Углы и окружность: Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Вписанные и центральные углы

      Определение 1. Центральным угломназывают угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Рис. 1

      Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Рис. 2

      Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

      Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Фигура Рисунок Теорема
Вписанный угол

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Посмотреть доказательство

Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный угол Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный угол Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Посмотреть доказательство

Вписанный угол

Теорема:

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Посмотреть доказательство

Теорема:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теорема:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теорема:

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теорема:

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Теорема:

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Посмотреть доказательство

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Посмотреть доказательство

Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и секущей

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный двумя касательными к окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Посмотреть доказательство

Угол, образованный секущими секущими, которые пересекаются вне круга
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и хордой хордой, проходящей через точку касания
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы:

Теорема

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

      Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

      Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).

Рис. 5

      Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства

      Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

      Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Рис. 6

      В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

      Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Рис. 7

      В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

      Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Величина угла, образованного секущими секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

      Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

      Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

      Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис. 11

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

      Теорема 6.Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют   π радиан. Поэтому справедливо равенство

α = π – γ .

      Далее получаем

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

 

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

 

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

 

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

 

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

 

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

 

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

 

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

 

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

 

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
 

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

 

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

 

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

 

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

 

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

 

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

 

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):

 

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

 

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).
 

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

 

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

 

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} —
\buildrel\smile\over{CA})\).

 

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB =
\angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle
MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA =
\frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} —
\frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} =
\frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

 

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.\circ — \alpha =
\frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

 

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

 

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

 

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB},
\buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

 

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

 

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

 

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

 

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).
 

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).{\circ}]\).

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).


$$
\overset{\smile}{AB}=\angle AOB
$$

Определение вписанного угла


Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле


Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB}
$$

Угол, опирающийся на диаметр


Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный

Угол, образованный хордами


Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right)
$$

Угол, образованный касательной и хордой


Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB}
$$

Угол с вершиной на окружности


Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right)
$$

Угол с вершиной в круге


Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.


\(
\alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)

Угол, образованный секущими


Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.



$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right)
$$

Угол, образованный касательными


Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.



$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right)
$$

Угол, образованный касательной и секущей


Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.



$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right)
$$

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right)
$$

Угол с вершиной вне круга


Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.


\(
\alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)

Центральные и Вписанные углы. Как найти?

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

ㄥAOB = ◡ AB

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

  • Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается и половине градусной меры центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° — AC — CB = 360 — 200 — 80 = 80
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360 = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому CAB = ½ от CB = 72/36 = 36°

Еще больше примеров и задачек на уроках математики в онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели объяснят любую, даже самую остроугольную тему. Ребенка ждут захватывающие примеры в интерактивном формате, карта прогресса в личном кабинете и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и занимайтесь в удовольствие!

Окружность и вписанный угол. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде \( \displaystyle 1,\text{ }2,\text{ }3,\frac{7}{5},\frac{2}{239}\) и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в \( \displaystyle 2,5\) раза или в \( \displaystyle \sqrt{17}\) раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву \( \displaystyle \pi \).

Итак, \( \displaystyle \pi \) – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём \( \displaystyle \pi \) радиан. Именно оттого, что половина окружности в \( \displaystyle \pi \) раз больше радиуса.

Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число \( \displaystyle \pi \), получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что

\( \displaystyle \pi \approx 3,14\)

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна \( \displaystyle 6,28\), а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква \( \displaystyle \pi \). И тогда эта длина окружности окажется равной \( \displaystyle 2\pi \). И конечно, длина окружности радиуса \( \displaystyle R\) равна \( \displaystyle 2\pi R\).

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится \( \displaystyle \pi \) радиан.

Центральный и вписанный угол, свойства

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: .

2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Мы знаем, что .
Отсюда ,
.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

Ответ: .

4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .

Ответ: .


Углы в окружности | Треугольники

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

∪AC=∠AOC.

II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

   

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

   

 

 

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

 

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между  его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

 

   

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

 

   

Прямоугольник со скругленными углами — Калькулятор геометрии

1D линия, круговая дуга, парабола, спираль, кривая Коха
2D
правильных многоугольников:
равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, нонагон, десятиугольник, шестиугольник, додекагон, шестиугольник, N-угольник, многоугольник кольцо

другие многоугольники:
треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник ИК-треугольник, четырехугольник, прямоугольник, золотой прямоугольник, ромб, параллелограмм, полуквадратный воздушный змей, воздушный змей, воздушный змей, правая трапеция, равнобедренная трапеция, треугольник, треугольник, трапеция, циклический четырехугольник, тангенциальный четырехугольник, стрелка, вогнутый четырехугольник, крест Антипараллелограмм, Форма дома, Симметричный пятиугольник, Вырезанный прямоугольник, Вогнутый пятиугольник, Вогнутый правильный пятиугольник, Параллелогон, Вытянутый шестиугольник, Вогнутый шестиугольник, Стрелка-шестиугольник, Прямоугольный шестиугольник, L-образная форма, Острый перегиб, T-образная форма, Усеченный квадрат, Рамка, Открытая рамка, сетка, крест, форма X, форма H, тройная звезда, четыре звезды, пентаграмма, гексаграмма, уникурсальная гексаграмма, октаграмма, звезда Лакшми, двойная звезда многоугольник, многоугольник, многоугольник

90 004 Круглые формы:
Круг, Полукруг, Круговой сектор, Круговой сегмент, Круговой слой, Круговой центральный сегмент, Круглый угол, Круглый угол, Круговая касательная стрелка, Форма капли, Полумесяц, Остроконечный овал, Ланцетная арка, Бугорок, Кольцо, Кольцевой сектор , Изогнутый прямоугольник, закругленный многоугольник, закругленный прямоугольник, эллипс, полуэллипс, эллиптический сегмент, эллиптический сектор, эллиптическое кольцо, стадион, спираль, бревно.Спираль, Треугольник Рило, Циклоида, Двойная циклоида, Астроид, Гипоциклоида, Кардиоида, Эпициклоида, Параболический сегмент, Сердце, Треугольник, Межрасовый треугольник, Круговой треугольник дуги, Четырехугольник Interarc, Межкруговый четырехугольник, Круговой четырехугольник дуги, Круговой дуговый многоугольник, Коготь — Ян, Арбелос, Салинон, Выпуклость, Луна, Три круга, Поликруг, Многоугольник с закругленными краями, Роза, Шестеренка, Овал, Профиль яйца, Лемниската, Сквикул, Круговой квадрат, Дигон, Сферический треугольник

3D
Платоновых тел:
тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

архимедова Solids:
усеченный тетраэдр, кубооктаэдр, усеченный куб, усеченный октаэдр, ромбокубооктаэдр, усеченный кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр, Snub куб, ромбоикосододекаэдр , Усеченный икосододекаэдр, Snub Додекаэдр

Каталонских Сухой остаток:
триакистетраэдр, ромбический додекаэдр, триакисоктаэдр, тетракисгексаэдр, дельтоидальный икоситетраэдр, гексакис октаэдр, ромбический триаконтаэдр, триакисикосаэдр, пентакисдодекаэдр, Пятиугольные Icositetrahedron, дельтоидальный гексеконтаэдр, гексакис Икосаэдр, Пятиугольный гексеконтаэдр

Твердые тела Джонсона:
Пирамиды, купола, ротонда, удлиненные пирамиды, гиро-удлиненные пирамиды, бипирамиды, удлиненные бипирамиды, гиро-продолговатая квадратная дипирамида, гиробифастигедрон, дисфагениум Sphenocorona, Disphenocingulum

Другие многогранники:
Кубоид, квадратный столб, треугольная пирамида, квадратная пирамида, правильная пирамида, пирамида, правильная пирамида, конус, правильная бипирамида, бипирамида, бифрустум, клин-фрустум, клин-фрустум Полутетраэдр, ромбоэдр, параллелепипед, правильная призма, призма, наклонная призма, антикуб, антипризма, призматоид, трапецоэдр, дисфеноид, угол, общий тетраэдр, клин-кубоид, полукубоид, скошенный кубоид, слиток, скошенная трехгранная призма , Усеченный кубоид, кубоид с тупыми краями, удлиненный додекаэдр, усеченный ромбоэдр, обелиск, изогнутый кубоид, полый кубоид, полая пирамида, полая створка, звездная пирамида, звездчатый октаэдр, малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр70004, большой додекаэдр70004 Круглые формы:
Сфера, полусфера, сферический угол, цилиндр, отрезной цилиндр, наклонный цилиндр, изогнутый цилиндр, эллиптический цилиндр, обобщенный Цилиндр, конус, усеченный конус, косой круговой конус, эллиптический конус, биконус, усеченный биконус, заостренный столб, закругленный конус, капля, сфероид, эллипсоид, полуэллипсоид, сферический сектор, сферическая крышка, сферический сегмент, сферический центральный сегмент, двойной калотт , Сферический клин, полуцилиндр, диагонально разрезанный пополам цилиндр, цилиндрический клин, цилиндрический сектор, цилиндрический сегмент, цилиндр с плоским концом, полуконус, конический сектор, конический клин, сферическая оболочка, полусферическая оболочка, цилиндрическая оболочка, цилиндрическая оболочка с вырезом, косо-цилиндрическая оболочка , Полый конус, усеченный полый конус, сферическое кольцо, тор, шпиндельный тор, тороид, сектор тора, сектор тороида, арка, тетраэдр Рело, капсула, сегмент капсулы, двойная точка, антиконус, усеченный антиконус, сферический цилиндр, линза, вогнутый Линза, ствол, форма яйца, параболоид, гиперболоид, олоид, твердые тела Штейнмеца, твердое тело вращения

4D
Тессеракт, Гиперсфера

Anzeige

Расчеты для прямоугольника со скругленными углами, прямоугольника с закругленными углами.Введите длину и ширину прямоугольника, а также радиус круга, образующего углы. Выберите количество десятичных знаков, затем нажмите «Рассчитать».

Формулы:
d = √ (a — 2r) ² + (b — 2r) ² + 2r
p = 2 * [a + b — r * (4 — π)]
A = ab — r² * (4 — π)

pi:
π = 3,141592653589793 …

Длина, ширина, радиус, диагональ и периметр имеют одни и те же единицы измерения (например, метр), площадь — это квадрат (например,квадратный метр).

Доля:

© Jumk.de Webprojects


Anzeige

Круглый угол — Калькулятор геометрии

1D линия, круговая дуга, парабола, спираль, кривая Коха
2D
правильных многоугольников:
равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, нонагон, десятиугольник, шестиугольник, додекагон, шестиугольник, N-угольник, многоугольник кольцо

другие многоугольники:
треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник ИК-треугольник, четырехугольник, прямоугольник, золотой прямоугольник, ромб, параллелограмм, полуквадратный воздушный змей, воздушный змей, воздушный змей, правая трапеция, равнобедренная трапеция, треугольник, треугольник, трапеция, циклический четырехугольник, тангенциальный четырехугольник, стрелка, вогнутый четырехугольник, крест Антипараллелограмм, Форма дома, Симметричный пятиугольник, Вырезанный прямоугольник, Вогнутый пятиугольник, Вогнутый правильный пятиугольник, Параллелогон, Вытянутый шестиугольник, Вогнутый шестиугольник, Стрелка-шестиугольник, Прямоугольный шестиугольник, L-образная форма, Острый перегиб, T-образная форма, Усеченный квадрат, Рамка, Открытая рамка, сетка, крест, форма X, форма H, тройная звезда, четыре звезды, пентаграмма, гексаграмма, уникурсальная гексаграмма, октаграмма, звезда Лакшми, двойная звезда многоугольник, многоугольник, многоугольник

90 004 Круглые формы:
Круг, Полукруг, Круговой сектор, Круговой сегмент, Круговой слой, Круговой центральный сегмент, Круглый угол, Круглый угол, Круговая касательная стрелка, Форма капли, Полумесяц, Остроконечный овал, Ланцетная арка, Бугорок, Кольцо, Кольцевой сектор , Изогнутый прямоугольник, закругленный многоугольник, закругленный прямоугольник, эллипс, полуэллипс, эллиптический сегмент, эллиптический сектор, эллиптическое кольцо, стадион, спираль, бревно.Спираль, Треугольник Рило, Циклоида, Двойная циклоида, Астроид, Гипоциклоида, Кардиоида, Эпициклоида, Параболический сегмент, Сердце, Треугольник, Межрасовый треугольник, Круговой треугольник дуги, Четырехугольник Interarc, Межкруговый четырехугольник, Круговой четырехугольник дуги, Круговой дуговый многоугольник, Коготь — Ян, Арбелос, Салинон, Выпуклость, Луна, Три круга, Поликруг, Многоугольник с закругленными краями, Роза, Шестеренка, Овал, Профиль яйца, Лемниската, Сквикул, Круговой квадрат, Дигон, Сферический треугольник

3D
Платоновых тел:
тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

архимедова Solids:
усеченный тетраэдр, кубооктаэдр, усеченный куб, усеченный октаэдр, ромбокубооктаэдр, усеченный кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр, Snub куб, ромбоикосододекаэдр , Усеченный икосододекаэдр, Snub Додекаэдр

Каталонских Сухой остаток:
триакистетраэдр, ромбический додекаэдр, триакисоктаэдр, тетракисгексаэдр, дельтоидальный икоситетраэдр, гексакис октаэдр, ромбический триаконтаэдр, триакисикосаэдр, пентакисдодекаэдр, Пятиугольные Icositetrahedron, дельтоидальный гексеконтаэдр, гексакис Икосаэдр, Пятиугольный гексеконтаэдр

Твердые тела Джонсона:
Пирамиды, купола, ротонда, удлиненные пирамиды, гиро-удлиненные пирамиды, бипирамиды, удлиненные бипирамиды, гиро-продолговатая квадратная дипирамида, гиробифастигедрон, дисфагениум Sphenocorona, Disphenocingulum

Другие многогранники:
Кубоид, квадратный столб, треугольная пирамида, квадратная пирамида, правильная пирамида, пирамида, правильная пирамида, конус, правильная бипирамида, бипирамида, бифрустум, клин-фрустум, клин-фрустум Полутетраэдр, ромбоэдр, параллелепипед, правильная призма, призма, наклонная призма, антикуб, антипризма, призматоид, трапецоэдр, дисфеноид, угол, общий тетраэдр, клин-кубоид, полукубоид, скошенный кубоид, слиток, скошенная трехгранная призма , Усеченный кубоид, кубоид с тупыми краями, удлиненный додекаэдр, усеченный ромбоэдр, обелиск, изогнутый кубоид, полый кубоид, полая пирамида, полая створка, звездная пирамида, звездчатый октаэдр, малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр70004, большой додекаэдр70004 Круглые формы:
Сфера, полусфера, сферический угол, цилиндр, отрезной цилиндр, наклонный цилиндр, изогнутый цилиндр, эллиптический цилиндр, обобщенный Цилиндр, конус, усеченный конус, косой круговой конус, эллиптический конус, биконус, усеченный биконус, заостренный столб, закругленный конус, капля, сфероид, эллипсоид, полуэллипсоид, сферический сектор, сферическая крышка, сферический сегмент, сферический центральный сегмент, двойной калотт , Сферический клин, полуцилиндр, диагонально разрезанный пополам цилиндр, цилиндрический клин, цилиндрический сектор, цилиндрический сегмент, цилиндр с плоским концом, полуконус, конический сектор, конический клин, сферическая оболочка, полусферическая оболочка, цилиндрическая оболочка, цилиндрическая оболочка с вырезом, косо-цилиндрическая оболочка , Полый конус, усеченный полый конус, сферическое кольцо, тор, шпиндельный тор, тороид, сектор тора, сектор тороида, арка, тетраэдр Рело, капсула, сегмент капсулы, двойная точка, антиконус, усеченный антиконус, сферический цилиндр, линза, вогнутый Линза, ствол, форма яйца, параболоид, гиперболоид, олоид, твердые тела Штейнмеца, твердое тело вращения

4D
Тессеракт, Гиперсфера

Anzeige

Расчеты на скругленном углу, а точнее на четверти круга, наиболее простая форма скругленного угла.Это пересекающийся набор квадрата с длиной ребра a и круга с радиусом a, где один угол квадрата находится в центре круга. Недостающий кусок, часть квадрата за пределами четверти круга, также называется перемычкой. Введите одно значение и выберите количество десятичных знаков. Затем нажмите Рассчитать.

Формулы:
l = 1/2 π а
р = 1 + 2 * а
A 1 = 1/4 π a²
A 2 = a² — A 1

pi:
π = 3.141592653589793 …

Длины и периметр имеют одну и ту же единицу измерения (например, метр), площади имеют эту единицу квадрата (например, квадратный метр).

Доля:

© Jumk.de Webprojects


Anzeige

Пи = 4? — Поделиться математическими идеями

Можно подумать, что это означает, что длина окружности круга должна быть такой же, как периметр квадрата. Ведь новые фигуры становятся все более круглыми после каждой операции по удалению углов.

Интересных вещей: Тролль Пи отмечает, что « предел последовательности не обязательно является членом этой последовательности ». Последовательность приближений не обязательно совпадает с окончательным значением.

Обратите внимание, что предельное значение не меняется при изменении формы периметра. Обычно ожидается, что последовательные приближения сделают значение более подходящим от одной операции к следующей операции удаления большего количества углов. Поскольку периметр имеет постоянное значение, равное четырем, очевидно, что существует некоторый разрыв между периметром любой новой фигуры и окружностью круга.

Вы можете повторять операцию до бесконечности, добавляя больше точек, но всегда будет больше точек вне линии, чем на линии. Сформулированная как предел, переменная, управляющая количеством шагов, является целым числом, а длина строки дается действительным числом. Таким образом, набор ступеней даже в предельном случае длиннее диагонали.

Архимед пытался аппроксимировать кривую линией, и кривая, в отличие от ступенек, действительно выглядит более плоской и плоской по мере приближения.Шаги всегда будут шагами, но все меньшее и меньшее приближение к кривой напоминает линию. Предельный случай многоугольника — это действительно круг, а шаги всегда просто шаги.

точный ответ на этот вопрос дает математический анализ. Этот зигзагообразный путь действительно приближается к кругу , поэтому на поверхности можно было ожидать, что он будет такой же длины. Однако длина кривой больше зависит от ее производной (наклона) и в меньшей степени от ее положения.

Например, если бы вы бросили перепутанную 10-футовую веревку в 1-футовую коробку, вы бы не сказали, что коробка 10 футов в поперечнике. Прежде чем делать какие-либо выводы, лучше распрямить веревку.

Конструкция вверху (pi = 4) просто показывает верхнюю границу и это не точное значение.

Аналогично, если мы нарисуем квадрат внутри круга, диагональ круга будет диагональю квадрата…

Диагональ квадрата = 1

Сторона квадрата = 1 / √2

Периметр квадрата = 4 / √2 = 2√2

Теперь давайте изменим квадрат так, чтобы периметр новой формы приближался к периметру круга…

Периметр новой формы = 2√2

Периметр круга = 2√2

Итак, это изображение дает нижнюю границу периметра круга

Мы уже знаем периметр круга = пи

По верхней и нижней границам периметра круга узнаем факт

2√2

Нравится:

Нравится Загрузка. 2 = 1, это круг с центром в начале координат и радиусом 1.1 / n = 1, где n — целое число, кривая выпирает из формы круга в сторону квадрата. И, как вы можете ожидать, когда вы увеличите n достаточно большим, кривая приблизится к форме квадрата. Теперь для любого n, достаточно большого, вы можете регулировать кривизну краев сколько угодно.

Однако я привел только пример квадрата, и его можно изменить, взяв эллипс с большими осями a и b и прямоугольник длиной a и шириной b. В этом случае x-> x / a и y-> y / b дадут аналогичный результат.Фактически, вы даже можете получить прямоугольник с закругленными углами, как указано вами в комментариях, но это также способ, которым вы можете его получить. Надеюсь, ты понял.

«Периметр — это пространство за пределами формы». — Математические ошибки

Сегодня я гулял с некоторыми учениками третьего класса. Их задачей было найти площадь и периметр каких-то фигур. Эта девушка работала с такой фигурой, за исключением не совсем этой:

В частности, форма, с которой она работала, имела периметр 22 и площадь 21.Однако она посчитала площадь 21 для обоих. Она уже однажды позвала меня, чтобы спросить, считаете ли вы каждую из сторон углового квадрата по периметру. Мое паучье чутье вспыхнуло, но я не знал, как помочь, поэтому сказал ей, что каждая сторона имеет значение для периметра. Она казалась подозрительной, но смирилась. Потом она снова позвала меня.

Девушка: Подождите … как это возможно, чтобы периметр и площадь совпадали?

Я: Это действительно интересный вопрос.Мне любопытно: а что вообще за периметр?

Девушка: Ну … Периметр … Это вещь, но она вне чего-то.

Я: Хе-хе. Неплохое начало …

Девушка: Итак, периметр — это пространство за пределами формы. Площадь — это пространство внутри формы.

Я: Круто, это очень интересно!

На этом этапе я вроде как построил теорию по поводу ее первоначального вопроса. Может быть, она думает о периметре как о трехмерном пространстве, а не о линейном пространстве.Это могло объяснить ее замешательство по поводу того, что пространство вокруг фигуры равно пространству в форме. Может быть, это также источник ее сомнений по поводу двойного счета сторон квадрата по периметру. (Хотя это не подходит для супер-колодца.)

Я решил продвинуть ее определение.

Me: Итак, периметр — это пространство за пределами формы. Так это весь периметр? [Я нарисовал фигуру и закрасил область вокруг нее.]

Девушка: Нет! Нет, не может быть, потому что тогда это будет продолжаться для всех из этого пространства.Это примерно так:

Я: Интересно! У меня вопрос по поводу твоей фотографии. Важно ли, чтобы линии выпирали из формы? Могли бы вы нарисовать его там, где линии не выходят за его пределы?

Девушка: Нет, важно, чтобы они выделялись.

На тот момент я не знал, что делать, поэтому просто попытался объяснить, что периметр и площадь измеряют разные вещи. Я привел конкретные примеры периметра («Это как забор»), но мне не казалось, что объяснения застряли в ней.

Мне любопытно услышать все ваши мысли об этом взаимодействии. Мой вывод — учебный. Площадь и периметр — это разные понятия, и им не обязательно выгодно быть представленными вместе и на контрасте друг с другом. Может быть, лучше представить каждого по отдельности и сравнивать их друг с другом только после того, как учащиеся получат твердое представление о значении каждого понятия.

Свойства поперечного сечения прямоугольника со скругленными углами | calcresource

Определения

Геометрия

Площадь A и периметр P поперечного сечения прямоугольника со скругленными углами, имеющего стороны длиной b, h и радиус закругленного угла r, находятся по следующим формулам:

\ begin {split } & A & = bh — (4r ^ 2- \ pi r ^ 2) \\ & P & = 2 (b + h) — 8 r + 2 \ pi r \ end {split}

Момент инерции

Момент инерции (второй момент площади) прямоугольника относительно оси xx, проходящей через его центр тяжести, параллельно его основанию b, задается следующим выражением:

I_ {x, R} = \ frac {bh ^ 3} {12}

, где b — ширина основания, в частности размер, параллельный оси, а h — высота (точнее, размер, перпендикулярный оси).Для поперечного сечения прямоугольника с закругленными углами влияние вырезаемых угловых областей следует исключить из указанного выше момента инерции. Учитывая, что их 4, на равных расстояниях от оси x, момент инерции скругленного прямоугольника равен:

I_ {x} = I_ {x, R} -4I_ {x, \ textrm {corner}}

где I_ {x, \ textrm {corner}} момент инерции вырезаемого угла вокруг оси xx. Найти это будет проще, если форма выреза рассматривается как разница между квадратом со стороной r и четвертью круга, как показано на следующем рисунке и описывается формулой:

I_ {x, \ textrm {corner }} = I_ {x, \ textrm {square}} — I_ {x, \ textrm {circle-qt}}

Момент инерции квадрата вокруг оси x, I_ {x, \ textrm {square}}, может быть найден, учитывая, что расстояние его центроида от оси: 0.2 \ end {split}

Момент инерции (второй момент или площадь) используется в теории балок для описания жесткости балки при изгибе. Изгибающий момент M, приложенный к поперечному сечению, связан с его моментом инерции следующим уравнением:

M = E \ times I \ times \ kappa

где E — модуль Юнга, свойство материала, и κ кривизна балки из-за приложенной нагрузки. Следовательно, из предыдущего уравнения видно, что когда к поперечному сечению балки прилагается определенный изгибающий момент M, развиваемая кривизна обратно пропорциональна моменту инерции I.

Полярный момент инерции описывает жесткость поперечного сечения по отношению к крутящему моменту, аналогично планарные моменты инерции, описанные выше, связаны с изгибом при изгибе. Расчет полярного момента инерции I z вокруг оси zz (перпендикулярной сечению) можно выполнить с помощью теоремы о перпендикулярных осях:

I_z = I_x + I_y

, где I x и I y — моменты инерции относительно осей xx и yy, которые взаимно перпендикулярны zz и пересекаются в общем начале.4.

Модуль упругости сечения

Модуль упругости S x сечения любого сечения вокруг оси x-x (центроидный) описывает реакцию сечения при упругом изгибе при изгибе. Он определяется как:

S_x = \ frac {I_x} {Y}

, где I x — момент инерции сечения относительно оси xx, а Y — расстояние от центра тяжести точки сечения (также известной как волокно, обычно самый дальний), измеренный перпендикулярно оси xx. Применение приведенной выше формулы к поперечному сечению прямоугольника с закругленными углами дает его модуль упругости относительно оси xx:

S_x = \ frac {2I_x} {h}

Аналогично, для модуля упругости S y относительно оси yy , которая также является осью симметрии, приведенные выше определения записываются как:

\ begin {split} & S_y & = \ frac {2I_z} {b} \ end {split}

Если изгибающий момент M x приложена к оси xx, сечение будет реагировать нормальными напряжениями, линейно изменяющимися с расстоянием от нейтральной оси (которая в упругом режиме совпадает с центроидальной осью xx).3.

Модуль упругости пластического сечения

Модуль пластического сечения аналогичен модулю упругого сечения, но определяется исходя из предположения о полной пластической текучести сечения из-за изгиба при изгибе. В этом случае вся секция делится на две части, одну на растяжение и одну на сжатие, каждая из которых находится под однородным полем напряжений. Для материалов с равными напряжениями текучести при растяжении и сжатии это приводит к разделению сечения на две равные области: A t при растяжении и A c при сжатии, разделенных нейтральной осью.Ось называется пластической нейтральной осью, и для несимметричных участков она не совпадает с упругой нейтральной осью (которая снова является центроидной). Модуль упругости пластического сечения определяется по общей формуле:

Z = A_c Y_c + A_t Y_t

, где Y c — расстояние от центра тяжести области сжатия A c от нейтральной оси пластика и Y t. соответствующее расстояние от центра тяжести области растяжения A t . По определению, термины A_c Y_c и A_t Y_t представляют первые моменты площади зон сжатия и растяжения, S_c и S_t, соответственно, поэтому модуль пластичности можно записать как:

Z = S_c + S_t

Для случая В прямоугольнике с закругленными углами пластиковая нейтральная ось проходит через центр тяжести, разделяя всю площадь на две равные части, и, кроме того, S_c = S_t.2} {4} \ left (\ frac {h} {2} -r + \ frac {4r} {3 \ pi} \ right) \ end {split}

Для приведенного выше расчета площадь вырезанного угла была рассматривается как разность квадрата со стороной r и четверти круга того же радиуса.

Аналогичным образом, пластический модуль прямоугольника с закругленными углами относительно центральной оси y-y, перпендикулярной его основанию, может быть найден путем чередования размеров b и h в последних формулах.

Радиус вращения

Радиус вращения R g поперечного сечения относительно оси определяется по формуле:

R_g = \ sqrt {\ frac {I} {A}}

где I момент инерции поперечного сечения относительно той же оси и A его площадь.Размеры радиуса вращения [Длина]. Он описывает, насколько далеко от центроида распределена область. Малый радиус указывает на более компактное сечение.

Периметр и окружность | SkillsYouNeed

Как и многие математические термины, слово периметр появилось в работах ранних греческих математиков. Оно образовано от греческих слов «пери», что означает «вокруг», и «метрон», что означает «измерение». Периметр — это буквально единиц измерения вокруг .

В повседневном использовании вы могли встретить такие фразы, как периметр ограждения , периметр недвижимости или периметр безопасности . Это означает, что забор или средство обеспечения безопасности находятся по краям, внешним границам или краям измеряемой площади земли или собственности.

Понимание того, как рассчитать периметр, — полезный математический навык как для учебы, так и для реальной жизни, будь то выполнение геометрических вычислений, разметка игрового поля или замена забора.

Периметр или граница?


Определение границы — это разделительная линия между двумя областями. В крикете граница — это линия, обозначающая край поля.

Периметр — это измеренная длина такой границы. В геометрии он определяется как сумма расстояний всех длин сторон объекта. Периметр измеряется в любых единицах длины, например. метры, сантиметры, мили или дюймы.Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу, посвященную измерительным системам .

Итак, в обычном языке эти два понятия часто используются как синонимы. Однако в математическом контексте мы используем только периметр .

Окружность — это очень специфический тип периметра, который относится только к круглым формам и формам. Подробнее об этом позже.


Измерение периметра правильных многоугольников

Периметр двумерной фигуры — это общая длина всех сторон, сложенных вместе.

Например, периметр квадрата с длиной стороны 6 м — это просто четыре участка по 6 м, то есть 4 × 6 м = 24 м. У квадрата четыре стороны равной длины, сложенные вместе.

Квадрат с любой длиной стороны s , следовательно, имеет периметр, равный 4 × s, или просто 4 s .

Периметр по сравнению с площадью


Не путайте между периметром и площадью . В то время как периметр является измерением контура формы, область является измерением пространства, содержащегося внутри периметра.

Таким образом, в то время как периметр измеряется в единицах длины, площадь измеряется в квадратных единицах, например м 2 , см 2 или дюймы 2 .

Подробнее о площади измерения см. На нашей странице Расчет площади .

Вы можете использовать тот же принцип для определения периметра любого правильного многоугольника , имеющего любое количество сторон равной длины:

Если у многоугольника количество сторон n , вся длина s , то его периметр всегда равен n × s , или просто ns .

Так, например, если у вас есть семиугольник (7 сторон) с длиной стороны 15 см, тогда длина периметра будет 7 × 15 = 105 см.

Для получения дополнительной информации о правильных, неправильных и других многоугольниках (формы с прямыми сторонами), включая полезную диаграмму с иллюстрациями, см. Нашу страницу, посвященную свойствам многоугольников .

Измерение периметра неправильных многоугольников
Правильный многоугольник имеет все стороны и внутренние углы равны, неправильный многоугольник — нет.

Прямоугольник, который, например, не является точным квадратом, имеет две пары сторон равной длины, но все четыре стороны не одинаковой длины.

Пример

Найдите периметр прямоугольного футбольного поля размером 105 × 68 м.

Длины противоположных сторон равны друг другу, поэтому вам нужно сложить два участка по 105 м и два участка по 68 м.

2 × 105 = 210 м
2 × 68 = 136 м
210 + 136 = 346 м

Периметр поля 346м .


Неправильные многоугольники могут быть образованы любой комбинацией прямых линий, которые соединяются, образуя область. Независимо от того, насколько сложна форма, периметр всегда будет суммой длин сторон .

Форма ниже может быть садовым участком или чем-то еще, о чем вы можете подумать. С геометрической точки зрения, это восьмиугольная замкнутая двумерная форма, у которой нет сторон одинаковой длины и нет внутренних углов одинакового размера.

Это неправильный восьмиугольник (8 сторон), а его периметр равен a + b + c + d + e + f + g + h.


Пример

Рассчитайте периметр шаблона ниже, размеры указаны в дюймах.

Начиная с левого нижнего угла и двигаясь вокруг формы по часовой стрелке, сложите длины сторон:

5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 3 + 4 + 9 = 32 дюйма.

Периметр формы 32 дюйма.



Окружность

Окружность — это особый тип периметра, который применяется исключительно к круглым формам.

Измерение длины окружности

Математическое выражение для вычисления длины окружности:

2 × π × радиус или просто 2πr

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу, поэтому выражение для длины окружности также можно записать: πD .

Пи №


π (пи) — греческая буква, которая используется в математике для обозначения константы с приблизительным значением 3.142 (это иррациональное число с бесконечными десятичными знаками). Для получения дополнительной информации см. Наши страницы, посвященные кругам и изогнутым формам и специальным номерам .

Пример

Садовник должен перекрасить линии футбольного поля в приведенном выше примере и знать, сколько краски нужно купить. Он рассчитал периметр поля, а также знает длину средней линии, так как она совпадает с короткой стороной поля.Он также уверенно измеряет периметр штрафных площадок, ведь это тоже простые прямоугольники. Однако ему нужно знать длину окружности центрального круга.

Он измерил его радиус, и он составляет 9,15 м.

Окружность = 2πr

2 × π × 9,15 = 57,5 ​​м (округлено до одного десятичного знака)

Окружность центрального круга составляет 57,5 ​​м .

Измерение длины окружности эллипса

Не все изогнутые формы являются идеально круглыми, и иногда может потребоваться найти периметр эллипса (сжатый или удлиненный круг).2} {2}} \), где a и b — половина длины малой оси и большой оси соответственно. (Подробнее об эллипсах см. На нашей странице, посвященной кругам и изогнутым формам ).

Это уравнение дает только приблизительное значение (≈). Чем более вытянутым становится эллипс, тем неточнее ответ. Математики придумали несколько сложных формул для решения этой проблемы. Ни один из них не достиг 100% точности в математическом смысле, но маловероятно, что вам понадобится такой высокий уровень точности, если вы не работаете в инженерии или дизайне.

Инструменты торговые


Есть много профессий и занятий, которые могут потребовать от вас физических измерений периметров и границ, например, гражданское строительство, геодезия, ландшафтная архитектура, дизайн сада и обслуживание спортивных площадок.

Необходимо не только понимать основные математические принципы, указанные выше, но и иметь более продвинутые математические инструменты, такие как тригонометрия . Важна не только длина линий, но и точное измерение углов между этими линиями.

Помимо математических знаний, существует еще интересный и разнообразный инструментарий, необходимый для такого рода занятий. Относительно короткие расстояния можно измерить с помощью стальных лент или мерных колес. Устройства электронного измерения расстояния (EDM), в которых используются электромагнитные волны, чаще используются геодезистами. Они используются вместе с другими инструментами, такими как уровни и теодолиты, которые обеспечивают точность и точность угловых измерений с использованием математического метода, называемого триангуляцией .

Однако, если вам просто нужно заменить садовый забор, вам, вероятно, подойдет рулетка и клубок веревки!


Дополнительные материалы по навыкам, которые вам нужны


Понимание геометрии
Часть необходимых навыков Руководство по счету

Эта электронная книга охватывает основы геометрии и рассматривает свойства форм, линий и твердых тел. Эти концепции выстроены в книге с отработанными примерами и возможностями, позволяющими вам практиковать свои новые навыки.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь детям в учебе, эта книга для вас.


Заключение

Периметр — это математический термин, используемый для определения общей длины краев многогранной двумерной замкнутой формы (многоугольника). В случае круглых форм это называется окружностью.

Многие профессии требуют этих математических навыков, часто используемых в сочетании с гораздо более сложной геометрией и тригонометрией.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *