Среднее пропорциональное что такое: Среднее пропорциональное — это… Что такое Среднее пропорциональное?

Содержание

Среднее пропорциональное — это… Что такое Среднее пропорциональное?

Среднее пропорциональное
        между двумя положительными числами, число, равное квадратному корню из их произведения. Таким образом, если а: х = х: b, то x есть С. п. чисел а и b и х называется также геометрическим средним чисел а и b.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.

  • Среднее образование
  • Среднее специальное образование

Смотреть что такое «Среднее пропорциональное» в других словарях:

  • СРЕДНЕЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ — между двумя положительными числами a и b число x, равное квадратному корню из их произведения …   Большой Энциклопедический словарь

  • среднее пропорциональное — между двумя положительными числами a и b, число x, равное квадратному корню из их произведения: . * * * СРЕДНЕЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ СРЕДНЕЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ между двумя положительными числами a и b, число x, равное квадратному корню из их… …   Энциклопедический словарь

  • СРЕДНЕЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ — см. Геометрическое среднее …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Среднее пропорциональное — …   Википедия

  • Среднее геометрическое — Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально: Среднее геометрическое двух чисел также называется… …   Википедия

  • Прямоугольный треугольник — Прямоугольный треугольник  это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и …   Википедия

  • СРЕДНИЙ — и (устар., простореч.) середний, средняя, среднее. 1. Равно удаленный от начала и конца или находящийся вообще между какими н. крайними пространственными или временными точками, находящийся, стоящий между двумя какими н. предметами, величинами и… …   Толковый словарь Ушакова

  • Орезм — [(иногда называемый Orem, Horem, Horen), Николай, иногда Жак)] французский математик (1323 1382). В 1348 г. поступил в наваррскую коллегию в Париже. По окончании курса О. оставался в коллегии сначала в должности учителя, а затем начальника до… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… …   Энциклопедия Кольера

  • АРХИТ — (Ἀρχύτας) (4 в. до н.э.) – древнегреч. философ, пифагореец; родом из Тарента, глава его правительства; друг Платона. А. – автор многих соч., от к рых дошло лишь неск. фрагментов. Ставя вопрос: Если бы я находился на самом крае вселенной, смог ли… …   Философская энциклопедия

Книги

  • Йога-аюрведа. Питта тип (DVD), Пелинский Игорь. Питта — один из трех типов (вата, питта, капха) конституции тела в традиции Аюрведа. Образующие элементы: огонь и вода. Телосложение: среднее, пропорциональное. Йога иаюрведа — родственные… Подробнее  Купить за 274 руб

Среднее пропорциональное / Построения циркулем и линейкой / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Среднее пропорциональное положительных чисел и — это такое число , которое равно квадратному корню из произведения этих чисел, т.е. .

Среднее пропорциональное носит такое название, потому что число является средним членом пропорции .

Средним пропорциональным (или средним геометрическим) двух отрезков и , называется такой отрезок , что: .

Чтобы построить среднее пропорциональное двух отрезков используют циркуль и линейку.

Ход построения:

Пусть нам даны два отрезка и , строим их.

Затем строим с помощью линейки прямую , отмечаем на ней точку А и строим отрезок АЕ, равный отрезку . Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса с центром А (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Затем, аналогично строим отрезок ЕВ, равный отрезку .

Далее найдем середину отрезка АВ. Для этого строим две окружности с центрами А и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая пересечет отрезок АВ в его середине О.

Теперь строим окружность с центром О радиуса ОА.

Затем построим перпендикуляр к прямой так, чтобы он проходил через точку Е, которая делит отрезок АВ в отношении .   Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром Е (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), данная окружность пересечет прямую в двух точках М и В (точку В мы берем как точку пересечения данной окружности и данной прямой для того, чтобы не добавлять на рисунке лишние элементы, но важно помнить, что точки пересечения окружности с центром Е и прямой  могут быть и другие, все зависит от того, каким мы возьмем радиус окружности с центром Е). Далее строим две окружности с центрами М и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая будет перпендикулярна к прямой и пересечет окружность с центром О в точке К.

Длина отрезка ЕК и есть искомый отрезок , равный среднему пропорциональному отрезков и , т. е. или .

Каково среднее пропорциональное состояние страхового возмещения?

Pro Rata Состояние среднего

Термин « пропорционально » используется для описания пропорционального распределения, часто включающего частичный или неполный статус причитающегося платежа. Например, пропорциональная  доля может использоваться в исках о банкротстве, когда активы несостоятельного должника делятся пропорционально между кредиторами в зависимости от размера требований.

В страховой отрасли пропорциональная оценка означает, что страховые выплаты выплачиваются только пропорционально страховой выплате по активу; это также известно как первое условие среднего.

Пропорциональное состояние среднего также можно рассматривать следующим образ: страховщик несет ответственность только за долю потери, что страховая сумма в соответствии с политикой медведей к фактической денежной стоимости актива; застрахованный принимает на себя всю ответственность за пределами этого пункта.

Как работает Pro Rata

Обычно пропорционально означает, что каждому человеку или в некоторых случаях партии дается их справедливая доля чего-то по отношению к целому.

Краткий обзор

Что касается годовых процентов, то выдача правильной части годовой процентной ставки может быть рассчитана с использованием временных рамок через пропорциональную долю.

Расчеты пропорционально могут использоваться для определения выплаты дивидендов, страховых премий или аналогичных ситуаций, когда сумма причитается или подлежит выплате.

Ключевые выводы

  • Пропорциональное условие среднего относится к доле актива, покрываемой страховым полисом.
  • Претензия будет выплачиваться только на актив на основе страхового интереса, покрываемого полисом, поэтому покрытый на 50% актив будет выплачен только до 50% его стоимости в соответствии с страховым полисом.
  • Большинство полисов с пропорциональными условиями сопровождается вторым, особым условием среднего.
  • Пропорциональное условие среднего обычно используется компаниями по страхованию имущества, полисы которых покрывают ущерб.

Пример среднего пропорционального состояния

Предположим, домовладелец застрахован от пожара на сумму 200 000 долларов. Дом на самом деле оценивается в 300 000 долларов. Впоследствии в доме вспыхивает пожар, в результате чего внутреннему и внешнему виду имущества нанесен ущерб на сумму 60 000 долларов.

Если в полисе страхования от пожара используется пропорциональное среднее значение, страховая компания несет ответственность только пропорционально уровню страхования по отношению к стоимости имущества. Поскольку страхование покрывает только две трети стоимости имущества (200 000 долларов США / 300 000 долларов США), застрахованный может возместить только две трети стоимости ущерба – в данном случае 40 000 долларов США (40 000 долларов США / 60 000 долларов США). Это может быть неприятно, если владелец не может позволить себе покрыть оставшуюся стоимость ущерба.

Особые соображения

В большей части страховой литературы указываются только два отдельных состояния среднего. Первый является пропорциональным, как описано выше. Второй известен как особое условие средней, при котором недостаточное страхование не наказывается, если только сумма не составляет менее 75% от стоимости, подверженной риску. Большинство политик с пропорциональными условиями подкрепляются особыми условиями.

 

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Цели урока:

  1. ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
  2. рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
  3. формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План:

  1. Оргмомент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:

    – подготовительный этап;

    – введение;

    – усвоение.
  4. Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  5. Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  6. Доказательство следствий:

    – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;

    – катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
  7. Решение задач.
  8. Подведение итогов.
  9. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I.

ОРГМОМЕНТ

– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?

Начинаем работу.

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)

– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)

– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)

III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА

а) подготовительный этап

– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – и . и  – высоты и  соответственно. .

Задание 1. а) Определите, подобны ли и .

– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников ~)

Задание 1. б) Определите, подобны ли и .

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).

В результате беседы слайд 1 выглядит так:

б) открытие теоремы

Задание 2.

– Определите, подобны ли и , и . В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.

– На рисунке было указано, что . Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали)

– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)

– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.

В результате беседы выстраивается запись:

– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Т. о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.

Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:

– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)

– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы

– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.

в) усвоение теоремы

– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары)

Ученикам предлагается следующее задание:

IV.

ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– А теперь мы изучим с вами новое понятие.

Внимание!

Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если

(записывают в тетрадь).

V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– Теперь обратимся к следующему слайду.

Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.

– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)

– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)

– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?

(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)

Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см

– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)

– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)

– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)

VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ

– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников  и . Что из этого следует? (По определению подобия стороны  пропорциональны сходственным сторонам )

– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? ()

– Выразите СD и сделайте вывод (;.

Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде

VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9», № 571(б)

– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный )

– Что в задаче нужно найти? (Найти )

– Чем будет являться  по отношению к  и ? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)

– Как найти ? ()

– Как теперь найти ? (найдем из по теореме Пифагора: )

– Как найдем ? ( найдем из  по теореме Пифагора: )

– Запишите ответ. (Ответ: )

VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)

– Продолжите предложение:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное м/у…(-… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(-…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)

– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)

IX.

0-\angle ACD=\angle A\]

Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Определение 1

Отрезок $x$ называется средним пропорциональным или средним геометрическим дл отрезков $a$ и $b$, если выполняется следующее равенство

\[x=\sqrt{ab}\]

Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Примеры задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ относятся как $2:3$, а гипотенуза равна $39$ см. Найти отрезки, на которые высота $CD$ делит гипотенузу данного треугольника.

Решение.

Изобразим условие на рисунке:

Рисунок 3.

По теореме 4, с одной стороны, получим

\[AC=\sqrt{AB\cdot AD}\]

А с другой стороны, получим

\[BC=\sqrt{AB\cdot BD}\]

Тогда

\[\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{AB\cdot AD}}{\sqrt{AB\cdot BD}}=\sqrt{\frac{AD}{BD}}=\frac{2}{3}\]

Следовательно

\[\frac{AD}{BD}=\frac{4}{9}\] \[AD=\frac{4}{9}BD\]

Так как $AD+BD=AB=39$, то

\[\frac{4}{9}BD+BD=39\] \[13BD=39\cdot 9\] \[BD=27\] \[\ AD=12\]

Ответ: $12$ и $27$.

Урок геометрии «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» | План-конспект урока по геометрии (8 класс):

Тема урока: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Цели урока:

  1. ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
  2. рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
  3. формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План:

  1. Орг. момент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:

– подготовительный этап;

– введение;

– усвоение.

  1. Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  2. Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  3. Доказательство следствий:

– высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;

– катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

  1. Решение задач.
  2. Подведение итогов.
  3. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. ОРГМОМЕНТ

– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?

Начинаем работу.

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)

– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)

– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)

III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА,

ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА.

а) подготовительный этап

– Ребята, посмотрите, пожалуйста, на первый слайд. Здесь изображены два прямоугольных треугольника – ΔАВС и ΔА1В1С1. BD и B1D1 – высоты ΔАВС и ΔА1В1С1 соответственно. .

Задание 1. а) Определите, подобны ли ΔАВС и ΔА1В1С1.

– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод: (по первому признаку подобия треугольников ΔАВС ~ ΔА1В1С1)

Задание 1. б) Определите, подобны ли ΔАВD и ΔА1В1D1.

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т. к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A1)

– Сделайте вывод: (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).

б) открытие теоремы

Задание 2.

– Определите, подобны ли ΔАВD и ΔАВС, ΔBDС и ΔАВС. В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.

–– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла?(делают вывод – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному.)

– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.

В результате беседы выстраивается запись:

– А теперь давайте сделаем полный вывод. (ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Т. о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.

Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:

– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)

– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы

– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.

в) усвоение теоремы

– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары)

Ученикам предлагается следующее задание:

IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– А теперь мы изучим с вами новое понятие.

Внимание!

Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если 

(записывают в тетрадь).

V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

Задание № 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.

– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)

– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)

– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?

(Подставляем данные в формулу и находим длину ср. проп.) 

Задание № 2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см

– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)

– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)

– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи. )

VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ

– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников ΔACD и ΔCBD. Что из этого следует? (По определению подобия стороны ΔACD пропорциональны сходственным сторонам ΔCBD).

– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? ()

– Выразите СD и сделайте вывод: ; .

Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде

Записи в тетрадях: ; .

VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Л. С. Атанасян «Геометрия 7-9», № 572(б,г), 574 (а).

– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный ΔАВС, )

 

– Что в задаче нужно найти? (Найти h, a, b)

– Чем будет являться h по отношению к bc и ac? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)

– Как найти h? ()

– Как теперь найти a? (a найдем из ΔCHB по теореме Пифагора: )

– Как найдем c? (c найдем из ΔАHС по теореме Пифагора: )

– Запишите ответ. (Ответ: h=48; a=80; b=60)

VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)

– Продолжите предложение:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между…(… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)

– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)

IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

д/з: п. 62, №572 (а, в), 573, 574(б).

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Начнём с повторения уже известных нам сведений о
прямоугольном треугольнике.

Прямоугольным называется треугольник,
у которого один из углов прямой.

Сторону, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой,
а две другие — катетами.

Вы уже знакомы с очень важной теоремой, теоремой
Пифагора
. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.

А также вам известны признаки равенства
прямоугольных треугольников. Они могут быть равны: по двум катетам, по катету и
прилежащему к нему углу, по гипотенузе и острому углу, по катету и гипотенузе.

Сегодня поговорим о пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике. И начнём с задачи.

Задача. Докажите, что
высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из
которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

 

1.

 

2.

 

3.

 

Так мы доказали, что высота прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два
подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых, в свою очередь, подобен
данному треугольнику.

Определение.
Отрезок  называется
средним пропорциональным

(или средним геометрическим) для отрезков  и
,
если .

 Опираясь на данное определение и задачу, решённую нами, докажем
следующие утверждения:

высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые
делится гипотенуза этой высотой.

В предыдущей задаче нами уже было доказано, что
треугольники

 

 

катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между
катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Докажем второе утверждение.

Для этого воспользуемся подобием треугольников ABC
и ACD. Запишем отношение
соответствующих сторон.

 

 

 

Отсюда получаем, что АЦ равно корню квадратному из
произведения АБ и АД.

Выполним задание.

Задача. Найдите элементы
прямоугольного треугольника по известным данным.

 а)

б)

в)

г)

Решение.

а)

б)

 

 

в)

 

г)

 

 

Задача. По данным
рисунка нужно найти площадь .

Решение.

а)  

1.

2.

3.

б)

1.

 

2.

3.

4.

Ответ: а) , б) .

Задача.  —
ромб,  равно
12, .
Найдите площадь ромба.

 Решение.

1.

2. Пусть  

 

 

 

 

3.

4.

 

Ответ: .

Подведём итоги урока.

Сегодня вы познакомились с определением среднего
геометрического и узнали, как это понятие связано с прямоугольным
треугольником.

А именно:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые
делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между
катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

 

Определение пропорциональности по Merriam-Webster

pro · часть · al

| \ prə-ˈpȯr-shnəl

, -shə-nᵊl \

: соответствует размеру, степени или интенсивности

б

: с таким же или постоянным соотношением

соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны

2

: регулируется или определяется по размеру или степени со ссылкой на пропорции

пропорциональная система иммиграционных квот пропорциональный шрифт / гарнитура [= шрифт / гарнитура с символами разной ширины]

Прямо пропорционально — объяснение и примеры

Что означает «прямо пропорционально»?

Прямая пропорция — это отношение между двумя переменными, отношение которых равно постоянному значению.Другими словами, прямая пропорция — это ситуация, когда увеличение одного количества вызывает соответствующее увеличение другого количества, или уменьшение одного количества приводит к уменьшению другого количества.

Иногда слово пропорциональный используется без слова прямой, просто знайте, что они имеют аналогичное значение.

Формула прямой пропорциональности

Прямая пропорция обозначается символом пропорциональности (∝). Например, если две переменные x и y прямо пропорциональны друг другу, то это утверждение можно представить как x ∝ y.Когда мы заменяем знак пропорциональности (∝) знаком равенства (=), уравнение изменяется на:

x = k * y или x / y = k, где k называется ненулевой константой пропорциональности

В нашем В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда изменение одного количества приводит к изменению другого количества. Давайте посмотрим на некоторые из реальных примеров прямо пропорциональной концепции.

  • Стоимость продуктов прямо пропорциональна весу.
  • Выполненная работа прямо пропорциональна количеству рабочих. Это означает, что чем больше рабочих, тем больше работы и меньше рабочих, тем меньше работы выполняется.
  • Расход топлива автомобиля пропорционален пройденному расстоянию.

Пример 1

Расход топлива легкового автомобиля составляет 15 литров дизельного топлива на 100 км. Какое расстояние автомобиль сможет преодолеть с 5 литрами дизельного топлива?

Решение

  • Расход топлива на каждые 100 км пройденного пути = 15 литров
  • Следовательно, автомобиль преодолеет (100/15) км с использованием 1 литра топлива

Если 1 литр => (100/15 ) км

  • Насчет 5 литров дизеля

= {(100/15) × 5} км

= 33.3
Таким образом, автомобиль может проехать 33,3 км на 5 литрах топлива.

Пример 2

Стоимость 9 кг фасоли составляет 166,50 долларов США. Сколько килограммов фасоли можно купить за 259 долларов?

Раствор

  • 166,50 долл. США => 9 кг зерен
  • Что насчет 1 долл. США => 9 / 166,50 кг
    Следовательно, количество закупленных зерен за 259 долл. США = {(9 / 166,50) × 259} кг
  • = 14 кг
    Следовательно, 14 кг фасоли можно купить за 259 долларов США

Пример 3

Общая заработная плата 15 мужчин, работающих в течение 6 дней, составляет 9450 долларов США.Какова общая заработная плата для 19 мужчин, работающих по 5 дней?

Решение

Заработная плата 15 человек за 6 дней => 9450 долларов
Заработная плата за 6 дней для 1 рабочего => (9450/15) долларов
Заработная плата за 1 день для 1 рабочего => (9450 / 15 × 1/6)
Заработная плата 19 человек в день => $ (9450 × 1/6 × 19)

Общая заработная плата 19 мужчин за 5 дней = $ (9450 × 1/6 × 19 × 5)
= 9975 долларов
Таким образом, 19 мужчин зарабатывают всего 9975 долларов за 5 дней.

Практические вопросы

  1. Если общая дневная заработная плата 7 женщин или 5 мужчин составляет 525 долларов.Какой будет дневная заработная плата 13 и 7 женщин и 7 мужчин соответственно?
  2. Расход топлива автомобиля составляет 6,8 л / 102 км. Какое расстояние может преодолеть этот автомобиль на 24 литрах топлива?
  3. Стоимость переправы 160 мешков цемента на 125 км составляет рупий. 60. Сколько будет стоить перегон 200 мешков на 400 км?
  4. Заработная плата 12 мужчин, работающих по 5 дней, составляет 7500 долларов США. Подсчитайте заработную плату 17 мужчин, работающих по 6 дней.
  5. Стоимость 16 кусков мыла весом 1,5 кг каждый — 672 доллара.Подсчитайте стоимость 18 одинаковых кусков мыла весом 2 килограмма каждый.
  6. Масштаб чертежа карты представлен как 1: 20000000. Рассчитайте фактическое расстояние между двумя регионами на карте, которые находятся на расстоянии 4 см друг от друга.
  7. 7-метровый флагшток отбрасывает 5-метровую тень. Вычислите высоту электрического столба, который будет отбрасывать тень 10 м при тех же условиях.
  8. Поезд преодолевает 200 км за 5 часов. Сколько времени потребуется, чтобы преодолеть 600 км?
  9. При стоимости 16 плиток шоколада массой 900 г каждая составляет 84 доллара.Найдите 27 плиток шоколада весом в один килограмм каждая.
  10. Если дневная заработная плата четырех женщин и трех мужчин составляет 480 долларов. Подсчитайте дневную заработную плату семи и одиннадцати мужчин и женщин соответственно.

Ответы

  1. $ 1710
  2. 363 км
  3. $ 240
  4. $ 12750
  5. $ 1008
  6. 800 км
  7. 14 метров
  8. 15 часов
  9. $ 157,50.
  10. $ 2440.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое пропорции | Типы | Примеры

Пропорция объясняется в основном на основе соотношения и дробей.Дробь, представленная в виде a / b, в то время как соотношение a: b, тогда пропорция указывает, что два отношения равны. Здесь a и b — любые два целых числа. Соотношение и пропорция являются ключевыми основами для понимания различных концепций как в математике, так и в естествознании.

Пропорция находит применение в решении многих повседневных жизненных проблем, например, в бизнесе, при совершении транзакций или во время приготовления пищи и т. Д. Она устанавливает связь между двумя или более количествами и, таким образом, помогает в их сравнении.

Что такое пропорция?

Доля, как правило, определяется как часть, доля или количество, рассматриваемые в сравнительном отношении к целому. Определение пропорции гласит, что когда два отношения эквивалентны, они пропорциональны. Это уравнение или утверждение, используемое для обозначения равенства двух соотношений или дробей.

Пропорция — Определение

Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же соотношении, то говорят, что эти отношения прямо пропорциональны друг другу.Пропорции обозначаются символом «::» или «=».

Пропорция — Пример

Два отношения считаются пропорциональными, когда два отношения равны. Например, время, затрачиваемое поездом на преодоление 50 км в час, равно времени, затраченному им на преодоление расстояния 250 км за 5 часов. Например, 50 км / час = 250 км / 5 часов.

Продолжение пропорций

Говорят, что любые три величины находятся в непрерывной пропорции, если соотношение между первым и вторым равно соотношению между вторым и третьим.Точно так же четыре количества в непрерывной пропорции будут иметь соотношение между первым и вторым, равное отношению между третьим и четвертым.

Например, рассмотрим два отношения: a: b и c: d. Чтобы найти непрерывную пропорцию для двух заданных членов отношения, мы преобразуем их средние в один член / число. В общем случае это будет НОК средних, и для данного отношения НОК b и c будет bc. Таким образом, умножив первое отношение на c, а второе отношение на b, получим

  • Первое соотношение — ca: bc
  • Второе соотношение- bc: bd

Таким образом, непрерывную пропорцию для данных соотношений можно записать в виде ca: bc: bd.

Соотношения и пропорции

Коэффициент — это способ сравнения двух одинаковых количеств с помощью деления. Формула отношения для двух чисел a и b задается как a: b или a / b. Умножение и деление каждого члена отношения на одно и то же число (отличное от нуля) не влияет на соотношение.

Когда два или более таких отношения равны, говорят, что они находятся в соотношении .

Четвертый, третий и средний пропорциональный

Если a: b = c: d, то:

  • d называется четвертым, пропорциональным a, b, c.
  • c называется третьим, пропорциональным a и b.
  • Среднее значение, пропорциональное между a и b, равно √ (ab).

Советы и рекомендации по пропорции

  • a / b = c / d ⇒ ad = bc
  • a / b = c / d ⇒ b / a = d / c
  • a / b = c / d ⇒ a / c = b / d
  • a / b = c / d ⇒ (a + b) / b = (c + d) / d
  • a / b = c / d ⇒ (a — b / b = (c — d) / d
  • a / (b + c) = b / (c + a) = c / (a ​​+ b) и a + b + c ≠ 0, тогда a = b = c.
  • a / b = c / d ⇒ (a + b) / (a ​​- b) = (c + d) / (c — d), которое известно как правило componendo -dividendo
  • Если оба числа a и b умножаются или делятся на одно и то же число в соотношении a: b, то полученное соотношение остается таким же, как исходное соотношение.

Формула пропорции с примерами

Формула пропорции — это уравнение, которое можно решить для получения сравнительных значений. Для решения задач пропорций мы используем концепцию, согласно которой пропорция — это два равных друг другу соотношения. Мы имеем в виду это в смысле равенства двух дробей.

Формула соотношения

Предположим, что у нас есть любые две величины (или две сущности), и мы должны найти соотношение этих двух, тогда формула для отношения определяется как a: b ⇒ a / b , где,

  • a и b могут быть любыми двумя величинами.
  • «а» называется первым членом или антецедентом .
  • «b» называется вторым членом или последующим .

Например, в соотношении 5: 9 представляется как 5/9, где 5 является антецедентом, а 9 — следствием. 5: 9 = 10:18 = 15:27

Формула пропорции

Теперь предположим, что два соотношения пропорционально a: b и c: d. Два термина «b» и «c» называются «средствами или средними терминами», тогда как термины «a» и «d» известны как «крайние или крайние термины».’

a / b = c / d или a: b :: c: d. Например, давайте рассмотрим другой пример количества студентов в классе. Наше первое соотношение количества девочек и мальчиков составляет 2: 5, а соотношение остальных — 4: 8, тогда соотношение может быть записано как: 2: 5 :: 4: 8 или 2/5 = 4/8 Здесь 2 и 8 — крайности, а 5 и 4 — средние.

В зависимости от типа отношения, в котором участвуют два или более количества, пропорции можно разделить на разные типы. Есть два типа пропорций.

  • Прямая пропорция
  • Обратная пропорция

Прямая пропорция

Этот тип описывает прямую связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество также увеличивается, и наоборот. Например, если скорость автомобиля увеличивается, он преодолевает большее расстояние за фиксированный промежуток времени. В обозначениях прямая пропорция записывается как y ∝ x.

Обратная пропорция

Этот тип описывает косвенную связь между двумя величинами.Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество уменьшается, и наоборот. В обозначениях обратная пропорция записывается как y ∝ 1 / x. Например, увеличение скорости автомобиля позволит преодолеть фиксированное расстояние за меньшее время.

Важные примечания

  • Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.
  • Основные пропорции бывают двух типов: прямые пропорции и обратные пропорции.
  • Мы можем применить концепции пропорций к географии, сравнивая величины в физике, диетологии, кулинарии и т. Д.
  • Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.
  • Мы можем применить концепции пропорций к географии, сравнивая величины в физике, диетологии, кулинарии и т. Д.

Свойства пропорции

Пропорция устанавливает эквивалентное соотношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, которой следует это отношение:

  • Дополнение — Если a: b = c: d, то a + c: b + d
  • Вычитание — Если a: b = c: d, то a — c: b — d
  • Дивидендо — Если a: b = c: d, то a — b: b = c — d: d
  • Componendo — Если a: b = c: d, то a + b: b = c + d: d
  • Alternendo — Если a: b = c: d, то a: c = b: d
  • Invertendo — Если a: b = c: d, то b: a = d: c
  • Компонент и дивидендо — Если a: b = c: d, то a + b: a — b = c + d: c — d

Разница между соотношением и пропорциями

Соотношение и пропорция — тесно связанные понятия.Пропорция означает равное соотношение между двумя или более соотношениями. Чтобы понять концепцию соотношения и пропорции, просмотрите разницу между соотношением и пропорцией, указанную здесь.

S.No Коэффициент Пропорции
1 Отношение используется для сравнения размера двух предметов с одной и той же единицей измерения. Пропорция используется для выражения отношения двух соотношений.
2 Это выражается двоеточием (:) или косой чертой (/). Это выражается двойным двоеточием (: 🙂 или равным символу (=)
3 Это выражение. Это уравнение.
4 Ключевое слово для различения соотношения в проблеме — «к каждому». Ключевое слово для различения пропорций в задаче — «вне».

Доля Связанные темы

Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с Пропорцией в коммерческой математике.Эти темы также дадут вам представление о том, как такие концепции рассматриваются в Cuemath.

Часто задаваемые вопросы о пропорциях

Что вы имеете в виду под коэффициентом?

Отношение — это математическое выражение, записанное в форме a: b, которое выражает часть формы a / b, где a и b — любые целые числа. Например, дробь 1/3 может быть выражена как 1: 3 в форме отношения.

Что такое пропорция в математике?

Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же соотношении, то говорят, что эти отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются символом «::» или «=». Например, 2: 5 :: 4: 8 или 2/5 = 4/8. Здесь 2 и 8 — крайности, а 5 и 4 — средние.

Как соотношение и пропорции используются в повседневной жизни?

Пропорции и пропорции используются ежедневно.Соотношения и пропорции используются в деловых операциях при работе с деньгами, сравнении количества и цены при совершении покупок и т. Д. Например, у компании может быть соотношение суммы прибыли, полученной от продажи определенного продукта, например 5 долларов США: 1, где говорится, что бизнес получает 2,50 доллара с каждой продажи.

Как узнать, составляют ли два соотношения пропорцию?

Если два отношения эквивалентны друг другу, то говорят, что они пропорциональны. Например, соотношения 1: 2, 2: 4 и 3: 6 являются эквивалентными соотношениями.

Как рассчитать пропорцию?

Пропорция рассчитывается по формуле пропорции, которая говорит: a: b :: c: d или a: b = c: d. Мы читаем это так, как «а» относится к «б», как «с» относится к «г».

Что такое разные типы пропорций?

В зависимости от типа отношения, в котором участвуют два или более количества, пропорции можно разделить на разные типы. Есть два типа пропорций.

  • Прямая пропорция — описывает прямую связь между двумя величинами.Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество также увеличивается, и наоборот.
  • Обратная пропорция — описывает косвенную связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество уменьшается, и наоборот.

Каковы различные свойства пропорции?

Пропорция устанавливает эквивалентное соотношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, которой следует это отношение:

  • Дополнение — Если a: b = c: d, то a + c: b + d
  • Вычитание — Если a: b = c: d, то a — c: b — d
  • Дивидендо — Если a: b = c: d, то a — b: b = c — d: d
  • Componendo — Если a: b = c: d, то a + b: b = c + d: d
  • Alternendo — Если a: b = c: d, то a: c = b: d
  • Invertendo — Если a: b = c: d, то b: a = d: c
  • Компонент и дивидендо — Если a: b = c: d, то a + b: a — b = c + d: c — d

Соотношение или пропорция?

Вы когда-нибудь задумывались о том, что на самом деле означают эти два слова? Они часто используются вместе как фраза «соотношение и пропорция», но являются ли они на самом деле разными терминами для одного и того же математического понятия? Если ученик спросит, в чем разница, как вы ответите?

Должен признать, что я сознательно не задумывался о точном значении соотношения или пропорции, пока не начал свою педагогическую подготовку.Я подозреваю, что это не станет особенным сюрпризом, но стоит ли мне беспокоиться об определениях этих терминов? Одна из трудностей, с которыми мы часто сталкиваемся в классе, — это знакомство детей с математическим определением слова, которое также
используется в повседневном языке. Возможно, это в какой-то мере относится к соотношению и пропорции? Где-то в глубине души я, кажется, помню, как мне говорили, что соотношение сравнивает часть с частью, тогда как пропорция сравнивает часть с целым. Но что это на самом деле означает? Это полезно? И это вся история?

Давайте сначала посмотрим на соотношение.На мой взгляд, соотношение — это сравнение двух или более величин. Согласно Оксфордскому словарю английского языка онлайн, соотношение — это «отношение между двумя одинаковыми величинами в отношении количества, определяемое количеством раз, когда одна содержит другую (целиком или дробно)». Например, на бутылке апельсина
сквош можно сказать «разбавьте одну часть концентрата на четыре части воды». Требуемое количество воды выражается в количестве концентрата. Национальная система счета предполагает, что при первом знакомстве с детьми эту идею можно было бы лучше выразить как «на каждую 1 часть концентрата нам нужно 4 части воды».Это соотношение можно проиллюстрировать очень
четко используя простые картинки:

В классе «для каждого» можно смоделировать, на самом деле нарисовав 4 «прямоугольника воды» рядом с каждым «прямоугольником концентрата», чтобы ученики могли решить, сколько частей воды необходимо для определенного количества частей концентрата. Затем на более высоком уровне они смогут подтвердить, действительно ли данное графическое изображение
описывает такое же соотношение. Конечно, оранжевые и белые фишки или кубики были бы другим способом изобразить концентрат и воду.Значит, это не слишком большой прыжок — ввести немного другой словарный запас для одного и того же? «4 на каждую 1» также можно выразить как «4 на каждую 1».

В ходе обсуждения с коллегами мы также поняли, что, когда мы говорим о соотношениях, совершенно уместно игнорировать единицы измерения. Можно сказать, что соотношение яблок к грушам составляет 3: 1, и это идет вразрез с единообразием единиц. Неужели это может только усложнить понимание соотношения?

Математические словари часто включают слово «дробь» в определение соотношения.Например, Математический словарь, опубликованный McGraw-Hill (2003), определяет соотношение двух величин, A и B, как «их частное или дробное A / B». Так как же пропорции соотносятся с этим? Система счисления показывает, что к концу 6-го класса дети должны уметь «относить дроби к
простые пропорции ». Получается, что дроби тоже связаны с пропорцией.

Снова заглянув в Оксфордский словарь английского языка, мы находим пропорцию, определяемую как «часть или часть в ее отношении к целому; сравнительная часть, доля; иногда просто, часть, разделение, часть ».На первый взгляд, это согласуется с моей первоначальной догадкой. Если мы посмотрим на изображение выше, мы сможем описать ту же ситуацию с точки зрения пропорции: есть 1 часть концентрата.
в каждые 5 частей. Иными словами, можно сказать, что 1 из каждых 5 частей — это концентрат. На этот раз мы относим количество концентрата (1 часть) к целому (5 частей).

Однако, если мы снова обратимся к математическому словарю, нам скажут, что «пропорция двух величин есть их отношение» (McGraw-Hill, 2003).Математический словарь Коллинза (2002) расширяет эту небольшую схему пропорции как «отношение между четырьмя числами или величинами, в которых отношение первой пары равно отношению второй пары». Я думаю это последнее
математическое определение может включать в себя мое повседневное использование слова «пропорция», и это вовсе не сравнение части с целым.

Что это нам дает? Я с трудом могу сделать какие-либо выводы из вышеизложенного — границы между ними кажутся мне очень размытыми.В лучшем случае я доволен своим пониманием соотношения, но, похоже, слово пропорция используется двумя разными способами. Мне бы очень хотелось услышать ваши мысли по этому поводу, которые я хотел бы добавить в эту статью. Возможно, у вас есть четкие определения в вашем
собственный разум, который может помочь?

Если вы можете пролить свет на «соотношение и пропорции», сообщите нам об этом по электронной почте [email protected]

Артикул:

Borowski, E. J. & Borwein, J. M. eds (2002) Dictionary of Mathematics.Глазго: Издательство Харпер Коллинз.

DfEE (1999) Основы национальной стратегии счета для обучения математике от приема до 6-го класса. Садбери: DfEE.

Геллер, Э. ред (2003) Математический словарь. Нью-Йорк: Образование Макгроу-Хилла.

Обратная связь

Спасибо Филу Уэсту, учителю средней школы MEF в Стамбуле, который прислал нам свои комментарии о соотношении и пропорциях. Щелкните здесь, чтобы прочитать, что сказал Фил.

Вероника Бейтс из Колчестера также прислала нам свои мысли, которые вы можете прочитать здесь.Большое спасибо.

Спасибо также Брюсу Муди из Новой Зеландии, который внес эти идеи.

Дебби Санджая, из Индонезии, написала по электронной почте:

Я просто хочу поделиться своим пониманием. Я думаю, что пропорция — это отношение количества части к целому ». Она предполагает, что пропорция отличается от отношения в том, что« … пропорция не может быть меньше 0: 1 и не может быть больше. чем 1: 1.

Кто-то, кто остался анонимным, написал:
Я бы сказал, отношение — это часть к части, а пропорция — это часть к целому.Они означают разные вещи.

Что такое соотношение 25%? Я бы сказал, что это 1: 3. Остальные утверждают, что это 1: 4. Я не согласен.

Я утверждаю, что соотношение составляет 1 к 3 или 1: 3, а соотношение — 1 к 4. «:» означает, а не входит «.

Марк также отправил нам электронное письмо. Вы можете прочитать то, что он сказал здесь.

Джон Блок написал:

Греки считали, что все величины рациональны (обратите внимание на корень слова «ratio») и могли быть записаны в форме A / B, где A и B — относительно простые целые числа.Это понимание, кажется, указывает на определение соотношения в Математическом словаре как A / B.

Пропорциональная или пропорциональная ситуация возникает, когда две вещи связаны таким образом, что отношения соответствующих частей равны. Тогда может показаться, что Математический словарь Коллинза дает лучшее определение: «… отношение первой пары равно отношению второй пары». Это также, кажется, подчеркивает важность сходства между объектами или ситуациями.

Тем не менее, есть некоторая двусмысленность в использовании слова «пропорция». Например, две ситуации могут быть обратно пропорциональными, тогда A / B не = k, но AB = k. Возможно, это просто неправильное употребление слова «пропорциональный». Тем не менее, «пропорциональный» в описании всегда считается «прямо» пропорциональным, если не присутствует другое слово «обратно». Я думаю соразмерность
а способность математически выражать пропорциональность — основная идея математического образования учащихся.

Еще одна тесно связанная тема — ставка или удельная ставка. Ставка — это соотношение? Не с точки зрения согласованности единиц, а с точки зрения соразмерности ситуаций. Разве 80 км / 1 час не то же самое, что 160 км / 2 часа? Или в задаче 80 км / 1 час = x км / 2 часа? Представление оценок как соотношений, которые вписываются в модель пропорций, помогает учащимся решать задачи, связанные с оценками.

Хелен Лорд написала:
Привет, я прочитала вашу статью с интересом — способ, которым я пришел к согласию с этими двумя, в моем сознании, заключается в том, что соотношение фокусируется на соотношении разделения целого на части, в то время как пропорция показывает « разрыв ». ‘- или’ промежуток между ‘, который необходимо сохранить — почти как если бы он обеспечивает след или параллельные линии, по которым фигуры должны двигаться, чтобы поддерживать свои отношения, — я далеко ушел от
отметка?

Рут Кэмпбелл, студентка программы PGCE по математике в Лестерском университете, написала по электронной почте:
Я бы сказал, что отношение — это отношение между двумя величинами.Пропорция — это подмножество этого, поскольку две величины являются частью и целым одного и того же. Концепция пропорциональности распространяет эту идею на любые две величины, которые имеют постоянную мультипликативную связь. Это, очевидно, ближе к использованию пропорции, чем пропорции, но слово «рациональный» уже было
выделено в другом месте. Таким образом, соотношение теперь является лишь одним из способов представления пропорционального отношения, другими способами являются дроби, уравнение, график, гистограмма и т. Д.

Определение пропорции и примеры — Биологический онлайн-словарь

пропорция
1.Отношение или адаптация одной части к другой или ко всему в отношении величины, количества или степени; сравнительное отношение; соотношение; as, пропорция частей здания или тела. Образ христа, сделанный по его собственным меркам. (Ридли) Формируется в лучших пропорциях своего пола. (Сэр В. Скотт) Документы достоверны, а факты верны точно в той мере, в какой они подтверждают его теорию. (Маколей)
2.Гармоничное отношение между частями или между разными вещами одного и того же вида; симметричное расположение или регулировка; симметрия; как, чтобы быть непропорционально. Будем пророчествовать по мере веры.
3. Доля, получаемая, когда целое распределяется по правилу или принципу; равная или соответствующая доля; много. Пусть женщины. . . То же самое в их пропорциях и возможностях. (Джер. Тейлор)
4. Часть, рассматриваемая сравнительно; доля.
5.(Наука: математика) Равенство или подобие соотношений, особенно геометрических соотношений; или отношение между величинами, при котором частное первого, деленного на второе, равно частному третьего, деленного на четвертое; называется также геометрической пропорцией, в отличие от арифметической пропорции, или той, в которой разность первой и второй равна разнице третьей и четвертой.
Пропорция в математическом смысле отличается от соотношения. Отношение — это отношение двух одинаковых величин, например, от 5 до 10 или от 8 до 16.Пропорция — это подобие или подобие двух таких отношений. Таким образом, от 5 до 10 как от 8 до 16; то есть 5 имеет такое же отношение к 10, как 8 к 16. Следовательно, такие числа считаются пропорциональными. Пропорция выражается символами следующим образом: a: b :: c: d, или a: b = c: d, или a / b = c / d.
Правило трех в арифметике, в котором три заданных члена вместе с искомым пропорциональны. Непрерывная пропорция, обратная пропорция и т. Д. См. Продолжение, Обратная пропорция и т. Д. Гармоническая, или музыкальная, пропорция, отношение трех или четырех величин, такое, что первая относится к последней, поскольку разница между первыми двумя заключается в разнице между последние два; таким образом, 2, 3, 6 находятся в гармонической пропорции; для 2 равно 6, как от 1 до 3.Таким образом, 24, 16, 12, 9 гармоничны для 24: 9 :: 8: 3. Пропорционально, как; в той степени, в которой. В той мере, в какой они метафизически истинны, они ложны морально и политически.
Происхождение: F, fr. L. Proportio; pro before — часть часть или доля. См. Часть.

Пропорциональный

— WordReference.com Словарь английского языка

WordReference Словарь американского английского языка для учащихся Random House © 2021
pro • por •tion • al / prəˈpɔrʃənəl / USA произношение
прил.

    1. или относящиеся к пропорции или пропорциям.
  • в правильном или сбалансированном соотношении или пропорции: [be + ~ + to] Повышение заработной платы было пропорционально прожиточному минимуму.
  • См. -Par-.

    WordReference Random House Полный словарь американского английского языка © 2021
    pro • por •tion • al
    (prə pôr shə nl, -pōr -), США произношение прил.

    1. с учетом пропорциональности;
      соотв.
    2. пропорциональны или характеризуются пропорциями.
    3. , относящиеся к пропорции или основанные на ней;
      родственник.
    4. Математика
      • Математика (двух величин) с одинаковым или постоянным соотношением или соотношением: величины и x пропорциональны, если y / x = k, , где k — константа пропорциональности.
      • Математика (первой величины по отношению ко второй величине) постоянное кратное: Величина пропорциональна x , если y = kx, , где k — константа пропорциональности.
    • Latin prōportiōnālis. См. Пропорции, -al 1
    • Среднеанглийский пропорции 1350–1400

    pro • часть • al i • ty , n.
    про • пор ция • ал • лы , нареч.

      • 1. См. Соответствующую запись в Несокращенный гармоничный, сравнительный, соответствующий, согласный, пропорциональный.

    Краткий английский словарь Коллинза © HarperCollins Publishers ::

    пропорциональный / prəˈpɔːʃən ə l / adj

    1. , включающий или являющийся пропорциональным

    n

    1. неизвестный член в пропорции: в a / b = c / x, x — четвертый пропорциональный

    пропорционально n пропорционально нареч.

    пропорциональный ‘ также встречается в этих записях (примечание: многие из них не являются синонимами или переводами):

    Пропорционально

    — Викисловарь

    Английский язык [править]

    Прилагательное [править]

    пропорциональный ( сравнительный более пропорциональный , превосходный наиболее пропорциональный )

    1. (математика) При постоянном соотношении (к).Две величины (числа) называются пропорциональными, если вторая арифметически изменяется в прямой зависимости от первой. Символ: ∝.
      • 2012 , Дэвид Бен-Хаим, Соотношение и пропорция , стр. 34:

        Например, согласно законам о газе, давление прямо пропорционально температуре : частное, полученное из давления (числитель) и температура (знаменатель) будет постоянной; однако давление обратно пропорционально объему, а это означает, что произведение между объемом и давлением будет постоянным.

    2. (в основном США) Пропорционально (к), пропорционально.
      • 2014 , Аравинд Шеной, Learning Bootstrap :

        Это обеспечивает согласованность всего дизайна вашего веб-сайта, так что вы не получите элементы, которые недостаточно пропорциональны друг другу.

    3. Гарнитура с символами естественной (неоднородной) ширины (в отличие от моноширинных гарнитур).
      • 2013 , Эрик А. Мейер, Шрифты CSS: возможности веб-типографии , стр. 2:

        Размер шрифта пропорционален , если все символы в шрифте имеют разную ширину из-за их различных размеров.

    Производные термины [править]
    Переводы [править]

    Существительное [править]

    пропорциональное ( множественное число пропорциональное )

    1. (математика, геометрия, архаика) Пропорция.
      • 1828 , Уильям Томас Бранде, Таблицы в иллюстрации теории определенных пропорций (стр. Xiii)
        Практически излишне отметить, что числа, присвоенные элементам составных частей, соответствуют числам пропорций , в которых они сочетаются […]

    Этимология [править]

    Пропорция + -al

    Произношение [править]

    • IPA (ключ) : / ˌpʁopɔʁt͡si̯oˈnaːl /

    Прилагательное [править]

    пропорциональный ( сравнительный пропорциональный , превосходный пропорциональный )

    1. пропорциональный
    Cклонение [править]

    Положительные формы пропорциональные

    Сравнительные формы пропорциональные

    Превосходные формы пропорциональные

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *