Тригонометрические уравнения примеры простые: Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad
\mathrm{tg}\,x=b,\quad
\mathrm{ctg}\,x=b\), которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb{R}\).

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\)).

\[{\color{red}{\text{Решение простейших тригонометрических уравнений}}}\]

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\).

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{\pi}6+2\pi n,\
x_2=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{3\pi}4\) и \(-\dfrac{3\pi}4\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число.

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{3\pi}4+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\).

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac{\sqrt3}3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac{\sqrt3}3\).Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi
n\).

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm{ctg}\,x=\sqrt3\).

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi
n\).

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi n
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, b+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, b+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm{G}\,\big(f(x)\big)=a\), (где \(\mathrm{G}\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm{tg},\ \mathrm{ctg}\), а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\).

Пример 5. Решить уравнение \(\sin{(\pi
x+\dfrac{\pi}3)}=1\).

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac{\pi}3\), мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\). Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac{\pi}2+2\pi
n, n\in\mathbb{Z}\).

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi
x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+2\pi n\), откуда \(x=\dfrac16+2n,\
n\in\mathbb{Z}\).

\[{\color{red}{\text{Объединение корней}}}\]

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac{2\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\), где \(\alpha\) — один из этих углов.

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm
\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, \
n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over{AB},
\buildrel\smile\over{BC}, \buildrel\smile\over{CD},
\buildrel\smile\over{DA}\) равны \(\dfrac{\pi}2\), то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, \
n\in\mathbb{Z}\).

\[{\color{red}{\text{Геометрическая интерпретация решений неравенств
вида }\mathrm{G}\,(x) \lor a,}}\]

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ <,\ >,\ \geq\).

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x
>\dfrac12\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}6\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}6\), но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}6\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}6;\dfrac{5\pi}6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{5\pi}6+2\pi
n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у синуса период \(2\pi\).

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x
<\dfrac12\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}3\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}3\), но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}3\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}3;\dfrac{5\pi}3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac{5\pi}3+2\pi n;-\dfrac{\pi}3+2\pi
n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у косинуса период \(2\pi\).

Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{tg}\, x
\geq \dfrac{\sqrt{3}}3\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{tg}\, x =
\dfrac{\sqrt{3}}3\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac{\sqrt{3}}3\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac{\pi}2\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac{\pi}2\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}2\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi
n;\dfrac{\pi}2+\pi n\Big),
n\in\mathbb{Z}\), т.к. у тангенса период \(\pi\).

Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{ctg}\, x
\leq \sqrt{3}\).

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{ctg}\, x =
\sqrt{3}\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt{3}\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\pi\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\pi\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi
n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. период котангенса \(\pi\).

\[{\color{red}{\text{Отбор корней}}}\]

Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.

Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\), если \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\).

В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.

Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac{\pi}6+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\), решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac{\pi}6+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac{\pi}6+2\pi n\)  не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z}\).

Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin{aligned}
&\sin{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \sin \alpha, \text{при } n —
\text{ четном}\\ -\sin \alpha, \text{при } n — \text{ нечетном}
\end{cases}\\
&\cos{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \cos \alpha, \text{при } n —
\text{ четном}\\ -\cos \alpha, \text{при } n — \text {нечетном}
\end{cases}\\
&\mathrm{tg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{tg}\,\alpha\\
&\mathrm{ctg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{ctg}\,\alpha\\
&\sin{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=\cos\alpha\\
&\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=-\sin \alpha\\
&\,\mathrm{tg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{ctg}\,\alpha\\
&\,\mathrm{ctg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{tg}\,\alpha
\end{aligned}\]

Пример 12. Решить систему \(\begin{cases} \cos x=\dfrac12\\
\sin x+\cos x>0\end{cases}\)

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12>0\), следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12<0\), следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.

Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi
n,\ n\in\mathbb{Z}\).

Алгебраический способ.

Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\), принадлежащие отрезку \([0;\pi]\).

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \
x_2=\dfrac{3\pi}4 +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq
x_2\leq\pi\):

\(0\leq \dfrac{\pi}4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq
n\leq\dfrac38\). Таким образом, единственное целое значение \(n\), удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\). При \(n=0\) \(x_1=\dfrac{\pi}4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\).

Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac{3\pi}4\).
 

Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:

\[ax+by=c, \quad a,b,c — \text{целые числа}\]

Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\).

Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\). Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\), то есть нечетное число.

Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\). Т.к. \(НОД(3,5)=1\), то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\):

\[x=\dfrac{2-5y}3=\dfrac{2-2y}3-y\]

Число \(\dfrac{2-2y}3\) должно быть целым. Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\): \(0\), \(1\) или \(2\).
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(0\), то оно записывается как \(y=3p+0\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2\cdot
3p}3=\dfrac23-2p\ne \text{целому числу}\]

Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\), то оно записывается как \(y=3p+1\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2(3p+1)}3=-2p=\text{целому числу}\]

Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\), а \(x=\dfrac{2-2y}3-y=-5p-1\).

Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb{Z}\).

Перейдем к примеру:

Пример 14. Решить систему \[\begin{cases}
\sin \dfrac x3=\dfrac{\sqrt3}2\\[3pt]
\cos \dfrac x2=1
\end{cases}\]

Решим первое уравнение системы:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}
&\dfrac x3=\dfrac{\pi}3+2\pi n\\[3pt]
&\dfrac x3=\dfrac{2\pi}3 +2\pi m \end{aligned} \end{gathered}
\right.\quad n,m\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \left[
\begin{gathered} \begin{aligned}
&x=\pi+6\pi n\\
&x=2\pi +6\pi m
\end{aligned} \end{gathered}
\right. \quad n,m\in\mathbb{Z}\]

Решим второе уравнение системы:

\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\):

\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]

Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\), то данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Найдем целые \(m\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(2\pi
+6\pi m\) и \(4\pi k\):

\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]

Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac{3m+1}2=m+\frac{m+1}2\).

Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\).
Если \(m=2p+0\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1}2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1+1}2=p+1= \) целому числу.

Значит, \(m=2p+1\), тогда \(k=3p+2\), \(p\in\mathbb{Z}\).

Подставим либо \(m\), либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p,
p\in\mathbb{Z}\).

Простейшие тригонометрические уравнения с косинусом и синусом. Часть 1

Ключ к решению простейших тригонометрических уравнений – в отличном знании тригонометрического круга. Если вы знаете значения стандартных точек и их синусы и косинусы, то проблем с уравнениями не будет. А если пробелы все-таки есть, то восполнить их можно в статье «Как запомнить тригонометрический круг?».

Эта статья состоит из двух частей:
Решение простейших уравнений с косинусом
Решение простейших уравнений с синусом

Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом

Любой алгоритм проще всего понять на конкретных примерах, поэтому сразу с них и начнем.

Пример №1. Решить уравнение \(\cos⁡x=\frac{1}{2}\).

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 

Шаг 4. Найти по одному значению для каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с косинусом значения в верхней и нижней точках всегда будут отличаться только знаком.

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn,n∈Z\) (подробнее о формуле в этом видео), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Возможно, у вас возник вопрос, почему мы в ответ добавляем \(+2πn\), \(n∈Z\). Дело в том, что у каждой точки на тригонометрическом круге есть множество значений, и каждое значение будет решением уравнения, а значит все они обязательно должны быть в ответе.

Но проблема в том, что значений этих бесконечно много, и просто в строчку их не запишешь. Поэтому и придумали такую формулу записи, в которой содержатся все значения одной точки на тригонометрическом круге (подробнее смотрите в этом и этом видео).

Пример №2. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

С 1-3 шагом всё понятно, а вот над 4 шагом надо подумать. Как найти значения полученных точек? Можно заметить, что дуга между точкой со значением \(π\) и найденной точкой равняется π/6 (см. картинку ниже). И чтоб из точки π прийти к верхней найденной точке надо пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{6}\), то есть значение верхней точки равно \(π-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}\). Значит значение нижней \(-\frac{5π}{6}\).

Пример №3. Решить уравнение \(\cos⁡x=1\).

Видно, что в этом случае у косинуса только одна точка на круге будет решением, и эта точка совпадает с нулём на окружности. Т.е. по формуле получим \(x=0+2πn\), \(n∈Z\). Однако добавление нуля ничего не меняет, поэтому ответ можно записать проще: \(x=2πn\), \(n∈Z\).

Пример №4. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{7}{6}\).

Значения косинуса (как и синуса) для любого аргумента всегда лежат между \(-1\) и \(1\) включительно, поэтому равняться \(-\frac{7}{6}\) косинус никак не может. Значит такое уравнение не имеет решений.

Вот так решаются простейшие тригонометрические уравнения вида \(\cos⁡x=a\). Для наглядности мы все рассказанное выше объединили на одной инфографике — взглянув на нее вы сразу вспомните суть. Пользуйтесь на здоровье.

Алгоритм решения простейших уравнений с синусом

Пример №5. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси синусов, значение, которому синус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с синусом значение второй точки можно найти, если вычесть из π значение первой точки.

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Пример №6. Решить уравнение \(\sin⁡x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Так как суть, думаю, вам уже ясна, дальнейшие объяснения мы опускаем.

Пример №7. Решить уравнение \(\sin⁡x=0\).

В уравнениях с \(0\), главное не перепутать к какой оси надо проводить перпендикуляр. Ось синусов – вертикальная, соответственно перпендикуляр будет горизонтален.

Пример №8. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{5}}{2}\).

Вот в принципе и всё. Как обычно, в конце – инфографика для наглядности.

Смотрите также:
Синус
Косинус
Решение уравнений \(tg\;x=a\) и \(ctg\;x=a\)
Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos и tg x

Справочные сведения

1. Решение тригонометрических уравнений сводится в конечном итоге к решению простейших тригонометрических уравнений, т. е. уравнений вида

а) Если

то все корни уравнения

определяются формулой

а все корни уравнения

— формулой

где

( принимает любые целые значения).

Если

, то уравнения (1) и (3) не имеют корней.

б) Уравнение

при любом а имеет корни, определяемые формулой

в) Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений:

Рассмотрим уравнение вида

Полагая

, перепишем уравнение (7) в виде

Пусть

тогда уравнение (8) не имеет действительных корней и поэтому уравнение (7) также не имеет корней. Пусть тогда уравнение (8) имеет корни

а уравнение (7) равносильно совокупности уравнений

Уравнение (7) имеет корни тогда и только тогда, когда

и по крайней мере одно из чисел по абсолютной величине не превосходит единицы, причем:

а) если

то уравнение (7) имеет две серии корней

б) если

или то уравнение (7) имеет одну серию корней, определяемую первой или второй из формул (10) соответственно.

К квадратному уравнению можно свести уравнение

если заменить

на Аналогично, уравнения вида

также приводятся к квадратным уравнениям. Рассмотрим уравнение вида

В каждом слагаемом левой части уравнения (11) сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна

. Такое уравнение называется однородным относительно и а число — показателем однородности.

Рассмотрим однородные уравнения с показателями 1 и 2, т. е. уравнения вида

предполагая, что в уравнении (12) хотя бы одно из чисел

, не равно нулю, а в уравнении (13) хотя бы одно из чисел, , отлично от нуля.

Пусть в уравнении (12)

; тогда значения , при которых , не удовлетворяют уравнению (12), так как если , то Поэтому в случае , разделив обе части уравнения (12) на , получим равносильное уравнение

Аналогично, если

, то разделив обе части уравнения (13) на , получим равносильное уравнение

Примеры с решениями

Пример №107.

Решить уравнение

Решение:

По формуле (4) находим

где Отсюда следует, что

Пример №108.

Решить уравнение

Решение:

Согласно формуле (2) получаем

откуда

Так как правая часть этого равенства должна быть неотрицательной, то может принимать только значения Отсюда находим

Пример №109.

Решить уравнение

Решение:

Применяя формулу (6), находим

откуда

Пример №110.

Решить уравнение

Решение:

При

получим квадратное уравнение имеющее корни Так как то исходное уравнение равносильно уравнению откуда находим

Ответ.

Пример №111.

Решить уравнение

Решение:

Пусть

тогда и уравнение примет вид

или

откуда находим

Если то а если то

Ответ.

Пример №112.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

получаем уравнение имеющее корни Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений откуда находим две серии корней:

Пример №113.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно каждому из уравнений

откуда

Пример №114.

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на

, получим равносильное уравнение имеющее корни , Исходное уравнение, равносильное совокупности уравнений и имеет две серии корней:

Замечание. К уравнению вида (13) сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

Пример №115.

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение равносильно каждому из следующих уравнений :

Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Пример №116.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

преобразуем уравнение к виду

Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению

Если , то , откуда Если то откуда

Ответ.

Пример №117.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

и используя формулу преобразуем уравнение к виду или откуда Следовательно, откуда

Ответ.

Пример №118.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

и используя формулу получаем уравнение имеющее корни Следовательно, откуда

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

как решать простейшие тригонометрические уравнения

Вы искали как решать простейшие тригонометрические уравнения? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать синусы и косинусы уравнения, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как решать простейшие тригонометрические уравнения».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как решать простейшие тригонометрические уравнения,как решать синусы и косинусы уравнения,как решать тригонометрические простейшие уравнения,как решать тригонометрия,как решать уравнения с синусами и косинусами,как решать уравнения с синусами с косинусами и синусами,как решить тригонометрическое уравнение,примеры решения тригонометрических уравнений примеры с ответами,примеры с косинусами и синусами,примеры с синусами и косинусами,простейшие тригонометрические уравнения как решать,простейшие тригонометрические уравнения примеры,простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением,простые тригонометрические уравнения,решение простейших тригонометрических уравнений,решение простейших тригонометрических уравнений с подробным решением,решение простых уравнений тригонометрических,решение тригонометрических простых уравнений,решение тригонометрических уравнений простых,решение уравнений простых тригонометрических,решение уравнений с косинусами и синусами,решение уравнений с синусами и косинусами,решение уравнений тригонометрия,решите уравнение тригонометрическое уравнение,тригонометрические уравнения любого вида,тригонометричні рівняння,тригонометрия решение уравнений,уравнение с тангенсом,уравнения косинусов и синусов,уравнения с косинусами и синусами как решать,уравнения с решениями тригонометрические,уравнения с синусами и косинусами решение,уравнения синусов и косинусов. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать простейшие тригонометрические уравнения. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как решать тригонометрические простейшие уравнения).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать простейшие тригонометрические уравнения Онлайн?

Решить задачу как решать простейшие тригонометрические уравнения вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

5. Тригонометрические уравнения

М. Борна

Тригонометрические уравнения могут быть решены с помощью
алгебраические методы и тригонометрические тождества и ценности
обсуждалось в предыдущих разделах. Возможно, вы захотите вернуться и взглянуть на тригонометрические функции любого угла, где мы видим предысторию следующих решений.

Безболезненный способ решить эти проблемы — использовать график. Там, где график пересекает ось x , вы найдете свои решения (значения x , которые «работают»).Графики также помогают понять, почему иногда есть один ответ, а иногда — много ответов. Я использую Scientific Notebook или аналогичную математическую программу для построения графиков функций.

Вы можете использовать этот онлайн-калькулятор для построения графиков, чтобы решить следующие уравнения (или проверить свои решения).

Пример 1

Решите уравнение 2 cos θ — 1 = 0 для 0 ≤ θ <2 π .

Ответ

Преобразуя приведенное выше уравнение, получаем:

`cos theta = 1 / 2`

Нам известно следующее:

С

`cos (pi / 3) = 1 / 2`

и `cos θ` положителен в первом и четвертом квадрантах, мы имеем:

`тета = пи / 3`

или

`theta = 2pi-pi / 3 = (5pi) / 3`

Итак, `theta = pi / 3` или` theta = (5pi) / 3`

Пример 2

Решите графически
уравнение

2 cos ² x — sin x — 1 = 0

такой, что 0 ≤ θ <2 π .

Ответ

Используя программное обеспечение для построения графиков, мы рисуем кривую y = 2 cos ² x — sin x — 1 в области 0 ≤ θ <2π. Везде, где кривая пересекает ось x , будет решением нашего уравнения.

Мы видим из графика, что решения примерно:

x = 0,5
x = 2,6
x = 4,7

Для более точных решений мы просто увеличим масштаб графика.

На следующем графике я увеличил масштаб до второго корня (около x = 2,6). Мы видим, что этот корень равен x = 2,618 с точностью до 3 знаков после запятой.

Мы могли бы продолжать увеличивать изображение настолько близко, насколько захотим, чтобы получить требуемую точность.

Решение уравнений, кратных

θ

Пример 3

Решите
уравнение sin 2 θ = 0,8 для 0 ≤ θ <2π.

Ответ

Если проблема касается только θ , мы ожидаем 2 решения; один
в первом квадранте и один во втором квадранте.

Но здесь наша задача включает в себя `2θ`, поэтому мы должны удвоить
домен ( θ значений) для учета всех
возможные решения.

Действуем следующим образом:

Решаем

`sin 2θ = 0,8` для 0 ≤ 2 θ <4 π .

Базовый угол

`α = arcsin 0,8 = 0,9273`

Значит, значения для 2 θ будут в квадрантах I, II, V, VI.

2 θ = 0.9273, или π — 0,9273, или 2 π + 0,9273, или 3 π — 0,9273

То есть

`2θ = 0,9273, 2,2143, 7,2105, 8,4975`

Но нам нужны значения для θ , а не 2 θ ,
поэтому мы делим на 2:

`θ = 0,4637, 1,1072, 3,6053, 4,2488`

Наши ответы верны? В виде
обычно, мы проверим, построив график исходного выражения:

Из графика видно, что
наши 4 значения разумны, так как это единственные 4 значения
которые удовлетворяют `sin 2θ = 0.2theta = 1/16`

для 0 ≤ θ <2π.

Ответ

Решение относительно cos θ дает:

`cos theta = + — 1 / 4`

Если cos alpha = 1/4, то ссылка
угол α = 1,3181.

Таким образом, для cos theta = 1/4 мы имеем θ в первом и четвертом квадрантах. Итак

`θ = 1,3181 или 4,9651`

Для cos theta = -1 / 4, мы имеем θ во 2-м и 3-м квадрантах.2θ — грех θ — 1 = 0`

`(2 sin θ — 1) (3 sin θ + 1) = 0`

Так либо

`2 sin θ — 1 = 0`

`грех θ = 1 / 2`

θ будет в 1-м и 2-м квадрантах.

`θ = 0,52360, 2,6180` (то есть` пи / 6` или `(5pi) / 6`)

ИЛИ

`3 грех θ + 1 = 0`

`sin θ = — 1 / 3`

θ будет в 3-м и 4-м квадрантах.

`θ = 3. 4814, 5. 9433`

Проверка нашего решения на
график:

Итак `θ =
0.2 \ х + 3 \ соз х + 1 = 0`

`(2 \ co \ s x + 1) (cos x + 1) = 0`

Решая, получаем

`cos x = — 0,5` или` cos x = — 1`

Теперь `cos x = -1 / 2` дает` x = (2pi) / 3, (4pi) / 3`.

Однако при проверке исходного уравнения ,
отметим, что

`» LHS «= cos ((4pi) / 3xx1 / 2)` `= cos ((2pi) / 3)` = -1 / 2`

но

«» RHS «= 1 + cos (4pi) / 3 = + 1 / 2`

Таким образом, единственное решение для этой части — `x = (2pi) / 3.`

Кроме того, cos x = -1 дает x = pi.

Итак, решение уравнения: `x = (2pi) / 3or pi.`

Проверка графика y = cos x / 2-1-cos x подтверждает эти результаты:

(2π / 3 ≈ 2,0944 и π ≈ 3,14).

Пример 7

Решите уравнение

загар 2 θ — детская кроватка 2 θ = 0

для 0 ≤ θ <2π. 2 2θ = 1`

`tan 2θ = ± 1`

Поскольку `0 ≤ θ <2π`, нам нужно рассмотреть значения` 2theta` такие, что `0 ≤ 2θ <4π`.Следовательно, решение в приведенном выше уравнении имеем:

`2 theta = pi / 4, (3pi) / 4, (5pi) / 4 (7pi) / 4,` `(9pi) / 4, (11pi) / 4,` (13pi) / 4, (15pi) ) / 4`

Деление на 2 дает нам полный набор решений в требуемой области, `0 <= theta <2pi`:

`theta = pi / 8, (3pi) / 8,` `(5pi) / 8, (7pi) / 8, » (9pi) / 8, (11pi) / 8,` `(13pi) / 8, (15pi) / 8`

Упражнения

Примечание 1: «Аналитически» означает использование методов и формул из предыдущих разделов.Это означает, что для ее решения нельзя просто использовать график.

Примечание 2: Однако я всегда использую график для проверки своей аналитической работы. Я сразу вижу, произошла ли какая-то ошибка. Я призываю вас поступить так же!

1. 2x) = 0`