Сложение в системе уравнений: Способ сложения — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом сложения: алгоритм, примеры

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

Например: $ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.}$

Шаг 1

Умножаем первое уравнение на 2

${\left\{ \begin{array}{c} 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.}$

Шаг 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

5x = 5

Шаг 3

Находим x:

x = 1

Шаг 4

Находим y из первого уравнения:

y = 5-3x = 2

Шаг 5

Ответ: (1;2)

В последовательной записи:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 | \times 2 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 6x+2y = 10 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x = 5 \\ x+2y = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 5-3x = 2 \end{array} \right.} $$

Ответ: (1;2)

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 | \times 2 \\ 2x-3y = 4 | \times 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = 6 \\ 10x-15y = 20 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = -14 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{3y+4}{2} = -1 \\ y=-2 \end{array} \right.} $

Ответ: (-1;-2)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 | \times 3 \\ 3x-4y = 0 | \times 4 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 12x-9y = 21 \\ 12x-16y = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = 21 \\ x = \frac{4}{3} y \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4 \\ y = 3 \end{array} \right.} $

Ответ: (4;3)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 | \times 2 \\ 2a+3b = -1 | \times 5 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 10a-8b = 18 \\ 10a+15b = -5 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -23b = 23 \\ a = \frac{-3b-1}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -1 \end{array} \right.} $

Ответ: (1;-1)

$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 | \times (-2) \end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ -6a-4b = -2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = \frac{1-3a}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = -4 \end{array} \right.}$

Ответ: (3;-4)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4}-y = 7 \\ 3x+ \frac{y}{2} = 9 | \times 2\end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4} -y = 7 \\ 6x+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 6 \frac{1}{4} x = 25 \\ y = 18-6x\end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 25: \frac{25}{4} = 25 \cdot \frac{4}{25} = 4 \\ y = 18-6 \cdot 4 = -6 \end{array} \right. } $$

Ответ: (4;-6)

$б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2}+ \frac{y}{3} = \frac{1}{6} |\times 2 \\ \frac{x}{3}+ \frac{y}{2} = -\frac{1}{6}| \times 3 \end{array} \right.}\Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} x+ \frac{2}{3} y = \frac{1}{3} \\ x+ \frac{3}{2} y = — \frac{1}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \left( \frac{2}{3}- \frac{3}{2}\right) y = \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{3}- \frac{2}{3} y\end{array} \right.} \Rightarrow$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = \frac{5}{6}:\left(-\frac{5}{6}\right) = -1 \\ x = \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} = 1\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (1;-1)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$$ \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = -14 \\ x+8y = 25 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 11x = 11 \\ y = \frac{25-x}{8} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 3 \end{array} \right.}$$

Ответ: (1;3)

$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end{array} \right.}$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 | \times 7 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 7x-21y = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 5 \\ y = 1 \end{array} \right.}$$

Ответ: (5;1)

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} — \frac{5}{y} = 11 \end{array} \right. } $

Введём новые переменные: $ {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{array} \right.} $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ {\left\{ \begin{array}{c}2a+3b = 1| \times 3 \\ 3a-5b = 11 | \times 2 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 6a+9b = 3 \\ 6a-10b = 22 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 19b = -19 \\ a = \frac{1-3b}{2} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 2 \\ b = -1 \end{array} \right.} $$

Исходные переменные:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{b} = -1 \end{array} \right.} $$

Ответ:$ \left(\frac{1}{2} ;-1 \right)$

Примеры решения систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.

   

Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).

Наименьшее общее кратное коэффициентов при x — НОК(5;2)=10, при y — НОК(3;3)=3.

Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).

   

   

   

Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:

   

Решаем это уравнение:

6-3y=21

-3y=21-6

-3y=15

y= -5.

   

Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

Ответ: (3; -5).

   

НОК(6; 4)=12, НОК(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.

Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3

   

и сложим почленно левые и правые части уравнений:

   

   

Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:

   

   

Ответ: (-2; -1).

   

НОК(3; 5)=15, НОК(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.

Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:

   

и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:

   

   

Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:

   

   

Ответ: (-7; 2).

   

Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:

   

   

   

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:

   

   

   

Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):

   

   

Ответ: (-3; 10).

   

Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.

В данной системе проще всего исключить переменную z.

К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:

   

   

Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:

   

   

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:

   

НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:

   

   

   

Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:

   

   

Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:

   

   

Ответ: (2; 0; -1).

Методы подстановки и сложения

Результаты обучения

  • Используйте метод подстановки, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.
  • Используйте метод сложения, чтобы найти решение(я) системы линейных уравнений.

Решение систем уравнений путем подстановки

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные числа или дроби, это не самый точный метод. Рассмотрим еще два метода решения система линейных уравнений более точная, чем графическая. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.

Как: Имея систему из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение обоих уравнений.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем замены.

[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Вы можете использовать онлайн-инструмент для построения графиков, который поможет вам решить систему уравнений путем подстановки. Мы будем использовать следующую систему, чтобы показать вам, как это сделать:

[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]

Сначала решите оба уравнения для y:

[латекс]\begin{align}y&=x-3 \\ y&=\frac{3}{2}x — 2 \end{align}[/latex]

Теперь введите [latex]x-3=\frac{3}{2}x — 2[/latex] в Desmos. Вы увидите, что Desmos предоставил вам [latex]x = -2[/latex].

Теперь вы можете подставить [латекс]х = -2[/латекс] в оба уравнения. Если вы получите одинаковый результат для обоих, вы нашли решение упорядоченной пары. Попробуйте.

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать метод подстановки для решения любой линейной системы с двумя переменными?

Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится около 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений. Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения, этот метод также называют метод устранения . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.

Как: Имея систему уравнений, решить ее методом сложения.

  1. Напишите оба уравнения с x и – переменные слева от знака равенства и константы справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]

Показать решение

Основные выводы

Пример: Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=8\\ 3x+5y&=10\end{align}[/latex]

Показать решение

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения | Колледж Алгебра |

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.

Как: Имея систему уравнений, решить ее методом сложения.

  1. Напишите оба уравнения с x — и y -переменными слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример 4. Решение системы методом сложения

Данную систему уравнений решить методом сложения.

x+2y=-1-x+y=3\begin{массив}{l}x+2y=-1\qquad \\ -x+y=3\qquad \end{массив}x+2y=- 1−x+y=3​

Решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент

xxx

во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту

xxx

в первом уравнении, 1. Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить

xxx

. без необходимости умножать на константу.

x+2y=-1−x+y=33y=2\frac{\begin{array}{l}\qquad \\ x+2y=-1\qquad \\ -x+y=3\qquad \ конец {массив}}{\текст{}\текст{}\текст{}\текст{}\текст{}3y=2}3y=2x+2y=−1−x+y=3​​

Теперь, когда мы исключили

xxx

, мы можем решить полученное уравнение для

yyy

.

3y=2 y=23\begin{array}{l}3y=2\qquad \\ \text{ }y=\frac{2}{3}\qquad \end{array}3y=2 y=32

Затем мы подставляем это значение для

yyy

в одно из исходных уравнений и решаем для

xxx

.

 –x+y=3 –x+23=3 –x=3–23 –x=73 x=−73\begin{array}{l}\text{ }-x+y=3\qquad \\ \text{ }-x+\frac{2}{3}=3\qquad \\ \text{ }-x=3-\frac{2}{3}\qquad \\ \text{ }-x=\frac {7}{3}\qquad \\ \text{ }x=-\frac{7}{3}\qquad \end{array} −x+y=3 −x+32​=3 −x=3− 32 -x=37 x=-37 

Решение этой системы:

(−73,23)\left(-\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right)(−37​,32​)

.

Проверьте решение первого уравнения.

 x+2y=−1 (−73)+2(23)= −73+43= −33= −1=−1True\begin{array}{llll}\text{ }x+2y=-1\ qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \text{ }\left(-\frac{7}{3}\right)+2\left(\frac{2}{3}\right)=\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \text{ }-\frac{7}{3}+\frac{4}{3}=\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \text{ }-\frac{3}{3}=\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \text{ }-1=-1\qquad & \qquad & \qquad & \text{True}\qquad \ end{array} x+2y=−1 (−37​)+2(32​)= −37​+34​= −33​= −1=−1​​​​​​​​​

Анализ раствора

Мы получаем важный взгляд на системы уравнений, глядя на графическое представление. См. рисунок 5, чтобы убедиться, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Рис. 5

Пример 5. Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

3x+5y=−11x−2y=11\begin{array}{l}3x+5y=-11\qquad \\ \qquad \\ x — 2y=11\qquad \end{array}3x+5y= −11x−2y=11​

Решение

Добавление этих уравнений в том виде, в котором они представлены, не устранит переменную. Однако мы видим, что в первом уравнении есть

3x3x3x

, а во втором уравнении

xxx

. Итак, если мы умножим второе уравнение на

−3,-3,\text{}−3,

x -члены добавятся к нулю.

 x−2y=11−3(x−2y)=−3(11)Умножьте обе части на −3. −3x+6y=−33Использовать свойство распределения.\begin{array}{llll}\text{ }x – 2y=11\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ -3\left(x – 2y\ right)=-3\left(11\right)\qquad & \qquad & \qquad & \text{Умножить обе стороны на }-3.\qquad \\ \text{ }-3x+6y=-33\qquad & \qquad & \qquad & \text{Использовать свойство распределения}.\qquad \end{массив} x−2y=11−3(x−2y)=−3(11) −3x+6y=−33​​​ Умножьте обе части на −3. Используйте свойство распределения.​

Теперь добавим их.

 3x+5y=−11−3x+6y=−33_____________11y=−44y=−4\begin{matrix}\ \qquad 3x+5y=-11 \\ \qquad -3x+6y=-33 \\ \text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore} \\ \qquad 11y=-44 \\ \qquad y=-4 \end{matrix} 3x+5y =−11−3x+6y=−33_____________11y=−44y=−4​

На последнем шаге мы подставляем

y=-4y=-4y=-4

в одно из исходных уравнений и находим

xxx

.

3x+5y=-113x+5(-4)=-113x-20=-113x=9x=3\begin{массив}{c}3x+5y=-11\\ 3x+5\влево(-4 \right)=-11\\ 3x — 20=-11\\ 3x=9\\ x=3\end{массив}3x+5y=−113x+5(−4)=−113x−20=−113x= 9x=3​

Наше решение — упорядоченная пара

(3,−4)\left(3,-4\right)(3,−4)

. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

 x−2y=11(3)−2(−4)=3+8 =11True\begin{array}{llll}\text{ }x — 2y=11\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \left(3\right)-2\left(-4\right)=3+8\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \text{ }=11\qquad & \qquad & \qquad & \text{True}\qquad \end{array} x−2y=11(3)−2(−4)=3+8 =11​​​True​

Рисунок 6

Попробуйте 4

Решите систему уравнений методом сложения.

2x−7y=23x+y=−20\begin{массив}{c}2x — 7y=2\\ 3x+y=-20\end{массив}2x−7y=23x+y=−20​

Решение

Пример 6. Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Данную систему уравнений с двумя переменными решить сложением.

2x+3y=-165x-10y=30\begin{array}{c}2x+3y=-16\\ 5x — 10y=30\end{array}2x+3y=-165x-10y=30​

Решение

В одном уравнении

2x2x2x

, а в другом

5x5x5x

. Наименьшее общее кратное равно

10x10x10x

поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Исключим

xxx

, умножив первое уравнение на

−5-5−5

, а второе уравнение на

222

.

−5(2x+3y)=−5(−16) −10x−15y=80 2(5x−10y)=2(30) 10x−20y=60\begin{array}{l} -5\left (2x+3y\вправо)=-5\влево(-16\вправо)\qquad \\ \text{ }-10x — 15y=80\qquad \\ \text{ }2\влево(5x — 10y\вправо) =2\влево(30\вправо)\qquad \\ \text{ }10x — 20y=60\qquad \end{массив}−5(2x+3y)=−5(−16) −10x−15y=80 2 (5x−10y)=2(30) 10x−20y=60​

Затем мы складываем два уравнения вместе.

 −10x−15y=8010x−20y=60______________ −35y=140y=−4\begin{matrix}\ -10x-15y=80 \\ 10x-20y=60 \\ \text{\textunderscore}\text{\ textunderscore} \ text{\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore} \\ \text{ }-35y=140 \\ y=-4 \end{matrix} −10x−15y= 8010x−20y=60______________ −35y=140y=−4​

Подставьте

y=-4y=-4y=-4

в исходное первое уравнение.

2x+3(-4)=-162x-12=-162x=-4x=-2\begin{array}{c}2x+3\left(-4\right)=-16\\ 2x — 12 =-16\\ 2x=-4\\ x=-2\end{массив}2x+3(-4)=-162x-12=-162x=-4x=-2​

Решение:

(-2,-4)\влево(-2,-4\вправо)(-2,-4)

. Проверьте это в другом уравнении.

 5x−10y=305(−2)−10(−4)=30−10+40=30 30=30\begin{array}{r}\qquad \text{ }5x — 10y=30\\ \ qquad 5\влево(-2\вправо)-10\влево(-4\вправо)=30\\ \qquad \text{ }-10+40=30\\ \qquad \text{ }30=30\end{ array} 5x−10y=305(−2)−10(−4)=30−10+40=30 30=30​

Рисунок 7

Пример 7: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Данную систему уравнений с двумя переменными решить сложением.

x3+y6=3×2−y4= 1\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}=3\qquad \\ \frac{x}{2} -\frac{y}{4}=\text{ }1\qquad \end{array}3x​+6y​=32x​−4y​= 1​

Решение

Сначала очистите каждое уравнение дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

6(x3+y6)=6(3) 2x+y=184(x2−y4)=4(1) 2x−y=4\begin{массив}{l}6\left(\frac{x} {3}+\frac{y}{6}\right)=6\left(3\right)\qquad \\ \text{ }2x+y=18\qquad \\ 4\left(\frac{x} {2}-\frac{y}{4}\right)=4\left(1\right)\qquad \\ \text{ }2x-y=4\qquad \end{array}6(3x​+6y ​)=6(3) 2x+y=184(2x​−4y​)=4(1) 2x−y=4​

Теперь умножьте второе уравнение на

−1-1−1

, чтобы исключить переменную x .

−1(2x−y)=−1(4) −2x+y=−4\begin{массив}{l}-1\влево(2x-y\вправо)=-1\влево(4\вправо )\qquad \\ \text{ }-2x+y=-4\qquad \end{массив}−1(2x−y)=−1(4) −2x+y=−4​

Сложите два уравнения, чтобы исключить переменную x , и решите полученное уравнение.

 2x+y=18−2x+y=−4_____________2y=14y=7\begin{matrix}\ \qquad 2x+y=18 \\ \qquad-2x+y=-4 \\ \text{\textunderscore} \text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text{\textunderscore}\text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \ text {\ textunderscore} \\ \qquad 2y=14 \\ \qquad y=7 \end{matrix} 2x+y=18−2x+y =−4_____________2y=14y=7​

Подставьте

y=7y=7y=7

в первое уравнение.

2x+(7)=18 2x=11 x=112 =7,5\begin{array}{l}2x+\left(7\right)=18\qquad \\ \text{ }2x=11\qquad \\ \ text{ }x=\frac{11}{2}\qquad \\ \text{ }=7,5\qquad \end{array}2x+(7)=18 2x=11 x=211​ =7,5​

Решение:

(112,7)\left(\frac{11}{2},7\right)(211​,7)

. Проверьте это в другом уравнении.

x2−y4=11122−74=1114−74=144=1\begin{array}{c}\frac{x}{2}-\frac{y}{4}=1\\ \frac{\ frac{11}{2}}{2}-\frac{7}{4}=1\\ \frac{11}{4}-\frac{7}{4}=1\\ \frac{4} {4}=1\end{массив}2x​−4y​=12211​−47​=1411​−47​=144​=1​

Попробуйте 5

Решите систему уравнений методом сложения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *