 2
    .

    Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

    ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

    Задача 14.

    «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
    + 21 = 10х).

    Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

    Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

    1.5 Квадратные уравнения в Европе

    XIII



    XVII

    вв

    Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

    Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

    х 2
    +

    bx

    = с,

    при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

    , с

    было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

    Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

    1.6 О теореме Виета

    Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

    +

    D

    , умноженное на A



    A

    2

    , равно BD

    , то A

    равно В

    и равноD

    ».

    Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

    , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
    ), гласные же В,

    D

    — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

    (а +

    b

    )х — х 2
    =

    ab

    ,

    х 2
    — (а +

    b

    )х + а

    b

    = 0,

    х 1
    = а, х 2
    =

    b

    .

    Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений.2 − 4ac.
    1. Если D 0, корней будет два.
    C первым вариантом понятно, корней нет. Если дискриминант D > 0, корни можно найти cледующим образом:
    x12 = (-b +- √D) / 2a.
    Что касается второго варианта, когда D = 0, можно использовать верхнюю формулу.

    Квадратные уравнения начинают изучать в школьной программе по курсу математики. Но, к большому сожалению, далеко не каждый понимает и знает как правильно решить квадратное уравнение и вычислить его корни. Для начала разберемся что такое квадратное уравнение.

    Что такое квадратное уравнение

    Под термином квадратное уравнение принято подразумевать алгебраическое уравнение общего вида. Данное уравнение имеет следующий вид: ax2 + bx + c = 0, при этом a, b и c являются какими — либо определенными числами, x — неизвестное. Данные три числа принято называть коэффициентами квадратного уравнения:

    • a — первый коэффициент;
    • b — второй коэффициент;
    • с — третий коэффициент.

    Как найти корни квадратного уравнения

    Для того, чтобы вычислить, чему будут равняться корни квадратного уравнения, необходимо найти дискриминант уравнения. Дискриминантом квадратного уравнения называется выражение, которое равняется и вычисляется по формуле b2 — 4ac. Если дискриминант больше нуля, корень вычисляется по формуле: х = -b +-корень из дискриминанта разделить на 2 а.

    Рассмотрим на примере уравнения 5х в квадрате — 8х +3 = 0

    Дискриминант равен восемь в квадрате, минус четыре умножить на пять, умножить на три, то есть = 64 — 4*5*3 = 64-60 = 4

    х1 = 8 +-корень из четырех разделить на два умноженное на пять = 8 +2/10 = 1

    х2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0, 6

    Соответственно, корнями данного квадратного уравнения будут являться 1 и 0,6.

    Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

    С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

    Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
    , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

    D = b 2 – 4ас.

    В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

    Если дискриминант отрицательное число (D

    Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

    тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

    Например. Решить уравнение х 2
    – 4х + 4= 0.

    D = 4 2 – 4 · 4 = 0

    x = (- (-4))/2 = 2

    Ответ: 2.

    Решить уравнение 2х 2

    + х + 3 = 0.

    D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

    Ответ: корней нет
    .

    Решить уравнение 2х 2

    + 5х – 7 = 0
    .

    D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

    х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

    х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

    Ответ: – 3,5 ; 1
    .

    Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

    По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

    ах 2


    + bx + c,
    иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

    а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

    D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

    Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



    , затем с меньшим
    bx
    , а затем свободный член с.

    При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

    Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



    равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
    . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
    , стоящий при х 2



    .

    На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
    уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

    Пример. Решить уравнение

    3х 2



    + 6х – 6 = 0.

    Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

    D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

    √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

    х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

    х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3

    Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

    √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

    х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

    х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3
    . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
    уравнения рисунок 3.

    D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

    √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

    х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

    х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

    Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.2
    D1>0, значит, уравнение имеет 2 корня
    x1,2= k +/ квадратный корень из D1)/a
    x1= (-(-12) +9)/3=21/3=7
    x2= (-(-12) -9)/3=3/3=1

    Оценили на сколько легче решение?;)
    Спасибо за внимание, желаю Вам успехов в учебе =)

    • В нашем случае в уравнениях D и D1 были >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D=0 и D1=0, то мы получили бы по одному корню, а если бы было D
    • Через корень дискриминанта (D1) можно решать только те уравнения, в которых член b четный(!)

    Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

    С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

    Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
    , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

    D = b 2 – 4ас.

    В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

    Если дискриминант отрицательное число (D

    Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

    тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

    Например. Решить уравнение х 2
    – 4х + 4= 0.

    D = 4 2 – 4 · 4 = 0

    x = (- (-4))/2 = 2

    Ответ: 2.

    Решить уравнение 2х 2

    + х + 3 = 0.

    D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

    Ответ: корней нет
    .

    Решить уравнение 2х 2

    + 5х – 7 = 0
    .

    D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

    х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

    х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

    Ответ: – 3,5 ; 1
    .

    Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

    По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

    ах 2


    + bx + c,
    иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

    а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

    D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

    Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



    , затем с меньшим
    bx
    , а затем свободный член с.

    При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

    Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



    равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
    . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
    , стоящий при х 2



    .

    На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
    уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

    Пример. Решить уравнение

    3х 2



    + 6х – 6 = 0.

    Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

    D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

    √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

    х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

    х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3

    Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

    √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

    х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

    х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3
    . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
    уравнения рисунок 3.

    D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

    √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

    х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

    х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

    Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Виды квадратных уравнений

    Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
    ключевым словом является «квадратное».
    Оно означает, что в уравнении обязательно
    должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
    И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

    Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

    Здесь a, b и с
    – какие-то числа. b и c
    – совсем любые, а а
    – любое, кроме нуля. Например:

    Здесь а
    =1; b
    = 3; c
    = -4

    Здесь а
    =2; b
    = -0,5; c
    = 2,2

    Здесь а
    =-3; b
    = 6; c
    = -18

    Ну, вы поняли…

    В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
    членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
    икс в первой степени с коэффициентом b
    и свободный член с.

    Такие квадратные уравнения называются полными.

    А если b
    = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
    От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

    5х 2 -25 = 0,

    2х 2 -6х=0,

    -х 2 +4х=0

    И т.п. А если уж оба коэффицента, b
    и c
    равны нулю, то всё ещё проще:

    2х 2 =0,

    -0,3х 2 =0

    Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
    Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

    Кстати, почему а
    не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
    нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

    Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

    Решение квадратных уравнений.

    Решение полных квадратных уравнений.

    Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

    Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
    , b
    и c
    .

    Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

    Выражение под знаком корня называется дискриминант
    . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
    .
    Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
    в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

    Например, в уравнении:

    а
    =1; b
    = 3; c
    = -4. Вот и записываем:

    Пример практически решён:

    Это ответ.

    Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

    Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
    . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
    !

    Предположим, надо вот такой примерчик решить:

    Здесь a
    = -6;
    b
    = -5;
    c
    = -1

    Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

    Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
    . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

    Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
    Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

    Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

    Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
    .

    Решение неполных квадратных уравнений.

    Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
    .

    Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
    а c
    ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

    ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
    и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
    , а b
    !

    Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

    И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
    Не получается? То-то…
    Следовательно, можно уверенно записать:
    х 1 = 0
    , х 2 = 4
    .

    Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
    — то, что меньше, а х 2
    — то, что больше.

    Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

    Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

    Тоже два корня.
    х 1 = -3
    , х 2 = 3
    .

    Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
    Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

    Дискриминант. Формула дискриминанта.

    Волшебное слово дискриминант

    ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
    квадратных уравнений:

    Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
    . Формула дискриминанта:

    D = b 2 — 4ac

    И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
    Ведь -b,
    или 2a
    в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

    Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

    1. Дискриминант положительный.
    Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

    2. Дискриминант равен нулю.
    Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
    . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

    3. Дискриминант отрицательный.
    Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

    Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
    не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

    Итак, как решать квадратные уравнения
    через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
    . Умеете внимательно
    подставлять их в формулу корней и внимательно
    считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

    А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

    Приём первый

    . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
    Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

    Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
    Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

    И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

    А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
    У вас должны получиться корни 2 и -1.

    Приём второй.

    Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
    уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
    , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

    . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

    Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
    с противоположным

    знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
    , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
    Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
    Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

    Приём третий

    . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

    Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

    Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

    Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

    Итак, подытожим тему.

    Практические советы:

    1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
    .

    2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

    3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

    4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

    Теперь можно и порешать.)

    Решить уравнения:

    8х 2 — 6x + 1 = 0

    х 2 + 3x + 8 = 0

    х 2 — 4x + 4 = 0

    (х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

    Ответы (в беспорядке):

    х 1 = 0

    х 2 = 5

    х 1,2 =
    2

    х 1 = 2

    х 2 = -0,5

    х — любое число

    х 1 = -3

    х 2 = 3

    решений нет

    х 1 = 0,25

    х 2 = 0,5

    Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

    Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
    ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
    2 + bx
    + c
    = 0, где коэффициенты a
    , b
    и c
    — произвольные числа, причем a ≠ 0.

    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

    1. Не имеют корней;
    2. Имеют ровно один корень;
    3. Имеют два различных корня.

    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
    .

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0. Тогда дискриминант — это просто число D
    = b
    2 − 4ac
    .

    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

    1. Если D
    2. Если D
      = 0, есть ровно один корень;
    3. Если D
      > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 8x
      + 12 = 0;
    2. 5x
      2 + 3x
      + 7 = 0;
    3. x
      2 − 6x
      + 9 = 0.

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a
    = 1, b
    = −8, c
    = 12;
    D
    = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a
    = 5; b
    = 3; c
    = 7;
    D
    = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a
    = 1; b
    = −6; c
    = 9;
    D
    = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
    > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения

    Когда D
    = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

    1. x
      2 − 2x
      − 3 = 0;
    2. 15 − 2x
      − x
      2 = 0;
    3. x
      2 + 12x
      + 36 = 0.

    Первое уравнение:
    x
    2 − 2x
    − 3 = 0 ⇒ a
    = 1; b
    = −2; c
    = −3;
    D
    = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D
    > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2x
    − x
    2 = 0 ⇒ a
    = −1; b
    = −2; c
    = 15;
    D
    = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D
    > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

    Наконец, третье уравнение:
    x
    2 + 12x
    + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    1. x
      2 + 9x
      = 0;
    2. x
      2 − 16 = 0.

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
    = 0 или c
    = 0, т.е. коэффициент при переменной x
    или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
    = c
    = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
    2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
    = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
    = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
    2 + c
    = 0. Немного преобразуем его:

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
    /a
    ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax
      2 + c
      = 0 выполнено неравенство (−c
      /a
      ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (−c
      /a
      )

    Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
    /a
    ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
    2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax
    2 + bx
    = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 7x
      = 0;
    2. 5x
      2 + 30 = 0;
    3. 4x
      2 − 9 = 0.

    x
    2 − 7x
    = 0 ⇒ x
    · (x
    − 7) = 0 ⇒ x
    1 = 0; x
    2 = −(−7)/1 = 7.

    5x
    2 + 30 = 0 ⇒ 5x
    2 = −30 ⇒ x
    2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4x
    2 − 9 = 0 ⇒ 4x
    2 = 9 ⇒ x
    2 = 9/4 ⇒ x
    1 = 3/2 = 1,5; x
    2 = −1,5.

    Дискриминант квадратного уравнения

    Дискриминант квадратного уравнения
    Часть 1

    Напомним, что квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 может быть решено с помощью квадратной формулы:

    Для получения дополнительной информации о квадратичной формуле см. Следующие сообщения:

    Квадратичная формула — часть 1 Квадратичная формула — часть 2

    Прежде чем мы продолжим, вы также можете просмотреть информацию о квадратных корнях, которую можно найти здесь:

    Основы квадратного корня

    Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 — это величина Δ , определяемая

    Δ = b 2 — 4 ac

    Другими словами, дискриминант — это просто выражение, которое появляется под квадратным корнем в формуле корней квадратного уравнения.

    Хотя вычисление дискриминанта квадратного уравнения не дает корней (решений) уравнения, оно дает нам много информации о природе корней и графике уравнения.

    Например, если дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равен 0, то квадратная формула упрощается до

    x = — b / 2a ,

    , и мы видим, что есть только одно решение.

    Если коэффициенты a и b являются целыми числами, то единственным решением будет рациональное число.

    Графически это означает, что график функции y = ax 2 + bx + c представляет собой параболу, которая пересекает ось x в одной точке.

    Пример дается красной параболой на изображении выше.

    Примечание: Дискриминант не сообщает нам, раскрывает ли парабола вверх или вниз.Однако это легко определить, просто посмотрев на значение a .

    Если a > 0 (т.е. a — положительное число), то парабола открывается вверх.

    Если a <0 (т.е. a — отрицательное число), то парабола открывается вниз.

    Итак, красная парабола на изображении выше имеет уравнение вида y = ax 2 + bx + c , где a <0 и Δ = 0

    Пример: Найдите дискриминант x 2 + 6 x + 9 = 0 .Затем опишите характер корней уравнения и опишите график функции y = x 2 + 6 x + 9 .

    Я опубликую решение этой проблемы завтра, а затем обсуду другие возможности для определителя. Не стесняйтесь размещать свои собственные решения в комментариях.

    Если вам понравилась эта статья, поделитесь ею со своими друзьями на Facebook:

    Комментарии

    комментариев

    Найдите значение дискриминанта каждого квадратного уравнения

    Формула: Для квадратного уравнения a x ^ 2 + bx + c = 0

    Дискриминант (D) = b ^ 2 — 4 ac

    1)

    6к ^ 2 + 4к + 3 = 0

    Сравните это с квадратичной формой a x ^ 2 + bx + c = 0

    a = 6, b = 4, c = 3

    Дискриминант (D) = b ^ 2 — 4 ac

    = 4 ^ 2-4 (6) (3)

    = 16–72

    = — 56

    2)

    2 п ^ 2 + 1 = 0

    Сравните это с квадратичной формой a x ^ 2 + bx + c = 0

    a = 2, b = 0, c = 1

    Дискриминант (D) = b ^ 2 — 4 ac

    = 0 ^ 2-4 (2) (1)

    = 0–8

    = — 8

    3)

    -2b ^ 2 + 3b = 0

    Сравните это с квадратичной формой a x ^ 2 + bx + c = 0

    a = -2, b = 3, c = 0

    Дискриминант (D) = b ^ 2 — 4 ac

    = 3 ^ 2-4 (-2) (0)

    = 9 — 0

    = 9

    4)

    3n ^ 2 — 3n — 6 = 0

    Сравните это с квадратичной формой a x ^ 2 + bx + c = 0

    a = 3, b = -3, c = — 6

    Дискриминант (D) = b ^ 2 — 4 ac

    = (-3 ^ 2) — 4 (3) (- 6)

    = 9 + 72

    = 81

    Ответ:

    1) Вариант D

    2) Вариант D

    3) Вариант B

    4) Вариант D

    Квадратные уравнения: сводка

    Показать уведомление для мобильных устройств

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-7: Квадратные уравнения: сводка

    В предыдущих двух разделах мы довольно много говорили о решении квадратных уравнений.Здесь возникает логичный вопрос: какой метод мы должны использовать для решения данного квадратного уравнения? К сожалению, ответ зависит от обстоятельств.

    Если ваш инструктор указал метод, который следует использовать, то это, конечно, тот метод, который вам следует использовать. Однако, если ваш инструктор НЕ указал метод, который следует использовать, нам придется принять решение самостоятельно. Вот общий набор рекомендаций, которые может помочь при определении того, какой метод использовать.

    1. Это явно проблема свойства квадратного корня? Другими словами, состоит ли уравнение ТОЛЬКО из квадрата и константы.Если это так, то, вероятно, проще всего использовать свойство квадратного корня.
    2. Фактор? Если да, то, вероятно, это правильный путь. Обратите внимание, что вам не следует тратить много времени на то, чтобы определить, учитывается ли квадратное уравнение. Посмотрите на уравнение, и, если вы можете быстро определить, что в нем учитывается, примените его. Если вы не можете быстро определить, что это за факторы, не беспокойтесь об этом.
    3. Если вы достигли этой точки, значит, вы определили, что уравнение имеет неправильную форму для свойства квадратного корня и не учитывает множители (или что вы не можете быстро увидеть, что оно множится).Итак, на данный момент единственный реальный вариант — это квадратичная формула.

    Как только вы решите достаточное количество квадратных уравнений, приведенный выше набор рекомендаций станет для вас почти второй натурой, и вы обнаружите, что проходите их почти не задумываясь.

    Также обратите внимание, что нигде в наборе руководящих указаний не было завершение упомянутого квадрата. Причина этого просто в том, что это длинный метод, который подвержен ошибкам, если вы торопитесь.Квадратичная формула также всегда будет работать, и ее использование намного короче. В общем, вы должны использовать квадрат только в том случае, если ваш инструктор потребовал, чтобы вы его использовали.

    В качестве метода решения завершение квадрата всегда должно быть вашим последним выбором. Однако это не означает, что это не важный метод. Мы увидим, как завершение квадратного процесса возникает в нескольких разделах следующих глав. Интересно, что когда мы увидим этот процесс в следующих разделах, мы не будем решать уравнения! Этот процесс очень полезен во многих ситуациях, решение которых — только одно.2} + bx + c = 0 \]

    мы получим один из следующих трех возможных наборов решений.

    1. Два реальных различных (, т. Е. не равных) решений.
    2. Двойной корень. Вспомните, это возникает, когда мы можем разложить уравнение на полный квадрат.
    3. Два сложных решения.

    Это ЕДИНСТВЕННЫЕ возможности для решения квадратных уравнений в стандартной форме. Однако обратите внимание, что если мы начнем с рационального выражения в уравнении, мы можем получить разные наборы решений, потому что нам может потребоваться избежать одного из возможных решений, чтобы не получить деление на ноль ошибок.2} — 4ac> 0 \). В этом случае мы будем извлекать квадратный корень из положительного числа, поэтому квадратный корень будет действительным числом. Следовательно, числитель в квадратной формуле будет — \ (b \) плюс или минус действительное число. Это означает, что в числителе будут два разных действительных числа. Разделение любой единицы на 2 \ (a \) не изменит ни того факта, что они реальны, ни того факта, что они разные. 2} — 4ac = 0 \).2} — 4 \ left ({49} \ right) \ left ({81} \ right) = 0 \]

    В этом случае мы получим двойной корень, поскольку дискриминант равен нулю. Вот она,

    \ [x = — \ frac {9} {7} \]

    Дискриминант

    Дискриминант квадратичной функции — это функция ее коэффициентов, которая раскрывает информацию о ее корнях. Корень — это значение координаты $ x $, в котором функция пересекает ось $ x $. То есть это координата $ x $, при которой значение функции равно нулю.2-4ac $ — это часть формулы квадратного корня.

    Положительный дискриминант

    Если $ {\ Delta} $ положительно, квадратный корень в квадратной формуле положительный, и решения не содержат мнимых чисел.

    $ x = {\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {положительное число}}} {2a}} $

    Поскольку добавление и вычитание положительного числа приведет к разным значениям, положительный дискриминант дает два различные решения и два различных корня квадратичной функции.

    Нулевой дискриминант

    Если $ {\ Delta} $ равно нулю, квадратный корень в формуле корней квадратного уравнения равен нулю:

    $ x = {\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {0}} {2a}}

    долларов США

    Поскольку добавление нуля и вычитание нуля в квадратном уравнении приводят к одному и тому же результату, существует только один отличный корень квадратичной функции.

    Отрицательный дискриминант

    Если $ {\ Delta} $ меньше нуля, значение квадратного корня в формуле корней квадратного уравнения отрицательное:

    $ x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {negative number}}} {2a} $

    Это означает, что сам квадратный корень является мнимым числом, поэтому корни квадратичной функции различны и не являются действительными. .2 — х — 2 $. Поскольку значение больше 0, функция имеет два различных действительных нуля. График показывает, что он явно имеет два корня: функция пересекает ось $ x $ в точках $ x = -1 $ и $ x = 2 $.

    Использование и понимание дискриминанта — стало проще

    ”Здравствуйте! Пришло время снова сыграть в любимую викторину
    СТЕНА СЛАВЫ! »

    »Первая участница сегодняшнего шоу — Тереза!
    Надеюсь, вы готовы сыграть в СТЕНУ СЛАВЫ! »

    Прежде чем мы начнем сегодняшнюю игру, давайте быстро рассмотрим наши правила игры.Тереза, ты собираешься увидеть сегодняшнюю стену. На стене 5 секретных дверей с одним уравнением , написанным над каждой дверью. Во время игры вы сможете открыть 3 из этих дверей. За каждую выбранную дверь вы получите приз, равный количеству решений уравнения. Если каждая дверь, которую вы выбираете, открывает приз, вы вернетесь на шоу завтра и получите шанс выиграть еще больший приз!

    Понимание дискриминанта

    Секрет этой игры в том, что понимает и , используя дискриминант .Если Тереза ​​придумает, как использовать этот инструмент, у нее будет шанс выиграть все призы и вернуться завтра! Давайте взглянем на сегодняшнюю СТЕНУ СЛАВЫ! уравнений , которые мы имеем сегодня:
    Уравнение 1: x-квадрат минус 10x плюс 34.
    Уравнение 2: 3 x-квадрат минус 4x плюс 10.
    Уравнение 3: x-квадрат минус 3x плюс 5.
    Уравнение 4: x-квадрат плюс 2 корня 2x плюс 2.
    Уравнение 5: x-квадрат плюс 6x минус 16.

    Сделав свой первый выбор, Тереза ​​выбирает дверь номер 4.Помните, мы говорили, что можем использовать дискриминант , чтобы быстро определить, выиграла ли Тереза ​​один из наших потрясающих призов. Дискриминант происходит от квадратной формулы , и ее формула представляет собой квадрат b минус 4ac, где a, b и c относятся к коэффициентам и константе квадратного уравнения в стандартной форме .

    Когда дискриминант положительный , наше уравнение будет иметь 2 решения ; когда дискриминант равен 0 , наше уравнение имеет 1 решение , а когда дискриминант отрицательный , наше уравнение не будет иметь решений .Давайте посмотрим на уравнение , которое только что выбрала Тереза. В уравнении, которое только что выбрала Тереза, «a» равно 1, «b» равно двукратному квадратному корню из 2, а «c» равно 2.

    Рассчитаем дискриминант ! Величина, умноженная на квадратный корень из 2 в квадрате, будет равна 8. 8 минус 8 будет равно 0. Поскольку дискриминант равен 0, это уравнение будет иметь одно решение. Тереза, вы только что выиграли 1 новенького единорога! Разве она не выглядит счастливой ?! Это самое хорошее начало, о котором вы можете мечтать!

    Второй пример

    При втором выборе Тереза ​​выбирает пятое уравнение.Давайте посмотрим поближе! В этом уравнении «a» равно 1, «b» равно 6, а «c» равно отрицательному 16. Давайте вычислим дискриминант! Подставляя наши значения, мы получаем 6 в квадрате минус 4 умножить на 1 отрицательное 16.
    Используя PEMDAS , мы получаем 36 плюс 64, что равно 100. Вау! Посмотри на это! Тереза ​​только что выиграла пару фигурок Позитрона и Негатрона! 2 приза за уравнение с 2 решениями! У Терезы пока все отлично! Если она сможет выбрать дверь с еще одним призом, ее снова пригласят на завтрашнее шоу и шанс выиграть главный приз!

    И, сделав последний выбор, Тереза ​​выбирает уравнение двери номер 2! Давайте посмотрим на ее уравнение! В этом уравнении «a» равно 3, «b» равно отрицательному 4, а «c» равно 10.Рассчитаем дискриминант! Подставляя значений , мы получаем отрицательные 4 в квадрате минус 4 умноженные на 3 умноженные на 10. Вычисляя с нашим math , мы получаем 16 минус 120, что равно отрицательному 104. Как вы думаете, что это означает? Не только в отношении того, сколько решений имеет наше уравнение, но и в отношении шансов Терезы вернуться завтра?

    Сводка

    Помните, когда наш дискриминант на больше 0 , это означает, что уравнение будет иметь 2 решения .Когда наш дискриминант равен 0 , наше уравнение будет иметь 1 решение . И когда наш дискриминант равен отрицательному , наше уравнение не будет иметь реальных решений .

    Ну, ребята! Это также означает, что приза нет! Хотя Тереза ​​будет разочарована, по крайней мере, у нее есть фигурки и новый Единорог! Хотя этот Единорог выглядит немного подозрительно … И волосы хозяина тоже выглядят подозрительно!

    1.8 Квадратичная формула и дискриминант с. 58 Как вы решаете квадратное уравнение, если вы не можете решить его факторизацией, извлечением квадратного корня или завершением квадрата?

    Презентация на тему: «1.8 Квадратичная формула и дискриминант стр. 58 Как решить квадратное уравнение, если его нельзя решить с помощью факторизации, извлечения квадратного корня или вычисления квадрата?» — стенограмма презентации:

    ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}}
    @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}}
    @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}}
    @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}}
    ]]>

    1

    2

    1.8 Квадратичная формула и дискриминант с. 58 Как вы решаете квадратное уравнение, если вы не можете решить его факторизацией, извлечением квадратного корня или завершением квадрата? Есть ли быстрый способ принять решение?

    3

    Квадратичная формула Если вы возьмете квадратное уравнение в стандартной форме (ax 2 + bx + c = 0) и заполните квадрат, вы получите квадратную формулу!

    4

    Когда использовать квадратную формулу Используйте квадратную формулу, когда вы не можете разложить на множители для решения квадратного уравнения.(или когда вы не знаете, как разложить уравнение на множители.)

    5

    Квадратичная формула: та, у которой есть песня! Это способ запомнить формулу…

    6

    Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения …

    7

    Пример — два реальных решения 1.3x 2 + 8x = 35 3x 2 + 8x-35 = 0 a = 3, b = 8, c = -35 ИЛИ

    8

    Два реальных решения Что ответ с двумя реальными решениями говорит вам о графике уравнения? Он сообщает вам два места, где график пересекает ось x (точки пересечения x).

    9

    Пример — Одно реальное решение Решите 25x 2 — 18x = 12x — 9. 25x 2 — 18x = 12x — 9.Напишите исходное уравнение. Пишите в стандартной форме. x = 30 + (–30) 2 — 4 (25) (9) 2 (25) a = 25, b = –30, c = 9 Упростим. 25x 2 — 30x + 9 = 0. x = 30 + 0 50 x = 3 5 Упростим. 3 5 Решение ОТВЕТ

    10

    Одно решение ПРОВЕРЬТЕ график y = –5x 2 — 30x + 9 и обратите внимание, что единственное пересечение по оси x составляет 0,6 =. 3 5 

    11

    Пример — Мнимые решения 2.-2x 2 = -2x + 3 -2x 2 + 2x-3 = 0 a = -2, b = 2, c = -3

    12

    Мнимые решения Что ответ с мнимыми решениями говорит вам о графике уравнения? График не будет проходить или касаться оси x.

    13

    Дискриминант: b 2 -4ac Дискриминант говорит вам, сколько решений и какого типа у вас будет.Если дискриминант: положительный — 2 вещественных решения отрицательный — 2 мнимых решения равен нулю — 1 действительное решение

    14

    Примеры Найдите дискриминант и укажите количество и тип решений. а. 9x 2 + 6x + 1 = 0 a = 9, b = 6, c = 1 b 2 -4ac = (6) 2-4 (9) (1) = 36-36 = 0 1 реальное решение b. 9x 2 + 6x-4 = 0 a = 9, b = 6, c = -4 b 2 -4ac = (6) 2-4 (9) (- 4) = 36 + 144 = 180 2 действительных решения c. 9x 2 + 6x + 5 = 0 a = 9, b = 6, c = 5 b 2 -4ac = (6) 2-4 (9) (5) = 36-180 = -144 2 мнимых решения

    15

    h = –16t 2 + v 0 t + h 0 3 = –16t 2 + 40t + 4 Запишите модель высоты.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.