Содержание
правило, примеры, сравнение положительных и отрицательных чисел
В статье ниже озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его в решении практических задач.
Правило сравнения отрицательных чисел
В основе правила – сравнение модулей исходных данных. По сути, сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.
Определение 1
При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; бОльшим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.
Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным.
Геометрическое толкование подтверждает принцип, озвученный в указанном правиле: на координатной прямой отрицательное число, которое является меньшим, находится левее, чем большее отрицательное.
Это утверждение, в общем, верно для любых чисел.
Примеры сравнения отрицательных чисел
Самым простым примером сравнения отрицательных чисел является сравнение целых чисел. С подобной задачи и начнем.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Пример 1
Необходимо сравнить отрицательные числа -65 и -23.
Решение
Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. |-65| = 65 и |-23| = 23. Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23. Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим: -65 < -23.
Ответ: -65 < -23.
Чуть сложнее сравнивать отрицательные рациональные числа: действие в конечном счете приводит к сравнению обыкновенных или десятичных дробей.
Пример 2
Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: -4314или-4,7.
Решение
Определим модули сравниваемых чисел. -4314=4314 и |-4,7| = 4,7. Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, так что приступим к сравнению дробных частей: 314 и 0,7. Осуществим перевод десятичной дроби 0,7 в обыкновенную: 710, найдем общие знаменатели сравниваемых дробей, получим: 1570и4970. Тогда результатом сравнения станет: 1570<4970 или 314<0,7. Таким образом, 4314<4,7.fff Применив правило сравнения отрицательных чисел, имеем: -4314<-4,7
Также можно было осуществить сравнение путем перевода обыкновенной дроби в десятичную. Разница – лишь в удобстве вычисления.
Ответ: -4314<-4,7
Сравнение отрицательных действительных чисел производится согласно тому же правилу.
6 класс. Математика. Сравнение чисел — Сравнение чисел
Комментарии преподавателя
Положительные числа мы используем для обозначения разных количеств – целых и дробных. Например, три яблока, полтора литра молока.
Отрицательных количеств не существует. Отрицательные числа – это инструмент для упрощения расчетов.
Например, таких:
Ключ имеет одну функцию – открывать или закрывать замок. Если нет замка, то ключ практически бесполезен, ему трудно найти применение.
Так и отрицательные числа – без самого «замка», без различных математических расчетов они используются не очень много.
Тем не менее есть и прямое применение отрицательным числам. Вы можете пройти по ссылке, где мы обсуждаем использование отрицательных чисел в окружающем мире.
Как мы понимали, что одно положительное число больше другого?
Из 8 яблок можно взять 5 яблок. 5 – это часть восьми. Поэтому мы с вами и знаем, что 5 меньше 8.
Но про числа -8 и -5 нельзя сказать, что одно – часть другого. Отрицательного количества не существует.
Но что же такое тогда отрицательное число?
Отрицательное число – это и число, и знак вычитания.
Что значит к 10 добавить -8?
Это значит вычесть 8.
А добавить -5 – означает вычесть 5.
Мы к одному и тому же числу 10 добавили два разных отрицательных. Во втором случае результат был больше. Естественно считать, что второе отрицательное число было больше.
То есть чем большее число мы вычитаем, тем меньше будет результат. Это очевидно, но если это записать на языке отрицательных чисел, то мы и получим правила их сравнения.
Сформулируем теперь правила, как сравнивать отрицательные числа друг с другом или с положительными.
1. Все отрицательные числа меньше всех положительных. Между ними находится ноль. То есть ноль меньше любого положительного числа, но больше любого отрицательного.
Почему это так?
Если мы к числу прибавляем положительное число, то число увеличится; если ноль, то не изменится; если вычтем положительное, то число уменьшится. Но добавление отрицательного числа и означает вычитание.
2. Чем больше положительное число, тем меньше противоположное ему отрицательное число.
Например, , поэтому .
Это и понятно, ведь если отнять 20, то результат будет меньше, чем если отнять 10.
Если у числа не обращать внимания на знак, то получающееся число мы называем модулем.
У числа -23 и у 23 одинаковые модули, 23.
Тогда про отрицательные числа можно сказать и так.
Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль.
Вернемся к такой функции чисел, как порядок.
Когда мы едем по дороге, то через равные промежутки нам встречаются километровые столбы с обозначением пройденного расстояния. В математике мы сделали аналог такой дороги – числовой луч. Числа на луче соответствуют точкам, и наоборот.
«Одно число больше другого» теперь означает, что «одна точка правее другой». Чем правее точка, тем больше соответствующее ей число, мы это число называем координатой (см. рис. 1).
Рис. 1. Числовой луч
Теперь, когда у нас есть отрицательные числа, мы можем расширить нашу модель. Вместо луча мы уже берем целую прямую и влево от нуля откладываем отрицательные числа.
Правило «чем правее точка, тем больше число» сохраняется и для левой части прямой.
Точка с координатой -5 правее точки с координатой -8. Это эквивалентно тому, что .
Шкала уличного термометра – пример, как такую числовую прямую можно применить в жизни (см.
рис. 2).
Рис. 2. Термометр
Потренируемся сравнивать числа.
1. 25 641 и -25 642
Тут все просто: отрицательное число всегда меньше положительного.
2. -25 641 и -25 642
Оба числа отрицательны. Значит, нужно сравнить их модули. У второго числа модуль больше, значит, само число меньше.
3. -75,47 и -75,53
4. и
Сначала сравним модули этих чисел:
и
Разложим на множители оба знаменателя. Общий знаменатель – это три тройки и одна пятерка. Домножим у первой дроби числитель и знаменатель на две тройки, а у второй – на 5.
Получаем две дроби с одинаковыми знаменателями. Считать их не будем. Но числитель первой дроби больше второго.
Первая дробь больше.
Значит:
И тогда:
Итак, подведем итог.
- Отрицательные числа появляются как инструмент, упрощающий вычисления.
- Договоренность про сравнение этих чисел следующая:
1) Любое отрицательное число меньше любого положительного.
2) Ноль находится между всеми отрицательными и всеми положительными числами (больше любого отрицательного и меньше любого положительного).
3) Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.
- Кроме того, что отрицательные числа упрощают вычисления, в обычной жизни им тоже нашли применение. Например, для упорядочивания, для обозначения температуры по шкале Цельсия, этажей ниже первого
источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla/sravnenie-chisel-2?seconds=0&chapter_id=1825
источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=y2fR98kHaAM
источник презентации — http://5klass.
net/zip/matematika/Sravnenie-chisel-6-klass.zip
Как сравнивать степени | Логарифмы
Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?
Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.
Сравнение степеней с одинаковыми основаниями
- Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
- Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.
С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:
Примеры.
№1. Сравнить значения выражений:
Решение:
Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.
Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:
Решение:
Сравниваем показатели степеней:
Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:
№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:
Решение:
Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.
Решение:
Основание
функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.
Сравнение степеней с одинаковыми показателями.
1) Для возрастающих функций ( x>0):
Пример.
Для положительных значений аргумента
например,
Для отрицательных значений аргумента
например,
2) Для убывающих функций:
Пример.
Для положительных значений аргумента
например,
Для отрицательных значений аргумента:
например,
Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?
Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:
при отрицательных — меньшие 1:
Если основание меньше единицы — соответственно,
Пример.
Сравнить
Решение:
В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.
Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.
Задание 6 ОГЭ по математике. Числа и вычисления.
Задача 6 ОГЭ по математике называется «Числа и вычисления». Это действия с обыкновенными и с десятичными дробями. Действия со степенями. Сравнение чисел.
Приступим к решению задач.
Пример 1. Найдите значение выражения
Решение. Вспоминаем, что при вычитании дробей нужно их привести к общему знаменателю, а при делении дробей первую из них умножаем на перевёрнутую вторую.
Посчитаем, чему равен знаменатель.
Получим:
Ответ: 0,9.
Пример 2. Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными дробями.
| А. | Б. | В. | Г. |
| 1) 0,5 | 2) 0,02 | 3) 0,12 | 4) 0,625 |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Решение.
Каждую из данных обыкновенных дробей можно представить в виде десятичной, например, используя деление в столбик.
Итак, деление выполнено. Сопоставим полученные результаты:
Ответ: 4312.
Замечание 1. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные можно произвести и без деления в столбик. Т. к. любая десятичная дробь записывается как обыкновенная со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д., то данные обыкновенные дроби можно «доделать» до десятичных. Для этого используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если её числитель и знаменатель домножить на одно и тоже число.
Замечание 2. В этой задаче можно было, наоборот, преобразовывать заданные десятичные дроби в обыкновенные путём упрощения, т. е. сокращения числителя и знаменателя.
Выбирайте любой способ. Здесь важен правильный результат!
Для выполнения следующих заданий нам потребуются свойства степеней. Напомним основные из них.
Степенью называется выражение вида
Здесь a — основание степени, c — показатель степени.
По определению,
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:
Возвести число в натуральную степень n — значит умножить его само на себя n раз:
По определению,
Это верно для Выражение не определено.
Определим, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для поскольку на ноль делить нельзя.
Соберем свойства степеней и основные формулы в одной таблице.
Пример 3. Найдите значение выражения
Решение. Вычислим, используя свойства степеней:
Ответ: 3328.
Пример 4. Найдите значение выражения
Решение.
Вычислим, используя свойства степеней:
Ответ: 0,5604.
Пример 5. Найдите значение выражения
Решение. Вычислим, используя свойства степеней:
Ответ: 81.
Математический калькулятор. Подробный онлайн калькулятор всех математических операции.
Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
С ← ( ) ±
7 8 9 ÷ %
4 5 6 х √
1 2 3 — x2
0 . = + 1/x
Как работать с математическим калькулятором
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 |
Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
|
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| — | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень |
Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
|
| x2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1/x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%» |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка |
Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
|
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0» |
Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Сложение.
Пример:
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание.
Пример:
Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }
Умножение.
Пример:
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление.
Пример:
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из числа.
Пример:
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение числа в квадрат.
Пример:
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Перевод в десятичные дроби.
Пример:
{ 1/3 = 0,33 }
{ ½ = 0,5 }
Вычисление процентов от числа
Пример:
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }
Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Действия с дробями
Действия со степенями
Примеры решений заданий из ОГЭ
Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.
Обыкновенная дробь – дробь вида
ab
где число a – числитель дроби, число b – знаменатель.
Примеры:
12;65;31;715.
Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:
Дробь называется правильной, если числитель (a) меньше знаменателя (b).
Примеры:
56;34.
Дробь называется неправильной, если числитель (a) больше знаменателя (b).
Примеры:
65;31.
Основное свойство обыкновенной дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.
Дробь называется сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:
1216=3?44?4=34
2114=3?72?7=32
Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:
25;911;125126.
Дробь называется смешанной, если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:
312;278;901277.
Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.
312=3⋅2+12=72
278=2⋅8+78=238
901277=90⋅77+1277=694277
Дробь называется десятичной, если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:
56,002; 4,125; 12,3; 0,01.
Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.
Перевод в смешанные дроби:
56,002=5621000=561500
56,002=5621000=561500
Перевод в обыкновенные дроби:
12,3=12310=12⋅10+310=123100,01=1100
Сложение и вычитание дробей.
Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:
- превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть,
например: \[2\frac{7}{8} = \frac{{2 \cdot 8 + 7}}{8} = \frac{{23}}{8}\] - найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
- произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
Примеры:
(1)216+178=2⋅6+16+1⋅8+78=136+158=13⋅46⋅4+15⋅38⋅3=52+4524=9724=4124
(2)3712−2316=3⋅12+712−2⋅16+316=4312−3516=43⋅412⋅4−35⋅316⋅3=172−10548=6748=11948
(3)2314−0,6=2⋅14+314−610=3114−35=31⋅514⋅5−3⋅145⋅14=155−4270=11370=14370
Умножение и деление дробей.
При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]
Чтобы умножить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:
\[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot 1}} = \frac{{a \cdot c}}{b}\]
При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]
Чтобы разделить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:
\[\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{{a \cdot 1}}{{b \cdot c}} = \frac{a}{{b \cdot c}}\]
Примеры:
(1)234⋅811÷0,5=11141⋅82111÷51102=2÷12=2⋅21=4
(2)6÷2,25⋅1,5=61÷214⋅151102=61÷94⋅32=631⋅493⋅3121=4
Сравнение дробей.
Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:
\[\frac{4}{7} \frac{1}{{14}};\;\;\;\; \frac{2}{3} Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:
\[\frac{2}{7} \frac{7}{{11}};\;\;\;\; \frac{5}{4} > \frac{5}{5}.\]Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:
\[\frac{2}{5}?\frac{3}{7}\]
Приводим дроби к общему знаменателю:
\[\mathop {\frac{{{2^{\backslash 7}}}}{5}?\frac{{{3^{\backslash 5}}}}{7}}\limits_{35} \Leftrightarrow \frac{{14}}{{35}}
Приходим к выводу, что:
\[\frac{2}{5}
Пример 2:
\[\frac{5}{6}?\frac{7}{9}\]
Приводим дроби к общему знаменателю:
\[\mathop {\frac{{{5^{\backslash 3}}}}{6}?\frac{{{7^{\backslash 2}}}}{9}}\limits_{18} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{18}} > \frac{{14}}{{18}}\]
Приходим к выводу, что:
\[\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\]
$a^n$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$.
6} = 1000000.\]
Скачать домашнее задание к уроку 1.
Что такое степень числа Возведение в степень отрицательного…
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулем.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберемся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращенное обозначение.
Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».
4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46
Выражение 46 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени;
- 6 — показатель степени.
В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения :
Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».
Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».
Исключение составляют записи:
- a2 — ее можно произносить как «а в квадрате»;
- a3 — ее можно произносить как «а в кубе».
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
- a2 — «а во второй степени»;
- a3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).
Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число :
a1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1n = 1
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишенным смыслом.
- (-32)0 = 1
- 0253 = 0
- 14 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.
Пример . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Возвести в степень.
- 53 = 5 • 5 • 5 = 125
- 2.52 = 2.5 • 2.5 = 6.25
- (
)4 =
•
•
•
=3 • 3 • 3 • 3
4 • 4 • 4 • 4
=
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулем.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того четным или нечетным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечетную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечетного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в четную степень, то получается положительное число. Так как произведение четного количество отрицательных сомножителей положительно.
Отрицательное число, возведенное в четную степень, есть число положительное.
Отрицательное число, возведенное в нечетнуюстепень, — число отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a2 ≥ 0 при любом a.
- 2 • (- 3)2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
- — 5 • (- 2)3 = — 5 • (- 8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)4 и -54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (- 5)4 означает найти значение четвертой степени отрицательного числа.
(- 5)4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625
В то время как найти -54 означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвертую степень положительное число 5.
54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание ).
-54 = — 625
Пример. Вычислить: — 62 — (- 1)4
— 62 — (- 1)4 = — 37
- 62 = 6 • 6 = 36
- -62 = — 36
- (- 1)4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
- — (- 1)4 = — 1
- — 36 — 1 = — 37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень.
Это действие третьей ступени.
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоватьсятаблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями Надеюсь, что теперь ты понял что такое что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу.
Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика
{-7} [/ латекс]
При отрицательных показателях степени: чем больше отрицательная экспонента, тем меньше число.
Преобразование между научным и десятичным представлением
S научная нотация используется учеными, математиками и инженерами, когда они работают с очень большими или очень маленькими числами. Используя экспоненциальную запись, можно записывать большие и маленькие числа таким образом, чтобы их было легче читать.
Когда число записано в экспоненциальной записи, показатель степени сообщает вам, является ли член большим или малым числом.{n} [/ latex], где коэффициент a равен [latex] 1 \ leq {a} <10 [/ latex], а n является целым числом.
Теперь давайте сравним некоторые числа, выраженные как в научной, так и в стандартной десятичной системе счисления, чтобы понять, как преобразовать одну форму в другую.
Взгляните на таблицы ниже. Обратите особое внимание на показатель степени в экспоненциальном представлении и положение десятичной точки в десятичном представлении.
|
Большие числа |
Маленькие числа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Десятичное представление | Научная запись | Десятичное представление | Научная запись | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 500.{5} \ end {array} [/ latex]
Обратите внимание, что десятичная запятая была перемещена на 5 позиций влево, а показатель степени равен 5. ПримерЗапишите следующие числа в экспоненциальном представлении.
Показать решение
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{-5} \ end {array} [/ latex]
Во-первых, давайте рассмотрим пример того, как научные обозначения могут использоваться для описания реальных измерений. 
Эти скобки в первом упражнении имеют большое значение! Будьте осторожны с ними, особенно когда вы вводите выражения в программное обеспечение. Разные программы могут трактовать одно и то же выражение по-разному, как очень подробно продемонстрировал один исследователь. 
Поэтому, если они дадут вам упражнение, содержащее что-то немного нелепое, например (–1) 1001 , вы знаете, что ответ будет либо +1, либо –1, а поскольку 1001 — это с нечетным , то ответ должен быть –1 . 
.. потому что (–2) 3 = –8. По той же причине вы можете взять любой нечетный корень (третий корень, пятый корень, седьмой корень и т. Д.) отрицательного числа. 
Постепенно наращивая знания учеников, вы убедитесь, что они готовы решать сложные задачи в классе и за его пределами. Если вы не знаете, с чего начать, этот пост в блоге поможет вам изменить свой блок на негатив в положительный опыт для вас и ваших учеников! Мы рассмотрим: 
Когда вы умножаете отрицательное число на положительное (или наоборот), произведение будет отрицательным.Если вы умножите два отрицательных числа или два положительных числа, результат будет положительным. Умножение разных знаков всегда дает отрицательное произведение, а умножение одних и тех же знаков дает положительное произведение. Всегда считайте, что число положительное, если перед ним нет знака. 
Например, восемь также можно записать как: Итак, отрицательные показатели могут быть выражены как положительная величина, обратная основанию, умноженному на себя x раз. Чем больше отрицательный показатель степени, тем меньшее число он представляет. В то время как положительные показатели указывают на повторное умножение, отрицательные показатели представляют собой повторяющееся деление. Поэтому 2 -3 больше 2 -6 . 
Если основания совпадают, добавьте экспоненты. Помните о правилах сложения и вычитания отрицательных чисел. Если основания разные, но экспоненты одинаковые, умножьте основания и оставьте экспоненты такими, какие они есть.Если ничего общего нет, переходите непосредственно к решению уравнения. Переверните экспоненты в их обратные числа, а затем умножьте. Если вам нужно напоминание, посмотрите наш пост о том, как умножать дроби. 
Во втором примере положительная степень применяется только к четырем, а не к отрицательному знаку. В этом случае отрицательный знак говорит о том, что продукт будет отрицательным независимо от того, четная или нечетная степень. 
А как насчет деления отрицательных показателей на переменные? Начнем с простого примера: чтобы сделать отрицательную экспоненту положительной, переместите ???? в начало уравнения и умножьте. Вот пример отрицательного показателя степени с несколькими переменными: поскольку отрицательный показатель степени применяется только к переменной, переместите 𝑥-4 в конец уравнения, чтобы сделать его положительным, и оставьте 6 на месте. И вот ваше упрощенное уравнение! Давайте попробуем другой. Во-первых, перераспределим мощность внутри скобок, следуя правилу третьей степени.Затем переверните переменные 𝑥 с отрицательными показателями в их обратную величину. Наконец, умножьте переменные by, сложив показатели вместе. Давайте сделаем еще одно. Для начала возведите уравнение в квадрат или сначала переместите скобки. Начнем с того, что возведем верхнюю скобку в квадрат и перераспределим власть. Затем переместите отрицательные показатели вниз или вверх, в зависимости от их положения. Отрицательная экспонента сверху может быть перенесена в нижнюю, так что получается обратная величина, и наоборот.
Закончите упрощением. Часто существует несколько способов упростить выражения с отрицательной экспонентой. Поскольку показатели — это повторяющееся умножение, и вы можете умножать числа в любом порядке, разные шаги могут привести к одному и тому же результату. 
Используя мощные инструменты отчетности на панели Teacher Dashboard , вы увидите, какие темы усвоили ваши ученики, а где им нужно больше практики. Функции Prodigy’s Assignments, Plan и Test Prep позволяют назначать целевую математическую практику учащимся, которые испытывают трудности на уровне или .Вы будете получать данные в режиме реального времени, пока учащиеся играют, и сможете выполнять дифференцированные задания, соответствующие тому, что вы преподаете в классе. Вы можете использовать Prodigy для: Лучше всего? Эти инструменты абсолютно бесплатны для учителей и студентов. Чтобы узнать больше о согласовании Prodigy с вашим классом, узнайте, как вы можете использовать индивидуальные планы для улучшения содержания вашего урока. 
При работе с отрицательными показателями важно помнить, что все правила экспоненты остаются неизменными. Помимо этого, студентам нужно только знать, как складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа. Не торопитесь и переходите к более сложным вопросам. Ваши ученики станут мастерами экспонента в кратчайшие сроки! 
о. Скоро вы поймете все основные свойства экспонент! 