Свойства степеней 8 класс формулы: § Свойства степени. Свойства степени с натуральным показателем

Содержание

формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

Определение 1

1. Главное свойство степени: am·an=am+n

Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=am−n 

3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn

Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn 

4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn 

5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,

Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk

6. Сравниваем степень с нулем:

  • если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
  • при a, равном 0, an также будет равна нулю;
  • при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
  • при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля.

7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n — то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Это можно сократить до  (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Пример 1

Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели — 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32

В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:

an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

Пример 2

Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

am−n·an=a(m−n)+n=am

Из него можно вывести: am−n·an=am

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.

Пример 3

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и an·bn.

Пример 4

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

Пример 5

С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.

Пример 6

Подсчитаем пример: 312:-0. 53=3123:(-0,5)3

5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.

Пример 7

Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:

apqys=ap·q·y·s

Пример 8

Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Пример 9

 35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Пример 10

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.

Тогда:

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда  и степень a2·m также положительны.

Пример 11

Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1.

Тогда  

Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

Как это доказать?

an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 12

Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an

Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.

Пример 13

Пример с конкретными числами: 37>32

Основные свойства степеней с целыми показателями

Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

Определение 2

1. am·an=am+n 

2. am:an=am−n

3. (a·b)n=an·bn

4. (a:b)n=an:bn

5. (am)n=am·n 

6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b 

7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1   am>an.

Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q)

Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично.

Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то:

(a0)q=1q=1 a0·q=a0=1

Следовательно, (a0)q=a0·q

Для q=0 все точно так же:

(ap)0=1 ap·0=a0=1

Итог: (ap)0=ap·0.

Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0.

Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.

Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

1apq=1qapq

Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q

Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q.

Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).

И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)

Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

1an>1bn

Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

1an-1bn=bn-anan·bn

Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>0.

an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

Основные свойства степеней с рациональными показателями

В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

Определение 3

1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного).

3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени).

4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).

5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 (свойство степени в степени).

6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 — ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0 – ap>aq

Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2

Свойства корня позволят нам вывести равенства:

am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2

Из этого получаем:  am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

Преобразуем:

am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

Показатель степени можно записать в виде:

m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2

Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2

Доказательства остальных равенств:

a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2

Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0, если а меньше b, будет выполняться ap<bp, а для p больше 0 — ap>bp

Представим рациональное число p как mn. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и a<b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство am<bm.

Используем свойство корней и выведем: amn<bmn

Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как amn<bmn. Оно эквивалентно ap<bp.

Таким же образом при m<0 имеем a am>bm, получаем amn>bmn значит, amn>bmn и ap>bp.

Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 ap<aq, а при a>0 будет верно ap>aq.

Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m1n и m2n

Здесь m1 и m2 – целые числа, а n – натуральное. Если p>q, то m1>m2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0<a<1 будет верно am1<am2, а при a>1 – неравенство a1m>a2m.

Их можно переписать в следующем виде:

am1n<am2nam1n>am2n

Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

am1n<am2nam1n>am2n

Подводим итог: при p>q и 0<a<1 верно ap<aq, а при a>0– ap>aq.

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a>0, b>0, показатели p и q– иррациональные числа):

Определение 4

1. ap·aq=ap+q 

2. ap:aq=ap−q 

3. (a·b)p=ap·bp

4. (a:b)p=ap:bp 

5. (ap)q=ap·q

6. ap<bp верно при любых положительных a и b, если a<b и p – иррациональное число больше 0; если p меньше 0, то ap>bp 

7. ap<aq верно, если p и q– иррациональные числа, p<q, 0<a<1; если a>0, то ap>aq.

Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами.

Свойства степени с целым показателем


Степень с целым показателем
Первый урок посвящен понятию обыкновенной степени с целым показателем — это математическая операция, в ходе которой число многократно умножается на само себя. Если некоторое действительное число \(a\) возвести в целую степень \(b\), то это значит, что число \(a\) умножается на само себя \(b\) раз. 0=3*1=3; $$
В этом случае необходимо привести все степени к одинаковому основанию. Замечаем, что \(15\) раскладывается, как произведение 3 и 5, получим одинаковые основания и применим формулы №1,№3.

Степень с целым показателем и ее свойства 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


130. Степень с целым показателем и ее свойства.


До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.


Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:


a-n=1an при а≠0 и n∈N.


Пользуясь этим определением, найдем, что 5-2=125; (-3)-4=1(-3)4=181.


Теперь можно использовать формулу am:an=am-n при m<n. Например, a4:a7=a4-7=a-3


Если мы хотим, чтобы формула am:an=am-n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.


Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.


Примеры: 20=1; (-5)0=1; 350=1.


Выражению 0n при целом отрицательном n (так же как и при n=0) не приписывают никакого значения; это выражение не имеет смысла.


Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).


Для каждого а≠0 и любых целых m и n:


am·an = am+n


am:an = am-n


(am)n= amn


Для каждого а≠0 и любого целого n:


(ab)n = anbn


abn=anbn


Пример. Преобразуем произведение a-17·a21.


При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают:


a-17*a21 = a-17+21 = a4.

Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями

Возведение произведения в степень

Выражение  (ab)n  является степенью произведения множителей  a  и  b.  Это выражение можно представить в виде произведения степеней  anbn.  Докажем это на примере.

По определению степени:

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

Группируем отдельно множители  a  и множители  b  и получаем:

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно, формула возведения произведения в степень будет выглядеть так:

(ab)n = anbn.

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a2b)2 = 9a4b2.

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести  72  в третью степень:

(72)3.

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76.

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(ax)y = axy.

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x5)3;

б) 2(n3)5;

в) -4(a4)2.

Решение:

а) (x5)3 = x5 · 3 = x15;

б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15;

в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8.

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)4;

б) (3bc)3;

в) (-6a4b)2.

Решение:

а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4;

б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3;

в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2.

Пример 3. Возведите дробь в степень:

Решение:

а) ( 2a )2 (2a)2  =  4a2  ;
5 52 25

б) (- xy )5 = — (xy)5  = — x5y5  ;
z z5 z5

в) ( a2b )3 =  (a2b)3  =  (a2)3 · b3  =  a6b3  .
2c3 (2c3)3 23 · (c3)3 8c9

Действия со степенями и корнями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели
степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени
с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания.
Запишем некоторые степени в другом виде:


(степень произведения равна произведению степеней множителей),


(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание
остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются,
а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени
с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах
математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и
производной функции, заданной неявно.

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных
чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей:
,
где
(правило извлечения корня из произведения).

2. Если ,
то
(правило извлечения корня из дроби).

3. Если ,
то
(правило извлечения корня из корня).

4. Если ,
то
(правило возведения корня в степень).

5. Если ,
то ,
где ,
т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и
то же число.

6. Если ,
то ,
т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение
корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке
(т. е. справа налево). Например:


(правило умножения корней),


(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При
.

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим
некоторые типичные случаи.

а) ,
так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Свойства степени с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем 7 класс

Свойство 1, формула

Если степени умножать ( при одинаковый основания), то показатели
степени сложить, основание остается неизменным.

am • an = am + n

Пример
33 • 3 4 = 37 = 2 187;

42 • 43 = 45 = 1 024;

y3 • y5 = y8.

Свойство 2, формула

Пример
(- 2)10 : (- 2)7 = (- 2)3 = 8;

(0,1)101 : (0,1)101 = 1;

57 : 59 = 152 =  1 25.

Свойство 3, формула

Если основание не равно нулю, то любое основание в степени нуль,

равно единице.

a0 = 1

Пример
30 = 0;

(? 5)0 = 1;

(- 2,5)0 = 1.

Свойство 4, формула

Если степень возвести в степень, то показатели — перемножить.

(am)n = amn


Пример
(32)3 = 36 = 729.

Свойство 5, формула

Если произведение требуется возвести в степень, то каждый
множитель возводят в степень, и полученные результаты перемножают.

(ab)n = anbn

Пример

Пример
(0,9 • 2)2 = 0,92 • 22 = 0,81 • 4 = 1,62;

(3z)3 = 33z3=27z3.

Свойство 6, формула

Если требуется возвести в степень дробь, то возводят в степень
числитель и знаменатель.

Свойство 7, формула

При возведении отрицательного числа в степень, все зависит от
четности степени. Если степень четная, то и число получится четное,
если степень нечетная, то число останется со знаком «минус».

Пример

(- x)2 = x2;

(- z)3 = -z3;

(- 2ab)2 = (2ab)2 = 22a2b2 = 4a2b2.

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число.

В прошлом уроке мы изучили степень с натуральным показателем. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку натуральные числа относятся к целым числам.

Также, мы рассмотрели степень, показателем которой является 0. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку 0 относится к целым числам.

Рассмотрим ещё один вид степени с целым показателем, а именно показателем которой является целое отрицательное число. Выглядят эти степени так:

2−2, 10−7, a−8

В дальнейшем любую степень с натуральным, нулевым или целым отрицательным показателем, мы будем называть степенью с целым показателем.

Предварительные навыки

Правило вычисления

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

20, 21, 22, 23, 24, 25

Первая степень в этой последовательности это степень 20. Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2−1.

2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

А предыдущая степень с целым показателем, которая располагается до 2−1, будет степень 2−2

2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Продолжим эту последовательность в сторону степеней с целыми отрицательными показателями:

2−5, 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Теперь попробуем вычислить эти степени. Степени с натуральными показателями и степень, показателем которой является 0, вычисляются легко:

А как вычислить степени с отрицательными показателями? Для начала немного отойдём от темы и затронем несколько закономерностей.

В отрицательную степень число возводится немного иначе. Следует понимать, что если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Если мы возьмём какое-нибудь число n, и начнём последовательно увеличивать его степень, то получим последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего в n раз.

Например, возьмём число 2. Начиная с нуля будем последовательно увеличивать его показатель:

20, 21, 22, 23, 24, 25

Вычислим эти степени:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Получили последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2

Вернёмся к нашей исходной последовательности, где мы вычисляли степени. Получается, что степень 2−1 мы вычислили. Она равна рациональному числу 

Предыдущее за числом должно быть в два раза меньше, чем . Чтобы его получить разделим  на 2

Получили . Это значение степени 2−2

Продолжая деление на 2 можно получить значения остальных степеней с целыми отрицательными показателями:

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

К примеру, значение степени в 22 есть число 4. А значение степени 2−2 есть число . Числа 4 и  являются обратными друг другу. А степени 22 и 2−2 отличаются только тем, что у них противоположные показатели.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем. Покажем это на примере степени 2−2

Вычислим степень, находящуюся в знаменателе:

Таким образом, чтобы вычислить степень вида an можно воспользоваться следующим правилом:

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, потребовалось вычислить выражение 2: 25. Запишем это деление в виде дроби

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями:

Получили степень с отрицательным показателем 2−2. Ранее мы выяснили, что её значение равно . Чтобы убедиться в этом, попробуем вычислить выражение   как обычно, не используя правило деления степеней:

Получили рациональное число . Сократим его на 8. Тогда получим 


Пример 2. Найти значение выражения 9−2

Воспользуемся правилом вычисления степени с целым отрицательным показателем:


Пример 3. Найти значение выражения 3−3

Следует упомянуть, что правило  работает только тогда, когда a ≠ 0.

Действительно, если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.


Пример 4. Найти значение выражения 


Пример 5. Найти значение выражения 

При возведении обыкновенных дробей в отрицательную степень, можно пользоваться формулой . Решим предыдущие два примера с помощью этой формулы:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.


Тождественные преобразования

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Например, чтобы представить выражение 2−1 × 2−3 в виде степени, можно воспользоваться основным свойством степени:

2−1 × 2−3 = 2−1 + (−3) = 2−4


Пример 2. Найти значение выражения 5−15 × 516

Воспользуемся основным свойством степени:

5−15 × 516 = 5−15 + 16 = 5= 5

или:

Видим, что первый вариант решения намного проще и удобнее.


Пример 3. Найти значение выражения (10−4)−1

Воспользуемся правилом возведения степени в степень:

(10−4)−1 = 10−4 × (−1) = 104 = 10000


Пример 4. Найти значение выражения 

Представим число основание 10 в виде произведения 2 × 5. Тогда числитель примет вид (2 × 5)−6

В числителе применим правило возведения в степень произведения:

Сократим получившуюся дробь на 5−6

Вычислим степень 2−6


Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение  равно 20, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 22 из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 22 × 2−2. Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

22 × 2−2 = 22 + (−2) = 20 = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве  поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида  на тождественно равное ей выражение a−n.

Теперь представим выражение  в виде произведения . То есть заменим деление умножением. Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь 

Теперь воспользуемся правилом . В произведении  заменим дробь  на тождественно равное ей выражение 2−2

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2−2 из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2−2 и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение  представимо в виде произведения 

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2−2 была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби  содержит степени 32, a3b4. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 32a3b4.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель


Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель


Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби  в числитель


Пример 5. Опустить степень из числителя дроби  в знаменатель


Пример 6. Степень из числителя дроби  опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь  в виде произведения  вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:


Пример 7. В дроби  перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:


Пример 8. Представить произведение 3x−5 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x−5 с помощью знака умножения:

3 × x−5

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x−5 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь согласно правилу умножения целого числа на дробь, умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 


Пример 9. Представить произведение 3(x + y)−4 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)−4. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)−4 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 


Пример 10. Представить дробь  в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x2 в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь  можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель  на тождественно равный ему сомножитель x−2.


Пример 11. Представить дробь  в виде произведения.


Пример 12. Найти значение выражения 

Поднимем степень 2−3 из знаменателя в числитель, а степень 10−2 из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2−3 в числитель, и степень 10−2 не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:


Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Число 10 в отрицательную степень возводится таким же образом, как и другие числа. Например:

Замечаем, что количество нулей, которые получаются в ответе равны модулю показателя исходной степени. Например, в степени 10−2 модуль показателя равен 2. Это значит, что в ответе будет содержаться два нуля. Так оно и есть:

Чтобы возвести число 10 в отрицательную степень, нужно перед единицей записать количество нулей, равное модулю показателя исходной степени.

При этом после первого нуля следует поставить запятую. Примеры:


Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать отрицательный показатель, модуль которого равен количеству нулей исходного числа.

Представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. Видим, что в числе 0,1 один нуль. Значит, число 0,1 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 101. Показатель степени 101 равен −1. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,1

0,1 = 101

Число 0,1 это результат деления , а эта дробь есть значение степени 101.


Пример 2. Представить число 0,01 в виде степени с основанием 10.

В числе 0,01 два нуля. Значит, число 0,01 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10−2. Показатель степени 10−2 равен −2. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,01

0,01 = 10−2

Число 0,01 это результат деления , то есть , а эта дробь есть значение степени 10−2.


Пример 3. Представить число 0,001 в виде степени с основанием 10.

0,001 = 10−3


Пример 4. Представить число 0,0001 в виде степени с основанием 10.

0,0001 = 10−4


Пример 5. Представить число 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10−5


Стандартный вид числа

Запишем число 2 000 000 в виде произведения числа 2 и 1 000 000

2 × 1 000 000

Сомножитель 1 000 000 можно заменить на степень 106

2 × 106

Такой вид записи называют стандартным видом числа. Стандартный вид числа позволяет записывать в компактном виде как большие, так и маленькие числа.

Например, маленькое число 0,005 можно записать в виде произведения числа 5 и десятичной дроби 0,001.

5 × 0,001

Десятичную дробь 0,001 можно заменить на степень с 10−3

5 × 10−3

Значит, число 0,005 в стандартном виде будет выглядеть как 5 × 10−3

0,005 = 5 × 10−3

По стандартному виду числа можно вычислить изначальное число. Так, при записи числа 2 000 000 в стандартном виде, мы получили произведение 2 × 106. Если вычислить это произведение, то снова получим 2 000 000

2 × 106 = 2 × 1 000 000 = 2 000 000

А при записи числа 0,005 в стандартном виде мы получили произведение 5 × 10−3. Если вычислить это произведение, то получим 0,005

То есть записывая число в стандартном виде нужно записывать его так, чтобы сохранить его изначальное значение.

Стандартным видом числа называют запись вида × 10n, где 1 ≤ < 10 и n — целое число.

Число а это исходное число, которое надо записать в стандартном виде. Оно должно удовлетворять неравенству 1 ≤ < 10. Чаще всего исходное число надо приводить к виду, при котором неравенство 1 ≤ < 10 становится верным.

Например, представим число 12 в стандартном виде. Для начала проверим становится ли верным неравенство 1 ≤ < 10 при подстановке числа 12 вместо а

1 ≤ 12 < 10

Неравенство верным не становится. Чтобы сделать неравенство верным, приведём число 12 к виду, при котором оно удовлетворяло бы данному неравенству. Для этого передвинем в числе 12 запятую влево на одну цифру:

1,2

Число 12 обратилось в число 1,2. Это число будет удовлетворять неравенству 1 ≤ < 10

1 ≤ 1,2 < 10

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение × 10n. С числом а мы разобрались — этим числом у нас будет 1,2. А как подобрать степень с основанием 10?

После переноса запятой на одну цифру влево, число 12 утратило своё изначальное значение. Запятая на одну цифру влево двигается тогда, когда число делят на 10. А чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,2 на 10.

Значит, чтобы записать число 12 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения 1,2 × 10¹

12 = 1,2 × 10¹


Пример 2. Записать число 0,5 в стандартном виде.

Число 0,5 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на одну цифру вправо. В результате получим число 5, которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 5. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n стало равным числу 0,5. Число 0,5 получится если умножить число 5 на множитель 0,1, который представим в виде степени 10−1. В результате получим следующую запись:

0,5 = 5 × 10−1


Пример 3. Записать число 652 000 в стандартном виде.

Число 652 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на пять цифр влево. В результате получим число 6,52000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 6,52000. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n стало равным числу 652 000. Число 652 000 получится если число 6,52000 умножить на 100 000, а это есть степень 105. В результате получим следующую запись:

652 000 = 6,52000 × 105

Нули в конце десятичной дроби 6,52000 можно отбросить. Тогда получим более компактную запись:

652 000 = 6,52 × 105


Пример 5. Записать число 1 024 000 в стандартном виде.

Число 1 024 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на шесть цифр влево. В результате получим число 1,024000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 1,024000 . А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n было равно изначальному числу 1 024 000. Число 1 024 000 получится если число 1,024000 умножить на 1 000 000, а это есть степень 106. В результате получим следующую запись:

1 024 000 = 1,024000 × 106

Нули в конце десятичной дроби 1,024000 можно отбросить:

1 024 000 = 1,024 × 106

Отбрасывать можно только те нули, которые располагаются в конце, и после которых нет других цифр, бóльших нуля. В приведённом примере были отброшены только три нуля, а нуль располагавшийся между запятой и цифрой 2 был сохранен, несмотря на то, что он тоже располагался после запятой.


Пример 6. Записать число 0,000325 в стандартном виде.

Передвинем в данном числе запятую так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 1 ≤ a< 10. В результате получим число 3,25

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 3,25. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n было равно изначальному числу 0,000325. Число 0,000325 получится если число 3,25 умножить на множитель 0,0001 который представим в виде степени 10−4. В результате получим следующую запись:

0,000325 = 3,25 × 10−4


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислите степень 3−2

Решение:

Задание 2. Вычислите степень (−3)−2

Решение:

Задание 3. Вычислите степень −3−2

Решение:

Задание 4. Вычислите степень (−1)−9

Решение:

Задание 5. Вычислите степень

Решение:

Задание 6. Вычислите степень

Решение:

Задание 7. Вычислите степень −(−2)−3

Решение:

Задание 8. Вычислите степень

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения 8 × 4−3

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения 18 × (−9)−1

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения 2−3 − (−2)−4

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения

Решение:

Задание 13. Представить произведение a4b в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 14. Представить произведение 7xy3 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 15. Представить произведение 6(xy)6 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 16. Представить произведение x−1y−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 17. Представить произведение 9a−1(a − b)−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 18. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 19. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 20. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 21. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 22. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 23. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 24. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 25. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 26. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 27. Представьте число 3 000 000 в стандартном виде.

