Свойства степеней с одинаковыми основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

Степень с натуральным показателем. Умножение степеней с одинаковыми а основаниями

Похожие презентации:

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Умножение и деление степеней с одинаковым основанием

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

Свойства степени с натуральным показателем. Основание степени, показатель степени , степень

Свойства степени с натуральным показателем

Свойства степеней с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем. 7 класс

Свойства степеней с натуральным показателем

Своя игра. Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем
a a a … a
n
1)3 27
3
2)5 125
3
3)2 16
4
4)3 3
1
Степенью числа а с
натуральным
показателем n, большим
1, называется
произведение n
множителей, каждый из
которых равен а
При умножении степеней с одинаковыми А
основаниями…
1 …основание остается прежним,
показатели перемножаются.
При делении
основаниями…
2 …равно единице
степеней
с
одинаковыми Б
прежним,
а
При возведении степени в степень…
В
3 … основание остается
показатели складываются.
При возведении произведения в степень …
Г
4 …в эту степень возводят числитель и
знаменатель и результаты делят.
При возведении дроби в степень
Д
5 …основание остается
показатели вычитаются.
Любое число в нулевой степени…
Е
6 … в эту степень возводят каждый
множитель и результаты перемножают.
прежним,
а
а
Степень с целым показателем
1
a n
a
a 0
n
a 1
0
Свойства степени с целым показателем
1)a a a
n
m
2)a : a a
n
3) a
m
n
m
n m
n m
a
n m
4) a b a b
n
n
n
a a
5) n
b b
n
n
1
1
а) 10 6
;
1)30 1
10
1000000
1
1
2
б) 9 2 ;
9
2
)
0
0
9
81
1
1
1
в) а 1 ;
7
7
3)0 нет смысла , 0 7
а
0
1
20
г) х 20 ;
х
4)1000000 1
1
3
д) ав
;
3
ав
1
4
е) а в
.
4
а в
6
Степень с рациональным показателем
a
r
Цель урока:
• Сформулировать определение степени с рациональным
показателем в виде корня n-ой степени;
• Пользуясь определением степени представлять степень с
рациональным показателем в виде корня и наоборот;
• Выявлять случаи, когда степень с рациональным
показателем не определена;
• Применять свойства степени для упрощения числовых и
буквенных выражений.
Понятие степени с рациональным
показателем
Степенью числа
где
а>0
с рациональным показателем
,
m – целое число, а n – натуральное (n>1),
называется число
a
m
n
n
1)
2)
3)
am ,
где a 0, n N , m Z
2
3
Примеры
5 3 5 2 3 25
7
5
121,4 12 5 127
4
9
2
2
5
4
9
12
5
4
9
5
12
12
9
4
5
Представьте в виде степени с дробным показателем:
1
m
2
1.
m
n
n
а
4
4
9
9
2.
7 7
a
а а
1
3
3 2 2
3.
2
1
4.
5.
b b b b b
2
х у
3
1, 5
x y x y
3
2
1,5
Представьте степень с дробным показателем в виде
корня:
2
3
2
3
1.
2
2
2.
3
1
3
1
1
2
3
1
3
1
3
3
3.
5а 5 а
4.
х у
5.
1
3
( 8)
2
3
3
х у
2
не имеет смысла
Свойства степени с рациональным
показателем (для n ∈ R, k ∈ R)
1
a 0 1,
2
a1 a
1
3
a
4
a n
5
где a 0
6
1
, где a 0
a
1
n , где a 0
a
10
a
b
где a 0
7
a
8
a n b n ab
9
an a
,
n
b
b
n k
a nk
n
n
a n a k a n k
n
an
n k
a
,
k
a
n
b
,
a
где a 0 , b 0
где b 0
m
n
a a
km
kn
nk
а
mk
где a 0, n, k N , m Z
2
3
4
6
2 2 2
10
15

English    
Русский
Правила

Свойства степени с одинаковыми основаниями.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени — достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

а0 = 1

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

а1 = а

3-е свойство.

