Системы уравнений 8 класс примеры и их решение: Системы уравнений. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Содержание

определение, виды, примеры решения, что это такое

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2·x+y=-3,x=5.

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение 1

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x+y=5,2·x-3·y=1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2x+0·y+0·z=11

А другое уравнение x+0·y−3·z=0.

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x+y=3,1x+1y=25

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Определение 2

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Определение 3

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t2=4,5·(t+2)=0

Число -2 – решение уравнения, так как  (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.

Определение 4

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Определение 5

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Определение 6

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.





 
Поиск

Поиск


  • Школьный помощник

    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс


  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык



«»

следующая
предыдущая

вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы

    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Русский язык 6 класс
    • Алгебра 8 класс
    • Математика 6 класс
    • Русский язык 5 класс
    • Русский язык 7 класс
    • Алгебра 7 класс
    • Математика 5 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Деление и дроби
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Окружность и круг
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)







Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

      Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (y) .

      Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

f (x , y) = ax +by + c ,

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2
– 12 y +18 = 0 .
(3)

      Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 =
= (x2 – 4xy + 4y2) +
+ (2y2– 12y +18) =
= (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .

      Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 . (4)

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

      Ответ:   (6 ; 3)

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Из неравенства

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

      Ответ: Решений нет.

      Пример 3. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

      Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y   – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

называют пару чисел   (y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

(7)

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

x2 – 8x – 9 = 0 ,

находим корни

x1 = – 1 ,   x2 = 9 .

      Следовательно,

y1 = 8 – x1 = 9 ,  
y2 = 8 – x2 = – 1 .

      Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и    

Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

      Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

ax2 + bxy + cy2 = 0 .

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Пример 5. Решить уравнение

3x2 – 8xy + 5y2 = 0 . (8)

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

      Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y)   или    

где   y   – любое число.

      Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

      Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

      Пример 6. Решить систему уравнений

(9)

      Решение. Решим однородное уравнение

3x2 + 2xyy2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

4y2 = 16 ,

корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

(10)

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

  • второе уравнение системы оставим без изменений;
  • к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

     Решим однородное уравнение

3x2 + 17xy + 10y2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

.

      В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y2 = – 20 ,

которое корней не имеет.

      В случае, когда

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа   y1 = 3 ,   y2 = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

(12)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

(13)

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

(14)

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

      Решая уравнение

2v2 + 3v – 14 = 0 ,

находим корни

      Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

      Из формул (13) вытекает, что   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

x = 13,   y = – 3 .

      Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .

      Следовательно,

      Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

«Решение задач с помощью систем уравнений»

 

Подготовила учитель математики Радченко Е. В.

Тип урока: урок формирования знаний.

 

Вид урока: урок – практикум.

 

Оборудование: раздаточный материал в виде тетради с заданиями на урок, учебники, компьютер, проектор, листок контроля, сигнальные карточки.

Цель: развитие познавательного интереса при решении задач с помощью систем

уравнений

Задачи:

образовательнаяспособствовать совершенствованию полученных знаний по применению и развитию при работе с задачами,

развивающаяпроверить уровень самостоятельной деятельности обучающихся по применению знаний в различных ситуациях,

воспитательнаяспособствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся

Планируемый результат:

Знать:

способы решения систем линейных уравнений,

алгоритм решения задач.

Уметь:

применять удобный способ решения систем линейных уравнений,

применять алгоритм решения задач на практике,

использовать различные источники знаний,

работать с карточками различного содержания,

работать в группах, индивидуально.

Используемые технологии: уровневой дифференциации, индивидуального обучения, проблемно поисковой, групповые, ИКТ.

Методы работы:

а) методы организации учебно-познавательной деятельности: словесный, наглядный, практический, самостоятельная работа, индивидуальная работа.

б) методы контроля и самоконтроля: устный опрос, фронтальный опрос, письменный контроль, тест.

Ход урока

Организационный момент

    Учитель: Сегодня за окном весна, к нам пришли гости, а встречают гостей хорошо, и сегодня мы должны показать, что мы знаем, чему научились и нам необходимо повторить алгоритм решения задач, уметь применять удобный способ решения систем уравнений, закрепить всё это на практике. А как мы можем проверить справились ли мы – это листок контроля, куда вы будете заносить свои результаты. У вас на партах лежат специальные рабочие тетради для работы на сегодняшнем уроке, в которых имеются задания и ваш листок контроля, за каждый правильный ответ, решение вы будете ставить себе оценку по 5ти бальной шкале, а затем в конце урока, подсчитаем среднее арифметическое – это и будет ваша оценка за урок. Удачи!

     

    Мотивация учебной деятельности

      Стихотворение Владимировой Анны

      На сегодняшнем уроке

      Мы задачами займёмся.

      Не без помощи решений

      И системы уравнений.

      Знать систему должен каждый

      Физик, химик и биолог.

      Новых знаний ваша жажда

      Без сомнений нам поможет!

      Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

      Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» — знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике. Итак, запишите в тетрадь число и тему урока «Решение задач с помощью систем уравнений» 

      Девиз нашего сегодняшнего урока: «Где есть желание, найдется путь».

      Мы сегодня на уроке будем решать задачи, определяя свой рациональный путь и следуя цели урока — развивать познавательный интерес при решении задач с помощью систем уравнений.

      Актуализация опорных знаний

        «Мозговой штурм»

        Давайте вспомним, какие способы решения систем уравнений мы знаем? Как они решаются? Какой более удобный способ для вас? (фронтальный опрос учащихся)

        Работа в группах. (Пока работают учащиеся, звучит тихая музыка, слайд, на котором деятели-математики)

        Каждой группе отдельное задание, затем проверка с помощью компьютера.

        Первая группа 

        Тест

        Выразить х через у х+3у=6
        1) х=6-3у,
        2) х=-6-3у,
        3) х=6+3у

        Выразить у через х 2х-у=3
        1) у= 3-2х,
        2) у =-3 +2х,
        3) у=3+2х.

        Решением системы уравнений является пара 
        1) (-40;-20)
        2) (40, 20),
        3) (40 -20)

        Результат сложения уравнений х+5у=7, 3х — 2у=4 равен

        1. 4х-7у=11

          4х+3у=11

          4х-3у = 11

          2 группа

          Решить систему уравнений способом сложения

          3 группа

          Решить систему уравнений способом подстановки

          Формирование знаний и умений учащихся

            Алгоритм решения задач

            Выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами.

            Найти две связи неизвестных величин.

            Составить систему уравнений.

            Решить систему уравнений удобным способом.

            Истолковать результаты в соответствии с условием задачи.

              Учащиеся записывают алгоритм в тетради.

              Работа с классом

              Рассматриваются задачи с последующим решением.

              • В двух восьмых классах 67 учеников, причем в одном на три ученика больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе? (задача решается на доске с рассуждением) – проверка с помощью компьютера.

                Отряд туристов вышли в поход на 9 байдарках, часть из которых двухместные, а часть — трехместные. Сколько двухместных и сколько трехместных байдарок было в походе, если отряд состоит из 23 человек?

                (учащийся на доске решает задачу с объяснением, проверка с помощью компьютера)

                Минута психологической разгрузки

                  Выступление учащегося.

                  В развитии алгебры как науки большую роль сыграла книга английского физика и математика Исаака Ньютона «Всеобщая арифметика» изданная в1707 году. В предисловии к своей книге он писал, что алгебраическим путем решаются очень трудные задачи, решение которых было бы тщетно искать при помощи одной арифметики»

                  В своей «Всеобщей арифметике» Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Ньютон оказал огромное влияние на последующее развитие алгебры. После него авторы учебников уже рассматривали алгебру как общую арифметическую дисциплину, математики занимающуюся изучением и дальнейшим развитием численных методов решения алгебраических уравнений.

                  После выступления встаёт ученик в обличии Ньютона и говорит о себе:

                  — «Если я видел дальше, чем другие, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов». 

                  — «Не знаю, чем я могу казаться миру, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на берегу, развлекающимся тем, что от поры до времени отыскиваю камушек более цветистый, чем обыкновенно, или красивую раковину, в то время как великий океан истины расстилается передо мною неисследованным». Давайте ребята окунёмся в океан математики.

                  Учитель: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно, не упуская случая, сделать его немного занимательным»

                  Закрепление навыков и умений

                    Задание «1+1=2»

                    Решаем задание на соответствия. Следует сопоставить условие задачи и систему уравнений. Записывают ответы в тетрадь, а потом проверяем.

                    Ответы: 1 – Б, 2 – В, 3 – Г, 4 – А.

                    Индивидуальная работа учащихся.

                    Придумайте задачу, которая описывает следующую систему уравнений с двумя неизвестными

                    Кто первым справиться с заданием, тот и зачитывает свою задачу всему классу и решает на доске.

                    Обогащение знаний

                      На каких уроках вы уже встречались со словом система уравнений?

                      Физика – Международная система единиц.

                      Биология – система кровообращения человека.

                      Химия – периодическая система элементов Д.И.Менделеева

                      Русский язык – система частей речи, система гласных.

                       

                      Творческое домашнее задание. 

                        Придумать необычную задачу, которая решается с помощью системы уравнений, решить её и оформить все на альбомном листе.

                         

                        Подведение итогов урока

                          Самооценка. Учащиеся вычисляют среднее арифметическое своих оценок и выставляют оценку за урок.

                          Учитель: поднимите руки, кто справился со всеми заданиями и получил оценку «5», а кто «4», ну и кто же получил оценку «3». Молодцы вы сегодня все справились с поставленными задачами.

                          Рефлексия.

                            В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

                            — Что нового узнали на уроке?

                            У вас на партах лежат сигнальные карточки красного и чёрного цветов, если вам понравился урок, то поднимите красную, если не понравился – чёрную карточку.

                            — Что понравилось на уроке?

                            — Что не понравилось?

                            — Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

                             Сегодняшний урок мне бы хотелось закончить такими словами: «Всякая хорошо решенная математическая задача доставляет умственное наслаждение»  Спасибо за урок!

                            Список литературы

                             

                            Рабочая программа учебного курса по алгебре 8 класса

                            Учебник по Алгебре за 8 класс Дорофеев Г.В. Авторы: Дорофеев Г.В. Суворова С.Б. Бунимович Е.А. Издание: 5-е изд.

                            http://www.rusdeutsch.ru/?news=2679

                            https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_мозгового_штурма

                            https://ru. wikipedia.org/wiki/Ньютон,_Исаак

                            http://math5school.ru/citation.html

                            1. Презентация к уроку Решение задач с помощью систем уравнений
                              PPTX / 88.99 Кб
                            2.  

                            Решение систем уравнений второй степени и решение задач с помощью таких систем 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком


                            Тема 8.


                            Решение систем уравнений второй степени и решение задач с помощью таких систем.


                            Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? (методы сложения, подстановки, графический)


                            Каким способом можно решить систему, одно из уравнений которой – уравнение второй степени?


                            Такие системы всегда можно решить способом подстановки. Для этого поступают следующим образом:


                            1. Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

                            2. Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

                            3. Решают получившееся уравнение с одной переменной;

                            4. Находят соответствующие значения второй переменной.


                            Рассмотрим пример:


                            Решим систему уравнений:


                            x2+y=14,y-x=8;


                            Выразим из первого уравнения переменную y и подставим во второе:


                            y=14-x2,14-x2-x=8;


                            Решим второе уравнение, относительно х:


                            x2 + x — 6 = 0, корни которого равны (– 3) и 2.


                            Вернемся к системе:


                            x1=-3,y1=14—32;


                            x1=-3,y1=14—32;


                            x1=-3,y1=5;


                            x2=2,y2=10;


                            Рассмотрим еще один пример, решим систему


                            x2-y2=17,x-y=2;


                            Эту систему так же можно решить методом подстановки, выразив переменную x, но можно упростить первое уравнение.


                            Заметим, что левую часть первого уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов, получим:


                            x-yx+y=17,x-y=2;


                            Из второго уравнения разность xy = 2. Поэтому вместо первой скобки в первое уравнение подставим число 2, получим:


                            2x+y=17,x-y=2;


                            2x+y=17,x-y=2;


                            Разделим обе части первого уравнения на 2, получим:


                            x+y=8,5,x-y=2;


                            А эту систему давай решим методом сложения, сложим два уравнения, а затем из первого уравнения вычтем второе, получим:


                            2x=10,5,2y=6,5;


                            x=5,25,y=3,25.


                            А теперь решим несколько задач с помощью систем: уравнений второй системы:


                            Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.


                            Пусть число x – первое число, а y – второе число. Тогда получим:


                            x+y=12,x∙y=35;


                            Выразим из первого уравнения переменную х и подставим во второе, получим:


                            x=12-y,x∙y=35;


                            x=12-y,12-yy=35;


                            Решим уравнение:


                            12yy2 — 35 = 0


                            y2 — 12y + 35 = 0


                            Получим корни 5 и 7.


                            Возвращаемся к нашей системе:


                            y1=55x=35


                            y2=7,7x=35;


                            y1=5×1=7


                            y2=7×2=5


                            Ответ: (7;5) и (5;7)


                            Рассмотрим еще одну задачу:


                            Площадь прямоугольного треугольника равен 24 см2, а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?


                            Пусть a – длина одного катета, а b – длина второго катета.


                            Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника и теорему Пифагора:


                            Итак, площадь равна половине произведения катетов.


                            А квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:


                            12ab=24a2+b2=100


                            Решим эту систему, первое уравнение домножим на 2, получим:


                            ab=48a2+b2=100


                            Выразим переменную а из первого уравнения и подставим во второе, получим:


                            a=48b48b2+b2=100


                            Решим второе уравнение системы:


                            2304b2+b2-100=0,


                            b4-100b2+2304=0, решим это биквадратное уравнение:


                            Пусть b2 = t, тогда получим:


                            t2 — 100t + 2304 = 0, отсюда


                            t1 = 64, t2 = 36


                            Возвращаемся к нашей замене, получим:


                            b1,2=±8,b3,4=±6, так как b – это длина катета, то она не может быть отрицательной, следовательно, b равно 6 или 8, тогда второй катет равен 8 или 6 соответственно.

                            Презентация по алгебре 8 класс «Решение систем уравнений»


                            Просмотр содержимого документа

                            «Презентация по алгебре 8 класс «Решение систем уравнений»»

                            Системы уравнений

                            Подготовила ученица 9 «Б» класса Товмасян лусине

                            Содержание

                            • Теория
                            • Задачи и решения
                            • Решение сложением
                            • Решение подстановкой
                            • Решение графическим способом

                            3. Источники

                            Теория

                            Система уравнений  — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. У меня речь пойдет о решении систем линейных уравнений.

                            Систему уравнений можно решить несколькими способами: сложением, подстановкой и графическим образом.

                            Вот пример системы, состоящей из трех уравнений с тремя переменными:

                            Решение сложением

                            Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x, y методом сложения:

                            • Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
                            • Сложить или вычесть уравнения
                            • Решить полученное уравнение с одной переменной
                            • Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное
                            • Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

                            Решение сложением

                            Даны две системы:

                            Решение подстановкой

                            Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными х, у методом подстановки:

                            • Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы(более простого)
                            • Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы
                            • Решить полученное уравнение и найти одну из переменных
                            • Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге, найти вторую переменную
                            • Записать ответ в виде пар значений, например, (х;у)

                            Решение методом подстановки

                            Даны две системы:

                            ПРИВЕДЕНО РЕШЕНИЕ:

                            ЕЩЕ НЕМНОГО СИСТЕМ, УЖЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ

                            Решение графическим способом

                            Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными х, у графическим методом:

                            • Строим график первого уравнения
                            • Строим график второго уравнения
                            • Находим точки(точку) пересечения графиков. Координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений)

                            Системы с квадратичными функциями

                            Спасибо за внимание

                            Источники

                            https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_% D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9

                            https:// www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/sistemy-uravnenii-9129/metody-resheniia-sistem-uravnenii-9131/re-af2f3599-d5c4-489e-9c62-a401c8ca3a14

                            https:// www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/sistemy-uravnenii-9129/metody-resheniia-sistem-uravnenii-9131/re-4201126f-025e-4aa8-9394-07db91dae861

                            https:// www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/sistemy-uravnenii-9129/metody-resheniia-sistem-uravnenii-9131/re-0f129c21-19e9-4b4d-8f10-6d9a91a4a518

                            https:// math-oge.sdamgia.ru

                            Системы уравнений повышенной сложности

                            Примеры решения задач


                             

                            Пример 1.   Решить систему уравнений

                             

                                                        (1)

                             

                            Решение. Если обозначить  , то из первого уравнения системы (1) следует, что  , где  .  Так как положительный корень  , то  и имеет место система уравнений

                                                              (2)

                            Так как  , то из второго уравнения системы (2) следует    или  . Корнями квадратного уравнения являются    и .

                            Поскольку   , то    и .

                            Ответ:  ,  ,  ,  .

                             

                            Пример 2.   Решить систему уравнений

                             

                                                          (3)

                             

                            Решение. Если сложить оба уравнения системы (3), то получим

                              или   .

                            Если из первого уравнения системы (3) вычесть второе уравнение, то    или  .

                            Так как    и , то    и . Отсюда следует, что    и .

                            Ответ:  , .

                            Пример 3.  Решить систему уравнений

                             

                                                                     (4)

                             


                            Решение. Так как в систему уравнений (4) переменные   и входят симметрично, то для ее решения целесообразно воспользоваться универсальной заменой переменных, которая заключается в использовании формул    и .

                            Выполним следующие равносильные преобразования системы уравнений (4):

                             

                                                                   (5)


                            Если в первое уравнение системы (5) подставить , то получим уравнение  , из которого следует   или , .  Поскольку  , то    и .

                            Однако    и , поэтому здесь необходимо решить две системы уравнений     и  

                            Из первой системы получаем  ,  и , , а вторая система уравнений является несовместной.

                            Ответ:  , , , .


                            Пример 4.  Решить систему уравнений

                             

                                                                  (6)

                             


                            Решение.  Первое уравнение системы (6) умножим на 4, а затем вычтем его из второго уравнения. Тогда получим

                            .

                            Отсюда вытекает уравнение , корнями которого являются . Найденные значения переменных    подставим в уравнения системы (6) и убедимся в том, что эти значения являются ее корнями.

                            Ответ:  


                            Пример 5.   Решить систему уравнений

                             

                                                           (7)

                            Решение. Так как из второго уравнения системы (7) вытекает  , то . Однако , поэтому здесь имеем неравенство .  Отсюда и из первого уравнения системы (7) следует, что  

                            ,    или  , .

                            Подставляя найденные значения и во второе уравнение системы (7), убеждаемся в том, что они являются корнями системы уравнений.


                            Ответ: , .


                             

                            Пример 6.   Решить систему уравнений

                                                                      (8)

                             

                            Решение. Наличие уравнения предоставляет возможность обозначить    и , где  . В таком случае первое уравнение системы (8) примет вид  

                            .                                  (9)

                                

                            Из  уравнения (9) следует, что  . В этой связи обе части уравнения (9) разделим на  и получим равносильное уравнение  .

                            Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой    и получим     или

                             

                            ,                                           (10)

                             

                            где  .  Первый корень    уравнения (10) находим подбором.

                            Так как и уравнение   не имеет действительных корней (дискриминант отрицательный), то уравнение (10) имеет единственный корень  .

                            Поскольку     и , то    и .

                            Однако    и , поэтому система уравнений (10) имеет две пары корней    и .  

                             

                            Ответ:  ,  , ,  .

                             

                            Пример 7.   Решить систему уравнений

                             

                                                                  (11)

                             


                            Решение. Выполним преобразование уравнений системы (11), суть которое состоит в том, что к обеим частям каждого уравнения добавляется единица. Тогда получим систему уравнений  

                                                                  (12)


                            Если перемножить уравнения системы (12), то получим


                             или  .


                            Пусть  . Тогда данное выражение разделим поочередно на третье, второе и первое уравнения системы (12) и получим  ,  ,  или  ,  , .

                            Пусть . Тогда  повторим приведенную выше процедуру и получим , , или , , .

                              Ответ: , , , , , .  

                             

                            Пример  8.  Решить систему уравнений

                             

                                                                   (13)

                             

                            Решение. Первое уравнение системы умножим на , второе – на , а третье – на . Если затем сложить левые и правые части полученных уравнений, то  .  

                            Если первое, второе и третье уравнения системы (13) умножить, соответственно, на , и , то после сложения левых и правых частей уравнений получим .

                            Если систему уравнений 

                             

                             решить относительно переменных    и ,  то    и .  

                            Подставим выражения и в первое уравнение системы (13) и получим  ,    или    и .

                            Так как    и , то  ,  и , .

                             

                            Ответ:  , , , , , .   


                            Пример 9.  Решить систему уравнений

                                                                     (14)

                             

                            Решение. Введем в рассмотрение функцию . В таком случае система уравнений (14) принимает вид

                            Из приведенной выше системы уравнений вытекает функциональное уравнение вида

                            ,                                          (15)

                            где  .

                            Так как функции является (строго) возрастающей на всей положительной полуоси , то согласно методу решения функциональных уравнений, можно утверждать, что уравнение (15) равносильно уравнению  .

                            В этой связи здесь можно записать иррациональное уравнение , которое имеет единственный подходящий корень  .

                            Поскольку система уравнений (14) является симметрической (относительно вхождения переменных ) и известно, что – единственный корень системы, то    и .

                            Ответ:  , , .


                            Пример 10.   Решить систему уравнений

                             

                                                                     (16)

                             

                            Решение. Первоначально сложим уравнения системы (16) и подучим уравнение . Затем из данного уравнения вычтем поочередно уравнения системы (16) и запишем систему уравнений

                                                                           (17)

                            После этого перемножим уравнения системы (17) и получим уравнение  или    .  Рассмотрим два случая.  

                            Пусть  , тогда разделим поочередно на уравнения системы (17) и получим  ,  и .

                            Если  ,  то  ,  и .

                            Ответ:  , , ,  , , .

                            Пример 11.   Решить систему уравнений

                             

                                             

                            при условии, что  .              

                             


                            Решение. Заданная система уравнений равносильна системе

                                                                   (18)

                            Если перемножить между собой левые и правые части уравнений системы (16) и при этом обозначить  , то получим

                             или

                            .                                    (19)

                            Так как по условию , то здесь  . Уравнение (19) имеет единственный положительный корень  .

                            Если значение   подставить в уравнения системы (18), то получим  ,  и , т.е.  ,  и .

                            Ответ: , , .


                            Пример 12.   Решить систему уравнений

                                                                           (20)

                                       


                            Решение. Если вычесть первое уравнение системы (20) из остальных двух уравнений системы, то

                            Отсюда следует, что для отыскания корней системы уравнений (20) необходимо рассмотреть четыре системы уравнений

                                             

                            Решая приведенные выше системы уравнений, получаем корни системы уравнений (20).

                            Ответ:  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  ,  ,  ,  ,  , ,  ,  .   

                            Для более глубокого изучения методов решения систем уравнений (повышенной сложности) можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.  


                            Рекомендуемая литература

                            1. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: Задачи повышенной сложности (333 задачи с подробными решениями). – М.: Ленанд / URSS, 2018.

                            2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач (400 задач с подробными решениями). – М.: Ленанд / URSS, 2018.

                            3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения уравнений повышенной сложности (180 уравнений с подробными решениями). – М.: Ленанд / URSS, 2018.

                            4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: Дополнительные разделы школьной программы (300 задач с подробными решениями). –  М.: Ленанд / URSS, 2018.

                            Системы линейных уравнений

                            Линейное уравнение — это уравнение для линии .

                            Линейное уравнение не всегда имеет вид y = 3,5 — 0,5x ,

                            Также может иметь вид y = 0,5 (7 — x)

                            Или как y + 0,5x = 3,5

                            Или как y + 0,5x — 3,5 = 0 и более.

                            (Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)

                            Система линейных уравнений — это когда у нас есть два или более линейных уравнения , работающих вместе.

                            Пример: Вот два линейных уравнения:

                            Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.

                            Сможете ли вы сами определить значения x и y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)

                            Попробуем построить и решить реальный пример:

                            Пример: вы против лошади

                            Это гонка!

                            Вы можете бегать 0,2 км каждую минуту.

                            Лошадь может бегать 0.5 км каждую минуту. Но оседлать лошадь нужно за 6 минут.

                            Как далеко вы можете уйти, прежде чем лошадь вас поймает?

                            Мы можем составить из двух уравнений ( d = расстояние в км, t = время в минутах)

                            • Вы бежите со скоростью 0,2 км каждую минуту, поэтому d = 0,2 т
                            • Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы берем на ее время 6: d = 0,5 (t − 6)

                            Итак, у нас есть система уравнений (это линейных ):

                            Решаем на графике:

                            Вы видите, как лошадь начинает через 6 минут, а потом бежит быстрее?

                            Кажется, тебя поймают через 10 минут. .. ты всего в 2 км.

                            В следующий раз беги быстрее.

                            Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.

                            Давайте продолжим узнавать о них больше ….

                            Решение

                            Существует множество способов решения линейных уравнений!

                            Давайте посмотрим на другой пример:

                            Пример: Решите эти два уравнения:

                            На этом графике показаны два уравнения:

                            Наша задача — найти место пересечения двух линий.

                            Ну, мы видим, где они пересекаются, так что это уже решено графически.

                            А теперь давайте решим это с помощью алгебры!

                            Хммм … как это решить? Способов может быть много! В этом случае в обоих уравнениях есть «y», поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:

                            x + y — (−3x + y) = 6 — 2

                            А теперь упростим:

                            х + у + 3х — у = 6-2

                            4x = 4

                            х = 1

                            Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке x = 1 .

                            И мы можем найти совпадающее значение y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одинаковое значение при x = 1). Воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):

                            х + у = 6

                            1 + у = 6

                            г = 5

                            И решение:

                            x = 1 и y = 5

                            И график показывает, что мы правы!

                            Линейные уравнения

                            В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. Нет x 2 , y 3 , √x и т. Д. :

                            Линейное против нелинейного

                            Размеры

                            Линейное уравнение может быть в 2 измерениях …
                            (например, x и y )
                            … или в 3-х измерениях …
                            (делает самолет)
                            … или 4 размера …
                            . .. или больше!

                            Общие переменные

                            Чтобы уравнения «работали вместе», они разделяют одну или несколько переменных:

                            Система уравнений состоит из двух или более уравнений в одной или нескольких переменных

                            Множество переменных

                            Таким образом, Система уравнений может иметь многих уравнений и многих переменных.

                            Пример: 3 уравнения с 3 переменными

                            2x + года 2z = 3
                            x года z = 0
                            x + года + 3z = 12

                            Может быть любая комбинация:

                            • 2 уравнения с 3-мя переменными,
                            • 6 уравнений с 4 переменными,
                            • 9000 уравнений в 567 переменных,
                            • и др.

                            Решения

                            Когда количество уравнений равно , то же , что и количество переменных, , вероятно, будет решением. Не гарантировано, но вероятно.

                            На самом деле есть только три возможных случая:

                            • Нет раствор
                            • Одно решение
                            • Бесконечно много решений

                            Когда нет решения , уравнения называются «несовместимыми» .

                            Одно или бесконечно много решений называются «согласованными»

                            Вот диаграмма для 2 уравнения с 2 переменными :

                            Независимая

                            «Независимый» означает, что каждое уравнение дает новую информацию.
                            В противном случае это «Зависимые» .

                            Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость»

                            Пример:

                            Эти уравнения — «Зависимые» , потому что они на самом деле то же уравнение , только умноженное на 2.

                            Итак, второе уравнение не дало новой информации .

                            Где верны уравнения

                            Уловка состоит в том, чтобы найти, где , все уравнений являются истинными одновременно .

                            Верно? Что это значит?

                            Пример: вы против лошади

                            Линия «ты» истинна по всей ее длине (но больше нигде).

                            В любом месте этой строки d равно 0.2т

                            • при t = 5 и d = 1 уравнение истинно (d = 0,2t? Да, поскольку 1 = 0,2 × 5 верно)
                            • при t = 5 и d = 3 уравнение неверно (Является ли d = 0,2t? Нет, поскольку 3 = 0,2 × 5 неверно )

                            Точно так же «конская» линия также истинна по всей своей длине (но больше нигде).

                            Но только в точке, где они пересекают (при t = 10, d = 2), оба являются истинными .

                            Значит, они должны выполняться одновременно

                            … поэтому некоторые люди называют их «Одновременные линейные уравнения»

                            Решить с помощью алгебры

                            Для их решения принято использовать алгебру.

                            Вот пример «Лошади», решенный с помощью алгебры:

                            Пример: вы против лошади

                            Система уравнений:

                            В этом случае кажется самым простым приравнять их друг другу:

                            d = 0.2т = 0,5 (т − 6)

                            Начать с : 0,2t = 0,5 (t — 6)

                            Расширить 0,5 (t − 6) : 0,2t = 0,5t — 3

                            Вычтем 0,5t с обеих сторон: −0,3t = −3

                            Разделим обе части на −0,3 : t = −3 / −0,3 = 10 минут

                            Теперь мы знаем , когда тебя поймают!

                            Зная t , мы можем вычислить d : d = 0,2t = 0,2 × 10 = 2 км

                            И наше решение:

                            t = 10 минут и d = 2 км

                            Алгебра против графиков

                            Зачем использовать алгебру, если графики настолько просты? Потому что:

                            Более 2 переменных не могут быть решены с помощью простого графика.

                            Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:

                            • Решение заменой
                            • Решение методом исключения

                            Мы увидим каждую с примерами по 2 переменным и 3 переменным. Вот и …

                            Решение заменой

                            Это шаги:

                            • Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»
                            • Заменить (т.е. заменить) эту переменную в другое уравнение (а).
                            • Решите другое уравнение (а)
                            • (при необходимости повторить)

                            Вот пример с 2 уравнениями с 2 переменными :

                            Пример:

                            Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной .

                            Воспользуемся вторым уравнением и переменной «y» (это выглядит как простейшее уравнение).

                            Напишите одно из уравнений в стиле «переменная =»… «:

                            Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить y = 8 — x . Теперь наши уравнения выглядят так:

                            Теперь замените «y» на «8 — x» в другом уравнении:

                            • 3x + 2 (8 — x) = 19
                            • у = 8 — х

                            Решите, используя обычные методы алгебры:

                            Развернуть 2 (8 − x) :

                            • 3x + 16 — 2x = 19
                            • у = 8 — х

                            Тогда 3x − 2x = x :

                            И на последок 19-16 = 3

                            Теперь мы знаем, что такое x , мы можем поместить его в уравнение y = 8 — x :

                            И ответ:

                            х = 3
                            у = 5

                            Примечание: поскольку — это решение, уравнения «непротиворечивы»

                            Проверка: почему бы вам не проверить, работают ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?

                            Решение подстановкой: 3 уравнения с 3 переменными

                            ОК! Давайте перейдем к длинному примеру : 3 уравнения с 3 переменными .

                            Это несложно, сделать … просто занимает много времени !

                            Пример:

                            • х + г = 6
                            • z — 3y = 7
                            • 2x + y + 3z = 15

                            Мы должны аккуратно выровнять переменные, иначе мы потеряем из виду, что делаем:

                            x + z = 6
                            3 года + z = 7
                            2x + года + 3z = 15

                            WeI может начать с любого уравнения и любой переменной.Воспользуемся первым уравнением и переменной «x».

                            Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:

                            x = 6 — z
                            3 года + z = 7
                            2x + года + 3z = 15

                            Теперь замените «x» на «6 — z» в других уравнениях:

                            (К счастью, есть только одно уравнение с x в нем)

                            х = 6 — z
                            3 года + z = 7
                            2 (6-z) + года + 3z = 15

                            Решите, используя обычные методы алгебры:

                            2 (6 − z) + y + 3z = 15 упрощается до y + z = 3 :

                            x = 6 — z
                            3 года + z = 7
                            года + z = 3

                            Хорошо.Мы добились некоторого прогресса, но пока не достигли этого.

                            Теперь повторите процесс , но только для последних 2 уравнений.

                            Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:

                            Выберем последнее уравнение и переменную z:

                            x = 6 — z
                            3 года + z = 7
                            z = 3 — х лет

                            Теперь замените «z» на «3 — y» в другом уравнении:

                            x = 6 — z
                            3 года + 3 — х лет = 7
                            z = 3-й год

                            Решите, используя обычные методы алгебры:

                            −3y + (3 − y) = 7 упрощается до −4y = 4 , или другими словами y = −1

                            x = 6 — z
                            л = -1
                            z = 3-й год

                            Почти готово!

                            Зная, что y = −1 , мы можем вычислить, что z = 3 − y = 4 :

                            x = 6 — z
                            года = -1
                            z = 4

                            И зная, что z = 4 , мы можем вычислить, что x = 6 − z = 2 :

                            x = 2
                            года = -1
                            z = 4

                            И ответ:

                            х = 2
                            у = -1
                            г = 4

                            Проверка: проверьте сами.

                            Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных … просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока она не будет решена.

                            Заключение: Замена работает хорошо, но требует много времени.

                            Решение путем исключения

                            Уничтожение может быть быстрее … но должно быть аккуратным.

                            «Исключить» означает удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.

                            По идее, мы можем безопасно :

                            • умножить уравнение на константу (кроме нуля),
                            • прибавить (или вычесть) уравнение к другому уравнению

                            Как в этих примерах:

                            ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг в друга?

                            Представьте себе два действительно простых уравнения:

                            х — 5 = 3
                            5 = 5

                            Мы можем добавить «5 = 5» к «x — 5 = 3»:

                            х — 5 + 5 = 3 + 5
                            х = 8

                            Попробуйте сами, но используйте 5 = 3 + 2 в качестве второго уравнения

                            Он по-прежнему будет работать нормально, потому что обе стороны равны (для этого стоит знак =!)

                            Мы также можем поменять местами уравнения, чтобы первое могло стать вторым и т. Д., Если это поможет.

                            Хорошо, время для полного примера. Давайте использовать 2 уравнения с 2 переменными , пример из предыдущего:

                            Пример:

                            Очень важно, чтобы все было в порядке:

                            3x + 2 года = 19
                            x + года = 8

                            Сейчас… наша цель — исключить переменную из уравнения.

                            Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.

                            Умножьте второе уравнение на 2:

                            .

                            3x + 2 года = 19
                            2 x + 2 л = 16

                            Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

                            x = 3
                            2x + 2 года = 16

                            Ура! Теперь мы знаем, что такое x!

                            Затем мы видим, что во втором уравнении есть «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:

                            Умножьте второе уравнение на ½ (т.е.е. разделить на 2):

                            x = 3
                            x + л = 8

                            Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

                            x = 3
                            л = 5

                            Готово!

                            И ответ:

                            x = 3 и y = 5

                            А вот график:

                            Синяя линия — это где 3x + 2y = 19 истинно

                            Красная линия — это где x + y = 8 истинно

                            При x = 3, y = 5 (где линии пересекаются) они равны , оба истинны. Это и есть ответ.

                            Вот еще один пример:

                            Пример:

                            • 2x — y = 4
                            • 6x — 3y = 3

                            Разложите аккуратно:

                            2x года = 4
                            6x 3 года = 3

                            Умножьте первое уравнение на 3:

                            6x 3 года = 12
                            6x 3 года = 3

                            Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

                            0 0 = 9
                            6x 3 года = 3

                            0-0 = 9 ???

                            Что здесь происходит?

                            Все просто, решения нет.

                            На самом деле это параллельные линии:

                            И на последок:

                            Пример:

                            • 2x — y = 4
                            • 6x — 3y = 12

                            Аккуратно:

                            2x года = 4
                            6x 3 года = 12

                            Умножьте первое уравнение на 3:

                            6x 3 года = 12
                            6x 3 года = 12

                            Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

                            0 0 = 0
                            6x 3 года = 3

                            0 — 0 = 0

                            Ну, это на самом деле ИСТИНА! Ноль действительно равен нулю…

                            … это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение …

                            … так что существует бесконечное количество решений

                            Это одна и та же строка:

                            Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:

                            • Нет раствор
                            • Одно решение
                            • Бесконечно много решений

                            Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными

                            Прежде чем мы начнем со следующего примера, давайте рассмотрим улучшенный способ решения задач.

                            Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью ошибемся.

                            Прежде всего, удалите переменные в порядке :

                            .

                            • Сначала удалите x с (из уравнений 2 и 3, по порядку)
                            • , затем исключите y (из уравнения 3)

                            Вот как мы их устраняем:

                            У нас есть «форма треугольника»:

                            Теперь начните снизу и вернитесь к (так называемая «обратная подстановка»)
                            (введите z , чтобы найти y , затем z и y , чтобы найти x ):

                            И решаемся:

                            ТАКЖЕ, мы обнаружим, что легче выполнить примерно вычислений в уме или на бумаге для заметок, чем всегда работать в рамках системы уравнений:

                            Пример:

                            • х + у + г = 6
                            • 2y + 5z = −4
                            • 2x + 5y — z = 27

                            Аккуратно написано:

                            x + года + z = 6
                            2 года + 5z = −4
                            2x + 5лет z = 27

                            Сначала удалите x из 2-го и 3-го уравнения.

                            Во втором уравнении нет x … переходите к третьему уравнению:

                            Вычтите 2 раза 1-е уравнение из 3-го уравнения (просто проделайте это в уме или на бумаге для заметок):

                            И получаем:

                            x + года + z = 6
                            2 года + 5z = −4
                            3 года 3z = 15

                            Затем удалите y из 3-го уравнения.

                            Мы могли бы вычесть 1½ раза 2-е уравнение из 3-го уравнения (потому что 1½ раза 2 равно 3) …

                            … но мы можем избежать дробей , если мы:

                            • умножьте третье уравнение на 2 и
                            • умножьте 2-е уравнение на 3

                            и , затем выполняют вычитание … вот так:

                            И в итоге получаем:

                            x + года + z = 6
                            2 года + 5z = −4
                            z = −2

                            Теперь у нас есть «треугольная форма»!

                            Теперь вернемся снова вверх «с ​​обратной заменой»:

                            Мы знаем z , поэтому 2y + 5z = −4 становится 2y − 10 = −4 , тогда 2y = 6 , поэтому y = 3 :

                            x + года + z = 6
                            л = 3
                            z = −2

                            Тогда x + y + z = 6 становится x + 3−2 = 6 , поэтому x = 6−3 + 2 = 5

                            x = 5
                            года = 3
                            z = −2

                            И ответ:

                            x = 5
                            y = 3
                            z = −2

                            Проверка: проверьте сами.

                            Общий совет

                            Когда вы привыкнете к методу исключения, он станет проще, чем замена, потому что вы просто выполняете шаги, и ответы появляются.

                            Но иногда замена может дать более быстрый результат.

                            • Замена часто проще для небольших случаев (например, 2 уравнения, а иногда и 3 уравнения)
                            • Устранение проще для больших корпусов

                            И всегда полезно сначала просмотреть уравнения, чтобы увидеть, есть ли простой ярлык… так что опыт помогает.

                            Систем линейных уравнений: Примеры


                            Системы
                            линейных уравнений: примеры
                            (стр.
                            7 из 7)

                            Разделы: Определения,
                            Решение по графику, Подстановка,
                            Исключение / добавление по Гауссу
                            устранение.


                            Хотя системы математического класса обычно имеют целочисленные решения, иногда (особенно для задач со словами) вы увидите решения, включающие дроби.

                            • Решите следующие проблемы
                              система уравнений с использованием исключения Гаусса:
                            • думаю воспользуюсь первым
                              ряд, чтобы убрать x -термов
                              со второго и третьего рядов:

                              Технически я должен сейчас
                              разделите первую строку на 2, чтобы
                              получить ведущую 1,
                              но это даст мне дроби, и я бы хотел избегать этого до тех пор, пока
                              насколько возможно.Вместо этого я перейду к использованию второй строки, чтобы очистить
                              из у -срок
                              из третьего ряда:

                              Я могу разделить третий
                              ряд по 4:

                              Чтобы быть технически правильным,
                              Теперь я разделю вторую строку на 5 и
                              первый ряд по 2:

                              (Вы можете проверить
                              с вашим инструктором относительно того, насколько он будет внимательным
                              правильная форма.Вы «должны» показать все единицы
                              для ведущих коэффициентов, или допустимо избегать дробей?)

                              Обратное решение, я получаю:

                              Тогда решение
                              ( х ,
                              y , z ) = ( 3 / 10 ,
                              2 / 5 ,
                              0)
                              .

                            Предупреждение: пока я не показал свою царапину
                            поработав над этой последней проблемой, мне пришлось делать скретч. Пожалуйста, используйте
                            бумага для заметок и выписывать; не пытайтесь делать это в своем
                            глава; существует слишком много возможностей для ошибок. (Я хочу
                            знаете, сколько ошибок я допустил при написании этого урока? Даже не получить
                            меня завел!)

                            Вот еще один пример:

                            • Решите следующие проблемы
                              система:
                            • думаю воспользуюсь вторым
                              ряд для работы на x -термс
                              в первом и третьем рядах.Я смогу убрать третий ряд,
                              и я смогу произвести 1 x
                              как ведущий термин в
                              Первая строка. Это позволит мне завершить работу по очистке
                              x — столбец,
                              и я смогу это сделать, не имея дела с дробями:

                              (Многие инструкторы
                              научит вас всегда делить на одну из строк, чтобы получить ведущую
                              коэффициент 1,
                              но я бы предпочел сделать один или два дополнительных шага и использовать добавление, чтобы получить
                              ведущий 1.Это просто личное предпочтение, но я уверен, что вы видите преимущество
                              как можно дольше избегать дробей. Это действительно может сократить
                              по ошибкам вычислений.)

                              Сейчас воспользуюсь этим красивым
                              ведущий x дюйм
                              первую строку, чтобы убрать ведущий член во второй строке. Пока
                              Я на нем, еще третий ряд делю на 6,
                              чтобы получить меньшие числа:

                              Хм… Второй и
                              третьи ряды такие же. Я могу использовать вторую строку, чтобы убрать третью
                              строка целиком: Авторские права
                              Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

                              Вспоминая
                              регистр с двумя переменными, получая строку вида «0»
                              = 0 «(что
                              верно, но бесполезно) означает, что это зависимая система, и
                              решение будет содержать переменные.Если вы попадете в линейную алгебру
                              много, вы узнаете, что ответ выше означает, что решение
                              представляет собой линию в трехмерном пространстве, а не отдельную точку. Для
                              Теперь все, что вам нужно знать, это как написать решение. Чтобы найти
                              решение, мне нужно решить два оставшихся уравнения для x и
                              y дюйм
                              условия z :

                                x
                                z = 2
                                x = z 2

                                y
                                3 z = 4
                                y = 3 z 4

                                ( x ,
                                y , z ) = ( t
                                2, 3 т 4, т )

                            Помните, что ваша книга может
                            используйте переменную, отличную от « t «,
                            и что t — это
                            просто стояла за з .Эта форма решения просто говорит, что z является
                            какое бы значение вы ни выбрали, тогда x будет
                            на два меньше, и y равно
                            на четыре меньше, чем в три раза больше, чем z .


                            • Решите следующие проблемы
                              система уравнений:
                            • Вы должны получить
                              К настоящему времени все повисло, поэтому я просто покажу шаги, которые я использовал:

                              Как только получаю ерунду
                              строка (например, «0
                              = 1 «), я знаю
                              что это несовместимая система, и я могу бросить.

                            Помните разницу между
                            два особых случая: тривиальная строка (например, «0
                            = 0 «) означает, что вы
                            иметь зависимую систему с решением, содержащим переменные; бессмысленный
                            строка (например, «0
                            = 1 «) означает, что вы
                            иметь несовместимую систему без какого-либо решения. Не путайте
                            эти; это (Внимание!) общие вопросы с подвохом на тестах.

                            В зависимости от курса,
                            теперь вы можете перейти к использованию матриц
                            для решения систем уравнений.Если вы это сделаете, методы, которые вы будете изучать для матриц, скорее всего, будут
                            быть очень похожим на то, что вы видели на этом уроке.

                            << Предыдущая Вверх | 1
                            | 2 | 3 | 4
                            | 5 | 6 | 7
                            |
                            Вернуться к индексу

                            Цитируйте эту статью
                            как:

                            Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: примеры». Пурпур .
                            Доступно по номеру
                            https://www.purplemath.com/modules/systlin7.htm .
                            Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

                            Решение систем линейных уравнений

                            А

                            система

                            линейные уравнения

                            представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

                            В двух переменных

                            (

                            Икс

                            а также

                            y

                            )

                            , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

                            Есть три возможности:

                            • Линии пересекаются в нулевых точках. (Линии параллельны.)
                            • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
                            • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)


                            Нулевые решения:

                            y

                            знак равно

                            2

                            Икс

                            +

                            4

                            y

                            знак равно

                            2

                            Икс

                            3


                            Одно решение:

                            y

                            знак равно

                            0.5

                            Икс

                            +

                            2

                            y

                            знак равно

                            2

                            Икс

                            3


                            Бесконечно много решений:

                            y

                            знак равно

                            2

                            Икс

                            4

                            y

                            +

                            4

                            знак равно

                            2

                            Икс

                            Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

                            1. Графический метод

                              .

                              Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!

                            2. См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка

                              (

                              2

                              ,

                              1

                              )

                              .

                            3. Метод замены

                              .

                              Сначала решите одно линейное уравнение относительно

                              y

                              с точки зрения

                              Икс

                              . Затем замените это выражение на

                              y

                              в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в

                              Икс

                              . Решите это, и у вас будет

                              Икс

                              -координата перекрестка. Затем подключите

                              Икс

                              к любому уравнению, чтобы найти соответствующее

                              y

                              -координат.(Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для

                              Икс

                              с точки зрения

                              y

                              , тоже — такая же разница!)


                            4. Пример 1:

                              Решите систему

                              {

                              3

                              Икс

                              +

                              2

                              y

                              знак равно

                              16

                              7

                              Икс

                              +

                              y

                              знак равно

                              19

                                Решите второе уравнение относительно

                                y

                                .

                                y

                                знак равно

                                19

                                7

                                Икс

                                Заменять

                                19

                                7

                                Икс

                                для

                                y

                                в первом уравнении и решите относительно

                                Икс

                                .

                                3

                                Икс

                                +

                                2

                                (

                                19

                                7

                                Икс

                                )

                                знак равно

                                16

                                3

                                Икс

                                +

                                38

                                14

                                Икс

                                знак равно

                                16

                                11

                                Икс

                                знак равно

                                22

                                Икс

                                знак равно

                                2

                                Заменять

                                2

                                для

                                Икс

                                в

                                y

                                знак равно

                                19

                                7

                                Икс

                                и решить для

                                y

                                .

                                y

                                знак равно

                                19

                                7

                                (

                                2

                                )

                                y

                                знак равно

                                5

                                Решение

                                (

                                2

                                ,

                                5

                                )

                                .

                            5. Метод линейной комбинации

                              , иначе


                              Метод сложения

                              , иначе


                              Метод исключения.

                              Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо

                              Икс

                              -термы или

                              y

                              -условия аннулируются.Затем решите для

                              Икс

                              (или же

                              y

                              , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.


                            6. Пример 2:

                              Решите систему

                              {

                              4

                              Икс

                              +

                              3

                              y

                              знак равно

                              2

                              8

                              Икс

                              2

                              y

                              знак равно

                              12

                                Умножьте первое уравнение на

                                2

                                и добавьте результат ко второму уравнению.

                                8

                                Икс

                                6

                                y

                                знак равно

                                4

                                8

                                Икс

                                2

                                y

                                знак равно

                                12

                                _

                                8

                                y

                                знак равно

                                16

                                Решить для

                                y

                                .

                                y

                                знак равно

                                2

                                Замена для

                                y

                                в любом из исходных уравнений и решите относительно

                                Икс

                                .

                                4

                                Икс

                                +

                                3

                                (

                                2

                                )

                                знак равно

                                2

                                4

                                Икс

                                6

                                знак равно

                                2

                                4

                                Икс

                                знак равно

                                4

                                Икс

                                знак равно

                                1

                                Решение

                                (

                                1

                                ,

                                2

                                )

                                .

                            7. Матричный метод

                              .

                              На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.


                            Решения для систем линейных уравнений

                            Результаты обучения

                            • Определить решения систем уравнений
                            • Решите системы уравнений, построив графики

                            Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Но даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

                            В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, каждое из которых содержит две разные переменные.Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

                            [латекс] \ begin {array} {l} 2x + y = \ text {} 15 \\ 3x-y = \ text {} 5 \ end {array} [/ latex]

                            Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4, 7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.Вскоре мы исследуем способы нахождения такого решения, если оно существует.

                            [латекс] \ begin {array} {l} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) = 15 \ text {} \ text {True} \ hfill \\ 3 \ left (4 \ right ) — \ left (7 \ right) = 5 \ text {} \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

                            Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. Согласованная система уравнений имеет по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, подобное примеру, который мы только что исследовали.Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые перехваты y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

                            Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

                            Общее примечание: Типы линейных систем

                            Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

                            • Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
                            • Непоследовательная система не имеет решения. Две линии параллельны и никогда не пересекаются.
                            • Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

                            Ниже приведены графические изображения каждого типа системы.

                            Независимая и зависимая системы также согласованы, потому что обе имеют по крайней мере одно решение.

                            Практическое руководство. Для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

                            1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
                            2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

                            Пример

                            Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.

                            [латекс] \ begin {array} {l} x + 3y = 8 \ hfill \\ 2x — 9 = y \ hfill \ end {array} [/ latex]

                            Показать решение

                            Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

                            [латекс] \ begin {array} {ll} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) = 8 \ hfill & \ hfill \\ \ text {} 8 = 8 \ hfill & \ text { True} \ hfill \\ 2 \ left (5 \ right) -9 = \ left (1 \ right) \ hfill & \ hfill \\ \ text {} \ text {1 = 1} \ hfill & \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

                            Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.

                            Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.

                            В следующем видео мы покажем еще один пример того, как проверить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

                            Решение систем уравнений с помощью построения графиков

                            Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

                            Пример

                            Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

                            [латекс] \ begin {array} {c} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} [/ latex]

                            Показать решение

                            Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

                            [латекс] \ begin {array} {c} 2x + y = -8 \\ y = -2x — 8 \ end {array} [/ latex]

                            Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].

                            [латекс] \ begin {array} {c} x-y = -1 \\ y = x + 1 \ end {array} [/ latex]

                            Изобразите оба уравнения на одном и том же наборе осей, как показано ниже.

                            Кажется, что линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс]. Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения

                            [латекс] \ begin {array} {ll} 2 \ left (-3 \ right) + \ left (-2 \ right) = — 8 \ hfill & \ hfill \\ \ text {} -8 = -8 \ hfill & \ text {True} \ hfill \\ \ text {} \ left (-3 \ right) — \ left (-2 \ right) = — 1 \ hfill & \ hfill \\ \ text {} -1 = — 1 \ hfill & \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

                            Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], поэтому система независима.

                            Графики можно использовать, если система несовместима или зависима. В обоих случаях мы по-прежнему можем построить график системы, чтобы определить тип системы и решения. Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

                            В следующем видео мы показываем еще один пример того, как определить, есть ли в графической системе решение, и определить, какой тип решения представлен.

                            В нашем последнем видео мы показываем, как решить систему уравнений, сначала построив графики линий, а затем определив решение, которое есть у системы.

                            Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений. Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, поскольку точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраически и оцените решения, построив уравнения.Решайте простые случаи путем осмотра. Например, 3x + 2y = 5 и 3x + 2y = 6 не имеют решения, потому что 3x + 2y не могут одновременно быть 5 и 6. Решать реальные и математические задачи, приводящие к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Например, учитывая координаты двух пар точек, определите, пересекает ли линия, проходящая через первую пару точек, линию, проходящую через вторую пару.

                            Интерпретация графика:

                            Цель этого задания — помочь учащимся научиться читать информацию о функции из ее графика, попросив их показать часть графика, которая демонстрирует определенное свойство функции.Задача может быть использована для получения дополнительных инструкций по пониманию функций или в качестве инструмента оценки с оговоркой, что это требует некоторого творческого подхода, чтобы решить, как лучше всего проиллюстрировать некоторые из утверждений.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Паста из киноа 1:

                            В этом задании учащимся предлагается найти количество двух ингредиентов в смеси для макарон.Задача предоставляет всю информацию, необходимую для решения проблемы путем постановки двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Эта последовательность задач помогает различать ожидания 8-го класса и старшей школы, связанные с системами линейных уравнений.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Тарифы на сотовый телефон:

                            Это задание представляет собой реальную задачу, требующую от студентов написать линейные уравнения для моделирования различных планов сотового телефона.Глядя на графики линий в контексте планов сотовых телефонов, студенты могут связать значения точек пересечения двух линий с одновременным решением двух линейных уравнений. Студенты должны найти решение алгебраически для выполнения задачи.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Две строки:

                            В этой задаче нам дается график из двух линий, включающий координаты точки пересечения и координаты двух вертикальных пересечений, и запрашиваются соответствующие уравнения линий.Это очень простая задача, которая соединяет графики, уравнения, решения и точки пересечения.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Продажа мазута в убыток:

                            Задача представляет собой задачу моделирования, которая связана с финансовыми решениями, с которыми постоянно сталкиваются предприятия, а именно с балансом между поддержанием запасов и привлечением краткосрочного капитала для инвестиций или реинвестирования в развитие бизнеса.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Кими и Джордан:

                            Студентов просят составить и изобразить линейные уравнения, чтобы сравнить сбережения двух человек. Цель таблицы в (a) — помочь студентам заполнить (b), заметив регулярность в повторяющихся рассуждениях, необходимых для заполнения таблицы (Стандарт для математической практики).

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Ремонт печи:

                            Студентам предлагается написать уравнения для моделирования затрат на ремонт трех разных компаний и определить условия, при которых каждая компания будет наименее затратной.Это задание можно использовать как для оценки понимания учащимися систем линейных уравнений, так и для стимулирования обсуждения и размышления учащихся, которые позволят более прочно закрепить эти концепции. Решение может быть найдено несколькими способами, включая графический или алгебраический подход.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Сколько решений ?:

                            Учащемуся дается уравнение 5x-2y = 3 и просят, если возможно, написать второе линейное уравнение, создающее системы, приводящие к одному, двум, бесконечным и никаким решениям.

                            Тип: Задача по решению проблем

                            Решение систем уравнений (одновременных уравнений)

                            Если у вас есть два разных уравнения с одинаковыми двумя неизвестными в каждом, вы можете решить для обоих неизвестных. Существует три распространенных метода решения: сложение / вычитание, подстановка и построение графика.

                            Метод сложения / вычитания

                            Этот метод также известен как метод исключения.

                            Чтобы использовать метод сложения / вычитания, выполните следующие действия:

                            1. Умножьте одно или оба уравнения на некоторое число (а), чтобы число перед одной из букв (неизвестных) в каждом уравнении было одинаковым или прямо противоположным.

                            2. Сложите или вычтите два уравнения, чтобы исключить одну букву.

                            3. Решите оставшееся неизвестное.

                            4. Решите для другого неизвестного, вставив значение неизвестного, найденного в одно из исходных уравнений.

                            Пример 1

                            Решите относительно x и y .

                            При добавлении уравнений исключаются термины и .

                            Теперь добавление 5 для x в первое уравнение дает следующее:

                            Ответ: x = 5, y = 2

                            Заменяя каждое x на 5 и каждое y на 2 в исходных уравнениях, вы можете увидеть, что каждое уравнение станет истинным.

                            В примере
                            и пример
                            , существовал уникальный ответ для x и y , который делал каждое предложение истинным одновременно. В некоторых ситуациях вы не получаете однозначных ответов или вообще не получаете ответов. Вы должны знать об этом, когда используете метод сложения / вычитания.

                            Пример 2

                            Решите для x и y.

                            Сначала умножьте нижнее уравнение на 3. Теперь перед y стоит 3 в каждом уравнении.

                            Уравнения можно вычесть, исключив слагаемые y .

                            Вставьте x = 5 в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

                            Ответ: x = 5, y = 3

                            Конечно, если число перед буквой уже одно и то же в каждом уравнении, вам не нужно изменять ни одно уравнение. Просто сложите или вычтите.

                            Чтобы проверить решение, замените каждое x в каждом уравнении на 5 и замените каждое y в каждом уравнении на 3.

                            Пример 3

                            Решите для a и b .

                            Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание на то, что происходит.

                            Теперь, если вы вычтете одно уравнение из другого, результат будет 0 = 0.

                            Это утверждение всегда верно .

                            Когда это происходит, система уравнений не имеет единственного решения. Фактически, любая замена a и b , которая делает одно из уравнений истинным, также делает другое уравнение истинным.Например, если a = –6 и b = 5, то оба уравнения выполняются.

                            [3 (- 6) + 4 (5) = 2 И 6 (- 6) + 8 (5) = 4]

                            В действительности мы имеем только одно уравнение, записанное двумя разными способами. В этом случае второе уравнение фактически является первым уравнением, умноженным на 2. Решением этой ситуации является либо исходное уравнение, либо упрощенная форма любого уравнения.

                            Пример 4

                            Решите относительно x и y .

                            Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание на то, что происходит.

                            Теперь, если вы вычтите нижнее уравнение из верхнего уравнения, результат будет 0 = 1. Это утверждение никогда не соответствует действительности . Когда это происходит, система уравнений не имеет решения.

                            В примерах 1–4 только одно уравнение было умножено на число, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными. Иногда каждое уравнение необходимо умножить на разные числа, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными.

                            Решите относительно x и y .

                            Обратите внимание, что не существует простого числа, на которое можно умножить любое уравнение, чтобы получить числа перед x или y , чтобы они стали одинаковыми или противоположными. В этом случае сделайте следующее:

                            1. Выберите букву, которую нужно удалить.

                            2. Используйте две цифры слева от этой буквы. Найдите наименьшее общее кратное этого значения как желаемое число перед каждой буквой.

                            3. Определите, на какое значение необходимо умножить каждое уравнение, чтобы получить это значение, и умножьте уравнение на это число.

                            Предположим, вы хотите исключить x . Наименьшее общее кратное 3 и 5, число перед x , равно 15. Первое уравнение нужно умножить на 5, чтобы получить 15 перед x . Второе уравнение нужно умножить на 3, чтобы получить 15 перед x .

                            Теперь вычтите второе уравнение из первого, чтобы получить следующее:

                            На этом этапе вы можете либо заменить y на и решить для x (метод 1, который следует ниже), либо начать с двух исходных уравнений и исключить y , чтобы найти x (метод 2, который следует).

                            Метод 1

                            Используя верхнее уравнение: замените y на и решите относительно x .

                            Метод 2

                            Исключаем y и решаем относительно x .

                            Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12. Умножьте верхнее уравнение на 3, а нижнее уравнение на 2.

                            Теперь сложите два уравнения, чтобы исключить y .

                            Решение: x = 1 и.

                            Метод замещения

                            Иногда систему проще решить с помощью метода подстановки . Этот метод включает замену одного уравнения в другое.

                            Пример 6

                            Решите для x и y.

                            Из первого уравнения замените ( y + 8) на x во втором уравнении.

                            ( y + 8) + 3 y = 48

                            Теперь решите для г. Упростите, объединив и .

                            Теперь вставьте значение y , 10, в одно из исходных уравнений.

                            Ответ: y = 10, x = 18

                            Проверьте решение.

                            Пример 7

                            Решите относительно x и y , используя метод подстановки.

                            Сначала найдите уравнение, в котором перед буквой стоит цифра «1» или «- 1». Решите эту букву с точки зрения другой буквы.

                            Затем действуйте как в примере 6.

                            В этом примере в нижнем уравнении перед y стоит «1».

                            Решите относительно y через x .

                            Замените 4 x -17 вместо y в верхнем уравнении, а затем решите относительно x .

                            Замените x на 4 в уравнении y — 4 x = –17 и решите относительно y .

                            Решение: x = 4, y = –1.

                            Проверьте решение:

                            Графический метод

                            Другой метод решения уравнений — это построения каждого уравнения на координатном графике. Координаты перекрестка будут решением системы. Если вы не знакомы с построением координатных графиков, внимательно просмотрите статьи по координатной геометрии, прежде чем пытаться использовать этот метод.

                            Пример 8

                            Решите систему, построив график.

                            Сначала найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. (Хотя для определения прямой необходимы только две точки, поиск третьей точки — хороший способ проверки.) Ниже приведены таблицы значений x и y :

                            Теперь изобразите две линии на координатной плоскости, как показано на рисунке 1.

                            Точка пересечения двух линий (4, 0) — это решение системы.

                            Если линии параллельны, они не пересекаются, и, следовательно, для этой системы нет решения.

                            Рис. 1. График из линий x = 4 + y и x — 3 y = 4, указывающих решение.

                            Пример 9

                            Решите систему, построив график.

                            Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.

                            3 x + 4 y = 2 6 x + 8 y = 4

                            Ниже приведены таблицы значений x и y .См. Рисунок 2.

                            х

                            л

                            0

                            2

                            — 1

                            4

                            х

                            л

                            0

                            2

                            — 1

                            4

                            Обратите внимание, что одинаковые точки удовлетворяют каждому уравнению.Эти уравнения представляют собой одну и ту же линию.

                            Следовательно, решение не единственное. Решение — это все точки на линии.

                            Следовательно, решением является любое уравнение прямой, поскольку они оба представляют одну и ту же линию.

                            Это похоже на пример
                            когда это было сделано с использованием метода сложения / вычитания.

                            Рисунок 2. График из линий 3 x + 4 y = 2 и 6 x + 8 y = 4, указывающих решение.

                            Пример 10

                            Решите систему, построив график.

                            Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. См. Следующие таблицы значений x и y :

                            х

                            л

                            0

                            1

                            2

                            4

                            -2

                            х

                            л

                            0

                            2

                            2

                            4

                            –1

                            Обратите внимание на то, что на рисунке 3 два графика параллельны.Они никогда не встретятся. Следовательно, у этой системы уравнений нет решения.

                            Для этой системы уравнений не существует решения.

                            Это похоже на пример
                            выполняется методом сложения / вычитания.

                            Рисунок 3. График из линий 3 x + 4 y = 4 и 6 x + 8 y = 16, указывающих решение.

                            Промежуточная алгебра
                            Урок 19: Решение систем линейных уравнений
                            в двух переменных


                            WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

                            Цели обучения


                            По завершении этого руководства вы сможете:

                            1. Узнайте, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений
                              в
                              две переменные или нет.
                            2. Решите систему линейных уравнений от двух переменных с помощью построения графиков.
                            3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными заменой
                              метод.
                            4. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными методом исключения
                              метод.

                            Введение


                            В этом уроке мы будем специально рассматривать
                            системы, которые имеют
                            два уравнения и две неизвестные. Урок 20: Решение систем
                            Линейный
                            Уравнения в трех переменных
                            будут охватывать системы, которые имеют три
                            уравнения
                            и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных
                            способы: построение графиков, метод подстановки и метод исключения.
                            Это приведет нас к решению проблем со словами с системами, которые
                            быть
                            показано в Урок 21: Системы линейных уравнений и задачи
                            Решение
                            .
                            Вот где мы должны ответить на печально известный вопрос, когда мы будем использовать
                            это? Но сначала мы должны научиться работать с системами в
                            Генеральная.
                            Вот почему на этом этапе мы используем общие переменные, такие как x и y . Если
                            вы знаете, как это решить в целом, тогда, когда у вас есть конкретный
                            проблема
                            что вы решаете, где переменные принимают значение, такое как время или
                            Деньги
                            (две вещи, которых нам, кажется, никогда не бывает достаточно), вы будете готовы к
                            идти. Итак, давайте посмотрим на
                            системы в целом, чтобы подготовить нас к решению предстоящих проблем
                            из нас.

                            Учебник


                            Система линейных уравнений

                            Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных
                            уравнения, которые
                            решаются одновременно.

                            В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые
                            имеют только два линейных
                            уравнения и две неизвестные.

                            В общем, решение системы двух переменных
                            заказанный
                            пара, которая делает ОБЕИХ уравнения верными.

                            Другими словами, здесь пересекаются два графика,
                            что у них есть
                            в общем. Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения,
                            но
                            не другой, то это НЕ решение системы.

                            Согласованная система — это система, в которой
                            хотя бы одно решение.

                            Несогласованная система — это система, которая имеет
                            нет решения .

                            Уравнения системы зависимы , если ВСЕ
                            решения
                            одного уравнения являются решениями другого уравнения. В
                            Другие
                            словами, они заканчиваются тем, что та же строка .

                            Уравнения системы независимы , если
                            они не делятся
                            ВСЕ решения
                            . У них может быть одна общая черта, только не
                            все
                            их.

                            Одно решение
                            Если система с двумя переменными имеет одно решение, это
                            заказанный
                            пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений.
                            Другими словами,
                            когда
                            вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения
                            ПРАВДА.

                            Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет
                            эта система непротиворечива или непоследовательна?

                            Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

                            Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет
                            уравнения быть зависимыми или независимыми?

                            Если вы сказали независимый, вы правы!

                            График ниже иллюстрирует систему двух уравнений.
                            и два неизвестных
                            у которого есть одно решение:

                            Нет решения
                            Если две линии параллельны друг другу, они будут
                            никогда не пересекаются.

                            Значит, у них нет ничего общего. В этом
                            ситуация
                            у вас не будет решения.

                            Если вы не получили решения для окончательного ответа, — это
                            эта система непротиворечива или непоследовательна?

                            Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

                            Если вы не получите окончательного ответа, будет
                            уравнения быть зависимыми или независимыми?

                            Если вы сказали независимый, вы правы!

                            График ниже иллюстрирует систему двух уравнений.
                            и два неизвестных
                            без решения:

                            Бесконечный
                            Решения

                            Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, тогда
                            Там есть
                            бесконечное количество решений.
                            В этой ситуации они
                            было бы
                            в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном
                            уравнение
                            будет работать в другом.

                            Если вы получите бесконечное количество решений для
                            Ваш окончательный ответ, я с
                            эта система непротиворечива или непоследовательна?

                            Если вы сказали «последовательный», вы правы!

                            Если вы получите бесконечное количество решений для
                            ваш окончательный ответ, будет
                            уравнения быть зависимыми или независимыми?

                            Если вы сказали иждивенец, вы правы!

                            График ниже иллюстрирует систему двух уравнений.
                            и два неизвестных
                            имеющий бесконечное количество решений:

                            Пример
                            1
                            : Определите, является ли каждая упорядоченная пара решением
                            из
                            система.
                            (3, -1) и (0, 2)

                            Давайте проверим упорядоченную пару (3, -1) в первом
                            уравнение:

                            * Вставка 3 для x и -1 для y

                            * Истинное утверждение

                            Пока все хорошо, (3, -1) является решением
                            первое уравнение x + y = 2.

                            Теперь давайте проверим (3, -1) во втором уравнении:

                            * Вставка 3 для x и -1 для y

                            * Истинное утверждение

                            Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое
                            означает, что (3, -1) является
                            также решение второго уравнения x y = 4.

                            Вот большой вопрос, является ли (3, -1) решением
                            данная система ?????

                            Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в системе,
                            Затем это
                            это решение для всей системы.

                            Теперь поместим (0, 2) в первое уравнение:

                            * Вставка 0 для x и 2 для y
                            * Истинное заявление

                            Это истинное утверждение, поэтому (0, 2) является решением
                            первое уравнение x + y = 2.

                            Наконец, поместим (0,2) во второе уравнение:

                            * Вставка 0 для x и 2 для y
                            * Ложное заявление

                            На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это
                            средства.
                            (0, 2) НЕ является решением второго уравнения x y = 4.

                            Вот большой вопрос, является ли (0, 2) решением
                            данная система ?????

                            Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в
                            система, тогда
                            это не решение всей системы.

                            Три способа Решать системы линейных
                            Уравнений с двумя переменными

                            Шаг 1. Постройте первое уравнение.

                            Шаг 2: Изобразите второе уравнение на
                            та же координата
                            система как первая.

                            Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое.
                            уравнение.
                            Обратитесь к первому шагу, если вам нужно рассмотреть различные способы
                            график
                            линия.

                            Отличие вот в том, что на такой же ставишь
                            система координат
                            как первый. Это как две задачи с графиком в одной.

                            Шаг 3. Найдите решение.

                            Если две линии пересекаются в одном месте , то
                            точка
                            перекресток
                            — решение системы.

                            Если две линии параллельны , то они никогда не
                            пересекаются, так что
                            нет решения.

                            Если две строки лежат друг на друге , то
                            они
                            та же строка
                            , и у вас есть бесконечное количество решений. .
                            В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение
                            указывать
                            это одна и та же линия.

                            Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный
                            парное решение в
                            ОБА уравнения.

                            Предлагаемое решение можно подключить к ОБА
                            уравнения. Если
                            это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение
                            система.

                            Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти
                            назад и повторить
                            проблема.

                            Пример
                            2
                            : Решите систему уравнений, построив график.

                            * Вставка 0 для y для x -int
                            * x -intercept

                            Перехват x равен (3, 0).

                            y -intercept

                            * Вставка 0 для x для y -int
                            * y -intercept

                            Перехват y — (0, 3).

                            Найдите другого
                            решение, положив x = 1.

                            * Вставка 1 для x

                            Другое решение (1, 2).

                            Решения:

                            х л (х, у)
                            3 0 (3, 0)
                            0 3 (0, 3)
                            1 2 (1, 2)

                            Построение упорядоченных парных решений и построение
                            линия:

                            * Вставка 0 для y для x -int
                            * x -intercept

                            Перехват x — это (1, 0).

                            Y-перехват

                            * Вставка 0 для x для y -int

                            * Обратное от мульт. на -1 — это div.
                            по -1

                            * y -перехват

                            Перехват y — (0, -1).

                            Найдите другого
                            решение, положив x = 2.

                            * Вставка 2 для x
                            * Сумма, обратная сумме 2, является вспомогательной. 2

                            * Обратное от мульт. на -1 это div
                            по -1

                            Другое решение (2, 1).

                            Решения:

                            х л (х, у)
                            1 0 (1, 0)
                            0 -1 (0, -1)
                            2 1 (2, 1)

                            Построение упорядоченных парных решений и построение
                            линия:

                            Нам нужно спросить себя, есть ли место, где
                            две линии пересекаются,
                            и если да, то где?

                            Ответ — да, они пересекаются в (2, 1).

                            Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1)
                            в ОБЕИХ уравнения
                            исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

                            Решение этой системы — (2, 1).

                            Пример
                            3
                            : Решите систему уравнений, построив график.

                            * Вставка 0 для y для x -int
                            * x -intercept

                            Перехват x равен (5, 0).

                            y -intercept

                            * Вставка 0 для x для y -int

                            * y -перехват

                            Перехват y равен (0, 5).

                            Найдите другого
                            решение, положив x = 1.

                            * Вставить 1 для x
                            * Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1

                            Другое решение (1, 4).

                            Решения:

                            х л (х, у)
                            5 0 (5, 0)
                            0 5 (0, 5)
                            1 4 (1, 4)

                            Построение упорядоченных парных решений и построение
                            линия:

                            * Вставка 0 для y для x -int
                            * Сумма, обратная сумме 3, является вспомогательной.3

                            * Обратное от мульт. на -1 — это div.
                            по -1

                            * x -перехват

                            Перехват x равен (3, 0).

                            y -intercept

                            * Вставка 0 для x для y -int
                            * y -intercept

                            Перехват y — (0, 3).

                            Найдите другого
                            решение, положив x = 1.

                            * Вставка 1 для x

                            Другое решение (1, 2).

                            Решения:

                            х л (х, у)
                            3 0 (3, 0)
                            0 3 (0, 3)
                            1 2 (1, 2)

                            Построение упорядоченных парных решений и построение
                            линия:

                            Нам нужно спросить себя, есть ли место, где
                            две линии пересекаются,
                            и если да, то где?

                            Ответ — нет, они не пересекаются.Мы
                            иметь два параллельных
                            линий.

                            Нет заказанных пар для проверки.

                            Ответ — нет решения.

                            Решить методом замещения

                            Шаг 1. При необходимости упростите.

                            Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и
                            удаление фракций.

                            Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

                            Чтобы удалить дроби: поскольку дроби — это еще один способ
                            написать деление,
                            а обратное деление — умножение, дробь удаляется на
                            умножение
                            обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.

                            Шаг 2. Решите одно уравнение для
                            любая переменная.

                            Неважно, какое уравнение вы используете или какое
                            переменная, которую вы выбираете
                            решить для.

                            Вы хотите сделать это как можно проще.Если один
                            уравнений
                            уже решено для одной из переменных, это быстро и легко
                            способ
                            идти.

                            Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать
                            тот, у которого есть
                            1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы
                            не будет
                            делить на число и рисковать работать с
                            доля
                            (фу !!).

                            Шаг 3. Замените то, что вы получаете
                            шаг 2 в
                            другое уравнение.

                            Вот почему он называется методом подстановки.
                            Убедись в том, что
                            вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы
                            не сделал
                            использовать на шаге 2.

                            Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.

                            Шаг 4. Решите для
                            оставшаяся переменная.

                            Шаг 5: Решите для секунды
                            Переменная.

                            Если вы нашли значение для переменной в шаге
                            4, что означает
                            два уравнения имеют одно решение.
                            Вставьте значение, найденное в
                            шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого
                            Переменная.

                            Если ваша переменная выпадает и вы получаете ЛОЖЬ
                            заявление, что означает
                            ваш ответ не решение.

                            Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА
                            заявление, что означает
                            ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением
                            линия.

                            Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный
                            парное решение в
                            ОБЕ исходные уравнения.

                            Предлагаемое решение можно подключить к ОБА
                            уравнения. Если
                            это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение
                            система.

                            Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти
                            назад и повторить
                            проблема.

                            Пример
                            4
                            : Решите систему уравнений заменой
                            метод.

                            Оба эти уравнения уже упрощены.
                            Нет необходимости в работе
                            делать здесь.

                            Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y .
                            Мы можем использовать его на этом этапе.

                            Неважно, какое уравнение или какую переменную вы
                            выбрать решение
                            для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как
                            возможный.

                            Второе уравнение, решенное относительно y :

                            * Решено для y

                            Подставьте выражение 2 x + 4 вместо y в первое уравнение и решите относительно x :
                            (когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете
                            в число вашей переменной)

                            * Под.2 x + 4 дюйма
                            для y

                            * Расст. -5 через ()
                            * Объединить похожие термины

                            * Обратное от sub. 20 — это добавить 20

                            * Значение, обратное div. by -7 есть мульт.
                            по -7

                            Вставка -5 для x в
                            уравнение в
                            шаг 2, чтобы найти значение y .

                            * Вставка -5 для x

                            Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (-5,
                            -6) в ОБЕИХ
                            уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из
                            их.

                            (-5, -6) — это решение для нашей системы.

                            Пример
                            5
                            : Решите систему уравнений заменой
                            метод.

                            Оба эти уравнения уже упрощены.
                            Нет необходимости в работе
                            делать здесь.

                            На этот раз проблема была не так хороша для нас, мы
                            придется
                            проделайте небольшую работу, чтобы решить одно уравнение для одной из наших переменных.

                            Неважно, какое уравнение или какую переменную вы
                            выбрать решение
                            для.Просто будьте проще.

                            Так как x в первом
                            уравнение имеет
                            коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на
                            номер
                            решить эту проблему и рискнуть работать с дробями
                            (УРА !!)
                            Самый простой способ — решить первое уравнение для x ,
                            и мы определенно хотим выбрать легкий путь. Ты бы не был
                            неправильный
                            чтобы выбрать другое уравнение и / или решить для y, снова вы хотите
                            чтобы сделать его максимально простым.

                            Решая первое уравнение относительно x , получаем:

                            * Обратное от sub. 2 y прибавлено 2 y

                            * Решено для x

                            Подставьте выражение 5 + 2 y вместо x во второе уравнение и решите относительно y :
                            (когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете
                            в число вашей переменной)

                            * Под.5 + 2 y для x

                            * Переменная выпала И ложь

                            Погодите, а где наш
                            переменная go ????

                            Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает, и вы
                            иметь оператор FALSE,
                            тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика,
                            они будут параллельны друг другу.

                            Поскольку мы не получили значение для y ,
                            там
                            здесь нечего подключать.

                            Нет заказанных пар для проверки.

                            Ответ — нет решения.

                            Решите методом исключения

                            Этот метод также известен как сложение или
                            исключение добавлением
                            метод.

                            Шаг 1. Упростите и поместите оба
                            уравнения в виде
                            A x + B y = C, если необходимо.

                            Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и
                            удаление фракций.

                            Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

                            Чтобы удалить дроби: поскольку дроби — это еще один способ
                            написать деление,
                            а обратное деление — умножение, дробь удаляется на
                            умножение
                            обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.

                            Шаг 2: Умножьте один или оба
                            уравнения по числу
                            который при необходимости создаст противоположные коэффициенты для x или y .

                            Забегая вперед, мы добавим эти два
                            уравнения вместе
                            .
                            В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает
                            вне,
                            оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем
                            гарантия, что если мы добавляем противоположностей . Сумма
                            противоположности
                            равно 0.

                            Если ни одна из переменных не выпадает, то мы застреваем с
                            уравнение с
                            две неизвестные, которые неразрешимы.

                            Неважно, какую переменную вы выберете
                            вне.

                            Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже
                            имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений
                            все вместе.
                            В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число.
                            что
                            создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных.Ты
                            может
                            думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал
                            коэффициенты
                            оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение.
                            Делать
                            убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы
                            Добавлять.

                            Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении
                            и 3 x в другом уравнении, мы могли бы
                            умножать
                            первое уравнение на 3 и получаем 6 x и
                            в
                            второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x .
                            Так
                            когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут.

                            Сложите два уравнения.

                            Переменная с противоположными коэффициентами будет
                            выпадать из этого
                            шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.

                            Шаг 4: Найдите оставшуюся переменную.

                            Решите уравнение, найденное на шаге 3, для переменной
                            что осталось.

                            Если вам нужен обзор по этому поводу, перейдите к Tutorial
                            7: Линейные уравнения с одной переменной.

                            Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ
                            заявление, что означает
                            ваш ответ не решение.

                            Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА
                            заявление, что означает
                            ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением
                            линия.

                            Шаг 5: Найдите вторую переменную.

                            Если вы нашли значение для переменной в шаге
                            4, что означает
                            два уравнения имеют одно решение.
                            Вставьте значение, найденное в
                            шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого
                            Переменная.

                            Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный
                            парное решение в
                            ОБЕ исходные уравнения.

                            Предлагаемое решение можно подключить к ОБА
                            уравнения.Если это
                            делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение
                            система.

                            Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти
                            назад и повторить
                            проблема.

                            Пример
                            6
                            : Решите систему уравнений методом исключения
                            метод.

                            В этом уравнении полно неприятных дробей.
                            Мы можем упростить
                            оба уравнения, умножив каждое в отдельности на его ЖК-дисплей, как
                            это можно сделать, когда вы работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы
                            проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны
                            равны друг другу.

                            Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы
                            получить:

                            * Мног. по ЖК 15

                            * Мног. по ЖК 6

                            Опять же, вы хотите сделать это так просто, как
                            возможный.Обратите внимание, как
                            коэффициенты на обоих и ‘s равны
                            3. Мы
                            должны быть противоположности, поэтому, если один из них равен 3, а другой -3,
                            Они
                            отменяли бы друг друга, когда мы их добавляем.

                            Если бы мы сложили их вместе, как сейчас, мы бы
                            закончить с
                            одно уравнение и две переменные, ничего бы не выпало. И мы
                            было бы
                            не смогу ее решить.

                            Предлагаю умножить второе уравнение на -1,
                            это будет
                            создайте -3 перед x , и мы будем
                            имеют
                            наши противоположности.

                            Обратите внимание, что мы могли бы так же легко умножить первое
                            уравнение на -1
                            а не второй. В любом случае работа будет выполнена.

                            Умножая второе уравнение на -1, получаем:

                            * Мног.обе стороны 2-го ур. по -1

                            * л х
                            иметь противоположное
                            коэффициенты

                            * Обратите внимание, что y ‘s
                            выпал

                            * Реверс от мульт.на 3 — div. по 3

                            Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, чтобы
                            вставьте найденное значение x .

                            Я выбираю подключить 11 для x в
                            первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s
                            значение.

                            * Вставка 11 для x

                            * Сумма, обратная сумме 55, является вспомогательной.55

                            * Обратное от мульт. на 3 — div.
                            по 3

                            Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (11,
                            -25/3) в ОБЕИХ
                            уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из
                            их.

                            (11, -25/3) — это решение для нашей системы.

                            Пример
                            7
                            : Решите систему уравнений методом исключения
                            метод.

                            Эта задача уже упрощена.Однако второй
                            уравнение
                            не записывается в виде Ax + By = C. Другими словами, нам нужно
                            написать
                            это в этой форме, чтобы все было готово к работе, когда мы добавим
                            два
                            уравнения вместе.

                            Переписывая второе уравнение, получаем:

                            * Обратное сложению 6 x является вспомогательным.6 х

                            * Все в порядке

                            Обратите внимание, что если мы умножим первое уравнение на 2, то
                            Мы будем иметь
                            a -6 x , что является противоположностью 6 x , найденным во втором уравнении.

                            Умножая первое уравнение на 2, получаем:

                            * Мног.1-й экв. по 2

                            * x имеют противоположные коэффициенты

                            * Переменные выпали И истинно

                            Эй, откуда у нас переменные
                            идти??

                            Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы
                            иметь ИСТИННОЕ заявление,
                            тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге
                            та же линия.

                            Здесь нет ценности для подключения.

                            Здесь нет ценности для подключения.

                            Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть
                            бесконечное число
                            решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо
                            уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

                            Два способа написать ответ: {( x , y ) | 3 x — 2 y = 1} OR {( x , y )
                            | 4 y = 6 x
                            2}.

                            Практические задачи


                            Это практические задачи, которые помогут вам
                            следующий уровень.
                            Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы
                            эти
                            типы проблем. Math работает так же, как
                            что-нибудь
                            иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться
                            Это.
                            Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
                            практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

                            На самом деле не бывает слишком много практики.

                            Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать
                            проблема на
                            свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для
                            ответ / обсуждение
                            для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ
                            а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

                            Практика
                            Задача 1a:
                            Решите систему, построив график.

                            Практика
                            Задача 2а:
                            Решите систему подстановкой
                            метод.

                            Практика
                            Задача 3a:
                            Решите систему
                            метод устранения.

                            Нужна дополнительная помощь по этим темам?



                            Последний раз редактировал Ким Сьюард 10 июля 2011 г.

                            Добавить комментарий

                            Ваш адрес email не будет опубликован.