Свойства кусочно линейной функции: Кусочно-линейная функция — это… Что такое Кусочно-линейная функция?

Содержание

Кусочно-линейная функция — это… Что такое Кусочно-линейная функция?

  • кусочно-линейная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] кусочно линейная функция Нелинейная функция f(x) = f(x1, x2, …, xn), которая (при ее геометрическом представлении) состоит из переходящих друг… …   Справочник технического переводчика

  • Кусочно-линейная функция — [piecewise linear function] нелинейная функция f(x) = f(x1, x2, …, xn), которая (при ее геометрическом представлении) состоит из переходящих друг в друга линейных участков. Любая функция, непрерывная в замкнутом интервале, может быть с… …   Экономико-математический словарь

  • КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — (piecewise linear function) Функция, состоящая из ряда линейных отрезков с разным наклоном. Функция, соответствующая подоходному налогу Великобритании, взимаемому с налогооблагаемого дохода, является, например, ломаной линией: от нуля до некоего… …   Экономический словарь

  • Кусочно-заданная функция — Кусочно заданная функция  функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. Формальное определение и задание Пусть заданы   точки смены формул …   Википедия

  • Линейная интерполяция — Линейная интерполяция  интерполяция алгебраическим двучленом P1(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x0 и x1 отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно линейной функцией.… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ — 1) Л. с. на дифференцируемом многообразии М диф ференциально геометрич. структура на М, связанная с аффинной связностью на М. В каждой аффинной связности определяется параллельное перенесение вектора, позволяющее для каждой кривой L( х 0, x1).в… …   Математическая энциклопедия

  • Сплайн-функция — [spline fun­­ction] кусочно гладкая функция, используемая для выравнивания временных рядов. Применение С. ф. вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется тенденция, направление ряда. С. ф. помогает… …   Экономико-математический словарь

  • Арифметическая функция — Арифметическая функция  функция, определенная на множестве натуральных чисел , и принимающая значения во множестве комплексных чисел . Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Треугольная функция — Треугольная функция, треугольный импульс  специальная математическая функция, определяемая как кусочно линейная в виде …   Википедия

  • ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… …   Математическая энциклопедия

  • Образец чтения свойств кусочно заданной функции. Кусочные функции

    Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное
    или непрерывное
    и скачкообразное
    (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

    Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

    y = {x – 3, при x > -3;
    {-(x – 3), при x

    Такие функции называются кусочными
    или кусочно-заданными
    . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими
    область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками
    . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями
    . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

    Упражнения.

    Построить графики кусочных функций:

    1)
    {-3, при -4 ≤ x f(x) = {0, при x = 0,
    {1, при 0

    График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

    Ответ: рисунок 1.

    2)
    {3, если x ≤ -4,
    f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 {3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

    Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

    Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

    График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
    x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

    График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

    Ответ: рисунок 2.

    3)
    {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
    f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x {3, если x ≥ 5.

    Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

    Ответ: рисунок 3.

    4)
    Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

    Решение.
    Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

    1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

    2) При x

    Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

    y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
    { x 2 + 2x, при x

    Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

    Ответ: рисунок 4.

    5)
    Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

    Решение.

    Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

    1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

    2) При x

    Перепишем.

    y = {x 2 , при x > 0;
    {(x – 2) 2 , при x

    Графики этих функций – параболы.

    Ответ: рисунок 5.

    6)
    Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

    Решение.

    Да, существует.

    Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
    x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

    средняя общеобразовательная школа №13

    «Кусочные функции»

    Сапогова Валентина и

    Донская Александра

    Руководитель-консультант:

    г. Бердск

    1. Определение основных целей и задач.

    2. Анкетирование.

    2.1. Определение актуальности работы

    2.2. Практическая значимость.

    3. История функций.

    4. Общая характеристика.

    5. Способы задания функций.

    6. Алгоритм построения.

    8. Используемая литература.

    1. Определение основных целей и задач.

    Цель:

    Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

    Задачи:

    — Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

    — Узнать историю термина «функция»;

    — Провести анкетирование;

    — Выявить способы задания кусочных функций;

    — Составить алгоритм их построения;

    2. Анкетирование.

    Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% — работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% — работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

    Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. Именно из этого вытекает актуальность и практическая значимость нашей работы.

    2.1. Определение актуальности работы.

    Актуальность:

    Кусочные функции встречаются, как в ГИА, так и в ЕГЭ, задания, которые содержат функции подобного рода, оцениваются в 2 и более баллов. И, следовательно, от их решения может зависеть ваша оценка.

    2.2. Практическая значимость.

    Результатом нашей работы будет являться алгоритм решения кусочных функций, который поможет разобраться в их построении. И добавит шансы на получения желаемой вами оценки на экзамене.

    3. История функций.

    — «Алгебра 9 класс» и др.;

    7

    Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж.Н. МОУ «СОШ №23»
    19.03.07г
    Тема урока:
    «Кусочно-заданные функции»


    Цели:

      обобщить и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся по указанной теме; воспитывать у учащихся внимательность, сосредоточенность, настойчивость, уверенность в своих знаниях; развивать мыслительные способности, логическое мышление; речевую культуру, умение применять теоретические знания.

    В результате обобщения темы учащиеся должны знать:

      понятие кусочно-заданной функции; формулы различных функций, соответствующие названия и изображения графиков;

    уметь:

      строить график кусочно-заданной функции; читать график; задавать функцию аналитически по графику.

    Ход урока

    I. Организационно-психологический момент.

    Начнем наш урок словами Д.К.Фадеева «Какую бы задачу вы не решали, в концевас ждёт счастливая минута – радостноечувство успеха, укрепление веры в свои силы.Пусть эти слова на нашем уроке обретут реальное подтверждение.II. Проверка домашнего задания.

    Начнем урок как обычно с проверки д/з.-Повторите определение кусочной функции и план исследования функций.1). На доске

    изобразить придуманные вами графики кусочных функций (рис.1,2,3)2).Карточки

    .№1. Расставьте порядок исследования свойств функций:

      выпуклость; четность, нечётность; область значений; ограниченность; монотонность; непрерывность; наибольшее и наименьшее значение функции; область определения.

    №2.Изобразите схематически графики функций:

    А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;

    В) у = , k0.

    3).Устная работа

    .
    – 2мин

      Какая функция называется кусочной?

    Кусочной называется функция, заданная разными формулами на разных промежутках.

      Из каких функций состоят кусочные функции, изображенные на рис.1,2,3? Какие ещё названия функций вы знаете? Как называются графики соответствующих функций? Является ли графиком какой-либо функции, фигура, изображенная на рис.4? Почему?

    Ответ:
    нет, т.к. по определению функции, каждому значению независимой переменной х ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у.
    4) Самоконтроль —

    3 минИз предложенных графиков и соответствующих формул, задающих функции, выберите верные. Из полученных букв ответов составьте знакомое слово.

    Ответ: ГРАФИК
    Где в жизни, в науке, в быту мы ещё встречаемся со словом ГРАФИК?-График зависимости массы от объёма,-объёма от давления;- график дежурства;- график движения поездов;-графики используются для представления различной информации, например, объём промышленного производства в Саратовской области в период с 1980 по 2002год.. По этому графику можно проследить за снижением и ростом производства в отдельные года.-Скажите, графиком какой функции представлена данная информация.Ответ: кусочная функция
    .III. Сообщение темы, цели урока.

    Тема урока:
    «Кусочно-заданные функции»Цель:
    — на примере кусочно-заданной функции вспомнить план исследования функций;

      повторить шаги построения кусочно-заданной функции; применять обобщенные знания при решении нестандартных задач.

    IV. Актуализация ранее усвоенных знаний.

    Понятие функции впервые встретилось нам в 7 классе при изучении линейной зависимости. С точки зрения моделирования реальных процессов, эта зависимость соответствует равномерным процессам.Пример: Движение пешехода с постоянной скоростью за время t. Формула: s =vt, график – отрезки прямой, расположен в I четверти.
    Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы.Пример: изученная вами в 9-ом классе формула определения сопротивления нагретой лампы (R) при постоянной мощности (Р) и изменяющемся напряжении (U). ФормулаR = , график – ветвь параболы, расположен-ная в I четверти.
    На протяжении трёх лет наши знания о функциях обогащались, количество изученных функций росло, пополнялся и набор заданий для решения которых приходится прибегать к графикам.Назовите эти типы заданий…- решение уравнений;
    — решение систем уравнений;
    — решение неравенств;
    — исследование свойств функций.
    V.Подготовка уч-ся к обобщающей деятельности.

    Вспомним один из типов заданий, а именно – исследование свойств функций или чтение графика.Обратимся к учебнику. Страница 65 рис.20а из №250.Задание:
    прочитать график функции. Порядок исследования функции перед нами.1. область определения – (-∞; +∞)
    2. четность, нечётность – ни четная, ни нечётная
    3. монотонность- возрастает [-3; +∞), убывает
    [-5;-3], постоянна (-∞; -5];
    4. ограниченность – ограничена снизу
    5.
    наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует;
    6. непрерывность- непрерывна на всей области определения;
    7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞).
    VI. Воспроизведение знаний на новом уровне.

    Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 — №4.19-1).Решение:
    1).у = —
    x, — квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а
    0). х -2 -1 0 1 2
    у -4 -1 0 1 4
    2) у= 3х – 10, — линейная функция, график – прямая
    Составим таблицу некоторых значений
    х 3 3
    у 0 -1
    3) у= -3х -10, — линейная функция, график – прямая
    Составим таблицу некоторых значений
    х -3 -3
    у 0 -1
    4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.

    Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны.
    Ответ:
    f(x) 
    0 при х = 0 и при 
    3VII.Работа над нестандартными заданиями.

    №4.29-1), стр. 121.
    Решение:
    1)Прямая (слева) у =
    kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4
    k + b = 0,-2
    k + b = 2;
    k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х
    -2
    у = , если -2
    х £
    3
    3, если х
    3

    VIII.Контроль знаний.

    Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3»



    I вариант№ У

    2
    1
    -1 -1 1 Х

      D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения

    Графики
    кусочно – заданных
    функций

    Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область

    Цель:

    • освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
    • научиться применять его в простых ситуациях.

    Под сплайном
    (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.

    Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик),
    но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

    В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик)
    впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.

    1 . Введение

    2. Определение линейного сплайна

    3. Определение модуля

    4. Построение графиков

    5. Практическая работа

    Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.

    Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов:
    постепенное

    ( непрерывное

    ) и
    скачкообразное.

    При падении тела на землю сначала происходит
    непрерывное нарастание

    скорости движения

    , а в момент столкновения с поверхностью земли
    скорость изменяется скачкообразно

    ,
    становясь равной нулю

    или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).

    Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие

    разрывы

    .

    a — формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. »

    • Один из способов введения таких разрывов
      следующий:

    Пусть
    функция

    y = f(x)

    при

    x


    определена формулой


    y = g(x),


    а при

    xa


    — формулой


    y = h(x),


    причем будем считать
    , что каждая из функций

    g(x)

    и

    h(x)

    определена для всех значений х и разрывов не имеет.

    Тогда
    ,
    если

    g(a) = h(a),

    то функция

    f(x)

    имеет при

    х=а

    скачок;

    если же

    g(a) = h(a) =

    f(a),

    то «комбинированная» функция
    f
    разрывов не имеет. Если обе функции
    g
    и
    h
    элементарные,
    то
    f называется

    кусочно–элементарной.

    Графики непрерывных функций

    Построить график функции:

    У = |X-1| + 1

    Х=1 –точка смены формул

    Слово «модуль»
    произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».

    Модулем числа
    а

    называется расстояние

    (в единичных отрезках
    ) от начала координат до точки А (а)
    .

    Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

    Модулем
    (абсолютной величиной
    ) действительного числа а
    называется то самое число а
    ≥ 0, и противоположное число –а
    , если а

    0 или х=0 у = -3х -2 при х »

    Построить график функции

    у = 3|х|-2.

    По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0

    -3х -2 при х

    x n) »

    .
    Пусть заданы х
    1
    х
    2
    х
    n
    – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.


    Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

    и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.

    Непрерывная кусочно-линейная функция
    называется
    линейным сплайном

    .
    Её
    график

    есть
    ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями

    – левым (отвечающим значениям x n
    ) и правым
    ( отвечающим значениям x x
    n
    )

    Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами

    График –
    ломаная

    с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).

    У=|x| — |x – 1|

    Точки смены формул: х=0 и х=1.

    У(0)=-1, у(1)=1.

    График кусочно-линейной функции удобно строить,
    указывая

    на координатной плоскости
    вершины ломаной.

    Кроме построения
    n

    вершин следует
    построить

    также
    две точки

    : одну левее вершины
    A

    1 ( x

    1;
    y

    ( x

    1)), другую – правее вершины
    An

    ( xn

    ;
    y

    ( xn

    )).

    Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов

    .

    Построить график функции
    у = х+ |x -2| — |X|.

    Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном

    1.Точки смены формул: Х-2=0,
    Х=2

    ;

    Х=0

    2.Составим таблицу:

    У(0
    )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2
    ;

    у(2
    )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0
    ;

    у (-1
    )= -1+|-1-2| — |-1|= -1+3-1= 1
    ;

    у(3
    )=3+|3-2| — |3|=3+1-3= 1
    .

    Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.

    1
    .Точки смены формул:

    х+1=0,
    х=-1

    ;

    х=0

    ;
    х-2=0,
    х=2.

    2
    .
    Составим таблицу:

    y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

    y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

    y(0)=1+0-2=-1;

    y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

    y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

    |x – 1| = |x + 3|

    Решите уравнение:

    Решение.

    Рассмотрим функцию y = |x -1| — |x +3|

    Построим график функции /методом линейного сплайна/

    • Точки смены формул:

    х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = — 3.

    2. Составим таблицу:

    y(- 4) =|- 4–1| — |- 4+3| =|- 5| — | -1| = 5-1=4;

    y( -3
    )=|- 3-1| — |-3+3|=|-4| =
    4;

    y( 1
    )=|1-1| — |1+3| =
    — 4
    ;

    y(-1) = 0.

    y(2)=|2-1| — |2+3|=1 – 5 = — 4.

    Ответ: -1.

    1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:

    у = |x – 3| + |x|;

    1).
    Точки смены формул:

    2).
    Составим таблицу:

    2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика
    »

    А)
    у = |2x – 4| + |x +1|

    1) Точки смены формул:

    2) y() =

    Б)
    Постройте графики функций, установите закономерность
    :

    a) у = |х – 4| б) y = |x| +1

    y = |x + 3| y = |x| — 3

    y = |x – 3| y = |x| — 5

    y = |x + 4| y = |x| + 4

    Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.

    1. Меню «Графики».

    2. Вкладка «Построить график».

    .3. В окне «Калькулятор» задать формулу.

    Постройте график функции:

    1)
    У = 2х + 4

    1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.

    2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

    3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

    4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия

    http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

    Определение: функций, кусочно-линейной функции


    Определение 1. Функции из множества ς = ς(ϑ) назовем ς(ϑ) -функциями (или, короче, ς-функциями). При этом функции из набора ϑ будем называть образующими.

    Рассмотрим набор {l1, …, lm} линейных функций:

    li (x) = (ai, x) + bi = ∑ aijxi + bi, 1≤i≤m. (12)

    Определение 2. Функция f называется кусочно-линейной, порожденной набором {l1,…, lm}, если f∈ ς(l1,…, lm).

    Для краткости будем называть такие функции просто кусочно-линейными. Иногда, чтобы подчеркнуть тот факт, что / по-рождается набором {l1,…, lm}, будем писать f = f(l1,…, lm).

    Пусть функции f1,…, fr кусочно-линейные, порожденные {l1,…, lm}. Очевидно, ς(f1,…, fr) ⊂ ς(l1,…, lm).

    Рассмотрим семейство из r ς(ϑ)-функций:
    g1(f1,…, fm), …, gr(f1,…, fm).

    Определение 3. Преобразование семейства функций ϑ в семейство ψ = (g1,…, gr), задаваемое равенствами

    gi = g1(f1,…, fr), i=1,…, r,
    назовем ς(ϑ) оператором (или ς(ϑ) -преобразованием). Если в качестве ϑ используется множество вида (12), то будем говорить о кусочно-линейном преобразовании.

    Пусть имеются два ϑ-оператора: ς(ϑ)-оператор S1: ϑ→ψ и ς(ψ) — оператор S2: ψ→Ω имеющий вид

    S1(f1,…, fm) = [g1(f1, …, fm),…, gr(f1, …, fm)],

    S1(g1,…, gr) = [h1(g1,…, r),…, hk(g1,…, gr)].

    Тогда можно определить оператор S = S2S1, S:ϑ→β, по следующему правилу:
    S(f1,…, fm) = [h1*(f1,…, fr),…, hk*(f1,…, fr)];
    где
    hi*(g1(f1,…, fm) = hi[g1(f1,…, fm),…, gr(f1,…, fm)], …

    Очевидно, S является ς(ϑ)-оператором. В следующем посте оформим это утверждение в виде леммы.

    График кусочно-непрерывной функции — «Шпаргалка ЕГЭ»

    Постройте график функции    и определите, при каких значениях   прямая    имеет с графиком три общие точки.

    Решение задачи

    В видео уроке показано решение задачи ОГЭ по математике на тему «функции и их свойства: график кусочно-непрерывной функции». Анализируется условие задачи. За счёт раскрытия модуля, определения координат вершин, направления «ветвей» и построения необходимой и достаточной части графика кусочно-непрерывной функции, определяется единственно правильный ответ с целью выбора аналогичного значения среди предложенных вариантов.

    В ходе решения используется принципы:
    — Координатная плоскость. Терминология

    — Многочлены. Обзор

    — Нахождение области определения и области значений числовой функции

    — Графический метод решения системы уравнений

    — Числовые функции.2), при k отличном от 0», «Функция y=|x|, её свойства и график.

    Свойства и графики функций | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов



    Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
    Текстовое содержимое слайдов презентации:


    Свойства и графики функций Выполнили: уч-цы 10А класса гимназии им. А.М.Горького: Вульф Д., Дрондина Ю., Шарова И.

     Цель:Цель, стоящая перед нами это изучение свойств и графиков функций, а так же изучение самого определения функции.

    Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Способы задания функции:Аналитический способГрафический способОсновные понятия и свойства функцийКлючевые слова: область определения функции, область значений функции четная функция, нечетная функция, периодическая функция. монотонная функция. убывающая функция. возрастающая функция, ограниченная функция. Функция может иметь несколько нулей.Функция считается заданной, если:задана область определения функции X ;задана область значений функции Y ;известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

    История функцийНачальное употребление слова «функция» было в 1692 году.К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Появления теории множеств Дедекинд (1887) и  Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

    Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.Линейная функция.

    Квадратичной функцией, называется функция , которую можно задать формулой вида  f(x)=ax²+bx+c, где a≠0.Рассмотрим квадратичную функцию на примере: y=x2Свойства функции y=x2:Область определения- вся числовая прямаяy=x2 — четная функцияНа промежутке [0;+) функция возрастает На промежутке (-Ґ;0] функция убываетГрафиком функции является параболаКвадратичная функция

    Степенна́я фу́нкция — функция y = xa, где a (показатель степени) — некоторое вещественное число. Свойства функции y = kxa   1.Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция   определена в нуле и его правой окрестности, но её производная   в нуле не определена.2.В интервале  , функция монотонно возрастает при a > 0 и монотонно убывает при a 

    Приложенные файлы

    Аппроксимативные свойства сумм Фурье для 2pi-периодических кусочно-линейных непрерывных функций

    RU | EN

    научно-образовательный журнал

    ДАГЕСТАНСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ
    МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ

    электронное периодическое издание

    ISSN: 2500-3240

    Теория приближений

    Дагестанские Электронные Математические Известия, Выпуск №5 (2016)


    Акниев Гасан Гарунович

    УДК: 517.1(x)$, совпадающую в узлах сетки $\Omega_m$ с самой функцией $f$. В случае, когда количество узлов сетки велико, для хранения полученной ломаной $l_m$ требуется запомнить большой объём информации: $(\xi_0, y_0), \ldots, (\xi_m, y_m)$, где $y_i = f(\xi_i)$ $(i = 0, \ldots, m)$, в связи с чем возникает промежуточная задача о сжатии указанной информации таким образом, чтобы ломаную можно было восстановить в последующем с заданной точностью. Для решения этой задачи, как правило, применяют так называемый спектральный метод, основанный на разложении ломаной $l_m$ в ряд по выбранной ортонормированной системе и хранении минимального количества коэффициентов полученного разложения, которое обеспечивает восстановление $l_m$ с заданной точностью. В настоящей работе предпринята попытка решить эту задачу для $2\pi$-периодических непрерывных ломаных путём их разложения в тригонометрический ряд Фурье.

    Ключевые слова:
    суммы Фурье, ломаная, приближение функций.

    В содержание выпуска

    Скачать полный текст

    

    Кусочно-заданные функции. 9 класс — презентация онлайн

    1. Функции.

    Рябинина Л.А.

    2. Кусочно-заданные функции.

    щелкните

    3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

    • Кусочно-заданная функция —
    функция, определённая на
    множестве вещественных чисел
    заданная на каждом из интервалов,
    составляющих область определения,
    отдельной формулой.

    4. Формальное определение и задание функции.

    • Пусть заданы x1 x2 x3 … xn— точки
    смены формул.
    • Кусочно-заданные функции, обычно задают
    на каждом из интервалов ( ; x1 ), ( x1; x2 )…( xn ; )
    отдельно .
    • Записывают это в виде:

    5. Запись кусочно-заданной функции.

    f 0 ( x ), x x1,
    f (x)=
    f1 ( x ), x1 x x2 ,

    f n ( x ), xn x .

    6. Виды кусочно-заданных функций

    • Если все функции — постоянные, то f(x) — кусочно-постоянная
    функция.
    • Если все функции fi(x) являются линейными функциями, то f(x) —
    кусочно-линейная функция.
    • Если все функции fi(x) являются непрерывными функциями,
    то f(x) — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она
    может не являться непрерывной.
    • Если все функции fi(x) являются дифференцируемыми
    функциями, то f(x) —кусочно-гладкая функция. При этом точки
    смены формул могут быть (а могут и не быть) точками излома.
    • Если все функции fi(x) являются монотонными функциями,
    то f(x) —кусочно-монотонная функция. При этом на соседних
    интервалах монотонность может быть разной.

    7. Построение графиков кусочно-заданных функций.

    Построение графиков кусочнозаданных функций.
    • f(x)=
    х
    x=0 -является точкой смены формул.
    x, x 0,
    f ( x)
    x, x 0.
    f(x)=-x
    У
    f(x)= x
    x 0
    x 0
    0
    Х
    1
    x, x 0,
    f ( x)
    x, x 0.
    Построить график функции.
    x 2 , 2 x 0,
    1,0 x 1,
    f ( x) 2
    x, 1 x 2,
    x 6,2 x 6.
    x = -2; 0; 1; 2; 6 — точки смены формул.
    У
    y x
    x 2 , 2 x 0,
    1,0 x 1,
    f ( x) 2
    x, 1 x 2,
    x 6,2 x 6.
    2
    2 x 0
    -2
    0
    Х
    1
    У
    x 2 , 2 x 0,
    1,0 x 1,
    f ( x) 2
    x , 1 x 2,
    x 6,2 x 6.
    y 1
    0 x 1
    1
    Х
    0
    1
    У
    y x
    2
    1 x 2
    0
    1 2
    x 2 , 2 x 0,
    1,0 x 1,
    f ( x) 2
    x , 1 x 2,
    x 6,2 x 6.
    Х
    У
    y x 6
    2 x 6
    0
    2
    1
    x 2 , 2 x 0,
    1,0 x 1,
    f ( x) 2
    x,, 1 x 2,
    x 6,2 x 6.
    6
    Х
    x 2 , 2 x 0, У
    1,0 x 1,
    f ( x) 2
    x , 1 x 2,
    x 6,2 x 6.
    -2
    0 1
    2
    6
    Х
    Построить график функции
    x 5, x 1,
    2
    f ( x) 2( x 3) 2 ,1 x 4,
    x 3 1,4 x 7.
    X = 1; 4; 7 – точки смены формул.
    У
    y=x+5
    x 1
    5
    -5
    0
    1
    Х
    У
    y 2( x 3) 2 2
    1 x 4
    0
    1
    2
    4
    Х
    У
    y x 3 1
    x 3
    4 x 7
    0
    1
    3 4
    7
    Х
    x 5, x 1,
    f ( x) 2( x 3) 2 2 ,1 x 4,
    x 3 1,4 x 7.
    -5
    У
    5
    0
    1
    3
    7
    Х

    20. Свойства функции.

    1. D(y)=(- ; 7
    2. E(y)=(- ; 6
    3. Промежутки возрастания
    (- ; 1 2; 3
    4. Промежутки убывания
    1; 2 3; 4 4; 7
    5. Наибольшее значение функции
    Y=6
    6. Функция непрерывная.

    Свойства функций | Безграничная алгебра

    Увеличивающие, убывающие и постоянные функции

    Функции могут быть либо постоянными, либо увеличиваться при увеличении [latex] x [/ latex], либо уменьшаться при увеличении [latex] x [/ latex].

    Цели обучения

    Применять определения функций увеличения и уменьшения, чтобы определить, увеличивается ли функция, уменьшается или нет в заданном интервале

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Постоянная функция — это функция, значения которой не меняются независимо от ввода в функцию.
    • Возрастающая функция — это функция, при которой для каждого [latex] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ geq f (x_ {1}) [/ latex]. Если оно строго больше чем, то оно строго возрастает.
    • Функция уменьшения — это функция, при которой для каждого [латекса] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющего [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ latex]. Если строго меньше, то строго убывает.
    Ключевые термины
    • убывающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой уменьшается (или остается постоянным) по мере увеличения переменной.
    • постоянная функция : функция, значение которой одинаково для всех элементов ее домена.
    • возрастающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой увеличивается (или остается постоянным) при увеличении переменной.

    Графическое поведение функций

    В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом.Мы говорим, что функция — это , увеличивающаяся на в интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в пределах этого интервала. Точно так же функция — это , уменьшающая на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений в течение этого интервала.

    • Возрастающая функция — это функция, при которой для каждого [latex] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2} ) \ geq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если оно строго больше, чем [latex] (f (x_2)> f (x_1)) [/ latex], то оно строго возрастает.
    • Понижающая функция — это функция, при которой для каждого [латекса] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющего [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если он строго меньше [latex] (f (x_2)

    В терминах линейной функции [латекс] f (x) = mx + b [/ latex], если [latex] m [/ latex] положительное значение, функция увеличивается, если [latex] m [/ latex] отрицательное значение, оно уменьшается, и если [latex] m [/ latex] равно нулю, функция является постоянной функцией.3−12x [/ latex] увеличивается по оси [latex] x [/ latex] от отрицательной бесконечности до [latex] -2 [/ latex], а также от [latex] 2 [/ latex] до положительной бесконечности. Обозначение интервалов записывается как: [latex] (- ∞, −2) ∪ (2, ∞) [/ latex]. Функция убывает на интервале: [latex] (−2, 2) [/ latex].

    Постоянные функции

    В математике постоянная функция ion — это функция, значения которой не меняются, независимо от ввода в функцию. Функция является постоянной функцией, если [latex] f (x) = c [/ latex] для всех значений [latex] x [/ latex] и некоторой константы [latex] c [/ latex].График постоянной функции [latex] y (x) = c [/ latex] представляет собой горизонтальную линию в плоскости, проходящую через точку [latex] (0, c). [/ Latex]

    Константа Функция: График [latex] f (x) = 4 [/ latex] иллюстрирует постоянную функцию.

    Определение функционального поведения

    Пример 1: Определите интервалы, в которых функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной.

    Посмотрите на график слева направо по оси [latex] x [/ latex]; первая часть кривой убывает от бесконечности до [latex] x [/ latex] -значения [latex] -1 [/ latex], а затем кривая увеличивается.Кривая увеличивается на интервале от [латекс] -1 [/ латекс] до [латекс] 1 [/ латекс], а затем снова уменьшается до бесконечности.

    График функции возрастания и убывания: Для функции, изображенной выше, кривая убывает в интервалах: [latex] (- \ infty, -1) \ cup (1, \ infty) [/ latex] и увеличивается в интервале [латекс] (-1,1) [/ латекс].

    Относительные минимумы и максимумы

    Относительные минимумы и максимумы — это точки наименьшего и наибольшего значений в их окрестностях соответственно.

    Цели обучения

    Определение локальных и глобальных максимумов и минимумов заданной функции

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Минимумы и максимумы вместе известны как экстремумы.
    • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку максимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
    • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку минимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
    • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) максимум r в [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латекс] a
    • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) минимум в [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [latex] a
    • Функции не обязательно имеют экстремумы. Например, любая строка [latex] f (x) = mx + b [/ latex], где [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex] — константы, не имеет экстремумов, будь то локальные или глобальный.
    Ключевые термины
    • максимум : Наибольшее значение набора.
    • экстремум : точка или значение, которое является максимумом или минимумом.
    • минимум : наименьшее значение набора.

    Минимумы и максимумы широко используются в задачах оптимизации и искусственного интеллекта, где, учитывая ряд ограничений на ресурсы, мы хотим наилучшим образом использовать наши ресурсы.Например, мы можем захотеть максимизировать нашу прибыль, учитывая предметы, которые мы можем производить, и наши доступные ресурсы. В области искусственного интеллекта мы можем захотеть выяснить, какой план действий наименее затратный для робота (т. Е. Кратчайший путь). В идеале вам нужно найти глобальные минимумы для планов. Однако, поскольку времени для определения правильного плана не существует, искусственный интеллект часто просто находит локальные минимумы.

    Определения минимумов и максимумов: относительные и глобальные

    В математике максимум и минимум функции (известные вместе как экстремумы ) — это наибольшее и наименьшее значение, которое функция принимает в точке либо в данной окрестности (локальный или относительный экстремум), либо в пределах области функции в ее целостность (глобальный или абсолютный экстремум).

    Примеры относительных и глобальных экстремумов : На этом графике представлены примеры всех четырех возможностей: относительного (локального) максимума и минимума, а также глобального максимума и минимума.

    В то время как некоторые функции увеличиваются (или уменьшаются) во всей своей области, многие другие нет. Значение входа, при котором функция изменяется от увеличения к уменьшению (по мере того, как мы идем слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется относительным максимумом. Если функция имеет более одного, мы говорим, что у нее есть локальные максимумы.Точно так же значение входа, при котором функция изменяется от уменьшения к увеличению по мере увеличения входной переменной, называется относительным минимумом. Форма множественного числа — локальные минимумы.

    Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как определено здесь, не обязательно является наивысшим максимумом или наименьшим минимумом во всей области определения функции.

    • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) maximum at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex ] С [латексом] a
    • Аналогично, [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) минимум at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латексом] a

    График минимума локального максимума: Для изображенной функции локальный максимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном 16, и он возникает, когда [latex] x = -2 [/ latex]. Локальный минимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном −16, и возникает, когда [latex] x = 2 [/ latex].

    Функция имеет глобальный (или абсолютный) максимум точки в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x ∗) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Точно так же функция имеет глобальный (или абсолютный) минимум точки в [latex] x [/ latex], если [latex] f (x ∗) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Глобальные экстремумы также являются относительными экстремумами.

    Функции не могут иметь экстремумов, таких как строка [latex] y = x [/ latex]. Эта линия увеличивается к бесконечности и убывает к отрицательной бесконечности и не имеет относительных экстремумов.

    Разделение относительного и глобального максимума и минимума

    Пример 1: Найдите все максимумы и минимумы на графике ниже:

    График относительных максимумов и минимумов: Эта кривая показывает относительный минимум при [латексе] (- 1, -2) [/ латекс] и относительный максимум при [латексе] (1,2) [/ латексе].

    График достигает локального максимума в [latex] (1,2) [/ latex], потому что это самая высокая точка в открытом интервале около [latex] x = 1 [/ latex]. Локальный максимум — это координата y при [latex] x = 1 [/ latex], которая равна [latex] 2 [/ latex].

    График достигает локального минимума в [latex] (- 1, -2) [/ latex], потому что это самая низкая точка в открытом интервале около [latex] x = -1 [/ latex]. Локальный минимум — это координата y [латекс] x = -1 [/ латекс], которая равна [латекс] -2 [/ латекс].

    Пример 2:

    Найдите все глобальные максимумы и минимумы на графике ниже:

    Глобальный график максимальных и минимальных значений: Для функции, изображенной выше, абсолютный максимум происходит дважды при [latex] y = 16 [/ latex], а абсолютный минимум — при [latex] (3, -10) [/ latex] .

    График достигает абсолютного максимума в двух местах, [latex] x = -2 [/ latex] и [latex] x = 2 [/ latex], потому что в этих местах график достигает своей наивысшей точки в домене. функции. Абсолютный максимум — координата y , которая равна [латекс] 16 [/ латекс].

    На графике достигается абсолютный минимум при [latex] x = 3 [/ latex], потому что это самая низкая точка в области графика функции. Абсолютный минимум — координата y , которая равна [латекс] -10 [/ латекс].

    Кусочные функции

    Кусочная функция определяется несколькими подфункциями, каждая из которых применяется к отдельным интервалам входа

    Цели обучения

    Практика построения графиков кусочных функций и определение их областей и диапазонов

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной нотации, где тело функции представляет собой массив функций и связанных поддоменов.
    • Абсолютное значение, [латекс] \ left | x \ right | [/ latex] — очень распространенная кусочная функция. Для действительного числа его значение равно [latex] -x [/ latex], когда [latex] x <0 [/ latex], и его значение равно [latex] x [/ latex], когда [latex] x \ geq0 [/ latex ].
    • Кусочные функции могут иметь горизонтальные или вертикальные пробелы (или и то, и другое) в своих функциях. Горизонтальный зазор означает, что функция не определена для этих входов.
    • Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не включена в интервал, т.е.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена.
    Ключевые термины
    • поддомен : домен, который является частью более крупного домена.
    • абсолютное значение : Для действительного числа — его числовое значение без учета знака; формально [latex] -1 [/ latex] умноженное на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
    • кусочная функция : функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода для разных частей домена.

    В математике кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей домена. Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной записи, где тело функции представляет собой массив функций и связанных интервалов. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы».

    Построение графиков кусочных функций

    Пример 1: Рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения:

    [латекс] \ displaystyle \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

    Для всех значений [latex] x [/ latex] меньше нуля, используется первая функция [latex] (- x) [/ latex], которая отменяет знак входного значения, делая выходные значения положительными. Допустим [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f (x) = | x | [/ latex], некоторые примеры упорядоченных пар [latex] (x, | x |) [/ latex ]:

    [латекс] \ displaystyle (-2,2) \\ (-1,1) \\ (-0,5,0,5) [/ латекс]

    Для всех значений [latex] x [/ latex], больших или равных нулю, используется вторая функция [latex] (x) [/ latex], делая выходные значения равными входным значениям.Вот некоторые примеры заказанных пар:

    [латекс] \ Displaystyle (2,2) \ (1,1) \\ (0,5,0,5) [/ латекс]

    После нахождения и построения некоторых упорядоченных пар для всех частей («частей») функции результатом является V-образная кривая функции абсолютного значения, представленной ниже.

    Кусочная функция: абсолютное значение: Кусочная функция, [латекс] \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right. [/ latex], является графиком функция абсолютного значения.2 [/ латекс]:

    [латекс] \ displaystyle f (-2) = 4 \\ f (-1) = 1 \\ f (0) = 0 \ f (1) = 1 [/ latex]

    Эти точки удовлетворяют первой части функции и образуют следующие упорядоченные пары:

    [латекс] \ displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) [/ латекс]

    Для средней части (части), [latex] f (x) = 3 [/ latex] (постоянная функция) для области [latex] 1

    [латекс] \ Displaystyle (1.5,3) \\ (1.8, 3) \\ (2,3) [/ латекс]

    Для последней части (части) [latex] f (x) = x [/ latex] для домена [latex] x> 2 [/ latex] несколько упорядоченных пар:

    [латекс] \ displaystyle (2.2, & if \ x \ leq 1 \\ 3, & if \ 1 2 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex] состоит из трех частей ( куски). В зависимости от стоимости домена каждый кусок отличается.

    Обратите внимание на открытые и темные кружки на графике. Это связано с конкретными доменами для каждой части функции. Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не входит в интервал, т.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена (равно).

    Область определения функции начинается с отрицательной бесконечности и продолжается через каждую часть без пропусков до положительной бесконечности. Поскольку в [latex] x = 1 [/ latex] есть закрытая И открытая точка, функция там кусочно непрерывна. Когда [latex] x = 2 [/ latex], функция также кусочно-непрерывная. Следовательно, область определения этой функции — это набор всех действительных чисел, [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

    Диапазон начинается с самого низкого значения [latex] y [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex] и продолжается до положительной бесконечности.2 [/ latex] включает эти значения. Следовательно, диапазон кусочной функции — это также набор всех действительных чисел, больших или равных [latex] 0 [/ latex], или всех неотрицательных значений: [latex] y \ geq 0 [/ latex].

    Индивидуальные функции

    Функция взаимно однозначного соответствия, также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области на один и тот же элемент ее кодомена.

    Цели обучения

    Используйте свойства взаимно-однозначных функций, чтобы определить, является ли данная функция взаимно-однозначной

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Функция «один к одному» имеет уникальный выход для каждого уникального входа.2 [/ latex] для [latex] x \ geq 0 [/ latex].
    • Чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной, выполните тест горизонтальной линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более чем в одной точке, функция не взаимно однозначна.
    • Если каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена, то функция называется взаимно однозначной.
    Ключевые термины
    • инъективная функция : функция, которая сохраняет различимость: она никогда не отображает отдельные элементы своего домена в один и тот же элемент его кодомена.
    Свойства однозначной функции

    Однозначная функция , также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент ее совместной области. Другими словами, каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена. Иногда инъективная функция от [latex] X [/ latex] до [latex] Y [/ latex] обозначается [latex] f: X \ mapsto Y [/ latex] с помощью стрелки с заостренным хвостом. {2} [/ latex] (без ограничений домена) взаимно однозначной?

    Один из способов проверить, является ли функция взаимно однозначной, — это построить график функции и выполнить тест горизонтальной линии.2 [/ latex] не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией. Если горизонтальная линия может проходить через две или более точек на графике функции, то функция не взаимно однозначна.

    Другой способ определить, является ли функция взаимно однозначной — составить таблицу значений и проверить, соответствует ли каждый элемент диапазона ровно одному элементу домена. Список упорядоченных пар для функции:

    [латекс] \ Displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) \\ (2,4) [/ латекс]

    Упорядоченные пары [латекс] (- 2,4) [/ latex] и [latex] (2,4) [/ latex] не проходят однозначное определение, потому что элемент [latex] 4 [/ латекс] диапазона соответствует [латексу] -2 [/ латексу] и [латексу] 2 [/ латексу].Каждый уникальный вход должен иметь уникальный выход, поэтому функция не может быть взаимно однозначной. Также обратите внимание, что эти две упорядоченные пары образуют горизонтальную линию; что также означает, что функция не является взаимно однозначной, как было сказано ранее.

    Пример 2: Функция [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex] один к одному?

    Это функция абсолютного значения, которая представлена ​​на графике ниже. Обратите внимание, что он не проходит тест горизонтальной линии. Поскольку каждый уникальный вход не имеет уникального выхода, эта функция не может быть взаимно однозначной.

    График абсолютных значений: График функции, [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex], не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией.

    Симметрия функций

    Два объекта обладают симметрией, если один объект может быть получен из другого преобразованием.

    Цели обучения

    Определить, демонстрирует ли данное отношение некоторую форму симметрии

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Функция имеет симметрию, если ее можно каким-либо образом преобразовать без изменения функции.
    • Функция может быть симметричной относительно точки, если ее можно повернуть на фиксированную величину вокруг этой точки, не изменяя ее.
    • Функция может быть симметричной относительно линии, если ее можно отразить над этой линией, не изменяя ее.
    Ключевые термины
    • симметрия : математическое свойство, при котором объект может подвергаться преобразованию при сохранении своих свойств.

    Симметрия

    В математике объект, такой как форма или функция, обладает симметрией, если он может быть преобразован каким-либо образом, сохраняющим свойства математического объекта.В геометрии геометрическая форма или объект являются симметричными, если их можно разделить на две или более идентичных части, которые расположены организованным образом. S означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не Не меняю общую форму.

    Для функций функция демонстрирует симметрию, если каждая точка функции может быть изменена в соответствии с математическим правилом без изменения общей функции. Определение симметрии может включать построение графика функции или ее алгебраическое вычисление.

    Типы симметричных функций

    Функции и отношения могут быть симметричными относительно точки, линии или оси. Они также могут иметь симметрию после отражения.

    Чтобы определить, имеет ли отношение симметрию, постройте график отношения или функции и посмотрите, является ли исходная кривая отражением самой себя над точкой, линией или осью. На изображении ниже показаны примеры отражения функции по оси [latex] x [/ latex] (вертикальное отражение) и по оси [latex] y [/ latex] (горизонтальное отражение).

    Отражение : функция может быть отражена по оси [латекс] x [/ латекс] или [латекс] y [/ латекс]. Если функция выглядит так же после отражения, функция симметрична по этой оси.

    На следующем графике ниже квадратичные функции обладают симметрией относительно линии, называемой осью симметрии. Ось делит U-образную кривую на две части кривой, которые отражаются над осью симметрии. 2 + 4x + 3 [/ latex] показывает ось симметрии относительно линии [latex] x = -2 [/ latex].Кривая разделена на две эквивалентные [латексные] 2 [/ латексные] половины. Обратите внимание, что точки пересечения [latex] x [/ latex] являются отраженными точками над осью симметрии и находятся на одинаковом расстоянии от оси.

    Определение симметрии

    Пример: Симметрия функции ниже?

    Симметрия относительно точки: График выше имеет симметрию, поскольку помеченные точки отражаются над началом координат.

    Граф имеет симметрию относительно начала координат или точки [latex] (0,0) [/ latex].Указанные точки [латекс] (1,3) [/ латекс] и [латекс] (- 1, -3) [/ латекс] отражаются поперек начала координат.

    Четные и нечетные функции

    Функции, которые имеют аддитивную инверсию, могут быть классифицированы как нечетные или четные в зависимости от их свойств симметрии.

    Цели обучения

    Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Четность функции не обязательно показывает, является ли функция нечетной или четной.
    • Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений выполняется следующее соотношение: [latex] f (x) = f (-x) [/ latex].
    • Четная функция симметрична относительно оси [latex] y [/ latex]: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот тоже есть на графике.
    • Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых выполняется следующее соотношение для всех значений: [latex] -f (x) = f (-x) [/ latex].
    • Нечетная функция симметрична относительно начала координат: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, -y) [/ latex] или наоборот наоборот, тоже есть на графике. Другими словами, поворот графика [latex] на 180 [/ latex] градусов вокруг исходной точки приводит к тому же неизменному графику.
    Ключевые термины
    • четность : Набор со свойством того, что все его элементы принадлежат одному из двух непересекающихся подмножеств, особенно набор целых чисел, разделенных на подмножества четных и нечетных элементов.
    • добавка обратная : Противоположная добавка.

    Четные и нечетные определения

    Функции могут быть классифицированы как «нечетные» или «четные» в зависимости от их состава. Эти метки коррелируют со свойствами симметрии функции.

    Термины «нечетный» и «четный» могут применяться только к ограниченному набору функций. Чтобы функция была классифицирована как одна или другая, она должна иметь аддитивную обратную функцию. Следовательно, он должен иметь номер, который при добавлении к нему равен [latex] 0 [/ latex].3 \ right | [/ latex] имеет показатель степени, который является нечетным целым числом, [latex] 3 [/ latex], но также является четной функцией. Как мы можем проверить, четная или нечетная функция? Давайте посмотрим на их характеристики.

    Четные функции

    Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

    [латекс] \ Displaystyle f (x) = f (-x) [/ латекс]

    Чтобы проверить, является ли функция четной, любое выбранное значение [latex] x [/ latex] должно давать такое же выходное значение при замене в функцию как [latex] -x [/ latex].4 + 2x [/ latex], изображенный выше, не является даже потому, что график не является симметричным относительно оси [latex] y [/ latex]. Например, точка [latex] (- 1, -1) [/ latex] не отражается на точке [latex] (1, -1) [/ latex].

    Мы можем подтвердить это графически: функции, удовлетворяющие требованию четности, симметричны относительно оси [latex] y [/ latex]. Следовательно, для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот также находится на графике.

    Нечетные функции

    Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

    [латекс] \ displaystyle -f (x) = f (-x) [/ latex]

    Это отношение также может быть выражено как:

    [латекс] \ displaystyle f (x) + f (-x) = 0 [/ латекс]

    Чтобы проверить, является ли функция нечетной, отрицание функции (обязательно отрицание всех членов функции) должно давать тот же результат, что и замена значения [latex] -x [/ latex]. 3-9x [/ latex] нечетная, поскольку график симметричен относительно начала координат.Также можно проверить, что любая точка симметрична относительно начала координат: например, [latex] (- 1,8) [/ latex] дает [latex] (1, -8) [/ latex]? Да, эти две точки симметричны относительно начала координат.

    Характеристики кусочных функций — Math 1 EOCT REVIEW

    Кусочная функция — это функция, определяемая двумя или более выражениями, где каждое выражение связано с уникальным интервалом домена функции.

    Область функции — это набор всех возможных реальных входных значений, обычно представленных как x.

    Диапазон функции — это набор всех возможных реальных выходных значений, обычно представленных как y .

    Пример 1:

    Какова область определения функции, изображенной ниже?

    Решение:

    Данная функция является кусочной функцией, а область действия кусочной функции — это набор всех возможных значений размером x .

    Видно, что на графике есть изломы, известные как разрывы, при x = -3 и x = 1.Эти разрывы не влияют на область определения этой функции, потому что кусочная функция все еще определена на каждом разрыве.

    График начинается с x = -7. Закрашенный кружок x = -7 указывает на то, что значение находится в области определения функции.

    График заканчивается при x = 3. Имеется белый кружок при x = 3, что указывает на то, что значение не находится в области определения функции.

    Следовательно, область действия функции — { x | -7 ≤ x <3} .

    x — пересекает или нули функции — это точки, в которых график функции касается или пересекает ось x . Когда график функции касается оси x или пересекает ее, f (x) = 0.

    Перехватывает y функции — это точки, в которых график функции касается или пересекает ось y . Когда график функции касается или пересекает ось y , x = 0.

    Пример 2:

    Найдите точки пересечения x и y следующей кусочной функции.

    Решение:

    Чтобы найти точку пересечения x или ноль кусочной функции, пусть f (x) = 0.

    Чтобы решить уравнение f (x) = 0, установите каждый выражение в кусочной функции равно нулю. Затем решите для x . После решения для x убедитесь, что решение (я) каждого уравнения существует в соответствующей области.

    Установите первое выражение равным нулю и решите.

    Поскольку пять не могут равняться 0, в первом разделе домена нет перехватов x .

    Установите второе выражение равным нулю и решите.

    Несмотря на то, что уравнение может быть решено, x = 8 не находится во втором разделе домена; следовательно, во втором разделе домена нет перехватов x .

    Установите третье выражение равным нулю и решите.

    В этом случае уравнение дало два решения: x = 0 и x = 3. Хотя x = 0 является решением уравнения, его нет в третьей части области. Хотя решение x = 3 находится в третьей части домена. Итак, имеется перехват x при x = 3.

    Чтобы найти перехват y кусочной функции, пусть x = 0.

    Определите выражение, которое соответствует сечению. домена, содержащего x = 0.В этом случае x = 0 находится во второй части области определения функции.

    Вычислите выражение, которое соответствует второму разделу домена при x = 0.

    Итак, имеется пересечение y при y = 4.

    Перехват x заданная кусочная функция — (3, 0) , а интервал y (0, 4) .

    Разрывы функции — это точки, в которых график функции имеет разрывы или разрывы.

    Пример 3:

    Найдите любые разрывы графика следующей кусочной функции.

    Решение:

    Разрывы возникают в кусочных функциях в общих конечных точках разделов домена.

    Чтобы определить, является ли общая конечная точка точкой разрыва в кусочной функции, определите два раздела домена, которые содержат конечную точку. Затем оцените каждое связанное выражение в конечной точке.

    • Если оба связанных выражения, вычисленные в конечной точке, равны, то кусочная функция не имеет разрыва в этой точке.
    • Если оба связанных выражения, вычисленные в конечной точке, не равны, то кусочная функция действительно имеет разрыв в этой точке.

    В данной кусочной функции есть две общие конечные точки разделов домена: x = -2 и x = 2. Таким образом, разрывы могут возникать на графике кусочной функции на одном или обоих, этих точек.

    Конечная точка x = -2 связана с первым и вторым разделами домена.

    Первый раздел домена связан с выражением 5.

    Второй раздел домена связан с выражением x + 4. Вычислите выражение как x = -2.

    Поскольку 5 = 5, разрыва при x = -2 нет.

    Конечная точка x = 2 связана со вторым и третьим разделами домена.

    Второй раздел домена связан с выражением x + 4.Вычислите выражение как x = 2.

    Третий раздел домена связан с выражением 3 x x 2 . Вычислите выражение при x = 2.

    Поскольку 3 ≠ 2, имеется разрыв при x = 2 .

    Кусочная функция представлена ​​на графике ниже, показывающем разрыв при x = 2.

    График функции: , возрастание , если значение y увеличивается с увеличением значения x .

    График функции: убывает, , если значение y уменьшается, когда значение x увеличивается.

    График функции — это константа , если значение y не изменяется при увеличении значения x .

    Пример 4:

    Определите интервал, на котором график следующей функции является постоянным.

    Решение:

    При определении интервалов, в которых функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной, всегда считывайте график функции от отрицательного направления x (слева) до положительного направления x ( верно).

    График функции будет постоянным, если значение y не изменится при увеличении значения x .

    Наблюдая за графиком слева направо, видно, что единственный интервал, на котором значения y не изменяются при увеличении значений x , составляет -4 ≤ x <1.

    Следовательно , интервал, на котором график функции постоянен, равен -4 ≤ x <1 .

    Средняя скорость изменения — это отношение изменения f (x) к изменению x .

    Пример 5:

    Какова средняя скорость изменения между x = -2 и x = 4 в следующей кусочной функции?

    Решение:

    Среднюю скорость изменения между двумя точками, x 1 и x 2 , кусочной функции можно найти, разделив разницу значений функции в этих точках на разницу между двумя точками.

    Принято, что x 1 = -2 и x 2 = 4.

    Поскольку функция является кусочной функцией, определите, какой раздел домена содержит x 1 и x 2 , и определите выражение, связанное с частью домена. Затем оцените связанное выражение в каждой точке.

    Точка x 1 = -2 находится во втором разделе домена и связана с выражением x + 6. Вычислите связанное выражение в x 1 .

    Точка x 2 = 4 находится в третьем разделе домена и связана с выражением 3 x . Вычислите связанное выражение как x 2 .

    Рассчитайте среднюю скорость изменения.

    Средняя скорость изменения кусочной функции между x = -2 и x = 4.

    Функция абсолютного значения может быть представлена ​​кусочной функцией с двумя разделами области.Одна часть области кусочной функции будет представлять часть функции абсолютного значения с отрицательным наклоном, а другая часть области кусочной функции будет представлять часть функции абсолютного значения с положительным наклоном.

    Так же, как функция абсолютного значения имеет характеристики, такие как вершина, ось симметрии и максимум / минимум, кусочная функция также может обладать этими характеристиками.

    Помните, что график кусочной функции, которая представляет функцию абсолютного значения, имеет V-образную форму.Этот V-образный график симметричен относительно линии, известной как ось симметрии, и может открываться вверх или вниз.

    • Если открывается график кусочной функции, которая представляет функцию абсолютного значения, то функция имеет минимальное значение в своей вершине.
    • Если график кусочной функции, которая представляет функцию абсолютного значения, открывается вниз, то функция имеет максимальное значение в своей вершине.
    Пример 6:

    Что такое кусочная функция, которая представляет следующую функцию?

    Решение:

    Чтобы записать функцию абсолютного значения как кусочную функцию, определите участок области, где функция абсолютного значения имеет положительный наклон, и участок области, где функция абсолютного значения имеет отрицательный наклон.

    Чтобы определить участок области, в котором функция абсолютного значения имеет положительный наклон, установите выражение в столбцах абсолютного значения больше или равное нулю и решите для x .

    Теперь определите выражение, которое может представлять функцию абсолютного значения, где x ≥ 5.

    Чтобы определить участок области, в котором функция абсолютного значения имеет отрицательный наклон, установите выражение в столбцах абсолютного значения меньше чем ноль, и решите для x .

    Теперь определите выражение, которое может представлять функцию абсолютного значения, где x <5.

    Следовательно, кусочная функция, которая может представлять данную функцию абсолютного значения, выглядит следующим образом.

    Пример 7:

    Определите вершину и ось симметрии следующей кусочной функции.

    Решение:

    Определите, нет ли в функции разрывов.

    Конечная точка, связанная с обоими разделами домена, имеет размер x = 4.

    Первый раздел домена связан с выражением — x + 6. Вычислите выражение как x = 4.

    Второй раздел домена связан с выражением x — 2. Вычислить выражение при x = 4.

    Поскольку 2 = 2, разрыва при x = 4 нет. Хотя, поскольку каждое выражение дало значение 2, при оценке в конечной точке домена значение , x = 2, известно как критическое значение кусочной функции.

    Проверьте уклон по обе стороны от критического значения. Если есть изменение знака наклона (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный) с той же константой, то конечной точкой области будет вершина.

    Наклон первого участка равен -1, а наклон второго участка равен 1.

    Поскольку существует изменение наклона с отрицательного на положительный и нет разрыва, вершина кусочной функции находится в точке x = 4.

    Итак, вершина кусочной функции равна (4, 2) .

    Ось симметрии — это вертикальная линия, проходящая через вершину.

    Итак, ось симметрии задается уравнением x = 4 .

    Пример 8:

    Определите минимум кусочной функции, приведенной в примере 7.

    Решение:

    Кусочная функция, приведенная в примере 7, является функцией абсолютного значения. Функция абсолютного значения имеет максимальное или минимальное значение в своей вершине.

    Вершина кусочной функции, приведенной в примере 7, находится в точке (4, 2), поэтому минимум функции находится в точке (4, 2) .

    Математические изображения | Непрерывные кусочно-линейные функции

    Непрерывные кусочно-линейные функции

    Ваш браузер не поддерживает видео тег.

    Мы уже изучили базовый пример кусочно определенных функций: ступенчатые функции.

    Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями. Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

    Теперь мы собираемся изучать кусочные функции, где части не обязательно постоянны, но линейны.Для начала рассмотрим только
    непрерывные кусочно-линейные функции. На каждой конечной точке субдоменов в пределах этого интервала нет разрывов.

    Непрерывные кусочно-линейные функции F и ступенчатые функции f тем или иным образом образуют пары.

    Типичное использование непрерывных кусочно-линейных функций — это когда мы связываем несколько точек на графике с помощью отрезков. Такое приближение к
    кривая известна как линейная интерполяция.

    Примером непрерывной кусочно-линейной функции является определение функции абсолютного значения.

    Теперь мы можем рассмотреть производную каждой части (в данном случае производная — это наклон прямой), и мы получим
    ступенчатая функция.

    Непрерывные кусочно-линейные функции «почти всюду гладкие». Есть только некоторые моменты, в которых функция не является гладкой.
    Это примеры кусочно дифференцируемых функций.

    Функция является кусочно дифференцируемой, если каждая часть дифференцируема во всей своей подобласти, даже если вся функция не может быть дифференцируемой.
    в точках между кусками.

    Мы помним это
    график линейной функции представляет собой прямую линию.

    Производная линейной функции является основным примером производной, это
    постоянная функция.

    Производная линейной функции — постоянная функция.

    Интеграл от непостоянной линейной функции является квадратичной функцией.

    Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

    Теперь мы собираемся изучить связь между непрерывной кусочно-линейной функцией F и ступенчатой ​​функцией f .
    строить с уклонами.

    Мы можем поиграть с апплетом и начать с функции F :

    Затем наклоны определяют ступенчатую функцию f (вы можете видеть эту функцию как скорость):

    Если вы рассматриваете область под этим шагом, функция f

    … вы получите непрерывную линейную кусочную функцию, которая является вертикальным переводом исходной кусочной функции.

    Этот процесс называется интеграцией. Функция, которую вы получаете, является одной интегральной функцией (вы можете видеть ее как расстояние, если f — это скорость).

    Изменяя начало интегрирования (синяя точка вправо и влево), вы можете перемещать интегральную функцию вверх и вниз.

    В следующем апплете мы начинаем с пошаговой функции f и ищем одну непрерывную линейную кусочную функцию F , которая имеет наклоны, равные
    начальная ступенчатая функция.Как известно, это процесс интеграции.

    Вы можете перетащить синюю точку вверх и вниз, чтобы перевести интегральную функцию: есть бесконечные интегральные функции.

    Ваш браузер не поддерживает видео тег.

    Если F (a) фиксировано, вы можете рассмотреть функцию F (x)

    Предположим, вас спрашивают о величине F (b) и что даны наклоны различных частей.

    Затем вы можете рассчитать значения F (c) , F (d) и F (b) , используя формулу угла наклона точек для линий.

    Если штук много, придется потрудиться, чтобы получить F (b) .

    F (x) — интегральная функция. Затем

    Это основная теорема исчисления.

    Вы можете вычислить площадь по частям, чтобы получить интеграл

    Или вы можете использовать среднее значение и помнить, что

    Теперь эта формула связывает фундаментальную теорему исчисления с формулой точечного наклона:

    Мы собираемся интегрировать непрерывную кусочно-линейную функцию.

    Ваш браузер не поддерживает видео тег.

    Интегральная функция F (x) состоит из нескольких связанных частей параболы.

    Вы можете видеть, что соединение этих частей параболы плавное.

    Эта функция F (x) не только непрерывна, но и дифференцируема. Вы можете видеть это, перетаскивая синюю точку и перемещая касательную.
    Он меняется плавно. Это общее свойство: когда f непрерывный, тогда F больше, чем непрерывный, он дифференцируемый.

    Если мы дифференцируем F , мы снова получим исходную функцию f .

    Среднее значение функции f (x) на интервале [a, b] определяется как

    В следующем апплете вы можете поиграть с этой концепцией.

    Ваш браузер не поддерживает видео тег.

    Поскольку эти функции непрерывны, они являются частными случаями теоремы о среднем значении для интегралов: если f (x) является
    непрерывная функция на интервале [a, b] , то есть число c в [a, b] такое, что

    ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

    Том М.Апостол, Исчисление, второе издание, John Willey and Sons, Inc.

    Майкл Спивак, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

    СЛЕДУЮЩИЙ

    Графики этих функций составлены из отсоединенных отрезков прямых. Бывают моменты, когда небольшое изменение x вызывает внезапный скачок значения функции.

    ПРЕДЫДУЩИЙ

    Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями. Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

    БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

    В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны отрезкам.

    Две точки определяют прямую линию. Как функцию мы называем это линейной функцией. Мы можем видеть наклон линии и то, как мы можем получить уравнение прямой через две точки. Мы также изучаем точки пересечения по оси x и оси y линейного уравнения.

    Степень с натуральными показателями — простые и важные функции.Их обратные функции — это степени с рациональными показателями (радикал или корень n-й степени)

    Многочлены степени 2 — это квадратичные функции. Их графики — параболы. Чтобы найти точки пересечения по оси x, мы должны решить квадратное уравнение. Вершина параболы — это максимум минимума функции.

    Многочлены степени 3 — это кубические функции. Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

    Мы можем рассматривать полиномиальную функцию, проходящую через серию точек плоскости.Это проблема интерполяции, которая здесь решается с помощью интерполяционного полинома Лагранжа.

    Производная линейной функции — постоянная функция.

    Производная квадратичной функции — это линейная функция, то есть прямая линия.

    Производная кубической функции — это квадратичная функция, парабола.

    Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек. Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

    Если производная от F (x) равна f (x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f (x) относительно x равен F (x). Мы также говорим, что F — первообразная или примитивная функция от f.

    Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

    Вычислить площадь под параболой сложнее, чем вычислить площадь под линейной функцией.Мы покажем, как аппроксимировать эту область с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

    Интеграл степенных функций был известен Кавальери от n = 1 до n = 9. Ферма смог решить эту задачу, используя геометрические прогрессии.

    Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интегрировании, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции от полиномиальных функций — это полиномиальные функции с одной степенью выше, чем исходная функция.

    Интегральное понятие ассоциируется с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью абсцисс между двумя вертикальными линиями.

    Монотонные функции на отрезке интегрируемы. В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы допускаем при приближении интеграла с помощью прямоугольников.

    Если мы рассматриваем нижний предел интегрирования a как фиксированный и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

    Фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

    Вторая основная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

    Архимед показывает нам в «Методе», как использовать закон рычага для определения площади параболического сегмента.

    Кусочно-линейная интерполяция — основы численных вычислений

    Кусочно-линейная интерполяция — это просто игра «соединяй точки».Предположим, что узлы указаны по порядку, так что \ (t_0

    .

    (107) \ [p (x) = y_k + \ frac {y_ {k + 1} -y_k} {t_ {k + 1} -t_k} (x-t_k), \ quad \ text {for} x \ in [t_k, t_ {k + 1}]. \]

    Должно быть ясно, что на каждом интервале \ ([t_k, t_ {k + 1}] \) \ (p (x) \) является линейной функцией, и вы можете легко проверить по формуле, что она проходит через оба \ ((t_k, y_k) \) и \ ((t_ {k + 1}, y_ {k + 1}) \).

    Функции головного убора

    Вместо того, чтобы основывать реализацию на (107), мы возвращаемся к идее, использованной в Интерполяции населения Китая, о выборе интерполянта из линейных комбинаций заранее выбранного конечного набора функций. В данном контексте мы используем

    (108) \ [\ begin {split} H_k (x) =
    \ begin {case}
    \ dfrac {x-t_ {k-1}} {t_k-t_ {k-1}}, & \ text {если $ x \ in [t_ {k-1}, t_k] $}, \\ [2.5ex ]
    \ dfrac {t_ {k + 1} -x} {t_ {k + 1} -t_ {k}}, & \ text {если
    $ x \ in [t_ {k}, t_ {k + 1}] $}, \\ [2.5ex]
    0, & \ text {иначе},
    \ end {case} \ qquad k = 0, \ ldots, n. \ end {split} \]

    Функции \ (H_0, \ ldots, H_n \) называются шляпными функциями. Они зависят от узлового вектора \ (\ mathbf {t} \), но эта зависимость обычно не указывается явно.

    Каждая функция шляпы глобально непрерывна и линейна внутри каждого интервала \ ([t_k, t_ {k + 1}] \). Следовательно, любая их линейная комбинация будет обладать одним и тем же свойством. Кроме того, любая такая функция может быть выражена как уникальная линейная комбинация шляпных функций, т.е.{n + 1} \), причем каждая функция представлена ​​своими коэффициентами \ (c_0, \ ldots, c_n \).

    Обратите внимание, что определения \ (H_0 \) для \ (x t_n \) не имеют отношения к делу — факт, используемый реализацией, данной в hatfun, путем введения двух фиктивные узлы, лежащие по обе стороны от интервала \ ([t_0, t_n] \). Этот трюк позволяет использовать одинаковую формулу для всех функций шляпы. В противном случае нам потребовалось бы предпринять специальные действия для двух крайних случаев \ (H_0 \) и \ (H_n \).

    Функция 45

    (Hatfun)

    Функция шляпы / кусочно-линейная базисная функция.

     1
     2
     3
     4
     5
     6
     7
     8
     9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    21 год
    22
    23
    24
    25
    26 год
    27
    28 
     "" "
    hatfun (х, т, к)
    
    Вычислить кусочно-линейную функцию "шляпы" в точке `x`, где` t` -
    вектор из n + 1 узлов интерполяции и `k` является целым числом от 0: n
    с указанием индекса узла, в котором функция шляпы равна единице."" "
    
    функция hatfun (x, t, k)
        n = длина (t) -1
        # Вернуть правильный узел по математическому индексу k, включая
        # фиктивный выбор.
        функциональный узел (k)
            если k <0
                2т [1] -т [2]
            иначе, если k> n
                2t [n + 1] -t [n]
            еще
                т [k + 1]
            конец
        конец
    
        h2 = (x-node (k-1)) / (node ​​(k) -node (k-1)) # восходящий наклон
        h3 = (node ​​(k + 1) -x) / (node ​​(k + 1) -node (k)) # наклон вниз
    
        H = мин (h2, h3)
        возврат max (0, H)
    конец
     

    Еще одна уловка в хатфуне — использовать наблюдение, что в каждом \ (x \), \ (H_k (x) \) является большим из двух вариантов: нулем или меньшим из двух линейных функций (тех, которые фигурируют в (108) ).Этот код не самый эффективный из возможных, но он более краток, чем определение того, в каком конкретном подынтервале находится каждый \ (x \).

    Условия мощности

    Для целей интерполяции наиболее заметным свойством функций шляпы является то, что они являются кардинальными функциями для кусочно-линейной интерполяции; то есть они удовлетворяют условиям мощности

    (110) \ [\ begin {split} H_k (t_i) =
    \ begin {case}
    1, & \ text {если $ i = k $,} \\
    0, & \ text {в противном случае.}
    \ end {case} \ end {split} \]

    Привлекательность кардинального базиса в том, что он делает выражение интерполянта тривиальным. Все кандидатные кусочно-линейные (PL) функции могут быть выражены в виде линейной комбинации, такой как (109) для некоторых коэффициентов \ (c_0, \ ldots, c_n \). Но из-за условий мощности и необходимости для \ (p (x) \) интерполировать значения данных в \ (\ mathbf {y} \), \ texthighlight {cardinalexpress} {выражение интерполянта с использованием функций шляпы тривиально: }

    (111) \ [p (x) = \ sum_ {k = 0} ^ n y_k H_k (x).\]

    Получающаяся в результате простота алгоритмов отражена в plinterp. Обратите внимание, что вывод plinterp сам по себе является функцией, предназначенной для вызова с одним аргументом, представляющим значения \ (x \). Наша математическая точка зрения состоит в том, что результатом процесса интерполяции является функция, и наши коды отражают это.

    Последней привлекательной характеристикой базиса функции шляпы является то, что он зависит только от расположения узлов, тогда как коэффициенты разложения в (109) зависят только от значений данных.Это четкое разделение было бы полезно, если бы мы хотели построить множество интерполянтов на одном и том же наборе узлов, и оно также имеет более глубокое теоретическое применение.

    Функция 46

    (плинтерп)

    Кусочно-линейная интерполяция.

     "" "
    плинтерп (т, у)
    
    Создайте кусочно-линейную интерполирующую функцию для значений данных в
    `y` задано в узлах в` t`.
    "" "
    функция plinterp (t, y)
    n = длина (t) -1
    return x -> sum (y [k + 1] * hatfun (x, t, k) for k in 0: n)
    конец
     

    Условие и конвергенция

    Границы числа условий из \ thmref {interp-Condition} очень просты для кусочно-линейной интерполяции, потому что интерполянт данных \ (\ mathbf {e} _k \) — это просто функция шляпы \ (H_k \).Следовательно, \ (1 \ le \ kappa \ le n + 1 \). Однако есть еще более простой результат.

    Теорема 47.

    (Обусловленность интерполяции PL)

    Абсолютное число обусловленности кусочно-линейной интерполяции в норме бесконечности равно единице. Более конкретно, если \ (\ mathcal {I} \) — оператор кусочно-линейной интерполяции, то

    (112) \ [\ | \ mathcal {I} (\ mathbf {y} + \ mathbf {z}) — \ mathcal {I} (\ mathbf {y}) \ | _ \ infty = \ | \ mathbf {z} \ | _ \ infty. \]

    (Норма в левой части относится к функциям, а норма в правой части — к векторам.n H_k (x) = \ | \ mathbf {z} \ | _ \ infty. \]

    Вас просят подтвердить последний шаг, описанный выше, в упражнении. Мы заключаем, что \ (\ | p \ | _ \ infty \ le \ | \ mathbf {z} \ | _ \ infty \), так что \ (\ | p \ | _ \ infty = \ | \ mathbf {z} \ | _ \ infty \), что завершает доказательство.

    Теперь предположим, что \ (f \) — «хорошая» функция на интервале \ ([a, b] \), содержащем все узлы. Мы можем сыграть в игру выборки значений \ (f \), чтобы получить данные, то есть \ (y_k = f (t_k) \) для всех \ (k \), а затем выполнить кусочно-линейную интерполяцию данных, чтобы получить другую функцию. , интерполянт \ (p \).2) \) как \ (h \ to 0 \). Старший показатель степени 2 описывается тем, что кусочно-линейная интерполяция имеет второй порядок точности. Например, если мы удвоим количество равноотстоящих узлов, используемых для выборки функции, кусочно-линейный интерполянт станет примерно в четыре раза точнее.

    Упражнения

    1. ⌨ Для каждой из заданных функций и интервалов выполните кусочно-линейную интерполяцию с использованием plinterp для равномерных узлов с \ (n = 10,20,40,80,160 \). Для каждого \ (n \) оцените ошибку

      \ [E (n) = \ | f-p \ | _ \ infty = \ max_x | f (x) — p (x) | \]

      , оценивая функцию и интерполянт в 1600 точках интервала.х Н (t) \, dt \). Найдите кусочную формулу для \ (Q (x) \). (Подсказка: выполните интегрирование отдельно для случаев \ (- 1 \ le x \ le 0 \), \ (0 \ le x \ le 1 \) и т. Д.)

      (c) Сделайте набросок \ (Q (x) \) для \ (- 2 \ le x \ le 2 \).

      (d) Покажите, что \ (Q \) непрерывно. Являются ли \ (Q ‘\) и \ (Q’ ‘\)?

    2. ✍ До появления электронных калькуляторов функция \ (\ ln (x) \) часто вычислялась с использованием кусочно-линейной интерполяции с таблицей значений. Если бы вы использовали такую ​​таблицу в узлах \ (1.b f (z) \, dz = (b-a) f (s) \ qquad \ text {и} \ qquad f ‘(t) = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a}. \]

      Для следующего предположим \ (x \ in (t_k, t_ {k + 1}) \).

      (a) Покажите, что для некоторых \ (s \ in (t_k, t_ {k + 1}) \),

      \ [f (x) = y_k + (x-t_k) f ‘(s). \]

      (b) Покажите, что для некоторых других значений \ (u \) и \ (v \) в \ ((t_k, t_ {k + 1}) \),

      \ [f ‘(s) — \ frac {y_ {k + 1} -y_k} {t_ {k + 1} -t_k} = (s-u) f’ ‘(v). \]

      (c) Используйте (107), чтобы завершить доказательство теоремы.

    (PDF) Геометрические и аналитические характеристические свойства кусочно аффинных отображений

    Доказательство. Поскольку отображения φi: λ → λei, i = 1, …, n, из Ринто Яра линейны, достаточная часть

    следствия 3.2 следует непосредственно из теоремы 3.2 и следствия 3.1.

    Для доказательства необходимой части выберем в Y ∗ базис {e ∗

    1, …, e ∗

    n}, который двойственен базису

    {e1, …, en} Y Это означает, что he ∗

    i, eii = 1 для всех i = 1 ,…, n и he ∗

    i, eji = 0 для i, j =

    1, …, n; i6 = j. Поскольку e ∗

    i, i = 1, …, n, являются линейными функциями на Y, из теоремы 3.2 следует, что

    функции pi (x) = e ∗

    i (P (x)), i = 1, …, n, кусочно однообразны.

    4. Геометрические характеристические свойства кусочно-аффинного отображения —

    ping

    Непосредственно из определения кусочно-аффинных отображений мы можем видеть, что граф кусочно-аффинного отображения

    представляет собой объединение конечного числа выпуклых полиэдральных подмножеств, каждое из которых которое является частью

    графа аффинного отображения, и, следовательно, график кусочно-аффинного отображения представляет собой

    полиэдральное (но, в общем случае, невыпуклое) множество.Несмотря на очевидные доказательства этого наблюдения, мы

    предоставляем ему доказательства.

    Теорема 4.1. Отображение P: X → Y кусочно аффинно тогда и только тогда, когда его граф graph P: =

    {(x, y) ∈X × Y | P (x) = y} является многогранным множеством в X × Y.

    Доказательство. Необходимость. Пусть P: X → Y — кусочно-аффинное отображение, и пусть σ = {M1, …, Mk} и

    A = {A1, …, Ak} — полиэдральное разбиение пространства X и набор аффинных функций

    , связанное с P. Тогда выполняется равенство

    graphP =

    k

    [

    i = 1  (Mi × Y) \ graphAi,

    , и мы видим, что график P является многогранным множеством в X × Y.

    Достаточность. Сначала рассмотрим случай, когда Y = R. Пусть graphP =

    k

    [

    i = 1

    Gi, где Σ =

    {G1, …, Gk} — семейство выпуклых многогранных множеств в Х × Р. Тогда семейство σ: = {M1, …, Mk}

    с Mi: = prXGi (prXGistands для проекции Gion X) является полиэдральным покрытием

    X. Ввиду предложения 3.1 поднаборка σ ′ = {Mi∈σ | intMi6 = ∅} — твердое полиэдральное покрытие

    X. Пусть Mibe — подмножество σ′, а Gibe — подмножество Σ, соответствующее Mi.Предположим, что

    , что dim X = m. Поскольку intMi6 =, мы можем выбрать из набора Mia {x0, …, xm} ⊂ Mi из любого

    независимых точек [16]. Несложно проверить, что набор {(x0, P (x0)), …, (xm, P (xm))}

    точек из Gi также является полностью независимым и, следовательно, dim a ff Gi≥m . Но размерность

    аффинной оболочки Gican не равна m + 1, поскольку это противоречит однозначности P.

    Следовательно, dim a ff Gi = mand, следовательно, аффинная оболочка a ff Gi является гиперплоскостью в X × Р.Тогда существует

    — это a ∗

    i∈X ∗, и αi, βi∈R такие, что a ff Gi = {(x, ξ) ∈X × R | a ∗

    i (x) + αiξ = βi}. что

    коэффициент αi не равен нулю, иначе мы имели включение Mi⊂ {x∈X | a ∗

    i (x) = βi}

    , что противоречит условию intMi6 = ∅. Следовательно, гиперплоскость a ff Gi является графиком a ffi ne

    функции hi: x → (a ∗

    i (x) −βi) / αi. Таким образом, твердое полиэдральное покрытие σ ′ = {Mi∈σ | intMi6 = ∅} поверхности

    пространство X связано с набором аффинных функций hi: X → R, таких что P (x) = hi (x)

    для всех x∈Mi.Это доказывает, что функция P: X → R кусочно аффинна.

    Предположим теперь, что dim Y = n> 1, и выберем в Ya векторный базис {e1, …, en}. Пусть

    pi: X → R, i = 1, …, n, будут координатными функциями отображение P соответствует этому ba-

    sis. Тогда graphpi = ri (graphP), i = 1, …, n, где отображение ri: X × Y → X × R определено

    равенством ri (x, y) = (x, hy, e ∗

    ii). Здесь {e ∗

    1, …, e ∗

    n} обозначают базис в Y ∗, который двойственен

    базису {e1 ,…, en}. Поскольку отображения ri, i = 1, …, n, являются линейными, а graphPis polyhe-

    dral, graphpiis также многогранным. Следовательно, как было доказано выше, координатные функции

    6

    Кусочные функции

    Функция может быть в частях

    Мы можем создавать функции, которые ведут себя по-разному в зависимости от значения input (x).

    Функция из 3 частей

    Пример:

    • , когда x меньше 2, дает x 2 ,
    • , когда x равно 2, дает 6
    • , когда x больше 2 и меньше или равно 6, получается строка 10-x

    Это выглядит так:

    (сплошная точка означает «включая»,

    открытая точка означает «не включая»)

    А вот как мы это пишем:

    Домен (все значения, которые могут входить в функцию) — это все действительные числа до 6 включительно, которые мы можем записать так:

    Dom (f) = (-∞, 6] (с использованием обозначения интервалов)

    Dom (f) = {x | x ≤ 6} (с использованием нотации Set Builder)

    А вот несколько примеров значений:

    X Y
    −4 16
    -2 4
    0 0
    1 1
    2 6
    3 7

    Пример: вот еще одна кусочная функция:

    который выглядит так:

    Что такое h (−1)?

    x ≤ 1, поэтому мы используем h (x) = 2, поэтому h (−1) = 2

    Что такое h (1)?

    x ≤ 1, поэтому мы используем h (x) = 2, поэтому h (1) = 2

    Что такое h (4)?

    x> 1, поэтому мы используем h (x) = x, поэтому h (4) = 4

    Кусочные функции позволяют создавать функции, которые делают все, что мы хотим!

    Пример: Гонорар врача зависит от продолжительности времени.

    • До 6 минут стоит 50 долларов
    • От 6 до 15 минут стоит 80 долларов
    • Более 15 минут стоит 80 долларов плюс 5 долларов за минуту свыше 15 минут

    Что мы можем написать так:

    Вы приходите на 12 минут, сколько стоит? $ 80

    Вы приходите на 20 минут, сколько стоит? 80 $ + 5 $ (20-15) = 105 9000 $ 5

    Функция абсолютного значения

    Функция абсолютного значения — известная кусочная функция.

    состоит из двух частей:

    • ниже нуля: -x
    • , начиная с 0: x

    f (x) = | x |

    Функция этажа

    Функция Floor — это особая кусочная функция. В нем бесконечное количество штук:

    Этажная функция

    Преобразование канонической кусочно-линейной модели в гладко-кусочное представление | SpringerPlus

    Приложение A

    Пусть уравнение.{\ alpha x}} \ right) $$

    (29)

    На рис. 13 графики \ (h (x, \ alpha) \) и \ (h (- x, \ alpha) \) для низких и высоких значений параметра сглаживания \ (\ alpha \) (т.е. α = 1 и α = 100) показаны пунктирными и сплошными линиями соответственно. Их линейные приближения также начерчены точечным шрифтом.

    Рис. 13

    Графики (29) для \ (\ alpha = 1 \) ( пунктирная ), \ (\ alpha = 100 \) ( сплошная ) и их линейных приближений ( точка ). a для \ (x \) отрицательного, b для \ (x \) положительного

    Из приведенных выше графиков предлагаются следующие линейные приближения.

    $$ h (- x, \ alpha) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} c} {- mx} & {\ begin {array} {* {20} c} {\ text {if}} & {x \ le 0} \\ \ end {array}} \\ 0 & {\ begin {array} {* {20} c} {\ text {if}} & {x> 0} \ \ \ end {array}} \\ \ end {array}} \ right. \ quad h (x, \ alpha) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} c} {+ mx} & {\ begin {array} {* {20} c} {\ text {если }} & {x \ ge 0} \\ \ end {array}} \\ 0 & {\ begin {array} {* {20} c} {\ text {if}} & {x <0} \\ \ конец {массив}.} \\ \ end {array}} \ right. $$

    (30)

    , где уклон м неизвестен.

    В соответствии с (30) можно сделать вывод, что если \ (h \ left ({x, \ alpha} \ right) \ cong mx \), то \ (\ frac {{h \ left ({x, \ alpha} \ right)}} {mx} \ cong 1 \). То же самое происходит с \ (h \ left ({- x, \ alpha} \ right) \) (то есть \ (h \ left ({- x, \ alpha} \ right) \ cong — mx \) и \ (\ frac {{h \ left ({- x, \ alpha} \ right)}} {- mx} \ cong 1 \)), мы рассматриваем в этом доказательстве только \ (h \ left ({x, \ alpha } \ right) \), поскольку окончательный результат останется действительным и для \ (h \ left ({- x, \ alpha} \ right) \).{(X)}} \ right)}} {(X)} \ cong 1 $$

    (33)

    Из этого результата уравнение. (32) можно упростить как

    $$ \ frac {h (x, \ alpha)} {mx} \ cong \ frac {1} {m \ ln (10)} \ cong 1 $$

    (34)

    , где \ (m \) равно

    $$ m \ cong \ frac {1} {\ ln (10)} $$

    (35)

    , значение которого отклоняется от единичного наклона, представленного в функции абсолютного значения отсчета (\ (\ left | x \ right | \)).{{- \ alpha (x — \ beta_ {i})}}} \ right)} $$

    (40)

    Предположим, что нам не нравится, что аппроксимация \ (y {} _ {s} (x) \) слишком сильно отличается от исходной функции \ (y_ {cpwl} (x) \) относительно любой конкретной точки останова \ (\ бета_ {i} \).

    То есть

    $$ \ осталось | {y_ {cpwl} (\ beta_ {i}) — y_ {s} (\ beta_ {i})} \ right | <\ delta $$

    (41)

    После подстановки \ (x = \ beta_ {i} \) в (39) и (40) оценка (41) дает

    $$ \ left | {- \ frac {{2c_ {i} \ ln (2)}} {{\ alpha_ {i}}}} \ right | <\ delta \ quad {\ text {или}} \; \ frac {{2c_ {i} \ ln (2)}} {{\ alpha_ {i}}} <\ delta $$

    (42)

    , где значение параметра сглаживания \ (\ alpha_ {i} \), обеспечивающее выполнение условия (41), равно

    $$ \ alpha_ {i}> \ frac {{2c_ {i} \ ln ( 2)}} {\ delta} $$

    (43)

    , где \ (\ alpha_ {i} \) является положительным числом, и в более общем плане для конкретного отклонения \ (\ delta \) получается

    $$ \ alpha_ {i} = \ frac {{2c_ { i} \ ln (2)}} {\ delta} \ quad {\ text {for}} \; i = 1 \ ldots \ sigma $$

    (44)

    Приложение C

    Во-первых, рассмотрим n -мерную форму (6), задаваемую формулой

    $$ \ left | {\ mathbf {x}} \ right | \ cong \ left ({\ frac {2} {\ alpha}} \ right) \ ln \ left ({e ^ {{\ frac {\ alpha} {2} \ left ({\ left \ langle {{\ user2 {\ Lambda}} ^ {\ left (i \ right)}, {\ mathbf {x}}} \ right \ rangle — \ beta_ {i}} \ right)}} + e ^ {{\ frac {- \ альфа} {2} \ left ({\ left \ langle {{\ user2 {\ Lambda}} ^ {\ left (i \ right)}, {\ mathbf {x}}} \ right \ rangle — \ beta_ {i }} \ right)}}} \ right) $$

    (45)

    тогда, после замены формы каждого члена абсолютного значения в (2) его гладкой аппроксимацией (45), получается

    $$ y \ left ({\ mathbf {x}} \ right) = a + {\ mathbf {{\ rm B} x}} + \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ sigma} {\ left ({\ frac {{2c_ {i}}} {\ alpha}} \ right) \ ln \ left ({e ^ {{\ frac {\ alpha} {2} \ left ({\ left \ langle {{\ user2 {\ Lambda}}} ^ {(i)}, {\ mathbf {x}}} \ right \ rangle — \ beta_ {i}} \ right)}} + e ^ {{\ frac {- \ alpha} {2} \ left ({\ left \ langle {{\ user2 {\ Lambda}}} ^ {(i )}, {\ mathbf {x}}} \ right \ rangle — \ beta_ {i}} \ right)}}} \ right)} $$

    (46)

    для \ (i = 1, \ ldots, \ sigma \)

    с \ ({\ mathbf {x}} = \ left [{x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ right] \), выраженным как матрица \ ((1 \ times n) \), и оба, \ ({\ mathbf {\ rm B}} = \ left [{b_ {1}, \ ldots, b_ {n}} \ right] ^ {T} \) и \ ({\ user2 {\ Lambda} } ^ {(i)} = \ left [{\ lambda_ {1} ^ {(i)}, \ ldots, \ lambda_ {n} ^ {(i)}} \ right] ^ {T} \) выражается как \ ((n \ times 1) \) матрицы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.