Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям доказательство: Свойство средней линии трапеции — доказательство

Содержание

чему равна, свойства, доказательство теоремы. Теорема о средней линии трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ:
$10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ:
$10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD
, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

a, b – основания, l – средняя линия.

Как найти среднюю линию трапеции через площадь

Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

  • При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

  • Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – линия средины,
a, b – основания (b
α – углы при нем,
h – высота фигуры.

  • Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b
h – высота фигуры.

  • При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:

l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

  • Известны площадь и высота фигуры, тогда:

l=S/h,
S – площадь,
h – высота.

  • Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.

h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.

Тема: «Трапеция. Средняя линия трапеции»

Дата проведения:  18.10.2011  Класс 8 «А»

Тема: «Трапеция. Средняя линия трапеции»

Урок изучение нового
материала.

Цели урока:

    Образовательные —
ознакомить  учащихся с новым видом четырёхугольника — трапецией, элементами
трапеции;

    Воспитательные — обеспечить
интерес учащихся путём акцентирования элемента новизны: учащиеся знакомятся с
новым видом четырёхугольника

   Развивающие — развить
умение анализировать, сравнивать, делать выводы при доказательстве теорем о
средней линии  трапеции.

План урока:

1.    
Организационный момент.(1 мин)

2.    
Введение определения трапеция(4
мин)

3.    
Закрепление понятия трапеция
(2мин)

4.    
Знакомство с элементами трапеции.(3мин)

5.    
Виды трапеции(3мин)

6.    
Определение средней линии
трапеции(3 мин)

7.    
Признак средней линии
трапеции(3мин)

8.    
Свойства средней линии трапеции (3мин)

9.    
Доказательство свойств средней
линии трапеции(5 мин)

10. Закрепление знаний о средней линии трапеции (5 мин)

11. Свойства равнобедренной трапеции(5 мин)

12. Закрепление знаний о равнобедренной трапеции(5 мин)

13. Задание на дом (1мин)

14. Рефлексия (2 мин)

Оборудование:
учебник Шлыков «геометрия 8 класс»,схема «четырёхугольник», рисунки трапеций,
элементов трапеции, средней линии трапеции.

Формы организации
деятельности: индивидуальная, фронтальная.

Методы: эвристическая беседа, иллюстрации, сравнение, рассказ .

 

Ход урока:

1, Организационный момент

Учитель
: «Здравствуйте, ребята! Все присутствуют на уроке?»

2, Введение определения
трапеция

Учитель
: «Давайте вспомним, с какими видами четырёхугольника мы с вами  уже
познакомились на прошлых уроках?»

Учащиеся:
«Параллелограмм, прямоугольник, ромб , квадрат.»

Учитель:
«Верно. Сегодня мы познакомимся с ещё одним вводом четырёхугольника — трапеция.»

Учитель : «Записываем. Дата,
Классная работа, тема «Трапеция. Средняя линия трапеции». Записываем определение
трапецией называется четырёхугольник , у которой 2 стороны параллельны, а две
другие не параллельны. Рисуем рисунок.»

АВСD- трапеция

АD||ВС

АВ  СD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Закрепление понятия
трапеция.

Учитель : «Найдите на
рисунках трапеции.»

  

 

4. Знакомство с элементами
трапеции.

Учитель:
«Из чего состоит трапеция? Записываем. Основаниями  трапеции называются
параллельные стороны, а не параллельные называются боковыми сторонами. По
рисунку назовите основания и боковые стороны. »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Виды трапеции

Учитель: «Существует
несколько видов трапеции: равнобедренная, или равнобокая, и прямоугольная
трапеции. Какой треугольник называется равнобедренным?»

Учащиеся: «Треугольник
называется равнобедренным если у него две стороны равны.»

Учитель: «А как вы думаете
какая трапеция называется равнобокой?»

Учащиеся : «Тоже какие- то
две стороны равны.»

Учитель: «Верно, а какие 
основания или боковые стороны? Могут ли основания быть равными?»

Учащиеся : «Нет, тогда бы
этот четырёхугольник был параллелограммом. Значит, остаются боковые стороны.»

Учитель: «Совершенно верно.
Записываем  трапеция называется равнобедренной или равнобокой, если равны её
боковые стороны. Рисуем рисунок»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитель: «А какая трапеция
будет называется прямоугольной?»

Учащиеся : «Трапеция 
называется прямоугольной, если один из её углов прямой.»

Учитель
: «Верно. Записываем, трапеция  называется прямоугольной, если один из её углов
прямой. Рисуем»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Определение средней
линии трапеции.

Учитель: «Давайте вспомним,
определение средней линии треугольника. »

Учащиеся: «Средней линией
треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.»

Учитель: «У трапеции также
есть средняя линия. Как вы думаете что такое средняя линия трапеции?»

Учащиеся : «Наверно, отрезок,
соединяющий боковые стороны трапеции.»

Учитель: «Верно. Записываем
средней линией трапеции называется отрезок соединяющий середины боковых сторон
трапеции. Рисуем.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Признак средней линии
трапеции

Учитель: «Сейчас мы
рассмотрим признак средней линии трапеции. Давайте вспомним признак средней
линии треугольника.»

Учащиеся:  «Если отрезок
параллелен стороне треугольника и его концы лежат на двух сторонах причём так,
что  один из концов является серединой стороны, то этот отрезок является
средней линией треугольника.»

Учитель: «Как вы думаете
какой будет признак средней линии трапеции. Если в треугольнике : Если отрезок
параллелен стороне треугольника, то как будет в трапеции. Чему может быть
параллельна средняя линия трапеции?»

Учащиеся: «Если отрезок
параллелен  одному из оснований трапеции»

Учитель: «Хорошо. Концы
отрезка , где будут лежать в трапеции?»

Учащиеся: «Концы отрезка
лежат на боковых сторонах»

Учитель: «Совершенно верно.
Записываем признак средней линии трапеции: Если отрезок параллелен  одному из
оснований трапеции и  концы отрезка лежат на боковых сторонах, а один из есть
середина стороны, то этот отрезок является средней линией трапеции. Давайте ещё
раз проговорим признак.»

Учащиеся: «Если отрезок
параллелен  одному из оснований трапеции и  концы отрезка лежат на боковых
сторонах, а один из есть середина стороны, то этот отрезок является средней
линией трапеции»

8. Свойства средней линии трапеции

Учитель: «Давайте теперь
выясним свойства средней линии трапеции. Давайте вспомним, какие свойства были
у средней линии треугольника?»

Учащиеся: «Средняя линия
треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине»

Учитель: «А чему параллельна
средняя линия трапеции?»

Учащиеся: «Средняя линия
трапеции параллельна основаниям.»

Учитель: «Совершенно верно.
Записываем свойство средней линии  трапеции: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям , а её длина  равна полусумме длин оснований. Давайте все вместе
проговорим свойства.»

Учащиеся: «Средняя линия
трапеции параллельна основаниям , а её длина  равна полусумме длин оснований»

9.Доказательство свойств средней линии трапеции

Учитель: «Давайте докажем 
эти свойства. Еще раз проговорим свойства.»

Учащиеся: «Средняя линия
трапеции параллельна основаниям , а её длина  равна полусумме длин оснований.»

Учитель: «Что нам дано? Что
необходимо сделать?»

Учащиеся: «Нам дана трапеция,
средняя линия трапеции. Необходимо доказать, что средняя линия трапеции
параллельна основаниям и её длина равно полусумме длин оснований»

Учитель: «Рисуем рисунок, отмечаем
на нём известные данные.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитель: «Давайте запишем
дано.»

Дано:
АВСD- трапеция,  МN — средняя линия трапеции

Доказать:
МN||АD и МN||ВС

МN=1/2*(АD+ВС)

Учитель: «Давайте дополним
рисунок. Проведём прямую СМ до пересечения с АD и назовём точку Е. Что можно
сказать про треугольника ЕАМ и ВСМ»

Учащиеся: «Они равны»

Учитель: «Почему? По Какому
признаку?»

Учащиеся: «ВМ=МА- по условию,
∟ЕАМ=∟СВМ  накрест лежащие , ∟ВМС=∟ЕМА вертикальные,
значит треугольники равны по 2 признаку»

Учитель: «Что следует из
равенства треугольников ЕАМ и ВСМ?»

Учащиеся: «ВС=ЕА и СМ=МЕ»

Учитель: «Какой можно
рассмотреть треугольник?»

Учащиеся: «∆ЕСD»

Учитель: «Что можно сказать
про отрезок МN»

Учащиеся: «МN средняя линия
треугольника ЕСD по определению»

Учитель: «Что из этого
следует? Какое свойства мы знаем средней линии треугольника?»

Учащиеся: «МN||ЕD,
следовательно, МN||АD, а т.к. АВСD- трапеция, значит, ВС||АD, следовательно,
МN||ВС»

Учитель: «Какое ещё есть
свойство средней линии треугольника?»

Учащиеся: «МN=1/2*ЕD=1/2*(ЕА+АD)=1/2*(ВС+АD)»

Учитель: «Мы доказали. Теперь
запишем доказательство»

Доказательство:

1, Дополнительное построение  CM, E=CM AD

2,Рассмотрим ΔEMA и ΔCMB:

    а) AM=MB
(по условию MN-средняя линия)

    б) ÐA = ÐB (накрест
лежащие при BC||AD и
секущей AB)

    в) ÐAME = ÐBMC
(вертикальные углы)

По 2 признаку равенства
треугольника  ΔEMA = ΔCMB

3,Из ΔEMA=ΔCMB:а) EA=BC  б) EM=MC. ΔECD : ЕМ=МС  и CN=ND, значит, MN –
средняя линия ΔECD, тогда по свойству средней линии треугольника 

                   1)  MN||ED,
то есть MN || AD ,BC  || AD, следовательно, MN || BC

                    2) MN = ½ ED = ½
(EA+AD) = ½ (BC+AD)

                                                                                                                        
Ч.т.д.

 

10.Закрепление знаний о средней линии трапеции

Найдите неизвестные по рисункам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.Свойства равнобедренной трапеции

Учитель: «Записываем свойства
равнобедренной трапеции. 1свойство равнобедренной трапеции: углы при каждом
основании равнобедренной трапеции равны. Давайте нарисуем рисунок. Какие углы
будут равны?»

 

 

Учащиеся: «∟А=∟D
и ∟В=∟С»

Учитель: «Совершенно верно.
Молодцы. Давайте проговорим 1 свойство равнобедренно трапеции.»

Учащиеся: «Углы при каждом
основании равнобедренной трапеции равны.»

Учитель: «Записываем 2
свойство равнобедренной трапеции: Диагонали равнобедренной трапеции равны. Делаем рисунок. Проговорим ещё раз это свойство.»

Учащиеся: «Диагонали
равнобедренной трапеции равны.»

 

12.Закрепление знаний о равнобедренной трапеции

Учитель: «По рисунку найти
неизвестные.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.Задание на дом

Д/з §6 № 118,120

Учитель: «В домашнем задании
вам необходимо будет доказать, что четырёхугольник является трапецией. Как вы
это будете доказывать?»

Учащиеся: «У трапеции 2
стороны параллельны , а две другие не параллельны.»

Учитель: «Как будете
доказывать, что две стороны не параллельны? Что значит, что прямые не
параллельны?»

Учащиеся: «Это ,значит, что
они пересекаются»

 

14.Рефлексия

Учитель: «С каким
четырёхугольником мы сегодня познакомились?»

Учащиеся: «Трапеция»

Учитель: «Определение
трапеции»

Учащиеся: «Трапецией
называется четырёхугольник, у которого 2 стороны параллельны, 2 другие не
параллельны.»

Учитель: «Какие виды трапеции
вы знаете?»

Учащиеся: «Прямоугольная и
равнобедренная»

Учитель: «Давайте вспомним
определение средней линии трапеции.»

Учащиеся: «Средней линией
треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.»

Учитель: «А какими свойствами
обладает средняя линия трапеции?»

Учащиеся: «Средняя линия
трапеции параллельна основаниям , а её длина  равна полусумме длин оснований»

Учитель: «С какими свойствами
равнобедренной трапеции вы познакомились?»

Учащиеся: «Диагонали
равнобедренной трапеции равны и углы при каждом основании равнобедренной
трапеции равны.»

Учитель: «Молодцы.»


Средняя линяя трапеции. Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией
.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями
, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами
. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN
средняя линия, AB
и CD

— основания, AD
и BC
— боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача
: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC
=>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2
    .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.

    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ
    .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b)
    .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2
    .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2
    .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2
    .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2
    . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2
    .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ
    .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ
    . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ
    .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2
    .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ
    .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab
    .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2
    ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной
:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение:
Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

– это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 — AD
и BC
), две другие – боковыми (на рисунке AB
и CD
).

Средняя линия трапеции
– это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL
).

Свойства средней линии трапеции

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать
, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD
со средней линией KL
. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B
и L
. На рисунке 2 это прямая BQ
. А также продолжить основание AD
до пересечения с прямой BQ
.

Рассмотрим полученные треугольники LBC
и LQD
:

  1. По определению средней линии KL
    точка L
    является серединой отрезка CD
    . Отсюда следует, что отрезки CL
    и LD
    равны.
  2. ∠ BLC
    = ∠ QLD
    , так как эти углы вертикальные.
  3. ∠ BCL
    = ∠ LDQ
    , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD
    и BC
    и секущей CD
    .

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC
и LQD
равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC
= ∠ LQD
, BC=DQ
и самое главное — BL=LQ
=> KL
, являющаяся средней линией трапеции ABCD
, также является и средней линией треугольника ABQ
. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ
получаем.

Средняя линия
фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Свойства

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.
  • Площадь и, соответственно, и объём отсекаемого средней линией треугольника равна 1/4 от площади и, соотвественно, объёму от всего данного треугольника.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника
— отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода
    . Средние линии второго рода
    — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода
    выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона .
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции
— отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле:
E
F
=
A
D
+
B
C
2
{\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}
, где AD
и BC
— основания трапеции.

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD
, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

Признаки средней линии трапеции. Средняя линия трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ:
$10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:

Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b
и со средней линией l

, и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:

*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:

Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:

*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией
.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями
, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами
. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN
средняя линия, AB
и CD

— основания, AD
и BC
— боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача
: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC
=>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Средняя линия трапеции

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две — не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC ||BD. АВDС — трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями; АВ и СD — основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD — боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной.

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (рис. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (рис. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС — средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (рис. 255).

Надо доказать:

1) ОС || КD и ОС || АВ;

2) OC = \(\frac{KD + AB}{2}\)

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:

ВС = СD — по условию;

∠1 = ∠2, как вертикальные,

∠4 = ∠3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, \(\Delta\)АBС = \(\Delta\)DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно:

1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;

2) OC = \(\frac{KE}{2} = \frac{KD + DE}{2}\), но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:

OC = \(\frac{KD + AB}{2}\)

Теорема доказана.

Свойства трапеции, которые часто используются при решении задач:

  1. Диагонали трапеции разбивают её начетыре треугольника с общей вершиной. Площади треугольников, прилежащие к боковым сторонам, равны.

  2. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, на которой лежат боковые стороны, лежат на одной прямой (точки М, N, О и К).

  3. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

  4. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии этой трапеции

  5. В равнобокой трапеции диагонали равны.

  6. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой — их полусумме.

  7. Во всякой трапеции серединам боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
  8. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований.

  9. Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований.
  10. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  11. Трапецию можно описать около окружности тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Презентация к уроку геометрии 8 класс на тему «Средняя линия»

Средняя линия (8 класс)

Содержание

  • Средняя линия треугольника
  • Средняя линия трапеции
  • Задачи

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника.

Определение:

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют

СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА .

Теорема

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине

т.е.:

ED А B

ED = ½ А B

С

D

Е

A

В

  • Доказательство.

Решить задачу устно:

B

Дано:

M К – сред. линия

АС=12

Найти: M К

K

?

M

A

12 см

C

Работа в парах:

Решим задачу :

Дано:

MN – сред. линия

Найти: P АВС

B

4

3, 5

M

3

N

A

C

Работа в парах:

Самостоятельная работа

Дано: AC║EF; EB =4; EF =12; FC =5

Найти: P ABC

В

E

F

С

А

Решим задачу

Дано : С D║BE║MK; AD =16; CD =10;MB=4

Найти : P AMK

B

C

M

D

А

E

K

Средняя линия трапеции

Трапеция – это четырехугольник ,

у которой только две противолежащие стороны параллельны.

B

C

BC || AD — основания

AB łł CD – боковые стороны

A

D

Равнобедренная трапеция

C

B

AB=CD

ABCD равнобедренная трапеция

A

D

Определение:

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Прямоугольная трапеция

C

B

A = В = 90 0

ABCD прямоугольная трапеция

D

A

Определение:

Трапеция, у которой один из углов прямой, называется прямоугольной.

MN – средняя линия

трапеции ABCD

Средняя линия трапеции .

Определение : Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

B

C

N

M

D

A

Теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

т.е.:

М N ║ВС║А D

М N = ½ (ВС+А D)

B

C

N

M

D

A

Дано: АВС D -трапеция QP – средняя линия Доказать:

  • Доказательство. Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в некоторой точке Е
  • Треугольники РВС и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них CP=DP по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и PDE равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ=РЕ, BC=ED.
  • Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника ABE. По свойству средней линии треугольника PQ II A D и отрезок PQ= ½ (AD+BC)

Решить устно:

6,3 см

C

B

?

N

M

D

A

18,7 см

Решить устно в парах:

Дано: AB = 16 см; CD = 1 8 см; М N = 15 см

Найти: P ABCD = ?

B

C

N

M

D

A

СПАСИБО

ЗА УРОК !!!

Решить задачу № 1:

Дано: P Δ = 54; MN – средняя линия

Найти: MN

7

?

M

N

5

Решить задачу № 2

Дано: АВС D -трапеция; MN — средняя линия

А D =2ВС; ВС=6см

Найти: PQ

C

B

M

N

Q

P

K

D

A

Решить задачу № 3

Дано: MN — средняя линия Δ АВС; АС =100мм

M 1 N 1 — средняя линия Δ M В N

Найти: M 1 N 1

B

?

M

N

M

N

A

С

Решить задачу № 4:

Дано: АВС D — прямоугольная трапеция; ВС =3

С D =4; MN — средняя линия Δ АВ D

Найти: MN

В

С

M

?

А

D

N

Решить задачу № 5

Дано: Δ АВС подобен Δ В D К; ВС =10 ; В D =15 ; D К =9 ; MN — средняя линия Δ АВС

Найти: MN

D

А

M

В

?

N

С

К

Решить задачу № 6

Дано: АВС D -трапеция; В D =25; С D = 10; АВ =12

MN -средняя линия Δ АВ D

Найти: MN

В

С

?

N

M

D

A

Решить задачу № 7

Дано: АВС D -прямоугольник; ВС=17см;

О- точка пересечения диагоналей; ОК ┴ВС; ОК=4см

Найти: P АВС D

K

В

С

O

А

D

Задач а № 8.

Дан прямоугольный треугольник АВС. Гипотенуза АВ равна 50 см. Прямая А D делит сторону СВ пополам. М N – средняя линия треугольника АВ D и равна 10 см. Найти катет АС.

Решение.

1 ) т.к. М N – средняя линия треугольника АВ D , то В D = 2 · 10=20(см).

2) т.к. В D = D С, то

ВС=2 · 20=40(см).

3) т.к. Δ АВС-

прямоугольный, то

по т. Пифагора имеем: а ² = с ² -в ² , т.е.

АС ² =50 ² — 40 ² =2500-1600=900

Тогда АС=30(см)

Ответ: АС=30(см)

A

50

10

?

N

M

С

В

D

Задача № 9.

Дано :СЕ║ВМ║АК; СЕ+ВМ+АК =21см

АВ=4 см; ВС =2см; С D =2см

Найти : АК;СЕ;ВМ

D

C

Е

B

M

А

K

Самостоятельная работа

Дано: АВС D – трапеция; MN =8

S АВС D = 56; MN — средняя линия

Найти: высоту

С

В

M

N

A

D

К

СПАСИБО

ЗА УРОК !!!

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Использование теоремы о трапецеидальном срединном сегменте — математический класс [видео 2021 года]

Линии на изображении параллельны, потому что они не сходятся и не расходятся в любой точке.

Средний сегмент

Давайте назовем две стороны треугольника, которые не параллельны, ногами . Две другие параллельные стороны будут называться основаниями .

Ножки и основания трапециевидной формы

Средний сегмент трапеции — это линия, проходящая от середины одной ноги до середины другой ноги.Средний сегмент пересекает каждую ногу посередине. Средняя точка находится на одинаковом расстоянии от обоих концов линий ног.

Середина и середины трапеции

На координатной плоскости

Можно использовать все, что мы узнали, когда у нас есть трапеция на координатной плоскости. Допустим, вам даны следующие четыре балла:

  • (0, 0) (5, 0) (1, 4) (5, 4)

Вы можете изобразить их на координатной плоскости, проведя линии между точками, чтобы найти трапецию.

Трапеция с координатами (0, 0) (5, 0) (1, 4) (5, 4)

Эта трапеция выглядит немного иначе, чем та, которую мы видели ранее, но вы все равно можете видеть, что основания параллельны, а ножки — нет. Здесь мы можем легко нарисовать средний сегмент. Помните, что средний сегмент должен начинаться посередине каждой ноги.

Поскольку обе наши ноги начинаются с 0 на оси y и заканчиваются на 4 на оси y , легко увидеть, что средние точки должны приходиться на 2 на оси y для обеих сторон. .Затем мы просто проводим линию через середину сегмента.

График среднего сегмента

Теорема о среднем сегменте трапеции

Теперь, когда мы понимаем некоторые основы трапеций, давайте поговорим о теореме о срединном сегменте о трапеции , в которой говорится, что длина среднего сегмента равна сумме базовых длин, деленной на 2 Другими словами, средний сегмент — это средняя длина двух оснований.

Итак, допустим, мы смотрим на трапецию, у которой длина основания наверху равна 2, а длина основания внизу равна 4. Чтобы найти длину среднего сегмента, мы просто сложим длину основания базы:

Затем разделите сумму на 2:

Таким образом, длина среднего сегмента равна 3.

Некоторые примеры

На этот раз длины двух оснований составляют 8,975 см и 3,4 см. Какова длина среднего сегмента?

Начните с сложения двух оснований:

  • 8.975 см + 3,4 см = 12,375 см

Затем разделите сумму на 2:

  • 12,375 см / 2 = 6,1875 см

Просто! Длина миделя составляет всего 6,1875 см.

Теперь предположим, что вам дали задачу, где вам дали:

  • Длина среднего сегмента = 14
  • Длина одной из баз = 16,5

Какова длина другой базы? Можем ли мы использовать теорему таким образом? Что ж, давайте посмотрим на пример.

При решении подобных задач проще всего начать с уравнения и заполнить то, что мы знаем:

  • Средний сегмент = (base1 + base2) / 2

Так как мы знаем длину среднего сегмента, давайте заполним это:

Затем мы заполним известную базовую длину:

Теперь мы будем использовать обратные операции для решения для base2.Начните с умножения обеих сторон на 2:

Затем вычтите 16,5 с обеих сторон, чтобы выделить base2:

Таким образом, длина второго основания равна 11,5.

Итоги урока

Хорошо, давайте сделаем небольшой обзор. Как мы узнали, трапеции — это 4-сторонние фигуры (четырехугольники), пара сторон которых параллельна, а другая пара — нет. У них одна пара параллельных сторон, называемая основаниями , и другая пара непараллельных сторон, называемая ножками .

Средний сегмент трапеции проходит поперек трапеции, начиная с середины каждой ноги, при этом средняя точка находится на равном расстоянии от обоих концов линий ног. Длину среднего сегмента можно рассчитать с помощью теоремы о срединном сегменте трапеции , которая гласит, что длина среднего сегмента равна сумме базовых длин, деленной на 2. Следовательно, ее можно рассчитать, сложив длину каждого сегмента. base и разделив сумму на 2.

Трапеция

(Перейти к области трапеции или периметру трапеции)

Трапеция — это четырехсторонняя плоская форма с прямыми сторонами, имеющая пару противоположных сторон, параллельных (отмечены стрелками ниже):

Трапеция Равнобедренная трапеция

Трапеция:

имеет пару параллельных сторон

— это равнобедренная трапеция , когда она имеет равные углы от параллельной стороны

называется « трапеция » в Великобритании (см. Ниже)

Люфт трапецией:

Параллельные стороны — это «основания»

Две другие стороны — «ножки»

Расстояние (под прямым углом) от одной базы до другой называется «высотой».

Площадь
трапеции

Площадь — это среднее значение для двух базовых длин, в раз превышающее высоту :

Площадь = a + b 2 × h

Пример: два основания трапеции составляют 6 м и 4 м, а высота — 3 м.Какова его площадь?

Площадь = 6 м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м 2

Инструмент «Площадь многоугольника по рисованию» полезен, когда вы можете нарисовать трапецию.

Периметр трапеции

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр равен сумме длин всех сторон :

Периметр = a + b + c + d

Пример: Трапеция имеет длину стороны 5 см, 12 см, 4 см и 15 см. Каков ее периметр?

Периметр = 5 см + 12 см + 4 см + 15 см = 36 см

Медиана трапеции

Медиана (также называемая средней линией или срединным сегментом) — это линейный сегмент на полпути между двумя основаниями.

Средняя длина — это среднее значение двух базовых длин:

м = а + б 2

Вы можете рассчитать площадь, зная медианное значение, это просто медиана, умноженная на высоту:

Площадь = mh

Трапеция

Трапеция (UK: trapezoid) — четырехугольник без параллельных сторон.

Определения США и Великобритании поменялись местами, например:

Трапеция Трапеция
США: Пара параллельных сторон НЕТ параллельных сторон
Великобритания: НЕТ параллельных сторон Пара параллельных сторон

Площадь трапеции — формула, примеры, решения

Студенты должны выполнять различные домашние задания по геометрии.Однако наибольшие трудности возникают у учеников средней школы, потому что они изучали только математику и алгебру, а также геометрию. Например, им нужно найти перпендикулярное расстояние, площадь поверхности или параллельные стороны трапеции. Сегодня мы поговорим конкретно о трапециях, нахождении площади и рассмотрении ее одной из важнейших теорем.

Трапеция — что это за фигура?

Трапеция — это четырехугольник, у которого две параллельные стороны и две непараллельные стороны.Параллельные стороны называются основаниями трапеций, а две другие — боковыми сторонами. Высота трапеции — это расстояние между линиями, на которых лежат основания трапеции, любого общего перпендикуляра этих линий. Середина трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон.

Трапеция Характеристики

Если в трапецию вписан круг, то сумма основ всегда совпадает с суммой сторон: a + b = c + d, а средняя линия всегда равна полусумме сторон:

Равнобедренная трапеция — это трапеция, стороны которой равны AB = CD.Тогда диагонали AC = BD и углы при основании равны:

Из всех трапеций только равнобедренную трапецию можно описать окружностью, если сумма противоположных прямых углов равна 180 °. В равнобедренной трапеции расстояние от верха одного основания до выступа противоположного верха, который непосредственно связан с основанием, всегда точно соответствует средней линии.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, имеющая базовый угол 90 °.

Теорема: Площадь трапеции

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, мы делаем следующее: делим многоугольник на треугольники и находим площадь треугольника.Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника. Используя эту технику, мы выводим формулу для расчета площади свободной трапеции. Условимся называть высоту трапеции перпендикуляром, проведенным из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке ниже мы указали, что отрезок линии BH соответствует высоте трапеции ABCD:

На основании этого получаем теорему: «Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.»Основываясь на формуле площади, мы можем доказать эту теорему.

Дана трапеция: ABCD, AD и BC — длины оснований, BH — высота.

Докажите: площадь этой трапеции ABCD будет равна S = ½ (AD + BC) · BH.

Доказательство: начертите диагональ BD. Он делит трапецию на два треугольника ABD и BCD. Это означает, что периметр трапеции ABCD будет равен сумме площадей этих треугольников.

В треугольнике ABD: AD — основание, а BH — высота.В треугольнике BCD: BC — основание.

Нарисуем высоту ДК. Площадь S треугольника ABD = 1/2 AD · BH; площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · DK. Поскольку BH = DK, то площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · BH. Таким образом, площадь S трапеции ABCD = 1/2 AD · BH + 1/2 BC · BH = 1/2 (AD + BC) · BH. Что требовалось доказать.

Расчет областей в прошлые времена

Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь трапеции в квадратных единицах.Древние египтяне 4000 лет назад использовали почти те же уловки, что и мы: сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту.

Определение площадей геометрических фигур — одна из древнейших практических задач. Люди не сразу нашли правильный подход к своему решению. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей открыл Евклид. При расчете площадей он использовал простую технику, называемую методом разбиения.

Расчет площадей в современном мире

Сегодня существует множество формул для расчета длин сторон, вершин, параллельных оснований и трапеции с площадью.Мы рассмотрим самые основные из них. Приведенные ниже формулы просты в использовании, но если вам сложно понять и вам нужна помощь в выполнении домашних заданий, вы всегда можете связаться с нашей службой. Опытные авторы проконсультируют вас по всем задачам, и вы значительно улучшите свою успеваемость.

Формула для вычисления площади трапеции по основанию и высоте

Дана произвольная трапеция. Чтобы найти его площадь, воспользуемся следующей формулой:

В этой формуле:

  • а, б — основание трапеции;
  • hh — высота трапеции.

Представьте, что нам нужно найти область трапеции с известными основаниями, численно равными 10 см и 8 см. Также всем известная высота, 6 см в длину.

Решение:

Сразу подставляем числа в имеющуюся формулу и вычисляем значение:

Ответ: 54 квадратных сантиметра.

Формула площади трапеции в основании и осевой линии

Следует отметить, что средняя линия трапеции составляет половину суммы ее оснований.Таким образом, нахождение области через осевую линию — не что иное, как метод, аналогичный первому. Постольку:

В этой формуле:

  • S = 1 ч;
  • l — средняя линия трапеции;
  • h — высота.

Предположим, нам нужно найти область трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 см, а высота трапеции в два раза больше ее высоты.

Решение:

Найдите высоту трапеции:

h = 2 ⋅ 5 = 10

Площадь:

S = l ⋅ h = 5 ⋅ 10 = 50 см.кв.

Ответ: 50 кв. сантиметров

Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол

Этот футляр подходит только для равнобедренной трапеции:

В этой формуле:

  • r — радиус вписанной окружности;
  • α — угол между основанием и стороной.

Предположим, нам дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 см.Угол α равен 90 градусам. Нам нужно найти площадь трапеции.

Решение:

По формуле:

Ответ: 64 квадратных сантиметра.

Формула площади трапеции через диагонали и угла между ними

Существует простая формула для определения площади трапеции по диагоналям и угла между ними:

В этой формуле:

  • d1, d2 — диагонали трапеции;
  • α — угол между диагоналями.

Пусть две диагонали трапеции равны 20 см и 7 см. Когда они пересекаются, они образуют угол в 30 градусов. Нам нужно найти площадь трапеции.

Решение:

  • d1 = 20;
  • d2 = 7;
  • α = 30 °.

Площадь:

Ответ: 35 квадратных сантиметров.

Трапеции и созвездия

Трапеция встречается не только в домашних заданиях по математике.Этот рисунок можно найти при изучении созвездий. Выдающийся астеризм весеннего неба — трапеция Льва, наблюдаемая по вечерам с февраля по май. Эта фигура находится в зодиакальном созвездии Лев, образуя тело животного, и по форме напоминает трапецию.

Четыре ярких звезды созвездия α, β, γ и δ расположены на вершинах трапеции — тела льва. А голова льва образована звездами, расположенными в форме серпа.Отсюда и название — трапеция Льва.

Трапеции в экспериментальной физике Посмотреть

Союз физики и математики предполагает непрерывное движение науки вперед. В физике ученые проводят эксперименты, суть которых становится полностью ясной только после математического анализа. Многие отрасли математики обязаны своим происхождением и дальнейшим развитием новым физическим экспериментам. В качестве примера рассмотрим школьные лабораторные работы по физике.

Постановка вопроса: Рассмотрим фигуру — произвольную трапецию ABCD.Нарисуйте две ее диагонали AC и BD, которые делят трапецию на четыре треугольника — ABO, BCO, CDO и DAO. Треугольники ABO и CDO равны:

Формулировка цели экспериментальной работы: с помощью взвешивания доказать, что массы треугольников, полученных по диагоналям и сторонам трапеции, равны.

Ход лабораторных работ:

  1. Учащимся необходимо взять с собой: лист бумаги, линейку, карандаш, ластик, ножницы.
  2. Учащиеся рисуют параллельные линии с помощью прямоугольных линеек.
  3. Учащимся нужно построить пять разных трапеций и нарисовать диагональ.
  4. Учащиеся ножницами вырезают из трапеции треугольники, которые имеют одну сторону трапеции.
  5. С помощью весов-бревен учащиеся взвешивают разрезанные треугольники ABO и CDO.
  6. Студенты записывают полученные результаты в таблицу и сравнивают.

Как видите, знания о трапеции пригодятся вам в физике и других науках.

Калькулятор трапеций

: найдите A и P

Добро пожаловать в калькулятор трапеций Omni , где мы узнаем все об этих четырехугольных формах. Мы покажем вам , как вычислить площадь трапеции, , как найти высоту трапеции, или как выглядит формула периметра трапеции . Также мы уделим время описанию некоторых особых типов четырехугольника: равнобедренной трапеции и правой трапеции. И не волнуйтесь; мы не оставляем камня на камне — мы даже упоминаем в калькуляторе срединный и трапециевидный углы.

Похоже, есть несколько вещей, которые нужно обсудить, так что приступим, ладно?

Что такое трапеция?

Трапеция — это четырехугольник (форма, имеющая четыре стороны), у которого есть по крайней мере одна пара противоположных сторон, параллельных друг другу. Обратите внимание, что мы сказали « по крайней мере, одна пара сторон» — если фигура имеет две такие пары, это просто прямоугольник. И не заблуждайтесь — каждый прямоугольник представляет собой трапецию . Обратное, конечно, неверно.

Две параллельные стороны обычно называются основаниями . Обычно мы рисуем трапеции так, как мы делали выше, что может подсказывать, почему мы часто проводим различие между ними, говоря нижнее и верхнее основание . Две другие непараллельные стороны называются ножками (аналогично двум сторонам прямоугольного треугольника).

Есть несколько особых случаев трапеций, которые мы хотели бы здесь упомянуть.

  1. Прямоугольник
    Мы уже упоминали об этом в начале этого раздела — это трапеция, которая имеет две пары противоположных сторон, параллельных друг другу .

  2. Равнобедренная трапеция
    Трапеция, ног которой имеют одинаковую длину (аналогично тому, как мы определяем равнобедренные треугольники).

  3. Правая трапеция
    Трапеция, одна нога которой перпендикулярна основанию . Во-первых, обратите внимание, что здесь нам требуется только одна из ног, чтобы удовлетворить этому условию — другая может или не может. Во-вторых, обратите внимание на то, что если нога перпендикулярна одному из оснований, то она автоматически перпендикулярна и другой, так как обе ноги параллельны.

Имея в виду эти особые случаи, внимательный взгляд может заметить, что прямоугольников удовлетворяют условиям 2 и 3 . Действительно, если бы кто-то не знал, что такое прямоугольник, мы могли бы просто сказать, что это равнобедренная трапеция, которая также является правой трапецией. Довольно причудливое определение по сравнению с обычным, но оно определенно заставляет нас звучать утонченно, не так ли?

Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, позвольте нам упомянуть еще два линейных сегмента, которые есть у всех трапеций.

Высота трапеции — это расстояние между основаниями, то есть длина линии, соединяющей два , которая перпендикулярна обоим. Фактически, это значение имеет решающее значение, когда мы обсуждаем, как вычислить площадь трапеции, и поэтому получает отдельный отдельный раздел.

Середина трапеции — это линия, соединяющая середины ног. Другими словами, с учетом приведенного выше рисунка, это линия, разрезающая трапецию по горизонтали пополам .Он всегда параллелен основаниям и с обозначениями, как на рисунке, у нас есть медиана = (a + b) / 2 . Если вам интересно название, обязательно ознакомьтесь с калькулятором медианы Omni (примечание: он не касается трапеций).

Хорошо, мы достаточно хорошо узнали нашу форму ; мы даже видели одну формулу трапеции! Давайте сделаем еще один шаг и попробуем еще лучше разобраться в теме. Мы начнем этот углубленный анализ с формулы периметра трапеции и ее внутренних углов .

Формула периметра трапеции и углы трапеции

Периметр многоугольника равен сумме его сторон . Для героя сегодняшней статьи история ничем не отличается. Используя обозначения, как на рисунке в первом разделе (и в калькуляторе трапеций), мы выводим формулу периметра трапеции как:

P = a + b + c + d .

Довольно просто, не правда ли?

Далее, поговорим об углах . Как и в любом другом четырехугольнике, сумма углов трапеции составляет 360 градус (или радиан).Однако условие того, чтобы быть трапецией (т.е. иметь пару параллельных сторон), накладывает дополнительных свойств на отдельные из них. Если быть точным, пара углов вдоль одной из ножек — это дополнительные углы. Это означает, что их сумма должна равняться 180 градусам (или π радиан), что в обозначениях из рисунка в первом разделе означает:

α + 𝛾 = β + δ = 180 ° .

Обратите внимание, что наш инструмент также упоминает углы в нижнем наборе переменных полей.Таким образом, он также может служить калькулятором угла трапеции, когда это числа, которые мы ищем. И действительно, они часто пригодятся — они играют важную роль , когда мы узнаем, как найти высоту трапеции, и это, в свою очередь, появляется при изучении того, как вычислить площадь трапеции. Однако начнем с последнего вопроса.

Как рассчитать площадь трапеции

Давайте снова возьмем картинку из первого раздела, чтобы вам не приходилось пролистывать всю статью всякий раз, когда вы хотите вспомнить обозначения.

Площадь трапеции формулы имеет следующий вид:

A = (a + b) * h / 2 .

Обратите внимание, что действительно, как мы уже упоминали пару раз, очень важно знать, как найти высоту трапеции, чтобы вычислить ее площадь. Кроме того, ноги никогда не фигурируют в уравнении. Конечно, они определяют форму нашего четырехугольника, но их длина используется только в формуле периметра трапеции, которую мы обсуждали в предыдущем разделе.

Наконец, давайте проясним, что по порядку операций не имеет значения, в какой момент мы делим на 2 в указанной выше области формулы трапеции.Мы можем либо сначала вычислить (a + b) * h , а затем разделить все на 2 , либо сначала найти h / 2 , и только затем умножить его на (a + b) . Фактически, зоркий глаз заметит, что (a + b) / 2 — это медианное значение , которое мы упомянули в первом разделе. Другими словами, в качестве альтернативы мы можем использовать формулу A = median * h , чтобы найти A .

Хорошо, мы научились вычислять площадь трапеции, и все это кажется простым, если мы предоставим нам все данные на пластине. Но что, если они этого не сделают? Базы достаточно простые, но как насчет х ? Что ж, пора посмотреть , как найти высоту трапеции.

Как найти высоту трапеции

Решающий факт, который мы используем для определения высоты трапеции, заключается в том, что — это отрезок прямой, перпендикулярный основанию . Это дает нам прямой угол в обеих конечных точках, что позволяет нам использовать прямоугольные треугольники. И первое, что приходит в голову, когда мы слышим фразу прямоугольный треугольник , это, конечно же, теорема Пифагора.

Давайте проведем линию от одной из верхних вершин , которая падает на нижнее основание и под углом 90 градус. (Обратите внимание, как для тупых трапеций, подобных изображенной на правом рисунке выше, высота h выходит за пределы формы, то есть на линии, содержащей a , а не саму a . Тем не менее, то, что мы описываем ниже, все еще остается в силе. для таких четырехугольников.) Длина этой линии равна высоте нашей трапеции, поэтому именно то, что мы ищем. Обратите внимание на то, как мы нарисовали линию , она образует прямоугольный треугольник с одной из сторон c или d (в зависимости от того, какую верхнюю вершину мы выбрали).

Если у нас есть длина ноги трапеции и мы можем вычислить другую сторону прямоугольного треугольника (например, e или f на картинке выше), то мы знаем, как найти высоту трапеции — воспользуемся теоремой Пифагора .Однако есть еще один способ его вычисления.

Если вы немного разбираетесь в тригонометрии, вы сможете найти высоту , используя внутренний угол трапеции . Чтобы быть точным, глядя на углы трапеции в нашем калькуляторе (то есть на обозначения на рисунке), мы можем использовать определение тригонометрических функций, чтобы написать:

h = c * sin (α) = d * sin (δ) ,

, где sin — синусоидальная функция. На самом деле, может случиться так, что угол будет равен 30 , 45 или 60 градусам, и в этом случае мы можем просто использовать свойства специальных прямоугольных треугольников с такими внутренними углами.

Наконец, отметим, что весь этот поиск h очень прост в особом случае — когда у нас есть правильная трапеция . Тогда высота нашей трапеции — это просто нога, лежащая рядом с прямым углом. Обратите внимание, что в этом случае приведенная выше тригонометрическая формула все еще работает, поскольку sin (90 °) = 1 .

Уф, это было много теории . Пришло время использовать эти формулы трапеций и посмотреть , как на практике вычислить площадь и периметр трапеции .

Пример: использование калькулятора трапеций

Давайте посмотрим, как найти площадь и периметр трапеции со сторонами и углами, обозначенными как в калькуляторе трапеций, и следующими данными:

a = 8 дюймов , b = 5 дюймов , d = 3 дюйма , α = 90 ° , δ = 45 ° .

На вид не так много, но давайте посмотрим, что мы можем здесь сделать . Однако во-первых, давайте заметим, что наш калькулятор трапеций может легко справиться с нашей задачей даже с таким небольшим количеством информации.Действительно, если мы введем вышеуказанные числа в наш инструмент (обратите внимание, как мы можем переключиться на другие единицы, щелкнув по ним и выбрав подходящий из списка), он заполнит все остальные поля . Например, в качестве калькулятора угла трапеции он будет использовать идентификаторы, упомянутые во втором разделе, для вычисления β и 𝛾 . Также обратите внимание, что мы можем дополнительно перейти в расширенный режим и увидеть длину медианы.

Если инструмент может это сделать, можем и мы! Давайте посмотрим, как вычислить площадь и периметр трапеции вручную.

Прежде всего, обратите внимание, что мы имеем дело с правой трапецией , поскольку α = 90 ° (фактически, у нас также есть β = 90 ° ). Это означает, что сторона c перпендикулярна основаниям и, следовательно, равна высоте c = h . Однако мы не знаем c , поэтому нам еще предстоит найти .

Для этого нарисуйте высоту нашей трапеции , которая идет от вершины между b и d .Вместе с d и частью a , он образует прямоугольный треугольник . Более того, нам известен один из его углов — δ = 45 ° . Значит, это один из частных случаев — это половина квадрата. Следовательно, h равно нижней стороне треугольника, а d фактически является диагональю квадрата, что означает, что:

h = d / √2 = 3 дюйма / √2 = 1,5√2 дюйма ≈ 2,1213 дюйма

(последнее равенство получаем, рационализируя знаменатель).

Теперь у нас есть все необходимое , чтобы найти A . Вспомните из специального раздела, как рассчитать площадь трапеции, и используйте эту информацию для получения

A = (a + b) * h / 2 = (8 дюймов + 5 дюймов) * 1,5√2 дюйма / 2 = 9,75√2 дюйма² ≈ 13,789 дюйма² .

Мы также собрали все данные, чтобы найти P , поскольку c = h = 1,5√2 в . По формуле периметра трапеции из второго сечения получаем

P = a + b + c + d = 8 дюймов + 5 дюймов + 1.5√2 дюйма + 3 дюйма = 16 + 1,5√2 дюйма ≈ 18,12 дюйма .

Неплохо, правда? Стороны и углы, которые мы получили вначале, казались довольно случайными, но нам удалось найти им хорошее применение. Если вы чувствуете, что жаждет большего количества геометрии и формул , обязательно ознакомьтесь с другими калькуляторами 2D-форм на веб-сайте Omni — у нас есть все!

Четырехугольники — трапеции | Шмооп

Трапеции

Последнее семейство четырехугольников — изгои.Они отличаются от остальных четырехугольников, как социально неудобный гость на четырехугольной вечеринке.

В то время как у остальных из них есть конгруэнтные стороны и углы, о которых можно болтать, эти четырехугольники просто висят у закусочной. Время от времени они могут завязать разговор с одиноким многоугольником, который случайно забредает туда, но это никогда не длится долго, и они просто возвращаются к неудобно уставившимся себе под ноги.

Трапеция представляет собой четырехугольник с только одним набором параллельных сторон.У них абсолютно не может иметь два набора параллельных сторон. Поэтому, когда трапеции начинают свою вечеринку после того, как их выгнали из четырехугольника, мы можем быть уверены, что прямоугольники, квадраты и параллелограммы определенно не будут в списке гостей. Возьмите это, лохи.

Пример задачи

Этот четырехугольник — трапеция?

Сколько пар параллельных линий вы видите? Верх и низ параллельны друг другу, как и две стороны.Поскольку у него две пары параллельных линий, а у трапеции должен быть только один , это не трапеция. Извини, приятель.

Подобно воздушным змеям с их особыми диагоналями, трапеции также имеют части с особыми названиями (хотя ни одно из них не так странно, как названия, которые у нас есть для наших деталей). Трапеция имеет два основания, каждое из которых является одной из параллельных сторон. Две другие стороны, которые не параллельны друг другу, называются ножками трапеции.

Поскольку только основания параллельны, а ноги — нет, мы можем представить этот сценарий как две непараллельные поперечные линии, пересекающие пару параллельных линий.

Глядя на ∠1 и ∠2, мы видим, что это последовательные внутренние углы. То же самое для №3 и №4. Мы уже знаем (благодаря нашему обширному опыту работы с параллельными линиями), что последовательные внутренние углы являются дополнительными, поэтому мы доказали, что последовательные углы в трапеции, которые имеют одну и ту же опору, являются дополнительными.

Когда обе стороны трапеции имеют одинаковую длину, у нас есть особый тип четырехугольника, называемый равнобедренной трапецией .

Как и следовало ожидать, равнобедренные трапеции имеют конгруэнтные части, а также конгруэнтные последовательные углы, общие для основания. Конечно, в то время как равнобедренные треугольники имеют только одно «основание», у равнобедренных трапеций их два. Мы говорим, что вдвойне веселее.

Пример задачи

Если трапеция JANE равнобедренная и один из углов ее основания составляет 73 °, каковы размеры остальных трех углов?

Существует много разных способов определения размеров ∠1, ∠2 и ∠3, но мы начнем с того факта, что в равнобедренной трапеции оба угла, имеющие общее основание, совпадают.Поскольку угол 73 ° и ∠3 разделяют основание JE , они совпадают. Другими словами, m∠3 = 73 °.

Мы также знаем, что, поскольку ∠2 и ∠3 являются последовательными внутренними углами, они являются дополнительными. Мы знаем меру 3, поэтому давайте найдем меру 2.

м∠2 + м∠3 = 180 °
м∠2 + 73 ° = 180 °
м∠2 = 180 ° — 73 °
м∠2 = 107 °

А как насчет ∠1? Поскольку у него общее основание с ∠2, эти два угла конгруэнтны друг другу. Это также означает, что m∠1 = 107 °.

Мы можем дважды проверить это, вспомнив, что все четырехугольники имеют внутренние углы, которые в сумме составляют 360 °.Если мы возьмем сумму этих четырех углов, то и получим это число.

73 ° + 73 ° + 107 ° + 107 ° ≟ 360 °
360 ° = 360 °

Ага. Это углы, которые у нас есть. Не сомневайся на этот счет.

Каждый четырехугольник имеет свои VIP или очень важные многоугольники. И без того эксклюзивный клуб трапеций не исключение. VIP-элементы семейства трапеций — это равнобедренные трапеции. Если они не славятся своими одинаковыми базовыми углами и ногами, то говорят их диагонали.Да, верно: у равнобедренных трапеций совпадающие диагонали. Не верите нам? Подскажем: это из-за чего-то под названием SAS. (Нет, не «дерзко».)

Другой тип VIP в области трапеций — это правая трапеция , имеющая один прямой угол. Конечно, где бы ни находился этот прямой угол, к нему будет идти еще один, потому что основания параллельны друг другу.

Несмотря на то, что не все трапеции созданы равными, нам понадобится что-то, чтобы объединить все трапеции, чтобы у них не было гражданской войны или чего-то подобного.Итак, мы дадим каждой трапеции — даже этим обычным старым неравнобедренным — нечто вроде пояса, называемое медианой. Это выравнивает игровое поле, а также помогает им втягивать кишки после сытной трапезы в День Благодарения.

Медиана трапеции — это сегмент, параллельный основаниям, который соединяет середины непараллельных сторон. Эта линия особенная, потому что мы можем определить ее длину непосредственно по длине двух оснований. Без шуток.

Длина медианы трапеции, L , составляет половину суммы длин оснований B 1 и B 2 .

Пример задачи

Четырехугольник ABCD — это трапеция, а EF — это медиана трапеции. Какова длина EF ?

Поскольку мы знаем длины двух оснований, мы можем использовать формулу медианы, чтобы найти эту длину.

Медиана EF составляет 16 единиц в длину.

Страница не найдена | ЗННХС

Страница не найдена | ЗННХС | Официальный сайт

Этот веб-сайт принимает Руководство по обеспечению доступности веб-контента (WCAG 2.0) в качестве стандарта доступности для всех связанных с ним веб-разработок и услуг. WCAG 2.0 также является международным стандартом ISO 40500. Это подтверждает его как стабильный технический стандарт, на который можно ссылаться.

WCAG 2.0 содержит 12 руководств, организованных по 4 принципам: воспринимаемый, работоспособный, понятный и надежный (сокращенно POUR). Для каждого руководства есть проверяемые критерии успеха. Соответствие этим критериям оценивается по трем уровням: A, AA или AAA. Руководство по пониманию и применению принципов доступности веб-контента 2.0 доступен по адресу: https://www.w3.org/TR/UNDERSTANDING-WCAG20/.

Специальные возможности

Комбинация клавиш быстрого доступа Активация Комбинированные клавиши, используемые для каждого браузера.

Chrome для Linux нажмите (Alt + Shift + shortcut_key)
Chrome для Windows нажмите (Alt + shortcut_key)
Для Firefox нажмите (Alt + Shift + shortcut_key)
Для Internet Explorer нажмите (Alt + Shift + shortcut_key), затем нажмите (ввод)
В Mac OS нажмите (Ctrl + Opt + shortcut_key)

Заявление о доступности (комбинация + 0): страница утверждения, на которой будут показаны доступные ключи доступности.Домашняя страница (комбинация + H): клавиша доступа для перенаправления на домашнюю страницу.
Основное содержимое (комбинация + R): ярлык для просмотра раздела содержимого текущей страницы.
FAQ (комбинация + Q): ярлык для страницы часто задаваемых вопросов.
Контакт (комбинация + C): ярлык для страницы контактов или формы запросов.
Отзыв (комбинация + K): ярлык для страницы обратной связи.
Карта сайта (комбинация + M): ярлык для раздела карты сайта (нижнего колонтитула) на странице.
Поиск (комбинация + S): ярлык для страницы поиска.

Нажмите esc или нажмите кнопку закрытия, чтобы закрыть это диалоговое окно.×

Запрошенная вами страница могла быть перемещена в новое место или удалена с сайта.

Вернитесь на ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ или найдите то, что вы ищете, в поле поиска ниже.

ГЛАВНЫЙ ЛАГЕРЬ:

Урок трапеции — Бесплатная справка по математике

Определение трапеции

Трапеция — четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Как показано на рисунке ниже, параллельные стороны трапеции ABCD называются основаниями , а стороны, которые не параллельны, называются ножками .

Факты о трапециях

Сумма четырех углов в градусах дает 360 градусов . На самом деле это верно для любого четырехугольника. Пусть строчные буквы a, b, c и d представляют углы трапеции ABCD.

Тогда: a + b + c + d = 360 градусов.

Соответствующие пары базовых углов, такие как A и B или C и D, являются дополнительными (в сумме составляют 180 градусов).

угол a + угол b = 180 градусов
угол c + угол d = 180 градусов

Равнобедренная трапеция

Существует особый вид трапеции, называемый равнобедренной трапецией .Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой ноги равны по длине. Помните, что ноги — это непараллельных сторон , в отличие от параллельных оснований. Вы заметите, что в первой трапеции этого урока (выше) ноги НЕ равны.

Это равнобедренная трапеция, называемая ABCD:

.

Имеет следующие характеристики:

Два нижних базовых угла имеют одинаковую меру, и два верхних базовых угла имеют одинаковую меру.

угол a = угол d
угол b = угол c

Диагонали одинаковой длины.

диагональ AC = диагональ BD

Пример задачи

В равнобедренной трапеции MATH сторона HT параллельна стороне MA, отрезок MH конгруэнтен отрезку AT. Градусная мера угла MHT = 60 градусов. Каковы размеры остальных трех углов?

Решение:

Мы знаем, что две ноги совпадают, так что это равнобедренная трапеция. Учитывая это, мы знаем, что два основных угла (T, H) имеют одинаковую меру. Поскольку нам задан угол H равным 60, мы также можем сказать, что

Поскольку верхний и нижний углы являются дополнительными, мы знаем, что

Угол M = 180-60
Угол M = 120

По той же логике, угол A = 120 градусов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *