Тригонометрические уравнения примеры простые: Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

Содержание

Простейшие тригонометрические уравнения и их решение

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида

   

Решение простейших тригонометрических уравнений

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение не имеет корней. При , корни этого уравнения находятся по формуле

   

Особые случаи

Примеры решения задач

Уравнение вида . Так как для любого x, то при и уравнение корней не имеет. При , корни этого уравнения находятся по формуле

   

Особые случаи:

ПРИМЕР 4




Задание Решить уравнение —
Решение Косинус – функция ограниченная и лежит в пределах , поэтому данное равенство не имеет смысла.
Ответ Решений нет.

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсами и котангенсами

Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :

   

ПРИМЕР 5




Задание Решить уравнение
Решение Выразим из этого равенства тангенс

   

   

В последнем равенстве положив , получим простейшее тригонометрическое уравнение , корни которого вычисляются по формуле

   

Тогда

   

   

Сделаем обратную замену

   

и выразим из полученного уравнения x:

   

   

поделим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим

   

Ответ

Уравнение вида . Для любого действительного a на промежутке существует единственный угол , для которого . Это угол . Учитывая периодичность функции , получим формулы для нахождения корней уравнения :

   

ПРИМЕР 6




Задание Решить уравнение

   

Решение Ведем замену , тогда исходное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение , корни которого вычисляются по формуле

   

Тогда

   

Сделаем обратную замену

   

и выразим из полученного уравнения x:

   

   

поделим обе части последнего равенства на 5, тогда окончательно получим

   

Ответ

Приведение тригонометрических уравнений к простейшим

Примеры тригонометрических уравнений, которые приводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью элементарных преобразований или тригонометрических формул.

ПРИМЕР 8




Задание Решить уравнение
Решение Применим к правой части заданного уравнения формулу суммы синусов:

   

   

или

   

Последнее равенство равносильно совокупности простейших уравнений

   

Ответ



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



Тригонометрические уравнения в 10 классе, примеры и решения

Дата публикации: .

Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:
Тригонометрические уравнения (PPTX)


Что будем изучать:

1. Что такое тригонометрические уравнения?
2. Простейшие тригонометрические уравнения.
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

x= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений
4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

x/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0; π].

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

x= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок [0; π].
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin2(x) + cos2(x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos2(x) + 3 cos (x) = 0

2 cos2(x) — 3 cos(x) -2 = 0

введем замену t=cos(x): 2t2 -3t — 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):

Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?

Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t2 + 2 t — 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:22 — 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2(x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin2(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos2(3x) =0

6)Решить уравнение:cos2(2x) -1 — cos(x) =√3/2 -sin2(2x)

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

 

Уравнение cos x = a

  

 

 

Примеры решения задач

 

 

Уравнение sin x = a

 

Примеры решения задач

 

Уравнение tg x = a и ctg x = a

 

 

Примеры решения задач

  

Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром:


  1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.


  2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.


  3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.


  4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение ил используем специальные приемы решения.

Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции

 

Решение простейших тригонометрических неравенств

 

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

\(\blacktriangleright\) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
\(\sin x=a,\quad \cos x=a,\quad
\mathrm{tg}\,x=b,\quad
\mathrm{ctg}\,x=b\), которые имеют смысл при \(-1\leq a\leq 1,\quad b\in \mathbb{R}\).

 

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен \(1\)).

 

\[{\color{red}{\text{Решение простейших тригонометрических уравнений}}}\]

Рассмотрим несколько примеров:

 

Пример 1. Решить уравнение \(\sin x=\dfrac12\).

 

Найдем на оси синусов точку \(\dfrac12\) и проведем прямую параллельно оси \(Ox\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(\dfrac12\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

 

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{\pi}6+2\pi n,\
x_2=\dfrac{5\pi}6+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

Пример 2. Решить уравнение \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

 

Найдем на оси косинусов точку \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) и проведем прямую параллельно оси \(Oy\) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{3\pi}4\) и \(-\dfrac{3\pi}4\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число.

 

Таким образом, решением являются \(x_1=\dfrac{3\pi}4+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{3\pi}4+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\).

 

Найдем на оси тангенсов точку \(\dfrac{\sqrt3}3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен \(\dfrac{\sqrt3}3\).Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi
n\).

 

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

Пример 4. Решить уравнение \(\mathrm{ctg}\,x=\sqrt3\).

 

Найдем на оси котангенсов точку \(\sqrt3\) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен \(\sqrt3\). Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка \([-\pi;\pi]\). Тогда в нашем случае это углы \(\dfrac{\pi}6\) и \(-\dfrac{5\pi}6\). Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным \(2\pi\cdot n\), где \(n\) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов \(\pi
n\).

 

Таким образом, решением являются \(x=\dfrac{\pi}6+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi n
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, b+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=b & b\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, b+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\] Иногда для более короткой записи решение для \(\sin x=a\) записывают как \(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Любые уравнения вида \(\mathrm{G}\,\big(f(x)\big)=a\), (где \(\mathrm{G}\) — одна из функций \(\sin, \ \cos, \ \mathrm{tg},\ \mathrm{ctg}\), а аргумент \(f(x)\) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены \(t=f(x)\).

 

Пример 5. Решить уравнение \(\sin{(\pi
x+\dfrac{\pi}3)}=1\).

 

Сделав замену \(t=\pi x+\dfrac{\pi}3\), мы сведем уравнение к виду \(\sin t=1\). Решением данного уравнения являются \(t=\dfrac{\pi}2+2\pi
n, n\in\mathbb{Z}\).

 

Теперь сделаем обратную замену и получим: \(\pi
x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}2+2\pi n\), откуда \(x=\dfrac16+2n,\
n\in\mathbb{Z}\).

 

\[{\color{red}{\text{Объединение корней}}}\]

Если \(n\) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на \(n\) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: \(x=\alpha+\dfrac{2\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\), где \(\alpha\) — один из этих углов.

 

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

 

Пример 6. Допустим, решением системы являются \(x_1=\pm
\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, \
n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

 

Заметим, что длины дуг \(\buildrel\smile\over{AB},
\buildrel\smile\over{BC}, \buildrel\smile\over{CD},
\buildrel\smile\over{DA}\) равны \(\dfrac{\pi}2\), то есть эти точки разбили окружность на \(4\) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: \(x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, \
n\in\mathbb{Z}\).

 

\[{\color{red}{\text{Геометрическая интерпретация решений неравенств
вида }\mathrm{G}\,(x) \lor a,}}\]

где \(\lor\) — один из знаков \(\leq,\ <,\ >,\ \geq\).

 

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\sin x
>\dfrac12\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\sin x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, синус которых больше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

 

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}6\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}6\), но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}6\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}6;\dfrac{5\pi}6\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{5\pi}6+2\pi
n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у синуса период \(2\pi\).

 

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\cos x
<\dfrac12\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\cos x =\dfrac12\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, косинус которых меньше \(\dfrac12\), находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это \(A\), а конец — \(B\).

 

Выберем в точке \(A\) любой угол, например, \(\dfrac{\pi}3\). Тогда в точке \(B\) необходимо выбрать угол, который будет больше \(\dfrac{\pi}3\), но ближайший к нему, и чтобы косинус этого угла также был равен \(\dfrac12\). Это угол \(\dfrac{5\pi}3\). Тогда все числа из промежутка \(\left(\dfrac{\pi}3;\dfrac{5\pi}3\right)\) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\left(-\dfrac{5\pi}3+2\pi n;-\dfrac{\pi}3+2\pi
n\right), n\in\mathbb{Z}\), т.к. у косинуса период \(2\pi\).

 

Пример 9. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{tg}\, x
\geq \dfrac{\sqrt{3}}3\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{tg}\, x =
\dfrac{\sqrt{3}}3\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, тангенс которых больше или равен \(\dfrac{\sqrt{3}}3\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них тангенс не определен.

 

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\dfrac{\pi}2\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\dfrac{\pi}2\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\dfrac{\pi}2\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi
n;\dfrac{\pi}2+\pi n\Big),
n\in\mathbb{Z}\), т.к. у тангенса период \(\pi\).

 

Пример 10. Изобразить на окружности множество решений неравенства \(\mathrm{ctg}\, x
\leq \sqrt{3}\).

 

Для начала отметим на окружности корни уравнения \(\mathrm{ctg}\, x =
\sqrt{3}\). Это точки \(A\) и \(B\). Все точки, котангенс которых меньше или равен \(\sqrt{3}\), находятся на выделенных дугах, причем точки \(C\) и \(D\) выколоты, т.к. в них котангенс не определен.

 

Рассмотрим одну из дуг, например, \(\buildrel\smile\over{AC}\). Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то за конец дуги можно принять угол \(\pi\), тогда начало дуги — это угол \(\dfrac{\pi}6\) (угол должен быть меньше \(\pi\), но ближайший к нему). Значит, частным решением данного неравенства является полуинтервал \(\Big[\dfrac{\pi}6;\pi\Big)\). А все решения данного неравенства будут иметь вид \(\Big[\dfrac{\pi}6+\pi
n;\pi+\pi n\Big), n\in\mathbb{Z}\), т.к. период котангенса \(\pi\).

 

\[{\color{red}{\text{Отбор корней}}}\]

Геометрический способ (по окружности).
Этот способ заключается в том, что мы отмечаем решения всех уравнений (неравенств) на единичной окружности и пересекаем (объединяем) их.

 

Пример 11. Найти корни уравнения \(\sin x=-\dfrac12\), если \(\cos x\ne \dfrac{\sqrt3}2\).

 

В данном случае необходимо пересечь решения первого уравнения с решением второго уравнения.

 

Решением первого уравнения являются \(x_1=-\dfrac{\pi}6+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\), решением второго являются \(x\ne \pm \dfrac{\pi}6+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Отметим эти точки на окружности:

 

Видим, что из двух точек, удовлетворяющих первому уравнению, одна точка \(x= -\dfrac{\pi}6+2\pi n\)  не подходит. Следовательно, ответом будут только \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z}\).

 

Вычислительный способ.
Этот способ заключается в подстановке решений уравнения (системы) в имеющиеся ограничения. Для данного способа будут полезны некоторые частные случаи формул приведения: \[\begin{aligned}
&\sin{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \sin \alpha, \text{при } n —
\text{ четном}\\ -\sin \alpha, \text{при } n — \text{ нечетном}
\end{cases}\\
&\cos{(\alpha+\pi n)}=\begin{cases} \cos \alpha, \text{при } n —
\text{ четном}\\ -\cos \alpha, \text{при } n — \text {нечетном}
\end{cases}\\
&\mathrm{tg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{tg}\,\alpha\\
&\mathrm{ctg}\,(\alpha+\pi n)=\mathrm{ctg}\,\alpha\\
&\sin{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=\cos\alpha\\
&\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)}=-\sin \alpha\\
&\,\mathrm{tg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{ctg}\,\alpha\\
&\,\mathrm{ctg}\,\left(\alpha+\dfrac{\pi}2\right)=-\,\mathrm{tg}\,\alpha
\end{aligned}\]

 

Пример 12. Решить систему \(\begin{cases} \cos x=\dfrac12\\
\sin x+\cos x>0\end{cases}\)

 

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n,\
x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\). Подставим в неравенство \(\sin x+\cos x>0\) по очереди оба корня:

\(\sin x_1+\cos x_1=\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12>0\), следовательно, корень \(x_1\) нам подходит;
\(\sin x x_2+\cos x_2=-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12<0\), следовательно, корень \(x_2\) нам не подходит.

 

Таким образом, решением системы являются только \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi
n,\ n\in\mathbb{Z}\).

 

Алгебраический способ.

 

Пример 13. Найти корни уравнения \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\), принадлежащие отрезку \([0;\pi]\).

 

Решением уравнения являются \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \
x_2=\dfrac{3\pi}4 +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\). Для того, чтобы отобрать корни, решим два неравенства: \(0\leq x_1\leq\pi\) и \(0\leq
x_2\leq\pi\):

 

\(0\leq \dfrac{\pi}4+2\pi n\leq\pi \Leftrightarrow -\dfrac18\leq
n\leq\dfrac38\). Таким образом, единственное целое значение \(n\), удовлетворяющее этому неравенству, это \(n=0\). При \(n=0\) \(x_1=\dfrac{\pi}4\) — входит в отрезок \([0;\pi]\).

 

Аналогично решаем неравенство \(0\leq x_2\leq\pi\) и получаем \(n=0\) и \(x_2=\dfrac{3\pi}4\).
 

Для следующего примера рассмотрим алгоритм решения линейных уравнений в целых числах:

\[ax+by=c, \quad a,b,c — \text{целые числа}\]

Уравнение будет иметь решение в целых числах относительно \(x\) и \(y\) тогда и только тогда, когда \(c\) делится на \(НОД(a,b)\).

 

Пример: Уравнение \(2x+4y=3\) не имеет решений в целых числах, потому что \(3\) не делится на \(НОД(2,4)=2\). Действительно, слева стоит сумма двух четных чисел, то есть четное число, а справа — \(3\), то есть нечетное число.

 

Пример: Решить уравнение \(3x+5y=2\). Т.к. \(НОД(3,5)=1\), то уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(x\) через \(y\):

\[x=\dfrac{2-5y}3=\dfrac{2-2y}3-y\]

Число \(\dfrac{2-2y}3\) должно быть целым. Рассмотрим остатки при делении на \(3\) числа \(y\): \(0\), \(1\) или \(2\).
Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(0\), то оно записывается как \(y=3p+0\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2\cdot
3p}3=\dfrac23-2p\ne \text{целому числу}\]

Если \(y\) при делении на \(3\) имеет остаток \(1\), то оно записывается как \(y=3p+1\). Тогда \[\dfrac{2-2y}3=\dfrac{2-2(3p+1)}3=-2p=\text{целому числу}\]

Значит, этот случай нам подходит. Тогда \(y=3p+1\), а \(x=\dfrac{2-2y}3-y=-5p-1\).

 

Ответ: \((-5p-1; 3p+1), p\in\mathbb{Z}\).

 

Перейдем к примеру:

 

Пример 14. Решить систему \[\begin{cases}
\sin \dfrac x3=\dfrac{\sqrt3}2\\[3pt]
\cos \dfrac x2=1
\end{cases}\]

Решим первое уравнение системы:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}
&\dfrac x3=\dfrac{\pi}3+2\pi n\\[3pt]
&\dfrac x3=\dfrac{2\pi}3 +2\pi m \end{aligned} \end{gathered}
\right.\quad n,m\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \left[
\begin{gathered} \begin{aligned}
&x=\pi+6\pi n\\
&x=2\pi +6\pi m
\end{aligned} \end{gathered}
\right. \quad n,m\in\mathbb{Z}\]

Решим второе уравнение системы:

\[\dfrac x2=2\pi k, k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x=4\pi k, k\in\mathbb{Z}\]

Необходимо найти корни, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы, то есть пересечь решения первого и второго уравнений.
Найдем целые \(n\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(\pi+6\pi n\) и \(4\pi k\):

\[\pi + 6\pi n=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 4k-6n=1\]

Т.к. \(НОД(4,6)=2\) и \(1\) не делится на \(2\), то данное уравнение не имеет решений в целых числах.

 

Найдем целые \(m\) и \(k\), при которых совпадают решения в сериях \(2\pi
+6\pi m\) и \(4\pi k\):

\[2\pi +6\pi m=4\pi k \quad \Rightarrow \quad 2k-3m=1\]

Данное уравнение имеет решение в целых числах. Выразим \(k=\frac{3m+1}2=m+\frac{m+1}2\).

 

Возможные остатки при делении \(m\) на \(2\) — это \(0\) или \(1\).
Если \(m=2p+0\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1}2=p+\frac12\ne \) целому числу.
Если \(m=2p+1\), то \(\frac{m+1}2=\frac{2p+1+1}2=p+1= \) целому числу.

 

Значит, \(m=2p+1\), тогда \(k=3p+2\), \(p\in\mathbb{Z}\).

 

Подставим либо \(m\), либо \(k\) в соответствующую ему серию и получим окончательный ответ: \(x=4\pi k=4\pi (3p+2)=8\pi+12\pi p,
p\in\mathbb{Z}\).

Простейшие тригонометрические уравнения с косинусом и синусом. Часть 1


Ключ к решению простейших тригонометрических уравнений – в отличном знании тригонометрического круга. Если вы знаете значения стандартных точек и их синусы и косинусы, то проблем с уравнениями не будет. А если пробелы все-таки есть, то восполнить их можно в статье «Как запомнить тригонометрический круг?».


Эта статья состоит из двух частей:
Решение простейших уравнений с косинусом
Решение простейших уравнений с синусом


Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом


Любой алгоритм проще всего понять на конкретных примерах, поэтому сразу с них и начнем.


Пример №1. Решить уравнение \(\cos⁡x=\frac{1}{2}\).


Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.



Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.



Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 


Шаг 4. Найти по одному значению для каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с косинусом значения в верхней и нижней точках всегда будут отличаться только знаком.


Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn,n∈Z\) (подробнее о формуле в этом видео), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.


Возможно, у вас возник вопрос, почему мы в ответ добавляем \(+2πn\), \(n∈Z\). Дело в том, что у каждой точки на тригонометрическом круге есть множество значений, и каждое значение будет решением уравнения, а значит все они обязательно должны быть в ответе.


Но проблема в том, что значений этих бесконечно много, и просто в строчку их не запишешь. Поэтому и придумали такую формулу записи, в которой содержатся все значения одной точки на тригонометрическом круге (подробнее смотрите в этом и этом видео).


Пример №2. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).



С 1-3 шагом всё понятно, а вот над 4 шагом надо подумать. Как найти значения полученных точек? Можно заметить, что дуга между точкой со значением \(π\) и найденной точкой равняется π/6 (см. картинку ниже). И чтоб из точки π прийти к верхней найденной точке надо пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{6}\), то есть значение верхней точки равно \(π-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}\). Значит значение нижней \(-\frac{5π}{6}\).


    


Пример №3. Решить уравнение \(\cos⁡x=1\).



Видно, что в этом случае у косинуса только одна точка на круге будет решением, и эта точка совпадает с нулём на окружности. Т.е. по формуле получим \(x=0+2πn\), \(n∈Z\). Однако добавление нуля ничего не меняет, поэтому ответ можно записать проще: \(x=2πn\), \(n∈Z\).



Пример №4. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{7}{6}\).


Значения косинуса (как и синуса) для любого аргумента всегда лежат между \(-1\) и \(1\) включительно, поэтому равняться \(-\frac{7}{6}\) косинус никак не может. Значит такое уравнение не имеет решений.


Вот так решаются простейшие тригонометрические уравнения вида \(\cos⁡x=a\). Для наглядности мы все рассказанное выше объединили на одной инфографике — взглянув на нее вы сразу вспомните суть. Пользуйтесь на здоровье.


Алгоритм решения простейших уравнений с синусом


Пример №5. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).


Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.



Шаг 2. Отметить на оси синусов, значение, которому синус должен быть равен.


Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 



Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с синусом значение второй точки можно найти, если вычесть из π значение первой точки.



Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.



Пример №6. Решить уравнение \(\sin⁡x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).


Так как суть, думаю, вам уже ясна, дальнейшие объяснения мы опускаем.



    



Пример №7. Решить уравнение \(\sin⁡x=0\).



В уравнениях с \(0\), главное не перепутать к какой оси надо проводить перпендикуляр. Ось синусов – вертикальная, соответственно перпендикуляр будет горизонтален.


   


Пример №8. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{5}}{2}\).



Вот в принципе и всё. Как обычно, в конце – инфографика для наглядности.


Смотрите также:
Синус
Косинус
Решение уравнений \(tg\;x=a\) и \(ctg\;x=a\)
Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos и tg x

Справочные сведения

1. Решение тригонометрических уравнений сводится в конечном итоге к решению простейших тригонометрических уравнений, т. е. уравнений вида

а) Если

то все корни уравнения

определяются формулой

а все корни уравнения

— формулой

где

( принимает любые целые значения).

Если

, то уравнения (1) и (3) не имеют корней.

б) Уравнение

при любом а имеет корни, определяемые формулой

в) Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений:

Рассмотрим уравнение вида

Полагая

, перепишем уравнение (7) в виде

Пусть

тогда уравнение (8) не имеет действительных корней и поэтому уравнение (7) также не имеет корней. Пусть тогда уравнение (8) имеет корни

а уравнение (7) равносильно совокупности уравнений

Уравнение (7) имеет корни тогда и только тогда, когда

и по крайней мере одно из чисел по абсолютной величине не превосходит единицы, причем:

а) если

то уравнение (7) имеет две серии корней

б) если

или то уравнение (7) имеет одну серию корней, определяемую первой или второй из формул (10) соответственно.

К квадратному уравнению можно свести уравнение

если заменить

на Аналогично, уравнения вида

также приводятся к квадратным уравнениям. Рассмотрим уравнение вида

В каждом слагаемом левой части уравнения (11) сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна

. Такое уравнение называется однородным относительно и а число — показателем однородности.

Рассмотрим однородные уравнения с показателями 1 и 2, т. е. уравнения вида

предполагая, что в уравнении (12) хотя бы одно из чисел

, не равно нулю, а в уравнении (13) хотя бы одно из чисел, , отлично от нуля.

Пусть в уравнении (12)

; тогда значения , при которых , не удовлетворяют уравнению (12), так как если , то Поэтому в случае , разделив обе части уравнения (12) на , получим равносильное уравнение

Аналогично, если

, то разделив обе части уравнения (13) на , получим равносильное уравнение

Примеры с решениями

Пример №107.

Решить уравнение

Решение:

По формуле (4) находим

где Отсюда следует, что

Пример №108.

Решить уравнение

Решение:

Согласно формуле (2) получаем

откуда

Так как правая часть этого равенства должна быть неотрицательной, то может принимать только значения Отсюда находим

Пример №109.

Решить уравнение

Решение:

Применяя формулу (6), находим

откуда

Пример №110.

Решить уравнение

Решение:

При

получим квадратное уравнение имеющее корни Так как то исходное уравнение равносильно уравнению откуда находим

Ответ.

Пример №111.

Решить уравнение

Решение:

Пусть

тогда и уравнение примет вид

или

откуда находим

Если то а если то

Ответ.

Пример №112.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

получаем уравнение имеющее корни Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений откуда находим две серии корней:

Пример №113.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно каждому из уравнений

откуда

Пример №114.

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на

, получим равносильное уравнение имеющее корни , Исходное уравнение, равносильное совокупности уравнений и имеет две серии корней:

Замечание. К уравнению вида (13) сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

Пример №115.

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение равносильно каждому из следующих уравнений :

Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Пример №116.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

преобразуем уравнение к виду

Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению

Если , то , откуда Если то откуда

Ответ.

Пример №117.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

и используя формулу преобразуем уравнение к виду или откуда Следовательно, откуда

Ответ.

Пример №118.

Решить уравнение

Решение:

Полагая

и используя формулу получаем уравнение имеющее корни Следовательно, откуда

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

как решать простейшие тригонометрические уравнения

Вы искали как решать простейшие тригонометрические уравнения? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать синусы и косинусы уравнения, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как решать простейшие тригонометрические уравнения».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как решать простейшие тригонометрические уравнения,как решать синусы и косинусы уравнения,как решать тригонометрические простейшие уравнения,как решать тригонометрия,как решать уравнения с синусами и косинусами,как решать уравнения с синусами с косинусами и синусами,как решить тригонометрическое уравнение,примеры решения тригонометрических уравнений примеры с ответами,примеры с косинусами и синусами,примеры с синусами и косинусами,простейшие тригонометрические уравнения как решать,простейшие тригонометрические уравнения примеры,простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением,простые тригонометрические уравнения,решение простейших тригонометрических уравнений,решение простейших тригонометрических уравнений с подробным решением,решение простых уравнений тригонометрических,решение тригонометрических простых уравнений,решение тригонометрических уравнений простых,решение уравнений простых тригонометрических,решение уравнений с косинусами и синусами,решение уравнений с синусами и косинусами,решение уравнений тригонометрия,решите уравнение тригонометрическое уравнение,тригонометрические уравнения любого вида,тригонометричні рівняння,тригонометрия решение уравнений,уравнение с тангенсом,уравнения косинусов и синусов,уравнения с косинусами и синусами как решать,уравнения с решениями тригонометрические,уравнения с синусами и косинусами решение,уравнения синусов и косинусов. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать простейшие тригонометрические уравнения. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как решать тригонометрические простейшие уравнения).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать простейшие тригонометрические уравнения Онлайн?

Решить задачу как решать простейшие тригонометрические уравнения вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

5. Тригонометрические уравнения

М. Борна

Тригонометрические уравнения могут быть решены с помощью
алгебраические методы и тригонометрические тождества и ценности
обсуждалось в предыдущих разделах. Возможно, вы захотите вернуться и взглянуть на тригонометрические функции любого угла, где мы видим предысторию следующих решений.

Безболезненный способ решить эти проблемы — использовать график. Там, где график пересекает ось x , вы найдете свои решения (значения x , которые «работают»).Графики также помогают понять, почему иногда есть один ответ, а иногда — много ответов. Я использую Scientific Notebook или аналогичную математическую программу для построения графиков функций.

Вы можете использовать этот онлайн-калькулятор для построения графиков, чтобы решить следующие уравнения (или проверить свои решения).

Пример 1

Решите уравнение 2 cos θ — 1 = 0 для 0 ≤ θ <2 π .

Ответ

Преобразуя приведенное выше уравнение, получаем:

`cos theta = 1 / 2`

Нам известно следующее:

С

`cos (pi / 3) = 1 / 2`

и `cos θ` положителен в первом и четвертом квадрантах, мы имеем:

`тета = пи / 3`

или

`theta = 2pi-pi / 3 = (5pi) / 3`

Итак, `theta = pi / 3` или` theta = (5pi) / 3`

Пример 2

Решите графически
уравнение

2 cos 2 x — sin x — 1 = 0

такой, что 0 ≤ θ <2 π .

Ответ

Используя программное обеспечение для построения графиков, мы рисуем кривую y = 2 cos 2 x — sin x — 1 в области 0 ≤ θ <2π. Везде, где кривая пересекает ось x , будет решением нашего уравнения.

Мы видим из графика, что решения примерно:

x = 0,5
x = 2,6
x
= 4,7

Для более точных решений мы просто увеличим масштаб графика.

На следующем графике я увеличил масштаб до второго корня (около x = 2,6). Мы видим, что этот корень равен x = 2,618 с точностью до 3 знаков после запятой.

Мы могли бы продолжать увеличивать изображение настолько близко, насколько захотим, чтобы получить требуемую точность.

Решение уравнений, кратных

θ

Пример 3

Решите
уравнение sin 2 θ = 0,8 для 0 ≤ θ <2π.

Ответ

Если проблема касается только θ , мы ожидаем 2 решения; один
в первом квадранте и один во втором квадранте.

Но здесь наша задача включает в себя `2θ`, поэтому мы должны удвоить
домен ( θ значений) для учета всех
возможные решения.

Действуем следующим образом:

Решаем

`sin 2θ = 0,8` для 0 ≤ 2 θ <4 π .

Базовый угол

`α = arcsin 0,8 = 0,9273`

Значит, значения для 2 θ будут в квадрантах I, II, V, VI.

2 θ = 0.9273, или π — 0,9273, или 2 π + 0,9273, или 3 π — 0,9273

То есть

`2θ = 0,9273, 2,2143, 7,2105, 8,4975`

Но нам нужны значения для θ , а не 2 θ ,
поэтому мы делим на 2:

`θ = 0,4637, 1,1072, 3,6053, 4,2488`

Наши ответы верны? В виде
обычно, мы проверим, построив график исходного выражения:

Из графика видно, что
наши 4 значения разумны, так как это единственные 4 значения
которые удовлетворяют `sin 2θ = 0.2theta = 1/16`

для 0 ≤ θ <2π.

Ответ

Решение относительно cos θ дает:

`cos theta = + — 1 / 4`

Если cos alpha = 1/4, то ссылка
угол α = 1,3181.

Таким образом, для cos theta = 1/4 мы имеем θ в первом и четвертом квадрантах. Итак

`θ = 1,3181 или 4,9651`

Для cos theta = -1 / 4, мы имеем θ во 2-м и 3-м квадрантах.2θ — грех θ — 1 = 0`

`(2 sin θ — 1) (3 sin θ + 1) = 0`

Так либо

`2 sin θ — 1 = 0`

`грех θ = 1 / 2`

θ будет в 1-м и 2-м квадрантах.

`θ = 0,52360, 2,6180` (то есть` пи / 6` или `(5pi) / 6`)

ИЛИ

`3 грех θ + 1 = 0`

`sin θ = — 1 / 3`

θ будет в 3-м и 4-м квадрантах.

`θ = 3. 4814, 5. 9433`

Проверка нашего решения на
график:

Итак `θ =
0.2 \ х + 3 \ соз х + 1 = 0`

`(2 \ co \ s x + 1) (cos x + 1) = 0`

Решая, получаем

`cos x = — 0,5` или` cos x = — 1`

Теперь `cos x = -1 / 2` дает` x = (2pi) / 3, (4pi) / 3`.

Однако при проверке исходного уравнения ,
отметим, что

`» LHS «= cos ((4pi) / 3xx1 / 2)` `= cos ((2pi) / 3)` = -1 / 2`

но

«» RHS «= 1 + cos (4pi) / 3 = + 1 / 2`

Таким образом, единственное решение для этой части — `x = (2pi) / 3.`

Кроме того, cos x = -1 дает x = pi.

Итак, решение уравнения: `x = (2pi) / 3or pi.`

Проверка графика y = cos x / 2-1-cos x подтверждает эти результаты:

(2π / 3 ≈ 2,0944 и π ≈ 3,14).

Пример 7

Решите уравнение

загар 2 θ — детская кроватка 2 θ = 0

для 0 ≤ θ <2π. 2 2θ = 1`

`tan 2θ = ± 1`

Поскольку `0 ≤ θ <2π`, нам нужно рассмотреть значения` 2theta` такие, что `0 ≤ 2θ <4π`.Следовательно, решение в приведенном выше уравнении имеем:

`2 theta = pi / 4, (3pi) / 4, (5pi) / 4 (7pi) / 4,` `(9pi) / 4, (11pi) / 4,` (13pi) / 4, (15pi) ) / 4`

Деление на 2 дает нам полный набор решений в требуемой области, `0 <= theta <2pi`:

`theta = pi / 8, (3pi) / 8,` `(5pi) / 8, (7pi) / 8, » (9pi) / 8, (11pi) / 8,` `(13pi) / 8, (15pi) / 8`

Упражнения

Примечание 1: «Аналитически» означает использование методов и формул из предыдущих разделов.Это означает, что для ее решения нельзя просто использовать график.

Примечание 2: Однако я всегда использую график для проверки своей аналитической работы. Я сразу вижу, произошла ли какая-то ошибка. Я призываю вас поступить так же!

1. 2x) = 0`

Умножение на `cos x`:

`4 \ sin x \ cos x = 1`

Делим обе стороны на 2:

`2 \ sin x \ cos x = 1 / 2`

Распознавание LHS — это `sin 2x`, от до:

`sin 2x, = 0.5`

При 0 ≤ x <2π нам нужно найти значения 2 x такие, что
0 ≤ 2 x <4π. (В два раза больше исходного домена.)

Значит, 2x:

.

`2x = pi / 6, (5pi) / 6, (13pi) / 6, (17pi) / 6`

Если разделить на 2, то получим требуемые значения для `x`:

`x = pi / 12, (5pi) / 12, (13pi) / 12, (17pi) / 12`

или в десятичной форме:

`x = 0,2618, 1,309, 3.403, 4.451`

2. Решите тригонометрическое уравнение
аналитически для 0 ≤ x <2 π :

sin 2 x cos x
— cos 2 x sin x = 0

Ответ

Мы узнаем, что левая сторона находится в
форма:

`sin (a — b) =` sin a cos b — cos a sin b, `

, где `a = 2x` и` b = x`.

Так

`sin 2x \ cos x — cos 2x \ sin x`

`= грех (2x — x)`

`= грех x`

Теперь мы знаем решения `sin x = 0`
быть:

`x = 0, π`.

[Почему?]

3. Решите данное тригонометрическое уравнение.
аналитически и графическим методом (для 0 ≤ x <2 π ):

sin 4 x — cos 2 x = 0

Ответ

sin 4 x — cos 2 x = 0

2sin 2 x cos 2 x — cos 2 x
= 0

Факторинг дает:

cos 2 x (2 sin 2 x — 1) = 0

ЛИБО

`cos 2x = 0`

`2x = pi / 2, (3pi) / 2, (5pi) / 2, (7pi) / 2`

`x = pi / 4, (3pi) / 4, (5pi) / 4, (7pi) / 4`

ИЛИ

`грех 2x = 1/2`

`2x = pi / 6, (5pi) / 6, (13pi) / 6, (17pi) / 6`

`x = pi / 12, (5pi) / 12, (13pi) / 12, (17pi) / 12`

Или в десятичной форме:

`х = 0.26, 0,79, «1,31, 2,36,« 3,40, 3,93,
«4.45, 5.50.»

График y = sin 4x — cos 2x выглядит следующим образом. Мы можем видеть, откуда график пересекает ось x , что наши ответы разумны.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические тождества верны для всех значений замены для переменных, для которых определены обе части уравнения. Условные тригонометрические уравнения верны только для некоторых значений замены.Решения в определенном интервале, например 0 ≤ x ≤ 2π, обычно называются первичными решениями . Общее решение — это формула, в которой перечислены все возможные решения.

Процесс решения общих тригонометрических уравнений не является однозначным. Не существует правил, которые всегда приводят к решению. Процедура обычно включает использование тождеств, алгебраические манипуляции и метод проб и ошибок. Следующие рекомендации могут помочь найти решение.

Если уравнение содержит более одной тригонометрической функции, используйте тождества и алгебраические манипуляции (например, разложение на множители), чтобы переписать уравнение в терминах только одной тригонометрической функции. Найдите выражения в квадратичной форме и решите с помощью факторизации. Не все уравнения имеют решения, но те, которые имеют, обычно могут быть решены с использованием соответствующих тождеств и алгебраических манипуляций. Ищите шаблоны. Нет замены опыту.

Пример 1: Найдите точное решение:

Сначала преобразуйте уравнение, используя тождество sin 2 α + cos2α = 1.

Следовательно,

Таким образом,

Пример 2: Решите cos 2 x = 3 (sin x — 1) для всех действительных значений x .

Первый ответ, −2,351, не является решением, поскольку функция синуса должна находиться в диапазоне от -1 до 1. Второй ответ, 0,8508, является допустимым значением. Таким образом, если k — целое число,

В радианах,

По форме

Пример 3 : Найдите точное решение:

Сначала преобразуйте уравнение, используя тождество двойного угла cos 2θ = 2 cos 2 θ — 1.

Следовательно,

Таким образом,

примеров тригонометрических уравнений Набор-1 | Что такое Примеры тригонометрических уравнений Набор-1 — Примеры и решения

В этом разделе не будет ничего нового. Мы просто рассмотрим несколько примеров того, как trig. уравнения решаются.

Основная цель решения любого триггера. уравнение находит свое общее решение ; так как тригонометрические функции периодичны, может быть несколько (или бесконечных) решений для данного триггера.уравнение.

Пример — 86

Решить относительно \ (\ theta: \ sqrt 2 \ sec \ theta + \ tan \ theta = 1 \)

Решение:

\ [\ begin {align} & \ frac {{\ sqrt 2}} {{\ cos \ theta}} + \ frac {{\ sin \ theta}} {{\ cos \ theta}} = 1 \\ \ Стрелка вправо \ quad & \ sqrt 2 + \ sin \ theta = \ cos \ theta \\ \ Rightarrow \ quad & \ frac {1} {{\ sqrt 2}} \ cos \ theta — \ frac {1} {{\ sqrt 2}} \ sin \ theta = 1 \; \; \; \; \; \ Rightarrow \ quad \; \; \; \; \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4} + \ theta} \ right) = 1 \\ \ Rightarrow \ quad & \ frac {\ pi} {4 } + \ theta = 2n \ pi, \; n \ in \ mathbb {Z} \; \; \; \ qquad ({\ text {How}}?) \\ \ Rightarrow \ quad & \ theta = 2n \ pi — \ frac {\ pi} {4}, \; n \ in \ mathbb {Z} \\ \ end {align} \]

Мы видим, что \ (\ theta \) может иметь бесконечное количество значений. 2} x \) на правой стороне, мы получим:

\ [| 2 \ sin 2x (\ sin x — 1) | \; = 2 \ грех х (\ грех х — 1) \]

Так как \ (\ sin x — 1 \ leqslant 0, \) имеем

\ [(\ sin x — 1) \ left \ {{\ sin x + | \ sin 2x |} \ right \} = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \ left ({{\ text {How?}}} \ right) \]

Это означает, что

7.5 Решение линейных тригонометрических уравнений

  • На уроке 7.4 вам было показано, как доказать, что данное тригонометрическое уравнение является тождеством.
    • Не все триггерные уравнения являются тождествами
    • Разница между уравнением, которое является тождеством, и уравнением, которое не является уравнением, заключается в двух следующих уравнениях в области
0≤ x ≤2π: sin 2 x + cos 2 x = 1

и

2sin x -1 = 0

  • Первое уравнение верно для всех значений x в данном домене, поэтому оно является идентичностью.
  • Второе уравнение верно только для некоторых значений x , поэтому это не тождество.

ПРИМЕР

Вам дано уравнение 2sin x + 1 = 0, 0≤ x ≤2π.

1) Определите все решения в указанном интервале

2sin x + 1 = 0

2sin x = -1

    • График синусоидальной функции оценивает, где это значение — (1/2) равно.
    • Из графика видно, что одно решение возможно, когда π≤ x ≤ (3π / 2), а другое решение возможно, когда (3π / 2) ≤ x ≤2π. Следовательно, конечные плечи двух углов лежат в квадрантах III и IV. Это имеет смысл, поскольку r положительно, а y отрицательно, поэтому коэффициент синусоиды отрицателен для углов в
      оба эти квадранта. Это подтверждается правилом CAST
  • В указанном интервале 0≤ x ≤2π возможны два решения, поскольку синусоидальный график завершит один цикл в этом интервале.

Определите соответствующий острый угол.

sin -1 (1/2) = π / 6

    • π / 6 — специальный угол
    • Используя специальный треугольник, содержащий π / 6 и π / 3, sin π / 6 = 1/2 .
    • Использование соответствующего угла для определения требуемых решений в заданном интервале.
  • Первое решение находится в квадранте III π + (π / 6) = 7π / 6 .
  • Второе решение в квадранте IV: 2π-π / 6 = 11π / 6 .

∴ Два ответа могут быть 7π / 6 или 11π / 6.

2) Решите 3 (tan θ +1), где 0 ° ≤ θ ≤360 °, исправьте до одного десятичного знака.

3 (tan θ +1) = 2

tan θ + 1 = 2/3

tan θ = 2 / 3-1

tan θ +1 = — (1 / 3)

    • Поскольку тангенциальное отношение отрицательное, x может быть
      отрицательный, когда y положительный, и наоборот.
    • Отношение тангенса в квадрантах отрицательное.
      II и IV.Конечное плечо углов лежит
      в этих двух квадрантах
  • Есть два разных решения для θ в интервале 0 ° ≤ θ ≤360 °

Определите соответствующий острый угол.

загар -1 (1/3) ≐ 18,4 °

Вычтите 18,4 ° из 180 °, чтобы получить ответ для квадранта II.

θ ≐180 ° -18,4 ° = 161,6 °

Вычтите 18,4 ° из 360 °, чтобы получить ответ для квадранта IV.

θ ≐360 ° -18,4 ° = 341,6 °

    • Если β — связанный угол, главный угол во II квадранте равен 180 ° — β . Главный угол n квадранта IV составляет 360 ° — β

θ составляет около 161,6 ° или 341,6 °.

3) Сегодня прилив в Мэтьюз-Коув, Нью-Брансуик, наступает в полночь. Уровень воды во время прилива 7,5 м.
Глубина воды в бухте d метров в момент времени t часов моделируется уравнением d ( t ) = 4 + 3.5cos (π / 6) т. Дженни планирует завтра однодневную поездку в бухту, но глубина воды должна быть не менее 2 м, чтобы она могла маневрировать.
парусник безопасно. Как Дженни может определить время, когда ей будет безопасно плыть в бухту Мэтьюз?

Сначала нарисуйте грубую функцию глубины как минимум для
следующие 24 часа, если предположить, что это прилив в
полночь.

Для функции f (x) = a cos kx + c ,

  • Амплитуда a
  • Период 2π / k
  • Горизонтальная ось равно c

d ( t ) = 4 + 3.5cos (π / 6) t

a = 3.5

c = 4

период = 2 π / (π / 6) = (2π) ( 6 / π) = 12

На основании графика уровень воды l будет
быть около 2 м около 4 утра, 8 утра,
16:00 и 20:00. Поэтому лучшее время для Дженнифер войти в бухту — около 8 часов утра.
и ей нужно покинуть бухту
около 4 р.м.

Определите время, когда
уровень воды выше 2 м и
раз, когда уровень равен 2 м.

d (t) = 4 + 3.5cos (π / 6) t

4 + 3.5cos (π / 6) t = 2

3.5cos (π / 6) t = 2 -4

cos (π / 6) t = -2 / 3,5

Определите соответствующий острый угол.

cos -1 (-2 / 3,5) ≐ 0,96

∴ (π / 6) t равно 0,96, что является связанным углом для этой задачи.

  • Значение (π / 6) t составляет примерно 2,18 в квадранте II и примерно 4,1 в квадранте III
    • Отношение косинусов отрицательное, поэтому x отрицателен и
      r положительный. Концевые плечи π / 6t должны лежать в
      квадранты II и III.
    • Чтобы найти значение π / 6t в квадранте II, вычтите
      соответствующий острый угол из π-0,96 = 2,18
    • Чтобы найти значение π / 6t в квадранте III, добавьте
      связанный острый угол с π. π + 0.96 = 4,1


Определите соответствующий острый угол.

(π / 6) t = 2,18
t =
(6 / π) (2,18)
т
≐4,16
t = 4,16 + 12
t = 16,16
(π / 6) t = 4,1

    • Поскольку Дженни завтра отправляется в плавание, ее домен 0≤t≤24.

t = (6 / π) (4,1)
т
≐7,83
т = 7,83 + 12
т = 19.83

    • Вы ​​можете сгенерировать больше решений, добавив 12 к периоду функции косинуса.

— Дженни может спокойно плыть в бухту, когда
уровень воды выше 2 м.
Это произойдет завтра днем,
с 7:50 до 16:10

    • Умножьте цифры справа от десятичной дроби на
      60, чтобы преобразовать долю часа в
      минут. Завтра уровень воды будет 2 м.
      примерно в 4:10 а.м., 7:50, 16:10 и
      19:50

4) Решите 2sin θ cos θ = cos2 θ для θ в интервале 0≤ θ ≤2π.

2sin θ cos θ = cos2 θ

sin2 θ = cos2 θ

    • Используйте формулу двойного угла sin θ , чтобы выразить уравнение, используя тот же аргумент.

sin2 θ / cos2 θ = cos2 θ / cos2 θ

tan2 θ = 1

Решить tan2 θ = 1

-1000π / 4

    • Используйте специальный треугольник 1, 1, √2, чтобы определить арктангенс 1.

∴ Коэффициент касательной положителен в квадрантах I и III.

    • Поскольку тангенциальное отношение положительное, x и y должны иметь
      тот же знак. Это означает, что конечное плечо 2 θ лежит в
      квадрант I или квадрант III.
  • Значение 2 θ в квадранте I составляет π / 4
  • Значение 2 θ в квадранте III составляет 5π / 4

Чтобы определить θ , решите следующие уравнения.

2 θ = π / 4
θ = π / 8
2 θ = 5π / 4
θ = 5π / 8

θ = (π / 8) + (π / 2) = 5π / 8 (уже определено)

θ = (5π / 8) + (π / 2) = 9π / 8

    • Период tan 2 θ равен π / 2, поэтому добавление этого к двум решениям сгенерирует другие решения в данной области, 0≤ θ ≤ 2π.

θ = (9π / 8) + (π / 2) = 13 π / 8

∴ Решения для θ : π / 8, 5π / 8, 9π / 8, или 13π / 8.

В целом

  • Те же стратегии можно использовать для решения линейных тригонометрических уравнений, когда
    переменная измеряется в градусах или радианах.
    • Из-за своей периодической природы тригонометрические уравнения имеют бесконечное число
      количество решений. Когда мы используем тригонометрическую модель, мы обычно хотим
      решения в пределах указанного интервала.
    • Для решения линейного тригонометрического уравнения используйте специальные треугольники, калькулятор,
      эскиз графика и / или правило CAST.
    • Научный или графический калькулятор дает очень точные оценки стоимости
      для обратной тригонометрической функции. Обратная тригонометрическая функция
      положительное соотношение дает соответствующий угол. Используйте соответствующий острый угол и
      период соответствующей функции для определения всех решений в заданном
      интервал.
    • Вы ​​можете использовать графический калькулятор, чтобы проверить решения для линейного
      тригонометрическое уравнение:
      • построение соответствующих функций на графическом калькуляторе и
        определение точек пересечения.
      • построение графика эквивалентной единственной функции и определение ее нулей.

ВИДЕО

РАБОТА

Попробуйте

стр. 2 x = 1, sin2x + cos2x = 1, мы имеем

sin⁡4x + sin⁡2x − 1 = cos⁡4x + cos⁡2xsin⁡4x − cos⁡4x + sin⁡2x − cos⁡2x − 1 = 0 (sin⁡2x + cos⁡2x) (sin⁡2x− cos⁡2x) + sin⁡2x − cos⁡2x − 1 = 02sin⁡2x − 2cos⁡2x − 1 = 02sin⁡2x − 2 (1 − sin⁡2x) −1 = 0⇒sin⁡2x = 34sin⁡x = ± 32.2 x & = \ frac {3} {4} \\
\ sin x & = \ pm \ frac {\ sqrt {3}} {2}.
\ end {align} sin4x + sin2x − 1sin4x − cos4x + sin2x − cos2x − 1 (sin2x + cos2x) (sin2x − cos2x) + sin2x − cos2x − 12sin2x − 2cos2x − 12sin2x − 2 (1 − sin2x) −1⇒sin2xsinx = cos4x + cos2x = 0 = 0 = 0 = 0 = 43 = ± 23.

Так как 0≤x≤2π, 0 \ leq x \ leq 2 \ pi, 0≤x≤2π, для sin⁡x = 32 \ sin x = \ frac {\ sqrt {3}} {2} sinx = 23 У нас

x = π3,23π. (1) x = \ frac {\ pi} {3}, \ frac {2} {3} \ pi. \ qquad (1) x = 3π, 32 π. (1)

Для sin⁡x = −32, \ sin x = — \ frac {\ sqrt {3}} {2}, sinx = −23, имеем

х = 43π, 53π.2 х) & = 0 \\
\ Rightarrow \ cos x & = 0, ~ \ sin x = \ frac {1} {2}, — \ frac {1} {2}.
\ end {align} cos2x − sin22xcos2x − 4sin2xcos2xcos2x (1−4sin2x) ⇒cosx = 0 = 0 (поскольку sin2x = 2sinxcosx) = 0 = 0, sinx = 21, −21.

Так как 0≤x≤2π, 0 \ leq x \ leq 2 \ pi, 0≤x≤2π, для cos⁡x = 0 \ cos x = 0cosx = 0 имеем

x = π2,32π. (1) x = \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3} {2} \ pi. \ qquad (1) x = 2π, 23 π. (1)

Для sin⁡x = 12, \ sin x = \ frac {1} {2}, sinx = 21 имеем

x = π6,56π. (2) x = \ frac {\ pi} {6}, \ frac {5} {6} \ pi.\ qquad (2) x = 6π, 65 π. (2)

Для sin⁡x = −12, \ sin x = — \ frac {1} {2}, sinx = −21, имеем

x = 76π, 116π. (3) x = \ frac {7} {6} \ pi, \ frac {11} {6} \ pi. \ qquad (3) x = 67 π, 611 π. (3)

Таким образом, из (1), (2) (1), (2) (1), (2) и (3) (3) (3) решения равны

х = π2,32π, π6,56π, 76π, 116π. □ x = \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3} {2} \ pi, \ frac {\ pi} {6}, \ frac {5} {6} \ pi, \ frac {7} {6} \ pi, \ frac {11} {6} \ pi. \ _ \ squarex = 2π, 23 π, 6π, 65 π, 67 π, 611 π. □

Факторизация тригонометрических уравнений — тригонометрия

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как найти общее решение тригонометрических уравнений?

Как найти общее решение тригонометрических уравнений?

Тригонометрические уравнения

Определение:
Уравнение, включающее одно или несколько тригонометрических соотношений неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением.

Тригонометрическое уравнение отличается от тригонометрических тождеств.Идентичность выполняется для каждого значения неизвестного угла , например, ., Cos 2 x = 1 — sin 2 x истинно ∀ x ∈ R, в то время как тригонометрическое уравнение выполняется для некоторых конкретных значений неизвестного угла .

(1) Корни тригонометрического уравнения: Значение неизвестного угла (переменная величина), которое удовлетворяет данному уравнению, называется корнем уравнения, например ., Cos θ = ½, корень равен θ = 60 ° или θ = 300 °, потому что уравнение удовлетворяется, если мы положим θ = 60 ° или θ = 300 °.

(2) Решение тригонометрических уравнений: Значение неизвестного угла, удовлетворяющее тригонометрическому уравнению, называется его решением.
Поскольку все тригонометрические отношения периодичны по своей природе, обычно тригонометрическое уравнение имеет более одного решения или бесконечное число решений. В основном есть три типа решений:

  1. Частное решение: Определенное значение неизвестного угла, удовлетворяющее уравнению.
  2. Главное решение: Наименьшее числовое значение неизвестного угла, удовлетворяющее уравнению (Наименьшее числовое частное решение).
  3. Общее решение: Полный набор значений неизвестного угла, удовлетворяющий уравнению. Он содержит все частные решения, а также основные решения.

Тригонометрические уравнения и их общее решение

Тригонометрическое уравнение Общее решение
грех θ = 0 θ = nπ
cos θ = 0 θ = nπ + π / 2
тангенс угла θ = 0 θ = nπ
грех θ = 1 θ = 2nπ + π / 2
cos θ = 1 θ = 2nπ
грех θ = грех α θ = nπ + (−1) n α
cos θ = cos α θ = 2nπ ± α
tan θ = tan α θ = nπ ± α
sin 2 θ = sin 2 α θ = nπ ± α
tan 2 θ = tan 2 α θ = nπ ± α
cos 2 θ = cos 2 α θ = nπ ± α
sin θ = sin α
cos θ = cos α
θ = nπ + α
sin θ = sin α
tan θ = tan α
θ = nπ + α
tan θ = tan α
cos θ = cos α
θ = nπ + α

Общее решение вида a cos θ + b sin θ = c

Метод определения основного значения

Предположим, нам нужно найти главное значение sin θ = −½, удовлетворяющее уравнению.
Так как sin θ отрицательный, θ будет в квадранте 3 rd или 4 th . Мы можем подойти к 3-му или 4-му квадранту с двух сторон. Если мы возьмем направление против часовой стрелки, числовое значение угла будет больше π. Если подойти к нему по часовой стрелке, угол будет численно меньше π. За главное значение мы должны взять численно наименьший угол. Итак, для главного значения.
(1) Если угол находится в 1-м или 2-м квадранте, мы должны выбрать направление против часовой стрелки, а если угол находится в квадранте 3 rd или 4 th , мы должны выбрать направление по часовой стрелке.
(2) Главное значение никогда численно не превышает π.
(3) Главное значение всегда находится в первом круге (т.е. в первом повороте). По вышеуказанным критериям θ будет -π / 6 или -5π / 6. Между этими двумя -π / 6 имеет наименьшее числовое значение. Следовательно, −π / 6 — это главное значение θ, удовлетворяющее уравнению sin θ = −½.
Из приведенного выше обсуждения метод нахождения главного значения можно резюмировать следующим образом:

  1. Сначала нарисуйте тригонометрический круг и отметьте квадрант, в котором может лежать угол.
  2. Выберите направление против часовой стрелки для 1 -го и 2 -го квадрантов и выберите направление по часовой стрелке для 3 -го и 4 -го квадрантов.
  3. Найдите угол при первом повороте.
  4. Выберите численно наименьший угол. Найденный таким образом угол будет главной величиной.
  5. В случае, если два угла, один с положительным знаком, а другой с отрицательным знаком, соответствуют численно наименьшему углу, тогда принято выбирать угол с положительным знаком в качестве главного значения.

Тригонометрические уравнения Задачи с решениями

1.

Решение:

2.

Решение:

3.

Решение:

4.

Решение:

5.

Решение:

6.

Решение:

7.

Решение:

8.

Решение:

9.

Решение:

Основные тригонометрические уравнения :

Когда просят решить 2x — 1 = 0, мы можем легко получить 2x = 1 и x = в качестве ответа.
Когда просят решить 2 sin x — 1 = 0, мы действуем аналогичным образом. Сначала мы смотрим на sin x как на переменную уравнения и решаем, как в первом примере.
2 sin x — 1 = 0
2 sin x = 1
sin x = 1/2

Знаки и квадранты :

Решения тригонометрических уравнений также можно найти, изучив знак значения триггера и определив соответствующий квадрант (квадранты) для этого значения.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.