аn * am = a(n+m)

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

an/am = a(n-m)

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

(an)m = a(n*m)

6-е свойство.

a-n = 1/an

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

(a*b)m = am * bm

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

(a/b)n = an/bn

9-е свойство.

а½ = √а

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

(√а)2 = а

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

n √an = a

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

am/n = n √am

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения — еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

Правила экспоненты

: 7 законов экспоненты для решения сложных уравнений

Правила экспоненты объясняют, как решать различные уравнения, которые, как и следовало ожидать, содержат экспоненты. Но есть несколько различных типов экспоненциальных уравнений и экспоненциальных выражений, которые могут показаться сложными… поначалу.

Овладение этими основными правилами экспоненты вместе с основными правилами логарифмирования (также известными как «логарифмические правила») сделает ваше изучение алгебры очень продуктивным и приятным. Имейте в виду, что во время этого процесса по-прежнему будет применяться порядок операций.

Как и большинство математических приемов, существуют стратегии обучения, которые можно использовать для упрощения выполнения правил экспоненты.

Чтобы помочь вам в обучении этим понятиям, у нас есть бесплатный рабочий лист правил экспоненты , который вы можете загрузить и использовать в своем классе!

Что такое показатели?

Показатель степени, также известный как степень, представляет собой величину, показывающую, сколько раз нужно умножить базовое число само на себя. Например, 43 говорит вам умножить четыре само на себя три раза.

43= 4 × 4 × 4 = 64

Число, возведенное в степень, известно как по основанию , а надстрочное число над ним — это показатель или степень .

Кредит: To The Square Inch

Вышеприведенное уравнение звучит как «четыре в степени три». Степень двойки также может быть выражена как « в квадрате », а степень числа три — как « в кубе ». Эти термины часто используются при нахождении площади или объема различных фигур.

Запись числа в экспоненциальной форме означает его упрощение до основания со степенью. Например, преобразование 5 × 5 × 5 в экспоненциальную форму выглядит как 53 .

Экспоненты — это способ упростить уравнения, чтобы их было легче читать. Это становится особенно важным, когда вы имеете дело с такими переменными, как «𝒙» и «𝑦» — как 𝒙7× 𝑦5= ? легче читать, чем (𝒙)(𝒙)(𝒙)(𝒙)(𝒙)(𝒙)(𝒙)(𝑦)(𝑦)(𝑦)(𝑦)(𝑦) = ?

Правила экспоненты в быту

Понимание свойств экспоненты не только поможет вам решать различные алгебраические задачи, экспоненты также используются на практике в повседневной жизни при расчете квадратных футов, квадратных метров и даже кубических сантиметров.

Экспоненциальные правила также упрощают вычисление очень больших или очень малых величин. Они также используются в мире компьютеров и технологий при описании мегабайтов, гигабайтов и терабайтов.

Каковы различные правила показателей степени?

Существует семь правил экспоненты, или законов экспоненты, которые необходимо изучить вашим ученикам. Каждое правило показывает, как решать различные типы математических уравнений и как складывать, вычитать, умножать и делить степени.

Тщательно изучите каждое правило экспоненты в классе, так как каждое из них играет важную роль в решении уравнений на основе экспоненты.

1. Правило произведения степеней

При умножении двух оснований одного и того же значения оставьте основания одинаковыми, а затем сложите их показатели, чтобы получить решение.

42× 45 = ?

Поскольку оба базовых значения равны четырем, оставьте их одинаковыми, а затем сложите вместе показатели степени (2 + 5).

42 × 45= 47

Затем умножьте четыре на себя семь раз, чтобы получить ответ.

47 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 16 384

Давайте расширим приведенное выше уравнение, чтобы увидеть, как работает это правило:

ответ.

Попробуйте задать более сложный вопрос:

(4𝒙2)(2𝒙3) = ?

Перемножьте коэффициенты вместе (четыре и два), так как они не являются одним и тем же основанием. Затем оставьте «𝒙» таким же и добавьте показатели степени.

(4𝒙2)(2𝒙3) = 8𝒙5

2. Правило отношения степеней

Умножение и деление противоположны друг другу — во многом то же самое, правило частного действует как противоположность правила произведения.

При делении двух оснований одного и того же значения оставьте основание одинаковым, а затем вычтите значения степени.

55 ÷ 53 = ?

Оба основания в этом уравнении равны пяти, что означает, что они остаются прежними. Затем возьмите показатели и вычтите делитель из делимого.

55÷ 53 = 52

Наконец, упростим уравнение, если это необходимо:

52= 5 × 5 = 25

Еще раз, расширение уравнения показывает нам, что это сокращение дает правильный ответ:

Взгляните на этот более сложный пример:

5𝒙4 / 10𝒙2 = ?

Одинаковые переменные в знаменателе отменяют переменные в числителе. Вы можете показать это своим ученикам, зачеркнув равное количество 𝒙 сверху и снизу дроби.

5𝒙4 / 10𝒙2 = 5𝒙/10

Затем упростите, где это возможно, как с любой дробью. Пять можно превратить в десять, пять раз превратив дробь в ½ с оставшимися 𝒙 переменными.

5𝒙4/10𝒙2= 1𝒙2/2 = 𝒙2/2

3. Степень правила степени

Это правило показывает, как решать уравнения, где степень возводится в другой степенью.

(𝒙3)3 = ?

В уравнениях, подобных приведенному выше, умножьте показатели степени и оставьте основание одинаковым.

(𝒙3)3 = 𝒙9

Посмотрите на расширенное уравнение, чтобы увидеть, как это работает:

4. Степень правила произведения

показатель степени до каждая часть основания.

(𝒙𝑦)3 = ?

В этом уравнении степень троицы должна быть распределена как по 𝒙, так и по 𝑦 переменным.

(𝒙𝑦)3 = 𝒙3𝑦3

Это правило применяется, если к основанию также присоединены экспоненты.

(𝒙2𝑦2)3 = 𝒙6𝑦6

В расширенном виде уравнение будет выглядеть так:

Обе переменные в этом уравнении равны в квадрате и представляют собой , возведенное в степень 3. Это означает, что три умножаются на показатели степени в обеих переменных, превращая их в переменные, которые возводятся в степень шесть.

5. Сила правила отношения

Частное просто означает, что вы делите две величины. В этом правиле тебе возведение частного в степень. Подобно силе правила произведения, показатель степени должен распространяться на все значения в скобках, к которым он присоединен.

(𝒙/𝑦)4 = ?

Здесь обе переменные в квадратных скобках увеличьте в четыре степени.

Взгляните на это более сложное уравнение:

(4𝒙3/5𝑦4)2 = ?

Не забудьте распределить показатель степени, на который вы умножаете, на как на коэффициент, так и на переменную. Затем упростите, где это возможно.

(4𝒙3/5𝑦4)2= 42𝒙6/52𝑦8 = 16𝒙6/25𝑦8

6. Правило нулевой степени

Любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице.

Самый простой способ объяснить это правило — использовать правило отношения степеней.

43/43 = ?

Следуя правилу отношения степеней, вычтите показатели степени друг из друга, что аннулирует их, оставив только основание. Любое число, деленное само на себя, равно единице.

43/43= 4/4 = 1

Независимо от длины уравнения, все, что возводится в нулевую степень, становится единицей.

(82𝒙4𝑦6)0 = ?

Как правило, внешний показатель степени должен быть умножен на каждое число и переменную в скобках. Однако, поскольку это уравнение возводится в нулевую степень, эти шаги можно пропустить, и ответ просто станет единицей.

(82𝒙4𝑦6) 0 = 1

Полное расширенное уравнение будет выглядеть следующим образом:

(82𝒙4𝑦6) 0 = 80𝒙0𝑦0 = (1) (1) (1) = 1

7. Правило отрицательного показателя

Когда есть число, возводимое в отрицательную степень, превратите его в обратную, чтобы превратить степень в положительную. Не используйте отрицательную степень для превращения основания в отрицательное.

