Следствие из теоремы пифагора: Некоторые следствия из теоремы Пифагора

Содержание

Теорема Пифагора

Ученик 8 В класса

Моусош № 6

Скворцов Сергей

«Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела — болезнь, от души — невежество, от желудка — излишнего, от города — смуту, от дома — раздоры, и от всего вместе — неумеренность.»

• • Геометрия. Знаменитая и всеми любимая теорема Пифагора плюс построение некоторых многоугольников и многогранников.

• • География и астрономия. Одним из первых высказал гипотезу о шарообразной форме Земли, считал, что мы – не единственные во Вселенной.

• • Музыка. Зависимость звука от длины струны или флейты.

• • Нумерология. Многие из нас знают, что такое нумерология, но кто первый совместил числа и прогнозы на будущее?

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Рассмотрим один из способов.

• Дано: ABC-треугольник;C – прямой угол

• Проведем высоту CD из вершины прямого угла С

• По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

• АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ².

• Теорема доказана.

• В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы

• Для всякого острого угла α cosα<1

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета(согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

• Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас её применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др.

Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора и следствия из нее. П1

Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся применения теоремы Пифагора и ее следствий при решении различных задач. При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

Категория пользователей
Обучаемый, Преподаватель

Дисциплины
Математика
/ Теорема Пифагора и следствия из нее

Уровень образования
Профессионально-техническая подготовка, повышение квалификации

Статус
Завершенный вариант (готовый, окончательный)

Тип ИР сферы образования
информационный модуль

Ключевые слова
прямоугольный треугольник, теорема Пифагора,

Издатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр. 1, ул. Пришвина, 8

Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт —
http://www.nmg.ru

Правообладатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт —
http://www.nmg.ru

Внимание! Для воспроизведения модуля необходимо установить на компьютере проигрыватель ресурсов.

Характеристики информационного ресурса

Тип используемых данных:
text/plain, text/html, image/jpeg

Объем цифрового ИР
1 562 383 байт

Проигрыватель

Категория модифицируемости компьютерного ИР

Признак платности
бесплатный

Наличие ограничений по использованию
нет ограничений

Рубрикация

Ступени образования
Основное общее образование

Целевое назначение
Учебное

Тип ресурса
Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

Классы общеобразовательной школы
8

Уровень образовательного стандарта
Федеральный

Характер обучения
Базовое

формула, доказательство и примеры решений

Содержание:

Формула теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. {2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

как звучит, способы доказательства, формула

Этот одна из базовых теорем евклидовой геометрии, определяющая соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике. Несложность доказательства и широкое применение обеспечили ей массовую известность.

Теорема Пифагора — краткая история

Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника в том или ином виде было известно многим древним цивилизациям (египетской, шумерской и др. ), но первая известная формулировка принадлежит греческому философу и математику Пифагору в V в. до н.э. Об этом известно из труда «Начала», который написал Евклид приблизительно в 300 г. до н. э.

Теорема Пифагора используется для доказательства многих других теорем геометрии. Математиками разработано несколько обобщений, например, для произвольных треугольников, для многомерных пространств. При этом, теорема Пифагора выполняется только в евклидовых геометриях, в иных случаях она не действует.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формулировка теоремы

Изначальная (геометрическая) формулировка Пифагора гласила:

Теорема

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Позднее появился алгебраический вариант:

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Оба этих определения эквивалентны. Алгебраическое более элементарно, так как оно не оперирует понятием площади, поэтому теорему в этом виде можно проверить просто – измерив длину гипотенузы и катетов, сделав затем необходимое вычисление.

Уравнение

В виде формулы теорема Пифагора записывается следующим образом:

a2+b2=c2, где:

  • а и b – длины двух катетов,
  • с – длина гипотенузы.

Доказательство через подобные треугольники

Это доказательство – одно из наиболее простых, так как является прямым следствием аксиом и не оперирует понятием площади.

Имеется прямоугольный треугольник ABC, где C = 90º. Высота, проведенная из прямого угла пересечет гипотенузу в точке H.



 

Полученные треугольники ACH и CHB подобны треугольнику АВС по двум углам. Отсюда получаем:

CB/AB=HB/CB, AC/AB=AH/AC

Это соответствует:

CB2=ABxHB, AC2=ABxAH

Сложив между собой квадраты катетов, получаем:

AC2+CB2=ABx(HB+AH)=AB2

Это и требовалось доказать.

Другие способы доказательства теоремы

Зафиксировано более 400 доказательств теоремы Пифагора. Это связано с простотой ее формулировки, популярностью и широким применением в геометрии. К числу распространенных доказательств относятся методы площадей и бесконечно малых.

