Способы решения систем уравнений: Решение систем линейных уравнений — как решать СЛАУ методами Гаусса, Крамера, подстановки и почленного сложения

Презентация «Способы решения систем уравнений» 7 класс | Презентация к уроку по алгебре (7 класс) по теме:

Слайд 1
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ(7 класс)

Слайд 2
Презентация составлена учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Респубрики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

Слайд 3
Способы решения:

Слайд 4
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИСПОСОБ СЛОЖЕНИЯ

Слайд 5
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ

Слайд 6
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ: 1. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую2. Подставляют во второе уравнение найденное выражение;3. Решают полученное уравнение с одной переменной4. Находят соответствующее значение другой переменной.

Слайд 7
Например: 3х + 2у = 4 х – 4у = 6 Решение: из второго уравнения x = 4y+6Подставим данное выражение в первое уравнение: 3(4y+6)+2y=4 12y+18+2y=4 14y = -14 y=-1 Найдем х: x=4∙(-1)+6 x=2 Ответ: (2;-1)

Слайд 8
ПРИМЕР 1:Решим систему:

Слайд 9
5х – у = 16 10х – 3у = 27 Решение:Выразим из 1 уравнения: -у = 16-5x, тогда y = -16+5x = 5х-16Выражение у = (5х-16) подставим во второе уравнение системы вместо у: 10x — 3(5x-16)=27 10x — 15x + 48 = 27 — 5x = — 48 +27 — 5x = -21 х = 4,2 Найдем у: у = 5х-16 = 5· 4,2 – 16 =21-16= 5 ОТВЕТ: (4,2; 5)

Слайд 10
СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ

Слайд 11
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ: 1. умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами;2. складывают почленно полученные уравнения;3. решают полученное уравнение с одной переменной;4. находят соответствующее значение второй переменной.

Слайд 12
ПРИМЕР 1:Решим систему:

Слайд 13
2х – 3у = 11 3х + 7у = 5Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе — на 2 — 6х + 9у = — 33 6х + 14у = 10 23y=-23 y=-1Найдем х: 2x — 3·(-1)=11 2x + 3 = 11 2х = -3 +11 2х = 8 х = 4 ОТВЕТ: (4;-1)

Слайд 14
ПРИМЕР 2:Решим систему:

Слайд 15
3х + 10у = 19 — 4х + 5у = -7 Решение: умножим второе уравнение на (-2) 3х + 10у = 19 8х – 10у = 14 11x=33 x=3Найдем у: -4∙3+5y=-7 5y=12 -7 5у = 5 у =1 ОТВЕТ: (3;1)

Слайд 16
Решить системы:

Слайд 17
1) 3х+4у =7 9х-4у = -7х-3у =6 2у-5х = -44х -6у =2 3у -2х =1-2х+3у =-1 4х +у =2 2х +у =6 -4х +3у =8

Слайд 18
3(х+у)+1=х+4у 7-2(х-у)=х-8у5+2(х-у)=3х-4у 10-4(х+у)=3у-3х2х — 7у = 3 3х + 4у = -105х + 2у = -9 4х – 5у = 6 5(х+у)-7(х-у) = 54 4(х+у)+3(х-у) = 51

Слайд 19
Проверим:

Слайд 20
1) х=0; у=7/42) (0; -2)3) любое число4) Х =0,5; у=05) х=1; у=46) (-1;-1)

Слайд 21
7) (6 1/9; 5/9)8) х = -2; у=-19) (-1;-2)10) (9; 6)

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Home » 7 класс » Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Posted on Author admin 43

Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
6x-9y=-30
-4y+9y=2+30

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Category: 7 класс, Уроки Tag: Система уравнений 43 комментария

систем решения уравнений: какой метод использовать?

Системы уравнений — это несколько уравнений, имеющих общее решение. Учащиеся сталкиваются с этими системами уравнений, когда есть несколько «неизвестных» или переменных, которые им еще не заданы. Когда это происходит, цель учащихся состоит в том, чтобы использовать данную информацию в уравнениях для решения всех переменных.

 

Для решения систем уравнений учащимся полезно иметь представление о простых алгебраических уравнениях, переменных и построении графиков линейных уравнений.

 

Как решить систему уравнений?

 

Для решения систем уравнений используются три метода: построение графика, замена и исключение.

 

Чтобы решить систему с помощью графика, вы просто рисуете заданные уравнения и находите точки, в которых они все пересекаются. Координата этой точки даст вам значения переменных, которые вы решаете. Это наиболее эффективно, когда уравнения уже записаны в форме пересечения наклона.

 

Следующий метод — подстановка. Подстановку лучше всего использовать, когда одно из уравнений выражает одну из переменных, например y=2x+4, но уравнениями всегда можно манипулировать. Первым шагом в этом методе является решение одного из уравнений для одной переменной. Как только выражение для переменной найдено, замените или вставьте выражение в другое уравнение, где исходная переменная должна была найти числовое значение следующей переменной. Последним шагом является замена найденного числового значения на соответствующую переменную в исходном уравнении.

 

Третий метод — исключение. Исключение — это сложение уравнений вместе, чтобы создать уравнение только с одной переменной. Это можно сделать только в том случае, когда коэффициенты одной переменной в обоих уравнениях противоположны и будут компенсировать друг друга после сложения. Исключение лучше всего использовать, когда это уже происходит в уравнениях, но уравнения также можно манипулировать для создания общих коэффициентов путем умножения или деления уравнений на определенное число. Следующим шагом будет использование уравнения, которое мы создали, чтобы найти значение переменной, а затем подставить это значение обратно в исходное уравнение, чтобы найти оставшуюся переменную.

 

Вот пример задачи, в которой необходимо решить систему уравнений:

 

Логан ответил на 0,8 вопросов по математике больше, чем вопросов по испанскому, и на 5 вопросов по английскому языку больше, чем по испанскому. Если Логан ответил в общей сложности на 33 вопроса, на сколько математических вопросов ответил Логан?

 

Как решить эту проблему?

 

Первым шагом является создание уравнений из задачи со словами. Для этого мы должны присвоить переменные каждой неизвестной части задачи. Переменные x, y и z будут представлять количество математических, испанских и английских вопросов, на которые Логан ответил соответственно.

 

Поскольку Логан ответил в 0,8 раза на большее количество математических вопросов, чем на испанский, уравнение, представляющее это, будет 0,8y=x. Второе уравнение будет выглядеть так: z=y+5, чтобы представить, как Логан ответил на пять английских вопросов больше, чем испанских. Окончательное уравнение будет x+y+z=33, чтобы показать, как Логан ответил в общей сложности на 33 вопроса.

 

Оглядываясь назад на исходный вопрос, цель этой задачи — найти, на сколько математических вопросов ответил Логан. Поскольку первое уравнение, которое мы нашли, было 0,8y=x, мы видим, что нам нужна только переменная y, чтобы найти значение x или количество математических вопросов, на которые были даны ответы. Поскольку два уравнения уже решены с двумя переменными, 0,8y=x и z=y+5, подстановка будет наиболее эффективным методом. Чтобы использовать этот метод, мы заменим этими уравнениями переменные x и y третьего уравнения, что даст нам (0,8y)+y+(y+5)=33.

 

Следующим шагом будет решение этого уравнения для переменной y путем объединения одинаковых членов: 2,8y=28, что даст нам y=10 или 10 ответов на испанские вопросы. Теперь, когда мы нашли значение переменной y, мы можем снова подставить его в уравнение 0,8y=x, чтобы найти значение x. Заменив y его значением 10, мы получим 0,8(10)=x, что даст нам значение 8 для x.

 

Какой ответ?

Логан ответил на 8 математических вопросов.

 

Какие понятия мы использовали?

 

Чтобы решить эту примерную задачу, мы использовали несколько различных математических концепций. Первым, что мы использовали, было то, как писать уравнения из текстовых задач. Благодаря нашему пониманию проблемы мы смогли присвоить каждому неизвестному аспекту проблемы переменную, а затем создать уравнения, основанные на их отношениях в проблеме, которые мы затем распознали как систему уравнений.

 

Вторая концепция, которую мы использовали, — решение системы. Уравнения не были записаны в форме пересечения наклона, поэтому построение графиков было бы неэффективным методом. Противоположные друг другу переменные отсутствовали, поэтому мы также исключили метод исключения. Признав подстановку лучшим методом, мы смогли эффективно использовать наши математические навыки для решения неизвестных переменных в системе уравнений.

 

 

Если это то, что вы хотите для своего ребенка — Начать просто!

Позвоните сейчас (303) 502-8345 и узнайте больше!

 

Каковы математические способности вашего ребенка?

И вы, и ваш ребенок можете принять участие в наших интерактивных викторинах, чтобы узнать, как много вы помните! На каком они этапе обучения?

3 Методы решения систем уравнений

••• ChristianChan/iStock/GettyImages

Обновлено 14 марта 2018 г.

Автор: Karl Wallulis

Для решения систем уравнений чаще всего используются три метода: подстановка, исключение и расширенные матрицы. Подстановка и исключение — это простые методы, с помощью которых можно эффективно решить большинство систем из двух уравнений за несколько простых шагов. Метод дополненных матриц требует больше шагов, но его применение распространяется на большее разнообразие систем.

Подстановка

Подстановка — это метод решения систем уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений и последующего решения этого уравнения. Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении, а затем подстановки значений этих переменных в другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x — 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнении, чтобы получить x = 4 — y, затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 — y) — 3y = 3. Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3,

Исключение

Исключение — это еще один способ решения систем уравнений путем перезаписи одного из уравнений только с одной переменной. Метод исключения достигает этого путем добавления или вычитания уравнений друг из друга, чтобы исключить одну из переменных. Например, добавление уравнений x + 2y = 3 и 2x — 2y = 3 дает новое уравнение 3x = 6 (обратите внимание, что члены y сокращаются). Затем система решается теми же методами, что и для подстановки. Если невозможно сократить переменные в уравнениях, необходимо будет умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.

Расширенная матрица

Расширенные матрицы также могут использоваться для решения систем уравнений. Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, содержащего постоянный член на другой стороне уравнения. Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x — y = 0 равна [[2 1], [2 -1]…[4, 0]].

Определение решения

Следующий шаг включает использование элементарных операций со строками, таких как умножение или деление строки на константу, отличную от нуля, а также сложение или вычитание строк. Целью этих операций является преобразование матрицы в ступенчато-строковую форму, в которой первый ненулевой элемент в каждой строке равен 1, все элементы выше и ниже этого элемента являются нулями, а первый ненулевой элемент для каждого строка всегда находится справа от всех таких записей в строках над ней. Строково-эшелонная форма для приведенной выше матрицы имеет вид [[1 0], [0 1]…[1, 2]]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).

Приложения

Подстановка и исключение являются более простыми методами решения уравнений и используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *