Решить x 1 2: Решите уравнение x-1^2=0 (х минус 1 в квадрате равно 0)

Содержание

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.


Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0     х-1=0    х-3=0
х=2        х=1      х=3


Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1];   (1; 2];  (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.



Рациональные уравнения

  Рациональным уравнением называется уравнение вида 

где P(x), Q(x)  — многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример 

Решить уравнение

Решение:

x2-4=0,                х-2≠0,

x2=4,                   х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.


УПРАЖНЕНИЯ

1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1;    |x-5|=2;   |x+3|=-6.    б) |1+x|=3;   |1-x|=-4;   8+|x|=2.

Решение:
а)  |x|+4=1 не имеет корней, т.к.  |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к.   модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.





2. Решите уравнение:

а) |5x|=15;    б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
    |5||x|=15;
     5|x|=15;
     |x|=3;
     x=3 или x=-3.





3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5;    б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;

Ответ: -1,2; 0,8.





4. Решите уравнение:

а) |5x2+3x-1|=-x2-36;    б) |3x2-5x-4|=-4x2-23.

Решение:
а) |5x2+3x-1|=-x2-36. Рассмотрим выражение  -x2-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x2+3x-1|=-x2-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней





5. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1/3.



6. Решите уравнение:

Решение:

14х2-5x-1=0,



7. Решите уравнение:

Решение:





8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.



9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения 

 равно:  а) -6;    б) 6.
Решение:



10. Решите уравнение:




Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х2-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х2=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).



11. Решите уравнение:

а) х2-6|x|=0;    б) х2+4|x|=0.   

Решение:
а) х2-6|x|=0; 
х≥0: х2-6x=0;   х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0:  х2+6x=0;   х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.


12.Решите уравнение:

а) х2-3|x|+2=0;    б) х2-2|x|+1=0.   

Решение:
а) х2-3|x|+2=0.
х≥0: х2-3x+2=0;   D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0:  х2+3x+2=0;   D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.


13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5;     б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.


14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5;   б) 8-|2 -|x|||=3. 

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5               или          3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений            |4-|x||=8
                                                    4-|x|=8 или 4-|x|=-8
                                                    |x|=-4 — нет решений   |x|=12
                                                                                         х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.



15. Решите уравнение:

Решение:
а) 
3x-7≥0: х2-3x+10=0;   D=9-40=-31<0 — нет корней.

3x-7<0: х2-3x-10=0;   D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1;  2;  1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5;    б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21;    б) |2x|=-12.

3.  Решите уравнение:

а) |2x-5|=1;    б) |3x+6|=18.

4.  Решите уравнение:

5.  Решите уравнение:

6.  Решите уравнение:

7.  Решите уравнение:

8.  Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|;   б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х2+x|=12;    б) |х2-3x|=10.


Проверь себя


Как я могу решить следующие уравнения паттерна в SymPy, например (x-1)**2+y**2=0?

Я хочу решить следующие уравнения: (x-1)**2+y**2=0, я хочу получить результат типа: x = 1, y = 0, но приведенный ниже код не работает.

from sympy import *

x = symbols("x")
y = symbols("y")

expression = [(x-1)**2+y**2]

solve(expression,[x,y])

python

math

sympy

Поделиться

Источник


ELLEN    

01 октября 2018 в 04:10

1 ответ


  • Как решить эти два уравнения с помощью sympy?

    Я не могу решить эти два уравнения с помощью sympy eq1 = 20*x*y-10*x-4*x**3 eq2 = 10*x**2-8*y-8*y**3 solve([eq1, eq2], [x, y]) Мой ответ (0,0), (0,-Я), (0,я), но ответа книга (0,0), (+-2. 64, 1.90), (+-0.86, 0.65). книга-исчисление, 6-е издание, Джеймс Стюарт (раздел 15-7)

  • Sympy, как решить уравнение с 2 неизвестными в заданном диапазоне

    Предположим, я определяю два символа x и y . import sympy as sp x = sp.symbols(‘x’, integer=True) y = sp.symbols(‘y’, integer=True) Я знаю, что могу решать уравнения с одной переменной как таковой: expr = 3*x**2 — 12 result = sp.solve(expr, x) print(result) [-2, 2] и я могу ограничить диапазон…



1

Если вы ищете целочисленные решения, то diophantine может быть именно тем, что вам нужно:

>>> diophantine((x-1)**2+y**2, (x,y))
{(1, 0)}

Поделиться


smichr    

01 октября 2018 в 22:42


Похожие вопросы:

Как я могу решить x + 1 < 2 в Sympy?

в математике я могу решить x + 1 < 2 с помощью: Reduce[x + 1 < 2, x] Могу ли я сделать то же самое с SymPy? И как я могу это сделать?

Как решить sin (z)=2 в Sympy?

Sympy работает с комплексными числами, поэтому есть возможность решать уравнения типа sin(z)=2 . Однако я не могу этого понять. У кого-нибудь есть идея, как решить эту проблему в симпатии? BTW,…

Как я могу решить y = (x+1)**3 -2 для x в sympy?

Я хотел бы решить y = (x+1)**3 — 2 для x в sympy, чтобы найти его обратную функцию. Я попробовал использовать solve , но не получил того, что ожидал. Вот что я написал в консоли IPython в cmd (sympy…

Как решить эти два уравнения с помощью sympy?

Я не могу решить эти два уравнения с помощью sympy eq1 = 20*x*y-10*x-4*x**3 eq2 = 10*x**2-8*y-8*y**3 solve([eq1, eq2], [x, y]) Мой ответ (0,0), (0,-Я), (0,я), но ответа книга (0,0), (+-2.64, 1.90),…

Sympy, как решить уравнение с 2 неизвестными в заданном диапазоне

Предположим, я определяю два символа x и y . import sympy as sp x = sp.symbols(‘x’, integer=True) y = sp.symbols(‘y’, integer=True) Я знаю, что могу решать уравнения с одной переменной как таковой:…

Как построить уравнение (x^2+y^2-1)^3=x^2*y^3?

Что касается уравнения типа (x^2+y^2-1)^3=x^2*y^3 , то я использую emdbook, library(emdbook) > curve3d((x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3, + sys3d=contour,level=0,from=c(-10,-10),to=c(10,10), +. 2 = 1 & я пытаюсь использовать sympy , numpy и matplotlib для того же самого. Ниже приведен фрагмент кода: x,y = sp.symbols(‘x y’) def g(x,y):…

я хочу решить уравнения: x**2*y**2 + x**2 -10*x*y + 4*y**2 + 9.0=0,Is есть ли какой-нибудь способ получить реальные решения?

Я пытаюсь использовать python для решения уравнений: x**2*y**2 + x**2 -10*x*y + 4*y**2 + 9.0=0 , из-за уравнений ,равных (x*y-3)**2+(x-2*y)**2=0 , поэтому надеюсь получить реальное решение: x =…

Как использовать sympy для алгебраического решения двустороннего уравнения

Я хотел бы использовать sympy для решения следующего уравнения в терминах x, g и w. Вот что я подумал, что должен закодировать from sympy import * w, a, x, g = symbols(‘w a x, g’, real=True) lhs =…

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия

      Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin 

x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
В случае, когда ,
уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

Уравнение:

sin x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

>

Уравнение:

sin x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

sin x = 1

Решение:

Решение уравнения   cos 

x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
В случае, когда ,
уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

Уравнение:

cos x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

cos x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

cos x = 1

Решение:

Решение уравнения   tg 

x = a

Обычная форма
записи решения:
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

      Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Решение уравнения   ctg 

x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = 0

Решение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов и пр.

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам. Также универсальный калькулятор умеет решать уравнения, неравенства, системы уравнений/неравенств и выражения с логарифмами, вычислять пределы функций, определенные/неопределенные интегралы и производные любого порядка (дифференцирование), производить действия с комплексными числами, калькулятор дробей и пр.

Пояснения к калькулятору

  1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
  2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
  3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
  4. C — очистить поле ввода.
  5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
  6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. 2}(решить неравенство)

    Решение систем уравнений и неравенств

    Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

    Вычисление выражений с логарифмами

    В калькуляторе кнопкой loge(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: loge(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

    $$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)

    Вычисление пределов функций

    Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.

    Решение интегралов

    Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
    ∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
    ba∫ f(x) — для определенного интеграла.

    В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

    Вычисление производных

    Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
    f'(x) — производная первого порядка;
    f»(x) — производная второго порядка;
    f»'(x) — производная третьего порядка.
    fn(x) — производная любого n-о порядка.

    Действия над комплексными числами

    Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр. ). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

    .


    Решение уравнений с модулем

    Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

    Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

    Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

    Число -5  имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

    Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

    Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

    Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

    Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

    Правило раскрытия модуля выглядит так:

    |f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

    |f(x)|= — f(x), если f(x) < 0

    Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

    Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

    Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

    Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

    А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

    Рассмотрим простой пример.

    Решим уравнение:

    |x-3|=-x2+4x-3

    1.  Раскроем модуль.

    |x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

    |x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

    2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

    Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

    А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

    x-3=-x2+4x-3

    Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

    Раскроем скобки, приведем подобные члены:

    x2 -3х=0

    и решим это уравнение.

    Это уравнение имеет корни:

    х1=0, х2=3

    Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.

    Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

    3-x=-x2+4x-3

    Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

    Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

    x2-5х+6=0

    х1=2, х2=3

    Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.

    Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень  х=2.

    Ответ:  х=3, х=2

     

    Решение уравнений четвертой степени

    Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

    Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

    Решение двучленного уравнения четвертой степени

    Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

    Определение 1

    Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

    Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

    Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

    Пример 1

    Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

    Решение

    Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

    4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

    Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

    Первого:

    2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

    Второго:

    2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

    Мы получили четыре комплексных корня.

    Ответ: x=12±i и x=-12±i.

    Решение возвратного уравнения четвертой степени

    Определение 2

    Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

    х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

    Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

    Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

    Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

    Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

    Пример 2

    Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

    Решение

    Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

    2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

    Проведем группировку:

    2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

    Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

    2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

    Решим полученное квадратное уравнение:

    D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

    Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

    Решим первое уравнение:

    x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

    Решим второе уравнение:

    x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

    Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

    Решение биквадратного уравнения

    Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

    Пример 3

    Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

    Решение

    Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

    2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

    Следовательно, x2=12 или x2=-3.

    Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

    Ответ: x=±12 и x=±i·3.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание

    Пример 4

    Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

    Решение

    Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

    16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

    Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

    Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

    Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

    Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

    Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

    Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

    Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

    Пример 5

    Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

    Решение

    Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

    Составим и решим кубическое уравнение:
    y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

    Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

    Запишем два квадратных уравнения:
    x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

    x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

    x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

    Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

    Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

    Решение квадратных уравнений: выбор метода

    Purplemath

    Когда вы решаете квадратные уравнения в своем домашнем задании, вы часто можете получить «подсказку» относительно лучшего метода, основанного на теме и заголовке раздела. Например, если вы работаете над домашним заданием в разделе «Решение с помощью факторинга», то вы знаете, что должны решать с помощью факторинга.Но в обзоре главы и на тесте вы не знаете, из какого раздела вашего учебника была взята та или иная квадратичная диаграмма. Какой метод лучше использовать?

    Вы можете использовать квадратичную формулу для всего, но формула может занять много времени.

    Например:

    MathHelp.com

    • Решить (

      x + 1) ( x — 3) = 0.

    Чтобы решить это квадратное уравнение, я мог бы перемножить выражение в левой части, упростить поиск коэффициентов, вставить эти значения коэффициентов в квадратную формулу и перейти к ответу.

    Но зачем мне это? Я имею в виду, ради всего святого, это факторинг, и они уже учли его и установили для меня равным нулю. Хотя квадратичная формула определенно дала бы мне правильный ответ, зачем с ней возиться?

    Вместо этого я сразу решу два фактора, которые они мне дали:

    ( x + 1) ( x — 3) = 0

    x + 1 = 0, x — 3 = 0

    x = –1, x = 3

    Это было быстро! И мой ответ:


    Кстати, строгого порядка решений нет. Да, я обычно размещаю свои решения в числовом порядке, поэтому в приведенном выше случае отрицательный ответ предшествовал положительному. Но, если ваш инструктор ничего не сказал (и я был бы удивлен, если бы это было так), приведенный выше ответ был бы столь же правильным, если бы он был написан как « x = 3, –1».


    Квадратичное выражение в левой части знака «равно» не учитывается.

    (Как я очень быстро это узнал? Чтобы факторизовать, должны быть целые множители ac = (1) (- 4) = –4, что в сумме дает b = 1.Я вижу, что их нет.)

    Эта квадратичная не была предоставлена ​​мне в «(переменная часть) 2 равно (некоторое число)», поэтому решение путем извлечения квадратных корней невозможно.

    Я мог бы решить это уравнение, заполнив квадрат, но это утомительно и чревато ошибками. Я мог бы попытаться решить, построив график, но лучшее, что я смогу сделать, это получить десятичное приближение из моего «программного обеспечения» (то есть моего графического калькулятора).

    Чтобы получить точный и быстрый ответ, я воспользуюсь квадратичной формулой:

    Поскольку в инструкциях ничего не упоминается о десятичных приближениях, я оставлю свой ответ в форме квадратного корня:


    • Решить

      x 2 — 3 x — 4 = 0.

    Это уравнение не настроено для меня как готовое к извлечению квадратного корня, и я никогда не воспользуюсь завершением квадрата, если мне не скажут об этом специально. Однако, прежде чем применять квадратичную формулу, я сначала быстро проверю, можно ли факторизовать выражение в левой части этого уравнения.

    Существуют ли целые множители ac = (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –3? Да: –4 и +1. Таким образом, эта квадратичная величина факторизуема, и я уже нашел числа, которые можно использовать для ее разложения (поскольку ведущий коэффициент равен 1):

    x 2 — 3 x — 4 = 0

    ( x + 1) ( x — 4) = 0

    x + 1 = 0, x — 4 = 0

    x = –1, x = 4

    И я закончил, просто так быстро.Мой ответ:


    Квадратичное выражение в левой части этого уравнения состоит всего из двух членов, и ни один из них не вычитается, поэтому я не буду использовать простые методы разложения на множители. Но я замечаю, что это разница квадратов, и я знаю, что могу множить разницу квадратов.

    x 2 — 4 = 0

    ( x + 2) ( x — 2) = 0

    x + 2 = 0, x — 2 = 0

    x = –2, x = 2

    Тогда мой ответ:


    Примечание: я мог бы переместить 4 в правую часть уравнения, а затем извлечь квадратный корень из любой стороны x 2 = 4. Этот метод дал бы мне тот же ответ, что и приведенный выше факторинг. Если не указано иное, вы должны использовать тот метод, который вам больше нравится.


    • Решить 6

      x 2 + 11 x — 35 = 0.

    Ик.

    Квадратичное выражение в левой части этого уравнения может разложить на множитель , но похоже, что поиск факторизации, если таковая имеется, будет неприятным объемом работы.Сейчас я чувствую себя немного бездумным и ленивым, поэтому я воспользуюсь квадратичной формулой. Во время работы мне нужно не забывать ставить ± перед корнем и ставить черту дроби под всем числителем, так как это целая часть « b 2 ± (квадратный корень)»:

    Значения решения — дроби без радикалов, что означает, что квадратичный мог быть разложен на множители. Но теперь у меня есть ответ, поэтому меня больше не волнует факторизация.


    Это квадратное выражение состоит из двух членов и ничего не вычитает, так что либо это разница в квадратах (которую я могу разложить на множители), либо ее можно отформатировать как «(переменная часть) 2 равно (число)», чтобы я мог квадратный корень с обеих сторон. Поскольку 48 не является квадратом, я не могу применить формулу разности квадратов. Вместо этого мне придется извлекать квадратный корень из обеих сторон:

    Итак, мой точный ответ:


    Примечание: если вам специально не сказано предоставить десятичное приближение для решений, которые включают радикалы, вы должны предположить, что они хотят, чтобы вы дали «точную» форму ответа; то есть они хотят видеть эти квадратные корни.


    В этом квадратичном выражении есть два члена, которые легко множить:

    x 2 — 7 x = 0

    x ( x -7) = 0

    x = 0, x — 7 = 0

    x = 0, x = 7

    Мой ответ:


    • Найдите решения квадратичного уравнения, представленного в таблице ниже:

    x -значение

    –1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y -значение

    16

    9

    4

    1

    0

    1

    4

    9

    Прежде чем я паникую, я думаю об одном методе «решения», который не включает в себя фактическое квадратное уравнение: решение с помощью построения графиков.

    Когда они хотят, чтобы я решил квадратное уравнение с помощью построения графиков, они на самом деле просят меня найти точки пересечения x соответствующей квадратичной функции . И под словом «найти» они подразумевают «с красивой картинки». Но дело в том, что они хотят, чтобы я отметил связь между ними и предоставил затем значения x , когда y = 0.

    Я могу сделать это по картинке или по Т-образной диаграмме значений.В данном случае вместо графика мне дали таблицу. Есть две точки, у которых одна из координат равна нулю; а именно (0, 9) и (3, 0). Что из этого я хочу? Тот, у которого y = 0, это вторая из двух точек. И мое решение — соответствующее значение x .

    Скорее всего, вы не увидите много, а может быть, и каких-либо других упражнений этого последнего типа.

    Кстати, если вам интересно, почему было только одно решение этой квадратичной, это потому, что (предполагаемое и лежащее в основе) уравнение было ( x — 3) 2 = 0. Итак, одно решение было «повторено».


    При решении квадратных уравнений в целом сначала перенесите все на одну сторону от знака «равно» (что уже было сделано в приведенных выше примерах). Затем сначала проверьте, есть ли очевидное факторинг или очевидное извлечение квадратного корня, которое вы можете сделать. Если нет, то обычно лучше прибегать к квадратичной формуле. Но не используйте квадратичную формулу для всего; хотя он всегда даст вам ответ — в конечном итоге — это не всегда самый быстрый метод.А скорость может иметь большое значение в ходе тестов по времени.


    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad6.htm

    Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2

    Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2 — Квадратные уравнения

    2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson

    Уравнения III

    Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени


    Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение
    показано здесь?

    x 3 — x 2 4x + 4 = 0

    Существует чрезвычайно сложная формула решения
    кубические уравнения. Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут
    использоваться для решения кубических уравнений.

    Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью
    факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a,
    b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:

    x 3 — x 2 4x + 4 = (x
    — а) (х — б) (х — в) = 0

    Умножая скобки, видим, что константа
    член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.

    abc = 4

    Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому
    не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.

    У нас есть только следующие возможности:

    1, 2 и 4

    Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них
    являются решениями уравнения.

    f (1) = 1 3 — 1 2 4 × 1 +
    4 = 0 1 — решение

    f (-1) = (-1) 3 — (-1) 2
    4 × (-1) + 4 = 6

    f (2) = 2 3 — 2 2 4 × 2 +
    4 = 0 2 — решение

    f (−2) = (−2) 3 — (−2) 2
    4 × (−2) + 4 = 0 −2 — решение

    Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно
    попробуйте 4 и −4 как кубический
    уравнение имеет максимум три решения.

    Эти три числа дают нам значения a, b и c и
    мы можем факторизовать уравнение.

    x 3 — x 2 4x + 4 = (x
    — 1) (х — 2) (х + 2) = 0

    Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями
    (можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти
    целые числа являются решениями уравнения.
    К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются
    все целые числа.
    Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда
    Теорема остатка, мы знаем, что (x — a) является фактором уравнения. Мы
    можно найти другой множитель, квадратичный множитель, путем деления. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя
    формула решения квадратичных.

    Пример 1

    Решите уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0

    Ставим числа, кратные 4
    в уравнение, чтобы проверить, верны ли какие-либо из них.

    f (1) = 1 3 — 3 × 1 2
    2 × 1 + 4 = 0 1 — решение

    f (−1) = (−1) 3 — 3 × (−1) 2
    2 × (-1) + 4 = 2

    f (2) = 2 3 — 3 × 2 2
    2 × 2 + 4 = −4

    f (−2) = (−2) 3 — 3 × (−2) 2
    2 × (−2) + 4 = −12

    f (4) = 4 3 — 3 × 4 2
    2 × 4 + 4 = 12

    f (−4) = (−4) 3 — 3 × (−4) 2
    2 × (−4) + 4 = −100

    Единственное целочисленное решение — x = 1.Когда мы
    нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что
    теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x — 1) и попытавшись решить
    квадратичный получаем из деления.

    Теперь мы можем разложить наши
    выражение следующим образом:

    x 3 — 3x 2 2x + 4 =
    (х — 1) (х 2
    2х — 4) = 0

    Теперь нам остается решить квадратичную
    уравнение.

    x 2 — 2x — 4 = 0

    Воспользуемся формулой квадратичных с a = 1, b =
    −2 и c = −4.

    Мы нашли все три решения
    уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 =
    0. Это: эфтирфаранди:

    .

    х = 1

    х = 1 + 5

    x = 1- 5

    Пример 2

    Мы можем легко использовать тот же метод для решения
    уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени.Решите уравнение f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 = 0.

    Сначала мы находим целые множители
    постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1
    и 2.

    f (1) = 1 4 — 1 3 — 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0
    1 — раствор

    f (−1) = (−1) 4 — (−1) 3 — 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4

    f (2) = 2 4 — 2 3 — 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4

    f (−2) = (−2) 4 — (−2) 3 — 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли второй
    решение.

    Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x —
    1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
    Сначала разделим на x + 2

    Теперь разделите полученное
    кубический коэффициент по x — 1.

    Теперь мы разложили
    f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 на
    f (x) = (x + 2) (x — 1) (x 2 — 2x — 1) и только
    Осталось решить квадратное уравнение

    x 2 — 2x — 1 = 0.Мы используем
    формула с a = 1, b = −2 и c = −1.

    Всего мы нашли четыре решения.
    Их:

    х = 1

    х = -2

    х = 1 +

    х = 1-

    Иногда мы можем решить
    уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель
    что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.

    Пример 3.

    Решите уравнение x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0

    x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0

    (x 3 — 2x 2 )
    — (4x — 8) = 0

    [x 2 (x — 2) — 4 (x — 2)] = 0

    (x — 2) [x 2 — 4] = 0

    (х — 2) (х
    — 2) (х + 2) = 0

    Здесь скобка (x — 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы
    общая скобка.

    Обратите внимание, что скоба (x
    — 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 — это
    поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:

    х = 2 и х = -2 .

    Лауснир: x = 2 или x = −2 .

    Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются
    уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.

    Как мы
    иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент — какое-то другое число?

    Общая форма — f (x)
    = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d — целые числа.

    Мы можем искать целочисленные решения в том же
    как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем
    целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.

    Если ни один из факторов d не дает нам решения
    затем мы ищем решения, которые являются дробями.
    Предположим, есть дробное решение, и назовем его
    решение x = t / n.

    Это означает, что x — t / n является фактором
    f (x), или, если мы умножаем на n, то xn — t является множителем.

    Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn.
    — t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
    Ax 2 + Bx + C.

    Теперь у нас есть результат

    ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn
    — t) (Ax 2 + Bx + C)

    сравнивая коэффициенты х 3 на
    обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем
    а.
    Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что
    d = −tC и, следовательно, t является множителем d.

    Мы заключаем, что любая дробь является решением
    кубическое уравнение ax 3 +
    bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t — множитель числа d, а n —
    фактор числа a.

    Обобщение для функции степени n:

    ф (х)
    = a n x n + a n − 1 x n − 1 +
    × × × × + а 1 х
    + 0

    с коэффициентами a 0 ,
    a 1 , a 2 , × × × × × a n − 2 ,
    n − 1 и n .

    Если эта функция имеет рациональное решение,
    скажем, t / n, тогда t — коэффициент 0 , а n — коэффициент n .

    Пример 4

    Решите уравнение f (x) = 2x 3 — 7x 2 + 4x + 3 = 0.

    Возможные целые корни f (x) — это
    делители 3, они равны 1
    и 3.
    Дроби, которые могут быть корнями, — это эти четыре числа, разделенные на множители
    2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам необходимо рассмотреть: , 1, 3 / 2 и 3.

    Сразу видно, что нам не нужно
    рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не
    0.

    Теперь попробуем другие возможности

    f () = 2 () 3 — 7 () 2 + 4 × + 3 = 3

    f (1) = 2 × 1 3 — 7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2

    ф ( 3 / 2 )
    = 2 ( 3 / 2 ) 3 — 7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.

    x = 3 / 2 — это решение, поэтому (x — 3 / 2 ) является множителем.
    Разделить на (x — 3 / 2 ) может быть сложно. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x — 3). Если (x
    3 / 2 ) является
    фактор

    , то (2x — 3).

    Теперь нам нужно решить уравнение x 2 — 2x — 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2.
    Решения: 1 + 2 og 1 — 2.

    Итак, мы нашли три решения. Их:

    х = 3 / 2 = 1

    х = 1 + 2

    х = 1 — 2


    Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.

    Не забудьте использовать контрольный список для
    следите за своей работой.

    Решение рациональных неравенств

    Рациональный

    Рациональное выражение выглядит так:

    Неравенства

    Иногда нам нужно решить такие рациональные неравенства:

    Символ

    слов

    Пример

    >

    больше

    (х + 1) / (3-х)> 2

    <

    менее

    х / (х + 7) <−3

    больше или равно

    (x − 1) / (5 − x) ≥ 0

    меньше или равно

    (3−2x) / (x − 1) ≤ 2

    Решение

    Решение неравенств очень похоже на решение уравнений. .. вы делаете почти то же самое.

    Когда мы решаем неравенство
    , мы пытаемся найти интервал (интервалы) ,
    , например, отмеченные «<0» или «> 0»

    Вот шаги:

    • найти «достопримечательности»:
      • точки «= 0» (корни) и
      • «вертикальные асимптоты» (где функция не определена)
    • между «точками интереса», функция либо больше нуля (> 0), либо меньше нуля (<0)
    • затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (> 0 или <0)

    Вот пример:

    Пример:

    3x − 10 x − 4 > 2

    Первый , давайте упростим!

    Но вы не можете умножить на (x − 4)

    Потому что «x − 4» может быть положительным или отрицательным. … мы не знаем, следует ли нам менять направление неравенства или нет. Все это объясняется в разделе «Устранение неравенств».

    Вместо этого переместите «2» влево:

    3x − 10 x − 4 -2> 0

    Затем умножьте 2 на (x − 4) / (x − 4):

    3x − 10 x − 4 -2 x − 4 x − 4 > 0

    Теперь у нас есть общий знаменатель, давайте все вместе:

    3x − 10-2 (x − 4) x − 4 > 0

    Упростить:

    x − 2 x − 4 > 0

    Второй , давайте найдем «достопримечательности».

    При x = 2 имеем: (0) / (x − 4)> 0, что является точкой «= 0», или корень

    При x = 4 имеем: (x − 2) / (0)> 0, что равно undefined

    Третий , сделайте контрольные точки, чтобы увидеть, что он делает между ними:

    При x = 0:

    • x − 2 = −2, что составляет отрицательное значение
    • x − 4 = −4, что также является отрицательным
    • Итак, (x − 2) / (x − 4) должно быть положительным

    Мы можем сделать то же самое для x = 3 и x = 5 и получить следующие результаты:

    х = 0 х = 2 х = 3 х = 4 х = 5
    х − 2 <0 х − 2> 0 х − 2> 0
    х − 4 <0 х − 4 <0 х − 4> 0
    (x − 2) / (x − 4) равно > 0 0 <0 undefined > 0

    Это дает нам полную картину!

    А где это> 0?

    Итак, наш результат:

    (−∞, 2) U (4, + ∞)

    Все это мы сделали без рисования сюжета!

    Но вот график (x − 2) / (x − 4), поэтому вы можете видеть:

    Решение кубических уравнений — методы и примеры

    Решение полиномиальных уравнений высшего порядка — важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику. Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

    В этой статье будет обсуждаться, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и разложение на множители по группировке.

    Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

    Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

    Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены. Примеры полиномов: 3x + 1, x 2 + 5xy — ax — 2ay, 6x 2 + 3x + 2x + 1 и т. Д.

    Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.
    Общий вид кубической функции: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx 1 + d.Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — постоянная.

    Как решать кубические уравнения?

    Традиционный способ решения кубического уравнения состоит в том, чтобы свести его к квадратному уравнению, а затем решить его либо факторизацией, либо квадратной формулой.

    Как квадратное уравнение имеет два действительных корня , так и кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

    Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

    Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или какое-либо уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

    Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x 2 + x — 3 = 2 / x, вы перегруппируете его в стандартную форму и запишете это как, 3x 3 + x 2 — 3x — 2 = 0. Тогда вы можете решить это любым подходящим методом.

    Давайте рассмотрим несколько примеров ниже для лучшего понимания:

    Пример 1

    Определите корни кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 — 11x — 6 = 0

    Решение

    Так как d = 6, то возможными множителями являются 1, 2, 3 и 6.

    Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

    f (1) = 2 + 3 — 11 — 6 ≠ 0
    f (–1) = –2 + 3 + 11 — 6 ≠ 0
    f (2) = 16 + 12 — 22 — 6 = 0

    Следовательно, x = 2 — первый корень.

    Мы можем получить другие корни уравнения, используя метод синтетического деления.
    = (x — 2) (ax 2 + bx + c)
    = (x — 2) (2x 2 + bx + 3)
    = (x — 2) (2x 2 + 7x + 3 )
    = (x — 2) (2x + 1) (x +3)

    Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

    Пример 2

    Найдите корни кубического уравнения x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0

    Решение

    x 3 — 6x 2 + 11x — 6

    (x — 1) — один из факторов.

    Разделив x 3 — 6x 2 + 11x — 6 на (x — 1),

    ⟹ (x — 1) (x 2 — 5x + 6) = 0

    ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

    Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

    Пример 3

    Решить x 3 — 2x 2 — x + 2

    Решение

    Факторизуйте уравнение.

    x 3 — 2x 2 — x + 2 = x 2 (x — 2) — (x — 2)

    = (x 2 — 1) (x — 2)

    = (x + 1) (x — 1) (x — 2)

    x = 1, -1 и 2.

    Пример 4

    Решите кубическое уравнение x 3 — 23x 2 + 142x — 120

    Решение

    Сначала разложите многочлен на множители.

    x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = (x — 1) (x 2 — 22x + 120)

    Но x 2 — 22x + 120 = x 2 — 12x — 10x + 120

    = x (x — 12) — 10 (x — 12)
    = (x — 12) (x — 10)

    Следовательно, x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = ( x — 1) (x — 10) (x — 12)

    Приравняйте каждый множитель к нулю.

    x — 1 = 0

    x = 1

    x — 10 = 10

    x — 12 = 0

    x = 12

    Корни уравнения — x = 1, 10 и 12.

    Пример 5

    Решите кубическое уравнение x 3 — 6 x 2 + 11x — 6 = 0.

    Решение

    Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмите любой множитель постоянная 6;

    let x = 2

    Разделите многочлен на x-2 до

    (x 2 — 4x + 3) = 0.

    Теперь решите квадратное уравнение (x 2 — 4x + 3) = 0 чтобы получить x = 1 или x = 3

    Следовательно, решения следующие: x = 2, x = 1 и x = 3.

    Пример 6

    Решите кубическое уравнение x 3 — 7x 2 + 4x + 12 = 0

    Решение

    Пусть f (x) = x 3 — 7x 2 + 4x + 12

    Поскольку d = 12, возможные значения — 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

    Методом проб и ошибок мы находим, что f (–1) = –1 — 7 — 4 + 12 = 0

    Итак, (x + 1) является множителем функции.

    x 3 — 7x 2 + 4x + 12
    = (x + 1) (x 2 — 8x + 12)
    = (x + 1) (x — 2) (x — 6)

    Следовательно, x = –1, 2, 6

    Пример 7

    Решите следующее кубическое уравнение:

    x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.

    Решение

    x 3 + 3x 2 + x + 3
    = (x 3 + 3x 2 ) + (x + 3)
    = x 2 (x + 3) + 1 (x + 3)
    = (x + 3) (x 2 + 1)

    Следовательно, x = -1, 1-3.

    Пример 8

    Решить x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0

    Решение

    Разложить на множители

    x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

    Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

    x = 1, x = 2 и x = 3

    Пример 9

    Решить x 3 — 4x 2 — 9x + 36 = 0

    Решение

    Разложить каждый набор два срока.

    x 2 (x — 4) — 9 (x — 4) = 0

    Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить

    (x 2 — 9) (x — 4) = 0

    Теперь разность двух квадратов разложите на множители

    (x + 3) (x — 3) (x — 4) = 0

    Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

    x = −3, 3 или 4

    Пример 10

    Решите уравнение 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 = 0

    Решение

    Divide 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 на x -2, чтобы получить 3x 2 — 1x — 9x + 3

    = x (3x — 1) — 3 (3x — 1)

    = (x — 3) ( 3x — 1)

    Следовательно, 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 = (x- 2) (x — 3) (3x — 1)

    Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить,

    x = 2, 3 и 1/3

    Пример 11

    Найдите корни 3x 3 — 3x 2 — 90x = 0

    Решение

    разложите на множители 3x

    3x 3 — 3x 2 — 90x ⟹3x (x 2 — x — 30)

    Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

    ⟹- 6 * 5 = -30

    ⟹ −6 + 5 = -1

    Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

    ⟹ 3x [(x 2 — 6x) + (5x — 30)]

    Разложите уравнение на множители;

    ⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

    = 3x (x — 6) (x + 5)

    Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:

    x = 0, 6, -5

    Решение кубических уравнений с помощью графического метода

    Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графическим способом.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

    Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

    Пример 12

    Найдите корни x 3 + 5x 2 + 2x — 8 = 0 графически.

    Решение

    Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

    f (x) = x 3 + 5x 2 + 2x — 8

    . График отсекает ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 реальных решения.

    На графике решения следующие:

    x = 1, x = -2 & x = -4.

    Практические вопросы

    Решите следующие кубические уравнения:

    1. x 3 — 4x 2 — 6x + 5 = 0
    2. 2x 3 — 3x 2 — 4x — 35 = 0
    3. x 3 — 3x 2 — x + 1 = 0
    4. x 3 + 3x 2 — 6x — 8 = 0
    5. x 3 + 4x 2 + 7x + 6 = 0
    6. 2x 3 + 9x 2 + 3x — 4 = 0
    7. x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = 0
    8. x 3 — 6x 2 — 6x — 7 = 0
    9. x 3 — 7x — 6 = 0
    10. x 3 — 5x 2 — 2x + 24 = 0
    11. 2x 3 + 3x 2 + 8x + 12 = 0
    12. 5x 3 — 2x 2 + 5x — 2 = 0
    13. 4x 3 + x 2 — 4x — 1 = 0
    14. 5x 3 — 2x 2 + 5x — 2 = 0
    15. 4x 3 900 64 — 3x 2 + 20x — 15 = 0
    16. 3x 3 + 2x 2 — 12x — 8 = 0
    17. x 3 + 8 = 0
    18. 2x 3 — x 2 + 2x — 1 = 0
    19. 3x 3 — 6x 2 + 2x — 4 = 0
    20. 3x 3 + 5x 2 — 3x — 5 = 0

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Решение рациональных уравнений — ChiliMath

    Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название дроби . Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя). Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

    В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!


    Примеры решения рациональных уравнений

    Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага. Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.

    • ЖК-дисплей 6x.Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
    • У вас должно получиться примерно такое после раздачи жк.
    • Я решил оставить переменную x справа. Итак, удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
    • Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
    • Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.

    Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.


    Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

    Ну вот.

    Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

    Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • ЖК-дисплей 9x.Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
    • Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
    • Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
    • Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас в том, что оно работает.

    Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).

    • ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
    • Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.

    Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).

    • Объедините константы в левой части уравнения.
    • Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.
    • Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

    Это должно сработать, так что да, окончательный ответ — x = 2.


    Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и по мере продвижения они будут иметь больше смысла.

    Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

    Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • ЖК-дисплей — 4 \ left ({x + 2} \ right).Умножьте на него каждую часть уравнения.
    • После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.

    Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

    Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

    • Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.
    • На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
    • Сохранение x слева означает вычитание обеих сторон на 4.
    • Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

    Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

    Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.

    • ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
    • Как должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.

    Укажите константу в круглых скобках.

    • Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
    • Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
    • Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?

      Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.

      Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.

      Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

      • Прежде чем я распределю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.

      Это помогает в отмене общих условий позже.

      • Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
      • Ух ты! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
      • Избавьтесь от скобок возле свойства распределения.

      У вас должно получиться очень простое уравнение.


      Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.

      • ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
      • В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.

      Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?

      • Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.
      • Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
      • Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
      • Переместите все константы вправо.
      • Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

      Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

      Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений

      Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей

      • Выносим за скобки знаменатели.
      • Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.

      Будьте осторожны со своими отменами.

      • У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
      • На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.

      С каждым шагом это становится все проще!

      Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.

      • Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
      • Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
      • Переместите все чистые числа вправо.
      • Вычтем обе стороны на 15.
      • Простое одношаговое уравнение.
      • Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте вернуть значение в исходное уравнение для проверки.

      Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.

      Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.

      Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖК-дисплей.

      • Полностью вынести за скобки знаменатели
      • Распределите найденный выше ЖК-дисплей по данному рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.
      • Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.

      Умножьте константы в скобки.

      • Сохраните переменную слева, вычтя x с обеих сторон.
      • Держите константы справа.
      • Складываем обе части на 8, чтобы найти x. Сделанный!

      Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степеней уникальных терминов. Затем умножьте выражения с наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

      Итак, у нас есть

      • Выносим полностью знаменатели за скобки.
      • Разделите найденный выше ЖК-дисплей на рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
      • Укажите константу в круглых скобках.
      • Критический этап : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю.2} — 5x + 4 = \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x — 4} \ right). Вы можете проверить это методом FOIL.
      • Используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти x.

      Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.

      Опять же, всегда проверяйте решенные ответы обратно на исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.


      Практика с рабочими листами


      Возможно, вас заинтересует:

      Сложение и вычитание рациональных выражений

      Умножение рациональных выражений

      Решение рациональных неравенств

      Использование FOIL — Бесплатная справка по математике

      Вы уже знаете, как упростить выражение типа \ (7 (4x + 3) \), верно? Просто используйте
      распределительное свойство умножить 7 на 4x , а затем 7 на 3 . 2 + 14x + 12 \).2-13х + 20) \).

      Освоить метод FOIL несложно, если вспомнить, что он означает. Просто повторите сначала, снаружи, внутри, в последнюю очередь, и вы это запомните. Помимо этого, нужно просто умножить каждый из этих шагов и сложить все вместе. Даже если числа действительно уродливые, с дробями и отрицательными знаками, просто следуйте инструкциям, и метод будет работать.

      Если у вас есть дополнительные вопросы о FOIL, как всегда, не стесняйтесь обращаться за помощью на доску справочных сообщений по математике или воспользуйтесь калькулятором FOIL ниже.

      Калькулятор фольги

      Решатель уравнений — Решите для x Калькулятор

      Поиск инструмента

      Решатель уравнений

      Инструмент / решатель для решения одного или нескольких уравнений. Уравнение — это математическое выражение, представленное как равенство между двумя элементами с неизвестными переменными.

      Результаты

      Решатель уравнений — dCode

      Тег (и): символическое вычисление

      Поделиться

      dCode и другие

      dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
      Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

      Калькулятор для решения уравнений

      Решите дифференциальное уравнение

      Решите логическое уравнение

      Ответы на вопросы (FAQ)

      Как решить уравнение?

      Калькулятор

      dCode может решать уравнения (а также неравенства или другие математические вычисления) и находить неизвестные переменные. Уравнения должны содержать символ сравнения, например, равно, т.е. = (или или>).

      Пример: $ 2x = 1 $ возврат для решения $ x = 1/2 $

      dCode по умолчанию возвращает точные решения (целые числа, дроби и т. Д.) (Для линейных и нелинейных систем уравнения и ), если уравнение содержит числа запятые, то dCode вернет решение с десятичными числами.

      Пример: $ 2x = 1,0 $ возврат для решения $ x = 0.2 + 1 = 3 && 3x-1 = 2 дает x = 1

      Как решить несколько уравнений с несколькими переменными?

      Чтобы решить систему уравнений , уравнения должны быть разделены с помощью && или ⋀. Переменные должны быть перечислены и разделены в поле ввода переменных.

      Как проверить равенство?

      Используйте специальный инструмент, чтобы проверить равенство, или введите уравнение и нажмите «Решить», решатель ответит «истина», если равенство проверяется независимо от переменной (существует бесконечное количество возможных решений для переменной).2-2 = 0 \ \ & \ & \ x> 0 $, если , уравнение верно только для строго положительных чисел $ x> 0 $.

      Как пошагово решить уравнение?

      Шаги вычислений решателя не показаны, потому что они не соответствуют шагам, которые сделал бы человек. Операции, выполняемые решателем, представляют собой двоичные вычисления, бит за битом сильно отличающиеся от тех, которые выполняются вручную математиком.

      Задайте новый вопрос

      Исходный код

      dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель уравнений».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Equation Solver» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Equation Solver» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести) написана на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) и без загрузки данных, скрипт , копипаст или доступ к API для «Решателя уравнений» будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

      Нужна помощь?

      Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
      NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

      Вопросы / комментарии

      Сводка

      Похожие страницы

      Поддержка

      Форум / Справка

      Ключевые слова

      уравнение, равенство, равное, неизвестное, переменная, x, число, калькулятор, линейный, система

      Ссылки

      Источник: https: // www.dcode.fr/equation-solver

      © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.