Авторы и права: Thinglink

Мы уже говорили об обратных величинах в нашей статье « Как делить дроби за 3 простых шага ». По сути, обратные числа — это то, на что вы умножаете число, чтобы получить значение единицы. Например, чтобы превратить два в один, умножьте его на ½.

Теперь посмотрите на этот пример с показателем степени:

𝒙-2 = ?

Чтобы сделать число обратным:

  1. Превратить число в дробь (поставить над единицей)
  2. Переставить числитель в знаменатель и наоборот
  3. Когда отрицательное число меняется местами в дроби, оно становится положительным числом

Цель уравнений с отрицательными показателями заключается в том, чтобы сделать их положительными.

Теперь взгляните на более сложное уравнение:

4𝒙-3𝑦2/20𝒙𝑧-3 = ?

В этом уравнении есть два показателя степени с отрицательными степенями. Упростите то, что можете, а затем преобразуйте отрицательные показатели в их обратную форму. В решении 𝒙-3 перемещается в знаменатель, а 𝑧-3 перемещается в числитель.

Поскольку в знаменателе уже есть значение 𝒙, к этому значению добавляется 𝒙3.

4𝒙-3𝑦2/20𝒙z-3 = 𝑦2𝑧3/5𝒙4

Имея эти семь правил в задних карманах ваших учеников, они смогут ответить на большинство экспоненциальных вопросов, с которыми они столкнутся!

Таблица правил экспоненты

Как Prodigy может помочь вам обучать правилам экспоненты

Prodigy — это математическая игра, адаптированная к учебной программе, которую вы можете использовать для постановки вопросов, отслеживания прогресса и выявления проблем в обучении ваших учеников . И вы можете бесплатно создавать учетные записи учителей и учеников!

С таким количеством различных правил экспоненты, которым нужно следовать, и нескольким ученикам, которых нужно отслеживать, может быть трудно понять, кому и в чем нужна помощь. Prodigy позволяет легко отслеживать прогресс и создавать уникальные игровые возможности для каждого учащегося в зависимости от его потребностей.

Статистика отслеживается в режиме реального времени, когда ученики играют в игру, и обратная связь доступна мгновенно. В большинстве случаев ваши ученики даже не осознают, что они участвуют в уроках математики. Все это часть их персонализированного игрового опыта!

На панели управления учителя вы можете создавать планы уроков, просматривать статистику в реальном времени, вводить пользовательские задания и готовить своих учеников к предстоящим тестам. Вот как вы можете использовать Prodigy для :

  • Подготовить учащихся к стандартным тестам
  • Закрепить понятия в классе (например, правила экспоненты)
  • Дифференцировать математическую практику в математическом классе и дома

Бесплатный рабочий лист правил экспоненты

Рабочие листы по математике — это удобные инструменты, которые могут показать, как учащиеся понимают ключевые понятия. Вы можете увидеть, как учащиеся придумывают ответы, где они борются, и нужно ли более подробно осветить какие-либо концепции.

С помощью нашей команды учителей мы составили рабочий лист правил экспоненты, чтобы помочь вам с уроками экспоненты.

Щелкните здесь , чтобы загрузить нашу таблицу правил экспоненты с ключом ответа!

Вывод: практика правил экспоненты

Экспоненты используются, чтобы показать, сколько раз базовое значение умножается само на себя. Это упрощает уравнения до более удобного для чтения формата. (𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙)(𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧) = 𝒙9𝑦6𝑧5

Напомним, что есть семь основных правил, которые включают в себя решение большинства математических уравнений. Правила экспоненты:

  • Правило произведения степеней — Складывать степени при умножении одинаковых оснований
  • Правило отношения степеней — Вычитать степени при делении одинаковых оснований показатель степени
  • Степень правила произведения  — Распределить степень по каждому основанию при возведении нескольких переменных в степень
  • Степень правила частного  — Распределить степень по всем значениям в частном
  • Правило нулевой степени  — Любое основание, возведенное в нулевую степень, становится единицей
  • Правило отрицательного показателя степени  — Чтобы изменить отрицательный показатель степени на положительный, превратите его в обратный

Показатель степени имеет тенденцию появляться на протяжении всей нашей жизни, поэтому важно, чтобы учащиеся понимали, как они работают, двигаясь вперед. Есть много правил, которые нужно запомнить, но как только ваши ученики поймут их, решать показатели степени, вероятно, станет легче!

Prodigy Math Game — это адаптивная игровая обучающая платформа. Успех в Prodigy требует, чтобы учащиеся правильно отвечали на вопросы учебной программы, адаптированные к их учебным потребностям, и дает учителям больше способов сделать уроки математики увлекательными! Зарегистрируйте бесплатную учетную запись учителя сегодня, чтобы начать.

Правила экспоненты

Существует множество свойств и правил экспоненты, которые можно использовать для упрощения алгебраических уравнений. Ниже приведены некоторые из наиболее часто используемых. Обратите внимание, что термины «показатель степени» и «степень» часто используются взаимозаменяемо для обозначения верхних индексов в выражении. Например, в термине Qb n , Q — коэффициент, b — основание, n — показатель степени или степень, как показано на рисунке ниже.

Сложение и вычитание

Чтобы складывать или вычитать термины, содержащие экспоненты, они должны иметь одинаковое основание и одинаковую степень. В противном случае термины не могут быть добавлены. Если основание и мощность одинаковы, то коэффициенты при основаниях можно складывать или вычитать, сохраняя при этом основание и мощность одинаковыми. Учитывая, что P и Q являются постоянными коэффициентами, это можно выразить как:

Примеры

1. 3 (3 2 ) + 3 2 :

3 (3 2 ) + 3 2 = (3 + 1) (3 2 ) = 4) = 4) = 4) = 4. (3 2 ) = 36

2. 3x 5 — 6x 5 :

3x 5 — 6x 5 = (3 — 6) x 5 = -3 = (3 — 6) x 5 = -3 = (3 — 6) x 5 = -3 = (3 — 6) x 5 = -3 = (3 — 6) x 5 .

Умножение

Для умножения терминов, содержащих показатели степени, термины должны иметь одинаковое основание и/или одинаковую степень. Чтобы умножить термины с одним и тем же основанием, оставьте одно и то же основание и сложите степени вместе. Чтобы умножить члены с разными основаниями, но одинаковой степенью, возведите произведение оснований в степень. Это можно выразить так:

Если к основаниям показателей степени прикреплены коэффициенты, перемножьте коэффициенты. Коэффициенты можно перемножать, даже если показатели степени имеют разные основания.

Примеры

1. 3 2 × 3 3 :

3 2 × 3 3 = 3 2+3 = 3 5 9000

9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 2 . 2 :

4 2 × 6 2 = (4 × 6) 2 = 24 2 = 576

Если показатели степени имеют одинаковую степень и одно и то же основание, выражение можно упростить, используя любое из приведенных выше правил: 2 × 5 2 = 5 2+2 = 5 4 = 625

OR

5 2 × 5 2 = (5 * 5) 2 = 25 2 = 625

Деление

Чтобы разделить слагаемые в выражении с показателями степени, они должны иметь одинаковое основание и/или одинаковую степень. Чтобы разделить показатели степени с одинаковым основанием, сохраните одно и то же основание и вычтите степень знаменателя из степени числителя. Если члены выражения имеют одинаковую степень, но разные основания, разделите основания, а затем возведите результат в степень. Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, разделите коэффициенты. Коэффициенты можно делить, даже если показатели степени имеют разные основания.

Примеры

1. :

2. :

Если показатель степени имеет отрицательную степень, вам все равно нужно сохранить тот же знак и вычесть степень.

3. :

Отрицательные показатели степени

Отрицательная степень означает просто взять обратную величину основания, а затем возвести ее в положительную положительную степень. Это можно записать как:

Пример

Полномочия

При возведении степени в другую степень важно обращать внимание на порядок операций.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *