С помощью производной исследовать функцию: Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Содержание

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Рассмотрим функции  и , которые непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма
: если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то  .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке  параллельна оси абсцисс. 

Теорема Лагранжа:  , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке   параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если  и  , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если  , то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке   , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если   , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум
функции

Максимумом (минимумом)
функции   называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются 
экстремумом функции
. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется
точкой экстремума
. На рисунке 6.4 значения , , ,  и  являются точками экстремума рассматриваемой функции.

 

Критическими точками
функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции  ;
2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию   на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значений

функции на заданном отрезке:  

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование
функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода
функции  называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба
 графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция  вогнута
на этом промежутке, а если , то функция
выпукла
на этом промежутке.

Исследование функций с помощью производной | LAMPA

Монотонная функция

Возрастающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1​<x2​ из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2)f(x1​)<f(x2​). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)f(x1​)≤f(x2​) функция называется неубывающей на отрезке.

Убывающая функция на отрезке [a,b][a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2x1​<x2​ из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2)f(x1​)>f(x2​). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≥f(x2)f(x_1)\ge f(x_2)f(x1​)≥f(x2​) функция называется невозрастающей на отрезке.

Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.

Пример: функция является возрастающей.
Пример: функция y=−3x+2y=-3x+2y=−3x+2 является убывающей.

Точки экстремума

x0x_0x0​ — точка максимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек xxx верно неравенство f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)f(x)≤f(x0​).

x0x_0x0​ — точка минимума функции f(x)f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек верно неравенство f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)f(x)≥f(x0​).

Точка экстремума — это либо функции.

Признак возрастания и убывания функции

Функция f(x)f(x)f(x) возрастает на промежутке (a;b)(a;b)(a;b), если f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на этом промежутке.

Функция f(x)f(x)f(x) убывает на промежутке (a;b), если производная f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на этом промежутке.

Признаки максимума и минимума функции

Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), возрастает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0​) и убывает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0​;b), то x0x_0x0​ является .

Признак максимума функции выполняется, если:

  • f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0​)
  • f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0​
  • f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0​;b)

Если функция f(x)f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b)(a;b), убывает на промежутке (a;x0)(a;x_0)(a;x0​) и возрастает на промежутке (x0;b)(x_0;b)(x0​;b), то x0x_0x0​ является .

Признак минимума функции выполняется, если:

  • f′(x)<0f'(x)\lt 0f′(x)<0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)(a;x0​)
  • f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 в точке x0x_0x0​
  • f′(x)>0f'(x)\gt 0f′(x)>0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)(x0​;b)

Критическая точка

Точка, в которой производная функции равна нулю.

В критических точках является горизонтальной линией, так как тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.

Три типа критических точек:

x1x_1x1​ – точка локального , является ;

x2x_2x2​ – точка перегиба, НЕ является точкой экстремума.

x3x_3x3​ – точка локального , является точкой экстремума;

Как искать точки максимума и минимума функции

Задачи на нахождение функции решаются по стандартной схеме в 333 шага. 2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=93×2−243=0⇔x2=81⇔x1​=−9,×2​=9
3) Производная положительная при x>9x\gt 9x>9 и x<−9x\lt -9x<−9 и отрицательная при −9<x<9.-9\lt x\lt 9.−9<x<9. Поэтому x=−9x=-9x=−9 — точка максимума.

Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо:

  • Найти функции на отрезке (интервале).
  • Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.

Во многих задачах помогает теорема:

Если на отрезке только одна , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

    1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
    2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
  1. Провести
    исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума
    функции и интервалы возрастания и убывания.
  2. Исследовать
    функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика
    функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
  3. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
  4. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим,
что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция
четной или нечетной.

Вспомним, что функция
называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не
меняется: f(-x) = f(x) и функция называется
нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно
исследовать функцию и построить её график при положительных значениях
аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график
достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно
оси Oy, а для нечетной
относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

  1. .
    1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

    Пересечение с
    осью Ox: x =
    0,у=0.

    Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на
    промежутке [0, +∞).


    2. . Критические точки: x1 = 1; x2= –1.


    3.


    4. а) Вертикальных асимптот нет

    б) . Асимптота – y = 0.


  2. .
    1. D(y)=(–∞; +∞). Точек
      разрыва нет.

      Пересечение с
      осью Ox: .

    2. .
    3. а) Вертикальных асимптот нет

      б).


      Наклонных асимптот
      нет.

  3. .
    1. D(y)=(0; +∞). Функция
      непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

    2. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.


      б).

      Наклонная
      асимптота y = 0.

  4. .
    1. D(y)=(
      –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки
      разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями
      координат нет.

    2. при любых
      действительных значениях x. Поэтому функция возрастает
      на всей числовой прямой.
    3.  

    4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x =
      0, x = 1.

      б)

      Наклонная
      асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа
встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются
как новые функции и обозначаются:

– гиперболический
синус.

– гиперболический
косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический
тангенс.

– гиперболический
котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x,
т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция
же cthx определена всюду за
исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют
следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между
тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y
= ex
и y = ex

Проведем исследования функции y = th x.

    1. D(f) = (–∞; +∞), точек
      разрыва нет.
    2. Точка
      пересечения с осями координат .
  1.  

    , функция возрастает на (–∞; +∞).

    1. Вертикальной асимптоты нет.
    2. .

y = cth x

  1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
  2.  

    убывает на .

    1. При x → +∞

Исследование функции и построение графика с помощью производной

Пример 1.





Решение


1) Область определения функции



2) Чётность, нечётность функции:



Функция не является ни чётной, ни нечётной.


3) Точки разрыва функции :



 


 — вертикальная
асимптота


Найдём наклонные асимптоты функции :



 -
горизонтальная асимптота


4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:




               — критическая
точка первого рода



Функция возрастает при и при .


Точек экстремума нет.


5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:




              — критические
точки второго рода



 


Функция выпукла при  и вогнута при .


 — точка
перегиба



6) Точки пересечения с осями координат:


с :  — точек
пересечения с нет


с: 


7) Построим график функции:



 


 


 


Пример 2.


Исследовать функцию  и построить
ее график:



 


Решение


 


1) Область определения функции



2) Чётность, нечётность функции:



Функция не является ни чётной, ни нечётной.


3) Точки разрыва функции :



 


 — вертикальная
асимптота


Найдём наклонные асимптоты функции :



 -
горизонтальная асимптота


4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:



 


 



               — критические
точки первого рода



Функция возрастает при и убывает при  и при.


 — точка
максимума



5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:




              — критические
точки второго рода



Функция выпукла при и и вогнута при .


 — точка
перегиба



6) Точки пересечения с осями координат:


с :


с: 


7) Построим график функции:



 


 


 

Задача 12 — исследование функции с помощью производной

В задаче 12 предлагается исследовать функцию с помощью производной. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется в зависимости от рассматриваемой функции: некоторые решаются буквально устно, другие требуют серьезных размышлений.

Все задачи 12 делятся на два класса, каждому из них будет посвящен отдельный цикл уроков и тестов:

  1. Найти точку максимума или минимума — значение переменной, при которой функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. Такие точки еще называются точками экстремума;
  2. Найти наибольшее или наименьшее значение самой функции на отрезке. Если отрезок не указан, работаем на всей числовой прямой. Другое название таких значений — глобальные экстремумы.

Большинство задач 12 решаются через производную. Но есть такие, которые считаются «напролом», без всяких производных — достаточно внимательно читать условие. Это замечание настолько важно, что ему будет посвящен отдельный урок.

§ 1.
Разбор нестандартных задач 12 с логарифмами и тригонометрией из пробников ЕГЭ-2016.
Глава 1.
Общая схема решения
§ 1.
Общая схема решения задач B15
§ 2.
Задача B15 — исследование функции с помощью производной
§ 3.
Задача B15: Решение сложных задач и производная частного
§ 4.
B15: Линейные функции и производная частного
§ 5.
Задача B15: что делать с квадратичной функцией
§ 6.
Задача B15: Когда без производной сложной функции не обойтись?
Глава 2.
Производная логарифма и экспоненты
§ 1.
Специфика работы с логарифмами в задаче B15
§ 2.
Показательные функции в задаче B15
§ 3.
Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
§ 4.
Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
§ 5.
Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
Глава 3.
Производная в тригонометрии и корнях
§ 1.
Тригонометрические функции
§ 2.
Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
§ 3.
Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
§ 4.
Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена
Глава 4.
Хитрости и нестандартные методы
§ 1.
Как решать задачи B15 без производных
§ 2.
Показательные функции в задаче B15: хитрости решения
§ 3.
Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
§ 4.
Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
§ 5.
Как считать логарифмы еще быстрее

Исследование функций с помощью производной

( алгоритм)

I курс

алгебра

Алгоритм

  • Найти область определения функции
  • Определить чётность функции
  • Найти точки пересечения графика с осями координат
  • Найти f ´(x) – производную функции
  • Найти критические точки функции
  • Установить промежутки монотонности и экстремумы
  • Найти значения функции в критических точках
  • Полученные сведения о производной функции и о функции поместить в таблицу
  • Построить график функции

1 2 3 4 5 67

Примеры

Область определения функции

  • функция задаётся формулой
  • область определения – это множество значений аргумента “x” функции, при которых выполняются действия, указанные в формуле
  • область определения обозначается “D”
  • при нахождении области определения надо обращать внимание на действия: деление, извлечение квадратного корня ;

У = х 2 +1

у

у

у

У = х

х

0

0

х

х

0

У = — 6 /х

Чётность функции

  • чтобы установить чётность функции, надо найти f (-x)
  • если f (-x) = — f (x) , то функция нечётная
  • если f (-x) f (x) , то функция ни чётная, ни нечётная
  • если f (-x) = f (x) , то функция чётная
  • график симметричен относительно начала координат
  • график не симметричен относительно оси «у» и начала координат
  • график симметричен относительно оси «у»

у

у

у

0

х

0

0

х

х

Точки пересечения с осями координат

  • точки пересечения с осью «ох» (нули функции)
  • точка пересечения с осью «оу»
  • функцию приравнять к «0» и решить уравнение f (x) = 0
  • найти f ( 0 ) = ….

у

у

0

х

х

0

Критические точки функции

  • найти производную
  • приравнять производную к «0»
  • решить уравнение f ´ (x) = 0
  • внутренние точки области определения, в которых f ´ (x) = 0

у

х

0

у

  • точки, в которых производная не существует

х

0


0  f (x)  f ´(x)  f (x)   f (x)       f ´(x) х 1 х 6 х 5 х 4 х 2 х 3 + + — — + — + max max min min перегиб перегиб»

Промежутки монотонности и экстремумы

f ´(x) 0 f (x)

f ´(x) f (x)

f (x)

f ´(x)

х 1

х 6

х 5

х 4

х 2

х 3

+

+

+

+

max

max

min

min

перегиб

перегиб

Таблица

x

(-∞; x 1 )

f ´(x)

+

f (x)

x 1

(x 1 ; x 2 )

0

x 2

f (x 1 )

m a x

0

(x 2 ; x 3 )

+

x 3

f (x 2 )

0

(x 3 ; +∞)

m i n

+

f (x 3 )

П е р е г и б

График

На координатной плоскости отметить:

  • Точки пересечения с осью «х»
  • Точку пересечения с осью «у»
  • Точки минимума, максимума, перегиба

При проведении кривой через точки учитывать

  • Область определения функции
  • Симметричность графика функции
  • Промежутки возрастания и убывания функции


0  f ´ (x) 0  f (x) возрастает на D  функция не имеет критических точек  нет “max” и “min” График имеет вид у 1 х 0 -0,5″

Задание: исследовать функцию и построить её график

1

  • D = ……………. .
  • f (- x) = 1 + 2 (-x) = 1 – 2x = — (-1 + 2x)…. f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 1 + 2x = 0 2x = — 1 x = -1/2 график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 1 + 2 · 0 = 1 график пересекает ось «у» в точке …..
  • f ´ (x) = (1 + 2x) ´= 0 + 2 = 2
  • 2 0 f ´ (x) 0 f (x) возрастает на D функция не имеет критических точек нет “max” и “min”
  • График имеет вид

у

1

х

0

-0,5

Задание: исследовать функцию и построить её график

2

  • D = ……………..
  • f (- x) = 2 — 3 (-x) = 2 + 3 x = — (- 2 3 x)…. f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 2 3 x = 0 — 3 x = — 2 x = 2 / 3 график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 2 — 3 · 0 = 2 график пересекает ось «у» в точке …..
  • f ´ (x) = (2 — 3 x) ´= 0 3 = 3
  • — 3 f ´ (x) f (x) убывает на D функция не имеет критических точек нет “max” и “min”
  • График имеет вид

у

2

х

0

2/3

Задание: исследовать функцию и построить её график

3

  • D = ……………..
  • f (- x) = (-x) 3 = x 3 = f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 x 3 = 0 x = 0 график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 0 3 = 0 график пересекает ось «у» в точке …..
  • f ´ (x) = ( x 3 ) ´= 3 х 2
  • — 3 х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0 — критическая точка функции
  • ( ) 0 ( + ∞ ) f ´(-1) = — 3·(- 1) 2 = — 3

f ´(1) = — 3·( 1) 2 = — 3

7.

x

(-∞; 0)

f ´(x)

0

f (x)

(0; +∞ )

0

0

П б

у

8. График

0

х

4

Задание: исследовать функцию и построить её график

Вариант II

Вариант I

Вариант III

f(x)

1

f(x) = x 2 – 10x + 9

D = (- ∞; +∞)

f(x) = x 2 + 2x + 1

2

f(x) = — x 2 + 4x — 5

D = (- ∞; +∞ )

f( x)= (- x ) 2 – 10 (- x ) + 9 = = х 2 + 10х + 9 f(x) функция ни чётная, ни нечётная

3

D = (- ∞; +∞)

f( x) = (- x ) 2 + 2 (- x ) + 1 = = х 2 – 2х + 1 f(x) функция ни чётная, ни нечётная

А) «нули» функции:

x 2 – 10x + 9 = 0

D = 64

x 1 = 1 x 2 = 9 график пересекает ось «х» в точках: (1; 0) , (9;0)

В) f (0) = 9 график пересекает ось «у» в точке (0;9)

f( x) = — (- x ) 2 + 4 (- x ) –5 =

= — х 2 — 4х — 5 f(x) функция ни чётная, ни нечётная

А) «нули» функции:

x 2 + 2 x + 1 = 0

D = 0

х = 1 график пересекает ось «х» в точке (-1; 0)

В) f (0) = 1 график пересекает ось «у» в точке (0;1)

А) «нули» функции:

x 2 + 4 x 5 = 0

D = — 4 уравнение корней не имеет график не пересекает ось «х»

В) f (0) = — 5 график пересекает ось «у» в точке (0;-5)

Вариант I

Вариант III

Вариант II

4

f ´ (x) = (x 2 – 10x + 9) ´ = = 2x — 10

5

f ´ (x) = (x 2 + 2x + 1) ´=

= 2x + 2

f ´ (x) = 0

2x – 10 = 0

2x = 10 x = 5 — критическая точка

6

f ´ (x) = (- x 2 + 4x – 5) ´=

= — 2x + 4

f ´ (x) = 0

2x + 2 = 0

2х = — 2 х = — 1 – критическая точка

f ´ ( 1 ) = 2 · 1 – 10 = — 8

f ´ ( 6 ) = 2 · 6 – 10 = 2

7

f ´ (x) = 0

— 2x + 4 = 0

— 2х = — 4

х = 2 – критическая точка

8

f( 5 )= 5 2 – 10 · 5 + 9 = — 16

f ´ ( -2 ) = 2 · (-2) + 2 = — 2

f ´ ( 0 ) = 2 · 0 + 2 = 2

f( -1 )= (-1) 2 + 2 · (-1) + 1 = 0

f ´ ( 0 ) = — 2 · 0 + 4 = 4

f ´ ( 3 ) = — 2 · 3 + 4 = — 2

f ( 2 ) = — 2 2 + 4 · 2 – 5 = -1

+

+

+

— 1

2

5

х

х

х

f ´(x)

(- ∞;2)

f ´(x)

(- ∞;-1)

(- ∞;5)

f ´(x)

f (x)

-1

5

f (x)

2

f (x)

+

(-1;+ ∞)

(2;+ ∞)

(5;+ ∞)

0

0

0

-1

0

+

+

-16

min

min

max

Вариант I

Вариант II

Вариант III

9

f (x) = x 2 – 10x + 9

f (x) = x 2 + 2x + 1

f (x) = — x 2 + 4x – 5

y

y

y

0

x

x

2

-1

5

1

0

9

1

5

0

-1

x

— 16

Задание: исследовать функцию и построить её график

5

  • D = ……………..
  • f (- x) = 3(-x) (-x) 3 = — 3x + x 3 = -(3x – x 3 ) = f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 3x x 3 = 0 x(3 – x 2 ) = 0

x = 0 или 3 – x 2 = 0 x 2 = 3 x = √3 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( √3 ;0), (- √3 ;0) В) f ( 0 ) = 3 · 0 0 3 = 0 график пересекает ось «у» в точке (0;0)

  • f ´ (x) = ( 3х — x 3 ) ´= 3 — 3 х 2

5. 3 — 3 х 2 = 0 2 = 3 х 2 = 1 х = 1 — критические точки функции

у

х


0 f ´ ( 2 ) = 3 — 3 ( 2 ) 2 = 3 — 12 = — 9 f (- 1) = 3(-1) — (-1) 3 = — 3 + 1 3 = — 2 f ( 1 ) = 3 · 1 — 1 3 = 3 — 1 = 2 8. — 1 1 x f ´(x) (- ∞; -1) f (x) — -1  ( -1; 1) 0 + 1 — 2 0  (1;+ ∞) min 2 —  max»

+

6.

f ´ (- 2 ) = 3 — 3 (- 2 ) 2 = 3 — 12 = — 9

f ´ ( 0 ) = 3 — 3 ( 0 ) 2 = 3 0 f ´ ( 2 ) = 3 — 3 ( 2 ) 2 = 3 — 12 = — 9

  • f (- 1) = 3(-1) (-1) 3 = — 3 + 1 3 = — 2

f ( 1 ) = 3 · 1 1 3 = 3 — 1 = 2

8.

— 1

1

x

f ´(x)

(- ∞; -1)

f (x)

-1

( -1; 1)

0

+

1

— 2

0

(1;+ ∞)

min

2

max

y

f (x) = 3x x 3

2

0

1

-1

x

-2

Задание: исследовать функцию и построить её график

6

  • D = ……………..
  • f (- x) = (-x) 4 — 50 (-x) 2 = x 4 — 50 x 2 = f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 x 4 — 50 x 2 = 0 x 2 (x 2 – 50) = 0

x = 0 или x 2 — 50 = 0 x 2 = 50 x = 5 2 (≈ 7,1) график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (- 7,1 ;0), (7,1;0) В) f ( 0 ) = 0 4 – 50 · 0 2 = 0 график пересекает ось «у» в точке (0;0)

  • f ´ (x) = (x 4 — 50 x 2 ) ´= 4 х 3 – 50 · 2х = 3 – 100х
  • 3 – 100х = 0 | : 4 х 3 – 25 х = 0 х(х 2 – 25) = 0 х = 0 или х 2 – 25 = 0 х 2 = 25 х = 5 х = 5 — критические точки функции

х = 0

у

}

х


0 f ´ ( 1) = 1 3 – 25 · 1 2 = 1 — 2 5 f ´ ( 6) = 6 3 – 25 · 6 = 216 — 1 50 0 f ( ± 5) = ( ± 5) 4 — 50 · ( ± 5) 2 = 625 — 1250 = — 625 f (0) = 0 8. — 5 5 0 x f ´(x) (- ∞; — 5) f (x) — 5 — ( — 5; 0)  0 0 — 625 +  m I n 0 ( 0; 5) 5 0 — m a x (5;+ ∞) 0  + — 625  m I n»

+

+

6.

f ´ (- 6) = (- 6) 3 25(- 6) = — 216 + 1 50

f ´ (- 1) = (- 1) 3 25(- 1) = -1 + 25 0 f ´ ( 1) = 1 3 25 · 1 2 = 1 — 2 5

f ´ ( 6) = 6 3 25 · 6 = 216 — 1 50 0

  • f ( ± 5) = ( ± 5) 4 50 · ( ± 5) 2 = 625 — 1250 = — 625

f (0) = 0

8.

5

5

0

x

f ´(x)

(- ∞; — 5)

f (x)

— 5

( — 5; 0)

0

0

— 625

+

m I n

0

( 0; 5)

5

0

m a x

(5;+ ∞)

0

+

— 625

m I n

f (x) = x 4 – 50 х 2

y

5

— 5

-7,1

7,1

0

x

— 625

Задание: исследовать функцию и построить её график

7

  • D = ……………..
  • f (- x) = 2(-x) 3 (-x) 4 = — 2x 3 — x 4 = -(2x 3 + x 4 ) ± f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 2x 3 — x 4 = 0 x 3 (2 – x) = 0 x = 0 или 2 – x = 0 x = 2 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( 2 ;0 ) В) f ( 0 ) = 3 · 0 0 3 = 0 график пересекает ось «у» в точке (0;0)
  • f ´ (x) = ( 2 х 3 x 4 ) ´= 2 · 3 x 2 4 х 3 = 6x 2 4 х 3
  • 6x 2 4 х 3 = 0|:2 2 – 2x 3 = 0 х 2 (3 – 2x) = 0 x = 0 или 3 – 2х = 0 х = 1,5 х = 0 — критические точки функции

х = 1,5

у

}

х


0 f ´ ( 1) = 3 · 1 2 — 2 · 1 3 = 3 — 2 = 1 0 f ´ ( 2) = 3 · 2 2 — 2 · 2 3 = 12 — 16 = – 4 f (1,5) = 2 · (1,5) 3 – (1,5) 4 = 2 · 3,375 – 5,0625 ≈ 1,7 f (0) = 0 8. 1,5 0 x f ´(x) (- ∞; 0) f (x) + 0 0  ( 0; 1,5) + 1,5 0  0 (1,5;+ ∞) Пе ре гиб 1,7 —  m a x»

+

+

6.

f ´ (- 1) = 3(- 1) 2 2(- 1) 3 = 3 + 2 = 5 0 f ´ ( 1) = 3 · 1 2 2 · 1 3 = 3 — 2 = 1 0

f ´ ( 2) = 3 · 2 2 2 · 2 3 = 12 — 16 = 4

  • f (1,5) = 2 · (1,5) 3 (1,5) 4 = 2 · 3,375 5,0625 ≈ 1,7

f (0) = 0

8.

1,5

0

x

f ´(x)

(- ∞; 0)

f (x)

+

0

0

( 0; 1,5)

+

1,5

0

0

(1,5;+ ∞)

Пе ре гиб

1,7

m a x

y

f (x) = 2x 3 x 4

1, 7

0

x

2

1,5

5.2.2.1. Исследование функций с помощью первой производной


Замечание
Точки максимума и минимума функции
называются точками экстремума.

  Определение 3

Точки, в которых производная заданной функции равна нулю,
называются стационарными.

Из необходимого условия экстремума следует, что из
всех точек дифференцируемости функции экстремум может быть только в
стационарных точках. Чтобы выяснить будет ли в этих точках экстремум,
необходимо использовать достаточное условие.

  Достаточное условие
экстремума

Если функция  дифференцируема в окрестности  точки ,  и производная  меняет знак при переходе через точку , то функция  имеет в точке  экстремум.

При этом:

  Доказательство

Пусть  и пусть в точке  производная  меняет знак с плюса на минус,
то есть

для всех .

На основании достаточных условий монотонности функции это означает, что
для всех  функция возрастает при  и убывает при . Тогда

,

Следовательно,  для всех , что согласно определению, означает, что точка  — точка максимума
функции.

Аналогично доказывается теорема, если производная в точке  меняет знак с минуса на
плюс.

Замечание 1

Учитывая теорему о достаточном условии экстремума, можно определить
точки экстремума, как точки, в которых меняется характер монотонности
функции.

Замечание 2

Производная может менять знак и в точках разрыва, то есть в тех точках,
в которых производная  или не существует. Если эти точки входят в область
определения функции, то они также являются точками ее экстремума, так как
в них меняется характер монотонности. Точки экстремума, в которых
производная  или не существует, называются точками острого
экстремума: острого минимума и острого
максимума
 (рис14).

Рис.
14
Замечание 3

Стационарные точки функции , а также точки, в которых производная  или не существует, называются критическими.
Только в этих точках следует искать экстремум
функции. К критическим точкам относят также и точки
разрыва функции, так как в этих точках может меняться характер ее
монотонности.

Чтобы исследовать функцию на
экстремум необходимо:
вычислить производную заданной функции;
найти все критические точки функции, включая точки разрыва
функции;
нанести эти точки на числовую ось;
определить знак производной на каждом из полученных
интервалов;
по знаку производной определить характер монотонности
функции;
определить наличие экстремума и его характер в каждой
критической точке, исключая точки разрыва функции.

Математическая сцена — Функции 2 — Урок 4

Математическая сцена — Функции 2 — Урок 4 — Исследование функций с использованием производных

2009 Rasmus ehf
и Джанн Сак

Функции 2

Урок 4

Исследование функций с помощью производных


Производная функции является мерой
градиент графика, поэтому мы можем сделать следующие выводы:

Функция возрастает, если производная равна
положительный
(+) и убывает, если производная отрицательна ().

Это означает, что при изменении знака производной
От положительного к отрицательному или от отрицательного к положительному должен быть поворотный момент
или вершина на графе. Они называются точками максимума и минимума. Они есть
не обязательно наибольшие или наименьшие общие значения функции.

Глядя на таблицу знаков производной
показывает нам, где находятся эти стационарные точки.

Помните, непрерывная функция не может быть изменена.
между отрицательными и положительными значениями, не проходя через ноль, поэтому мы
ищите стационарные точки, выясняя, когда производная равна 0.

Пример
1

Найти производную f (x) = x 2 ,
составьте таблицу знаков и используйте ее, чтобы нарисовать график f (x).

Если f (x) = x 2
тогда f (x) = 2x.

Стационарные точки возникают, когда
f (x) = 2x = 0, то есть
когда x = 0. Следующая таблица показывает знак f (x)

Y = х 2

Производная равна 0
когда x = 0
и градиент изменится с на +, так что это минимальная точка.

Пример
2

Найти производную f (x) = x 3
3x 2 + 4, составить таблицу знаков производной и использовать
это, чтобы найти стационарные точки. Сравните свои результаты с графиком, показанным на
ваш графический калькулятор.

Если f (x) = x 3
3x 2 + 4, затем f (x)
= 3x 2 6x.

Найдите где производная
0.

2
6x = 0

3x (x 2) = 0

Это уравнение имеет
решения
x = 0 и x = 2 и
в этих точках производная меняет знак.Находим знак f (x) = 3x 2
6x.

Мы могли бы составить таблицу без факторизации
во-первых, просто выбирая значения x между нулями и находя знак
производная.

ф (1)
= 3 (1) 2 6 (1) = 3
+ 6 = 9 (+)

ф (1)
= 31 2 61 = 3
()

ф (3)
= 33 2 63 = 9
(+)

Это дает более простую таблицу
чем выше, но показывает ту же информацию.

Из таблицы мы можем сделать вывод, что у нас есть
максимум, когда x = 0. Градиент равен 0, поэтому график горизонтальный, а градиент изменяется с +
от (вверх) до (вниз) .Производная также равна нулю, когда x = 2
и градиент меняется с на +, так что здесь у нас есть минимум. Мы можем найти
максимальное и минимальное значения функции, помещая эти значения x в
формула для исходной функции.

ж (0)
= 0 3
30 2 + 4 = 4

Функция имеет максимум
значение в точке
(0, 4) .

ф (2) = 2 3
32 2 + 4 = 8 12 +
4 = 0

Функция имеет минимум
значение в точке (2,
0).

Графический калькулятор
показывает следующий график.

Иногда производная от
функция равна нулю без изменения знака производной по ходу
через нулевую точку.В таких случаях нет стационарной точки, но то, что
называется точкой перегиба.

Пример
3

Рассмотрим функцию f (x) = x 3 .

Производная равна f (x) = 3x 2 .
и равен нулю, когда x = 0.

Ниже приводится таблица
знаки производной.

Точка (0, 0) — это точка
перегиба. График увеличивается до x = 0, горизонтальный по x = 0 и
затем продолжает увеличиваться после 0.

Расчеты с использованием
производные имеют множество практических приложений, в частности, для поиска максимума и
минимальные значения. Следующие два примера демонстрируют это.

Пример
4

Желаем изготовить картон
коробку, используя квадратную карточку со стороной 1 м. Для этого сгибаем
углы, как показано на схеме.Сколько нам нужно вырезать из
углы в порядке
чтобы коробка была как
как можно больший объем?

Назовите это x, что означает длину
каждой стороны коробки будет в 2 раза короче карты, то есть в 1 2 раза. В
высота коробки также будет x, а объем V можно записать так:

V = высота, длина, ширина

= х (1 2x) (1 2x)

= х (1 4x + 4x 2 )

= х 4х 2
+ 4x 3

Различение этого и
нахождение, когда производная равна 0, дает нам:

В = 1 8x + 12x 2
= 0

Это квадратное уравнение
это можно решить с помощью калькулятора или формулы корней квадратного уравнения.

Очевидно, что мы
не может быть x =, как если бы мы отрезали метр, не будет
коробка слева. Таким образом, это должно дать минимальное значение громкости. Максимальная громкость
будет когда
х =.

В () = (1
2) (1 2) = м 3

Максимальный объем
коробка будет
м 3
когда мы разрезаем
м с каждого угла.

Пример
5

Прямоугольник рисуется как
показано на схеме.Одна сторона образована линией y = 3 и одним углом,
P, лежит на графике f (x) = x 2
. Найдите координаты точки P, чтобы прямоугольник имел
максимально возможная площадь.

Стороны прямоугольника
х
и 3 y или 3 x 2
поскольку точка P лежит на графике f (x) = x 2 . Таким образом, площадь составляет

A = длина

= х (3 х 2 )
= 3x x 3

Различая это и
нахождение, где производная равна нулю, дает:

А = 3 3х 2
= 0

3 =
2

х = 1

Прямоугольник находится в
положительный квадрант, поэтому мы не можем иметь x = 1.Максимальная площадь — когда x = 1
поэтому мы можем поместить это значение в формулу для площади.

A = 3x x 3
= 3 1 = 2


Попрактикуйтесь в этих методах, затем попробуйте
Тест 4 по функциям 2.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

1.5. Интерпретация, оценка и использование производной

Введение

Интересная и мощная особенность математики состоит в том, что ее часто можно рассматривать как в абстрактных, так и в прикладных терминах. Например, исчисление может быть развито почти полностью как абстрактный набор идей, которые сосредотачиваются на свойствах произвольных функций. В то же время исчисление может быть очень напрямую связано с нашим восприятием физической реальности, рассматривая функции, которые представляют значимые процессы.Мы уже видели, что для функции положения \ (y = s (t) \), скажем, для шара, подбрасываемого прямо в воздух, его скорость в момент времени \ (t \) определяется выражением \ (v (t ) = s ‘(t) \), производная функции положения.

Кроме того, напомним, что если \ (s (t) \) измеряется в футах в момент времени \ (t \), единицы на \ (v (t) = s ‘(t) \) — футы в секунду. Далее в этом разделе мы исследуем несколько различных функций, каждая из которых имеет определенный физический смысл, и подумаем о том, как единицы независимой переменной, зависимой переменной и производной функции дополняют наше понимание.Для начала рассмотрим знакомую задачу о функции положения движущегося объекта.

Активность предварительного просмотра \ (\ PageIndex {1} \)

Один из самых длинных участков прямой (и ровной) дороги в Северной Америке можно найти на Великих равнинах в штате Северная Дакота на шоссе 46 штата, которое лежит к югу от межгосударственного шоссе I-94 и проходит через город. Гакля. Автомобиль выезжает из города (в момент времени \ (t = 0 \)) и направляется на восток по шоссе 46; его положение в милях от Гакла в момент времени \ (t \) в минутах показано графиком функции на рисунке 1.22. На графике отмечены три важных точки; где кривая выглядит линейной, предположим, что это действительно прямая линия.

Рисунок 1.22: График \ (y = s (t) \), положение автомобиля на шоссе 46, который показывает расстояние в милях от Гакла, Северная Дакота, в момент времени \ (t \) в минутах.

  1. Говоря обыденным языком, опишите поведение автомобиля за указанный промежуток времени. В частности, обсудите, что происходит на временных интервалах [57, 68] и [68, 104].
  2. Найдите наклон прямой между точками (57, 63,8) и (104, 106,8). Какие юниты находятся на этом склоне? Что представляет собой уклон?
  3. Найдите среднюю скорость изменения положения автомобиля на интервале [68, 104]. Включите в свой ответ единицы измерения.
  4. Оценить мгновенную скорость изменения положения автомобиля в момент \ (t = 80 \). Напишите предложение, чтобы объяснить свои рассуждения и значение этого значения.

    Единицы производной функции

    Как мы теперь знаем, производная функции \ (f \) при фиксированном значении \ (x \) задается выражением \ [f ‘(x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \],

    , и это значение имеет несколько различных интерпретаций.Если мы положим \ (x = a \), одним из значений \ (f ‘(a) \) будет наклон касательной в точке \ ((a, (f (a)) \).

    В альтернативных обозначениях мы также иногда эквивалентно пишем \ (\ frac {df} {dx} \) или \ (\ frac {dy} {dx} \) вместо \ (f ‘(x) \), и эти обозначения помогает нам дополнительно увидеть единицы (и, следовательно, значение) производной, поскольку она рассматривается как t — мгновенная скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \). Обратите внимание, что единицы на склоне секущей линии \ (\ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \) — это «единицы \ (f \) на единицу \ (x \).Таким образом, когда мы 45 берем предел, чтобы получить \ (f ‘(x) \), мы получаем те же единицы на производной \ (f’ (x) \): единицы \ (f \) на единицу \ (Икс\). Независимо от рассматриваемой функции \ (f \) (и независимо от используемых переменных) полезно помнить, что единицы производной функции — это «единицы вывода на единицу ввода» с точки зрения ввода и вывод исходной функции.

    Например, предположим, что у нас есть функция \ (y = P (t) \), где \ (P \) измеряет население города (в тысячах) в начале года \ (t \) (где \ (t = 0 \) соответствует 2010 г. н.э.), и нам говорят, что \ (P ‘(2) = 21.37 \). Что означает это значение? Итак, поскольку \ (P \) измеряется тысячами, а \ (t \) измеряется годами, мы можем сказать, что мгновенная скорость изменения численности населения города относительно времени на начало 2012 года составляет 21,37 тысячи человек на год. Поэтому мы ожидаем, что в наступающем году население города увеличится примерно на 21 370 человек.

    К более точным оценкам производных

    К более точным оценкам производных Также полезно вспомнить, что мы впервые испытали в Разделе 1.3, что, когда мы хотим оценить значение \ (f ‘(x) \) при заданном \ (x \), мы можем использовать разностное отношение \ (\ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \) с относительно небольшим значением \ (h \). При этом мы должны использовать как положительные, так и отрицательные значения \ (h \), чтобы убедиться, что мы учитываем поведение функции по обе стороны от интересующей точки. С этой целью мы рассмотрим следующий краткий пример, чтобы продемонстрировать понятие центральной разности и ее роль в оценке производных.

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    Предположим, что \ (y = f (x) \) — функция, для которой известны три значения: \ (f (1) = 2.5 \), \ (f (2) = 3.25 \) и \ (f ( 3) = 3,625 \). Оцените \ (f ‘(2) \).

    Решение .

    Мы знаем, что \ (f ‘(2) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (2 + h) -f (2)} {h} \). Но поскольку у нас нет графика для \ (y = f (x) \) или формулы для функции, мы не можем ни нарисовать касательную, ни точно оценить предел. Мы не можем даже использовать все меньшие и меньшие значения \ (h \) для оценки предела.Вместо этого у нас есть только два варианта: использовать \ (h = -1 \) или \ (h = 1 \), в зависимости от того, с какой точкой мы соединяемся с (2, 3.25). Итак, одна оценка: \ [f ‘(2) \ приблизительно \ frac {f (1) -f (2)} {1-2} = \ frac {2.5-3.25} {- 1} = 0.75. \]

    Другой — \ [f ‘(2) \ приблизительно \ frac {f (3) -f (2)} {3-2} = \ frac {3.625-3.25} {1} = 0,375. \]

    Поскольку первое приближение смотрит только назад от точки (2, 3.25), а второе приближение смотрит только вперед от (2, 3.25), имеет смысл усреднить эти два значения, чтобы учесть поведение по обе стороны от точки. представляет интерес.Таким образом, мы обнаруживаем, что \ [f ‘(2) \ приблизительно \ frac {0,75 + 0,375} {2} = 0,5625. \]

    Интуитивный подход к усреднению двух оценок, найденных в примере 1.4, на самом деле является наилучшей возможной оценкой для \ (f ‘(2) \), когда у нас есть только два значения функции для \ (f \) на противоположных сторонах точки интерес. Чтобы понять, почему, мы думаем о диаграмме на рис. 1.23, на которой

    Рисунок 1.23: Слева график \ (y = f (x) \) вместе с секущей, проходящей через (1, 2.5) и (2, 3.25), секущая, проходящая через (2, 3.25) и (3, 3.625), а также касательная. Справа тот же график вместе с секущей через (1, 2.5) и (3, 3.625) плюс касательная.

    показывает возможную функцию \ (y = f (x) \), которая удовлетворяет данным, приведенным в примере 1.4. Слева мы видим две секущие линии с наклонами, которые получены при вычислении разницы назад \ (\ frac {f (1) -f (2)} {1-2} = 0,75 \) и от вперед разница \ (\ frac {f (3) -f (2)} {3-2} = 0.375 \). Обратите внимание, как наклон первой такой прямой переоценивает наклон касательной в точке \ ((2, f (2)) \), а наклон второй прямой занижает значение \ (f ‘(2) \). Однако справа мы видим секущую линию, наклон которой определяется центральной разностью \ [\ frac {f (3) -f (1)} {3-1} = \ frac {3.625-2.5} { 2} = \ frac {1.125} {2} = 0,5625. \]

    Обратите внимание, что эта центральная разница имеет то же значение, что и среднее значение прямой и обратной разностей (и легко объяснить, почему это всегда так), и, кроме того, центральная разница дает очень хорошее приближение к значению производной, отчасти потому, что секущая линия, которая использует как точку до, так и после точки касания, дает линию, которая ближе к параллельности касательной.

    В общем, приближение центральной разности к значению первой производной определяется как \ [f ‘(a) \ приблизительно \ frac {f (a + h) -f (a-h)} {2h} \],

    , и эта величина измеряет наклон секущей линии к \ (y = f (x) \) через точки \ ((ah, f (ah)) \) и \ ((a + h, f (a + h )) \). Каждый раз, когда у нас есть симметричные данные, окружающие точку, в которой мы хотим оценить производную, центральная разница — идеальный выбор для этого.

    Следующие упражнения позволят дополнительно изучить значение производной в нескольких различных контекстах, а также рассмотреть производную с графической, числовой и алгебраической точек зрения.

    Активность \ (\ PageIndex {2} \)

    Картофель помещается в духовку, и температура картофеля \ (F \) (в градусах Фаренгейта) в различные моменты времени измеряется и записывается в следующей таблице. Время \ (t \) измеряется в минутах.

    \ (т \) \ (F (t) \)
    0 70
    15 180,5
    30 251
    45 296
    60 324.5
    75 342,8
    90 354,5
    1. Используйте центральную разность, чтобы оценить мгновенную скорость изменения температуры картофеля при \ (t = 30 \). Включите в свой ответ единицы измерения.
    2. Используйте центральную разность, чтобы оценить мгновенную скорость изменения температуры картофеля при \ (t = 60 \). Включите в свой ответ единицы измерения.
    3. Без каких-либо вычислений, что вы ожидаете больше: \ (f ‘(75) \) или \ (f’ (90) \)? Почему?
    4. Предположим, что дано \ (F (64) = 330,28 \) и \ (f ‘(64) = 1,341 \). Каковы единицы этих двух величин? Какой, по вашему мнению, будет температура картофеля при \ (t = 65 \)? когда \ (t = 66 \)? Почему?
    5. Напишите пару осторожных предложений, описывающих поведение температуры картофеля на временном интервале \ ([0, 90] \), а также поведение мгновенной скорости изменения температуры картофеля на временном интервале. тот же временной интервал.

    Активность \ (\ PageIndex {3} \)

    Компания производит веревку, и общая стоимость производства \ (r \) футов веревки составляет \ (C (r) \) долларов.

    1. Что значит сказать, что \ (C (2000) = 800 \)?
    2. Каковы единицы измерения \ (C ‘(r) \)?
    3. Предположим, что \ (C (2000) = 800 \) и \ (C ‘(2000) = 0,35 \). Оцените \ (C (2100) \) и подтвердите свою оценку, написав хотя бы одно предложение, объясняющее ваши мысли.
    4. Какое из следующих утверждений вы считаете верным и почему?
      1. \ (C ‘(2000)
      2. \ (С ‘(2000) = С’ (3000) \)
      3. \ (С ‘(2000)> С’ (3000) \)
    5. Предположим, кто-то утверждает, что \ (C ‘(5000) = — 0.1 \). Что практическое значение этой производной величины скажет вам о приблизительной стоимости следующего фута веревки? Это возможно? Почему или почему нет?

    Активность \ (\ PageIndex {4} \)

    Исследователи из крупной автомобильной компании обнаружили функцию, которая связывает расход бензина со скоростью для конкретной модели автомобиля. В частности, они определили, что расход \ (C \) в литрах на километр при заданной скорости \ (s \) определяется функцией \ (C = f (s) \), где \ (s \) — скорость автомобиля в километрах в час .

    1. Данные, предоставленные автомобильной компанией, говорят нам, что \ (f (80) = 0,015 \), \ (f (90) = 0,02 \) и \ (f (100) = 0,027 \). Используйте эту информацию, чтобы оценить мгновенную скорость изменения расхода топлива относительно скорости при \ (s = 90 \). Будьте максимально точными, используйте правильные обозначения и включайте в свой ответ единицы измерения.
    2. Написав полное предложение, интерпретируйте значение (в контексте расхода топлива) «\ (f (80) = 0,015 \)».
    3. Напишите хотя бы одно полное предложение, которое интерпретирует значение значения \ (f ‘(90) \), которое вы оценили в (a).{\ circ} Ф / мин \). Во всех случаях, когда мы работаем с функциями, имеющими прикладной контекст, полезно и поучительно тщательно подумать о задействованных единицах и о том, как они в дальнейшем информируют смысл наших вычислений.

      3.2: Производная как функция

      Цели обучения

      • Определите производную функцию заданной функции.
      • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
      • Укажите связь между производными и непрерывностью.
      • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
      • Объясните значение производной высшего порядка.

      Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции.Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

      Производные функции

      Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

      Определение: производная функция

      Пусть \ (f \) — функция.Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

      \ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

      Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция — это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

      В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

      Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

      Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

      Решение

      Начните непосредственно с определения производной функции.

      Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

      \ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} — \ sqrt {x}} {h} \)
      \ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} — \ sqrt {x}} {h} ⋅ \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt { x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \) Умножьте числитель и знаменатель на \ (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \) без распределения в знаменателе.
      \ (= \ Displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {h} {h \ left (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \ right)} \) Умножьте числители и упростите. 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

      \ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

      Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) — разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

      \ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

      Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): производная выражается как \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ displaystyle \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

      График производной

      Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы могли бы построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

      В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в точках \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

      Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): производная \ (f ‘(x) <0 \), где функция \ (f (x) \) убывает, и \ (f' (x)> 0 \), где \ (f (x) \) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

      Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

      Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

      Подсказка

      График \ (f ‘(x) \) положителен, где \ (f (x) \) возрастает.

      Ответ

      \ ((0, + ∞) \)

      Деривативы и непрерывность

      Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

      Дифференцируемость предполагает непрерывность

      Пусть \ (f (x) \) — функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

      Проба

      Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x — a \), то \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

      Затем

      \ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

      можно переписать как

      \ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

      Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

      \ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a)) \ big) \\ [4pt]
      & = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
      & = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
      & = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
      & = f (а). \ end {align *} \)

      Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

      Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

      Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

      Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) имеет вертикальную касательную в точке \ (x = 0 \). Он непрерывен в \ (0 \), но не дифференцируем в \ (0 \).

      Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

      Мы видим, что

      \ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

      Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

      Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) не дифференцируем в \ (0 \).

      Итого:

      1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
      2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
      3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
      4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.

        Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

        Решение

        Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в \ (3 \).

        Подсказка

        Используйте пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

        Ответ

        \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

        Производные инструменты высшего порядка

        Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \)

      Упростим числитель.
      \ (= \ Displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель.
      \ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

      Затем найдите \ (f » (x) \), взяв производную от \ (f ‘(x) = 4x − 3. \)

      \ (f » (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f ‘(x + h) −f’ (x)} {h} \) Используйте \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f’ (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \)

      Подсказка

      Используйте пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства.

      Ответ

      \ (а (т) = 6т \)

      Ключевые понятия

      • Производная функции \ (f (x) \) — это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f ‘(x) \). {\ text {th}} \).

      Ключевые уравнения

      \ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \)

      Глоссарий

      производная функция
      дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная
      с дифференциацией \ (a \)
      функция, для которой существует \ (f ‘(a) \), дифференцируема в \ (a \)
      дифференцируемые на \ (S \)
      функция, для которой \ (f ‘(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \)
      дифференцируемая функция
      функция, для которой существует \ (f ‘(x) \), является дифференцируемой функцией
      производная высшего порядка
      производная от производной, от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \), называется производной более высокого порядка

      Авторы и авторство

      • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

      • Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость предполагает непрерывность.

      4.5 Производные и форма графика — Calculus Volume 1

      Цели обучения

      • 4.5.1 Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции.
      • 4.5.2 Сформулируйте тест первой производной для критических точек.
      • 4.5.3 Используйте точки вогнутости и перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции.
      • 4.5.4 Объясните тест на вогнутость функции на открытом интервале.
      • 4.5.5 Объясните связь между функцией и ее первой и второй производными.
      • 4.5.6 Сформулируйте тест второй производной для локальных экстремумов.

      Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция ff имеет локальный экстремум в точках c, c, то cc должна быть критической точкой f.f. Однако не гарантируется, что функция имеет локальный экстремум в критической точке. Например, f (x) = x3f (x) = x3 имеет критическую точку при x = 0x = 0, поскольку f ′ (x) = 3x2f ′ (x) = 3×2 равно нулю при x = 0, x = 0, но ff не имеет локального экстремума при x = 0.x = 0. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

      Первый производный тест

      Следствие 33 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале II, то функция возрастает на интервале I.I. С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале I, I, тогда функция убывает на интервале II, как показано на следующем рисунке.

      Рис. 4.30. Обе функции растут в интервале (a, b). (A, b). В каждой точке x, x производная f ′ (x)> 0.f ′ (x)> 0. Обе функции убывают на интервале (a, b). (A, b). В каждой точке x, x производная f ′ (x) <0. f ′ (x) <0.

      Непрерывная функция ff имеет локальный максимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с увеличения на уменьшение в точке c.c. Точно так же ff имеет локальный минимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с уменьшения на увеличение в точке c.c. Если ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем cc и дифференцируемая по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке cc, если f′f ′ меняет знак, когда xx увеличивается до c.c. Если ff дифференцируема в c, c, это единственный способ, которым f′.f ′. может менять знак при увеличении xx на cc, если f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Следовательно, для функции ff, которая непрерывна на интервале II, содержащем cc и дифференцируема по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) — это если f ′ (c ) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) не определено. Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции f, f, мы ищем точки cc в области определения ff такие, что f ′ (c) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) равно неопределенный.Напомним, что такие точки называются критическими точками ф.ф.

      Обратите внимание, что ff не обязательно должен иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рис. 4.31 мы показываем, что если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если ff имеет локальный экстремум в критической точке, то знак f′f ′ меняется по мере увеличения xx через эту точку.

      Рис. 4.31. Функция ff имеет четыре критических точки: a, b, c, andd.a, b, c иd. Функция ff имеет локальные максимумы в точках aa и d, d и локальный минимум в точках b.b. Функция ff не имеет локального экстремума в c.c. Знак f′f ′ меняется на всех локальных экстремумах.

      Используя рисунок 4.31, мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

      • Если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке c.c.
      • Функция имеет локальный экстремум в критической точке cc тогда и только тогда, когда производная f′f ′ меняет знак при увеличении xx на c.c.
      • Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке c, c, мы должны определить знак f ′ (x) f ′ (x) слева и справа от c.c.

      Этот результат известен как тест первой производной.

      Теорема 4.9

      Проверка первой производной

      Предположим, что ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем критическую точку c.c. Если ff дифференцируема над I, I, за исключением, возможно, точки c, c, то f (c) f (c) удовлетворяет одному из следующих описаний:

      1. Если f′f ′ меняет знак с положительного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным максимумом f.f.
      2. Если f′f ′ меняет знак с отрицательного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным минимумом f.f.
      3. Если f′f ′ имеет один и тот же знак для x c, x> c, то f (c) f (c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом f.f.

      Мы можем резюмировать тест первой производной как стратегию поиска локальных экстремумов.

      Стратегия решения проблем

      Стратегия решения проблем: использование первой производной проверки

      Рассмотрим функцию ff, непрерывную на интервале I.I.

      1. Найдите все критические точки ff и разделите интервал II на меньшие интервалы, используя критические точки в качестве конечных точек.
      2. Проанализируйте знак f′f ′ в каждом из подынтервалов. Если f′f ′ непрерывен на заданном подынтервале (что обычно бывает), то знак f′f ′ в этом подынтервале не меняется и, следовательно, может быть определен путем выбора произвольной контрольной точки xx в этом подынтервале. и оценивая знак f′f ′ в этой контрольной точке. Используйте знаковый анализ, чтобы определить, увеличивается или уменьшается ff в течение этого интервала.
      3. Используйте первую производную проверку и результаты шага 22, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в каждой из критических точек.

      Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций.

      Пример 4.17

      Использование теста первой производной для поиска локальных экстремумов

      Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x3−3×2−9x − 1.f (x) = x3−3×2−9x − 1.Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

      Решение

      Шаг 1. Производная равна f ′ (x) = 3×2−6x − 9. f ′ (x) = 3×2−6x − 9. Чтобы найти критические точки, нам нужно найти, где f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 0. Разлагая многочлен на множители, заключаем, что критические точки должны удовлетворять

      3 (x2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0,3 (x2−2x − 3) = 3 (x − 3) ( х + 1) = 0.

      Следовательно, критическими точками являются x = 3, −1.x = 3, −1. Теперь разделите интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞).(−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞).

      Шаг 2. Поскольку f′f ′ — непрерывная функция, для определения знака f ′ (x) f ′ (x) на каждом подынтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов (−∞, −1 ), (- 1,3) и (3, ∞) (- ∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞) и определяют знак f′f ′ в каждой из этих точек. Например, давайте выберем x = −2, x = 0 и x = 4x = −2, x = 0 и x = 4 в качестве контрольных точек.

      Интервал Контрольная точка Знак f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) в контрольной точке Заключение
      (−∞, −1) (- ∞, −1) х = -2 х = -2 (+) (-) (-) = + (+) (-) (-) = + ff увеличивается.
      (−1,3) (- 1,3) х = 0х = 0 (+) (-) (+) = — (+) (-) (+) = — ff уменьшается.
      (3, ∞) (3, ∞) х = 4х = 4 (+) (+) (+) = + (+) (+) (+) = + ff увеличивается.

      Шаг 3. Поскольку f′f ′ меняет знак с положительного на отрицательный, когда xx увеличивается до –1, f – 1, f имеет локальный максимум при x = −1.x = −1. Поскольку f′f ′ меняет знак с отрицательного на положительный при увеличении xx до 3, f3, f имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

      Рисунок 4.32. Функция ff имеет максимум при x = −1x = −1 и минимум при x = 3x = 3.

      КПП 4.16

      Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.

      Пример 4.18

      Использование теста первой производной

      Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3.f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

      Решение

      Шаг 1. Производная:

      f ′ (x) = 53x − 2 / 3−53×2 / 3 = 53×2 / 3−5×2 / 33 = 5−5×4 / 33×2 / 3 = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3. f ′ (x) = 53x − 2 / 3−53×2 / 3 = 53×2 / 3−5×2 / 33 = 5−5×4 / 33×2 / 3 = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3.

      Производная f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0, когда 1 − x4 / 3 = 0,1 − x4 / 3 = 0. Следовательно, f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0 при x = ± 1.x = ± 1. Производная f ′ (x) f ′ (x) не определена при x = 0.x = 0. Следовательно, у нас есть три критических точки: x = 0, x = 0, x = 1, x = 1 и x = −1.x = −1. Следовательно, разделим интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,0), (0,1), (- ∞, −1), (−1,0), (0,1) и (1, ∞).(1, ∞).

      Шаг 2: Поскольку f′f ′ непрерывен на каждом подынтервале, достаточно выбрать контрольную точку xx в каждом из интервалов шага 11 и определить знак f′f ′ в каждой из этих точек. Точки x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2 являются контрольными точками для этих интервалов.

      Интервал Контрольная точка Знак f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3 в контрольной точке Заключение
      (−∞, −1) (- ∞, −1) х = -2 х = -2 (+) (-) + = — (+) (-) + = — ff уменьшается.
      (−1,0) (- 1,0) х = -12х = -12 (+) (+) + = + (+) (+) + = + ff увеличивается.
      (0,1) (0,1) х = 12х = 12 (+) (+) + = + (+) (+) + = + ff увеличивается.
      (1, ∞) (1, ∞) х = 2х = 2 (+) (-) + = — (+) (-) + = — ff уменьшается.

      Шаг 3: Поскольку ff убывает на интервале (−∞, −1) (- ∞, −1) и увеличивается на интервале (−1,0), (- 1,0), ff имеет локальный минимум при x = −1.х = -1. Поскольку ff возрастает на интервале (−1,0) (- 1,0) и интервале (0,1), (0,1), ff не имеет локального экстремума при x = 0.x = 0. Поскольку ff возрастает на интервале (0,1) (0,1) и убывает на интервале (1, ∞), f (1, ∞), f имеет локальный максимум при x = 1.x = 1. Аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

      Рисунок 4.33. Функция f имеет локальный минимум при x = −1x = −1 и локальный максимум при x = 1.x = 1.

      КПП 4.17

      Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = x − 13.е (х) = х-13.

      Вогнутость и точки перегиба

      Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается. Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

      На рис. 4.34 (a) показана функция ff с графиком, изгибающимся вверх. По мере увеличения xx наклон касательной увеличивается. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением xx, f′f ′ является возрастающей функцией.Мы говорим, что эта функция ff вогнута вверх. На рис. 4.34 (b) показана функция ff, которая изгибается вниз. По мере увеличения xx наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает с увеличением xx, f′f ′ — убывающая функция. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вниз.

      Определение

      Пусть ff — функция, дифференцируемая на открытом интервале I.I. Если f′f ′ возрастает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вверх над I.I. Если f′f ′ убывает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вниз над I.I.

      Рис. 4.34 (a), (c) Поскольку f′f ′ возрастает на интервале (a, b), (a, b), мы говорим, что ff вогнутая вверх над (a, b). (A, b). (b), (d) Поскольку f′f ′ убывает на интервале (a, b), (a, b), мы говорим, что ff вогнутая вниз на (a, b). (a, b).

      В общем, не имея графика функции f, f, как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция ff вогнута вверх, если f′f ′ возрастает. Из следствия 3,3 мы знаем, что если f′f ′ — дифференцируемая функция, то f′f ′ возрастает, если ее производная f ″ (x)> 0.f ″ (x)> 0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff будет вогнутой, когда f ″ (x)> 0. f ″ (x)> 0. Точно так же функция ff вогнута вниз, если f′f ′ убывает. Мы знаем, что дифференцируемая функция f′f ′ убывает, если ее производная f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff вогнута вниз, когда f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Применение этой логики известно как тест на вогнутость.

      Теорема 4.10

      Тест на вогнутость

      Пусть ff — функция, дважды дифференцируемая на интервале I.I.

      1. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вверх над I.I.
      2. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вниз над I.I.

      Мы заключаем, что мы можем определить вогнутость функции ff, глядя на вторую производную f.f. Кроме того, мы видим, что функция ff может переключать вогнутость (рисунок 4.35). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке xx, если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено.Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция ff вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения xx, где f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) равно неопределенный. Когда мы определили эти точки, мы разделим область определения ff на меньшие интервалы и определим знак f ″ f ″ для каждого из этих меньших интервалов. Если f ″ f ″ меняет знак при прохождении через точку x, x, то ff меняет вогнутость. Важно помнить, что функция ff не может изменять вогнутость в точке xx, даже если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено.Если, однако, ff меняет вогнутость в точке aa и ff непрерывна в a, a, мы говорим, что точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

      Определение

      Если ff непрерывен в aa, а ff изменяет вогнутость в a, a, точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

      Рис. 4.35. Поскольку f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для x a, x> a, функция ff вогнута вниз на интервале (a, ∞).(а, ∞). Точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

      Пример 4.19

      Испытание на вогнутость

      Для функции f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, f (x) = x3−6×2 + 9x + 30 определите все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз. Перечислите все точки перегиба для f.f. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

      Решение

      Чтобы определить вогнутость, нам нужно найти вторую производную f ″ (x) .f ″ (x). Первая производная равна f ′ (x) = 3×2−12x + 9, f ′ (x) = 3×2−12x + 9, поэтому вторая производная равна f ″ (x) = 6x − 12.f ″ (x) = 6x − 12. Если функция изменяет вогнутость, это происходит либо когда f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0, либо f ″ (x) f ″ (x) не определено. Поскольку f ″ f ″ определено для всех действительных чисел x, x, нам нужно только найти, где f ″ (x) = 0. f ″ (x) = 0. Решая уравнение 6x − 12 = 0,6x − 12 = 0, мы видим, что x = 2x = 2 — единственное место, где ff может изменить вогнутость. Теперь мы проверяем точки на интервалах (−∞, 2) (- ∞, 2) и (2, ∞) (2, ∞), чтобы определить вогнутость f.f. Точки x = 0x = 0 и x = 3x = 3 являются контрольными точками для этих интервалов.

      Интервал Контрольная точка Знак f ″ (x) = 6x − 12f ″ (x) = 6x − 12 в контрольной точке Заключение
      (−∞, 2) (- ∞, 2) х = 0х = 0 −− ff вогнутая вниз
      (2, ∞) (2, ∞) х = 3х = 3 ++ ff вогнутый вверх.

      Мы заключаем, что ff вогнута вниз на интервале (−∞, 2) (- ∞, 2) и вогнута вверх на интервале (2, ∞). (2, ∞). Поскольку ff изменяет вогнутость при x = 2, x = 2, точка (2, f (2)) = (2,32) (2, f (2)) = (2,32) является точкой перегиба. Рисунок 4.36 подтверждает аналитические результаты.

      Рисунок 4.36 Данная функция имеет точку перегиба в (2,32) (2,32), где график меняет вогнутость.

      КПП 4.18

      Для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, найти все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз.

      Теперь мы суммируем в таблице 4.1 информацию, которую первая и вторая производные функции ff предоставляют о графике f, f, и проиллюстрируем эту информацию на рисунке 4.37.

      Знак f′f ′ Знак f ″ f ″ Ff увеличивается или уменьшается? Вогнутость
      Положительный Положительно Увеличение Вогнутый вверх
      Положительный отрицательный Увеличение Вогнутый вниз
      Отрицательный Положительный Уменьшение Вогнутый вверх
      Отрицательный отрицательный Уменьшение Вогнутый вниз

      Таблица 4.1 Что производные говорят нам о графиках

      Рис. 4.37. Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff на открытом интервале I.I. Если f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция возрастает по I.I. Если f ′ (x) <0f ′ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция убывает по I.I. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вверх. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вниз на I.I.

      Тест второй производной

      Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений.Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

      Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальные экстремумы, они должны возникать в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как можно использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть ff — дважды дифференцируемая функция такая, что f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем a.а. Предположим, что f ″ (a) <0. f ″ (a) <0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна над I, I, f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈Ix∈I (рис. 4.38). Тогда по следствию 3,3 f′f ′ - убывающая функция над I.I. Поскольку f ′ (a) = 0, f ′ (a) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, f ′ (x)> 0x∈I, f ′ (x)> 0, если x ax> a. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. С другой стороны, предположим, что существует точка bb такая, что f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0, но f ″ (b)> 0. f ″ (b)> 0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем b, b, то f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈Ix∈I (рисунок 4.38). Тогда по следствию 3 f′3, f ′ — возрастающая функция над I.I. Поскольку f ′ (b) = 0, f ′ (b) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, x∈I, f ′ (x) <0f ′ (x) <0, если x 0f ′ (x)> 0, если x> bx> b. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

      Рис. 4.38. Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff такую, что f ″ f ″ непрерывна. Поскольку f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ (a) <0, f ″ (a) <0, существует интервал II, содержащий aa, такой, что для всех xx в I, I, ff равно увеличивается, если x a.х> а. В результате ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. Поскольку f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0 и f ″ (b)> 0, f ″ (b)> 0, существует интервал II, содержащий bb, такой, что для всех xx в I, I, ff равно уменьшается, если x bx> b. В результате ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

      Теорема 4.11

      Тест второй производной

      Предположим, что f ′ (c) = 0, f ″ f ′ (c) = 0, f ″ непрерывно на интервале, содержащем c.c.

      1. Если f ″ (c)> 0, f ″ (c)> 0, то ff имеет локальный минимум в c.c.
      2. Если f ″ (c) <0, f ″ (c) <0, то ff имеет локальный максимум в c.c.
      3. Если f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, то проверка не дает результатов.

      Обратите внимание, что для случая iii. когда f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, тогда ff может иметь локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в c.c. Например, функции f (x) = x3, f (x) = x3, f (x) = x4, f (x) = x4 и f (x) = — x4f (x) = — x4 все имеют критические указывает на x = 0.x = 0. В каждом случае вторая производная равна нулю при x = 0.x = 0. Однако функция f (x) = x4f (x) = x4 имеет локальный минимум при x = 0x = 0, тогда как функция f (x) = — x4f (x) = — x4 имеет локальный максимум при x, x, а функция f (x) = x3f (x) = x3 не имеет локального экстремума при x = 0.х = 0.

      Давайте теперь посмотрим, как использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в критической точке cc, где f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0.

      Пример 4.20

      Использование теста второй производной

      Используйте вторую производную, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x5−5×3.f (x) = x5−5×3.

      Решение

      Чтобы применить тест второй производной, нам сначала нужно найти критические точки cc, где f ′ (c) = 0.f ′ (c) = 0. Производная равна f ′ (x) = 5×4−15×2.f ′ (x) = 5×4−15×2. Следовательно, f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0, когда x = 0, ± 3.x = 0, ± 3.

      Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы в любой из этих точек, нам нужно оценить знак f ″ f ″ в этих точках. Вторая производная —

      f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3). f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3).

      В следующей таблице мы оцениваем вторую производную в каждой из критических точек и используем тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в любой из этих точек.

      хх f ″ (x) f ″ (x) Заключение
      −3−3 −303−303 Местный максимум
      00 00 Тест второй производной безрезультатно
      33 303303 Местный минимум

      Используя проверку второй производной, мы заключаем, что ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3, а ff имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Тест второй производной не дает результатов при x = 0.x = 0. Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы при x = 0, x = 0, мы применяем тест первой производной. Чтобы оценить знак f ′ (x) = 5×2 (x2−3) f ′ (x) = 5×2 (x2−3) для x∈ (−3,0) x∈ (−3,0) и x∈ ( 0,3), x∈ (0,3), пусть x = −1x = −1 и x = 1x = 1 — две контрольные точки. Поскольку f ′ (- 1) <0f ′ (- 1) <0 и f ′ (1) <0, f ′ (1) <0, мы заключаем, что ff убывает на обоих интервалах и, следовательно, ff не имеет локальные экстремумы при x = 0x = 0, как показано на следующем графике.

      Рисунок 4.39 Функция ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3 и локальный минимум при x = 3x = 3.

      КПП 4.19

      Рассмотрим функцию f (x) = x3− (32) x2−18x.f (x) = x3− (32) x2−18x. Точки c = 3, −2c = 3, −2 удовлетворяют условию f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Используйте тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в этих точках.

      Теперь мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили понимание основной формы графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией при x → ± ∞.x → ± ∞. На данный момент у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого количества функций.

      Раздел 4.5 Упражнения

      194.

      Если cc является критической точкой для f (x), f (x), когда нет локального максимума или минимума в c? C? Объяснять.

      195.

      Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба и локальным максимумом / минимумом?

      196.

      Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба?

      197.

      Может ли точка cc быть одновременно точкой перегиба и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции?

      198.

      Зачем нужна непрерывность для первого производного теста? Придумайте пример.

      199.

      Объясните, должна ли функция вогнутого вниз пересекать y = 0y = 0 для некоторого значения x.x.

      200.

      Объясните, может ли многочлен степени 22 иметь точку перегиба.

      Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается.

      202.

      204.

      Для следующих упражнений проанализируйте графики f ′, f ′, затем перечислите все интервалы, где

      1. ff увеличивается и уменьшается и
      2. расположены минимумы и максимумы.

      206.

      208.

      210.

      Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все точки перегиба и интервалы ff, которые вогнуты вверх и вогнуты вниз.

      212.

      214.

      Для следующих упражнений нарисуйте граф, который удовлетворяет заданным спецификациям для области x = [- 3,3].х = [- 3,3]. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой.

      216.

      f (x)> 0, f ′ (x)> 0f (x)> 0, f ′ (x)> 0 над x> 1, −3 1, −3

      217.

      f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 над x> 2, −3 2, −3

      218.

      f ″ (x) <0f ″ (x) <0 сверх −1 0, −3 0, −3

      219.

      Существует локальный максимум при x = 2, x = 2, локальный минимум при x = 1, x = 1, и график не является ни вогнутым вверх, ни вогнутым вниз.

      220.

      Есть локальные максимумы при x = ± 1, x = ± 1, функция вогнута вверх для всех x, x, и функция остается положительной для всех x.x.

      Для следующих упражнений определите

      1. интервалов увеличения или уменьшения ff и
      2. локальных минимумов и максимумов f.f.

      221.

      f (x) = sinx + sin3xf (x) = sinx + sin3x над −π

      Для следующих упражнений определите a.интервалы, где ff вогнута вверх или вогнута вниз, и b. точки перегиба ф.ф.

      223.

      f (x) = x3−4×2 + x + 2f (x) = x3−4×2 + x + 2

      Для следующих упражнений определите

      1. интервалов увеличения или уменьшения ff,
      2. локальных минимумов и максимумов f, f,
      3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
      4. точки перегиба ф.ф.

      225.

      f (x) = x3−6x2f (x) = x3−6×2

      226.

      f (x) = x4−6x3f (x) = x4−6×3

      227.

      f (x) = x11−6x10f (x) = x11−6×10

      228.

      f (x) = x + x2 − x3f (x) = x + x2 − x3

      Для следующих упражнений определите

      1. интервалов увеличения или уменьшения ff,
      2. локальных минимумов и максимумов f, f,
      3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
      4. точки перегиба ф.ф. Нарисуйте кривую, а затем с помощью калькулятора сравните свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором.

      231.

      [T] f (x) = sin (πx) −cos (πx) f (x) = sin (πx) −cos (πx) над x = [- 1,1] x = [- 1,1 ]

      232.

      [T] f (x) = x + sin (2x) f (x) = x + sin (2x) over x = [- π2, π2] x = [- π2, π2]

      233.

      [T] f (x) = sinx + tanxf (x) = sinx + tanx над (−π2, π2) (- π2, π2)

      234.

      [T] f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2

      235.

      [T] f (x) = 11 − x, x ≠ 1f (x) = 11 − x, x ≠ 1

      236.

      [T] f (x) = sinxxf (x) = sinxx над x = x = [2π, 0) ∪ (0,2π] [2π, 0) ∪ (0,2π]

      237.

      f (x) = sin (x) exf (x) = sin (x) ex над x = [- π, π] x = [- π, π]

      238.

      f (x) = lnxx, x> 0 f (x) = lnxx, x> 0

      239.

      f (x) = 14x + 1x, x> 0f (x) = 14x + 1x, x> 0

      240.

      f (x) = exx, x ≠ 0f (x) = exx, x ≠ 0

      Для следующих упражнений интерпретируйте предложения в терминах f, f ′ и f ″ .f, f ′ и f ″.

      241.

      Население растет медленнее. Здесь ff — население.

      242.

      Велосипед ускоряется быстрее, но машина едет быстрее. Здесь f = f = положение велосипеда минус положение автомобиля.

      243.

      Самолет плавно приземляется. Здесь ff — высота самолета.

      244.

      Котировки акций достигли пика. Здесь ff — цена акции.

      245.

      Экономика набирает обороты. Здесь ff — это показатель экономики, например ВВП.

      Для следующих упражнений рассмотрим многочлен третьей степени f (x), f (x), который обладает свойствами f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. Определите, являются ли следующие утверждения истинными или ложными . Обосновать ответ.

      246.

      f (x) = 0f (x) = 0 для некоторых 1≤x≤31≤x≤3

      247.

      f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 для некоторого 1≤x≤31≤x≤3

      248.

      Абсолютного максимума не существует при x = 3x = 3

      249.

      Если f (x) f (x) имеет три корня, то у нее 11 точек перегиба.

      250.

      Если f (x) f (x) имеет одну точку перегиба, то она имеет три действительных корня.

      Использование первой производной для определения возрастающих и убывающих функций — Видео и стенограмма урока

      Первая производная

      В математике мы имеем дело с множеством функций.2–3 дает вам график, похожий на сумасшедшие американские горки, которые заставляют вас чувствовать, что вы находитесь в свободном падении!

      Когда математики получают эти функции, а также другие, даже более сложные функции, они любят манипулировать ими и выполнять с ними другие математические операции. Одна из этих операций — взятие первой производной. Другие уроки охватывают использование первой производной, если вам нужно напомнить. Первая производная — это производная исходной функции.Математически первая производная дает вам наклон. Для функций с показателями это означает, что первая производная функция сообщает вам, каков наклон функции в каждой точке. Как вы можете видеть в нашем последнем примере, наш наклон меняется по мере того, как мы движемся по линии, это наши воображаемые американские горки. Первая функция, которую мы увидели, изображенная на графике, имеет один наклон на всем протяжении. Это потому, что наша линия имеет одинаковую крутизну на всем протяжении. Это не меняется. Это похоже на восхождение на бесконечный холм.

      Когда мы вызываем нашу функцию f ( x ), мы вызываем нашу первую производную f ‘(x). Мы используем один апостроф, чтобы сообщить нам, что это первая производная. Мы не собираемся вдаваться во все правила поиска первой производной в этом уроке. Для этого у нас есть и другие уроки. Вернитесь и посмотрите на них, если вам нужно освежиться.

      Одна очень интересная особенность первой производной заключается в том, что знак первой производной, положительный или отрицательный, на самом деле говорит нам, увеличивается или уменьшается наша функция.Возрастающая функция имеет значения y, которые увеличиваются по мере продвижения к правому краю графика. У убывающей функции есть значения y, которые уменьшаются по мере продвижения к правому краю графика. У возрастающей функции первая производная положительна. У убывающей функции первая производная отрицательна.

      Заметки по исчислению I, раздел 2-10

      Заметки по исчислению I, разделы 2-10
      Заметки,
      Урок 2.10

      Что значит f ‘
      Скажи про f ?

      Первая производная
      функции — это выражение, которое сообщает нам наклон касательной
      линия к кривой в любой момент.Из-за этого определения первый
      производная функции многое говорит нам о функции. Если положительный, то должен увеличиваться. Если отрицательный, то должен уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть
      при относительном максимуме или относительном минимуме. говорит нам похожие вещи о. также
      дает нам ценную информацию о. В
      в частности, он сообщает нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз,
      или есть точка перегиба. Такой же тип информации
      указал о
      по и так далее.

      увеличение

      +
      уменьшение
      относительный мин. или макс. 0
      вогнуться увеличение +
      вогнуться уменьшение
      точка перегиба относительный мин. или макс. 0
      вогнуться увеличение +
      вогнуться уменьшение
      точка перегиба относительный мин.или макс. 0
      вогнуться увеличение
      вогнуться уменьшение
      точка перегиба относительный мин. или макс.
      вогнуться
      вогнуться
      точка перегиба

      Использование вашего Инструменты для обогащения
      Calculus
      CD (пришел
      вместе с книгой), загрузите и запустите модуль
      2.10
      .
      Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации.
      о
      f
      ‘для определения наклона графика f ..

      Определение:

      Первоначальное Первообразная f является
      функция F такая, что F
      = f .

      Здесь мы видим процесс, обратный тому, что мы
      изучение.Мы начинаем с производной, и мы хотим найти функцию. Этот
      тип
      процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных
      встреча.

      Во-первых, нам нужно знать, что разные функции могут
      результат в
      точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

      Здесь мы видим семейство кривых, построенных с их
      общая производная.

      Семейство параболических функций:, где c принимает
      значения: -1, 0, 1, 2, 3 и 4.

      Прямая линия на графике выше. Это
      производная функция для всех шести параболических функций.
      Поскольку дериватив — это прежде всего инструмент для
      определение формы
      функции положение графика не влияет на форму.
      Следовательно
      совпадающие кривые, которые ориентированы одинаково, но имеют разные
      должность
      имеют такую ​​же производную.

      Проверить концепции
      # 1: положительная производная
      что насчет функции?

      Выберите одну функцию
      положительная функция отрицательная функция
      возрастающая функция убывающая

      # 2: отрицательная секунда
      производная говорит, что насчет
      функция?

      Выберите одну функцию
      уменьшается Функция вогнута вниз Функция
      отрицательный

      # 3: Верно или неверно.В
      производная функции также
      функция.

      Выберите одно верно неверно

      # 4: Вторая производная
      нуля говорит, что насчет
      оригинальная функция?

      Выберите там
      точка перегиба Есть относительный минимум или максимум It
      должна быть постоянной функцией

      # 5: Верно или неверно.А
      вторая производная функции
      дает ценную информацию о функции.

      Выберите одно верно неверно

      AC Вторая производная

      Для дифференцируемой функции \ (y = f (x) \ text {,} \) мы знаем, что ее производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) является связанная функция, вывод которой в \ (x = a \) сообщает нам наклон касательной к \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \) То есть высоты на графике производной говорят нам значения наклона на графике исходной функции.

      В точке, где \ (f ‘(x) \) положительно, наклон касательной к \ (f \) положительный. Следовательно, на интервале, где \ (f ‘(x) \) положительно, функция \ (f \) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \ (f ‘(x) \) отрицательно на интервале, график \ (f \) убывает (или убывает).

      Производная от \ (f \) сообщает нам не только , , увеличивается или уменьшается функция \ (f \) на интервале, но также , как функция \ (f \) увеличивается или уменьшается.Посмотрите на две касательные, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что около точки \ (A \) значение \ (f ‘(x) \) положительно и относительно близко к нулю, и около этой точки график медленно растет. Напротив, около точки \ (B \ text {,} \) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \ (f \) быстро убывает около \ (B \ text {.} \)

      Рисунок 1.6.1. Две касательные на графике.

      Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным и большим или малым, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»

      Поскольку производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) сама по себе является функцией, мы можем рассмотреть возможность взятия ее производной — производной от производной — и спросить, «что говорит производная от производной. нас о том, как ведет себя исходная функция? » Начнем с исследования движущегося объекта.

      Предварительный просмотр 1.6.1.

      Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.2. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \ ((2,4) \) на графике означает, что через 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.

      Рисунок 1.6.2. График \ (y = s (t) \ text {,} \) положения автомобиля (измеренного в тысячах футов от его исходного местоположения) в момент времени \ (t \) в минутах.

      1. На обыденном языке опишите поведение автомобиля за указанный промежуток времени. В частности, вам следует внимательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \ ([0,1] \ text {,} \) \ ([1,2] \ text {,} \) \ ([2,3 ] \ text {,} \) \ ([3,4] \ text {,} \) и \ ([4,5] \ text {,} \) плюс дать общий комментарий о том, что машина делает в интервале \ ([0,12] \ text {.} \)

      2. На левой оси, представленной на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \ (y = s ‘(t) \ text {.} \)

      3. Что означает функция \ (y = s ‘(t) \) в контексте данной проблемы? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \ (s ‘(t) \) положительно? когда \ (s ‘(t) \) равно нулю? когда \ (s ‘(t) \) отрицательно?

      4. Переименуйте функцию, которую вы построили в (b), чтобы она вызывалась \ (y = v (t) \ text {.} \) Опишите поведение \ (v \) словами, используя такие фразы, как «\ (v \) возрастает на интервале \ (\ ldots \) ​​», а« \ (v \) постоянно на интервале \ (\ ldots \ text {.} \) ”

      5. Нарисуйте график функции \ (y = v ‘(t) \) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \ (v ‘(t) \) связано с графиком \ (y = v (t) \ text {.} \)

      Рисунок 1.6.3. Оси для построения \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \ text {.} \)

      Подраздел 1.6.1 Увеличение или уменьшение

      До сих пор мы использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , интуитивно для описания графика функции.Здесь мы определим эти термины более формально.

      Определение 1.6.4.

      Для функции \ (f (x) \), определенной на интервале \ ((a, b) \ text {,} \), мы говорим, что \ (f \) возрастает на \ ((a, b) \ ) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \), если \ (x \ lt y \ text {,} \), то \ (f (x) \ lt f (y) \ text {.} \) Аналогично, мы говорим, что \ (f \) убывает на \ ((a, b) \) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \) если \ (x \ lt y \ text {,} \), то \ (f (х) \ gt е (у) \ текст {.} \)

      Проще говоря, возрастающая функция — это функция, которая возрастает при перемещении слева направо по графику, а убывающая функция — это функция, которая падает при увеличении значения ввода. Если функция имеет производную, знак производной говорит нам, увеличивается или уменьшается функция.

      Пусть \ (f \) — функция, дифференцируемая на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Можно показать, что если \ (f ‘(x)> 0 \) для каждое \ (x \) такое, что \ (a \ lt x \ lt b \ text {,} \), то \ (f \) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) аналогично, если \ (f ‘(x) \ lt 0 \) на \ ((a, b) \ text {,} \), то \ (f \) убывает на \ ((a, b) \ text {.} \)

      Например, функция, изображенная на рисунке 1.6.5, возрастает на всем интервале \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \ text {,} \) и убывает на интервале \ (0 \ lt x \ lt 2 \ text {.} \) Обратите внимание, что значение \ (x = 0 \) не входит ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция изменяется с увеличения на уменьшение.

      Рисунок 1.6.5. Функция, убывающая на интервалах \ (- 3 \ lt x \ lt -2 \) и \ (0 \ lt x \ lt 2 \) и возрастающая на \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \) и \ (2 \ lt х \ lt 3 \ текст {.} \)

      Подраздел 1.6.2 Вторая производная

      Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \ (f \) — это новая функция, заданная правилом

      .

      \ begin {уравнение *}
      f ‘(x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ text {.}
      \ end {уравнение *}

      Поскольку \ (f ‘\) сам по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \ (y = [f’ (x)] ‘\ text {.} \) Мы называем эту получившуюся функцию второй производной от \ (y = f (x) \ text {,} \) и обозначаем вторую производную как \ (y = f » (x) \ text {.} \) Следовательно, мы иногда будем называть \ (f ‘\) «первой производной» от \ (f \ text {,} \), а не просто «производной» от \ (f \ text {.} \)

      Определение 1.6.6.

      Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть

      \ begin {уравнение *}
      f » (x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f ‘(x + h) -f’ (x)} {h} \ text {.}
      \ end {уравнение *}

      Значение производной функции все еще сохраняется, поэтому, когда мы вычисляем \ (y = f » (x) \ text {,} \), эта новая функция измеряет наклон касательных линий к кривой \ (y = f ‘( x) \ text {,} \), а также мгновенную скорость изменения \ (y = f ‘(x) \ text {.} \) Другими словами, так же, как первая производная измеряет скорость, с которой оригинал функция изменяется, вторая производная измеряет скорость, с которой изменяется первая производная. Вторая производная поможет нам понять, как изменяется сама скорость изменения исходной функции.

      Подраздел 1.6.3 Вогнутость

      Помимо вопроса , увеличивается или уменьшается функция, естественно также спросить , как функция увеличивается или уменьшается. Есть три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может увеличиваться все более и более быстро, она может увеличиваться с той же скоростью, или она может увеличиваться медленным образом. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, при естественном сравнении с линиями, которые вообще не изгибаются.Более того, мы хотим понять, как изгиб в графике функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.

      Рисунок 1.6.7. Три функции, которые все увеличиваются, но делают это с возрастающей, постоянной и убывающей скоростью соответственно.

      На крайней левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. При движении слева направо наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью .Для крайнего правого графика на рис. 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \ (x \) функция увеличивается, но наклон касательных линий уменьшается. Эта функция на увеличивается со скоростью убывания.

      Аналогичные параметры используются для уменьшения функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции включают отрицательные наклоны. Отрицательные числа представляют собой интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\ (- 100 \) больше, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Но мы должны помнить, что« больше чем »описывает расположение чисел на числовой строке: \ (x \ gt y \) при условии, что \ (x \) лежит справа от \ (y \ text {.} \) Итак, конечно, \ (- 100 \) меньше, чем \ (- 2 \ text {.} \) Неформально, может быть полезно сказать, что «\ (- 100 \) более отрицательно, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся все более отрицательными по мере увеличения ввода, функция должна уменьшаться.

      Рисунок 1.6.8. Слева направо три функции, которые уменьшаются, но делают это по-разному.

      Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, убывающую с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклон этих линий становится все менее и менее отрицательным по мере того, как мы движемся слева направо. Это означает, что значения первой производной, в то время как все отрицательные, увеличиваются, и поэтому мы говорим, что крайняя левая кривая убывает с возрастающей скоростью . x \ text {,} \), мы говорим, что кривая на вогнута вверх. на этом интервале.{x} \ text {,} \) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.

      На рисунке 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута вверх, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклон касательных линий увеличивается при движении слева направо. Другими словами, функция \ (f \) вогнута вверх на показанном интервале, потому что ее производная \ (f ‘\ text {,} \) возрастает на этом интервале.Точно так же на правом графике на рисунке 1.6.9, где функция показана вогнутой вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат над кривой, а наклон касательных линий уменьшается по мере того, как мы перемещаемся слева направо. Тот факт, что его производная \ (f ‘\ text {,} \) убывает, делает \ (f \) вогнутым вниз на интервале.

      Рисунок 1.6.9. Слева функция, вогнутая вверх; справа — вогнутая вниз.

      Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально как определения терминов вогнутый вверх и вогнутый вниз .

      Определение 1.6.10.

      Пусть \ (f \) — дифференцируемая функция на интервале \ ((a, b) \ text {.} \) Тогда \ (f \) вогнутая на \ ((a, b) \), если и только если \ (f ‘\) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) \ (f \) вогнутое вниз на \ ((a, b) \) тогда и только тогда, когда \ (f ‘\) уменьшается на \ ((a, b) \ text {.} \)

      Мероприятие 1.6.2.

      Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.11. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \) в предварительном упражнении 1.6.1.

      Рисунок 1.6.11. График \ (y = s (t) \ text {,} \) положения автомобиля (измеренного в тысячах футов от его исходного местоположения) в момент времени \ (t \) в минутах.

      1. На каких интервалах функция положения \ (y = s (t) \) увеличивается? уменьшается? Почему?

      2. На каких интервалах функция скорости \ (y = v (t) = s ‘(t) \) увеличивается? уменьшается? ни один? Почему?

      3. Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость, с которой изменяется скорость объекта.Скажем, функция ускорения автомобиля называется \ (a (t) \ text {.} \) Как \ (a (t) \) вычисляется из \ (v (t) \ text {?} \) Как \ ( a (t) \) вычисляется из \ (s (t) \ text {?} \) Объясните.

      4. Что вы можете сказать о \ (s » \) всякий раз, когда \ (s ‘\) увеличивается? Почему?

      5. Используя только слова увеличивающий , убывающий , постоянный , вогнутый вверх , вогнутый вниз и линейный , завершите следующие предложения.Для функции положения \ (s \) со скоростью \ (v \) и ускорением \ (a \ text {,} \)

        • на интервале, где \ (v \) положительно, \ (s \) равно.

        • на интервале, где \ (v \) отрицательно, \ (s \) равно.

        • на интервале, где \ (v \) равно нулю, \ (s \) равно.

        • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (v \) положительно.

        • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (v \) равно.

        • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (v \) равно.

        • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (s \) положительно.

        • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (s \) равно.

        • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (s \) равно.

      Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая производная и ее вторая производная связаны друг с другом. В действии 1.6.2 мы можем заменить \ (s \ text {,} \) \ (v \ text {,} \) и \ (a \) произвольной функцией \ (f \) и ее производными \ (f ‘\) и \ (f’ ‘\ text {,} \) и, по сути, все те же наблюдения верны.В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \ (f \) вогнут вверх, \ (f ‘\) возрастает, а \ (f’ ‘\) положительно. Аналогично, на интервале, где график \ (f \) вогнут вниз, \ (f ‘\) убывает, а \ (f’ ‘\) отрицательно.

      Мероприятие 1.6.3.

      Картофель помещается в духовку, и температура картофеля \ (F \) (в градусах Фаренгейта) в различные моменты времени измеряется и записывается в следующей таблице. Время \ (t \) измеряется в минутах.В упражнении 1.5.2 мы вычислили приближения к \ (F ‘(30) \) и \ (F’ (60) \) с использованием центральных разностей. Эти и другие значения представлены во второй таблице ниже, а также некоторые другие, вычисленные таким же образом.

      Таблица 1.6.12. Выберите значения \ (F (t) \ text {.} \)

      \ (t \) \ (F (t) \)
      \ (0 \) \ (70 \)
      \ (15 \) \ (180,5 \)
      \ (30 \) \ (251 \)
      \ (45 \) \ (296 \)
      \ (60 \) \ (324.5 \)
      \ (75 \) \ (342,8 \)
      \ (90 \) \ (354,5 \)

      Таблица 1.6.13. Выберите значения \ (F ‘(t) \ text {.} \)

      \ (t \) \ (F ‘(t) \)
      \ (0 \) NA
      \ (15 \) \ (6,03 \)
      \ (30 \) \ (3,85 \)
      \ (45 \) \ (2,45 \)
      \ (60 \) \ (1.56 \)
      \ (75 \) \ (1,00 \)
      \ (90 \) NA
      1. Каковы единицы измерения значений \ (F ‘(t) \ text {?} \)

      2. Используйте центральную разность, чтобы оценить значение \ (F » (30) \ text {.} \)

      3. Что означает значение \ (F » (30) \), которое вы вычислили в (b) в терминах температуры картофеля? Напишите несколько осторожных предложений, в которых обсуждаются, с соответствующими единицами, значения \ (F (30) \ text {,} \) \ (F ‘(30) \ text {,} \) и \ (F’ ‘(30) \ text {,} \) и объясните общее поведение температуры картофеля в данный момент времени.

      4. В целом, температура картофеля растет с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с уменьшающейся скоростью? Почему?

      Мероприятие 1.6.4.

      Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как нарисовать график \ (f ‘\) с учетом графика \ (f \ text {.} \)

      На рис. 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух различных функций \ (f \ text {,} \), нарисуйте соответствующий график \ (f ‘\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \ (f’ ‘ \) на втором наборе осей.Кроме того, для каждого из них напишите несколько осторожных предложений в духе действий 1.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.