Решите неравенство 2 cosx 1: Решите неравенство 2*cos(x)-1>=0 (2 умножить на косинус от (х) минус 1 больше или равно 0)

Содержание

Решите неравенство 2*cos(x)-1>=0 (2 умножить на косинус от (х) минус 1 больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$2 \cos{\left (x \right )} — 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём -1 в правую часть ур-ния
с изменением знака при -1

Получим:
$$2 \cos{\left (x \right )} = 1$$

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{3} + — \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n — \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos{\left (x \right )} — 1 \geq 0$$
$$2 \cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{3} + — \frac{1}{10} \right )} — 1 \geq 0$$

          /  1    pi       \     
-1 + 2*cos|- -- + -- + pi*n| >= 0
          \  10   3        /     

но

          /  1    pi       \    
-1 + 2*cos|- -- + -- + pi*n| 
Тогда
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Решите неравенство sqrt(2*cos(x))

Дано неравенство:
$$\sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} = 1$$
преобразуем
$$\sqrt{2} \sqrt{\cos{\left (x \right )}} — 1 = 0$$
$$\sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sqrt{w} — 1 = 0$$
Т.{2}$$
или
$$2 w = 1$$
Разделим обе части ур-ния на 2

w = 1 / (2)

Получим ответ: w = 1/2

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{2} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{2 \cos{\left (x \right )}} $$\sqrt{2 \cos{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right )}}

          ______________    
  ___    /    /1    pi\     
\/ 2 *  /  sin|-- + --|  
но
          ______________    
  ___    /    /1    pi\     
\/ 2 *  /  sin|-- + --|  > 1
      \/      \10   6 /     
    

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi}{3} \wedge x

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Калькулятор онлайн — Решение тригонометрических неравенств


Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Тригонометрические неравенства

Неравенства вида \( \sin x > a \) и \( \sin x

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x > a \).

1) При \(-1


Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:

$$ x \in (\arcsin a + 2\pi k; \;\; \pi — \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$

2) При \(а \geqslant 1 \) неравенство не имеет решений: \( x \in \emptyset \)

3) При \(а
4) При \(а = -1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \sin x

1) При \(-1


Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:

$$ x \in (\pi — \arcsin a + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin a + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$

2) При \(а > 1 \) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)

3) При \(а = 1 \) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

4) При \(а \leqslant -1 \) неравенство не имеет решений.

Неравенства вида \( \cos x > a \) и \( \cos x

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x > a \).

1) При \(-1


Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:

$$ x \in (-\arccos(a) + 2\pi k; \;\; \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$

2) При \( a \geqslant 1\) неравенство не имеет решений.

3) При \(а
4) При \(а = -1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Пусть дано простейшее неравенство \( \cos x

1) При \(-1


Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким:

$$ x \in (\arccos a + 2\pi k; \;\; 2\pi — \arccos a + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$

2) При \(a > 1\) решением неравенства является любое действительное число: \( x \in \mathbb{R} \)

3) При \(a \leqslant -1\) неравенство не имеет решений.

4) При \(a = 1\) решением неравенства является любое действительное число, отличное от \( 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \)

Неравенства вида \( tg \;x > a \) и \( tg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x > a \).

Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.


Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:

$$ x \in \left(arctg \;a + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( tg \;x

Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.


Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:

$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \;a + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Неравенства вида \( ctg \;x > a \) и \( ctg \;x

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x > a \).

Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.


Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:

$$ x \in ( \pi k; \;\; arcctg \;a + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство \( ctg \;x

Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.


Из данного рисунка видно, что при любом \(a \in \mathbb{R} \) решение неравенства будет таким:

$$ x \in ( arcctg \; a + \pi k; \;\; \pi + \pi k ), \; k \in \mathbb{Z} $$

Решение тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1. Решим неравенство \( \sin x > \frac{1}{2} \).

Так как \( -1
$$ x \in \left( \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k; \;\; \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Так как \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \), то решение можно переписать в виде

$$ x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \;\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 2. Решим неравенство \( \sin \;x
Так как \( -1
$$ x \in \left(\pi — \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k; \;\; 2\pi + \arcsin \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Воспользовавшись равенством \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \), перепишем решение в виде

$$ x \in \left(\pi + \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k; \;\; 2\pi — \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 3. Решим неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \).

Так как \( -1
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 4. Решим неравенство \( \cos x
Так как \( -1
$$ x \in (\arccos(-0{,}3) + 2\pi k; \;\; 2\pi — \arccos(-0{,}3) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $$

Воспользовавшись равенством \( \arccos(-a) = \pi — \arccos a \), перепишем решение в виде

$$ x \in (\pi-\arccos 0{,}3 + 2\pi k; \;\; \pi + \arccos 0{,}3 + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 5. Решим неравенство \( tg \;x > 1 \).

Очевидно, что решение неравенства будет таким:

$$ x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi k; \;\; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство \( tg \;x
Очевидно, что решение неравенства будет таким:

$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; arctg \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Воспользовавшись равенством \( arctg(-a) = -arctg \; a \), перепишем решение в виде

$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \;\; -arctg \frac{1}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 7. Решим неравенство \( ctg \;x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Очевидно, что решение неравенства будет таким:

$$ x \in \left( \pi k; \;\; \frac{\pi}{3} + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 8. Решим неравенство \( ctg \;x
Очевидно, что решение неравенства будет таким:

$$ x \in \left( arcctg \left( -\frac{5}{4} \right) + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

Воспользовавшись равенством \( arcctg(-a) = \pi — arcctg \;a \), перепишем решение в виде

$$ x \in \left( \pi — arcctg \frac{5}{4} + \pi k; \;\; \pi + \pi k \right), \; k \in \mathbb{Z} $$

или в виде

$$ x \in \left( — arcctg \frac{5}{4} + \pi n; \;\; \pi n \right), \; n \in \mathbb{Z} $$

cosx>a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида cosx>a на единичной окружности.

Косинус — это абсцисса точки. Значит, cosx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой x=a (прямая, параллельная оси oy), cosx>a справа от этой прямой, cosx<a — слева. Поскольку мы рассматриваем решение неравенства cosx>a, нам нужна часть окружности, расположенная правее прямой y=a. Соответственно, от взаимного расположения окружности и этой прямой зависит решение неравенства cosx>a.

1) cosx>a при 0<a<1

На единичной окружности отмечает точки пересечения ее с прямой y=a. Первая точка — arccos a. Чтобы найти вторую, рассуждаем так: решения неравенства cosx>a лежат справа от этой прямой (заштриховываем соответствующую дугу окружности). Поэтому, чтобы попасть из 1й точки во вторую, идем по часовой стрелке. При таком обходе угол уменьшается. Доходим до нуля, дальше — отрицательные углы. Вторую  точку отделяет от нуля такой же угол, что и первую. Но поскольку мы шли по часовой стрелке, ее берем со знаком минус.

Интервал записываем по возрастанию, поэтому сначала идет -arccos a,  потом уже arccos a. С учетом периодичности синуса, к каждому из концов интервала прибавляем 2пn, где n — целое число (n принадлежит Z). Если неравенство нестрогое, точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратными скобками).

2) cosx>-a при 0<a<1

Рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Отличие — нужно искать arccos(-a) (чуть позже я расскажу, как легко запомнить арккосинусы отрицательных чисел).

3) cosx>0

4) cosx>-1

За исключением одной точки,вся окружность лежит правее прямой y=a. Чтобы записать ответ в виде интервала, первой точкой берем -п. Поскольку во 2ю попадаем через полный оборот окружности, то есть через 2п, то -п +2п=п. К обоим концам интервала прибавляем 2пn.

   

В этом случае точки исключать не нужно, x — любое число: (-∞;+∞).

   

Единственной точкой, удовлетворяющей данному условию, является 0. С учетом периодичности косинуса, решение — множество точек x=2пn.

7) cosx>a при a>1

Единичная окружность полностью лежит слева от прямой y=a, поэтому при таких a нет ни одной точки, удовлетворяющей условию cosx>a. Значит, решений нет.

8) cosx>-a при a>1

Единичная окружность целиком лежит правее прямой y=a, поэтому x — любое число: (-∞;+∞).

И в заключении — конкретный пример решения неравенства вида cosx>a:

 

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств (урок обобщения и систематизации знаний в 11-м классе вечерней школы)



Цели урока:

  1. систематизация знаний, умений и навыков решения
    тригонометрических уравнений и неравенств;
  2. развитие логического мышления, умений
    анализировать, сравнивать, обобщать; развитие
    математической речи учащихся;
  3. воспитание уверенности в себе; воспитание
    культуры общения, умения работать в коллективе,
    группе.



Оборудование:

  • карточки-задания для каждого участника;
  • задания для капитанов команд — -
    «цветик-семицветик»;
  • карточки-задания для консультантов;
  • плакат “Решение простейших тригонометрических
    уравнений и неравенств”.



Форма проведения: урок – КВН



Ход урока

Класс разбит на 3 команды, выбраны капитаны, в
каждой команде есть консультант, который ведёт
контроль за правильностью решения примеров.



1. Разминка: (устно)



Найти значение выражения: (правильный
ответ – 1 балл
)



Составить неравенство и указать его решение: (правильный ответ – 2 балла)



2. Конкурс-блиц: (1 задание – 1
балл
)

Решить уравнения:

1. sin x = -1

cos x = 1

tg x = 0

arcsin 3x =

cos 2x = 2



2. sin x = 0

cos x = -1

tg x = 1

arccos 4х =

2sin x = 4



3. sin x = 1

cos x = 0

tg x = -1

arctg 2x =

sin 4x = 2



Решить неравенство:

1. sin x < -1 2. cos x > 1 3. sin x > 1

Самопроверка, с использованием плаката
“Решение простейших тригонометрических
уравнений и неравенств” (Приложение 1).



3. Конкурс команд:

Каждому учащемуся из команды предлагается
задание, состоящее из двух тригонометрических
уравнений и одного неравенства. Работа
выполняется по индивидуальным
карточкам-заданиям трёх уровней сложности.

(зелёная карточка – 4 балла; синяя – 5 баллов;
красная – 6 баллов
)

Решить уравнение:

  1. 2cos 3x + 1 = 0
  2. 1 + 2sin 2x = 0
  3. tg=1
  4. tg = 1
  5. 3tg
  6. sin
  7. 2cos
  8. sin
  9. ctg
  10. cos x = —
  11. sin =
  12. sin 3x·cos x – cos 3x·sin x = 0
  13. cos 3x·cos x — sin 3x·sin x = 0
  14. sin 5x·cos x – cos 5x·sin x =
  15. cos 5x·cos x + sin 5x·sin x =
  16. cos 2x·cos x — sin 2x·sin x = 1
  17. cos 3x·cos x — sin 3x·sin x =
  18. coscos x + sin x·sin =
  19. 2sin2 x – 2cos x =
  20. 2cos2 x + 2 sin x = 2,5
  21. 3cos2 x + 7sin x – 5 = 0
  22. cos2 x + 6sin x – 6 = 0
  23. 5sin2 x + cos x – 1 = 0
  24. 2sin2 x + 5cos x = 4
  25. 5sin2 + 8cos (? +
    x) = 0
  26. sin2— 3cos (4? +
    x) = 4
  27. 4sin2 x – 4sin x + 1 = 0
  28. 2sin2 x + 5cos x + 1 = 0
  29. 2sin2 x + 11cos x — 7 = 0
  30. 5sin2 x + cos x — 1 = 0
  31. 2sin2 x + 7cos x + 2 = 0
  32. 3tg3 x – 3tg x = 0
  33. 2 — cos2 x + sin x = 0
  34. sin x + cos x = 0
  35. sin x + cos x = 0
  36. sin x +cos x = 0
  37. sin 2x + cos 2x = 0
  38. sin 2x — cos 2x = 0
  39. sin 2x = 2 sin2 x
  40. sin 2x — 2sin2 x = 0
  41. 2sin2 (? — x) = cos 2x
  42. sin 2x + cos 2x = 1
  43. sin= sin x
  44. sin= cos x
  45. cos x = 2 cos
  46. sin x +cos x = 2
  47. sin x – cos x = 1
  48. sin x +cos x = 1



Решить неравенство:

  1. sin x ?
  2. tg x ? —
  3. cos x ?
  4. tg x > -1
  5. cos x >
  6. sin x ?
  7. 2sin x > -1
  8. 2cos x < —
  9. ctg x < 1
  10. -2cos x > 1
  11. tg 2x ?
  12. 3tg 3x >
  13. tg ? -1
  14. cos 2x < -0,5
  15. sin 2x < -0,5
  16. sin 4x >
  17. sin (x + ) >
  18. cos<
  19. tg (x + ) > 1
  20. tg
  21. 2cos
  22. 2sin
  23. 2cos
  24. 3tg










1 команда

2 команда

3 команда

№1

Решить
уравнения:

1. 2cos 3x + 1 = 0

2. 2sin2 x – 2cos x =


Решить неравенство:

sin x ?

№1

Решить
уравнения:

1. 1 + 2sin 2x = 0

2. 2cos2 x + 2 sin x = 2,5


Решить неравенство:

tg x ? —

№1

Решить
уравнения:

1. tg=1

2. 3cos2 x + 7sin x – 5 = 0


Решить неравенство:

cos x ?

№2

Решить
уравнения:

1. tg = 1

2. cos2 x + 6sin x – 6 = 0


Решить неравенство:

tg x > -1

№2

Решить
уравнения:

1. 3tg

2. 5sin2 x + cos x – 1 = 0


Решить неравенство:

cos x >

№2

Решить
уравнения:

1. sin

2. 2sin2 x + 5cos x = 4


Решить неравенство:

sin x ?

№3

Решить
уравнения:

1. cos x = —

2. 2sin2 x + 5cos x + 1 = 0


Решить неравенство:

-2cos x > 1

№3

Решить
уравнения:

1. sin =

2. 2sin2 x + 11cos x — 7 = 0


Решить неравенство:

tg 2x ?

№3

Решить
уравнения:

1. ctg

2. 4sin2 x – 4sin x + 1 = 0


Решить неравенство:

ctg x < 1

№4

Решить
уравнения:

1. 2cos

2. 5sin2+8cos(?
+x) = = 0


Решить неравенство:

2sin x > -1

№4

Решить
уравнения:

1. sin

2. sin2-3cos
(4?+x) = 4


Решить неравенство:

2cos x < —

№4

Решить
уравнения:

1. sin 3x·cos x – cos 3x·sin x = = 0

2. 5sin2 x + cos x — 1 = 0


Решить неравенство:

3tg 3x >

№5

Решить
уравнения:

1. sin 5x·cos x – cos 5x·sin x = =

2. 2sin2 x + 7cos x + 2 = 0


Решить неравенство:

tg ? -1

№5

Решить
уравнения:

1. cos 5x·cos x+sin 5x·sin x =

2. 3tg3 x – 3tg x = 0


Решить неравенство:

cos 2x < -0,5

№5

Решить
уравнения:

1. cos 2x·cos x — sin 2x·sin x =1

2. 2 — cos2 x + sin x = 0


Решить неравенство:

sin 2x < -0,5

№6

Решить
уравнения:

1. cos 3x·cos x — sin 3x·sin x = =

2. sin x + cos x = 0


Решить неравенство:

sin 4x >

№6

Решить
уравнения:

1. cos 3x·cos x-sin 3x·sin x = 0

2. sin x + cos x = 0


Решить неравенство:

sin (x + ) >

№6

Решить
уравнения:

1. coscos x +

+ sin x·sin=

2. sin x +cos x = 0


Решить неравенство:

cos<

№7

Решить
уравнения:

1. sin 2x + cos 2x = 0

2. sin= sin x


Решить неравенство:

tg (x + ) > 1

№7

Решить
уравнения:

1. sin 2x — cos 2x = 0

2. sin= cos x


Решить неравенство:

tg

№7

Решить
уравнения:

1. sin 2x = 2 sin2
x

2. cos x = 2 cos


Решить неравенство:

2cos

№8

Решить
уравнения:

1. sin 2x — 2sin2 x = 0

2. sin x +cos x = 2


Решить неравенство:

2sin

№8

Решить
уравнения:

1. 2sin2 (? — x) = cos 2x

2. sin x – cos x = 1


Решить неравенство:

2cos

№8

Решить
уравнения:

1. sin 2x + cos 2x = 1

2. sin x +cos x = 1


Решить неравенство:

3tg



4. Конкурс капитанов:

Капитаны работают у доски. Им предлагается
оторвать один лепесток «цветика-семицветика» (Приложение 2) с заданием (правильный
ответ – 3 балла
)

Решить уравнение:

  1. sin 2x = 2 sin2 x
  2. 3sin 2x + 7cos 2x = 0
  3. (cos x + sin x)2 = cos 2x
  4. 1 – 2sin 2x = 6cos2 x
  5. sin x – cos x = 2
  6. 7sin 2x + 2cos2x – 6 = 0
  7. sin x + cos x =



5. Конкурс консультантов: (правильный
ответ – 4 балла
)

Решите систему уравнений:

1. 2.
3.



6. Конкурс эрудитов:

Пока команды готовят вопросы друг для друга,
слушаем сообщение об истории развития учения о
тригонометрических функциях (Приложение 3).



Вопросы: (правильный ответ – 2
балла
)

  1. Кем и когда были составлены первые
    тригонометрические таблицы?
  2. Что больше сos 35° или cos 50°?
  3. Что больше sin 50° или sin 55°?



Итоги урока: Подсчитываем количество баллов,
набранных командами и каждым учащимся. Каждому
учащемуся команды-победительницы + 1 балл.
Ученикам, набравшим:

10 и более баллов – «5» (отлично);

7–9 баллов – «4» (хорошо);

4–6 баллов – «3»
(удовлетворительно)
.



Домашнее задание:

Решите систему уравнений:



1. 2.
3.



Рефлексия: вопрос классу: «Оцените своё
самочувствие на уроке, поставив какой-либо
значок на графике функции у = sin х, изображенной на
отвороте доски. Где вы себя ощущали: на гребне
волны синусоиды или во впадине?»

Урок 50. тригонометрические неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Урок

Конспект

Дополнительные материалы

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $2sinx\leq\sqrt2$

Подсказка

Изобразите тригонометрическую окружность, выделите дугу, соответствующую неравенству, и запишите решение

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство

$2cosx\leq−\sqrt2$

Подсказка

Изобразите тригонометрическую окружность, выделите дугу, соответствующую неравенству, и запишите решение

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $2tanx\leq−\sqrt{3}$

Подсказка

Изобразите тригонометрическую окружность, линию тангенсов, выделите дуги, соответствующие неравенству, и запишите решение

Тригонометрические неравенства

Заполните кроссворд

Подсказка

Вспомните основные термины темы

Тригонометрические неравентва

Соотнесите неравенства с их изображениями на окружности.

1)

2)

3)

A) $sinx\lt 1$

B) $2sinx\gt \sqrt 2$

C) $−2cosx\lt 1$

Подсказка

Изобразите для каждого неравенства соответствующую ему дугу

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство. Заполните пропуски

Подсказка

Введите новую переменную, решите вспомогательное неравенство

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.2 2 x \le 1$

$\frac{\alpha\pi}{b}+\pi k;\frac{c\pi}{b}+\pi k$

Подсказка

Выразите $\tan 2x$, затем решите простейшие неравенства

Тригонометрические неравенства

Собери решение

$\frac{1+\cos 2x}{2\cos x+1}>0$

Подсказка

Обратите внимание, что числитель дроби всегда неотрицательный

$\lgroup\frac{-2\pi}{3}+2\pi k;\frac{-\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{4}+2\pi k;\frac{-\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{2}+2\pi k;\frac{2\pi}{3}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{2\pi}{3}+2\pi k\rgroup$

$\lgroup\frac{-\pi}{3}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\rgroup$

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $\frac{1}{\cos}\ge\frac{6}{\pi}$ и выберите правильный ответ

Подсказка

Рассмотрите разность левой и правой частей, приведите к общему знаменателю и решите методом интервалов

Тригонометрические неравенства

Решите неравенство $\frac{1}{\sin x}\ge\frac{4}{\pi}$ и введите пропуски в ответ

Подсказка

Рассмотрите разность левой и правой частей, приведите к общему знаменателю и решите методом интервалов

Тригонометрические неравенства

Сопоставьте неравенства с их решениями

A) $\sqrt{2\cos 8x+3}\le 3-\sqrt{5-\sin 4x}$

B) $\sqrt{-1-2\cos 10x}\ge 2-\sqrt{3\sin 5x-2}$

C) $\sqrt{\cos 6x+2}\le 2-\sqrt{4-3\sin 3x}$

1) $x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}, k\in Z$

2) $x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z$

3) $x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}, k\in Z$

Подсказка

Учитывайте свойства подкоренных выражений и область возможных значений $\sin x$ и $\cos x$

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.

$0,5\cos 2x\le\sin x\cos x$

Ответ: $\lbrack\frac{\alpha\pi}{b}+2\pi k;\frac{c\pi}{b}+2\pi k\rbrack$

1) a=____

1) b=____

1) c=____

Подсказка

Используйте формулу синуса двойного аргумента

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.

$\cos 2x<\sin x$

Ответ: $(\frac{\alpha\pi}{b}+2\pi k;\frac{c\pi}{b}+2\pi k)$

1) a=____

1) b=____

3) c=____

Подсказка

Введите новую переменную и решите вспомогательное неравенство

Тригонометрические неравенства

Подставьте значение переменных в ответ, решив неравенство.

$\cos (\frac{2\pi}{3}-4x)+\cos(\frac{2\pi}{3}+4x)-\frac{1}{2}<0 x$

Ответ: $(\frac{\alpha\pi}{b}+2\pi k;\frac{c\pi}{b}+2\pi k)$

1) a=___

2) b=___

3) c=___

Подсказка

Преобразуйте сумму косинусов в произведение

2 x $ — Обмен математических стеков

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
468 раз

$ \ begingroup $

Решите тригонометрическое неравенство $$ \ cos x \ geq \ sin ^ 2 x — \ cos ^ 2 x $$
Мое неправильное решение:
$$ \ cos ^ 2 x- \ sin ^ 2 x \ geq — \ cos x $$
$$ \ cos 2x \ geq \ cos (\ pi — x) $$
что значит:
$$ 2x \ geq — (\ pi + x) $$
$$ x \ geq — \ pi $$
Что неверно.

А
$$ 2x \ leq 2 \ pi + (\ pi — x) $$
$$ x \ leq \ pi $$

Создан 12 авг.

Гекакс

1,11388 серебряных знаков1616 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

5

$ \ begingroup $

В комментариях указано, что вы делаете неправильно, поэтому я дам вам новое направление.2 (х) + \ соз (х) — 1 \ geq 0 $$
Теперь, если мы установим $ y = \ cos (x) $, вы сможете увидеть, какую форму принимает неравенство?

Создан 12 авг.

$ \ endgroup $

3

$ \ begingroup $

Это составляет решение неравенства 2cos ^ 2 x + cosx-1> 0. 2x + \ cos x + 1 & \ geq 0
\ end {выровнять *}
решение для cosx
$$ \ cos x = [- \ infty, 1] \ cup \ left [\ frac {1} {2}, 1 \ right] $$
отклонение 1-й части
$$ \ cos x \ geq \ frac {1} {2} $$
$$ x \ leq \ frac {\ pi} {3} $$
$$ x \ geq — \ frac {\ pi} {3} $$

Н.Ф. Тауссиг

59.7k1212 золотых знаков4747 серебряных знаков6666 бронзовых знаков

Создан 12 авг.

$ \ endgroup $

2

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками тригонометрия или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Математическая сцена — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства

Математическая сцена — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства — Урок 5



2008 Rasmus ehf
и Джанн Сак

Триггерные функции

Печать

Урок 5 Подробнее
сложные уравнения и неравенства


Пример
1

Решите уравнение sin x = cos x и тогда неравенство

грех
x> cos x на интервале 0 x <2.

Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x
может иметь одно и то же значение только в двух местах, в x = / 4
и х = 5/4
(45 и 225 ).

Уравнение sin x = cos x также может быть решено путем деления на cos x.

тангенс х = 1

x = загар −1 (1)

х = 45 /180
+ к ∙

x = / 4 + k ∙ (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

Если мы положим k = 0 и k = 1, мы получим решения / 4 (45 )
и
/4 + = 5/4 (45 +
180 = 225 ).

Решить неравенство греха
x> cos x нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах
между решениями / 4
и 5/4.
Решения можно увидеть, если нарисовать графики f (x) = sin x и g (x) = cos
Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале / 4 x 5x / 4 (см. Заштрихованную область на диаграмме).

sin x cos x на интервале / 4 x 5x / 4.

Пример 2

Решить
уравнение sin x ∙ cos x = 0 и тогда неравенство

sin x ∙ cos x> 0 на интервале 0 x <2.

Неравенство не имеет
решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

Решения
уравнение sin x ∙ cos x = 0 в интервале 0 x <2, следовательно, равны 0, / 2 и 3/2 (0 , 90 , 180
и 270 ).

Решение sin x
∙ cos x> 0 можно найти, посмотрев на единичный круг. Нам нужно найти
где sin x, умноженный на cos x, положителен. Другими словами sin x и cos x имеют
иметь один и тот же знак, оба будут
положительный или оба отрицательный. Это происходит в первом и третьем квадранте. В
решения поэтому
0

Мы также можем увидеть это по
построение графика
f (x) = sin x ∙ cos x.

Пример
3

Решите уравнение sin x
∙ cos x — sinx = 0 и тогда выполняется неравенство sin x ∙ cos x
— sin x> 0 на интервале 0 x <2.

sin x ∙ cos x — sinx = 0

sin x (cos x — 1) = 0

Нам нужно
разложить уравнение на множители, взяв sin x за скобки.

Уравнение имеет решения
когда sin x = 0 или когда скобка, (cos x — 1) = 0.

грех х = 0

x = 0 или (180 ).

