Системы тригонометрических уравнений с решением: § 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Содержание

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

§21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

         Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.


Задача 1
. Решите систему уравнений

 

 Из первого уравнения находим    и подставляем во второе.        

Получаем   

Отсюда

     

           Замечание.  Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной  системы.

Действительно, в таком случае имеем 

Тогда, например, при n = 0 получаем 

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:  

                                               

Но эти пары значений х и у не являются решениями  заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.    

 Поэтому следует запомнить:

            Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со  знаком «–».

 

            Задача 2. Решите систему уравнений

            

  Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

  

 Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

            

 Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

         Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

 

Вопросы для контроля

  1.  Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
  2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений   мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

 

Упражнения

        Решите систему уравнений (1–8).

 

          

 

 

Урок 49. системы тригонометрических уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • что такое система тригонометрических уравнений;
  • как решать системы тригонометрических уравнений;
  • какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака {

– система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Основная литература:

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Дополнительная литература:

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

— метод подстановки

— метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

Пример 1.

Решение:

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

.

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.

.

Теперь введем новые переменные:

, (*) и решим вспомогательную систему:

.

Решим ее методом подстановки.

.

Решим уравнение (**).

.

. Вернемся к исходным переменным.

,

.

С учетом условия получим две системы:

Или

или

Ответ:

Или

.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 2.

Решение:

С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:

.

Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:

,

,

.

Теперь выразим из второго уравнения y:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Решение:

Введем новые переменные: .

Тогда вспомогательная система будет иметь вид:

.

,

или

.

Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:

; ; ; .

Так как , то решение имеет только первая система: .

.

Пример 2.

Решите систему уравнений: .

Решение:

Пусть .

Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.

Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:

,

,

,

,

.

Ответ:.

Системы тригонометрических уравнений и методы их решения

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре (замены, подстановки, исключения и т. д.), а также известные методы и формулы тригонометрии. Обычно при решении тригонометрических систем последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, или к системе уравнений относительно самих аргументов или функций этих аргументов. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Решите систему: \(\begin{cases} x+y=\pi, \\ sinx+siny=1. \\\end{cases}\)

Решение: \(\begin{cases} x+y=\pi \\ sinx+siny=1 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\pi-x \\ sinx+siny=1 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\pi-x \\ sinx+sin(\pi-x )=1 \\\end{cases} \Rightarrow\)

\(\begin{cases} y=\pi-x \\ 2sinx=1 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\pi-x \\ sinx=\frac12 \\\end{cases} \)

Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно x.2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, для любого целого n

tg(x) = 1/3, x = arctg(1/3) + pi*k, для любого целого k.

Пример 4. Решить систему уравнений

{x-y = 5*pi/3,

{ sin(x) = 2*sin(y)

Из пергового уравнения выразим y,

y = x-5*pi/3.

Тогда получим, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) — cos(x)*sin(5*pi/3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Подставляем это во второе уравнение системы получим cos(x) = 0, x = pi/2 + pi*n, для любого целого n.

Теперь находим y,

y = x — 5*pi/3 = pi/2 + pi*n – 5*pi/3 = -7*pi/6 + pi*n, для любого целого n.

Ответ: (pi/2+pi*n; -7*pi/6 + pi*n), для любого целого n.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение простейших тригонометрических неравенств: примеры и алгоритмы
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПонятие о приращении функции, приращении аргумента: примеры

Решение системы тригонометрических уравнений

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения. В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.

Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.

Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того  как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:

Решите систему уравнений:

ПЕРВЫЙ ПУТЬ!

Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х –  х2 + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4   (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,2970

В градусах приближённо можем записать  114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880.

Решая  неравенство 2 – y – у2 ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Рассмотрим первое уравнение:

1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).

*Угол в 4 радиана (229,1880)  лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому

остаётся только корень  х = 2.  

Рассмотрим  второе уравнении при х = 2. 

При этом значении х выражение 2 – y – у2 должно быть равно нулю, так как

Решим  2 – y – у2 = 0, получим  y = – 2 или  y = 1.

Отметим, что при  y = – 2  корень из   cos y   не имеет решения.

*Угол в  –2 радиана (– 114,5490)  лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.

Поэтому остаётся только  y = 1.  

Таким образом,  решением системы будет пара (2;1).

2. Первое уравнение так же равно нулю при  cos y = 0, то есть при

Но учитывая найденную область определения (2),  получим:

Рассмотрим второе уравнение при этом у.

Выражение  2 – y – у2 при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:

Решаем:

Учитывая найденную область определения (1) получаем, что

Таким образом, решением системы является ещё одна пара:

*Мы нашли область определения. Далее начали рассматривать первое уравнение и учитывая область определения вычислили «по кругу» все множители в системе.

ВТОРОЙ ПУТЬ!

Найдём область определения для выражения:

Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая  неравенство 6х –  х2 + 8 ≥ 0,  получим  2 ≤ х ≤ 4  (2 и 4 это радианы).

Рассмотрим Случай 1:

Пусть х = 2  или  х = 4.  

Если  х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении  системы  2 – y – у2 = 0.

Решая уравнение получим, что y = – 2 или  y = 1.

Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4  и  y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0  и  cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.

Таким образом, решением является пара (2;1).

Рассмотрим Случай 2:

Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х –  х2 + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y  должен быть равен нулю.

Решаем уравнение, получим:

Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:

Получим:

2 – y – у2 ≥ 0

– 2 ≤ у ≤ 1

Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:

При данном значении у, выражение  2 – y – у2 ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении  sin x будет равен нулю, получим:

Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только

Значит решением системы будет ущё пара:

*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже  по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.

ТРЕТИЙ ПУТЬ!

Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для  выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.

Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х – х2 + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4  (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем   ≈ 57,2970

В градусах приближённо можем записать  114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880.

Решая  неравенство 2 – y – у2 ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).

Рассмотрим первое уравнение:

Значит

Решением  cos y = 0   является:

Решением  6х – х2 + 8 = 0   являются   х = 2  и  х = 4.

Рассмотрим второе уравнение:

Значит

Решением  sin x = 0  является:

Решением уравнения  2 – y – у2 = 0   будут   y = – 2  или  y = 1.

Теперь учитывая область определения проанализируем

полученные значения:

Так как   114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880, то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0,  это  x = Пи.

Так как    – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970, то данному  отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это   

Рассмотрим корни  х = 2  и  х = 4.

Из того, что  sin x ≥ 0, следует, что х = 4 не будет корнем, так как

sin 4 ≤ 0.

Рассмотрим корни  y = – 2 и  y = 1.

Из того, что cos x ≥ 0, следует, что у = –2 не будет корнем, так как

cos (– 2) ≤ 0.

Далее просто необходимо перебрать все возможные решения:

То есть подставить их в систему и проверить!

Верно!

Неверно, значит данная пара не является решением!

Неверно, значит данная пара не является решением!

Верно!

Таким образом, решением системы будут две пары чисел:

*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.

Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.

Вот и всё. Успеха Вам!

Решение систем тригонометрических уравнений — АЛГЕБРА — Уроки для 10 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

УРОК 27

Тема. Решение систем тригонометрических уравнений

 

Цель урока: познакомить учащихся с отдельными приемами решения систем тригонометрических уравнений.

И. Проверка домашнего задания

1. Четыре ученики воспроизводят решения домашних заданий: упражнение№ 2 (10; 18; 26; 38).

2. Устное решения тригонометрических уравнений, используя таблицу «Тригонометрические уравнения».

 

Таблица 11

 








 

 

1

2

3

4

1

 

sin x = 0

cos x = 0

tg x = 0

ctg x = 0

2

 

sin x = 1

cos x = 1

tg x = 1

ctg x = -1

3

 

sin x =

cos x =

tg x =

сtg x =

4

sin x = —

сos x = —

2 sin x cos x = 1

cos2 x — sin2 x = 1

5

sin2 x = 1

cos2 x =

tg2 x = 1

6

sin x — cos x = 0

sin x + cos x = 0

sin2 x + cos2 x = 0

sin2 x + cos2 x = 1

 

II. Повторение сведений о методах решения систем алгебраических уравнений

1. Решите систему уравнений (методом добавления).

Ответ: (5; 3).

2. Решите систему уравнений.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

 

III. Восприятия и осознания материала о решение систем тригонометрических уравнений

Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие, как и методы решения алгебраических систем.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение

Прибавив и вычтя (1) и (2) уравнение, получаем

               

Ответ: х = (-1) + πn, nZ; у = ± + 2nk, kZ.

Пример 2. Решите систему уравнений:

.

Решение

Из первого уравнения находим у = n — х. Тогда cos х — cos(n — х) = 1, cos х + cos х = 1, 2 cos х = 1, cos х = , х = ± +2 πn, nZ.

Затем находим: y=π — = ± + (1 — 2n)π, п Z.

Ответ: х = ± + 2πп, у = ± + (1 — 2п)π, где n Z.

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решение

  

Ответ: х = (k + n), y = (k — n), где n, k Z.

 

IV. Формирование умений решать системы тригонометрических уравнений

Решить систему уравнений:

а)б)в) г)

Ответы: а) x1 = + 2πk, y1 = — 2πk, х2 = + 2πk, y2 = — — 2πk, kZ.

б) х = ± + 2πk, y = πn где nZ, kZ.

в) х = + 2πk, у = + πn, где nZ, kZ.

г) х = — + π(n + k), n, kZ, у = — + n(k — n), n, kZ.

 

V. Подведение итогов урока

 

VI. Домашнее задание

Решить системы уравнений:

характеристика / Справочник :: Бингоскул

Уравнение является равенством с одним, несколькими неизвестными числами. Задача – найти данное неизвестное значение. При необходимости полученный результат подставляется в структуру. Теория математики рекомендует проводить проверку, чтобы убедиться в достоверности полученного результата.

Понятие система тригонометрических уравнений классифицируется как набор условий для поиска неизвестных в нескольких примерах по отношению к двум и более переменным. Связанные выражения объединяются скобкой.

Системы тригонометрических уравнений – это своеобразное задание. Для его решения понадобится алгебра: знание принципов развязки квадратных неравенств, тригонометрический анализ, умение находить неизвестные в простейших уравнениях.

Решение систем тригонометрических уравнений – это упорядоченная подборка числовых значений коэффициентов. Если подставить любое из этих чисел в выражения, торжество будет верным.

Как решать тригонометрические системы уравнений

Чтобы решить систему тригонометрических уравнений, нужно использовать ряд алгебраических методик: заменить переменные, исключить неизвестные. Для исключения используется следующий подход:

  • Одно из выражений используется для выделения функции от искомого параметра или непосредственно самого коэффициента. Полученный аргумент подставляется в другие уравнения системы;
  • Система трансформируется путем преобразования данных примера. Результаты преобразования группируются с целью уменьшения количества искомых параметров.n \arcsin \frac { 1 } { 3 } + \pi n ), n ∈ Z

     

    2. В условии задачи дана система:

    { \cos x \cos y = \frac { 1 } { 4 } \sin x \sin y = \frac { 3 } { 4 }

    Необходимо выполнить сложение и вычитание по членам для получения равносильной комбинации:

    { \cos \cos (x — y)  = 1 \cos \cos ( x + y ) = — \frac { 1 } { 2 } 

    Следовательно: { x — y = 2 \pi k, k \in Z     x + y = \mp \frac { 2 \pi } { 3 } + 2 \pi n, n \in Z 

    Последняя система может быть представлена как объединение двух примеров. Для этого итоговое значение первой структуры используется положительное и отрицательное по-отдельности. 

    • { x — y = 2 \pi nk, k \in Z     x + y = \frac { 2 \pi n } { 3 } + 2 \pi n, n \in Z            
    • { x — y = 2 \pi k, k \in Z      x + y = — \frac { 2 \pi n } { 3 } + 2 \pi n, n \in Z  

    Для получения ответа следует складывать и вычитать члены выражений. В таком случае:

    • { x = \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k                y = \frac { \pi } { 3 } + \pi n — \pi k  
    • { x =  — \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k          y = — \frac { \pi } { 3 } + \pi n — \pi k

    Результат решения: ( \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k; \frac { \pi } { 3 } + \pi n — \pi k ), (— \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k ; — \frac { \pi } { 3 } + \pi n — \pi k) при условии k \in Z, n \in Z.

    Решение систем тригонометрических уравнений

    Системы тригонометрических уравнений: практические задачи

    Ключевые термины

    • Тригонометрические уравнения: содержат тригонометрические функции неизвестных.
    • Система уравнений: более одного уравнения в более чем одной неизвестной.

    Необходимые материалы

    практических задач (покажите всю свою работу) —

    (a) Найдите пары углов (x, y) в радианах в интервале [0, 2pi], которые решают следующую систему уравнений:

    cos (x) + cos (y) = 1 [Уравнение 1]

    cos (x) — cos (y) = 0 [Уравнение 2]

    (b) Найдите пары углов (x, y) в радианах в интервале [0, 2pi], которые решают следующую систему уравнений:

    tan (x) — tan (y) = 4 [Уравнение 1]

    tan (x) = 2 — tan (y) [Уравнение 2]

    ответов (для проверки вашей работы)

    (a) Используйте следующий метод исключения:

    Шаг 1: сложите два уравнения.

    2 cos (x) = 1.

    Шаг 2: Разделите обе стороны на 2.

    cos (x) = 1/2.

    Шаг 3: Возьмите обратный косинус обеих сторон.

    x = pi / 3, 5pi / 3 (радианы).

    Шаг 4: Подставьте значения x в уравнение (2).

    cos (y) = 1/2.

    Шаг 5: Еще раз возьмите обратный косинус, чтобы получить результат.

    x = pi / 3, 5pi / 3 (радианы).

    Следовательно, набор решений — это упорядоченные пары (x, y) = (pi / 3, pi / 3), (pi / 3, 5pi / 3), (5pi / 3, pi / 3), (5pi / 3, 5pi / 3).

    (b) Используйте следующий метод замены:

    Шаг 1: Подставьте tan (x) = 2 — tan (y) из уравнения (2) в уравнение (1), чтобы получить

    2 — 2 загар (у) = 4

    Шаг 2: Вычтите 2 с обеих сторон.

    -2 загар (у) = 2

    Шаг 3: Разделите обе стороны на -2.

    загар (у) = -1

    Шаг 4: Возьмите арктангенс обеих сторон.

    y = 3pi / 4 и 7pi / 4 (радианы)

    Шаг 5: Подставьте y в уравнение (1).

    tan (x) + 1 = 4 или tan (x) = 3

    Шаг 6: Используя калькулятор, получаем x = 1,25 и x = 4,39 радиана.

    Следовательно, набор решений — это упорядоченные пары (x, y) = (1.25, 3pi / 4), (1.25, 7pi / 4), (4.39, 3pi / 4), (4.39, 7pi / 4).

    Системы тригонометрических уравнений — Тригонометрия

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    тригонометрия — Система уравнений, включающая sin и cos

    Предположение $$ — \ frac {\ pi} {2} \ leq x, y \ leq \ frac {\ pi} {2} $$
    красивый. Почему? Потому что тогда мы можем использовать замену $$ \ left \ {\ begin {align} x & = \ arctan \ alpha \\ y & = \ arctan \ beta \ end {align} \ right.2} \ end {align} $$

    Остаток должен быть равен нулю, поскольку мы нашли решение $ \ alpha = -0.26 $. Это дает две пары (возможных) решений $ (\ alpha, \ beta) \ приблизительно (-0.26, \ pm 0.59337) $. Теперь приравнивание частного к нулю дает возможное значение $ \ alpha = 1,46 $. Обратите внимание, что остаток также можно получить, подставив в $ P (\ alpha) $. Мы могли сделать это раньше, но мы также хотели получить частное, поэтому мы выполнили все деление. Теперь нас не волнует частное (это $ (\ alpha + 0.(-1) на вашем калькуляторе (на самом деле, мне уже приходилось использовать квадратный корень).

    О, и $ \ arctan $ никогда не достигает $ — \ pi / 2 $ или $ \ pi / 2 $, поэтому давайте быстро проверим, являются ли это решения: $$ \ quad1 \ neq 0.6 \\ -1 \ neq 0.2 $$
    Нет, это не так. Мы рассмотрели все возможности.

    Edit: Я заметил ошибку при вычитании двух уравнений, первое значение альфы (в поле) должно быть 0,1 $. Это, конечно, меняет другие результаты, но я отредактирую их завтра (в общем, это просто решение квадратичных).

    Решения систем синусоидальных и косинусных функций

    Когда два тригонометрических графика, такие как синус и косинус, пересекаются, мы называем эту точку пересечения решением системы уравнений. То же значение имеют решения систем линейных уравнений.

    Решения систем синусоидальных и косинусных графов

    Задача 1

    На рисунке ниже представлена ​​система, состоящая из уравнения y = sin (x) и y = cos (x) в интервале 0≤X≤2Π

    Решения системы

    Как видно из графика, эта система графиков синуса и косинуса пересекается дважды в течение этого интервала.Они пересекаются при x = Π / 4, а также при x = 5Π / 4

    Задача 2

    Можете ли вы выяснить, сколько существует решений, если таковые имеются, для следующей системы тригонометрических уравнений, имеющей какие-либо решения в интервале 0≤X≤2Π

    Система уравнений:

    • у = грех (х) — 1
    • у = соз (х) + 1

    Решения системы

    Задача 3

    Можете ли вы выяснить, сколько существует решений, если таковые имеются, у следующей системы тригонометрических уравнений есть какие-либо решения в интервале 0 ≤ X ≤ ≤

    Система уравнений:

    Решения системы

    Решение простых (и средней сложности) триггерных уравнений

    Purplemath

    При решении тригонометрических уравнений используются как исходные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры.Будьте готовы к тому, что для решения этих уравнений потребуется думать .

    Далее предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях триггерного отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, соотношение между радианами и градусами и как выглядят кривые различных триггерных функций на минимум по первому периоду. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.


    MathHelp.com

    • Решить sin (

      x ) + 2 = 3 в интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

    sin ( x ) + 2 = 3

    sin ( x ) = 1

    Теперь я воспользуюсь запомненными углами отсчета, чтобы получить окончательный ответ.

    Примечание. В инструкциях указан интервал в градусах, что означает, что я должен давать свой ответ в градусах. Да, синус в первом периоде принимает значение 1 при

    π / 2 радиан, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование этого в качестве моего ответа, вероятно, приведет к моему как минимум проигрышу. несколько моментов по этому вопросу.

    Итак, в градусах мой ответ:


    • Решить tan

      2 (θ) + 3 = 0 на интервале 0 ° & leq; θ <360 °

    Есть соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60 ° включает в себя квадратный корень из 3, и отбросить ответ, но это уравнение на самом деле не имеет решения.Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

    Может ли любой квадрат (касательной или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:


    • Решить в интервале 0 ° & leq;

      x <360 °

    Левая часть этого уравнения множится.Я привык делать простой факторинг, например:

    2 y 2 + 3 y = 0

    y (2 y + 3) = 0

    … и затем решить каждый из факторов. Здесь работает то же самое. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с факторинга:

    Я занимался алгеброй; то есть я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами.Это создало два триггерных уравнения. Итак, теперь я могу сделать триггер; а именно решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о косинусной волне. Из первого уравнения я получаю:

    Из второго уравнения я получаю:

    Соединяя эти два набора решений вместе, я получаю решение исходного уравнения следующим образом:

    x = 30 °, 90 °, 270 °, 330 °


    • Решить sin

      2 (θ) — sin (θ) = 2 на интервале 0 & leq; θ <2π

    Во-первых, перенесу все по одну сторону от знака «равно»:

    грех 2 (θ) — грех (θ) — 2 = 0

    Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

    В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил, X = sin (θ), a = 1, b = –1 и c = –2.

    Поскольку это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить на множители квадратичный:

    грех 2 (θ) — грех (θ) — 2 = 0

    (грех (θ) — 2) (грех (θ) + 1) = 0

    Первый множитель дает мне соответствующее тригонометрическое уравнение:

    Но синус никогда не бывает больше 1, поэтому это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

    Другой фактор дает мне второе связанное тригонометрическое уравнение:

    грех (θ) + 1 = 0

    sin (θ) = –1

    θ = (3/2) π

    Тогда мой ответ:

    (Если в своем классе вы выполняете решения только для степеней, указанное выше значение решения равно «270 °».)


    • Решить cos

      2 (α) + cos (α) = sin 2 (α) на интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Я могу использовать триггерное тождество, чтобы получить квадратичный косинус:

    cos 2 (α) + cos (α) = sin 2 (α)

    cos 2 (α) + cos (α) = 1 — cos 2 (α)

    2cos 2 (α) + cos (α) — 1 = 0

    (2cos (α) — 1) (cos (α) + 1) = 0

    cos (α) = 1/2, cos (α) = –1

    Первое тригонометрическое уравнение, cos (α) = 1/2, дает мне α = 60 ° и α = 300 °.Второе уравнение дает мне α = 180 °. Итак, мое полное решение:


    • Решить sin (β) = sin (2β) на интервале 0 ° & leq; β

      <360 °

    Я могу использовать обозначение с двойным углом с правой стороны, а также переставлять и упрощать; тогда я фактор:

    sin (β) = 2sin (β) cos (β)

    sin (β) — 2sin (β) cos (β) = 0

    sin (β) (1-2cos (β)) = 0

    sin (β) = 0, cos (β) = 1/2

    Синусоидальная волна (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0 °, 180 ° и 360 °.Но в исходном упражнении 360 ° не включены, поэтому последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

    Косинус (из второго тригонометрического уравнения) равен

    1/2 при 60 ° и, следовательно, также при 360 ° — 60 ° = 300 °. Итак, полное решение:

    β = 0 °, 60 °, 180 °, 300 °


    • Решить sin (

      x ) + cos ( x ) = 1 на интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Хм… Я действительно ничего здесь не вижу. Было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат …

    Хорошо, почему бы мне не возвести обе стороны в квадрат и посмотреть, что произойдет?

    (sin ( x ) + cos ( x )) 2 = (1) 2

    sin 2 ( x ) + 2sin ( x ) cos ( x ) + cos 2 ( x ) = 1

    [sin 2 ( x + cos 2 ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

    1 + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

    2sin ( x ) cos ( x ) = 0

    sin ( x ) cos ( x ) = 0

    Huh; иди и посчитай: я возведен в квадрат и получил то, с чем я мог бы работать с .Хороший!

    Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит следующим образом:

    x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °

    Однако (и это важно!), Чтобы получить это решение, я построил квадрат, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

    (Почему? Если вы возведете что-то в квадрат, вы не сможете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего начали, потому что возведение в квадрат могло где-то изменить знак.)

    Итак, чтобы быть уверенным в своих результатах, мне нужно проверить свои ответы в исходном уравнении , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключаю обратно, вижу:

    sin (0 °) + cos (0 °) = 0 + 1 = 1

    … поэтому решение « x = 0 °» работает

    sin (90 °) + cos (90 °) = 1 + 0 = 1

    …поэтому решение « x = 90 °» тоже работает

    sin (180 °) + cos (180 °) = 0 + (–1) = –1

    … ну ладно, значит « x = 180 °» НЕ работает

    sin (270 °) + cos (270 °) = (–1) + 0 = –1

    … так что « x = 270 °» тоже не работает,

    Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают.Они были созданы путем возведения в квадрат.

    Мое фактическое решение :


    Примечание. В приведенном выше описании я мог бы остановиться на этой строке:

    … и использовал тождество двойного угла для синуса, наоборот, вместо разделения 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учесть интервал решения:

    2sin ( x ) cos ( x ) = sin (2 x ) = 0

    Тогда 2 x = 0 °, 180 °, 360 °, 540 ° и т.д., и разделение 2 из x даст мне x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, это то же самое почти решение, что и раньше.После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

    Трюк с возведением в квадрат в последнем примере выше встречается нечасто, но если ничего не работает, возможно, стоит попробовать. Имейте это в виду для следующего теста.


    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig.htm

    Система тригонометрических уравнений — Учебный материал для IIT JEE

    В предыдущих разделах мы уже узнали, как решать тригонометрические уравнения с одной переменной. Но вы, должно быть, видели в газетах прошлого года различные вопросы, касающиеся более чем одной переменной. Есть несколько стандартных шаблонов вопросов по тригонометрическим уравнениям с более чем одной переменной, которые всегда задаются на большинстве конкурсных экзаменов.

    Когда вы освоитесь и у вас будет прочный фундамент тригонометрических уравнений с одной переменной, эта тема не будет для вас очень сложной. Хотя не существует установленного способа решения всех проблем, но, пройдя различные возможные пути, вы наверняка сможете справиться с проблемами IIT JEE.

    Пожалуйста, ознакомьтесь с перечисленными ниже приемами и стандартными действиями по решению таких проблем. С помощью этих советов можно решить большинство проблем:

    (1) Если возможно, сократите уравнение в терминах какой-либо одной переменной, предпочтительно x.Затем решите уравнение, как вы это делали раньше, в случае одной переменной.

    (2) Попытайтесь вывести линейные / алгебраические одновременные уравнения из данных тригонометрических уравнений и решить их как одновременные алгебраические уравнения.

    (3) Иногда от вас могут потребоваться некоторые замены. Было бы полезно, если бы система имела только две тригонометрические функции.

    Иллюстрация: Решите для общих x, y,

    sin (x — y) = 2 sin x sin y, где x и y — два острых угла прямоугольного треугольника.

    Решение: Поскольку дано, что x и y являются двумя острыми углами прямоугольного треугольника, мы делаем замену y = π / 2 — x в первом уравнении и преобразуем его следующим образом: —

    sin (2x — π / 2) = 2 sin x sin (π / 2 — x)

    ⇒ — sin (π / 2 — 2x) = 2sin x cos x

    ⇒ –cos 2x = sin 2x

    ⇒ tan 2x = –1 = tan (-π / 4)

    ⇒ 2x = n π — π / 4, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

    или, x = nπ / 2 — π / 8, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

    y = nπ / 2 — 5π / 8, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

    Следовательно, решение равно {nπ / 2 + π / 8, 5π / 8 — πn / 2}.

    Иллюстрация: Учитывая, что sin x (cos y + 2sin y) — cos x (2cos y — sin y) = 0, найдите значение tan (x + y).

    Решение: sin x (cos y + 2sin y) — cos x (2cos y — sin y) = 0

    Уберем скобки:

    sin x * cos y + 2sin x * sin y — 2cos x * cos y + cos x * sin y = 0

    Переставьте термины:

    sin x * cos y + cos x * sin y — 2cos x * cos y + 2sin x * sin y = 0

    Фактор -2 из 3 и 4 семестра:

    sin x * cos y + cos x * sin y — 2 (cos x * cos y — sin x * sin y) = 0

    Используйте тождество sin (A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B, чтобы переписать первые два члена:

    sin (x + y) — 2 (cos x * cos y — sin x * sin y) = 0

    Используйте тождество cos (A + B) = cos A * cos B — sinA * sin B, чтобы переписать два члена в круглых скобках.Следовательно, уравнение сводится к
    грех (х + у) — 2 * соз (х + у) = 0

    Разделить на cos (x + y)

    {sin (x + y)} / {cos (x + y)} — {2 * cos (x + y)} / {cos (x + y)} = 0

    Используя тождество tan A = sin A / cos A, чтобы переписать начальные члены и после упрощения, мы получаем

    загар (x + y) — 2 = 0

    , что дает tan (x + y) = 2.

    Посмотрите это видео, чтобы получить дополнительную информацию

    Иллюстрация: Решите систему уравнений

    sin 2 x + sin 2 y = 1/2.

    х — у = 4π / 3

    Решение: Преобразуем первое уравнение системы —

    .

    1/2 (1 — cos 2x) + 1/2 (1 — cos 2y) = ½

    cos 2x + cos 2y = 1 и

    2 cos (x + y). Cos (x — y) = 1

    Отсюда видно, что система —

    cos (x + y) cos (x — y) = 1/2 …… (1)

    x — y = 4π / 3 …… (2)

    имеет то же решение, что и исходная система, т.е. системы эквивалентны.

