Свойства степени с рациональным показателем примеры решения: Примеры решения степени с рациональным показателем

Содержание

Урок 17. степень с рациональным и действительным показателем — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степени;

2) определение степени с рациональным и действительным показателем;

3) нахождения значения степени с действительным показателем.

Глоссарий по теме

Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:

.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пример: вычислим

Мы можем представить , тогда

Таким образом, мы можем записать

или

На основании данного примера можно сделать вывод:

Если n- натуральное число, , m— целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:

.

Напомним, что r-рациональное число вида , где m— целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r0 выполняется равенство

Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Рассмотрим несколько примеров:

Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:

  1. ;
  2. ;

Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

  1. Вычислим:
  1. Упростить выражение:

В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

Эта последовательность стремится к числу , т.е.

Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.(х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .

Из данной теоремы вытекают три следствия:

  1. Пусть Тогда
  2. Пусть и

.

  1. Пусть и

.

Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Сравнить числа

Сравним показатели

Т.к. , и 12 < 18, то .

Поэтому по теореме

Пример 2. Решим уравнение

.

Поэтому уравнение можно записать так:

Получим, , разделим на 2 обе части уравнения.

Следовательно,

Пример 3. Сравнить числа

Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится — наименьшее общее кратное двух и трех:

Т.к. 0<8<9 и , то , т.е. .

Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением

Степень с рациональным и действительным показателем

а) Степень с рациональным показателем определяется равенством

б) Свойства степени с рациональным показателем (р, q — рациональные числа, а > 0, b > 0).

в) Степень с действительным иррациональным показателем х и основанием а, где а > 0, определяется как действительное число (обозначается

), являющееся пределом последовательности где — последовательность рациональных чисел такая, что При этом для степени с любым действительным показателем справедливы те же свойства, которыми обладает степень с рациональным показателем. Это доказывается в курсе высшей математики.

Пример №19.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение:

Обозначим

тогда Умножая числитель и знаменатель полученной дроби на и применяя формулу разности кубов, запишем А в следующем виде:

Снова применяя формулу разности кубов, получаем

Ответ:

Пример №20.

Доказать, что

Доказательство. Пусть

Применяя формулу куба суммы и учитывая, что получаем

Таким образом, левая часть А рассматриваемого равенства является корнем уравнения

Это уравнение имеет корень

а его левую часть можно записать в виде Так как уравнение не имеет действительных корней, а левая часть равенства А — действительное число, то

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Степень с рациональным показателем в математике с примерами решения и образцами выполнения

Степень с рациональным показателем — это степень в показателе которой находится конечная обыкновенная или десятичная дробь.

Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня, чья степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а числитель будет степенью подкоренного выражения.

Степенная функция

Четные и нечетные функции:

Сравним значения функции

при двух противоположных значениях аргумента, например при х = 3 и х= — 3:

Мы видим, что f (- 3) = f(3). Значения этой функции равны и при любых других противоположных значениях аргумента. Действительно,

При этом рассматриваемая функция такова, что для каждого значения аргумента х противоположное ему число — х также принадлежит ее области определения. В таких случаях говорят, что область определения функции симметрична относительно нуля.

Функции, обладающие такими свойствами, называют четными функциями.

Определение:

Функция y = f(х) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

На рисунке 52 построен график функции

График этой функции симметричен относительно оси у.

Вообще график любой четной функции симметричен относительно оси ординат. Это следует из того, что если y=f(x) — четная функция, то любым противоположным значениям аргумента х и -х соответствует одно и то же значение функции у, а точки (x; у) и ( -х; у) симметричны относительно оси ординат.

Рассмотрим теперь функцию

и сравним ее значения при двух противоположных значениях аргумента, например при x = 5 и х= -5:

Мы видим, что g( -5) = — g(5). Эта функция принимает противоположные значения и при любых других противоположных значениях аргумента. Действительно,

При этом область определения функции g симметрична относительно нуля.

Функции, обладающие такими свойствами, называют нечетными функциями.

Определение:

Функция y = g (х) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х верно равенство

На рисунке 53 построен график функции

Ее график симметричен относительно начала координат.

График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат. Это следует из того, что если y = g (х) — нечетная функция, то любым противоположным значениям аргумента х и -х соответствуют противоположные значения функции у и -у, а точки (х; у) и ( -х; -у) симметричны относительно начала координат.

С примерами четных и нечетных функций мы уже встречались. Так, функции, заданные формулами

являются четными, а функции — нечетными.

Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Например, каждая из функций

не является ни четной, ни нечетной.

Функция

Рассмотрим функцию, заданную формулой

где х — независимая переменная, а n — натуральное число. Такую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем.

Степенные функции при я = 1, 2 и 3, т. е. функции у = х,

мы уже рассматривали. Их свойства и графики нам известны.

Выясним теперь свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном n.

Выражение

где n — натуральное число, имеет смысл при любом х. Поэтому областью определения степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.

Сначала рассмотрим случай, когда показатель п — четное число. Свойства функции

при четном п аналогичны свойствам функции

  1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.
  2. Если то у > 0. Это следует из того, что четная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
  3. Функция является четной. Это следует из того, что при четном n равенство верно для любого х. График функции симметричен относительно оси ординат.
  4. Функция возрастает в промежутке и убывает в промежутке

Действительно, пусть

Если X1 = 0, то очевидно, что то, перемножив почленно п одинаковых неравенств получим верное неравенство Значит, в промежутке функция возрастает. Пусть теперь принадлежат промежутку и Тогда и по доказанному выше Отсюда в силу четности n следует, что Значит, в промежутке функция убывает. С возрастанием х график функции слева от начала координат опускается вниз, а справа поднимается вверх.

5. Область значений функции есть множество неотрицательных чисел.

Мы установили, что при любом х и четном n функция принимает неотрицательные значения. Можно доказать, что любое неотрицательное число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором

Значит, область значений функции — промежуток . График функции пересекает любая прямая у = а, если Если же а

На рисунке 56 изображены графики функций

и На рисунке 57 показано, как выглядит график функции с четным показателем n.

Рассмотрим теперь свойства степенной функции

при

нечетном n. Эти свойства аналогичны свойствам функции

  1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.
  2. Если x > 0, то у > 0; если x < 0 то у < 0. График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
  3. Функция является нечетной. Это следует из того, что при нечетном n для любого х верно равенство График функции симметричен относительно начала координат.
  4. Функция возрастает на всей области определения.

Доказательство того, что функция возрастает в промежутке

, такое же, как для степенной функции с четным показателем.

Докажем, что функция возрастает также и в промежутке

Пусть принадлежат этому промежутку и Тогда Так как то В силу нечетности числа n заключаем, что Отсюда Значит, функция возрастает и в промежутке Если же то очевидно, что Значит, функция возрастает на всей области определения. График функции с возрастанием х поднимается вверх.

5. Область значений функции есть множество всех действительных чисел.

Это следует из свойств 1 — 3 и из того, что любое неотрицательное

число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором

График функции пересекает любая прямая у = а.

На рисунке 58 изображены графики функций

На рисунке 59 показано, как выглядит график функции с нечетным показателем п, большим 1.

Корень n -й степени

Определение корня n-й степени:

Напомним, что квадратным корнем из числа о называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.

Корнем n-й степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а.

Например, корнем пятой степени из 32 является число 2, так как

корнем четвертой степени из 81 является каждое из чисел 3 и -3, так как Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем. Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем.

Рассмотрим степенную функцию

с нечетным показателем n (рис. 61). Для любого числа с существует единственное значение х, n-я степень которого равна а. Это значение является корнем n-й степени из а. Для записи корня нечетной степени n из числа а используют обозначение (читают: «Корень n-й степени из а»). Число n называют показателем корня, выражение, стоящее под знаком корня,— подкоренным выражением.

Приведем примеры.

Запись

означает кубический корень из —125. Из определения корня следует, что —125. Запись означает корень седьмой степени из 80. Число иррациональное. Его значение с точностью до 0,01 равно 1,87.

Рассмотрим теперь степенную функцию

с четным показателем n (рис. 62). При любом а > 0 существуют два противоположных значения х, n-я степень которых равна а. При a = 0 такое число одно (число 0), при а

Другими словами, если n — четное число и а > 0, то существуют два корня n-й степени из а. Эти корни являются противоположными числами. Если а = 0, то корень n-й степени из а равен нулю. Если а < 0 и n — четное число, то корень n-й степени из а не существует.

В случае четного n знаком

обозначают неотрицательный корень n-й степени из а. Отрицательный корень n-й степени из а (при a > 0) записывают так: Выражение при четном n и а

Например, запись

означает неотрицательный корень шестой степени из 64. Имеем = 2, так как 2 — неотрицательное число и

Если n = 2, то показатель корня не пишется.

Итак, если n — нечетное число, то выражение имеет смысл при любом а; если n — четное число, то выражение имеет смысл лишь при

Из определения корня n-й степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение

имеет смысл, верно равенство

Выражение

при имеет смысл как при четном, так и при нечетном n, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем n-й степени из а.

Определение:

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. Например,

= так как = -2 и = -2.

Вообще при любом положительном а и нечетном n

С помощью знака корня n-й степени записываются решения уравнений вида

Приведем примеры.

Пример:

Решим уравнение

Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых равна 7. Таких чисел два:

(см. рис. 62).

Пример:

Решим уравнение

Уравнение имеет два корня:

Пример:

Решим уравнение

Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот корень есть число, третья степень которого равна 5, т. е.

Пример:

Решим уравнение

Уравнение имеет единственный корень (см. рис. 61). Этот корень есть число, пятая степень которого равна —50, т. е.

Выразив через арифметический корень, получим

Свойства арифметического корня n-й степени

Нам известны следующие свойства арифметического квадратного корня:

Аналогичными свойствами обладает арифметический корень n-й степени и при n > 2.

Теорема:

Если

Пусть Тогда каждое из выражений и имеет смысл. Докажем, что выполняются условия:

Значение выражения

неотрицательно, так как по определению арифметического корня Кроме того, по свойству степени произведения

Значит, по определению арифметического корня n-й степени верно равенство

Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух. Например, если

Действительно,

Таким образом, арифметический корень п-й степени обладает свойством: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Теорема:

Если

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Итак, справедливо еще одно свойство арифметического корня n-й степени: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Поменяв местами в каждом равенстве

их левые и правые части, получим равенства, выражающие правила умножения и деления арифметических корней n-й степени:

Приведем примеры применения доказанных свойств.

Пример:

Найдем значение выражения

По теореме о корне из произведения имеем:

Пример:

Перемножим корни

Пример:

Найдем значение выражения

Пользуясь теоремой о корне из дроби, получаем:

Рассмотрим другие свойства корня n-й степени. Начнем с примера. Сравним значения выражений

Мы видим, что значения этих выражений равны, т. е.

Теорема:

Если п и к — натуральные числа и

Так как

выражения имеют смысл и неотрицательны. Кроме того,

Следовательно, по определению арифметического корня верно равенство

Теорема:

Если n, k и m — натуральные числа и

По теореме 3 имеем:

Мы доказали, что арифметический корень n-й степени обладает свойством: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Это свойство иногда называют основным свойством корня. Приведем пример применения теорем 3 и 4.

Пример:

Упростим выражение

Внесем множитель 2 под знак квадратного корня. Получим:

По теореме о корне из корня имеем:

Применив основное свойство корня, получим:

Итак,

Степень с рациональным показателем и ее свойства

Определение степени с дробным показателем

Мы знаем, какой смысл имеет выражение

если показатель n — целое число. Например, означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен — 3. Число означает число, обратное степени Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Из определения арифметического корня следует, что если m — целое число, n — натуральное и m делится на n, то при а > 0 верно равенство

Так как

Если принять, что равенство имеет место и в том случае, когда дробное число, то все свойства, верные для целого показателя степени, будут выполняться и для дробного показателя с положительным основанием (это будет доказано в следующем пункте).

Определение:

Если а — положительное число,

дробное число (m — целое, n — натуральное), то

По определению имеем:

Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя: если

дробное положительное число (тип — натуральные), то Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как не имеют смысла.

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,76 можно представить в виде дроби так:

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например:

Покажем это в общем случае.

Пусть а > 0, m — целое, n и k — натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:

Значения степеней с дробным показателем и положительным основанием можно находить приближенно с помощью инженерного микрокалькулятора, например, «Электроника БЗ-Зб». Микрокалькулятор «Электроника Б3-36» имеет 25 клавиш, из них 22 клавиши можно использовать для выполнения двух операций. Одна операция обозначена на самой клавише, а другая написана над ней. При выполнении операций, обозначенных на клавишах, микрокалькулятор работает в нормальном режиме, а когда производят операции, обозначенные над клавишами, то микрокалькулятор работает в совмещенном режиме. Чтобы перейти к этому режиму, надо нажать клавишу

После того как операция произведена, микрокалькулятор возвращается в нормальный режим работы. Вычисление значений степеней производится в совмещенном режиме, для чего используется клавиша

Пример:

Найдем значение степени

Вводим основание степени у, равное 3,48, нажимаем клавишу

(микрокалькулятор начинает работать в совмещенном режиме) и клавишу , затем показатель степени х,

равный 2,5, и клавишу

На экране высветится результат. Программа вычислений выглядит так:

Выполнив вычисления, найдем, что приближенное значение степени

равно 22,591658.

Пример:

Вычислим значение степени

Этот пример отличается от примера 1 тем, что показатель степени представлен не в виде десятичной дроби, а в виде обыкновенной дроби. Поэтому после введения основания степени 1,43 надо и нажатия клавиш

надо представить в виде десятичной дроби, выполнив деление 2 на 7. Для таких случаев в микрокалькуляторе предусмотрены клавиши (открывающая скобки) и (закрывающая скобки), которые позволяют получить промежуточный результат. Программа вычислений будет выглядеть так:

Выполнив вычисление, получим 1,1075969.

Заметим, что в тех случаях, когда результат вычислений по модулю оказывается меньше 0,0000001 или больше 99 999 999, микрокалькулятор дает ответ в виде

Знак числа а высвечивается в 1-м разряде слева (положительный знак не высвечивается), цифры числа а — в разрядах от 2-го до 9-го включительно, знак порядка — в 10-м разряде и цифры порядка — в 11-м и 12-м разрядах.

Свойства степени с рациональным показателем

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем. Перечислим их.

Для любого а > 0 и любых рациональных чисел р и q:


Для любых а >0 и b > 0 и любого рационального числа р:

Докажем свойство (1). Сначала покажем на частном примере способ доказательства этого свойства.

Пусть, например,

Докажем, что

Приведем дроби

к общему знаменателю:

Так как

то по свойству арифметического корня имеем:

Переходя к степени с дробным показателем, получим:

Следовательно,

поэтому

Проведем теперь доказательство свойства (1) в общем виде. Представим рациональные числа р и q в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

— целые числа, а n — натуральное число. Тогда

Значит,

Из свойства (1) следует, что для любого положительного а и любого рационального числа р

Действительно,

Свойство (2) следует из свойства (1) и определения частного. Докажем свойство (3), т. е. докажем, что при а > 0 и любых рациональных р и q

Пусть

— целые, а k и n — натуральные числа. Тогда

Значит,

Покажем, что при любом рациональном р и любом натуральном n

Действительно, по определению степени с дробным показателем и свойству (3) имеем:

Докажем свойство (4), т. е. докажем, что при а > 0 и b > 0 и любом рациональном р

Пусть

— целое число и к — натуральное число. Тогда

Значит,

Свойство (5) можно доказать, представив дробь

в виде произведения и применив затем свойство (4).

Преобразование выражении, содержащих степени с дробными показателями

Рассмотрим примеры, в которых используются тождественные преобразования выражений, содержащих степени с дробными показателями.

Пример:

Найдем значение выражения

Предварительно упростим это выражение:

Подставим в выражение

данное значение х и выполним вычисления:

Пример:

Упростим выражение

Представим числитель

в виде разности квадратов и разложим ее на множители. Получим:

Пример:

Сократим дробь

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Получим

Степени с рациональными показателями

Теперь, когда введено понятие арифметического корня n -й степени, можно определить степень с рациональным показателем.

Пусть а — положительное действительное число, x — произвольное рациональное число, т.е. число, представимое в виде несократимой обыкновенной дроби

, где , . В частности, при n = 1 рациональное число x является целым, а понятие степени с целым показателем было введено ранее. При под рациональной степенью x числа а понимают положительное число, равное арифметическому корню степени n из числа , т.е. , и обозначают (или ). Например, под понимают . При а = 1 и любом рациональном x имеем .

Если основание а = 0, то рациональная степень определена только при положительном показателе

, при этом полагают .

Степень с рациональным показателем можно определить и для отрицательного основания. Пусть

и показатель степени имеет в знаменателе нечётное число . В этом случае под понимают алгебраический (при нечётном m) или арифметический (при чётном m) корень степени из числа , т.е.

В этом случае справедливы все перечисленные ниже свойства степеней с рациональными показателями, которые доказываются аналогично.

Большинство свойств степеней с рациональными показателями выглядят аналогично (хотя являются обобщением) соответствующим свойствам степеней с целыми показателями. Доказательство свойств степеней с рациональными показателями проведём для случая положительного основания. В выполнении свойств степеней для случаев нулевого и отрицательного оснований убедитесь самостоятельно.

Свойства степеней с рациональными показателями

Пусть а и b — положительные действительные числа, а x и у — рациональные числа. Тогда верны следующие равенства:

6.Пусть

. Если , то , а если .

7.Если

, то ; если ,то .

Доказательство:

Рассмотрим два рациональных числа

и , их всегда можно привести к общему знаменателю:

Поэтому будем считать при доказательстве этого свойства, что рациональные числа x и у уже представлены в виде двух дробей с одинаковыми знаменателями:

и . Тогда, используя определение степени с рациональным показателем, а также свойство 2 арифметических корней и свойство 1 степеней с целым показателем, получаем

Пусть

и . Тогда, используя определение степени с рациональным показателем и свойства 4, 5 арифметических корней, получаем

Пусть

, тогда, используя определение степени с рациональным показателем, а также свойство 4 степеней с целым показателем и свойство 2 арифметических корней, получим

Докажем вначале, что

. Для этого достаточно показать, что произведение равно единице. В самом деле, . Но это и означает, что числа и взаимнообратны , т.е. Теперь докажем свойство: (здесь использовалось доказанное выше свойство 1 степеней с рациональным показателем).

Воспользуемся доказанными свойствами 3 и 2 степеней с рациональным показателем:

Докажем вначале два вспомогательных свойства:

1) если

и , то ; 2) если и , то .

1) Пусть

и . Воспользуемся дважды

свойством 8 числовых неравенств и определением степени с рациональным показателем:

2) Пусть теперь

. Обозначим , и тогда по только что доказанному свойству имеем . Тогда доказательство свойства 6 вытекает непосредственно из доказанных выше свойств 1) и 2), поскольку тогда , следовательно, при получаем

Доказательство в случае

проводится аналогично.

7.Пусть

. Тогда (по свойству 8 числовых неравенств)

Замечание. Мы доказали более сильное утверждение, а именно: если

, то . В случае учтём, что , и применим полученный выше результат: (по свойству 7б числовых неравенств) .

Пример:

Решить уравнения:

Решение:

а) ОДЗ:

б) ОДЗ:

Пример:

Доказать, что если

, то

Доказательство. Рассмотрим положительные числа a/c и b/с . По условию, (а/с) + (b/с) = 1, отсюда получаем оценки 0<а/с<1, 0< b/c < 1. По свойству 6 степеней с рациональными показателями имеем:

Складывая почленно два последних неравенства, получаем, что

, а это равносильно доказываемому неравенству.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Так как на ОДЗ

, то по свойству 6 степеней с рациональными показателями имеем:

Складывая эти неравенства, получаем, что на ОДЗ

. Таким образом, исходное неравенство не имеет решений.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Степень с рациональным показателем


Просмотр содержимого документа

«Степень с рациональным показателем»

Устный счет

10/7/18 10:00:08 PM

  • Вычислите: ,
  • Представить в виде обыкновенной дроби:

0,5; 1,2; 0,75; 1,5; 0,4; 0,1; 0,25.

Обозначения числовых множеств

  • Множество натуральных чисел. Используются при счете.
  • Множество целых чисел (натуральные + натуральные со знаком “-”+ нуль).
  • Множество рациональных чисел (дроби)
  • Множество иррациональных чисел (корни)
  • Действительные числа (рациональные+иррациональные)

N

Z

Q

I

R

10/7/18 10:00:08 PM

Степень с натуральным показателем

a — основание степени, n – показатель степени

Степень с целым показателем

10/7/18 10:00:08 PM

10/7/18 10:00:08 PM

Степень с рациональным показателем

Урок алгебры в 9 классе

Определение

10/7/18 10:00:08 PM

Если n – натуральное число,

И обратно:

Задание № 1. Записать в виде степени с рациональным показателем

 

10/7/18 10:00:08 PM

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 2. Записать в виде корня из степени с целым показателем

1)

 

2)

3)

4)

5)

6)

Задание № 3. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 3. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM


0, b0)   Примеры «

Свойства степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Все свойства степени с натуральным показателем верны и для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием. (p и q – рациональные числа, a0, b0)


0, b0)   Примеры «

10/7/18 10:00:08 PM

Свойства степени с рациональным показателем (2)

Верно и обратное (p и q – рациональные числа, a0, b0)

Задание 4. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

Задание 4. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 5. Записать в виде степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 5. Записать в виде степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Домашнее задание

Вычислите:

 

1)

3)

4)

№ 64, 65

10/7/18 10:00:08 PM

10/7/18 10:00:09 PM

10/7/18 10:00:09 PM

10/7/18 10:00:09 PM

Свойства степеней. Примеры.

10/7/18 10:00:09 PM

1)

2)

3)

4)

5)

Назад

Свойства степеней (2). Примеры.

Далее

10/7/18 10:00:09 PM

1.1.6 Степень с рациональным показателем и её свойства

Видеоурок 1: Степень с рациональным показателем

Видеоурок 2: Степень с рациональным показателем. Решение примеров

Лекция: Степень с рациональным показателем и её свойства

Степень с рациональным показателем

Степень с рациональным показателем — это та, в показателе которой находится конечная обыкновенная или десятичная дробь.

 

Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня, чья степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а числитель будет степенью подкоренного выражения.

Свойства степени с рациональным показателем

Все, перечисленные ниже степени используются для рациональных чисел p, q и для положительных a, b.

1. Если Вам необходимо умножить две степени с рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

ap * aq = ap+q.

Например:

2. Если необходимо разделить две степени c рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть.

ap / aq = apq .

Например,

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(ap )q = ap*q

Например,

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)p = ap * bp

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)p = ap / bq

6. Если некоторая дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Например,

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.2 = -16$  

Решение. 1) Степень
$x$ четная, поэтому возможны два значения:

$$x_{1}=\sqrt[1]{81}=3, x_{2}=-\sqrt[1]{81}=-3$$

2) Степень $y$ нечетная, поэтому
данное уравнение имеет единственный корень:

$$y=\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5$$

3) Это уравнение можно преобразовать к виду:
$z = \sqrt{-16}$ . Нельзя извлечь корень четной степени из
отрицательного числа. Поэтому действительных корней данное уравнение не имеет.

Ответ.  1) $x_1 = 3, x_2 = -3$

             2) $y = -5$

             3) решений нет.

Для любого $x$

Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают.

Например. Корень квадратный из 7 обозначают просто $\sqrt{7}$ .

Корень третей степени называют кубичным корнем: $\sqrt[3]{a}$ .

Алгебраические свойства корней

Для любых натуральных
$n$ и
$k$, больших единицы, и любых неотрицательных
$a$ и
$b$ верны равенства:

Степенью числа
$a \gt 0$ с рациональным показателем
$r = \frac{m}{n}$, где
$m$ — целое число, а
$n$ — натуральное
($n \gt 1$), называется число
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$. При
$a \lt 0$ , рациональная степень числа
$a$ не определена. Все свойства степеней с
натуральным показателем справедливы так же и для степеней с рациональным показателем.

Читать дальше: что такое модуль числа.

Урок по алгебре для 10 класса на тему «Степень с рациональным показателем»

Урок позволит показать, как учащиеся усвоили изученный материал и как они умеют применять полученные знания при решении конкретных задач.

Цели урока:

    Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащие степени с дробным показателем;

    Закрепить свойства степени с рациональным показателем в ходе выполнения упражнений;

    Формировать навыки самоконтроля учащихся;

    Создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;

    Воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Оборудование:

    карточки с ответами для устного счёта;

    карточки с заданиями, дешифраторами для каждого учащегося;

    мультимедиа;

    презентация Microsoft Excel.(-1/2)  –

4    7    2    –3    3    100    0,2    10

о    с    м    а    л    е    в    н

ЛОМОНОСОВ

Михаил Васильевич Ломоносов своим высказыванием указал на важность степеней для науки и человечества.

    Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов.

Задание. Упростив и вычислив следующие выражения, используя дешифратор, вы узнаете имя ученого, который положил начало буквенных записей степени. 


Просмотр содержимого документа

«Цели урока»


Просмотр содержимого презентации

«Нестандартный урок по алгебре в 10 классе»

«Степень с рациональным показателем»

Представить в виде степени с рациональным показателем.

а) х 2/5 · x 1/2       б) ( а а 0,5 ) 2             в) у 1/2 • √ 1/y

г) х 0,5 : x 1/3                 д) ( 4 х 3 ) 2                    Е ) ( 1/ а 2,5 ) -2

ж) ( у 5/7 ) 1,4              з) х 1/9 3 х 2           и) √ 3 у 4    

«Пусть кто – нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

Вычислить:

Михаил Васильевич Ломоносов

Исторические сведения о развитии понятия степени

Понятие о степени с натуральным показателем сформировалось еще у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел применялись при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона

Диофант

  • В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика» , в которой было положено начало буквенной символики.
  • Диофант ввел символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается Δ с индексом r , куб – знаком k , с индексом r и т.д.

Формулы сокращенного умножения

Вынести общий множитель за скобки:

Пользуясь тождеством разложить на множители:

Пользуясь тождеством разложить на множители:

Равенство, а º =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале XV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид

  • Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в XV веке. Известно, что Николай Шюке (1445-1500 гг.), рассматривал степени с отрицательным и нулевым показателями.
  • Симон Стевин предложил подразумевать под степенью числа а с дробным показателем 1/ n корень n степени из а.

Немецкий математик Михаэль Штифель (1487-15670 гг.) дал определение а º =1 при а≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent) . Немецкое potenzieren означает возведение в степень

В конце XV века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных , но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N , Q, C -для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения ввел в XVII веке ввел Рене Декарт

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем беру начало от работ английских математиков Джона Валиса (1616-1703) и Исаака Ньютона (1643-1727)

Домашнее задание

71-73 (четные), 84, 86 (2)

9.2 — Радикальные выражения и рациональные экспоненты

Цели обучения

  • (9.2.1) — Определить и идентифицировать радикальное выражение
  • (9.2.2) — Преобразование радикалов в выражения с рациональными показателями
  • (9.2.3) — Преобразование выражений с рациональными показателями в их радикальный эквивалент
  • (9.2.4) — Рациональные показатели, числитель которых не равен единице
  • (9.2.5) — Упростить радикальные выражения
    • Упростить радикальные выражения с помощью факторизации
    • Упростите радикальные выражения, используя рациональные показатели степени и законы показателей

Квадратные корни чаще всего записываются с помощью знака корня, например [латекс] \ sqrt {4} [/ latex].{\ tfrac {1} {2}}} [/ латекс].

Не можете представить себе возведение числа до рациональной степени? К ним может быть трудно привыкнуть, но рациональные показатели могут действительно помочь упростить некоторые проблемы. {\ frac {1} {n}}} [/ latex].{\ frac {1} {3}}}} = 2 \ sqrt [3] {x} [/ латекс]

Гибкость

Мы можем писать радикалы с рациональными показателями, и, как мы увидим, когда мы упростим более сложные радикальные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам гибко решать и упрощать их. Это похоже на тезаурус, когда вы пишете: вы хотите иметь возможность самовыражения!

Пример

Запишите [латекс] \ sqrt [4] {81} [/ latex] как выражение с рациональной степенью.3} = 2 [/ latex]

В нашем последнем примере мы перепишем выражения с рациональными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы упростим более сложные радикальные выражения и научимся решать радикальные уравнения. Обычно проще упростить, когда мы используем рациональные показатели степени, но это упражнение предназначено для того, чтобы помочь вам понять, как числитель и знаменатель показателя степени являются показателем степени подкоренного выражения и индексом радикала. {4 }} y} [/ латекс].{\ frac {1} {2}}} [/ латекс]

И поскольку вы знаете, что возведение числа в степень [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] — это то же самое, что извлечение квадратного корня из этого числа, вы также можете записать это так.

[латекс] \ sqrt {3x} = \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {x} [/ латекс]

Посмотрите на это — любое число под радикалом можно представить как произведение на отдельные множители , каждый из которых стоит под собственным радикалом.

Продукт, возведенный в правило степени или иногда называемый квадратным корнем правила продукта

Для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс] и [латекс] b [/ латекс], [латекс] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} [/ latex].{2}}} [/ латекс].

Квадратный корень из правила произведения поможет нам упростить корни, которые не идеальны, как показано в следующем примере.

Упростите радикальные выражения с помощью факторизации

Пример

Упростить. 2 [/ latex], поэтому мы можем переписать подкоренное выражение.{2} [/ латекс].

[латекс] \ sqrt {7} \ cdot 3 [/ латекс]

Переставьте множители так, чтобы целое число стояло перед радикалом, а затем умножьте. (Это сделано для того, чтобы было ясно, что под радикалом находится только 7, а не 3.)

[латекс] 3 \ cdot \ sqrt {7} [/ латекс]

Ответ
[латекс] \ sqrt {63} = 3 \ sqrt {7} [/ latex]

Окончательный ответ [latex] 3 \ sqrt {7} [/ latex] может выглядеть немного странно, но в упрощенной форме. Вы можете прочитать это как «три корня из семи» или «три раза больше квадратного корня из семи».{2}} [/ латекс] [латекс] \ слева | x \ справа | [/ латекс] [латекс] -5 [/ латекс] 25 5 5 [латекс] -2 [/ латекс] 4 2 2 0 0 0 0 6 36 6 6 10 100 10 10

Примечание. {2}} = \ left | x \ right | [/ latex].2 [/ latex] всегда будет неотрицательным. Один совет, чтобы знать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — это посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных условиях. Если показатель нечетный, включая 1, добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с помощью четного индекса, как мы увидим в следующих примерах.

В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с помощью переменных.

Мы покажем другой пример, где упрощенное выражение содержит переменные как с нечетной, так и с четной степенью.2} = 2 [/ латекс]; и добавление [latex] x = 1 [/ latex] в наш окончательный ответ также дает: [latex] | 1-3 | = 2 [/ latex]. Однако, если мы не поставим знаки абсолютного значения, подключение [латекс] x = 1 [/ latex] к [latex] x-3 [/ latex] даст [latex] 1-3 = -2 [/ latex], другое значение.

В нашем следующем примере мы начнем с выражения, записанного с рациональной экспонентой. Вы увидите, что вы можете использовать аналогичный процесс — разложение и сортировку членов по квадратам — для упрощения этого выражения.

Пример

Упростить.{4}} [/ латекс]

Упростить кубические корни

Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, чтобы упростить корни более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти факторы под радикалом, которые являются идеальными кубами, чтобы вы могли извлечь их кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, идентифицировали ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. По мере упрощения сосредоточьтесь на поиске одинаковых трех факторов.

Пример

Упростить.{4}} [/ латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров моделирования кубических корней.

Упрощение корней четвертой степени

Теперь перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применима та же идея: найдите кубы для кубических корней, степени четырех для корней четвертой степени и т. Д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексированный радикал и переменный множитель с нечетной степенью, вам нужно применить абсолютное значение.{2}}} [/ латекс]

Ну, это заняло время, но вы сделали это. Вы применили то, что знаете о дробных показателях, отрицательных показателях и правилах экспонент, чтобы упростить выражение.

В нашем последнем видео мы показываем, как использовать рациональные показатели для упрощения радикальных выражений.

Сводка

Радикальное выражение — это математический способ представления корня n -й степени числа. Квадратные корни и кубические корни являются наиболее распространенными радикалами, но корень может быть любым числом.{n}}} = \ left | х \ право | [/ латекс]. (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x отрицательно и возведено в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -го числа этого числа.)

Рациональные показатели — Полный курс алгебры

29

Дробный показатель

Экспоненциальная форма против радикальной формы

Отрицательная экспонента

Оценки

Правила экспонентов

КУБИЧЕСКИМ КОРНЕМ a мы подразумеваем число, третья степень которого равна a .

Таким образом, кубический корень из 8 равен 2, потому что 2 3 = 8. Кубический корень из −8 равен −2, потому что (−2) 3 = −8.

— это кубический корень из a . 3 называется индексом радикала.

В целом

означает b n = a. .

Эквивалентно

Читать « n корень -й степени из a

Например,

— Корень 4-й степени из 81 — это 3
, потому что 81 — это 4-я степень числа 3.

Если индекс опущен, как в, предполагается, что индекс равен 2.

Пример 1. = 11.
= 2, потому что 2 5 = 32.
= 10, потому что 10 4 = 10,000.
= −2, потому что (−2) 5 = −32.

Мы видим, что если индекс нечетный , то подкоренное выражение может быть отрицательным. Но если индекс четный, подкоренное выражение не может быть отрицательным.Нет такого реального числа, например, как.

Проблема 1. Оцените каждое следующее — если оно реально.

а) = 3 б) = −3 в) = 2
г) = Не реально. д) = −5
е) = 1 г) = Не реально. ч) = -1
Проблема 2.Доказательство:
Совет : умножьте числитель и знаменатель на

Дробный показатель

Мы видели, что чтобы возвести в квадрат степень, удвойте показатель степени.

( a 4 ) 2 = a 8 .

И наоборот, квадратный корень из степени равен половине показателя степени.Квадратный корень из a 8 равен a 4 ;

значение a 10 равно a 5 ; значение a 12 равно a 6 .

Это будет держаться для всех сил. Квадратный корень из на 3 получается на . То есть a 5 равно a . И особенно квадратный корень из 1 .

Другими словами, равно.

=.

Точно так же, поскольку куб степени будет показателем, умноженным на 3 — куб из a n равен a 3 n — кубический корень из степени будет делением экспоненты на 3. Кубический корень из a 6 равен a 2 ; значение a 2 равно a . И кубический корень из a 1 равен a .

=.

Это общее правило:

=

Знаменатель дробной экспоненты
равен индексу радикала.
Знаменатель указывает корень.

Пример 2. 8 означает кубический корень из 8, который равен 2.
81 означает четвертый корень из 81, что составляет 3.
(-32) означает пятый корень из -32, что равно -2.

8 — экспоненциальная форма кубического корня из 8.

— его радикальная форма.

Проблема 3. Оцените следующее.

Задача 4. Выразите каждый радикал в экспоненциальной форме

a — кубический корень из a 2 .Показатель 2 был разделен на 3. Однако по правилам экспонент:

a = ( a 2 ) = ( a ) 2 .

То есть

Например,

8 = (8) 2 = 2 2 = 4.

8 — это кубический корень из 8 в квадрате.

снова:

Знаменатель дробной экспоненты
указывает корень .

Хотя 8 = (8 2 ), для оценки дробной степени более эффективно сначала извлечь корень, потому что мы возьмем степень меньшего числа.

В целом

Проблема 5. Оцените следующее.

Задача 6. Выразите каждый радикал в экспоненциальной форме.

Отрицательная экспонента

Число с отрицательной экспонентой и показателем является обратной величиной этого числа с положительной экспонентой.

a −v — это , обратное к a v .

Следовательно,

Задача 7. Выразите каждое из следующих значений отрицательной экспонентой.

Задача 8. Выразить в радикальной форме.

Оценки

На уроке экспонент мы увидели, что −2 4 — отрицательное число.Это отрицание 2 4 .

Для знака минус обозначается отрицательное значение числа, следующего за ним. И число, следующее за знаком минус, -2 4 , это 2 4 .

[(-2) 4 — положительное число. Урок 13.]

Точно так же

−8 — это отрицательное значение из 8:

−8 = −2 2 = −4.

(-8), с другой стороны, является положительным числом:

(-8) = (-2) 2 = 4.

Проблема 9. Оцените следующее.

а) 9 -2 = 1
9 2
= 1
81
б) 9 = 3 в) 9 = 1
3
г) −9 = −3 д) −9 2 = −81 е) (−9) 2 = 81
г) −9 −2 = 1
81
ч) (−9) −2 = 1
81
i) −27 = −9
к) (-27) = 9 к) 27 = 1
9
л) (-27) = 1
9
Проблема 10.Оценить

Это величина, обратная 16/25 — с положительным показателем степени.
Итак, это квадратный корень из 25/16, который равен 5/4, затем возведенный в 3-ю степень: 125/64.

Правила экспонентов

Показателем степени может быть любое рациональное число. Рациональные показатели u, v подчиняются обычным правилам.

a u a v = a u + v Та же база
= a u — v
( ab ) u = a u b u Мощность изделия
( a u ) v = a УФ Мощность мощности
= Мощность дроби

Пример 3.Перепишите в экспоненциальной форме и примените правила.

См. «Арифметика, сложение и вычитание дробей».

Задача 11. Примените правила экспонент.

а) 4 · 4
= 4
= 4
= 2
б) 8
8
= 8
= 8
= 2
в) (10) = 10

= 10 −3
знак равно

1
1000

Проблема 12.Выразите каждый радикал в экспоненциальной форме и примените правила экспонент.

а) x
знак равно
x · x
= х

= х

б) x 2
знак равно
x 2 · x
= х

= х

в) = ( х + 1)
= ( х + 1)

Теперь мы можем понять, что правила для радикалов, а именно

— это правила экспонентов.Таким образом, они применяются только к факторам.

Задача 13. Доказать:

=

( ab ) =

а · б =
·

Чтобы решить уравнение, которое выглядит следующим образом:

Для, x · = x 1 = x .

Проблема 14.Решите относительно x .

а) x = 8 б) x = −32
x = 8 = 4 x = (-32) = −8
в) ( x — 1) = 64 г) x 7 = 5
x — 1 = 64 x =
x = 256 + 1 = 257
д) x = 7 е) = 5
x = 7 5 x = 5 =

Следующий урок: Комплексные числа

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Другие типы уравнений — College Algebra

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

  • Решите уравнения с рациональными показателями.
  • Решите уравнения, используя факторинг.
  • Решите радикальные уравнения.
  • Решите уравнения абсолютных значений.
  • Решите другие типы уравнений.

Мы решили линейные уравнения, рациональные уравнения и квадратные уравнения, используя несколько методов. Однако существует множество других типов уравнений, и в этом разделе мы исследуем еще несколько типов. Мы рассмотрим уравнения, включающие рациональные показатели, полиномиальные уравнения, радикальные уравнения, уравнения абсолютных значений, уравнения в квадратичной форме и некоторые рациональные уравнения, которые можно преобразовать в квадратичные.Однако при решении любого уравнения используются те же основные алгебраические правила. Мы изучим некоторые новые техники применительно к определенным уравнениям, но алгебра никогда не меняется.

Решение уравнений с использованием рациональных показателей

Рациональные показатели — это показатели, представляющие собой дроби, где числитель — степень, а знаменатель — корень. Например, это еще один способ написания — это еще один способ написания Умение работать с рациональными показателями — полезный навык, поскольку он очень применим в исчислении.

Мы можем решить уравнения, в которых переменная возведена в рациональный показатель степени, возведя обе части уравнения до обратной степени. Причина, по которой мы возводим уравнение к обратной величине экспоненты, состоит в том, что мы хотим исключить показатель степени в переменной составляющей, а число, умноженное на обратное, равно 1. Например, и так далее.

Рациональные экспоненты

Рациональная экспонента указывает степень в числителе и корень в знаменателе.Есть несколько способов записать выражение, переменную или число с рациональной экспонентой:

Вычисление числа, возведенного в рациональную экспоненту

Оценить

Возьмем ли мы сначала корень или сначала мощность, зависит от числа. Кубический корень из 8 легко найти, поэтому перепишем его как

.

Оценить

Решите уравнение, включающее переменную, возведенную в рациональную степень

Решите уравнение, в котором переменная возведена в рациональный показатель степени:

Чтобы удалить показатель степени x , нужно возвести обе части уравнения в степень, обратную величине

.

Решите уравнение

Решение уравнения, включающего рациональные экспоненты и факторинг

Решить

Это уравнение включает рациональные показатели, а также факторизацию рациональных показателей.Давайте делать это шаг за шагом. Сначала поместите переменные члены с одной стороны от знака равенства и приравняйте уравнение к нулю.

Итак, похоже, что мы должны вычесть левую часть, но что мы исключим? Мы всегда можем разложить на множители член с наименьшим показателем. Затем выведите множитель из обоих терминов слева.

Откуда взялось? Помните, когда мы умножаем два числа с одинаковым основанием, мы складываем экспоненты. Следовательно, если мы обратимся к умножению, используя свойство распределения, мы получим выражение, которое было до факторинга, что и должно произойти.Нам нужен такой показатель степени, чтобы при добавлении к equalsThus показатель степени x в скобках составлял

Продолжим. Теперь у нас есть два фактора, и мы можем использовать теорему о нулевом множителе.

Два решения: и

Решить:

Решение уравнений с использованием факторинга

Мы использовали факторизацию для решения квадратных уравнений, но это метод, который мы можем использовать со многими типами полиномиальных уравнений, которые представляют собой уравнения, содержащие строку терминов, включая числовые коэффициенты и переменные.Когда мы сталкиваемся с уравнением, содержащим многочлены степени выше 2, мы часто можем решить их путем факторизации.

Полиномиальные уравнения

Многочлен степени n является выражением типа

, где n — целое положительное число, а — действительные числа, а

Установка полинома равным нулю дает полиномиальное уравнение. Общее количество решений (действительных и комплексных) полиномиального уравнения равно старшему показателю n .

Решение многочлена путем факторинга

Решите полином на множители:

Анализ

Мы можем видеть решения на графике (рисунок). Координаты x- точек, где график пересекает ось x- , являются решениями — точки пересечения x-. Обратите внимание на график, что в решении график касается оси x- и отскакивает обратно. Он не пересекает ось x- . Это типично для двойных решений.

Решить факторинг:

Решите многочлен путем группировки

Решите многочлен, сгруппировав:

Анализ

Мы рассмотрели решение квадратных уравнений путем факторизации, когда старший коэффициент равен 1. Когда старший коэффициент не равен 1, мы решали путем группирования. Для группировки требуется четыре члена, которые мы получили путем разбиения линейного члена квадратных уравнений. Мы также можем использовать группировку для некоторых многочленов степени выше 2, как мы видели здесь, поскольку уже было четыре члена.

Решение радикальных уравнений

Радикальные уравнения — это уравнения, которые содержат переменные в подкоренном выражении (выражение под радикальным символом), например

Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному. Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, поскольку нет ничего необычного в том, чтобы найти посторонние решения, корни, которые на самом деле не являются решениями уравнения. Эти решения возникают не из-за ошибки в методе решения, а в результате возведения обеих частей уравнения в степень.Однако проверка каждого ответа в исходном уравнении подтвердит истинные решения.

Радикальные уравнения

Уравнение, содержащее члены с переменной в подкоренном выражении, называется радикальным уравнением.

Решите радикальное уравнение.

  1. Выделите радикальное выражение по одну сторону от знака равенства. Все оставшиеся термины перенесите на другую сторону.
  2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите обе части уравнения в квадрат.Если это кубический корень, возведите обе части уравнения в третью степень. Другими словами, для корневого радикала n возвести обе стороны до n -й степени. Это устраняет радикальный символ.
  3. Решите оставшееся уравнение.
  4. Если радикальный термин все еще остается, повторите шаги 1–2.
  5. Подтвердите решения, подставив их в исходное уравнение.

Решение уравнения с одним радикалом

Решить

Решите радикальное уравнение:

Посторонний раствор

Решение радикального уравнения, содержащего два радикала

Решить

Решите уравнение с двумя радикалами:

Посторонний раствор

Решение других типов уравнений

Есть много других типов уравнений в дополнение к тем, которые мы обсуждали до сих пор.Мы увидим их больше по всему тексту. Здесь мы обсудим уравнения, которые находятся в квадратичной форме, и рациональные уравнения, которые приводят к квадратичной форме.

Решение уравнений в квадратичной форме

Уравнения в квадратичной форме — это уравнения с тремя членами. Первый член имеет степень, отличную от 2. Средний член имеет показатель степени, равный половине показателя степени главного члена. Третий член — постоянный. Мы можем решать уравнения в этой форме, как если бы они были квадратичными.Несколько примеров этих уравнений включают: и В каждом из них удвоение показателя среднего члена равняется показателю степени главного члена. Мы можем решить эти уравнения, подставив переменную вместо среднего члена.

Квадратная форма

Если показатель степени в среднем члене равен половине показателя степени в главном члене, у нас есть уравнение в квадратичной форме, которое мы можем решить, как если бы оно было квадратичным. Мы подставляем переменную вместо среднего члена, чтобы решить уравнения в квадратичной форме.

Решите квадратное по форме уравнение.

  1. Определите показатель степени в ведущем члене и определите, является ли он удвоенным показателем степени в среднем члене.
  2. Если это так, замените переменную часть среднего члена переменной, например u .
  3. Перепишите уравнение так, чтобы оно приняло стандартную форму квадратичной.
  4. Решите, используя один из обычных методов решения квадратичной.
  5. Заменить заменяемую переменную исходным термином.
  6. Решите оставшееся уравнение.

Решение уравнения четвертой степени в квадратичной форме

Решите уравнение четвертой степени:

Решить с помощью замены:

Решение уравнения в квадратичной форме, содержащего бином

Решите уравнение в квадратичной форме:

Решить:

Решение рациональных уравнений, приводящих к квадратичной

Ранее мы решали рациональные уравнения.Иногда решение рационального уравнения приводит к квадратичному. Когда это происходит, мы продолжаем решение, упрощая квадратное уравнение одним из методов, которые мы видели. Может оказаться, что решения нет.

Решение рационального уравнения, ведущего к квадратичному

Решите следующее рациональное уравнение:

Мы хотим, чтобы все знаменатели в факторизованной форме находили ЖК-дисплей. Два знаменателя нельзя разложить на множители. Однако, затем, LCD is Next, мы умножаем все уравнение на LCD.

В этом случае любое решение дает ноль в знаменателе исходного уравнения. Таким образом, решения нет.

Ключевые концепции

  • Рациональные показатели можно переписать несколькими способами в зависимости от того, что наиболее удобно для задачи. Для решения обе части уравнения возводятся в степень, при которой показатель степени переменной будет равен 1. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Факторинг распространяется на полиномы более высокого порядка, когда он включает факторинг GCF или разложение по группировке.См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Мы можем решить радикальные уравнения, выделив радикал и возведя обе части уравнения в степень, соответствующую индексу. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Чтобы решить уравнения абсолютных значений, нам нужно написать два уравнения: одно для положительного значения, а другое — для отрицательного. См. (Рисунок).
  • Уравнения в квадратичной форме легко найти, поскольку показатель степени первого члена в два раза больше показателя степени второго члена, а третий член является константой.Мы также можем увидеть бином вместо единственной переменной. Мы используем замену для решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Решение рационального уравнения также может привести к квадратному уравнению или уравнению в квадратичной форме. См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Что означает в радикальном уравнении, если число является посторонним решением?

Это не решение радикального уравнения, это значение, полученное путем возведения в квадрат обеих сторон и, таким образом, изменения знаков уравнения, из-за которого оно не является решением в исходном уравнении.

Объясните, почему возможные решения должны быть проверены в радикальных уравнениях.

Ваш друг пытается вычислить значение и продолжает получать сообщение ОШИБКА. Какую ошибку он, вероятно, совершает?

Он или она, вероятно, пытается ввести минус 9, но извлечение квадратного корня из не является действительным числом. Знак минус стоит перед ним, поэтому ваш друг должен извлечь квадратный корень из 9, вычислить его в кубе, а затем поставить знак минус впереди, в результате получится

.

Объясните, почему нет решения.

Объясните, как преобразовать рациональную экспоненту в правильное радикальное выражение.

Рациональная экспонента — это дробь: знаменатель дроби — это корень или порядковый номер, а числитель — это степень, в которую она возведена.

Алгебраические

Для следующих упражнений решите уравнение рациональной экспоненты. При необходимости используйте факторинг.

Для следующих упражнений решите следующие полиномиальные уравнения путем группирования и разложения на множители.

Для следующих упражнений решите радикальное уравнение. Обязательно проверьте все решения, чтобы исключить посторонние решения.

Для следующих упражнений решите уравнение с абсолютным значением.

Для следующих упражнений решите уравнение, найдя квадратичную форму. Используйте заменяющую переменную и найдите все реальные решения путем факторинга.

Расширения

Для следующих упражнений найдите неизвестную переменную.

Реальные приложения

Для следующих упражнений используйте модель для периода маятника так, чтобы длина маятника составляла L , а ускорение свободного падения было

.

Если ускорение свободного падения составляет 9,8 м / с 2 и период равен 1 с, найдите длину с точностью до см (100 см = 1 м).

Если сила тяжести равна 32 фут / с 2 и период равен 1 с, найдите длину с точностью до дюйма.(12 дюймов = 1 фут). Округлите ответ до ближайшего дюйма.

Для следующих упражнений используйте модель площади поверхности тела, BSA, где w = вес в кг и h = рост в см.

Найдите с точностью до сантиметра рост 72-кг женщины, у которой

Найдите с точностью до кг вес 177-сантиметрового мужчины, у которого

Глоссарий

уравнение абсолютного значения
уравнение, в котором переменная отображается в столбцах абсолютных значений, как правило, с двумя решениями, одно учитывает положительное выражение, а другое — отрицательное.
уравнения в квадратичной форме
уравнения со степенью, отличной от 2, но со средним членом с показателем, равным половине показателя степени главного члена
посторонние решения
любые полученные решения, которые не действительны в исходном уравнении
полиномиальное уравнение
уравнение, содержащее строку членов, включая числовые коэффициенты и переменные, возведенные в целочисленные показатели
радикальное уравнение
уравнение, содержащее по крайней мере один радикальный член, где переменная является частью подкоренного выражения

Алгебра — рациональные показатели

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-2: Рациональные экспоненты

Теперь, когда мы рассмотрели целочисленные показатели, нам нужно перейти к более сложным показателям.{\ frac {1} {4}}} \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

При проведении этих оценок мы фактически не будем проводить их напрямую. Когда впервые сталкиваешься с такого рода оценками, сделать их напрямую часто очень сложно. Чтобы оценить их, мы запомним эквивалентность, указанную в определении, и будем использовать ее вместо этого.

Мы подробно проработаем первую, а потом не будем вдаваться в детали остальных проблем.{\ frac {1} {4}}} \) Показать решение

В этой части нет ответа. Это здесь, чтобы подчеркнуть суть. В этом случае мы спрашиваем, какое число мы возводим в степень 4 и степень , чтобы получить -16. Однако мы также знаем, что возведение любого числа (положительного или отрицательного) в четную степень будет положительным. Другими словами, не существует действительного числа, которое мы могли бы возвести в степень 4 и , чтобы получить -16.

Обратите внимание, что это отличается от предыдущей части.{\ frac {1} {4}}}} \ right) = — \ left (2 \ right) = — 2 \]

Как еще раз показали последние две части предыдущего примера, нам действительно нужно быть осторожными с круглыми скобками. В этом случае скобка определяет, можно ли получить ответ или нет.

Кроме того, не беспокойтесь, если вы не знали о некоторых из этих сил в уме. Их обычно довольно просто определить, если вы не узнали их сразу. Например, в части b нам нужно было определить, какое число, возведенное в 5, даст 32.5} \), пока не будет достигнуто правильное значение. Конечно, в этом случае нам не нужно будет проходить мимо первого вычисления.

Следующее, что мы должны признать, это то, что все свойства для показателей, которые мы дали в предыдущем разделе, по-прежнему действительны для всех рациональных показателей. Это включает более общий рациональный показатель, который мы еще не рассматривали.

Теперь, когда мы знаем, что свойства все еще действительны, мы можем увидеть, как работать с более общим рациональным показателем.{\ frac {1} {n}}} \]

Это очень распространенная ошибка, когда студенты впервые изучают правила экспоненты.

Алгебра — Многочлены

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Многочлены

В этом разделе мы начнем рассматривать полиномы.{23}} \ hspace {0,5 дюйма} & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень:}} \, \, 23 \\ & 5x — 7 & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень :}} \, \, 1 \\ & — 8 & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень:}} \, \, 0 \ end {align *} \]

Итак, многочлен не обязательно должен содержать все степени \ (x \), как мы видим в первом примере. Кроме того, полиномы могут состоять из одного члена, как мы видим в третьем и пятом примерах. m} \).3} + 3x — 11y & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень: 14}} \ end {align *} \]

В полиномах такого типа не каждый член должен содержать в себе как \ (x \), так и \ (y \), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не нужно иметь никаких терминов, которые содержат как \ (x \), так и \ (y \). Кроме того, степень полинома может быть получена из членов, содержащих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, четырех переменных или любого количества переменных, которое нам нужно.Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно избавиться от некоторой терминологии. Моном — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов.Мы будем время от времени использовать эти термины, так что вы, вероятно, должны хотя бы немного с ними ознакомиться.

Теперь нам нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Обратите внимание, что мы не учли деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Прежде чем фактически начать это обсуждение, нам нужно вспомнить о распределительном законе. Это будет многократно использоваться в оставшейся части этого раздела.2} — 9x + 4} \ right) \]

В этом случае скобки не требуются, поскольку мы складываем два многочлена. Они существуют просто для того, чтобы прояснить операцию, которую мы выполняем. Чтобы сложить два полинома, все, что мы делаем, это , объединяем аналогичные термины . 2} + x + 1 \).2} + x — 3} \ right) \]

На этот раз скобки вокруг второго члена обязательны. Мы вычитаем весь многочлен, и скобки должны быть там, чтобы убедиться, что мы действительно вычитаем весь многочлен.

При выполнении вычитания первое, что мы сделаем, это поставим знак минус через круглые скобки. Это означает, что мы изменим знак у каждого члена второго многочлена. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это умножение «-1» на второй многочлен, используя закон распределения.2} \ end {align *} \]

Это очень распространенные ошибки, которые студенты часто совершают, когда только начинают учиться умножать многочлены.

рациональных выражений

Выражение отношения двух многочленов:

Это похоже на дробь, но с многочленами.

Другие примеры:

x 3 + 2x — 1 6x 2 2x + 9 x 4 — x 2

Также

1 2 — x 2 Верхний полином равен «1», и это нормально.
2x 2 + 3 Да, это так! Так же можно было бы написать:
2x 2 + 3 1

Но не

2 — √ (x) 4 — x вершина не является многочленом (квадратный корень из переменной не допускается)
1 / x не допускается в полиноме

В целом

Рациональная функция — это отношение двух многочленов P (x) и Q (x), как это

f (x) = P (x) Q (x)

За исключением того, что Q (x) не может быть нулем (и везде, где Q (x) = 0 не определено)

Поиск корней рациональных выражений

«Корень» (или «ноль») — это когда выражение равно нулю :

Чтобы найти корни рационального выражения , нам нужно только найти корни верхнего полинома , если рациональное выражение находится в «наименьших членах».

Итак, что означает «Самые низкие термины»?

Наименьшие термины

Ну, дробь находится в наименьшем значении, когда верхняя и нижняя части не имеют общих множителей.

Пример: дроби

2
6
, а не в самом низком выражении,

, поскольку 2 и 6 имеют общий множитель «2»

Но:

1
3
— это в самом низком выражении,

, поскольку 1 и 3 не имеют общих множителей

Точно так же рациональное выражение находится в наименьшем значении, когда верх и низ не имеют общих множителей.

Пример: рациональные выражения

x 3 + 3x 2 2x — это , а не в самых низких терминах,

как x 3 + 3x 2 и 2x
имеют общий множитель «х»

Но

x 2 + 3x 2 — это в низком выражении,

как x 2 + 3x и 2 не имеют общих множителей

Итак, чтобы найти корни рационального выражения :

  • Сократите рациональное выражение до наименьших членов,
  • Затем найдите корни верхнего полинома

Как нам найти корни? Прочтите «Решение многочленов», чтобы узнать, как это сделать.

Правильное против неправильного

Дроби могут быть правильными или неправильными:
(В «Неправильном» нет ничего плохого, просто другой тип)

И аналогично:

Рациональное выражение также может быть правильным или неправильным !

Но что делает многочлен больше или меньше?

Степень!

Для полинома с одной переменной Степень является наибольшим показателем этой переменной.

Примеры степени:

4x Степень: 1 (переменная без экспоненты

фактически имеет показатель степени 1)
4x 3 — x + 3 Степень 3 (наибольший показатель x)

Итак, вот как узнать, является ли рациональное выражение правильным или неправильным :

Правильно: степень верха меньше степени низа.

Правильный: 1 х + 1 град (верх) <град (низ)

Другой пример: x x 3 — 1

Неправильно: степень верха больше или равна степени низа.

Неправильно: x 2 — 1 x + 1 град (вверху) ≥ градус (внизу)

Другой пример: 4x 3 -3 5x 3 + 1

Если полином неправильный, мы можем упростить его с помощью полиномиального деления в длину

Асимптоты

Рациональные выражения могут иметь асимптоты (линия , к которой кривая приближается по мере приближения к бесконечности):

Рациональное выражение может иметь:

  • любое количество вертикальных асимптот,
  • только нулевая или одна горизонтальная асимптота,
  • только нулевая или одна наклонная (наклонная) асимптота

Нахождение горизонтальных или наклонных асимптот

Найти их довольно просто…

… но это зависит от степени полинома сверху и снизу .

Тот, у кого больше степень, будет расти быстрее всех.

То же, что «Правильный» и «Неправильный», но на самом деле существует четырех возможных случаев, показано ниже.

(я показываю тестовое значение x = 1000 для каждого случая, просто чтобы показать, что происходит)

Давайте рассмотрим каждый из этих примеров по очереди:

Степень верха

Меньше Чем ниже

Нижний полином будет доминировать, а горизонтальная асимптота равна нулю.

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x

2 +1)

Когда x равен 1000:

f (1000) = 3001/4000001 = 0,00075 …

И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 0

Степень верха

равна низу

Ни один из них не доминирует … асимптота задается старшими членами каждого полинома.

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x + 1)

Когда x равен 1000:

f (1000) = 3001/4001 = 0.750 …

И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 3/4

Почему 3/4? Поскольку «3» и «4» являются «старшими коэффициентами» каждого полинома

Члены отсортированы в порядке убывания степени

(Технически 7 — это постоянная величина, но здесь их все легче представить как коэффициенты.)

Метод простой:

Разделите старший коэффициент верхнего многочлена на старший коэффициент нижнего многочлена.

Вот еще пример:

Пример: f (x) = (8x

3 + 2x 2 — 5x + 1) / (2x 3 + 15x + 2)

Степени равны (обе имеют степень 3)

Достаточно взглянуть на ведущие коэффициенты каждого полинома:

  • Верх 8 (из 8x 3 )
  • Снизу 2 (из 2x 3 )

Итак, существует горизонтальная асимптота на 8/2 = 4

Степень верха составляет

1 больше Чем ниже

Это особый случай: существует наклонная асимптота , и нам нужно найти уравнение прямой.

Чтобы решить эту проблему, используйте полиномиальное деление в столбик: разделите верхнюю часть на нижнюю, чтобы найти частное (остаток игнорируйте).

Пример: f (x) = (3x

2 +1) / (4x + 1)

Степень вершины равна 2, а степень основания равна 1, поэтому будет наклонная асимптота

.

Нам нужно разделить 3x 2 +1 на 4x + 1 , используя полиномиальное деление в столбик:

Ответ: (3/4) x- (3/16) (без учета остатка):

Асимптота «уравнение прямой»: (3/4) x- (3/16)

Степень верха

Больше 1 Нижнего

Когда верхний многочлен на более чем на 1 градус на выше нижнего многочлена, не имеет горизонтальной или наклонной асимптоты .

Пример: f (x) = (3x

3 +1) / (4x + 1)

Степень верха — 3, а степень низа — 1.

Вершина находится более чем на 1 градус выше нижней части, поэтому нет горизонтальной или наклонной асимптоты .

Поиск вертикальных асимптот

Есть еще один тип асимптоты, который вызван нижним многочленом только .

Но сначала: убедитесь, что рациональное выражение выражено в минимальных терминах!

Когда нижний многочлен равен нулю (любой из его корней), мы получаем вертикальную асимптоту.

Прочтите раздел «Решение многочленов», чтобы узнать, как найти корни.

Из нашего примера выше:

Пример: (x

2 -3x) / (2x-2)

Нижний полином равен 2x-2 , который разлагается на:

2 (х-1)

И множитель (x-1) означает, что существует вертикальная асимптота при x = 1 (потому что 1-1 = 0)

Полный пример

Пример: эскиз (x − 1) / (x

2 −9)

Прежде всего, мы можем разложить на множители нижний многочлен (это разница двух квадратов):

x − 1 (x + 3) (x − 3)

Теперь мы видим:

Корни верхнего полинома: +1 (здесь пересекает ось x )

Корни нижнего многочлена: −3 и +3 (это вертикальных асимптот )

Это пересекает ось y , когда x = 0, поэтому давайте установим x равным 0:

Пересекает ось Y в:
0−1 (0 + 3) (0−3) = −1 −9 = 1 9

Мы также знаем, что степень вершины меньше степени основания, поэтому существует горизонтальная асимптота на 0

.

Итак, мы можем набросать всю эту информацию:

И теперь мы можем набросать кривую:

(Сравните это с графиком (x-1) / (x 2 -9))

Wolfram | Примеры альфа: рациональные функции


Рациональные функции

Найдите корни, альтернативные формы, графики и другие свойства рациональных функций.

Вычислить свойства рациональной функции:

Найдите степень рациональной функции:

Постройте рациональную функцию:

Упростите рациональное выражение:

Еще примеры


Неполные дроби

Преобразование рациональных выражений путем декомпозиции с использованием метода частичных дробей.

Вычислить частичное разложение дроби:

Еще примеры

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.