Углы у равнобедренного треугольника: Углы в равнобедренном треугольнике, все формулы

Содержание

Калькулятор расчета углов равнобедренного треугольника

Треугольник с одинаковыми боковыми сторонами называется равнобедренным. В нем равны и углы при основании. Если они известны, то вычислить третий угол не составит труда. Как известно, сумма всех углов треугольника равна 180°. Если из 180° вычесть сумму двух одинаковых углов при основании (а), то найдем третий угол β:

β = 180°-2α

Если известна величина угла b, противолежащего основанию и требуется найти угол (а) при основании, необходимо из 180° вычесть известный угол β. Полученную величину делим на два, т.к. углы при основании равны.

α= (180°-β)/2

Если известны стороны равнобедренного треугольника, можно рассчитать все его углы. Чтобы найти угол при основании, проведем к основанию высоту, которая делит основание пополам, а треугольник — на два одинаковых прямоугольных треугольника. Гипотенузой вновь образованных треугольников будет боковая сторона равнобедренного треугольника (а), а одним из катетов — половина длины основания (b/2). Используя теорему косинусов определяем косинус угла (а), как отношение прилежащего к искомому углу катета (b/2) к гипотенузе (а) по формуле:

cosα= b/2a

Рассчитать угол при основании равнобедренного треугольника можно также через катеты образованного в нем прямоугольного треугольника (например, abc). Одним из его катетов (b) будет половина длины основания равнобедренного треугольника, другим катетом (а) — высота равнобедренного треугольника. Найти угол α при основании треугольника можно через тангенс угла, как отношение противолежащего ему катета (а) к прилежащему катету (b).

tg (α) = a/b

В таблицк тангенсов находим угол α в градусах. Т.к. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то найти третий угол не составит труда, зная, что сумма всех его углов равна 180°.

Рассчитать углы равнобедренного треугольника зная длину катетов

Углы равнобедренного треугольника

Примечание. Тексты задач взяты с форума.


Задача 


Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая что угол против основания в 2 раза больше угла при основании.

Решение.


Обозначим величину угла при основании равнобедренного треугольника как х. Тогда, угол, лежащий против основания, будет равен 2х.

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то

2x + x + x = 180


4x = 180


x = 45

Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45 градусов, а угол, лежащий против основания  равен 2 * 45 = 90 градусам.

Ответ: 45, 45, 90 градусов


Задача


Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на 66 градусов больше угла, противолежащему основанию


Решение.


Пусть угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, будет равен х (икс). Тогда, каждый из углов, прилежащих к основанию (а в равнобедренном треугольнике оба угла, прилежащих к основанию равны) будет равен ( х + 66 )


Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180 градусам, получим:


х + 2 ( х + 66 ) = 180


х + 2х + 132 = 180


3х = 48


х = 16


Таким образом, мы нашли угол, противолежащий основанию. Откуда два других угла будут равны:


16 + 66 = 82 градуса


Ответ: углы равнобедренного треугольника равны 16, 82 и 82 градуса.

 Площа рівнобедреного трикутника |

Описание курса

| Высота равнобедренного треугольника 

   

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Тип утверждения Фигура Рисунок Формулировка
Определение Равнобедренный треугольник

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство Углы при основании равнобедренного треугольника

Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак Два равных угла треугольника

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак Высота треугольника, совпадающая с медианой

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение: равнобедренный треугольник

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника

Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак: два равных угла треугольника

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Определение равнобедренного треугольника

Определение:

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника

Свойство:

Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.

Признак равнобедренного треуголька: два равных угла треугольника

Признак:

Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.

Свойство медианы, биссектрисы и высоты, проведённых к основанию равнобедренного треугольника

Свойство:

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с медианой

Признак:

Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой

Признак:

Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным

Признак равнобедренного треугольника: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой

Признак:

Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников. [wiki.eduVdom.com]

Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем одну из них, например теорему 2.5.

Рис.1

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.

С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.

Рис.2

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.



Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.

Рис.3

Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.


Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Решение. Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 3).

Рис.3

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.


Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Рис.4

Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.

Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).


Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Рис.5

Найти угол D.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.


Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Видео-решение.



Равнобедренные треугольники | ЕГЭ по математике (профильной)

Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

Свойства:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые. 2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tg B={AC}/{BC};$

$ctg B={BC}/{AC}$.

