Степени с одинаковым основанием: § Свойства степени. Свойства степени с натуральным показателем

Содержание

Сложение и вычитание степеней ⬅️

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n.

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и в онлайн калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.

 

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Записывайся на онлайн курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Сложение и вычитание степеней

Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. Примеры:

  • 23+ 34= 8 + 81= 89
  • 63— 33= 216 — 27 = 189

И еще несколько правил:

  • при наличии скобок — начинать вычисления нужно внутри них
  • только потом возведение производим в степень
  • затем выполняем остальные действия: сначала умножение и деление
  • после — сложение и вычитание

Сложение степеней с разными показателями

В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

Сложение степеней с разными основаниями

В целом, это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

  • 34+ 54=81 + 625 = 706
  • 14+ 72= 1+ 49 = 50

Как складывать числа с одинаковыми степенями

Точно также, как и в предыдущем примере. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.

В уравнениях это будет происходить немного иначе. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

2, 3, 5 — коэффициенты

a2  — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Вычитание степеней с одинаковым основанием

Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.

Вычитание степеней с разными основаниями

Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим вычитание.

  • 54— 44= 625 — 256 = 369
  • 74— 32= 2401 — 9 = 2392

Вычитание чисел с одинаковыми степенями

Все точно также, как и со сложением. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.

И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

6, 3, 2 — коэффициенты

a2  — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься ей с удовольствием уже завтра.

Свойства степеней с одинаковыми основаниями

Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это

  • Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
  • Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
  • Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

  • am × an = am+n
  • am ÷ an = am–n
  • (am)n = amn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

52 × 53 = 55 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 55.

39 ÷ 35 = 39–5 = 34. Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу am ÷ an = am–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:
(22)4 = 22×4 = 28

Запишем в развернутом виде:
(22)4 = (2 × 2)4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

23 = 2 · 2 · 2.

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22 (2 · 2 · 2)  ·  (2 · 2)  = 
3 множ. 2 множ.

 =  2 · 2 · 2 · 2 · 2  = 25.
5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

ax · ay = ax+y.

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n3n5.

Решение:

n3n5 = n3 + 5 = n8.

Пример 2. Упростите:

xy2z3x4y5z6.

Решение: Чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx4)(y2y5)(z3z6).

Теперь выполним умножение степеней:

(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9.

Следовательно:

xy2z3x4y5z6 = x5y7z9.

Пример 3. Выполните умножение:

а) nxn5;

б) xxn;

в) amam.

Решение:

а) nxn5 = nx + 5;

б) xxn = xn + 1;

в) amam = am + m = a2m.

Пример 4. Упростите выражение:

а) —a2 · (-a)2 · a;

б) -(-a)2 · (-a) · a.

Решение:

а) —a2 · (-a)2 · a = —a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = —a5;

б) -(-a)2 · (-a) · a = —a2 · (-a) · a = a3 · a = a4.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n12 : n5,

где  n  — это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

Представим  n12  в виде произведения  n7 · n5.  Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель  n5:

n12  =  n7 · n5  =  n7.
n5 n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n7 · n5 = n7+5 = n12.

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

ax : ay = ax-y.

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а)  a5 ;      б)  m18  .
a m10

Решение:

а)  a5  =  a4 · a  = a4;
a a

б)  m18  =  m8 · m10  = m8.
m10 m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x7 : x2;

б) n10 : n5;

в) a30 : a10.

Решение:

а) x7 : x2 = x7 — 2 = x5;

б) n10 : n5 = n10 — 5 = n5;

в) a30 : a10 = a30 — 10 = a20.

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а)  an ;      б)  mx ;      в)  b5 · b8  .
a2 m b3

Решение:

в)  b5 · b8  =  b2 · b3 · b8  = b2 · b8 = b10.
b3 b3

Свойства степеней при сложении. Основные свойства степеней. Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. 3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

Формулы степеней
используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c
является n
-ной степенью числа a
когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m
·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например
. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n
раз и в тоже время возвести в n
-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n
раз и в тоже время извлечь корень n
-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m
:a n =a m — n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
n
.

Например
. a
4:a 7 = a 4 — 7 = a -3
.

Чтобы формула a m
:a n =a m — n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем.
Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например
. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.
Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
-ой степени из m
-ой степени этого числа а
.

Операции со степенями и корнями.
Степень с отрицательным

,


нулевым и дробным


показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со
степенями.


1. При умножении степеней с
одинаковым основанием их показатели складываются
:


a m


·

a n = a m + n .

2. При делении степеней с
одинаковым основанием их показатели



вычитаются

.

3. Степень
произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению
степеней этих сомножителей.

(
abc


)
n

=

a
n

·
b

n


·
c

n

4. Степень отношения (дроби) равна
отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):



(
a

/
b


)
n

=
a

n

/
b

n

.

5. При возведении степени в
степень их показатели перемножаются:



(a

m


)

n

=
a

m
n

.

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих
направлениях слева направо и наоборот.

П р и
м е р. (2

·


3

·


5 / 15)

²

=


2

²

·

3

²

·


5

²

/ 15

²

= 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями.


Во всех нижеприведенных формулах символ

означает арифметический корень
(подкоренное выражение
положительно).

1.

Корень из произведения
нескольких сомножителей равен произведению

корней из этих сомножителей:

2.

Корень
из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3.
При
возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень


подкоренное число:

4.
Если
увеличить степень корня в
m

раз и одновременно возвести в

m
-ую
степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5.

Если уменьшить степень корня
в
m

раз и одновременно извлечь корень

m
-ой
степени из подкоренного числа, то значение корня не
изменится:


Расширение понятия
степени.


До
сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;
но
действия
со
степенями и корнями
могут приводить также к отрицательным
, нулевым
и
дробным
показателям. Все эти показатели степеней требуют
дополнительного определения.

Степень с отрицательным
показателем.


Степень
некоторого числа с

отрицательным (целым) показателем
определяется как единица, делённая

на степень того же числа с
показателем, равным абсолютной велечине

отрицательного показателя:

Т

еперь
формула
a
m

:

a

n

=
a

m

n


может быть использована не
только при
m

, большем, чем

n


, но и при
m


, меньшем, чем
n


.

П р и м е р

.
a

4
: a

7
= a

4

7 = a



3
.

Если
мы хотим, чтобы формула
a

m

:

a
n
=
a
m


n
была
справедлива при
m

=
n

,
нам необходимо
определение нулевой степени.

Степень
с нулевым показателем.



Степень любого ненулевого числа с
нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1,
(
5) 0 = 1, (
3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.


Для того, чтобы возвести действительное число

а

в степень

m

/

n

, нужно извлечь корень

n
–ой
степени из

m
-ой
степени этого числа

а

:



О выражениях, не имеющих смысла.



Есть несколько таких выражений.
любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
, то согласно
определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
. Но это равенство имеет место при любом числе x
, что и требовалось доказать.

Случай 3.


0
0

любое число.

Действительно,


Р е ш е н и е.
Рассмотрим три основных случая:

1)

x


= 0
это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при
x


> 0 получаем:
x

/
x


= 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,


что


x


– любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем
случае
x


> 0 , ответом является
x


> 0 ;

3) при
x


x

/
x

= 1, т.
e
.
–1 = 1, следовательно,

В этом
случае нет решения.

Таким образом,

x


> 0.

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

www.algebraclass.ru

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных
и различные степени
одинаковых переменных
, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание
степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:

2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:

x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:

4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат
, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой
степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби. 3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями
    . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2

    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3

    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n)= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5

    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным
    ,

    нулевым и дробным
    показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m
    · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели
    вычитаются
    .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b
    ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² =
    2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями.

    Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень
    (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень
    подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени.