    Итак, из уравнений (1) и (2) имеем

    cos (x + y) cos (4π / 3) = 1/2 или cos (x + y) = –1

    х + у = 2nπ ± π

    Следовательно, у нас есть два линейных уравнения относительно x и y

    x + y = 2n π ± π, n ∈ I

    х — у = 4π / 3

    x = nπ + 2π / 3 ± π / 2 …… (а)

    Принимая знак + ve (a)

    х = (п +7/6) π

    = kπ, k = (n +7/6) и y = kπ — 4π / 3

    Принятие отрицательного знака (а)

    х = nπ + π / 6

    y = nπ + π / 6-4π / 3

    = п π — 7π / 6.

    Общее решение системы уравнений дается выражениями (kπ, kπ — 4π / 3) и (nπ + π / 6, nπ -7π / 2), где k = n + 7/6, n ∈ I

    Итак, это решения исходной системы.

    Примечание: В предыдущих примерах мы записали отношения между неизвестными x, и набор решений системы был выражен только одним интегральным параметром, например n, k и т. д. Но в практических приложениях иногда может потребоваться выразить общее решение через два интегральных параметра при решении системы уравнений с двумя переменными.

    Часто вы обнаружите, что введение новой переменной эффективно помогает уравнению. Введение новых переменных может применяться в тех случаях, когда система содержит только две тригонометрические функции, или может быть приведена к такому виду. Давайте посмотрим на иллюстрацию.

    Иллюстрация: Решите систему

    sin x + cos y = 1 ……… (1)
    cos 2x — cos 2y = 1 ……… (2)
    Решение: Мы можем преобразовать уравнение (2), положив cos 2x = 1 — 2sin 2 x и cos 2y = 2 cos 2 y –1
    cos 2x — cos 2y = 1-2 sin 2 x + 1-2 cos 2 y = 1
    ⇒ sin 2 x + cos 2 y = 1/2
    и, следовательно, наша система —
    sin x + cos y = 1 ……… (3)
    sin 2 x + cos 2 y = 1/2 ……… (4)
    что эквивалентно исходной системе.
    Для простоты положим sin x = y, cos y = v [note → u ∈ [–1, 1] и v ∈ [–1, 1] и, следовательно,
    u + v = 1 ………… (5)
    u 2 + v 2 = 1/2 ………… (6)

    , решая (5) и (6), получаем,

    u = грех x = 1/2

    v = cos y = ½

    Следовательно, общее решение данной системы уравнений дается

    x = mπ + (–1) m π / 6, m ∈ I

    y = 2nπ + π / 3, n ∈ I

    Решение различных пар, образованных из этих значений x и y, в точности является набором всего решения исходной системы.

    Примечание: Как мы можем решить уравнение, когда члены на двух сторонах (LHS и RHS) уравнения имеют разную природу, например тригонометрический и алгебраический?

    Задачи этого типа могут быть решены с помощью метода неравенства. Этот метод используется для проверки того, имеет ли уравнение какое-либо реальное решение или нет, рекомендуется выполнить следующие шаги.

    Шаг I: Пусть y = каждая сторона уравнения, то есть разбивает уравнение на две части.

    Шаг II: Найдите неравенство для y, взяв левую часть уравнения, а также правую часть уравнения. Если существует какое-либо значение y, удовлетворяющее обоим неравенствам, тогда будет реальное решение, в противном случае реального решения не будет.

    Иллюстрация: Покажите, что уравнение

    2 cos 2 (x / 2) sin 2 x = x 2 + x -2 для 0

    Решение: Это проблема, при которой LHS находится в тригонометрической форме, а RHS — в алгебраической форме.Поэтому воспользуемся методом неравенства.

    Пусть y = 2 cos 2 (x / 2) sin 2 x ……… (1)

    и y = x 2 + x -2 ……… (2)

    из (1), y = 2 cos 2 x / 2 sin 2 x

    = (1 + cos x) sin 2 x

    = (число <2) × (число <1)

    <2 [? для 0

    т.е. y <2 ……… (3)

    из (2), y = x 2 + x -2

    А.М.> Г. М.

    (x 2 + x -2 ) / 2 ≥ √ (x 2 .x -2 )

    x 2 + x 2 > 2

    т.е. y> 2 ……… (4)

    Невозможно получить значение y, удовлетворяющее (3) и (4) одновременно, так как y не может быть больше или меньше 2 одновременно.

    ⇒ реального решения уравнения не существует.

    Примечание: Некоторые проблемы можно решить с помощью графиков. Номер точки пересечения равен номеру решения.

    Иллюстрация: Найдите количество корней уравнения tan x = x + 1 между –π / 2 и 2 π.

    Решение: Опять же, это проблема тригонометрической формы на LHS и алгебраической формы на RHS.

    Это можно решить, построив график

    Пусть y = tan x

    у = х + 1

    Количество пересекающихся точек равно двум, что означает, что количество решений равно 2.
    Примечание: на обеих иллюстрациях мы использовали два разных способа решения.Мы выбираем графический метод, если трассировка проще, в противном случае мы выбираем метод неравенства.

    Краткое изложение важных моментов

    Поскольку тригонометрические функции являются периодическими функциями, решения тригонометрических уравнений могут быть обобщены с помощью периодичности тригонометрических функций. Решение, состоящее из всевозможных решений тригонометрического уравнения, называется его общим решением.

    Мы используем следующие формулы для решения тригонометрических уравнений:

    • sin θ = sinα и cosθ = cosα ⇒ θ = 2nπ + α

    • sinθ = 0 ⇒ θ = nπ

    • cosθ = 0 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2

    • tanθ = 0 ⇒ θ = nπ

    • sinθ = sinα ⇒ θ = nπ + (–1) nα, где α ∈ [–π / 2, π / 2]

    • cosθ = cosα ⇒ θ = 2nπ ± α, где α ∈ [0, π]

    • tanθ = tanα ⇒ θ = nπ + α, где α ∈ (–π / 2, π / 2)

    • sin2θ = sin2α, cos2θ = cos2α, tan2θ = tan2α ⇒ θ = nπ ± α

    • sinθ = 1 ⇒ θ = (4n + 1) π / 2

    • sinθ = –1 ⇒ θ = (4n — 1) π / 2

    • sinθ = –1 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2

    • | sinθ | = 1 ⇒ θ = 2nπ

    • cosθ = 1 ⇒ θ = (2n + 1) π

    • | cosθ | = 1 ⇒ θ = nπ

    Примечание: Повсюду в этой главе n принимается как целое число, если не указано иное.

    Должно быть дано общее решение, если только решение не требуется в указанном интервале или диапазоне.

    За главное значение угла принимается

    α. Численно наименьший угол называется главным значением.

    Примечания:

    При решении тригонометрического уравнения следует избегать возведения уравнения в квадрат на любом этапе, насколько это возможно, и, если это неизбежно, проверьте решение на наличие посторонних значений.

    Никогда не отменяйте условия, содержащие неизвестные термины с двух сторон, которые есть в продукте.Это может привести к потере подлинного решения.

    Иногда решение уравнения может привести к получению более чем одного набора решений. Эти наборы решений могут не пересекаться, перекрываться или накладываться друг на друга. Если наборы решений перекрываются, мы пытаемся переписать решение таким образом, чтобы общие решения включались только в один из наборов решений. Если одно из набора решений оказывается подмножеством другого, чем мы опускаем подмножество из окончательного набора решений.

    Иллюстрация: Число решений пары уравнений 2 sin2θ — cos 2θ = 0 и 2cos2θ — 3 sin θ = 0 в интервале [0, 2π] равно

    (а) 0

    (б) 1

    (в) 2

    (г) 4

    Решение: Учитывая первое уравнение 2 sin2θ — cos 2θ = 0

    Это дает sin2θ = ¼

    Кроме того, второе уравнение имеет вид 2cos2θ — 3 sin θ = 0

    Следовательно, это означает 2cos2θ = 3 sin θ.

    , что дает sin θ = 1/2.

    Следовательно, два решения существуют в интервале [0, 2π].

    Связанные ресурсы

    Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Тригонометрия , включая учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д. Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .

    7.5 Решение тригонометрических уравнений — Precalculus

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Решите линейные тригонометрические уравнения с синусом и косинусом.
    • Решите уравнения, содержащие одну тригонометрическую функцию.
    • Решайте тригонометрические уравнения с помощью калькулятора.
    • Решите тригонометрические уравнения квадратичной формы.
    • Решайте тригонометрические уравнения, используя фундаментальные тождества.
    • Решайте тригонометрические уравнения с несколькими углами.
    • Решите задачи прямоугольного треугольника.

    Рисунок 1 Египетские пирамиды, стоящие возле современного города. (кредит: Ойсин Малвихилл)

    Фалес Милетский (около 625–547 гг. до н.э.) известен как основоположник геометрии. Легенда гласит, что он рассчитал высоту Великой пирамиды в Гизе в Египте, используя теорию подобных треугольников , которую он разработал, измерив тень своего посоха. Эта теория, основанная на пропорциях, имеет приложения в ряде областей, включая фрактальную геометрию, инженерию и архитектуру.Часто угол возвышения и угол депрессии находят с помощью одинаковых треугольников.

    В предыдущих разделах этой главы мы рассматривали тригонометрические тождества. Тождества верны для всех значений в домене переменной. В этом разделе мы начинаем изучение тригонометрических уравнений для изучения реальных сценариев, таких как определение размеров пирамид.

    Решение линейных тригонометрических уравнений с синусом и косинусом

    Тригонометрические уравнения, как следует из названия, включают в себя тригонометрические функции.Во многом аналогично решению полиномиальных или рациональных уравнений, только определенные значения переменной будут решениями, если решения вообще есть. Часто мы решаем тригонометрическое уравнение на заданном интервале. Однако так же часто нас просят найти все возможные решения, и, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, решения повторяются в течение каждого периода. Другими словами, тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное количество решений. Кроме того, как и в случае с рациональными уравнениями, область определения функции должна быть рассмотрена, прежде чем мы предполагаем, что какое-либо решение является действительным.Период синусоидальной функции и косинусной функции равен 2π.2π. Другими словами, каждые 2π2π единицы повторяются значения y- . Если нам нужно найти все возможные решения, мы должны добавить 2πk, 2πk, где kk — целое число, к начальному решению. Вспомните правило, которое дает формат для определения всех возможных решений для функции с периодом 2π: 2π:

    sinθ = sin (θ ± 2kπ) sinθ = sin (θ ± 2kπ)

    Существуют аналогичные правила для указания всех возможных решений для других тригонометрических функций.Решение тригонометрических уравнений требует тех же методов, что и решение алгебраических уравнений. Мы читаем уравнение слева направо по горизонтали, как предложение. Мы ищем известные шаблоны, множители, находим общие знаменатели и заменяем определенные выражения переменной, чтобы упростить процесс решения. Однако с тригонометрическими уравнениями у нас также есть преимущество использования тождеств, которые мы разработали в предыдущих разделах.

    Пример 1

    Решение линейного тригонометрического уравнения с использованием функции косинуса

    Найдите все возможные точные решения уравнения cosθ = 12.cosθ = 12.

    Решение

    Из единичного круга мы знаем, что

    cosθ = 12 θ = π3,5π3cosθ = 12 θ = π3,5π3

    Это решения в интервале [0,2π]. [0,2π]. Все возможные решения приведены в

    π3 ± 2kπ и 5π3 ± 2kππ3 ± 2kπ и 5π3 ± 2kπ

    , где kk — целое число.

    Пример 2

    Решение линейного уравнения с синусоидальной функцией

    Найдите все возможные точные решения уравнения sint = 12.sint = 12.

    Решение

    Решение для всех возможных значений t означает, что решения включают углы, превышающие период 2π.2π. Из рисунка 2 видно, что решениями являются π6π6 и 5π6,5π6. Но проблема в том, чтобы указать все возможные значения, которые решают уравнение. Следовательно, ответ

    π6 ± 2πk и 5π6 ± 2πkπ6 ± 2πk и 5π6 ± 2πk

    , где kk — целое число.

    Как к

    Дано тригонометрическое уравнение, решите его с помощью алгебры .

    1. Найдите шаблон, который предлагает алгебраическое свойство, такое как разность квадратов или возможность разложения на множители.
    2. Замените тригонометрическое выражение одной переменной, например xx или u.u.
    3. Решите уравнение так же, как и алгебраическое уравнение.
    4. Подставьте тригонометрическое выражение обратно вместо переменной в результирующих выражениях.
    5. Найдите угол.

    Пример 3

    Решите тригонометрическое уравнение в линейной форме

    Точно решите уравнение: 2cosθ − 3 = −5,0≤θ <2π.2cosθ − 3 = −5,0≤θ <2π.

    Решение

    Используйте алгебраические методы для решения уравнения.

    2cosθ − 3 = −5 2cosθ = −2 cosθ = −1 θ = π2cosθ − 3 = −5 2cosθ = −2 cosθ = −1 θ = π

    Попробуй # 1

    Решите в точности следующее линейное уравнение на интервале [0,2π): 2sinx + 1 = 0. [0,2π): 2sinx + 1 = 0.

    Решение уравнений, содержащих одну тригонометрическую функцию

    Когда нам задают уравнения, которые включают только одну из шести тригонометрических функций, их решения требуют использования алгебраических методов и единичного круга (см. Рисунок 2).Когда уравнение включает тригонометрические функции, отличные от синуса и косинуса, необходимо учитывать несколько факторов. Проблемы, связанные с величинами, обратными первичным тригонометрическим функциям, необходимо рассматривать с алгебраической точки зрения. Другими словами, мы напишем обратную функцию и найдем углы, используя эту функцию. Кроме того, уравнение, включающее функцию тангенса, немного отличается от уравнения, содержащего функцию синуса или косинуса. Во-первых, как мы знаем, период касательной равен π, π, а не 2π.2π. Кроме того, область касательной — это все действительные числа, за исключением нечетных целых кратных π2, π2, если, конечно, проблема не накладывает свои собственные ограничения на область.

    Пример 4

    Решение задачи, связанной с одной тригонометрической функцией

    Точное решение задачи: 2sin2θ − 1 = 0,0≤θ <2π.2sin2θ − 1 = 0,0≤θ <2π.

    Решение

    Поскольку эту проблему нелегко разложить на множители, мы решим ее, используя свойство квадратного корня. Во-первых, мы используем алгебру, чтобы выделить sinθ.sinθ. Потом найдем углы.

    2sin2θ − 1 = 0 2sin2θ = 1 sin2θ = 12 sin2θ = ± 12 sinθ = ± 12 = ± 22 θ = π4,3π4,5π4,7π42sin2θ − 1 = 0 2sin2θ = 1 sin2θ = 12 sin2θ = ± 12 sinθ = ± 12 = ± 22 θ = π4,3π4,5π4,7π4

    Пример 5

    Решение тригонометрического уравнения с косекансом

    Точно решите следующее уравнение: cscθ = −2,0≤θ <4π.cscθ = −2,0≤θ <4π.

    Решение

    Нам нужны все значения θθ, для которых cscθ = −2cscθ = −2 в интервале 0≤θ <4π.0≤θ <4π.

    cscθ = −21sinθ = −2sinθ = −12 θ = 7π6,11π6,19π6,23π6cscθ = −21sinθ = −2sinθ = −12 θ = 7π6,11π6,19π6,23π6

    Анализ

    Поскольку sinθ = −12, sinθ = −12, обратите внимание, что все четыре решения находятся в третьем и четвертом квадрантах.

    Пример 6

    Решение уравнения с касательной

    Точно решите уравнение: tan (θ − π2) = 1,0≤θ <2π.tan (θ − π2) = 1,0≤θ <2π.

    Решение

    Напомним, что касательная функция имеет период π.π. На интервале [0, π), [0, π) и под углом π4, π4 касательная имеет значение 1. Однако нам нужен угол (θ − π2). (Θ − π2) . Таким образом, если tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, то

    θ − π2 = π4θ = 3π4 ± kπθ − π2 = π4θ = 3π4 ± kπ

    На интервале [0,2π), [0,2π) имеем два решения:

    3π4 и 3π4 + π = 7π43π4 и 3π4 + π = 7π4

    Попробуй # 2

    Найдите все решения для tanx = 3.tanx = 3.

    Пример 7

    Определите все решения уравнения с касательной

    Определите все точные решения уравнения 2 (tanx + 3) = 5 + tanx, 0≤x <2π.2 (tanx + 3) = 5 + tanx, 0≤x <2π.

    Решение

    Мы можем решить это уравнение, используя только алгебру. Выделите выражение tanxtanx слева от знака равенства.

    2 (tanx) +2 (3) = 5 + tanx2tanx + 6 = 5 + tanx2tanx − tanx = 5−6tanx = −12 (tanx) +2 (3) = 5 + tanx2tanx + 6 = 5 + tanx2tanx − tanx = 5 −6tanx = −1

    На единичной окружности есть два угла, значение касательной которых равно −1: θ = 3π4−1: θ = 3π4 и θ = 7π4.θ = 7π4.

    Решение тригонометрических уравнений с помощью калькулятора

    Не все функции могут быть решены точно с использованием только единичной окружности.Когда мы должны решить уравнение с углом, отличным от одного из специальных углов, нам понадобится калькулятор. Убедитесь, что он установлен на правильный режим, градусы или радианы, в зависимости от критериев данной проблемы.

    Пример 8

    Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения с синусом

    Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение sinθ = 0,8, sinθ = 0,8, где θθ выражается в радианах.

    Решение

    Убедитесь, что установлен режим радианы.Чтобы найти θ, θ, используйте функцию обратного синуса. На большинстве калькуляторов вам нужно будет нажать кнопку 2 ND , а затем кнопку SIN, чтобы вызвать функцию sin − 1sin − 1. На экране отображается sin − 1 (.sin − 1 (. Калькулятор готов к вводу в скобках. Для этой задачи мы вводим sin − 1 (0,8), sin − 1 (0,8) и нажимаем ENTER. Таким образом, с точностью до четырех знаков после запятой,

    sin − 1 (0,8) ≈0,9273 sin − 1 (0,8) ≈0,9273

    Решение

    Угол в градусах

    θ≈53.1∘θ≈180∘ − 53,1∘ ≈126,9∘θ≈53,1∘θ≈180∘ − 53,1∘ ≈126,9∘

    Анализ

    Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или IV для синусоидальной функции, поскольку это диапазон обратного синуса. Другой угол получается с помощью π − θ.π − θ.

    Пример 9

    Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения, содержащего секанс

    Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение secθ = −4, secθ = −4, получив ответ в радианах.

    Решение

    Мы можем начать с некоторой алгебры.

    secθ = −41cosθ = −4cosθ = −14secθ = −41cosθ = −4cosθ = −14

    Убедитесь, что РЕЖИМ указан в радианах. Теперь используйте функцию обратного косинуса.

    cos − 1 (−14) ≈1,8235 θ≈1,8235 + 2πkcos − 1 (−14) ≈1,8235 θ≈1,8235 + 2πk

    Поскольку π2≈1,57π2≈1,57 и π≈3,14, π≈3,14, 1,8235 находится между этими двумя числами, поэтому θ≈1,8235θ≈1,8235 находится во втором квадранте. Косинус также отрицателен в квадранте III. Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или II для функции косинуса, поскольку это диапазон обратного косинуса.См. Рисунок 2.

    Рисунок 2

    Итак, нам также нужно найти меру угла в квадранте III. В квадранте III опорный угол равен θ’≈π − 1,8235≈1,3181. Θ’≈π − 1,8235≈1,3181. Другое решение в квадранте III: π + 1,3181≈4,4597.π + 1,3181≈4,4597.

    Решения: 1.8235 ± 2πk1.8235 ± 2πk и 4.4597 ± 2πk.4.4597 ± 2πk.

    Попробуй # 3

    Решить cosθ = −0.2.cosθ = −0.2.

    Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

    Решение квадратного уравнения может быть более сложным, но, опять же, мы можем использовать алгебру, как и любое квадратное уравнение.Посмотрите на схему уравнения. Есть ли в уравнении более одной тригонометрической функции или только одна? Какая тригонометрическая функция возводится в квадрат? Если представлена ​​только одна функция и один из членов возведен в квадрат, подумайте о стандартной форме квадратичной функции. Замените тригонометрическую функцию переменной, например xx или u.u. Если после подстановки уравнение выглядит как квадратное уравнение, то мы можем использовать те же методы решения квадратичных уравнений для решения тригонометрических уравнений.

    Пример 10

    Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме

    Точно решите уравнение: cos2θ + 3cosθ − 1 = 0,0≤θ <2π.cos2θ + 3cosθ − 1 = 0,0≤θ <2π.

    Решение

    Начнем с подстановки и замены cos θθ на x.x. Нет необходимости использовать замену, но это может облегчить визуальное решение проблемы. Пусть cosθ = x.cosθ = x. У нас

    Уравнение не может быть разложено на множители, поэтому мы будем использовать квадратную формулу x = −b ± b2−4ac2a.х = −b ± b2−4ac2a.

    x = −3 ± (3) 2−4 (1) (- 1) 2 = −3 ± 132x = −3 ± (3) 2−4 (1) (- 1) 2 = −3 ± 132

    Заменить xx с cosθ, cosθ и решить. Таким образом,

    cosθ = −3 ± 132 θ = cos − 1 (−3 + 132) cosθ = −3 ± 132 θ = cos − 1 (−3 + 132)

    Обратите внимание, что используется только знак +. Это связано с тем, что мы получаем ошибку, когда решаем θ = cos − 1 (−3−132) θ = cos − 1 (−3−132) на калькуляторе, поскольку область определения функции обратного косинуса равна [−1,1 ]. [- 1,1]. Однако есть второе решение:

    cos − 1 (−3 + 132) ≈1,26 cos − 1 (−3 + 132) ≈1,26

    Эта конечная сторона угла лежит в квадранте I.Поскольку косинус также положителен в квадранте IV, второе решение —

    .
    2π − cos − 1 (−3 + 132) ≈5.022π − cos − 1 (−3 + 132) ≈5.02

    Пример 11

    Решение тригонометрического уравнения в квадратичной форме с помощью факторинга

    Точно решите уравнение: 2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0,0≤θ≤2π.2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0,0≤θ≤2π.

    Решение

    Используя группировку, эту квадратичную величину можно разложить на множители. Либо сделайте настоящую замену, sinθ = u, sinθ = u, либо представьте ее, как мы множим:

    2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0 (2sinθ − 3) (sinθ − 1) = 0 2sin2θ − 5sinθ + 3 = 0 (2sinθ − 3) (sinθ − 1) = 0

    Теперь установите каждый множитель равным нулю.

    2sinθ − 3 = 0 2sinθ = 3 sinθ = 32 sinθ − 1 = 0 sinθ = 12sinθ − 3 = 0 2sinθ = 3 sinθ = 32 sinθ − 1 = 0 sinθ = 1

    Затем решите относительно θ: sinθ 32, θ: sinθ ≠ 32, так как диапазон синусоидальной функции равен [−1,1]. [- 1,1]. Однако sinθ = 1, sinθ = 1, что дает решение π2.π2.

    Анализ

    Обязательно проверьте все решения в данном домене, так как некоторые факторы не имеют решения.

    Попробуй # 4

    Решить sin2θ = 2cosθ + 2,0≤θ≤2π. Sin2θ = 2cosθ + 2,0≤θ≤2π.[Подсказка: сделайте замену, чтобы выразить уравнение только через косинус.]

    Пример 12

    Решение тригонометрического уравнения с помощью алгебры

    Решите точно:

    2sin2θ + sinθ = 0; 0≤θ <2π2sin2θ + sinθ = 0; 0≤θ <2π

    Решение

    Эта задача должна показаться вам знакомой, поскольку она похожа на квадратичную. Пусть sinθ = x.sinθ = x. Уравнение принимает вид 2×2 + x = 0,2×2 + x = 0. Начнем с факторинга:

    2×2 + x = 0x (2x + 1) = 0 2×2 + x = 0x (2x + 1) = 0

    Установите каждый коэффициент равным нулю.

    x = 0 (2x + 1) = 0 x = −12 x = 0 (2x + 1) = 0 x = −12

    Затем снова подставьте в уравнение исходное выражение sinθsinθ вместо x.x. Таким образом,

    sinθ = 0 θ = 0, πsinθ = −12 θ = 7π6,11π6sinθ = 0 θ = 0, πsinθ = −12 θ = 7π6,11π6

    Решения в области 0≤θ <2π0≤θ <2π равны 0, π , 7π6,11π6. 0, π, 7π6,11π6.

    Если мы предпочитаем не заменять, мы можем решить уравнение, следуя той же схеме факторизации и установив каждый коэффициент равным нулю.

    2sin2θ + sinθ = 0sinθ (2sinθ + 1) = 0 sinθ = 0 θ = 0, π 2sinθ + 1 = 0 2sinθ = −1 sinθ = −12 θ = 7π6,11π6 2sin2θ + sinθ = 0sinθ (2sinθ + 1) = 0 sinθ = 0 θ = 0, π 2sinθ + 1 = 0 2sinθ = −1 sinθ = −12 θ = 7π6,11π6

    Анализ

    Мы можем видеть решения на графике на рисунке 3. В интервале 0≤θ <2π, 0≤θ <2π график пересекает ось x- четыре раза в отмеченных решениях.Обратите внимание, что тригонометрические уравнения в квадратичной форме могут дать до четырех решений вместо ожидаемых двух, которые можно найти с помощью квадратных уравнений. В этом примере каждое решение (угол), соответствующее положительному значению синуса, даст два угла, которые приведут к этому значению.

    Рисунок 3

    Мы также можем проверить решения на единичной окружности на Рисунке 2.

    Пример 13

    Решение тригонометрического уравнения, квадратичного по форме

    Решите квадратное по форме уравнение: 2sin2θ − 3sinθ + 1 = 0,0≤θ <2π.2sin2θ − 3sinθ + 1 = 0,0≤θ <2π.

    Решение

    Мы можем разложить на множители, используя группировку. Значения решения θθ можно найти на единичном круге:

    (2sinθ − 1) (sinθ − 1) = 0 2sinθ − 1 = 0 sinθ = 12 θ = π6,5π6 sinθ = 1 θ = π2 (2sinθ − 1) (sinθ − 1) = 0 2sinθ − 1 = 0 sinθ = 12 θ = π6,5π6 sinθ = 1 θ = π2

    Попробуй # 5

    Решите квадратное уравнение 2cos2θ + cosθ = 0.2cos2θ + cosθ = 0.

    Решение тригонометрических уравнений с использованием фундаментальных тождеств

    Хотя алгебру можно использовать для решения ряда тригонометрических уравнений, мы также можем использовать фундаментальные тождества, поскольку они упрощают решение уравнений. Помните, что методы, которые мы используем для решения проблем, не совпадают с методами проверки личности. Здесь применяются основные правила алгебры, а не переписывание одной стороны идентичности для соответствия другой стороне. В следующем примере мы используем два тождества, чтобы упростить уравнение.

    Пример 14

    Использование идентичностей для решения уравнения

    Используйте тождества, чтобы точно решить тригонометрическое уравнение в интервале 0≤x <2π.0≤x <2π.

    cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32

    Решение

    Обратите внимание, что левая часть уравнения — это формула разности для косинуса.

    cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32 cos (x − 2x) = 32 Формула разности для косинуса cos (−x) = 32 Используйте тождество отрицательного угла.cosx = 32cosxcos (2x) + sinxsin (2x) = 32 cos (x − 2x) = 32 Формула разности для косинуса cos (−x) = 32 Используйте тождество отрицательного угла. cosx = 32

    Из единичного круга на рисунке 2 мы видим, что cosx = 32cosx = 32, когда x = π6,11π6.x = π6,11π6.

    Пример 15

    Решение уравнения с использованием формулы двойного угла

    Точно решите уравнение, используя формулу двойного угла: cos (2θ) = cosθ.cos (2θ) = cosθ.

    Решение

    У нас есть три варианта выражения для замены двойного угла косинуса. Поскольку проще решать одну тригонометрическую функцию за раз, мы выберем тождество с двойным углом, включающее только косинус:

    cos (2θ) = cosθ 2cos2θ − 1 = cosθ 2cos2θ − cosθ − 1 = 0 (2cosθ + 1) (cosθ − 1) = 0 2cosθ + 1 = 0 cosθ = −12 cosθ − 1 = 0 cosθ = 1 cos (2θ ) = cosθ 2cos2θ − 1 = cosθ 2cos2θ − cosθ − 1 = 0 (2cosθ + 1) (cosθ − 1) = 0 2cosθ + 1 = 0 cosθ = −12 cosθ − 1 = 0 cosθ = 1

    Итак, если cosθ = −12, cosθ = −12, тогда θ = 2π3 ± 2πkθ = 2π3 ± 2πk и θ = 4π3 ± 2πk; θ = 4π3 ± 2πk; если cosθ = 1, cosθ = 1, то θ = 0 ± 2πk.θ = 0 ± 2πk.

    Пример 16

    Решение уравнения с использованием идентификатора

    Точно решите уравнение, используя тождество: 3cosθ + 3 = 2sin2θ, 0≤θ <2π.3cosθ + 3 = 2sin2θ, 0≤θ <2π.

    Решение

    Если мы перепишем правую часть, мы можем записать уравнение через косинус:

    3 cosθ + 3 = 2 sin2θ3 cosθ + 3 = 2 (1 − cos2θ) 3 cosθ + 3 = 2−2cos2θ2cos2θ + 3 cosθ + 1 = 0 (2 cosθ + 1) (cosθ + 1) = 02 cosθ + 1 = 0cosθ = −12θ = 2π3,4π3cosθ + 1 = 0cosθ = −1θ = π3 cosθ + 3 = 2 sin2θ3 cosθ + 3 = 2 (1 − cos2θ) 3 cosθ + 3 = 2−2cos2θ2cos2θ + 3 cosθ + 1 = 0 (2 cosθ +1) (cosθ + 1) = 02 cosθ + 1 = 0cosθ = −12θ = 2π3,4π3cosθ + 1 = 0cosθ = −1θ = π

    Наши решения: 2π3,4π3, π.2π3,4π3, π.

    Решение тригонометрических уравнений с несколькими углами

    Иногда невозможно решить тригонометрическое уравнение с тождествами, имеющими кратный угол, например sin (2x) sin (2x) или cos (3x) .cos (3x). Столкнувшись с этими уравнениями, вспомните, что y = sin (2x) y = sin (2x) — это горизонтальное сжатие с коэффициентом 2 функции y = sinx.y = sinx. На интервале 2π, 2π мы можем изобразить два периода y = sin (2x), y = sin (2x), в отличие от одного цикла y = sinx.y = sinx.Такое сжатие графика приводит нас к мысли, что может быть вдвое больше x -перехватов или решений sin (2x) = 0sin (2x) = 0 по сравнению с sinx = 0. sinx = 0. Эта информация поможет нам решить уравнение.

    Пример 17

    Решение многоугольного тригонометрического уравнения

    Точное решение: cos (2x) = 12cos (2x) = 12 на [0,2π). [0,2π).

    Решение

    Мы видим, что это уравнение является стандартным уравнением с углом, кратным углу.Если cos (α) = 12, cos (α) = 12, мы знаем, что αα находится в квадрантах I и IV. Хотя θ = cos − 112θ = cos − 112 даст решения только в квадрантах I и II, мы понимаем, что решения уравнения cosθ = 12cosθ = 12 будут в квадрантах I и IV.

    Следовательно, возможные углы равны θ = π3θ = π3 и θ = 5π3.θ = 5π3. Итак, 2x = π32x = π3 или 2x = 5π3,2x = 5π3, что означает, что x = π6x = π6 или x = 5π6.x = 5π6. Имеет ли это смысл? Да, потому что cos (2 (π6)) = cos (π3) = 12. cos (2 (π6)) = cos (π3) = 12.

    Есть еще возможные ответы? Вернемся к нашему первому шагу.

    В квадранте I 2x = π3,2x = π3, поэтому x = π6x = π6, как указано. Давайте снова обратимся по кругу:

    2x = π3 + 2π = π3 + 6π3 = 7π32x = π3 + 2π = π3 + 6π3 = 7π3

    , поэтому x = 7π6.x = 7π6.

    Еще один оборот дает

    2x = π3 + 4π = π3 + 12π3 = 13π32x = π3 + 4π = π3 + 12π3 = 13π3

    x = 13π6> 2π, x = 13π6> 2π, поэтому это значение для xx больше 2π, 2π, поэтому оно не решение на [0,2π). [0,2π).

    В квадранте IV 2x = 5π3,2x = 5π3, поэтому x = 5π6x = 5π6, как указано. Давайте снова обратимся по кругу:

    2x = 5π3 + 2π = 5π3 + 6π3 = 11π32x = 5π3 + 2π = 5π3 + 6π3 = 11π3

    , поэтому x = 11π6.х = 11π6.

    Еще один оборот дает

    2x = 5π3 + 4π = 5π3 + 12π3 = 17π32x = 5π3 + 4π = 5π3 + 12π3 = 17π3

    x = 17π6> 2π, x = 17π6> 2π, поэтому это значение для xx больше 2π, 2π, поэтому оно не решение на [0,2π). [0,2π).

    Наши решения: π6,5π6,7π6, 11π6.π6,5π6,7π6 и 11π6. Обратите внимание, что всякий раз, когда мы решаем задачу в форме sin (nx) = c, sin (nx) = c, мы должны обойти единичный круг nn раз.

    Решение задач прямоугольного треугольника

    Теперь мы можем использовать все изученные нами методы для решения задач, связанных с применением свойств прямоугольных треугольников и теоремы Пифагора.Мы начнем с известной теоремы Пифагора, a2 + b2 = c2, a2 ​​+ b2 = c2, и смоделируем уравнение в соответствии с ситуацией.

    Пример 18

    Использование теоремы Пифагора для моделирования уравнения

    Используйте теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников, чтобы смоделировать уравнение, которое соответствует задаче.

    Один из тросов, которыми центр колеса обозрения London Eye крепится к земле, необходимо заменить. Центр колеса обозрения находится на высоте 69,5 метров над землей, а второй якорь на земле находится в 23 метрах от основания колеса обозрения.Примерно какой длины кабель и каков угол подъема (от земли до центра колеса обозрения)? См. Рисунок 4.

    Рисунок 4

    Решение

    Используя предоставленную информацию, мы можем нарисовать прямоугольный треугольник. Мы можем найти длину кабеля с помощью теоремы Пифагора.

    a2 + b2 = c2 (23) 2+ (69,5) 2≈5359 5359≈73,2 м a2 + b2 = c2 (23) 2+ (69,5) 2≈5359 5359≈73,2 м

    Угол возвышения θ, θ, образованный вторым якорем на земле и тросом, идущим к центру колеса.Мы можем использовать касательную функцию, чтобы найти ее меру. Округлить до двух десятичных знаков.

    tanθ = 69,523tan − 1 (69,523) ≈1,2522 ≈71,69∘ tanθ = 69,523tan − 1 (69,523) ≈1,2522 ≈71,69∘

    Угол возвышения составляет примерно 71,7∘, 71,7∘, а длина кабеля составляет 73,2 метра. .

    Пример 19

    Использование теоремы Пифагора для моделирования абстрактной задачи

    Нормы безопасности OSHA требуют, чтобы основание лестницы располагалось на расстоянии 1 фута от стены на каждые 4 фута длины лестницы.Найдите угол, под которым лестница любой длины образует с землей, и высоту, на которой лестница касается стены.

    Решение

    Для любой длины лестницы расстояние от основания до стены должно составлять четверть длины лестницы. Эквивалентно, если основание лестницы находится на расстоянии « а» фут от стены, длина лестницы будет 4 на фут. См. Рисунок 5.

    Рис. 5

    Сторона, примыкающая к θθ, равна a , а гипотенуза — 4a.4а. Таким образом,

    cosθ = a4a = 14cos − 1 (14) ≈75,5∘ cosθ = a4a = 14cos − 1 (14) ≈75,5∘

    Высота лестницы составляет 75,5∘75,5∘ с землей. Высота, на которой лестница касается стены, может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

    a2 + b2 = (4a) 2 b2 = (4a) 2 − a2 b2 = 16a2 − a2 b2 = 15a2 b = 15aa2 + b2 = (4a) 2 b2 = (4a) 2 − a2 b2 = 16a2 − a2 b2 = 15a2 b = 15a

    Таким образом, лестница касается стены на высоте 15a15a футов от земли.

    7.Упражнения из 5 частей

    Устные

    1.

    Всегда ли будут решения уравнений тригонометрических функций? Если нет, опишите уравнение, у которого не было бы решения. Объясните, почему да или почему нет.

    2.

    При решении тригонометрического уравнения, включающего более одной тригонометрической функции, всегда ли мы хотим попытаться переписать уравнение так, чтобы оно выражалось через одну тригонометрическую функцию? Почему или почему нет?

    3.

    При решении линейных тригонометрических уравнений только с помощью синуса или косинуса, как мы узнаем, будут ли решения?

    Алгебраические

    Для следующих упражнений найдите все решения точно на интервале 0≤θ <2π.0≤θ <2π.

    Для следующих упражнений решите точно на [0,2π). [0,2π).

    19.

    2cos (3θ) = — 22cos (3θ) = — 2

    20.

    cos (2θ) = — 32cos (2θ) = — 32

    22.

    2cos (π5θ) = 32cos (π5θ) = 3

    Для следующих упражнений найдите все точные решения на [0,2π). [0,2π).

    23.

    сек (x) sin (x) −2sin (x) = 0sec (x) sin (x) −2sin (x) = 0

    24.

    tan (x) −2sin (x) tan (x) = 0tan (x) −2sin (x) tan (x) = 0

    25.

    2cos2t + cos (t) = 12cos2t + cos (t) = 1

    26.

    2tan2 (t) = 3сек (t) 2tan2 (t) = 3сек (t)

    27.

    2sin (x) cos (x) −sin (x) + 2cos (x) −1 = 02sin (x) cos (x) −sin (x) + 2cos (x) −1 = 0

    30.

    tan2 (x) = — 1 + 2tan (−x) tan2 (x) = — 1 + 2tan (−x)

    31.

    8sin2 (x) + 6sin (x) + 1 = 08sin2 (x) + 6sin (x) + 1 = 0

    32.

    tan5 (x) = tan (x) tan5 (x) = tan (x)

    Следующие упражнения решайте методами, указанными в этом разделе, точно на интервале [0,2π). [0,2π).

    33.

    sin (3x) cos (6x) −cos (3x) sin (6x) = — 0,9sin (3x) cos (6x) −cos (3x) sin (6x) = — 0.9

    34.

    sin (6x) cos (11x) −cos (6x) sin (11x) = — 0,1 sin (6x) cos (11x) −cos (6x) sin (11x) = — 0,1

    35.

    cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 1cos (2x) cosx + sin (2x) sinx = 1

    36.

    6sin (2t) + 9sint = 06sin (2t) + 9sint = 0

    37.

    9cos (2θ) = 9cos2θ − 49cos (2θ) = 9cos2θ − 4

    40.

    cos (6x) −cos (3x) = 0cos (6x) −cos (3x) = 0

    Следующие упражнения решите точно на отрезке [0,2π). [0,2π). Если уравнения не учитываются, используйте формулу корней квадратного уравнения.

    41.

    tan2x − 3tanx = 0tan2x − 3tanx = 0

    42.

    sin2x + sinx − 2 = 0sin2x + sinx − 2 = 0

    43.

    sin2x − 2sinx − 4 = 0sin2x − 2sinx − 4 = 0

    44.

    5cos2x + 3cosx − 1 = 05cos2x + 3cosx − 1 = 0

    45.

    3cos2x − 2cosx − 2 = 03cos2x − 2cosx − 2 = 0

    46. ​​

    5sin2x + 2sinx − 1 = 05sin2x + 2sinx − 1 = 0

    47.

    tan2x + 5tanx − 1 = 0tan2x + 5tanx − 1 = 0

    48.

    cot2x = −cotxcot2x = −cotx

    49.

    −tan2x − tanx − 2 = 0 − tan2x − tanx − 2 = 0

    Для следующих упражнений найдите точные решения на интервале [0,2π). [0,2π). Ищите возможности использовать тригонометрические тождества.

    50.

    sin2x − cos2x − sinx = 0sin2x − cos2x − sinx = 0

    51.

    sin2x + cos2x = 0sin2x + cos2x = 0

    52.

    sin (2x) −sinx = 0sin (2x) −sinx = 0

    53.

    cos (2x) −cosx = 0cos (2x) −cosx = 0

    54.

    2tanx2 − sec2x − sin2x = cos2x2tanx2 − sec2x − sin2x = cos2x

    55.

    1 − cos (2x) = 1 + cos (2x) 1 − cos (2x) = 1 + cos (2x)

    57.

    10sinxcosx = 6cosx10sinxcosx = 6cosx

    58.

    −3sint = 15costsint − 3sint = 15costsint

    59.

    4cos2x − 4 = 15cosx4cos2x − 4 = 15cosx

    60.

    8sin2x + 6sinx + 1 = 08sin2x + 6sinx + 1 = 0

    61.

    8cos2θ = 3−2cosθ8cos2θ = 3−2cosθ

    62.

    6cos2x + 7sinx − 8 = 06cos2x + 7sinx − 8 = 0

    63.

    12sin2t + cost − 6 = 012sin2t + cost − 6 = 0

    Графический

    Для следующих упражнений точно алгебраически определите все решения тригонометрического уравнения, затем проверьте результаты, построив уравнение на графике и найдя нули.

    66.

    6sin2x − 5sinx + 1 = 06sin2x − 5sinx + 1 = 0

    67.

    8cos2x − 2cosx − 1 = 08cos2x − 2cosx − 1 = 0

    68.

    100tan2x + 20tanx − 3 = 0100tan2x + 20tanx − 3 = 0

    69.

    2cos2x − cosx + 15 = 02cos2x − cosx + 15 = 0

    70.

    20sin2x − 27sinx + 7 = 020sin2x − 27sinx + 7 = 0

    71.

    2tan2x + 7tanx + 6 = 02tan2x + 7tanx + 6 = 0

    72.

    130tan2x + 69tanx − 130 = 0130tan2x + 69tanx − 130 = 0

    Технологии

    Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти все решения до четырех знаков после запятой.

    Для следующих упражнений решите уравнения алгебраически, а затем с помощью калькулятора найдите значения на интервале [0,2π).[0,2π). Округлить до четырех знаков после запятой.

    77.

    tan2x + 3tanx − 3 = 0tan2x + 3tanx − 3 = 0

    78.

    6tan2x + 13tanx = −66tan2x + 13tanx = −6

    79.

    tan2x − secx = 1tan2x − secx = 1

    80.

    sin2x − 2cos2x = 0sin2x − 2cos2x = 0

    81.

    2tan2x + 9tanx − 6 = 02tan2x + 9tanx − 6 = 0

    82.

    4sin2x + sin (2x) secx − 3 = 04sin2x + sin (2x) secx − 3 = 0

    Расширения

    Для следующих упражнений найдите все решения уравнений в точности на интервале [0,2π). [0,2π).

    83.

    csc2x − 3cscx − 4 = 0csc2x − 3cscx − 4 = 0

    84.

    sin2x − cos2x − 1 = 0sin2x − cos2x − 1 = 0

    85.

    sin2x (1 − sin2x) + cos2x (1 − sin2x) = 0sin2x (1 − sin2x) + cos2x (1 − sin2x) = 0

    86.

    3sec2x + 2 + sin2x − tan2x + cos2x = 03sec2x + 2 + sin2x − tan2x + cos2x = 0

    87.

    sin2x − 1 + 2cos (2x) −cos2x = 1sin2x − 1 + 2cos (2x) −cos2x = 1

    88.

    tan2x − 1 − sec3xcosx = 0tan2x − 1 − sec3xcosx = 0

    89.

    sin (2x) sec2x = 0sin (2x) sec2x = 0

    90.

    sin (2x) 2csc2x = 0sin (2x) 2csc2x = 0

    91.

    2cos2x − sin2x − cosx − 5 = 02cos2x − sin2x − cosx − 5 = 0

    92.

    1sec2x + 2 + sin2x + 4cos2x = 41sec2x + 2 + sin2x + 4cos2x = 4

    Реальные приложения

    93.

    У самолета достаточно бензина, чтобы долететь до города в 200 милях к северо-востоку от его текущего местоположения. Если пилот знает, что город находится в 25 милях к северу, на сколько градусов к северу от востока должен лететь самолет?

    94.

    Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 4 фута, а ее длина составляет 15 футов, то какой угол образует аппарель с землей?

    95.

    Если погрузочная рампа размещена рядом с грузовиком на высоте 2 фута, а ее длина составляет 20 футов, какой угол образует аппарель с землей?

    96.

    Женщина наблюдает за запущенной ракетой, которая сейчас находится на высоте 11 миль. Если она стоит в 4 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит вверх из горизонтали?

    97.

    Астронавт находится в запущенной ракете, которая сейчас находится на высоте 15 миль. Если мужчина стоит в 2 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит на него сверху вниз из горизонтали? (Подсказка: это называется углом депрессии.)

    98.

    Женщина стоит в 8 метрах от 10-метрового здания.Под каким углом она смотрит на вершину здания?

    99.

    Мужчина стоит в 10 метрах от 6-метрового дома. Кто-то наверху здания смотрит на него сверху вниз. Под каким углом смотрит на него человек?

    100.

    У здания высотой 20 футов есть тень длиной 55 футов. Какой угол подъема солнца?

    101.

    У здания высотой 90 футов есть тень длиной 2 фута. Какой угол подъема солнца?

    102.

    Прожектор на земле в 3 метрах от человека ростом 2 метра отбрасывает 6-метровую тень на стену в 6 метрах от человека.Под каким углом свет?

    103.

    Прожектор на земле в 3 футах от женщины ростом 5 футов отбрасывает тень высотой 15 футов на стену в 6 футах от женщины. Под каким углом свет?

    Для следующих упражнений найдите решение задачи со словом алгебраически. Затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы проверить результат. Ответ округлите до десятых долей градуса.

    104.

    Человек выполняет стойку на руках, когда его ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 1,5 фута от стены.Если рост человека 6 футов, какой угол у его ступни со стеной?

    105.

    Человек делает стойку на руках, при этом ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 3 футов от стены. Если рост человека 5 футов, какой угол у его ступни со стеной?

    106.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.