Решите уравнение x 2 2x 5 0: Ваш браузер не поддерживается

Содержание

Решите квадратное уравнение x2+2x+5=0 — Школьные Знания.com

Начертите на рисунке, как надо разрезать Квадрат на 5 частей, чтобы можно было составить дваодинаковых Квадрата.СРОЧНООО СОООООЧ

Повторение курса математики 5-го класса. Десятичные дроби и действия над нимиКрестьянское хозяйство получило 1278 ц просяной продукции с 0,8 всей площ

ади пашни. Сколько гектаров занимает площадь всей пашни крестьянского хозяйства, если с 1 га земли получено 22,5 ц проса?Ответ:га.НазадПроверитьПовторение курса математики 5-го класса. Десятичные дроби и действия над нимиКрестьянское хозяйство получило 1278 ц просяной продукции с 0,8 всей площади пашни. Сколько гектаров занимает площадь всей пашни крестьянского хозяйства, если с 1 га земли получено 22,5 ц проса?Ответ:га.НазадПроверить​

Собственная скорость моторной лодки равна 26,4 км/ч. Скорость течения в 6 раз меньше собственной скорости моторной лодки. Какой путь проплывет моторна

я лодка по течению за 5 часов?Ответ: км.НазадПроверить​

Х+1/х-3 =5/4 ПОМОГИТЕ ПЖ

6. На рисунке изображен график движения туриста. Рассмотрев график, ответьте на вопросы:
а) На каком расстоянии от дома был турист через 2 часа после

выхода из дома?
b) Сколько времени турист затратил на остановку? c) Сколько часов был турист в пути, когда до дома осталось пройти
d) С какой скоростью шёл турист первые два часа?
4 км?
[4]
7. Длина прямоугольника равна сумме утроенного значения ширины и числа 4. а) Запишите данное утверждение с помощью символов.
b) Составьте таблицу для данной зависимости и постройте ее график.
[1] [2]

Повторение курса математики 5-го класса. Десятичные дроби и действия над нимиРеши уравнение:(5,7 – x) ∙ 8,5 = 11,9.Ответ: .НазадПроверитьПовторение ку

рса математики 5-го класса. Десятичные дроби и действия над нимиРеши уравнение:(5,7 – x) ∙ 8,5 = 11,9.Ответ: .НазадПроверить​

Доказать вектор а і b, якщо координати а (2,3) , b(x,y)

Повторение курса математики 5-го класса. Десятичные дроби и действия над нимиСумма двух чисел равна 25,8. Одно число на 4,6 больше другого. Найди эти

числа.11,4; 14,410,4; 15,410,6; 15,211,2; 14,6НазадПроверитьс​

дам 35 тому, кто найдёт на это ключитам кстати 5 вариантов, желательно найти на все и кинуть мне ссылку на сайт с ответами, спасибо :*

Повторение курса математики 5-го класса. Десятичные дроби и действия над нимиСумма двух чисел равна 25,8. Одно число на 4,6 больше другого. Найди эти

числа.11,4; 14,410,4; 15,410,6; 15,211,2; 14,6НазадПроверитьс​

Открытая Математика. Алгебра. Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:


|x|={x,-x,x≥0,x≤0.

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.


Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:


1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5.


Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.




  1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, {|2x+8|=-2x-8,|x-5|=x+5.
    С учётом этого уравнение принимает вид




    -2x-8-5+x=12⇔x=-25.

    x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.



  2. –4 < x ≤ 5. 2x+8-5+x=12⇔3x=9⇔x=3.
    Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям.
  3. 3. x > 5. 2x+8-x+5=12⇔x=-1.
    Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.


Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

|f (x)| = g (x),


где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

|f (x)|=g (x)⇔[{f (x)≥0,f (x)=g (x);{f (x)<0,f (x)=-g (x).

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

|f (x)|=g (x)⇔{g (x)≥0,[f (x)=g (x),f (x)=-g (x).

Решите уравнение 2|x2 + 2x – 5| = x – 1.


Этому уравнению соответствуют два уравнения 2(x2 + 2x – 5) = x – 1 и 2(x2 + 2x – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем:


1. 2×2+3x-9=0.
Корни этого уравнения x=32
и x = –3, из которых подходит первый корень.


2. 2×2+5x-11=0.
Корни этого уравнения x1, 2=-5±1134.
Опять подходит только первый корень, так как второй заведомо отрицателен.



Ответ. x=32,  x=-5+1134.


В случае вложенных знаков модуля применим этот метод несколько раз. Здесь тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Решите уравнение ||x3-x+1|-3|=x3+x+1-7.


Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

[|x3-x+1|-3=x3+x+1-7,|x3-x+1|-3=-x3-x+1+7,

которые можно переписать в виде


[|x3-x+1|=x3+x+1-4,|x3-x+1|=-x3-x+1+10.



Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

[[x3-x+1=x3+x+1-4,x3-x+1=-x3-x+1+10,[x3-x+1=-x3-x+1+4,x3-x+1=x3+x+1-10,

что приводит к четырём уравнениям:

[x+1=2,x3=5,x3=2,x+1=5.



Отсюда получаем 4 решения: x1=3,
 x3=53,
 x2=23,
 x4=24,
 среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.



Ответ. 3.


Различные методы решения уравнений

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax2 + bx + c = 0,  a
≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких
степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax2n
+ bxn + c = 0, a
≠ 0, n ≥ 2  

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение
вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение
вида

ax4 + bx3 + cx2
+ bx + a =  0, a
0, коэффициенты  a b c b a
или

ax4 + bx3 + cx2 
bx + a =  0, a
0, коэффициенты a b c (–b) a 

Т.к. x = 0 не
является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x2, тогда получаем:
.

Произведя замену

решаем квадратное уравнение a(t2
2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x4
 2x3x2 – 2x
+ 1 = 0, делим обе части на x2,


,
после замены

получаем уравнение t2 – 2t – 3 = 0



– уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x
– d
) = Ax2, коэффициенты ab =
cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x +
12
) = 4x2. Перемножив 1–4
и 2–3 скобки, получим (x2 + 14x + 24)(x2
+11x + 24) = 4x2, разделим обе части уравнения
на x2, получим:



имеем  (t + 14)(t + 11 ) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида
Р(х,у) = 0, где Р(х,у) –
многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны,
а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен Pn(x) = anxn
+ an-1xn-1 + …+a1x +
a
0 , где an≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются
целыми числами и an = 1 , то целые
корни уравнения Pn(x) = 0
находятся среди делителей свободного члена a0.
Например, x4 + 2x3 – 2x2
– 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5;
–5; 1; –1. Тогда
P4(1) = 0, т.е.
x = 1 является корнем уравнения. Понизим
степень уравнения P4(x) = 0 с
помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1,
получаем

P4(x) = (x – 1)(x3
+ 3x2 + x – 5).

Аналогично, P3(1) = 0, тогда
P4(x) = (x – 1)(x
1)(x2 + 4x +5), т.е. уравнение
P4(x) = 0 имеет корни
x1 = x2 = 1.
Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).




  1 2 –2 –6 5
1 1 3 1 –5 0
1 1 4 5 0  

 

значит, x1 = 1 значит,
x2 = 1.

Итак, (x
– 1)2(x2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5
степени.

а) ax3 + bx2 +
bx + a = 0, очевидно, x = –1
корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax5 + bx4 + cx3
+ cx2 + bx + a = 0, очевидно,
x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень
уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x5
+ 3x4 – 5x3 – 5x2 + 3x
+ = 0





  2 3 –5 –5 3 2
–1 2 1 –6 1 2 0
1 2 3 –3 –2 0  
1 2 5 2 0    

 

 x = –1

 x = 1

 x = 1

Получаем (x – 1)2(x + 1)(2x2
+ 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1;
–2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения
в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

Как графически решить уравнение?

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x1 = 0, x2 = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

2-2x + 5 = 0 Tiger Algebra Solver

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг x 2 -2x + 5

Первый член равен , X 2 его коэффициент равен 1.
Средний член равен -2x, его коэффициент равен -2.
Последний член, «константа», равен +5

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 5 = 5

Шаг-2: Найдите два множителя 5, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -2.

-5 + -1 = -6
-1 + -5 = -6
1 + 5 = 6
5 + 1 = 6

Наблюдение: Нет двух таких факторов можно найти !!
Вывод: трехчлен не может быть разложен на множители

Уравнение в конце шага 1:
 x  2  - 2x + 5 = 0
 

Шаг 2:

 
Парабола, поиск вершины:

2.1 Найдите вершину y = x 2 -2x + 5

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 1.0000

Подставив в формулу параболы 1.0000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 — 2.0 * 1.00 + 5.0
или y = 4.000

Parabola, Graphing Вершины и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = x 2 -2x + 5
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {1,00}
Вершина в точке {x, y} = {1,00, 4,00}
Функция не имеет действительных корней

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

2.2 Решение x 2 -2x + 5 = 0, завершив Квадрат.

Вычтем 5 из обеих частей уравнения:
x 2 -2x = -5

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 2, разделите его на два, получив 1, и возведите его в квадрат. 1

Добавьте 1 к обеим частям уравнения:
В правой части получим:
-5 + 1 или, (-5/1) + (1/1)
Общий знаменатель двух дробей равен 1 Добавление (-5/1) + (1/1) дает -4/1
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы наконец получаем:
x 2 -2x + 1 = -4

Добавление 1 завершило левую часть в полный квадрат:
x 2 -2x + 1 =
(x-1) • (x-1) =
(x-1) 2
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг друга.Поскольку
x 2 -2x + 1 = -4 и
x 2 -2x + 1 = (x-1) 2
, то согласно закону транзитивности
(x-1) 2 = -4

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-1) 2 равен
(x-1) 2/2 =
(x-1) 1 =
x-1

Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 2.2.1 получаем:
x-1 = √ -4

Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 1 + √ -4
В математике i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i 2 = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 — 2x + 5 = 0
имеет два решения:
x = 1 + √ 4 • i
или
x = 1 — √ 4 • i

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу

2.3 Решение x 2 -2x + 5 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

— B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = -2
C = 5

Соответственно B 2 — 4AC =
4 — 20 =
-16

Применение формулы корней квадратного уравнения:

2 ± √ -16
x = —————
2

В наборе действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней.Был изобретен новый набор чисел, названный комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти числа записываются (a + b * i)

Оба i и -i являются квадратными корнями из минус 1

Соответственно √ -16 =
√ 16 • (-1) =
√ 16 • √ -1 =
± √ 16 • i

Можно ли упростить √ 16?

Да! Разложение на простые множители 16 равно
2 • 2 • 2 • 2
Чтобы удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i. 2».

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1,1 Факторинг x 2 -2x-5

Первый член, x 2 , его коэффициент равен 1.
Средний член равен -2x, его коэффициент равен -2.
Последний член, «константа», равен -5

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -5 = -5

Шаг-2: Найдите два множителя -5, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, равному -2.

-5 + 1 = -4
-1 + 5 = 4


Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
Вывод: трехчлен не может быть разложен на множители

Уравнение в конце шага 1:
 x  2  - 2x - 5 = 0
 

Шаг 2:

Парабола, поиск вершины:

2.1 Найдите вершину y = x 2 -2x-5

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 1.0000

Подставив в формулу параболы 1.0000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 — 2.0 * 1.00 — 5.0
или y = -6.000

Parabola, Графики вершин и пересечений X:

Корневой график для: y = x 2 -2x-5
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {1,00}
Вершина в точке {x, y} = {1,00, — 6.00}
x -Перехваты (корни):
Корень 1 при {x, y} = {-1,45, 0,00}
Корень 2 при {x, y} = {3.45, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

2.2 Решение x 2 -2x-5 = 0, заполнив квадрат.

Добавьте 5 к обеим сторонам уравнения:
x 2 -2x = 5

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 2, разделите его на два, получив 1, и возведите его в квадрат, получив 1

Добавьте 1 к обеим частям уравнения:
В правой части получим:
5 + 1 или, (5/1) + (1/1)
Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (5 / 1) + (1/1) дает 6/1
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем:
x 2 -2x + 1 = 6

Добавление 1 завершило левую часть в идеальный квадрат:
x 2 -2x + 1 =
(x-1) • (x-1) =
(x-1) 2
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x 2 -2x + 1 = 6 и
x 2 -2x + 1 = (x-1) 2
, то согласно закону транзитивности
(x-1) 2 = 6

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-1) 2 равен
(x-1) 2/2 =
(x-1) 1 =
x-1

Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 2.2.1 получаем:
x-1 = √ 6

Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 1 + √ 6

Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 — 2x — 5 = 0
имеет два решения:
x = 1 + √ 6
или
x = 1 — √ 6

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

2.3 Решение x 2 -2x-5 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

— B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 1
B = -2
C = -5

Соответственно B 2 — 4AC =
4 — (-20) =
24

Применение квадратичной формулы:

2 ± √ 24
x = —————
2

Можно ли упростить √ 24?

Да! Разложение на простые множители 24 равно
2 • 2 • 2 • 3
Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).

√ 24 = √ 2 • 2 • 2 • 3 =
± 2 • √ 6

√ 6, округленное до 4 десятичных цифр, равно 2.4495
Итак, теперь мы смотрим на:
x = (2 ± 2 • 2.449 ) / 2

Два реальных решения:

x = (2 + √24) / 2 = 1 + √ 6 = 3,449

или:

x = (2-√24) / 2 = 1-√ 6 = -1,449

Было найдено два решения:

  1. x = (2-√24) / 2 = 1-√ 6 = -1,449
  2. x = (2 + √24) / 2 = 1 + √ 6 = 3,449

Квадратичные неравенства — объяснение и примеры

Подобно тому, как уравнения имеют разные формы, неравенства также существуют в разных формах, и квадратное неравенство является одним из них.

Квадратичное неравенство — это уравнение второй степени, в котором вместо знака равенства используется знак неравенства.

Решения квадратного неравенства всегда дают два корня. Природа корней может быть разной и определяется дискриминантом (b 2 — 4ac).

Общие формы квадратичных неравенств:

ax 2 + bx + c <0

ax 2 + bx + c ≤ 0

ax 2 + bx + c> 0

ax 2 + bx + c ≥ 0

Примеры квадратичных неравенств:

x 2 — 6x — 16 ≤ 0, 2x 2 — 11x + 12> 0, x 2 + 4> 0, x 2 — 3x + 2 ≤ 0 и т. Д.

Как решить квадратичные неравенства?

Квадратичное неравенство — это уравнение второй степени, в котором вместо знака равенства используется знак неравенства.

Примеры квадратичных неравенств: x 2 — 6x — 16 ≤ 0, 2x 2 — 11x + 12> 0, x 2 + 4> 0, x 2 — 3x + 2 ≤ 0 и т. д.

Решение квадратного неравенства в алгебре аналогично решению квадратного уравнения. Единственное исключение состоит в том, что с квадратными уравнениями вы приравниваете выражения к нулю, но с неравенствами вам интересно знать, что находится по обе стороны от нуля i.е. минусы и плюсы.

Квадратные уравнения могут быть решены либо методом факторизации , либо с помощью квадратной формулы . Прежде чем мы научимся решать квадратные неравенства, давайте вспомним, как решаются квадратные уравнения, на нескольких примерах.

Как квадратные уравнения решаются методом факторизации?

Поскольку мы знаем, что можем решать квадратные неравенства аналогично квадратным уравнениям, полезно понять, как факторизовать данное уравнение или неравенство.

Давайте посмотрим здесь несколько примеров.

  1. 6x 2 — 7x + 2 = 0

Решение

⟹ 6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0

Разложите выражение на множители;

⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ x = 2/3 или x = 1/2

Следовательно, x = 2/3, ½

  1. Решить 3x 2 — 6x + 4x — 8 = 0

Решение

Факторизуйте выражение в левой части.

⟹ 3x 2 — 6x + 4x — 8 = 0

⟹ 3x (x — 2) + 4 (x — 2) = 0

⟹ (x — 2) (3x + 4) = 0

⟹ x — 2 = 0 или 3x + 4 = 0

⟹ x = 2 или x = -4/3

Следовательно, корни квадратного уравнения равны x = 2, -4/3.

  1. Решить 2 (x 2 + 1) = 5x

Решение

2x 2 + 2 = 5x

⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0

⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0

⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

⟹ (x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ x = 2 или x = 1/2

Следовательно, решения x = 2, 1/2.

  1. (2x — 3) 2 = 25

Решение

Разверните и разложите выражение на множители.

(2x — 3) 2 = 25

⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0

⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0

⟹ x 2 — 3x — 4 = 0

⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 or x = -1

  1. Решить x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0

Решение

Разверните уравнение;

x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0

Разложить на множители;

⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x — 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

⟹ x = -4 или x = 3y

Таким образом, x = -4 или x = 3y

Чтобы решить квадратное неравенство, мы также применяем тот же метод, который проиллюстрирован в процедуре ниже:

  • Запишите квадратное неравенство в стандартной форма: ax 2 + bx + c, где a, b и — коэффициенты, а a ≠ 0
  • Определите корни неравенства.
  • Запишите решение в виде неравенств или интервалов.
  • Если квадратное неравенство имеет вид: (x — a) (x — b) ≥ 0, то a ≤ x ≤ b, а если оно имеет вид: (x — a) (x — b) ≤ 0, когда a

Пример 1

Решите неравенство x 2 — 4x> –3

Решение

Сначала сделайте одну сторону одной стороны неравенства равной нулю, сложив обе стороны на 3.

x 2 — 4x> –3 ⟹ x 2 — 4x + 3> 0

Фактор левой части неравенства.

x 2 — 4x + 3> 0 ⟹ (x — 3) (x — 1)> 0

Решить относительно всех нулей неравенства;

Для, (x — 1)> 0 ⟹ x> 1 и для, (x — 3)> 0 ⟹ x> 3

Поскольку y положительно, мы выбираем значения x, при которых кривая будет выше ось абсцисс.
x <1 или x> 3

Пример 2

Решите неравенство x 2 — x> 12.

Решение

Чтобы записать неравенство в стандартной форме, вычтите обе части неравенства на 12.

x 2 — x> 12 ⟹ x 2 — x — 12> 0.

Разложите на множители квадратичное неравенство, к которому нужно добраться;

( x ​​-4) ( x ​​ + 3)> 0

Решить для всех нулей неравенства;

Для, (x + 3)> 0 ⟹ x> -3

Для x — 4> 0 ⟹ x> 4

Значения x <–3 или x> 4, следовательно, являются решением этого квадратичного неравенства.

Пример 3

Решить 2x 2 <9x + 5

Решение

Запишите неравенство в стандартной форме, сделав одну сторону неравенства равной нулю.

2x 2 <9x + 5 ⟹ 2x 2 — 9x — 5 <0

Фактор левой части квадратичного неравенства.

2x 2 — 9x — 5 <0 ⟹ (2x + 1) (x - 5) <0

Решить для всех нулей неравенства

For, (x — 5) <0 ⟹ x <5 и для (2x + 1) <0 ⟹ x <-1/2

Поскольку y отрицателен для уравнения 2x 2 — 9x — 5 <0, поэтому мы выбираем значения x, при которых кривая будет ниже ось x.

Следовательно, решение — -1/2

Пример 4

Решить — x 2 + 4 <0.

Решение

Поскольку неравенство уже есть в стандарте форма, поэтому мы факторизуем выражение.

-x 2 + 4 <0 ⟹ (x + 2) (x - 2) <0

Решить для всех нулей неравенства

For, (x + 2) <0 ⟹ x <-2 и для, (x - 2) <0 ⟹ x <2

Значение y для –x 2 + 4 <0 отрицательно; поэтому мы выбираем значения x, при которых кривая будет ниже оси x: –2 2

Пример 5

Решить 2x 2 + x — 15 ≤ 0.

Решение

Разложите квадратное уравнение на множители.

2x 2 + x — 15 = 0

2x 2 + 6x — 5x− 15 = 0

2x (x + 3) — 5 (x + 3) = 0

(2x — 5) (x + 3) = 0

For, 2x — 5 = 0 ⟹ x = 5/2 и for, x + 3 = 0 ⟹ x = -3

Поскольку y для 2x 2 + x — 15 ≤ 0 отрицательно, мы выбираем значения x, при которых кривая будет ниже оси x. Следовательно, x ≤ -3 или x ≥5 / 2 — решение.

Пример 6

Решить — x 2 + 3x — 2 ≥ 0

Решение

Умножьте квадратное уравнение на -1 и не забудьте изменить знак.

x 2 — 3x + 2 = 0

x 2 — 1x — 2x + 2 = 0

x (x — 1) — 2 (x — 1) = 0

(x — 2) (x — 1) = 0

For, x — 2 = 0 ⟹ x = 2 и for, x — 1 = 0 ⟹x = 1

Следовательно, решение квадратного неравенства 1 ≤ x ≤ 2

Пример 7

Решить x 2 — 3x + 2> 0

Решение

Разложите выражение на множители, чтобы получить;

x 2 — 3x + 2> 0 ⟹ (x — 2) (x — 1)> 0

Теперь решите корни неравенства как;

(x — 2)> 0 ⟹ x> 2

(x — 1)> 0 ⟹x> 1

Кривая для x 2 — 3x + 2> 0 имеет положительное значение y, поэтому выбирайте значения x, в котором кривая будет выше оси x.Решение, следовательно, x <1 или x> 2.

Пример 8

Решить −2x 2 + 5x + 12 ≥ 0

Решение

Умножить все выражение на -1 и изменить знак неравенства

−2x 2 + 5x + 12 ≥ 0 ⟹2x 2 — 5x — 12 ≤ 0

Разложите выражение на множители, чтобы получить;

(2x + 3) (x — 4) ≤ 0.

Решите корни;

(2x + 3) ≤ 0 ⟹ x ≤ -3/2.

(х — 4) ≤ 0 ⟹ x ≤ 4.

Применяя правило; (x — a) (x — b) ≥ 0, тогда a ≤ x ≤ b, мы можем удобно записать решения этого квадратичного неравенства как:

-3/2 ≤ x ≤ 4.

Пример 9

x 2 — x — 6 <0

Решение

Разложите на множители x 2 — x — 6, чтобы получить;

(x + 2) (x — 3) <0

Найдите корни уравнения как;

(x + 2) (x — 3) = 0

x = −2 или x = +3
Поскольку y отрицательно для x 2 — x — 6 <0, то мы выбираем интервал, в котором кривая будет ниже оси x.Следовательно, -2

Практические вопросы

  1. (x — 3) (x + 1) <0
  2. x 2 + 5x + 6 ≥ 0
  3. (2x — 1) (3x + 4)> 0
  4. 10x 2 — 19x + 6 ≤ 0
  5. 5 — 4x — x 2 > 0
  6. 1 — x — 2x 2 <0
  7. (x — 3) (x + 2)> 0.
  8. х 2 −2x − 3 <0.

Ответы

  1. −1
  2. x <−3 или x> −2
  3. x <−4/3 или x> ½
  4. 2/5 ≤ x ≤ 3/2
  5. −5
  6. x <−1 или x> ½
  7. x <–2 or x> 3
  8. −1≤ x ≤ 3

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Завершение квадрата

Пример задачи

Решите квадратное уравнение x ​​ 2 + 2 x ​​ + 5 = 0.

Хм, теперь это сложно. Это уравнение — совершенно определенно — невозможно факторизовать. Хотя было бы действительно удобно, если бы это было факторизованным; это особенно верно, если его разложить на квадрат. Фактически, мы можем заставить его сделать именно это, и вот что такое , завершая квадрат .

Еще раз взгляните на уравнение выше, на этот раз с добавлением скобок.

( x ​​ 2 + 2 x ​​) + 5 = 0

Похоже, x ​​ 2 + 2 x ​​ можно было бы факторизовать, если бы в скобках был еще один термин.Если мы выберем правильное число, оно будет даже разложено на квадрат ( x ​​ + d ) 2 . Для этого уравнения это число 1:

( x ​​ 2 + 2 x ​​ + 1 ) = ( x ​​ + 1) 2

волшебство, чтобы это произошло. Проверьте это: (+1 — 1) = 0. Кого волнует, если мы добавим ноль к уравнению? Никто, вот кто. Мы можем прибавить и , вычесть 1 к левой части нашего исходного уравнения, не меняя ничего технически.

( x ​​ 2 + 2 x ​​) + 5 (+ 1 — 1) = 0

( x ​​ 2 + 2 x ​​ + 1) + 5 — 1 = 0

( x ​​ + 1) 2 + 4 = 0

Теперь, когда у нас есть все x ​​ внутри квадрата, мы можем сделать это:

( x ​​ + 1) 2 = -4

x ​​ + 1 = ± 2 i

x ​​ = -1 + 2 i и x ​​ = -1 — 2 i

Мы действительно просто решили невыполнимое уравнение? Давайте проверим наши ответы и убедимся.

x ​​ 2 + 2 x ​​ + 5 = 0

(-1 + 2 i ) 2 + 2 (-1 + 2 i ) + 5

(1-4 i + 4 i 2 ) — 2 + 4 i + 5

(1 — 4 i -4) + 4 i + 3

-4 i + 4 i — 3 + 3 = 0

Пока все хорошо.

x ​​ 2 + 2 x ​​ + 5 = 0

(-1 — 2 i ) 2 + 2 (-1 — 2 i ) + 5

(1 + 4 i + 4 i 2 ) — 2-4 i + 5

(1-4) + 3 = 0

Да, мы это сделали.Буйя.

Квадратный колышек для квадратного отверстия

Но откуда мы должны были знать, как прибавлять и вычитать 1 из уравнения? Существует простая формула для числа, необходимого для завершения квадрата: когда ваше уравнение имеет вид x ​​ 2 + bx + c = 0, вы хотите складывать и вычитать. В предыдущем примере мы добавили. Что мы добавим в следующем примере?

Пример задачи

Решите квадратное уравнение x ​​ 2 -7 x ​​ + 2 = 0.

Опять же, у нас есть уравнение, которое мы не можем разложить на множители, поэтому нам нужно заполнить квадрат. Используя наши новомодные знания, мы знаем, что нам нужно. Итак, мы сложим и вычтем в левой части нашего уравнения, чтобы все оставалось сбалансированным.

Когда мы завершаем квадрат, в скобках стоит член, потому что вы умножаете его на себя, чтобы получить выражение, из которого вы его разложили.

и

Мы думаем, что все сделали правильно, но как насчет того, чтобы перепроверить наши результаты, вставив наши ответы обратно в исходное уравнение?

Тьфу.УГХХ. Это много дробей. Ну ладно, осталось еще одно.

Уф. К сожалению, решения с квадратными корнями и дробями являются обычным явлением при работе с квадратными уравнениями, которые нельзя разложить на множители.

Пример задачи

Решите квадратное уравнение 2 x ​​ 2 — 5 x ​​ — 3 = 0, заполнив квадрат.

Это уравнение легко разложить на множители: (2 x ​​ + 1) ( x ​​ — 3) = 0. Видите, мы уже почти закончили.Но проблема говорит, что нам нужно решить ее, завершив квадрат, так что мы должны пройти через это. По крайней мере, мы можем легко проверить наш ответ.

Прежде чем продолжить, мы должны отметить одну важную вещь: завершение квадрата сработает , только если = 1. Это означает, что нам нужно как-то избавиться от этой 2 перед x ​​ 2 . Если вы этого не сделаете, с вами случатся ужасные вещи. О, и вы неправильно поймете проблему.

Разделим все уравнение на 2.

(2 x ​​ 2 -5 x ​​ — 3 = 0) ÷ 2

Теперь нам нужно добавить или вычесть член

. так что будь осторожен.

Это дает нам два ответа: x ​​ = 3 и.

Это именно тот результат, который мы ожидаем от нашего факторизованного уравнения. Если у вас есть выбор, вы должны учитывать его, если это возможно.

Подводя итоги

Когда вы пытаетесь завершить квадрат, выполните следующие действия.

  • Если a — любое другое значение, кроме 1, разделите его. Вам нужно a = 1 для равномерного старта.
  • Разделите уравнение на ( x ​​ 2 + bx ) и все остальное.
  • Добавьте к своим значениям x ​​ и вычтите из остальных.
  • Факторизуйте ваши x ​​ -термы в или по мере необходимости.
  • Выделите квадрат и извлеките квадратный корень из обеих частей.
  • Упростите выражение.

Сами шаги довольно просты, но математика может быть запутанной. Как попытка сыграть в шахматы в уме.

Подготовка к экзаменам

учителей | Подготовка к экзамену для учителей

СТРОИТЕЛЬНО-ОТВЕТСТВЕННОЕ ЗАДАНИЕ № 2

2. Рассмотрим следующее уравнение: 2X 5 + 5X 4 + 12X 3 + 21X 2 + 16X + 4 = 0

а. Используя правило знаков Декарта, определите природу корней

г.Используя теорему о рациональном корне, определите возможные корни.

г. Решите уравнение.

а. Правило знаков Декарта гласит, что количество смен знака (или количество изменений минус число, кратное двум) равно количеству положительных действительных корней. Замените –X на X и определите количество смен знака. Это число или это число за вычетом числа, кратного двум, равно количеству отрицательных действительных корней.

В уравнении нет смены знака и, следовательно, нет положительных действительных корней.Подстановка –X дает следующий результат: -2X 5 + 5X 4 — 12X 3 + 21X 2 — 16X + 4 = 0. Поскольку имеется 5 смен знаков, может быть 5, 3, или 1 отрицательный действительный корень. Степень уравнения 5, что означает пять корней. Итак, возможные комбинации отрицательных действительных корней и комплексных корней:

Сложные корни с отрицательными действительными корнями

5 0

3 2

1 4

г.Теорема о рациональных корнях утверждает, что все рациональные корни должны быть множителем константы, в данном случае четыре, деленной на множитель при наивысшей степени X, в данном случае два. Поскольку мы уже удалили положительные корни, варианты сужены до -4, -2, -1 и -1/2.

г. Мы можем использовать синтетическое деление, чтобы найти корень и сократить уравнение:

-1 | 2 5 12 21 16 4

| -2-3-9-12-4

2 3 9 12 4 | 0

Итак, -1 — это корень.Теперь попробуем -1 в качестве корня для сокращенного уравнения 2X4 + 3X3 + 9X2 + 12X + 4 = 0

-1 | 2 3 9 12 4

| -2 -1-8-4

2 1 8 4 | 0

Итак, -1 — это двойной корень, и у нас есть сокращенное уравнение 2X 3 + X 2 + 8X + 4 = 0; f (-1) = -2 + 1-8 + 4 = -5. Итак, -1 не является корнем этого уравнения. Точно так же f (-4) = -140 и f (-2) = -24. Но f (-1/2) = 0. Следовательно, -1/2 — корень. Разделите на -1/2, чтобы получить окончательное сокращенное уравнение.

-1/2 | 2 1 8 4

| -1 0-4

2 0 8 | 0

Уравнение сводится к X 2 + 4 = 0. Решите, используя формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить корни из ± 2i. Решение: X = {± 2i, -1/2, -1}

Блок 17 Раздел 3: Квадратные уравнения: завершение квадрата

Модуль 17 Раздел 3: Квадратные уравнения: завершение квадрата

Заполнение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений.2–10

Теперь мы можем решить уравнение

( x ​​ + 3) 2 = 10
x ​​ + 3 = ±
x ​​ = –3 ±
итак x = 0,162 или –6,162 до 3 знаков после запятой

Упражнения

Примечание..2 + 4x — 20 = 0.

(б)

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

Решение, какой метод использовать
при решении квадратных уравнений

При решении квадратного уравнения выполните следующие действия.
(в таком порядке) выбрать метод:

  1. Сначала попробуйте решить уравнение факторингом.Быть уверенным
    что ваше уравнение имеет стандартную форму (ax 2 + bx + c = 0) до того, как вы
    начать попытку факторинга. Не тратьте много времени на попытки
    фактор вашего уравнения; если вы не можете учесть его менее чем за 60 секунд,
    перейти к другому методу.
  2. Затем посмотрите на сторону уравнения, содержащую переменную.
    Эта сторона — идеальный квадрат? Если это так, то вы можете решить уравнение
    извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения.Не забывай
    чтобы включить знак ± в уравнение
    как только вы извлечете квадратный корень.
  3. Далее, если коэффициент при квадрате члена равен 1 и
    коэффициент линейного (среднего) члена четный, завершая квадрат
    это хороший метод для использования.
  4. Наконец, квадратичная формула будет работать на любом квадратичном
    уравнение. Однако, если использование формулы приводит к слишком большим
    числа под знаком радикала, другой метод решения может быть лучше
    выбор.

Теперь мы рассмотрим некоторые уравнения и подумаем о наиболее
подходящий метод их решения.

Пример 1: Решить x 2 + 4 = 4x

Во-первых, представьте уравнение в стандартной форме, чтобы мы могли
попробуйте решить это факторингом:

х 2 — 4х + 4 = 0

(х — 2) (х — 2) = 0

x — 2 = 0 | х — 2 = 0

x = 2 | х = 2

Итак, решение этого уравнения, найденное путем факторизации,
это x = 2.

Пример 2: Решить (2x — 2) 2 = -4

Сторона уравнения, содержащая переменную (
левая сторона) представляет собой идеальный квадрат, поэтому мы извлечем квадратный корень из обеих сторон
для решения уравнения.

(2х — 2) 2 = -4

2x — 2 = ± 2i

2x = 2 ± 2i

х = 1 ± я

Обратите внимание, что знак ±
был вставлен в уравнение в точке извлечения квадратного корня.

Пример 3: Решить x 2 + 6x — 11 = 0

Это уравнение не факторизуемо, и сторона, содержащая
переменная не является точным квадратом. Но поскольку коэффициент
x 2 равен 1, а коэффициент при x четный, завершая
квадрат будет подходящим методом. Чтобы найти номер, который нужно
быть добавленным к обеим частям уравнения, чтобы получить квадрат, возьмите
коэффициент при x, разделите его на 2, а затем возведите это число в квадрат.В
в этой задаче 6 ¸ 2 равно 3, а 3 2
равно 9, поэтому мы добавим 9 к обеим частям уравнения, как только мы изолировали
переменные условия.

х 2 + 6х — 11 = 0

x 2 + 6x = 11

x 2 + 6x +9 = 11 + 9

(x + 3) 2 = 20

Пример 4: Решить 2x 2 — x + 5 = 0

Это уравнение не факторизуемо, левая часть не учитывается.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.