  1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA= — cos BOC;$

$tg BOA= — tg BOC;$

$ctg BOA= — ctg BOC.$

Пример:

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Решение:

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

$cos⁡∠НСА={НС}/{АС}={НС}/{34}=0.15$

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

${НС}/{34}={15}/{100}$

$НС={34·15}/{100}=5. 1$

Ответ: $5.1$

Теорема Менелая:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

${АС_1}/{С_1 В}·{ВА_1}/{А_1 С}·{СВ_1}/{В_1 А}=1$

Теорема синусов.

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sin⁡β}={c}/{sin⁡γ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Пример:

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

${ВС}/{sin⁡A}=2R$

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

${16·5}/{4}=2R$

$R={16·5}/{4·2}=10$

Ответ: $10$

Теорема косинусов.

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα. $

Свойства равнобедренного треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Свойства равнобедренного треугольника

1. Теорема

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.

Доказать: В = С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

 

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.

Доказать: АD — медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.  

Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800,  тогда ADВ = ADС = 900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.

 

Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.

EFG — равносторонний:

  • ЕС — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
  • FK — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
  • GM — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники



Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс


Задание 119,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 241,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 261,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 362,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 637,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 668,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 703,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 823,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 879,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 1054,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







3 свойства равнобедренного треугольника (геометрия 7 класса)

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства равнобедренного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренным называют треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину (называются боковыми). Оставшаяся третья сторона является основанием фигуры.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны. Это значит, что α = β.

Обратная формулировка: 

Если углы при основании треугольника равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой угла и медианой, проведенной к основанию.

BD – медиана и высота к основанию AC, а также биссектриса угла ABC.

  • BD перпендикулярна AC => ∠ADB = ∠CDB = 90°
  • AD = DC
  • ∠ABD = ∠DBC

Свойство 3

Центры вписанной и описанной вокруг равнобедренного треугольника окружностей лежат на одном отрезке, являющимся биссектрисой, медианой и высотой, проведенной к основанию.

  • O1 и O2 – расположены на одном отрезке;
  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности.

Пример задачи

Дан равнобедренный треугольник, в котором длина основания в полтора раза больше боковой стороны. Периметр фигуры равняется 14 см. Найдите длины всех сторон.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи, приняв боковую сторону за a.

В таком случае, основание AC равняется 1,5a.
Периметр треугольника – это сумма всех его сторон:
AB + BC + AC = a + a + 1,5a = 3,5a = 14.
Т.е. a = 4.

Следовательно, боковая сторона равна 4 см, а основание – 6 см (4 см ⋅1,5).

Как найти углы равнобедренного треугольника

Что такое равнобедренный треугольник?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две равные стороны и два равных угла. Две равные стороны отмечены линиями, а два равных угла расположены напротив этих сторон.

Мы можем распознать равнобедренный треугольник, потому что у него есть две стороны, отмеченные линиями.

Ниже приведен пример равнобедренного треугольника.

У него две равные стороны, отмеченные маленькой синей линией.

Он имеет два равных угла, отмеченных красным.

Мы видим, что в этом равнобедренном треугольнике два основных угла имеют одинаковый размер.

Все равнобедренные треугольники имеют линию симметрии между двумя равными сторонами.

Стороны одинаковой длины помечены короткой линией.

Два равных угла противоположны двум равным сторонам.

Угол, под которым встречаются эти две отмеченные стороны, является нечетным и поэтому отличается от двух других углов.

Если нам говорят, что один из этих отмеченных углов равен 70 °, тогда другой отмеченный угол также должен быть 70 °.

Как найти недостающий угол в равнобедренном треугольнике

Чтобы найти недостающий угол в равнобедренном треугольнике, выполните следующие действия:

  • Если недостающий угол находится напротив отмеченной стороны, то недостающий угол совпадает с углом, противоположным другой отмеченной стороне.
  • Если отсутствующий угол не находится напротив отмеченной стороны, сложите два угла, противоположных отмеченным сторонам, и вычтите полученный результат из 180.

Это потому, что все три угла в равнобедренном треугольнике должны составлять 180 °.

Например, в равнобедренном треугольнике ниже нам нужно найти недостающий угол в вершине треугольника.

Два базовых угла расположены напротив отмеченных линий, поэтому они равны друг другу.

Оба базовых угла составляют 70 градусов.

Отсутствующий угол не находится напротив двух отмеченных сторон, поэтому мы складываем два основных угла вместе, а затем вычитаем этот результат из 180, чтобы получить наш ответ.

70 ° + 70 ° = 140 °

Два базовых угла в сумме составляют 140 °.

Углы в равнобедренном треугольнике составляют 180 °.

Мы вычитаем 140 ° из 180 °, чтобы увидеть, каков размер оставшегося угла.

180 ° — 140 ° = 40 °

Недостающий угол на вершине этого равнобедренного треугольника составляет 40 °.

Мы также можем подумать: «Какой угол нам нужно добавить к 70 ° и 70 °, чтобы получить 180 °?»

Ответ — 40 °.

Как найти недостающие углы в равнобедренном треугольнике только по одному углу

Если в равнобедренном треугольнике известен только один угол, то мы можем найти два других отсутствующих угла, выполнив следующие действия:

  • Если известный угол противоположен отмеченной стороне, то угол, противоположный другой отмеченной стороне, будет таким же. Сложите эти два угла вместе и вычтите ответ из 180 °, чтобы найти оставшийся третий угол.
  • Если известный угол не противоположен отмеченной стороне, вычтите этот угол из 180 ° и разделите результат на два, чтобы получить размер обоих отсутствующих углов.

Вот пример нахождения двух недостающих углов в равнобедренном треугольнике только с одного известного угла.

Мы знаем, что один угол равен 50 °. Этот угол противоположен одной из отмеченных сторон.

Это означает, что он того же размера, что и угол, противоположный другой отмеченной стороне. Это угол «а».

Следовательно, угол «а» тоже равен 50 °.

Теперь, чтобы найти угол «b», мы используем тот факт, что все три угла в сумме дают 180 °.

Чтобы найти угол «b», мы вычитаем оба угла по 50 ° из 180 °.Сначала мы складываем вместе два угла по 50 °.

50 ° + 50 ° = 100 °

и 180 ° — 100 ° = 80 °

Угол «b» равен 80 °, потому что все углы в треугольнике в сумме составляют 180 °.

Вот еще один пример нахождения недостающих углов в равнобедренных треугольниках, когда известен один угол.

На этот раз мы знаем угол, не противоположный отмеченной стороне. У нас 30 °.

Мы можем вычесть 30 ° из 180 °, чтобы увидеть, к чему складываются углы «a» и «b».

180 ° — 30 ° = 150 °

Итак, углы «a» и «b» в сумме составляют 150 °.

Поскольку оба угла «a» и «b» противоположны отмеченным сторонам, они равны друг другу.

Размер этих двух углов одинаков.

Мы делим 150 ° на две равные части, чтобы увидеть, чему равны углы «a» и «b».

150 ° ÷ 2 = 75 °

Это потому, что 75 ° + 75 ° = 150 °.

Оба угла «a» и «b» равны 75 °.

Мы видим, что три угла в равнобедренном треугольнике в сумме составляют 180 °.

75 ° + 75 ° + 30 = 180 °.

Что такое равнобедренный треугольник? — [Определение, факты и пример]

Что такое равнобедренный треугольник?

Треугольник с двумя сторонами равной длины является равнобедренным треугольником. Две равные стороны равнобедренного треугольника известны как «ноги», тогда как третья или неравная сторона известна как «основание».

В равнобедренном треугольнике углы, противоположные равным сторонам, всегда равны.В данном равнобедренном треугольнике, если AB = AC, то ∠B = ∠C

Вот несколько примеров равнобедренного треугольника:

Примеры из жизни

Многие вещи в мире имеют форму равнобедренного треугольника. Некоторые популярные примеры равнобедренного треугольника в реальной жизни — кусок пиццы, пара серег.

Без примеров

Общая недвижимость

  • Равные стороны равнобедренного треугольника известны как «ноги».’

  • Третья и неравная сторона равнобедренного треугольника известна как «основание».

  • Угол, образованный двумя равными сторонами равнобедренного треугольника, известен как «угол при вершине».

  • Углы, составляющие основу равнобедренного треугольника, известны как «углы основания».

  • Углы, расположенные напротив равных сторон равнобедренного треугольника, всегда равны.

  • Все три угла, расположенные внутри равнобедренного треугольника, являются острыми, что означает, что углы меньше 90 °.

  • Сумма трех углов равнобедренного треугольника всегда равна 180 °, что означает, что мы можем определить третий угол треугольника, если известны два угла равнобедренного треугольника.

Интересные факты

  • Термин «равнобедренный треугольник» происходит от латинского слова īsoscelēs и древнегреческого слова ἰσοσκελής (isoskelḗs), что означает «равноногий». Более того, древние вавилонские и египетские математики умели вычислять «площадь» задолго до того, как древнегреческие математики изучали равнобедренный треугольник.

  • Равнобедренная форма зданий не только делает их привлекательными, но и сейсмостойкими.

аналитическая геометрия — Расчет углов равнобедренного треугольника

аналитическая геометрия — Расчет углов равнобедренного треугольника — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
1к раз

$ \ begingroup $

В треугольнике ниже есть способ вычислить $ x $ и $ y $?

Чтобы быть более конкретным, $ b = 12. \ circ & = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {h} {a} = \ frac {10} {11.\ circ}
\ end {align}

Создан 04 июн.

CookieCookie

12.4k1313 золотых знаков4949 серебряных знаков110110 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

1

$ \ begingroup $

Обратите внимание, что верхняя половина диаграммы представляет собой прямоугольный треугольник, поэтому $ \ tan \ frac x2 = \ frac b {2a} $

Создан 04 июн.

Росс МилликенРосс Милликен

3,155 33 золотых знака233233 серебряных знака422422 бронзовых знака

$ \ endgroup $

2

$ \ begingroup $

Ну вот несколько подсказок:

* Высота равнобедренного треугольника до его основания также является медианой его основания. 2 — 2abcos (Y) $

Создан 04 июн.

$ \ endgroup $

2

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Что такое равнобедренный треугольник?

Математик Евклид, известный как «отец геометрии», жил около 300 г. до н.э.Он придумал правила, касающиеся равнобедренных треугольников. Но что такое равнобедренный треугольник? Чем он отличается от других треугольников? А как можно рассчитать его высоту, периметр и площадь? Вот ответы на эти и другие вопросы. И обязательно посмотрите другие видео из нашей серии «Геометрия»!

Что такое равнобедренный треугольник?

«Равнобедренный» происходит от греческих слов «isos» (что означает равный) и «skelos» (что означает нога). Как следует из этого названия, равнобедренный треугольник имеет две равные стороны с двумя равными углами, противоположными этим сторонам.Некоторые из других типов треугольников включают:

  • Прямой треугольник — треугольник с одним прямым углом (равный 90 градусам)
  • Равносторонний треугольник — треугольник с тремя равными сторонами и углами
    • Каждый равносторонний треугольник может также считается равнобедренным треугольником, но не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним.
  • Масштабный треугольник — треугольник без равных сторон
  • Острый треугольник — треугольник, в котором все три угла острые (менее 90 градусов)
  • Тупой треугольник — треугольник с одним тупым углом (более 90 градусов)
  • Следовательно, в зависимости от размера стороны и угла, ваш равнобедренный треугольник может быть острым, тупым, прямым или равносторонним треугольником.

    Части равнобедренного треугольника

    Две равные стороны равнобедренного треугольника — ноги, а третья сторона — основание. Угол между равными сторонами называется углом при вершине. При сложении все углы должны равняться 180 градусам.

    Высота

    Если бы вы провели воображаемую линию от угла вершины к основанию (под углом 90 градусов от основания), вы бы получили высоту вашего равнобедренного треугольника. Для расчета высоты используйте следующее уравнение:

    «a» — это длина ноги, а «b» — это базовая длина. После ввода этих чисел в уравнение, вы можете упростить его, используя порядок операций для определения длины высоты.

    Периметр

    Периметр — это размер вокруг внешней части формы. Чтобы рассчитать это, вам просто нужно добавить длину каждой стороны. Однако, поскольку есть две стороны одинаковой длины, вы можете упростить его до следующего уравнения:
    p = 2a + b

    Площадь

    Площадь — это количество единичных квадратов, которые могут уместиться в данной форме.Чтобы определить площадь равнобедренного треугольника, вы можете использовать следующую формулу:

    Как показано в уравнении, вам потребуются измерения для основания и высоты. Если высота не указана, вы можете сначала использовать уравнение высоты. Затем введите числа и решите область.

    Чтобы вычислить высоту, периметр и площадь треугольника, вам необходимо сначала определить тип треугольника. Таким образом, вы можете использовать правильные уравнения для получения точных результатов.

    О Джейми Гудвине

    Джейми окончил Университет Бригама Янга в Айдахо по специальности «Английский язык». Она провела несколько лет, обучая и обучая учеников начальной, средней школы и колледжа. В настоящее время она работает писателем по контракту и разработчиком учебных программ для онлайн-курсов. В свободное время она любит бегать и проводить время со своими мальчиками!

    Равнобедренных треугольников — Задача 2

    Напомним, что сумма линейной пары углов равна 180 °.В результате внутренний угол треугольника при внешнем угле равен 180 ° минус размер внешнего угла.

    Также напомним, что равнобедренный треугольник имеет две совпадающие стороны и два равных угла при основании. В результате, если известен один базовый угол, можно определить меру угла при вершине, используя теорему о сумме углов треугольника. Поскольку значения двух базовых углов известны (поскольку они совпадают, они имеют одинаковую меру), значение угла при вершине составляет 180 ° минус двукратное значение базового угла.

    Если мы посмотрим на эту проблему прямо здесь, мы увидим, что у нас есть равнобедренный треугольник. Дома вы, вероятно, думаете: «Мистер. Макколл, это не равнобедренный треугольник ». В этот момент я бы сказал: спасибо за ваше мнение, я знаю, что не умею рисовать, но две ключевые вещи. Во-первых, он нарисован не в масштабе, а во-вторых, вы никогда не сможете ничего предположить, основываясь только на чертеже. Что мы действительно знаем из этого рисунка, так это то, что у нас есть равнобедренный треугольник со сторонами, которые совпадают, и углами при основании, которые совпадают.

    Итак, я продолжу и отмечу, что эти два угла должны совпадать. Итак, вопрос, как можно использовать только одно число, 120 градусов, и узнать, что такое x? Первый шаг — это 120 градусов, и этот угол образует линейную пару, что означает, что в сумме они равны 180 градусам. Это 120, я знаю, что этот угол должен быть 60 градусов.

    Я знаю, что эти два основных угла должны быть совпадающими, что означает, что этот угол прямо здесь также должен быть 60 градусов, и я вижу прямо здесь, что 60 плюс 60 плюс x должно быть 180, что означает, что x должен быть 60 градусов.

    Итак, я смог решить это, используя только мысленную математику, теперь еще одну ключевую вещь: обратите внимание, что все три угла равны 60 градусам, что дает нам равносторонний треугольник. Что-то, что мне нравится в моем истинном и ложном разделах теста для этого раздела, — это равносторонний и равнобедренный треугольники? И ответ — да, потому что у равностороннего треугольника есть по крайней мере две стороны, которые совпадают, поэтому помните об этом, когда будете проходить тест.

    Нахождение недостающего угла в равнобедренном треугольнике (ключевой этап 2)

    Урок

    Чтобы найти недостающий угол равнобедренного треугольника, воспользуйтесь двумя фактами:

    На изображении ниже показан равнобедренный треугольник. Угол при вершине обозначен буквой A, а два базовых угла (которые равны друг другу) — буквой B.

    Если какой-либо из углов (A или B) неизвестен, его можно найти, если известен другой угол.

    Как найти недостающий угол в равнобедренном треугольнике

    Найти недостающий угол в равнобедренном треугольнике несложно.

    Метод различается в зависимости от того, является ли отсутствующий угол вершиной или базовым углом.

    Поиск отсутствующего угла при вершине

    Угол при вершине — это угол между двумя сторонами равной длины.

    Каков недостающий угол A в равнобедренном треугольнике ниже?

    Пошаговая инструкция:

    Какой угол какой?

    Недостающий угол A находится между двумя сторонами одинаковой длины. Это угол при вершине.

    Два других угла являются базовыми и равны друг другу.

    Сумма углов составляет 180 °.

    А + 70 ° + 70 ° = 180 °

    Найдите A, вычтя известные углы из 180 °.

    А = 180 ° — 70 ° — 70 ° = 40 °

    Ответ:

    Недостающий угол A составляет 40 °.

    Слайды урока

    Ползунок ниже показывает еще один реальный пример того, как найти недостающий угол при вершине в равнобедренном треугольнике.

    Откройте слайдер в новой вкладке

    Поиск отсутствующего базового угла

    Базовые углы — это два угла, которые не находятся между двумя сторонами одинаковой длины.

    Каков недостающий угол B в равнобедренном треугольнике ниже?

    Пошаговая инструкция:

    Какой угол какой?

    Недостающий угол B не находится между двумя сторонами одинаковой длины.Это базовый угол.

    Угол 30 ° — это угол при вершине, потому что он находится между двумя сторонами одинаковой длины.

    Другой не обозначенный угол — это другой базовый угол. Равно B.

    Сумма углов составляет 180 °.

    30 ° + B + B = 180 °

    30 ° + 2B = 180 °

    Вычтите известный угол из обеих частей уравнения.

    30 ° + 2B — 30 ° = 180 ° — 30 °

    2B = 150 °

    Разделите обе части уравнения на 2.

    2B ÷ 2 = 150 ° ÷ 2

    В = 75 °

    Ответ:

    Недостающий угол B составляет 75 °.

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами напротив них.

    Части равнобедренного треугольника

    У равнобедренного треугольника 2 равные стороны. Эти стороны называются ножками .

    Третья сторона называется базой .

    Равнобедренный треугольник имеет 2 равных угла. Это углы между каждой ножкой и основанием. Называются они базовыми углами .

    Угол между ножками называется углом при вершине .

    Помогите нам улучшить математику Monster

    • Вы не согласны с чем-то на этой странице?
    • Вы заметили опечатку?

    Сообщите нам, используя эту форму

    См. Также

    Что такое треугольник?

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Что такое угол?

    Доказательство теоремы об основных углах

    В этом уроке мы покажем вам, как легко доказать теорему об основных углах: базовые углы равнобедренного треугольника равны узлам.

    Мы докажем большинство свойств специальных треугольников, таких как равнобедренные треугольники, с помощью конгруэнтности треугольников, потому что это полезный инструмент для демонстрации того, что две вещи — два угла или две стороны — конгруэнтны, если они являются соответствующими элементами конгруэнтных треугольников.

    Итак, вот что мы хотим доказать: в равнобедренном треугольнике равны не только стороны, но и равные углы при основании.

    Задача

    Докажите, что в равнобедренном треугольнике ΔABC углы основания ∠ACB и ∠ABC совпадают.

    Стратегия

    Итак, как нам доказать теорему об основных углах?

    Эта проблема типична для задач геометрии, в которых конгруэнтность треугольников используется в качестве инструмента для доказательства свойств многоугольников.

    Треугольник конгруэнтности — полезный инструмент для работы. Если мы можем поместить две вещи, которые мы хотим доказать, одинаковы, в соответствующие места двух треугольников, а затем показать, что треугольники конгруэнтны, то мы показали, что соответствующие элементы конгруэнтны.

    Это основная стратегия, которую мы попытаемся использовать в любой геометрической задаче, которая требует доказательства равенства двух элементов (углов, сторон).

    Хорошо, но здесь у нас есть только , один треугольник , и для использования конгруэнтности треугольников нам нужны два треугольника. Итак, давайте подумаем о полезном способе создания здесь двух треугольников. Мы знаем, что ΔABC равнобедренный, что означает, что AB = AC, поэтому будет хорошо, если мы поместим эти две стороны в разные треугольники, и у них уже будет одна конгруэнтная сторона.

    Затем мы также хотим, чтобы ∠ACB и ∠ABC находились в разных треугольниках, чтобы доказать их соответствие.

    Соединяя эти две вещи вместе, имеет смысл создать следующие два треугольника, соединив A со средней точкой основания, CB:

    И теперь у нас есть два треугольника, ΔABD и ΔACD, углы которых мы хочу доказать, что они совпадают в соответствующих местах. Если мы покажем, что треугольники конгруэнтны, мы закончим с этим геометрическим доказательством.

    Итак, как показать, что треугольники равны? Легкий! Использование постулата сторона-сторона-сторона:

    Доказательство

    (1) ΔABC равнобедренное // Учитывая

    (2) AB = AC // Определение равнобедренного треугольника

    (3) BD = DC // Мы построили D как середина основания CB

    (4) AD = AD // Общая сторона обоих треугольников

    (5) △ ABD≅ △ ACD // Постулат SSS

    (6) ∠ACB ≅ ∠ABC // Соответствующий углы в конгруэнтных треугольниках (CPCTC)

    Другой способ доказать теорему об основных углах

    Я думаю, что единственной «сложной» частью приведенного выше доказательства была интуиция, необходимая для проведения линии, соединяющей A с серединой основания.Так что, если бы у вас не было этой интуиции? Что ж, к счастью, мы можем доказать это другим способом.

    Мы по-прежнему будем использовать конгруэнтность треугольника. Но на этот раз предположим, что вы не подумали провести линию к середине основания. Вместо этого, что, если мы нарисуем линию, которая делит пополам верхний (или верхний) угол:

    Снова у нас есть два треугольника, ΔABD и ΔACD, где углы, которые мы хотим доказать, совпадают, находятся в соответствующих местах.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.