Решение:

3 000 000 = 3 × 106

Задание 28. Представьте число 0,35 в стандартном виде.

Решение:

0,35 = 3,5 × 10−1

Задание 29. Представьте число 21,56 в стандартном виде.

Решение:

21,56 = 2,156 × 101

Задание 30. Представьте число 0,000008 в стандартном виде.

Решение:

0,000008 = 8 × 10−6

Задание 31. Представьте число 0,000335 в стандартном виде.

Решение:

0,000335 = 3,35 × 10−4

Задание 32. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 34. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 35. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 36. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 37. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 38. Представьте в виде степени выражение .

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Свойства четырехугольника — прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб, трапеция

В евклидовой геометрии четырехугольник — это четырехугольная двумерная фигура, сумма внутренних углов которой равна 360 °. Слово четырехугольник образовано от двух латинских слов «quadri» и «latus», означающих четыре и сторону соответственно. Поэтому определение свойств четырехугольников важно при попытке отличить их от других многоугольников.

Итак, каковы свойства четырехугольника? Четырехугольники обладают двумя свойствами:

  • Четырехугольник должен быть замкнутой формы с 4-мя сторонами
  • Сумма всех внутренних углов четырехугольника составляет 360 °

В этой статье вы получите представление о 5 типах четырехугольников и познакомитесь с их свойствами четырехугольников.

Это то, что вы прочитаете в статье:

Вот видео, объясняющее свойства четырехугольника:

На приведенной ниже схеме показан четырехугольник ABCD и сумма его внутренних углов. Сумма всех внутренних углов составляет 360 °.

Таким образом, A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °

Различные виды четырехугольников

Существует 5 типов четырехугольников в зависимости от их формы. Эти 5 четырехугольников:

  1. Прямоугольник
  2. Квадрат
  3. Параллелограмм
  4. Ромб
  5. Трапеция

Давайте подробно обсудим каждый из этих 5 четырехугольников:

Вот вопросы, которые научат вас применять свойства всех пяти четырехугольников, которые вы узнаете в этой статье.

Прямоугольник

Прямоугольник — это четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Таким образом, все углы в прямоугольнике равны (360 ° / 4 = 90 °). Причем противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны, а диагонали делят друг друга пополам.

Свойства прямоугольников

Прямоугольник имеет три свойства:

  • Все углы прямоугольника равны 90 °
  • Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны
  • Диагонали прямоугольника делят друг друга пополам

Формула прямоугольника — Площадь и периметр прямоугольника

Если длина прямоугольника L, а ширина B, то

  1. Площадь прямоугольника = длина × ширина или L × B
  2. Периметр прямоугольника = 2 × (L + B)

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства прямоугольников

Планируете ли вы поступить в бизнес-школу США? Позвольте нам помочь вам пройти первый этап процесса i.е., сдавая GMAT. Пройдите бесплатный тест GMAT, чтобы понять свой базовый результат, и начните подготовку к GMAT с нашей бесплатной пробной версии. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

Площадь

Квадрат — четырехугольник с четырьмя равными сторонами и углами. Это также правильный четырехугольник, так как его стороны и углы равны. Как и прямоугольник, квадрат имеет четыре угла по 90 ° каждый. Его также можно рассматривать как прямоугольник, две смежные стороны которого равны.

Объекты квадрата

Чтобы четырехугольник стал квадратом, он должен обладать определенными свойствами. Вот три свойства квадратов:

  • Все углы квадрата равны 90 °
  • Все стороны квадрата равны и параллельны друг другу
  • Диагонали делят друг друга перпендикулярно пополам

Формула квадрата — Площадь и периметр квадрата

Если сторона квадрата — «а», тогда

  1. Площадь квадрата = a × a = a²
  2. Периметр квадрата = 2 × (a + a) = 4a

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства квадратов

Если вы наберете Q50-51 за GMAT, вы сможете набрать 700+ баллов за GMAT.Почему бы вам не начать подготовку к GMAT с помощью наших бесплатных подготовительных ресурсов и не начать свой путь к получению Q50-51 на GMAT. Учитесь у Кэрри Лоу, у которой за 3 недели показатель улучшился с Q35 до Q50.

Параллелограмм

Параллелограмм, как следует из названия, представляет собой простой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Таким образом, у него две пары параллельных сторон. Причем противоположные углы в параллелограмме равны, а его диагонали делят друг друга пополам.

Свойства параллелограмма

Четырехугольник, удовлетворяющий указанным ниже свойствам, будет классифицирован как параллелограмм.Параллелограмм имеет четыре свойства:

  • Противоположные углы равны
  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Диагонали делят друг друга пополам
  • Сумма любых двух смежных углов составляет 180 °

Формулы параллелограмма — Площадь и периметр параллелограмма

Если длина параллелограмма равна «l», ширина — «b», а высота — «h», тогда:

  1. Периметр параллелограмма = 2 × (l + b)
  2. Площадь параллелограмма = l × h

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства параллелограмма

Ромб

Ромб — это четырехугольник, все четыре стороны которого равны по длине, а противоположные стороны параллельны друг другу.Однако углы не равны 90 °. Ромб с прямыми углами стал бы квадратом. Другое название ромба — «ромб», так как он похож на ромб в игральных картах.

Свойства ромба

Ромб — это четырехугольник, обладающий следующими четырьмя свойствами:

  • Противоположные углы равны
  • Все стороны равны и противоположные стороны параллельны друг другу
  • Диагонали делят друг друга перпендикулярно
  • Сумма любых двух смежных углов составляет 180 °

Формулы ромба — Площадь и периметр ромб

Если сторона ромба — это, то периметр ромба = 4a

Если длина двух диагоналей ромба равна d 1 и d 2 , то площадь ромба = ½ × d 1 × d 2

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства ромба

Трапеция

Трапеция (в США ее называют трапецией) — это четырехугольник, у которого есть только одна пара параллельных сторон.Параллельные стороны называются «основаниями», а две другие стороны называются «ножками» или боковыми сторонами.

Свойства трапеции

Трапеция — это четырехугольник, в котором одно свойство:

  • Только одна пара противоположных сторон параллельна друг другу

Формулы трапеции — Площадь и периметр трапеции

Если высота трапеции « (как показано на диаграмме выше), то:

  1. Периметр трапеции = Сумма длин всех сторон = AB + BC + CD + DA
  2. Площадь трапеции = ½ × (Сумма длин параллельных сторон) × h = ½ × (AB + CD) × h

Эти практические вопросы помогут вам закрепить свойства трапеции

Свойства четырехугольника

В таблице ниже суммированы все свойства четырехугольников, которые мы изучили до сих пор:

2 902 902 Стороны равны

902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902

0 ✖3

0 ✖3

Свойства четырехугольника Прямоугольник Квадрат Параллелограмм Ромб Трапеция
Все стороны равны 902 902 902 902 ✔
Противоположные стороны параллельны
Противоположные углы равны

✔ двух смежных углов

902 ✔
Разделить пополам ✔ 9022 0

Перпендикулярно пополам

Важные формулы четырехугольника

В таблице ниже приведены формулы площади и периметра четырехугольников различных типов:

Формулы четырехугольника Прямоугольник Квадрат Параллелограмм Ромб Ромб 902 902 9019 9035 b2 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 902 l × h ½ × d1 × d2 ½ × (Сумма параллельных сторон) × высота
Периметр 2 × (l + b) 4a 2 × (l + b) 4a Сумма всех сторон

Дополнительная литература:

Четырехсторонние вопросы

Попрактикуемся в применении свойств четырехугольника на следующих типовых вопросах:

Вопрос 1

Адам хочет построить забор вокруг своего прямоугольного сада длиной 10 метров и шириной 15 метров.Сколько метров забора нужно купить, чтобы ограждать весь сад?

  1. 20 метров
  2. 25 метров
  3. 30 метров
  4. 40 метров
  5. 50 метров
Решение

Шаг 1: Дано

  • У Адама прямоугольный сад.
    • Он имеет длину 10 метров и ширину 15 метров.
    • Он хочет построить вокруг него забор.

Шаг 2: найти

  • Длина, необходимая для ограждения всего сада.

Шаг 3: подход и разработка

Забор можно строить только вокруг внешней стороны сада.

  • Итак, общая необходимая длина забора = Сумма длин всех сторон сада.
    • Так как сад прямоугольный, сумма длин всех сторон — это не что иное, как периметр сада.
    • Периметр = 2 × (10 + 15) = 50 метров

Следовательно, необходимая длина забора — 50 метров.

Следовательно, вариант E — правильный ответ.

Вопрос: 2

Стив хочет покрасить одну прямоугольную стену в своей комнате. Стоимость покраски стены — 1,5 доллара за квадратный метр. Если стена 25 метров в длину и 18 метров в ширину, то какова общая стоимость покраски стены?

  1. 300 долларов
  2. 350 долларов
  3. 450 долларов
  4. 600 долларов
  5. 675 долларов
Решение

Шаг 1: Дано

  • Стив хочет покрасить одну стену своей комнаты.
    • Стена 25 метров в длину и 18 метров в ширину.
    • Стоимость покраски стены — 1,5 доллара за квадратный метр.

Шаг 2: найти

  • Общая стоимость покраски стены.

Шаг 3: подход и разработка

  • Стена окрашена по всей площади.
    • Итак, если мы найдем общую площадь стены в квадратных метрах и умножим ее на стоимость покраски 1 квадратного метра стены, то мы сможем получить общую стоимость.
    • Площадь стены = длина × ширина = 25 метров × 18 метров = 450 квадратных метров
    • Общая стоимость покраски стены = 450 × 1,5 $ = 675 $

Следовательно, правильный ответ — вариант E.

Мы надеемся, что к настоящему времени вы узнали о различных типах четырехугольников, их свойствах и формулах, а также о том, как применять эти концепции для решения вопросов о четырехугольниках. Применение четырехугольников важно для решения вопросов по геометрии на GMAT.Если вы планируете сдавать GMAT, мы можем помочь вам с высококачественными учебными материалами, к которым вы можете получить доступ бесплатно, зарегистрировавшись здесь.

Вот еще несколько статей по математике:

  1. Повысьте точность ответов на вопросы по математике по многоугольникам
  2. Вопросы по геометрии — наиболее распространенные ошибки | GMAT Quant Prep

Если вы планируете сдавать GMAT, мы можем предоставить вам доступ к качественному онлайн-контенту для подготовки. Мы — самая обсуждаемая компания по подготовке к GMAT на gmatclub: мы получили более 2060 отзывов.

Почему бы вам не воспользоваться бесплатным испытанием и не судить сами?

Напишите нам по адресу [email protected] в случае возникновения каких-либо вопросов.

Часто задаваемые вопросы

Какие бывают четырехугольники?

Существует 5 типов четырехугольников: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, трапеция или трапеция и ромб.

Где я могу найти несколько практических вопросов по четырехугольникам?

В этой статье вы можете найти несколько практических вопросов о четырехугольниках.

Какова сумма внутренних углов четырехугольника?

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360 °.

Что такое треугольник и его свойства? Определение, виды, формулы треугольников

В этой статье мы узнаем о простейшей форме многоугольника: треугольник . Все многоугольники можно разделить на треугольники, или, другими словами, они образованы путем объединения двух или более треугольников. Таким образом, важно понимать основные свойства треугольника и их типы.

Вот краткое описание тем, которые мы рассмотрим в этой статье:

Вы также можете просмотреть это видео о свойствах треугольника:

Что такое треугольник?

Как следует из названия, треугольник представляет собой многоугольник с тремя углами. Итак, когда у замкнутой фигуры три угла?

Когда он состоит из трех отрезков, соединенных встык.

Таким образом, мы можем сказать, что треугольник — это многоугольник, у которого есть три стороны, три угла, три вершины, а сумма всех трех углов любого треугольника равна 180 °.

Свойства треугольника

Свойства треугольника:

  1. Треугольник имеет три стороны, три угла и три вершины.
  2. Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180 °. Это называется свойством суммы углов треугольника.
  3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
  4. Сторона, противоположная наибольшему углу треугольника, является наибольшей стороной.
  5. Любой внешний угол треугольника равен сумме его внутренних противоположных углов. Это называется свойством внешнего угла треугольника.

Виды треугольников

Треугольники можно классифицировать двумя основными способами:

  • Классификация по внутренним углам
  • Классификация по длине сторон

Классификация треугольника по внутренним углам

На основании измерения угла различают три типа треугольников:

  1. Острый угловой треугольник
  2. Прямоугольный треугольник
  3. Тупоугольный треугольник

Давайте подробно обсудим каждый тип.

Острый угловой треугольник

Треугольник, у которого все три угла меньше 90 °, является треугольником с острыми углами.

  • Итак, все углы треугольника с острыми углами называются острыми углами

Ниже приведен пример треугольника с острыми углами.

Прямоугольный треугольник

Треугольник с углом , равным точно 90 °, является прямоугольным треугольником.

  • Два других угла прямоугольного треугольника являются острыми углами.2

    Это известно как Теорема Пифагора

    Наоборот, мы можем сказать, что если треугольник удовлетворяет условию Пифагора, то это прямоугольный треугольник.

    Тупой / наклонный угловой треугольник

    Треугольник с углом и углом больше 90 ° ° является треугольником с тупым углом.

    Ниже приведен пример треугольника с тупым / наклонным углом.

    Вопросы о треугольниках очень часто задают на GMAT.Ace GMAT Quant, подписавшись на бесплатную пробную версию, вы получите доступ к более чем 400 вопросам. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

    Учитесь у Гильермо, который поднялся с Q38 до Q50.

    Классификация треугольников по длине сторон

    В зависимости от длины сторон треугольники подразделяются на три типа:

    1. Масштабный треугольник
    2. Равнобедренный треугольник
    3. Равносторонний треугольник

    Давайте подробно обсудим каждый тип.

    Чешуйчатый треугольник

    Треугольник, у которого все три стороны разной длины — разносторонний треугольник.

    • Поскольку все три стороны имеют разную длину, у три угла также будут разными.

    Ниже приведен пример разностороннего треугольника

    .

    Равнобедренный треугольник

    Треугольник, у которого две стороны одинаковой длины и третья сторона разной длины , является равнобедренным треугольником.

    • Углы напротив равных сторон имеют одинаковые размеры.

    Ниже приведен пример равнобедренного треугольника.

    Равносторонний треугольник

    Треугольник, у которого все три стороны одинаковой длины , является равносторонним треугольником.

    • Поскольку все три стороны имеют одинаковую длину, все три угла также будут равны.
    • Каждый внутренний угол равностороннего треугольника = 60 °

    Особые случаи прямоугольных треугольников

    Давайте также рассмотрим несколько частных случаев прямоугольного треугольника

    45-45-90 треугольник

    В этом треугольнике

    • Два угла составляют 45 °, а третий угол является прямым.
    • Стороны этого треугольника будут в соотношении — 1: 1: √2 соответственно.
    • Его также называют равнобедренным прямоугольным треугольником , поскольку два угла равны.

    30-60-90 треугольник

    В этом треугольнике

    • Это прямоугольный треугольник, так как один угол = 90 °
    • Углы этого треугольника находятся в соотношении — 1: 2: 3, а
    • Стороны , противоположные этим углам, будут в соотношении — 1: √3: 2 соответственно
    • Это разносторонний прямоугольный треугольник , поскольку все три угла разные.

    Формула площади треугольника

    • Площадь любого треугольника = ½ * основание * высота
    • Площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон

    Свойства треугольника: сводка и основные выводы

    Подведем итог некоторым важным свойствам треугольника.

    • Сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180 °
    • Сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360 °
    • Внешний угол треугольник равен сумме двух его внутренних противоположных углов
    • Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше, чем длина третьей стороны
    • Аналогично, разница между длинами из любая две стороны треугольника всегда меньше длины третьей стороны
    • Сторона, противоположная наименьшему внутреннему углу, является самой короткой стороной и наоборот.
    • Точно так же сторона, противоположная наибольшему внутреннему углу, является самой длинной стороной и наоборот.
      • В случае прямоугольного треугольника эта сторона называется гипотенузой
    • Высота треугольника равна длине перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, и эта сторона равна считается базовым

    Если вам понравилась эта статья, вы также можете прочитать следующие статьи продвинутого уровня по треугольникам

    Планируете ли вы поступить в бизнес-школу США? Позвольте нам помочь вам пройти первый этап процесса i.е., сдавая GMAT. Пройдите бесплатный тест GMAT, чтобы понять свой базовый результат, и начните подготовку к GMAT с нашей бесплатной пробной версии. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

    Свойства треугольника: тест по применению

    Вопрос: 1

    В равнобедренном треугольнике DEF, если внутренний угол ∠D = 100 °, то каково значение ∠F?

    1. 20 °
    2. 40 °
    3. 60 °
    4. 80 °
    5. 100 °

    Раствор

    Шаг 1: Дано

    • ∆DEF — равнобедренный треугольник

    Шаг 2: найти

    Шаг 3: подход и разработка

    • Мы знаем, что сумма всех внутренних углов в треугольнике = 180 °
    • Подразумевается, ∠D + ∠E + ∠F = 180 °
    • +E + ∠F = 180 0 — 100 0 = 80 °
    • Так как ∆DEF — равнобедренный треугольник; два его угла должны быть равны.
    • И единственная возможность — E = ∠F
    • Следовательно, 2∠F = 80 °
    • Подразумевается, F = 40 °

    Следовательно, правильный ответ — Вариант B.

    Вопрос 2

    В прямоугольном треугольнике ∆ABC, BC = 26 единиц и AB = 10 единиц. Если BC — самая длинная сторона треугольника, то какова площадь ∆ABC?

    1. 120
    2. 130
    3. 240
    4. 260
    5. 312

    Решение

    Шаг 1: Дано

    • ∆ABC — прямоугольный треугольник
      • до н.э. = 26 единиц
      • AB = 10 шт.
      • г. до н.э. — самая длинная сторона треугольника
      • г.

    Шаг 2: найти

    • Площадь треугольника ∆ABC

    Шаг 3: подход и отработка

    • Нам дано, что BC — самая длинная сторона треугольника, из чего следует, что BC — гипотенуза

    Таким образом, согласно правилу Пифагора:

    • BC 2 = AB 2 + AC 2
    • 26 2 = 10 2 + AC 2
    • AC 2 = 676-100 = 576
    • Следовательно, AC = 24 шт.
    • Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон = ½ * AB * AC = ½ * 10 * 24 = 120 кв.ед.

    Следовательно, правильный ответ — Вариант А .

    Вот еще несколько статей, которые вы можете прочитать:

    FAQ — Свойства треугольника

    Что такое треугольник и его свойства?

    Треугольник — это замкнутая фигура с тремя сторонами, тремя вершинами, тремя углами и суммой внутренних углов 180 °

    Какие бывают типы треугольников?

    Треугольники можно классифицировать двумя способами: по внутренним углам и по длине сторон.По внутренним углам существует три типа треугольников: острый, прямой и тупоугольный. По длине сторон треугольники можно разделить на 3 категории: скален, равнобедренный и равносторонний треугольник.

    Что такое треугольник Скален?

    Треугольник, у которого все три стороны разной длины, является разносторонним треугольником.

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Треугольник с двумя сторонами одинаковой длины и третьей стороной разной длины является равнобедренным треугольником.

    Что такое равносторонний треугольник?

    Треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину, является равносторонним треугольником.

    30-60-90 Треугольник: теорема, свойства и формула — стенограмма видео и урока

    Свойства треугольника 30-60-90

    Треугольник 30-60-90 особенный из-за соотношения сторон. Надеюсь, вы помните, что гипотенуза в прямоугольном треугольнике — самая длинная сторона, которая также находится прямо напротив угла 90 градусов.Оказывается, что в треугольнике 30-60-90 вы можете найти размер любой из трех сторон, просто зная размер хотя бы одной стороны в треугольнике.

    Гипотенуза равна удвоенной длине более короткого отрезка, то есть стороны, лежащей напротив угла 30 градусов. Более длинная нога, которая находится под углом 60 градусов, равна умножению более короткой ветви на квадратный корень из 3. На этом рисунке показана эта взаимосвязь с x , представляющими более короткую ногу.

    Конечно, чтобы двигаться в обратном направлении, вы можете разделить, а не умножить, на соответствующий коэффициент. Таким образом, отношения можно резюмировать следующим образом:

    Более короткая ветка —> Более длинная ветка: умножить на квадратный корень из 3
    Более длинная ветка —> Более короткая ветка: разделить на квадратный корень из 3
    Более короткая ветка —> Гипотенуза: умножить на 2
    Гипотенуза —> Более короткая ветвь: разделить на 2

    Обратите внимание, что более короткая часть служит мостом между двумя другими сторонами треугольника.Вы можете перейти от более длинного отрезка к гипотенузе или наоборот, но сначала вы «пройдете» через более короткий отрезок, найдя его значение. Другими словами, нет прямого пути от более длинного отрезка к гипотенузе и наоборот.

    Примеры задач

    Давайте рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1

    Это треугольник 30-60-90 с заданной длиной одной стороны. Давайте найдем длину двух других сторон: a и b .

    Поскольку указанная вам сторона, 8, находится напротив угла 30 градусов, это будет более короткая нога.Чтобы найти более длинный отрезок, или a , вы можете просто умножить его на квадратный корень из 3 и получить 8 квадратный корень 3. Чтобы найти гипотенузу, или b , вы можете просто умножить его на более короткий отрезок на 2. Таким образом, получится 8 * 2 = 16.

    Пример 2

    Вот треугольник 30-60-90 с заданной длиной одной стороны. Давайте найдем длину двух других сторон, x и y .

    В этой задаче дана длина гипотенузы.Следовательно, сначала необходимо найти длину более короткой ножки, которая составляет x . Вы можете сделать это, разделив гипотенузу 20 на 2, чтобы получить x = 10. Теперь, когда вы знаете значение более короткого отрезка, вы можете умножить его на квадратный корень из 3, чтобы найти y . Более длинный отрезок будет равен 10 квадратному корню 3.

    Пример 3

    Вот треугольник 30-60-90 с заданной длиной одной стороны. Давайте найдем длину двух других сторон, c и d .

    Указанная здесь длина стороны, 9, является значением более длинной ноги, поскольку она находится напротив угла 60 градусов. Таким образом, вы должны сначала найти значение более короткого отрезка, c , прежде чем вы сможете определить значение гипотенузы, d . Чтобы найти c , вам нужно будет разделить 9 на квадратный корень из 3. Однако вы должны понимать, что как только вы это сделаете, полученное выражение 9 / квадратный корень 3 нужно упростить, поскольку вам не разрешено имеют радикал в знаменателе дроби.Чтобы упростить его, вам нужно будет рационализировать знаменатель , умножив числитель и знаменатель на квадратный корень из 3. Помните, что при умножении и делении радикалов можно использовать только числа вне радикала и числа внутри радикала. комбинированный. Числитель превратится в квадратный корень из 9 3, а знаменатель станет квадратным корнем из 9 или просто 3. Таким образом, у вас теперь есть (9 квадратный корень 3) / 3. 9 вверху и 3 внизу можно исключить, поскольку они оба находятся вне радикала, в результате получается окончательный ответ 3 квадратный корень 3 для c .Полная работа представлена ​​здесь:

    Затем вы возьмете это значение и умножите его на 2, чтобы найти значение d , гипотенузу. Это дает 3 квадратный корень 3 * 2 или 6 квадратный корень 3.

    Резюме урока

    Треугольники можно сгруппировать как по их угловому измерению, так и по длине их сторон. Прямоугольники — это одна конкретная группа треугольников, а один конкретный вид прямоугольного треугольника — это прямоугольный треугольник 30-60-90 .Как следует из названия, три угла в треугольнике составляют 30, 60 и 90 градусов. В результате длины сторон в 30-60-90 имеют особые отношения между ними, которые позволяют вам определить все три, когда вам дана только одна.

    Гипотенуза равна 2-кратной длине более короткого отрезка, а более длинный отрезок равен квадратному корню из 3-кратной длины более короткого отрезка. Эти отношения также работают в обратном порядке, и вы можете вместо этого разделить на 2 и получить квадратный корень из 3, когда это необходимо.Знание этих отношений важно, поскольку треугольники 30-60-90 довольно распространены не только в геометрии, но и в других областях математики.

    30 математических формул SAT, которые необходимо знать

    Коэффициенты, проценты и статистика

    13. Простые проценты

    \ (A = Prt \)

    Этот показатель появляется реже, чем сложные проценты на SAT, но он все равно появляется, так что об этом стоит знать. \ (P \) представляет основную сумму, \ (r \) — процентную ставку, выраженную в десятичной дроби, а \ (t \) — время, обычно в годах.{nt} \)

    Хорошая новость заключается в том, что \ (P \), \ (r \) и \ (t \) означают в этом уравнении то же самое, что и в простом интересе. \ (N \) представляет, сколько раз начисляются проценты в течение \ (1 \: t \). Например, если проценты начисляются ежеквартально в течение года, то \ (n = 4 \).

    15. Среднее / Среднее

    В математике слова «среднее» и «среднее» — это одно и то же: число, которое вы получаете, когда берете сумму набора и делите его на количество значений в наборе.Вы также можете думать об этом как о сумме, деленной на количество. Вы должны знать, как рассчитать среднее значение и интерпретировать его. Убедитесь, что понимаете разницу между средним и медианным значением.

    16. Случайная выборка

    Технически это не формула, но многие из статистических задач SAT сосредоточены больше на интерпретации концепций в контексте, а не на выполнении математических операций. Случайная выборка — это случайный выбор участников для исследования из вашей популяции.Это гарантирует, что ваше исследование репрезентативно для населения.

    17. Случайное присвоение

    Случайное назначение — это случайное назначение участникам исследования лечения или испытания. Это снижает систематическую ошибку в вашем исследовании и означает, что вы можете приписать причинно-следственную связь лечению. На тесте SAT вас часто спрашивают, что снизит систематическую ошибку или насколько вы можете обобщить результаты для остальной части населения. В этих случаях вам необходимо определить случайную выборку и случайное распределение.

    18. Стандартное отклонение

    Вам не нужно рассчитывать стандартное отклонение для SAT, но вы будете протестированы по нему концептуально, как при случайной выборке и случайном назначении. Стандартное отклонение — это мера разброса в наборе данных. Более высокое стандартное отклонение означает больший спред, а более низкие стандартные отклонения означают меньший спред. Вам нужно знать, как изменения в наборе данных могут повлиять на стандартное отклонение, сделав его больше или меньше.2 \)

    Обычно возникает один вопрос, связанный с уравнением круга. В этом уравнении \ ((h, k) \) — координата центра окружности, а \ (r \) — радиус окружности.

    Какую роль играет ваш результат SAT в поступлении в школу вашей мечты? Узнайте, рассчитав свои шансы прямо сейчас.

    21. Коэффициент синусоиды

    Некоторые учащиеся нервничают, когда слышат, что триггер находится на тесте SAT, но чаще всего это проявляется в виде триггерных соотношений.Помните, что для данного угла в прямоугольном треугольнике значение синуса — это длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы, или противоположной стороны / гипотенузы.

    22. Косинусное отношение

    Как и в случае с синусом, помните, что такое косинусное отношение: длина смежной стороны, деленная на длину гипотенузы, или смежная / гипотенуза.

    23. Коэффициент касания

    И последнее, но не менее важное: отношение касательных — это длина противоположной стороны, деленная на длину соседней стороны или противоположной / смежной стороны.Некоторые студенты находят мнемонический SOH CAH TOA полезным для запоминания тригонометрических соотношений.

    24. Градусы в радианы

    Хотя наиболее распространенной формой триггера являются базовые отношения, вы можете столкнуться с такими вещами, как единичный круг или более сложная математика. Если вам нужно преобразовать градусы в радианы, умножьте градусы на \ (\ frac {\ pi} {180} \). Если вам нужно преобразовать радианы в градусы, умножьте радианы на \ (\ frac {180} {\ pi} \).

    25.2 \)

    Теорема Пифагора применяется к прямоугольным треугольникам и позволяет вам найти длину одной из сторон при любой другой длине стороны. \ (a \) и \ (b \) — катеты треугольника, а \ (c \) — гипотенуза.

    26. Внутренний угол правильного многоугольника

    \ (\ frac {(n-2) 180} {n} \)

    SAT, вероятно, будет включать один вопрос с правильным многоугольником, который не является треугольником или квадратом. Правильные многоугольники обладают уникальными и непротиворечивыми свойствами в зависимости от количества сторон, и знание этих свойств может помочь вам решить эти проблемы.Это уравнение говорит вам, какой градус каждого угла основан на количестве сторон \ (n \).

    27. 3-4-5 треугольник

    SAT предоставляет вам два специальных прямоугольных треугольника, с которыми вы, возможно, уже знакомы на своем справочном листе, — треугольники 30-60-90 и 45-45-90. Однако 3-4-5 — это особый прямоугольный треугольник со сторонами, которые представляют собой простые целые числа. Этот треугольник часто включается в задачи SAT, особенно в части без калькулятора, так что будьте начеку! Это может избавить вас от необходимости использовать теорему Пифагора.

    28. 5-12-13 треугольник

    Другой специальный прямоугольный треугольник с целыми числами сторон, треугольник 5-12-13 менее известен и встречается реже, чем 3-4-5. Тем не менее, это помогает быстро решить оставшиеся стороны без теоремы Пифагора, поэтому проверяйте эти числа или их кратные в задачах треугольника.

    29. Длина дуги в окружности

    \ (длина \: of \: arc = \ frac {central \: angle} {360} \ pi d \)

    Хотя вопросы о геометрии не составляют большую часть SAT, вы все равно можете найти вопрос о дугах или секторах в круге.2 \)

    Подобно дуге, сектор — это область между двумя радиусами, отходящими от круга, вроде как кусок пирога. Опять же, умножьте меру в градусах на долю \ (360 \) и умножьте ее на уравнение для площади круга, чтобы найти площадь сектора.

    Завершение

    Перед тем, как вы уйдете, мы собираемся предложить вам бонусный совет: вы можете запомнить идеальные квадраты и идеальные кубики. Это может помочь вам с квадратными уравнениями, которые часто включают квадраты, а кубы часто используются при решении задач с показателями.Их запоминание сократит потребность в математических вычислениях с помощью бумаги для заметок или калькулятора.

    Лучший способ запомнить формулы — это попрактиковаться в их использовании. В отличие от вашего школьного теста по математике, где вы знаете, какие темы будут охвачены, SAT просто представит вам вопрос — вам решать, какие формулы применяются. Когда вы попрактикуетесь в использовании формул с множеством задач, вы сможете быстро определить, какую формулу использовать.

    Готовитесь к SAT? Загрузите наше бесплатное руководство с нашими 8 лучшими советами по освоению SAT.

    Хотите знать, как ваш результат SAT влияет на ваши шансы зачисления в школы вашей мечты? Наша бесплатная система Chancing Engine не только поможет вам предсказать ваши шансы, но и расскажет, как вы конкурируете с другими кандидатами и какие аспекты вашего профиля нужно улучшить. Зарегистрируйтесь на бесплатную учетную запись CollegeVine сегодня , чтобы получить доступ к нашему движку Chancing Engine и ускорить реализацию своей стратегии обучения в колледже!

    Ознакомьтесь с некоторыми другими нашими статьями по подготовке к математике:

    Введение, формула, свойства, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы

    Что такое полукруг?

    • Полукруг — это полукруг, который образуется путем разрезания всего круга на две половины по линии диаметра.

    • Отрезок, известный как диаметр круга, разрезает круг ровно на два равных полукруга.

    • Полукруг имеет только одну линию симметрии, которая является симметрией отражения.

    • Полукруг также называется полудиском.

    • Так как полукруг составляет половину окружности (360 градусов), дуга полукруга всегда равна 180 градусам.

    Пунктирными линиями обозначена окружность.

    Что вы подразумеваете под периметром полукруга?

    • Кроме того, вы знаете, что полукруг — это половина круга. Вы можете подумать, что периметр полукруга равен половине периметра круга. Но это неправда!

    • Периметр полукруга равен \ [\ pi R + 2R \], который также можно записать как \ [R \ left ({\ pi + 2} \ right) \], вычтя R.

    где, R = радиус полукруга.

    π = Константа с именем Пи, приблизительно равная 3.2} \].

    Что вы имеете в виду под окружностью полукруга?

    где, R = радиус полукруга.

    Π = Константа с именем Пи, приблизительно равная 3,142.

    Единица измерения длины полукруга — м или см.

    Что вы подразумеваете под углом, вписанным в полукруг?

    • Угол, вписанный в круг, всегда равен 90 градусам.

    • Этот вписанный угол образуется путем проведения линии от каждого конца диаметра до любой точки полукруга.2}}} {2} \]

      Периметр формулы полукруга

      \ [R \ left ({\ pi — 2} \ right) \]

      Формула окружности полукруга

      \ [2 \ pi R \]

      ВОПРОСЫ

      Вопрос 1

      Диаметр полукруга составляет 100 метров. Найдите периметр полукруга по формуле полукруга.

      Решение

      Перечислим данную информацию,

      Диаметр = 100 м

      Периметр =?

      Формула для вычисления периметра полукруга: \ [R \ left ({\ pi — 2} \ right) \]

      Нам нужно R для вычисления периметра полукруга,

      \ [Radius = \ frac { {Диаметр}} {2} = \ frac {{100}} {2} = 50 {\ text {}} метр \]

      \ [\ Pi = 3.142 \]

      Следовательно, периметр = 50 (3,142 + 2) = 257,1 см.

      Вопрос 2

      Школьная баскетбольная площадка Рии имеет по 2 полукруга на каждом конце. Полукруги имеют радиус 6 футов. Каков периметр одного полукруга корта?

      Решение

      Перечислим данную информацию,

      Радиус = 6 футов

      \ [\ Pi = 3,142 \].

      Периметр =?

      Формула для вычисления периметра полукруга: \ [R \ left ({\ pi — 2} \ right) \]

      Следовательно, периметр полукруга на одном конце площадки равен 6 (3.142 + 2) = 30,72 см

      Вопрос 3

      Круг, показанный ниже на рисунке 2.1, имеет диаметр 8 см. Найдите следующее:

      Решение

      Перечислим данную информацию,

      Диаметр = 8 см

      Периметр =?

      Площадь =?

      Используя формулу периметра полукруга, то есть \ [R \ left ({\ pi — 2} \ right) \]

      Нам нужно R для вычисления периметра,

      \ [Radius = \ frac {{Диаметр} } {2} = \ frac {8} {2} = 8 {\ text {}} см \]

      \ [\ Pi = 3.2} \]

      Вопрос 5

      Найдите длину окружности полукруга диаметром 7 см.

      Решение

      Перечислим данную информацию,

      Диаметр = 7 см

      Окружность =?

      \ [Radius = \ frac {{Диаметр}} {2} = \ frac {7} {2} = 3.5 {\ text {}} см \]

      \ [\ Pi = 3.142 \]

      Окружность круг = \ [2 \ пи \ раз R \]

      Следовательно, окружность круга = \ [3.142 \; \ times 3,5 \ times 2 = {\ text {}} 21.944 {\ text {}} см \]

      Вопрос 6

      У Джорджа есть сад перед его домом, имеющий форму круга диаметром 10 ярдов. Джордж хочет ограждать ровно половину сада. Найдите периметр части, которую он хочет ограждать.

      Решение

      Перечислим данную информацию,

      Диаметр = 10 см

      Периметр =?

      Формула для вычисления периметра полукруга: \ [R \ left ({\ pi + 2} \ right) \]

      Нам нужно R для вычисления периметра,

      \ [Radius = \ frac {{Диаметр }} {2} = \ frac {{10}} {2} = 5 {\ text {}} см \]

      \ [\ Pi = 3.142 \]

      Следовательно, периметр = 5 (3,142 + 2) = 25,71 см

      Математические формулы, практические вопросы и примеры для недвижимости

      Математика по недвижимости — важная часть экзамена по недвижимости и важная концепция, которую необходимо понять, чтобы сделать успешную карьеру в сфере недвижимости. Если вы станете экспертом по математике и сможете решать математические задачи по недвижимости, это поможет вам выделиться на своем рынке и стать лучшим агентом по недвижимости, а также значительно упростит сдачу экзамена по недвижимости.

      Сколько стоит экзамен по математике на экзамене по недвижимости?

      Независимо от того, в каком штате вы хотите получить лицензию на недвижимость, вы можете ожидать, что на экзамене вы увидите вопросы по математике. Хотя количество вопросов по математике на экзамене варьируется от штата к штату, общее количество вопросов, связанных с математикой, составляет где-то между 10-15%.

      Как математика используется в сфере недвижимости?

      Хотя вам, возможно, не придется использовать математику каждый день в качестве агента по недвижимости, вы должны быть готовы к возникновению проблем, требующих глубокого понимания концепций математики в сфере недвижимости.Примеры математических понятий, которые должны знать агентов по недвижимости, следующие: .

      • Преобразование измерений: Измерения, включая измерения площади, линейные измерения и измерения объема
      • Дроби, десятичные дроби и проценты: Сюда входит понимание метода Т-образной планки или способов решения процентных задач
      • Математические формулы для недвижимости: Математические формулы помогут вам решить проблемы, с которыми вы часто будете сталкиваться как агент.К ним относятся формула множителя валовой ренты (GRM), формула комиссионных, формула простого процента, отношение ссуды к стоимости (LTV) и многое другое.

      Сложная ли математика в сфере недвижимости?

      Математика недвижимости — это НЕ сложно. Многие студенты боятся изучать математику и использовать математику в своей карьере, однако математика в сфере недвижимости не является сложной задачей, и вам нужно усвоить лишь несколько концепций. Чем больше практики и времени потратите на понимание математических задач и понятий, которые вы можете увидеть, тем лучше вы будете сдавать экзамен и на протяжении всей своей карьеры.

      Математические определения недвижимости

      Словарь основных арифметических навыков

      Срок Определение
      Исходный Измеренная линия, проходящая через исследуемую область, по которой выполняются триангуляции
      Контрольный показатель Отметка геодезиста, сделанная на неподвижном объекте с заранее определенным положением и высотой и используемая в качестве опорной точки при наблюдениях и съемках приливов.
      Доска для ног Единица кубической меры пиломатериалов, равная одному квадратному футу на один дюйм толщиной.
      Десятичное Относится к десятым долям или к числу 10. Символ, образующий десятичную дробь, называется десятичной точкой. В числе 125,67 период между 5 и 6 называется десятичной точкой.
      Знаменатель Выражение, записанное под чертой в общей дроби, обозначающее количество частей, на которые делится одно целое.Например, в дроби 3/5 знаменатель 5. В числе 125 3/5 знаменатель 5. Этот термин относится только к нижнему числу дроби, а не к остальной части числа.
      Эквивалентная дробь Дроби с одинаковым значением, хотя они могут выглядеть по-разному. Примеры ½ и 2/4 эквивалентны, потому что они оба половинные.
      Дробь Выражение, которое указывает частное двух величин, например, 1/3 Отсоединенный кусок; фрагмент.
      Передняя опора Метод описания или ценообразования коммерческой недвижимости по количеству футов дорожного полотна, имеющегося у земельного участка. Недостатком является то, что не существует общепризнанного стандарта глубины, поэтому недвижимость, продаваемая по 1500 долларов за переднюю ногу, может быть вдвое дешевле, чем цена продажи по 2400 долларов за переднюю ногу, но никто не может сказать точно по цене.
      Государственная система обследований / прямоугольная система обследований: Система разделения земли в Соединенных Штатах на четырехугольники площадью 24 квадратных мили от линии север-юг и линии восток-запад.
      Наибольший общий фактор: Наибольшее целое число, которое делится на каждое из чисел. Например, наибольший общий делитель чисел 4, 8, 12 и 16 равен 4, потому что 4 — это наибольшее число, которое делится на каждое из чисел. 4 ÷ 4 = 1, 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3, 16 ÷ 4 = 4.
      Широта Угловое расстояние к северу или югу от земного экватора, измеренное в градусах по меридиану, как на карте или земном шаре.
      Линейная опора То же, что и ступня. Если что-то 12 футов в длину, это 12 футов в длину.
      Долгота Угловое расстояние на поверхности Земли, измеренное на востоке или западе от нулевого меридиана в Гринвиче, Англия, до меридиана, проходящего через позицию, выраженное в градусах (или часах), минутах и ​​секундах.
      Наименьший общий знаменатель В математике наименьший общий знаменатель или наименьший общий знаменатель (сокращенно LCD) — это наименьшее общее кратное знаменателей набора дробей.Это упрощает сложение, вычитание и сравнение дробей.
      Меридиан Воображаемый большой круг на поверхности земли, проходящий через северный и южный географические полюса. Все точки на одном меридиане имеют одинаковую долготу.
      Числитель Верхнее число в дроби. Показывает, сколько деталей подсчитывается. — Math Is Fun Rod Pierce.
      Пи Трансцендентное число, примерно 3.14159, представленный символом [изображение], который выражает отношение длины окружности к диаметру круга и появляется как константа во многих математических выражениях
      Точка начала Точкой начала является отметка геодезиста на начальном участке для широкомасштабной съемки земли.
      Товар Ответ или результат умножения двух или более чисел. Например, в 10 × 5 = 50 произведение равно 50.
      Диапазон Полоса поселков с севера на юг, каждая площадью шесть квадратных миль, пронумерованная к востоку и западу от указанного меридиана в государственной землеустройстве США.
      Округление В математике округление означает уменьшение числа (обычно ответа на математическую задачу) до числа короче точного ответа, полученного при вычислении. Проще говоря, это означает использование меньшего количества цифр в числе при сохранении очень похожего результата.Чтобы округлить число, вы сначала решаете, какую последнюю цифру вы хотите использовать; чем точнее требуется измерение, тем больше цифр.
      Беговая лапка Измерение длины куска дерева без учета его толщины или ширины.
      Квадратный фут Единица измерения площади. Квадратный фут — это поверхность по 12 дюймов с каждой стороны.
      Городок Государственная землеустроительная единица площадью 36 секций или 36 квадратных миль.

      Узнайте больше об основных математических определениях недвижимости в нашем курсе «Принципы в сфере недвижимости».

      Преобразование единиц измерения

      Умение понимать размеры поможет вам заложить прочную основу для того, чтобы стать экспертом на протяжении всей вашей карьеры в сфере недвижимости. Ниже приведен список измерений и преобразований, которые вам нужно будет освоить.

      Преобразование линейных измерений

      • 12 дюймов = 1 фут
      • 3 фута = 1 ярд
      • 1 миля = 5280 погонных футов
      • 1 стержень = 16 ½ погонных футов
      • 1 цепь = 4 стержня
      • 4 стержня = 100 звеньев
      • 1 ссылка = 7.92 дюйма
      • 1 миля = 320 стержней
      • 1 миллион = 0,10 цента
      • 1 га = 2,471 акра
      • 1 квадратный фут = 144 квадратных дюйма
      • 1 квадратный ярд = 9 квадратных футов
      • 1 поселок = 36 участков
      • 1 секция = 1 квадратная миля
      • 1 квадратная миля = 640 акров
      • 1 акр = 43 560 квадратных футов
      • 1 акр = 10 квадратных цепочек
      • 360 градусов = полный круг
      • 90 градусов = ¼ окружность
      • 1 градус = 60 минут
      • 1 минута = 60 секунд

      Измерения площади

      Размеры площади даны в различных единицах.Следующие формулы освежат ваши знания об этих единицах.

      • 144 дюйма = 1 квадратный фут
        • Количество квадратных дюймов ÷ 144 = количество квадратных футов
        • Количество квадратных футов × 144 = количество квадратных дюймов
      • 1296 квадратных дюймов = 1 квадратный ярд
        • Количество квадратных дюймов ÷ 1,296 = количество квадратных ярдов
        • Количество квадратных ярдов × 1296 = количество квадратных дюймов
      • 9 квадратных футов = 1 квадратный ярд
        • Количество квадратных футов ÷ 9 = количество квадратных ярдов
        • Количество квадратных ярдов × 9 = количество квадратных футов
      • 43 560 квадратных футов = 1 акр
        • Количество квадратных футов ÷ 43,560 = Количество акров
        • Количество акров × 43 560 = Количество квадратных футов
      • 640 акров = 1 секция = 1 квадратная миля
        • Количество акров ÷ 640 = Количество секций (также Количество квадратных миль)
        • Количество секций (или квадратных миль × 640 = Количество акров

      Измерение объема

      Как и в случае с другими средствами измерения предметов, объем пространства или объекта может быть выражен множеством различных способов.

      • 1728 кубических дюймов = 1 кубический фут
        • Количество кубических дюймов ÷ 1728 = Количество кубических футов
        • Количество кубических футов × 1728 = количество кубических дюймов

      Кубический фут Диаграмма

      Пример задачи измерения

      Вашему клиенту необходимо арендовать климат-контроль, застрахованный и таможенный склад на 6 месяцев для хранения 500 поддонов строительных инструментов от крупнейшего производителя инструментов в Китае, каждый полный поддон имеет высоту 4 фута на 5 футов 8 футов и все термоусадочные. завернутый в промышленный пластик.Единственное имеющееся в городе пространство можно арендовать по цене 22,5 цента за кубический фут в месяц. Сколько стоит место?

      • 4 × 5 × 8 = 160 кубических футов
      • 500 × 160 = 80000 кубических футов
      • 80 000 × 0,225 = 18 000 долл. США в месяц
      • Ответ 18 000 долларов США × 6 = общая стоимость 90 000 долларов за шесть месяцев

      Дроби, десятичные дроби и проценты

      Дроби

      Дробь — это часть чего-то. Дроби говорят нам, на сколько частей делится целое, а также с какими частями мы работаем.Например, в дроби ¼ нижнее число, называемое знаменателем, говорит нам, что предмет был разделен на 4 части; верхнее число, называемое числителем, говорит нам, что мы работаем с 1 из этих 4 частей.

      Десятичные

      Дроби также выражаются десятичными знаками. Дробь ¼ может быть выражена как 0,25, дробь ½ также выражается как 0,5, ¾ как 0,75 и так далее. Как преобразовать дробь в десятичную? Просто разделив верхнее число (числитель) на нижнее число (знаменатель).

      Чтобы преобразовать ¾ в эквивалентную десятичную дробь: 3 ÷ 4 = 0,75
      В случае ¼ 1 ÷ 4 = 0,25

      Как агент по недвижимости или РИЭЛТОР® и на экзамене на лицензию вы будете использовать калькулятор, а не карандаш и бумагу, поэтому вы почти всегда обнаружите, что перед вычислениями проще переводить дроби в десятичные. Калькуляторы основаны на десятичных точках, а не на дробях. Вы можете ввести 1,25 на калькуляторе; вы не можете ввести 1 ¼.

      В процентах

      Процент — это выражение, означающее на сотню или на сотку.Следовательно, если вы говорите «3%», вы говорите, что измеряемый элемент был разделен на 100 частей, а часть, которую вы описываете, состоит из трех из этих 100 частей. Расположение десятичной точки в номере важно:

      • .10 означает 1/10, а также 10 частей на сотню, а также 10%
      • .01 означает 1/100, а также 1 часть на сотню, а также 1%
      • .001 означает 1/1000, а также 1 часть на тысячу, а также 0,1%
      • .0001 означает 1/10 000, а также 1 часть на десять тысяч, а также 0,01%

      Решение проблем в процентах

      Есть три формулы, которые важны для решения всех процентных задач.

      1. ЧАСТЬ = ИТОГО × СТАВКА
      2. ИТОГО = ЧАСТЬ ÷ СТАВКА
      3. СТАВКА = ЧАСТЬ ÷ ИТОГО

      Еще один способ запомнить эти формулы — подумать:

      • Если ЧАСТЬ неизвестна Умножить.
      • Если известно ЧАСТЬ Разделить.
      • При делении всегда сначала вводите ЧАСТЬ в калькулятор.
      Метод Т-образной балки

      Многие студенты, изучающие недвижимость, не чувствуют себя комфортно с 3 формулами, используемыми для решения процентных задач, поэтому другой способ приблизиться к этому — визуализировать букву «Т», буква «Т» будет представлять взаимосвязь между ЧАСТИ, ИТОГО и СТАВКА. известен как метод Т-образного стержня.