Методом площадей

Первоначально требуется дополнительное построение – рисуется квадрат, каждая из сторон которого равна сумме длин катетов a и b. Отложив эти длины, проведем гипотенузы у прямоугольных треугольников:



 

Очевидно, что внутренний четырехугольник, образованный четырьмя гипотенузами, будет квадратом, так как все его стороны равны, а углы прямые. Последнее следует из того, что сумма двух углов треугольника, построенных на гипотенузе равна 90º. Вычитая это значение из развернутого угла в 180º получаем как раз прямой угол.

Площадь внешнего квадрата включает в себя:

  • сумму площадей четырех прямоугольных треугольников;
  • площадь внутреннего квадрата.

Изменив расположение отрезков на сторонах квадрата и проведя новое построение, можно получить два внутренних квадрата и два прямоугольника. При этом, прямоугольники всегда будут равны, а квадраты будут равными только в частном случае – при равенстве сторон a и b.



 

Значит:

4ab2=2ab ⇒ c2=a2+b2, что и нужно было доказать.

Методом бесконечных малых

Данное доказательство делается с помощью интегрального исчисления. Рассматривается ситуация для бесконечно малых приращений сторон треугольника, составляется дифференциальное уравнение и находится его производная.



 

В начале вводится величина d. На это значение увеличивается катет а и гипотенуза с, а катет b остается неизменным. Отсюда имеем

da/ca = c/a, b = const

Разделяя переменные составляется дифференциальное уравнение:

c x dc = a x da

Для его решения необходимо проинтегрировать обе части, при этом получается соотношение:

c2 = a2 + const

определяя из начальных условий константу интегрирования, получим:

a = 0 ⇒ c2 = b2 = const

Таким образом мы определяем, что

c2 = a2 + b2

Теорема доказана!

Следствие из теоремы Пифагора

Его так же называют обратной теоремой Пифагора:

Определение

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный. 2}\), где:

  • n – число измерений данного пространства;
  • d (p, q) – необходимое расстояние;
  • p(p1,….,pn) и q(q1,….,qn) – две точки, расстояние между которыми нужно найти.

Теория чисел

Арифметическим аналогом теоремы Пифагора стали пифагоровы тройки чисел.

Определение

Пифагоровы тройки – группа из трех натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих равенству x2+y2=z2.

Например, к таким числам можно отнести группы (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и другие. Пифагоровы тройки широко применяются в разных областях деятельности, например, в программировании и криптографии.

Примеры решения задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике АВС, катет ВС = 36 см, гипотенуза АВ = 85 см. Необходимо найти катет АС.

Решение

По теореме Пифагора ВС2+АС2=АВ2, значит

\(АС\;=\;\sqrt{АВ^2\;-\;АС^2}\)

Для нахождения ответа подставим в формулу исходные значения:

\(АС\;=\;\sqrt{85^2\;-\;36^2}\;=\;\sqrt{7225\;-\;1296\;}={\;\sqrt{5929}\;=\;77\;}\)

Задача 2

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 46, 56 и 76 см. 2}\;=\;\sqrt{7225\;-\;1296\;}={\;\sqrt{5929}\;=\;77\;}\)

Теорема Пифагора и ее доказательство

ДАНО: ΔABC∠C = 90°.


ДОКАЗАТЬ: АВ2=АС2+ВС2.




ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для доказательства требуется выполнить дополнительное построение: из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу (CD ⊥ AB).


Рассмотрим два прямоугольных треугольника, имеющих общий острый угол A (ABC и ACD). По определению косинуса угла


cos A = AD / AC = AC / AB


Рассмотрим пропорцию:


AD / AC = AC / AB


По основному свойству пропорции: AC2=AD*AB.


Из прямоугольных треугольников с общим острым углом B (ABC и BCD) по аналогии получим равенство: BC2=BD*AB.


Сложим два равенства почленно:


AC2+BC2=AD*AB+BD*AB.


Преобразуем равенство в тождественное:


AC2+BC2=AB*(AD+BD), но AD+BD=AB, следовательно, AC2+BC2=AB2, что и требовалось доказать.




СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ:


1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра.


2. Косинус угла меньше единицы для любого острого угла.


3. Для любого равнобедренного треугольника с основанием а и сторонами b высота h, проведенная к основанию, равна корню квадратному из разности квадратов боковой стороны и половины основания треугольника


4. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.


В следствие 4 наклонные следует рассматривать как гипотенузы двух прямоугольных треугольников, у которых одна общая сторона (высота третьего треугольника), а вторые катеты служат проекциями гипотенуз и являются взаимно дополняющими прямыми.

ДАНОΔABC∠C = 90°.


ДОВЕСТИ: АВ2=АС2+ВС2.




ДОКАЗ: Для доказу потрібно виконати додаткове побудова: з вершини прямого кута опустити перпендикуляр на гіпотенузу (CD ⊥ AB).


Розглянемо два прямокутних трикутника, мають загальний гострий кут A (ABC иACD). За визначенням косинуса кута


cos A = AD / AC = AC / AB


Розглянемо пропорцію:


AD / AC = AC / AB


За основним властивості пропорції: AC2=AD*AB.


З прямокутних трикутників із загальним гострим кутом B (ABC и BCD) за аналогією отримаємо рівність: BC2=BD*AB.


Складемо два рівності почленно:


AC2+BC2=AD*AB+BD*AB.


Перетворимо рівність у тотожне:


AC2+BC2=AB*(AD+BD), але AD+BD=AB, а значить, AC2+BC2=AB2, що і необхідно було довести.




НАСЛІДКИ ТЕОРЕМИ:


1. У прямокутному трикутнику будь який з катетів менше гіпотенузи. Якщо до прямої з однієї точки проведено перпендикуляр і похила, то будь-яка похила більше перпендикуляра.


2. Косинус кута менше одиниці для будь-якого гострого кута.


3. Для будь-якого рівнобедреного трикутника з основою а і сторонами b висота h, проведена до основи, дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів бічної сторони і половини підстави трикутника


4. Рівні похилі мають рівні проекції, з двох похилих більше та, у якої проекція більше.


В наслідок 4 похилі слід розглядати як гіпотенузи двох прямокутних трикутників, у яких одна спільна сторона (висота третього трикутника), а другі катети служать проекціями гіпотенуз і є взаємно доповнюючими прямими. 2 = ab$.

Отсюда $x = \sqrt{ab}$ — корень из произведения двух чисел.

Другими словами, средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному. (доказать самостоятельно)

Теорема. В прямоугольном треугольнике

  1. высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу.

  2. катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Следствие 1. Проекции катетов на гипотенузу относятся как квадраты катетов.

Следствие 2. Теорема Пифагора.

$$AC^2 + BC^2 = AB \cdot AC’ + AB \cdot BC’ = AB \cdot (AC’+BC’) = AB^2$$

Следствие 3. Проекция и перпендикуляр короче наклонной (разумеется, проведенные из одной и той же точки к некоторой прямой).

Следствие 4. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пифагоровы штаны на все стороны равны!

Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Физическое доказательство (точнее, показательство) теоремы Пифагора — видео

Еще одно физическое доказательство теоремы Пифагора. Берёте ножницы и бумагу. Вырезаете квадраты в соответствии с формулировкой теоремы и взвешиваете. Правда, в физическом доказательстве неминуемо появится погрешность измерения веса.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

В Древнем Египте геометрию не только знали, но и использовали при разработке строительных шедевров (пирамид) и при ежегодной разметке полей, на которых вода при наводнении уничтожала все межи. Даже была особая служба землемеров, которая восстанавливала границы полей, когда вода спадала. И это за 1500 лет до Пифагора.

Неудивительно, что теорему Пифагора, которая широко использовалась в прикладных науках, древние греки называли «мостом ослов».

Теорема Пифагора примечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на рисунке. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение.

С помощью теоремы Пифагора вычисляют расстояние между точками на координатной плоскости.

Доказательство Евклида

Площадь розового квадрата равна площади розового прямоугольника, площадь голубого квадрата равна площади голубого прямоугольника.

Доказательство

For the formal proof, we require four elementary lemmata:

  1. If two triangles have two sides of the one equal to two sides of the other, each to each, and the angles included by those sides equal, then the triangles are congruent. (Side — Angle — Side Theorem)

  2. The area of a triangle is half the area of any parallelogram on the same base and having the same altitude.

  3. The area of any square is equal to the product of two of its sides.

  4. The area of any rectangle is equal to the product of two adjacent sides (follows from Lemma 3).

The intuitive idea behind this proof, which can make it easier to follow, is that the top squares are morphed into parallelograms with the same size, then turned and morphed into the left and right rectangles in the lower square, again at constant area.

The proof is as follows:

  1. Let ACB be a right-angled triangle with right angle CAB.

  2. On each of the sides BC, AB, and CA, squares are drawn, CBDE, BAGF, and ACIH, in that order.

  3. From A, draw a line parallel to BD and CE. It will perpendicularly intersect BC and DE at K and L, respectively.

  4. Join CF and AD, to form the triangles BCF and BDA.

  5. Angles CAB and BAG are both right angles; therefore C, A, and G are collinear. Similarly for B, A, and H.

  6. Angles CBD and FBA are both right angles; therefore angle ABD equals angle FBC, since both are the sum of a right angle and angle ABC.

  7. Since AB and BD are equal to FB and BC, respectively, triangle ABD must be equal to triangle FBC.

  8. Since A is collinear with K and L, rectangle BDLK must be twice in area to triangle ABD.

  9. Since C is collinear with A and G, square BAGF must be twice in area to triangle FBC.

  10. Therefore rectangle BDLK must have the same area as square BAGF = AB2.

  11. Similarly, it can be shown that rectangle CKLE must have the same area as square ACIH = AC2.

  12. Adding these two results, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC

  13. Since BD = KL, BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC

  14. Therefore AB2 + AC2 = BC2, since CBDE is a square.

This proof appears in Euclid’s Elements as that of Proposition 1.47.

Три домика

Домики подобны. Крыши синего и красного домиков в сумме составляют крышу черного, поэтому то же самое верно для площадей квадратных стен.

Задача

[ДПА] На рисунке изображены треугольники ABC и ACD такие, что ∠ABC = ∠ACD = 90°. Какова длина отрезка x (длины отрезков на рисунке приведены в см)?

  • А) $\sqrt5$ см

  • Б) $\sqrt7$ см

  • В) $3$ см

  • Г) $2$ см

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон
треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный. n$
не имеет решений в целых ненулевых числах a, b и c.

Другими словами, задача нахождения пифагоровых троек для степени более 2 не имеет решения.

Фильм Математик и чёрт, СССР, 1972. Фильм снят по мотивам рассказа «Саймон Флэгг и дьявол» американского писателя-фантаста Артура Порджеса. Профессор математики обращается за доказательством теоремы к дьяволу…

Доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Ссылки по теме

Обобщения

Теорема Пифагора верна только в евклидовой геометрии. Ни в геометрии Лобачевского, ни в других неевклидовых геометриях она не имеет места, как и нет аналога теоремы Пифагора на сфере.

Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т.д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах.

Живая модель — полукруги

Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже в бесконечномерном случае.

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике.

picture-proof of the Law of Cosines

mat/geom/triangle/pifagor.txt · Последние изменения: 2019/07/23 22:40 — kc

Теорема Косинусов и Синусов треугольника. Формулы и примеры

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a2> + b2> = c2>, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из формулы следует: a2 = c2 — b2

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

BC2 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC2 = a2 = (b cos α — c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α — 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2

cos2α + sin2α = 1основное тригонометрическое тождество.

b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2 = b2 + c2 — 2bc cos α

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

 

  • Когда b2 + c2 — a2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b2 + c2 — a2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b2 + c2 — a2 < 0, угол α будет тупым.

Запоминаем

Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b * cos α,
  • DB = c – b * cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h2 = b2 — (b * cos α)2
  • h2 = a2 — (c – b * cos α)2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b2 — (b * cos α)2 = a2 — (c — b * cos α)2

либо

  • a2 = b2 + c2 — 2bc * cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b2 = a2 + c2 — 2ac * cos β;
  • c2 = a2 + b2 — 2ab * cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

b2 = c2 + a2 — 2ca cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Аналогично:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.

  • Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
  • Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
  • Если cos α = 0, то α = 90°

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Как решаем:

 

  1. Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

  2. Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Ответ: СМ = √33.

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a+ b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.

Как доказываем:

 

  1. Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C: 
  2. Так как a2  + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.

Что и требовалось доказать.

Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.

  • Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.
  • Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Приходите на бесплатный вводный урок математики вместе с ребенком и попробуйте сами!

Несколько следствий из теоремы Пифагора

Теорема Пифагора играет важную роль в геометрии и математике в целом. На этой странице я постараюсь собрать несколько утверждений, некоторые из которых основаны на теореме Пифагора.

Арифметика — Неравенство геометрических средних

Для положительных $ a $ и $ b $ $ (a + b) / 2 ≥ \ sqrt {ab}, $ с равенством тогда и только тогда, когда $ a = b. $

Для доказательства предположим, что $ a> b $ и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $ (a + b) / 2 $ и одной стороной, равной $ (a-b) / 2.{2} = 4ab. $

В этом случае теорема Пифагора дает интуитивно понятную геометрическую иллюстрацию. Просто нарисуйте два соприкасающихся круга с радиусами $ a / 2 $ и $ b / 2 $, как на схеме.

$ (a + b) / 2 $ известен как среднее арифметическое чисел $ a $ и $ b; $ \ sqrt {ab} $ — их среднее геометрическое, также известное как среднее арифметическое , потому что если $ k = \ sqrt {ab} $, тогда $ a / k = k / b $ и наоборот.

Как и в случае изопериметрического неравенства, неравенство AM-GM также допускает две эквивалентные экстремальные задачи:

  1. Среди всех пар чисел с данным произведением найдите две, сумма которых минимальна.
  2. Среди всех пар чисел с заданной суммой найдите две, произведение которых максимально.

В обоих случаях экстремальное значение достигается при совпадении двух чисел. Последний факт имеет красивую геометрическую иллюстрацию, которая также предлагает другое доказательство неравенства среднего арифметического — среднего геометрического.

Первое часто переписывают в другом виде:

(1)

Для $ x> 0 выполняется $ $ x + 1 / x \ ge 2, $ с равенством тогда и только тогда, когда $ x = 1. $

Среднее арифметическое — среднее геометрическое неравенство для последовательностей чисел было впервые доказано, когда длина последовательности была степенью 2 $, а отсюда и для произвольного целого числа.(1) также распространяется на произвольное количество положительных чисел:

Пусть $ x_ {i}> 0, $ $ i = 1,2, \ ldots, n. $ Тогда $ x_ {1} / x_ {2} + x_ {2} / x_ {3} + \ ldots + x_ { n} / x_ {1} \ ge n. $

На самом деле верно больше. Для положительных $ x_ {i} $ пусть p — произвольная перестановка набора индексов $ \ {1, \ ldots, n \}. $ Тогда

$ x_ {1} / x_ {p (1)} + x_ {2} / x_ {p (2)} + \ ldots + x_ {n} / x_ {p (n)} \ ge n. $

Правило косинуса

Правило косинусов — очевидное обобщение теоремы Пифагора.{2} = \ mbox {const}. $ Только что полученный результат можно переформулировать следующим образом:

Пусть $ \ mathcal {O} (X) $ — степень точки $ X $ относительно $ (O), $ $ \ mathcal {o} (X) $ степень точки $ X $ относительно $ (o $ Тогда геометрическое место точки $ X $, для которой $ \ mathcal {O} (X) — \ mathcal {o} (X) $ является постоянным, является прямой, параллельной радикальной оси двух окружностей.

Теорема Стюарта

Кокстер и Грейцер отмечают, что приведенная ниже теорема была названа в честь М. Стюарта, сформулировавшего ее в 1746 году, но, вероятно, была обнаружена Архимедом около 300 г. до н. Э.{2} $

Это просто еще один способ записать формулу Герона. Таким образом, два факта: теорема Пифагора и формула Герона имеют независимое доказательство. Но, кроме того, каждое из них может быть получено из другого.

Замечание

Доктор С. Броди любезно подготовил демонстрацию того, как теорема Пифагора используется для построения правильного пятиугольника. Он также заметил, что теорема эквивалентна знаменитому параллельному (или пятому) постулату.

Наконец, есть интересное, только недавно обнаруженное приложение теоремы и интересная загадка, которую теорема помогает решить.{2}. $ Чтобы понять, почему это так, нарисуйте радиусы двух окружностей, чтобы получился прямоугольный треугольник. Примените теорему Пифагора.

Можно утверждать независимо от теоремы Пифагора, что площадь, охватываемая отрезком фиксированной длины, одинакова, независимо от того, вращается ли он вокруг одной из своих точек или скользит по касательной к данной кривой. Получение этого результата даст дополнительное доказательство теоремы Пифагора.

Список литературы

  1. Х. С. М. Кокстер, С.Л. Грейцер, Возвращение к геометрии, , MAA, 1967
  2. Р. Б. Нельсен, Доказательства без слов , MAA, 1993
  3. Д. Рорер, More Thought Provokers , Key Curriculum Press, 1994

| Контакты |
| Первая страница |
| Содержание |
| Теорема Пифагора |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

Обращение теоремы Пифагора

Мы предполагаем, что вы знакомы с теоремой Пифагора.

Обратное к теореме Пифагора:

Если квадрат длины самой длинной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

То есть в
ΔABC, если c2 = a2 + b2, то
∠C — прямоугольный треугольник,
ΔPQR — прямой угол.

Мы можем доказать это от противного.

Предположим, что c2 = a2 + b2 в ΔABC и треугольник , а не прямоугольный.

Теперь рассмотрим другой треугольник.
ΔPQR.

Мы строим
ΔPQR так, чтобы
PR = a, QR = b и ∠R — прямой угол.

По теореме Пифагора (PQ) 2 = a2 + b2.

Но мы знаем, что a2 + b2 = c2, a2 ​​+ b2 = c2 и c = AB.

Итак, (PQ) 2 = a2 + b2 = (AB) 2.

То есть (PQ) 2 = (AB) 2.

Так как PQ и AB — длины сторон, мы можем взять положительные квадратные корни.

PQ = AB

То есть, все три стороны ΔPQR конгруэнтны трем сторонам ΔABC.

Итак, два треугольника конгруэнтны по свойству конгруэнтности сторона-сторона-сторона.

Поскольку ΔABC конгруэнтно ΔPQR, а ΔPQR — прямоугольный треугольник, ΔABC также должен быть прямоугольным треугольником.

Получили противоречие.Следовательно, наше предположение должно быть неверным.

Пример 1:

Проверьте, является ли треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 8 см прямоугольным.

Проверьте, является ли квадрат длины самой длинной стороны суммой квадратов двух других сторон.

(10) 2 =? (8) 2+ (6) 2100 =? 64 + 36 100 = 100

Примените обратную теорему Пифагора.

Поскольку квадрат длины самой длинной стороны является суммой квадратов двух других сторон, согласно обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.

Следствие теоремы подразделяет треугольники на острые, правые и тупые.

В треугольнике с длинами сторон a, b и c, где c — длина самой длинной стороны,

, если c2

если c2> a2 + b2, то треугольник тупой.

Пример 2:

Проверьте, является ли треугольник с длинами сторон 5, 7 и 9 единиц острым, прямым или тупым треугольником.

Самая длинная сторона треугольника имеет длину 9 единиц.

Сравните квадрат длины самой длинной стороны и сумму квадратов двух других сторон.

Квадрат длины наибольшей стороны 92 = 81 кв. Ед.

Сумма квадратов двух других сторон равна

52 + 72 = 25 + 49 = 74 кв. Единицы

То есть 92> 52 + 72.

Следовательно, согласно следствию, обратному теореме Пифагора, треугольник является тупым треугольником.

теорем, следствий, лемм

.

Что это все за штуки? Они звучат так впечатляюще!

Ну, в основном это всего лишь фактов : какой-то результат, который был достигнут.

  • Теорема — это основной результат
  • Следствие — это теорема, из которой следует из из другой теоремы
  • Лемма — это небольшой результат (менее важный, чем теорема)

Примеры

Вот пример из Geometry:

Пример: теорема и следствие

Теорема:

Углы на одной стороне прямой всегда составляют 180 °.

Следствие:

Следуя этой теореме, мы находим, что там, где две прямые пересекаются, углы друг напротив друга (называемые вертикальными углами) равны , равным (на диаграмме a = c и b = d).

Угол a = угол c
Угол b = угол d

Проба:

Углы a и b складываются в 180 °, потому что они расположены вдоль линии:

а + Ь = 180 °

а = 180 ° — б

Аналогично для углов b и c

б + с = 180 °

c = 180 ° — b

А поскольку и a, и c равны 180 ° — b, то

а = с

И немного более сложный пример из Geometry:

Пример: теорема, ее следствие, а также лемма!

Теорема:

Вписанный угол a ° равен половине центрального угла 2a °
Называется углом по центральной теореме .

Доказательство: соедините центр O с A.

Треугольник ABO равнобедренный (две равные стороны, два равных угла), поэтому:

Угол OBA = Угол BAO = b °

И, используя углы треугольника, прибавляем к 180 °:

Угол AOB = (180 — 2b) °

Треугольник ACO равнобедренный, поэтому:

Угол OCA = Угол CAO = c °

И, используя углы треугольника, прибавляем к 180 °:

Угол AOC = (180 — 2c) °

И, используя углы вокруг точки, добавьте к 360 °:

Угол BOC = 360 ° — (180 — 2b) ° — (180 — 2c) °

= 2b ° + 2c °

= 2 (Ь + с) °

Заменим b + c на a , получаем:

Угол BAC = a ° и угол BOC = 2a °

И мы доказали теорему.

(Это был «главный» результат, как и теорема.)

Следствие

(Это называется «Углы, подчиненные той же дуговой теореме », но на самом деле это просто следствие из «Угол в центре теоремы» )

Сохранение конечных точек фиксированными … … угол a ° всегда один и тот же, независимо от того, где он находится на окружности:

Итак, углы, образуемые одной и той же дугой, равны.

Лемма

(Иногда это называют «Угол в теореме о полукруге» , но на самом деле это просто лемма к «Угол в теореме о центре» )

В особом случае, когда центральный угол образует диаметр окружности:

2a ° = 180 °, поэтому a ° = 90 °

Таким образом, угол, вписанный в полукруг, всегда является прямым.

(Это был «маленький» результат, так что это лемма.)

Другой пример, связанный с теоремой Пифагора:

Пример:

Теорема

Если m и n — любые два целых числа и

  • a = m 2 — n 2
  • b = 2 млн
  • c = m 2 + n 2

, затем a 2 + b 2 = c 2

Доказательство :

a 2 + b 2 = (m 2 — n 2 ) 2 + (2mn) 2

= м 4 — 2 м 2 n 2 + n 4 + 4 м 2 n 2

= м 4 + 2 м 2 n 2 + n 4

= (m 2 + n 2 ) 2

= с 2

(Это был «главный» результат.)

Следствие

a, b и c, как определено выше, являются тройной пифагорейской

Доказательство :

Из теоремы a 2 + b 2 = c 2 ,
, поэтому a, b и c являются пифагоровыми тройками

(Этот результат «последовал» из предыдущей теоремы.)

Лемма

Если m = 2 и n = 1, то получаем тройку Пифагора 3, 4 и 5

Доказательство :

Если m = 2 и n = 1, то

  • a = 2 2 — 1 2 = 4 — 1 = 3
  • b = 2 × 2 × 1 = 4
  • c = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5

(Это был «маленький» результат.)

Теорема Пифагора — определение математического слова

Теорема Пифагора — определение математического слова — Math Open Reference

c 2 = a 2 + b 2

Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину
прямоугольного треугольника ниже. Соответственно изменится формула, показывающая вычисление теоремы Пифагора.

Хотя к этой теореме добавлено имя Пифагора,
на самом деле он был известен вавилонянам за много веков до него.Есть много доказательств этой теоремы,
некоторые графические по своей природе, а другие с использованием алгебры.
См. Графическое доказательство теоремы Пифагора для одного такого доказательства.

На сайте «Разрубить узел» автор собирает доказательства теоремы Пифагора, а по состоянию на
в этом сочинении перечислено более 70, но на самом деле известны сотни.

Решение прямоугольного треугольника

Термин «решение треугольника» означает, что если мы начнем с прямоугольного треугольника и знаем любые две стороны, мы можем найти или «решить для» неизвестную сторону.Это включает в себя простую перестановку формулы теоремы Пифагора, чтобы поместить неизвестное в левую часть уравнения.

Найдите гипотенузу

Если мы знаем два катета прямоугольного треугольника, мы можем найти гипотенузу по формуле:

где a и b — длины двух катетов треугольника, а
h — гипотенуза.

Найдите ногу

Если мы знаем гипотенузу и один катет, мы можем найти другой катет, используя формулу:

где a — отрезок, который мы хотим найти.
b — известный отрезок
h — гипотенуза.

Обращение теоремы Пифагора

Верно и обратное утверждение этой теоремы. То есть, если треугольник удовлетворяет теореме Пифагора, то это прямоугольный треугольник.
Другими словами, только прямоугольных треугольников удовлетворяют теореме.

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «Сброс».
  2. Установите один из флажков «скрыть».
  3. Отрегулируйте треугольник, перетащив оранжевую точку.
  4. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти недостающую сторону.
  5. Снимите флажок «скрыть», чтобы проверить свой ответ.

Другие темы треугольника

Общий

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Соответствие и сходство

Решение треугольников

Тесты и упражнения «Треугольник»

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

приложений по теореме Пифагора

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

В этом разделе мы обсудим Приложение к теореме Пифагора

В любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, сторона которого является гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу), равна сумме площадей квадратов, у которых стороны — это две ноги (две стороны, которые встречаются под прямым углом).
Теорема может быть записана в виде уравнения, связывающего длины сторон a, b и c, часто называемого уравнением Пифагора.
a 2 + b 2 = c 2

, где c представляет длину гипотенузы, а a и b представляют длины двух других сторон.
Приложение к теореме Пифагора используется для проверки того, является ли треугольник острым, тупым или прямым.

Следствием обратной теоремы Пифагора является простой способ определить, является ли треугольник прямым, тупым или острым, следующим образом. Где c выбирается как самая длинная из трех сторон и a + b> c (в противном случае треугольник не существует согласно неравенству треугольника).Применяются следующие утверждения:

Если a 2 + b 2 = c 2 , тогда треугольник будет правым.
Если a 2 + b 2 > c 2 , то треугольник острый.
Если a 2 + b 2 2 , то треугольник тупой.

Примеры применения теоремы Пифагора

Q.1 Определите, какие из них являются прямоугольными треугольниками, и если это не прямоугольный треугольник, то назовите тип треугольника.

1) a = 7 см, b = 24 см и c = 25 см

Решение:
a 2 + b 2 = 7 2 + 24 2

= 49 + 576

a 2 + b 2 = 625

c 2 = 25 2

c 2 = 25

Сверху,

a 2 + b 904 c27 2 2

Это прямоугольный треугольник.

———————————————— ——————
2) a = 9 см, b = 16 см и c = 18 см

Решение:
a 2 + b 2 = 9 2 + 16 2

= 81 + 256

a 2 + b 2 = 337

c 2 = 18 2

c 2 9 = 324

Сверху:

a 2 + b 2 > c 2

Это острый треугольник.

———————————————— ——————
Q.2 Решите:
1) Два столба высотой 6 м и 11 м стоят на ровной поверхности. Если расстояние между ногами 12 м. найти расстояние между их вершинами.
Решение:

AB и ED — два полюса.

AE — расстояние между полюсами.

BE = CD = 12 м

AB = 11-6 = 5 м

AE 2 = AB 2 + BE 2

= 25 + 144

= 169

Итак, AE = 13 m


Теорема Пифагора

• Введение теоремы Пифагора
• Обращение теоремы Пифагора
• Пифагорейские тройки
• Применение теоремы Пифагора
• Доказательство теоремы Пифагора- повлияло на взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Теорема Пифагора — Викиверситет

Теорема Пифагора. Сумма двух квадратов, стороны которых являются двумя катетами (синим и красным), равна площади квадрата, стороной которого является гипотенуза (фиолетовый).

Теорема Пифагора — важная математическая теорема, объясняющая конечную сторону прямоугольного треугольника, когда известны две стороны. В любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, сторона которого является гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу), равна сумме площадей квадратов, стороны которых являются двумя катетами (двумя сторонами, которые встречаются под прямым углом. ), поэтому мы можем вычесть длину любой третьей стороны прямоугольного треугольника, если заданы две другие стороны.{2} \! \,}

= 169 = x, {\ displaystyle = {\ sqrt {169}} = x,}

∴x = 13 {\ displaystyle \, следовательно, x = 13} cm {\ displaystyle cm}

Доказательство перестановкой четырех одинаковых прямоугольных треугольников. Анимация, показывающая еще одно доказательство путем перестановки Доказательство с использованием сложной перестановки Схема доказательства Гарфилда

1: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с основанием 3 метра и длиной перпендикуляра 4 метра.{2}}.

Теорема Пифагора, а Земля и Луна образуют 3-4-5-треугольник

Детали
Категория: Мона Лиза Мона Лиза

Опубликовано: 27 августа 2016 27 августа 2016

Наша следующая тема широко обсуждается в области математики: кто был первым, кто применил теорему Пифагора и один из ее знаменитых результатов — треугольник 3-4-5.По крайней мере, мы можем показать, что строители пирамид уже должны были знать эту теорему. 2500 г. до н. Э.

Теорема 8. (Теорема Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу, равна сумме квадратов двух других сторон. Теорема может быть записана как уравнение, связывающее длины сторон a, b и c, которое часто называют «уравнением Пифагора»:

a 2 + b 2 = c 2 ,

, где c — длина гипотенузы, а a и b — длины двух других сторон треугольника.(Салли, 2007)

Доказательство.

Докажем теорему Пифагора с помощью Behold! -техника, разработанная индийцем Бхаскарой (1114-1185). (Лехтинен, 2014)

Изображение 40. Смотри! –Доказательство теоремы Пифагора

c 2 + 4 (½ ab) = (a + b) 2

c 2 + 2ab = a 2 + 2ab + b 2

c 2 = a 2 + b 2

Следствие 1.(Обратная теорема Пифагора)

Справедливо и обратное утверждение теоремы Пифагора: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Доказательство.

Доказательство пройдено. См., Например, Элементы Евклида, книга I и предложение 48. (Joyce, 1998)

Прекрасным примером обратной теоремы Пифагора является

.

3 2 + 4 2 = 5 2 ,

, таким образом, должен быть прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Историки считают возможным, что эти знания, изложенные выше, были применены при строительстве египетских пирамид, когда архитектору требовался прямой угол. Египтяне связали на одной веревке 12 узлов с равными промежутками. Затем веревка была сформирована в треугольник, стороны которого составляли 3, 4 и 5 узлов. Так были получены первые прямые углы.

Теорема Пифагора снова лежит на столе в нашей следующей теореме. Здесь это древнее знание связано с геометрией Земли и Луны.

Теорема 9. (Земля и Луна образуют 3-4-5-треугольник)

Квадрат Земли и Квадрат Луны образуют треугольник 3-4-5.

Доказательство.

Давайте возьмем Квадрат Земли и Квадрат Луны, как на изображении 36. Затем мы формируем три точки A, B и C. A находится в верхнем левом углу квадрата Земли. B находится в нижнем левом углу Лунного квадрата. А C — это верхний левый угол Лунного квадрата. Затем мы проводим линию от A до C, чтобы завершить треугольник ABC.Докажем, что треугольник ABC прямоугольный.

Изображение 41. Треугольник 3-4-5 образован с Землей и Луной

г. до н.э. = 3, потому что это диаметр Луны.

AB = 4, из-за диаметров Луны и Земли

(D земля — D луна ) / 2 = (11-3) / 2 = 4.

AC = 5, так как теорема Пифагора верна

(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2

(AC) 2 = 4 2 + 3 2

переменный ток = √25

АС = 5.

Из-за i), ii) и iii) ABC представляет собой треугольник 3-4-5.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.