Сравнение чисел с отрицательными степенями: Сравнение стандартных чисел с отрицательными степенями. Отрицательная степень числа: правила возведения и примеры

Содержание

правило, примеры, сравнение положительных и отрицательных чисел

В статье ниже озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его в решении практических задач.

Правило сравнения отрицательных чисел

В основе правила – сравнение модулей исходных данных. По сути, сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.

Определение 1

При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; бОльшим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.

Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным.

Геометрическое толкование подтверждает принцип, озвученный в указанном правиле: на координатной прямой отрицательное число, которое является меньшим, находится левее, чем большее отрицательное. Это утверждение, в общем, верно для любых чисел.

Примеры сравнения отрицательных чисел

Самым простым примером сравнения отрицательных чисел является сравнение целых чисел. С подобной задачи и начнем.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 1

Необходимо сравнить отрицательные числа -65 и -23.

Решение

Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. |-65| = 65 и |-23| = 23. Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23. Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим: -65 < -23.

 Ответ:  -65 < -23.

Чуть сложнее сравнивать отрицательные рациональные числа: действие в конечном счете приводит к сравнению обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: -4314или-4,7.

Решение 

Определим модули сравниваемых чисел. -4314=4314 и |-4,7| = 4,7. Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, так что приступим к сравнению дробных частей: 314 и 0,7. Осуществим перевод десятичной дроби 0,7 в обыкновенную: 710, найдем общие знаменатели сравниваемых дробей, получим: 1570и4970. Тогда результатом сравнения станет: 1570<4970  или 314<0,7. Таким образом, 4314<4,7.fff Применив правило сравнения отрицательных чисел, имеем: -4314<-4,7

Также можно было осуществить сравнение путем перевода обыкновенной дроби в десятичную. Разница – лишь в удобстве вычисления.

Ответ: -4314<-4,7

Сравнение отрицательных действительных чисел производится согласно тому же правилу.

6 класс. Математика. Сравнение чисел — Сравнение чисел

Комментарии преподавателя

По­ло­жи­тель­ные числа мы ис­поль­зу­ем для обо­зна­че­ния раз­ных ко­ли­честв – целых и дроб­ных. На­при­мер, три яб­ло­ка, пол­то­ра литра мо­ло­ка.

От­ри­ца­тель­ных ко­ли­честв не су­ще­ству­ет. От­ри­ца­тель­ные числа – это ин­стру­мент для упро­ще­ния рас­че­тов.

На­при­мер, таких:

Ключ имеет одну функ­цию – от­кры­вать или за­кры­вать замок. Если нет замка, то ключ прак­ти­че­ски бес­по­ле­зен, ему труд­но найти при­ме­не­ние.

Так и от­ри­ца­тель­ные числа – без са­мо­го «замка», без раз­лич­ных ма­те­ма­ти­че­ских рас­че­тов они ис­поль­зу­ют­ся не очень много.

Тем не менее есть и пря­мое при­ме­не­ние от­ри­ца­тель­ным чис­лам. Вы мо­же­те прой­ти по ссыл­ке, где мы об­суж­да­ем ис­поль­зо­ва­ние от­ри­ца­тель­ных чисел в окру­жа­ю­щем мире.

Как мы по­ни­ма­ли, что одно по­ло­жи­тель­ное число боль­ше дру­го­го?

Из 8 яблок можно взять 5 яблок. 5 – это часть вось­ми. По­это­му мы с вами и знаем, что 5 мень­ше 8.

Но про числа -8 и -5 нель­зя ска­зать, что одно – часть дру­го­го. От­ри­ца­тель­но­го ко­ли­че­ства не су­ще­ству­ет.

Но что же такое тогда от­ри­ца­тель­ное число?

От­ри­ца­тель­ное число – это и число, и знак вы­чи­та­ния.

Что зна­чит к 10 до­ба­вить -8?

Это зна­чит вы­честь 8.

А до­ба­вить -5 – озна­ча­ет вы­честь 5.

Мы к од­но­му и тому же числу 10 до­ба­ви­ли два раз­ных от­ри­ца­тель­ных. Во вто­ром слу­чае ре­зуль­тат был боль­ше. Есте­ствен­но счи­тать, что вто­рое от­ри­ца­тель­ное число было боль­ше.

То есть чем боль­шее число мы вы­чи­та­ем, тем мень­ше будет ре­зуль­тат. Это оче­вид­но, но если это за­пи­сать на языке от­ри­ца­тель­ных чисел, то мы и по­лу­чим пра­ви­ла их срав­не­ния.

Сфор­му­ли­ру­ем те­перь пра­ви­ла, как срав­ни­вать от­ри­ца­тель­ные числа друг с дру­гом или с по­ло­жи­тель­ны­ми.

1. Все от­ри­ца­тель­ные числа мень­ше всех по­ло­жи­тель­ных. Между ними на­хо­дит­ся ноль. То есть ноль мень­ше лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го числа, но боль­ше лю­бо­го от­ри­ца­тель­но­го.

По­че­му это так?

Если мы к числу при­бав­ля­ем по­ло­жи­тель­ное число, то число уве­ли­чит­ся; если ноль, то не из­ме­нит­ся; если вы­чтем по­ло­жи­тель­ное, то число умень­шит­ся. Но до­бав­ле­ние от­ри­ца­тель­но­го числа и озна­ча­ет вы­чи­та­ние.

2. Чем боль­ше по­ло­жи­тель­ное число, тем мень­ше про­ти­во­по­лож­ное ему от­ри­ца­тель­ное число.

На­при­мер, , по­это­му .

Это и по­нят­но, ведь если от­нять 20, то ре­зуль­тат будет мень­ше, чем если от­нять 10.

Если у числа не об­ра­щать вни­ма­ния на знак, то по­лу­ча­ю­ще­е­ся число мы на­зы­ва­ем мо­ду­лем.

У числа -23 и у 23 оди­на­ко­вые мо­ду­ли, 23.

Тогда про от­ри­ца­тель­ные числа можно ска­зать и так.

Из двух от­ри­ца­тель­ных чисел мень­ше то, у ко­то­ро­го боль­ше мо­дуль.

Вер­нем­ся к такой функ­ции чисел, как по­ря­док.

Когда мы едем по до­ро­ге, то через рав­ные про­ме­жут­ки нам встре­ча­ют­ся ки­ло­мет­ро­вые стол­бы с обо­зна­че­ни­ем прой­ден­но­го рас­сто­я­ния. В ма­те­ма­ти­ке мы сде­ла­ли ана­лог такой до­ро­ги – чис­ло­вой луч. Числа на луче со­от­вет­ству­ют точ­кам, и на­о­бо­рот.

«Одно число боль­ше дру­го­го» те­перь озна­ча­ет, что «одна точка пра­вее дру­гой». Чем пра­вее точка, тем боль­ше со­от­вет­ству­ю­щее ей число, мы это число на­зы­ва­ем ко­ор­ди­на­той (см. рис. 1).

Рис. 1. Чис­ло­вой луч

Те­перь, когда у нас есть от­ри­ца­тель­ные числа, мы можем рас­ши­рить нашу мо­дель. Вме­сто луча мы уже берем целую пря­мую и влево от нуля от­кла­ды­ва­ем от­ри­ца­тель­ные числа.

Пра­ви­ло «чем пра­вее точка, тем боль­ше число» со­хра­ня­ет­ся и для левой части пря­мой.

Точка с ко­ор­ди­на­той -5 пра­вее точки с ко­ор­ди­на­той -8. Это эк­ви­ва­лент­но тому, что .

Шкала улич­но­го тер­мо­мет­ра – при­мер, как такую чис­ло­вую пря­мую можно при­ме­нить в жизни (см. рис. 2).

Рис. 2. Тер­мо­метр

По­тре­ни­ру­ем­ся срав­ни­вать числа.

1.  25 641 и -25 642

Тут все про­сто: от­ри­ца­тель­ное число все­гда мень­ше по­ло­жи­тель­но­го.

2.  -25 641 и -25 642

Оба числа от­ри­ца­тель­ны. Зна­чит, нужно срав­нить их мо­ду­ли. У вто­ро­го числа мо­дуль боль­ше, зна­чит, само число мень­ше.

3. -75,47 и -75,53

4.  и 

Сна­ча­ла срав­ним мо­ду­ли этих чисел:

 и 

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли оба зна­ме­на­те­ля. Общий зна­ме­на­тель – это три трой­ки и одна пя­тер­ка. До­мно­жим у пер­вой дроби чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на две трой­ки, а у вто­рой – на 5.

По­лу­ча­ем две дроби с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми. Счи­тать их не будем. Но чис­ли­тель пер­вой дроби боль­ше вто­ро­го.

Пер­вая дробь боль­ше.

Зна­чит:

И тогда:

Итак, под­ве­дем итог.

  • От­ри­ца­тель­ные числа по­яв­ля­ют­ся как ин­стру­мент, упро­ща­ю­щий вы­чис­ле­ния.
  • До­го­во­рен­ность про срав­не­ние этих чисел сле­ду­ю­щая:

1) Любое от­ри­ца­тель­ное число мень­ше лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го.

2) Ноль на­хо­дит­ся между всеми от­ри­ца­тель­ны­ми и всеми по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми (боль­ше лю­бо­го от­ри­ца­тель­но­го и мень­ше лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го).

3) Из двух от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше то, у ко­то­ро­го мень­ше мо­дуль.

  • Кроме того, что от­ри­ца­тель­ные числа упро­ща­ют вы­чис­ле­ния, в обыч­ной жизни им тоже нашли при­ме­не­ние.  На­при­мер, для упо­ря­до­чи­ва­ния, для обо­зна­че­ния тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия, эта­жей ниже пер­во­го

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla/sravnenie-chisel-2?seconds=0&chapter_id=1825

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=y2fR98kHaAM

источник презентации — http://5klass. net/zip/matematika/Sravnenie-chisel-6-klass.zip

Как сравнивать степени | Логарифмы

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

  • Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
  • Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

Примеры.

№1. Сравнить значения выражений:

   

Решение:

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

   

   

Решение:

Сравниваем показатели степеней:

   

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

   

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

   

Решение:

Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

   

Решение:

Основание

   

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

Сравнение степеней с одинаковыми показателями.

1) Для возрастающих функций ( x>0):

   

   

Пример.

Для положительных значений аргумента

   

например,

   

Для отрицательных значений аргумента

   

например,

   

 

2) Для убывающих функций:

   

   

Пример.

Для положительных значений аргумента

   

например,

   

Для отрицательных значений аргумента:

   

например,

   

 

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

   

при отрицательных — меньшие 1:

   

Если основание меньше единицы — соответственно,

   

   

Пример.

Сравнить

   

Решение:

   

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

Задание 6 ОГЭ по математике. Числа и вычисления.

Задача 6 ОГЭ по математике называется «Числа и вычисления». Это действия с обыкновенными и с десятичными дробями. Действия со степенями. Сравнение чисел.

Приступим к решению задач.

Пример 1. Найдите значение выражения  

Решение. Вспоминаем, что при вычитании дробей нужно их привести к общему знаменателю, а при делении дробей первую из них умножаем на перевёрнутую вторую.

Посчитаем, чему равен знаменатель.

Получим:

Ответ: 0,9.

Пример 2. Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными дробями.

А. Б. В. Г.
1) 0,5 2) 0,02 3) 0,12 4) 0,625

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение. Каждую из данных обыкновенных дробей можно представить в виде десятичной, например, используя деление в столбик.

Итак, деление выполнено. Сопоставим полученные результаты:

Ответ: 4312.

Замечание 1. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные можно произвести и без деления в столбик. Т. к. любая десятичная дробь записывается как обыкновенная со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д., то данные обыкновенные дроби можно «доделать» до десятичных. Для этого используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если её числитель и знаменатель домножить на одно и тоже число.

Замечание 2. В этой задаче можно было, наоборот, преобразовывать заданные десятичные дроби в обыкновенные путём упрощения, т. е. сокращения числителя и знаменателя.

Выбирайте любой способ. Здесь важен правильный результат!

Для выполнения следующих заданий нам потребуются свойства степеней. Напомним основные из них.

Степенью называется выражение вида

Здесь a — основание степени, c — показатель степени.
По определению,

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: 

Возвести число в натуральную степень  n — значит умножить его само на себя  n  раз:

По определению,

Это верно для Выражение не определено.

Определим, что такое степень с целым отрицательным показателем.

 

Конечно, все это верно для поскольку на ноль делить нельзя.

Соберем свойства степеней и основные формулы в одной таблице.

Пример 3. Найдите значение выражения 

Решение. Вычислим, используя свойства степеней:

Ответ: 3328.

Пример 4. Найдите значение выражения 

Решение. Вычислим, используя свойства степеней:

Ответ: 0,5604.

Пример 5. Найдите значение выражения 

Решение. Вычислим, используя свойства степеней:

Ответ: 81.

 

Математический калькулятор. Подробный онлайн калькулятор всех математических операции.

Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.

Решение:

С ← ( ) ±

7 8 9 ÷ %

4 5 6 х √

1 2 3 — x2

0 . = + 1/x

Как работать с математическим калькулятором

Клавиша Обозначение Пояснение
5 цифры 0-9 Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
. точка (запятая) Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5
+ знак плюс Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
знак минус Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
÷ знак деления Деление чисел (целые, десятичные дроби)
х знак умножения Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
корень Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2 возведение в квадрат Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/x дробь Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
% процент Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%»
( открытая скобка Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
) закрытая скобка Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
± плюс минус Меняет знак на противоположный
= равно Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат.
удаление символа Удаляет последний символ
С сброс Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»

Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах

Сложение.

Пример:

Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }

Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }

Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Вычитание.

Пример:

Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }

Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }

Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }

Умножение.

Пример:

Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }

Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }

Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }

Деление.

Пример:

Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }

Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }

Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }

Извлечение корня из числа.

Пример:

Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }

Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }

Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }

Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }

Возведение числа в квадрат.

Пример:

Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }

Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }

Перевод в десятичные дроби.

Пример:

{ 1/3 = 0,33 }

{ ½ = 0,5 }

Вычисление процентов от числа

Пример:

Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }

Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }

18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }

Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Действия с дробями

Действия со степенями

Примеры решений заданий из ОГЭ

 

Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.

Обыкновенная дробь – дробь вида

ab

где число a – числитель дроби, число b – знаменатель.
Примеры:

12;65;31;715.

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:

Дробь называется правильной, если числитель (a) меньше знаменателя (b).
Примеры:

56;34.

Дробь называется неправильной, если числитель (a) больше знаменателя (b).
Примеры:

65;31.

Основное свойство обыкновенной дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.

Дробь называется сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:

1216=3?44?4=34

2114=3?72?7=32

Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:

25;911;125126.

Дробь называется смешанной, если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:

312;278;901277.

Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.

312=3⋅2+12=72

278=2⋅8+78=238

901277=90⋅77+1277=694277

Дробь называется десятичной, если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:

56,002;   4,125;   12,3;   0,01.

Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.

Перевод в смешанные дроби:

56,002=5621000=561500

56,002=5621000=561500

Перевод в обыкновенные дроби:

12,3=12310=12⋅10+310=123100,01=1100

Сложение и вычитание дробей.

Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:

  • превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть,
    например: \[2\frac{7}{8} = \frac{{2 \cdot 8 + 7}}{8} = \frac{{23}}{8}\]
  • найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
  • произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Примеры:

(1)216+178=2⋅6+16+1⋅8+78=136+158=13⋅46⋅4+15⋅38⋅3=52+4524=9724=4124

 

(2)3712−2316=3⋅12+712−2⋅16+316=4312−3516=43⋅412⋅4−35⋅316⋅3=172−10548=6748=11948

 

(3)2314−0,6=2⋅14+314−610=3114−35=31⋅514⋅5−3⋅145⋅14=155−4270=11370=14370

Умножение и деление дробей.

При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]

Чтобы умножить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot 1}} = \frac{{a \cdot c}}{b}\]

При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

Чтобы разделить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{{a \cdot 1}}{{b \cdot c}} = \frac{a}{{b \cdot c}}\]

Примеры:

(1)234⋅811÷0,5=11141⋅82111÷51102=2÷12=2⋅21=4

 

(2)6÷2,25⋅1,5=61÷214⋅151102=61÷94⋅32=631⋅493⋅3121=4

Сравнение дробей.

Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:

\[\frac{4}{7} \frac{1}{{14}};\;\;\;\; \frac{2}{3} Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:

\[\frac{2}{7} \frac{7}{{11}};\;\;\;\; \frac{5}{4} > \frac{5}{5}.\]Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:

\[\frac{2}{5}?\frac{3}{7}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{2^{\backslash 7}}}}{5}?\frac{{{3^{\backslash 5}}}}{7}}\limits_{35} \Leftrightarrow \frac{{14}}{{35}}

Приходим к выводу, что:

\[\frac{2}{5}

Пример 2:

\[\frac{5}{6}?\frac{7}{9}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{5^{\backslash 3}}}}{6}?\frac{{{7^{\backslash 2}}}}{9}}\limits_{18} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{18}} > \frac{{14}}{{18}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\]

$a^n$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$. 6} = 1000000.\]

 

 

Скачать домашнее задание к уроку 1.

 

Что такое степень числа Возведение в степень отрицательного…

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулем.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберемся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращенное обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».

4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46

Выражение 46 называют степенью числа, где:

  • 4 — основание степени;
  • 6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения :

 

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

  • a2 — ее можно произносить как «а в квадрате»;
  • a3 — ее можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

  • a2 — «а во второй степени»;
  • a3 — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

 

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число :

a1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.

a0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.

0n = 0

Единица в любой степени равна 1.

1n = 1

Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишенным смыслом.

  • (-32)0 = 1
  • 0253 = 0
  • 14 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Возвести в степень.

  • 53 = 5 • 5 • 5 = 125
  • 2.52 = 2.5 • 2.5 = 6.25
  • (

    )4 = 

     • 

     • 

     • 

     = 



    3 • 3 • 3 • 3
    4 • 4 • 4 • 4


     = 

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулем.

 

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того четным или нечетным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечетную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечетного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в четную степень, то получается положительное число. Так как произведение четного количество отрицательных сомножителей положительно.

 

Отрицательное число, возведенное в четную степень, есть число положительное.

Отрицательное число, возведенное в нечетнуюстепень, — число отрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a2 ≥ 0 при любом a.

  • 2 • (- 3)2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
  • — 5 • (- 2)3 = — 5 • (- 8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)4 и -54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (- 5)4 означает найти значение четвертой степени отрицательного числа.

(- 5)4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625

В то время как найти -54 означает, что пример нужно решать в 2 действия:

  1. Возвести в четвертую степень положительное число 5. 
    54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
  2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание ). 
    -54 = — 625

Пример. Вычислить: — 62 — (- 1)4

— 62 — (- 1)4 = — 37

  1. 62 = 6 • 6 = 36
  2. -62 = — 36
  3. (- 1)4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
  4. — (- 1)4 = — 1
  5. — 36 — 1 = — 37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

 

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем  умножение и деление , а в конце  сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоватьсятаблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями Надеюсь, что теперь ты понял что такое что такое степень числа возведение в степень отрицательного числа порядок действий в ах со степенями
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

{-7} [/ латекс]

При отрицательных показателях степени: чем больше отрицательная экспонента, тем меньше число.

Преобразование между научным и десятичным представлением

S научная нотация используется учеными, математиками и инженерами, когда они работают с очень большими или очень маленькими числами. Используя экспоненциальную запись, можно записывать большие и маленькие числа таким образом, чтобы их было легче читать.

Когда число записано в экспоненциальной записи, показатель степени сообщает вам, является ли член большим или малым числом.{n} [/ latex], где коэффициент a равен [latex] 1 \ leq {a} <10 [/ latex], а n является целым числом.

Теперь давайте сравним некоторые числа, выраженные как в научной, так и в стандартной десятичной системе счисления, чтобы понять, как преобразовать одну форму в другую. Взгляните на таблицы ниже. Обратите особое внимание на показатель степени в экспоненциальном представлении и положение десятичной точки в десятичном представлении.

Большие числа

Маленькие числа

Десятичное представление Научная запись Десятичное представление Научная запись
500.{5} \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что десятичная запятая была перемещена на 5 позиций влево, а показатель степени равен 5.

Пример

Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении.

  1. [латекс] 920 000 000 [/ латекс]
  2. [латекс] 10,200,000 [/ латекс]
  3. [латекс] 100000000000 [/ латекс]

Показать решение

  1. [latex] \ underset {\ longleftarrow} {920,000,000} [/ latex] Мы переместим десятичную запятую влево, это поможет поместить ее в конец числа, а затем посчитать, сколько раз вы переместите ее, чтобы получить одно число перед ним от 1 до 10. {-5} \ end {array} [/ latex]

    Вы можете заметить, что десятичная точка была перемещена на пять позиций вправо , пока вы не добрались до числа 4, которое находится между 1 и 10. Показатель степени [латекс] −5 [/ латекс].

    Пример

    Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении.

    1. [латекс] 0,0000000000035 [/ латекс]
    2. [латекс] 0,0000000102 [/ латекс]
    3. [латекс] 0,00000000000000793 [/ латекс]

    Показать решение

    1. [латекс] \ underset {\ longrightarrow} {0.{-8} = \ underset {\ longleftarrow} {0,00000005.} = 0,00000005 \ end {array} [/ latex]

      Для каждой степени 10 вы перемещаете десятичную запятую на одну позицию. Будьте осторожны и не увлекайтесь нулями — количество нулей после десятичной запятой всегда будет на 1 меньше , чем показатель степени, потому что требуется одна степень 10, чтобы сдвинуть это первое число влево от десятичной запятой. .

      Пример

      Запишите следующее в десятичной системе счисления.

      1. [латекс] 4,8 \ times10 {-4} [/ латекс]
      2. [латекс] 3.{-7} [/ латекс]

        В десятичной форме сравнивая 0,05 с 0,00000043, легче сразу определить, какое из них больше, но полезнее сравнивать числа в том виде, в котором они были представлены изначально. Для небольших чисел, записанных в экспоненциальной форме, чем больше отрицательная экспонента, тем меньше число.

        Умножение и деление чисел, выраженных в научной записи

        Числа, записанные в экспоненциальном представлении, можно довольно просто умножать и делить, пользуясь свойствами чисел и правилами экспонент, которые вы, возможно, помните.{-2}} [/ латекс]

        Обратите внимание, что при делении экспоненциальных членов вы вычитаете показатель степени в знаменателе из показателя степени в числителе.

        Решение проблем приложений

        Правила обучения для экспонентов могут показаться бессмысленными без контекста, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров использования научных обозначений, которые связаны с реальными проблемами. Во-первых, давайте рассмотрим пример того, как научные обозначения могут использоваться для описания реальных измерений.

        Красные кровяные тельца

        Одна из наиболее важных частей решения «реальной» проблемы — это перевод слов в соответствующие математические термины и определение того, когда хорошо известная формула может помочь.3 [/ латекс]. Биологи недавно обнаружили, как использовать плотность некоторых типов клеток, чтобы указать на наличие таких заболеваний, как серповидноклеточная анемия или лейкоз. Плотность рассчитывается как отношение [латекс] \ frac {\ text {mass}} {\ text {volume}} [/ latex]. Рассчитайте плотность средней клетки человека.

        Показать решение

        Прочтите и поймите: Нам дана средняя клеточная масса и объем, а также формула для плотности. Мы ищем плотность средней человеческой клетки.2 = t [/ latex] секунд, или в стандартном обозначении 500 секунд. Это неплохо, учитывая, как далеко нужно проехать!


        экспонентов и отрицательные числа | Purplemath

        Purplemath

        Теперь вы можете перейти к показателям степени, используя свойство умножения с отменой знаков минус.

        Напомним, что силы создают повторяющееся умножение.Например, (3) 2 = (3) (3) = 9. Таким образом, мы можем использовать кое-что из того, что мы уже узнали об умножении на отрицательные числа (в частности, мы узнали о сокращении пар минус знаков), когда мы находим отрицательные числа внутри экспонент.

        Например:

        MathHelp.com

        Квадрат означает «умноженное на себя с двумя копиями основания».Это означает, что у меня будет два знака «минус», которые я могу отменить:

        (–3) 2 = (–3) (- 3) = (+3) (+ 3) = 9

        Обратите особое внимание и обратите внимание на разницу между приведенным выше упражнением и следующим:

        –3 2 = — (3) (3) = –1 (3) (3) = (–1) (9) = –9

        Во втором упражнении квадрат («в степени 2») был только на 3; на минусе было , а не . Эти скобки в первом упражнении имеют большое значение! Будьте осторожны с ними, особенно когда вы вводите выражения в программное обеспечение. Разные программы могут трактовать одно и то же выражение по-разному, как очень подробно продемонстрировал один исследователь.

        (–3) 3 = (–3) (- 3) (- 3)

        = (+3) (+ 3) (- 3)

        = (9) (- 3)

        = –27


        (–3) 4 = (–3) (- 3) (- 3) (- 3)

        = (+3) (+ 3) (- 3) (- 3)

        = (+3) (+ 3) (+ 3) (+ 3)

        = (9) (9)

        = 81


        (–3) 5 = (–3) (- 3) (- 3) (- 3) (- 3)

        = (+3) (+ 3) (- 3) (- 3) (- 3)

        = (+3) (+ 3) (+ 3) (+ 3) (- 3)

        = (9) (9) (- 3)

        = –243

        Обратите внимание на закономерность: отрицательное число, взятое в степени даже при , дает положительный результат (потому что пары отрицаний отменяются), а отрицательное число, взятое в степени нечетности , дает отрицательный результат (потому что, после отмены останется один знак минус). Поэтому, если они дадут вам упражнение, содержащее что-то немного нелепое, например (–1) 1001 , вы знаете, что ответ будет либо +1, либо –1, а поскольку 1001 — это с нечетным , то ответ должен быть –1 .


        Вы также можете делать негативы внутри корней и радикалов, но только если будете осторожны. Вы можете упростить

        , потому что есть число, равное 16. То есть

        … потому что 4 2 = 16. А как насчет

        ? Можете ли вы возвести что-нибудь в квадрат и получить 90 455 отрицательных? Нет! Таким образом, вы не можете извлечь квадратный корень (или корень четвертой степени, или корень шестой степени, или корень восьмой степени, или любой другой четный корень) отрицательного числа. С другой стороны, вы можете сделать кубическими корнями из отрицательных чисел. Например:

        . .. потому что (–2) 3 = –8. По той же причине вы можете взять любой нечетный корень (третий корень, пятый корень, седьмой корень и т. Д.) отрицательного числа.


        URL: https://www.purplemath.com/modules/negative4.htm

        отрицательных показателей: 8 вещей, которые нужно знать вашим ученикам

        отрицательные показатели: 8 вещей, которые нужно знать вашим ученикам | Prodigy Education

        Категория

        • Стратегии преподавания
        • Инструменты обучения
        • Без категорий

        Многим ученикам уже трудно понять отрицательные числа, правила экспонент и дроби.Итак, что произойдет, если вы добавите к уравнению отрицательный показатель степени ? Полный хаос. Ну, не совсем. Но понимание отрицательных показателей — это , важный строительный блок для математических курсов в старших классах, и это также концепция, которую многие студенты считают сложной. Постепенно наращивая знания учеников, вы убедитесь, что они готовы решать сложные задачи в классе и за его пределами. Если вы не знаете, с чего начать, этот пост в блоге поможет вам изменить свой блок на негатив в положительный опыт для вас и ваших учеников! Мы рассмотрим:

        Правила для отрицательных показателей

        Как и все остальное в классе математики, отрицательные показатели должны соответствовать правилам.Если вам нужно напоминание, вот краткое изложение семи правил экспонент:

        1. Произведение степеней : сложение степеней при умножении как оснований
        2. Правило отношения степеней : вычитание степеней при делении как оснований
        3. Правило силы степеней : Умножение степеней вместе при возведении в степень на другой показатель
        4. Правило степени произведения : Распределение мощности на каждую базу при возведении нескольких переменных в степень
        5. Правило степени частного : Распределение мощности к каждой базе при возведении нескольких переменных в степень
        6. Правило нулевой степени : Любое основание, возведенное в степень нуля, становится единицей
        7. Правило отрицательной экспоненты : Чтобы изменить отрицательную экспоненту на положительную, переверните ее в взаимный.

        Напомните учащимся, что правила для отрицательных показателей остаются неизменными — возможно, потребуется выполнить несколько дополнительных шагов.

        Быстрый просмотр отрицательных чисел

        Отрицательные числа требуют определенного абстрактного мышления, которое не всегда бывает естественным. Но без твердого понимания отрицательных чисел учащиеся не будут готовы к работе с отрицательными показателями. Вот краткий обзор: Отрицательное число — это любое число меньше нуля. Отрицательные числа обозначаются отрицательным знаком.Например, -4 на четыре меньше нуля. Полезно думать, что отрицательные числа присутствуют в числовой строке: когда вы складываете и вычитаете отрицательные числа, вы перемещаетесь либо вправо, либо влево от числовой линии. Когда вы вычитаете отрицательное число, вы перемещаетесь влево от числовой строки, потому что это то же самое, что добавить положительное число. Если вы добавляете отрицательное число, вы перемещаетесь вправо, потому что это то же самое, что вычитание положительного числа. Когда вы умножаете отрицательное число на положительное (или наоборот), произведение будет отрицательным.Если вы умножите два отрицательных числа или два положительных числа, результат будет положительным. Умножение разных знаков всегда дает отрицательное произведение, а умножение одних и тех же знаков дает положительное произведение. Всегда считайте, что число положительное, если перед ним нет знака.

        Что означают отрицательные показатели?

        Мы уже знаем, что положительные показатели — это способ выражения многократного умножения. Например: есть несколько разных способов думать об отрицательных показателях, но в целом отрицательный показатель противоположен положительным.

        |

        Все отрицательные показатели степени могут быть выражены как положительные , обратные . Обратное число — это дробь, в которой числитель и знаменатель меняются местами. Как можно что-то превратить в обратную, если вначале это не была дробь? Мы знаем, что числа могут быть выражены более чем одним способом. Например, восемь также можно записать как: Итак, отрицательные показатели могут быть выражены как положительная величина, обратная основанию, умноженному на себя x раз. Чем больше отрицательный показатель степени, тем меньшее число он представляет. В то время как положительные показатели указывают на повторное умножение, отрицательные показатели представляют собой повторяющееся деление. Поэтому 2 -3 больше 2 -6 .

        |

        Как решить отрицательные показатели

        В большинстве вопросов вам будет предложено решить отрицательные показатели, выразив их в виде положительных уравнений . Вот как: переверните основание и показатель степени в обратную величину, а затем решите знаменатель. Разделите числитель на знаменатель, чтобы найти последний десятичный знак.

        Умножение и деление отрицательных показателей

        Мы уже рассмотрели умножение показателей показателей, но вот краткий обзор того, как умножать и делить отрицательные показатели.

        Умножение отрицательных показателей

        Хорошие новости! Правила умножения показателей такие же, даже если показатель отрицательный. Если основания совпадают, добавьте экспоненты. Помните о правилах сложения и вычитания отрицательных чисел. Если основания разные, но экспоненты одинаковые, умножьте основания и оставьте экспоненты такими, какие они есть.Если ничего общего нет, переходите непосредственно к решению уравнения. Переверните экспоненты в их обратные числа, а затем умножьте. Если вам нужно напоминание, посмотрите наш пост о том, как умножать дроби.

        Деление отрицательных показателей

        Деление отрицательных показателей почти то же самое, что их умножение, за исключением того, что вы делаете обратное: вычитаете, где бы вы добавили, и делите, где вы бы умножили. Если основания совпадают, вычтите показатели степени. Не забудьте перевернуть показатель степени и сделать его положительным, если необходимо.Если показатели такие же, но основания разные, сначала разделите основания. Если между ними нет ничего общего, переходите непосредственно к решению уравнения. Чтобы узнать больше о делении дробей, ознакомьтесь с нашим сообщением в блоге «Как разделить дроби».

        Отрицательные числа с показателями степени

        Что произойдет, если основание отрицательное, а не показатель степени? Если показатель степени положительный, работайте с ним так же, как и с обычным показателем, но помните две вещи:

        • Если основание отрицательное, а показатель степени равен четное число, конечным результатом всегда будет положительное число.
        • Если основание отрицательное, а показатель степени — нечетное число, конечным результатом всегда будет отрицательное число.

        Если отрицательное основание заключено в круглые скобки, степень применяется ко всему уравнению, включая отрицательный знак. Если скобок нет, степень применяется только к основанию, а не к отрицательному знаку. Поскольку в первом примере возводится в четное значение, два отрицательных знака отменяются, и вы получаете положительный результат.Если бы показатель степени был нечетной степенью, произведение было бы отрицательным, потому что было бы одно число, которое не могло быть сокращено. Во втором примере положительная степень применяется только к четырем, а не к отрицательному знаку. В этом случае отрицательный знак говорит о том, что продукт будет отрицательным независимо от того, четная или нечетная степень.

        Упрощение отрицательных показателей

        Умножение, деление и понимание отрицательных показателей — это первый шаг к упрощению выражений с отрицательными показателями. Помните: все шаги, описанные выше, остаются в силе независимо от того, насколько сложным является выражение. Давайте начнем с умножения отрицательных показателей на переменные. В этом примере степень применяется только к основанию x, а не к 4. Чтобы сделать его положительным выражением, переверните x на обратную величину и оставьте 4 сверху. Давайте попробуем что-нибудь посложнее. Переменные здесь такие же, поэтому в соответствии с правилом первой экспоненты мы можем умножать числа, сохранять основание и складывать показатели вместе. Умножив 6 и 4, получим произведение 24. Затем сложим показатели вместе, чтобы получилось умножьте переменные x. А как насчет деления отрицательных показателей на переменные? Начнем с простого примера: чтобы сделать отрицательную экспоненту положительной, переместите ???? в начало уравнения и умножьте. Вот пример отрицательного показателя степени с несколькими переменными: поскольку отрицательный показатель степени применяется только к переменной, переместите 𝑥-4 в конец уравнения, чтобы сделать его положительным, и оставьте 6 на месте. И вот ваше упрощенное уравнение! Давайте попробуем другой. Во-первых, перераспределим мощность внутри скобок, следуя правилу третьей степени.Затем переверните переменные 𝑥 с отрицательными показателями в их обратную величину. Наконец, умножьте переменные by, сложив показатели вместе. Давайте сделаем еще одно. Для начала возведите уравнение в квадрат или сначала переместите скобки. Начнем с того, что возведем верхнюю скобку в квадрат и перераспределим власть. Затем переместите отрицательные показатели вниз или вверх, в зависимости от их положения. Отрицательная экспонента сверху может быть перенесена в нижнюю, так что получается обратная величина, и наоборот. Закончите упрощением. Часто существует несколько способов упростить выражения с отрицательной экспонентой. Поскольку показатели — это повторяющееся умножение, и вы можете умножать числа в любом порядке, разные шаги могут привести к одному и тому же результату.

        Дроби с отрицательными показателями

        Мы знаем, что делать с целыми числами с отрицательными показателями, но как насчет дробей с отрицательными показателями? Чтобы упростить дроби с отрицательными показателями, переверните их в обратные, умножьте и уменьшите .

        Как обучать отрицательным показателям с помощью Prodigy

        Студентам понравится практиковать отрицательные показатели с помощью Prodigy: бесплатной математической платформы, соответствующей учебной программе, с экзотическими домашними животными, веселыми задачами и образовательными приключениями.Отрицательные показатели — это важная концепция, которую ученики должны усвоить до того, как они пойдут в старшую школу, но многие учащиеся испытывают трудности с ключевыми концепциями. Используя мощные инструменты отчетности на панели Teacher Dashboard , вы увидите, какие темы усвоили ваши ученики, а где им нужно больше практики. Функции Prodigy’s Assignments, Plan и Test Prep позволяют назначать целевую математическую практику учащимся, которые испытывают трудности на уровне или .Вы будете получать данные в режиме реального времени, пока учащиеся играют, и сможете выполнять дифференцированные задания, соответствующие тому, что вы преподаете в классе. Вы можете использовать Prodigy для: Лучше всего? Эти инструменты абсолютно бесплатны для учителей и студентов. Чтобы узнать больше о согласовании Prodigy с вашим классом, узнайте, как вы можете использовать индивидуальные планы для улучшения содержания вашего урока.

        Заключительные мысли об отрицательных показателях

        Если вы хотите больше попрактиковаться в показателях показателей в целом, наша таблица правил для показателей показателей дает учащимся возможность лучше узнать, как работают показатели. При работе с отрицательными показателями важно помнить, что все правила экспоненты остаются неизменными. Помимо этого, студентам нужно только знать, как складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа. Не торопитесь и переходите к более сложным вопросам. Ваши ученики станут мастерами экспонента в кратчайшие сроки!


        Начните обучать отрицательных экспонентов с Prodigy уже сегодня. Prodigy — это бесплатная математическая платформа, соответствующая учебному плану, которая побуждает учащихся любить изучение математики. Prodigy с более чем миллионом учителей и 50 миллионами студентов предлагает уникальные решения для вашего класса.-3. Однако на самом деле вы можете преобразовать любое выражение в дробь, поставив 1 над числом. Это основная причина, по которой мы можем перемещать экспоненты и решать следующие вопросы.

        Изучение этого урока также поможет вам на один шаг приблизиться к пониманию того, почему любое число с 0 в экспоненте равно 1. В конце этого урока будет ссылка на диаграмму, которая покажет вам, как возникают эти отношения. о. Скоро вы поймете все основные свойства экспонент!

        Как найти отрицательные показатели

        Давайте попробуем поработать с некоторыми вопросами об отрицательной степени, чтобы увидеть, как мы переместим числа в верхнюю или нижнюю часть дробной черты, чтобы сделать отрицательные показатели положительными.-3)

        Решение:

        Если вы когда-нибудь увидите отрицательный показатель в верхней части дроби, вы знаете, что если вы перевернете его вниз, он станет положительным. То же самое действительно работает с отрицательными показателями внизу. Если вы переместите его в числитель, его показатель степени также станет положительным. Имея это в виду, давайте проработаем вопрос. Наш первый шаг — просто перевернуть числитель и знаменатель, чтобы избавиться от всех отрицаний в показателях степени. Затем решите, как обычно, с помощью правила мощности.2)

        = 64/9

        Определенно не так запутанно, как казалось на первый взгляд, правда?

        Вот хорошее место, чтобы взглянуть на сравнение отрицательных и положительных показателей и посмотреть, как они ведут себя на графике.

        Упражнения по математике

        ]]>

        • Матрицы
        • Алгебра
        • Геометрия
        • Функции
        • Тригонометрия
        • Координатная геометрия
        • Комбинаторика
        Сумма и ресторан Продукт на эскаларе Продукт Инверса
        Мономы Полиномы Особые продукты Уравнения Квадратные уравнения
        Радикальные выражения Системы уравнений Последовательности и серии Внутренний продукт Экспоненциальные уравнения
        Матрицы Детерминанты Инверсия матрицы Логарифмические уравнения Системы трех переменных уравнений
        Двумерные формы Площади Теорема Пифагора Расстояния
        Графики Определение уклона Положительный или отрицательный наклон Определить наклон прямой Ecuación de una recta Уравнение прямой (из графика)
        Квадратичная функция Posición relativa de dos rectas Асимптоты Пределы Дистанция
        Непрерывность и разрывы
        Теорема Пифагора Синус Косинус Касательная Косеканс Секант

        Котангенс

        Тригонометрические идентификаторы
        Тригонометрические функции острого угла Тригонометрические функции связанных углов Решение прямоугольных треугольников Закон косинусов Закон синусов
        Ecuación de una recta Posición relativa de dos rectas Дистанция Углы в пространстве Внутренний продукт
        Факториал Варианты без повторения Вариации с повторением Перестановки с повторением Перестановки без повторов
        Упражнения Круговые перестановки Биномиальный коэффициент Комбинации с повторением Комбинации без повторов
        Среднее арифметическое

        Нулевые экспоненты и отрицательные экспоненты — Подготовка к оценке TSI

        Отрицательные показатели степени и нулевые показатели степени часто появляются при применении формул или упрощении выражений.

        В этом разделе мы определим правило отрицательной экспоненты и правило нулевой экспоненты и рассмотрим несколько примеров.

        Правило отрицательной экспоненты:

        Другими словами, когда есть отрицательный показатель степени, нам нужно создать дробь и поместить экспоненциальное выражение в знаменатель, а показатель степени сделать положительным. Например,

        Но работа с отрицательными показателями — это просто правило экспонент, которое мы должны уметь использовать при работе с экспоненциальными выражениями.

        Пример :

        Упростить: 3 -2

        Решение :

        3 -2 =

        Пример :

        Упростить:

        Решение :

        Примените правило отрицательной экспоненты как к числителю, так и к знаменателю.

        Пример :

        Упростить: 3 -1 + 5 -1

        Решение :

        Примените правило отрицательной экспоненты к каждому члену, а затем сложите дроби, найдя общие знаменатели.

        Правило нулевой экспоненты: a 0 = 1, a не равно 0. Выражение 0 0 является неопределенным или неопределенным.

        В следующем примере, когда мы применяем правило произведения для показателей степени , мы получаем показатель степени равный нулю.

        x 5 x -5 = x 5 + (-5) = x 0

        Чтобы понять назначение нулевой экспоненты, мы также перепишем x 5 x -5 , используя правило отрицательной степени .

        x 5 x -5 =

        Нулевой показатель степени указывает, что у числа нет факторов .

        Пример :

        Упростите каждое из следующих выражений, используя правило нулевого показателя степени. Запишите каждое выражение, используя только положительные показатели.

        а) 3 0

        б) -3 0 + н. 0

        Решение :

        а) Примените правило нулевой экспоненты.

        3 0 = 1

        б) Примените правило нулевой экспоненты к каждому члену, а затем упростите. Нулевой показатель в первом члене применяется только к 3, а не к отрицательному значению перед 3.

        -3 0 + n 0 = — (3 0 ) + n 0 = — 1 + 1 = 0

        Сравнение чисел в научной записи

        Вы сможете сравнить два числа в экспоненциальном представлении, посмотрев на показатель степени 10.Число с большей степенью 10 будет иметь большее значение. Если два числа имеют одинаковую экспоненту для 10, сравните десятичные числа, чтобы определить большее число.

        Иногда вам может потребоваться сравнить два числа, но только одно из них указано в экспоненциальном представлении. В этом случае сначала преобразуйте число, не указанное в научном представлении, в научное представление. Затем сравните два числа.

        Пример 1:

        Сравните 5,62 x 10 6 и 7.39 х 10 5 .

        Решение:

        Во-первых, обратите внимание на показатель степени 10.

        Это 6 и 5.

        Здесь экспоненты разные.

        Мы знаем, что число с большей степенью больше по значению.

        Поскольку 6 больше 5,

        5,62 x 10 6 больше

        Следовательно,

        5,62 x 10 6 > 7,39 x 10 5

        Пример 2:

        Сравнить 4.29 x 10 -3 и 5,38 x 10 -3 .

        Решение:

        Во-первых, обратите внимание на показатель степени 10.

        То есть -3.

        Здесь показатели такие же.

        Поскольку показатели одинаковы, мы должны сравнить десятичные числа, чтобы определить большее число.

        Если сравнивать 4,29 и 5,38, очевидно, что 5,38 — большее число.

        Следовательно,

        4,29 x 10 -3 <5,38 x 10 -3

        Пример 3:

        Сравнить 9.058915 x 10 3 и 1.01 x 10 4 .

        Решение:

        Во-первых, обратите внимание на показатель степени 10.

        Это 3 и 4.

        Здесь экспоненты разные.

        Мы знаем, что число с большей степенью больше по значению.

        Так как 4 больше 3,

        1,01 x 10 4 больше

        Следовательно,

        9,058915 x 10 3 <1,01 x 10 4

        Пример 4:

        Сравнить 4 .67 x 10 -2 и 3,0967 x 10 -9 .

        Решение:

        Во-первых, обратите внимание на показатель степени 10.

        Это -2 и -9.

        Здесь показатели разные.

        Мы знаем, что число с большей степенью больше по значению.

        Поскольку -2 больше -9,

        4,67 x 10 -2 больше

        Следовательно,

        4,67 x 10 -2 > 3,0967 x 10 -9

        Пример 5 :

        Сравнить 8.64 x 10 -7 и 8,64 x 10 3 .

        Решение:

        Во-первых, обратите внимание на показатель степени 10.

        Это -7 и 3.

        Здесь экспоненты разные.

        Мы знаем, что число с большей степенью больше по значению.

        Поскольку 3 больше -7,

        8,64 x 10 3 больше

        Следовательно,

        8,64 x 10 -7 <8,64 x 10 3

        Пример 6:

        Сравнить 7.02 x 10 2 и 532,21 x 10 -3 .

        Решение:

        В данных двух числах второе не в экспоненциальном представлении.

        Итак, преобразуем 532,21 x 10 -3 в научную нотацию.

        532,21 x 10 -3 = 5,3221 x 10 2 x 10 -3

        532,21 x 10 -3 = 5,3221 x 10 2- 3

        532,213 x 10 = 5,3221 x 10 -1

        Теперь у нас

        7.02 x 10 2 и 5,3221 x 10 -1

        Обратите внимание на показатель степени 10.

        Это 2 и -1.

        Здесь показатели разные.

        Мы знаем, что число с большей степенью больше по значению.

        Поскольку 2 больше -1,

        7,02 x 10 2 больше

        Следовательно,

        7,02 x 10 2 > 5,3221 x 10 -1

        Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

        Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

        [email protected]

        Мы всегда ценим ваши отзывы.

        Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

        ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

        Задачи со словами HCF и LCM

        Задачи со словами на простых уравнениях

        Задачи со словами на линейных уравнениях

        Задачи со словами на квадратных уравнениях

        Алгебраные задачи со словами

        Проблемы со словами в поездах

        Проблемы со словами по площади и периметру

        Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

        Проблемы со словами по цене за единицу

        Проблемы со словами по цене за единицу

        Word задачи по сравнению ставок

        Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи

        Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах

        Проблемы со словами по простым процентам

        Проблемы со словами по сложным процентам

        Проблемы со словами по типам ngles

        Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

        Проблемы со словами с двойными фактами

        Проблемы со словами в тригонометрии

        Проблемы со словами в процентах

        Проблемы со словами о прибылях и убытках

        Проблемы со словами

        Проблемы со словами с десятичными числами

        Проблемы со словами о дробях

        Проблемы со словами о смешанных фракциях

        Одношаговые задачи с уравнениями со словами

        Проблемы со словами с линейными неравенствами

        задачи

        Проблемы со временем и рабочими словами

        Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

        Проблемы со словами на возрастах

        Проблемы со словами в теореме Пифагора

        Процент числового слова pr проблемы

        Проблемы со словами при постоянной скорости

        Проблемы со словами при средней скорости

        Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

        ДРУГИЕ ТЕМЫ

        Сокращения прибылей и убытков

        Сокращение в процентах

        Сокращение в таблице времен

        Сокращение времени, скорости и расстояния

        Сокращение соотношения и пропорции

        Область и диапазон рациональных функций

        Область и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

        График рациональных функций

        График рациональных функций с отверстиями

        Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

        Десятичное представление рациональных чисел

        Поиск квадратного корня с помощью long di зрение

        L.Метод CM для решения временных и рабочих задач

        Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

        Остаток, когда 2 степени 256 делятся на 17

        Остаток при делении 17 степени 23 на 16

        Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

        Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

        Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

        Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

        Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

        Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

        Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

        .

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован.