Сколько имеет градусов острый угол: сколько градусов острый угол? — Школьные Знания.com

Содержание

Угол. Градусная мера угла.

Понятие угла является одним из наиболее важных определений в геометрии.  У́гол  — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, сторонами угла, выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла. Понятия равенства и суммы углов часто используется в  тригонометрии. Например, углы \(15,30,45\) градусов.

Наиболее распространенными единицами измерения угла являются градус и радиан. Один градус —  это «\(\frac{1}{360}\)» полного круга. \(90\) градусов — это четверть круга, \(180\) – половина круга, \(270\) — три четверти круга и \(360\) это целый круг. Прямой угол равен \(90\) градусов, острый угол больше \(0\) и меньше \(90\) градусов и тупой угол  больше \(90\) градусов и  меньше \(180\) градусов. Развернутый угол равен  \(180\) градусам.

Мы изучаем углы от \(0\)° до \(360\)°, но есть углы больше \(360\)° и отрицательные углы.

Градусы могут быть разделены на минуты и секунды. Каждый градус делится на \(60\) равных частей, которые называются минутами. Так семь с половиной градусов можно сказать \(7\) градусов и \(30\) минут и записать \(7\) ° \(30\)’. Каждая минута делится на \(60\) равных частей, каждая из которых равна одной секунде. Например, \(2\) градуса \(5\) минут \(30\) секунд записывается \(2\)° \(5\)’ \(30\)». Деление градуса на минуты и секунды  аналогично делению часа на минуты и секунды времени.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку


Репетитор по математике


Белорусский государственный университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 5-11 классов. В первую очередь, педагог должен быть мотиватором для своих учеников для достижения собственных целей. Мои ученики руководствуются правилом — «Я хочу, значит я этого добьюсь». Использую индивидуальный подход в обучении. Хорошее образование — лучший вклад в будущее вашего ребёнка!

Оставить заявку


Репетитор по математике


Актюбинский педагогический техникум


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 1-5 классов. Люблю работать с детьми и умею находить с ними общий язык. Математику люблю за точность и преподаю её так, как хотела бы, чтобы учили моего ребенка. При обучении настраиваю на позитивное восприятие всего нового и непонятного. Весело и интересно объясняю сложный материал. Со мной вашим детям будет легко, занимательно и познавательно. До встречи на уроках!

Оставить заявку


Репетитор по математике


Челябинский государственный педагогический институт


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 5-9 классов. Математика точная наука, используемая почти во всех профессиях, а также любой человек постоянно использует математические знания в жизни. При работе я с пониманием отношусь к ученикам, понимаю, что все дети разные и по разному усваивают учебный материал, для успеха требуется терпение, понимание и доброжелательность.

Курсы ЕГЭ

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Векторы

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Сколько градусов в остром угле

Сколько градусов прямой, тупой и острый углы?

Сколько градусов прямой угол ?

Сколько градусов тупой угол?

Сколько градусов острый угол ?

Углом в геометрии называют точку, из которой выходят два луча.

В зависимости от того, насколько отличаются направления лучей, определяются характеристики самого угла.

Мера углов меряется в градусах.

Если лучи угла расходятся один от одного под угол в 90 градусов — это прямой угол.

Если лучи угла расходятся один от одного под угол больше 90 градусов (от 90 до 180 градусов, потому как 180 градусов — это развернутый угол), то угол тупой.

Если лучи угла расходятся меньше чем угол 90 градусов (от 0 до 90 градусов) — угол острый.

Прямой угол собой представляет половину развернутого. А потому как величина развернутого угла в градусах равна 180-ти, то градусная мера прямого угла равна 90°.

Углы, меньшие 90°, называют острыми. Углы же, чья градусная мера превосходит все те же 90 градусов, однако при этом меньше 180°, называют тупыми.

Подобным образом, величина острого угла в градусах может принимать любое значение из диапазона (0; 90), ну а тупого — исходя из этого из диапазона (90; 180).

И только прямой угол из всех обозначенных в вопросе имеет вполне конкретную (не колеблющуюся ни в каких диапазонах) градусную меру — 90.

Какой угол именуется острым, прямым, тупым?

Какой угол в геометрии именуется острым, прямым, тупым? Сколько градусов в остом угле, тупом угле, прямом угле? Как определить острый угол, прямой угол, тупой угол?

Угол грамотный пересечением 2-ух поперечных прямых именуется прямым. Также прямой угол может появиться при делении окружности на ровные 4-ре части (1/4 окружности).

Прямой угол равён 90 градусам.

Когда стороны угла совпадают, подобный угол именуется нулевым

Нулевой угол равён 0 градусам.

Все углы, значения в градусах которых больше нулевого и меньше прямого именуется острыми.

Острый угол — больше 0 градусов и меньше 90 градусов.

Если стороны угла лежат в разных направлениях и создают прямую, подобный угол именуется развернутым и равён он 180 градусам.

Углы, значения в градусах которых больше прямого и меньше развернутого называются тупыми.

Тупой угол — больше 90 градусов и меньше 180 градусов.

Всех их соединяет одно:

острый, прямой и тупой углы — они все рельефные.

Все очень просто. Проведём аналогию с обыкновенными часами. Если одну из стрелок установить таким образом, чтобы она указывала на двенадцать часов, а другою, чтобы указывала на три — то они создают прямой угол в 90 градусов. Если же начать двигать стрелку указывающую на 3 часа в обратном направлении( в двухчасовой метки на циферблате) — то она будет образовывать, одновременно со второй стрелкой, острые углы(менее 90 градусов). Когда же стрелки будут указывать в одну точку — они создают нулевой угол в ноль градусов.А если вернуть вторую стрелку к исходной( трехчасовой отметке) и начать перемещать её вперед по циферблату — то аж до шестичасовой метки она одновременно с первой будут образовывать тупые углы( более 90 градусов). Когда стрелки будут указывать, одна на 12, а остальная на 6 — это будет, говоря иначе, развёрнутый угол в 180 градусов.

Острый угол сколько градусов

Добрый день!
Как понять острый угол сколько градусов равён? Как можно усвоить?
Благодарю!

Усвоить и разобраться очень легко. Начинаем учиться на циферблате обыкновенных часов.
Установим одну стрелку так, что она будет указывать на 12- часов, а остальная будет указывать на 3 часа. В этом положении стрелки создают прямой угол, который равён девяносто град.
Начинаем сдвигать стрелку, которая указывает на 3 часа, против хода часовой стрелки, о есть к двенадцати часам через 2 часа и один час. В этом случае две стрелки будут образовывать острый угол, который окажется меньшей 90 град., но больше 0 град.
Если же стрелки объединить на одной цифре, к примеру, на двенадцати, то стрелки создают угол в ноль град., другими словами нулевой.
Если же первую стрелку оставить на 12-ти часах, а вторую опять уместить на 3 часа и начать двигать по ходу часовой стрелки, другими словами через определения четырех, пяти до 6-ти часов, то полученные углы будут тупыми (больше 90 и меньше 180 градусов).
Когда вторая стрелка будет стоять на 6-ти часах, то подобный угол будет равным 180 градусов, а его называют развернутым.
Полный оборот циферблата равён 360 градусам.
Надеюсь, этот подход поможет Вам хорошо разобраться и усвоить какой из углов каким должен быть и скольким градусам быть равным.

Острый, прямой и тупой углы

Навигация по записям

Виды углов: острый, прямой, тупой, развёрнутый, выпуклый и полный

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

  • Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (<90°).
  • Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол обозначается буквой  d  и равен  90°.

    Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым углом. Прямой угол обычно обозначается не дугой, а уголком:



    ∠AOC  и  ∠COB  — прямые углы. Общая сторона прямых углов  OC  называется перпендикуляром к прямой  AB, а точка  O  — основанием перпендикуляра.

    Сумма двух прямых углов равна развёрнутому углу, значит, прямой угол равен половине развёрнутого угла.

  • Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого:

    90° < тупой угол < 180°.

  • Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными лучами.

    Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов или, короче, двум прямым углам. Следовательно, развёрнутый угол равен  180°  или  2d.

    Все развёрнутые углы равны между собой.

  • Выпуклый угол — это угол, который больше развёрнутого угла, но меньше полного:

    180° < выпуклый угол < 360°.

  • Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом.

    Полный угол равен сумме четырёх прямых углов, то есть  4d (360°).

Прилежащие углы

Прилежащие углы — это пара углов, имеющих общую вершину и общую сторону, другие стороны которых лежат по разные стороны от общей стороны.

∠AOB  и  ∠BOC  — прилежащие углыO  — общая вершинаOB  — общая сторона.

Если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два угла, то образованные углы будут прилежащими.

Угол, разделённый лучом, будет называться суммой полученных углов, например угол  AOB  является суммой углов  AOC  и  COB:

∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Каждый из прилежащих углов,  ∠AOC  и  ∠COB, называется разностью углов  AOB  и другого прилежащего, то есть:

∠AOC = ∠AOB∠COB,

∠COB = ∠AOB∠AOC.

Развернутый угол. Прямой, тупой, острый и развернутый угол

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур — угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол — важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии — это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью — поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон — это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

  1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
  2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
  3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
  4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой — тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

  1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
  2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
  3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
  4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
  5. Половина развернутого угла — это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

  1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
  2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
  3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
  4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

  1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
  2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
  3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
  4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х. Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a
. Пусть O
– некоторая точка прямой a
. Точка O
разделяет прямую a
на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О
называется лучом
, а точка О
называется началом луча
. Еще можно услышать, что луч называют полупрямой
.

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p
или луч k
), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА
или луч СD
). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол
– это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла
, общее начало сторон угла называют вершиной угла
.

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым
.

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k
, а другая h
), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA
, а вторая сторона угла OB
), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1
, 2
и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла
, а другую – внешней областью угла
. Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая — внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол
– это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы
– это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы
– это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными
.

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными
, причем меньшим
считается тот угол, который составляет часть другого (большим
является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус
.

Определение.

Один градус
– это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180
углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180
равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180
раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30
раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90
раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута
– это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда
– это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600
секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17
градусов 3
минуты и 59
секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла
называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110
), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ
равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180]
(в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом
. Угол меньший 90
градусов называется острым углом
. Угол больший девяноста градусов называется тупым углом
. Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90)
, мера тупого угла – числом из интервала (90, 180)
, прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ
, который составляют углы АОС
, СОD
и DОВ
, при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам
, так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ
и СОD
– вертикальные, то углы АОВ
и ВОС
— смежные и углы СОD
и ВОС
также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом
. Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан
– это центральный угол
, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA
(как и радиуса OB
) равна длине дуги AB
, поэтому, по определению угол AOB
равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1

Угол
– простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения
и плоскость – необходимые сведения
.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч
, а точка O – начало луча
.

Иначе говоря, луч или полупрямая –
это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол
– это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла
является лучом, вершина
– общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым
.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла
, другая – внешняя область угла
. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом
называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение 6

Два угла называют смежными
, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными
, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные
.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший
из которых состоит из другого, а больший
имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус
.

Определение 8

Один градус
называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой
называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой
называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « » », а секунды « «» ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 » = 3600 «» , 1 » = (1 60) ° , 1 » = 60 «» , 1 «» = (1 60) » = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 » 59 «» .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 » 59 «» . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота.
Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол
– это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол
– угол, который меньше 90 градусов, а тупой
– больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма
всех смежных углов равна 180 градусам,
потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны
. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом
. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан
называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы
для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Что такое угол?

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол
, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины.

Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».

Вместо слова «угол» пишут знак .

Например, AОВ, O.

На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки
М и Н — на сторонах угла.

Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

Например, на рисунке 162 ABC = MNK.

Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.

Пишут: COP

Прямой и развернутый угол

Два дополнительных друг другу луча
образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).

Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).

Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).

Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Прямым углом называют половину развернутого угла.

Чертежный треугольник

Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником
(рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:

а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Вопросы к теме

1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?

Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.

Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.

Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.

Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.

А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.

Свойства развернутого угла

Развернутый угол обладает такими свойствами:

Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.

Измерение углов

Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.

То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид:
« ° ».

Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.

А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.

Практическое задание

1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.

1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость
?

1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие — на стороне ОМ?

1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин — на угол ВОС, а еще за 15 мин — на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).

1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.

1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.

1620. Укажите прямые углы в классной комнате.

а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Найдите пропущенное число:

а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес — 8%, пшеница — 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?

1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?

1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.

1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:

а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.

1636. Решите задачу:

1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день — 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?

2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?

1637. Выполните действия:

1) ((23,79: 7,8 — 6,8: 17) 3,04 — 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 — 6,6) : ((4,8 — 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.

1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?

1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.

1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.

1642. Найдите значение выражения:

а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.

1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные — во второй. Сколько деталей изготовил рабочий
во второй день?

1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?

1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день — 46% пути, а в третий — остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?

1646. Найдите, сколько составляют:

а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.

1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?

1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation
.
2010
.

Смотреть что такое «Развернутый угол» в других словарях:

    Угол, равный двум прямым. *РАЗВЕРТКА поверхности фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Развертка кривой см. Эвольвента … Большой Энциклопедический словарь

    угол
    — ▲ разность направление (в пространстве) угол протяженность поворота от одного направления к другому; разность направлений; часть полного оборота (# наклона. образовывать #). наклон. наклонный. отклонение. уклониться (дорога уклонилась вправо).… …

    Угол
    — Углы: 1 общего вида; 2 смежные; 3 прилежащие; 4 вертикальные; 5 развернутый; 6 прямой, острый и тупой; 7 между кривыми; 8 между прямой и плоскостью; 9 между скрещивающимися прямыми (не лежащими в одной плоскостью) прямыми. УГОЛ, геометрическая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи наз. сторонами У., а их общее начало вершиной У. Пусть [ ВА),[ ВС) стороны угла, В его вершина, плоскость, определяемая сторонами У. Фигура делит плоскость… … Математическая энциклопедия

    Угол, равный двум прямым. * * * РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ, угол, равный двум прямым … Энциклопедический словарь

    Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

    1) Замкнутая ломаная линия, именно: если различные точки, никакие последовательные три из к рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими (ниже… … Математическая энциклопедия

    поперек
    — ▲ под углом максимум, косой угол поперечный. поперек под прямым углом. . прямой угол угол максимального отклонения; угол, равный своему смежному; четверть оборота. перпендикуляр. перпендикулярный находящийся под прямым углом. перпендикулярно.… … Идеографический словарь русского языка

    градус
    — а, м. 1) Единица измерения плоского угла, равная 1/90 прямого угла или соответственно 1/360 окружности. Угол в 90 градусов называется прямым углом. Развернутый угол составляет 180 градусов. 2) Единица измерения температурного интервала, имеющая… … Популярный словарь русского языка

    Теорема Шварца Кристоффеля важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… … Википедия

Что такое Угол? Определение, виды, как обозначают? Примеры

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точку O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: .

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA.

Иногда можно встретить обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Что такое вершина и стороны угла:

  • Стороны угла — лучи, из которых состоит угол.
  • Вершина угла — общее начало сторон угла.

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Таким образом два смежных угла составляют развернутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны, при условии, что смежные углы не равны.

Вертикальные углы — это пара углов, у которых есть общая вершина, при этом стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.

При пересечении прямых получается четыре пары смежных и две пары вертикальных углов. Вот как это выглядит:

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

  • острый
  • прямой
  • тупой
  • развернутый
  • выпуклый
  • полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть < 90°.

Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен половине развернутого угла, то есть = 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них является прямым. Для удобства прямой угол обозначается уголком. Вот так:

На картинке изображены два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона OC перпендикулярна прямой AB, а точка O — основание перпендикуляра.

Развернутый угол — это открытый угол, который образован двумя лучами и равен сумме двух прямых углов. Развернутый угол равен 180°. Как выглядит развернутый угол показано на первой картинке.

Неразвернутый угол — это любой угол, который не является развернутым, то есть не равен 180°.

Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого:
90° < тупой угол < 180°.

Выпуклый угол — это угол, который больше развернутого угла, но меньше полного:
180° < выпуклый угол < 360°.

Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом. Он равен сумме четырех прямых углов, то есть = 360°.

Прилежащие углы — это пара углов с общей вершиной и стороной, другие стороны при этом лежат по разные стороны от общей стороны.

На картинке мы видим два прилежащих угла ∠AOB и ∠BOC, общую вершину O и общую сторону OB.

Можно сформулировать определение по-другому: если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два, то образованные углы будут прилежащими.

Чтобы найти угол, который разделен лучом, нужно сложить полученные углы: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Из этого можно выделить следующие верные разности:

  • ∠AOC = ∠AOB — ∠COB,
  • ∠COB = ∠AOB — ∠AOC.

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝑀𝑁𝐾 происходит следующим образом:

 

  1. Вершину 𝐵 одного угла совмещаем с вершиной 𝑁 другого угла.
  2. Сторону 𝐵𝐴 одного угла накладываем на сторону 𝑁𝑀 другого угла так, чтобы стороны 𝐵𝐶 и 𝑁𝐾 располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑀𝑁𝐾.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠𝐴𝐵𝐶<∠𝑀𝑁𝐾.

Сравнить углы можно также, измерив их величины. Для этого понадобится специальный инструмент для построения и измерения углов — транспортир. Вот, как он выглядит:

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Обозначается — 0.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается — ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается — ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60′ = 3600′.

Как происходит измерение угла: сначала измеряются стороны угла, а после его внутренняя область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Угол называется прямым, если он равен 90°, а острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол имеет 180°.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать дуги, углы и прочие фигурки, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот, что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

  • Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
  • Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.
  • Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

На чертеже отмечены острые, равные и неравные углы.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом необязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Развернутый угол. Прямой, тупой, острый и развернутый угол

С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура
, что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.

Вконтакте

Когда изучаются

Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам
:

  • В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
  • В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.

Внимание!
В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.

Определение и измерение

Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол
в планиметрии.

Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:

  • вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
  • стороны – полупрямые, проведенные из вершины.

Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части
:

  • внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
  • внешняя.

Принцип измерения углов в планиметрии
объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.

Важно!
Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.

Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.

Основные виды

Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.

По величине

Учитывая величину, углы разделяют на:

  • развернутый;
  • прямой;
  • тупой;
  • острый.

Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.

Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?

180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам
. Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.

Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.

Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми.
По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.

Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.

Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.

Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».

При разделении угла одним лучом
или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.

На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.

Фигуры при пересечении прямых

Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.

Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов
.

Элементы в треугольнике

Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними
.

Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.

Пересечение двух прямых секущей

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых секущей также образуются углы
, которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:

  • внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
  • внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
  • соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В том случае, когда секущая пересекает две

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур — угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол — важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии — это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью — поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон — это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

  1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
  2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
  3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
  4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой — тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

  1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
  2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
  3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
  4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
  5. Половина развернутого угла — это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

  1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
  2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
  3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
  4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

  1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
  2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
  3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
  4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х. Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation
.
2010
.

Смотреть что такое «Полный угол» в других словарях:

    Неузаконенная внесистемная ед. плоского угла. 1 П. у.= 2ПИ рад 6.283 185 рад (см. Радиан) … Большой энциклопедический политехнический словарь

    Угол вертикальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется приборами центрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь

    Угол горизонтальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется ߑؐѐޑАܐؠцентрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь

    полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора
    — полный механический угол поворота Полный угол поворота подвижной системы переменного резистора от упора до упора. Примечание Для резисторов, не имеющих упоров, полный механический угол равен максимальному углу между двумя положениями подвижной… … Справочник технического переводчика

    Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора
    — 52. Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора Полный механический угол поворота D. Mechanischer Drehwinkel E. Total mechanical rotation F. Course mécanique totale Полный угол поворота подвижной системы переменного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    УГОЛ
    — (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… … Большая политехническая энциклопедия

    УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь

    Элементы: Drop прыжок с высоты, выполняется с места или из позиции cat leap. Амортизировать падение можно только ногами, или ногами и руками (ну или одной рукой). Spring прыжок через какое либо препятствие, не касаясь его. Например, перелёт через … Википедия

    Идти в полную. Жарг. угол. Признаваться в совершении преступления. Балдаев 1, 169. Два полных, третий не целый. Новг. Ирон. О небольшом количестве людей где л. НОС 2, 76 …

    Жарг. угол. Одобр. Всё в порядке, дела идут хорошо. Б., 159; Быков, 202. /i> Вероятно, из идиш или иврита, где слово является оценкой высшего качества. Елистратов 1994, 537 … Большой словарь русских поговорок

Что такое угол?

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол
, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины.

Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».

Вместо слова «угол» пишут знак .

Например, AОВ, O.

На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки
М и Н — на сторонах угла.

Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

Например, на рисунке 162 ABC = MNK.

Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.

Пишут: COP

Прямой и развернутый угол

Два дополнительных друг другу луча
образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).

Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).

Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).

Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Прямым углом называют половину развернутого угла.

Чертежный треугольник

Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником
(рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:

а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Вопросы к теме

1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?

Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.

Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.

Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.

Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.

А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.

Свойства развернутого угла

Развернутый угол обладает такими свойствами:

Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.

Измерение углов

Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.

То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид:
« ° ».

Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.

А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.

Практическое задание

1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.

1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость
?

1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие — на стороне ОМ?

1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин — на угол ВОС, а еще за 15 мин — на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).

1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.

1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.

1620. Укажите прямые углы в классной комнате.

а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Найдите пропущенное число:

а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес — 8%, пшеница — 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?

1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?

1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.

1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:

а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.

1636. Решите задачу:

1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день — 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?

2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?

1637. Выполните действия:

1) ((23,79: 7,8 — 6,8: 17) 3,04 — 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 — 6,6) : ((4,8 — 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.

1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?

1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.

1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.

1642. Найдите значение выражения:

а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.

1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные — во второй. Сколько деталей изготовил рабочий
во второй день?

1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?

1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день — 46% пути, а в третий — остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?

1646. Найдите, сколько составляют:

а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.

1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?

1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение 1

Угол
– простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения
и плоскость – необходимые сведения
.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч
, а точка O – начало луча
.

Иначе говоря, луч или полупрямая –
это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол
– это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла
является лучом, вершина
– общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым
.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла
, другая – внешняя область угла
. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом
называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение 6

Два угла называют смежными
, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными
, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные
.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший
из которых состоит из другого, а больший
имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус
.

Определение 8

Один градус
называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой
называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой
называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « » », а секунды « «» ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 » = 3600 «» , 1 » = (1 60) ° , 1 » = 60 «» , 1 «» = (1 60) » = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 » 59 «» .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 » 59 «» . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота.
Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол
– это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол
– угол, который меньше 90 градусов, а тупой
– больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма
всех смежных углов равна 180 градусам,
потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны
. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом
. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан
называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы
для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дайте определение прямого острого и тупого угла. Прямой, тупой, острый и развернутый угол. Как разметить острый угол

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре — прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол — это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол — это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие — он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла — от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных — острого, тупого, прямого и развернутого — в геометрии существует много других их видов.

Класс:

2

Презентация к уроку



Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока:
объяснение нового
материала.

Место урока в структуре по теме: данная тема
изучается в разделе “Табличное сложение
однозначных чисел с переходом через десяток”.

Цель урока: Познакомить учащихся с понятием
“прямой угол” и научить применять полученные
знания на практике.

Задачи урока:

1. Образовательные:

  • Познакомить учащихся с понятием “прямой угол”;
  • Сформировать практические навыки определения
    прямого угла при помощи треугольника и без него;
  • Продолжить работу по совершенствованию навыка
    устного счёта в пределах 100;

2. Развивающие:

  • Развитие логического мышления, внимания,
    памяти, пространственного воображения;
  • Развитие творческих умений и навыков по теме
    для успешного выполнения заданий;
  • Развитие культуры речи и эмоций учащихся.

3. Воспитательные:

  • В целях решения задач нравственного воспитания
    содействовать воспитанию гуманности и
    коллективизма, наблюдательности и
    любознательности, развитию познавательной
    активности, формированию навыков
    самостоятельной работы;
  • В целях решения задач эстетического воспитания
    содействовать развитию у учащихся чувства
    прекрасного.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Ну-ка проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте
Все ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку “5”.

Ребята, сегодня мы опять отправимся в
путешествие по королевству Геометрия.

3. Устный счёт.

– У ворот нас встречают король Точка и его дочь
– принцесса Прямая. Прежде чем король и
принцесса познакомят нас с жителями своего
королевства, они хотят вас испытать.

II. Устный счет.

1) Игра “Гусеница-растеряша”.

Гусеница растеряла числа, посмотрите на
оставшиеся, разгадайте по какому правилу можно
продолжить ряд чисел. (Дети называют правило: это
чётные числа; каждое последующее число на 2
больше предыдущего).

Какие же числа растеряла гусеница? (2,4,6,8,10,12,14,16)

2) Игра “Математический баскетбол”.

Баскетбол
— командная спортивная игра,
цель которой забросить руками мяч в подвешенную
корзину.

Любой из вас забьёт гол, если правильно решит
пример. (Дети по цепочке решают примеры). 30 + 7 25 + 5 32
– 12 66 + 4 80 – 7 28 – 10 45 – 45 53 + 7 59 – 9 90 + 9


Слайд 5

Задание на логику

Сколько пятачков у 15 поросят? (15)

Когда гусь стоит на двух ногах, то весит 4 кг.
Сколько будет весить гусь, когда встанет на одну
ногу?


– Вы прошли все испытания. Король и принцесса
очень довольны вами и готовы познакомить вас с
жителями королевства “Геометрия”!



(По щелчку створки ворот открываются.)

Ребята, перед вами жители королевства
“Геометрия”.

Посмотрите на фигуры в каждой рамке. Какая из
них лишняя? Почему?

(Учащиеся называют лишние фигуры, обосновывают
свой выбор).

Разделите все оставшиеся фигуры на две группы.
Как это можно сделать? (Оставшиеся фигуры можно
разделить на две группы: линии и многоугольники.)

Назовите виды линий и многоугольников,
известные вам. (Линии: прямая, ломаная, кривая.
Многоугольники: квадрат, трапеция,
прямоугольник, четырёхугольник, пятиугольник,
шестиугольник, многоугольник).

IV. Работа над новым материалом.

(Слайд 8)

1) — Тему урока вам подскажет кроссворд.
Кроссворд “Геометрический”.

1) Часть прямой, у которой есть начало, но нет
конца. (Луч).

2) Геометрическая фигура, не имеющая углов.
(Круг).

4) Геометрическая фигура, имеющая форму
вытянутого круга. (Овал).

Тема нашего урока спряталась по вертикали.
Найдите её. (Угол). (щелчок вылетают
геометрические фигуры).

Сформулируйте пожалуйста тему нашего урока.

Ребята, а зачем мы будем изучать углы?

Как Вы думаете, вам эти знания пригодятся?


(Ответы детей)

Углы окружают нас и в повседневной жизни.
Приведите свои примеры, где можно найти углы
вокруг нас.

Ребята, а может, кто-то знает, что такое угол?
(выслушиваются мнения детей)

Правильность нашей формулировки, мы проверим
чуть позже.

Люди, каких профессий чаще всего встречаются с
углами? (конструктор, инженер, дизайнер,
строитель, архитектор, моряк, астроном,
архитектор, портной и т.д.)


Посмотрите на рисунки: уголок соединительный
для труб и уголок канцелярский для бумаг;
угольник плотника и угольник чертёжный; угловой
стол и угловой диван.

Ребята, а сейчас Король и Принцесса предлагают
немного поиграть.

Слайд 10.

Игра “Им угол имя подарил”.

Угол важная фигура. Многим фигурам он помог
дать имя. Назовите фигуры.

Что общего в названиях фигур? (что они имеют
угольник – общая часть)

Почему первая часть слов везде разная? (потому
что углов разное количество)

Физминутка 11-16 слайды

Ребята, а теперь от красных полей отступите
одну клеточку и поставьте точку О. От этой точки
проведите два луча.

На доске заранее нарисовать точку О (4-5). Вызвать
4-5 детей, чтобы они провели лучи на доске.

Что за фигуры у нас получилась? (угол)

Посмотрите, какие разные эти углы.

Ребята, а теперь соберите правило из слов.


Работа в парах.

(Вывод: угол — это геометрическая фигура,
образованная двумя разными лучами

с общим началом).

Ребята, а теперь посмотрите на фигуру, которую
нарисовала я.

Это угол, или нет.

(Дети говорят – нет, еще раз возвращаемся к
правилу, после этого делаем вывод о том, что это
тоже угол – развернутый)

Слайд 19. (вывод по углу)

Плакат на доске

Точка О – вершина угла. Угол можно назвать
одной буквой, записанной около его вершины. Угол
О. Но может быть несколько углов, имеющих одну
вершину. Как быть тогда? (На листе чертеж таких
углов)

Ответы детей.

В таких случаях если называть разные углы
одной буквой, то будет непонятно, о каком угле
идёт речь. Что этого не произошло, на каждой
стороне угла можно отметить по одной точке,
поставить около неё букву и обозначить угол
тремя буквами, при этом всегда в середине
записывают букву, обозначающую вершину угла.
Угол АОВ. Лучи АО и ОВ – стороны угла.

Плакат на доске

Ребята, у вас на столах лежат разные виды
углов. Найдите пожалуйста одинаковые виды углов.

Как будете искать? (Ответы детей)


Один человек на моих моделях ищет одинаковые
углы.

Ребята, смотрите, номера 6 и 7 совпали
полностью, а 1 и 5 — нет. № 5 больше.

Какой можно сделать вывод? После ответа детей
появляется слайд.

ВЫВОД: слайд 21

  • Равные углы при наложении совпадают
  • Если один угол наложить на другой и они
    совпадут, то эти углы равны

Изготовление модели прямого угла.

Не всегда удобно определять прямой угол на
глаз. Для этого используют линейку-угольник.

Каким цветом выделен угол больше прямого?
(Голубым).

Меньше прямого? (Зелёным).

Какой же угол из трёх предложенных прямой?

Почему вы так решили? (Вершина и стороны угла
совпали с прямым углом на линейке-угольнике).

Как же определить вид угла?

  • Чтобы определить вид угла, надо совместить его
    вершину и сторону соответственно с вершиной и
    стороной прямого угла на угольнике.

Каждый из углов имеет своё название. Острый
угол – это угол, который меньше прямого. Тупой
угол – это угол, который больше прямого.


(На доске появляются таблички с названием
углов)

Мама мой взяла листок,
И загнула уголок,
Угол вот такой у взрослых
Называется ПРЯМЫМ.
Если угол уже — ОСТРЫМ,
Если шире, то — ТУПЫМ.

Ребята, а всегда возможно наложить углы?

Нет. (Если начерчены в тетради…)

Для этого существует транспортир, с помощью
которого измеряют углы. Углы измеряют в градусах.
Посмотрите на виды транспортиров.

Очень часто углы мы можем наблюдать на часах.
Углы образуют часовые стрелки.

Работа по учебнику.

Задание:
Используя модель прямого
угла, найди прямые углы и выпиши их номера. (Дети
выполняют задание самостоятельно, затем один
ученик называет свой вариант ответа, все
проверяют работу).

С помощью угольника удобно не только
определять прямые углы, но главное – строить их.
Построим прямой угол, каждый сам назовёт его
одной или тремя буквами.

Слайд 27-29 (Учитель на доске, а дети в тетрадях
строят прямой угол. Выполняется взаимопроверка в
парах).

Я ОСТРЫЙ — начертить хочу,
Сейчас возьму и начерчу.
Веду из точки две прямых,
Как будто два луча,
И видим ОСТРЫЙ УГОЛ мы,
как остриё меча.

А для УГЛА ТУПОГО
Всё повторяем снова:
Из точки две прямых ведём,
Но их пошире разведём.
На чертёж мой посмотри,
Он, как ножницы внутри,
Если их за два кольца
Мы раздвинем до конца.


Практическая работа по закреплению изученного.

На партах у вас проволока. Сделайте из нее
прямой угол и проверьте с помощью угольника,
затем сделайте острый и тупой.

7. Итог урока.

Расскажите мне по схеме о том, что вам дал
сегодняшний урок математики?

8. Домашнее задание.

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение 1

Угол
– простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения
и плоскость – необходимые сведения
.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч
, а точка O – начало луча
.

Иначе говоря, луч или полупрямая –
это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол
– это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла
является лучом, вершина
– общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым
.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла
, другая – внешняя область угла
. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом
называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение 6

Два угла называют смежными
, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными
, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные
.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший
из которых состоит из другого, а больший
имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус
.

Определение 8

Один градус
называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой
называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой
называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « » », а секунды « «» ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 » = 3600 «» , 1 » = (1 60) ° , 1 » = 60 «» , 1 «» = (1 60) » = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 » 59 «» .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 » 59 «» . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота.
Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол
– это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол
– угол, который меньше 90 градусов, а тупой
– больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма
всех смежных углов равна 180 градусам,
потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны
. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом
. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан
называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы
для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Посмотрите на картинку. (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Из каких знакомых вам геометрических фигур она состоит?

Конечно, вы увидели, что картинка состоит из треугольников и прямоугольников. Какое слово спряталось в названии обеих этих фигур?
Это слово — угол (рис. 2).

Рис. 2. Определение угла

Сегодня мы будем учиться чертить прямой угол.

В названии этого угла уже есть слово «прямой». Чтобы правильно изобразить прямой угол, нам понадобится угольник. (Рис. 3)

Рис. 3. Угольник

В самом угольнике уже есть прямой угол. (Рис. 4)

Рис. 4. Прямой угол

Он и поможет нам изобразить эту геометрическую фигуру.

Чтобы правильно изобразить фигуру, мы должны приложить угольник к плоскости (1), обвести его стороны (2), назвать вершину угла (3) и лучи (4).

1.

2.

3.

4.

Давайте определим, есть ли среди имеющихся углов прямые (Рис. 5). В этом нам поможет угольник.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Найдем прямой угол угольника и приложим его к имеющимся углам (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что прямой угол совпал с углом ВОМ. Это значит, что угол ВОМ прямой. Проделаем эту же операцию еще раз. (Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что прямой угол нашего угольника не совпал с углом СOD. Это значит, что угол COD не прямой. Еще раз приложим прямой угол угольника к углу АОТ. (Рис. 8)

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что угол АОТ гораздо больше, чем прямой угол. Это значит, что угол АОТ не является прямым.

На этом уроке мы учились строить прямой угол с помощью угольника.

Слово «угол» дало название многим вещам, а также геометрическим фигурам: прямоугольник, треугольник, угольнику, с помощью которого можно начертить прямой угол.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех углов. Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным треугольником.

При отделочных работах и строительстве бывает нужна четкая геометрия: перпендикулярные стены и иные
конструкции, требующие прямого угла в 90 градусов. Обыкновенный угольник не может позволить проверить или
разметить углы со сторонами в несколько метров. Описываемый же метод превосходно подходит для разметки или
проверки любых углов — длинна сторон не ограничена. Основной инструмент для измерений — рулетка.

Мы будем рассматривать точную разметку прямого угла, а также метод проверки уже размеченных углов на стенах
и других объектах.

Теорема Пифагора

Теорема основана на утверждении, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов длин катетов равна
квадрату длины гипотенузы
. В виде формулы записывается это так:

a²+b²=c²

Стороны a и b — катеты, между которыми угол равен ровно 90 градусов. Следовательно, сторона c — гипотенуза.
Подставляя в эту формулу две известные величины, мы можем вычислить третью, неизвестную. А следовательно можем
размечать прямые углы, а также проверять их.

Теорема Пифагора известна еще под названием «египетский треугольник». Это треугольник со сторонами 3, 4 и 5,
причем совершенно не важно, в каких единицах длинны. Между сторонами 3 и 4 — ровно девяносто градусов. Проверим
данное утверждение вышеприведенной формулой: a²+b²=c² = (3×3)+(4×4) = 9+16 = (5×5) = 25 — все
сходится!

А теперь применим теорему на практике.

Проверка прямого угла

Начнем с самого простого — проверки прямого угла с помощью теоремы Пифагора. Самым частым примером
в отделке и строительстве является проверка перпендикулярности
стен. Перпендикулярные стены —
это стены, расположенные друг к другу под прямым углом 90°.

Итак, берем любой проверяемый внутренний угол. На стенах (на одной высоте) или на полу отмечаем на обоих
стенах отрезки произвольных длин. Длинна этих отрезков произвольная, по возможности нужно отмечать как можно
больше, но чтобы между отметками на стенах удобно было мерить диагональ. Например, мы отметили 2,5 метра (или 250
см.) на одной стене и 3 метра (или 300 см.) на другой. Теперь длину отрезка каждой стены возводим в квадрат
(умножаем саму на себя) и получившиеся произведения складываем. Выглядит это так: (2,5×2,5)+(3×3)=15,25 —
это диагональ в квадрате. Теперь нужно извлечь из этого числа квадратный корень √15,25≈3,90 — 3,9 метра
должна составлять диагональ между нашими отметками. Если измерение рулеткой показывает другую длину диагонали —
проверяемый угол развернут и имеет отклонение от 90°.

Калькулятор расчета диагонали прямого угла

Внимание! Для работы калькулятора необходимо включить
поддержку JavaScript
в вашем браузере!

Длина a

Длина b

Диагональ c

Извлечение квадратного корня никогда меня не привлекало — простому человеку не обойтись без калькулятора, к тому же,
не на всех мобильных устройствах калькуляторы умеют извлекать его. Поэтому можно пользоваться упрощенным методом. Нужно
лишь запомнить: у прямого угла со сторонами ровно 100 сантиметров, диагональ равна 141,4 см.
Таким образом, у
прямого угла со сторонами 2 м. — диагональ равна 282,8 см. То есть на каждый метр плоскости приходится 141,4 см. У этого
метода один недостаток: от измеряемого угла нужно откладывать одинаковые расстояния на обеих стенах и отрезки эти должны
быть кратны метру. Не буду утверждать, но по моей скромной практике — это гораздо удобнее. Хотя не стоит забывать
о первоначальном способе совсем — в некоторых случаях он очень актуален.

Сразу же возникает вопрос: какое отклонение от вычисленной длинны диагонали считать нормой (погрешностью), а какое
нет? Если проверяемый угол с отмеченными сторонами по 1 м. будет 89°, то диагональ уменьшится до 140 см. Из
понимания этой зависимости можно сделать объективный вывод, что погрешность диагонали 141,4 см. в несколько миллиметров
не даст отклонения в один целый градус.

Как проверить внешний угол?
Проверка внешнего угла по сути не отличается, нужно лишь продлить линии каждой стены
на полу (или земле, при помощи шнура) и получившийся внутренний угол измерить обычным способом.

Как разметить прямой угол рулеткой

Разметка может основываться как на общей теореме Пифагора, так и на принципе «египетского треугольника». Однако
это только в теории линии просто чертятся на бумаге, «ловить» же все выбранные размеры растянутыми шнурами или
линиями на полу — задача посложнее.

Поэтому я предлагаю упрощенный способ, основанный на диагонали 141,4 см. у треугольника со сторонами 100 см. Вся
последовательность разметки изображена на картинках ниже. Важно не забывать: диагональ 141,4 см. нужно умножать на
количество метров в отрезке А-Б. Отрезки А-Б и А-В должны быть равны и соответствовать целому числу в метрах.
Картинки увеличиваются по клику!

Как разметить острый угол

Гораздо реже возникает надобность в создании острых углов, в частности 45°. Для формирования подобных
фигур формулы более сложные, однако это не самое проблематичное. Гораздо сложнее свести все линии, начерченные
или натянутые шнурами — дело это непростое. Поэтому я предлагаю использовать упрощенный метод. Сначала размечается
прямой угол 90°, а затем диагональ 141,4 делится на нужное количество равных частей. Например, чтобы получить
45°, диагональ нужно поделить пополам и от точки А провести линию через место деления. Таким образом мы получим
два угла по 45 градусов. Если поделить диагональ на 3 части, то получится три угла по 30 градусов. Думаю алгоритм
вам понятен.

Собственно я рассказал все, что мог рассказать, надеюсь все изложил понятным языком и у вас больше не возникнет
вопросов как размечать и проверять прямые углы. Стоит добавить, что уметь делать это должен любой отделочник или
строитель, ведь полагаться на строительный угольник небольшого размера — непрофессионально.

Острый, тупой, прямой и правый

Угол измеряет величину поворота

Названия углов

По мере увеличения угла название меняется:

Попробуйте сами:

В одной схеме

Эта диаграмма может помочь вам запомнить:

Также: Acute, Obtuse и Reflex расположены в алфавитном порядке.

Также: буква «А» имеет острый угол.

Будьте осторожны при измерении

Меньший угол — тупой угол ,
, но больший угол — угол отражения

Поэтому при именовании углов убедитесь, что
что вы знаете , какой угол
просил
!

Положительные и отрицательные углы

При измерении от линии:

  • положительный угол идет против часовой стрелки (направление, противоположное направлению часов)
  • отрицательный угол идет по часовой стрелке

Пример: −67 °

Части угла

Угловая точка угла называется вершиной

И две прямые стороны называются руками

Угол — это угол поворота между каждым плечом.

Как маркировать углы

Есть два основных способа маркировать углы:

1. Назовите угол, обычно строчной буквой, например a или b , или иногда греческой буквой, например α (альфа) или θ (тета)

2. или тремя буквами на форме, которые определяют угол, при этом средняя буква указывает на то, где на самом деле угол (его вершина).

Пример угла « a » равен « BAC », а угол « θ » равен « BCD »

.

острый угол | Определение, степень и примеры

Определение острого угла

Острый угол — это угол между 0 ° и 90 °, или π2 (в радианах).Острые углы всегда меньше 90 °.

Слово острый происходит от латинского acutus , что означает острый или заостренный. Каждый раз, когда вы видите острый угол, у вас есть острый угол.

Содержание

  1. Определение острого угла
  2. Что такое острый угол?
  3. Острый, тупой и прямой угол
  4. Острые угловые формы
  5. Примеры острых углов
  6. Сделайте острый угол

Что такое острый угол?

Острый угол — это один из нескольких углов, с которыми вы столкнетесь в геометрии.Острые углы могут быть на любой градус больше 0 ° и меньше 90 °.

Вот хитрый пример:

Хотя острый угол, составляющий 89 °, отклоняется от прямого угла всего на 1 °, он все же остается острым. Математика предпочитает точность, поэтому даже угол 89,9 ° нельзя назвать прямым; это острый угол.

Факты об острых углах

  • Один острый угол всегда составляет от 0 ° до 90 °.
  • Два острых угла в сумме могут быть больше, меньше или равны прямому углу.
  • Два острых угла могут быть дополнительными углами (с добавлением 90 °).
  • Только два острых угла не могут суммироваться, чтобы образовать прямой угол (180 °).

Острый, тупой и прямой угол

Если острые углы — это углы, которые измеряются от 0 ° до 90 °, как называется угол, если он равен точно 90 °? А что, если угол больше 90 °?

Прямой угол — это угол, размер которого равен точно 90 ° или π2.Угол, превышающий 90 °, называется тупым углом .

Вот примеры того, как могут выглядеть острые, тупые и прямые углы:

Острый, тупой и прямой угол
Тип уголка Угловые изображения
Острый угол
Тупой угол
Прямой угол

В дополнение к этим углам необходимо знать больше углов, таких как угол отражения, прямой угол и полные углы.Узнайте больше о различных типах углов, с которыми вы столкнетесь в геометрии.

Острые угловые формы

В геометрии постоянно появляются острые углы. Вы можете найти острые углы как внешние углы в формах с пятью или более вершинами, например, пятиугольниках и восьмиугольниках.

Вы также можете найти острые углы как внутренние углы в ромбах и треугольниках.

Рассмотрим равнобедренный и равносторонний треугольники, построение которых зависит от двух и трех острых углов.

Сколько острых углов в остром треугольнике?

В остром треугольнике все углы острые. Чтобы треугольник был острым, он должен иметь 3 острых угла.

Хороший пример остроугольного треугольника — равносторонний треугольник. Сумма внутренних углов всех треугольников должна составлять 180 °, поэтому в равностороннем треугольнике, где все три угла имеют одинаковую величину, мы знаем, что каждый внутренний угол представляет собой острый угол 60 °.

Примеры острых углов

Примеры острых углов в реальной жизни повсюду вокруг вас.Остроугольные вещи острые; они подходят к острой точке. Острый край ножа — острый угол. У заточенного карандаша для дерева есть острый конец, как и у ножниц:

Вы используете углы в повседневной жизни. Даже слова, которые вы видите в печати, полны острых углов. Буквы A, K, M, N, R, V, W, X, Y, Z образованы острыми углами.

Примером острого угла в доме являются стрелки аналоговых часов, но только в четырех разных часах (10, 11, 1 и 2 часа).

В положении «12 часов» стрелки составляют ноль градусов.

Острые углы повсюду вокруг вас.

Как сделать острый угол

Самый простой способ образовать или нарисовать острый угол — написать заглавную букву A. В результате получатся три острых угла.

Следующий урок:

Угловые пары

Типы углов — объяснения и примеры

В природе существуют различные типы углов , и каждый из них имеет большое значение в нашей повседневной жизни.

Например, , архитекторы и инженеры используют углы при проектировании машин, зданий, дорог и мостов.

В спорте спортсмены используют углы для улучшения своих результатов. Например, человек должен вращаться с диском под определенным углом, чтобы бросить его на короткое расстояние. В футболе вы должны использовать определенный угол, чтобы передать мяч следующему игроку.

Плотники и ремесленники также используют углы для изготовления таких предметов, как диваны, столы, стулья, ведра и т. Д. Художники используют углы для набросков портретов и картин.Модельеры также используют углы, чтобы подобрать лучшие наряды. По этим причинам необходимо изучить различные типы углов.

(Основное объяснение углов можно найти в предыдущей статье «Углы».)

Различные типы углов

Углы классифицируются на основе:

Классификация углов по их величине

Там семь типов углов, основанных на их градусном измерении.К ним относятся:

  • Нулевые углы
  • Острые углы
  • Прямые углы
  • Тупые углы
  • Прямые углы
  • Углы отражения
  • Полный угол
— Нулевой угол

Нулевой угол (0 °) — это угол формируется, когда оба плеча уголка находятся в одном и том же положении.

Рисунок:

∠ RPQ = 0 ° (нулевой угол)

— Острый угол

Острый угол — это угол, который больше 0 °, но меньше 90 °.Общие примеры острых углов: 15 °, 30 °, 45 °, 60 ° и т. Д.

∠ XYZ больше 0 °, но меньше 90 ° (острый угол)

— Угол 90 градусов

A Угол 90 градусов, также известный как прямой угол, — это угол, размер которого равен 90 °, и называется прямым углом. Прямые углы изображаются в виде небольшой квадратной рамки между плечами угла.

Иллюстрация:

∠ ABC = 90 ° (прямой угол)

В следующем разделе (Треугольники) будет целая статья о прямоугольных треугольниках.

— Тупой угол

Тупой угол — это тип угла, градусы которого больше 90 °, но меньше 180 °. Примеры тупых углов: 100 °, 120 °, 140 °, 160 °, 170 ° и т. Д.

∠ PQR — тупой угол, потому что он меньше 180 ° и больше 90 °.

— Прямой угол

Как следует из названия, прямой угол — это угол, размер которого равен 180 ° (прямая линия)

Иллюстрация:

∠ XYZ = 180 ° (прямой угол)

— Reflex Угол

Углы отражения — это углы, градусы которых больше 180 °, но меньше 360 °.Общие примеры углов рефлекса: 200 °, 220 °, 250 °, 300 °, 350 ° и т. Д.

Иллюстрация:

∠ PQR больше 180 °, но меньше 360 °

— Полный угол

Полный угол равен 360 °. 1 оборот равен 360 °.

Иллюстрация:

Классификация углов на основе поворота

В зависимости от направления вращения углы можно разделить на две категории, а именно;

  • Положительные углы
  • Отрицательные углы

Положительные углы

Положительные углы — это типы углов, измерения которых проводятся против часовой стрелки от основания.

Отрицательные углы

Отрицательные углы измеряются по часовой стрелке от основания.

Другие типы углов

Помимо рассмотренных выше углов, существуют другие типы углов, известные как парные углы. Их называют парными углами, потому что они появляются парами, чтобы показать определенное свойство. Это:

  • Соседние углы имеют одинаковую вершину и плечо.
  • Дополнительные углы: парные углы, которые в сумме составляют 90 °.
  • Дополнительные углы: парные углы, сумма углов которых равна 180º.
  • Вертикально противоположные углы. Вертикально противоположные углы равны.
  • Альтернативные внутренние углы: Альтернативные внутренние углы — это парные углы, образующиеся, когда линия пересекает две параллельные линии. Чередующиеся внутренние углы всегда равны друг другу.
  • Альтернативные внешние углы : Альтернативные внешние углы — это просто вертикальные углы альтернативных внутренних углов. Альтернативные внешние углы эквивалентны.
  • Соответствующие углы : Соответствующие углы — это парные углы, образующиеся, когда прямая пересекает пару параллельных прямых. Соответствующие углы также равны друг другу.

Мы видели краткий обзор различных типов углов. Далее мы увидим подробные статьи о наиболее распространенных типах углов (Дополнительные углы, Дополнительные углы и т. Д.).

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Острый угол — определение, свойства, примеры

Угол, который меньше 90 °, называется острым углом.Например, когда время — 11 часов, угол между часовой и минутной стрелками является острым. Другими словами, 30 °, 40 °, 57 ° и так далее — острые углы.

Угол образуется, когда два луча встречаются в вершине. Если этот угол меньше 90 °, он называется острым углом. На рисунке, показанном ниже, угол между «Лучом 1» и «Лучом 2» является острым. Кроме того, когда прямой угол делится на два, он образует два острых угла.

Вот еще несколько примеров острых углов.

Мы знаем, что углы, превышающие 0 ° и менее 90 °, в геометрии называются острыми углами. Следовательно, 45 °, 5 °, 28 °, 49 °, 89 ° — все это примеры острых углов.

Вот несколько реальных примеров острых углов.

  • Ломтик арбуза, разрезанный небольшими порциями, как показано ниже.
  • Некоторые примеры углов, образованных между часовой стрелкой и минутной стрелкой часов.
  • Клюв птицы в открытом состоянии.
  • Угол, образующийся при открытой пасти крокодила.

Свойства острого треугольника

У острого треугольника все углы меньше 90 °. Когда все три угла треугольника равны 60 °, он образует специальный треугольник, называемый равносторонним треугольником . Острые треугольники можно разделить на острые лестничные треугольники, острые равнобедренные треугольники и равносторонние треугольники. Есть много типов треугольников, и острый треугольник — один из них.У показанного ниже треугольника все внутренние углы меньше 90 °. Поэтому его называют острым треугольником.

Теорема о неравенстве треугольника для острого треугольника

Так же, как теорема Пифагора для прямоугольных треугольников, у нас есть теорема о неравенстве треугольника для острых треугольников. В нем говорится, что сумма квадратов двух сторон треугольника больше квадрата наибольшей стороны. В Δ ABC, если стороны имеют размер a, b, c так, что ‘c’ является наибольшей стороной, тогда a 2 + b 2 > c 2 .Другими словами, в треугольнике, если a 2 + b 2 > c 2 , треугольник является острым треугольником.

Темы, связанные с острым углом

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с острым углом.

Что такое острый угол?

Острый угол — это угол менее 90 °. Его можно измерить с помощью транспортира. Например, 35 °, 60 °, 72 ° и так далее — острые углы.

Какие примеры острых углов?

Острые углы — это углы, не превышающие 90 °.Таким образом, 10 °, 30 °, 45 °, 70 ° — вот некоторые примеры острых углов.

Как определить величину острого угла?

Острые углы можно измерить с помощью транспортира. Чтобы измерить острый угол, поместите нижнюю линию транспортира на базовую линию и поместите центр транспортира в вершину, где встречаются линии двух углов. Теперь рассмотрите нижнюю шкалу транспортира и измерьте угол.

Что такое острый треугольник?

Острый треугольник — это треугольник, в котором все внутренние углы меньше 90 °.Например, у равностороннего треугольника все внутренние углы равны 60 °. Итак, его можно назвать острым треугольником.

Прямой треугольник — это острый треугольник?

Нет, прямоугольный треугольник не является острым. Прямоугольный треугольник имеет один из внутренних углов 90 °, а два других угла — 45 ° каждый. Чтобы треугольник был острым, все внутренние углы должны быть меньше 90 °. Таким образом, мы можем сказать, что прямоугольный треугольник не является острым треугольником.

В чем разница между тупым и острым углами?

Тупые углы имеют размер более 90 ° (но менее 180 °), а острые углы составляют менее 90 °. Например, 110 ° — тупой угол, а 50 ° — острый угол.

Почему острые углы меньше 90 градусов

В геометрии и математике острые углы — это углы, размеры которых находятся в диапазоне от 0 до 90 градусов или имеют радиан менее 90 градусов. Когда термин относится к треугольнику, как к острому треугольнику, это означает, что все углы в треугольнике меньше 90 градусов.

Важно отметить, что угол должен быть меньше 90 градусов, чтобы его можно было определить как острый угол. Если же угол точно равен 90 градусам, он известен как прямой угол, а если он больше 90 градусов, он называется тупым углом.

Способность учащихся определять различные типы углов очень поможет им в поиске измерений этих углов, а также длин сторон фигур, которые имеют эти углы, поскольку есть различные формулы, которые учащиеся могут использовать для определения недостающих переменных.

Измерение острых углов

Как только учащиеся обнаруживают разные типы углов и начинают определять их визуально, им относительно просто понять разницу между острым и тупым углом и научиться указывать прямой угол, когда они его видят.

Тем не менее, несмотря на знание того, что все острые углы измеряются где-то между 0 и 90 градусами, некоторым ученикам может быть трудно найти правильное и точное измерение этих углов с помощью транспортира.К счастью, существует ряд проверенных и верных формул и уравнений для решения отсутствующих измерений углов и отрезков прямых, образующих треугольники.

Для равносторонних треугольников, которые представляют собой особый тип острых треугольников, все углы которых имеют одинаковые размеры, состоит из трех углов по 60 градусов и сегментов равной длины на каждой стороне фигуры, но для всех треугольников внутренние измерения углов всегда добавляют до 180 градусов, поэтому, если известно измерение одного угла, обычно относительно просто обнаружить другие измерения недостающего угла.

Использование синуса, косинуса и тангенса для измерения треугольников

Если рассматриваемый треугольник является прямым углом, учащиеся могут использовать тригонометрию, чтобы найти недостающие значения измерений углов или отрезков линии треугольника, когда известны некоторые другие точки данных о фигуре.

Основные тригонометрические соотношения синуса (sin), косинуса (cos) и тангенса (tan) связывают стороны треугольника с его непрямыми (острыми) углами, которые в тригонометрии называются тета (θ).Угол, противоположный прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

Имея в виду эти обозначения частей треугольника, три тригонометрических отношения (sin, cos и tan) можно выразить в следующем наборе формул:

cos (θ) =
смежные /
гипотенуза
sin (θ) =
напротив /
гипотенуза
tan (θ) =
напротив /
смежный

Если нам известны измерения одного из этих факторов в приведенном выше наборе формул, мы можем использовать остальные для поиска недостающих переменных, особенно с использованием графического калькулятора, который имеет встроенную функцию для вычисления синуса, косинуса и т. Д. и касательные.

Видеоурок: Углы | Нагва

Стенограмма видео

Углы

В этом видео мы узнаем
как определить и назвать острые углы, прямые и тупые углы.

Угол — это величина поворота
между двумя прямыми линиями или лучами, которые встречаются в вершине или точке. Мы называем стороны угла
оружие. Мы измеряем углы в градусах, а
это символ, который мы используем для обозначения градусов.Полный поворот составляет 360 градусов. И если мы сделаем пол-оборота, мы
повернулся на 180 градусов. И четверть оборота — 90
градусов. Углы, имеющие квадратный угол,
как этот угол, называются прямыми углами. Прямой угол равен 90.
градусов. Угол меньше
90 градусов называют острым углом. Угол, превышающий
90 градусов, но меньше прямой, называется тупым углом.

Вы могли бы попробовать
собственные углы. Вы можете использовать ремесленную трубку
чистящие средства. Какой угол мы сделали? Угол прямой. Вы видите, что у него есть квадрат
угол? Что это за угол? Это меньше прямого угла. Вы можете вспомнить его название? Это острый угол. Этот угол больше прямого
угол. Вы можете вспомнить его название? Тупой угол. Мы можем сказать, острый ли угол или
тупой, сравнивая его с прямым углом.

Мы можем изготовить собственный прямоугольный
угол, используя лист бумаги. И мы можем использовать это, чтобы проверить, есть ли
угол меньше или больше прямого угла. Для начала нам нужно сложить кусок
бумагу пополам, а затем снова сложите пополам. Мы сделали прямой угол
мера. Мы можем использовать нашу угловую меру
чтобы определить, больше или меньше угол прямого угла. Этот угол больше прямого
угол, т. е. тупой угол.Сопоставив угол нашего
Измерение прямого угла с вершиной этого угла, мы можем видеть, что угол измеряет
меньше прямого угла. Итак, мы знаем, что это острый
угол, потому что острые углы меньше прямого.

Давайте попробуем задать несколько вопросов, чтобы
Помогите нам научиться определять острые, прямые и тупые углы.

Определить тип уголка
выделено оранжевым.Это прямой угол, тупой
угол или острый угол?

В этом вопросе мы должны
определить тип угла, который выделен оранжевым цветом. Этот угол прямой? Мы могли бы использовать измерение под прямым углом
проверить. Нам просто нужно разместить угол
нашей меры прямого угла в угол или вершину угла. Теперь мы видим оранжевый угол.
измеряет больше, чем прямой угол. Что мы называем углом, который
больше прямого угла? Вы можете вспомнить, что за тупой
угол есть? Это тупой угол.Он измеряет больше, чем право
угол.

Угол выделен оранжевым
измеряет более 90 градусов, так что это тупой угол. Острые углы меньше
прямой угол. Тип угла, выделенный в
оранжевый — тупой угол.

Определить тип уголка
выделено оранжевым. Это прямой угол, тупой
угол или острый угол?

В этом вопросе мы должны
определите, к какому типу угла относится оранжевый угол.Этот угол прямой? Мы нарисовали руки
угол. Это прямой угол. Оранжевый угол меньше
прямой угол. Тупой угол — это угол, который
измеряет более 90 градусов. Оранжевый угол не тупой
угол. Угол, выделенный оранжевым, равен
острый угол. Это меньше, чем право
угол. Тип угла, выделенный в
оранжевый — острый. Оранжевый угол — острый
угол.

Какой из них острый?
угол? Угол 𝐴, угол 𝐵 или угол
𝐶.

В этом вопросе мы должны
определить острый угол. Это не может быть угол 𝐵, потому что это
прямой угол. Это символ, который мы используем, чтобы показать
прямой угол. Нам нужно использовать наши знания о
углы, чтобы помочь ответить на этот вопрос. Мы знаем, что острый угол меньше
чем под прямым углом. Измеряет ли угол 𝐴 или угол 𝐶
меньше прямого угла? Мы могли бы использовать измерение под прямым углом
помогать.Угол 𝐴 меньше правого
угол. Угол, который является острым углом
это угол 𝐴, потому что он меньше прямого. Угол 𝐵 — прямой угол, а
угол 𝐶 больше прямого. Угол 𝐴 — острый угол.

Посмотрите на данную форму. Сколько острых углов в
форма? Сколько тупых углов в
форма? Сколько прямых углов в
форма?

В этом вопросе мы должны посчитать
количество острых углов в данной форме, количество тупых углов и
количество прямых углов.Мы можем ответить на третью часть
вопрос действительно быстро. Этот синий квадрат — символ, который мы
используйте, чтобы показать прямой угол, чтобы мы знали, что у формы один прямой угол. Сколько острых углов
там? Мы знаем, что острые углы меньше измеряют
чем 90 градусов или меньше прямого угла. Это острый угол, и это
острый угол. Оба этих угла меньше измеряют
чем под прямым углом. Этот угол больше прямого
угол.Мы называем этот тип угла
тупой угол. Итак, есть два острых угла, один
тупой угол и один прямой угол заданной формы.

Что мы узнали из этого
видео? Мы научились определять правильные
углы с использованием меры прямого угла. Мы узнали, что острые углы
Измерьте угол меньше прямого. И мы узнали, что тупой
углы больше прямого.

типов углов — Бесплатная математическая справка

Типы углов

Вы, конечно, использовали слово «угол» в повседневной жизни, но оно также имеет важное значение в математике.Одна из тем, с которой вы захотите познакомиться, — это различные типы или классификации углов, определяемые величиной угла. Эта страница представляет собой простое и понятное руководство для начинающих по различным типам углов.

Три основных типа углов

Острый — любой угол меньше 90 градусов. Эти углы кажутся «острыми», как лезвие ножа.

Пример: угол ABC составляет 40 градусов. Угол ABC острый.

Правый — любой угол, равный точно 90 градусам. Это как края деревянного бруска.

Пример: Угол CAT составляет 90 градусов. Угол КПП — это прямой угол.

Тупой — любой угол, который составляет более 90 градусов, но менее 180 градусов. Это «толстые» углы, очень широкие.

Пример: угол DEF составляет 125 градусов. Тогда угол DEF тупой.

Особый случай

Прямой — любой угол, равный 180 градусам.Это даже не совсем угол … это просто прямая линия!

Пример: точки ABC лежат на линии L, образуя ПРЯМОЙ ЛИНИЙ. Тогда линия L прямая.

Взаимосвязь нескольких углов

Вертикальные углы — Два угла, образованные пересекающимися линиями. Они не могут быть смежными, но всегда равны по размеру. Они находятся напротив друг друга в углах буквы «X», образованной линиями.

На приведенном выше рисунке углы 1 и 3 и углы 2 и 4 вертикальны, потому что они расположены напротив друг друга.Теперь углы 1 и 2 и углы 3 и 4 НЕ являются вертикальными углами.

Дополнительные уголки — Два угла, сумма которых составляет 90 градусов.

Пример: угол A = 30 градусов и угол B = 60 градусов.
Тогда угол A + угол B = 90 градусов. Можно сказать, что углы A и B дополняют друг друга.

Дополнительные углы — Два угла, сумма которых составляет 180 градусов. Дополнительные углы можно разместить так, чтобы они образовывали прямую линию.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.