или

cos x — 1 = 0

cos x = 1

х = 0

Единственные решения
уравнение поэтому 0 и.

Неравенство греха
x ∙ cos x — sin x> 0 можно переписать как sin x (cos x — 1)
> 0,

Теперь полезно сделать
таблицу знаков и посмотрите знаки sin x и cos x — 1.

Решение

Мы видим, что оба фактора
отрицательный на интервале

Теперь давайте посмотрим, как это подходит
в с графиком
f (x) = sin x ∙ cos x — sin x

Заштрихованная область над x
ось показывает, где
sin x (cos x — 1)> 0, что согласуется с нашими расчетами.

Пример 4

Найти все решения уравнения cos 2 x — cos x = 0.

cos 2 x — cos
х = 0

cos x ∙ (cos x — 1) = 0

Решения могут быть найдены, когда cos x = 0 или cos x — 1 = 0

cos x = 0

x = / 2 или 3/ 2 (90
или 270 )

х = / 2 + к ∙

или

cos
х — 1 = 0

cos x = 1

х = 0 + к ∙ 2 = к ∙ 2

Все решения укладываются в шаблон x = / 2 +
к ∙

Пример
5

Найти все решения уравнения sin 2 x — 5 sin x + 4 = 0.

Это квадратное уравнение с sin x в качестве
Переменная. Таким образом, мы можем найти sin x, используя формулу корней квадратного уравнения. a = 1, b = −5 og c = 4.

Синус мы не можем принять значение 4, поэтому нам не нужно рассматривать sin x =
4. Другая возможность — sin x = 1, которая имеет решение
/ 2 (90 ). Таким образом, полное решение:

х
= / 2 +
к ∙ 2

Пример 6

Решите уравнение sin 5x
= грех х .

Одна из возможностей состоит в том, что
положение 5x на единичной окружности
совпадает с положением x
и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее
уравнение:

1) 5x = x
+ к ∙ 360

4x = к ∙ 360

х
= к ∙ 90

Мы показываем эту возможность в
диаграмму.

Приходит вторая возможность
из того, что
грех x = грех (180
— х ). Это дает нам следующее решение:

5x = 180 — x
+ к ∙ 360

6x = 180 + k ∙ 360

x = 30 + k ∙ 60

Это решение показано в
диаграмма справа.

Но мы замечаем, что первое решение содержится в
второй раствор, поэтому достаточно дать второе решение

х = 30
+ к ∙ 60

Пример
7

Решите уравнение cos 2x =
cos x на интервале 0 x <2.

1) Сначала рассмотрим
возможность того, что x и 2x находятся в одной позиции на единичной окружности.

2x = x + k ∙ 2

х = к ∙ 2

х = 0

Вычесть
x с обеих сторон уравнения, а затем выберите k = 0 (k = 1 дает 2, что находится за пределами интервала

2) Приходит вторая возможность
по факту
cos v = cos (−v).Тогда решение будет следующим:

2х = -х
+ к ∙ 2

3х = к ∙ 2

х = к ∙ 2/ 3

Это дает решения 2/3 (120 )
для k = 1 и 4
/3 (240 ) для k = 2.
итого полное решение:
0, 2
/3 и 4/3.

Пример
8

Решите уравнение tan 3x =
загар 2x.

уравнений Тана во многих
способов самый простой из триггерных уравнений, так как есть только возможность
считайте, что повторяется с интервалом 180 .

3х = х + к ∙ 180

2x = к ∙ 180

x = k ∙ 90

или

в радианах

х = к ∙ / 2


Попробуйте тест 5 по триггерам.

Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Тригонометрическое неравенство — Учебные материалы для IIT JEE

Тригонометрическое неравенство — важная тема в программе математики IIT JEE.Неравенство тригонометрии содержит одну или несколько тригонометрических функций функции x в виде R [f (x), g (x) …]> 0 (или <0), в котором f (x), g (x) , ... - тригонометрические функции от x. Решение для x подразумевает поиск значений x, которые делают неравенство истинным. Все такие значения x составляют множество решений данного тригонометрического неравенства. Некоторые примеры тригонометрических неравенств:

грех x + грех 2x> -sin 3x

грех x + грех 3x <1

2тан x + загар 2x> 3 кроватки x

cos 2x -2> -3sin x

вопросов о тригонометрическом неравенстве IIT JEE — это сочетание как средних, так и сложных вопросов.Мы перечисляем здесь некоторые иллюстрации, чтобы дать представление о типах вопросов, задаваемых по этой теме.

Иллюстрация:

Найдите множество решений неравенства sinx> 1/2.

Раствор:

Когда sinx = ½, два значения x между 0 и 2π равны π / 6 и 5π / 6.

у = грех х

Из графика y = sinx очевидно, что между 0 и 2π

sinx> 1/2 для π / 6

Следовательно, sinx 1/2 ⇒ 2nπ + π / 6

Требуемый набор решений — ∪ (2nπ + π / 6, 2nπ + 5π / 6).

Иллюстрация:

Найти множество решений неравенства cosx> –1/2.

Раствор:

Сформируйте график y = cosx, очевидно, что cosx> –1/2

Если -2π / 3≤x≤2π / 3.

у = соз х

Отсюда общее значение для cosx> -1/2

⇒ 2nπ -2π / 3 ≤ x ≤2nπ + 2π / 3.

Требуемый набор решений — ∪ (2nπ -2π / 3,2nπ + 2π / 3).

Иллюстрация:

Решить :

sin4x = 1 + tan8x.

Решение: рассмотрение обеих сторон по очереди

L.H.S. = sin4x <1.

R.H.S. = 1 + tan8x> 1.

L.H.S. = R.H.S. только при

sin4x = 1 и 1 + tan8x = 1 ⇒ sin2x = 1 и tan8x = 0.

, что невозможно, так как sinx и tanx исчезают одновременно.

Следовательно, данное уравнение не имеет решения.

Иллюстрация:

Решите sin2x + cos2y = 2sec2z.

Раствор:

L.H.S. = sin2x + cos2y <2.

R.H.S. = 2 секунды2z> 2.

Следовательно, L.H.S. = R.H.S. только при

sin2x = 1, cos2y = 1, sec2z = 1

⇒ | sin x | = 1, | cos y | = 1, | cos z | = 1

⇒ x = (2m + 1) π / 2, y = nπ и z = tπ, где m, n, t — целые числа.

Иллюстрация:

Решите неравенство cos 2x ½ на интервале 0

Раствор:

Сначала решите уравнение cos 2x = ½.

Если мы выберем k = 0 и 1, мы получим решения / 6 и 7/6 (30 ° и 210 °).

Мы пытаемся узнать эти значения с помощью правила

cos x = cos (−x)

2х = — / 3 + к · 2

х = — / 6 + к ·

Если мы используем значения k = 1 и 2, мы получим решения 5/6 и 11/6 (150 ° og 330 °).

Теперь нарисуем диаграмму, чтобы увидеть решения неравенства

На диаграмме показаны графики y = cos 2x и y = ½. Заштрихованные интервалы над горизонтальной линией показывают решения неравенства. Таким образом, решениями являются следующие интервалы:

0 x / 6 или 5/6 x 7/6 или 11/6 x <2

Чтобы получить четкое представление о вопросах тригонометрического неравенства, просмотрите образцы статей.

Посмотрите это видео, чтобы получить дополнительную информацию

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Тригонометрия , включая примечания к исследованию, примечания к пересмотру, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .

% PDF-1.6
%
128 0 объект
>
эндобдж

xref
128 79
0000000016 00000 н.
0000002629 00000 н.
0000002695 00000 н.
0000002966 00000 н.
0000003106 00000 п.
0000003246 00000 н.
0000003386 00000 н.
0000003526 00000 н.
0000003663 00000 н.
0000003800 00000 н.
0000003936 00000 н.
0000004076 00000 н.
0000004215 00000 н.
0000004433 00000 н.
0000005377 00000 н.
0000006106 00000 н.
0000006910 00000 н.
0000007707 00000 н.
0000008562 00000 н.
0000009314 00000 п.
0000010126 00000 п.
0000010980 00000 п.
0000011111 00000 п.
0000011245 00000 п.
0000011378 00000 п.
0000011508 00000 п.
0000011639 00000 п.
0000011771 00000 п.
0000011902 00000 п.
0000012035 00000 п.
0000012168 00000 п.
0000012300 00000 п.
0000012432 00000 п.
0000012584 00000 п.
0000012715 00000 п.
0000012847 00000 п.
0000045457 00000 п.
0000046056 00000 п.
0000046741 00000 п.
0000066039 00000 п.
0000066422 00000 н.
0000066940 00000 п.
0000082837 00000 п.
0000083143 00000 п.
0000083806 00000 п.
0000102865 00000 н.
0000103293 00000 н.
0000104044 00000 н.
0000120432 00000 н.
0000120821 00000 н.
0000121501 00000 н.
0000140492 00000 п.
0000140863 00000 н.
0000141576 00000 н.
0000151652 00000 н.
0000152050 00000 н.
0000152753 00000 н.
0000175382 00000 н.
0000175838 00000 н.
0000176481 00000 н.
0000209406 00000 н.
0000209805 00000 н.
0000210464 00000 н.
0000222141 00000 п.
0000222679 00000 н.
0000223327 00000 н.
0000238530 00000 н.
0000239635 00000 н.
0000240401 00000 п.
0000264639 00000 н.
0000265209 00000 н.
0000265874 00000 н.
0000284188 00000 н.
0000284551 00000 н.
0000285266 00000 н.
0000298835 00000 н.
0000299054 00000 н.
0000299512 00000 н.
0000001876 00000 н.
трейлер
] >>
startxref
0
%% EOF

206 0 объект
> поток
xb«`a«sAb @ Y «Lm |
NV6Ϊ [/ p) Of99SWcbc
I * EO2} eɠU (Sh \ IZ & ug0yzys>, [WF, Z + 99 \ Q & * Վ zaJle ݳ) áQ nk۲B {r ‘»(4hklsv> ~ \ @S) P% U a (@b! WBKMH’ib ܤ qi- e «_B1LrKV * GL
.QLs713yeTd * Wbaʍf, c2lferf & wwFIJ2V0fU]
IO_ 5N @ FMu & @ 7c; ܛ4 # 0

10.7: Тригонометрические уравнения и неравенства

В разделах \ ref {TheUnitCircle}, \ ref {CircularFunctions} и совсем недавно \ ref {ArcTrig} мы решили несколько основных уравнений, включающих тригонометрические функции. Ниже мы суммируем методы, которые мы использовали до сих пор. Обратите внимание, что мы используем нейтральную букву `$ u $ ‘в качестве аргумента \ footnote {См. Комментарии в начале раздела \ ref {TrigGraphs} для обзора этой концепции.} каждой круговой функции для общности.

Стратегии решения основных уравнений с тригонометрическими функциями

  • Чтобы решить \ (\ cos (u) = c \) или \ (\ sin (u) = c \) для \ (- 1 \ leq c \ leq 1 \), сначала решите для \ (u \) в интервал \ ([0,2 \ pi) \) и складываем целые числа, кратные периоду \ (2 \ pi \). Если \ (c <-1 \) или \ (c> 1 \), реальных решений нет.
  • Чтобы решить \ (\ sec (u) = c \) или \ (\ csc (u) = c \) для \ (c \ leq -1 \) или \ (c \ geq 1 \), преобразовать в косинус или sine, соответственно, и решаем, как указано выше.Если \ (- 1
  • Чтобы решить \ (\ tan (u) = c \) для любого действительного числа \ (c \), сначала решите для \ (u \) в интервале \ (\ left (- \ frac {\ pi} {2} , \ frac {\ pi} {2} \ right) \) и складываем целые числа, кратные периоду \ (\ pi \).
  • Чтобы решить \ (\ cot (u) = c \) для \ (c \ neq 0 \), преобразовать в касательную и решить, как указано выше. Если \ (c = 0 \), решением \ (\ cot (u) = 0 \) будет \ (u = \ frac {\ pi} {2} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \) .

Используя приведенные выше рекомендации, мы можем легко решить \ (\ sin (x) = \ frac {1} {2} \) и найти решение \ (x = \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \).Как мы решаем что-то вроде \ (\ sin (3x) = \ frac {1} {2} \)? Поскольку это уравнение имеет вид \ (\ sin (u) = \ frac {1} {2} \), мы знаем, что решения принимают вид \ (u = \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi k \) или \ (u = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Поскольку аргумент синуса здесь \ (3x \), мы имеем \ (3x = \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi k \) или \ (3x = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Чтобы решить для \ (x \), мы разделим обе части \ footnote {Не забудьте также разделить \ (2 \ pi k \) на \ (3 \)!} Этих уравнений на \ (3 \) и получаем \ (x = \ frac {\ pi} {18} + \ frac {2 \ pi} {3} k \) или \ (x = \ frac {5 \ pi} {18} + \ frac {2 \ pi} {3} k \) для целых чисел \ (k \).{2} (х) = 4 \)

  • \ (\ tan \ left (\ frac {x} {2} \ right) = -3 \)
  • \ (\ sin (2x) = 0,87 \)
  • Решение

    1. Решение \ (\ cos (u) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \): \ (u = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) или \ (u = \ frac {7 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Поскольку аргумент косинуса здесь \ (2x \), это означает \ (2x = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) или \ (2x = \ frac {7 \ pi} {6 } + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Решение для \ (x \) дает \ (x = \ frac {5 \ pi} {12} + \ pi k \) или \ (x = \ frac {7 \ pi} {12} + \ pi k \) для целые числа \ (k \).Чтобы проверить эти ответы аналитически, мы подставляем их в исходное уравнение. Для любого целого числа \ (k \) имеем

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ cos \ left (2 \ left [\ frac {5 \ pi} {12} + \ pi k \ right] \ right) & = & \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) & \ text {(период косинуса равен \ (2 \ pi $)} \\ [3pt]

    & = & — \ frac {\ sqrt {3}} {2} & \\

    \ end {array} \]

    Аналогичным образом находим \ (\ cos \ left (2 \ left [\ frac {7 \ pi} {12} + \ pi k \ right] \ right) = \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} { 6} + 2 \ pi k \ right) = \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \).Чтобы определить, какое из наших решений лежит в \ ([0,2 \ pi) \), мы подставляем целые числа вместо \ (k \). Сохраняемые нами решения основаны на значениях \ (k = 0 \) и \ (k = 1 \) и равны \ (x = \ frac {5 \ pi} {12} \), \ (\ frac {7 \ pi} {12} \), \ (\ frac {17 \ pi} {12} \) и \ (\ frac {19 \ pi} {12} \). Используя калькулятор, построим графики \ (y = \ cos (2x) \) и \ (y = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \) над \ ([0,2 \ pi) \) и исследуйте, где пересекаются эти два графика. Мы видим, что \ (x \) — координаты точек пересечения соответствуют десятичным представлениям наших точных ответов.

    1. \ item Поскольку это уравнение имеет вид \ (\ csc (u) = \ sqrt {2} \), мы перепишем его как \ (\ sin (u) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \) и найдите \ (u = \ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi k \) или \ (u = \ frac {3 \ pi} {4} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ ( к \). Поскольку здесь аргумент косеканса равен \ (\ left (\ frac {1} {3} x- \ pi \ right) \),

    \ [\ frac {1} {3} x- \ pi = \ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi k \ quad \ text {или} \ quad \ frac {1} {3} x- \ pi = \ frac {3 \ pi} {4} + 2 \ pi k \]

    Чтобы решить \ (\ frac {1} {3} x- \ pi = \ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi k \), мы сначала добавляем \ (\ pi \) к обеим сторонам

    \ [\ frac {1} {3} x = \ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi k + \ pi \]

    Распространенная ошибка — рассматривать термины `$ 2 \ pi k $ ‘и` $ \ pi $’ как « похожие » термины и пытаться объединить их, когда это не так.\ footnote {Вы понимаете, почему?} Однако мы можем объединить члены `$ \ pi $ ‘и` $ \ frac {\ pi} {4} $’, чтобы получить

    \ [\ frac {1} {3} x = \ frac {5 \ pi} {4} + 2 \ pi k \]

    Теперь мы закончим, умножив обе части на \ (3 \), чтобы получить

    \ [x = 3 \ left (\ frac {5 \ pi} {4} + 2 \ pi k \ right) = \ frac {15 \ pi} {4} + 6 \ pi k \]

    Решение другого уравнения \ (\ frac {1} {3} x- \ pi = \ frac {3 \ pi} {4} + 2 \ pi k \) дает \ (x = \ frac {21 \ pi} {4} + 6 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Чтобы проверить первую группу ответов, мы заменяем, объединяем строковые термины и упрощаем.

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ csc \ left (\ frac {1} {3} \ left [\ frac {15 \ pi} {4} + 6 \ pi k \ right] — \ pi \ right) & = & \ csc \ left (\ гидроразрыв {5 \ pi} {4} + 2 \ pi k — \ pi \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ csc \ left (\ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi k \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ csc \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) & \ text {(период косеканса равен \ (2 \ pi $)} \\

    & = & \ sqrt {2} & \\

    \ end {array} \]

    Семейство \ (x = \ frac {21 \ pi} {4} + 6 \ pi k \) проверяет аналогично.Несмотря на бесконечное множество решений, мы обнаруживаем, что \ textit {none} из них лежат в \ ([0,2 \ pi) \). Чтобы проверить это графически, мы используем взаимное тождество, чтобы переписать косеканс как синус, и мы обнаруживаем, что \ (y = \ frac {1} {\ sin \ left (\ frac {1} {3} x- \ pi \ right )} \) и \ (y = \ sqrt {2} \) вообще не пересекаются на интервале \ ([0,2 \ pi) \).

    \ begin {center}

    \ begin {tabular} {cc}

    \ includegraphics [width = 2in] {./ IntroTrigGraphics / TrigEquIneq01.jpg} &

    \ hspace {0.75 дюймов} \ includegraphics [width = 2in] {./ IntroTrigGraphics / TrigEquIneq02.jpg} \\

    $ y = \ cos (2x) \) и \ boldmath \ (y = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \) &

    \ hspace {0,75 дюйма} \ (y = \ frac {1} {\ sin \ left (\ frac {1} {3} x- \ pi \ right)} \) и \ boldmath \ (y = \ sqrt { 2} \) \\

    \ end {tabular}

    \ end {center}

    \ item Поскольку \ (\ cot (3x) = 0 \) имеет форму \ (\ cot (u) = 0 \), мы знаем \ (u = \ frac {\ pi} {2} + \ pi k \ ), поэтому в этом случае \ (3x = \ frac {\ pi} {2} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \).Решение относительно \ (x \) дает \ (x = \ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {3} k \). Проверяя наши ответы, получаем

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ cot \ left (3 \ left [\ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {3} k \ right] \ right) & = & \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} + \ pi k \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) & \ text {(период котангенса равен \ (\ pi $)} \\ [3pt]

    & = & 0 & \\

    \ end {array} \]

    Когда \ (k \) пробегает целые числа, мы получаем шесть ответов, соответствующих от \ (k = 0 \) до \ (k = 5 \), которые лежат в \ ([0, 2 \ pi) \): \ (x = \ frac {\ pi} {6} \), \ (\ frac {\ pi} {2} \), \ (\ frac {5 \ pi} {6} \), \ (\ frac { 7 \ pi} {6} \), \ (\ frac {3 \ pi} {2} \) и \ (\ frac {11 \ pi} {6} \).Чтобы подтвердить это графически, мы должны быть осторожны. На многих калькуляторах нет функциональной кнопки для котангенса. Мы выбираем \ footnote {Читателю предлагается увидеть, что произойдет, если вместо этого мы выбрали взаимное тождество \ (\ cot (3x) = \ frac {1} {\ tan (3x)} \). График на калькуляторе \ textit {выглядит} идентичным, но что происходит, когда вы пытаетесь найти точки пересечения?}, Чтобы использовать тождество частного \ (\ cot (3x) = \ frac {\ cos (3x)} {\ sin (3x)} \). Изобразив \ (y = \ frac {\ cos (3x)} {\ sin (3x)} \) и \ (y = 0 \) (ось \ (x \)), мы видим, что \ (x \ ) -координаты точек пересечения примерно совпадают с нашими решениями.{2} (x) = 4 \) происходит не из аргумента секанса, который есть просто \ (x \), а скорее из того факта, что секанс возводится в квадрат. Чтобы это уравнение выглядело как одна из форм, перечисленных на странице \ pageref {trigeqnstrategy1}, мы извлекаем квадратные корни, чтобы получить \ (\ sec (x) = \ pm 2 \). Преобразуя в косинусы, мы получаем \ (\ cos (x) = \ pm \ frac {1} {2} \). Для \ (\ cos (x) = \ frac {1} {2} \) мы получаем \ (x = \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac { 5 \ pi} {3} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Для \ (\ cos (x) = — \ frac {1} {2} \) мы получаем \ (x = \ frac {2 \ pi} {3} + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac {4 \ pi} {3} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \).Если мы сделаем шаг назад и подумаем об этих семействах решений геометрически, мы увидим, что находим меры всех углов с опорным углом \ (\ frac {\ pi} {3} \). В результате эти решения могут быть объединены, и мы можем записать наши решения как \ (x = \ frac {\ pi} {3} + \ pi k \) и \ (x = \ frac {2 \ pi} {3} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Чтобы проверить первое семейство решений, отметим, что, в зависимости от целого числа \ (k \), \ (\ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} + \ pi k \ right) \) не всегда равно \ (\ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \).2 & \\ [3pt]

    & = & 4 & \\

    \ end {array} \]

    То же самое верно и для семейства \ (x = \ frac {2 \ pi} {3} + \ pi k \). Решения, лежащие в \ ([0,2 \ pi) \), берутся из значений \ (k = 0 \) и \ (k = 1 \), а именно \ (x = \ frac {\ pi} {3} \), \ (\ frac {2 \ pi} {3} \), \ (\ frac {4 \ pi} {3} \) и \ (\ frac {5 \ pi} {3} \). Чтобы подтвердить графически, мы используем обратную идентичность, чтобы переписать секанс как косинус. 2} \) и \ (y = 4 \) подтверждают наши ответы.{2} (x)} \) и \ boldmath \ (y = 4 \) \\

    \ end {tabular}

    \ end {center}

    \ item Уравнение \ (\ tan \ left (\ frac {x} {2} \ right) = -3 \) имеет вид \ (\ tan (u) = -3 \), решением которого является \ (u = \ arctan (-3) + \ пи к \). Следовательно, \ (\ frac {x} {2} = \ arctan (-3) + \ pi k \), поэтому \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Для проверки отметим

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ tan \ left (\ frac {2 \ arctan (-3) + 2 \ pi k} {2} \ right) & = & \ tan \ left (\ arctan (-3) + \ pi k \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ tan \ left (\ arctan (-3) \ right) & \ text {(период касательной равен \ (\ pi $)} \\ [3pt]

    & = & -3 & (\ text {См. Теорему} \ ref {arctangentcotangentfunctionprops}) \\

    \ end {array} \]

    Чтобы определить, какой из наших ответов лежит в интервале \ ([0,2 \ pi) \), нам сначала нужно получить представление о значении \ (2 \ arctan (-3) \).Хотя мы могли бы легко найти приближение с помощью калькулятора, \ footnote {Ваш инструктор сообщит вам, если вы должны отказаться от аналитического маршрута на этом этапе и использовать ваш калькулятор. А если серьезно, что это было бы забавно?} Мы продолжаем аналитически. Поскольку \ (- 3 <0 \), отсюда следует, что \ (- \ frac {\ pi} {2} <\ arctan (-3) <0 \). Умножение на \ (2 \) дает \ (- \ pi <2 \ arctan (-3) <0 \). Теперь мы можем спорить, какое из решений \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi k \) лежит в \ ([0,2 \ pi) \).Для \ (k = 0 \) мы получаем \ (x = 2 \ arctan (-3) <0 \), поэтому мы отбрасываем этот ответ и все ответы \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi k \) где \ (k <0 \). Затем обратим внимание на \ (k = 1 \) и получим \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi \). Начиная с неравенства \ (- \ pi <2 \ arctan (-3) <0 \), складываем \ (2 \ pi \) и получаем \ (\ pi <2 \ arctan (-3) +2 \ pi < 2 \ пи \). Это означает, что \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi \) лежит в \ ([0,2 \ pi) \). Продвижение \ (k \) к \ (2 \) дает \ (x = 2 \ arctan (-3) + 4 \ pi \). Еще раз, мы получаем из \ (- \ pi <2 \ arctan (-3) <0 \), что \ (3 \ pi <2 \ arctan (-3) + 4 \ pi <4 \ pi \).Поскольку это находится вне интервала \ ([0,2 \ pi) \), мы отбрасываем \ (x = 2 \ arctan (-3) + 4 \ pi \) и все решения вида \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi k \) для \ (k> 2 \). Графически мы видим, что \ (y = \ tan \ left (\ frac {x} {2} \ right) \) и \ (y = -3 \) пересекаются только один раз на \ ([0,2 \ pi) \) при \ (x = 2 \ arctan (-3) + 2 \ pi \ приблизительно 3,7851 \).

    1. \ item Чтобы решить \ (\ sin (2x) = 0.87 \), сначала отметим, что оно имеет форму \ (\ sin (u) = 0.87 \), которая имеет семейство решений \ (u = \ arcsin (0.87) + 2 \ pi k \) или \ (u = \ pi — \ arcsin (0.87) + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Поскольку аргумент синуса здесь \ (2x \), мы получаем \ (2x = \ arcsin (0.87) + 2 \ pi k \) или \ (2x = \ pi — \ arcsin (0.87) + 2 \ pi k \ ), что дает \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \) или \ (x = \ frac {\ pi} {2} — \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Проверить,

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ sin \ left (2 \ left [\ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \ right] \ right) & = & \ sin \ left (\ arcsin (0.87) + 2 \ pi k \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ sin \ left (\ arcsin (0.87) \ right) & \ text {(период синуса равен \ (2 \ pi $)} \\ [3pt]

    & = & 0.87 & (\ text {См. Теорему} \ ref {arccosinesinefunctionprops}) \\

    \ end {array} \]

    Для семейства \ (x = \ frac {\ pi} {2} — \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \) получаем

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ sin \ left (2 \ left [\ frac {\ pi} {2} — \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \ right] \ right) & = & \ sin \ left (\ pi — \ arcsin (0.87) + 2 \ pi k \ right) & \\ [3pt]

    & = & \ sin \ left (\ pi — \ arcsin (0.87) \ right) & \ text {(период синуса равен \ (2 \ pi $)} \\ [3pt]

    & = & \ sin \ left (\ arcsin (0.87) \ right) & \ text {($ \ sin (\ pi — t) = \ sin (t) $)} \\ [3pt]

    & = & 0.87 & (\ text {См. Теорему} \ ref {arccosinesinefunctionprops}) \\

    \ end {array} \]

    Чтобы определить, какое из этих решений лежит в \ ([0,2 \ pi) \), нам сначала нужно получить представление о значении \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) \ ). Еще раз, мы могли бы использовать калькулятор, но здесь мы применяем аналитический подход.По определению \ (0 <\ arcsin (0.87) <\ frac {\ pi} {2} \), так что умножение на \ (\ frac {1} {2} \) дает нам \ (0 <\ frac { 1} {2} \ arcsin (0.87) <\ frac {\ pi} {4} \). Начиная с семейства решений \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \), мы используем те же аргументы, что и в нашем решении для числа \ ref {arctanin02pi} выше, и найти только решения, соответствующие \ (k = 0 \) и \ (k = 1 \), лежащие в \ ([0,2 \ pi) \): \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin ( 0.87) \) и \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi \).Затем мы переходим к семейству \ (x = \ frac {\ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Здесь нам нужно получить лучшую оценку \ (\ frac {\ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) \). Из неравенства \ (0 <\ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) <\ frac {\ pi} {4} \) сначала умножаем на \ (- 1 \), а затем прибавляем \ (\ frac {\ pi} {2} \), чтобы получить \ (\ frac {\ pi} {2}> \ frac {\ pi} {2} — \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87)> \ frac {\ pi} {4} \) или \ (\ frac {\ pi} {4} <\ frac {\ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) <\ frac { \ pi} {2} \).Продолжая обычные рассуждения, мы находим единственные решения, которые лежат в \ ([0,2 \ pi) \), соответствующие \ (k = 0 \) и \ (k = 1 \), а именно \ (x = \ frac {\ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) \) и \ (x = \ frac {3 \ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin ( 0,87) \). В общем, мы нашли четыре решения \ (\ sin (2x) = 0.87 \) в \ ([0,2 \ pi) \): \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) \), \ (x = \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) + \ pi \), \ (x = \ frac {\ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) \) и \ (x = \ frac {3 \ pi} {2} - \ frac {1} {2} \ arcsin (0.87) \). Построив графики \ (y = \ sin (2x) \) и \ (y = 0.87 \), подтверждаем наши результаты.

    \ hspace {0,75 дюйма} \ includegraphics [width = 2in] {./ IntroTrigGraphics / TrigEquIneq06.jpg} \\

    $ y = \ tan \ left (\ frac {x} {2} \ right) \) и \ boldmath \ (y = -3 \) &

    Каждая из задач в примере \ ref {TrigEqnEx1} содержала одну тригонометрическую функцию. Если уравнение включает две разные тригонометрические функции или если уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию, но с разными аргументами, нам нужно будет использовать тождества и алгебру, чтобы привести уравнение к той же форме, что и приведенные на странице \ pageref {trigeqnstrategy1}.

    Мы повторяем здесь совет, данный при решении систем нелинейных уравнений в разделе \ ref {NonLinear} — когда дело доходит до решения уравнений, включающих тригонометрические функции, полезно просто попробовать что-нибудь.

    Далее мы сосредоточимся на решении неравенств, связанных с тригонометрическими функциями. Поскольку эти функции непрерывны в своих доменах, мы можем использовать технику знаковых диаграмм, которую мы использовали в прошлом, для решения неравенств. \ Footnote {См. Страницу \ pageref {firstsigndiagram}, Пример \ ref {polygraphex}, page \ pageref { rationalsigndiagram}, page \ pageref {algebraicsigndiagram}, Пример \ ref {expineq} и Пример \ ref {logineq} для обсуждения этого метода.}

    Пример \ (\ PageIndex {2} \):

    Решите следующие неравенства на \ ([0,2 \ pi) \). Выразите свои ответы, используя интервальную запись, и проверьте свои ответы графически.

    1. \ (2 \ sin (x) \ leq 1 \)
    2. \ (\ sin (2x)> \ cos (x) \)
    3. \ (\ тан (х) \ geq 3 \)

    Решение

    1. Мы начинаем решение \ (2 \ sin (x) \ leq 1 \), собирая все члены с одной стороны уравнения и ноль с другой, чтобы получить \ (2 \ sin (x) — 1 \ leq 0 \).Затем мы положим \ (f (x) = 2 \ sin (x) — 1 \) и отметим, что наше исходное неравенство эквивалентно решению \ (f (x) \ leq 0 \). Теперь посмотрим, где, если вообще, \ (f \) не определено, а где \ (f (x) = 0 \). Поскольку область определения \ (f \) — все действительные числа, мы можем немедленно приступить к поиску нулей \ (f \). Решая \ (f (x) = 0 \), мы имеем \ (2 \ sin (x) — 1 = 0 \) или \ (\ sin (x) = \ frac {1} {2} \). Здесь решениями являются \ (x = \ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi k \) и \ (x = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ ( к \). Поскольку мы ограничиваем наше внимание \ ([0,2 \ pi) \), только \ (x = \ frac {\ pi} {6} \) и \ (x = \ frac {5 \ pi} {6} \) нас беспокоят.Затем мы выбираем тестовые значения в \ ([0,2 \ pi) \), отличные от нулей, и определяем, является ли \ (f \) там положительным или отрицательным. Для \ (x = 0 \) имеем \ (f (0) = -1 \), для \ (x = \ frac {\ pi} {2} \) получаем \ (f \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 1 \) и для \ (x = \ pi \) получаем \ (f (\ pi) = -1 \). Поскольку наше исходное неравенство эквивалентно \ (f (x) \ leq 0 \), мы ищем, где функция отрицательна \ ((-) \) или \ (0 \), и получаем интервалы \ (\ left [0, \ frac {\ pi} {6} \ right] \ cup \ left [\ frac {5 \ pi} {6}, 2 \ pi \ right) \).Мы можем подтвердить наш ответ графически, увидев, где график \ (y = 2 \ sin (x) \) пересекает или находится ниже графика \ (y = 1 \).
    2. Сначала мы перепишем \ (\ sin (2x)> \ cos (x) \) как \ (\ sin (2x) — \ cos (x)> 0 \) и пусть \ (f (x) = \ sin (2x ) — \ соз (х) \). Таким образом, наше исходное неравенство эквивалентно \ (f (x)> 0 \). Область определения \ (f \) — все действительные числа, поэтому мы можем перейти к поиску нулей \ (f \). Установка \ (f (x) = 0 \) дает \ (\ sin (2x) — \ cos (x) = 0 \), который, посредством тождества двойного угла для синуса, становится \ (2 \ sin (x ) \ cos (x) — \ cos (x) = 0 \) или \ (\ cos (x) (2 \ sin (x) — 1) = 0 \).Из \ (\ cos (x) = 0 \) мы получаем \ (x = \ frac {\ pi} {2} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \), из которых только \ (x = \ frac {\ pi} {2} \) и \ (x = \ frac {3 \ pi} {2} \) лежат в \ ([0,2 \ pi) \). Для \ (2 \ sin (x) — 1 = 0 \) мы получаем \ (\ sin (x) = \ frac {1} {2} \), что дает \ (x = \ frac {\ pi} {6 } + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Из них только \ (x = \ frac {\ pi} {6} \) и \ (x = \ frac {5 \ pi} {6} \) лежат в \ ([0,2 \ pi) \). Далее мы выбираем наши тестовые значения. Для \ (x = 0 \) находим \ (f (0) = -1 $; когда \ (x = \ frac {\ pi} {4} \) получаем \ (f \ left (\ frac {\ pi } {4} \ right) = 1 — \ frac {\ sqrt {2}} {2} = \ frac {2 — \ sqrt {2}} {2} $; для \ (x = \ frac {3 \ pi } {4} \) получаем \ (f \ left (\ frac {3 \ pi} {4} \ right) = -1 + \ frac {\ sqrt {2}} {2} = \ frac {\ sqrt { 2} — 2} {2} $; когда \ (x = \ pi \) имеем \ (f (\ pi) = 1 \), и, наконец, для \ (x = \ frac {7 \ pi} {4 } \) получаем \ (f \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) = -1 — \ frac {\ sqrt {2}} {2} = \ frac {-2 — \ sqrt { 2}} {2} \).Мы видим \ (f (x)> 0 \) на \ (\ left (\ frac {\ pi} {6}, \ frac {\ pi} {2} \ right) \ cup \ left (\ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {3 \ pi} {2} \ right) \), так что это наш ответ. Мы можем использовать калькулятор, чтобы проверить, что график \ (y = \ sin (2x) \) действительно находится над графиком \ (y = \ cos (x) \) на этих интервалах.
    3. Действуя так же, как в последних двух задачах, перепишем \ (\ tan (x) \ geq 3 \) как \ (\ tan (x) — 3 \ geq 0 \) и пусть \ (f (x) = \ tan ( х) — 3 \). Отметим, что на \ ([0,2 \ pi) \), \ (f \) не определено в \ (x = \ frac {\ pi} {2} \) и \ (\ frac {3 \ pi} { 2} \), поэтому для этих значений потребуется обычный отказ от ответственности на диаграмме знаков.\ footnote {См. страницу \ pageref {rationalsigndiagram} для обсуждения нестандартного символа, известного как interrobang.} Переходя к нулям, решение \ (f (x) = \ tan (x) — 3 = 0 \) требует функция арктангенса. Мы находим \ (x = \ arctan (3) + \ pi k \) для целых чисел \ (k \), и из них только \ (x = \ arctan (3) \) и \ (x = \ arctan (3) + \ pi \) лежат в \ ([0,2 \ pi) \). Поскольку \ (3> 0 \), мы знаем \ (0 <\ arctan (3) <\ frac {\ pi} {2} \), который позволяет нам правильно расположить эти нули на диаграмме знаков. Чтобы выбрать тестовые значения, мы начинаем с \ (x = 0 \) и находим \ (f (0) = -3 \).Найти удобное тестовое значение в интервале \ (\ left (\ arctan (3), \ frac {\ pi} {2} \ right) \) немного сложнее. Имейте в виду, что функция арктангенса возрастает и ограничена сверху значением \ (\ frac {\ pi} {2} \). Это означает, что число \ (x = \ arctan (117) \) гарантировано \ footnote {Мы могли бы выбрать любое значение \ (\ arctan (t) \), где \ (t> 3 \).}, Чтобы оно находилось между \ (\ arctan (3) \) и \ (\ frac {\ pi} {2} \). Мы видим, что \ (f (\ arctan (117)) = \ tan (\ arctan (117)) — 3 = 114 \). В качестве следующего тестового значения мы берем \ (x = \ pi \) и находим \ (f (\ pi) = -3 \).Чтобы найти следующее тестовое значение, отметим, что, поскольку \ (\ arctan (3) <\ arctan (117) <\ frac {\ pi} {2} \), оно следует за \ footnote {\ ldots, добавляя \ (\ pi \) в силу неравенства \ ldots}, что \ (\ arctan (3) + \ pi <\ arctan (117) + \ pi <\ frac {3 \ pi} {2} \). Оценка \ (f \) в \ (x = \ arctan (117) + \ pi \) дает \ (f (\ arctan (117) + \ pi) = \ tan (\ arctan (117) + \ pi) -3 = \ загар (\ arctan (117)) - 3 = 114 \). Мы выбираем последнее тестовое значение \ (x = \ frac {7 \ pi} {4} \) и находим \ (f \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) = -4 \) . {2} (x) = \ tan (x) + 3 \)
    4. \ (\ cos (2x) = 3 \ cos (x) — 2 \)
    5. \ (\ cos (3x) = 2- \ cos (x) \)
    6. \ (\ соз (3x) = \ соз (5x) \)
    7. \ (\ sin (2x) = \ sqrt {3} \ cos (x) \)
    8. \ (\ sin (x) \ cos \ left (\ frac {x} {2} \ right) + \ cos (x) \ sin \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 1 \)
    9. \ (\ cos (x) — \ sqrt {3} \ sin (x) = 2 \)

    Решение.{2} (x) = 0 \) или \ (3 \ sin (x) — 1 = 0 \). Решая для \ (\ sin (x) \), мы находим \ (\ sin (x) = 0 \) или \ (\ sin (x) = \ frac {1} {3} \). Решением первого уравнения является \ (x = \ pi k \), где \ (x = 0 \) и \ (x = \ pi \) — два решения, которые лежат в \ ([0,2 \ pi) \). Чтобы решить \ (\ sin (x) = \ frac {1} {3} \), мы используем функцию арксинуса, чтобы получить \ (x = \ arcsin \ left (\ frac {1} {3} \ right) + 2 \ pi k \) или \ (x = \ pi — \ arcsin \ left (\ frac {1} {3} \ right) + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Мы находим здесь два решения, лежащих в \ ([0,2 \ pi) \), как \ (x = \ arcsin \ left (\ frac {1} {3} \ right) \) \ »и \ (x = \ пи — \ arcsin \ left (\ frac {1} {3} \ right) \).2 \) и найдите \ (x \) — координаты точек пересечения этих двух кривых. Некоторое дополнительное масштабирование требуется около \ (x = 0 \) и \ (x = \ pi \), чтобы убедиться, что эти две кривые действительно пересекаются четыре раза. \ Footnote {Обратите внимание, что мы \ textit {не} считаем точку \ ((2 \ pi, 0) \) в нашем наборе решений, поскольку \ (x = 2 \ pi \) не находится в интервале \ ([0,2 \ pi) \). В следующих решениях помните, что хотя \ (x = 2 \ pi \) может быть решением уравнения, оно не учитывается среди решений в \ ([0,2 \ pi) \).2 — u — 2 & = & 0 & \ text {Пусть \ (u = \ tan (x) \).} \\

    (u + 1) (u — 2) & = & 0 & \\ \ end {array} \]

    Это дает \ (u = -1 \) или \ (u = 2 \). Поскольку \ (u = \ tan (x) \), мы имеем \ (\ tan (x) = -1 \) или \ (\ tan (x) = 2 \). Из \ (\ tan (x) = -1 \) мы получаем \ (x = — \ frac {\ pi} {4} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Чтобы решить \ (\ tan (x) = 2 \), мы используем функцию арктангенса и получаем \ (x = \ arctan (2) + \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Из первого набора решений мы получаем \ (x = \ frac {3 \ pi} {4} \) и \ (x = \ frac {5 \ pi} {4} \) как наши ответы, которые лежат в \ ( [0,2 \ пи) \).2–3 u + 1 & = & 0 & \ text {Пусть \ (u = \ cos (x) \).} \\

    (2u — 1) (u — 1) & = & 0 & \\ \ end {array} \]

    Это дает \ (u = \ frac {1} {2} \) или \ (u = 1 \). Поскольку \ (u = \ cos (x) \), мы получаем \ (\ cos (x) = \ frac {1} {2} \) или \ (\ cos (x) = 1 \). Решая \ (\ cos (x) = \ frac {1} {2} \), мы получаем \ (x = \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac { 5 \ pi} {3} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Из \ (\ cos (x) = 1 \) мы получаем \ (x = 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Ответы, которые лежат в \ ([0,2 \ pi) \): \ (x = 0 \), \ (\ frac {\ pi} {3} \) и \ (\ frac {5 \ pi} { 3} \).3-2u-2 = 0 \) равно \ (u = 1 \). Поскольку \ (u = \ cos (x) \), мы получаем \ (\ cos (x) = 1 \), поэтому \ (x = 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Единственное решение, которое лежит в \ ([0,2 \ pi) \), — это \ (x = 0 \). Построение графиков \ (y = \ cos (3x) \) и \ (y = 2- \ cos (x) \) на одном и том же наборе осей над \ ([0,2 \ pi) \) показывает, что графики пересекаются в что выглядит как \ ((0,1) \), как требуется.

    1. \ item Хотя мы могли бы подойти к \ (\ cos (3x) = \ cos (5x) \) таким же образом, как и к предыдущим двум задачам, вместо этого мы решили продемонстрировать полезность Sum to Product Identities.Из \ (\ cos (3x) = \ cos (5x) \) мы получаем \ (\ cos (5x) — \ cos (3x) = 0 \), и это наличие \ (0 \) на правая сторона, означающая, что переход на продукт будет хорошим ходом. \ footnote {Как всегда, опыт — лучший учитель здесь!} Используя теорему \ ref {sumtoproduct}, мы имеем, что \ (\ cos (5x) — \ cos (3x) = — 2 \ sin \ left (\ frac {5x + 3x} {2} \ right) \ sin \ left (\ frac {5x — 3x} {2} \ right) = -2 \ sin (4x ) \ грех (х) \). Следовательно, уравнение \ (\ cos (5x) = \ cos (3x) \) эквивалентно \ (- 2 \ sin (4x) \ sin (x) = 0 \).Отсюда получаем \ (\ sin (4x) = 0 \) или \ (\ sin (x) \) = 0. Решение \ (\ sin (4x) = 0 \) дает \ (x = \ frac {\ pi} {4} k \) для целых чисел \ (k \), а решение \ (\ sin (x) = 0 \) — \ (x = \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Второй набор решений содержится в первом наборе решений, \ footnote {Как всегда, если есть сомнения, запишите его!}, Поэтому наше окончательное решение для \ (\ cos (5x) = \ cos (3x) \) будет \ (x = \ frac {\ pi} {4} k \) для целых чисел \ (k \). Есть восемь из этих ответов, которые лежат в \ ([0,2 \ pi) \): \ (x = 0 \), \ (\ frac {\ pi} {4} \), \ (\ frac {\ pi } {2} \), \ (\ frac {3 \ pi} {4} \), \ (\ pi \), \ (\ frac {5 \ pi} {4} \), \ (\ frac {3 \ pi} {2} \) и \ (\ frac {7 \ pi} {4} \).Наш график графиков \ (y = \ cos (3x) \) и \ (y = \ cos (5x) \) ниже (после некоторого осторожного увеличения) подтверждает это.
    2. \ item Изучая уравнение \ (\ sin (2x) = \ sqrt {3} \ cos (x) \), мы не только задействуем разные круговые функции, а именно синус и косинус, но и имеем разные аргументы. с, а именно \ (2x \) и \ (x \). Использование тождества \ (\ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) \) делает все аргументы одинаковыми, и мы действуем так же, как и при решении любого нелинейного уравнения — собираем все ненулевые члены на одна сторона уравнения и фактор.

    \ [\ begin {array} {rclr}

    \ sin (2x) & = & \ sqrt {3} \ cos (x) & \\

    2 \ sin (x) \ cos (x) & = & \ sqrt {3} \ cos (x) & \ text {(Поскольку \ (\ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) \).)} \\

    2 \ sin (x) \ cos (x) — \ sqrt {3} \ cos (x) & = & 0 & \\

    \ cos (x) (2 \ sin (x) — \ sqrt {3}) & = & 0 & \\ \ end {array} \]

    , откуда получаем \ (\ cos (x) = 0 \) или \ (\ sin (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \). Из \ (\ cos (x) = 0 \) получаем \ (x = \ frac {\ pi} {2} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \).Из \ (\ sin (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \) мы получаем \ (x = \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac {2 \ pi} {3} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Ответы, которые лежат в \ ([0,2 \ pi) \): \ (x = \ frac {\ pi} {2} \), \ (\ frac {3 \ pi} {2} \), \ ( \ frac {\ pi} {3} \) и \ (\ frac {2 \ pi} {3} \). Мы строим графики \ (y = \ sin (2x) \) и \ (y = \ sqrt {3} \ cos (x) \) и, после некоторого осторожного увеличения, проверяем наши ответы.

    1. \ item В отличие от предыдущей проблемы, похоже, не существует быстрого способа сопоставить циклические функции или их аргументы в уравнении \ (\ sin (x) \ cos \ left (\ frac {x} {2} \ справа) + \ cos (x) \ sin \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 1 \).Однако, если мы посмотрим на него достаточно долго, мы поймем, что левая часть — это развернутая форма формулы суммы для \ (\ sin \ left (x + \ frac {x} {2} \ right) \). Следовательно, наше исходное уравнение эквивалентно \ (\ sin \ left (\ frac {3} {2} x \ right) = 1 \). Решая, находим \ (x = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {4 \ pi} {3} k \) для целых чисел \ (k \). Два из этих решений лежат в \ ([0,2 \ pi) \): \ (x = \ frac {\ pi} {3} \) и \ (x = \ frac {5 \ pi} {3} \). . Построение графика \ (y = \ sin (x) \ cos \ left (\ frac {x} {2} \ right) + \ cos (x) \ sin \ left (\ frac {x} {2} \ right) \) и \ (y = 1 \) проверяет наши решения.
    2. \ item Из-за отсутствия двойных углов или квадратов мы, кажется, мало что можем сделать. Однако, поскольку аргументы косинуса и синуса одинаковы, мы можем переписать левую часть этого уравнения как синусоиду. \ Footnote {По сути, мы «отменяем» формулу суммы / разности для косинуса или синуса, в зависимости от того, какой форма, которую мы используем, поэтому эта проблема на самом деле тесно связана с предыдущей!} Чтобы подогнать \ (f (x) = \ cos (x) — \ sqrt {3} \ sin (x) \) к форме \ (A \ sin (\ omega t + \ phi) + B \), мы используем то, что узнали в примере \ ref {extendedsinusoidex1}, и находим \ (A = 2 \), \ (B = 0 \), \ (\ omega = 1 \) и \ (\ phi = \ frac {5 \ pi} {6} \).Следовательно, мы можем переписать уравнение \ (\ cos (x) — \ sqrt {3} \ sin (x) = 2 \) как \ (2 \ sin \ left (x + \ frac {5 \ pi} {6}) \ right) = 2 \) или \ (\ sin \ left (x + \ frac {5 \ pi} {6} \ right) = 1 \). Решая последнее, мы получаем \ (x = — \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Только одно из этих решений, \ (x = \ frac {5 \ pi} {3} \), которое соответствует \ (k = 1 \), лежит в \ ([0,2 \ pi) \). Геометрически мы видим, что \ (y = \ cos (x) — \ sqrt {3} \ sin (x) \) и \ (y = 2 \) пересекаются только один раз, что подтверждает наш ответ.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \):

    Выразите домен следующих функций, используя нотацию с расширенным интервалом.\ footnote {Подробную информацию об этой нотации см. на странице \ pageref {extendedinterval}.}

    1. \ (f (x) = \ csc \ left (2x + \ frac {\ pi} {3} \ right) \)
    2. \ (f (x) = \ dfrac {\ sin (x)} {2 \ cos (x) — 1} \)
    3. \ (f (x) = \ sqrt {1 — \ cot (x)} \)

    Решение

    \ item Чтобы найти область значений \ (f (x) = \ csc \ left (2x + \ frac {\ pi} {3} \ right) \), мы перепишем \ (f \) в терминах синуса как \ (f (x) = \ frac {1} {\ sin \ left (2x + \ frac {\ pi} {3} \ right)} \). Поскольку функция синуса определена везде, наша единственная проблема — нули в знаменателе.Решая \ (\ sin \ left (2x + \ frac {\ pi} {3} \ right) = 0 \), получаем \ (x = — \ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {2} k \) для целых чисел \ (k \). В нотации конструктора множеств наш домен \ (\ left \ {x: x \ neq — \ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {2} k \, \ text {для целых чисел \ ( k $} \ right \} \). Чтобы визуализировать область, мы следуем старой мантре «Если сомневаешься, записывай!» Мы получаем \ (\ left \ {x: x \ neq — \ frac {\ pi } {6}, \ frac {2 \ pi} {6}, — \ frac {4 \ pi} {6}, \ frac {5 \ pi} {6}, — \ frac {7 \ pi} {6} , \ frac {8 \ pi} {6}, \ ldots \ right \} \), где мы сохранили знаменатели \ (6 \) повсюду, чтобы помочь увидеть закономерность.Изобразив ситуацию на числовой прямой, имеем

    Действуя так же, как на странице \ pageref {extendedinterval} в разделе \ ref {roundfunctionsbeyond}, мы позволяем \ (x _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}}} \) обозначать \ (k $ th число, исключенное из домен и у нас есть \ (x _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}} = — \ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {2} k = \ frac {(3k-1) \ pi} {6} \) для целых чисел \ (k \). Интервалы, составляющие домен, имеют вид \ (\ left (x _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}}), x _ {\ mbox { \ tiny \ (k + 1 $}} \ right) = \ left (\ frac {(3k-1) \ pi} {6}, \ frac {(3k + 2) \ pi} {6} \ right) \ ) как \ (k \) пробегает целые числа.{\ infty} \ left (\ dfrac {(3k-1) \ pi} {6}, \ dfrac {(3k + 2) \ pi} {6} \ right) \]

    Мы можем проверить наш ответ, подставив значения \ (k \), чтобы убедиться, что он соответствует нашей диаграмме.

    \ item Поскольку области \ (\ sin (x) \) и \ (\ cos (x) \) — все действительные числа, единственное беспокойство при нахождении области \ (f (x) = \ frac {\ sin (x)} {2 \ cos (x) — 1} \) является делением на ноль, поэтому мы устанавливаем знаменатель равным нулю и решаем. Из \ (2 \ cos (x) — 1 = 0 \) получаем \ (\ cos (x) = \ frac {1} {2} \), так что \ (x = \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k \) или \ (x = \ frac {5 \ pi} {3} + 2 \ pi k \) для целых чисел \ (k \).Используя обозначение конструктора множеств, доменом является \ (\ left \ {x: x \ neq \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k \, \ text {and} \, x \ neq \ frac {5 \ pi} {3} + 2 \ pi k \, \ text {для целых чисел \ (k $} \ right \} \) или \ (\ left \ {x: x \ neq \ pm \ frac {\ pi} {3}, \ pm \ frac {5 \ pi} {3}, \ pm \ frac {7 \ pi} {3}, \ pm \ frac {11 \ pi} {3}, \ ldots \ right \} \ ), так что у нас

    В отличие от предыдущего примера, у нас есть \ textit {два} разных семейства точек для рассмотрения, и мы представляем два способа решения такой ситуации. Один из способов — обобщить то, что мы сделали в предыдущем примере, и использовать формулы, которые мы нашли в нашей работе с предметной областью, для описания интервалов.Для этого положим \ (a _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}} = \ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k = \ frac {(6k + 1) \ pi} {3 } \) и \ (b _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}} = \ frac {5 \ pi} {3} + 2 \ pi k = \ frac {(6k + 5) \ pi} {3}) \) для целых чисел \ (k \). Теперь цель состоит в том, чтобы записать область в терминах \ (a $ ‘s an \ (b $’ s. Мы находим \ (a _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}} = \ frac {\ pi} {3} \), \ (a _ {\ mbox {\ tiny \ (1 $}} = \ frac {7 \ pi} {3} \), \ (a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}} = — \ frac {5 \ pi} {3} \), \ (a _ {\ mbox {\ tiny \ (2 $}} = \ frac {13 \ pi} { 3} \), \ (a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}} = — \ frac {11 \ pi} {3} \), \ (b _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}) } = \ frac {5 \ pi} {3} \), \ (b _ {\ mbox {\ tiny \ (1 $}} = \ frac {11 \ pi} {3} \), \ (b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}} = — \ frac {\ pi} {3} \), \ (b _ {\ mbox {\ tiny \ (2 $}} = \ frac {17 \ pi} {3}) \) и \ (b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}} = — \ frac {7 \ pi} {3} \).Следовательно, с точки зрения \ (a $ и \ (b $), наш домен равен

    \ [\ ldots \ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}}), b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox { \ tiny \ (- 2 $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}} \ right) \ cup \ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}}, b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}} \ right) \ cup \ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}}, b _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (1 $}} \ right) \ cup \ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (1 $}}, b _ {\ mbox {\ tiny \ (1 $ }} \ right) \ чашка \ точки \]

    Если мы сгруппируем эти интервалы попарно, \ (\ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}}), b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 2 $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}} \ right) \), \ (\ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ ( -1 $}}, b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (- 1 $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}} \ right) \), \ (\ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}}), b _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (0 $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (1 $}} \ right) \) и так далее, мы видим, как появляется шаблон формы \ (\ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}}, b _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}} \ right) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}}), a _ {\ mbox {\ tiny \ (k + 1 $}} \ right) \) для целых чисел \ (k \), чтобы наш домен можно было записать как

    \ [\ bigcup_ {k = — \ infty} ^ {\ infty} \ left (a _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}}, b _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}} \ right)) \ cup \ left (b _ {\ mbox {\ tiny \ (k $}}, a _ {\ mbox {\ tiny \ (k + 1 $}} \ right) = \ bigcup_ {k = — \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(6k + 1) \ pi} {3}, \ frac {(6k + 5) \ pi} {3} \ right) \ cup \ left (\ frac {(6k + 5) \ pi} {3}, \ frac {(6k + 7) \ pi} {3} \ right) \]

    Второй подход к проблеме использует периодический характер \ (f \).Поскольку \ (\ cos (x) \) и \ (\ sin (x) \) имеют период \ (2 \ pi \), нетрудно показать, что функция \ (f \) повторяется каждые \ (2 \ pi \) единиц. \ footnote {Это не обязательно означает, что период \ (f \) равен \ (2 \ pi \). Касательная функция состоит из \ (\ cos (x) \) и \ (\ sin (x) \), но ее период составляет половину их периода. Читателю предлагается исследовать период \ (f \).} Это означает, что если мы можем найти формулу для области на интервале длины \ (2 \ pi \), мы можем выразить всю область, переведя наш ответ слева и справа по оси \ (x \) — путем добавления целых чисел, кратных \ (2 \ pi \).Один из таких интервалов, который возникает в результате нашей работы в области, — это \ (\ left [\ frac {\ pi} {3}, \ frac {7 \ pi} {3} \ right] \). Часть домена здесь \ (\ left (\ frac {\ pi} {3}, \ frac {5 \ pi} {3} \ right) \ cup \ left (\ frac {5 \ pi} {3} , \ frac {7 \ pi} {3} \ right) \). Складывая целые числа, кратные \ (2 \ pi \), мы получаем семейство интервалов \ (\ left (\ frac {\ pi} {3} + 2 \ pi k, \ frac {5 \ pi} {3} + 2 \ pi k \ right) \ cup \ left (\ frac {5 \ pi} {3} + 2 \ pi k, \ frac {7 \ pi} {3} + 2 \ pi k \ right) \) для целых чисел \ (к \). Мы предоставляем читателю показать, что получение общих знаменателей приводит к нашему предыдущему ответу.

    \ item Чтобы найти область значений \ (f (x) = \ sqrt {1- \ cot (x)} \), сначала отметим, что из-за наличия члена \ (\ cot (x) \) , \ (x \ neq \ pi k \) для целых чисел \ (k \). Далее напомним, что для определения квадратного корня нам потребуется \ (1 — \ cot (x) \ geq 0 \). В отличие от неравенств, которые мы решили в примере \ ref {TrigIneqEx1}, здесь мы не ограничены заданным интервалом. Наша стратегия состоит в том, чтобы решить это неравенство над \ ((0, \ pi) \) (тот же интервал, который генерирует фундаментальный цикл котангенса), а затем добавить целые числа, кратные периоду, в данном случае \ (\ pi \).Положим \ (g (x) = 1 — \ cot (x) \) и приступим к построению знаковой диаграммы для \ (g \) на интервале \ ((0, \ pi) \), чтобы найти, где \ (g (х) \ geq 0 \). Отметим, что \ (g \) не определено для \ (x = \ pi k \) для целых чисел \ (k \), в частности, на концах нашего интервала \ (x = 0 \) и \ (x = \ Пи\). Далее ищем нули \ (g \). Решая \ (g (x) = 0 \), мы получаем \ (\ cot (x) = 1 \) или \ (x = \ frac {\ pi} {4} + \ pi k \) для целых чисел \ (k \) и только один из них, \ (x = \ frac {\ pi} {4} \), лежит в \ ((0, \ pi) \). Выбирая тестовые значения \ (x = \ frac {\ pi} {6} \) и \ (x = \ frac {\ pi} {2} \), получаем \ (g \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = 1 — \ sqrt {3} \) и \ (g \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 1 \).{\ infty} \ left [\ dfrac {(4k + 1) \ pi} {4}, (k + 1) \ pi \ right) \]

    Авторы и авторство

    • Карл Ститц, доктор философии (Lakeland Community College) и Джефф Зигер, доктор философии. (Общественный колледж округа Лорейн)

    Основные тригонометрические неравенства

    Неизвестная переменная (угол): \ (x \)
    Набор целых чисел: \ (\ mathbb {Z} \)
    Целое число: \ (n \)
    Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
    Действительное номер: \ (a \)

    Тригонометрические функции: \ (\ sin x, \) \ (\ cos x, \) \ (\ tan x, \) \ (\ cot x \)
    Обратные тригонометрические функции: \ (\ arcsin a, \) \ (\ arccos a, \) \ (\ arctan a, \) \ (\ text {arccot} a \)

    1. Неравенство, включающее тригонометрические функции от неизвестного угла, называется тригонометрическим неравенством.
    2. Следующие \ (16 \) неравенства относятся к основным тригонометрическим неравенствам:
      \ (\ sin x \ gt a \), \ (\ sin x \ ge a \), \ (\ sin x \ lt a \), \ (\ sin x \ le a \),
      \ (\ cos x \ gt a \), \ (\ cos x \ ge a \), \ (\ cos x \ lt a \), \ (\ cos x \ le a \),
      \ (\ tan x \ gt a \), \ (\ tan x \ ge a \), \ (\ tan x \ lt a \), \ (\ tan x \ le a \),
      \ (\ cot x \ gt a \), \ (\ cot x \ ge a \), \ (\ cot x \ lt a \), \ (\ cot x \ le a \).
      Здесь \ (x \) — неизвестная переменная, \ (a \) может быть любым действительным числом.
    3. Неравенства вида \ (\ sin x \ gt a, \) \ (\ sin x \ ge a, \) \ (\ sin x \ lt a, \) \ (\ sin x \ le a \)

      Фигура 1.

      Фигура 2.

      Неравенство \ (\ sin x \ gt a \)
    4. Если \ (\ left | a \ right | \ ge 1 \), неравенство \ (\ sin x \ gt a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    5. Если \ (a \ lt -1 \), решением неравенства \ (\ sin x \ gt a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    6. Для \ (- 1 \ le a \ lt 1 \) решение неравенства \ (\ sin x \ gt a \) выражается в виде
      \ (\ arcsin a + 2 \ pi n \ lt x \ ) \ (\ lt \ pi — \ arcsin a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (1 \)).
    7. Неравенство \ (\ sin x \ ge a \)
    8. Если \ (a \ gt 1 \), неравенство \ (\ sin x \ ge a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    9. Если \ (a \ le -1 \), решением неравенства \ (\ sin x \ ge a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    10. Случай \ (a = 1 \)
      \ (x = \ pi / 2 +2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \)
    11. Для \ (- 1 \ lt a \ lt 1 \) решение нестрогого неравенства \ (\ sin x \ ge a \) включает граничные углы и имеет вид
      \ (\ arcsin a + 2 \ pi n \ le x \) \ (\ le \ pi — \ arcsin a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (рисунок \ (1 \)).
    12. Неравенство \ (\ sin x \ lt a \)
    13. Если \ (a \ gt 1 \), решением неравенства \ (\ sin x \ lt a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    14. Если \ (a \ le -1 \), неравенство \ (\ sin x \ lt a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    15. Для \ (- 1 \ lt a \ le 1 \) решение неравенства \ (\ sin x \ lt a \) лежит в интервале
      \ (- \ pi — \ arcsin a + 2 \ pi n \ lt x \) \ (\ lt \ arcsin a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (2 \)).
    16. Неравенство \ (\ sin x \ le a \)
    17. Если \ (a \ ge 1 \), решением неравенства \ (\ sin x \ le a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    18. Если \ (a <-1 \), неравенство \ (\ sin x \ le a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    19. Случай \ (a = -1 \)
      \ (x = — \ pi / 2 + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \)
    20. Для \ (- 1 \ lt a \ lt 1 \) решение нестрогого неравенства \ (\ sin x \ le a \) находится в интервале
      \ (- \ pi — \ arcsin a + 2 \ pi n \ le x \) \ (\ le \ arcsin a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (2 \)).
    21. Неравенства вида \ (\ cos x \ gt a, \) \ (\ cos x \ ge a, \) \ (\ cos x \ lt a, \) \ (\ cos x \ le a \)

      Рисунок 3.

      Рисунок 4.

      Неравенство \ (\ cos x \ gt a \)
    22. Если \ (a \ ge 1 \), неравенство \ (\ cos x \ gt a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    23. Если \ (a \ lt -1 \), решением неравенства \ (\ cos x \ gt a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    24. Для \ (- 1 \ le a \ lt 1 \) решение неравенства \ (\ cos x \ gt a \) имеет вид
      \ (- \ arccos a + 2 \ pi n \ lt x \) \ (\ lt \ arccos a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (3 \)).
    25. Неравенство \ (\ cos x \ ge a \)
    26. Если \ (a \ gt 1 \), неравенство \ (\ cos x \ ge a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    27. Если \ (a \ le -1 \), решением неравенства \ (\ cos x \ ge a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    28. Случай \ (a = 1 \)
      \ (x = 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \)
    29. Для \ (- 1 \ lt a \ lt 1 \) решение нестрогого неравенства \ (\ cos x \ ge a \) выражается формулой
      \ (- \ arccos a + 2 \ pi n \ le x \) \ (\ le \ arccos a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (3 \)).
    30. Неравенство \ (\ cos x \ lt a \)
    31. Если \ (a \ gt 1 \), неравенство \ (\ cos x \ lt a \) верно для любого действительного значения \ (x \): \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    32. Если \ (a \ le -1 \), неравенство \ (\ cos x \ lt a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    33. Для \ (- 1
      Неравенство \ (\ cos x \ le a \)
    34. Если \ (a \ ge 1 \), решением неравенства \ (\ cos x \ le a \) является любое действительное число: \ (x \ in \ mathbb {R} \)
    35. Если \ (a \ lt -1 \), неравенство \ (\ cos x \ le a \) не имеет решений: \ (x \ in \ emptyset \)
    36. Случай \ (a = -1 \)
      \ (x = \ pi + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \)
    37. Для \ (- 1 \ lt a \ lt 1 \) решение нестрогого неравенства \ (\ cos x \ le a \) записывается как
      \ (\ arccos a + 2 \ pi n \ le x \) \ (\ le 2 \ pi — \ arccos a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (рисунок \ (4 \)).
    38. Неравенства вида \ (\ tan x \ gt a, \) \ (\ tan x \ ge a, \) \ (\ tan x \ lt a, \) \ (\ tan x \ le a \)

      Рисунок 5.

      Рисунок 6.

      Неравенство \ (\ tan x \ gt a \)
    39. Для любого действительного значения \ (a \) решение строгого неравенства \ (\ tan x \ gt a \) имеет вид
      \ (\ arctan a + \ pi n \ lt x \) \ (\ lt \ pi / 2 + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (рисунок \ (5 \)).
    40. Неравенство \ (\ tan x \ ge a \)
    41. Для любого действительного значения \ (a \) решение неравенства \ (\ tan x \ ge a \) выражается в форме
      \ (\ arctan a + \ pi n \ le x \) \ (\ lt \ pi / 2 + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (рисунок \ (5 \)).
    42. Неравенство \ (\ tan x \ lt a \)
    43. Для любого значения \ (a \) решение неравенства \ (\ tan x \ lt a \) записывается в виде
      \ (- \ pi / 2 + \ pi n \ lt x \) \ ( \ lt \ arctan a + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (рисунок \ (6 \)).
    44. Неравенство \ (\ tan x \ le a \)
    45. Для любого значения \ (a \) неравенство \ (\ tan x \ le a \) имеет следующее решение:
      \ (- \ pi / 2 + \ pi n \ lt x \) \ (\ le \ arctan a + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (рисунок \ (6 \)).
    46. Неравенства вида \ (\ cot x \ gt a, \) \ (\ cot x \ ge a, \) \ (\ cot x \ lt a, \) \ (\ cot x \ le a \)

      Рисунок 7.

      Рисунок 8.

      Неравенство \ (\ cot x \ gt a \)
    47. Для любого значения \ (a \) решение неравенства \ (\ cot x \ gt a \) имеет вид
      \ (\ pi n \ lt x \ lt \ text {arccot} a + \ pi n , \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (7 \)).
    48. Неравенство \ (\ cot x \ ge a \)
    49. Нестрогое неравенство \ (\ cot x \ ge a \) имеет аналогичное решение:
      \ (\ pi n \ lt x \ le \ text {arccot} a + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (7 \)).
    50. Неравенство \ (\ cot x \ lt a \)
    51. Для любого значения \ (a \) решение неравенства \ (\ cot x \ lt a \) лежит на открытом интервале
      \ (\ text {arccot} a + \ pi n \ lt x \) \ (\ lt \ pi + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (8 \)).
    52. Неравенство \ (\ cot x \ le a \)
    53. Для любого значения \ (a \) решение нестрогого неравенства \ (\ cot x \ le a \) находится в полуоткрытом интервале
      \ (\ text {arccot} a + \ pi n \ le x \) \ (\ lt \ pi + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \) (Рисунок \ (8 \)).

    Калькулятор тригонометрических неравенств

    Бесплатный калькулятор тригонометрической идентичности — пошаговая проверка тригонометрической идентичности. sin x a) cos x a) tan x a) cos x a) cot x a) Решение основных тригонометрических неравенств выполняется с использованием таблиц преобразования триггеров (или калькуляторов), а затем с помощью статистики.Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт. Если нас устраивают ответы в виде десятичных дробей, мы можем установить калькулятор на… Итак, у меня есть неравенство. Калькулятор тригонометрии — прямоугольные треугольники: введите все известные переменные (стороны a, b и c; углы A и B) в текстовые поля. Скачать бесплатно в Магазине Windows. Посетите Mathway в Интернете. Бесплатный калькулятор тригонометрических неравенств — шаг за шагом решайте тригонометрические неравенства. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство.Калькулятор доказательства тригонометрических идентичностей Получите подробные решения своих математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора доказательства тригонометрических идентичностей. Касательная: загар. Системы уравнений. Тригонометрическая функция sin для вычисления синуса угла в радианах, градусах или градианах. Решенные упражнения тригонометрических идентичностей. $ \ frac {1} {\ cos \ left (x \ right)} — ​​\ frac {\ cos \ left (x \ right)} {1+ \ sin \ left (x \ right)} = \ tan \ left ( x \ right) $, $ \ frac {1} {\ cos \ left (x \ right)} + \ frac {- \ cos \ left (x \ right)} {1+ \ sin \ left (x \ right) } = \ tan \ left (x \ right) $, $ \ frac {1+ \ sin \ left (x \ right) — \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left (x \ right)} {\ cos \ left (x \ right) \ left (1+ \ sin \ left (x \ right) \ right)} = \ tan \ left (x \ right) $, $ \ frac {1+ \ sin \ left (x \ right) — \ cos \ left (x \ right) ^ 2} {\ cos \ left (x \ right) \ left (1+ \ sin \ left (x \ right) \ right)} = \ tan \ left ( x \ right) $, $ \ frac {\ sin \ left (x \ right) ^ 2 + \ sin \ left (x \ right)} {\ cos \ left (x \ right) \ left (1+ \ sin \ left (x \ right) \ right)} = \ tan \ left (x \ right) $, $ \ frac {\ sin \ left (x \ right) \ left (\ sin \ left (x \ right) +1 \ right)} {\ cos \ left (x \ right) \ left (1+ \ sin \ left (x \ right) \ right)} = \ tan \ left (x \ right) $, $ \ frac {\ sin \ left (x \ right)} {\ cos \ left (x \ right)} = \ tan \ left (x \ right) $, $ \ cot \ left (x \ right) \ cdot \ sec \ left (x \ right ) = \ csc \ left (x \ right) $, $ \ frac {\ csc \ left (x \ right)} {\ cot \ left (x \ right)} = \ sec \ left (x \ right) $, $ \ tan \ left (x \ right) \ cdot \ cos \ left (x \ right) \ cdot \ csc \ left (x \ right) = 1 $, $ \ sin \ lef t (x \ right) ^ 2 + \ cos \ left (x \ right) ^ 2 = 1 $, $ \ csc \ left (x \ right) \ cdot \ tan \ left (x \ right) = \ sec \ left (x \ right) $, $ \ tan \ left (x \ right) + \ cot \ left (x \ right) = \ sec \ left (x \ right) \ csc \ left (x \ right) $, $ \ frac {1- \ sin \ left (x \ right)} {\ cos \ left (x \ right)} = \ frac {\ cos \ left (x \ right)} {1+ \ sin \ left (x \ right) )} $.Чтобы узнать, как решить эти основные тригонометрические неравенства, см. Книгу под названием «Тригонометрия: решение тригонометрических уравнений и неравенств» (электронная книга Amazon, 2010 г.). Тригонометрия (от греч. Trigōnon — «треугольник» и metron — «мера») — это раздел математики, изучающий взаимосвязь между длинами сторон и углами треугольников. получить идти. (8.) Матвей. Калькулятор неравенства: inequality_solver. Определите тригонометрические функции специальных углов без калькулятора. Бесплатный графический калькулятор мгновенно отображает ваши математические задачи.На многих страницах калькулятора показаны вычисления или уравнения, которые помогут вам разобраться в вычислениях. Меньше или равно. Примеры. Матричный калькулятор. Калькулятор, использующий тригонометрическую формулу для упрощения тригонометрических выражений. Проверяя наши ответы, мы получаем cot 3 ˇ 6 + ˇ 3k = cot ˇ 2 + ˇk = cot ˇ 2 (период… Под калькулятором появятся шесть самых популярных триггерных функций — три основных: синус, косинус и тангенс, и их взаимные значения: косеканс, секанс и… Чтобы ввести значение, щелкните внутри одного из текстовых полей.Из этих файлов cookie файлы cookie, которые классифицируются как необходимые, хранятся в вашем браузере, поскольку они необходимы для … Геометрически, это идентичности, включающие определенные функции одного или нескольких углов. Они отличаются от идентичностей треугольников, которые … 3x + 4> 6. Тригонометрия. Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти все неизвестные переменные. Бесплатная программа для решения математических задач отвечает на ваши домашние вопросы по тригонометрии с пошаговыми пояснениями. Калькуляторы; Тригонометрические тригонометрические уравнения онлайн-калькулятор Тригонометрические уравнения в общем виде имеют вид f (trig (x)) = 0.где f — некоторая произвольная функция, trig (x) — некоторая тригонометрическая функция. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт. Тригонометрическая функция tan для вычисления тангенса угла в радианах, градусах или градианах. Я могу решить его, чтобы получить x> π / 6 или x> 5π / 6. Геометрически это идентичности, которые задействуют определенные функции одного или нескольких… Скачать бесплатно в Google Play. В тригонометрии различные типы задач могут быть решены с помощью формул тригонометрии. Скачать бесплатно в iTunes.2 + 3x -… Затем решатель неравенства покажет вам шаги, которые помогут вам научиться решать эту проблему самостоятельно. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Матрицы … Калькулятор тригонометрии. Чтобы создать новый пароль, просто нажмите ссылку в электронном письме, которое мы вам отправили. Тригонометрические неравенства. Математика определенно входит в число основных опасений студентов во всем мире. Введите математическую задачу. Узнать больше… Спасибо за отзыв. Онлайн калькулятор тригонометрических идентичностей с решением и шагами.10.7 Тригонометрические уравнения и неравенства 859 y = cos (2x) и y = p 3 2 y = 1 sin (1 3 x ˇ) и y = p 2 3. Поскольку cot (3x) = 0 имеет вид cot (u) = 0, мы знаем, что u = ˇ 2 + ˇk, поэтому в этом случае 3x = ˇ 2 + ˇk для целых k. Решение относительно xyields x = ˇ 6 + ˇ 3k. Решите неравенство $ cos (x) \ le \ frac {1} {2} $ Calculator Soup — это бесплатный онлайн-калькулятор. (9.) Пример 1. Решение тригонометрических уравнений — общие решения. Предалгебра. Калькулятор исчисления. Скачать бесплатно на Amazon. Неравенства. 5> 2x + 3. Получите доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем! Калькулятор тригонометрии: новая эра науки о треугольниках.Исчисление: интегральное с регулируемыми границами. Алгебра. пример. Теорема Пифагора:… Решение заключается в использовании графического калькулятора, и мне нужно получить 5π / 6. … тригонометрические графики, тригонометрические неравенства, прямоугольные треугольники, синусоидальный закон,… Наименьшее кратное из всех периодов тригонометрических функций в неравенстве является общим периодом тригонометрического неравенства. Ex Решите тригонометрическое уравнение с помощью калькулятора Sin X 0 36 Математическая справка от арифметики до исчисления и не только.Хотя образовательная система предоставляет учащимся многочисленные возможности для развития новых навыков, достижений в спорте и практики публичных выступлений, кажется, что ничто не является… при построении графика линейного неравенства, как узнать, представляет ли неравенство область над линией? Воспользовавшись нашим онлайн-калькулятором, вы легко найдете решение любой своей проблемы по теме неравенства. Неравенство, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим неравенством.Калькулятор уравнения касательной линии используется для вычисления уравнения касательной линии к кривой в заданной точке абсциссы с вычислением этапов. В математике тригонометрические тождества — это равенства, которые включают тригонометрические функции и истинны для любого значения встречающихся переменных, для которых определены обе части равенства. Определите тригонометрические функции углов без калькулятора. Как решить тригонометрические уравнения 8 шагов с изображениями. Некоторые формулы, включающие знак соотношений в различных квадрантах, включая тождества сопредельных функций (смещение… Бесплатный калькулятор неравенств — решайте линейные, квадратичные и абсолютные неравенства в режиме онлайн.Как рассчитать тригонометрические функции вручную без использования калькулятора Quora. … Идентичности Доказательство Идентичности Триггерные уравнения Триггерные неравенства Оценить Функции Упростить. Неравенства устраняются за секунды. Здесь вы найдете бесплатную ссуду, ипотеку, временную стоимость денег, математику, алгебру, тригонометрию, дроби, физику, статистику, калькуляторы времени и даты и преобразований. бесплатные рабочие листы девятого класса; рабочие листы для трехзначного вычитания для третьего класса; радикальные, выражения, уравнения и калькуляторы функций; книга по алгебре и тригонометрии 2 ответа; калькулятор смешанной дроби в десятичную. Пользователи Bing вчера нашли наш веб-сайт, используя следующие алгебраические термины: упрощение уравнения факторизации; загрузка pdf тестов по химии; Справка по линейному решателю TI-89 Пример 1.Тригонометрический единичный круг можно использовать в качестве доказательства при решении тригонометрических неравенств. Как правило, для решения тригонометрического уравнения необходимо преобразовать его к более простому виду, имеющему известное решение. Калькулятор тригонометрических идентичностей. Эта область возникла в эллинистическом мире в III веке до нашей эры из приложений геометрии к астрономическим исследованиям.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.