Решить уравнение тригонометрическое: Калькулятор онлайн — Решение тригонометрических уравнений

Содержание

Тригонометрические уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ:

3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

Решим уравнение:

Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:

Ответ:

4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
Здесь используем формулу понижения степени:
(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
угла). Получаем:
и дальше ясно.

5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
Переносим косинус влево и применяем формулу приведения
Дальше — дело техники.

6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
Цель достигнута.

Рассмотрим уравнение:
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
откуда

(3)

Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что  :

В левой части получили синус суммы:
,
откуда и

2. Другой пример:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
Делим обе части на :

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,
или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

4. Снова решим уравнение
Делим обе части на :
Существует угол такой, что . Например, . Получаем:
,
,
,
,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнение
Выражаем , используя универсальную подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем  и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
Следовательно, и .
Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3. Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Учёт тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:

Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,
,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: .

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение

Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:
,
,
,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить  через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
,
,
,

Как действовать дальше, мы знаем.

3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :
,
,

Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

Выделяем полный квадрат!
,
,
,
,
,
,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
Получим:
,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. {n}}\cdot 1+\pi n,~n\in Z\)

Так как \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)

Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?

А подвох вот в чем:

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}\approx \frac{3,14}{2}>1\)

А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше \( \displaystyle 1\) (или меньше \( \displaystyle -1\)), то такое уравнение решений не имеет в принципе!!

Второе рассуждение тем более ересь: \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)\) надо понимать как угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\).

А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\)?!

Не нашёл? То-то же!

В общем, из того, что \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\) никак не следует, что и \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)!!

Из этого только следует, что \( \displaystyle \arcsin 1=\frac{\pi }{2}\)!

4. {n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)

5. \( \displaystyle cos\left( x \right)=1\)

И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)

\( \displaystyle x=\pm arccos1+2\pi n,~n\in Z\)

Чему равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle 1\)?

Этот угол равен\( \displaystyle 0\)!

\( \displaystyle x=\pm 0+2\pi n,~n\in Z\)

Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.

\( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

Ответ: \( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)

6. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

По определению:

\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!

Теперь арккосинус.

Не во всех таблицах есть значение \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\), но во всех есть \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!

А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Единица деленная на корень из двух равно корень из двух деленное на два!

Я не зря выделил это замечание жирным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасёт тебя в очень многих случаях!!

Итак, чему же равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)(или одно и то же \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\))?

Верно, это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).

Тогда:

\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\)

\( \displaystyle x=\pm \left( \frac{4\pi }{4}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)

Ответ: \( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)

7. \( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)

\( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)

Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}<1\)

Тогда по определению:

\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Но из этого никак не следует, что \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!!!!

Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!

Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)?!

Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ: \( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

8. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)

Всё просто: \( \displaystyle -\sqrt{2}<-1\)

… и решений данное уравнение не имеет.

9. \( \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)

Запишем по определению:

\( \displaystyle x=arctg\sqrt{2}+\pi n,~n\in Z\)

\( \displaystyle arctg\sqrt{2}\) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.

Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

10. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)

Снова по определению:

\( \displaystyle x=arсctg\left( -\sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)

Без проблем выносим минус из арккотангенса:

\( \displaystyle x=\pi-arcctg\left( \sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)

Вычисляем: котангенс какого угла равен \( \displaystyle \sqrt{3}\)?

Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\).

Ответ: \( \displaystyle x=\pi-\frac{\pi }{6}+\pi n = \frac{5\pi}{6}+\pi n,~n\in Z\).

11. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=1\)

По формуле: \( \displaystyle x=arcctg1+\pi n,~n\in Z\).

Котангенс какого угла равен \( \displaystyle 1\)?

Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).

Ответ: \( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n,~n\in Z\).

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки.

Решение тригонометрических уравнений | Математика, которая мне нравится

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение при решений не имеет,

при имеет решения ,

при  имеет решения ,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение при решений не имеет,

при имеет решения ,

при  имеет решения >,

при имеет решения ,

при всех остальных имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Уравнение имеет решения .

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. заменяем на , — на .

Пример 1.

   

   

Пример 2.

   

2. заменяем на , — на , — на .

Пример 1.

   

1) 2) ,
В первом случае решений нет, во втором .

Пример 2.

   

   

Пример 3.

   

3. Однородные уравнения относительно .

   

Если , то деля обе части уравнения на или на , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и . Подставляя в уравнение, получаем, что и , а это невозможно.

Пример.

   

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на

Пример.

   

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

   

   

5. Использование формулы

Пример.

   

6. Замена .
Пример.

   

   

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

   

Пример 1.

   

Ответ. .

Пример 2.

   

   

,  решений нет,

   

Ответ. , .

Понижение степени

Использование формул

   

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

   

что невозможно.

Ответ. .
Пример 2.

   

Ответ. .
Пример 3.

   

Пусть

   

Подставляем во второе уравнение:

   

Ответ. .

Пример 4.

   

или

   

Если , то . Если , то .

   

Ответ. .

3.1.10. Тригонометрические уравнения






Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.



3.1.10.

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем




Значит, либо
то есть  
либо
то есть  
Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, 

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn,  либо x + arcsin a = 2(n + 1)π,  Оба эти равенства могут быть объединены в одно:




Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид


Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид


x = arctg a + πn, 

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид


x = arcctg a + πn, 

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.



Модель 3.5.
Простейшие тригонометрические уравнения


Пример 1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.


Пример 2

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.


Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn,

Ответ. x = arctg 2 + πn,


Пример 3

Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.

Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной
Уравнения 2-го порядка делением на
сводятся к квадратному относительно

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.


Пример 4

Решите уравнение arccos x = arctg x.





методика преподавания – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)


Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.


Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pα° и Pβ°, симметричных относительно оси абсцисс.


С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой Pα°:


α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.


В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Pβ° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:


β° ≈ –37° + 360°n, где — любое целое число.


Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.


Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.


Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).


Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pφ и Pπ–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKPφ катет KPφ равен половине гипотенузы OPφ, значит, 


Общий вид углов поворота с конечной точкой Pφ:



где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Pπ–φ:



где n — любое целое число.


Ответ:  где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)


Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.


Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.


Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках Pα° и Pβ° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол Pα° OP0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)


Ответ: –50° + 180°n, n ∈ Z.


По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,


Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.






α°


30°


45°


60°


φ рад

 


tg φ


1


ctg φ

   


1

   


Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень


Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Купить

3. Простейшие тригонометрические уравнения


Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.



tg φ = α,


φ = arctg α + πn, n ∊ Z,


т.е. arctg α — угол из промежутка  тангенс которого равен α,


tg (arctg α) = α.


      


ctg φ = α,


φ = arcctg α + πn, n ∊ Z,


0 < arcctg α < π,


т.е. arcctg α — угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен α,


ctg (arcctg α) = α.


При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения


Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ. Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:


1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;


2) название меняют только функции углов  и 












 α


φ + 2πn


– φ


π – φ


π + φ


sin α


sin φ


– sin φ


sin φ


– sin φ


cos α


cos φ


cos φ


– cos φ


– cos φ


tg α


tg φ


– tg φ


– tg φ


tg φ


ctg α


ctg φ


– ctg φ


– ctg φ


ctg φ


α

   

   

   

   


sin α


cos φ


cos φ


– cos φ


– cos φ


cos α


sin φ


– sin φ


– sin φ


sin φ


tg α


ctg φ


– ctg φ


ctg φ


– ctg φ


ctg α


tg φ


— tg φ


tg φ


– tg φ

5.

Свойства и график функции y = sin x


Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.


Что ещё почитать?

6. Свойства и график функции

y = cos x


Задачу построения графика функции y = cosможно свести к построению графика функции y = sin x. Действительно, поскольку  график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

7. Свойства и графики функций

y = tg x и y = ctg x


Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида  где n Z. Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке


В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой  уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента


Равенства  и  выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.


tg φ · ctg φ = 1


Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.


Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x2 + y2= 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.


Основное тригонометрическое тождество


cos2 φ + sin2 φ = 1

9.

Синус и косинус суммы и разности двух углов

Формула косинуса суммы


cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности


cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности


sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула синуса суммы


sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Формула тангенса суммы

Формула тангенса разности


Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Учебник


Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Купить

11. Тригонометрические функции двойного угла

Формула тангенса двойного угла


cos2α = 1 – 2sin2α cos2α = 2cos2α – 1


Пример задания. Решить уравнение


Решение.


Понизим степень еще раз:


Ответ:

12. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование

Основные формулы
Переход от суммы к произведению

Переход от произведения к сумме

13. Решение тригонометрических уравнений


В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам


Пример задания. Решить уравнение 2 cos2x + 3 sinx = 0


Решение. С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx:


2cos2x + 3sinx = 0, 2(1 – sin2x) + 3sinx = 0,


2 – 2sin2x + 3sinx = 0, 2sin2x – 3sinx – 2 = 0


Введем новую переменную y = sin x, тогда уравнение примет вид: 2y2 – 3y – 2 = 0.


Корни этого уравнения y1 = 2, y2 = –0,5.


Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:


1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x;


2) sin x = –0,5, 


Ответ:

Однородные тригонометрические уравнения


Пример задания. Решить уравнение 2sin2x – 3sinxcosx – 5cos2x = 0.


Решение. Рассмотрим два случая:


1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.


Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin2x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.


Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos2x и получить 2tg2x – 3tg– 5 = 0. Вводя новую переменную y = tg x, получаем квадратное уравнение 2y2 – 3y — 5 = 0.


Корни этого уравнения y1 = –1, y2 = 2,5.


Возвращаемся к переменной x.


tg x = 2,5,


x = arctg 2,5 + πn, n ∈ Z.


Ответ:


Уравнение, левая часть которого — многочлен, каждый член которого имеет вторую степень, а правая — нуль, называют однородным уравнением второй степени относительно переменных и v.


Обозначив в исходном уравнении sin x буквой u, а cos x буквой v, получим уравнение вида au2 + buv + cv2 = 0.


Делением на v2 такое уравнение сводится к квадратному относительно


Напоминаем, что апробировать учебник «Алгебра и начало математического анализа.  10 класс», как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением «5 учеников бесплатно».

#ADVERTISING_INSERT#


Задача на решение тригонометрического уравнения — «Шпаргалка ЕГЭ»

а) Решите уравнение:  .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . 

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно решать тригонометрическое уравнение, если оно представляет из себя алгебраическую дробь, т.е. имеет тригонометрическую функцию и в числителе и в знаменателе. Как и любое решение уравнения, представленного в виде дроби, начинаем с области определения функции. В данном случае это будет тригонометрическое уравнение с тангенсом. Числитель дроби представлен в виде тригонометрической функции с косинусом, а значит, решение данного уравнения будет содержать функцию арккосинус. Сами решения уравнения не представляют определенных сложностей, а вот определить, все ли корни являются решениями уравнения, оказывается не таким простым делом. Учитывая, что при определенных значениях косинуса и синуса (значение синуса можно получить по основной тригонометрической формуле: формула  – для решения необходимо выбрать только подходящие решения и определить для них конкретные условия – в данном случае приходится отбросить все корни со знаком минус. Тем самым мы получили ответ на пункт а) данного задания. Для решения пункта б) необходимо использовать решение пункта а) и получить возможные значения корней уравнения, входящие в заданный промежуток, при различных значениях неизвестной n, которая принимает всевозможные целые значения. Используя формулы приведения ответом на пункт б) был получен только один корень.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении тем «Тригонометрические функции» («Синус и косинус», «Тангенс и котангенс», «Формулы приведения»), «Тригонометрические уравнения» («Арккосинус», «Арккосинус и решение уравнения cost=a», «Арктангенс и решение уравнения tgx=a»). n arcsin a + \pi n, n \in Z`

Таблица арксинусов

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арктангенсов

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арккотангенсов

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    Материалы по теме:

    Поделиться с друзьями:

    Загрузка. ..

    Решение простых (и средней сложности) триггерных уравнений

    Purplemath

    При решении тригонометрических уравнений используются как опорные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры. Будьте готовы к тому, что для решения этих уравнений потребуется думать .

    Далее предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях триггерного отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, соотношение между радианами и градусами и как выглядят кривые различных триггерных функций, на минимум по первому периоду.Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.


    MathHelp.

    com

    • Решить sin (

      x ) + 2 = 3 в интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

    sin ( x ) + 2 = 3

    sin ( x ) = 1

    Теперь я буду использовать запомненные углы отсчета, чтобы получить окончательный ответ.

    Примечание. В инструкциях указан интервал в градусах, что означает, что я должен давать свой ответ в градусах. Да, синус в первом периоде принимает значение 1 на

    π / 2 радиан, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование его в качестве моего ответа, вероятно, приведет к моему как минимум проигрышу. несколько моментов по этому вопросу.

    Итак, в градусах мой ответ:


    • Решить tan

      2 (θ) + 3 = 0 на интервале 0 ° & leq; θ <360 °

    Есть соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60 ° включает в себя квадратный корень из 3, и отбросить ответ, но это уравнение на самом деле не имеет решения.Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

    Может ли любой квадрат (касательной или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:


    • Решить на интервале 0 ° & leq;

      x <360 °

    Левая часть этого уравнения множится. Я привык делать простой факторинг, например:

    2 л 2 + 3 л = 0

    л (2 л + 3) = 0

    … и затем решить каждый из факторов. То же самое и здесь. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с факторинга:

    Я занимался алгеброй; то есть, я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами.Это создало два триггерных уравнения. Итак, теперь я могу сделать триггер; а именно решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о косинусоиде. Из первого уравнения я получаю:

    Из второго уравнения я получаю:

    Соединяя эти два набора решений вместе, я получаю решение для исходного уравнения как:

    x = 30 °, 90 °, 270 °, 330 °


    • Решить sin

      2 (θ) — sin (θ) = 2 на интервале 0 & leq; θ <2π

    Во-первых, перенесу все по одну сторону от знака «равно»:

    sin 2 (θ) — sin (θ) — 2 = 0

    Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения является форматом квадратного уравнения:

    В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил, X = sin (θ), a = 1, b = –1 и c = –2.

    Поскольку это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить на множители квадратичный:

    sin 2 (θ) — sin (θ) — 2 = 0

    (грех (θ) — 2) (грех (θ) + 1) = 0

    Первый множитель дает мне соответствующее тригонометрическое уравнение:

    Но синус никогда не бывает больше 1, поэтому это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

    Другой фактор дает мне второе связанное тригонометрическое уравнение:

    грех (θ) + 1 = 0

    sin (θ) = –1

    θ = (3/2) π

    Тогда мой ответ:

    (Если вы выполняете решения только для степеней в своем классе, указанное выше значение решения равно «270 °». )


    • Решите cos

      2 (α) + cos (α) = sin 2 (α) на интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Я могу использовать триггерное тождество, чтобы получить квадратичный косинус:

    cos 2 (α) + cos (α) = sin 2 (α)

    cos 2 (α) + cos (α) = 1 — cos 2 (α)

    2cos 2 (α) + cos (α) — 1 = 0

    (2cos (α) — 1) (cos (α) + 1) = 0

    cos (α) = 1/2, cos (α) = –1

    Первое тригонометрическое уравнение, cos (α) = 1/2, дает мне α = 60 ° и α = 300 °.Второе уравнение дает мне α = 180 °. Итак, мое полное решение:


    • Решить sin (β) = sin (2β) на интервале 0 ° & leq; β

      <360 °

    Я могу использовать обозначение с двумя углами в правой части, а также переставлять и упрощать; тогда я учитываю:

    sin (β) = 2sin (β) cos (β)

    sin (β) — 2sin (β) cos (β) = 0

    sin (β) (1-2cos (β)) = 0

    sin (β) = 0, cos (β) = 1/2

    Синусоидальная волна (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0 °, 180 ° и 360 °. Но в исходном упражнении 360 ° не включены, поэтому последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

    Косинус (из второго тригонометрического уравнения) равен

    1/2 при 60 ° и, следовательно, также при 360 ° — 60 ° = 300 °. Итак, полное решение:

    β = 0 °, 60 °, 180 °, 300 °


    • Решить sin (

      x ) + cos ( x ) = 1 на интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Хм… Я действительно ничего здесь не вижу. Было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат …

    Хорошо, почему бы мне не возвести обе стороны в квадрат и посмотреть, что произойдет?

    (sin ( x ) + cos ( x )) 2 = (1) 2

    sin 2 ( x ) + 2sin ( x ) cos ( x ) + cos 2 ( x ) = 1

    [sin 2 ( x + cos 2 ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

    1 + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

    2sin ( x ) cos ( x ) = 0

    sin ( x ) cos ( x ) = 0

    Ха; иди и посчитай: я возведен в квадрат и получил то, с чем мог бы работать . Хороший!

    Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит следующим образом:

    x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °

    Однако (и это важно!), Чтобы получить это решение, я возведен в квадрат, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

    (Почему? Если вы возведете что-то в квадрат, вы не сможете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего начали, потому что возведение в квадрат могло где-то изменить знак.)

    Итак, чтобы быть уверенным в своих результатах, мне нужно проверить свои ответы в исходном уравнении , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключаю обратно, вижу:

    sin (0 °) + cos (0 °) = 0 + 1 = 1

    . .. поэтому решение « x = 0 °» работает

    sin (90 °) + cos (90 °) = 1 + 0 = 1

    …поэтому решение « x = 90 °» тоже работает

    sin (180 °) + cos (180 °) = 0 + (–1) = –1

    … ну ладно, значит « x = 180 °» НЕ работает

    sin (270 °) + cos (270 °) = (–1) + 0 = –1

    … так что « x = 270 °» тоже не работает,

    Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают.Они были созданы путем возведения в квадрат.

    Мое фактическое решение :


    Примечание. В приведенном выше описании я мог бы остановиться на этой строке:

    .

    … и использовал идентичность двойного угла для синуса, наоборот, вместо того, чтобы делить 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учесть интервал решения:

    2sin ( x ) cos ( x ) = sin (2 x ) = 0

    Тогда 2 x = 0 °, 180 °, 360 °, 540 ° и т. Д., И разделение 2 из x даст мне x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, это то же самое почти решение, что и раньше.После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

    Трюк с возведением в квадрат в последнем примере, приведенном выше, встречается нечасто, но если все остальное не работает, возможно, стоит попробовать. Имейте это в виду для следующего теста.


    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig.htm

    Решатель тригонометрических уравнений — онлайн-инструмент для расчета триггеров

    Поиск инструмента

    Решатель тригонометрических уравнений

    Инструмент / решатель для решения одного или нескольких тригонометрических уравнений. Тригонометрическое уравнение — это математическое выражение с равенством между двумя элементами, содержащими неизвестные переменные и тригонометрические функции (cos, sin, tan и т. Д.).).

    Результаты

    Решатель тригонометрических уравнений — dCode

    Тег (и): символическое вычисление

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Как решить тригонометрическое уравнение?

    dCode автоматически решает тригонометрические уравнения (со знаком равенства) и вычисляет значения неизвестных.

    Поддерживаются все тригонометрические функции: sin (), cos (), tan (), а также обратные функции acos (), arcsin () и т. Д. а также гиперболические функции ch (), sinh () и т. д.

    Пример: $ \ sin (x) = 0 $ возвращает решение $ x = 0 $ (радиан)

    Некоторые уравнения будут иметь бесконечное количество решений (по модулю $ \ pi $ или $ 2 \ pi $ или с константами $ c_i $)

    Все углы указаны в радианах.

    Как решить несколько тригонометрических уравнений?

    Несколько тригонометрических уравнений с одинаковыми переменными можно комбинировать с помощью логического оператора И: && или ⋀.

    Также любой возврат новой строки будет рассматриваться как новое уравнение.

    Как шаг за шагом решить тригонометрическое уравнение?

    Решатель dCode не отображает шаги вычислений, потому что они отражают не шаги человеческого мышления, а шаги машинного мышления (побитовые операции двоичных вычислений), далекие от ручного разрешения. dCode позволяет проверить результат.

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель тригонометрических уравнений». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма решения тригонометрических уравнений (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой тригонометрический Функция Equation Solver (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.), Без загрузки данных , скрипт, копирование-вставка или доступ к API для «Решателя тригонометрических уравнений» будут бесплатными, как и при автономном использовании на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Похожие страницы

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    уравнение, тригонометрический, тригонометрический, равенство, равно, неизвестно, переменная, cos, sin, tan

    Ссылки

    Источник: https: // www. dcode.fr/trig-equation-solver

    © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокешинга / CTF.

    Calculus I — Решение триггерных уравнений

    Эта проблема очень похожа на другие задачи в этом разделе с очень важным отличием. Приступим к решению этой задачи точно так же, как в первом примере. Итак, сначала получим синус с одной стороны.

    \ [\ begin {align *} 2 \ sin (5x) & = — \ sqrt 3 \\ \ sin (5x) & = \ frac {{- \ sqrt 3}} {2} \ end {align *} \]

    Мы ищем углы, которые дают \ (- \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) вне синусоидальной функции.Снова вернемся к нашему верному юнитовому кругу.

    Итак, в первом квадранте нет углов, для которых синус имеет значение \ (- \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \). Однако есть два угла в нижней половине единичной окружности, для которых синус будет иметь значение \ (- \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \). Итак, что это за углы?

    Обратите внимание, что \ (\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \). Учитывая это, мы теперь знаем, что угол в третьем квадранте будет \ (\ frac {\ pi} {3} \) ниже отрицательной \ (x \) — оси или \ (\ pi + \ frac { \ pi} {3} = \ frac {{4 \ pi}} {3} \).Легкий способ запомнить это — заметить, что мы повернем на половину оборота от положительной оси \ (x \), чтобы перейти к отрицательной оси \ (x \), а затем прибавить \ (\ frac {\ pi} {3} \), чтобы достичь искомого угла.

    Точно так же угол в четвертом квадранте будет \ (\ frac {\ pi} {3} \) ниже положительной оси \ (x \) . Итак, мы могли бы использовать \ (- \ frac {\ pi} {3} \) или \ (2 \ pi — \ frac {\ pi} {3} = \ frac {{5 \ pi}} {3} \) . Помните, что обычно мы ищем положительные углы между 0 и \ (2 \ pi \), поэтому мы будем использовать положительный угол.Простой способ запомнить положительный угол здесь — это повернуть на один полный оборот от положительной оси \ (x \) (, т. е.
    \ (2 \ pi \)), а затем отступить (, т.е. вычитание) \ (\ frac {\ pi} {3} \).

    Теперь мы подошли к очень важному различию между этой проблемой и предыдущими задачами в этом разделе. Решение: НЕ

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {3} + 2 \ pi n, \ quad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \\ x & = \ frac {{5 \ pi}} {3} + 2 \ pi n, \ quad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ end {align *} \]

    Это не набор решений, потому что мы НЕ ищем значения \ (x \), для которых \ (\ sin \ left (x \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \) , но вместо этого мы ищем значения \ (x \), для которых \ (\ sin \ left ({5x} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \).Обратите внимание на разницу в аргументах синусоидальной функции! Один — это \ (x \), а другой — \ (5x \). Это имеет огромное значение в поиске решения! Таким образом, набор решений составляет

    \ [\ begin {align *} 5x & = \ frac {{4 \ pi}} {3} + 2 \ pi n, \ quad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \\ 5x & = \ frac {{5 \ pi}} {3} + 2 \ pi n, \ quad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ end {align *} \]

    Ну, вообще-то, это не совсем решение. Мы ищем значения \ (x \), поэтому разделите все на 5, чтобы получить.

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi n}} {5}, \ quad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \\ x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi n}} {5}, \ quad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что мы также разделили \ (2 \ pi n \) на 5! Это важно! Если мы этого не сделаем, вы БУДЕТЕ пропустить решения. Например, возьмем \ (n = 1 \).

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi}} {5} = \ frac {{10 \ pi}} {{ 15}} = \ frac {{2 \ pi}} {3} & \ hspace {0.25 дюймов} & \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ sin \ left ({5 \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right)} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {{10 \ pi}} {3}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \\ x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi}} {5} = \ frac {{11 \ pi}} {{15}} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ sin \ left ({5 \ left ({\ frac {{11 \ pi}} {{15}}} \ right)} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {{11 \ pi}} {3}} \ right) = — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \ end {align *} \]

    Мы предоставим вам возможность проверить нашу работу, показав, что они являются решениями. Однако в этом есть смысл. Если бы вы не разделили \ (2 \ pi n \) на 5, вы бы пропустили эти решения!

    Хорошо, теперь, когда мы получили все возможные решения, пора найти решения на заданном интервале. Сделаем это так же, как и в предыдущей задаче. Выберите значения \ (n \) и получите решения.

    \ (п = 0 \).

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi \ left (0 \ right)}} {5} = \ frac {{ 4 \ pi}} {{15}} 2 \ pi \\ x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi \ left (5 \ right)}} {5} = \ frac {{35 \ pi}} {{15}}> 2 \ pi \ end {align *} \]

    Итак, мы наконец-то прошли правильную конечную точку нашего интервала, поэтому нам больше не нужно положительное значение n .Теперь давайте посмотрим на отрицательный результат \ (n \) и посмотрим, что у нас получилось.

    \ (п = –1 \).

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 1} \ right)}} {5} = — \ frac {{2 \ pi}} {{15}}> — \ pi \\ x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 1} \ right) }} {5} = — \ frac {\ pi} {{15}}> — \ pi \ end {align *} \]

    \ (п = –2 \).

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 2} \ right)}} {5} = — \ frac {{8 \ pi}} {{15}}> — \ pi \\ x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 2} \ right) }} {5} = — \ frac {{7 \ pi}} {{15}}> — \ pi \ end {align *} \]
    \ (п = –3 \).\ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 3} \ right)}} {5} = — \ frac {{14 \ pi}} {{15}}> — \ pi \\ x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 3} \ right) }} {5} = — \ frac {{13 \ pi}} {{15}}> — \ pi \ end {align *} \]
    \ (п = –4 \).

    \ [\ begin {align *} x & = \ frac {{4 \ pi}} {{15}} + \ frac {{2 \ pi \ left ({- 4} \ right)}} {5} = — \ frac {{4 \ pi}} {3}

    И теперь мы прошли левую конечную точку интервала.Иногда будет много решений, как в этом примере. Объединение всего этого дает следующий набор решений, лежащих в заданном интервале.

    \ [\ begin {align *} & \ frac {{4 \ pi}} {{15}}, \ frac {\ pi} {3}, \ frac {{2 \ pi}} {3}, \ frac { {11 \ pi}} {{15}}, \ frac {{16 \ pi}} {{15}}, \ frac {{17 \ pi}} {{15}}, \ frac {{22 \ pi} } {{15}}, \ frac {{23 \ pi}} {{15}}, \ frac {{28 \ pi}} {{15}}, \ frac {{29 \ pi}} {{15} } \\ & — \ frac {\ pi} {{15}}, — \ frac {{2 \ pi}} {{15}}, — \ frac {{7 \ pi}} {{15}}, — \ frac {{8 \ pi}} {{15}}, — \ frac {{13 \ pi}} {{15}}, — \ frac {{14 \ pi}} {{15}} \ end {align *} \]

    Решение тригонометрических уравнений | Precalculus II

    Решение линейных тригонометрических уравнений с синусом и косинусом

    Тригонометрические уравнения, как следует из названия, включают в себя тригонометрические функции. Во многом аналогично решению полиномиальных или рациональных уравнений, только определенные значения переменной будут решениями, если решения вообще есть. Часто мы решаем тригонометрическое уравнение на заданном интервале. Однако так же часто нас просят найти все возможные решения, и, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, решения повторяются в течение каждого периода. Другими словами, тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное количество решений. Кроме того, как и в случае с рациональными уравнениями, область определения функции должна быть рассмотрена, прежде чем мы предполагаем, что какое-либо решение является действительным.Период как синусоидальной функции, так и косинусной функции равен [латекс] 2 \ пи [/ латекс]. Другими словами, каждые [latex] 2 \ pi [/ latex] единиц повторяются значения y-. Если нам нужно найти все возможные решения, мы должны добавить [latex] 2 \ pi k [/ latex], где [latex] k [/ latex] — целое число, к начальному решению. Вспомните правило, которое дает формат для указания всех возможных решений для функции, где период равен [latex] 2 \ pi: [/ latex]

    [латекс] \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta \ pm 2k \ pi \ right) [/ latex]

    Существуют аналогичные правила для указания всех возможных решений для других тригонометрических функций.Решение тригонометрических уравнений требует тех же методов, что и решение алгебраических уравнений. Мы читаем уравнение слева направо по горизонтали, как предложение. Мы ищем известные шаблоны, множители, находим общие знаменатели и заменяем определенные выражения переменными, чтобы упростить процесс решения. Однако с тригонометрическими уравнениями у нас также есть преимущество использования тождеств, которые мы разработали в предыдущих разделах.

    Пример 1: Решение линейного тригонометрического уравнения с использованием функции косинуса

    Найдите все возможные точные решения уравнения [latex] \ cos \ theta = \ frac {1} {2} [/ latex].

    Решение

    Из единичной окружности мы знаем, что

    [латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ theta = \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ text {} \ theta = \ frac {\ pi} {3}, \ frac {5 \ pi} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Это решения в интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right] [/ latex]. Все возможные решения предоставлены

    [латекс] \ theta = \ frac {\ pi} {3} \ pm 2k \ pi \ text {и} \ theta = \ frac {5 \ pi} {3} \ pm 2k \ pi [/ latex]

    , где [латекс] k [/ latex] — целое число.

    Пример 2: Решение линейного уравнения с использованием функции синуса

    Найдите все возможные точные решения уравнения [latex] \ sin t = \ frac {1} {2} [/ latex].

    Решение

    Решение для всех возможных значений t означает, что решения включают углы за пределами периода [латекс] 2 \ pi [/ латекс]. Из единичного круга мы видим, что решениями являются [latex] t = \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] t = \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex] . Но проблема в том, чтобы указать все возможные значения, которые решают уравнение.Следовательно, ответ

    [латекс] t = \ frac {\ pi} {6} \ pm 2 \ pi k \ text {и} t = \ frac {5 \ pi} {6} \ pm 2 \ pi k [/ latex]

    , где [латекс] k [/ latex] — целое число.

    Как: решить тригонометрическое уравнение с помощью алгебры.

    • Найдите образец, который предлагает алгебраическое свойство, например разницу квадратов или возможность разложения на множители.
    • Замените тригонометрическое выражение одной переменной, например [latex] x [/ latex] или [latex] u [/ latex].
    • Решите уравнение так же, как и алгебраическое уравнение.
    • Подставьте тригонометрическое выражение обратно вместо переменной в результирующих выражениях.
    • Найдите угол.

    Пример 3: Решите тригонометрическое уравнение в линейной форме

    Точно решите уравнение: [латекс] 2 \ cos \ theta -3 = -5,0 \ le \ theta <2 \ pi [/ latex].

    Решение

    Используйте алгебраические методы для решения уравнения.

    [латекс] \ begin {array} {l} 2 \ cos \ theta -3 = -5 \ hfill \\ \ text {} 2 \ cos \ theta = -2 \ hfill \\ \ text {} \ cos \ theta = -1 \ hfill \\ \ text {} \ theta = \ pi \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Попробуй 1

    Решите в точности следующее линейное уравнение на интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right): 2 \ sin x + 1 = 0 [/ latex].

    Решение

    Решение тригонометрических уравнений с помощью калькулятора

    Не все функции могут быть решены точно с использованием только единичной окружности. Когда мы должны решить уравнение с углом, отличным от одного из специальных углов, нам понадобится калькулятор. Убедитесь, что он установлен на правильный режим, градусы или радианы, в зависимости от критериев данной проблемы.

    Пример 8: Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения, содержащего синус

    Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение [латекс] \ sin \ theta = 0.{\ circ} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Анализ решения

    Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или IV для функции синуса, поскольку это диапазон обратного синуса. Другой угол получается с помощью [латекса] \ pi — \ theta [/ latex].

    Пример 9: Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения, содержащего секущую

    Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение [латекс] \ сек \ тета = -4 [/ латекс], получив ответ в радианах. {-1} \ left (- \ frac {1} {4} \ right) \ приблизительно 1.8235 \ hfill \\ \ text {} \ theta \ приблизительно 1.8235 + 2 \ pi k \ hfill \ end {array} [/ latex ]

    Так как [латекс] \ frac {\ pi} {2} \ приблизительно 1,57 [/ латекс] и [латекс] \ pi \ приблизительно 3,14 [/ латекс], 1,8235 находится между этими двумя числами, таким образом [латекс] \ тета \ приблизительно \ text {1} \ text {.8235} [/ latex] находится во втором квадранте. Косинус также отрицателен в квадранте III. Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или II для функции косинуса, поскольку это диапазон обратного косинуса.

    Рисунок 2.

    Итак, нам также нужно найти меру угла в квадранте III. В квадранте III опорный угол равен [латекс] \ theta \ text {} \ text {} \ text {‘} \ приблизительно \ pi — \ text {1} \ text {.8235} \ приблизительно \ text {1} \ text {.3181} \ text {.} [/ latex] Другое решение в квадранте III — [latex] \ theta \ text {} \ text {} \ text {‘} \ приблизительно \ pi + \ text {1} \ текст {. 3181} \ приблизительно \ текст {4} \ text {.4597} \ text {.} [/ latex]

    Растворы [латекс] \ theta \ приблизительно 1.8235 \ pm 2 \ pi k [/ latex] и [латекс] \ theta \ приблизительно 4.4597 \ пм 2 \ пи к [/ латекс].

    Попробовать 3

    Решите [латекс] \ cos \ theta = -0.2 [/ latex].

    Решение

    Решение уравнений, содержащих одну тригонометрическую функцию

    Когда нам задают уравнения, которые включают только одну из шести тригонометрических функций, их решения требуют использования алгебраических методов и единичного круга. Когда уравнение включает тригонометрические функции, отличные от синуса и косинуса, необходимо учитывать несколько факторов. Проблемы, связанные с величинами, обратными первичным тригонометрическим функциям, необходимо рассматривать с алгебраической точки зрения.Другими словами, мы напишем обратную функцию и найдем углы, используя эту функцию. Кроме того, уравнение, включающее функцию тангенса, немного отличается от уравнения, содержащего функцию синуса или косинуса. Во-первых, как мы знаем, период касательной равен [латекс] \ пи [/ латекс], а не [латекс] 2 \ пи [/ латекс]. Кроме того, область касательной — это все действительные числа, за исключением нечетных целых кратных [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], если, конечно, проблема не накладывает свои собственные ограничения на область.{2} \ theta} = \ pm \ sqrt {\ frac {1} {2}} \ hfill \\ \ text {} \ sin \ theta = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ hfill \\ \ text {} \ theta = \ frac {\ pi} {4}, \ frac {3 \ pi} {4}, \ frac {5 \ pi} {4}, \ frac {7 \ pi} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Пример 5: Решение тригонометрического уравнения с использованием косеканса

    Точно решите следующее уравнение: [latex] \ csc \ theta = -2,0 \ le \ theta <4 \ pi [/ latex].

    Решение

    Нам нужны все значения [latex] \ theta [/ latex], для которых [latex] \ csc \ theta = -2 [/ latex] в интервале [latex] 0 \ le \ theta <4 \ pi [/ latex] .

    [латекс] \ begin {array} {l} \ csc \ theta = -2 \ hfill \\ \ frac {1} {\ sin \ theta} = — 2 \ hfill \\ \ sin \ theta = — \ frac { 1} {2} \ hfill \\ \ text {} \ theta = \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac {11 \ pi} {6}, \ frac {19 \ pi} {6}, \ гидроразрыв {23 \ pi} {6} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Анализ решения

    Как [latex] \ sin \ theta = — \ frac {1} {2} [/ latex], обратите внимание, что все четыре решения находятся в третьем и четвертом квадрантах.

    Пример 6: Решение уравнения с касательной

    Решите уравнение точно: [латекс] \ tan \ left (\ theta — \ frac {\ pi} {2} \ right) = 1,0 \ le \ theta <2 \ pi [/ latex].

    Решение

    Напомним, что тангенциальная функция имеет период [латекс] \ пи [/ латекс]. На интервале [latex] \ left [0, \ pi \ right) [/ latex] и под углом [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] тангенс имеет значение 1 Однако нам нужен угол [латекс] \ влево (\ theta — \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]. Таким образом, если [latex] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1 [/ latex], то

    [латекс] \ begin {array} {c} \ theta — \ frac {\ pi} {2} = \ frac {\ pi} {4} \\ \ theta = \ frac {3 \ pi} {4} \ pm k \ pi \ end {array} [/ latex]

    В интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex] у нас есть два решения:

    [латекс] \ theta = \ frac {3 \ pi} {4} \ text {и} \ theta = \ frac {3 \ pi} {4} + \ pi = \ frac {7 \ pi} {4} [ / латекс]

    Попробуй 2

    Найдите все решения для [латекс] \ tan x = \ sqrt {3} [/ latex].

    Решение

    Пример 7: Определите все решения уравнения, содержащего касательную

    Определите все точные решения уравнения [латекс] 2 \ left (\ tan x + 3 \ right) = 5 + \ tan x, 0 \ le x <2 \ pi [/ latex].

    Решение

    Мы можем решить это уравнение, используя только алгебру. Выделите выражение [latex] \ tan x [/ latex] слева от знака равенства.

    [латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill 2 \ left (\ tan x \ right) +2 \ left (3 \ right) & = 5 + \ tan x \ hfill \\ \ hfill 2 \ tan x + 6 & = 5 + \ tan x \ hfill \\ \ hfill \ text {} 2 \ tan x- \ tan x & = 5-6 \ hfill \\ \ hfill \ tan x & = -1 \ hfill \ end {array} [ / латекс]

    На единичной окружности есть два угла, значение касательной которых равно [latex] -1: \ theta = \ frac {3 \ pi} {4} [/ latex] и [latex] \ theta = \ frac {7 \ пи} {4} [/ латекс].

    Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

    Решение квадратного уравнения может быть более сложным, но, опять же, мы можем использовать алгебру, как и для любого квадратного уравнения. Посмотрите на образец уравнения. Есть ли в уравнении более одной тригонометрической функции или только одна? Какая тригонометрическая функция возводится в квадрат? Если представлена ​​только одна функция и один из членов возведен в квадрат, подумайте о стандартной форме квадратичной функции.{2} \ theta -5 \ sin \ theta + 3 = 0 \ hfill \\ \ left (2 \ sin \ theta -3 \ right) \ left (\ sin \ theta -1 \ right) = 0 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Теперь установите каждый коэффициент равным нулю.

    [латекс] \ begin {array} {l} 2 \ sin \ theta -3 = 0 \ hfill \\ \ text {} 2 \ sin \ theta = 3 \ hfill \\ \ text {} \ sin \ theta = \ frac {3} {2} \ hfill \\ \ hfill \\ \ hfill \\ \ text {} \ sin \ theta -1 = 0 \ hfill \\ \ text {} \ sin \ theta = 1 \ hfill \ end { массив} \\ [/ latex]

    Затем решите для [latex] \ theta: \ sin \ theta \ ne \ frac {3} {2} \\ [/ latex], поскольку диапазон синусоидальной функции равен [latex] \ left [-1,1 \ справа] \\ [/ латекс].{2} + x = 0 \ hfill \\ x \ left (2x + 1 \ right) = 0 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Установите каждый коэффициент равным нулю.

    [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x = 0 \ text {} \ hfill \\ \ left (2x + 1 \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} x = — \ гидроразрыв {1} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Затем снова подставьте в уравнение исходное выражение [latex] \ sin \ theta \\ [/ latex] вместо [latex] x \\ [/ latex]. Таким образом,

    [латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ theta = 0 \ hfill \\ \ text {} \ theta = 0, \ pi \ hfill \\ \ hfill \\ \ sin \ theta = — \ frac { 1} {2} \ hfill \\ \ text {} \ theta = \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac {11 \ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Решения в домене [latex] 0 \ le \ theta <2 \ pi \\ [/ latex]: [latex] \ theta = 0, \ pi, \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac { 11 \ pi} {6} \\ [/ латекс].{2} \ theta + \ sin \ theta = 0 \ hfill \\ \ sin \ theta \ left (2 \ sin \ theta +1 \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} \ sin \ theta = 0 \ hfill \\ \ text {} \ theta = 0, \ pi \ hfill \\ \ hfill \\ \ text {} 2 \ sin \ theta + 1 = 0 \ hfill \\ \ text {} 2 \ sin \ theta = - 1 \ hfill \\ \ text {} \ sin \ theta = - \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ text {} \ theta = \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac {11 \ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Анализ решения

    Мы можем видеть решения на графике на Рисунке 3. {2} \ theta + \ cos \ theta = 0 \\ [/ latex].

    Решение

    Решение тригонометрических уравнений с использованием фундаментальных тождеств

    Хотя алгебру можно использовать для решения ряда тригонометрических уравнений, мы также можем использовать фундаментальные тождества, потому что они упрощают решение уравнений. Помните, что методы, которые мы используем для решения проблем, не совпадают с методами проверки личности. Здесь применяются основные правила алгебры, а не переписывание одной стороны идентичности для соответствия другой стороне. В следующем примере мы используем два тождества, чтобы упростить уравнение.

    Пример 14: Использование идентичностей для решения уравнения

    Используйте тождества, чтобы точно решить тригонометрическое уравнение в интервале [латекс] 0 \ le x <2 \ pi [/ latex].

    [латекс] \ cos x \ cos \ left (2x \ right) + \ sin x \ sin \ left (2x \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex]

    Решение

    Обратите внимание, что левая часть уравнения — это формула разности для косинуса.

    [латекс] \ begin {array} {ll} \ hfill & \ hfill \\ \ cos x \ cos \ left (2x \ right) + \ sin x \ sin \ left (2x \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill & \ hfill \\ \ text {} \ cos \ left (x — 2x \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ begin {array} {cccc} & & & \ end {array} \ hfill & \ text {Формула разности для косинуса} \ hfill \\ \ text {} \ cos \ left (-x \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill & \ text {Использовать тождество отрицательного угла}.\ hfill \\ \ text {} \ cos x = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Из единичного круга в суммах и различиях идентичностей мы видим, что [latex] \ cos x = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex], когда [latex] x = \ frac {\ pi} { 6}, \ frac {11 \ pi} {6} [/ latex].

    Пример 15: Решение уравнения с использованием формулы двойного угла

    Точно решите уравнение, используя формулу двойного угла: [latex] \ cos \ left (2 \ theta \ right) = \ cos \ theta [/ latex].

    Решение

    У нас есть три варианта выражения для замены двойного угла косинуса. {2} \ theta — \ cos \ theta -1 = 0 \ hfill \\ \ left (2 \ cos \ theta +1 \ right) \ left (\ cos \ theta -1 \ right) = 0 \ hfill \\ \ текст {} 2 \ cos \ theta + 1 = 0 \ hfill \\ \ text {} \ cos \ theta = — \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ hfill \\ \ text {} \ cos \ theta -1 = 0 \ hfill \\ \ text {} \ cos \ theta = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Итак, если [latex] \ cos \ theta = — \ frac {1} {2} [/ latex], то [latex] \ theta = \ frac {2 \ pi} {3} \ pm 2 \ pi k [ / latex] и [latex] \ theta = \ frac {4 \ pi} {3} \ pm 2 \ pi k [/ latex]; если [латекс] \ cos \ theta = 1 [/ latex], то [latex] \ theta = 0 \ pm 2 \ pi k [/ latex].{2} \ theta +3 cos \ theta + 1 & = 0 \ hfill \\ \ hfill \ left (2 cos \ theta +1 \ right) \ left (\ cos \ theta +1 \ right) & = 0 \ hfill \ \ \ hfill 2 cos \ theta + 1 & = 0 \ hfill \\ \ hfill \ cos \ theta & = — \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = \ frac {2 \ pi} { 3}, \ frac {4 \ pi} {3} \ hfill \\ \ hfill \ cos \ theta + 1 & = 0 \ hfill \\ \ hfill \ cos \ theta & = -1 \ hfill \\ \ hfill \ theta & = \ pi \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Наши решения: [latex] \ theta = \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {4 \ pi} {3}, \ pi [/ latex].

    Решение тригонометрических уравнений с несколькими углами

    Иногда невозможно решить тригонометрическое уравнение с тождествами, которые имеют несколько углов, например [латекс] \ sin \ left (2x \ right) [/ latex] или [латекс] \ cos \ left (3x \ right) [/латекс].Столкнувшись с этими уравнениями, вспомните, что [latex] y = \ sin \ left (2x \ right) [/ latex] представляет собой горизонтальное сжатие с коэффициентом 2 от функции [latex] y = \ sin x [/ латекс]. На интервале [latex] 2 \ pi [/ latex] мы можем построить график двух периодов [latex] y = \ sin \ left (2x \ right) [/ latex], в отличие от одного цикла [latex] y = \ sin x [/ латекс]. Такое сжатие графика приводит нас к мысли, что может быть в два раза больше перехватов x или решений для [latex] \ sin \ left (2x \ right) = 0 [/ latex] по сравнению с [latex] \ sin x = 0 [/ латекс].Эта информация поможет нам решить уравнение.

    Пример 17: Решение многоугольного тригонометрического уравнения

    Точное решение: [латекс] \ cos \ left (2x \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex] на [латексе] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex]. {- 1} \ frac {1} {2} [/ latex] дает решения только в квадрантах I и II, мы понимаем, что решения уравнения [latex] \ cos \ theta = \ frac {1} {2} [/ latex] будет в квадрантах I и IV.

    Следовательно, возможные углы: [latex] \ theta = \ frac {\ pi} {3} [/ latex] и [latex] \ theta = \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex]. Итак, [latex] 2x = \ frac {\ pi} {3} [/ latex] или [latex] 2x = \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex], что означает, что [latex] x = \ frac {\ pi} {6} [/ latex] или [latex] x = \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex]. Имеет ли это смысл? Да, потому что [латекс] \ cos \ left (2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ гидроразрыв {1} {2} [/ latex].

    Есть ли другие возможные ответы? Вернемся к нашему первому шагу.

    В квадранте I [latex] 2x = \ frac {\ pi} {3} [/ latex], поэтому [latex] x = \ frac {\ pi} {6} [/ latex], как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

    [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ 2x = \ frac {\ pi} {3} +2 \ pi \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {6 \ pi} {3} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {7 \ pi} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    так [латекс] x = \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].

    Еще один оборот дает

    [латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ 2x = \ frac {\ pi} {3} +4 \ pi \ end {array} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {12 \ pi} {3} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {13 \ pi} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

    [latex] x = \ frac {13 \ pi} {6}> 2 \ pi [/ latex], поэтому это значение для [latex] x [/ latex] больше, чем [latex] 2 \ pi [/ latex] , так что это не решение для [латекса] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex].

    В квадранте IV [latex] 2x = \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex], поэтому [latex] x = \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex], как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

    [латекс] \ begin {array} {l} 2x = \ frac {5 \ pi} {3} +2 \ pi \ hfill \\ \ text {} = \ frac {5 \ pi} {3} + \ frac {6 \ pi} {3} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {11 \ pi} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    так [латекс] x = \ frac {11 \ pi} {6} [/ latex].

    Еще один оборот дает

    [латекс] \ begin {array} {l} 2x = \ frac {5 \ pi} {3} +4 \ pi \ hfill \\ \ text {} = \ frac {5 \ pi} {3} + \ frac {12 \ pi} {3} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {17 \ pi} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    [latex] x = \ frac {17 \ pi} {6}> 2 \ pi [/ latex], поэтому это значение для [latex] x [/ latex] больше, чем [latex] 2 \ pi [/ latex] , так что это не решение для [латекса] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex].

    Наши решения: [latex] x = \ frac {\ pi} {6}, \ frac {5 \ pi} {6}, \ frac {7 \ pi} {6}, \ text {и} \ frac {11 \ pi} {6} [/ латекс]. Обратите внимание, что всякий раз, когда мы решаем задачу в форме [латекс] \ sin \ left (nx \ right) = c [/ latex], мы должны обойти единичный круг [латекс] n [/ латекс] раз.

    Решение задач прямоугольного треугольника

    Теперь мы можем использовать все изученные нами методы для решения задач, связанных с применением свойств прямоугольных треугольников и теоремы Пифагора .{2} [/ latex] и смоделируйте уравнение в соответствии с ситуацией.

    Пример 18: Использование теоремы Пифагора для моделирования уравнения

    Используйте теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников, чтобы смоделировать уравнение, которое соответствует задаче.

    Один из тросов, которыми центр колеса обозрения London Eye крепится к земле, необходимо заменить. Центр колеса обозрения находится на высоте 69,5 метров над землей, а второй якорь на земле находится в 23 метрах от основания колеса обозрения. {\ circ} [/ latex], а длина кабеля составляет 73,2 метра.

    Пример 19: Использование теоремы Пифагора для моделирования абстрактной задачи

    Правила безопасности OSHA требуют, чтобы основание лестницы располагалось на расстоянии 1 фута от стены на каждые 4 фута длины лестницы. Найдите угол, под которым лестница любой длины образует с землей, и высоту, на которой лестница касается стены.

    Решение

    Для лестницы любой длины основание должно находиться на расстоянии от стены, равном одной четвертой длины лестницы.{2} \ hfill \\ \ text {} b = \ sqrt {15} a \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Таким образом, лестница касается стены на [latex] \ sqrt {15} [/ latex] футах от земли.

    • При решении линейных тригонометрических уравнений мы можем использовать алгебраические методы так же, как при решении алгебраических уравнений. Ищите закономерности, такие как разница квадратов, квадратичная форма или выражение, которое хорошо поддается замене.
    • Уравнения, включающие единственную тригонометрическую функцию, можно решить или проверить с помощью единичной окружности.
    • Мы также можем решать тригонометрические уравнения с помощью графического калькулятора.
    • Многие уравнения имеют квадратичную форму. Мы можем использовать подстановку, чтобы уравнение выглядело проще, а затем использовать те же методы, которые мы используем при решении алгебраической квадратичной системы: разложение на множители, квадратичная формула и т. Д.
    • Мы также можем использовать тождества для решения тригонометрического уравнения.
    • Мы можем использовать подстановку для решения многоугольного тригонометрического уравнения, которое является сжатием стандартной тригонометрической функции.Нам нужно будет учесть сжатие и убедиться, что мы нашли все решения на заданном интервале.
    • Реальные сценарии можно моделировать и решать с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических функций.

    Упражнения по разделам

    1. Всегда ли будут решения уравнений тригонометрических функций? Если нет, опишите уравнение, у которого не было бы решения. Объясните, почему да или почему нет.

    2. При решении тригонометрического уравнения, включающего более одной тригонометрической функции, всегда ли мы хотим попытаться переписать уравнение так, чтобы оно выражалось в терминах одной тригонометрической функции? Почему или почему нет?

    3.Решая линейные тригонометрические уравнения только с помощью синуса или косинуса, как мы узнаем, будут ли решения?

    Для следующих упражнений найдите все решения точно на интервале [latex] 0 \ le \ theta <2 \ pi [/ latex].

    4. [латекс] 2 \ sin \ theta = — \ sqrt {2} [/ латекс]

    5. [латекс] 2 \ sin \ theta = \ sqrt {3} [/ латекс]

    6. [латекс] 2 \ cos \ theta = 1 [/ латекс]

    7. [латекс] 2 \ cos \ theta = — \ sqrt {2} [/ латекс]

    8. [латекс] \ tan \ theta = -1 [/ латекс]

    9.{2} x — 4 = 0 [/ латекс]

    Для следующих упражнений решите точно на [латексе] \ левом [0,2 \ пи \ правом) [/ латексе].

    13. [латекс] 2 \ cos \ theta = \ sqrt {2} [/ латекс]

    14. [латекс] 2 \ cos \ theta = -1 [/ латекс]

    15. [латекс] 2 \ sin \ theta = -1 [/ латекс]

    16. [латекс] 2 \ sin \ theta = — \ sqrt {3} [/ латекс]

    17. [латекс] 2 \ sin \ left (3 \ theta \ right) = 1 [/ латекс]

    18. [латекс] 2 \ sin \ left (2 \ theta \ right) = \ sqrt {3} [/ latex]

    19. [латекс] 2 \ cos \ left (3 \ theta \ right) = — \ sqrt {2} [/ latex]

    20.[латекс] \ cos \ left (2 \ theta \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex]

    21. [латекс] 2 \ sin \ left (\ pi \ theta \ right) = 1 [/ латекс]

    22. [латекс] 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {5} \ theta \ right) = \ sqrt {3} [/ latex]

    Для следующих упражнений найдите все точные решения на [latex] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex].

    23. [латекс] \ sec \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right) -2 \ sin \ left (x \ right) = 0 [/ латекс]

    24. [латекс] \ tan \ left (x \ right) -2 \ sin \ left (x \ right) \ tan \ left (x \ right) = 0 [/ латекс]

    25.{5} \ left (x \ right) = \ tan \ left (x \ right) [/ латекс]

    Для следующих упражнений решайте методами, указанными в этом разделе, точно в интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex].

    33. [латекс] \ sin \ left (3x \ right) \ cos \ left (6x \ right) — \ cos \ left (3x \ right) \ sin \ left (6x \ right) = — 0,9 [/ латекс]

    34. [латекс] \ sin \ left (6x \ right) \ cos \ left (11x \ right) — \ cos \ left (6x \ right) \ sin \ left (11x \ right) = — 0,1 [/ латекс]

    35. [латекс] \ cos \ left (2x \ right) \ cos x + \ sin \ left (2x \ right) \ sin x = 1 [/ latex]

    36.{2} x + 69 \ tan x — 130 = 0 [/ латекс]

    Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти все решения до четырех знаков после запятой.

    73. [латекс] \ sin x = 0,27 [/ латекс]

    74. [латекс] \ sin x = -0,55 [/ латекс]

    75. [латекс] \ tan x = -0,34 [/ латекс]

    76. [латекс] \ cos x = 0,71 [/ латекс]

    Для следующих упражнений решите уравнения алгебраически, а затем с помощью калькулятора найдите значения в интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right) [/ latex]. Округлить до четырех знаков после запятой.{2} x = 4 [/ латекс]

    93. У самолета достаточно бензина, чтобы долететь до города в 200 милях к северо-востоку от его текущего местоположения. Если пилот знает, что город находится в 25 милях к северу, на сколько градусов к северу от востока должен лететь самолет?

    94. Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 4 фута, а ее длина составляет 15 футов, то какой угол образует аппарель с землей?

    95. Если погрузочная рампа расположена рядом с грузовиком на высоте 2 фута, а ее длина составляет 20 футов, то какой угол образует аппарель с землей?

    96.Женщина наблюдает за запущенной ракетой, которая сейчас находится на высоте 11 миль. Если она стоит в 4 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит вверх из горизонтали?

    97. Космонавт находится в запущенной ракете на высоте 15 миль. Если мужчина стоит в 2 милях от стартовой площадки, под каким углом она смотрит на него сверху вниз из горизонтали? (Подсказка: это называется углом депрессии.)

    98. Женщина стоит в 8 метрах от 10-метрового здания. Под каким углом она смотрит на вершину здания?

    99.Мужчина стоит в 10 метрах от 6-метрового дома. Кто-то наверху здания смотрит на него сверху вниз. Под каким углом смотрит на него человек?

    100. У здания высотой 20 футов есть тень длиной 55 футов. Какой угол подъема солнца?

    101. У здания высотой 90 футов есть тень длиной 2 фута. Какой угол подъема солнца?

    102. Прожектор на земле в 3 метрах от человека ростом 2 метра отбрасывает 6-метровую тень на стену в 6 метрах от человека.Под каким углом свет?

    103. Прожектор на земле в 3 футах от женщины 5 футов высотой отбрасывает тень 15 футов высотой на стену в 6 футах от женщины. Под каким углом свет?

    Для следующих упражнений найдите решение следующей задачи со словами алгебраически. Затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы проверить результат. Ответ округлите до десятых долей градуса.

    104. Человек выполняет стойку на руках, касаясь ногами стены, а руки — на расстоянии 1,5 фута от стены.Если рост человека 6 футов, какой угол у его ступни со стеной?

    105. Человек выполняет стойку на руках, при этом ноги касаются стены, а руки находятся на расстоянии 3 футов от стены. Если рост человека составляет 5 футов, какой угол его ступни составляют со стеной?

    106. Рядом с домом стоит 23-футовая лестница. Если лестница соскользнет на расстоянии 7 футов от дома при недостаточном сцеплении с землей, какой угол должна быть сделана лестницей по отношению к земле, чтобы избежать скольжения?

    3.8 Решение тригонометрических уравнений | Precalculus

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Решите линейные тригонометрические уравнения с синусом и косинусом.
    • Решите уравнения, содержащие одну тригонометрическую функцию.
    • Решите тригонометрические уравнения с помощью калькулятора.
    • Решите тригонометрические уравнения квадратичной формы.
    • Решите тригонометрические уравнения, используя фундаментальные тождества.
    • Решите тригонометрические уравнения с несколькими углами.

    Египетские пирамиды возле современного города. (кредит: Ойсин Малвихилл)

    Фалес Милетский (около 625–547 гг. До н.э.) известен как основоположник геометрии. Легенда гласит, что он рассчитал высоту Великой пирамиды в Гизе в Египте, используя теорию подобных треугольников , которую он разработал, измерив тень своего посоха. Эта теория, основанная на пропорциях, имеет приложения в ряде областей, включая фрактальную геометрию, инженерию и архитектуру.Часто угол возвышения и угол депрессии находят с помощью одинаковых треугольников.

    В предыдущих разделах этой главы мы рассматривали тригонометрические тождества. Тождества верны для всех значений в домене переменной. В этом разделе мы начинаем изучение тригонометрических уравнений для изучения реальных сценариев, таких как определение размеров пирамид.

    Решение линейных тригонометрических уравнений с синусом и косинусом

    Тригонометрические уравнения, как следует из названия, включают в себя тригонометрические функции.Во многом аналогично решению полиномиальных или рациональных уравнений, только определенные значения переменной будут решениями, если решения вообще есть. Кроме того, как и в случае с рациональными уравнениями, область определения функции должна быть рассмотрена, прежде чем мы предполагаем, что какое-либо решение является действительным.

    Часто мы решаем тригонометрическое уравнение на заданном интервале. Однако так же часто нас просят найти все возможные решения, и, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, решения повторяются в течение каждого периода.Другими словами, тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное количество решений. Период функции синуса и косинуса равен [latex] 2 \ pi. [/ Latex] Другими словами, каждые [latex] 2 \ pi [/ latex] единицы, значения y- повторяются, поэтому [ латекс] \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) = \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ pm2k \ pi \ right) [/ latex]. Если нам нужно найти все возможные решения, мы должны добавить [latex] 2 \ pi k, [/ latex], где [latex] k [/ latex] — целое число, к начальному решению.

    Существуют аналогичные правила для указания всех возможных решений для других тригонометрических функций.Решение тригонометрических уравнений требует тех же методов, что и решение алгебраических уравнений. Мы читаем уравнение слева направо по горизонтали, как предложение. Мы ищем известные шаблоны, множители, находим общие знаменатели и заменяем определенные выражения переменными, чтобы упростить процесс решения. Однако с тригонометрическими уравнениями у нас также есть преимущество использования тождеств, которые мы разработали в предыдущих разделах.

    Пример 1: Решение линейного тригонометрического уравнения с использованием функции косинуса

    Найдите все возможные точные решения уравнения [latex] \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) = \ frac {1} {2}.[/ латекс]

    Показать решение

    Из единичной окружности мы знаем, что будут два угла, где [latex] \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex] за один полный оборот, т. Е. [latex] 0 \ le \ theta \ le {2 \ pi}. [/ latex] Они будут встречаться в первом и четвертом квадрантах. Мы распознаем [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] как значение одного из наших специальных прямоугольных треугольников. Мы можем определить острый угол как [латекс] \ frac {\ pi} {3}. [/ Latex] Затем мы можем использовать его в качестве опорного угла, чтобы найти угол в четвертом квадранте, вычислив [латекс] 2 \ pi- \ frac {\ pi} {3}.[/ латекс]

    [латекс] \ begin {align *} \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = \ frac {1} {2} \\ \ theta & = \ frac {\ pi} {3}, \ frac {5 \ pi} {3} \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

    Это решения в интервале [latex] \ left [0,2 \ pi \ right]. [/ Latex] Все возможные решения даны как [latex] \ frac {\ pi} {3} \ pm2k \ pi [ / latex] и [latex] \ frac {5 \ pi} {3} \ pm2k \ pi [/ latex], где [latex] k [/ latex] — целое число.

    Пример 2: Решение линейного уравнения с использованием синусоидальной функции

    Найдите все возможные точные решения уравнения [latex] \ mathrm {sin} \ left (t \ right) = \ frac {1} {2}.[/ латекс]

    Показать решение

    Решение для всех возможных значений t означает, что решения включают углы за пределами периода [латекс] 2 \ pi. [/ Latex] Из предыдущей работы с единичной окружностью мы знаем, что есть два решения за один оборот. Поскольку значение положительное, мы знаем, что эти решения находятся в первом и втором квадрантах. Из наших специальных прямоугольных треугольников мы знаем, что угол в первом квадранте равен [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ latex], и, используя его в качестве опорного угла, решение во втором квадранте — [латекс] \ frac {5 \ pi} {6}.[/ latex] Но проблема в том, чтобы задать все возможные значения, которые решают уравнение.

    Следовательно, ответ [латекс] \ frac {\ pi} {6} \ pm2 \ pi k [/ latex] и [latex] \ frac {5 \ pi} {6} \ pm2 \ pi k [/ latex] где [латекс] k [/ latex] — целое число.

    Пример 3: Решите тригонометрическое уравнение в линейной форме

    Точно решите уравнение: [латекс] 2 \ text {} \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) -3 = -5, \ text {} \ text {} 0 \ le \ theta <2 \ pi . [/ латекс]

    Показать решение

    Используйте алгебраические методы для решения уравнения.

    [латекс] \ begin {align *} 2 \ text {} \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) -3 & = — 5 \\ 2 \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = -2 && \ text {Добавлено по 3 с обеих сторон. } \\ \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = — 1 && \ text {Обе стороны разделены на 2.} \\ \ theta & = \ pi \ end {align *} [/ latex]

    Думая об единичной окружности, мы видим, что есть только одно место, где значение косинуса равно -1 за один полный оборот.

    Попробуй # 1

    Решите в точности следующее линейное уравнение на интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right): \ text {} 2 \ text {} \ mathrm {sin} \ left (x \ right) + 1 = 0 .[/ латекс]

    Показать решение

    [латекс] x = \ frac {7 \ pi} {6}, \ text {} \ frac {11 \ pi} {6} [/ latex]

    Решение уравнений, содержащих одну тригонометрическую функцию

    Когда нам задают уравнения, которые включают только одну из шести тригонометрических функций, их решения требуют использования алгебраических методов и информации, которую мы знаем из единичного круга. Когда уравнение включает тригонометрические функции, отличные от синуса и косинуса, необходимо учитывать несколько факторов. Проблемы, связанные с величинами, обратными первичным тригонометрическим функциям, необходимо рассматривать с алгебраической точки зрения.Другими словами, мы запишем уравнение в терминах обратной функции и решим углы, используя функции, с которыми мы наиболее знакомы. Кроме того, уравнение, включающее функцию тангенса, немного отличается от уравнения, содержащего функцию синуса или косинуса. Во-первых, как мы знаем, период касательной равен [латекс] \ пи, [/ латекс], а не [латекс] 2 \ пи. [/ Латекс] Кроме того, область касательной — это все действительные числа, за исключением нечетных целых кратных of [latex] \ frac {\ pi} {2}, [/ latex], если, конечно, проблема не накладывает свои собственные ограничения на домен.

    Пример 4: Решение тригонометрического уравнения с использованием косеканса

    Точно решите следующее уравнение: [latex] \ mathrm {csc} \ left (\ theta \ right) = -2, \ text {} 0 \ le \ theta <4 \ pi. [/ Latex]

    Показать решение

    Нам нужны все значения [latex] \ theta [/ latex], для которых [latex] \ mathrm {csc} \ left (\ theta \ right) = -2 [/ latex] в интервале [latex] 0 \ le \ тета <4 \ пи. [/ латекс]

    [латекс] \ begin {align *} \ mathrm {csc} \ left (\ theta \ right) & = — 2 \\ \ frac {1} {\ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right)} & = -2 \\ \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) & = — \ frac {1} {2} \\ & = \ frac {7 \ pi} {6}, \ text {} \ frac {11 \ pi} {6}, \ text {} \ frac {19 \ pi} {6}, \ text {} \ frac {23 \ pi} {6} \ end {align *} [/ latex] [латекс ] \\ [/ латекс]

    Поскольку [latex] \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) = — \ frac {1} {2}, [/ latex] обратите внимание, что все четыре решения находятся в третьем и четвертом квадрантах.

    Пример 5: Решение уравнения с касательной

    Точно решите уравнение: [latex] \ mathrm {tan} \ left (\ theta — \ frac {\ pi} {2} \ right) = 1, \ text {} 0 \ le \ theta <2 \ pi. [ / латекс]

    Показать решение

    Напомним, что тангенциальная функция имеет период [латекс] \ pi. [/ Latex] на интервале [латекс] \ left [0, \ pi \ right), [/ latex] и под углом [латекс] \ frac {\ pi} {4}, [/ latex] тангенс имеет значение 1. Однако нам нужен угол [latex] \ left (\ theta — \ frac {\ pi} {2} \ right).[/ latex] Таким образом, если [latex] \ mathrm {tan} \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1, [/ latex], то

    [латекс] \ begin {align *} \ theta — \ frac {\ pi} {2} & = \ frac {\ pi} {4} \\ \ theta & = \ frac {3 \ pi} {4} \ pm k \ pi \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

    В интервале [латекс] \ left [0,2 \ pi \ right), [/ latex] у нас есть два решения:

    [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ latex] и [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} + \ pi = \ frac {7 \ pi} {4} [/ latex]

    Попробуй # 2

    Найдите все решения для [latex] \ mathrm {tan} \ left (x \ right) = \ sqrt [\ leftroot {1} \ uproot {2}] {3}.[/ латекс]

    Показать решение

    [латекс] \ frac {\ pi} {3} \ pm \ pi k [/ латекс]

    Пример 6: Определить все решения уравнения, содержащего касательную

    Определите все точные решения уравнения [латекс] 2 \ left (\ mathrm {tan} \ left (x \ right) +3 \ right) = 5 + \ mathrm {tan} \ left (x \ right), \ text {} 0 \ le x <2 \ pi. [/ Latex]

    Показать решение

    Мы можем решить это уравнение, используя только алгебру. Выделите выражение [latex] \ mathrm {tan} \ left (x \ right) [/ latex] слева от знака равенства.

    [латекс] \ begin {align *} 2 \ text {} \ left (\ mathrm {tan} \ left (x \ right) \ right) +2 \ text {} \ left (3 \ right) & = 5 + \ mathrm {tan} \ left (x \ right) && \ text {Распределите 2 на левой стороне. } \\ 2 \ text {} \ mathrm {tan} \ left (x \ right) + 6 & = 5 + \ mathrm {tan} \ left (x \ right) \\ 2 \ text {} \ mathrm {tan} \ left (x \ right) — \ mathrm {tan} \ left (x \ right) & = 5-6 && \ text {Изолировать касательную с одной стороны.} \\ \ mathrm {tan} \ left (x \ right) & = -1 \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

    На единичной окружности есть два угла, значение касательной которых равно [latex] -1: \ theta = \ frac {3 \ pi} {4} [/ latex] и [latex] \ theta = \ frac {7 \ пи} {4}.[/ латекс]

    Решение тригонометрических уравнений с помощью калькулятора

    Не все функции могут быть решены точно с использованием только единичной окружности. Когда мы должны решить уравнение с углом, отличным от одного из специальных углов, нам понадобится калькулятор. Убедитесь, что он установлен на правильный режим, градусы или радианы, в зависимости от критериев данной проблемы.

    Пример 7: Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения, содержащего синус

    Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение [латекс] \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) = 0.{-1} \ влево (0,8 \ вправо) \ приблизительно 0,9273 [/ латекс]

    Раствор [латекс] 0,9273 \ pm2 \ pi k. [/ Latex]

    Имейте в виду, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или IV для функции синуса, поскольку это диапазон обратного синуса. Поскольку значение синуса положительное, в квадранте 2 будет другое решение. Другой угол получается с помощью [latex] \ pi — \ theta. [/ Latex]

    Это дает нам второй набор значений в виде [латекс] 2.2143 \ pm2 \ pi k. [/ Latex]

    Угловые измерения в градусах основаны на углах первого вращения

    .

    [латекс] \ тета \ приблизительно {53.{\ circ} [/ латекс]

    Пример 8: Использование калькулятора для решения тригонометрического уравнения, содержащего секущую

    Воспользуйтесь калькулятором, чтобы решить уравнение [latex] \ mathrm {sec} \ left (\ theta \ right) = -4, [/ latex], давая ответ в радианах.

    Показать решение

    Мы можем начать с некоторой алгебры.

    [латекс] \ begin {align *} \ mathrm {sec} \ left (\ theta \ right) & = — 4 \\ \ frac {1} {\ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right)} & = -4 \\\ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = — \ frac {1} {4} \ end {align *} [/ latex]

    Убедитесь, что РЕЖИМ установлен в радианах.{-1} \ left (- \ frac {1} {4} \ right) & \ приблизительно 1.8235 \\ \ theta & \ приблизительно 1.8235 + 2 \ pi k \\ \ end {align *} [/ latex] [латекс] \\ [/ латекс]

    Поскольку [латекс] \ frac {\ pi} {2} \ приблизительно 1,57 [/ латекс] и [латекс] \ pi \ приблизительно 3,14, [/ latex], мы знаем, что 1,8235 находится между этими двумя числами, таким образом [латекс] \ theta \ приблизительно \ text {1} \ text {.8235} [/ latex] находится во втором квадранте. Косинус также отрицателен в квадранте III. Обратите внимание, что калькулятор возвращает только угол в квадрантах I или II для функции косинуса, поскольку это диапазон обратного косинуса.{\ prime} \ приблизительно \ pi — \ text {1} \ text {.8235} \ приблизительно \ text {1} \ text {.3181} \ text {.} [/ latex] Другое решение в квадранте III — [ латекс] \ pi + \ text {1} \ text {.3181} \ приблизительно \ text {4} \ text {.4597.} [/ latex]

    Растворы [латекс] 1.8235 \ pm2 \ pi k [/ latex] и [latex] 4.4597 \ pm2 \ pi k. [/ Latex]

    Попробуй # 3

    Решите [латекс] \ mathrm {csc} \ left (\ theta \ right) = 3. [/ Latex]

    Показать решение

    [латекс] \ theta \ приблизительно 0,33984 \ pm2 \ pi k [/ латекс] и [латекс] \ theta \ приблизительно 2.80176 \ pm2 \ pi k [/ латекс]

    Решение тригонометрических уравнений в квадратичной форме

    Решение квадратного уравнения может быть более сложным, но, опять же, мы можем использовать алгебру, как и любое квадратное уравнение. Посмотрите на образец уравнения. Есть ли в уравнении более одной тригонометрической функции или только одна? Какая тригонометрическая функция возводится в квадрат? Если представлена ​​только одна функция и один из членов возведен в квадрат, подумайте о стандартной форме квадратичной функции.Замените тригонометрическую функцию переменной, такой как [latex] x [/ latex] или [latex] u. [/ Latex] Если после подстановки уравнение выглядит как квадратное уравнение, то мы можем использовать те же методы для решения квадратичных уравнений для решения тригонометрические уравнения.

    Как к

    Для данного тригонометрического уравнения решите с помощью алгебры .

    1. Найдите образец, который предлагает алгебраическое свойство, такое как разность квадратов или возможность разложения на множители.
    2. Замените тригонометрическое выражение одной переменной, например [latex] x [/ latex] или [latex] u.{2} \ left (\ theta \ right)} & = \ pm \ sqrt {\ frac {1} {2}} && \ text {Учитывайте как положительные, так и отрицательные значения квадратного корня. {2} \ left (\ theta \ right) +3 \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) -1 = 0, \ text {} 0 \ ле \ тета <2 \ пи.2-5u + 3 = 0 \\ \ left (2 \ text {} \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) -3 \ right) \ left (\ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right ) -1 \ right) & = 0 &&& \ left (2u-3 \ right) \ left (u-1 \ right) \ end {align *} [/ latex] [latex] \ text {} [/ latex] [ латекс] \ [/ латекс]

      Теперь установите каждый коэффициент равным нулю и решите два уравнения [latex] 2 \ text {} \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) -3 = 0 [/ latex] и [latex] \ mathrm {sin } \ left (\ theta \ right) -1 = 0. [/ latex]

      Для первого уравнения

      [латекс] \ begin {align *} 2 \ text {} \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) -3 & = 0 \\ 2 \ text {} \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) & = 3 && \ textrm {Добавьте 3 с обеих сторон.} \\ \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) & = \ frac {3} {2} && \ textrm {Разделите обе стороны на 2.} \\ \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ справа) & \ ne \ frac {3} {2} && \ frac {3} {2} \ textrm {не входит в домен функции синуса.} \ end {align *} [/ latex] [latex] \ текст {} [/ latex] [латекс] \\ [/ latex]

      Первое уравнение не имело решения. Чтобы решить второе уравнение,

      [латекс] \ begin {align *} \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) -1 & = 0 \\ \ mathrm {sin} \ left (\ theta \ right) & = 1 && \ textrm {Добавить 1 в обе стороны.} \\\ theta & = \ frac {\ pi} {2} && \ textrm {Синус равен единице только для квадрантного угла.} \ end {align *} [/ latex] [latex] \ text {} [/ latex] [латекс] \ [/ латекс]

      Единственное решение для этого уравнения — [latex] \ theta = \ frac {\ pi} {2}. [/ Latex]

      Анализ

      Обязательно проверьте все решения в данном домене, так как некоторые факторы не имеют решения. Это потому, что диапазон синусоидальной функции [latex] \ left [-1,1 \ right]. [/ Latex]

      Пример 12: Решение уравнения с использованием идентификатора

      Точно решите уравнение, используя тождество: [латекс] 3 \ text {} \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) + 3 = 2 \ text {} {\ mathrm {sin}} ^ {2} \ слева (\ theta \ right), \ text {} 0 \ le \ theta <2 \ pi. 2 + 3u + 1 = 0 \\ \ left (2 \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) +1 \ right) \ left (\ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) +1 \ right) & = 0 && \ left (2u + 1 \ right) \ left (u + 1 \ right) = 0 \ end {align *} [/ latex] [латекс] \ [/ латекс]

      Работая с множителями с помощью косинуса, установите каждый множитель равным нулю и решите.[латекс] \ [/ латекс]

      [латекс] \ begin {align *} 2 \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) + 1 & = 0 & \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) + 1 & = 0 \\ \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = — \ frac {1} {2} & \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = — 1 \\\ theta & = \ frac {2 \ pi} {3}, \ text {} \ frac {4 \ pi} {3} \ text {} \ text {} \ text {} \ text {} \ text {} & \ theta & = \ pi \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

      Опять же, помните, что есть два квадранта, где [latex] \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) = — \ frac {1} {2}.{2} \ left (\ theta \ right) + \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) = 0. [/ Latex]

      Показать решение

      [латекс] \ frac {\ pi} {2}, \ text {} \ frac {2 \ pi} {3}, \ text {} \ frac {4 \ pi} {3}, \ text {} \ frac {3 \ pi} {2} [/ латекс]

      Решение тригонометрических уравнений с использованием основных тождеств

      Хотя алгебру можно использовать для решения ряда тригонометрических уравнений, мы также можем использовать фундаментальные тождества, потому что они упрощают решение уравнений. Помните, что методы, которые мы используем для решения проблем, не совпадают с методами проверки личности.Здесь применяются основные правила алгебры, а не переписывание одной стороны идентичности для соответствия другой стороне. В следующем примере мы используем два тождества, чтобы упростить уравнение.

      В этом разделе нам нужно будет использовать несколько новых идентификаторов. Их называют двойными углами . Мы не будем тратить время на то, чтобы показывать, откуда взялись следующие личности. Имейте в виду, что есть другие тригонометрические тождества, которые мы не рассмотрели в этом материале. {2 } \ left (\ theta \ right) -1 & = \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) && \ text {Замените левую часть идентичностью.{2} \ left (\ theta \ right) — \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) -1 & = 0 && \ text {Переместить все термины в одну сторону.} \\ \ left (2 \ mathrm {cos } \ left (\ theta \ right) +1 \ right) \ left (\ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) -1 \ right) & = 0 && \ text {Разложите на множители левую часть.} \ end {align *} [/ латекс]

      [латекс] \ [/ латекс]

      Установите множители равными нулю и решите.

      [латекс] \ begin {align *} 2 \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) + 1 & = 0 & \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) -1 & = 0 \\\ mathrm { cos} \ left (\ theta \ right) & = — \ frac {1} {2} & \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) & = 1 \\\ theta & = \ frac {2 \ pi} {3} \ pm2 \ pi k & \ theta & = 0 \ pm2 \ pi k \\\ theta & = \ frac {4 \ pi} {3} \ pm2 \ pi k \ end {align *} [/ latex]

      Решение тригонометрических уравнений с несколькими углами

      Иногда невозможно решить тригонометрическое уравнение с тождествами, которые имеют несколько углов, например [latex] \ mathrm {sin} \ left (2x \ right) [/ latex] или [latex] \ mathrm {cos} \ влево (3x \ вправо).[/ latex] Столкнувшись с этими уравнениями, вспомните, что [latex] y = \ mathrm {sin} \ left (2x \ right) [/ latex] — это горизонтальное сжатие с коэффициентом 2 от функции [latex] y = \ mathrm {sin} \ left (x \ right). [/ latex] На интервале [latex] 2 \ pi, [/ latex] мы можем изобразить два периода [latex] y = \ mathrm {sin} \ left (2x \ right), [/ latex] в отличие от одного цикла [latex] y = \ mathrm {sin} \ left (x \ right). [/ Latex] Такое сжатие графика заставляет нас думать, что может быть вдвое больше x -перехватов или решений для [latex] \ mathrm {sin} \ left (2x \ right) = 0 [/ latex] по сравнению с [latex] \ mathrm {sin} \ left (x \ right) = 0.[/ latex] Эта информация поможет нам решить уравнение аналогичного типа, показанное в примере.

      Пример 14: Решение многоугольного тригонометрического уравнения

      Точное решение: [latex] \ mathrm {cos} \ left (2x \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex] на [latex] \ left [0,2 \ pi \ right). [/ латекс]

      Показать решение

      Мы видим, что это уравнение является стандартным уравнением с углом, кратным углу. Если [latex] \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) = \ frac {1} {2}, [/ latex], мы знаем, что [latex] \ theta [/ latex] находится в квадрантах I и IV.{-1} \ left (\ frac {1} {2} \ right) [/ latex] даст решения только в квадрантах I и II из-за диапазона функции обратного косинуса, мы понимаем, что решения уравнения [ latex] \ mathrm {cos} \ left (\ theta \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex] будет в квадрантах I и IV, используя идеи из нашего единичного круга.

      Следовательно, возможные углы: [latex] \ theta = \ frac {\ pi} {3} [/ latex] и [latex] \ theta = \ frac {5 \ pi} {3}. [/ Latex] Итак, [latex] 2x = \ frac {\ pi} {3} [/ latex] или [latex] 2x = \ frac {5 \ pi} {3}, [/ latex], что означает, что [latex] x = \ frac { \ pi} {6} [/ latex] или [latex] x = \ frac {5 \ pi} {6}.[/ latex] [latex] \\ [/ latex] Есть ли в этом смысл? Да, потому что [латекс] \ mathrm {cos} \ left (2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ right) = \ mathrm {cos} \ left (\ frac {\ pi} {3 } \ right) = \ frac {1} {2}. [/ latex]

      Есть ли другие возможные ответы? Вернемся к нашему первому шагу.

      В квадранте I [latex] 2x = \ frac {\ pi} {3}, [/ latex], поэтому [latex] x = \ frac {\ pi} {6} [/ latex], как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

      [латекс] \ begin {align *} 2x & = \ frac {\ pi} {3} +2 \ pi \\ 2x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {6 \ pi} {3} \ \ 2x & = \ frac {7 \ pi} {3} \\ x & = \ frac {7 \ pi} {6} \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

      Еще один оборот дает

      [латекс] \ begin {align *} 2x & = \ frac {\ pi} {3} +4 \ pi \\ 2x & = \ frac {\ pi} {3} + \ frac {12 \ pi} {3} \ \ 2x & = \ frac {13 \ pi} {3} \\ x & = \ frac {13 \ pi} {6} \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

      [latex] x = \ frac {13 \ pi} {6}> 2 \ pi, [/ latex], поэтому это значение для [latex] x [/ latex] больше, чем [latex] 2 \ pi, [/ latex ] так что это не решение для [латекса] \ left [0,2 \ pi \ right).[/ латекс]

      В квадранте IV [латекс] 2x = \ frac {5 \ pi} {3}, [/ latex], поэтому [латекс] x = \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex], как указано. Давайте снова вращаемся по кругу:

      [латекс] \ begin {align *} 2x & = \ frac {5 \ pi} {3} +2 \ pi \\ 2x & = \ frac {5 \ pi} {3} + \ frac {6 \ pi} {3 } \\ 2x & = \ frac {11 \ pi} {3} \\ x & = \ frac {11 \ pi} {6} \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

      Еще один оборот дает

      [латекс] \ begin {align *} 2x & = \ frac {5 \ pi} {3} +4 \ pi \\ 2x & = \ frac {5 \ pi} {3} + \ frac {12 \ pi} {3 } \\ 2x & = \ frac {17 \ pi} {3} \\ x & = \ frac {17 \ pi} {6} \ end {align *} [/ latex] [latex] \\ [/ latex]

      [latex] x = \ frac {17 \ pi} {6}> 2 \ pi, [/ latex], поэтому это значение для [latex] x [/ latex] больше, чем [latex] 2 \ pi, [/ latex ], что означает, что это не решение для [латекса] \ left [0,2 \ pi \ right).[/ латекс]

      Наши решения: [latex] \ frac {\ pi} {6}, \ text {} \ frac {5 \ pi} {6}, \ text {} \ frac {7 \ pi} {6}, [/ latex ] и [latex] \ frac {11 \ pi} {6}. [/ latex] Обратите внимание, что всякий раз, когда мы решаем задачу в форме [latex] \ mathrm {sin} \ left (nx \ right) = c [/ latex] или [latex] \ mathrm {cos} \ left (nx \ right) = c, [/ latex] мы должны обойти единичный круг [латекс] {n} [/ latex] раз.

      Мы легко это увидим, если сначала напишем решение для [latex] 2x [/ latex] в общем виде. Одно из этих уравнений показано ниже:

      [латекс] \ begin {align *} 2x & = \ frac {\ pi} {3} +2 \ pi \ cdot k \\ x & = \ frac {\ pi} {6} + \ pi \ cdot k && \ text { Разделите обе стороны на 2.} \ end {align *} [/ latex] [латекс] \\ [/ latex]

      Теперь мы видим, что добавление [latex] \ pi [/ latex] к [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] дает нам [latex] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] и что добавление [latex] 2 \ cdot \ pi [/ latex] даст нам [latex] \ frac {13 \ pi} {6} [/ latex], который больше, чем [latex] 2 \ pi. [/ латекс]

      Ключевые понятия

      • При решении линейных тригонометрических уравнений мы можем использовать алгебраические методы так же, как при решении алгебраических уравнений. Ищите закономерности, такие как разница квадратов, квадратичная форма или выражение, которое хорошо поддается замене.
      • Уравнения, включающие единственную тригонометрическую функцию, можно решить или проверить с помощью единичной окружности.
      • Мы также можем решать тригонометрические уравнения с помощью графического калькулятора.
      • Многие уравнения имеют квадратичную форму. Мы можем использовать подстановку, чтобы уравнение выглядело проще, а затем использовать те же методы, которые мы используем при решении алгебраической квадратичной системы: разложение на множители, квадратичная формула и т. Д.
      • Мы также можем использовать тождества для решения тригонометрического уравнения.
      • Мы можем использовать подстановку для решения многоугольного тригонометрического уравнения, которое является сжатием стандартной тригонометрической функции. Нам нужно будет учесть сжатие и убедиться, что мы нашли все решения на заданном интервале.

      4.2: Тригонометрические уравнения — математика LibreTexts

      Основные вопросы

      Следующие вопросы помогут нам в изучении материала этого раздела. Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и уметь писать точные, последовательные ответы на эти вопросы.

      • Что такое тригонометрическое уравнение?
      • Что значит решить тригонометрическое уравнение?
      • Чем тригонометрическое уравнение отличается от тригонометрического тождества?

      Мы уже научились решать некоторые типы тригонометрических уравнений. В разделе 2.6 мы узнали, как использовать обратные тригонометрические функции для решения тригонометрических уравнений.

      Начало деятельности

      Вернитесь к методу из Раздела 2.6, чтобы найти все решения уравнения \ (\ sin (x) = 0,4 \).

      Тригонометрические уравнения

      Когда луч света из точки \ (P \) отражается от поверхности в точке \ (R \), чтобы осветить точку \ (Q \), как показано слева на рисунке 4.1, свет образует два угла \ (\ альфа \) и \ (\ beta \) с перпендикуляром к поверхности. Угол \ (\ alpha \) называется углом падения , а угол \ (\ beta \) называется углом отражения . Закон отражения гласит, что когда свет отражается от поверхности, угол падения равен углу отражения.Что произойдет, если свет пройдет через одну среду (скажем, воздух) из точки \ (P \), отклонится в другую среду (например, воду), чтобы добраться до точки \ (Q \)? Подумайте, что произойдет, если вы посмотрите на объект в стакане с водой. См. Рисунок 4.1 справа. Снова свет образует два угла \ (\ alpha \) и \ (\ beta \) с перпендикуляром к поверхности. Угол \ (\ alpha \) называется углом падения , а угол \ (\ beta \) называется углом преломления . Если свет проходит из воздуха в воду, закон преломления гласит, что \ [\ dfrac {\ sin (\ alpha)} {\ sin (\ beta)} = \ dfrac {c_ {a}} {c_ {w}} \ ]

      Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Отражение и преломление.

      где \ (c_ {a} \) — скорость света в воздухе, а \ (c_ {w} \) — скорость света в воде. Отношение \ (\ dfrac {c_ {a}} {c_ {w}} \) скорости света в воздухе к скорости света в воде может быть вычислено экспериментально. На практике скорость света в каждой среде сравнивается со скоростью света в вакууме. Отношение скорости света в вакууме к скорости света в воде составляет около 1,33. Это называется показателем преломления воды. Показатель преломления воздуха очень близок к 1, поэтому отношение \ (\ dfrac {c_ {a}} {c_ {w}} \) близко к 1.33. Обычно мы можем измерить угол падения, поэтому Закон преломления может сказать нам, каков угол преломления, решив уравнение (6).

      Тригонометрические уравнения возникают в различных ситуациях, например, в Законе преломления, и в различных дисциплинах, включая физику, химию и инженерию. По мере развития тригонометрических тождеств в этой главе мы также будем использовать их для решения тригонометрических уравнений.

      Напомним, что уравнение (6) является условным уравнением , потому что оно не верно для всех допустимых значений переменной. решить условное уравнение означает найти все значения переменных, которые делают два выражения по обе стороны от уравнения равными друг другу.

      Уравнения линейного типа

      Раздел 2.6 показал нам, как решать тригонометрические уравнения, которые сводятся к линейным уравнениям. Мы рассмотрим эту идею в нашем первом примере.

      Пример \ (\ PageIndex {1} \): (Решение уравнения линейного типа)

      Рассмотрим уравнение \ [2 \ sin (x) = 1.\]
      Мы хотим найти все значения \ (x \), которые удовлетворяют этому уравнению. Обратите внимание, что это уравнение очень похоже на линейное уравнение \ (2y = 1 \) с \ (\ sin (x) \) вместо \ (y \). Итак, это тригонометрическое уравнение линейного типа, и мы говорим, что оно линейно по \ (\ sin (x) \). Мы знаем, как решить \ (2y = 1 \), мы просто делим обе части уравнения на 2, чтобы получить \ (y = \ dfrac {1} {2} \). Мы можем применить ту же алгебраическую операцию к \ (2 \ sin (x) = 1 \), чтобы получить уравнение \ [\ sin (x) = \ dfrac {1} {2}.{-1} (\ dfrac {1} {2}) = \ dfrac {\ pi} {6} \).

      Напомним, однако, это не единственное решение. Первая задача — найти все решения за один полный период синусоидальной функции. Мы можем использовать интервал с \ (0 \ leq x \ leq 2 \ pi \), но мы часто используем интервал \ (- \ pi \ leq x \ leq \ pi \). В этом случае это не имеет значения, поскольку функция синуса положительна во втором квадранте. Используя \ (\ dfrac {\ pi} {6} \) в качестве опорного угла, мы видим, что \ (x = \ pi — \ dfrac {\ pi} {6} = \ dfrac {5 \ pi} {6} \ ) — другое решение этого уравнения.(Воспользуйтесь калькулятором, чтобы проверить это.)
      Теперь мы используем тот факт, что функция синуса — это период с периодом \ (2 \ pi \), чтобы написать формулы, которые можно использовать для генерации всех решений уравнения \ (2 \ грех (х) = 1 \).

      Итак, углы в первом квадранте равны \ (\ dfrac {\ pi} {6} + k (2 \ pi) \). а углы во втором квадранте равны \ (\ dfrac {5 \ pi} {6} + k (2 \ pi) \), где \ (k \) — целое число. Итак, для решений уравнения \ (2 \ sin (x) = 1 \) мы пишем \ (x = \ dfrac {\ pi} {6} + k (2 \ pi) \) или \ (x = \ dfrac {5 \ pi} {6} + k (2 \ pi) \), где \ (k \) — целое число.

      Мы всегда можем проверить наши решения, построив график обеих сторон уравнения, чтобы увидеть, где пересекаются два выражения. Рисунок 4.2 показывает, что графики \ (y = 2 \ sin (x) \) и \ (y = 1 \) на интервале \ ([- 2 \ pi, 3 \ pi] \). Мы видим, что точки пересечения этих двух кривых находятся в точном соответствии с решениями, которые мы нашли для этого уравнения.

      Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

      Найдите точные значения всех решений уравнения \ (4 \ cos (x) = 2 \ sqrt {2} \). Сделайте это, сначала найдя все решения за один полный период функции косинуса и

      Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): графики \ (y = 2 \ sin (x) \) и \ (y = 1 \)

      , а затем с помощью свойства периодичности написать формулы, которые можно использовать для генерации всех решений уравнения.Нарисуйте соответствующие графики, чтобы проиллюстрировать ваши решения.

      Ответ

      Разделим обе части уравнения \ (4 \ cos (x) = 2 \ sqrt {2} \), чтобы получить \ (\ cos (x) = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \). {- 1} (0.{-1} (0.7) + k (2 \ pi) \), где \ (k \) — некоторое целое число.

      Примечание

      Примечание. В начале упражнения для этого раздела использовалось уравнение \ (\ sin (x) = 0,4 \). Решениями этого уравнения являются
      \ (x = \ arcsin (0.4) + k (2 \ pi) \) и \ (x = (\ pi — \ arcsin (0.4)) + k (2 \ pi) \), где \ (k \) — некоторое целое число.

      Мы можем записать решения в приближенной форме как \ (x = 0,41152 + k (2 \ pi) \) и \ (x = 2,73008 + k (2 \ pi) \), где \ (k \) — целое число.

      Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

      1. Определите формулы, которые можно использовать для генерации всех решений уравнения \ (5 \ sin (x) = 2 \).{2} (х — 4 \ sin (x) = -3) \). Нарисуйте соответствующие графики, чтобы проиллюстрировать ваши решения.

        Ответ

        Запишем уравнение как \ (\ sin (x) — 4 \ sin (x) + 3 = 0 \) и разложим правую часть на множители, чтобы получить \ ((\ sin (x) — 3) (\ sin (x) — 1) = 0 \). Итак, мы видим, что \ (\ sin (x) — 3 = 0 \) или \ (\ sin (x) — 1 = 0 \). Однако уравнение \ (\ sin (x) — 3 = 0 \) эквивалентно \ (\ sin (x) = 3 \), и это уравнение не имеет решения. Мы пишем \ (\ sin (x) — 1 = 0 \) как \ (\ sin (x) = 1 \), и поэтому решения равны

        .

        \ [x = \ dfrac {\ pi} {2} + 2 \ pi k \]

        , где \ (k \) — целое число.

        Сводка

        В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

        Тригонометрическое уравнение — это условное уравнение, которое включает тригонометрические функции. Если есть возможность записать уравнение в виде

        \ (\ text {«некоторая тригонометрическая функция} x \ text {«} = \ text {число} \)

        , мы можем использовать следующую стратегию для решения уравнения:

        • Найти все решения уравнения в пределах одного периода функции.Часто это делается с помощью свойств тригонометрической функции. Довольно часто в течение одного периода может быть два решения.
        • Используйте период функции, чтобы выразить формулы для всех решений, добавив целые числа, кратные периоду, к каждому решению, найденному на первом шаге. Например, если функция имеет период \ (2 \ pi \), а \ (x_ {1} \) и \ (x_ {2} \) — единственные два решения в полном периоде, тогда мы должны написать решения уравнения как \ [x = x_ {1} + k (2 \ pi), x = x_ {2} + k (2 \ pi) \], где \ (k \) — целое число:

        Иногда мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать данное уравнение в форме уравнения (1).

        Основные тригонометрические уравнения

        Углы (аргументы функций): \ (x, \) \ ({x_1}, \) \ ({x_2} \)
        Набор целых чисел: \ (\ mathbb {Z} \)
        Целое число: \ (n \)
        Вещественное число: \ (a \)

        Тригонометрические функции: \ (\ sin x, \) \ (\ cos x, \) \ (\ tan x, \) \ (\ cot x \)
        Обратные тригонометрические функции: \ (\ arcsin a, \) \ (\ arccos a, \) \ (\ arctan a, \) \ (\ text {arccot} a \)

        1. Уравнение, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением.n} \ arcsin a + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z}. \)
          Эта формула содержит две ветви решений:
          \ ({x_1} = \ arcsin a + 2 \ pi n \ ), \ ({X_2} = \ pi — \ arcsin a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \).
        2. В простом случае \ (\ sin x = 1 \) решение имеет вид
          \ (x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \).
        3. Аналогично, решение уравнения \ (\ sin x = -1 \) дается формулой
          \ (x = — \ pi / 2 + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \ ).
        4. Случай \ (\ sin x = 0 \) (нули синуса)
          \ (x = \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \).
        5. Уравнение \ (\ cos x = a \)

        6. Если \ (\ left | a \ right | \ gt 1, \), уравнение \ (\ cos x = a \) не имеет решений.
        7. Если \ (\ left | a \ right | \ le 1, \), общее решение уравнения \ (\ cos x = a \) имеет вид
          \ (x = \ pm \ arccos a + 2 \ pi n , \) \ (n \ in \ mathbb {Z}. \)
          Эта формула включает два набора решений:
          \ ({x_1} = \ arccos a + 2 \ pi n \), \ ({x_2} = — \ arccos a + 2 \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z} \).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.