Сечения треугольной призмы: IIS 7.5 Detailed Error — 404.11

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Сечения призмы

     Определение 1.Сечением тела некоторой плоскостью α называют фигуру, состоящую из всех точек этого тела, лежащих в плоскости  α.

      В качестве примера рассмотрим сечение куба куба   ABCDA1B1C1D1   плоскостью, проходящей через точку   D  и середины ребер   A1B1   и   B1C1 . Рассмотрим процесс построения сечения подробно.

      Обозначим буквами   E   и   F середины ребер   A1B1   и   B1C1 (рис. 1).

Рис.1

      Поскольку точки   E   и   F   лежат на ребрах одной грани куба   A1B1C1D1 , то проведем прямую   EF   до пересечения с продолжениями двух других ребер этой грани. Обозначим буквой   G   точку пересечения прямой   EF   с продолжением отрезка   D1C1   за точку   C1,   а буквой   Н   – точку пересечения прямой   EF   с продолжением отрезка   D1A1  за точку  A1 . Эти точки пересечения существуют, поскольку все указанные прямые лежат в одной плоскости   A1B1C1D1   и не параллельны параллельны попарно (рис. 2).

Рис.2

      Точки   G   и   D   принадлежат плоскости сечения, а, значит, и вся прямая   DG   лежит в плоскости сечения. С другой стороны, эти точки лежат на ребрах (или их продолжениях) одной грани куба   DD1C1C.   Значит, точка пересечения   DG   с ребром куба   C1C (точка   N ) будет принадлежать сечению. Таким образом, мы получаем еще два отрезка сечения:   FN  и   DN   (рис. 3).

Рис.3

      Теперь, действуя аналогичным образом, проводим прямую   HD,   обозначаем точку перечения этой прямой с ребром   AA1 буквой   M   и проводим линии сечения   ME   и   MD   в плоскостях граней   AA1B1B   и   AA1D1D   (рис. 4).

Рис.4

      В результате, как и показано на рисунке 4, получаем, что искомое сечение – пятиугольник   DMEFN.

      Предлагаем посетителю нашего сайта решить в качестве полезного упражнения следующую задачу.

     Задача. Найти площадь сечения   DMEFN, если ребро куба равно 6.

     Указание к решению. Треугольники   HA1E,   EB1F и   FC1G равны.

Перпендикулярные сечения призмы

      Определение 2. Перпендикулярным сечением призмы называют такое сечение, плоскость которого пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна к ним.

     На рисунке 5 построено перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы – треугольник   KLM.   Хотим обратить Ваше внимание на то, что призма на рисунке 5 изображена лежащей на одной из своих боковых граней. Такой способ представления призмы на чертеже часто очень удобен при решении задач.

Рис.5

      Замечание 1. Все перпендикулярные сечения призмы равны между собой.

     Замечание 2. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

     Замечание 3. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Построение сечений многогранника на примере призмы

Слайд 1

Построение сечений многогранников на примере пр измы ® Создатели : Антон Дмитриев, Киреев Александр. При содействии: Гудковой Ольги Викторовны

Слайд 2

План урока Алгоритмы построения сечений Самопроверка Демонстрационные задачи Задачи для закрепления материала

Слайд 3

Алгоритмы построения сечений следов параллельных прямых параллельного переноса секущей плоскости внутреннего проектирования комбинированный метод дополнения n -угольной призмы до треугольной призмы Построение сечения методом :

Слайд 4

Построение сечения методом следов Основные понятия и умения Построение следа прямой на плоскости Построение следа секущей плоскости Построение сечения

Слайд 5

Алгоритм построения сечения методом следов Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения). Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом). Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани. Выполнить п.1.

Слайд 6

Построение сечения призмы Двух точек принадлежащих одной грани нет. Точка R лежит в плоскости основания. Найдем след прямой KQ на плоскости основания: — KQ ∩K1Q1=T1, T1R- след сечения. 3. T1R ∩CD=E. 4. Проведем EQ. EQ∩DD1=N. 5. Проведем NK. NK ∩AA1=M. 6. Соединяем M и R . Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки K,Q,R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Слайд 7

Метод параллельных прямых В основу метода положено свойство параллельных плоскостей: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Основные умения и понятия Построение плоскости параллельной данной Построение линии пересечения плоскостей Построение сечения

Слайд 8

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых. Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например P и Q ) и их проекции проводим плоскость. Через третью точку (например R) строим параллельную ей плоскость α . Находим линии пересечения (например m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q . Через точку R проводим прямую а параллельную PQ . Находим точки пересечения прямой а с прямыми m и n. Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

Слайд 9

(ПРИЗМА) Строим проекции точек P и Q на плоскости верхнего и нижнего оснований. Проводим плоскость P1Q1Q2P2. Через ребро, содержащее точку R, проводим плоскость α параллельную P1Q1Q2. Находим линии пересечения плоскостей ABB1 и CDD1 с плоскость α . Через точку R проводим прямую a||PQ . a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR – искомое сечение. Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Слайд 10

Метод параллельного переноса секущей плоскости Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: оно параллельно секущей плоскости; в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

Слайд 11

ПРИЗМА R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Построим вспомогательное сечение AMQ1 ||RPQ. Проведем AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1- проекция точек Р и М на АВС. Проведем Р1В и Р1С. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Через точку Р проведем прямые m и n соответственно параллельные МО1 и МО2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – искомое сечение Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1 .

Слайд 12

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след сечения на ребре многогранника. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Слайд 13

Построение вспомогательных сечений. ПРИЗМА Параллельное проектирование .

Слайд 14

Построение следа сечения на ребре

Слайд 15

Комбинированный метод. Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β . В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q . Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α . Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности. 1. Построение сечения многогранника плоскостью α , проходящей через заданную прямую p параллельно другой заданной прямой q .

Слайд 16

ПРИЗМА Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через прямую PQ параллельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведем плоскость через прямую AE1 и точку P. 2. В плоскости AE1P через точку P проведем прямую q’ параллельную AE1. q’∩E1S’=K. 3. Пересекающимися прямыми PQ и PK определяется искомая плоскость α. 4. P1 и K1- проекции точек Р и К на А1В1С1. P1K1∩PK=S”. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-искомое сечение.

Слайд 17

Метод дополнения n -угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Слайд 18

Основные понятия и умения Построение вспомогатель- ных сечений Построение следа сечения на ребре Построение сечения Центральное проектирование Параллельное проектирование

Слайд 19

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Достраиваем призму до треугольной. Для этого продлим стороны нижнего основания: AE, BC, ED и верхнего основания: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1∩B1C1=K1, E1D1∩B1C1=L1. Строим сечение полученной призмы KLEK1L1E1 плоскостью PQR , используя метод внутреннего проектирования. Это сечение является частью искомого. Строим искомое сечение.

Слайд 20

Правило для самоконтроля Если многогранник выпуклый, то сечение выпуклый многоугольник. Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника. Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении. Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении. Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника. Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Слайд 21

Базовые задачи на построение сечений многогранников Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения этих плоскостей. M є AD, N є DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1- куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK||AD1, K є BC. M є DCC1, D1 є DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

Слайд 22

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб. NK∩AD=F1 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Соединяем A1,P и C.

Слайд 23

V. Если прямая лежит в плоскости сечения, то точка ее пересечения с плоскостью грани многогранника является вершиной трехгранного угла, образованного сечением, гранью и вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1- параллелепипед. 1 . Вспомогательная плоскость MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S- вершина трехгранного угла образованного плоскостями : α , ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Слайд 24

Задачи . На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC ? Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? Какие аксиомы и теоремы вы применяли? Сделайте вывод, как построить сечение в кубе? Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба). Какие многоугольники могут при этом получиться?

Постройте сечение правильной треугольной призмы abca1b1c1 плоскостью, проходящей через

1. Оцените историческое значение научного наследия Ш. Улиханова, используя цитату и информацию о диятельности Ш.Уалиханова. Приведите 3 примера в подт

верждение своей позиции.​

Тема «Простейшие задачи в координатах».1.Найдите координаты середины отрезка АВ, если А (-7;8), В(5;-9).2.Найдите длину отрезка ЕН, если Е (-5;2), Н (

1:-6).3.Найдите длину вектора с, равного a + в, если а{12; 0}, в{0;-9}.4. Найдите длину вектора а{-12;9}.5.Найти координаты вектора АВ, если А(-7;3),В(-8;1)6.Принадлежит ли точка А (-4; 5) графику функции y = — 0,5x+3?7.Функция задана уравнением х2 + у2 = 16. Какая линия служит графикомэтой функции?8. Написать уравнение окружности с центром в точке А(-1;7), радиусом ЕН, изномера 29.9. Вершины четырёхугольника АВСД имеют следующие координаты:А(-2; -3), В(1; 4), С(8; 7), Д(5; 0).Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Из вершины B ровностороннего триугольника abc до его площади проведено перпендикуляр bm. Найдите сторону триугольника, если расстояние точки m до стор

оны ac ровняется 4 см, а до вершины С-5см. 2
5)Даны вершины треугольника АВС А(4;6) В(-4;0) С(4;-4) Определите вид треугольника и найдите его периметр

помогите пжпжпжпжпжпж решить ​

Помогите плиз очень нужно

Помогите плиз очень нужно

Помогите плиз очень нужно

2. Расстояние от центра круга до линии a
расстояние 8 см, а расстояние до линии b
расстояние 11 см, диаметр круга 16 см.
Что общего у каждой линии кру

га (а, б)?
может быть точка?
2. Расстояние от центра круга до линии a
расстояние 8 см, а расстояние до линии b
расстояние 11 см, диаметр круга 16 см.
Что общего у каждой линии круга (а, б)?
может быть точка?

Помогите плиз очень нужно

Начертательная геометрия

12.5.2. Способ нормального сечения

Способ нормального сечения заключается в том, что цилиндр или призма пересекаются плоскостью, перпендикулярной образующим цилиндра или ребрам призмы.

Способ нормального сечения применяется в том случае, если основание призмы не является плоскостью уровня, а основание цилиндра – окружностью.

Строится сечение цилиндра или призмы этой плоскостью и определяется его натуральная величина. Затем сечение спрямляется, и перпендикулярно спрямленному нормальному сечению проводятся прямые, соответствующие образующим цилиндра или ребрам призмы, и на этих прямых откладываются натуральные величины образующих или ребер.

Соединив концы образующих или ребер плавной кривой или ломаной линией, получают развертку боковой поверхности цилиндра или призмы.

Рассмотрим применение этого способа для призматических поверхностей на примере треугольной призмы, ребра которой являются фронтальными линиями уровня (рис. 155).

Так как боковые ребра призмы являются фронтальными линиями уровня, они проецируются на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Тогда фронтально – проецирующая плоскость δ(δ2), перпендикулярная к боковым ребрам, определит нормальное сечение I–II–III призмы. Способом плоскопараллельного движения определена его натуральная величина I’1–II’1–III’1.

Для построения развертки призмы строится спрямленное нормальное сечение I0–II0–III0. Для этого нужно отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения, а затем через точки I0, II0 и III0 нужно провести прямые, перпендикулярные к этой прямой. На этих прямых откладываются натуральные величины ребер:

Затем точки A0, B0, C0, A0 и точки A’0, B’0, C’0, A’0 соединяются прямыми линиями. К полученной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются натуральные величины двух ее оснований:

Если боковые ребра данной призмы занимают произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то нужно предварительно преобразовать их в линии уровня.

Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей на примере построения развертки боковой поверхности кругового цилиндра, ось i которого является фронтальной линией уровня (рис. 156).

Так же, как и в случае призмы, построено нормальное сечение цилиндра фронтально — проецирующей плоскостью α(α2), перпендикулярной оси цилиндра и определена его натуральная величина – окружность радиусом r. Эта окружность разбита на шесть равных частей точками I, II, III, IV, V и VI. Далее строится спрямленное нормальное сечение I0-II0-III0-IV0-V0-VI0-I0, длина которого равна 2πr. Через точки I0,II0,III0,IV0,V0,VI0 и I0 проводятся прямые, перпендикулярные спрямленному нормальному сечению, и на них откладываются натуральные величины образующих цилиндра:

Точки A0, B0, C0…и точки A’0, B’0, C’0…соединяются плавными кривыми линиями, которые будут развертками верхнего и нижнего оснований цилиндра.

Если образующие цилиндра являются прямыми общего положения, то следует преобразовать их так, чтобы они стали линиями уровня.

Рис. 155. Построение развертки треугольной наклонной призмы способом нормального сечения

Рис. 156. Построение развертки боковой поверхности кругового цилиндра способом нормального сечения

Презентация «Сечения призмы»


Просмотр содержимого документа

«Презентация «Сечения призмы»»

ПРИЗМА.

Сечения призмы.

Автор: Кузнецова Е.В.

www.matematika-na5.narod.ru

Виды призм .

Прямая .

Наклонная .

Правильная .

Все призмы делятся на прямые и наклонные .

Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой ; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной . У прямой призмы боковые грани — прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Свойства призмы.

1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами. 3о. Боковые ребра призмы равны.

Сечение призмы

  • 1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.
  • 2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

Наиболее доступными и эффективными методами построения сечения призмы являются три метода:

1. Метод следов.

2. Метод вспомогательных сечений.

3. Комбинированный метод.

www.matematika-na5.narod.ru

Сечение правильной призмы.

1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.

2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.

Задача.

Дано: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро — 6 см. Найдите Sсеч , проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение: Треугольник A 1 B 1 C 1 — равнобедренный(A 1 B=C 1 B как диагональ равных граней)

1)Рассмотрим треугольник BCC 1 – прямоуг ольный

BC 1 2 = BС 2+ CC 1 2

BC 1 = √ 64+36=10 см

2) Рассмотрим треугольник BMC 1 – прямоу гольный

BC 1 2 = BM 2+ MC 1 2

BM 2 = BC 1 2 — MC 1 2

BM 2 =100-16=84

BM = √ 84=2 √ 21 см

3) Sсеч= 1 2 A 1 C 1* BM= 1 2*2√ 21 см*8=8 √ 21

D 1

C 1

Дано: правильная призма, АВ=3см,

АА 1 = 5см

Найти:

Диагональ основания

3 √2см

Диагональ боковой грани

34см

Диагональ призмы

43см

Площадь основания

9см 2

Площадь диагонального сечения

15√2см 2

Площадь боковой поверхности

60см 2

Площадь поверхности призмы

78см 2

B 1

A 1

D

D

D

C

C

C

B

B

B

A

A

A

Применение призмы в архитектуре

Применение призмы в быту.

Сечение призмы плоскостью — Энциклопедия по машиностроению XXL

СЕЧЕНИЕ ПРИЗМЫ ПЛОСКОСТЬЮ  [c.95]

Так, на рис. 162 показаны необходимые построения для определения сечения призмы плоскостью efk, e fk. Определяем точки пересечения ребер призмы с плоскостью. Находим точку пересечения ребра aai, a ai плоскостью. Проводим через это ребро, вспомогательную проецирующую плоскость Nh и определяем линию п, r[t пересечения ее секущей плоскостью.  [c.114]

Как строят сечение призмы плоскостью, параллельной ее боковым ребрам  [c.86]












Решение. На рис. 269 изображены прямоугольный треугольник АВС — сечение призмы плоскостью V и Вз, В — сечения грузов топ же плоскостью. Применяем объединенный принцип Даламбера — Лагранжа. Система имеет три степени  [c.360]

Т) (6, — 7, )ПК, К,» = D, D С, = (D, — 5, )nG,»K,» С и (A B D ) — аксонометрическая проекция линии сечения призмы плоскостью р. Прямые (3 — 4) и (6 — 7) параллельны, поэтому одну из этих точек можно не указывать.  [c.126]

Призма правильная 1/ = Fh М = р1 S = M+2F р — периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к ребру 1 — длина ребра  [c.561]

Построение развертки наклонной призмы и нанесение линии сечения (рис. 237). Даны проекции треугольной наклонной призмы, боковые ребра которой параллельны плоскости V. Призма рассечена фронтально-проектирующей плоскостью (линия сечения призмы плоскостью обозначена А—А). Требуется построить полную развертку поверхности призмы и нанести линию сечения.  [c.169]

Форма фигуры сечения призмы плоскостью зависит от взаимного расположения секущей плоскости и призмы. При пересечении плоскостью Р, параллельной основанию, образуется многоугольник, конгруэнтный основанию призмы (рис. 139, а, б) при пересечении плоскостью Q, наклоненной к основанию, — многоугольник, не конгруэнтный основанию (рис. 139, а, в) при  [c. 135]

Пример 1. Сечение призмы плоскостью. В сечении призмы плоскостью могут получаться различные фигуры  [c.81]










Сечение призмы плоскостью. На рис. 247 показано построение проекций и истинного вида сечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Р. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V, поэтому фронтальная проекция сечения и плоскости совпадают. По фронтальной проекции можно заключить, что плоскость Р пересекается с верхним основанием призмы и ее боковыми гранями. Поскольку грани призмы перпендикулярны одной или двум плоскостям проекций, то для построения линии пересечения их с плоскостью Р достаточно воспользоваться линиями связи.  [c.137]











М = р1, где р — периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к ребру длина ребра.  [c.79]

V = РП Рп Рб + 2Р) Ро = р1, где г —ребро, р—периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к ребру.[c.115]

Сечение призмы плоскостью  [c.149]

В заданиях 73—77 даны упражнения на пересечение тел плоскостями. В результате построения этих пересечений получается замкнутая ломаная или кривая линия. Причем для построения ломаной линии сечения призмы плоскостью необходимо определить точки пересечения ребер призмы секущей плоскостью.  [c.9]

Оптическая деталь с плоскими преломляющими поверхностями У и 2, образующими двугранный угол а, называется преломляющей призмой. Сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла, будет главным сечением призмы (рис. 32).  [c.72]

Грань AiB u принадлежащая плоскости Р, произвольным образом расположенной относительно плоскости Q основания AB , представляет собой сечение призмы. Такую призму называют усеченной.  [c.106]

Даны призма и отрезок А В на ее грани. Пересечь призму плоскостью, проходящей через прямую АВ, так, чтобы в сечении получился равнобедренный треугольник AB с основанием А В (рис. 305).  [c.250]

Сечение (АВС) призмы плоскостью у(у2), перпендикулярной боковым рёбрам, называют нормальным. Отсюда и название способа, суть которого в следующем.  [c.198]

По способу нормальных сечений призму пересекают плоскостью Д, перпендикулярной ее боковым ребрам определяют длины сторон ломаной линии — сечения эта ломаная развертывается в отрезок прямой, через точки, соответственные вершинам ломаной, проводят перпендикуляры к этой прямой, на которых откладывают натуральные длины соответствующих отрезков ребер концы ребер последовательно соединяют отрезками прямых пристраивают к построенной развертке боковой поверхности призмы натуральные фигуры оснований призмы.  [c.137]

Развертку построим способом нормальных сечений. Проведем плоскость Д, перпендикулярную боковым ребрам призмы. Фронтально проецирующая плоскость A(Aj) пересекает призму по треугольнику EFG. Способом прямоугольного треугольника определим натуральные длины сторон треугольника EFG (на рис. 169 определение длин отрезков EF, FG, GE не показано).  [c.137]

М). На однородную призму (рис. 109), лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В поперечные сечения призм — прямоугольные треугольники, вес призмы А втрое больше веса призмы В. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину I, на которую передвинется призма А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плоскости.  [c.142]

Условие пластичности Сен-Венана (2.76) представляет собой правильную шестигранную призму, вписанную в цилиндр Мизеса. В сечении D-плоскостью окружность Мизеса оказывается описанной около правильного шестиугольника Сен-Венана (рис. 11.2, в).  [c.252]

При выпуклом основании призма называется выпуклой. И сечения выпуклой призмы плоскостью будут выпуклыми многоугольниками.  [c.116]

Способ нормального сечения используют для развертки поверхности призм общего положения. В этом случае строится сечение призмы плоскостью а, перпендикулярной к ее боковым ребрам (черт. 338, а), и определяются длины сторон многоугольни  [c.116]

Построение развертки прямого кругового цилиндра и нанесение линии сечения (рис. 239). Даны проекции прямого кругового цилиндра, основание которого расположено на плоскости Я. Цилиндр пересечен фронтально-пройстирующей плоскостью (линия сечения призмы плоскостью обозначена А—А). Требуется построить полную развертку поверхности цилиндра и нанести линию сечения.  [c.171]

Если вместо пирамиды будет задана п-уголь-ная призма, то простейшая секушАя плоскость должна проходить через прямую ЕР параллельно боковым ребрам призмы (рис. 184). Такая плоскость любую п-угольную призму пересечет по параллелограмму. Положение простейшей секущей плоскости Q на рис. 184 определяют данная прямая ЕР и пересекающаяся с ней ЕМ , параллельная боковым ребрам призмы. Построив сечение призмы плоскостью Р, отмечают искомые точки К я I.  [c.101]

Грани призмы являются плоскостями уровня. Поэтому построение линии пересечения поверхностей многогранников выполним способом граней. Сначала строим сечение пирамиды плоскостью Г верхней грани призмы. Из полученного треугольного сечения выделяем ломаную 1234, раеполо-женную в пределах верхней грани призмы. Затем строим треу10льное  [c.117]












Допустим, что искомое направление луча построено. Найдя требуемое направление проецирующих лучей АА, BBi и i, построив сечение этих лучей нормальной по отношению к ним плоскостью, получим в сечении точки, соединив которые отрезками прямых, найдем искомый треугольник А В]Си подобный заданному AqBq o. Полученная в результате этих построений фигура будет по отношению к искомой секущей плоскости прямой трехгранной призмой, а треугольник AB будет сечением построенной призмы плоскостью, не параллельной основанию Л1В1С1,  [c.74]

Определяем далее взаимное положение между косым сечением призмы и любым из боковых ее ребер. Для этого ставим плоскость сечения призмы в положение фронтально проецирующей плоскости. Получаем фигуру азЬзСз, аз Ьз сз и отрезок Аз з, а кз произвольной длины ребра призмы, проходящего через вершину Яг, Сг треугольник ка (рис. 70 и 71).  [c.84]

Далее способом перемещения ставим косое сечение призмы в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. Получаем треугольник a bi i, а/Ь/с/ и отрезок а кц, a/kt (рис. 72).  [c.84]


Самостоятельная работа с самопроверкой — Сечения многогранников и тел вращения

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD.
Задача 2. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC.
Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD.
Задача 4. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC.

Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M

∈ B1C1 и N ∈ DD1 и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈

A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1.
Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1, N ∈ CC1 и K ∈ AA1.
Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD.
3aдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1 .
Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1; N ∈ B1C1; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах).
Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1D1D; N ∈ A1B1C1D1; K ∈ DDC1C.
Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение:
а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ;
б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ.

Задача 13. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через данные точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, где точка К – середина А1В1. Определите, какая фигура образуется в сечении.
Задача 14. Точка Х делит ребро АВ куба ABCDA1B1C1D1 в отношении АХ : ХВ = 2 : 3. Постройте сечение этого куба плоскостью, которая параллельна плоскости АА1С1 и проходит через точку X. Найдите периметр сечения, если АВ = а.

Ответы

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD.

 

 

Задача 2. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC.

   

Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD.

   

Задача 4. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC.

   

Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B1C1 и N ∈ DD1 и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

 1-я часть решения
2-я часть решения

 

Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈

A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1.

   

Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1, N ∈ CC1 и K ∈ AA1.

   

Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD.

   

Зaдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1.

   

 Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1; N ∈ B1C1; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах).

   

Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA1D1D; N ∈ A1B1C1D1; K ∈ DDC1C.

   

Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение:
а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ;
б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ.
Задача 13. Ответ:
а) равнобедренная трапеция; б) прямоугольник.
Задача 14. Ответ:
.

Призмы с примерами

Перейти к площади или объему поверхности.

Призма — это твердый объект с:

  • одинаковые концы
  • плоские поверхности
  • и тот же сечение по всей длине!

Поперечное сечение — это форма, полученная прямым разрезом по объекту.

Поперечное сечение этого объекта — треугольник

.. одинаковое поперечное сечение по всей длине …

… значит, это треугольная призма .

изображения / prism-grow.js

Попробуйте нарисовать фигуру на листе бумаги
(используя прямые линии)

А теперь представьте, что он выходит из листа бумаги …
… это призма!

Без кривых!

Призма — это многогранник, а это значит, что все грани плоские!

Например, цилиндр не является призмой , потому что у него изогнутые стороны.

Базы

Концы призмы параллельны
, и каждый из них называется основанием.

Стороны

Боковые грани призмы — параллелограммы
(четырехсторонние формы с параллельными противоположными сторонами)

Это все призмы:

и более!

Пример: гексагональный кристалл льда.

Похоже на шестиугольник, но из-за некоторой толщины на самом деле это шестиугольная призма!

Фотография НАСА / Алексей Клятов.

Обычная и неправильная призмы

Все предыдущие примеры — это призмы Regular , потому что поперечное сечение является правильным (другими словами, это форма с равными длинами кромок и равными углами).

Вот пример неправильной призмы :

Неправильная пятиугольная призма:
Поперечное сечение
Он «неправильный», потому что поперечное сечение
не имеет «правильной» формы.

Правая и наклонная призма

Когда два конца идеально выровнены, это правая призма, в противном случае — наклонная призма:

Площадь призмы

Площадь поверхности = 2 × площадь основания
+ периметр основания × длина

Пример: какова площадь поверхности призмы, у которой площадь основания 25 м

2 , периметр основания 24 м, а длина 12 м:

Площадь поверхности = 2 × Площадь основания + Периметр основания × Длина

= 2 × 25 м 2 + 24 м × 12 м

= 50 м 2 + 288 м 2

= 338 м 2

(Примечание: у нас есть инструмент для расчета площади)

Объем призмы

Объем призмы — это площадь одного конца, умноженная на длину призмы.

Объем = Базовая площадь × длина

Пример: каков объем призмы с площадью основания 25 м

2 и длиной 12 м:

Объем = Площадь × Длина

= 25 м 2 × 12 м

= 300 м 3

Поиграй с этим здесь. Формула также работает, когда она «наклоняется» ( наклон ), но помните, что высота находится под прямым углом к ​​основанию:

И вот почему:

Стек может наклоняться, но имеет тот же объем

Подробнее о боковых гранях

Боковые грани призмы — параллелограммы (четырехсторонняя форма с параллельными противоположными сторонами)

Призма может наклоняться в одну сторону, что делает ее наклонной призмой , но два конца по-прежнему параллельны, а боковые грани по-прежнему параллелограммы!

Но если два конца не параллельны , это не призма .

639 640 863, 1826, 1827 864, 3379, 3377, 3378, 7649

Треугольная призма

Треугольная призма — это призма с треугольным основанием. На рисунке ниже представлены три типа треугольных призм.

Свойства треугольной призмы

Треугольная призма — это многогранник, состоящий из двух параллельных и совпадающих треугольников, называемых основаниями. Боковые грани (стороны, не являющиеся основанием) представляют собой параллелограммы, прямоугольники или квадраты. У треугольной призмы три боковые грани.Ребро — это отрезок прямой, образованный пересечением двух смежных граней. Вершина — это точка пересечения трех ребер.

Треугольные призмы, подобные приведенной выше, имеют в общей сложности 5 граней, 2 основания и 3 боковые грани. У него также 9 ребер и 6 вершин.

Любое поперечное сечение треугольной призмы, параллельное основаниям, образует треугольник, соответствующий основаниям.

Два треугольных сечения треугольной призмы показаны выше зеленым цветом.Они соответствуют двум треугольным основаниям треугольной призмы, поскольку они образованы поперечными сечениями, расположенными в плоскостях, параллельных основаниям. Это верно для любого параллельного сечения треугольной призмы.

Классификация треугольных призм по их пересекающимся граням

Треугольные призмы можно классифицировать в зависимости от того, как их основания и боковые грани пересекаются или встречаются. Если основания перпендикулярны боковым граням, то есть встречаются под прямым углом, это прямоугольная призма.В противном случае это наклонная треугольная призма.

Прямоугольная призма Косая треугольная призма

Треугольные призмы правильной и неправильной формы

Треугольные призмы также можно классифицировать по типу треугольника, образующего его основание. Правильная призма определяется призмой, основания которой являются правильными многоугольниками. Следовательно, если основания треугольной призмы представляют собой равносторонние треугольники, это правильная треугольная призма.В противном случае это нерегулярно. Часто под правильной треугольной призмой подразумевают прямоугольную призму.

Правильная треугольная призма Неправильная треугольная призма

Объем треугольной призмы

Объем V треугольной призмы равен площади одного из ее оснований, умноженной на ее высоту:

S = B · ч

, где B — площадь треугольного основания, а h — высота (расстояние между двумя параллельными основаниями) треугольной призмы.

Калькулятор площади поверхности треугольной призмы

Наш калькулятор площади треугольной призмы предлагает 4 различных способа вычисления всех запросов , связанных с площадью поверхности призмы! Идите и попробуйте; наши образцы изображений и подробные инструкции сделают все проще, чем когда-либо было !

Следите за нашей короткой статьей на:

  • Откройте для себя различных призм с треугольными гранями ;
  • Узнайте о площади боковой поверхности треугольной призмы; …и наконец
  • Узнайте, как определить площадь треугольной призмы .

Вы готовы? Поехали!

Как использовать вычислитель площади поверхности треугольной призмы?

Этот раздел представляет собой пошаговую инструкцию о том, как найти площадь поверхности треугольной призмы с помощью нашего удобного инструмента; взгляните на математическую задачу, которую хотите решить, и соберите следующую информацию:

1. Определите тип треугольной грани
💡 Треугольная грань является основанием нашей призмы .Каждая призма имеет две треугольные грани (обе имеют форму треугольника).

Найдите всю информацию о треугольной грани, которая присутствует в вашем запросе:

  1. Если указаны только две стороны треугольника , это обычно означает, что ваше треугольное лицо является прямоугольным треугольником (треугольник, у которого есть прямой угол = 90 ° между двумя сторонами).

    • Вам необходимо выбрать вариант прямоугольного треугольника (этот параметр служит как площадь поверхности в калькуляторе прямоугольной призмы )
    • Вы можете ввести любые две заданные стороны треугольника — будьте осторожны и проверьте, какая из них касается прямого угла (a, b), а какая нет (c).
  2. Если вам дали все три стороны треугольника — вам повезло!

    • Выберите вариант ▲ 3 стороны ; затем
    • Введите все три стороны, где хотите (a, b, c).
  3. Если вам дадут две стороны и угол между ними

    • Выберите ▲ 2 стороны + угол между
  4. Если у вас 2 угла и только одна сторона между ними

    • ** Выберите ▲ 2 угла + сторона между вариант **
2.Введите все данные, указанные в вашем запросе

Мы даем вам на выбор более 15 единиц! Помните, что для всегда выбирайте единицы, указанные в запросе и , не бойтесь смешивать их ; наш калькулятор позволяет и это!

💡 Длина — это высота всей треугольной призмы — часто это самое длинное из заданных значений.

3. Ваши результаты здесь 🎉

На этом этапе вы также можете выбрать из широкого диапазона единиц площади — выберите ту, которая лучше всего соответствует вашим потребностям.

Ого, вы уже все это прочитали! Пора сделать шаг вперед и попробовать что-то новенькое:

🔺 Треугольные инструменты:

♦ ️ Прямоугольные инструменты:

Как рассчитать площадь поверхности треугольной призмы?

Еще раз, мы должны спросить вас о данных, приведенных в вашем запросе — выберите правильный вариант расчетов на основе треугольного основания вашей призмы .

  1. ◣ прямоугольный треугольник

    Вам, вероятно, дали только две стороны треугольного основания; К сожалению, площадь поверхности прямоугольной треугольной призмы требует от нас знания площади треугольной грани (основания) :

    Площадь основания = (a * b) / 2

    Вы должны помнить, что:

    • a, b — стороны, которые касаются прямого угла (также называемые ноги или катетами )
    • c — сторона, которая не касается прямого угла ( — гипотенуза ).
    💡Третью сторону прямоугольного треугольника можно вычислить с помощью теоремы Пифагора: a² + b² = c²

    После того, как мы вычислили площадь основания, мы можем перейти к реальной поверхности Расчет .

    Вот самая простая формула для поверхности треугольной призмы, которую мы можем использовать:

    Площадь = Длина * (a + b + c) + (2 * Площадь основания)

    или

    Площадь = длина * периметр основания + (2 * площадь основания)

    💡 Периметр основания — это сумма всех сторон основания призмы (a + b + c).

  2. ▲ 3-х сторонний

    Как и в предыдущем примере, нам сначала нужно знать базовую область .

    Это можно рассчитать по формуле Герона:

    Площадь основания = 0,25 * √ [(a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)] ,

    где:

    • a, b, c — стороны треугольного основания

    Мы использовали те же уравнения, что и в предыдущем примере:

    Площадь = Длина * (a + b + c) + (2 * Площадь основания)

    или

    Площадь = длина * периметр основания + (2 * площадь основания)

  3. ▲ 2 стороны + угол между

    Сейчас время усложняется.

    Площадь такого треугольника можно рассчитать по формуле тригонометрии:

    Площадь основания = 0,5 * a * b * sin (Угол γ)

    В данном конкретном случае наш калькулятор площади треугольной призмы использует следующую формулу в сочетании с законом косинусов :

    Площадь = Длина * (a + b + √ (b² + a² - (2 * b * a * cos (Угол γ)))) + a * b * sin (Угол γ)

  4. ▲ 2 угла + сторона между

    Мы еще глубже погружаемся в секреты математики! 😱

    Вот формула для площади треугольника, которую нам нужно использовать:

    Площадь = = a² * sin (Угол β) * sin (Угол γ) / (2 * sin (Угол β + Угол γ))

    В данном конкретном случае мы используем закон синусов.

    А вот формула площади поверхности треугольной призмы, которая нам нужна:

    Площадь = (Длина * (a + a * (sin (Угол γ) / sin (Угол γ + Угол β)) + a * (sin (Угол β) / sin (Угол γ + Угол β)))) + a * ((a * sin (Угол γ)) / sin (Угол γ + Угол β)) * sin (Угол β)

    ❗ Обязательно используйте преобразование углов, если ваши углы указаны в единицах, отличных от градусов .

Как рассчитать боковую поверхность треугольной призмы?

Этот расчет чрезвычайно прост! Вы можете либо:

  • Если вы знаете все стороны треугольного основания , умножьте их значения на длину призмы.

    Боковая поверхность треугольной призмы = Длина * (a + b + c)

  • Если вам известна общая площадь поверхности , вычтите поверхность треугольных граней из общей площади поверхности призмы.

    Боковая поверхность = Общая поверхность треугольной призмы - (2 * Поверхность треугольного основания)

Числа — Объем — Треугольные призмы

Введение

Бывают ситуации, когда вам нужно будет рассчитать объем треугольной призмы .Это может быть треугольный разрез на бетонной плите или выемка грунта из наклонного блока.

Вы знаете, как рассчитать объем треугольных призм?

Расчетный объем

Помните, что формула для расчета объема:
V olume = A rea на h восемь
V = A X h .

Для треугольника площадь рассчитывается по формуле:
A rea = половина b ase на a ltitude
A = 0.5 X b X a .

Итак, чтобы рассчитать объем треугольной призмы , формула:
V = 0,5 X b X a X h .

Упражнение 1

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м 3

Представлять на рассмотрение

Упражнение 2

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м 3

Представлять на рассмотрение

Упражнение 3

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м 3

Представлять на рассмотрение

Упражнение 4

Вычислите объем треугольной призмы.

Введите свой ответ и выберите «Отправить» для отзыва.

м 3

Представлять на рассмотрение

Сводка

Это конец раздела о треугольных призмах.

Ключевые моменты, о которых следует помнить:

  • формула объема:
    Объем = Площадь по высоте
  • рассчитайте объем треугольной призмы по формуле:
    Объем = половина базы по высоте по высоте.

Вы можете просмотреть этот раздел или выбрать другой в левом меню.

Определение площади поверхности треугольной призмы

Определение площади поверхности треугольной призмы Обсуждение:

Наставник: Кто-нибудь может мне сказать, что
значит площадь поверхности?

Учащийся 1: Площадь поверхности — это количество квадратных единиц, необходимых для покрытия поверхности трехугольника.
габаритная фигура.

Учащийся 2: Площадь поверхности — это то, что вы видите в трехмерном объекте, а не то, что находится внутри.

Наставник: Хорошо, а как вы определяете площадь поверхности трехмерного объекта?

Студент 1: Ну, есть много трехмерных объектов, таких как конусы, прямоугольные призмы и
треугольные призмы. Формула для определения площади поверхности не может быть одинаковой для всех этих
цифры.

Наставник: Верно! Трехмерные фигуры имеют разные формулы площади поверхности в зависимости от
их форма.Рассмотрим именно площадь поверхности треугольной призмы.

Наставник: Поскольку мы находим площадь поверхности этой формы, сколько сторон нам нужно включить?

Учащийся 1: Это треугольная призма, поэтому у нее 5 сторон (две треугольные стороны и три прямоугольных).
стороны). Мы должны обязательно посчитать, сколько квадратных единиц находится на каждой из пяти сторон.
Это даст нам всю площадь, покрывающую форму.

Наставник: Отлично! Давайте сначала посмотрим на верхнюю поверхность этой фигуры. Сколько квадратных единиц покрывает это
треугольная поверхность?

Студент 2: Вы просите меня найти это место. Я помню, как узнал, что площадь треугольника равна 1/2
умножить базу на высоту.

Наставник: В этом упражнении мы будем называть основание треугольной призмы шириной основания и
мы будем называть высоту призмы глубиной основания.

Студент 1: Хорошо, тогда базовая ширина составляет 4 единицы, а базовая глубина — 6 единиц. Следовательно, площадь будет
быть:

1/2 x 4 x 6 = 12 квадратных единиц

Наставник: Верно. Теперь, есть ли на этой треугольной призме другие поверхности, которые могли бы быть
идентичный тому, с которым мы только что работали?

Учащийся 1: поверхность непосредственно под этим (другая треугольная сторона призмы) должна иметь такой же
количество кубических единиц.

Наставник: Верно, но почему?

Учащийся 2: Ну, ширина основания плоской треугольной формы будет такой же (4 единицы), что и ширина основания.
глубина формы будет такой же (6 единиц), то есть площадь должна быть такой же
также!

Наставник: Хорошо. Теперь у нас есть две покрытые поверхности (каждая по 12 квадратных единиц). Перейдем в сторону
фигуры, обращенной вправо. Сколько квадратных единиц на этой поверхности?

Студент 1: Ну, одна сторона выглядит так, как будто это ровно 3 единицы, но я не уверен, сколько единиц находится на
другая сторона формы.Он выглядит наклонным, и я не уверен.

Наставник: Хорошее наблюдение. Сторона, равная 3 единицам, измеряет высоту призмы. Другая длина, которая
Вы запутались, называется наклонной высотой. Может быть сложно определить высоту наклона на
треугольные призмы. В этом упражнении я собираюсь дать вам наклонную высоту:
6.32 шт.

Учащийся 2: Хорошо, если наклонная высота составляет 6,32 единицы, а высота призмы составляет 3 единицы, то площадь этой
сторона будет 6.32 умножить на 3, что равно 18,96 квадратных единиц.

Наставник: Хорошо. И есть ли на треугольной призме другая поверхность, идентичная этой?

Студент 2: Да, поверхность, противоположная этой, была бы идентична, поскольку на ней тоже была бы призма.
высота 3 единицы и наклонная высота 6,32 единицы.

Наставник: Отлично. Теперь у нас есть четыре покрытых поверхности. Два из них по 12 кв.
из них 18.96 квадратных единиц каждая. Давайте посмотрим на последнюю сторону, которую мы видим в этом
трехмерная фигура:

Студент 1: Эта поверхность легкая! С одной стороны 4 блока, с другой — 3.

Наставник: Верно. 4 единицы измеряют ширину основания, а 3 единицы — высоту призмы. Что будет
вы вообще, чтобы найти площадь этой формы?

Студент 1: Поскольку это прямоугольник, все, что мне нужно сделать, это умножить эти два числа.4 (ширина основания)
умноженное на 3 (высота призмы) дает мне площадь плоского прямоугольника: 12 квадратных единиц!

Студент 2: Да! А это значит, что мы нашли площадь пяти сторон. Только треугольная призма
имеет пять сторон, так что у нас есть все области, которые нам нужны сейчас.

Наставник: Верно! Итак, у нас есть:

  • две поверхности по 12 квадратных единиц
  • две поверхности 18.96 квадратных единиц
  • одна поверхность, которая составляет 12 квадратных единиц.

Теперь, какова общая площадь треугольной призмы?

Студент 1: Чтобы найти общую площадь поверхности, мне нужно было бы добавить все отдельные области, которые я нашел.
все вместе. Это было бы:

  • 12 + 12 +
  • 18,96 + 18,96 +
  • 12 = 73,92 квадратных единицы!

Наставник: Отличная работа! Вы только что нашли площадь треугольной призмы!

Объем треугольной призмы — объяснение и примеры

Предисловие

Узнайте об объеме правой треугольной призмы и объеме прямоугольной призмы в концепции объема треугольной призмы.Ознакомьтесь с интерактивным моделированием и калькулятором объема треугольной призмы, чтобы узнать больше об уроке и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

Станьте чемпионом по объему треугольной призмы всего за 7 минут!

Введение

Треугольные призмы повсюду вокруг нас. Туристическая палатка, клин, кусок торта и кусок сыра — все это треугольные призмы!

Некоторые реальные примеры треугольных призм

Попробуйте нарисовать фигуру на листе бумаги прямыми линиями.Затем представьте, как он вытягивается из листа бумаги. Сформированная таким образом трехмерная форма будет призмой!

Содержание

Математика представляет идеи, творческое мышление и решение проблем. Мы в Cuemath понимаем это и соединяем творческое мышление с числами. По своей сути математика проста. И мы умеем определять простоту.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-уроке Cuemath в LIVE вместе со своим ребенком.

Что такое призма?

Призма — это твердый объект, имеющий одинаковые концы, плоские грани и одинаковое поперечное сечение по всей длине.

Типы призм

Треугольная призма — это трехмерная форма, основание которой выполнено в виде треугольников.

Призма — это многогранник, что означает, что все ее грани плоские. У призмы нет кривых.

Например, цилиндр не является призмой, потому что у него изогнутые стороны.

Правая и наклонная призма

Два плоских конца идеально совмещены в правой призме. Косая призма наклонена, а два плоских конца не совмещены.

Обычная и неправильная призма

В зависимости от поперечного сечения призмы получают названия. Призмы бывают двух типов, а именно:

1. Обычная призма: В обычной призме основания призмы имеют форму правильного многоугольника.

2. Неправильная призма: В неправильной призме основания призмы имеют форму неправильного многоугольника.


Что такое треугольная призма?

Треугольная призма — это многогранник, состоящий из двух треугольных оснований и трех прямоугольных сторон.

По определению, два треугольных основания параллельны и конгруэнтны друг другу.

Треугольная призма — это пятигранник, в котором края и вершины оснований соединены друг с другом тремя прямоугольными сторонами.

Поперечное сечение — это форма, полученная прямым разрезом объекта.

Поперечное сечение треугольной призмы

Этот объект в поперечном сечении представляет собой треугольник.

Он имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине, поэтому представляет собой треугольную призму.


Объем треугольной призмы

Объем прямоугольной призмы

Когда мы умножаем базовую площадь призмы по всей ее длине, мы получаем ее объем.

Итак,

\ (\ text {Объем призмы} = \ text {base area} \ times \ text {length} \)

\ (\ text {Base area} = \ dfrac 1 2 \ times \ text {base} \ times \ text {height} \) (так как у него треугольное основание)

Объем наклонной треугольной призмы

Формула также работает, когда призма наклоняется или «наклоняется», то есть для наклонной призмы. В этом случае высота (также иногда называемая длиной) всегда берется под прямым углом к ​​основанию.

Таким образом, формула объема треугольной призмы равна

\ begin {Equation}
\ text {Объем = Площадь основания x Длина}
\ end {Equation}

Определение объема треугольной призмы

Объем прямоугольной или наклонной треугольной призмы равен произведению площади основания треугольника и высоты призмы.

\ (\ begin {формула}
\ text {Объем} = \ text {площадь основания} \ times \ text {высота призмы. }
\ end {Equation} \)

\ (\ text {Объем треугольной призмы} = \ dfrac 1 2 \ times \ text b \ times \ text h \ times \ text l \)

Где \ (\ text {b} \) — длина основания, \ (\ text {h} \) — высота треугольника, а \ (\ text {l} \) — длина между основаниями треугольника.

Хотите понять «Почему» за «Что»? Исследуйте объем треугольной призмы с нашими экспертами по математике в LIVE, персонализированных и интерактивных онлайн-классах Cuemath.

Объем любой призмы можно рассчитать по общей формуле.

Общая формула объема призмы имеет вид:

\ (\ text {Объем призмы} = \ text {(базовая область} \ times \ text {высота)} \ text {кубические единицы} \)

\ (\ text {Объем призмы} = \ text {(базовая область} \ times \ text {height)} \ text {кубические единицы} \)

CLUEless в математике? Посмотрите, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку объем треугольной призмы, используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите живые, интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы ваш ребенок стал экспертом по математике.{2} \ end {уравнение} \) и высота = \ (\ begin {уравнение} 6 \, в \ end {уравнение} \)

Мы это знаем,

Объем \ (\ begin {формула} \, из \, a \: призма = (основание \, площадь × высота) \, кубический \, дюйм. \ End {формула} \)

Следовательно, \ (\ begin {уравнение} V = 30 × 6 = 180 \ end {уравнение} \)

Следовательно, объем треугольной призмы = \ (\ begin {equal} 180 \, cubic \, in. \ End {equal} \)

Важные примечания

  • Призма имеет одинаковую площадь поперечного сечения по всей длине.
  • Треугольная призма состоит из 5 граней, 9 граней и 6 углов. Он имеет 2 основания треугольной формы и 3 прямоугольные грани.
  • Объем призмы — это не что иное, как площадь ее поперечного сечения, умноженная на ее длину.

Есть сомнения, которые вы хотите очистить? Проясните это с помощью простых решений по объему треугольной призмы от наших экспертов по математике в LIVE, персонализированных и интерактивных онлайн-классах Cuemath.

Сделайте своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!


Калькулятор объема треугольной призмы

Вот объем калькулятора с треугольной призмой.

Как пользоваться калькулятором?
Порядок использования вычислителя объема треугольной призмы следующий:

Шаг 1: Введите меры длины, основания и высоты в поля ввода.

Шаг 2: Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить результат.

Шаг 3: Объем треугольной призмы будет отображаться в поле вывода.

Сложные вопросы

  • Обычная треугольная призма со стороной 6 см имеет такой же объем, как и квадратная призма. Какой была бы длина стороны квадратной призмы, если бы длина обеих призм была одинаковой?
  • Найдите соотношение объемов двух треугольных призм длиной «a» и «b». Обе эти призмы имеют одинаковую площадь поперечного сечения.

Определите объем треугольной призмы с основанием \ (7 \, \ text {in} \), высотой \ (5 \, \ text {in} \) и длиной \ (10 ​​\, \ text {in} \). } \).

Решение

Шаг 1:

\ (\ begin {формула}
\ text {Объем треугольной призмы = Площади основного треугольника} \ times \ text {Высота призмы}
\ end {Equation} \)

Шаг 2:

Объем данной призмы

\ (\ begin {уравнение} \ begin {array} {l} \ text {V} = \ frac {1} {2} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {h } \ times l \\ \ text {V} = \ frac {1} {2} \ times 7 \ times 5 \ times 10 \\ \ text {V} = 175 \ text {кубический дюйм} \ end {array} \ конец {уравнение} \)

\ begin {Equation}
\ поэтому \ text {Объем данной призмы} 175 \, \ mathrm {in} ^ {3}
\ end {Equation}

Найдите объем правой треугольной призмы, указанной ниже.{3}
\ end {Equation}

Учитывая базовую ширину, базовую длину и высоту прямоугольной призмы как \ (\ begin {формула}
2 \, \ mathrm {in}, 3 \ mathrm {in}
\ end {Equation} \) и \ (\ begin {Equation}
6 \, \ mathrm {in}
\ end {Equation} \) соответственно. Каким будет объем прямоугольной призмы?

Решение

Дан,

\ begin {Equation}
\ begin {array} {l}
б = 2 \, \ mathrm {in} \\
l = 3 \, \ mathrm {in} \\
\ mathrm {h} = 6 \, \ mathrm {in}
\ end {array}
\ end {Equation}

Используя формулу объема прямоугольной призмы,

\ [\ begin {align *}
\ text {Объем прямоугольной призмы} & = \ text {length} \ times \ text {base} \ times \ text {height} \\ & = 2 \ times 3 \ times 6 \\ & = 36 \, \ text {in} ^ {3} \ end {align *} \]

\ begin {Equation}
\ поэтому \ text {Объем данной призмы} 36 \, \ mathrm {in} ^ {3}
\ end {Equation}

Каков объем данной трапециевидной призмы? Все размеры указаны в дюймах. 3 \)

На схеме показана призма с поперечным сечением правильного шестиугольника.{3} \)


Вот несколько занятий, которые вы можете практиковать.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Заключение

Мы надеемся, что вам понравилось узнать об объеме треугольной призмы с объемом калькулятора треугольной призмы, а также попрактиковаться в вопросах.Теперь вы легко сможете решать задачи по объему прямоугольной призмы и объему прямоугольной призмы .

Вы также можете упростить эту тему с помощью наших экспертов по математике в LIVE и интерактивных онлайн-классах Cuemath. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Как узнать высоту треугольной призмы с объемом?

Формула объема треугольной призмы:
\ (\ begin {уравнение} \ mathrm {V} = (\ text {base area} \ times \ text {height}) \ text {кубические единицы} \ end { уравнение} \)

2.Как построить треугольную призму?

Верх и низ, которые представляют собой треугольники, являются основаниями. Эти три прямоугольника называются боковыми гранями. Треугольная призма имеет пять граней, состоящих из двух треугольных оснований и трех прямоугольных боковых граней, а основание также является гранью.

3. Каков объем трапециевидной призмы?

Формула объема трапециевидной призмы. Если длина призмы равна \ (l \), ширина основания трапеции равна \ (b \), ширина вершины трапеции равна \ (a \), а высота трапеции равна \ (h \), то объем призмы определяется выражением формула:

\ (V = lh (a + b) / 2 \)

Другими словами, умножьте длину, высоту и среднее значение \ (a \) и \ (b \).

Треугольная пирамида | Найдите объем и площадь поверхности (формулы)

Треугольная пирамида

Треугольная пирамида представляет собой трехмерное тело — многогранник — с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, пересекающимися в вершине пирамиды.

Основание пирамиды может быть любой двухмерной геометрической формы:

  • Треугольник
  • Прямоугольник
  • Площадь
  • Шестиугольник
  • восьмиугольник

Есть много типов пирамид, и все пирамиды названы по форме их оснований.

Так же, как у вас может быть треугольная пирамида, у вас также может быть прямоугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. Д.

Великие пирамиды Египта в Гизе, например, представляют собой квадратную пирамиду, потому что ее основание (основание) — квадрат. Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием.

Грани, ребра и вершины треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде:

  • Треугольное основание
  • 3 треугольных грани
  • 6 граней
  • 4 вершины

Правильная треугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника — это правильная треугольная пирамида .Если в основе лежит разносторонний или равнобедренный треугольник, то пирамида представляет собой неправильную треугольную пирамиду .

Ни одно правило не требует, чтобы основание треугольной пирамиды было равносторонним, хотя построить разносторонние или равнобедренные треугольные пирамиды намного сложнее, чем построить равностороннюю треугольную пирамиду.

[вставить точный чертеж на основе этой ссылки на схему сети треугольной пирамиды]

Содержание

  1. Треугольная пирамида
  2. Площадь поверхности треугольной пирамиды
  3. Объем треугольной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Для любого 3D-тела можно выполнить два различных измерения площади поверхности: площадь боковой поверхности и площадь поверхности .

Площадь боковой поверхности, LSA, не включает основание нашей пирамиды. Площадь поверхности пирамиды SA включает основание.

Площадь поверхности треугольной пирамиды с тремя конгруэнтными видимыми гранями — это площадь этих трех треугольных граней плюс площадь треугольного основания.

Формула для расчета площади поверхности включает площадь основания, периметр основания и высоту наклона любой стороны.

Площадь поверхности треугольной пирамиды, формула

SA = Базовая площадь + 12 (периметр × наклонная высота)

Эта формула работает, потому что вы добавляете базовую область к площади всех трех наклонных граней.Периметр дает вам сумму всех трех баз. Вы умножаете эту сумму на наклонную высоту треугольной пирамиды, как если бы у вас был один большой прямоугольник, а затем вы принимаете половину этой площади как площадь трех треугольников.

Как найти площадь поверхности треугольной пирамиды

Предположим, у вас есть треугольная пирамида:

Основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, так как все три его стороны составляют 10 локтей. Чтобы найти площадь основного треугольника, используйте эту формулу для площади равностороннего треугольника со сторонами a:

Для этой конкретной треугольной пирамиды формула имеет вид:

А = 34 102 ≈ 43.3 квадратных локтя (локтей2)

Мы нашли территорию базы. Мы уже знаем, что периметр основания составляет 30 локтей (каждая из трех сторон — 10 локтей), и нам дана наклонная высота — 14 локтей.

SA = площадь основания + 12 периметр × высота наклона

SA = 43,3 локтя2 + 12 30 локтей × 14 локтей

SA = 43,3 локтя2 + 12 420 локтей2

SA = 43,3 локтя2 + 210 локтей2

SA = 253,3 локтя2

Площадь всегда измеряется в квадратных единицах, будь то см2, м2, фут2 или кубиты2.

Как рассчитать площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Возможно, вам нужно было потратить время на то, чтобы разобраться со всем этим, найти область базы, найти периметр, добавить все.

Чтобы найти площадь только наклонных сторон — площадь боковой поверхности (LSA) — вам нужно сделать намного меньше работы:

LSA = 12 (периметр × наклонная высота)

Эти формулы работают только для обычных пирамид.Если у вас неправильная треугольная пирамида, вычислите площадь каждой из четырех граней отдельно (три наклонные грани и основание) и сложите их вместе.

Объем треугольной пирамиды

Объем — это объем пространства, занимаемого трехмерным телом, поэтому с помощью треугольной пирамиды мы определяем, сколько места в ней есть внутри. Он всегда измеряется в кубических единицах. Хотя пирамида быстро уменьшается до вершины, расчет не представляет трудностей.

Формула объема треугольной пирамиды

В формуле объема треугольной пирамиды A — это площадь основания, а h — высота от основания до вершины.

Для нашей пирамиды с основанием 10 локтей и высотой наклона 14 локтей высота h составляет 13.0767 локтей. Мы уже знаем площадь из наших предыдущих расчетов, поэтому мы можем подставить известные числа, чтобы получить объем в кубических локтях:

В = 13 Ач

V = 13 (43,3 локтя2 × 13,0767 локтя)

V = 13 (566,2211 локтей3)

V ≈ 188,75 локтей3

Обратите внимание, что с дробью как множителем при умножении у нас нет точного десятичного ответа, поэтому у нас есть приблизительное значение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.