Таблица корень n степени: Арифметический корень / math4school.ru

Содержание

Арифметический корень / math5school.ru

 

Арифметический корень

Свойства корней

Значения некоторых корней n-й степени

Таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99

Таблица кубических корней натуральных чисел от 1 до 99

 

Арифметический корень

Арифметическим корнем  n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b,  n-я степень которого равна a.

Записывается так: 

 

Эта запись означает, что b= a, где b и a – неотрицательные числа.

Число n называется показателем степени корня, число аподкоренным выражением, bзначением арифметического корня n-й степени. Операция нахождения значения корня называется извлечением корня.

Корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.

Корнем нечётной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число b, которое при его возведении в эту нечётную степень равно числу а.

Для корней нечётной степени справедливо равенство:

 

 

Свойства корней

Для положительных а и b, натуральных n и k (n ≥ 2, k ≥ 2), целого m выполняются следующие соотношения.

Кроме того, для любого числа а верно:

 

Значения некоторых корней

n-й степени







 3√8 = 2  4√16 = 2  5√32 = 2  6√64 = 2  7√128 = 2  8√256 = 2  9√512 = 2  10√1024 = 2
 3√27 = 3  4√81 = 3  5√243 = 3  6√729 = 3  7√2187 = 3  8√6561 = 3  9√19683 = 3  10√59049 = 3
 3√64 = 4  4√256 = 4  5√1024 = 4  6√4096 = 4  7√16384 = 4  8√65536 = 4  9√262144 = 4  10√1048576 = 4
 3√125 = 5  4√625 = 5  5√3125 = 5  6√15625 = 5  7√78125 = 5  8√390625 = 5  9√1953125 = 5  10√9765625 = 5
 3√216 = 6  4√1296 = 6  5√7776 = 6  6√46656 = 6  7√279936 = 6  8√1679616 = 6  9√10077696 = 6  10√60466176 = 6
 3√343 = 7  4√2401 = 7  5√16807 = 7  6√117649 = 7  7√823543 = 7  8√5764801 = 7  9√40353607 = 7  10√282475249 = 7

 

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

Excel корень n степени

КОРЕНЬ (функция КОРЕНЬ)

​Смотрите также​ которому извлечение корня​ можно и знак​​ ^ 1 /​​: А не установить​

Описание

​ степени (либо другая​ следующего вида:​

Синтаксис

​ нужно возвести.(1/2)​ указания явного возведения​ в явном указании​ под корнем.​ вычислить корень в​ надо найти. Во​ программе. Для её​




​ множество различных математических​

​#ЧИСЛО!​

​ все данные.​

​ КОРЕНЬ возвращает значение​

​ синтаксис формулы и​

​ возведению числа в​

​Cee cee​

​ число х возведётся​

​Alex gordon​

​Либо вместо ячейки​.​ в степень следует​ действия.​

​Таким образом, чтобы получить​

​ «Экселе», не всегда​

​ втором случае после​ вызова необходимо в​ вычислений.»,​Нажав кнопку «Вставить функцию»,​ значение корня n-ной​ подразумевается именно квадратный.​ нажатия кнопки «Вставить​ самой ячейке или​ принцип работы с​

Функция «корень»

​Чтобы избежать ошибки #ЧИСЛО!,​-16​Скопируйте образец данных из​КОРЕНЬ​ принцип универсален: он​ — и Ivantrs,​ и результат будет​https://www.youtube.com/watch?v=_DIjLQ4TC8Y​ подставляется само число​Александр пузанов​ после которого указывается​ необходимо в поисковой​ степени, достаточно возвести​

​ Для вычисления корня​ функцию» необходимо в​ строке формул прописать​ простейшими действиями понятен​ сначала с помощью​Формула​ следующей таблицы и​в Microsoft Excel.​ позволяет находить корень​ и Loony.​ поделен на 4…​Ivantrs​ из которого извлекается​: Выделить ячейку в​ степень. Стоит отметить,​ строке написать «степень»​ число в обратную​ любой степени следует​ поисковом поле написать​ её синтаксис, либо​

Математическая хитрость

​ большинству, то как​ функции ABS найдите​Описание​ вставьте их в​Возвращает положительное значение квадратного​ любой степени через​Alex gordon​Loony​: да. (​ здесь — число​В строке для​ необходимо заключить её​ окне будет два​ в «Экселе» данным​ смысла корня. По​ этого откроется окно,​При выборе первого способа​ не все.​ извлеките из него​Квадратный корень числа 16.​ отобразить результаты формул,​Аргументы функции КОРЕНЬ описаны​Dmitry melkov​​Snejana​​ специальная функция СТЕПЕНЬ​

​ 1 / 4​

fb.ru>

Как ввести формулу в Excel, чтобы вычислить корень третьей степени?

​ 8​​ вставки функции ввести​ в скобки, чтобы​ поля — в​
​ способом, можно также​ определению, значение корня​ в котором предлагается​ в ячейке необходимо​Способов вычислить квадратный корень​ квадратный корень.​4​ выделите их и​
​ ниже.​: Снежок абсолютно права,​: Насколько я знаю,​ имеется. A1 -эт​ )​Kkh​ =СТЕПЕНЬ (В5;1/3) где​ получить корректный результат.​

​ первом нужно указать​​ воспользоваться одним из​ n-ной степени -​

​ либо прописать число​​ записать «=КОРЕНЬ(Х)», где​ в «Экселе» несколько,​

​4​​=КОРЕНЬ(A2)​
​ нажмите клавишу F2,​

Как в excel записать корень 4-oй степени из x? И можно ли его заминить на x^1/4?

​Число​​ в excel это​ корни в эксель​
​ для примера, ячейка​возведение в степень​: Можно возвести в​
​ В5 ячейка с​ Таким образом, для​ число, а во​
​ возможных алгоритмов решения.​ то число, которое​ вручную, либо выбрать​ вместо «Х» следует​ и самый удобный​Программа Microsoft Excel имеет​Квадратный корень числа -16.​

​ а затем —​​    Обязательный. Число, для которого​ будет так:​ только квадратные.​ где содержится число,​ имеет самый высокий​ степень 1/3​ чилом из которого​ вычисления квадратного корня​ втором — степень,​ Первый из них​

​ необходимо возвести в​​ ячейку, в которой​ указать число или​ из них -​

​ богатый набор различных​​ Так как число​
​ клавишу ВВОД. При​

Вычисления в excel. Подскажите как в формуле отразить корень 11 степени. В какой категории искать(математической…) ?

​ вычисляется квадратный корень.​​=степень (ваше число;​Но можно воспользоваться​ которое в степень​
​ приоритет…​Strannik strano​ извлекается корень третьей​ необходимо записать конструкцию​ в которую его​ заключается в использовании​ степень n, чтобы​ находится искомое число.{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Пример 1
$$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2
$$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3
$$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4
$$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$
$$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 5
$$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Пример 6
$$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.k} $$

формулировки, доказательства, примеры, свойства корней n й степени

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства  n-ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах .

  1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
  2. из частного a:b= a:b,  a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
  3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b — число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·bпри возведении в квадрат. Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a<0.

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство a2=a. При a<0 будет верно равенство a2=-a. На самом деле, в этом случае −a>0 и (−a)2=a2. Можно сделать вывод, a2=a, a≥0-a, a<0=a. Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

52=5=5 и -0,362=-0,36=0,36.

 Доказанное свойство поможет дать обоснованиеa2·m=am, где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда a2·m=(am)2=am.

Пример 3

38=34=34 и (-8,3)14=-8,37=(8,3)7.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n-ой степени:

  1. Свойство из произведения чисел a и b, которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a·bn=an·bn, данное свойство справедливо для произведения k чисел a1, a2, …, ak как a1· a2· …·akn=a1n· a2n· …·akn;
  2.  из дробного числа обладает свойством abn=anbn, где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
  3. При любом a и четных показателях n=2·m справедливо a2·m2·m=a, а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство a2·m-12·m-1=a.
  4. Свойство извлечения из amn=an·m, где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде …ankn2n1=an1·n2…·nk;
  5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m, которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство amn·m=an;
  6. Свойство степени n из степени числа a, которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m, определяемое равенством amn=anm;
  7. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство an<bn;
  8. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство am>an, а при a>1 выполняется am<an.

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

  1. Первым делом докажем свойства корня n-ой степени из произведения a·bn=an·bn. Для a и b, которые являются положительными или равными нулю, значение an·bn также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство an·bnn=ann·bnn. По определению корня n-ой степени ann=a и bnn=b, следовательно, an·bnn=a·b. Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, …, an выполняется a1n· a2n· …· akn ≥0 .

Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: 5·2127=57·2127 и 8,34·17,(21)4·34·574=8,3·17,(21)·3·574.

  1. Докажем свойство корня из частного  abn=anbn. При a≥0 и b>0выполняется условие anbn≥0, а anbnn=annbnn=ab.

Покажем примеры:

Пример 4

8273=83273 и  2,310:2310=2,3:2310.

  1. Для следующего шага необходимо доказать свойства n-ой степени из числа в степени n. Представим это в виде равенства a2·m2·m=a и a2·m-12·m-1=a для любого действительного a и натурального m. При a≥0 получаем a=a и a2·m=a2·m, что доказывает равенство a2·m2·m=a, а равенство a2·m-12·m-1=a очевидно. При a<0 получаем соответственно a=-a и a2·m=(-a)2·m=a2·m. Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a2·m2·m=a, а a2·m-12·m-1=a будет справедливо, так как за  нечетной степени рассматривается -c2·m-1=-c2·m-1 для любого числа c, положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

Пример 5

744=7=7, (-5)1212=-5=5, 088=0=0, 633=6 и (-3,39)55=-3,39.

  1. Докажем следующее равенство amn=an·m. Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами an·m=amn. Это будет означать верная запись . Для a, которое является положительным или равно нулю, из вида amn является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде amnn·m=amnnm=amm=a. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, …ankn2n1n1·n2·…·nk=…ankn3n2n2·n3·…·nk=…ankn4n3n3·n4·…·nk=…=anknk=a.

Например,735=75·3 и 0,00096=0,00092·2·6=0,000924.

  1. Докажем следующее свойство amn·m=an. Для этого необходимо показать, что an – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n·m равно am. Если число a является положительным или равным нулю, то n-ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом an·mn=annm, что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

2312=24.

  1. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида amn=anm. Очевидно, что при a≥0 степень anm является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна am, действительно, anmn=anm·n=annm=am. Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, 2353=2335.

  1. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a<b. Рассмотрим неравенство an<bn. Воспользуемся методом от противного an≥bn. Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным ann≥bnn, то есть, a≥b. Но это не соответствует условию a<b. Следовательно, an<bn при a<b.

Для примера приведем 124<15234.

  1. Рассмотрим свойство корня n-ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m>n и 0<a<1справедливо am>an. Предположим, что am≤an. Свойства позволят упростить выражение до anm·n≤amm·n. Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство anm·nm·n≤amm·nm·n, то есть, an≤am. Полученное значение при m>n и 0<a<1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при m>n и a>1справедливо условие am<an.

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6

Методическое пособие по математике «Корень n -ой степени. Степень с рациональным показателем» — Интерактивное пособие — Конкурс Интерактивная мозаика

Пояснительная
записка

ИНТЕРАКТИВНОЕ
ПОСОБИЕ
по дисциплине «Математика»

Корень
n-ой
степени. Степень с рациональным
показателем.

Как
показывает опыт преподавания в НПО и
СПО, понятия корня n-ой
степени и степени с рациональным
показателем оказываются достаточно
сложными для восприятия студентов.

Тема
интерактивного пособия «Корень n-ой
степени. Степень с рациональным
показателем».
С помощью данного пособия можно
сформировать и закрепить знания и умения
выполнения действий с корнями и степенями
с рациональным показателем. Это необходимо
чтобы обеспечить основу для дальнейшего
изучения курса математика, в частности
темы «Логарифмы». В пособии имеются
вкладки:

«Справочник»
— дает информацию об основных понятиях
и свойствах корней и степеней.

«Проверь
себя» -дает возможность к повторению и
закреплению знаний в тестовой форме.

«Решение
задач» — позволяет просмотреть применение
изучаемых понятий при решении практических
задач.

Так
же в пособии даны источники информации
и иллюстраций, управления презентации,
дополнительная информация из истории
математики и занимательные задачи по
теме.

Действия
кнопок и гиперссылок презентации:

Кнопка

– переход в главное меню,

Кнопка

— переход в подменю.

?

Кнопка
открывает правильные ответы

Кнопки

переход
к предыдущему / следующему слайду

Фиолетовые
прямоугольники являются «text-box».
В них можно ввести информацию в режиме
показа презентации, даже если у Вас нет
интерактивной доски, а есть просто
проектор и экран. Но при работе презентации
включите её содержимое при открытии
окна «Центра безопасности». Эти «text-box»
не имею макросов, но они имею настройки
по величине, виду шрифта и его расположению.

Подписи
синего цвета является триггерами, для
появления ответов,

Кроме
того, в презентации есть гиперссылки
на внешние источники информации.

Презентация
может быть использована на уроке для
повторения материала, а также для
самостоятельной работы студентов 1-2
курса.

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы извлечь квадратный корень из 225, вы используете эту формулу: =КОРЕНЬ(225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: =КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на изображении выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает ошибку #ЧИСЛО! Это происходит потому, что квадратный корень отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел.0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня.(1/5)

Квадратный корень в Excel – Извлечь корень n-ой степени

Чтобы выполнить несколько вычислений с помощью одной формулы, как в приведенном выше примере, используйте знак доллара ($). Для получения дополнительной информации см. статью Абсолютные и относительные ссылки в Excel.

Вот такими способами вы можете извлечь квадратный корень в Excel.

Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня

Формулы преобразования степени числа. Свойства степени


(ab)n=anbn   


Степень произведения двух чисел равна произведению каждого из сомножителей в этой степени  


( a / b )n  = an / bn


Степень частного равна частному этих чисел, каждое из которых возведено в данную степень  


an am = an+m


Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней


an  / am = an-m если n > m


Частное двух одинаковых чисел в разной степени равно этому числу в степени разности числителя и знаменателя, при условии, что степень числа в числителе больше степени в знаменателе. 


(an )m=anm


Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению


Формулы преобразования корня числа. Свойства корня


n√0 = 0


Корень произвольной степени из нуля равен нулю


n√1 = 1

  Корень произвольной степени из единицы равен единице



Корень числа произвольной степени, возведенный в эту же степень, равен этому числу.


Корень произвольной степени от произведения равен произведению корней этой же степени каждого из множителей


Корень произвольной степени частного двух чисел равен частному корней этой степени этих же чисел



Содержание главы:

 Задача про бросание гранаты |

Описание курса

| Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа 

   

2-значные корни 4, 5, 6 и n

Двузначные кубические корни совершенных кубов, лежащие между 1000 и 1000000

Ранее мы рассматривали способы угадывать квадратные корни из точных квадратов, лежащих между 100 и 10000. с помощью простых методов. Теперь рассмотрим аналогичные сокращения для угадывания двузначных кубических корней идеальных кубов, лежащих между 1000 и 1000000.

Прежде всего отметим, что: Цифровая сумма двузначного кубического корня Цифровая сумма

куб

1 3 = 1 1 1

2 3 = 8 2 8

3 3 = 27 3 0

4 3 = 64 4 1

5 3 = 125 5 8

6 3 = 216 6 0

7 3 = 343 7 1

8 3 = 512 8 8

9 3 = 729 9 0

10 3 = 1000 0 0

Отметим также, что: Цифровая сумма куба Цифровая сумма кубического корня

10 3 = 1000 0 0, 3, 6, 9

20 3 = 8000 1 1, 4, 7

30 3 = 27000 8 2, 5, 8

40 3 = 64000 Примечание: интересно видеть, что цифровая сумма из

50 3 = 125000 в идеальном кубе может быть только 0, 1 и 8, и никакие другие;

60 3 = 216000 соответствует заданной цифровой сумме куба, там

70 3 = 343000 может быть 3 цифровых сумм кубического корня и три

различных возможностей кубического корня, но это будет

80 3 = 512000 видно, что только один из трех дает

90 3 = 729000 правильный кубический корень, соответствующий числам в

100 3 = 1000000.разные цифры данного куба ..

Начинается последовательность неотрицательных идеальных кубов (последовательность A000578 в OEIS):

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824 , 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184,

, 97736, 1176423, 110592, , 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Следует напомнить, что в случае квадратных корней и квадратов шаблон цифровой суммы выглядит следующим образом:

Цифровая сумма квадратного корня Цифровая сумма квадрата

1,8 1

2, 4

3,6,9 0

4,5 7

Таким образом, мы видим, что цифровая сумма квадрата может быть только 0,1,4,7, и это оставляет выбор из четырех для цифровой суммы квадратного корня, в то время как в случае кубических корней есть три варианта для получения конкретная цифровая сумма куба.В случае двузначных квадратных корней проблема упрощается, поскольку первая цифра и последняя цифра фиксированы, а из возможных вариантов только один однозначно дает требуемый квадратный корень.

В случае более чем одного выбора цифровой суммы трехзначных квадратных корней или трехзначных кубических корней, мы должны учитывать, какая средняя цифра дает требуемую цифровую сумму корня, а какой квадратный корень или кубический корень с этим средняя цифра дает последние две или три цифры квадрата или куба, в зависимости от обстоятельств, и этот процесс исключения даст один уникальный корень.

Следующий общий теоретический анализ для определения последних двух или трех цифр идеального куба будет полезен при проверке требуемых двух или трех последних цифр куба.

Двузначные кубические корни: Рассмотрим a b c, трехзначное число в десятичной системе счисления, где 0

(a b c) 2 появится в десятичной системе счисления следующим образом:

а б в х

а б в

________________________

a 2 2ab b 2 + 2 переменного тока 2bc c 2

Последние две или три цифры квадрата зависят от выбора средней цифры корня и той, которая зависит от b, а именно от последних двух или трех цифр, в зависимости от случая, и которая совпадает с двумя последними. или три цифры квадрата, дает требуемый квадратный корень.Другими словами, определив первую цифру и последнюю цифру квадратного корня, мы выбираем ту среднюю цифру b, которая дает последние две цифры данного квадрата.

Аналогичный метод будет применяться в случае трехзначных кубических корней из совершенных кубов также в диапазоне 100 3 и 1000 3 .

Сначала рассмотрим двузначных кубических корня.

Предположим, что a 3 3 3 , тогда, поскольку мы имеем дело только с положительными числами, следует, что a

Предположим, нам дан идеальный куб, расположенный, скажем, между 1000 и 8000, из этого следует, что его кубический корень должен лежать между 10 и 20. Итак, требуемый кубический корень должен быть 1c, где c в разряде единиц должно быть быть выясненным.

Число в единицах идеального куба должно удовлетворять следующим условиям:

Кол-во в единицах место кубического корня Кол-во в единицах место куба

1 1

2 8

3 7

4 4

5 5

6 6

7 3

8 2

9 9

Как только мы выяснили, между какими числами должен лежать кубический корень,

проблема сводится к нахождению единиц измерения этого корня куба, как видно из вышеприведенной таблицы, однозначно, принимая во внимание цифровую сумму корня куба, которую можно получить при вычислении цифровой суммы куба.

Мы можем сконцентрироваться на числах в кубе, опуская последние три цифры, и это поможет нам определить число в десятых долях кубического корня.

Тогда, используя принцип цифровой суммы, мы можем проверить наш ответ.

Ниже мы приводим несколько примеров, чтобы проиллюстрировать метод:

Пример 1: Найдите кубический корень из 39034

Ответ r: Сконцентрируйтесь на 39, исключив 034. 39 находится между 27 и 64, поэтому число в десятых долях требуемого кубического корня должно лежать между 3 и 4.Куб оканчивается на 4, поэтому корень куба также должен заканчиваться на 4, как видно из приведенной выше таблицы. Следовательно, требуемый кубический корень равен 34.

Проверка : Цифровая сумма 34 x 34 x 34 равна 7 x 7 x 7 или 49 x 7, или 28 или 1, после отбрасывания девяток и нулей.

Цифровая сумма 39034 равна 3 +0 + 3 + 4 = 10 или 1.

Следовательно, цифровая сумма 34 3 = 1 совпадает с цифровой суммой данного куба, а именно 1..

Следовательно, наш ответ 34 правильный.

Пример 2: Найдите кубический корень из 314432.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 314, оставив последние три цифры. 314 находится между 216 и 343, и, исходя из вышеприведенного, число в разряде десятых кубического корня должно быть 6.

Данный куб оканчивается на 2. Следовательно, корень куба должен заканчиваться на 8.

Следовательно, требуемый кубический корень должен быть 68.

Проверка: Цифровая сумма 68 равна 5, а 68 3 равна 5 x 5 x 5 или 125 или 8.

Цифровая сумма 314432 равна 17 или 8.

Следовательно, наш ответ, что требуемый кубический корень равен 68, является правильным.

Пример 3: Найдите кубический корень из 12167.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 12, исключив 167. 12 находится между 8 и 27, и, следовательно, нумерация десятых разряда кубического корня должна быть 2.

Куб оканчивается на 7, и, следовательно, число в единицах кубического корня должно быть 3. Итак, требуемый кубический корень равен 23.

Проверка: Цифровая сумма 12167 равна 17 или 8.

Цифровая сумма 23 3 равна 5 x 5 x 5 или 125 или 8. Следовательно, ответ, что кубический корень равен 23, правильный.

Пример 4: Найдите кубический корень из 79507.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 79, исключив 507. 79 находится между 64 и 125. Следовательно, число в разряде десятых кубического корня должно быть 4.

Данный куб оканчивается на 7, поэтому корень куба должен заканчиваться на 3.

Следовательно, требуемый кубический корень равен 43.

Проверка: Цифровая сумма данного куба равна 19 или 1.

Цифровая сумма 43 3 равна 7 x 7 x 7 или 49 x 7, или 8, или 1.

Поскольку две цифровые суммы суммируются, ответ, что корень куба равен 43, является правильным.

Пример 5: Найдите кубический корень из 658503.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 658, исключив 503. 658 находится между 512 и 729.Следовательно, число в разряде десятых кубического корня должно быть 8.

Куб оканчивается цифрой 3. Следовательно, корень куба должен заканчиваться цифрой 7. Следовательно, требуемый кубический корень равен 87.

Проверка: Цифровая сумма куба равна 9 или 0.

Цифровая сумма 87 3 равна 6 x 6 x 6, или 216, или 9, или 0.

Поскольку две цифровые суммы суммируются, ответ, что кубический корень равен 87, является правильным.

Пример 6: Найдите кубический корень из 456533.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 456 , исключите 533. 456 находится между 343 и 512. Следовательно, нумерация десятых разряда кубического корня должна быть 7.

Куб оканчивается цифрой 3, следовательно, корень куба должен заканчиваться цифрой 7.

Итак, требуемый кубический корень равен 77.

Проверка: Цифровая сумма данного куба равна 8.

Цифровая сумма 77 3 равна 5 x 5 x 5 или 12 или 8.

Две цифровые суммы суммируются, и, следовательно, ответ, что кубический корень равен 77, правильный.

Пример 7: Найдите кубический корень из 778688.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 778, исключив 688. 778 лежит между 729 и 1000. Следовательно, число в разряде десятых кубического корня должно быть 9.

Куб оканчивается цифрой 8, следовательно, корень куба должен заканчиваться цифрой 2. Следовательно, требуемый кубический корень равен 92.

Проверка: Цифровая сумма данного куба равна 8.

Цифровая сумма 92 3 равна 2 x 2 x 2 или 8.

Две цифровые суммы суммируются, и, следовательно, ответ, что кубический корень равен 92, правильный.

Пример 8: Найдите кубический корень из 195112.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 195. 195 находится между 125 и 216. Следовательно, число в разряде десятых кубического корня должно быть 5.

Куб оканчивается на 2, а корень куба должен заканчиваться на 8.

Итак, требуемый кубический корень равен 58.

Проверка: Цифровая сумма данного куба равна `.

Цифровая сумма 58 3 равна 4 x 4 x 4 или 64 или 1.

Две цифровые суммы складываются, и, следовательно, ответ, что кубический корень равен 58, правильный.

Пример 9: Найдите кубический корень из 405224.

Ответ: Сконцентрируйтесь на 405, исключив 224. 405 находится между 343 и 512, и, следовательно, число в десятых долях кубического корня должно быть 7.

Куб оканчивается на 4, и, следовательно, корень куба также должен заканчиваться на 4, и, следовательно, требуемый корень куба равен 74.

Проверка: Цифровая сумма данного куба равна 8.

Цифровая сумма 74 3 равна 2 x 2 x 2 или 8.

Две цифровые суммы суммируются, и, следовательно, ответ, что корень куба равен 74, правильный.

Трехзначные кубические корни совершенных кубов, лежащие между 100 3 и 1000 3

Воодушевленные успехом нашей техники с цифровыми суммами, позволяющими рискнуть угадать двузначные кубические корни идеальных кубов в диапазоне от 10 3 до 10 6 , теперь мы делаем небольшой набег на аналогичное упражнение. для трехзначных кубических корней из совершенных кубов в диапазоне от 10 6 до 10 9 .

Как упоминалось ранее, проблема заключается в том, чтобы исправить среднюю цифру кубического корня, и она решается путем изучения того, какой кубический корень с определенной средней цифрой при построении куба дает последние два или три числа в данном кубе.

Следующий теоретический анализ поможет зафиксировать числа в последних двух или трех цифрах куба на кубе abc.

а б в х

а б в

___________________________

a 2 2ab b 2 + 2ac 2bc c 2 x

0 0 а б в

____________________________________________________

……………… ,,,,,,,, 3 (b 2 c + ac 2 ) 3bc 2 c 3 .

Как правило, 3bc 2 c 3 будет определять среднюю цифру кубического корня, но иногда, возможно, следующее число слева, а именно 3 (b 2 c + ac 2 ), также может потребоваться для его исправления. .

Теперь мы рассмотрим применение этой техники для вычисления трехзначных кубических корней данных кубов в диапазоне от 10 6 до 10 9 .

Пример 1: Найдите кубический корень из 263374721.

Ответ: Обратите внимание, что 600 3 <263000000 <700 3 .Итак, первая цифра корня куба должна быть 6. Последняя цифра корня должна быть 1.

Кубический корень — 6… ..1, где должна быть завершена средняя цифра.

Цифровая сумма данного куба равна 8. Итак, цифровая сумма корня куба должна быть 2, 5 или 8.

Итак, средняя цифра 6… 1 должна быть выбрана так, чтобы ее цифровая сумма была равна 2, 5 или 8.

Итак, возможности: 641, 671, 611.

Случай 1 : 611. Здесь a = 6, b = 1 и c = 1.

3bc 2 c 3 = 3 1.Это не связано с числами в кубе. Итак, 611 исключен.

Случай 2 : 671. Здесь a = 6. b = 7 и c = 1.

3bc 2 c 3 = 21 1, что не совпадает с двумя последними цифрами куба.

Итак, 671 тоже исключен.

Случай 3: 641. Здесь a = 6, b = 4 и c = 1.

3bc 2 c 3 дает 12 1. Последние две цифры куба суммируются.Итак, 641 — это требуемый кубический корень.

Пример 2: Найдите кубический корень из 814780504.

Ответ: 900 3 <данный куб <1000 3 .

Итак, первая цифра кубического корня — 9. Последняя цифра должна быть 4.

Цифровая сумма данного куба равна 1. Таким образом, средняя цифра должна быть выбрана так, чтобы (9 +…. + 4) 3 давала цифровую сумму 1. Следовательно, возможны 934, 964 и 994 или 904, так как цифровая сумма на кубе будет 1.

Случай 1 : Рассмотрим 964. Здесь a = 9, b = 6 и c = 4.

3bc 2 c 3 даст: 288 64 или 4 4 для последних 2 цифр куба, и это не совпадает. Итак, 964 исключен.

Случай 2 : Рассмотрим 994. Вот. a = 9. b = 9 и c = 4.

3bc 2 c 3 даст 432 64 или… … 8 4 как последние 2 цифры куба, что не совпадает. Итак, 994 исключен.

Случай 3 : Рассмотрим 994.Здесь a = 9, b = 0 и c = 4, и это дает:

0 64 или 6 4 как последние 2 цифры, что также не совпадает. Следовательно, 904 также исключен.

Случай 4 : Рассмотрим 934. Здесь a = 9, b = 3 и c = 4.

3bc 2 c 3 даст 144 64 или 0 4 в качестве последних двух цифр куба. Следовательно, 934 — это требуемый кубический корень.

Пример 3: Найдите кубический корень из 41063625.

Ответ: 300 3 <заданный куб <400 3 . Итак, первая цифра корня куба должна быть 3. Последняя цифра корня должна быть 5.

Цифровая сумма данного куба равна 0. Итак, цифровая сумма корня должна быть 3, 6, 9. Итак, 3… ..5 может быть: 3 1 5, 3 4 5, 3 7 5.

Случай 1 : Рассмотрим 315. Здесь a = 3, b = 1 и c = 5.

3bc 2 c 3 даст 75 125 или 7 5 как последние две цифры куба, что не совпадает. Следовательно, 315 исключен.

Случай 2 : Рассмотрим 375. Здесь a = 3, b = 7 и c = 5.

3bc 2 c 3 даст 525 125 или 7 5 в качестве последних двух цифр куба, что не совпадает. Следовательно, 375 исключены.

Случай 3: Рассмотрим 345. Здесь a = 3 b = 4 и c = 5.

3bc 2 c 3 даст 300 125 или 2 5 в качестве последних двух цифр куба, что совпадает, и, следовательно, 345 является требуемым корнем куба.

Пример 4 : Найдите кубический корень из 393832837.

Отметил, что 700 3 <заданный куб <800 3 .

Итак, первая цифра корня должна быть 7. Последняя цифра должна быть 3.

Итак, кубический корень равен 7… .3.

Цифровая сумма куба равна 1. Итак, цифровая сумма корня также должна быть 1, 4, 7.

Итак, варианты: 733, 763 и 793, 703.

Случай 1: Рассмотрим 763.Здесь a = 7, b = 6 и c = 3.

3bc 2 c 3 даст 162 27 или 4 7 в качестве последних 2 копий куба, что не совпадает. Следовательно, 763 исключается.

Случай 2: Рассмотрим 793. Здесь a = 7, b = 9 и c = 3.

3bc 2 c 3 даст 243 27 или 5 7, что не является союзником, и, следовательно, 793 исключен.

Случай 3: Рассмотрим 703. 3bc c 3 дает 0 27 или 2 7 в качестве последних двух цифр куба и, следовательно, исключен.

Случай 4: Рассмотрим 733: Здесь a = 7, b = 3 и c = 3.

3bc 2 c 3 даст 81 27, что дает 3 7 как последние две цифры куба

Следовательно, 733 — это требуемый кубический корень.

Пример 5: Найдите кубический корень из 565609283.

Обратите внимание, что 800 3 <заданный куб <900 3 .

Итак, первая цифра корня — 8.Последняя цифра — 7.

Итак, корень 8… ..7.

Цифровая сумма куба равна 8. Цифровая сумма корня должна быть 2, 5 или 8, что при вычислении куба даст цифровую сумму куба как 8.

Итак, варианты: 827 и 857, 887.

Случай 1: Рассмотрим 857. Здесь a = 8, b = 5 и c = 7.

3bc 2 c 3 даст 735 343 или 9 3 как последние 2 цифры куба, что не совпадает, и, следовательно, 857 исключается.

Случай 2: Рассмотрим 887.Здесь a = 8, b = 8 и c = 7.

3bc 2 c 3 даст 1176 343 или 0 3 как последние 2 цифры куба, что не совпадает, и, следовательно, 887 исключается.

Случай 3: Рассмотрим 827. Здесь a = 8, b = 2 и c = 7.

3bc 2 c 3 даст 294 343 или 8 3 как последние две цифры куба, которые подходят и, следовательно, 827 — это требуемый корень куба.

Пр.6: Найдите кубический корень из 132.

Ответ: Обратите внимание, что 200 3 <заданный куб <300 3 .

Итак, первая цифра корня — 2. Последняя цифра — 8.

Итак, корень 2… .8.

Цифровая сумма куба 1.

Итак, цифровая сумма кубического корня может быть 1, 4 или 7.

Итак, возможны следующие варианты: 2… ..8, среднее число выбирается для получения желаемой цифровой суммы для корня.

Итак, у нас есть возможности: 298, 238, 268.

Случай 1: Рассмотрим: 298: Здесь. а = 2, б = 9 и с = 8

3bc 2 c 3 даст 1728 512 или 9 2 в качестве последних двух цифр куба, что не совпадает, и, следовательно, 298 исключается.

Случай 2: Рассмотрим 238: Здесь a = 2, b = 3 и c = 8.

3bc 2 c 3 даст 576 512 или 7 2 в качестве последних двух цифр куба, что не совпадает, и, следовательно, 238 исключается.

Случай 3: Рассмотрим 268: Здесь a = 2, b = 6 и c = 8.

3bc 2 c 3 даст 1152 512 или 3 2 в качестве последних двух цифр куба, что совпадает, и, следовательно, 268 является требуемым корнем куба.

Пример 7: Найдите кубический корень из

408.

Ответ: Обратите внимание, что 400 3 <заданный куб <500 3 .

Итак, первая цифра кубического корня — 4, а последняя цифра кубического корня — 2.

Цифровая сумма данного куба равна 8. Цифровая сумма кубического корня должна быть 2, 5 или 8.

Итак, возможны варианты 422, 452 и 482.

Случай 1: Рассмотрим 422. Здесь a = 4, b = 2 и c = 2.

3bc 2 c 3 даст 24 8, что дает 4 8 как последние две цифры куба, что не совпадает, и, следовательно, 422 исключается.

Случай 2: Рассмотрим 482. Здесь a = 8, b = 8 и c = 2.

3bc 2 c 3 даст 96 8, что дает 6 8 как последние две цифры куба, что не совпадает, и, следовательно, 482 исключается.

Случай 3: Рассмотрим 452. Здесь a = 4, b = 5 и c = 2.

3bc 2 c 3 даст 60 8, что дает 0 8, что совпадает, и, следовательно, 452 — это требуемый кубический корень.

Следующие таблицы будут полезны для справки.

Таблица I

_____________________________________________________________

Корневое число Квадрат Цифровая сумма куба цифровая сумма 4 th power digital

Квадрат суммы куба

4 th мощность

_____________________________________________________________

1 1 1 1 1 1 1

2 4 4 8 8 16 7

3 9 0 27 0 81 0

4 16 7 64 1 256 4

5 25 7 125 8 625 4

6 36 0 216 0 1296 0

7 49 4 343 1 2401 7

8 64 1 512 8 4096 1

9 81 0 729 0 6561 0

Таблица 2

Число корня Пятая степень Цифровая сумма 5 -я степень

_____________________________________________________________

1 1 1

2 32 5

3 243 0

4 1024 7

5 3125 2

6 7776 0

7 16807 4

8 32768 8

9 59049 0

__________________________________________________________

Число шестой степени Цифровая сумма 6 th степень

1 1 1

2 64 1

3 729 0

4 4096 1

5 15625 1

6 46656 0

7 117649 1`

8 262144 1

9 531441 0

_____________________________________________________________

Таблица 4

_____________________________________________________________

Степень числа Цифровая сумма степеней Цифровая сумма искомого корня

_____________________________________________________________

Мощность 6n + 2, n> или = 0

Квадрат 0 3, 6, 9

1 1, 8

7 4, 5

4 2, 7

_____________________________________________________________

Мощность 6n + 3, n> или = 0

Куб 0 3, 6, 9

1 1, 4, 7

8 2, 5, 8

_____________________________________________________________

Мощность 6n + 4, n> или = 0

Четвертая степень 0 3, 6, 9

1 1, 8

4 4.5

7 2, 7

_____________________________________________________________

Мощность 6n + 5, n> или = 0

Пятая степень 0 3, 6, 9

1 1

2 5

4 7

5 2

7 4

8 8

Мощность 6n + 6, n> или = 0

Шестая степень 0 3, 6, 9

1 1,2,4,5,7,8

_____________________________________________________________

Таким образом, будет видно, что в случае степеней до 5 концепция цифровой суммы может быть успешно использована для нахождения требуемого корня, поскольку числа в разрядах корня, особенно последняя цифра, могут быть получены без двусмысленность.Но когда дело доходит до степени 6, мы обнаруживаем, что любое число может уместиться в последней цифре корня, что приводит к двусмысленности. Но эта проблема может быть решена путем определения двух последних цифр данного числа с каждой из возможностей, а затем выбора правильной. Далее мы проиллюстрируем это на примере.

Число Квадратный куб Четвертая степень Пятая степень Шестая степень

1 1 1 1 1 1

2 4 8 16 32 64

3 9 27 81 243 729

4 16 64 256 1024 4096

5 25 125 625 3125 15625

6 36 216 1296 7776 46656

7 49 343 2401 16807 117649

8 64 512 4096 32768 262144

9 81729 6561 59049 531441

____________________________________________________________

Цифровая сумма

Число Квадратный куб Четвертая степень Пятая степень Шестая степень

_____________________________________________________________

1 1 1 1 1 1

2 4 8 7 5 1

3 0 0 0 0 0

4 7 1 4 7 1

5 7 8 4 2 1

6 0 0 0 0 0

7 4 1 7 4 1

8 1 8 1 8 1

9 0 0 0 0 0

Таблица C

_____________________________________________________________

Конечная цифра числа

Число Квадратный куб Четвертая степень Пятая степень Шестая степень

1 1 1 1 1 1

2 4 8 6 2 4

3 9 7 1 3 9

4 6 4 6 4 6

5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6

7 9 3 1 7 9

8 4 2 6 8 4

9 1 9 1 9 1

_____________________________________________________________

Последние две цифры

в десятичной системе счисления для степени ab

Число Квадратный куб Четвертая степень Пятая степень Шестая степень

a b 2ab b 2 3ab 2 b 3 4ab 3 b 4 5ab 4 b 5 6ab 5 b 6

Цифровая сумма Цифровая сумма искомого корня

Мощность

Квадрат 0 3, 6, 9

1 1, 8

4 2, 7

7 4, 5

Куб 0 3, 6, 9

1 1, 4, 7

8 2, 5, 8

___________________________________________________

Четвертая степень 0 3, 6, 9

1 1, 8

4 4, 5

7 2, 7

Пятая сила 0 3, 6, 9

1 1

2 5

4 7

5 2

7 4

8 8

Шестая степень 0 3, 6, 9

1 1, 2, 4, 5, 7, 8

Таблица F

Числа в десятичной системе счисления для степени ab

Первая степень a b

Квадрат a 2 2ab b 2

Куб a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3

Четвертая степень a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4

Пятая мощность a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5

Шестая степень a 6 6a 5 b 15a 4 b 2 20a 3 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 6

_____________________________________________________________

Таблица G

Последние две цифры степеней ab

_____________________________________________________________

Квадрат 2ab b 2

Куб 3ab 2 b 3

Четвертая степень 4ab 3 b 4

Пятая степень 5ab 4 b 5

Шестая сила 6ab 5 b 6

……………………………………………………..

n th power nab n-1 b n

Стол H

Последние две цифры степеней abc

_____________________________________________________________

Квадрат 2bc c 2

Куб 3bc 2 c 3

Четвертая сила 4bc 3 c 4

Пятая сила 5bc 4 c 5

Шестая степень 6bc 5 c 6

……………………………………………………………………………………………

n th power nbc n-1 c n

Подведение итогов: Следующие рекомендации будут полезны для нахождения корня n-й степени из совершенной n-й степени двузначного или трехзначного числа.

Двухзначные корни:

1. Найдите a и c такие, что (a.10) n <заданное число <(c.10) n .

Определяет первую цифру требуемого корня. Найдите число b такое, что последняя цифра b n дает последнюю цифру данного числа. Возможно, что для b могут быть разные возможности.

Найдите цифровую сумму данного числа. Найдите цифровую сумму корня n-й степени из возможных вариантов корня.Выбор, который соответствует

цифровая сумма данного числа является искомым корнем. В случае, если есть еще один такой выбор, удовлетворяющий этому условию, проверьте последние две цифры n-й степени выбора и ту, для которой последние две такие цифры совпадают с таковыми из данного числа, и является искомым корнем.

Прежде чем мы закончим эту тему, оставим вам несколько головоломок. головоломки.Они бывают следующих типов:

Головоломка: Дано число в шестой степени двузначного числа, в котором отсутствует одно число (не равное 0 или 9).

Учитывая, что (i) цифровая сумма двузначного числа не кратна 3

(ii) цифровая сумма двузначного числа кратна 3,

можете ли вы найти пропущенное число, а также корень шестой степени данного числа?

Пр.1: Рассмотрим число 17? 1561 . Отсутствует число не 0 или 9.

Цифровая сумма двузначного квадратного корня не кратна 3. Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 3.

Цифровая сумма 6 th , степень любого числа равна 1. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 7.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 .Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени.

Последняя цифра двузначного корня 6 -го должна быть 1 или 9, чтобы получить 1 как последнюю цифру в данном номере.

Рассмотрим 19: последние две цифры его степени 6 th будут:

6,1,9 5 9 6

6×59049 531441

…… ..8 1, который не подходит, и, следовательно, 19 не является требуемым корнем.

Теперь рассмотрим 11: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1.1 5 1 6

6 1, который подходит, и, следовательно, 11 — это требуемый корень.

Пример 2: Рассмотрим число 4826? 09 . Отсутствует число не 0 или 9.

Цифровая сумма двузначного квадратного корня не кратна 3.Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном числе, равна 2.

Цифровая сумма 6 th , степень любого числа равна 1. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 8.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени

.

Последняя цифра двузначного корня 6 th должна быть 3 или 7, чтобы получить 1 как последнюю цифру в данном номере.

Рассмотрим 17: Последние две цифры его степени 6 th будут:

6,1,7 5 7 6

6×16807 117649

…… ..6 9, который не подходит, и, следовательно, 17 не является требуемым корнем.

Теперь рассмотрим 13: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1,3 5 3 6

6 х 243 729

… .. 0 9, который подходит, и, следовательно, 13 — это требуемый корень.

Пример 3: Рассмотрим число 75 * 9536 . Отсутствует число не 0 или 9.

Цифровая сумма двузначного квадратного корня не кратна 3. Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 8.

Цифровая сумма 6 th , степень любого числа равна 1. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 2.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени.

Последняя цифра двузначного корня 6 th должна быть 4 или 6, чтобы получить 1 как последнюю цифру в данном числе.

Считайте 16: Последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1,6 5 6 6

6x 7776 46656

…… ..1 1, который не подходит, и, следовательно, 16 не является требуемым корнем.

Теперь рассмотрим 14:: Последние две цифры его степени 6 th будут:

6,1,4 5 4 6

6 х 1024 4096

… 3 6

, который подходит, и, следовательно, 14 — необходимый корень. .

Пример 4: Рассмотрим число 16777 * 16 . Отсутствует число не 0 или 9.

Цифровая сумма двузначного квадратного корня не кратна 3. Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 8.

Цифровая сумма 6 th степень любого числа равна 1.Следовательно, пропущенная цифра должна быть 2.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени

.

Последняя цифра двузначного корня 6 th должна быть 4 или 6, чтобы получить 1 как последнюю цифру в данном числе.

Рассмотрим 14: последние две цифры его степени 6 th будут:

6,1,4 5 4 6

6 х 1024 4096

… 3 6

, который не подходит, и, следовательно, 14 не является необходимым корнем.

Теперь рассмотрим 16: Рассмотрим 16: Последние две цифры его 6 -й степени будут:

6,1,6 5 6 6

6x 7776 46656

…… ..1 6, который подходит, и, следовательно, 16 — это требуемый корень.

Пример 5: Рассмотрим число 24 * 37569 . Отсутствует номер не 0 или 9.

Цифровая сумма двузначного квадратного корня не кратна 3. Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном числе, равна 0. Цифровая сумма 6 th степени любого числа равна 1. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 1.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени

.

Последняя цифра двузначного корня 6 th должна быть 3 или 7, чтобы получить 9 как последнюю цифру в данном числе.

Рассмотрим 13: Последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1.3 5 3 6

6 х 243 729

… 0 6

, который не подходит, и, следовательно, 13 не является необходимым корнем.

Теперь рассмотрим 17: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1,7 5 7 6

6x 16807 117649

…… ..6 9, который подходит, и, следовательно, 17 является требуемым корнем.

Пример 6: Рассмотрим число 470 * 5881 . Отсутствует число не 0 или 9.

Цифровая сумма двузначного квадратного корня не кратна 3. Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 6.

Цифровая сумма 6 th , степень любого числа равна 1. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 4.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени

.

Последняя цифра двузначного корня 6 -го должна быть 1 или 9, чтобы получить 1 как последнюю цифру в данном номере.

Рассмотрим 11: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1,1 5 1 6

6 1

, который не подходит, и, следовательно, 11 не является необходимым корнем.

Теперь рассмотрим 19: Рассмотрим 16: Последние две цифры его 6 -й степени будут:

6,1,9 5 9 6

6x 59049 531441

… 8 1

, который подходит, и, следовательно, 19 — необходимый корень.

Теперь мы рассмотрим несколько примеров, когда цифровая сумма двузначного числа кратна 3, а отсутствующее число в данной шестой степени двузначного числа не равно ни 0, ни 9.

Пример 7: Дается число 298 * 984. Отсутствующая цифра не равна ни 0, ни 9.

Цифровая сумма двух цифр кратна 3..Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 4.

Цифровая сумма 6 -й степени любого такого числа равна 0. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 5.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени.

Последняя цифра двузначного корня 6 th должна быть 2 или 8, чтобы получить 4 как последнюю цифру в данном числе.

Рассмотрим 18: последние две цифры его степени 6 th будут:

6,1,8 5 8 6

6 х 32768 262144

… 2 4

, который не подходит, и, следовательно, 18 не является необходимым корнем.

Теперь рассмотрим 12: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1,2 5 2 6

6x 32 64

…… ..8 4, который подходит, и, следовательно, 12 — необходимый корень.

Пример 8: Дается номер 3 * 012224. Отсутствующая цифра не равна ни 0, ни 9.

Цифровая сумма двух цифр кратна 3.Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 5.

Цифровая сумма 6 -й степени любого такого числа равна 0. Следовательно, пропущенная цифра должна быть 4.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени.

Последняя цифра двузначного корня 6 th должна быть 2 или 8, чтобы получить 4 как последнюю цифру в данном числе.

Рассмотрим 12: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1.2 5 2 6

6 х 32 64

… 8 4

, который не подходит, и, следовательно, 12 не является необходимым корнем.

Теперь рассмотрим 18: последние две цифры его степени 6 th будут:

6.1,8 5 8 6

6x 32768 262144

…… .. 2 4, который подходит, и, следовательно, 18 является требуемым корнем.

Пример 9: Указанное число — 11 * . Отсутствующая цифра не равна ни 0, ни 9.

Цифровая сумма двух цифр кратна 3. Найдите недостающую цифру и корень шестой степени данного числа.

Ответ: Цифровая сумма чисел, присутствующих в данном номере, равна 6.

Следовательно, пропущенная цифра должна быть 3.

Обратите внимание, что 10 6 <заданное число <20 6 . Следовательно, 1 — это первая цифра корня шестой степени.

Единственно возможный корень шестой степени — 15.

Проверка: последние две цифры его степени 6 th будут:

6,1,5 5 5 6

6×3125 15625

….2 5, что соответствует, и, следовательно, 15 — это требуемый корень шестой степени.

Теперь, ради любопытства, рассмотрим восьмую степень двузначного числа и попытаемся найти корень восьмой степени данного числа.

Пример 10: Рассмотрим 815730721, восьмую степень двузначного числа. Найдите корень восьмой степени данного числа.

Ответ: Обратите внимание, что 10 8 <заданное число <20 8 .Итак, 1 — это первая цифра двузначного корня восьмой.

Последняя цифра двузначного числа, которое при возведении в степень 8 даст 1, так как последняя цифра данного числа — 3 или 7.

Считайте 17 Последние две цифры восьмой степени этого будут:

8.1.7 7 7 8

или 8 x 823543 5764801

…….4 1, который не влезает, и, следовательно, 17 не является требуемым корнем.

Теперь рассмотрим 13: последние две цифры его восьмой степени будут:

8.1.3 7 3 8

или 8 x 2187 6561

… ..2 1, что соответствует, и, следовательно, 13 — это требуемый корень восьмой степени данного числа.

Трехзначные корни:

Процедура в этом случае аналогична описанной выше.Но в этом случае средняя цифра берется как b, а последняя цифра — c, и берется цифровая сумма abc, а также берется мощность n th . Затем исследуются различные возможности для b. В случае различных возможностей для b, корень, удовлетворяющий требованию суммирования последних двух цифр его n-й степени с цифрами данного числа, является искомым корнем.

.

Формула Excel: корень n-й степени из числа

Есть два способа найти корень n-й степени любого числа в Excel. ». В этом руководстве мы рассмотрим каждый метод.

Найдите корень n-й степени числа в Excel

Рис. 1. Пример таблицы, показывающий корень n-й степени числа

Настройка данных

Создайте ниже таблицу с числом, корнем N и N в качестве заголовков и столбцом примечаний для пояснения.

Рис. 2. Пример данных для нахождения корня n-й степени числа

N-й корень с использованием функции POWER

Функция СТЕПЕНЬ возвращает результат возведения заданного числа в заданную степень.

Синтаксис

= МОЩНОСТЬ ( число , мощность )

Где

  • Число : базовое число, которое мы хотим возвести в определенную степень
  • Степень — это показатель степени, до которого возводится основание числа;
  • При нахождении корня n-й степени числа степень представляется как « 1 / n »

В ячейке E3 введите формулу:

= МОЩНОСТЬ ( B3 , 1 / C3 )

Эта формула вычисляет квадратный корень из 25, который равен 5.»Возвращает те же результаты

В большинстве случаев задача, которую вам нужно решить, будет более сложной, чем простое применение формулы или функции. Если вы хотите сэкономить часы на исследованиях и разочарованиях, попробуйте нашу живую службу Excelchat! Наши эксперты по Excel доступны круглосуточно и без выходных, чтобы ответить на любые ваши вопросы по Excel. Мы гарантируем подключение в течение 30 секунд и индивидуальное решение в течение 20 минут.

Лучшее руководство по Excel — Как вычислить корень n-й степени числа?

Если вы знакомы с Excel, возможно, вы использовали множество различных встроенных функций для легкого, быстрого и эффективного получения результатов.Вы также могли столкнуться с рядом математических функций, включая AVERAGE, LCM, QUOTIENT, GCD, PRODUCT, SUM, POWER, SQRT и так далее. Вы когда-нибудь пробовали вычислить корень 4-й или 10-й степени любого числа с помощью Excel? Вы разочаровались, узнав, что в Excel нет встроенной функции, позволяющей вычислить корень n-й степени числа?

Если вы хотите вычислить квадратный корень из любого числа, существует встроенная функция SQRT, которая позволяет легко вычислить квадратный корень из любого числа.Например, SQRT (2) вернет 1,414214. Но что, если вы хотите вычислить кубический корень из 2 (3√2)? Действительно странно, что Excel, который предлагает функции для большинства математических вычислений (даже простых вычислений), не предлагает никаких функций для вычисления корня n-й степени числа. Но не волнуйтесь. Если вы немного поработаете математикой, вы сможете так легко вычислить корень n-й степени любого числа.

Знаете ли вы, что можно вычислить корень любого числа, возведя его в степень дроби? Другими словами, n√x = x (1 / n).Итак, 3√2 = 2 (1/3) или 10√100 = 100 (1/10). Например, если вы хотите вычислить 10-й корень из 100, вам просто нужно вычислить (1/10) -ю степень 100. К счастью, Excel предлагает встроенную функцию для вычисления степени любого числа, а функция — СТЕПЕНЬ . Вы должны передать этой функции два аргумента: число и мощность. Число — это базовое число, а степень — это показатель степени, до которого увеличивается базовое число. Итак, если вы хотите вычислить корень 10-й степени из 100, базовое число равно 100, а степень — 1/10.Убедитесь, что вы не передали 10 в качестве силы. Вместо этого вам нужно передать 1/10 как n√x = x (1 / n). Короче говоря, вы можете использовать функцию POWER в Excel, чтобы найти корень n-й степени любого числа.

Шаг 1. Откройте Excel и сохраните файл под именем nth-root.xlsx. Введите «Число», «Корень» и «Результат» в ячейки A1, B1 и C1 соответственно. Вы можете отформатировать эти ячейки, чтобы сделать их полужирными. Введите значения 2 и 3 в ячейки A2 и B2. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Шаг 2. Щелкните ячейку C2 и перейдите в Формулы (главное меню) -> Math & Trig и выберите POWER из списка.

Вы получите такое окно:

Шаг 3. Щелкните внутри текстового поля рядом с Number и введите A2. Щелкните текстовое поле рядом с Power и введите 1 / B2. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Шаг 4. Щелкните OK, и ваш экран будет выглядеть так.

= МОЩНОСТЬ (A2,1 / B2)

Чтобы дважды проверить результат, скопируйте формулу из C1 в C2 и введите 256 и 4 в ячейки A3 и B3. Вы получите результат 4, то есть корень 4-й степени из 256 равен 4.

Эту обобщенную формулу можно использовать для вычисления корня n-й степени любого числа. Вам просто нужно использовать функцию СТЕПЕНЬ как СТЕПЕНЬ (x, 1 / n), если вы хотите вычислить корень n-й степени числа x.

Содержание n-й корень и радикалы Пример 1: a является n-м корнем из b тогда и только тогда, когда 2 является третьим корнем из 8, поскольку — 3 является пятым корнем из — 243,

Презентация на тему: «Содержание n-го корня и радикалов, пример 1: a является n-м корнем из b тогда и только тогда, когда 2 является третьим корнем из 8, поскольку — 3 является пятым корнем из — 243», — стенограмма презентации :

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}}
@media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}}
]]>

1

Содержание n-й корень и радикалы Пример 1: a является n-м корнем из b тогда и только тогда, когда 2 является третьим корнем из 8, поскольку — 3 является пятым корнем из — 243, поскольку

2

Содержание Пример 2: Как мы видели с квадратными корнями, когда n четно, может быть два возможных корня n-й степени.3 — это корень четвертой степени из 81, поскольку — 3 также является корнем четвертой степени из 81, поскольку

3

Содержание Иногда у чисел нет корней n-й степени. Пример 3: Нет корней четвертой степени из -16, так как нет таких чисел, что. Обратите внимание, что ни 2, ни -2 не будут работать.

4

Оглавление Распространенный способ выразить корни n-й степени — использовать радикальные обозначения.b называется подкоренным, n называется индексом называется радикальным символом называется радикалом

5

Содержание Пример 4 32 — подкоренный элемент, 5 — индекс

6

Содержание Пример 5 36 — подкоренное выражение. Поскольку в позиции индекса нет числа, предполагается, что оно равно 2 или квадратному корню.

7

Содержание и 2, и -2 являются корнями четвертой степени из 16. Поскольку и Выражены в радикальной нотации… Прочтите это, поскольку корень четвертой степени из 16 равен 2. Обратите внимание, что мы используем только положительные 2, а не отрицательные 2.

8

Содержание Как и в случае с квадратными корнями, когда n четно и используется радикальная запись, результатом является главный корень n-й степени от b, который является неотрицательным корнем.Пример 6 Рассмотрим корень: есть два корня четвертой степени из 81, — 3 и 3. Главный корень четвертой степени — неотрицательный корень, или 3. Следовательно,

9

Содержание Пример 7 Рассмотрим радикал: при нечетном индексе существует только одна треть корня из — 8. Следовательно,

10

Содержание Пример 8 Обоснование оценки

11

Содержание Пример 9 Обоснование оценки

12

Содержание Как показано на предыдущих слайд-шоу, существуют особые способы описания радикалов, когда индекс равен 2 или 3.Индекс = 2: Квадратный корень Индекс = 3: Пример кубического корня 10 Квадратный корень из 9 Кубический корень из 27

13

Оглавление

Калькулятор десятого корня — впечатляющий калькулятор десятого корня

Онлайн-калькулятор десятого корня:

воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором десятого корня.

Рекламные объявления

Формула калькулятора корня десятой степени:

a 10 = x.

10 √x

Формула десятого корня

Определение десятого корня:

Определение десятого корня :

В математике Десятого корня x из числа 905 число r , которое при возведении в степень 10 дает x:

r 10 = x.

Определение корня десятой степени

Таблица корня десятой степени:

9248 0 Корень 10-й степени из 25
Корень десятой степени X 10 √x 924 900 9249 924 √x
10-й корень из 1 1,0000 10-й корень из 26 1,3852
10-й корень из 2 1,0718 10-й корень из 27 1, 3904
10-й корень из 3 1,1161 10-й корень из 28 1,3955
10-й корень из 4 1,1487 10-й корень из 29 1,4004
10-й корень из 5 1,1746 10-й корень из 30 1,4051
10-й корень из 6 1,1962 10-й корень из 31 1,4097
10-й корень o f 7 1,2148 10-й корень из 32 1,4142
10-й корень из 8 1,2311 10-й корень из 33 1,4186
10-й корень из 9 1,2457 10-й корень из 34 1,4228
10-й корень из 10 1,2589 10-й корень из 35 1,4269
10-й корень из 11 1,2710 10-й корень из 36 1,4310
10-й корень из 12 1,2821 10-й корень из 37 1,4349
10-й корень из 13 1, 2924 10-й корень из 38 1,4387
10-й корень из 14 1,3020 10-й корень из 39 1,4425
10-й корень из 15 1,3110 корень десятой степени из 40 1,4461
десятой степени oot из 16 1,3195 10-й корень из 41 1,4497
10-й корень из 17 1,3275 10-й корень из 42 1,4532
10-й корень из 18 1,3351 10-й корень из 43 1,4566
10-й корень из 19 1,3424 10-й корень из 44 1,4600
10-й корень из 20 1,3493 корень 10-й степени из 45 1,4633
корень 10-й степени из 21 1,3559 корень 10-й степени из 46 1,4665
10-й корень из 22 1 , 3622 10-й корень из 47 1,4696
10-й корень из 23 1,3683 10-й корень из 48 1,4727
10-й корень из 24 1,3741 10-й корень из 49 1,4758
1,3797 Корень 10-й степени из 50 1,4788

Таблица корней десятой степени.

Если вы хотите рассчитать другое число, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором корня девятой степени вверху.

More Root Calculator

ссылка: n th root из Википедии

Cubed Root Calculator — Captain Calculator

Калькулятор кубического корня

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.

Определение — Что такое кубический корень?

Кубический корень числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя (число x число x число) дает исходное число.

Например, кубический корень из 27 равен 3, так как 3 x 3 x 3 = 27.

Кубический корень из 125 равен 5, так как 5 x 5 x 5 = 125.

В отличие от квадратного корня, кубический корень всегда положителен.

Корень, противоположный кубу, вычисляется в кубе (степень 3).

В геометрии кубический корень можно использовать для определения длины стороны куба, когда известен объем.

Формула

— Как вычислить кубический корень числа

Нет быстрой формулы для вычисления кубического корня.Большинство калькуляторов используют метод проб и ошибок.

Пробная версия и ошибка

Большинство калькуляторов используют метод проб и ошибок, чтобы найти кубический корень. Метод проб и ошибок хорошо работает для идеальных кубиков. Для несовершенных кубов это может занять очень много времени из-за большого количества десятичных знаков.

Чтобы найти кубированный корень методом проб и ошибок:

  1. Угадайте число, которое, по вашему мнению, может быть кубическим корнем
  2. Умножьте число x число x число.
  3. Если результат слишком низкий, угадайте другое большее число.Если результат слишком высокий, угадайте другое меньшее число.
  4. Повторяйте, пока не найдете кубический корень.

Пример. Методом проб и ошибок найти кубический корень из 512:

  1. Попробуйте число — 5: 5 x 5 x 5 = 125 (слишком мало)
  2. Попробуйте число больше 5-10-10-10 x 10 x 10 = 1000 (слишком большое)
  3. Попробуйте число от 5 и 10-8-8 x 8 x 8 = 512 (ответ)

Метод 2 — Быстрое нахождение корней из чисел идеального куба

Этот метод позволяет быстрее найти корень идеального числа куба.Однако, если число не является числом идеального кубического корня, этот метод не даст ответа.

Как набрать кубический корень?

  • На клавиатуре Windows введите 3. Выберите число и параметр «шрифт» в своей программе и установите для шрифта 3 значение «надстрочный». Затем откройте карту символов, найдите символ квадратного корня и скопируйте / вставьте его в документ.
  • На клавиатуре Mac введите 3. Выберите число и параметр «шрифт» в своей программе и установите для шрифта 3 значение «надстрочный.Затем нажмите option + v для символа квадратного корня.
  • В HTML или веб-документе заключите «3» в теги ( 3 ). После 3 используйте символ квадратного корня √.

Таблица чисел кубического корня — Perfect Cubes

  • 3 √1 = 1, как 1 x 1 x 1 = 1
  • 3 √8 = 2, как 2 x 2 x 2 = 8
  • 3 √27 = 3, как 3 x 3 x 3 = 27
  • 3 √64 = 4, поскольку 4 x 4 x 4 = 64
  • 3 √125 = 5, поскольку 5 x 5 x 5 = 125
  • 3 √216 = 6, как 6 x 6 x 6 = 216
  • 3 √343 = 7, как 7 x 7 x 7 = 343
  • 3 √512 = 8, как 8 x 8 x 8 = 4096
  • 3 √ 729 = 9, поскольку 9 x 9 x 9 = 729
  • 3 √1000 = 10, поскольку 10 x 10 x 10 = 1000
  • 3 √1331 = 11, поскольку 11 x 11 x 11 = 1,331
  • 3 √1728 = 12, так как 12 x 12 x 12 = 1728
  • 3 √3375 = 15, так как 15 x 15 x 15 = 3375
  • 3 √4913 = 17, как 17 x 17 x 17 = 4,913
  • 3 √8000 = 20, поскольку 20 x 20 x 20 = 8000
  • 3 √15625 = 25, поскольку 25 x 25 x 25 = 15625
  • 3 √27000 = 30, как 30 Икс 30 x 30 = 27000
  • 3 √35936 = 33, так как 33 x 33 x 33 = 35,936
  • 3

    = 45, так как 45 x 45 x 45 = 91,125

  • 3 √125000 = 50 , как 50 x 50 x 50 = 125000
  • 3 √216000 = 60, как 60 x 60 x 60 = 216000
  • 3 √421875 = 75, как 75 x 75 x 75 = 421 875
  • 3 √1000000 = 100, так как 100 x 100 x 100 = 1000000

Таблица кубических корневых номеров

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

Источники и другие ресурсы

Среднее геометрическое: определение, примеры, формула, использование

Статистические определения> Среднее геометрическое

Содержание.

Основы :

  1. Как найти среднее геометрическое.
  2. Варианты технологий.
  3. Использование в реальной жизни.

Дополнительная информация:

  1. Равные отношения и геометрическое объяснение.
  2. Логарифмические значения и работа с отрицательными числами.
  3. Среднее арифметическое-среднее геометрическое Неравенство
  4. Антилогарифм среднего геометрического

Посмотрите видео с тремя примерами того, как найти среднее геометрическое:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Среднее геометрическое — это тип среднего, обычно используемый для оценки темпов роста, таких как рост населения или процентные ставки. Среднее арифметическое добавляет элемента, среднее геометрическое умножает элемента. Кроме того, вы можете получить среднее геометрическое только для положительных чисел.

Как и большинство других вещей в математике, есть простое объяснение, и есть более, кхм, математический способ сформулировать то же самое. Формально среднее геометрическое определяется как «… корень n-й степени произведения n чисел.Другими словами, для набора чисел {x i } N i = 1 среднее геометрическое будет:

То, что эта формула означает на английском языке: умножьте ваши элементы вместе, а затем извлеките корень n-й степени (где n — количество элементов).

Символ π в формуле обозначает обозначение произведения: это математическое обозначение для «произведения», подобное (вероятно, более знакомому) Σ в обозначении суммирования.

Как найти среднее геометрическое (примеры)

нужна помощь с домашним заданием? Посетите нашу страницу обучения!

Пример 1 : Что такое среднее геометрическое чисел 2, 3 и 6?
Сначала умножьте числа, а затем извлеките кубический корень (потому что есть три числа) = (2 * 3 * 6) 1/3 = 3.30

Примечание : Степень (1/3) такая же, как кубический корень 3 √. Чтобы преобразовать корень n-й степени в это обозначение, просто измените знаменатель дроби на любое имеющееся у вас «n». Итак:

  • корень 5-й степени = в степени (1/5)
  • корень 12-й степени = в степени (1/12)
  • корень 99-й степени = в степени (1/99).

Пример 2 : Какое среднее геометрическое для 4,8,3,9 и 17?
Сначала умножьте числа, а затем извлеките корень 5-й степени (потому что чисел 5) = (4 * 8 * 3 * 9 * 17) (1/5) = 6.81 год

Пример 3: Что такое среднее геометрическое для 1/2, 1/4, 1/5, 9/72 и 7/4?
Сначала умножьте числа, а затем извлеките 5-й корень: (1/2 * 1/4 * 1/5 * 9/72 * 7/4) (1/5) = 0,35.

Пример 4 : Средняя месячная зарплата человека в определенном городе подскочила с 2500 до 5000 долларов за десять лет. Используя среднее геометрическое, каков средний годовой прирост?

Решение:

Шаг 1. Найдите среднее геометрическое.(1/2) = 3535,533

.

Шаг 2: Разделите на 10 (чтобы получить среднее увеличение за десять лет).
3535,533

/ 10 = 353,53.

Среднее увеличение (по данным GM) составляет 353,53.

Совет: среднее геометрическое для набора данных всегда на меньше среднего арифметического за одним исключением: если все элементы набора данных одинаковы (т.е. 2, 2, 2, 2, 2, 2, то два средства равны.

Более подробный пример

Допустим, у вас есть произведение искусства, стоимость которого увеличивается на 50% в первый год после покупки, на 20% во второй год и на 90% в третий год.Эти числа говорят вам, что в конце первого года значение было умножено на 150% или 1,5, во второй год значение в конце года 1 было умножено на 120% или 1,2 и в конце третьего года значение на конец 2 года увеличилось на 190% или 1,9. Поскольку это , умноженное на , вы ищете среднее геометрическое, которое можно вычислить следующим образом:
(1,5 * 1,2 * 1,9) (1/3) = 1,50663725458… или примерно 1,51

Какой ответ 1.51 говорит вам, что если вы умножаете свои первоначальные инвестиции на 1,51 каждый год, вы получите такую ​​же сумму, как если бы вы умножили их на 1,5, 1,2 и 1,9.

  • Стоимость художественной работы 0 года: 90 000 долларов.
  • Стоимость произведения искусства в год 1: 90 000 долларов США * 1,5 = 135 000 долларов США
  • Стоимость художественной работы 2-го года: 135 000 долларов США * 1,2 = 162 000 долларов США
  • Стоимость художественного произведения года 3: 90 000 долларов США * 1,9 = 307 000 долларов США

или, используя среднее геометрическое:

долларов * 1,50663725458

3 = 307000 долларов *

* Если вы проделаете этот расчет, он будет немного другим из-за количества десятичных знаков, которые я здесь написал.Другими словами, вы должны получить точный результат на калькуляторе.

В начало

Почему бы не использовать вместо этого среднее арифметическое?

Среднее арифметическое — это сумма элементов данных, разделенная на количество элементов в наборе:
(1,5 + 1,2 + 1,9) / 3 = 1,53

Как вы, наверное, догадались, прибавление 1,53 к начальной цене ни к чему не приведет, а умножение даст неверный результат.

долларов США * 1,53 * 1,53 * 1,53 = 322 343,91 доллара США

  • JMP не имеет формулы, но вы можете создать ее с помощью редактора формул.
  • SAS : Если вы используете SAS / STAT 12.1 или новее, укажите ключевое слово статистики ALLGEO в операторе PROC SURVEYMEANS. В более ранних версиях эта возможность отсутствует.
  • Excel : используйте функцию GEOMEAN для любого диапазона положительных данных. Синтаксис: GEOMEAN (число1, [число2],…)
  • SPSS : используйте команду MEANS. В меню SPSS выберите Анализировать> Сравнить средние> Средние, затем нажмите кнопку «Параметры» и выберите из списка доступных статистических данных слева.
  • MINITAB: используйте функцию GMEAN. Синтаксис — GMEAN (число), где «число» — это номер столбца. Все числа должны быть положительными.
  • MAPLE : вызывающая последовательность GeometricMean имеет множество опций для вычисления среднего значения из выборки данных (A), набора данных матрицы (M) или случайной величины или распределения (X). См. Эту статью для получения полных параметров.
  • TI83 : нет встроенной функции. В качестве обходного пути введите данные в список, а затем введите формулу среднего геометрического на главном экране.
  • TI89 : как и у TI83, здесь нет встроенной функции. Вы можете установить приложение, такое как «Легкая статистика и вероятность», которое я рекомендую, так как использовал его в аспирантуре :).

В начало

Соотношение сторон

Среднее геометрическое используется в фильмах и видео для выбора соотношения сторон (отношение ширины к высоте экрана или изображения). Он используется, чтобы найти компромисс между двумя форматами изображения, одинаково искажая или обрезая оба соотношения.

Компьютерные науки

Компьютеры используют ошеломляющие объемы данных, которые часто приходится суммировать с помощью статистики. В одном исследовании сравнивалась точность нескольких статистических данных (среднее арифметическое, среднее геометрическое и процент в верхних x%) для ошеломляющих 97 триллионов фрагментов данных цитирования. Исследование показало, что среднее геометрическое было наиболее точным (см. Эту статью в Библиотеке Корнельского университета).

Геометрия

1. Среднее пропорциональное
Среднее геометрическое используется как пропорция в геометрии (и иногда его называют «средним пропорциональным»).Среднее значение, пропорциональное двум положительным числам a и b, является положительным числом x, так что:

При решении этой пропорции x = √ a * b

На этом изображении треугольники ADC, ADB и CAB похожи.

Если у вас есть похожие треугольники, вы можете использовать пропорции, чтобы найти недостающие стороны. Например, правило отрезка гласит, что гипотенуза / отрезок = отрезок / проекция. Эти типы задач возникают на уроках геометрии в средней школе.

2. Золотое сечение
Золотое сечение имеет значение около 1.618 и может быть получен из среднего геометрического и подобных прямоугольников. Допустим, у вас есть прямоугольник шириной «а» и длиной «b». Создайте квадрат внутри прямоугольника со сторонами «а»:

Меньший прямоугольник слева аналогичен большему. Оба прямоугольника содержат золотое сечение, то есть отношение длины прямоугольника к ширине. Вы можете написать утверждение о соотношении между двумя прямоугольниками:
b: a = a: b — a
Это утверждение, пропорциональное утверждение о прямоугольниках, также определяет среднее геометрическое как «a».

Медицина

Среднее геометрическое имеет множество применений в медицине. Его назвали «золотым стандартом» для некоторых измерений, в том числе для расчета времени опорожнения желудка JNM .

Пропорциональный рост

Как показывают примеры в начале этой статьи, среднее геометрическое полезно для расчета пропорционального роста, такого как рост, наблюдаемый в долгосрочных инвестициях с использованием ставки казначейских векселей в качестве безрисковой ставки (безрисковая ставка — это теоретическая норма прибыли на безрисковые инвестиции).По словам профессора корпоративных финансов и оценки Нью-Йоркского университета Асвата Дамодорана, среднее геометрическое подходит для оценки ожидаемой доходности в долгосрочной перспективе. Для краткости лучше использовать среднее арифметическое.

Его можно использовать не только на финансовых рынках — его можно применять везде, где наблюдается некоторый пропорциональный рост. Например, предположим, что количество клеток в культуре составляет 100, 180, 210 и 300 за четырехдневный период. Это дает прирост 1,8 за день 2, 1.167 для дня 3 и 1,42 для дня 4. Среднее геометрическое составляет (1,8 * 1,167 * 1,42) (1/3) = 1,44, что означает ежедневный рост 0,44 или 44%.

Индекс человеческого развития Организации Объединенных Наций

Индекс человеческого развития (ИЧР) — это индекс, который учитывает факторы, помимо экономического развития, при составлении отчетов о росте страны. Это «… сводный показатель средних достижений по ключевым параметрам человеческого развития: долгая и здоровая жизнь, знания и достойный уровень жизни.ИЧР — это среднее геометрическое нормированных индексов для каждой из трех [категорий] ». ПРООН
«Нормализованные» индексы относятся к тому факту, что на среднее геометрическое не влияют различия в оценочных показателях. Например, если уровень жизни оценивается по шкале от 1 до 5, а долголетие — по шкале от 1 до 100, страна, имеющая более высокие баллы по долголетию, в целом получила бы более высокие баллы, если бы использовалось среднее арифметическое. Эти факторы не влияют на среднее геометрическое.

Стандарты качества воды

Результаты испытаний качества воды (в частности, концентрации фекальных колиформных бактерий) иногда выражаются как средние геометрические.Органы управления водными ресурсами определяют среднее геометрическое пороговое значение, при котором пляжи или заросли моллюсков должны быть закрыты. Согласно CA.GOV, смягчающий эффект среднего геометрического особенно полезен при расчетах качества воды, поскольку уровни бактерий могут изменяться от 10 до 10 000 раз в течение определенного периода времени.
В начало

Когда вы смотрите на среднее геометрическое и числа, которые вы вводите в расчет, происходит интересная вещь. Допустим, вы хотите найти среднее геометрическое для 4 и 9. Расчет будет √ (4 * 9) = 6.

  • Отношение первого числа (4) к среднему геометрическому (6) составляет 4/6, что сокращается до 2/3.
  • Соотношение второго числа (9) и среднего геометрического (6) составляет 6/9, что сокращается до 2/3.

Как видите, коэффициенты такие же. Это говорит о том, что среднее геометрическое — это своего рода «среднее» всех множителей, которые вы вводите в уравнение. Возьмите числа 2 и 18. Какое число вы можете поместить в центр, чтобы отношение 2 (к этому числу) было таким же, как отношение этого числа к 18?

2 (?) 18

Если вы угадали 6, вы правы, потому что 2 * 3 = 6 и 6 * 3 = 18.Для более сложных чисел будет сложно вычислить соотношения, поэтому используется формула.

Вы можете получить тот же результат (6), используя формулу, поэтому, если вы когда-либо сталкивались с проблемой вышеупомянутого типа в математическом классе, просто найдите квадратный корень из чисел, умноженных вместе:
√ (2 * 18) = 6

Геометрическое объяснение

Допустим, у вас есть прямоугольник со сторонами 2 и 18 дюймов. Периметр этого прямоугольника имеет тот же периметр , что и квадрат с четырьмя сторонами по 10 дюймов каждая.10 — это то, что вы получили бы, если бы вычислили среднее арифметическое:
(2 + 18) / 2 = 20/2 = 10.

Среднее геометрическое также можно приравнять к сценарию прямоугольник-квадрат: квадратный корень из сторон (т.е. √ 2 * 18) — это длина сторон квадрата с той же площадью , что и прямоугольник. Прямоугольник 2 ″ x 18 ″ = 36 квадратных дюймов и 6 ″ x 6 ″ также равен 36 квадратным дюймам. 6 — это то, что вы получили бы, если бы вычислили среднее геометрическое: √ (2 * 18) = 6.

Точно так же среднее геометрическое трех чисел a, b и c представляет собой кубоид со сторонами a, b и c, равными трем числам.

В начало

Один из способов представить себе среднее геометрическое — это среднее значение логарифмических значений, преобразованное обратно в основание 10. Если вы знакомы с логарифмами, это может быть очень интуитивно понятный способ взглянуть на него. Например, предположим, вы хотите вычислить среднее геометрическое 2 и 32.

Шаг 1: Преобразуйте числа в журналы с основанием 2 (теоретически можно использовать любую базу):

Шаг 2: Найдите (арифметическое) среднее показателей на шаге 1. Среднее значение 1 и 5 равно 3.Мы все еще работаем с основанием 2, поэтому наше среднее значение дает нам 2 3 , что дает нам среднее геометрическое 2 * 2 * 2 = 8.

В начало

Работа с отрицательными числами

Как правило, вы можете найти только среднее геометрическое положительных чисел. Если у вас есть отрицательные числа (часто бывает с инвестициями), можно найти среднее геометрическое, но вам нужно заранее провести небольшую математику (что не всегда легко!).

Пример : Каково среднее геометрическое для инвестиций, которые показывают рост в 1 год на 10 процентов и снижение в следующем году на 15 процентов?

Шаг 1: Подсчитайте общую сумму роста инвестиций за каждый год.В конце первого года у вас будет 110% (или 1,1) того, с чего вы начали. В следующем году у вас будет 90% (или 0,9) того, с чего вы начали второй год.

Шаг 2: Рассчитайте среднее геометрическое на основе цифр, приведенных на шаге 1:
GM = √ (1,1 * 0,9) = 0,99.

Среднее геометрическое для этого сценария составляет 0,99. Ваши инвестиции медленно теряют деньги со скоростью около 1% в год.

В начало

Неравенство среднего арифметического среднего геометрического (неравенство AM-GM) утверждает, что для списка неотрицательных действительных чисел среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому.Взяв формулы для обоих типов среднего, мы получаем неравенство:

Например, для последовательности чисел {9, 12, 54} среднее арифметическое 25 больше среднего геометрического 18. Кратное Доказательства этого неравенства выходят за рамки этого статистического сайта, но Бьорн Пунен предлагает это простое однострочное доказательство неравенства AM-GM с двумя переменными:

В начало

Антилогаринг числа возводит 10 в степень.Допустим, ваше среднее геометрическое равно 8. Увеличьте основание 10 до 8:
10 8
Общая формула:
antilog (g) = 10 g = 10 √ (a * b)

В начало

Список литературы

Агрести А. (1990) Анализ категориальных данных. Джон Вили и сыновья, Нью-Йорк.
Кляйн, Г. (2013). Карикатура Введение в статистику. Hill & Wamg.
Kotz, S .; и др., ред. (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
Vogt, W.P. (2005).Словарь статистики и методологии: нетехническое руководство для социальных наук. МУДРЕЦ.

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.