    До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным
    , нулевым
    и дробным
    показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем.

    Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m
    : a n
    = a m — n
    может быть использована не только при m
    , большем, чем n
    , но и при m
    , меньшем, чем n
    .

    П р и м е р. a
    4: a
    7 = a
    4 — 7 = a
    — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m
    : a n
    = a m
    n
    была справедлива при m = n
    , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем.

    Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, (
    5) 0 = 1, (
    3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем.

    Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла.

    Есть несколько таких выражений.

    где a
    ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x
    – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a
    = 0· x
    , т.e. a
    = 0, что противоречит условию: a
    ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
    , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
    . Но это равенство имеет место при любом числе x
    , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x
    = 0
    это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x
    > 0 получаем: x / x
    = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x
    – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x
    > 0 , ответом является x
    > 0 ;

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1.
    Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним
    , то есть

    Доказательство.
    По определению степени

    2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2.
    Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить
    прежним, то есть при
    т > п

    (a

    =/= 0)

    Доказательство.
    Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a

    =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п

    , то число т — п

    будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п

    . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3

    2 .

    Теорема 3.
    Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним
    , то есть

    Доказательство.
    Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х

    из уравнений:

    1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x

    ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x

    ;

    2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x

    ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x

    .

    519. (У с т н о. ) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150 .

    Умножение с разными степенями. Как умножать степени, умножение степеней с разными показателями. Применение степеней и их свойств

    Имеют одинаковые степеней, а показатели степеней неодинаковы, 2² * 2³ , то результатом будет основание степени с тем же одинаковым основанием членов произведения степеней, возведённого в показатель степени, равный сумме показателей всех перемножаемых степеней.

    2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

    Если члены произведения степеней имеют разные основания степеней, а показатели степеней одинаковы, например, 2³ * 5³ , то результатом будет произведение оснований этих степеней, возведённое в показатель степени, равный этому одинаковому показателю степени.

    2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

    Если перемножаемые степени равны между собой, например, 5³ * 5³ , то результатом будет степень с основанием, равного этим одинаковым основаниям степеней, возведённое в показатель степени, равный показателю степеней, умноженного на количество этих одинаковых степеней.

    5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

    Или другой пример с таким же результатом:

    5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

    Источники:

    • Что такое степень с натуральным показателем
    • произведение степеней

    Математические действия со степенями можно выполнять только в том случае, когда основания показателей степени одинаковы, и когда между ними стоят знаки умножения или деления. Основание показателя степени – это число, которое возводится в степень.

    Инструкция

    Если числа делятся друг на друга (см 1), то у (в данном примере – это число 3) появляется степень, которая образуется из вычитания показателей степени. Причем, это действие проводится впрямую: из первого показателя вычитается второй. Пример 1. Введем : (а)в, где в скобках – а — основание, за скобками – в – показатель степени. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36.Если в ответе получается число в отрицательной степени, то такое число преобразуется в обыкновенную дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе основание с полученным при разности показателем степени, только в положительном виде (со знаком плюс). Пример 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Деление степеней может быть записано в другом виде, через знак дроби, а не как указано в этом шаге через знак «:». От этого принцип решения не меняется, все производится точно также, только запись будет вестись со знаком горизонтальной (или косой) дроби, вместо двоеточия.Пример 3. (2) 4 /(2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

    При умножении одинаковых оснований, имеющих степени, производится сложение степеней. Пример 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 =(5)5 = 3125.Если показатели степеней имеют разные знаки, то их сложение проводится согласно математическим законам.Пример 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

    Если основания показателей степени различаются, то скорое всего их можно привести к одному и тому же виду, путем математического преобразования. Пример 6. Пусть надо найти значение выражения: (4)2: (2)3. Зная, что число четыре можно представить как два в квадрате, решается данный пример так:(4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Далее при возведении в степень числа. Уже имеющего степень, показатели степеней умножаются друг на друга: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2.

    Полезный совет

    Помните, если данное основание кажется непохожим на второе основание, надо искать математический выход. Просто так разные числа не даются. Разве, что в учебнике наборщиком сделана опечатка.

    Степенной формат записи числа — это сокращенная форма записи операции умножения основания на само себя. С числом, представленным в такой форме, можно осуществлять те же операции, что и с любыми другими числами, в том числе и возводить их в степень. Например, можно возвести в произвольную степень квадрат числа и получение результата на современном уровне развития техники не составит какой-либо трудности.

    Вам понадобится

    • Доступ в интернет или калькулятор Windows.

    Инструкция

    Для возведения квадрата в степень используйте общее правило возведения в степень , уже имеющего степенной показатель. При такой операции показатели перемножаются, а основание остается прежним. Если основание обозначить как x, а исходный и дополнительный показатели — как a и b, записать это правило в общем виде можно так: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

    Формулы степеней
    используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

    Число c
    является n
    -ной степенью числа a
    когда:

    Операции со степенями.

    1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m
    ·a n = a m + n .

    2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

    (a/b) n = a n /b n .

    5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

    (a m) n = a m n .

    Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

    Например
    . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
    .

    Операции с корнями.

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

    3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в n
    раз и в тоже время возвести в n
    -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

    5. Если уменьшить степень корня в n
    раз и в тоже время извлечь корень n
    -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

    Степень с отрицательным показателем.
    Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

    Формулу a m
    :a n =a m — n
    можно использовать не только при m
    > n
    , но и при m
    n
    .

    Например
    . a
    4:a 7 = a 4 — 7 = a -3
    .

    Чтобы формула a m
    :a n =a m — n
    стала справедливой при m=n
    , нужно присутствие нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем.
    Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

    Например
    . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем.
    Чтобы возвести действительное число а
    в степень m/n
    , необходимо извлечь корень n
    -ой степени из m
    -ой степени этого числа а
    .

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
    .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
    могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных
    и различные степени
    одинаковых переменных
    , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание
    степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:

    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:

    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
    степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:

    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
    .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат
    , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой
    степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 . 3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
    с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1

    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями
      . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2

      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3

    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Как умножать степени

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства
    . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

    Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

    Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

    1.

    Основные определения

    Основные определения:

    n
    — показатель степени,

    n
    -ая степень числа.

    2. Формулировка теоремы 1

    Теорема 1.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    и k
    справедливо равенство:

    По-иному: если а
    – любое число; n
    и k
    натуральные числа, то:

    Отсюда правило 1:

    3. Разъясняющие задачи

    Вывод:
    частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а
    и любых натуральных n
    и k.

    4. Доказательство теоремы 1

    Дано число а
    – любое; числа n
    и k –
    натуральные. Доказать:

    Доказательство основано на определении степени.

    5. Решение примеров с помощью теоремы 1

    Пример 1:
    Представьте в виде степени.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

    ж)

    6. Обобщение теоремы 1

    Здесь использовано обобщение:

    7.

    Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

    8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

    Пример 2:
    Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

    а) (по таблице)

    б)

    Пример 3:
    Запишите в виде степени с основанием 2.

    а)

    Пример 4:
    Определите знак числа:

    , а –
    отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

    Пример 5:
    Замените (·) степенью числа с основанием r:

    Имеем , то есть .

    9. Подведение итогов

    1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

    1. Школьный помощник (Источник).

    1. Представьте в виде степени:

    а) б) в) г) д)

    3. Запишите в виде степени с основанием 2:

    4. Определите знак числа:

    а)

    5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

    а) r 4 · (·) = r 15 ; б) (·) · r 5 = r 6

    Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

    Напоминание основных определений и теорем

    Здесь a
    — основание степени,

    n
    -ая степень числа.

    Теорема 1.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    иk
    справедливо равенство:

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    Теорема 2.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    и k,
    таких, что n
    > k
    справедливо равенство:

    При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    Теорема 3.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    иk
    справедливо равенство:

    Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями
    , на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями
    .

    Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

    Рассмотрим следующие примеры:

    Распишем выражения по определению степени.

    Вывод:
    из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а
    и b
    и любого натурального n.

    Формулировка и доказательство теоремы 4

    Для любых чисел а
    и b
    и любого натурального n
    справедливо равенство:

    Доказательство
    теоремы 4.

    По определению степени:

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    Формулировка и доказательство теоремы 5

    Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

    Для любого числа а
    и b ()
    и любого натурального n
    справедливо равенство:

    Доказательство
    теоремы 5.

    Распишем и по определению степени:

    Формулировка теорем словами

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

    Решение типичных задач с помощью теоремы 4

    Пример 1:
    Представить в виде произведения степеней.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

    Для решения следующего примера вспомним формулы:

    Обобщение теоремы 4

    Обобщение теоремы 4:

    Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

    Продолжение решения типичных задач

    Пример 2:
    Запишите в виде степени произведения.

    Пример 3:
    Запишите в виде степени с показателем 2.

    Примеры на вычисление

    Пример 4:
    Вычислить самым рациональным способом.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

    3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

    2. Школьный помощник (Источник).

    1. Представить в виде произведения степеней:

    а) ; б) ; в) ; г) ;

    2. Запишите в виде степени произведения:

    3. Запишите в виде степени с показателем 2:

    4. Вычислить самым рациональным способом.

    Урок математики по теме «Умножение и деление степеней»

    Разделы:
    Математика

    Педагогическая цель
    :

  • ученик научится
    различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства в случае с одинаковыми основаниями;
  • ученик получит возможность
    уметь выполнять преобразования степеней с разными основаниями и уметь выполнять преобразования в комбинированных заданиях.
  • Задачи
    :

  • организовать работу учащихся посредством повторения ранее изученного материала;
  • обеспечить уровень воспроизведения посредством выполнения упражнений различного типа;
  • организовать проверку по самооценке учащихся посредством тестирования.
  • Деятельностные единицы учения:
    определение степени с натуральным показателем; компоненты степени; определение частного; сочетательный закон умножения.

    I. Организация демонстрации овладение учащимися имеющимися знаниями. (шаг 1)

    а) Актуализация знаний:

    2) Сформулировать определение степени с натуральным показателем.

    a n =a a a a … а (n раз)

    b k =b b b b a… b (k раз) Обосновать ответ.

    II. Организация самооценивания обучаемого степенью владения актуальным опытом.
    (шаг 2)

    Тест для самопроверки: (индивидуальная работа в двух вариантах.)

    А1) Представьте произведение 7 7 7 7 x x x в виде степени:

    А2) Представить в виде произведения степень (-3) 3 х 2

    A3) Вычислите: -2 3 2 + 4 5 3

    Количество заданий в тесте я подбираю в соответствии с подготовкой уровня класса.

    К тесту даю ключ для самопроверки. Критерии: зачёт – не зачёт.

    III. Учебно-практическая задача (шаг 3) + шаг 4. (сформулируют свойства сами ученики)

  • вычислите: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  • Упростите: а 2 а 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?
  • В ходе решения задачи 1) и 2) учащиеся предлагают решение, а я, как учитель, организую класс на нахождение способа для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    Учитель: придумать способ для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    На кластере появляется запись:

    Формулируется тема урока. Умножение степеней.

    Учитель: придумайте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

    Рассуждения: каким действием проверяется деление? а 5: а 3 = ? что а 2 а 3 = а 5

    Возвращаюсь к схеме – кластер и дополняем запись – ..при делении вычитаем и дописываем тему урока. …и деление степеней.

    IV. Сообщение учащимся пределов познания (как минимум и как максимум).

    Учитель: задачей минимума на сегодняшний урок является научиться применять свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а максимума: применять умножение и деление совместно.

    На доске записываем: а m а n = а m+n ; а m: а n = а m-n

    V. Организация изучения нового материала. (шаг 5)

    а) По учебнику: №403 (а, в, д) задания с разными формулировками

    №404 (а, д, е) самостоятельная работа, затем организую взаимопроверку, даю ключи.

    б) При каком значении m справедливо равенство? а 16 а m = а 32 ; х h х 14 = х 28 ; х 8 (*) = х 14

    Задание: придумать аналогичные примеры для деления.

    в) № 417(а), №418 (а) Ловушки для учеников
    : х 3 х n = х 3n ; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = а 2 .

    VI. Обобщение изученного, проведение диагностической работы (что побуждает учеников, а не учителя изучать данную тему)(шаг 6)

    Диагностическая работа.

    Тест
    (ключи поместить на обратной стороне теста).

    Варианты заданий: представьте в виде степени частное х 15: х 3 ; представьте в виде степени произведение (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при каком m справедливо равенство а 16 а m = а 32 ; найдите значение выражения h 0: h 2 при h =0,2; вычислите значение выражения (5 2 5 0) : 5 2 .

    Итог урока. Рефлексия.
    Делю класс на две группы.

    Найдите аргументы I группа: в пользу знания свойств степени, а II группа – аргументы, которые будут говорить о том, что можно обойтись без свойств. Все ответы выслушиваем, делаем выводы. На последующих уроках можно предложить статистические данные и назвать рубрику «В голове не укладывается!»

  • Средний человек съедает 32 10 2 кг огурцов в течение жизни.
  • Оса способна совершить беспосадочный перелёт на 3,2 10 2 км.
  • Когда стекло трескается, трещина распространяется со скоростью около 5 10 3 км/ч.
  • Лягушка съедает за свою жизнь более 3 тонн комаров. Используя степень, запишите в кг.
  • Наиболее плодовитой считается океанская рыба – луна (Моlа mola), которая откладывает за один нерест до 300000000 икринок диаметром около 1,3 мм. Запишите это число, используя степень.
  • VII. Домашнее задание.

    Историческая справка. Какие числа называют числами Ферма.

    П.19. №403, №408, №417

    Используемая литература:

  • Учебник «Алгебра-7», авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
  • Дидактический материал для 7 класса, Л.В. Кузнецова, Л.И. Звавич, С.Б. Суворова.
  • Энциклопедия по математике.
  • Журнал «Квант».
  • Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени
    . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

    Навигация по странице.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел
    , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем
    :

  • основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;
  • свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
  • свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  • свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
  • возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
  • сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными
      при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений
      часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени
      : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями
      : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения
      : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени
      : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень
      : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

      Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 (a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями
      :

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m:a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

    1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
    3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
    4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
    5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
    7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
    8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

      По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

      Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

      По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

      Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

      Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m 1 m 2 , а при a>1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

      Свойства степеней с иррациональными показателями

      Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями
      :

      1. a p ·a q =a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

    • Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения
      Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
      Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Открыт конкурс на позицию «ПРОДАВЕЦ — КОНСУЛЬТАНТ»:
      Обязанности: продажа мобильных телефонов и аксессуаров для мобильной связи сервисное обслуживание абонентов Билайн, Теле2, МТС подключение тарифных планов и услуг Билайн и Теле2, МТС консультирование […]
    • Параллелепипед формулы
      Параллелепипед – это многогранник с 6 гранями, каждая из которых является параллелограммом.
      Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, каждая грань которого является прямоугольником.
      Любой параллелепипед характеризуется 3 […]
    • Принять закон о Родовых поместьях
      Принять федеральный закон о безвозмездном выделении каждому желающему гражданину Российской Федерации или семье граждан участка земли для обустройства на нем Родового Поместья на следующих условиях: 1. Участок выделяется для […]
    • Общество защиты прав потребителя астана
      Для того, что бы получить pin-код для доступа к данному документу на нашем сайте, отправьте sms-сообщение с текстом zan на номер
      Абоненты GSM-операторов (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) отправив SMS на номер, […]
    • ИНСПЕКЦИЯ ГОСТЕХНАДЗОРА БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ
      Квитанция об оплате госпошлины(Скачать-12,2 kb)
      Заявления на регистрацию для физ.лиц(Скачать-12 kb)
      Заявления на регистрацию для юр.лиц(Скачать-11,4 kb)
      1. При регистрации новой машины:
      1.заявление 2.паспорт […]
    • ПРАВОПИСАНИЕ Н И НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ
      С.Г.ЗЕЛИНСКАЯ
      ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
      Теоретическая зарядка
      1. Когда в прилагательных пишется нн? 2. Назовите исключения из этих правил. 3. Как отличить отглагольное прилагательное с суффиксом -н- от причастия с […]
    • Пивоев В.М. Философия и методология науки: учебное пособие для магистров и аспирантов
      Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0
      PDF 3 mb
      Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистров и аспирантов социального и […]
  • Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
    .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .

    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
    могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных
    и различные степени
    одинаковых переменных
    , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание
    степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:

    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:

    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.

    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
    степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:

    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .

    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
    .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат
    , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой
    степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .

    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .

    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби. 5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.

    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.

    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.

    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.

    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.

    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    9. Разделите (h 3 — 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

    Деление степеней с одинаковыми основаниями

    Пусть надо a9 ÷ a3; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a9 и дан один множитель = a3. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a9) подробнее

    a · a · a · a · a · a · a · a · a

    и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a3 или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым

    a · a · a · a · a · a,

    что = a6. Итак,

    a9 ÷ a3 = a6.

    Пусть надо b47 ÷ b18. Данное произведение есть b47 или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b18, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b29. Итак, b47 ÷ b18 = b29.

    Также

    x15 ÷ x5 = x10
    (a + b)7 ÷ (a + b) = (a + b)6
    323 ÷ 320 = 33 = 27 и т. д.

    Вообще

    am ÷ an = am-n (если m > n)

    или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).

    Пусть теперь надо

    20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2.

    Здесь дано произведение (20a5b4c2d) и один множитель 5a3b3c2; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a2. В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c2 (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c2. Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,

    20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2 = 4a2bd.

    Еще примеры:

    В предыдущем встречались деления, вроде c2 ÷ c2; a ÷ a; b3 ÷ b3; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.

    Свойства степени

    Наверное, ни для кого не является секретом, что большинство математических утверждений, прежде, чем установится, проходят несколько этапов. Давайте подробно рассмотрим, как же.

    Первый этап – это, конечно же, когда человек замечает некоторую одну и ту же закономерность в ряде случаев.

    Второй этап – формулировка закономерности. Говоря проще, человек пытается предположить, что данная закономерность действует не только в одном конкретном случае, а и во всех подобных.

    Третий этап – человек пытается доказать то, что закономерность, которую он подметил, а потом сформулировал, верна, то есть он пытается ее доказать. Но что же значит доказать, что утверждение верно? Конечно же, это значит объяснить верность предположений, но при этом опираться необходимо обязательно только лишь на уже проверенные факты, теоремы и утверждения.

    Теперь давайте рассмотрим подробнее, непосредственно, свойства степеней.

    Итак, первое свойство: aH * aK = aH+K

    Проверим данное свойство на примере: 22 * 23 = 22+3. Как видим, утверждение правильное. Мы можем взять еще несколько подобных примеров, и все время будет получать только лишь верный результат.

    Второе свойство (подобное к первому, за исключением нескольких различий в знаках). В данном случае мы будем иметь дело с делением: aH : aK = aH-K

    Проверяем данное свойство также на примере: : 22 : 23 = 22-3. 2

    Свойства степени
    a m
     
    * a n
     
    = a m + n
     
    a m
     
    : a n
     
    = a m — n
     
    (a * b) m
     
    = a m
     
    * b m
     
    ( a
    b
    ) -m
     
     
    = ( b
    a
    ) m
     
     
    a 1
    n
     
     
    = n
     
    a m
    n
     
     
    = n
     

    Степень многочлена — определение и примеры

    Степень полинома — это очень простое понятие, которое на самом деле нетрудно понять.

    Определение : Степень — это член с наибольшим показателем.

    Напомним, что для y 2 y — основание, а 2 — показатель степени.

    Еще несколько примеров, показывающих, как найти степень многочлена.

    Пример № 1 :

    4x 2 + 6x + 5

    Этот многочлен состоит из трех членов.Первый — 4x 2 , второй — 6x, а третий — 5.

    Показатель первого члена равен 2.

    Показатель второго члена равен 1, потому что 6x = 6x 1 .

    Показатель третьего члена равен 0, потому что 5 = 5x 0 .

    Что? 5x 0 = 5?

    Что ж, все, что имеет показатель степени 0, всегда равно 1.

    Таким образом, 5x 0 = 5 × x 0 = 5 × 1 = 5

    Поскольку старший показатель степени равен 2, степень 4x 2 + 6x + 5 равно 2.

    Пример # 2:

    2y 6 + 1y 5 + -3y 4 + 7y 3 + 9y 2 + y + 6

    Этот многочлен состоит из семи членов. Первый — 2y 2 , второй — 1y 5 , третий — -3y 4 , четвертый — 7y 3 ,
    пятый — 9y 2 , шестой — y, седьмой — 6.

    Показатель первого члена равен 6.

    Показатель второго члена равен 5.

    Показатель третьего члена равен 4.

    Показатель четвертого члена равен 3.

    Показатель пятого члена равен 2.

    Показатель шестого члена равен 1, потому что y = y 1 .

    Показатель последнего члена равен 0, потому что 6 = 6x 0 .

    Поскольку старший показатель равен 6, степень 2y 6 + 1y 5 + -3y 4 + 7y 3 + 9y 2 + y + 6 равна 6.

    Напишите полином для следующих описаний

    1)

    Бином от z со степенью 10

    2)

    Трехчлен от c со степенью 4

    3)

    Бином по y со степенью 1

    4)

    Одночлен в b со степенью 3

    Ответы:

    1)

    2z 10 — 4

    2)

    c 4 + c 2 8

    3)

    y + 4

    4)

    b 3

    Чтобы найти степень многочлена или монома с более чем одной переменной для одного и того же члена, просто сложите показатели для каждой переменной, чтобы получить степень.

    Найдите степень x 3 y 2 + x + 1.

    Степень этого многочлена — это степень одночлена x 3 y 2

    Поскольку степень x 3 y 2 равно 3 + 2 = 5, степень x 3 y 2 + x + 1 равна 5

    Степень полиномиальной викторины.

    1. Стандартное отклонение

      28 мая, 21 04:49

      Что такое стандартное отклонение? Кристально ясное объяснение того, что такое стандартное отклонение.Научитесь его вычислять и поймите, как была получена формула.

      Подробнее

    Вычитание экспонентов — объяснение и примеры

    Показатели — это степени или индексы. Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n. Общая форма экспоненциального выражения: b n .

    Как вычесть экспоненты?

    Операция вычитания экспонент довольно проста, если вы хорошо разбираетесь в показателях.В этой статье вы узнаете о правилах и о том, как их применять, когда вам нужно вычесть с помощью экспонент.

    Но прежде чем мы сможем приступить к вычитанию с показателями, давайте напомним себе некоторые основные термины, относящиеся к показателям.

    Что такое показатель степени?

    Ну, показатель степени или степень обозначает, сколько раз число многократно умножается само на себя. Например, когда мы встречаем число, записанное как 5 3 , оно просто означает, что 5 умножается само на себя три раза.Другими словами, 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

    Тот же формат записи экспонент применяется к переменным. Переменные представлены буквами и символами. Например, когда x умножается на себя 3 раза, мы записываем это как; х 3 . Переменные обычно сопровождаются коэффициентами. Таким образом, коэффициент — это целое число, умноженное на переменную.

    Например, в 2x 3 коэффициент — это число 2, а x — переменная.Когда перед переменной нет числа, коэффициент всегда равен 1. Это также верно, когда число не имеет степени. Коэффициент 1 обычно пренебрежимо мал и поэтому не может быть записан с переменной.

    Вычитание экспонент не требует никаких правил. Если число возведено в степень. Вы просто вычисляете результат, а затем выполняете обычное вычитание. Если показатели и основания одинаковы, вы можете вычесть их, как и любые другие подобные термины в алгебре.Например, 3 y — 2x y = x y .

    Вычитание показателей с одинаковым основанием

    Давайте поясним эту концепцию с помощью нескольких примеров.

    Пример 1

    • 2 3 -2 2 = 8-4 = 4
    • 5 3 -5 2 = 75-25 = 50
    • 3 Вычесть x y 3 из 10 x 3 y 3

    В этом случае коэффициенты экспонент равны 10 и 1

    Переменные подобны членам и, следовательно, могут быть вычтены

    Вычесть коэффициенты = 10 — 1

    = 9

    Таким образом, 10x 3 y 3 — x 3 y 3 = 9 (xy) 3

    . нахождение разницы их коэффициентов.

    В этом случае переменные 4x 2 и 8x 2 подобны членам, а их коэффициенты равны 4 и 8 соответственно.

    = 8x 2 — 4x 2

    = (8-4) x 2 .

    = 4 x 2

    Здесь -7x и -3x похожи на члены

    = -7x — (-3x)

    = -7x + 3x,

    = -4x.

    • 15x — 4x — 12y — 3y

    Вычтите подобные термины

    15x — 4x = 11x

    12y — 3y = 9y

    Таким образом, ответ будет 11x — 9y.

    • Вычтем (4x + 3y + z) — (2x + 3y — z).

    Эти переменные похожи на термы

    (2x + 3y — z) — (4x + 3y + z)

    Раскройте скобки;

    = 2x + 3y — z — 4x — 3y — z,

    Переставьте аналогичные члены и выполните вычитание

    = 2x — 4x + 3y — 3y — z — z

    = -2x + 0 — 2z,

    = -2x — 2z

    Вычитание показателей с разным основанием

    Показатели с разным основанием вычисляются отдельно, а результаты вычитаются. С другой стороны, переменная с разным основанием вообще не может быть вычтена. Например, вычитание a и b не может быть выполнено, и результат будет просто a -b.

    Чтобы вычесть положительный показатель степени m и отрицательный показатель степени n, мы просто соединяем оба члена, изменив знак вычитания на положительный знак, и запишем результат в виде m + n.

    Следовательно, вычитание положительного и отрицательного различающихся показателей m и -n = m + n.

    Пример 2

    • 4 2 — 3 2 = 16 — 9 = 7
    • Вычесть: 11x — 7y -2x — 3x.
      = 11x — 2x — 3x — 7лет.
      = 6x — 7y
    • Evaluate 3x 2 — 7y 2
      В этом случае два показателя степени 3x 2 и 7y 2 являются разными терминами, и поэтому он останется таким, как есть.
      Здесь 3x и 7y — разные термины, так что все останется как есть.
      Следовательно, ответ будет 3x 2 — 7y 2
    • Вычислить 15x — 12y — 11x
      = 15x 5 — 11x 5 — 12y 5
      = 4x 5 — 120006 9000

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Разница между степенью магистра и доктора

    Существует множество типов степеней. Многие попадают в один из двух лагерей: докторские и магистерские. Обе дипломы предлагают более узкую образовательную направленность, чем опыт бакалавриата. Чем выше степень, тем дольше нужно заработать и тем более специализированным является его фокус. Мы внимательно изучаем степени магистра и доктора, чтобы выявить различия и помочь вам определить, какие из них могут быть наиболее полезны для вас.

    Степени магистра

    Степени магистра более универсальны, чем докторские степени, и имеют широкий спектр профессиональных и академических применений.Наиболее распространенные степени магистра — это магистр гуманитарных наук (MA) и магистр естественных наук (M.S.). Кроме того, существует три типа магистерских программ:

    • Исследовательские степени магистра обычно предназначены для академических и прикладных исследовательских дисциплин. Примеры включают степень магистра сравнительного литературоведения и степень магистра биологии. В некоторых областях получение степени магистра-исследователя без получения докторской степени. ограничивает ваши профессиональные возможности. Выясните, что лучше всего для вас и вашей карьерной траектории, поговорив с профессорами или профессионалами в своей области.
    • Степени профессионального магистра готовят кандидатов к профессиональной работе, вводя практические навыки и основы для понимания проблем в своей области. Эти степени могут также позволить человеку практиковать в своей области. Примеры включают степень магистра социальной работы, магистра архитектуры или магистра педагогических наук. Большинство степеней, представленных на выставках Idealist Grad Fairs, являются профессиональными магистерскими степенями, поддерживающими карьеру в секторе социальных благ.
    • Степень магистра терминала является высшей академической степенью в своей области.В то время как некоторые степени магистра могут служить первым шагом к получению докторской степени, другие, например, степень магистра изящных искусств в области творческого письма или магистра библиотечного дела, являются настолько высокими, насколько вы можете получить академическую аккредитацию в этих областях обучения.

    Перед получением степени магистра кандидаты должны уже иметь степень бакалавра. Программы магистратуры занимают от одного до трех лет и состоят из курсов и семинаров продвинутого уровня. В некоторых программах студенты продолжают исследования, пишут и защищают магистерские диссертации.В профессиональных магистерских программах диссертация часто заменяется выпускными проектами и экзаменами.

    Докторантура

    Самая распространенная докторская степень — это доктор философии или доктор философии. Эти исследовательские докторские степени готовят студентов к внесению вклада в коллективную базу знаний в данной области и предлагают уникальную возможность для человека проводить интенсивные и длительные исследования по очень конкретной теме, которая часто приводит к публикации. Имея докторскую степень, многие стремятся стать профессорами и исследователями, но могут также работать в некоммерческом, государственном и частном секторах.Кроме того, существуют профессиональные докторские степени, такие как MD (врач) и JD (доктор юридических наук). Перед получением докторской степени кандидаты должны уже получить степень бакалавра, а в некоторых случаях — степень магистра в зависимости от программы. Из-за характера специализации программы докторантуры обычно меньше программ магистратуры.

    Докторанты начинают с прохождения курсов и экзаменов. Они продолжают посещать продвинутые семинары и выполнять свои требования путем исследования, написания и защиты диссертации.Диссертация является одним из центральных компонентов получения докторской степени и представляет собой докторскую диссертацию, посвященную оригинальным исследованиям кандидата. Для получения докторской степени может потребоваться до восьми лет в зависимости от программы, от того, получил ли кандидат степень магистра (или поступает прямо из бакалавриата), а также от количества времени, необходимого для завершения диссертации.

    Программы двойного диплома или совместные программы магистратуры и докторантуры

    Если вы решите, что обе программы получения степени подходят вам, есть несколько программ, которые предлагают возможность получения обеих степеней одновременно. Программа двойного диплома позволяет вам дважды подсчитывать заработанные вами кредиты при получении обеих степеней. Вы можете найти больше информации здесь.

    Как решить, какая степень вам подходит?

    Выбор степени магистра или доктора будет зависеть от области вашей карьеры и образовательных целей. Вы можете узнать больше о требованиях в своей области, проведя небольшое исследование или собственное, а также пообщавшись с коллегами. Обращение к наставнику или выпускникам из выбранной вами программы также может помочь вам сориентироваться в решениях аспирантуры.Кроме того, общение с приемным персоналом в аспирантуре может помочь получить представление о доступных видах программ для выпускников.

    Может быть сложно предложить общие рекомендации по программам магистратуры, так как многое зависит от области обучения. Тем не менее, мы хотели показать примеры того, как степени магистра и доктора могут помочь вам добиться успеха. Чтобы проиллюстрировать это, мы выбрали социальную работу и бизнес:

    Социальная работа

    Если вы хотите поступить в аспирантуру, чтобы изучать социальную работу, вы можете получить степень магистра или доктора философии. Чтобы определить, что лучше всего для вас, подумайте, какую роль вы хотели бы играть в сфере социальной работы. Если вы хотите быть непосредственным поставщиком социальных услуг или администратором государственного учреждения, вам может подойти магистерская программа. Если вы хотите стать преподавателем в высшем учебном заведении, исследователем в области социального обеспечения или аналитиком политики социального обеспечения, доктором философии. программа подойдет лучше. Вне академической среды — где докторская степень требуется для большинства преподавательских должностей — степень магистра в сочетании с практическим опытом работы может обеспечить достаточную подготовку к карьере исследователя, политического аналитика или менеджера среднего звена.

    Business

    Для делового администрирования у вас есть возможность получить степень магистра делового администрирования (MBA) или доктора делового администрирования (DBA). Если ваша долгосрочная цель — взять на себя руководящую роль в некоммерческой или коммерческой организации, лучше всего подойдет степень MBA (или степень управления некоммерческой организацией). Если вместо этого вы заинтересованы в карьере преподавателя и исследователя деловой практики, администратор базы данных будет лучшим вариантом.

    Знание ваших профессиональных целей поможет вам сделать выбор в пользу учебы в аспирантуре.Определенные карьерные пути, такие как становление государственным защитником или врачом, более четко обозначены необходимыми шагами, включая требуемый уровень образования и ученую степень. Другие карьерные пути менее регламентированы и поэтому требуют более тщательного изучения и рассмотрения того, что подходит вам. Тщательное изучение вашей области интересов и четкое понимание навыков и знаний, которые вам нужны и необходимы в рамках последипломного образования, поможет понять, какие варианты степени наиболее подходят для ваших целей.

    Синус-косинус-касательная

    Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами
    и двигательная установка
    необходимо использовать некоторые математические идеи из
    тригонометрия,
    изучение треугольников.
    Начнем с некоторых определений и терминологии.
    который мы будем использовать на этом слайде.
    Прямоугольный треугольник — это
    трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов
    называется прямым углом , что дает название прямоугольному треугольнику.Выбираем один из двух оставшихся углов и маркируем его c
    а третий угол обозначим d .
    Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
    Если мы знаем значение c ,
    тогда мы знаем, что значение d :

    90 + с + г = 180

    г = 180 — 90 — в

    d = 90 — c

    Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к
    — гипотенуза .Это самая длинная из трех сторон.
    прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов.
    означает «растягивать», так как это самая длинная сторона.

    Обозначим гипотенузу символом h .
    Есть сторона, противоположная углу c , которую мы обозначаем o .
    для «противоположного». Оставшуюся сторону мы помечаем как для «смежных».
    Угол c образован пересечением гипотенузы h .
    и соседняя сторона а .

    Нас интересует соотношение сторон и углов
    прямоугольный треугольник.
    Начнем с некоторых определений.
    Мы будем называть
    соотношение
    стороны прямоугольного треугольника гипотенузы
    синус и присвоить ему символ sin .

    грех = о / ч

    Отношение смежной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе называется
    косинус и обозначен символом cos .

    cos = а / ч

    Наконец, отношение противоположной стороны к соседней стороне называется
    касательная и обозначена символом tan .

    загар = о / а

    Мы утверждаем, что значение каждого коэффициента зависит только от значения
    угол c , образованный смежной и гипотенузой.
    Чтобы продемонстрировать этот факт,
    давайте изучим три фигуры в середине страницы.В этом примере у нас есть
    8-футовая лестница, которую мы собираемся прислонить к стене. Стена
    8 футов высотой, и мы нарисовали белые линии на стене
    и синие линии вдоль земли с интервалом в один фут.
    Длина лестницы фиксированная.
    Если наклонить лестницу так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 2 фута от стены,
    лестница образует угол около 75,5 градусов с землей.
    Лестница, земля и стена образуют прямоугольный треугольник. Соотношение расстояния от
    стены (а — прилегающая) к длине лестницы (h — гипотенуза) составляет 2/8 =.25.
    Это определено как косинус c = 75,5 градуса. (На
    другая страница
    покажем, что если бы лестница была вдвое длиннее (16 футов),
    и наклонена под тем же углом (75,5 градуса), чтобы он сидел вдвое больше
    далеко (4 фута) от стены. Соотношение остается неизменным для любого прямоугольного треугольника.
    под углом 75,5 градусов.)
    Если мы измеряем точку на стене, где лестница касается (о — напротив), расстояние будет
    7,745 футов. Вы можете проверить это расстояние, используя
    Теорема Пифагора
    который связывает стороны прямоугольного треугольника:

    ч ^ 2 = а ^ 2 + о ^ 2

    о ^ 2 = ч ^ 2 — а ^ 2

    о ^ 2 = 8 ^ 2 — 2 ^ 2

    о ^ 2 = 64 — 4 = 60

    о = 7.745

    Отношение противоположности к гипотенузе равно 0,967 и определяется как
    синус угла c = 75,5 градуса.

    Теперь предположим, что мы наклоняем 8-футовую лестницу так, чтобы ее основание находилось на 4 футах от стены.
    Как показано на рисунке, теперь лестница наклонена под меньшим углом, чем в
    первый пример. Угол составляет 60 градусов, а соотношение прилегающих к
    гипотенуза теперь 4/8 = 0,5. Уменьшение угла c
    увеличивает косинус угла, потому что гипотенуза фиксирована
    а соседний увеличивается с уменьшением угла.Если мы наклоним 8 футов
    лестнице так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 6 футов от стены, угол уменьшается до
    около 41,4 градуса, и соотношение увеличивается до 6/8, что составляет 0,75.
    Как видите, для каждого угла
    на земле есть уникальная точка, которой соприкасается 8-футовая лестница,
    И это одна и та же точка каждый раз, когда мы устанавливаем лестницу под этим углом.
    Математики называют эту ситуацию
    функция.
    Соотношение соседних
    сторона гипотенузы является функцией угла c , поэтому мы можем записать
    символ как cos (c) = значение .

    Также обратите внимание, что по мере увеличения cos (c) уменьшается sin (c) .
    Если мы наклоним лестницу так, чтобы основание находилось на расстоянии 6,938 фута от стены,
    угол c становится 30 градусов, а отношение соседнего к
    гипотенуза 0,866.
    Сравнивая этот результат со вторым примером, мы обнаруживаем, что:

    cos (c = 60 градусов) = sin (c = 30 градусов)

    sin (c = 60 градусов) = cos (c = 30 градусов)

    Мы можем обобщить это соотношение:

    sin (c) = cos (90 — c)

    90 — c — величина угла d .Вот почему мы
    назовем соотношение смежного и гипотенузы «косинусом» угла.

    sin (c) = cos (d)

    Поскольку синус, косинус и тангенс являются функциями угла c , мы можем
    определить (измерить) коэффициенты один раз и составить таблицы значений
    синус, косинус и тангенс для различных значений c . Позже, если мы узнаем
    значение угла в прямоугольном треугольнике, таблицы покажут нам соотношение
    сторон треугольника.Если мы знаем длину одной стороны, мы можем найти длину другой.
    стороны.
    Или, если мы знаем соотношение любых двух сторон прямоугольного треугольника, мы можем
    найти значение угла между сторонами.
    Мы можем использовать таблицы для решения проблем.
    Некоторые примеры проблем, связанных с треугольниками и углами, включают
    силы
    на самолете в полете,
    приложение крутящих моментов,
    и разрешение
    составные части
    вектора.

    Вот таблицы синуса, косинуса и тангенса, которые вы можете использовать для решения
    проблемы.


    Деятельность:


    Экскурсии с гидом


    Навигация ..

    Руководство для начинающих Домашняя страница

    Равнобедренных треугольников — математика для старших классов

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
    или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Двойные основные опционы для крупных бухгалтерских компаний

    Бухгалтерский учет является одним из основополагающих компонентов эффективного, прибыльного бизнеса или государственного управления.
    юридическое лицо. Представители бухгалтерской профессии являются ключевыми игроками, необходимыми для надлежащего поддержания свободного рынка
    экономия.К счастью, практика профессионального бухгалтерского учета применима практически ко всем отраслям.
    это можно вообразить, поэтому у бухгалтеров есть много вариантов карьерного роста.


    Посетите наш:

    Top 25 MBA и рейтинг бухгалтерского учета


    Навыки и таланты специалистов по бухгалтерскому учету легко применяются в области инвестиционного банкинга,
    оценка безопасности, риск
    менеджмент, корпоративные финансы и
    конечно, банковское дело, среди многих других.Если бы студент был уверен в двойном интересе к
    области бухгалтерского учета (в начале их карьеры в колледже), было бы разумно рассмотреть возможность соперничества за
    двойные основные бухгалтерские степени при окончании учебы. Советник студента колледжа поможет разобраться
    требования и детали, касающиеся двойного основного направления обучения.

    Почему кто-то хочет удвоить специализацию в области бухгалтерского учета?

    Получение высшего образования с двумя основными бухгалтерскими степенями — это разумный и экономный способ получить два
    разные программы обучения ~ одновременно! Получение двойного бухгалтерии открывает путь к
    несколько карьерных путей на выбор, начиная с того момента, когда студент закончит обучение.

    Бухгалтерские специальности с двойными степенями, которые накладываются друг на друга, повышают привлекательность кандидата при приеме на работу
    процесс. Когда студент получил две специальности, которые не связаны друг с другом, их
    база навыков рассматривается как разнообразная, что также желательно. Фактически, всеобъемлющий / двойной
    степень бухгалтерского учета — такая как эта — часто обращается к различным должностям и отраслям. В
    по сути, он расширяет и расширяет пул вакансий, из которых недавний выпускник может найти работу, которая
    подходит для него или для нее.

    Еще одно важное соображение заключается в следующем: при поиске работы в высококонкурентной экономике
    выпускники бухгалтерского учета с двойной специализацией получат преимущество, которое может потребоваться, чтобы получить
    работа. Если выпускник (уже работающий на конкурентном рынке) имеет двойную бухгалтерскую степень, это
    важный способ сохранить безопасность работы.

    Выполнение каждого набора требований для обеих специальностей требует приверженности и упорной работы.
    через карьеру в колледже.Как подсказывает логика, время, необходимое для получения двойной степени, часто
    занимает немного больше времени, чем требуется для получения одной основной степени. Однако этот дополнительный
    год обучения часто помогает тем, кто планирует стать сертифицированным
    Общественный бухгалтер (CPA). Кандидаты CPA обычно получают степень бакалавра за пять
    годы. Таким образом, двойной диплом является отличным альтернативным методом для студентов, чтобы получить степень CPA.
    требования — без посещения аспирантуры!

    Варианты двойной основной бухгалтерской степени

    Отзывы отрасли говорят о том, что существует большой спрос на специалистов по бухгалтерскому учету, которые получают диплом с двойным дипломом.
    степень, связанная с информационными системами или финансами.Многие двойные основные бухгалтерские степени
    доступны — их можно получить где угодно, от школ Лиги плюща до местного сообщества.
    колледж.

    Double Major для начинающих CPA

    Тем, кто ищет карьеру CPA, следует
    уже знают, что им понадобится
    дополнительные 150 кредитных часов для завершения учебной программы. Двойной мажор — отличный способ справиться с этим.
    требование.

    Бухгалтерские и компьютерные информационные системы (СНГ)

    Эти два направления будут дополнять друг друга, потому что у каждого бизнеса есть цифровая структура, на которой он
    зависит от.

    Бухгалтерский учет и СНГ — две области исследований, траектории которых часто пересекаются. Так много
    поэтому многие школы в настоящее время активно создают комбинированную специальность, включающую обе. Это
    Это происходит потому, что те времена, когда бухгалтеры использовали бумагу для выполнения своей работы, быстро исчезают. В
    революционные технологические достижения переопределили бухгалтерскую профессию, как и все остальные
    промышленность. Такая двойная специализация сделает ваше образование конкурентоспособным для ИТ-аудита.
    рабочие места, а также бухгалтерские и финансовые работы.

    Имея двойную специализацию бухгалтерский учет и СНГ, студент готов разрабатывать и / или обслуживать компьютер.
    системы, которым поручено хранить финансовые данные.

    Бухгалтерский учет и право

    Бухгалтерский учет во многом похож на сферу права и, как и в СНГ, с юридической точки зрения.
    пересекает сферу бухгалтерского учета снова и снова. Двойная специальность «Бухгалтерский учет и право» — отличный
    образование для тех, кто заинтересован в работе в сфере финансового соответствия.Если
    студент желает поступить на юридический факультет (или, в конечном итоге, сдать экзамен CPA), это двойное основное бухгалтерское дело
    степень — идеальная установка для этого. Реальность такова, что налоговое право, поскольку профессия — это растущий сектор
    на рабочем месте, что является предвестником высокого спроса на профессионалов в области налогового права.

    Технологии постоянно развиваются и расширяются. Скорее всего, это продолжится, учитывая стабильные темпы
    видели за последние несколько десятилетий.

    Бухгалтерский учет и финансы

    Двойная специализация в области бухгалтерского учета и финансов
    готовит ученика к достижению высоких
    востребованные навыки и знания в области статистики, маркетинга, принципов ведения бизнеса и организации
    поведение, среди прочего.Эта особая двойная степень обучает каждого студента оценивать бизнес ».
    платежеспособность, а затем предложить рекомендации по улучшению финансового профиля бизнеса. На
    личное примечание: студент может научиться снижать риски и более разумно инвестировать, чтобы помочь управлять своими или
    ее личные финансы.

    Бухгалтерский учет и бизнес-администрирование

    Имея двойную специализацию в области делового администрирования и бухгалтерского учета, студент имеет возможность углубиться в
    глубже в мир этики, права, маркетинга и даже коммуникации — принципы, на которых
    бизнес процветает.Благодаря этому впечатляющему опыту работодатели могут быть уверены в качестве
    ваше видение, суждение и точность. Студенты, получающие двойную специализацию: бухгалтерский учет и бизнес
    Администрация будет обладать способностью выявлять ошибки; продавать бизнес-планы и сокращать убытки.
    Каждое предприятие, большое или маленькое, требует навыков профессионального бухгалтера, чтобы:
    подготовить финансовую отчетность или дать рекомендации по другим вопросам, связанным с бизнесом.

    Бухгалтерский учет и образование

    Когда студент решает получить специальность в качестве дополнения к своей бухгалтерской степени,
    они будут полностью обучены во время учебы в колледже, чтобы создавать мощные презентации для многих
    разные типы аудитории.

    Специалисты по бухгалтерскому учету и образованию учатся эффективно и действенно общаться, как они понимают
    важность «ясности» и «точности». Эти навыки идеально подходят для среднего и высшего звена.
    руководящие должности. Кроме того, эти двойные основные бухгалтерские степени позволяют студенту получить
    бухгалтерская педагогическая карьера.

    Бухгалтерский учет и экономика

    Двойная степень в области бухгалтерского учета в сочетании с экономической специализацией уравновешивает бухгалтерскую практику с относительной
    простота.Студент учится применять логику и разум при попытке определить сложный учет или
    экономические вопросы, требующие решения.

    Потребность в этом двойном навыке есть в любой отрасли. Субъекты хозяйствования (независимо от размера
    бизнес) требует согласования точных финансовых данных, если бизнес должен соответствовать
    IRS или планируйте свое будущее с любой точностью. Двойные выпускники по бухгалтерскому учету и экономике
    критические мыслители, которые постоянно совершенствуют свой личный подход.

    Варианты онлайн-обучения

    Те студенты, которые хотят получить двойную степень бакалавра в области бухгалтерского учета, имеют множество онлайн-курсов.
    Доступны программы бухгалтерского учета. Обязательно ознакомьтесь со всеми вашими вариантами.

    Согласно нашему последнему рейтингу
    Рейтинг 25 лучших онлайн-бакалавров бухгалтерского учета, следующие школы оцениваются как
    пятерка самых полных онлайн-бухгалтерских программ. [1]

    Университет Алабамы в Бирмингеме

    • Интернет-бакалавр бухгалтерского учета

    Массачусетский университет, Амхерст

    • Онлайн-бухгалтерский учет и финансовый менеджмент Степень

    Северо-Восточный университет

    • Интернет-бакалавриат в области делового администрирования — специализация в области бухгалтерского учета

    Университетский городок Пенсильванского университета

    • Бухгалтерский учет в рамках онлайн-программы бакалавриата бизнеса

    Университет Кларион

    • Online BSBA Degree (Бакалавр наук в области делового администрирования — концентрация)
      Бухгалтерский учет)

    Посетите веб-сайты различных колледжей, так как на них есть отличные ресурсы для тех, кто в настоящее время решает, куда поступить.
    посещать колледж.

    Карьера в сфере бухгалтерского учета

    Бухгалтеры с двумя специальностями прошли обучение для работы в различных отраслях. Диапазон вариантов
    от финансов, государственных услуг, бухгалтерского учета и бизнеса.

    Выпускники, желающие заниматься частной практикой, могут выбирать между консультациями, налогообложением, а также
    аудиторская проверка. Выпускники бухгалтерского учета, предпочитающие трудоустроиться в отрасли Industry &
    Сектор торговли
    квалифицирован для профессионального ведения учета затрат, финансового
    бухгалтерский учет или процессы управления пенсионным фондом.

    В государственном секторе также работают профессиональные бухгалтеры. Этот вид бухгалтерской работы можно найти в
    местные органы власти и органы здравоохранения, а также многие другие подкатегории.

    Ожидаемый доход выпускников бухгалтерского учета

    Для целей статистической отчетности Бюро труда
    Статистика (BLS) объединяет позиции бухгалтеров и аудиторов из-за их схожести
    рабочие обязанности. В прошлом году, в 2016 году, бухгалтеры и аудиторы создали 1 397 700 рабочих мест в
    экономика.[2]

    Кроме того, BLS сообщает, что прогнозируемый рост этих позиций будет
    темпы роста на 10% до 2026 года. Эти 10% темпы роста на самом деле являются более высокими, чем ожидалось, темпами роста, чем
    прогнозируемое среднее значение по всем отраслям [3].

    Средняя заработная плата бухгалтеров и аудиторов в 2016 году составила 68 150 долларов в год или 32,76 доллара в час [4].


    На вынос

    У выпускника двойного специализации по бухгалтерскому учету есть много направлений карьеры и вариантов на выбор.С участием
    стабильный рост рабочих мест прогнозируется в течение следующего десятилетия, будущее бухгалтерского учета выглядит светлым
    выпускники.

    Итог: Двойное высшее бухгалтерское образование — серьезное обязательство. Планируйте заранее
    с консультантом колледжа, чтобы получить максимальную отдачу от двойного диплома.


    Сноски:

    [1] https://www.bestcollegereviews.org/top/online-accounting-degrees/

    [3] https: //www.bls.gov / ooh / business-and-financial / accountants-and-auditors.htm

    Бюро статистики труда, Министерство труда США, Руководство по профессиональным перспективам, бухгалтеры
    и аудиторы в Интернете по адресу https://www.bls.gov/ooh/business-and-financial/accountants-and-auditors.htm (посетил декабря
    25, 2017
    )

    https://www.aicpa.org/becomeacpa.html

    Что такое градусы нагрева и охлаждения в днях

    Градусы нагрева и охлаждения в днях

    Градусные дни основаны на предположении, что при наружной температуре 65 ° F нам не нужно обогревать или охлаждать, чтобы чувствовать себя комфортно.Градусные дни — это разница между средней дневной температурой (высокая температура плюс низкая температура, деленная на два) и 65 ° F. Если средняя температура выше 65 ° F, мы вычитаем 65 из среднего и получаем градусо-дней . Если среднее значение температуры ниже 65 ° F, мы вычитаем среднее значение из 65 и получаем градуса нагрева в днях .

    ——————— ——————— — ——————————

    Пример 1: Высокая температура в конкретный день составляла 90 ° F, а низкая температура составляла 66 ° F.Средняя температура в тот день была:
    .

    (90 ° F + 66 ° F) / 2 = 78 ° F

    Поскольку результат выше 65 ° F:

    78 ° F — 65 ° F = 13 Градус охлаждения в днях

    Пример 2:

    Высокая температура в конкретный день составляла 33 ° F, а низкая температура — 25 ° F. Средняя температура в тот день была:

    (33 ° F + 25 ° F) / 2 = 29 ° F

    Поскольку результат ниже 65 ° F:

    65 ° F — 29 ° F = 36 Градус нагрева в днях .

    Расчеты, показанные в двух приведенных выше примерах, выполняются для каждого дня в году, а суточные градусо-дни суммируются, чтобы мы могли сравнивать месяцы и времена года.
    ———————
    ——————— —- —————————-
    КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДНИ УЧАСТНИКОВ:
    Чаще всего дни в градусах используются для отслеживания потребления энергии. Без градусо-дней сравнение энергии, использованной за два периода, было бы аналогично подсчету миль на галлон для вашего автомобиля, не зная, как далеко вы проехали.Если вы хотите знать, экономит ли теплоизоляция чердака, которую вы добавили летом, вы должны использовать свои счета за электроэнергию, чтобы определить, сколько «топлива» было израсходовано до и после модернизации. Затем, используя градусные дни, вы можете определить, «как далеко вы продвинулись» за эти периоды. Вместо того, чтобы рассчитывать мили на галлон, вы должны определить количество киловатт-часов в градусо-день или количество тепла природного газа в градусный день.


    ДРУГИЕ ФАКТОРЫ:
    При сравнении использования энергии вы должны также учитывать другие виды использования энергии, на которые не влияет погода, например, освещение, бытовые приборы и т. Д.Вы можете оценить энергию, используемую для этих целей, исследуя энергию, используемую в умеренные месяцы, такие как май и октябрь, когда используется мало энергии для отопления или охлаждения. Энергия, используемая в эти периоды, отражает ваше базовое ежемесячное потребление. Вычитание базового потребления из общего потребления в течение зимнего месяца даст оценку энергии, используемой только для отопления. Также важно учитывать период использования, отраженный в вашем счете за электроэнергию.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.