Свойства сторон ромба: Определение и свойства ромба — урок. Геометрия, 8 класс.

Ромб, свойства, признаки, формулы, площадь и периметр

Ромб, свойства, признаки, формулы, площадь и периметр.

 

 

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 

Ромб (определение и понятие)

Видеоурок “Ромб”

Свойства ромба

Признаки ромба

Формулы ромба. Площадь ромба. Периметр ромба

 

Ромб (определение и понятие):

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе – «бубен») – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Рис. 1. Ромб

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Ромбы отличаются друг от друга размером углов и длиной стороны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

@ https://youtu. be/AavypoP06_U

 

Свойства ромба:

1. Противолежащие стороны ромба равны, т. к. все стороны ромба равны.

Рис. 2. Ромб

AB = BC = CD = AD

2. Противолежащие стороны ромба попарно параллельны.

Рис. 3. Ромб

АВ || CD, AD || ВС 

3. Соседние углы ромба дополняют друг друга до 180°. Иными словами, сумма углов, прилежащих к любой из сторон ромба, равна 180°.

Рис. 4. Ромб

∠CDA + ∠DAB = 180°

4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Рис. 5. Ромб

AC ⊥ BD 

5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 6. Ромб

BO = OD, AO = OC

6. Диагонали ромба делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.

Рис. 7. Ромб

7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и делят углы пополам. 

Рис. 8. Ромб

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

8. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре.

Рис. 9. Ромб

AC2 + BD2 = 4AB2

9. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.                                                          

Рис. 10. Ромб

 

Признаки ромба:

Параллелограмм ABCD является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

– если две смежные стороны параллелограмма равны (отсюда следует, что все стороны равны), то он является ромбом.

AB = BC, то AB = BC = CD = AD;

– если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, то он является ромбом.

AC ⊥ BD;

– если одна из диагоналей параллелограмма делит содержащие её углы пополам, то он является ромбом.

∠BAC = ∠CAD или ∠ABD = ∠DBC или ∠BCA = ∠ACD или ∠ADB = ∠BDC;

– если в параллелограмм можно вписать круг, то он является ромбом;

– если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника, то он является ромбом.

 

Квадрат

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Шестиугольник

 

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/AavypoP06_U

 

 

Коэффициент востребованности
1 419

Ромб

Содержание

  1. Определение ромба
  2. Свойства ромба
  3. Признаки ромба

Определение ромба

Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 изображен ромб ABCD.

Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.

Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.

Свойства ромба

Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:

  • 1. У ромба противолежащие углы равны (\( \small \angle A = \angle C, \; \angle B = \angle D.\) )
  • 2. У ромба противолежащие стороны равны (\( \small AB = DC, \; BC=AD.\) )
  • 3. У ромба противолежащие стороны параллельны \( \small( AB \ || \ DC, \; BC \ || \ AD).\)
  • 4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° \( \small ( \angle A +\angle B=180°, \) \( \small \angle C + \angle D=180°).\)
  • 5. 2). \)

Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:

Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. По определению 1, \( \small AD = DC \) (Рис.2). Следовательно треугольник \( \small DAC \) равнобедренный. Тогда \( \small \angle DCO = \angle DAO. \) Учитывая, что \( \small AO = OC \) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники \( \small DOA \) и \( \small DOC \) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно \( \small \angle DOC= \angle DOA=90°. \) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.

Из равенства треугольников \( \small DOA \) и \( \small DOC \) также следует, что \( \small \angle CDO= \angle ADO,\) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.

Признаки ромба

Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.

Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда \( \small \angle 1= \angle 2 .\) У параллелограмма ABCD \( \small AB \ || \ DC .\) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство \( \small \angle 1= \angle 4 .\) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство \( \small \angle 2= \angle 3 .\) Так как \( \small \angle 1= \angle 2 ,\) то \( \small \angle 1= \angle 2=\angle 3= \angle 4 .\) Из \( \small \angle 1= \angle 3\) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.

Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Его свойства, форма, диагонали, стороны и формула площади

Вероятно, самым известным ромбом является бейсбольный ромб. Расстояние между каждым основанием одинаковое,
придаем форму ромба!

Больше интересных математических фактов!

Ромб — разновидность параллелограмма,
и что отличает его форму, так это то, что все четыре его стороны
конгруэнтный.

Есть несколько формул для ромба, которые связаны с ним:

  • Стороны (нажмите, чтобы узнать подробнее)

    Все 4 стороны равны.

  • Углы

    Диагонали делят углы при вершине пополам.

  • Диагонали

    Диагонали перпендикулярны.

  • Район
Является ли квадрат ромбом?

Отвечать:

Да, квадрат — это ромб

У квадрата должны быть 4 равные стороны. Каждый ромб имеет 4 равные стороны, поэтому каждый квадрат также является ромбом. Квадрат – это особый ромб, у которого тоже 4 прямых угла.

Имейте в виду, что на вопрос «Является ли квадрат ромбом?» означает Всегда ли каждый квадрат является ромбом?

Является ли ромб квадратом?

Отвечать:

Нет, ромб не квадрат

У квадрата должно быть 4 прямых угла. С другой стороны, ромб не имеет никаких правил относительно его углов, поэтому существует множество примеров ромба, которые не являются также квадратами.

Имейте в виду, что на вопрос «Является ли ромб квадратом?» означает Всегда ли каждый ромб является квадратом?


Диаграмма 2

Как вы можете видеть на диаграмме 2, можно создать ромб, который не является квадратом.

Все стороны ромба равны.

$
\overline{AB} \cong \overline{BC}
\\
\overline{BC} \cong \overline{CD}
\\
\overline{CD} \cong \overline{DA}

$

Уголки

Диагонали делят пополам углы при вершине ромба.

Доказательство этого свойства диагоналей.

Диагонали

Диагонали перпендикулярны.

$$
\ угол AOD = 9{\ круг}
\\

$$

Площадь ромба

Площадь = ½ (диагональ 1 × диагональ 2 )

Алекс, пожалуйста, поместите сюда калькулятор ромбов.

вход
1) длина стороны

2) вывод — измерения углов и площади

Практические задачи

Собираем все вместе

  • Исходная проблема

  • Шаг 1
  • Шаг 2
  • Шаг 3
  • Шаг 4
  • Шаг 5
  • Шаг 6
  • Шаг 7

ЗВЕЗДА – это ромб. Мера диагоналей SA
равно 24, а размер TR равен 10, каков периметр этого ромба?

Спросите себя: что верно в отношении углов, образованных диагоналями ромба?

Углы перпендикулярны!

Что верно в отношении диагоналей всех параллелограммов?

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Следовательно, ZA = 12, ZT = 5

Что за треугольник
ЗТА?

Прямоугольный треугольник!

Таким образом, вы можете использовать теорему Пифагора
найти меру стороны TA

Теперь, когда вы знаете длину TA? Как можно использовать тот факт, что стороны ромба
конгруэнтны, чтобы закончить эту задачу?

Так как все 4 стороны должны быть 13.

Периметр = 13 + 13 + 13 +13 = 52

Проблема 1

Если сторона WX = 22, что такое WZ?

ВЗ = 22

Проблема 2

Если сторона MN ромба LMNO равна X + 5, а сторона LM равна 2x − 9, каким должно быть значение
х?

Проблема 3

Каким должен быть x, если сторона BA = 5x-11
и сторона
АД = 6х-18?

Так как эта фигура является ромбом, вы можете положить любую его сторону равной друг другу.

Проблема 4

Является ли четырехгранная фигура внизу, MNOP, ромбом? Если нет, классифицируйте форму.

Фигура ниже не является ромбом, потому что его диагонали не равны.
перпендикуляр.

Но так как противоположные стороны равны
и параллельны, и диагонали
делят друг друга пополам.
Фигура ниже представляет собой параллелограмм.

Проблема 5

Чему равны углы ромба ABCD?

АКД
= 46°
АБД
= 44°

Проблема 6

Обобщение углов ромба

Вы можете думать о ромбе как о четырех треугольниках, образованных диагоналями.
такие как

Что верно относительно внешних углов в каждом треугольнике? Примеры внешних углов:

.

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, эти внешние углы должны быть равны.
дополнительные углы.

Проблема 7

Чему равно х, если

БЦА = 3x -2
а также

АКД = 12 + х
?

Поскольку диагонали делят углы при вершине пополам,
ВСА
АКД

Проблема 8

Чему равно значение x, учитывая приведенные ниже измерения углов?

Проблема 9

Какова площадь HIJK?

Площадь = ½ (IK × HJ)
= ½ (9 × 12) = 54

Свойства ромба- Узнайте больше о структуре

  • Автор
    Принц
  • Последнее изменение 17-10-2022

Свойства ромба: Ромб является особым параллелограммом, потому что он соответствует определению параллелограмма, который представляет собой четырехугольник с двумя наборами параллельных сторон. Кроме того, у ромба, как и у квадрата, все четыре стороны равны. Таким образом, ромб также известен как наклонный квадрат. Ромб считается особым параллелограммом, так как характеристики ромба обладают всеми признаками параллелограмма.

Две диагонали ромба служат его двумя линиями симметрии. Ось симметрии — это линия, которая делит предмет на две равные половины. Он производит зеркальное отражение двух сторон объекта. Ромб имеет симметрию отражения вдоль каждой из его диагоналей. Продолжайте читать, чтобы узнать о свойствах угла ромба, свойствах формы ромба и многом другом.

Прежде чем мы обсудим ромб, давайте разберемся в характеристиках ромба и что такое четырехугольник. В геометрии четырехугольник определяется как замкнутая двумерная форма с четырьмя прямыми сторонами.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Существует в основном 6 типов четырехугольников:

  1. Параллелограмм
  2. Трапеция
  3. Квадрат
  4. Прямоугольник
  5. Воздушный змей
  6. Ромб

Все четыре стороны параллельны ромбу особого типа. Поэтому его еще называют равносторонним параллелограммом. Лучшим примером формы ромба является воздушный змей, у которого все четыре стороны равны.

В приведенном выше ромбе ABCD стороны AB, BC, CD и AD являются сторонами ромба, а AC и BD — диагоналями. Длина AC и BD равна d1 и d2 соответственно. Две диагонали ромба пересекаются под прямым углом, как вы можете видеть на рисунке.

Некоторые характеристики ромба:

  1. В ромбе противоположные стороны параллельны, а противоположные углы равны.
  2. Все стороны ромба равны по длине.
  3. Диагонали ромба делят друг друга пополам под прямым углом.
  4. Форма множественного числа ромба — ромбы или ромбы.

Другие важные статьи по математике:

Свойства ромба для 9 класса

Понимание свойств ромба для 9 классаСтудент — одна из самых важных тем для учащихся 9 класса CBSE, поскольку их часто спрашивают на выпускном экзамене. Кроме того, мы включили все важные свойства ромба для 8-го класса, чтобы все учащиеся 8-го класса также могли воспользоваться ими. Вы можете прочитать свойства ромба здесь, включая свойства угла ромба и свойства формы ромба. Учащиеся также ищут свойства диагоналей ромба. Загрузите их в виде PDF-файла, представленного ниже, для доступа в автономном режиме.

Мы перечислили все важные свойства ромба в пунктах ниже:

  1. Все стороны ромба равны.
  2. Противоположные стороны ромба параллельны.
  3. Противоположные углы ромба равны.
  4. В ромбе диагонали делятся пополам под прямым углом.
  5. Диагонали делят углы ромба пополам. Это одно из важнейших свойств диагоналей ромба.
  6. Сумма двух смежных углов равна 180°.
  7. Две диагонали ромба образуют 4 прямоугольных треугольника, конгруэнтных друг другу.
  8. Линии симметрии ромба: В ромбе есть только две линии симметрии.
  9. Вращательная симметрия ромба: Ромб имеет вращательную симметрию 180° (порядок 2).
  10. Если соединить середины всех 4 сторон ромба, получится прямоугольник. Длина и ширина прямоугольника будут вдвое меньше главной диагонали, так что площадь прямоугольника будет равна половине ромба.
  11. Вы получите еще один ромб, если соедините середины половины диагонали.
  12. Для ромба нет описанной окружности.
  13. Также внутри ромба не может быть вписанной окружности.
  14. Если меньшая диагональ равна одной из сторон ромба, образуются два конгруэнтных равносторонних треугольника.
  15. Вы получите цилиндрическую поверхность, имеющую выпуклый конус на одном конце и вогнутый конус на другом конце, когда ромб вращается вокруг любой стороны как оси вращения.
  16. Вы получите цилиндрическую поверхность с вогнутыми конусами на обоих концах, когда ромб вращается вокруг линии, соединяющей середины противоположных сторон как ось вращения.
  17. Вы получите твердое тело с двумя конусами, прикрепленными к их основаниям, когда ромб вращается вокруг более длинной диагонали в качестве оси вращения. В этом случае максимальный диаметр тела равен меньшей диагонали ромба.
  18. Вы получите твердое тело с двумя конусами, прикрепленными к их основаниям, когда ромб вращается вокруг более короткой диагонали в качестве оси вращения. В этом случае максимальный диаметр тела равен большей диагонали ромба.

Получите формулы алгебры снизу:

Формулы ромба

Мы представили вам список всех формул ромба. Формулы доступны для площади, периметра, диагонали и стороны. Возьмем ромб ABCD:

Стороны: AB, BC, CD и AD
Длина каждой стороны: a
Диагонали: AC, BD
Длина диагоналей обратите внимание, что проблемы, связанные с периметром формулы ромба, являются наиболее часто задаваемыми вопросами. Имеем следующие формулы:

Area of ​​Rhombus Area, A = (d1.d2)/2
Perimeter of Rhombus Perimeter, P = 4a
Side of Rhombus Side, a = P/4
Diagonal of Rhombus Diagonal, d1 = 2(A/d2)
Diagonal, d2 = 2(A/d1)

Solved Problems on Rhombus

Здесь мы предоставили некоторые вопросы с решениями, связанными со свойствами ромб :

В1: Каков периметр ромба, все стороны которого равны 8 см?

Решение : Сторона ромба = 8 см (Дано)
Поскольку все стороны ромба равны, следовательно,
Периметр = 4 x сторона
P = 4 x 8 см
= 32 см
Следовательно, периметр ромба равен 32 см.

Q2: Найдите диагональ ромба, если его площадь равна 121 см 2  и длина большей диагонали равна 22 см.

Решение : Площадь ромба = 121 см 2  (Дано)
d 1  = 22 см.
Площадь ромба, A = (d 1  x d 2 )/2, получаем
121 = (22 x d 2 )/2
121 = 11 x d 2 90 084 90
Значит, длина другой диагонали 11 см.

Вопрос 3. Найдите периметр следующего ромба:

Решение . Все стороны ромба равны, поэтому HO  = ( x  + 2). А поскольку диагонали ромба перпендикулярны, треугольник HBO прямоугольный. С помощью теоремы Пифагора, мы получаем,
( HB ) 2 + ( BO ) 2 = ( HO ) 2 = ( HO ) 2 = ( HO ) 8838 = ( HO ). +1) 2 = ( x+2) 2
x 2 + x 2 + 2x + 1 = x 2 + 4x + 4
x 2 2x -3 = 0
Решение x Используя кровую формулу. 3 или х = –1. Мы можем отбросить x = –1, так как сторона ромба не может быть отрицательной.
∴ Сторона ромба = х + 2
= 5
Следовательно, периметр ромба HRMO равен 5 х 4 ед. = 20 ед.

Q4: Длины двух диагоналей d 1 и d 2 ромба 5см и 14см соответственно. Найдите его площадь.

Решение : дано:
Диагональный D 1 = 5 см
Диагональный D 2 = 14 см
Площадь ромба, A = (D 1 X D 2 444)/2 квадрат 9083 1 x D 2 444)/2 квадрат. = (5 х 14)/2
А = 70/2
А = 35 см 2
Следовательно, площадь ромба = 35 квадратных единиц.

Практические вопросы по свойствам ромба

Здесь мы подготовили для вас несколько практических вопросов, связанных со свойствами ромба.

Q1: Если площадь ромба 48 см 2 и одна из его диагоналей 5 см. Найдите его высоту.

Q2: ABCD — ромб, в котором высота от D до стороны AB делит AB пополам. Найдите значение угла A и угла B.

Q3: Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Q4: Диагональ AC параллелограмма ABCD делит угол A пополам.
(a) Делит ли угол A пополам и угол C? Назови причины.
(б) Является ли ABCD ромбом? Назови причины.

В5: Если длина каждой стороны ромба равна 8 см, а один из его углов равен 60°, то найдите длину диагоналей ромба.

Q6: Ромбовидный лист с периметром 32 м и длиной одной диагонали 10 м окрашен с обеих сторон по цене 5 ₹ за квадратный метр. Найдите полную стоимость картины?

Q7: Длина диагнолов ромба в соотношении 5:4. Площадь ромба 2250 квадратных см. Найдите сторону ромба.

Q8: ABCD — ромб с точкой пересечения диагоналей O и углом DAO = 45°. Найдите угол DCO.

Q9: Докажите, что диагонали ромба делят друг друга пополам под прямым углом.

Q10: Если ABCD ромб и из D, к AB проведена высота, которая делит AB пополам. Найдите углы ромба.

Часто задаваемые вопросы о свойствах ромба

Вот некоторые из часто задаваемых вопросов:

Q1: Каковы основные свойства ромба?

Ответ:  Основные свойства ромба следующие:

 (i) Противоположные углы равны.

 (ii) Диагонали пересекаются друг с другом под углом 90 градусов.

 (iii) Диагонали делят пополам противоположные внутренние углы.

 (iv) Смежные углы являются дополнительными.

Q2: Какова формула площади и периметра ромба?

Ans: Площадь ромба = (d1.d2)/2, где d1 и d2 длины диагоналей ромба-

периметр ромба = 4 x 72 сторона ромба3

Q3: Является ли квадрат ромбом?

Ответ: Да, геометрически квадрат также является ромбом, все внутренние углы которого равны 90 градусов. Однако обратное неверно. Ромб может быть, а может и не быть квадратом.

Q4: Каковы угловые свойства ромба?

Ответ:  Противоположные углы ромба равны друг другу. Кроме того, диагонали ромба делят внутренние углы пополам.

Q5: Каковы свойства симметрии ромба?

Ответ:  Ромб имеет две оси симметрии, которые делят его на две одинаковые части. Обе линии симметрии ромба являются его диагоналями. Кроме того, ромб обладает вращательной симметрией. Ромб имеет вращательную симметрию 180 ° (порядок 2).

Q6: Сколько осей симметрии у ромба?

Ответ: Ромб имеет 2 оси симметрии. Диагонали ромба являются его линиями симметрии.

Q7: Диагонали ромба равны?

Ответ.  Нет. В ромбе диагонали делятся пополам под перпендикулярными углами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *