Sin 2 arccos x: trigonometry — $\sin(2\arccos(x))$, please help me understand how to do these kind of problems.

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:

arcsin x = sin-1 x = y

Примечание: sin-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Таблица арксинусов

x arcsin x (рад) arcsin x (°)
-1 -π/2 -90°
-√3/2 -π/3 -60°
-√2/2 -π/4 -45°
-1/2 -π/6 -30°
0 0
1/2 π/6 30°
√2/2 π/4 45°
√3/2 π/3 60°
1 π/2 90°

microexcel. ru

Внеклассный урок — Простейшие тригонометрические уравнения cos t = a, sin t = a, tg x = a, ctg x = a

Простейшие тригонометрические уравнения 

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a R).

 

Уравнение cos x = a.

Принцип:

arccos a = x.

Следовательно, cos x = a.

Условия: модуль а не больше 1;  x не меньше 0, но не больше π

(| a | ≤ 1;  0 ≤ x  ≤ π)

 

Формулы:

                                        
                                           x = ± arccos a  +  2πk,     где k – любое целое число

                                           arccos (-a) = π – arccos a,    где 0 ≤ a ≤ 1

 

Пример 1: Решим уравнение

                √3
cos x  =  ——.
                 2

Решение.

Применим первую формулу:

                      √3
x = ± arccos —— + 2πk
                      2

Сначала находим значение арккосинуса:

             √3       π
arccos —— = —
              2        6

Осталось подставить этот число в нашу формулу:

            π
x = ± —— + 2πk
            6

Пример решен.

 

Пример 2: Решим уравнение

                  √3
cos x  =  – ——.
                   2

Решение.

Сначала применим первую формулу из таблицы:

                        √3
x = ± arccos (– —) + 2πk
                         2

Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:

                 √3                         √3                 π        π        π       6π       π         5π
arccos (– ——) = π – arcos ——  =  π  –  —  =  —  –  —  =  —  –  —  =  ——
                  2                           2                   6        1        6        6        6          6

Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.

Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:

           5π
x = ± —— + 2πk
            6

Пример решен.

 

Уравнение sin x = a.

Принцип:

arcsin a = x,

следовательно sin x = a.

Условия: модуль а не больше 1;  x в отрезке [-π/2; π/2]

(| a | ≤ 1;  –π/2 ≤ x  ≤ π/2)

 

Формулы.

(1 из 3)

x = arcsin a  +  2πk

x = π – arcsin a  +  2πk

 

Эти две формулы можно объединить в одну:
x = (–1)narcsin a + πn

 

(k – любое целое число;  n – любое целое число; | a | ≤ 1)

Значение четного n: n = 2k

Значение нечетного n: n = 2k + 1

Если n – четное число, то получается первая формула.

Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

                                                                  √3
Пример 1: Решить уравнение sin x  =  ——
                                                                  2

Решение.

Применяем первые две формулы:

                        √3
1) x  =  arcsin —— + 2πk
                         2

                              √3
2) x  =  π – arcsin —— + 2πk
                               2

Находим значение арксинуса:

             √3        π
arcsin ——  =  —
             2          3

Осталось подставить это значение в наши формулы:

            π
1) x =  — + 2πk
           3

 

                 π                   2π
2) x =  π – —  + 2πk = —— + 2πk
                 3                    3

Пример решен.

 

Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.

Решение.

               π
x = (–1)n — + πn
               3

Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.

Пример решен.

 

(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:

Если sin x = 0,  то x = πk

Если sin x = 1,  то x = π/2 + 2πk

Если sin x = –1,  то x = –π/2 + 2πk

 

Пример 1: Вычислим arcsin 0.

Решение.

Пусть arcsin 0 = x.

Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].

Синус 0 тоже равен 0. Значит:

x = 0.

Итог:

arcsin 0 = 0.

Пример решен.

 

Пример 2: Вычислим arcsin 1.

Решение.

Пусть arcsin 1 = x.

Тогда sin x = 1.

Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:

arcsin 1 = π/2.

Пример решен.

 

(3 из 3)


arcsin (–a) = –arcsin a

 

Пример: Решить уравнение

                √3
sin x = – ——
                2

Решение.

Применяем формулы:

                          √3
1) x = arcsin (– ——) + 2πk
                           2

                                √3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
                                 2

Находим значение арксинуса:

                 √3                        √3           π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
                  2                          2             3

Подставляем это значение arcsin в обе формулы:

              π
1) x = – — + 2πk
              3
                     π                         π                    4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π +  —  +  2πk = ——  +  2πk
                     3                         3                     3

Пример решен.

 

Уравнение tg x = a.

Принцип:

arctg a = x,

следовательно tg x = a.

Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

(–π/2 < x < π/2)

 

Формулы.

(1)

 x = arctg a + πk

где k – любое целое число (k ∈ Z)

 

(2)

arctg (–a) = –arctg a

Пример 1: Вычислить arctg 1.

Решение.

Пусть arctg 1 = x.

Тогда tg x = 1,  при этом x ∈ (–π/2; π/2)

Следовательно:

       π                       π
x = —    при этом  — ∈ (–π/2; π/2)
       4                       4

                            π
Ответ: arctg 1 = —
                            4

 

Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.

Решение.

Применяем формулу:

x = arctg (–√3) + πk

Решаем:

arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

Подставляем:

x = –π/3 + πk.

Пример решен.

 

Уравнение ctg x = a.

Принцип:

arcctg a = x,

следовательно ctg x = a.

Условие: x больше 0, но меньше π

(0 < x < π)

 

Формулы.

(1)

x = arcctg a + πk

(k ∈ Z)

 

(2)

arcctg (a) = π – arcctg а

                                                 
Пример 1: Вычислить arcctg √3.

Решение.

Следуем принципу:

arcctg √3 = х

ctg х = √3.

х = π/6.

Ответ: arcctg √3 = π/6

Пример 2: Вычислить arcctg (–1).

Решение.

Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.

Пример решен.

 

Урок 6. обратные тригонометрические функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №6. Обратные тригонометрические функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;
  • Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;
  • Объяснять расположение промежутков монотонности;
  • Определять наибольшее и наименьшее значение функции;
  • Применять знания при решении задач.

Глоссарий по теме

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  и множество значений  .

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения   и множество значений  

Арктангенс ( y = arctg x )  – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений  .

Арккотангенс ( y = arcctg x )  – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен  ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.

Объяснение нового материала

Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.

Арксинус ( y = arcsin x )  – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Свойства

Функции y=arcsin х

E(f)

D(f)

Чётность

Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x

Промежутки монотонности

Возрастающая

Рис. 1 График функции y=arcsin х

Рассмотрим свойства функции y=arcos x и построим ее график.

Арккосинус ( y = arccos x )  – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ).

Свойства

Функции y=arccos х

E(f)

D(f)

Чётность

Ни чётная, ни нечётная

Промежутки монотонности

Убывающая

Рис.2 График функции y=arccos х

Рассмотрим свойства функции y=arctgx и y=arcctgx и построим их графики.

Арктангенс ( y = arctg x )  – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).

Арккотангенс ( y = arcctg x )  – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ).

Свойства

y=arctg х

y=arcctg х

E(f)

R

R

D(f)

Чётность

Нечётная

Нечётная

Промежутки монотонности

Возрастающая

Убывающая

Рис. 3 График функции y=arctgx

Рис.4 График функции y=arcсtgx

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1.

Найдите значение выражения

Обозначим , по определения арктангенса получаем х=60°, т.е. нам нужно найти

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство

;

;

;

;

Накладываем ограничения по свойствам арксинуса:

;

Ответ:

Программа элективного курса для учащихся 11-го класса «Обратные тригонометрические функции»



Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс для
учащихся 11-го класса посвящен одному из
важнейших понятий математики. Понятия арксинуса,
арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
вводятся в курс алгебры и начал анализа во время
изучения учащимися простейших
тригонометрических уравнений. При этом следует
заметить, что практически все старшеклассники
плохо знают, а тем более понимают, эти
определения. Что же тогда говорить об обратных
тригонометрических функциях?

В последнее время в материалах ЕГЭ и
вступительных экзаменов в высшие учебные
заведения, часто предлагаются задания по данной
теме. Такие задачи вызывают затруднения у
учащихся, так как практических заданий по этой
теме в школьных учебниках мало.

Цель данного элективного курса –
повысить математическую культуру учащихся в
рамках школьной программы по математике,
прояснить и дополнить школьный материал,
связанный с обратными тригонометрическими
функциями, представить его систематизацию и
помочь старшеклассникам успешно сдать ЕГЭ по
математике.

В курсе заложена возможность
дифференцированного обучения, как путем
использования задач различного уровня
сложности, так и на основе различной степени
самостоятельности осваивания нового материала.
Следовательно, программа применима для самых
различных групп школьников, в том числе не
имеющих хорошей подготовки.

На изучение всего курса отводится 11
часов, по окончании предусмотрено зачетное
мероприятие на 2 часа, а также возможны и другие
формы комбинированной диагностики.



Учебно-тематический план












№ п/п

Тема

Количество часов

Форма контроля

1.

Определения арксинуса,
арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

1

Математический диктант

2.

Функции у=arcsin x, y=arccos x их
графики и свойства.

1

Работа с таблицами с
последующей взаимопроверкой

3.

Функции у=arcsin x, y=arccos x их
графики и свойства.

1

Самостоятельная работа
обучающего характера

4.

Функции у=arcsin x, y=arccos x, их
графики и свойства.

1

Тест (различные уровни
сложности)

5.

Функции у=arctg x, y=arcctg x, их
графики и свойства.

1

Самостоятельная работа
обучающего характера

6.

Функции у=arctg x, y=arcctg x, их
графики и свойства.

1

Урок взаимопроверки

7.

Функции у=arctg x, y=arcctg x, их
графики и свойства.

1

Тест (различные уровни
сложности)

8.

Обобщающий урок по теме:
“Обратные тригонометрические функции, их
графики и свойства”

2

Практикум, работа в группах.
Домашняя контрольная работа.

9.

Итоговый контроль

2

Зачет (тест)



Содержание



Тема 1. Определения арксинуса,
арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

На первом занятии учащимся сообщается
цель и значение данного курса. Определения
арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Основное внимание здесь нужно
уделить на идеально точное воспроизведение
определений, так как даже самое маленькое
отличие от “идеала” влечет за собой большие
ошибки.



Темы 2-4. Функции у=arcsin x, y=arccos x их
графики и свойства.

Свойства функций: область определения,
область значений, непрерывность, четность и
нечетность, возрастание и убывание, экстремумы,
наибольшие и наименьшие значения, сохранение
знака. Графики функций и их преобразование.



Темы 5-7. Функции у=arctg x, y=arcctg x, их
графики и свойства.

Свойства функций: область определения,
область значений, непрерывность, четность и
нечетность, возрастание и убывание, экстремумы,
наибольшие и наименьшие значения, сохранение
знака. Графики функций и их преобразование.



Тема 8. Обратные тригонометрические
функции, их свойства и графики.

Решение различных заданий, связанных с
понятием обратных тригонометрических функций,
из вариантов ЕГЭ (группа В и С).



Тема 9. Итоговый контроль.

Итоговая диагностика может быть
проведена в виде зачета, виде тестовых заданий,
но обязательно дифференцированного характера.



Занятие 1. Определения арксинуса,
арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

При решении тригонометрических
уравнений простейших (кроме частных случаев) или
более сложных неизменно приходишь к формулам
корней, в которых есть несколько “магических”
слов: арксинус, арккосинус, арктангенс или
арккотангенс. Эти четыре слова почти для всех
старшеклассников становятся “камнем
преткновения”, большинство школьников (в том
числе и те, кто потом блестяще сдают математику)
не могут точно определить эти функции.

Итак, попробуем разобраться в этих
запутанных определениях.



у=arcsin x: у – это число (а не угол!),
причем у, такое, что sin у = х. Здесь
нужно констатировать еще один факт: х [-1;1].

Продемонстрируем на задачах, как
применяется это определение.

№1.



а) arcsin 1/2 =?

Решение: 1/2= х. Значит, мы должны
найти такое число у, из отрезка , синус
которого равен 1/2. Можно сделать вывод,
что у=.

arcsin 1/2 = .

б) arcsin=?

Решение: Рассуждаем аналогично.
= х
. Значит,
мы должны найти такое число у, из отрезка , синус
которого равен . Можно сделать вывод, что у= .



arcsin= .

в) arcsin (-)=?

Решение: К этому моменту, почти все
старшеклассники (особенно те, которые чуть
слабее в знаниях), понимают, что ответ гораздо
быстрее найти в учебнике, на первых страницах
(есть там такие “замечательные” таблицы). И тут
начинаются ошибки. Их надо сразу пресечь, четко
повторяя, что у число из отрезка
. Для
того чтобы найти это число у, можно
воспользоваться такой формулой arcsin(-х)= — arcsin х.

Теперь, решение будет гораздо проще.



arcsin (-)=
— arcsin = — .

y=arccos x: у – это число (а не угол!),
причем у, такое,
что cos у = х. Здесь нужно констатировать еще один
факт: х [-1; 1].

у=arctg x: у – это число (а не угол!),
причем у, такое, что tg у= х. Причем для
х здесь ограничений нет.

y=arcctg x: у – это число (а не угол!),
причем у ,
такое, что ctg у= х. Причем для х здесь ограничений
нет.

№2.

а) arccos 1/2=?

Решение: 1/2=х. Значит, мы должны
найти такое число у, из отрезка , косинус
которого равен 1/2. Можно сделать вывод,
что у=.

arccos 1/2= .

б) ) arccos=?

Решение: Рассуждаем аналогично.
= х
. Значит,
мы должны найти такое число у, из отрезка, косинус
которого равен . Можно сделать вывод, что у= .



arccos= .

в) arccos(-)=?

Решение: Для того чтобы школьники
опять не воспользовались таблицами, следует
сразу им дать формулу: arсcos(-х) = – arсcos х.

Для вычисления отрицательных значений
арктангенса и арккотангенса применимы формулы: arctg(-
x) = — arctg x

№ 3.

Вычислить:



а) arctg0

б) arсcos(-1/2)

в) arсctg(-1)

г) arcsin 1

д)

е) arcsin (-0,5)

ж)

№ 4.

Найти область допустимых значений
переменной для выражений:



а) arcsin(1-х)

б) arсcos(2-х/2)

в) arcsin(2х+х2)

г) arctg (1-х2)

д)

№5.

Вычислить:



а) sin (arсcos (-1/4))

б) cos (arcctg(-2))

в) sin (2 arcsin 1/3)

г) tg (2 arcsin 1/3).

Решение: а) sin (arсcos (-1/4))=?

Пусть у= arсcos (-1/4). Значит, мы
должны найти sin y.

По определению арккосинуса у – это
число, из отрезка , косинус которого равен -1/4.

Итак, у= arсcos (-1/4), у, т. е. у может
принадлежать I и II четвертям. При этом cos
у = -1/4.

Теперь можно уточнить, у
принадлежит II четверти, т.к. cos у<0.
Используем формулу

sin2y + cos2y =1.

sin2y= 1 — cos2y

siny = ±, т.к. у II
ч., то siny>0.

Значит, siny= .

Ответ: siny=.

№6.

Произведите указанные действия:



а) arcsin 3/5 + arcsin 12/13

б) arсcos 7/25 + arсcos 3/5

в) arсctg 5 — arсctg 4

г) arctg4 + arctg 5.

Решение:

Пусть arcsin 3/5 + arcsin 12/13= у, тогда cos
у=cos(arcsin 3/5 + arcsin 12/13).
Применим формулу косинус
суммы и получим:



cos у= cos (arcsin 3/5) cos(arcsin 12/13) – sin(arcsin 3/5)
sin(arcsin 12/13)

Вычисляя каждое выражение в
отдельности, получим cos у= -16/65, значит у=arсcos(-16/65)

Ответы:



3. а) 0 б) в) г)
д) е) ж) 0.



4. а) [ 0;2] б) [ 2;6] в) г) ж)

5. б) в) г)
.



6. а) arсcos(-16/65) б) arсcos(-3/5) в)
arctg1/21 г) arсctg(-19/9)

Итогом этого занятия должен быть
математический диктант с последующей проверкой.
Проверка может осуществляться через
проецирование с помощью оверхеда, ответы могут
быть заранее готовы на дополнительных досках, а
также к проверке можно привлечь и учащихся.



Занятия 2-4. Функции у=arcsin x, y=arccos x, их
графики и свойства.

Данные занятия следует начинать с
понятия обратная функция.



Определение. Пусть каждому значению у
Е(f)
соответствует
только одно значение х D(f), для которого у= f (х).
Указанное соответствие у>х задает функцию с
областью определения Е(f) и областью значений D(f).
Эту функцию называют обратной к функции f (х).
Обозначив обратную функцию через g, имеем: если у=
f (х)
, то х = g(у).

Примерами обратных функций могут
служить показательная и логарифмическая
функции. Для каждой из этих функций всегда можно
найти обратную функцию. А вот для функции у=х2
есть обратная функция только при
определенных условиях. При каких? (Монотонность
функции. y=х2 имеет обратную ей только для х
). Каким
свойством обладают графики взаимообратных
функций? (Графики взаимно обратных функций
симметричны относительно прямой у=х).

Используя эти определения и свойства,
построим графики функций у=arcsin x, y=arccos x.
Объяснение лучше проводить с помощью ИКТ.



Слайд 1.

С помощью средств анимации построение
графика функции у= arcsin х будет
выполнено пошагово и наглядно.

Аналогично поступаем и с функцией у=
arccos x.

Слайд 2.

Далее необходимо напомнить учащимся о
возможных преобразованиях графиков функций и
выполнить с классом устную работу.



Устная работа.

  1. Установить соответствие между графиком и
    формулами.

  2. Слайд 3.

    2. Указать для каждой из данных функции
    область определения и область значений.

    3. Решить уравнения:

    а) arccos x= 3х+ 3,15

    б) arcsin х= (1/2)х + 1,58

    №1.

    Построить графики функций:


    а) у=2 arccos (х+2) – 2

    б) у= -0.5 arcsin (x-1) +1

    в) y= | 3 arccos (х+1,5)- 5 |

    Это задание может быть выполнено
    школьниками с помощью таблиц
    Эльконина–Давыдова с последующей
    взаимопроверкой. Таблица выглядит следующим
    образом.

    №2.

    Укажите все точки на оси Ох, являющиеся
    проекциями точек графика функции:


    Текст задания поставит в тупик
    многих школьников. Смысл этого задания состоит в
    том, что процесс нахождения области определения
    функции совпадает с заданием в этом номере.

    №3.

    Решить уравнение:


    Текст этого задания можно
    варьировать: найти нули функции, найти абсциссы
    точек пересечения графиков функций, определить
    значения х, при которых точки одного графика
    лежат на графике другой функции.

    №4.

    Найти область определения функции:


    №5.

    Найти область значений функции:

    Текст этого задания можно
    сформулировать иначе: найти сумму наибольшего и
    наименьшего значений функции, указать число
    целых значений функции.


    Ответы:

    2.а) (0;1] б) в) (0;1]


    3.а) 1 б) -1 в) 2


    4. а)
    б) [0;1/2] в) [2;3)U(3;4]


    5. а) [1;2] б) в) [0;25]


    Задания для самостоятельной работы

    1. Вычислить:


    2. Найти область определения функции:

    3. Найти сумму наибольшего и
    наименьшего значений функции:

    4. Решить уравнение:


    Занятия 5-7. Функции у=arctg x, y=arcctg x, их
    графики и свойства.

    Объяснение материала рекомендую
    вести с помощью ИКТ, проводя сравнительный
    анализ между функциями у=tg x и у=arctg x,
    y=ctg x
    и y=arcctg x. С помощью средств
    анимации построение графиков функций будет
    выполнено пошагово и наглядно.


    Слайд 4.

    Слайд 5.

    Далее необходимо напомнить учащимся о
    возможных преобразованиях графиков функций и
    выполнить с классом устную работу.


    Устная работа.

    1.Установить соответствие между
    графиком и формулами:


    Слайд 6.

  3. Для каждой из предложенных функций указать
    область определения и область значений.
  4. При каком значении а уравнения не имеют
    решений:



а) arctg x=cos x+ a

б) arcctg x — а = х.

№1.

Построить графики функций:



Это задание может быть выполнено
школьниками с помощью таблиц
Эльконина–Давыдова с последующей
взаимопроверкой. Таблица выглядит следующим
образом.

№ 2.

Решить уравнения:

Опыт показывает, что нередко ученик,
“берясь” за решение уравнения (впрочем, как и
неравенства), концентрирует свое внимание только
на поиске преобразований, сводящих исходное
уравнение к более простому, забывая при этом, что
не каждое преобразование безобидно. Нужно
помнить и о свойствах функций, их области
определения и области значений. При решении
приведенных выше уравнений необходимо
обязательно найти ОДЗ.

№ 3.

Найти множество значений функции:

№ 4.

Решить неравенство:

Решение:



в)

Решение данного неравенства опирается
на свойства функций y=sin x и y=arctg x . Введем
функции y1=sin x-1999 и y2=2arctg x +.

Е(sin x) = [-1; 1], E(y1) =[-2000; -1998]. Это
значит, что выражение sin x-1999 < 0 при любых
значениях аргумента. Поэтому, выражение 2arctg x +должно
принимать неотрицательные значения, т.е. 2arctg x +0.

2arctg x — .

arctg x — .

Так как функция y2=2arctg x + возрастающая,
то знак неравенства при дальнейшем решении
сохраняется. То есть

Ответ: х.

№ 5.

При каких значениях а
уравнение имеет единственный корень:

Ответы:



2. а) 1 б) 0; 2 в) 2; 3



3. а) [0; 2] б) [-1; 0] в) [-3; 0]



4. а) б)

5. а)
б) в)

Задания для самостоятельной работы

№ 1.

Вычислить:

№ 2.

Найти множество значений функции:

№ 3.

Решить уравнение или неравенство:



Занятия 8-9. Обратные
тригонометрические функции, их свойства и
графики.

Эти два занятия я рекомендую провести
как практикум, заранее разделив класс на группы.
В каждой группе должны быть учащиеся с разной
математической подготовкой, тогда работа класса
будет более плодотворной и результативной.

Приведу примерный вариант карточек
для проведения этого практикума.



Карточка 1.

  1. Построить графики функций:
  2. Вычислить:


  3. Вычислить значения следующих выражений:



Карточка 2.

1.Найти область определения функции:

2. Найти множество значений функции:

3.Найти наименьшее значение функции:



Карточка 3.

  1. Решить уравнения:
  2. Найти сумму х00, если (х00)
    – решение системы
  3. Решить неравенства:



Карточка 4.

1.Сколько получится числовых
промежутков, если из отрезка, определяемого
множество значений функции , удалить все целые числа?

2. Для каждого значения параметра а
решить неравенство .



Занятие 10-11. Зачет (тест)

В качестве зачетных заданий
предлагаются задания из разделов “Задания для
самостоятельной работы”.
Школьникам заранее
дать текст этих заданий, провести консультацию
по возникшим вопросам.

См. презентацию.

Правила ввода математических выражений

Ввод чисел:


Целые числа вводятся обычным способом, например:
4; 18; 56


Для ввода отрицательного числа необходимо поставить знак минус:
-19; -45; -90


Рациональные числа вводятся с использованием символа
/, например:
3/4;-5/3;5/(-19)


Вещественные числа вводятся с использованием точки в качестве разделителя целой и дробной частей:
4.5;-0.4

Ввод переменных и констант:


Переменные и константы вводятся латинскими буквами, например:
x; y; z; a; b.


Константы
π
и
e
вводятся как pi и e — соответственно.


Символ бесконечности

вводится двумя маленькими латинскими буквами oo или словом
inf.


Соответственно, плюс бесконечность задается как +oo, и минус бесконечность как -oo.

Сумма и разность:


Сумма и разность задаются при помощи знаков
+
и

соответственно, например:
3+a;
x+y;
5-4+t;
a-b+4;

ВНИМАНИЕ!

Никаких пробелов между операндами быть не должно, например ввод:
x + a

неправильный,
правильно
вводить так:
x+a
— без пробелов.

Умножение:


Умножение задается знаком
*,
например:
3*t;
x*y;
-5*x.(1/n)



log(x)
или
ln(x)

натуральный логарифм

log(x) или ln(x)



log10(x)
или
lg(x)

десятичный логарифм

lg(x)



loga(b)

произвольный логарифм

lg(b)/lg(a)


ex

экспонента

exp(x)


sin(x)

синус

sin(x)


cos(x)

косинус

cos(x)



tan(x)
или
tg(x)

тангенс

tan(x) или tg(x)



cot(x)
или
ctg(x)

котангенс

cot(x) или ctg(x)


sec(x)

секанс

sec(x)

sec(x)=1/cos(x)



csc(x)
или
cosec(x)

косеканс

csc(x) или cosec(x)

csc(x)=1/sin(x)



sin−1(x)
или
arcsin(x)

арксинус

arcsin(x) или asin(x)



cos−1(x)
или
arccos(x)

арккосинус

arccos(x) или acos(x)



tan−1(x)
или
arctan(x)

арктангенс

arctg(x) или atan(x)



cot−1(x)
или
arcctg(x)

арккотангенс

arcctg(x) или acot(x)



sec−1(x)
или
arcsec(x)

арксеканс

arcsec(x) или asec(x)

arcsec(x)=arccos(1/x)



csc−1(x)
или
arccosec(x)

арккосеканс

arccosec(x) или acsc(x)

arcsec(x)=arcsin(1/x)



sinh(x)

гиперболический синус

sinh(x)

sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2



cosh(x)

гиперболический косинус

cosh(x)

cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2



tanh(x)

гиперболический тангенс

tanh(x)

tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)



coth(x)

гиперболический котангенс

coth(x)

coth(x)=cosh(x)/sinh(x)



sech(x)

гиперболический секанс

sech(x)

sech(x)=1/cosh(x)



csch(x)

гиперболический косеканс

cosech(x) или csch(x)

csch(x)=1/sinh(x)



sinh−1(x)
или arcsinh(x)

гиперболический арксинус

arcsinh(x) или asinh(x)



cosh−1(x)
или
arccosh(x)

гиперболический арккосинус

arccosh(x) или acosh(x)



tanh−1(x)
или
arctanh(x)

гиперболический арктангенс

arctanh(x) или atanh(x)



coth−1(x)
или
arccoth(x)

гиперболический арккотангенс

arccoth(x) или acoth(x)



sech−1(x)
или
arcsech(x)

гиперболический арксеканс

arcsech(x) или asech(x)

arcsech(x)=arccosh(1/x)



csch−1(x)
или
arccsch(x)

гиперболический арккосеканс

arccsch(x) или acsch(x)

arccsch(x)=arcsinh(1/x)















Примеры ввода выражений:
Что ввели Что получится
x^4
x4
(5-2*x)^(1/3)
52×13
(5/2+x)^4/2
52×42
sin(3*x+4)^5
sin53x4
1/sqrt(3*x^2+2)
13×22
(sqrt(x)-2*(x^3)+6)/x
x2x36x
e^(3*x)*cos(x)^2
e3xcos2x
((ln(x-7))^5)/(x-7)
ln5x7x7
1/(arcsin(x)^2*sqrt(1-x^2))
1arcsin2x1x2
2*x*arccos(3*x^2)
2xarccos3x2
(5+(x/3)^3)/(8*(x+y)^(1/2))
5x338xy

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что 

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

, так как ,

, так как ,

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3.

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

, значит,

, значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

РЕШЕНО: Упростите выражение. \ sin (2 \ arccos x)

Стенограмма видеозаписи

хорошо, мы собираемся найти знак, в два раза превышающий художественный знак X. Прежде всего, запомните свою идентичность с двойным углом. Знак двойного и угла равняется двойному синусу угла, умноженному на береговую линию угла. Хорошо, наша береговая линия X означает угол. Чей сын со знаком X, так что я буду называть это данными. Итак, мы находим знак двух данных.Теперь об угле. Чья береговая линия X? Как бы это выглядело? Есть две возможности. Одна из возможностей состоит в том, что угол находится в первом квадранте. Другая возможность состоит в том, что угол находится во втором квадранте. Это терминальная сторона во втором квадранте, поэтому давайте рассмотрим оба случая. Если угол находится в квадранте, первый на его береговой линии равен X, тогда мы могли бы поставить X на соседний, а один на высокий горшок. Новости, потому что X над одним — это X, и если угол находится в квадранте, который нужно ослабить, сделайте то же самое с X на соседнем. В новостях о хип-хопе у нас все еще есть X, а не один — это X.Теперь давайте найдем обратную ссылку, потому что она нам понадобится, чтобы найти знак. Так что пока это называется наоборот. Почему? И на другой стороне тоже будет почему. Итак, теперь мы можем использовать теорему Пифагора и понять, почему квадрат плюс X равен одному квадрату. Так почему же квадрат равен одному минус X в квадрате? Так почему же квадратный корень из единицы минус X возводится в квадрат? Хорошо, теперь мы можем работать с этой формулой, чтобы найти знак, равный удвоенному углу, который мы хотим, удвоенному синусу угла, умноженному на береговую линию угла.Каков синус угла напротив новостей о высоких доходах? Это будет квадратный корень, один минус X в квадрате над единицей. И какова береговая линия угла, примыкающего к высокопоставленным новостям. Так что это будет X больше одного. Итак, теперь мы можем упростить это, и у нас есть двукратный x, умноженный на квадратный корень из одного минус X в квадрате, а затем просто имейте в виду, что обратный знак co или знак ARC, как мы называем его здесь, функция определена только для X находится между нулем и круговой диаграммой, поэтому мы можем отметить это. X находится в интервале от нуля до пи

Yahoo Answers закрылся | Справка Yahoo

Yahoo Answers прекратил работу с 4 мая 2021 года.Yahoo Answers когда-то был ключевой частью продуктов и услуг Yahoo, но с годами его популярность снизилась по мере изменения потребностей наших участников. Мы решили переместить наши ресурсы с Yahoo Answers, чтобы сосредоточиться на продуктах, которые лучше обслуживают наших участников и выполняют обещание Yahoo по предоставлению надежного контента премиум-класса.

С 4 мая 2021 года вы больше не можете получить доступ к сайту, но вы все равно можете запросить загрузку ваших данных Yahoo Answers до 30 июня 2021 года. Чтобы помочь вам с этим переходом, мы составили список вопросов, которые могут возникают во время этого процесса.

Повлияет ли это на мою учетную запись Yahoo или другие службы Yahoo?

Нет, эти изменения относятся к Yahoo Answers. Они не повлияют на вашу учетную запись Yahoo или другие службы Yahoo.

Куда мне обратиться, если у меня возникнут вопросы в будущем?

Yahoo Search можно использовать для поиска ответов и информации в Интернете. Наша страница Yahoo COVID предоставляет информацию и ресурсы о пандемии коронавируса.

Могу ли я загрузить свой контент Yahoo Answers?

Какой контент мне доступен?

При загрузке данных Yahoo Answers будет возвращен весь пользовательский контент, включая ваши вопросы, ответы и изображения. Вы не сможете загружать контент, вопросы или ответы других пользователей.

Нужно ли мне скачивать мой контент?

Нет, загрузка содержимого не обязательна. Однако, если вы решите загрузить свой контент, вы должны сделать это до 30 июня 2021 года.

Когда я получу контент Yahoo Answers?

Наша команда работает как можно быстрее, чтобы сделать данные доступными, но загрузка вашего контента может занять до 30 дней.

Я загрузил свой контент Yahoo Answers, как мне его просмотреть?

Ваш контент будет отформатирован в JSON (нотация объектов JavaScript), и его может быть сложно просмотреть с первого взгляда. У нас есть ресурсы по просмотру и управлению данными вашей учетной записи, которые помогут вам понять, как загружаются ваши данные.

Как я могу поделиться своими комментариями / отзывами об этом изменении?

Присылайте любые комментарии или отзывы относительно этого решения по адресу [email protected] Спасибо, что нашли время поделиться с нами своими мыслями.

Производные обратных тригонометрических функций

Введение в обратные тригонометрические функции

В предыдущем разделе мы изучили производные шести основных тригонометрических функций:

\ [{\ color {blue} {\ sin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ cos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ tan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ cot x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ sec x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ csc x.\;} \]

В этом разделе мы рассмотрим производные обратных тригонометрических функций, которые соответственно обозначаются как

.

\ [{\ color {синий} {\ arcsin x, \;}} \ kern0pt \ color {red} {\ arccos x, \;} \ kern0pt \ color {darkgreen} {\ arctan x, \;} \ kern0pt \ color {magenta} {\ text {arccot} x, \;} \ kern0pt \ color {шоколад} {\ text {arcsec} x, \;} \ kern0pt \ color {maroon} {\ text {arccsc} x. \ ;} \]

Обратные функции существуют, когда на область определения исходных функций накладываются соответствующие ограничения.

Например, домен для \ (\ arcsin x \) составляет от \ (- 1 \) до \ (1. \) Диапазон или выход для \ (\ arcsin x \) — все углы от \ (- \ большие {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) в \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize \) радианы.

Области других тригонометрических функций ограничены соответствующим образом, так что они становятся взаимно однозначными функциями, и их обратные функции могут быть определены.

Производные обратных тригонометрических функций

Производные от обратных тригонометрических функций могут быть получены с помощью теоремы об обратной функции.2} — 1}}}.}
\]

В последней формуле абсолютное значение \ (\ left | x \ right | \) в знаменателе появляется из-за того, что произведение \ ({\ tan y \ sec y} \) всегда должно быть положительным в диапазоне допустимых значений \ (y \), где \ (y \ in \ left ({0, {\ large \ frac {\ pi} {2} \ normalsize}} \ right) \ cup \ left ({{\ large \ frac {\ pi} {2} \ normalsize}, \ pi} \ right), \) то есть производная обратной секущей всегда положительна. 2} \]

Пример 4

\ [y = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} \]

Пример 5

\ [{y = \ arctan \ frac {{x + 1}} {{x — 1}} \; \;} \ kern-0.4}}}.} \]

Обратные тригонометрические функции | Precalculus II

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как и в случае с любой другой функцией и ее обратной. Другими словами, область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, и наоборот, как показано на рисунке 1.{−1} (б) = а [/ латекс].

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной.Мы выбираем область для каждой функции, которая включает число 0. На рисунке 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [latex] \ left [\ frac {- \ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi } {2} \ right] [/ latex] и график функции косинуса, ограниченной [0, π].

Рис. 2. (a) Синусоидальная функция в ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right] [ /латекс]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π]

На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex].

Рисунок 3. Функция касания в ограниченной области [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

Эти обычные варианты выбора для ограниченной области в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает взаимно однозначную функцию, которая является обратимой. Традиционный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он простирается от одной вертикальной асимптоты к следующей вместо того, чтобы быть разделенным на две части асимптотой.{−1} x [/ latex] имеет домен всех действительных чисел и диапазон [latex] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac {\ pi} {2} \ right) [/латекс]. Чтобы найти область , и , диапазон обратных тригонометрических функций, переключите область и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно линии [латекс] y = x [/ latex].

Рисунок 4. Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Рисунок 5.{−1} (0,96593) \ приблизительно \ frac {5 \ pi} {12} [/ латекс]

Попробуй 1

Учитывая [латекс] \ cos (0,5) \ приблизительно 0,8776 [/ латекс], напишите соотношение, включающее обратный косинус.

Решение

Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса

Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы научимся их оценивать. Для большинства значений в их областях мы должны вычислять обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или других численных методов.\ circ) [/ latex], и их отражения в другие квадранты.

Как сделать: учитывая «особое» входное значение, вычислить обратную тригонометрическую функцию.

  1. Найдите угол x , для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
  2. Если x не находится в заданном диапазоне обратного преобразования, найдите другой угол y , который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x , в зависимости от того, который соответствует заданному обратному функция.{−1} (\ frac {1} {2}) [/ латекс]

Решение

Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций

Чтобы оценить обратных тригонометрических функции , которые не используют особые углы, обсуждавшиеся ранее, нам понадобится калькулятор или другой тип технологии. Большинство научных калькуляторов и приложений-эмуляторов калькуляторов имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, как SIN-1, ARCSIN или ASIN.

В предыдущей главе мы работали с тригонометрией на прямоугольном треугольнике, чтобы найти стороны треугольника с учетом одной стороны и дополнительного угла. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θ в качестве независимой переменной. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.{\ circ} \ hfill & \ text {Оценить.} \ end {array} [/ latex]

Попробуй 4

Решите треугольник на рисунке 9 для угла θ.

Рисунок 9

Решение

Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями

Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. В этих случаях мы обычно можем найти точные значения для результирующих выражений, не прибегая к калькулятору.{−1} (\ sin x) = x \\ [/ латекс]?

Нет. Это уравнение верно, если x принадлежит ограниченной области [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \\ [/ latex] , но синус определен для всех реальных входных значений, а для x вне ограниченного интервала уравнение неверно, потому что его обратное всегда возвращает значение в [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \\ [\ latex] . {- 1} (\ cos \ theta) = \ frac {\ pi} {2} — \ theta \ text {if} 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \\ [/ latex].{−1} (\ cos (\ frac {13 \ pi} {6})) \\ [/ latex]

  1. путем прямой оценки.
  2. способом, описанным ранее.

Решение

  1. Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции.

    [латекс] \ begin {array} \ cos \ left (\ frac {13 \ pi} {6} \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} +2 \ pi \ right) \ \ \ hfill = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \\ \ hfill = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {array} \\ [/ latex]

    Теперь мы можем вычислить обратную функцию, как делали раньше.{−1} (\ frac {4} {5}) \\ [/ latex] находится в квадранте I, [latex] \ sin {\ theta} \\ [/ latex] должно быть положительным, поэтому решением будет [latex ] \ frac {3} {5} \\ [/ latex]. См. Рисунок 11.

    Рис. 11. Правый треугольник, иллюстрирующий, что если [latex] \ cos \ theta = \ frac {4} {5} [/ latex], то [latex] \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \ \ [/ латекс]

    Мы знаем, что обратный косинус всегда дает угол в интервале [0, π], поэтому мы знаем, что синус этого угла должен быть положительным; поэтому [латекс] \ sin \ left (\ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {4} {5} \ right) \ right) = \ sin \ theta = \ frac {3} {5} \\ [ /латекс].{−1} \ left (\ frac {7} {4} \ right) \ right) \\ [/ latex].

    Решение

    Хотя мы могли бы использовать ту же технику, что и в Примере 6, мы продемонстрируем здесь другую технику. Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что [latex] \ tan \ theta = \ frac {7} {4} \\ [/ latex]. Мы можем представить это как противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.

    Рис. 12. Прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами

    Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.{−1} \ left (4x \ right) \ right) \\ [/ latex] для [латекса] — \ frac {1} {4} \ leq x \ leq \ frac {1} {4} \\ [/ латекс].

    Решение

    Ключевые понятия

    • Обратная функция — это функция, которая «отменяет» другую функцию. Область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, а диапазон обратной функции — это область определения исходной функции.
    • Поскольку тригонометрические функции не взаимно однозначны в своих естественных областях, обратные тригонометрические функции определены для ограниченных областей.{−1} \ left (\ sin x \ right) = \ frac {\ pi} {2} −x [/ latex] если [латекс] — \ frac {\ pi} {2} \ leq x \ leq \ frac {\ pi} {2} [/ латекс].
    • При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией нарисуйте контрольный треугольник, чтобы помочь определить соотношение сторон, представляющее выходные данные тригонометрической функции.
    • При оценке состава тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией вы можете использовать тригонометрические тождества для помощи в определении соотношения сторон.{−1} (2) [/ латекс]. Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию обратного косинуса.

      5. Почему область синусоидальной функции [latex] \ sin x [/ latex] должна быть ограничена [latex] \ left [- \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ frac { \ pi} {2} \ right] [/ latex] для существования функции обратного синуса?

      6. Обсудите, почему это утверждение неверно: [latex] \ arccos (\ cos x) = x [/ latex] для всех x .

      7. Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным, и объясните свой ответ: [latex] \ arccos (−x) = \ pi− \ arccos x [/ latex].{-1} х [/ латекс]? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.

      53. Предположим, что к зданию прислонена 13-футовая лестница, достигающая дна окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?

      54. Предположим, вы проезжаете 0,6 мили по дороге, так что вертикальное расстояние изменяется от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?

      55. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол между стороной 9 дюймов и стороной 8 дюймов.

      56. Без использования калькулятора приблизительно определите значение [латекс] \ arctan (10,000) [/ латекс]. Объясните, почему ваш ответ разумен.

      57. Ферма крыши дома состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. У каждого есть основание 12 футов и высота 4 фута. Найдите величину острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.

      58. Линия [latex] y = \ frac {3} {5} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y .Какова мера угла, который линия составляет с положительной осью x ?

      59. Линия [latex] y = — \ frac {3} {7} x [/ latex] проходит через начало координат в плоскости x , y . Каков угол между линией и отрицательной осью x ?

      60. Какой процентный уклон должен иметь дорога, если угол наклона дороги составляет 4 градуса? (Процентный уклон определяется как изменение высоты дороги на 100-футовом горизонтальном расстоянии.Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)

      61. 20-футовая лестница прислоняется к стене здания так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 10 футов от основания здания. Если согласно спецификациям угол подъема лестницы должен составлять от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?

      62. Предположим, что 15-футовая лестница прислонена к стене дома, так что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.Как далеко от дома находится подножие лестницы?

      Тригонометрические функции — Справочное руководство Sage 9.2: Функции

      Bases: sage.symbolic.function.GinacFunction

      Модифицированная функция арктангенса.

      Возвращает арктангенс (в радианах) для \ (y / x \), где
      в отличие от arctan (y / x) , знаки как x , так и y являются
      считается. В частности, эта функция измеряет угол
      луча, проходящего через начало координат и \ ((x, y) \), с положительным
      \ (x \) — ось нулевой отметки, а с выходным углом \ (\ theta \)
      находится между \ (- \ pi <\ theta <= \ pi \).

      Следовательно, arctan2 (y, x) = arctan (y / x) только для \ (x> 0 \). Один
      может рассмотреть обычный arctan для измерения углов линий
      через начало координат, а модифицированная функция измеряет
      лучи через начало координат.

      Обратите внимание, что координата \ (y \) по соглашению является первым вводом.

      ПРИМЕРЫ:

      Обратите внимание на разницу между двумя функциями:

       шалфей: arctan2 (1, -1)
      3/4 * пи
      шалфей: арктан (1 / -1)
      -1 / 4 * пи
       

      Это соответствует Python и Maxima:

       шалфей: максима.atan2 (1, -1)
      (3 *% пи) / 4
      шалфей: math.atan2 (1, -1)
      2,3561944

      345

      Другие примеры:

       шалфей: arctan2 (1,0)
      1/2 * пи
      шалфей: arctan2 (2,3)
      арктан (2/3)
      шалфей: arctan2 (-1, -1)
      -3 / 4 * пи
       

      Конечно, мы можем и приблизить:

       шалфей: arctan2 (-1 / 2,1) .n (100)
      -0,46364760

      0611621425623146 шалфей: arctan2 (2,3) .n (100) 0,58800260354756755124561108063

      Мы можем отложить оценку, используя параметр удержания :

       sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True)
      арктан2 (-1/2, 1)
       

      Для повторной оценки в настоящее время мы должны использовать Maxima через
      шалфей.symbolic.expression.Expression.simplify () :

       sage: arctan2 (-1 / 2,1, удерживать = True) .simplify ()
      -арктан (1/2)
       

      Функция также работает с массивами numpy в качестве входных данных:

       sage: import numpy
      шалфей: a = numpy.linspace (1, 3, 3)
      шалфей: b = numpy.linspace (3, 6, 3)
      шалфей: atan2 (а, б)
      массив ([0.32175055, 0.41822433, 0.46364761])
      
      шалфей: atan2 (1, а)
      массив ([0,78539816, 0,46364761, 0,32175055])
      
      шалфей: atan2 (а, 1)
      массив ([0.78539816, 1.10714872, 1.24

      7])

      Обратные тригонометрические функции — Разделы тригонометрии

      Темы | Дом

      19

      Диапазон: y = arcsin x

      Диапазон y = arctan x

      Диапазон y = arccos x

      Диапазон: y = arcsec x

      sin −1 x .Обратный синус

      Обратные отношения

      УГЛЫ в исчислении будут в радианах. Таким образом, если нам, например, задан радианный угол, мы можем вычислить его функцию.

      (Тема 13.)

      И наоборот, если нам дано, что значение синусоидальной функции равно
      ½, тогда задача состоит в том, чтобы назвать угол радиана x .

      sin x = ½.

      «Синус какого угла равен ½?»

      Однако мы пишем: Оценить

      arcsin ½

      «Угол , синус которого равен & frac12.«

      Функция

      y = arcsin x

      называется функцией, обратной

      .

      y = sin x .

      arcsin x — это угол , синус которого равен числу x .

      Строго говоря, arcsin x — это arc , синус которой равен x . Потому что в единичном круге длина этой дуги является мерой в радианах.Тема 14.

      Итак, есть много углов, у которых синус равен ½. Это будет любой угол, которому соответствует острый угол. Следовательно, мы должны ограничить диапазон значений этого угла y = arcsin x — так, чтобы он фактически был функцией; так что он будет однозначным.

      Как мы это сделаем? Мы ограничим их теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

      Они называются главными значениями y = arcsin x .

      Таким образом,

      arcsin ½ =.

      Угол первого квадранта — это угол с наименьшим абсолютным значением, синус которого равен ½.

      Пример 1. Вычислить arcsin (−½).

      Решение. Углы с отрицательными синусами попадают в 3-й и 4-й квадранты. Угол наименьшего абсолютного значения попадает в 4-й квадрант между 0 и -.

      Угол, синус которого равен — x , является просто отрицательной величиной угла, синус которого равен x .

      arcsin (−½) = −arcsin (½) = -.

      Тогда диапазон функции y = arcsin x будет углами, которые попадают в 1-й и 4-й квадранты, между — и.

      Углы с положительными синусами будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными синусами попадут в 4-й квадрант.

      Ограничение диапазона arcsin x эквивалентно ограничению домена sin x теми же значениями.Так будет со всеми последующими ограниченными диапазонами.

      sin −1 x . Обратный синус

      Другое обозначение для arcsin x — sin −1 x . Прочтите: «Обратный синус x ». −1 здесь , а не показатель степени. (См. Тему 19 Precalculus.)

      Задача 1. Вычислите следующее в радианах.

      Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
      Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
      Сначала решите проблему сами!

      a) sin −1 0 = 0. (Тема 15.)

      б) sin −1 1 = π / 2. (Тема 15.)

      в) sin −1 (−1) = −π / 2. (Тема 15.)

      −π / 3.
      −π / 6.

      Каждой тригонометрической функции соответствует ее обратная функция.

      арксин х ,

      arccos x ,

      арктан х ,

      arccsc x ,

      угловых секунды x ,

      arccot ​​ x .

      В каждом из них нам дается значение x тригонометрической функции.Мы должны назвать угол радиана , который имеет это значение.

      В каждом случае мы должны ограничить его диапазон, чтобы функция была однозначной.

      Диапазон y = arctan x

      Как y = arcsin x ,
      y = arctan x имеет наименьшие абсолютные значения в 1-м и 4-м квадрантах.

      Обратите внимание, что y — угол , тангенс которого равен x — должен быть больше — и меньше чем.Поскольку при этих углах квадранта касательная не существует. (Тема 15.)

      Углы, тангенсы которых положительны, будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными касательными попадают в 4-й квадрант.

      То же самое, что и с arcsin (- x ).

      Угол, тангенс которого равен — x , является просто отрицательной величиной угла, тангенс которого равен x .

      = −θ.
      = θ.
      Следовательно,
      арктан (- x ) = −arctan x .

      Проблема 2. Оцените следующее.

      а) арктангенс 1 = π
      4
      б) арктангенс (-1) = π
      4
      в) желто-коричневый -1 = π
      3
      г) загар −1 (-) = π
      3
      д) арктангенс 0 = 0 е) = π
      6

      Диапазон значений y = arccos x

      Пример 2.Оцените arccos ½.

      Решение . arccos ½ = π
      3
      .
      Радианный угол, косинус которого равен ½, равен π
      3
      (60 °).

      Проблема 3. Почему это не так?

      arccos (−½) = -.

      — угол 4-го квадранта. А в 4-м квадранте косинус положительный.

      Урок 15.

      .

      Угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й квадрант, где он будет иметь наименьшее абсолютное значение. (Тема 15.)

      Косинус угла 2-го квадранта является отрицательной величиной косинуса соответствующего острого угла, который является его дополнением.

      Другими словами:

      Угол θ, косинус которого равен — x , является дополнением
      к углу, косинус которого равен x .

      arccos (- x ) = π — arccos x .

      Пример 3. Вычислите arccos (−½).

      Решение . Мы видели:

      arccos ½ =.

      Таким образом, arccos (−½) является дополнением к углу, к которому мы должны прибавить π.

      + θ = π.

      Теперь это одна треть числа π. Следовательно, его добавка будет двух-

      третей числа π:.

      θ = arccos (−½) =.

      Тогда диапазон y = arccos x будет от 0 до π.

      Угол, косинус которого положителен, будет углом 1-го квадранта; угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й угол. Будет дополнением угла 1-го квадранта.

      Проблема 4. Оцените следующее.

      а) arccos 1 = 0 б) arccos (−1) = π
      c) cos −1 2 = π
      4
      г) cos −1 (- 2 ) = π — π
      4
      =
      4
      e) = π
      6
      е) = π — π
      6
      =
      6
      г) arccos 0 = π
      2

      *

      Обратное соотношение выглядит следующим образом:

      arccos x = θ тогда и только тогда, когда x = cos θ.

      Например,

      arccos ½ = π
      3
      тогда и только тогда, когда ½ = cos π
      3
      .

      В общем, так и есть.

      Проблема 5.

      a) arctan t = β тогда и только тогда, когда t = tan β.

      б) arcsec u = α тогда и только тогда, когда u = sec α.

      c) arccos 1 = 0 тогда и только тогда, когда 1 = cos 0.

      г) arccot ​​1 = π
      4
      тогда и только тогда, когда 1 = детская кроватка π
      4
      .

      Диапазон значений y = arcsec x

      В исчислении наиболее важными обратными тригонометрическими функциями являются sin −1 x , tan −1 x и cos −1 x .Тем не менее, вот диапазоны, делающие остальные однозначными.

      Если x положительно, то значение обратной функции всегда является углом первого квадранта, или 0. Если x отрицательно, значение обратной функции попадет в квадрант, в котором прямая функция отрицательна. Таким образом, если x отрицательно, arcsec x попадет во 2-й квадрант, потому что именно там sec x отрицательно.

      Единственная обратная функция ниже, в которой x может быть 0, — это arccot ​​ x .arccot ​​0 = π / 2.

      Опять же, мы ограничиваем значения y теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

      Обратные отношения

      Если поставить

      f ( x ) = sin x

      и

      г ( x ) = arcsin x ,

      , то согласно определению обратных функций (Тема 19 Precalculus):

      f ( g ( x )) = x и g ( f ( x )) = x .

      sin (arcsin x ) = x и arcsin (sin x ) = x .

      В частности, если

      арксин x = y
      затем, взяв обратную функцию — синус — обеих сторон:
      x = sin y .

      Взяв обратную функцию обеих сторон, мы извлекли или освободили аргумент x . (См. Тему 19 Precalculus, Извлечение аргумента.) Это позволяет нам решать многие тригонометрические уравнения.

      Пример 4. Решить относительно x :

      arcsin ( x — 1) = .

      Решение .Взяв обратную функцию — синус — с обеих сторон, мы можем освободить аргумент x — 1 и немедленно записать —

      x — 1 = грех = 2

      Следовательно,

      x = 1 + 2 .

      Задача 6. Решите для x :

      загар ( x + 2) = 1.

      х + 2 = arctan 1 = π
      4
      .
      x = π
      4
      — 2.

      Задача 7. Решите для x :

      cos x 2 = −1.

      x 2 = arccos −1 = π.

      х = ±.

      Задача 8. Решите для x :

      sin −1 ( x 2 — 1) = 0.
      x 2 — 1 = арксин 0 = 0
      x 2 = 1
      x = ± 1.

      Теорема. Если

      y = arcsec x ,

      , затем продукт

      сек y tan y никогда не бывает отрицательным.

      Например, если y = arcsec x , то угол y попадает либо в первый, либо во второй квадрант. Когда угол y попадает в первый квадрант, то значения sec y и tan y положительны.Следовательно, их продукт положительный.

      Когда угол y попадает во второй квадрант, sec y и tan y оба отрицательны, так что их произведение снова положительно.

      Если y = 0, то tan y = 0, следовательно, произведение sec y tan y равно 0.

      Следовательно, этот продукт никогда не бывает отрицательным.

      (Эта теорема упоминается в доказательстве производной от y = arcsec x .)

      Следующая тема: Тригонометрические идентификаторы

      Содержание | Дом


      Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
      Даже 1 доллар поможет.


      Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

      Вопросы или комментарии?

      Эл. Почта: [email protected]

      Таблица интегралов

      Мощность

      Икс.

      x n dx = x (n + 1) / (n + 1) + C
      (n

      -1) Доказательство

      1 / х

      dx = ln | x | + C

      экспоненциальный

      / Логарифмический

      e x dx = e x + C
      Доказательство
      b x dx = b x / ln (b) + C
      Доказательство,

      Кончик!

      лин (х)

      dx = x ln (x) — x + C
      Проба

      Тригонометрический

      Тригонометрический

      Результат

      обратный

      Тригонометрический

      обратный

      Тригонометрический результат

      Полезные идентификаторы

      arccos x = / 2

      — arcsin x
      (-1 <= x <= 1)

      дуга x = / 2

      — угловые секунды x
      (| x |> = 1)

      дуга x = / 2

      — arctan x
      (для всех x)

      Гиперболический


      Нажмите на доказательство

      для доказательства / обсуждения теоремы.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.