      Используя метод Т-образного стержня, вставьте известные фигуры в правильные места внутри круга.Умножьте, если линия между цифрами вертикальная, чтобы получить неизвестное, и разделите, если линия между цифрами горизонтальная, чтобы получить неизвестное. При делении всегда сначала вводите ЧАСТЬ в калькулятор.

      Математика недвижимости, метод Т-образного стержня

      Математические формулы для недвижимости

      Математические формулы — важный компонент для сдачи экзамена и становления успешным брокером по недвижимости или торговым агентом. Помните, что практика ведет к совершенству, поэтому чем больше времени вы потратите на запоминание этих формул, тем лучше вам будет.

      Соотношение кредита к стоимости (LTV)

      Коэффициент LTV = APV ÷ MA

      APV = Оценочная стоимость недвижимости
      MA = Сумма ипотеки

      Формула простого процента

      А = P (1 + RT)

      A = Общая начисленная сумма (основная сумма + проценты)
      P = Основная сумма
      I = Сумма процентов
      r = годовая процентная ставка в десятичном формате; г = R / 100
      R = годовая процентная ставка в процентах; R = г * 100
      t = Период времени в месяцах или годах

      Множитель валовой ренты

      Множитель валовой арендной платы = Цена собственности ÷ Годовой валовой доход от аренды
      Годовой валовой доход от аренды = ежемесячный доход от аренды × 12

      Калькулятор множителя валовой ренты

      Формулы налога на имущество

      Ставка налога на имущество = Оценочная стоимость × Миллионная ставка
      Оценочная стоимость = Оценка рынка × Рыночная стоимость
      1 миллион = 1/1000 доллара или 1 доллар налога на имущество

      Формулы дисконтных баллов

      дисконтных балла = предоплата
      Точка безубыточности = Стоимость баллов ÷ Экономия на ежемесячных платежах

      Формула «Ипотечное правило большого пальца» (правило 28/36)

      Расходы на жилье для получения большинства ссуд = Валовой ежемесячный или годовой доход ×.28

      Проецирование

      Проецирование — это название, которое мы даем справедливому разделению затрат и выгод финансовой операции. В контексте недвижимости мы имеем дело с большими числами и разделяем такие вещи, как налоги на недвижимость, сборы ассоциаций домовладельцев, арендная плата, выплачиваемая арендаторами, и так далее, но концепция остается той же. Вопрос в том, кто за что платит, и процесс пропорционального распределения помогает принять это решение.

      При закрытии различные позиции распределяются пропорционально, и некоторые комиссии часто распределяются между покупателем, продавцом и брокерами.Другими словами, общая сумма должна быть пропорционально распределена или распределена в соответствии с пропорциональным распределением, как и упомянутые выше файлы cookie. Типичные статьи расходов, подлежащие пропорциональному распределению, включают налоги на недвижимость, ежемесячные проценты, подлежащие уплате при получении ссуд, арендную плату и сборы домовладельцев.

      Распределение процентов по ссудам

      Проценты почти всегда выплачиваются в просрочку (выплачиваются в конце периода). Другими словами, когда вы вносите платеж по ипотеке первого числа месяца, вы платите процентную часть за предыдущий месяц.

      Проценты по новой ссуде рассчитываются путем умножения основной суммы остатка на процентную ставку и последующего деления на 365 дней.

      Пример пропорционального распределения процентов по ссуде

      Покупатель получает новый заем в размере 150 000,00 долларов США под 8% годовых.

      • Умножьте основную сумму на процентную ставку, чтобы получить годовую процентную ставку: 150 000,00 долларов США умножить на 0,08 = 12 000,00 долларов США.
      • Теперь определите дневную ставку или ставку суточных, разделив годовой процент на 365, 12 000 долларов.00, разделенное на 365 = 32,876712 долларов США в день (суточные).
      • Закрытие состоится 15 июля. Используемый период — июль, в нем 31 день. Таким образом, в июле Покупатель будет владеть недвижимостью в течение 17 дней.

      Пришло время начать практиковать

      Принципы в сфере недвижимости — Глава 8: Обзор математики в сфере недвижимости Сводное видео

      Автор и издатель: VanEd

      Правильные многоугольники — Свойства

      Полигон

      Многоугольник — это плоская (двумерная) форма с прямыми сторонами.Примеры включают треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее.

      Обычный

      «Правильный многоугольник» содержит:

      В противном случае это неправильный .

      Правильный пятиугольник неправильный пятиугольник

      Здесь мы смотрим только на регулярных многоугольников .

      Недвижимость

      Итак, что мы можем знать о правильных многоугольниках? Прежде всего, мы можем проработать углы.

      Внешний угол

      Внешний угол — это угол между любой стороной формы,

      и линия продолжалась с следующей стороны.

      Все внешние углы многоугольника в сумме составляют 360 °, поэтому:

      Каждый внешний угол должен составлять 360 ° / n

      (где n — количество сторон)

      Нажмите кнопку воспроизведения, чтобы увидеть.

      Угол наружный
      (правильного восьмиугольника)

      Пример: Каков внешний угол правильного восьмиугольника?

      У восьмиугольника 8 сторон, поэтому:

      Внешний угол = 360 ° / n

      = 360 ° / 8

      = 45 °

      Внутренний угол

      Внутренний угол и Внешний угол измеряются от одной линии, поэтому в сумме получается 180 ° .

      Внутренний угол = 180 ° — Внешний угол

      Мы знаем, что Внешний угол = 360 ° / n , поэтому:

      Внутренний угол = 180 ° — 360 ° / n

      Что можно переставить так:

      Внутренний угол = 180 ° — 360 ° / n

      = (n × 180 ° / n) — (2 × 180 ° / n)

      = (п − 2) × 180 ° / п

      Итак, у нас также есть это:

      Внутренний угол = (n − 2) × 180 ° / n

      Пример: Каков внутренний угол правильного восьмиугольника?

      У правильного восьмиугольника 8 сторон, поэтому:

      Внешний угол = 360 ° /8 = 45 °

      Внутренний угол = 180 ° — 45 ° = 135 °


      Уголок внутренний
      (правильного восьмиугольника)

      Или мы могли бы использовать:

      Внутренний угол = (n − 2) × 180 ° / n

      = (8−2) × 180 ° / 8

      = 6 × 180 ° / 8

      = 135 °

      Пример: каковы внутренние и внешние углы правильного шестиугольника?

      У правильного шестиугольника 6 сторон, поэтому:

      Внешний угол = 360 ° /6 = 60 °

      Внутренний угол = 180 ° — 60 ° = 120 °

      А теперь несколько имен:

      «Окружность, вписанная окружность, радиус и апофема… «

      Звучит довольно музыкально, если повторить это несколько раз, но это просто названия «внешнего» и «внутреннего» кругов (и каждого радиуса), которые можно нарисовать на многоугольнике следующим образом:

      «Внешняя» окружность называется описанной окружностью , и она соединяет все вершины (угловые точки) многоугольника.

      Радиус описанной окружности также равен радиусу многоугольника.

      «Внутренний» круг называется вписанной окружностью , и он просто касается каждой стороны многоугольника в его средней точке.

      Радиус вписанной окружности равен апофемой многоугольника.

      (Не все многоугольники обладают этими свойствами, но треугольники и правильные многоугольники обладают).

      Разбиение на треугольники

      Мы можем многое узнать о правильных многоугольниках, разбив их на треугольники следующим образом:

      Обратите внимание, что:

      • «основание» треугольника — это одна сторона многоугольника.
      • «высота» треугольника — это «апофема» многоугольника

      Итак, площадь треугольника равна половине основания, умноженного на высоту, поэтому:

      Площадь одного треугольника = основание × высота / 2 = сторона × апофема / 2

      Чтобы получить площадь всего многоугольника, просто сложите площади всех маленьких треугольников («n» из них):

      Площадь многоугольника = n × сторона × апофема / 2

      А так как периметр равен всем сторонам = n × сторона, получаем:

      Площадь многоугольника = периметр × апофема / 2

      Меньший треугольник

      Разрезав треугольник пополам, получим:

      (Примечание: углы указаны в радианах, а не в градусах)

      Маленький треугольник является прямоугольным, поэтому мы можем использовать синус, косинус и тангенс, чтобы найти, как связаны между собой сторона , радиус , апофема и n (количество сторон):

      sin (π / n) = (Сторона / 2) / Радиус Сторона = 2 × Радиус × sin (π / n)
      cos (π / n) = Апофема / Радиус Апофема = Радиус × cos (π / n)
      загар (π / n) = (Сторона / 2) / Апофема Сторона = 2 × Апофема × загар (π / n)

      Подобных отношений гораздо больше (большинство из них просто «перестановки»), но пока они подойдут.

      Другие формулы площади

      Мы можем использовать это для вычисления площади, когда мы знаем только Апофему:

      Площадь малого треугольника = ½ × Апофема × (Сторона / 2)

      И мы знаем (из формулы «загар» выше), что:

      Сторона = 2 × Апофема × загар (π / n)

      Итак:

      Площадь малого треугольника = ½ × Апофема × (Апофема × тангенс (π / n))

      = ½ × Апофема 2 × tan (π / n)

      И есть 2 таких треугольника на каждую сторону, или 2n для всего многоугольника :

      Площадь многоугольника = n × апофема 2 × tan (π / n)

      Когда мы не знаем Апофему, мы можем использовать ту же формулу, но переработанную для Радиуса или Стороны:

      Площадь многоугольника = ½ × n × радиус 2 × sin (2 × π / n)

      Площадь многоугольника = ¼ × n × сторона 2 / tan (π / n)

      Таблица значений

      А вот таблица сторон, апофем и площадей в сравнении с радиусом «1» с использованием разработанных нами формул:

      График

      А вот график из таблицы выше, но с числом сторон («n») от 3 до 30.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.