Тригонометрии примеры: Тригонометрические уравнения в 10 классе, примеры и решения

Содержание

Тригонометрические уравнения в 10 классе, примеры и решения

Дата публикации: .

Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:
Тригонометрические уравнения (PPTX)


Что будем изучать:

1. Что такое тригонометрические уравнения?
2. Простейшие тригонометрические уравнения.
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

x/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0; π].

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

x= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок [0; π].
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin2(x) + cos2(x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos2(x) + 3 cos (x) = 0

2 cos2(x) — 3 cos(x) -2 = 0

введем замену t=cos(x): 2t2 -3t — 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):

Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?

Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t2 + 2 t — 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:22 — 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2(x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin2(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos2(3x) =0

6)Решить уравнение:cos2(2x) -1 — cos(x) =√3/2 -sin2(2x)

Решение тригонометрических уравнений | Математика, которая мне нравится

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение при решений не имеет,

при имеет решения ,

при  имеет решения ,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение при решений не имеет,

при имеет решения ,

при  имеет решения >,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. заменяем на , — на .

Пример 1.

   

   

Пример 2.

   

2. заменяем на , — на , — на .

Пример 1.

   

1) 2) ,
В первом случае решений нет, во втором .

Пример 2.

   

   

Пример 3.

   

3. Однородные уравнения относительно .

   

Если , то деля обе части уравнения на или на , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и . Подставляя в уравнение, получаем, что и , а это невозможно.

Пример.

   

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на

Пример.

   

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

   

   

5. Использование формулы

Пример.

   

6. Замена .
Пример.

   

   

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

   

Пример 1.

   

Ответ. .

Пример 2.

   

   

,  решений нет,

   

Ответ. , .

Понижение степени

Использование формул

   

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

   

что невозможно.

Ответ. .
Пример 2.

   

Ответ. .
Пример 3.

   

Пусть

   

Подставляем во второе уравнение:

   

Ответ. .

Пример 4.

   

или

   

Если , то . Если , то .

   

Ответ. .

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.

   Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

Комментарий

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение

   Данное уравнение равносильно уравнению

                                  3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x.                                     (1)

Если обозначить sin x + cos x = у, то

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =

Тогда  или  Получаем  (корней нет, поскольку ) или  Отсюда  Тогда

Ответ:

   З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b. Аналогично для  используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

   Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Задача 2. Решите уравнение 

         Оценим область значений функции 

         Поскольку  то есть 

         Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

         Приравнивая правые части этих равенств, получаем

         Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm,.

Задача 3. Решите уравнение 

Комментарий

         Преобразуем левую часть по формуле  и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение

         Данное уравнение равносильно уравнению


(1)

        

 

Обозначим: . Поскольку 

         Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

         Из первого уравнения системы имеем , откуда 

         Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому 

Ответ:

   Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

   В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу 

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений  Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.

Задача 4. Решите уравнение

Комментарий

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение ,  и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

  1. Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в                уравнение (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
  2. При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

   Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение

  1. Если , то из данного уравнения получаем:

– верное равенство.

Таким образом, – корни уравнения (1).

  1. Если , получаем:


(2)

 

        Замена tg x = t приводит к уравнению  которое при  и  равносильно уравнению . Тогда 

Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:

   Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, исполь­зуя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

 

Уравнение cos x = a

  

 

 

Примеры решения задач

 

 

Уравнение sin x = a

 

Примеры решения задач

 

Уравнение tg x = a и ctg x = a

 

 

Примеры решения задач

  

Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром:


  1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.


  2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.


  3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.


  4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение ил используем специальные приемы решения.

Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции

 

Решение простейших тригонометрических неравенств

 

 

 

Тригонометрические уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ:

3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

Решим уравнение:

Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:

Ответ:

4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
Здесь используем формулу понижения степени:
(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
угла). Получаем:
и дальше ясно.

5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
Переносим косинус влево и применяем формулу приведения
Дальше — дело техники.

6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
Цель достигнута.

Рассмотрим уравнение:
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
откуда

(3)

Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что  :

В левой части получили синус суммы:
,
откуда и

2. Другой пример:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
Делим обе части на :

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,
или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

4. Снова решим уравнение
Делим обе части на :
Существует угол такой, что . Например, . Получаем:
,
,
,
,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнение
Выражаем , используя универсальную подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем  и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
Следовательно, и .
Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3. Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Учёт тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,
,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: .

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение

Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:
,
,
,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить  через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
,
,
,

Как действовать дальше, мы знаем.

3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :
,
,

Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

Выделяем полный квадрат!
,
,
,
,
,
,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
Получим:
,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

 

Тригонометрия для чайников. Урок1. Тригонометрия с нуля

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

 

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinα=Противолежащий катетгипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosα=Прилежащий катетгипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tgα=Противолежащий катетПрилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctgα=Прилежащий катетПротиволежащий катет

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin∠A=CBAB

cos∠A=ACAB

tg∠A=sin∠Acos∠A=CBAC

ctg∠A=cos∠Asin∠A=ACCB

sin∠B=ACAB

cos∠B=BCAB

tg∠B=sin∠Bcos∠B=ACCB

ctg∠B=cos∠Bsin∠B=CBAC

 

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках (−1;0) и (1;0), ось y в точках (0;−1) и (0;1)

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=∪SA.

 

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

 

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cosα=OBOA=OB1=OB

sinα=ABOA=AB1=AB

Поскольку OCAB – прямоугольник, AB=CO.

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

 

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:

 

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x.Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

 

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos150°=−32

sin150°=12

 

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

 

sin2α+cos2α=1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике OAB:

 

AB2+OB2=OA2

sin2α+cos2α=R2

sin2α+cos2α=1

 

30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

 

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

 

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin180°=sin(180°−0°)=sin0°

sin150°=sin(180°−30°)=sin30°

sin135°=sin(180°−45°)=sin45°

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°

 

cos180°=cos(180°−0°)=−cos0°

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°

cos135°=cos(180°−45°)=−cos45°

cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°

 

Рассмотрим тупой угол β:

 

Для произвольного тупого угла β=180°−α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin(180°−α)=sinα

cos(180°−α)=−cosα

tg(180°−α)=−tgα

ctg(180°−α)=−ctgα

 

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

 

asin∠A=bsin∠B=csin∠C

 

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

 

asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R

 

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

a2=b2+c2−2bc⋅cos∠A

b2=a2+c2−2ac⋅cos∠B

c2=a2+b2−2ab⋅cos∠C

 

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

 

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

 

Тригонометрические функции как решать примеры. Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения? Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х — угол, который нужно найти,
а — любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π
n, n ∈ Z

Для тангенса:

х = arctg a + π
n, n ∈ Z

Для котангенса:

х = arcctg a + π
n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно!
С опаской записывает, как бы чего не вышло…) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a,

второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда.
При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а

на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a,

второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π
n, n ∈ Z

х 2 = — arccos a + 2π
n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π
n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов,
вам и задания «С» будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала… Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой.

Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π
n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли…)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

х 2 = 5π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π
n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что
arcsin 0,5 = π
/6.
Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π
/6
+ π
n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2

(это правильный ответ!) и через одинокий х

(и это правильный ответ!) — одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х 1

значения n

=0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6


и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2

, получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6


и так далее.

А теперь подставляем значения n

(0; 1; 2; 3; 4…) в общую формулу для одинокого х

. Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6


и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты,
что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов.
Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π
n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π
n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π
n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π
n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π
n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это… того… из лужи.) Правильный ответ: решений нет.

Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, — 1; 0; √3; 1/2; √3/2

и т.п. — ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да…) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn,


а где
n.

Вот вам простой приёмчик. Во всех
формулах стоит πn.


Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn.


Два
пиэн. Ключевое слово — два.
В этой же единственной формуле стоят два
знака в начале. Плюс и минус. И там, и там — два.

Так что, если вы написали два
знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два
пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ±
, доберётся до конца, напишет правильно два
пиэн, да и спохватится. Впереди-то два
знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тригонометрические уравнения — тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π
/4) = ctg(2x-π
/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

И тому подобное…

Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый — вы не поверите — в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций.
И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи,
например, sin2x + 3x = 3,
это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.

Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями.
Почему? Да потому, что решение любых
тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором — решается это самое простое уравнение. Иначе — никак.

Так что, если на втором этапе у вас проблемы — первый этап особого смысла не имеет.)

Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь а

обозначает любое число. Любое.

Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:

cos(3x+π
/3) = 1/2

и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.

Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь — с использованием памяти и формул — рассмотрим в следующем уроке.

Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)

Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.

Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако… Трудно же вам в тригонометрии придётся…) Но не беда. Загляните в уроки «Тригонометрический круг…… Что это такое?» и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге». Там всё просто. В отличие от учебников…)

Ах, вы в курсе!? И даже освоили «Практическую работу с тригонометрическим кругом» !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс — ему всё едино. Принцип решения один.

Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:

cosx = 0,5

Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.

Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели

тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим

угол. Останется только записать ответ.) Да-да!

Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:

Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите
этот самый угол х.

Косинус какого угла равен 0,5?

х = π
/3

cos60°
= cos(π
/3
) = 0,5

Кое-кто скептически хмыкнет, да… Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно… Можно, конечно, хмыкать…) Но дело в том, что это — ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.

Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот
, точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится
на 360° или 2π
радиан, а косинус — нет.
Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.

Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество… И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все.
Иначе решение не считается, да…)

Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество
решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:

х = π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно
приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)

π
/3

— это тот самый угол, который мы увидели
на круге и определили
по таблице косинусов.


— это один полный оборот в радианах.

n

— это количество полных, т.е. целых
оборотов. Понятно, что n

может быть равно 0, ±1, ±2, ±3…. и так далее. Что и указано краткой записью:

n ∈ Z

n

принадлежит (

) множеству целых чисел (Z

). Кстати, вместо буквы n

вполне могут употребляться буквы k, m, t

и т.д.

Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n

. Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)

Или, другими словами, х = π
/3

— это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π
/3 прибавить любое количество полных оборотов (n

) в радианах. Т.е.
n

радиан.

Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению.
Эту первую часть решения я запишу вот как:

х 1 = π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

х 1

— не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.

Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!

Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:

Наводим мышку на картинку и видим
ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5.
Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые… Да! Он равен углу х

, только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х.

Но икс-то мы уже вычислили. π
/3 или
60°. Стало быть, можно смело записать:

х 2 = — π
/3

Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:

х 2 = — π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели
(кто понимает, конечно)) все
углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:

х 1 = π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

х 2 = — π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

Это правильный ответ.

Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений
с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ.
Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели
на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)

Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:

Прошу учесть, что число 0,5 — это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.

Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:

Сначала разбираемся с углом х

в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:

х = π
/6

Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:

х 1 = π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол…
Это похитрее, чем в косинусах, да… Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х?

Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х

равен углу х

. Только отсчитан он от угла π
в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.

Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:

π
— х

Икс мы знаем, это π
/6

. Стало быть, второй угол будет:

π
— π
/6 = 5π
/6

Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:

х 2 = 5π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:

х 1 = π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

х 2 = 5π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.

В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан.
А теперь расширим наши возможности на все остальные значения.
Решать, так решать!)

Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:

Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.

Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем… Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт «обратных тригонометрических функций» нету… Лишнее это в данной теме.

Если вы в курсе, достаточно сказать себе: «Икс — это угол, косинус которого равен 2/3». И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:

Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:

х 1 = arccos 2/3 + 2π
n, n ∈ Z

Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:

х 2 = — arccos 2/3 + 2π
n, n ∈ Z

И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cos x = 0,5.

Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х

по его косинусу. Табличный это косинус, или нет — кругу неведомо. Что это за угол, π
/3, или арккосинус какой — это уж нам решать.

С синусом та же песня. Например:

Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:

И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5.
Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!

Вот и готова первая пачка корней:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π
n, n ∈ Z

Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:

π
— х

Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:

х 2 = π
— arcsin 1/3 + 2π
n, n ∈ Z

Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)

Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах — те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.

Применим знания на практике?)

Решить тригонометрические уравнения:

Сначала попроще, прямо по этому уроку.

Теперь посложнее.

Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)

А теперь внешне простенькие… Их ещё частными случаями называют.

sinx
= 0

sinx
= 1

cosx
= 0

cosx
= -1

Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна… И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)

Ну и совсем простые):

sinx
= 0,3

cosx
= π

tgx
= 1,2

ctgx
= 3,7

Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)

Ответы, разумеется, в беспорядке):

х 1
= arcsin0,3 + 2π
n, n ∈ Z
х 2
= π
— arcsin0,3 + 2

Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво
(есть такое устаревшее слово…) И по ссылкам походите. Главные ссылки — про круг. Без него в тригонометрии — как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень.n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

    Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

    Уравнение cos (x) = a

    Объяснение и обоснование

    1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | 1 или при а

    Пусть | а |

    у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

    Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

    x 2 = -arccos а.

    Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а |

    Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

    x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

    1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

    Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

    а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

    Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

    Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

    x = 2πп, k € Z.

    Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

    Уравнение sin (x) = a

    Объяснение и обоснование

    1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | 1 или при а

    Тригонометрия

    Тригонометрия (от греч. Тригонон «треугольник» + метрон «мера»)

    Хотите изучить тригонометрию? Вот краткое изложение.
    Чтобы узнать больше, перейдите по ссылкам или перейдите в Индекс тригонометрии

    Тригонометрия … всего около треугольника.

    Тригонометрия помогает нам находить углы и расстояния и широко используется в науке, технике, видеоиграх и многом другом!

    Прямоугольный треугольник

    Наибольший интерес представляет прямоугольный треугольник.Прямой угол показан маленькой рамкой в ​​углу:

    Другой угол часто обозначается как θ, и тогда три стороны обозначаются:

    • Соседний : рядом (рядом) угол θ
    • Напротив : напротив угла θ
    • , а самая длинная сторона — Гипотенуза

    Почему прямоугольный треугольник?

    Почему этот треугольник так важен?

    Представьте, что мы можем измерять по длине и вверх, но хотим знать прямое расстояние и угол:

    Тригонометрия может найти недостающий угол и расстояние.

    Или, может быть, у нас есть расстояние и угол, и нам нужно «нарисовать точку» вдоль и вверх:

    Подобные вопросы часто встречаются в инженерии, компьютерной анимации и т. Д.

    И тригонометрия дает ответы!

    Синус, косинус и тангенс

    Основные функции в тригонометрии: Синус, косинус и тангенс

    Это просто одна сторона прямоугольного треугольника, разделенная на другую.

    Для любого угла « θ «:

    (Синус, косинус и тангенс часто сокращаются до sin, cos и tan.)

    Пример: Что такое синус 35 °?

    Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

    sin (35 °) = Напротив Гипотенуза = 2,8 4,9 = 0,57 …

    Треугольник может быть больше, меньше или перевернут, но этот угол всегда будет иметь соотношение .

    У калькуляторов

    в помощь нам есть sin, cos и tan, поэтому давайте посмотрим, как ими пользоваться:

    Пример: Насколько высокое дерево?

    Мы не можем дотянуться до вершины дерева, поэтому мы уходим и измеряем угол (с помощью транспортира) и расстояние (с помощью лазера):

    • Мы знаем Гипотенуза
    • И мы хотим знать напротив

    Синус — это отношение Противоположность / Гипотенуза :

    грех (45 °) =
    Напротив
    Гипотенуза

    Возьмите калькулятор, введите «45», затем нажмите клавишу «sin»:

    sin (45 °) = 0.7071 …

    Что означает 0,7071 … ? Это отношение длин сторон, так что Противоположность примерно на 0,7071 в раз длиннее Гипотенузы.

    Теперь мы можем поставить 0,7071 … вместо sin (45 °):

    0,7071 … = Напротив Гипотенуза

    И мы также знаем, что гипотенуза равна 20 :

    0,7071 … = Напротив 20

    Чтобы решить, сначала умножьте обе части на 20:

    20 × 0.7071 … = Напротив

    Наконец:

    Напротив = 14,14 м (с точностью до 2 знаков после запятой)

    Когда вы наберетесь опыта, вы сможете сделать это быстро следующим образом:

    Пример: Насколько высокое дерево?

    Начать с: sin (45 °) =
    Напротив
    Гипотенуза

    Мы знаем: 0,7071 … =
    Напротив
    20

    Поменять местами:
    Напротив
    20
    = 0.7071 …

    Умножить обе стороны на 20 : Противоположное = 0,7071 … × 20

    Вычислить: Противоположное = 14,14 (до 2 знаков после запятой)

    Дерево 14,14 м высотой

    Попробуйте Sin Cos and Tan

    Поиграйте с этим некоторое время (перемещайте мышь) и ознакомьтесь со значениями синуса, косинуса и тангенса для разных углов, таких как 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

    Также попробуйте 120 °, 135 °, 180 °, 240 °, 270 ° и т. Д. И обратите внимание, что позиции могут быть положительными или отрицательными по правилам декартовых координат, поэтому синус, косинус и тангенс также изменяются между положительным и отрицательным .

    Итак, тригонометрия — это тоже окружности !

    Единичный круг

    То, с чем вы только что играли, — это Unit Circle.

    Это круг радиусом 1 с центром в 0.

    Поскольку радиус равен 1, мы можем напрямую измерить синус, косинус и тангенс.

    Здесь мы видим синусоидальную функцию единичной окружности:

    Примечание: вы можете увидеть красивые графики, состоящие из синуса, косинуса и тангенса.

    градусов и радианов

    Углы могут быть в градусах или радианах. Вот несколько примеров:

    Уголок градусов Радианы
    Прямоугольный 90 ° π / 2
    __ Прямой угол 180 ° π
    Полное вращение 360 °

    Повторяющийся узор

    Поскольку угол равен вращения вокруг окружности , функции синуса, косинуса и тангенса повторяются один раз при каждом полном повороте (см. Амплитуда, Период, Фазовый сдвиг и Частота).

    Когда мы хотим вычислить функцию для угла, превышающего полный оборот на 360 ° (2π радиан), мы вычитаем столько полных оборотов, сколько необходимо, чтобы вернуть его ниже 360 ° (2π радиан):

    Пример: какой косинус равен 370 °?

    370 ° больше 360 °, поэтому вычтем 360 °

    370 ° — 360 ° = 10 °

    cos (370 °) = cos (10 °) = 0,985 (до 3 знаков после запятой)

    А когда угол меньше нуля, просто добавьте полные обороты.

    Пример: какой синус у −3 радиана?

    −3 меньше 0, поэтому добавим 2π радиан

    −3 + 2π = −3 + 6,283 … = 3,283 … радиан

    sin (−3) = sin (3,283 …) = −0,141 (до 3 знаков после запятой)

    Решение треугольников

    Тригонометрия также полезна для обычных треугольников, а не только для прямоугольных.

    Это помогает нам разгадывать треугольники. «Решение» означает поиск недостающих сторон и углов.

    Мы также можем найти недостающие стороны.Общее правило:

    Когда мы знаем какие-либо 3 стороны или углы, мы можем найти остальные 3
    (за исключением случая с тремя углами)

    См. Раздел «Решение треугольников» для более подробной информации.

    Другие функции (котангенс, секанс, косеканс)

    Подобно синусу, косинусу и касательности, есть еще три тригонометрические функции , которые выполняются делением одной стороны на другую:

    Косеканс, функция:

    csc ( θ ) = Гипотенуза / Напротив

    Секущая функция:

    сек ( θ ) = Гипотенуза / Соседняя

    Функция котангенса:

    детская кроватка ( θ ) = рядом / напротив

    Тригонометрические и треугольные идентичности

    И по мере того, как вы станете лучше разбираться в тригонометрии, вы сможете выучить эти:

    Наслаждайтесь становлением экспертом по треугольникам (и кругам)!

    Тригонометрические функции: определение и примеры — видео и стенограмма урока

    Примеры из реальной жизни

    Эти тригонометрические функции находят практическое применение в геодезии, строительстве, инженерии и даже в медицине.Вот один из практических способов использования этих функций для решения проблемы:

    Угол возвышения самолета составляет 23 градуса, а его высота — 2500 метров. Как далеко это?

    Мы пытаемся решить этот прямоугольный треугольник относительно гипотенузы x. Так как длина стороны, которую мы знаем, противоположна известному углу, мы можем использовать функцию синуса.

    Sin (23) = 2500 м / x

    x = 6398.3 метра

    Как решать задачи

    Эти отношения можно использовать для решения любой стороны или угла прямоугольного треугольника. Предоставленная вам информация поможет вам определить, какую функцию использовать.

    Пример:

    Решите для b, если вы знаете, что c составляет 2,5 км, а B — 15,7 градуса.

    Поскольку нам известны измерения угла, противоположного той стороне, которую мы пытаемся найти, и гипотенузы, мы можем использовать либо синус, либо функцию косеканса.Чаще всего при решении этих задач используются функции синуса, косинуса и тангенса, поскольку их легче вычислить с помощью калькулятора. Итак, мы будем использовать синусоидальную функцию для этой задачи.

    Sin (15,7) = b / 2,5 км

    0,271 = b / 2,5 км

    b = 0,6765 км

    Попробуйте это:

    Решите треугольник ABC, учитывая, что угол A равен 35 градусам, а c — 15 футов.

    Мы мало что знаем об этом треугольнике, но поскольку это прямоугольный треугольник и нам известны как минимум две другие стороны или углы, мы можем использовать тригонометрические функции для решения остальных задач. Проще всего начать с определения угла B. Поскольку все треугольники имеют угловые меры, которые в сумме составляют 180 градусов, для решения B нужно просто вычесть .

    180 — 90 — 35 = B

    B = 55 градусов

    Затем мы можем использовать синус и косинус для решения сторон a, и b. Используя угол A, и гипотенузу, уравнение, которое необходимо решить для стороны a , выглядит следующим образом:

    Sin (35 градусов) = a /15 футов

    a = 8,6 футов

    Уравнение для решения для стороны b :

    Cos (35 градусов) = b /15 футов

    b = 12,3 фута

    Краткое содержание урока

    Шесть основных тригонометрических функций : синус, косинус, тангенс, секанс , косеканс и котангенс.Они полезны для определения высот и расстояний и имеют практическое применение во многих областях, включая архитектуру, геодезию и инженерию.

    Результаты обучения

    Как только вы просмотрите урок, примените свои знания, чтобы:

    • Указать шесть тригонометрических функций
    • Назовите стороны треугольника
    • Распознавать взаимосвязь между сторонами треугольника и тригонометрическими функциями
    • Использование тригонометрических функций для решения задач

    Тригонометрия

    Тригонометрия — это изучение треугольников.

    Стороны любого прямоугольного треугольника можно обозначить как
    .
    Гипотенуза, смежная и противоположная.

    Гипотенуза всегда противоположна прямому углу.

    Это самая длинная сторона треугольника.

    Смежная — это сторона, которая образует часть требуемого угла.
    Противоположная сторона — это сторона, находящаяся прямо напротив требуемого угла.

    или от верхнего угла

    Передаточные числа

    Передаточным числам даны специальные названия:
    синус, косинус и тангенс.

    Они сокращаются до sin, cos и tan

    .

    Чтобы найти угол или сторону, следуйте этому рецепту: —

    • Найдите и нарисуйте треугольник
    • .

    • Отметить прямой угол
    • Определите и отметьте угол, который будет использоваться / найден
    • Метка напротив, гипотенуза и прилегающая
    • Коэффициент записи
    • Записать решение

    Всегда рисовать эскиз

    Использование Tan для определения угла

    Пример

    Самолет находится на высоте 73 м над зданием и в 200 м от точки приземления.
    Рассчитайте угол θ˚ глиссады самолета.
    Ответьте правильно с точностью до одного десятичного знака.

    Угол глиссады самолета 20,1˚ (1dp)

    Использование Tan для поиска стороны

    Пример

    Самолет находится в 200 метрах от точки приземления на глиссаде 30˚.
    Насколько высоко над землей находится самолет?
    Ответьте правильно с точностью до одного десятичного знака.

    Высота самолета 115,5м (1dp)

    Использование синуса для поиска стороны

    Пример

    Лыжник мчится по 150-метровой рампе с углом наклона 30 °.
    Насколько высоко над землей находится стартовый флаг?

    Стартовый флаг находится на высоте 50 метров над землей.

    Использование синуса для определения угла

    Пример

    Лыжник мчится по трапу длиной 200 метров.
    Начало пандуса находится на высоте 100 м над уровнем земли.
    Какое значение θ˚, угол наклона рампы?

    Угол наклона аппарели 30˚.

    Использование Cos для поиска стороны

    Пример

    Корабль стоит на якоре.Цепь длиной 150 м составляет угол 30 от точки крепления к морскому дну. Точка якоря находится на высоте 5 м над уровнем воды. Насколько глубоко в воде находится якорь? Дайте ответ с точностью до метра.

    Использование Cos для нахождения угла

    Пример

    Корабль стоит на якоре. Цепь длиной 150 м находится в 75 м от точки привязки. Каково значение θ˚, угла от морского дна до якорной точки в носовой части судна?

    Какое соотношение следует использовать?

    Для решения триггерных задач можно использовать следующий рецепт: —

    1. Найдите и нарисуйте треугольник
    2. .

    3. Отметить прямой угол
    4. Определите и отметьте угол, который будет использоваться / найти
    5. Метка напротив, гипотенуза и прилегающая
    6. Выпишите

    1. Тест с двумя клещами: —
      Отметьте, что вы знаете
      Отметьте что хотите
      Найдите две отметки и используйте это соотношение
    2. Запишите соотношение и решите.
    3. Записать решение

    Пример

    Насколько высоко по стене находится лестница?

    (Ответьте на 2д.п.)

    Отметьте, что вы знаете Соседний
    Отметьте желаемое напротив

    Найдите две отметки и используйте это соотношение.

    (здесь используйте загар)

    Лестница 1.73м (2dp) вверх по стене.

    Нахождение площади треугольника

    Какова площадь этого треугольника?

    Метод 1
    Нарисуйте перпендикуляр BD.
    Используйте базовую тригонометрию, чтобы определить длину BD.
    (Это высота треугольника.)

    Затем используйте Площадь = 1/2 x основание x высота перпендикуляра

    Итак,

    A = 1/2 x основание x высота
    А = 1/2 х 12 х 9.511
    А = 57,063391
    A = 57,1 см2 (1 дп)

    Метод 2

    Назовите стороны противоположных вершин строчными буквами.

    т.

    Пример

    В пустыне строят голливудскую съемочную площадку. Художник подходит к квадратной пирамиде из-за песчаной дюны.
    База составляет 11 м, высота наклона — 9 м, а угол между основанием и высотой наклона — 52 °.

    Вычислите площадь грани показанной пирамиды.

    Правило синуса

    Какова длина переменного тока?

    • Назовите стороны противоположных вершин строчными буквами.
    • Нарисуйте перпендикулярный CD.
    • Используйте базовую тригонометрию, чтобы определить длину CD.

    Это дает

    и

    Итак,

    Используя буквы,

    и

    Что дает правило синуса

    Пример

    К нефтяной вышке приближается вертолет.Расстояние от вертолета до буровой — 10 км.
    С мостика танкера буровая вышка идет строго на восток, а вертолет несет 040 ° на расстоянии 15 км.

    Какой подшипник у вертолета от нефтяной вышки?
    Ответьте правильно с точностью до градуса.

    Правило косинуса

    Какая длина BC?

    • Назовите стороны противоположных вершин строчными буквами.

    Нет пар — нельзя использовать правило синуса

    • Нарисуйте перпендикуляр BD.
    • Используйте базовую тригонометрию, чтобы найти длины BD и AD

    и

    • Используйте теорему Пифагора, чтобы найти BC

    Это известно как правило косинуса

    .

    Перестановка дает

    Пример

    За спутником следят телескоп обсерватории и передатчик.
    Когда угол места телескопа составляет 40˚, известно, что спутник находится на расстоянии 6500 км от обсерватории.

    Расстояние между обсерваторией и передатчиком 50 км, на высоте уровня.

    На каком расстоянии находится спутник от передатчика?
    Дайте ответ с точностью до километра.

    Используйте правило косинуса

    Пример

    Шаттл привязан двумя цепями длиной 120 м.
    Расстояние между точками крепления на земле — 100 м.

    Какое значение имеет угол θ˚? Ответьте правильно с точностью до 1 знака после запятой.

    Какое правило использовать

    ААА — 3 угла

    недостаточно информации

    AAS — 2 уголка, 1 сторона

    Используйте правило синуса

    АСС — 1 угол (не входит в комплект), 2 стороны

    Неоднозначный случай: либо используйте правило синуса дважды, либо используйте правило косинуса с квадратичной формулой.

    Использование правила синуса:

    Использование правила косинуса

    Теперь решите по формуле корней квадратного уравнения

    т.

    или

    Отменить отрицательное значение, так как длина не может быть отрицательной.

    SAS — Уголок в комплекте, 2 стороны

    Используйте правило косинуса

    SSS — 3 стороны

    Используйте правило косинуса

    © Александр Форрест

    Тригонометрия — математика для старших классов

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Базовые тригонометрические соотношения: примеры

    Базовый
    Тригонометрические отношения: примеры
    (стр.
    2 из 2)


    • Перечислить значения
      sin (α) ,
      cos (α) ,
      sin (β) ,
      и
      tan (β)
      для треугольника ниже с точностью до трех десятичных знаков:

      Для любого угла гипотенуза имеет
      длина 9.7.
      Для угла α
      «напротив» — 6,5
      а «смежный» — 7,2,
      так что синус α будет
      быть «напротив гипотенузы», или 6,5 / 9,7 = 0,6701030928 …;
      а косинус α будет
      быть «смежным по гипотенузе», или 7,2 / 9,7 = 0,7422680412 ….
      Для угла β
      «напротив» — 7,2
      а «смежный» — 6,5,
      так что синус β будет
      быть 7,2 / 9,7 = 0,7422680412…
      а касательная к β будет
      быть «противоположным по соседнему», или 7,2 / 6,5 = 1,107692308 ….
      Округляя до трех знаков после запятой, получаем:

        sin (α)
        = 0,670,
        cos (α) = 0,742, sin (β)
        = 0,742,
        tan (β) = 1,108

    После того, как вы запомните триггерные отношения,
    вы можете начать использовать их, чтобы найти другие значения.Скорее всего, вам нужно будет использовать
    Калькулятор. Если в вашем калькуляторе нет клавиш или пунктов меню с
    «SIN», «COS» и «TAN», то теперь
    время обновляться! Убедитесь, что вы тоже умеете пользоваться калькулятором; в
    руководство пользователя должно содержать четкие инструкции.

    • В показанном треугольнике
      ниже найдите значение
      x ,
      с точностью до трех знаков после запятой.

      Мне дали измеритель угла и
      длина стороны, «противоположной» этому углу, и спросили
      меня за длину гипотенузы.Коэффициент синуса «противоположен»
      над гипотенузой «, чтобы я мог преобразовать то, что они мне дали, в уравнение:

      Мне нужно воткнуть это в свой калькулятор
      чтобы получить значение x :
      х = 190,047286 …

    Примечание. Если на вашем калькуляторе отображается значение
    из 71.19813587 …,
    затем проверьте «режим»: ваш калькулятор установлен на «радианы»
    а не до «градусов». Вы узнаете о радианах
    потом.

    • Для треугольника
      показано, найти значение
      y ,
      с точностью до четырех знаков после запятой.

      Мне дали угол, значение
      для «смежных» и переменная для «противоположных»,
      так что я могу составить уравнение:

      Подключив это к моему калькулятору,
      Получаю у =
      14.44183406 ….

    • Найдите углы, указанные буквами на схеме. Дайте каждый ответ
      исправить до ближайшего целого числа.
    • Поначалу это выглядит довольно устрашающе.Но затем я замечаю, что, чтобы найти длину высоты r ,
      Я могу использовать базовый угол 30
      и полная длина базы 60,
      потому что r /60
      «противоположно» по отношению к «смежному», то есть
      касательная.

      Я должен округлить до ближайшего целого числа,
      Итак, r = 35.

      Теперь, когда у меня есть значение r ,
      Я могу использовать r и
      другой базовый угол, 55,
      чтобы найти длину другой базы, с ,
      при использовании r / s
      = загар (55):

      р
      = 35,
      с = 25

    Примечание: поскольку отношения синуса и косинуса
    предполагают разделение отрезка (одной из двух более коротких сторон) гипотенузой,
    значения никогда не будут больше 1,
    потому что (некоторое число) / (большее число) из прямоугольного треугольника всегда
    будет меньше 1.Но вы можете иметь действительно широкие и короткие или действительно высокие и тощие.
    треугольники, поэтому «противоположные» и «смежные» могут иметь очень
    разные значения. Это говорит о том, что тангенциальное отношение, будучи (противоположным)
    / (смежный), может иметь очень большие и очень маленькие значения, в зависимости от
    треугольник.

    << Предыдущая Вверх | 1
    | 2
    | Вернуться к индексу

    Цитируйте эту статью
    как:

    Стапель, Елизавета.«Основные тригонометрические соотношения: примеры». Purplemath .
    Доступно по номеру
    https://www.purplemath.com/modules/basirati2.htm .
    Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

    Синус, косинус, касательная, объяснение и примеры и практика определения противоположных, смежных сторон и гипотенузы

    На этой странице объясняются синус, косинус и коэффициент тангенса, дается обзор их диапазона значений и приводятся практические задачи по определению сторон, противоположных и смежных с заданным углом.

    Функции синуса, косинуса и тангенса выражают отношения сторон прямоугольного треугольника.

    К каким треугольникам ниже относится SOHCAHTOA?

    Покажи ответ

    Интерактивные уголки

    SOHCAHTOA

    Попробуйте активировать $$ \ angle A $$ или $$ \ angle B $$, чтобы изучить способ изменения соседней и противоположной сторон в зависимости от угла.

    Статус:
    Угол активирован:
    $$ \ red {none} \ text {, ждем, пока вы выберете угол.} $$

    Ответ: синус угла всегда является отношением $$ \ frac {противоположная сторона} {гипотенуза} $$.

    $
    синус (угол) = \ гидроразрыв {\ текст {противоположная сторона}} {\ текст {гипотенуза}}
    $

    Пример 1

    $$
    грех (\ угол \ красный L) = \ гидроразрыв {противоположный} {гипотенуза}
    \\
    грех (\ угол \ красный L) = \ гидроразрыва {9} {15}
    $$

    Пример 2

    $$
    грех (\ угол \ красный K) = \ гидроразрыв {противоположный} {гипотенуза}
    \\
    sin (\ angle \ red K) = \ frac {12} {15}
    $$

    Помните: Когда мы используем слова «противоположный» и «смежный», мы всегда должны иметь в виду определенный угол.

    Диапазон значений синуса

    Для тех, кто знаком с «Math Speak», домен и диапазон синуса следующие.

    • Домен синуса = все действительные числа
    • Диапазон синуса = {-1 ≤ y ≤ 1}

    Синус угла имеет диапазон значений от -1 до 1 включительно.Ниже приведена таблица значений, иллюстрирующая некоторые ключевые синусоидальные значения, охватывающие весь диапазон значений.

    Уголок Синус угла
    270 ° sin (270 °) = -1 (наименьшее значение, которое может иметь синус)
    330 ° sin (330 °) = -½
    0 ° грех (0 °) = 0
    30 ° sin (30 °) = ½
    90 ° sin (90 °) = 1 (максимальное значение, которое может иметь синус)

    Косинус угла всегда является отношением (смежная сторона / гипотенуза).

    $
    косинус (угол) = \ frac {\ text {прилегающая сторона}} {\ text {гипотенуза}}
    $

    Пример 1

    $$
    cos (\ angle \ red L) = \ frac {смежный} {гипотенуза}
    \\
    cos (\ angle \ red L) = \ frac {12} {15}

    $$

    Пример 2

    $$
    cos (\ angle \ red K) = \ frac {смежный} {гипотенуза}
    \\
    cos (\ angle \ red K) = \ frac {9} {15}

    $$

    Диапазон значений косинуса

    Для тех, кто знаком с «Math Speak», домен и диапазон косинуса следующие.

    • Область косинуса = все действительные числа
    • Диапазон косинуса = {-1 ≤ y ≤ 1}

    Косинус угла имеет диапазон значений от -1 до 1 включительно. Ниже приведена таблица значений, иллюстрирующая некоторые ключевые значения косинуса, охватывающие весь диапазон значений.

    Уголок Косинус угла
    0 ° cos (0 °) = 1 (наибольшее значение, которое может иметь косинус)
    60 ° cos (60 °) = ½
    90 ° cos (90 °) = 0
    120 ° cos (120 °) = -½
    180 ° cos (180 °) = -1 (наименьшее значение, которое может иметь косинус)

    Касательная угла всегда является отношением (противоположная сторона / смежная сторона).

    $
    касательная (угол) = \ frac {\ text {противоположная сторона}} {\ text {смежная сторона}}
    $

    Пример 1

    $$
    загар (\ угол \ красный L) = \ гидроразрыв {противоположный} {смежный}
    \\
    загар (\ angle \ red L) = \ frac {9} {12}

    $$

    Пример 2

    $$
    загар (\ угол \ красный К) = \ гидроразрыв {противоположный} {смежный}
    \\
    загар (\ angle \ red K) = \ frac {12} {9}

    $$

    Выделенные проблемы
    Проблема 1

    В треугольниках ниже обозначьте гипотенузу и стороны, которые противоположны заштрихованному углу и примыкают к нему.

    Показать боковые метки

    Гипотенуза = AB

    Противоположная сторона = BC

    Соседняя сторона = AC

    Проблема 2

    Показать боковые метки

    Гипотенуза = переменный ток

    Противоположная сторона = BC

    Соседняя сторона = AB

    Проблема 3

    Показать боковые метки

    Гипотенуза = YX

    Противоположная сторона = ZX

    Соседняя сторона = ZY

    Проблема 4

    Показать боковые метки

    Гипотенуза = I

    Сторона, противоположная A = H

    Сторона, прилегающая к A = J

    No Highlights (сложнее)
    Проблема 5

    Найдите гипотенузу, а также противоположную и смежную стороны $$ \ angle ACB $$.

    Показать боковые метки

    Первый , помните, что средняя буква названия угла ($$ \ angle A \ red C B $$) — это расположение угла.

    Секунда: Ключ к решению такого рода проблем — помнить, что «противоположный» и «смежный» относятся к углу треугольника, который в данном случае является красным углом на картинке.

    Задача 6

    Найдите гипотенузу, а также противоположные и смежные стороны $$ \ angle RPQ $$.

    Показать боковые метки

    Первый , помните, что средняя буква названия угла ($$ \ angle R \ red P Q $$) — это расположение угла.

    Секунда: Ключ к решению такого рода проблем — помнить, что «противоположный» и «смежный» относятся к углу треугольника, который в данном случае является красным углом на картинке.

    Проблема 7

    Найдите гипотенузу, а также противоположную и смежную стороны $$ \ angle BAC $$.

    Показать боковые метки

    Первый , помните, что средняя буква названия угла ($$ \ angle B \ red A C $$) — это расположение угла.

    Секунда: Ключ к решению такого рода проблем — помнить, что «противоположный» и «смежный» относятся к углу треугольника, который в данном случае является красным углом на картинке.

    Проблема 8

    Определите сторону, противоположную $$ \ angle $$ IHU, и сторону, примыкающую к $$ \ angle $$ IHU.

    Показать боковые метки

    Первый , помните, что средняя буква названия угла ($$ \ angle I \ red H U $$) — это расположение угла.

    Секунда: Ключ к решению такого рода проблем — помнить, что «противоположный» и «смежный» относятся к углу треугольника, который в данном случае является красным углом на картинке.

    Примеры тригонометрии — Тригонометрические навыки — Национальная версия 4 по математике

    При ответе на задачу тригонометрии:

    1. обозначьте стороны треугольника
    2. решите, какое соотношение использовать (SOH CAH TOA)
    3. подставьте правильную информацию в соотношение
    4. переставьте, чтобы найти ‘\ (x \)’
    5. решите с помощью вашего калькулятора, убедившись, что ваш калькулятор установлен в режим ‘градусов’

    Пример

    Вычислить \ (y \).\ circ) = y \]

    \ [y = 15,37727 … \]

    Навигация по записям

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.