Решить уравнение 6 x 3 x 7: Решите уравнение 6-x/3=x/7 (6 минус х делить на 3 равно х делить на 7)

3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x2 +x +1).

Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x3 -2x +1.

Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

Число «Пи» записывается, как pi

Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

Содержание

Производные и интегралы

Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity). 8

Оператор factor раскладывает число на множители

! выводит факториал, например 123!

Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

Урок 27. решение уравнений вида: х ∙ 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46 – 30 — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок № 27. Решение уравнений вида: х · 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 · 5,80 : х = 46 – 30

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— как решать уравнения вида: x∙ 8 = 26 + 70, x : 6 = 18 ∙ 5, 80 : x = 46 – 30

— какой алгоритм решения данных уравнений?

Глоссарий по теме:

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Алгоритм — последовательность действия (шагов)

Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.1 — М.; Просвещение, 2017. – с.80

2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35

3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.44-45.

4. Волкова С.И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.40-41.

5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.

Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.

Если 60 разделить на 20, получится 3.

Если 60 разделить на 3, получится 20.

Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.

20 ∙ 3 = 60

60 : 20 = 3

60 : 3 = 20

Решим уравнение:

произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.

13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:

91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.

А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.

Вспомним, как связаны между собой числа при делении.

Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.

Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.

Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.

15 : 3 = 5

3 ∙ 5 = 15

15 : 5 = 3

Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.

Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.

А как решить такое уравнение? Вычислим произведение в правой части: 18 умножить на 5 получим 90. Получается уравнение, в котором неизвестно делимое. Вы уже знаете, как его решать. Выполним проверку решения уравнения. Подставим число 540 вместо икс, вычислим левую часть и правую часть выражения: 90 равно 90. Значит уравнение решили верно.

Задания тренировочного модуля:

1.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.

91 : х = 13

x = 20

х : 21=4

x = 7

24 ∙x = 96

x = 84

x∙ 3 = 60

x = 4

Правильный ответ:

91 : х = 13

x = 7

х : 21= 4

x = 84

24 ∙x = 96

x = 4

x∙3 = 60

x = 20

2. Выполните вычисления и выделите верный ответ:

7 ∙x = 140 : 2

Варианты ответов: 10, 400, 2

Правильный вариант:

10

3.Решите уравнение, подчеркните правильный ответ:

(80 : у) ∙ 700 = 2800

Варианты ответов:

2, 4, 20

Правильные варианты:

20

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение

Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

Уравнения 5 класса | Математика

Сегодня мы рассмотрим более сложные уравнения 5 класса, содержащие несколько действий.   Чтобы найти неизвестную переменную, в таких уравнениях надо применить не одно, а два правила.

1) x:7+11=21

Выражение, стоящее в левой части — сумма двух слагаемых

x:7 +   11 =  21
1сл. 2сл. сум.

Таким образом, переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:

x:7=21-11

x:7=10

Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

x=10∙7

x=70

Ответ: 70.

2) 65-5z=30

Правая часть уравнения представляет собой разность:

65   5z =  30
ум.    в.   р.

Переменная z является частью неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

5z=65-30

5z=35

Получили простое уравнение, в котором z — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

z=35:5

z=7

Ответ: 7.

3) 120:y-23=17

В правой части уравнения — разность. Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого.

120:y  23 =  17
   ум.   в.   р.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:

120:y=17+23

120:y=40

Здесь y — неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:

y=120:40

y=3

Ответ: 3.

4) (48+k)∙8=400

Левая часть уравнения представляет собой произведение. Переменная k — часть первого множителя:

(48+k) ·  8 =  400
   1мн 2мн   пр

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

48+k=400:8

48+k=50

В новом уравнении k — неизвестное слагаемое:

k=50-48

k=2

Ответ: 2.

Здесь мы решали уравнения 5 класса без использования свойств сложения и вычитания.  В 6 классе правила раскрытия скобок упрощаются, и решать такие уравнения становится проще.

Методическая разработка урока по теме «Решение уравнений». 6-й класс

Тип урока: урок изучения нового материала

Формы работы учащихся: фронтальная,
парная, индивидуальная.

Оборудование: мультимедийный экран,
проектор, презентация

Цели и задачи урока:

  • образовательные: показать решение
    уравнений способом переноса слагаемых из одной
    части в другую, изменив при этом их знаки на
    противоположные; ввести определение линейного
    уравнения; научить решать линейные уравнения;
  • развивающие: развить логическое мышление
    учащихся; обучать самостоятельно углублять
    знания; развивать память, внимание,
    сообразительность, умение рассуждать;
  • воспитательные: формировать
    самостоятельность, воспитывать познавательную
    активность, внимательность, аккуратность,
    учиться преодолевать трудности, сформировать у
    учащихся положительный мотив учения.

Планируемые результаты обучения:

  • Предметные: уметь в процессе реальной
    ситуации использовать понятия “уравнение”,
    “равенство”, “корень уравнения”;
    познакомиться со свойствами уравнений; новым
    способом решения уравнений; отрабатывать умение
    решать уравнения.
  • Регулятивные: самостоятельно ставить
    новые учебные задачи путем задавания вопросов о
    неизвестном; планировать собственную
    деятельность, определять средства для ее
    осуществления.
  • Познавательные: извлекать необходимую
    информацию из прослушанного материала;
    структурировать информацию в виде записи
    выводов и определений.
  • Коммуникативные: умение работать в парах,
    слушать собеседника и вести диалог,
    аргументировать свою точку зрения; эффективно
    сотрудничать.
  • Личностные: умение правильно излагать свои
    мысли, понимать смысл поставленной задачи.

Структура урока:

1) Организационный момент.

2) Мотивация учебной деятельности учащихся.

3) Постановка целей и задач урока.

4) Актуализация опорных знаний.

5) Первичное усвоение новых знаний.

6) Первичное осмысление и закрепление знаний.

7) Самостоятельная работа с самопроверкой по
эталону.

8) Информация о домашнем задании.

9) Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Мотивация учебной деятельности учащихся.

III. Постановка цели и задач урока.

— Я хочу, чтобы мы с вами сегодня научились
решать уравнения новым способом. Но для
облегчения усвоения новой темы вспомним
необходимые для этого пройденные материалы.

IV. Актуализация опорных знаний.

— Вспомните правила знаков при сложении,
умножении и вычитании (учащиеся проговаривают).

— Как раскрываются скобки, если перед скобкой
стоит знак минус?

— Как раскрываются скобки, если перед скобкой
стоит знак плюс?

— Как раскрываются скобки, если перед скобкой
стоит множитель?

1. Устный счет (Слайд 2)

2. Раскрытие скобок и приведение подобных
слагаемых. (Слайды 3-9).

  • 12-(3+а)= ;
  • 12в-(2в+а)= ;
  • 3в+(2в-14)= ;
  • (10-2а)-(4а+3)= ;
  • 3*(х-2)-2*(х-3)= ;
  • (2m-1)+2(3n-m)= ;
  • -(5у-2х) +2(у+3х)= .

3. Какое равенство называют уравнением? (Слайд
10)

— Что значит решить уравнение?

— Назовите компоненты уравнения a * b = c.

— Сформулируйте правило нахождения
неизвестного множителя.

— Назовите компоненты сложения a + b = c.

— Сформулируйте правило нахождения
неизвестного слагаемого.

4. Решите уравнения. (Слайд 11).

1). 8 x = 56.

Решение:

— По правилу нахождения неизвестного множителя
имеем:

x = 56 : 8

x = 7.

— Как иначе можно было решить уравнение?

— Разделить обе части уравнения на одно и то
же число 8.

2). у + 20 = 44. (Слайд 12).

Решение:

По правилу нахождения неизвестного слагаемого,
имеем

у = 44 – 20,

у = 24.

— Обратите внимание на слагаемое 20. С каким
знаком перешло из правой части уравнения в левую
часть?

3). 4 *(x + 5) = 12. (Слайд 13).

Решение:

— По правилу нахождения неизвестного множителя
имеем: x + 5 = 12:4, x + 5 = 3.

— По правилу отыскания неизвестного слагаемого x
= 3 – 5
,

— Мы видим, что слагаемое (+5) перешло из левой
части уравнения в правую часть с противоположным
знаком.

x =-2.

— Как иначе можно было решить уравнение?

— Разделить обе части уравнения на одно и то
же число 4 или умножить обе части на ?.

Вывод: Корни уравнения не изменяются:
если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и то же число, не равное нулю;
если слагаемое без переменной перенести из левой
части уравнения в правую часть с противоположным
знаком. (Слайд 14).

V. Первичное усвоение новых знаний. (Слайд 15-17).

1. Решите уравнение.

5x=2x+ 6.

— Чем это уравнение отличается от тех, которые
мы умеем решать? (Cодержит неизвестное в обеих
частях уравнения).

— Значит, тема  урока: “Решение
уравнений, содержащих неизвестные в обеих
частях”.

— Какова цель урока?

— Научиться решать уравнения.

— Уравнение – это равенство. Где в жизни мы
встречаемся с понятием равенство? (Называют
возможные варианты, например,  при
взвешивании).

Актуализация и постановка проблемы.

1. Решить задачу. Найти сколько весит батон.

— Давайте посмотрим. Сейчас весы находятся в
равновесии. Что произойдет, если с одной чаши
весов убрать груз?

— Чаша с гирями перевесит.

– А что надо сделать, чтобы весы снова
оказались в равновесии?

— Убрать гири.

— Как это применить при решении уравнений?
(Нужно получить такое уравнение, чтобы
неизвестные оказалось в одной части, например,
слева).

— Что для этого необходимо сделать?

— Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (снимем
с обеих чашек весов по 2 батона).

— Получим 5х-2х=2х-2х+6. Значит, 5х-2х=6. Это уравнение
можно получить из данного, если слагаемое 2х
перенести из правой части в левую часть, изменив
его знак на противоположный.

— Решая уравнение 5х-2х=6, получим 3х=6 и х=2.

— Хорошо! Давайте рассмотрим такую ситуацию:
“Вы пришли из школы домой. Что вы делаете в
первую очередь, когда заходите в квартиру?”
(Поменяем обувь).

— В первую очередь, когда переходите порог, вам
обязательно надо поменять обувь.

— Давайте представим, что знак “=” — это дверь, а
знак числа – это ваша обувь. Когда мы переходим
порог, меняем обувь, то есть, если число переносим
из одной части в другую, мы должны поменять знак
слагаемого.

— Корни уравнения не изменяются, если
какое-нибудь слагаемое перенести из одной части
уравнения в другую, изменив при этом его знак.
(Записывают в тетрадях вывод).

— Принято при решении уравнений переносить
слагаемые так, чтобы в левой части уравнения были
неизвестные числа, а в правой — известные числа.

— Молодцы, с первым этапом урока вы справились
хорошо.

— А теперь вы должны показать, как умеете
применять эти знания при решении тренировочных
упражнений.

VI. Первичное осмысление и закрепление знаний.

— Решить №1314 и 1315 (Работают в парах).

— Какое свойство уравнений вы применили? (Решают
в тетрадях, одна из пар объясняет решение с места
№1314, а другая — №1315. Называют свойство корней
уравнения).

1. Решите уравнение  №1316 (а)  на доске  и в
тетрадях, проговаривая правила. (Слайды 18-25). (Учащиеся
по очереди выходят к доске и решают уравнения с
последующей проверкой).

№1316 (а).

6х-12=5х+4

Решение:

— Все члены, содержащие неизвестное, переносим в
левую часть, а известные в правую часть с
противоположным знаком:

6х-5х=4+12

— Приводим подобные слагаемые и получим:

х=16

Ответ: х=16.

На доске решаются уравнения с подробным
объяснением алгоритма.

Алгоритм решения линейного уравнения

2. Решите уравнение.

12-2(x+ 3)=26+3x.

Шаг 1. Раскрываем скобки:

12-2x-6=26+3x.

Шаг 2. Все члены, содержащие
неизвестное, переносим в левую часть, а известные
в правую часть с противоположным знаком:

-3x-2x=6-12+26.

Шаг 3. Приводим подобные слагаемые:

-5x =20.

Шаг 4. Делим обе части уравнения на
коэффициент при неизвестном и получим:

х=-4

Шаг 5. Выписываем ответ. Ответ:
-4.

3. Решите уравнение

4 (x – 3)= – (6 – 2x)

Решение:

— Раскрываем скобки:

4x – 12 = – 6 + 2x

— Все члены, содержащие неизвестное, переносим в
левую часть, а известные в правую часть с
противоположным знаком:

4x– 2x = – 6 + 12

— Приводим подобные слагаемые:

2x=6

x=6:2

x =3

Ответ: x=3

4. Решите уравнение:

7(3х – 1) = 5(x  – 3)

21х – 7 = 5х – 15

21х – 5х = – 15 + 7

16х = – 8

x = – 0,5

Ответ: — 0,5

5. Решите уравнение:

9 – (4 +x) = 5(x + 1)

9 – 4 – x  = 5х + 5

–x – 5х = 5 – 9 + 4

– 6х = 0

x = 0

Ответ: 0

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по
эталону. (Слайд 26)

1). Найдите и исправьте ошибки в решении
уравнения:

8-5(x+1)=16-4x

8-5х-1=16-4х

-5х-4х=16-7

-9х=9

х= -1

Правильное решение:

8-5(x+1)=16-4x

8-5х-5=16-4х

-5х+4х=16-3

-х=13

x = -13

Ответ: -13

2). Решите уравнения по вариантам: “Проверь
себя!”

1 вариант 2 вариант
2(3х + 7) – 8(х + 3)=0

6x + 14 – 8x – 24 = 0,

-2x – 10 = 0,

-2x = 10,

x = 10 : (-2),

x = -5

4(х – 11) – 5(2х – 7)=0

4х – 44 – 10х + 35 = 0,

-6х – 9 = 0,

-6х = 9,

х = 9 : (-6),

х = -1,5

VIII. Информация о домашнем задании.

— Наш урок подходит к концу, запишем домашнее
задание, подведем итоги.

1). Повторить правила из п.п. 41-42

2). №№ 1341 (II ст.), 1342(и — м),

IX. Итог урока.

ГДЗ. Математика 5 класс Тарасенкова. Уравнения.

Категория: —>> Математика 5 класс Тарасенкова.

Задание:  —>>      553 — 569  570 — 586 



наверх

  • Задание 553
  • Задание 554
  • Задание 555
  • Задание 556
  • Задание 557
  • Задание 558
  • Задание 559
  • Задание 560
  • Задание 561
  • Задание 562
  • Задание 563
  • Задание 564
  • Задание 565
  • Задание 566
  • Задание 567
  • Задание 568
  • Задание 569

Задание 553.

Какое из чисел 4. 5, 8 и 10 является корнем уравнения:

Решение:
1) 5; 2) 10; 3) 4.

Задание 554.

Решите уравнение устно:

Решение:
1) 15 + x: = 55,  x = 40; 3) 60 — y = 45,  y = 15; 5) 88 : x = 8,  x = 11;
2) х — 22 = 42,  x = 64; 4) у * 12 = 12,  y = 1; 6) у : 10 = 40,  y = 400.

Задание 555.

Можно ли решить уравнение:

1) 8x = 0; 2) 0 : y = 25; 3) 5х = 5 4) 12 : y = 0?

Решение:

1) x = 0;
2) Не имеет решений;
3) x = 1;
4) Не имеет решений;




Задание 556.

Решите уравнение:

Решение:
1)28 + (45 + х) = 100;

  • 45 + x = 100 — 28;
  • 45 + x = 72;
  • x = 72 — 45;
  • x = 27;

2) (у — 25) + 18 = 40;

  • y — 25 = 40 — 18;
  • y — 25 = 22;
  • y = 22 + 25;
  • y = 47;

3) (70 — х) — 35 = 12;

  • 70 — x = 35 + 12;
  • 70 — x = 47;
  • x = 70 — 47;
  • x = 23;

4) 60 -(y + 34) = 5;

  • y + 34 = 60 — 5;
  • y + 34 = 55;
  • y = 55 — 34;
  • y = 21;

5) 52 — (19 + х) = 17;

  • 19 + x = 52 — 17;
  • 19 + x = 35;
  • x = 35 — 19;
  • x = 16;

6) 9y — 18 = 72;

  • 9y = 72 + 18;
  • 9y = 90;
  • y = 90 : 9;
  • y = 10;

7) 20 + 5х = 100;

  • 5x = 100 — 20;
  • 5x = 80;
  • x = 80 : 5;
  • x = 16;

8) 90 — y * 12 = 78;

  • y * 12 = 90 — 78;
  • y * 12 = 12;
  • y = 12 : 12;
  • y = 1;

9) 10х — 44 = 56;

  • 10x = 56 + 44;
  • 10x = 100;
  • x = 100 : 10;
  • x = 10;

10) 84 — 7у = 28;

  • 7y = 84 — 28;
  • 7y = 56;
  • y = 56 : 7;
  • y = 8;
11) 121 : (х — 45) = 11;

  • x — 45 = 121 : 11;
  • x — 45 = 11;
  • x = 45 + 11;
  • x = 56;

12) 77 : (у + 10) = 7;

  • y + 10 = 77 : 7;
  • y + 10 = 11;
  • y = 11 — 10;
  • y = 1;

13) (х — 12) : 10 = 4;

  • x — 12 = 10 * 4;
  • x — 12 = 40;
  • x = 40 + 12;
  • x = 52;

14) 55 — y * 10 = 15;

  • y * 10 = 55 — 15;
  • y * 10 = 40;
  • y = 40 : 10;
  • y = 4;

15) х : 12 + 48 = 91;

  • x : 12 = 91 — 48;
  • x : 12 = 43;
  • x = 43 * 12;
  • x = 516;

16) 5y + 4y = 99;

  • 9y = 99;
  • y = 99 : 9;
  • y = 11;

17) 54х — 27х = 81;

  • 27x = 81;
  • x = 81 : 27;
  • x = 3;

18) 36y — 16y + 5y = 0;

  • 25y = 0;
  • y = 0 : 25;
  • y = 0;

19) 14х + х — 9х + 2 = 56;

  • 6x + 2 = 56;
  • 6x = 56 — 2;
  • 6x = 54;
  • x = 54 : 6;
  • x = 9;

20) 20y — 14у + 7у — 13 = 13.

  • 13y — 13 = 13;
  • 13y = 13 + 13;
  • 13y = 26;
  • y = 26 : 13;
  • y = 2;

Задание 557.

Решите уравнение:

Решение:
1) 65 + (х + 23) = 105;

  • x + 23 = 105 — 65;
  • x + 23 = 40;
  • x = 40 — 23;
  • x = 17;

2) (у — 34) — 10 = 32;

  • y — 34 = 32 + 10;
  • y — 34 = 42;
  • y = 42 + 34;
  • y = 76;

3) (48 — х) + 35 = 82;

  • 48 — x = 82 — 35;
  • 48 — x = 47;
  • x = 48 — 47;
  • x = 1;

4) 77 — (28 + y) = 27;

  • 28 + y = 77 — 27;
  • 28 — y = 50;
  • y = 50 — 28;
  • y = 22;

5) 90 + y * 8 = 154;

6) 9х + 50 = 86;

  • 9x = 86 — 50;
  • 9x = 36;
  • x = 36 : 9;
  • x = 4;

7) 120 : (х — 19) = 6;

  • x — 19 = 120 : 6;
  • x — 19 = 20;
  • x = 19 + 20;
  • x = 39;

8)(y + 50) : 14 = 4;

  • y + 50 = 14 * 4;
  • y + 50 = 56;
  • y = 56 — 50;
  • y = 6;

9) 48 + у : 6 = 95;

  • y : 6 = 95 — 48;
  • y : 6 = 47;
  • y = 6 * 47;
  • y = 282;

10) 8х + 7х — х = 42.

  • 14x = 42;
  • x = 42 : 14;
  • x = 3;

Задание 558.

Составьте уравнение, корнем которого является число:

а) 8; б) 14.

Решение:
а) 2y = 16; б) x + 7 = 21.

Задание 559.

Составьте уравнение, корнем которого является число.

а) 5; б) 9.

Решение:
а) 25 : x = 5; б) 5x = 45.

Задание 560.

Некоторое число увеличили на 67 и получили число 109. Найдите это число.

Решение:
  • Некоторое число — x.
  • x + 67 = 109;
  • x = 109 — 67;
  • x = 42.
  • Ответ: число 42.

Задание 561.

К некоторому числу прибавили 38 и получили число 245. Найдите это число.

Решение:
  • x + 38 = 245;
  • x = 245 — 38;
  • x = 207.
  • Ответ: 207.

Задание 562.

Некоторое число увеличили в 24 раза и получили число 1968. Найдите это число.

Решение:
  • 24x = 1968;
  • x = 1968 : 24;
  • x = 82.
  • Ответ: 82.

Задание 563.

Некоторое число уменьшили в 18 раз и получили число 378. Найдите это число.

Решение:
  • x : 18 = 378;
  • x = 378 * 18;
  • x = 6804.
  • Ответ: 6408.

Задание 564.

Некоторое число уменьшили на 22 и получили число 105. Найдите это число.

Решение:
  • x — 22 = 105;
  • x = 105 + 22;
  • x = 127.
  • Ответ: 127.

Задание 565.

Из числа 128 вычли некоторое число и получили 79. Найдите это число.

Решение:
  • 128 — x = 79;
  • x = 128 — 79;
  • x = 49.
  • Ответ: 49.

Задание 566.

Составьте и решите уравнение:

  • 1) сумма удвоенного числа х и числа 39 равна 81;
  • 2) разность чисел 32 и y в 2 раза меньше числа 64;
  • 3) частное суммы чисел х и 12 и числа 2 равно 40;
  • 4) сумма чисел х и 12 в 3 раза больше числа 15;
  • 5) частное разности чисел у и 12 и числа 6 равно 18;
  • 6) утроенная разность чисел у и 17 равна 63.

Решение:
  • 1) 2x + 39 = 81
    • 2x = 81 — 39;
    • 2x = 42;
    • x = 42 : 2;
    • x = 21;
  • 2) (32 — y) * 2 = 64
    • 32 — y = 64 : 2;
    • 32 — y = 32;
    • y = 32 — 32;
    • y = 0;
  • 3) (x + 12) : 2 = 40
    • x + 12 = 40 * 2;
    • x + 12 = 80;
    • x = 80 — 12;
    • x = 68;
  • 4) (x + 12) : 3 = 15
    • x + 12 = 15 * 3;
    • x + 12 = 45;
    • x = 45 — 12;
    • x = 33;
  • 5) (y — 12) : 6 = 18
    • y — 12 = 18 * 6;
    • y — 12 = 108;
    • y = 108 + 12;
    • y = 120;
  • 6) (y — 17) * 3 = 63
    • y — 17 = 63 : 3;
    • y — 17 = 21;
    • y = 21 + 17;
    • y = 38;

Задание 567.

Составьте и решите уравнение:

  • 1) разность утроенного числа у и числа 41 равна 64;
  • 2) сумма чисел 9 и х в 5 раз меньше числа 80;
  • 3) частное суммы чисел у и 10 и числа 4 равно 16;
  • 4) разность утроенного числа х и числа 17 равна 10.

Решение:
  • 1) 3y — 41 = 64
    • 3y = 64 + 41;
    • 3y = 105;
    • y = 105 : 3;
    • y = 15;
  • 2) (9 + x) * 5 = 80
    • 9 + x = 80 : 5;
    • 9 + x = 16;
    • x = 16 — 9;
    • x = 7;
  • 3) (y + 10) : 4 = 16
    • y + 10 = 16 * 4;
    • y + 10 = 64;
    • y = 64 — 10;
    • y = 54;
  • 4) 3x — 17 = 10
    • 3x = 10 + 17;
    • 3x = 27;
    • x = 27 : 3;
    • x = 9;

Задание 568.

Некоторое число увеличили на 5 и полученное число удвоили. В результате получили число 22. Найдите неизвестное число.

Решение:
  • (x + 5) * 2 = 22;
  • x + 5 = 22 : 2;
  • x + 5 = 11;
  • x = 11 — 5;
  • x = 6;

Задание 569.

Некоторое число увеличили в 7 раз и полученное число уменьшили на 54. В результате получили число 100. Найдите неизвестное число.

Решение:
  • 7x — 54 = 100;
  • 7x = 100 + 54;
  • 7x = 154;
  • x = 154 : 7;
  • x = 22;



Задание:  —>>      553 — 569  570 — 586 

Решите линейные уравнения с одним неизвестным 6x (3x-7) = 7 (7-3x) Tiger Algebra Solver

Переставьте:

Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства, из обеих частей уравнения:

6 * x * (3 * x-7) — (7 * (7-3 * x)) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:
 (6x • (3x - 7)) - 7 • (7 - 3x) = 0
 

Шаг 2:

Уравнение в конце шага 2:
 6x • (3x - 7) - 7 • (7 - 3x) = 0
 

Шаг 3:

Вытягивание аналогично условиям:

3.1 Вытяните 3x-7

Обратите внимание, что 7-3x = (- 1) • 3x-7
После вытягивания у нас остается:
(3x-7) • (6x * (-1) + (7 * (-1)))

Шаг 4:

Вытягивание, как термины:

4.1 Вытягивающие факторы:

-6x — 7 = -1 • (6x + 7)

Уравнение в конце шага 4:
 (7 - 3x) • (6x + 7) = 0
 

Шаг 5:

Теория — Истоки продукта:

5.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

 
Решение уравнения с одной переменной:

5.2 Решите: -3x + 7 = 0

Вычтите 7 из обеих частей уравнения:
-3x = -7
Умножьте обе части уравнения на (-1): 3x = 7

Разделите обе части уравнения на 3:
x = 7/3 = 2.333

 
Решение уравнения с одной переменной:

5.3 Решите: 6x + 7 = 0

Вычтите 7 из обеих частей уравнения:
6x = -7
Разделите обе части уравнения на 6:
x = -7/6 = -1,167

Было найдено два решения:

  1. x = -7/6 = -1,167
  2. x = 7/3 = 2,333

Решите квадратные уравнения x (3x-7) = 6 Tiger Algebra Solver

Переставьте:

Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства из обеих частей уравнения:

x * (3 * x-7) — (6) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:
 x • (3x - 7) - 6 = 0
 

Шаг 2:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

2.1 Факторинг 3x 2 -7x-6

Первый член 3x 2 его коэффициент равен 3.
Средний член -7x, его коэффициент -7.
Последний член, «константа», равен -6

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 3 • -6 = -18

Шаг-2: Найдите два множителя -18, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -7.

-18 + 1 = -17
-9 + 2

Шаг 3: Перепишите полином, разделяя средний член, используя два множителя, найденных на шаге 2 выше, -9 и 2
3x 2 — 9x + 2x — 6

Шаг 4: сложите первые 2 члена, извлекая одинаковые множители:
3x • (x-3)
Сложите последние 2 члена, вытащив общие множители:
2 • (x-3)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(3x + 2) • (x-3)
Требуемая факторизация

Уравнение в конце шага 2:
 (x - 3) • (3x + 2) = 0
 

Шаг 3:

Теория — Истоки продукта:

3.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

 
Решение уравнения с одной переменной:

3.2 Решите: x-3 = 0

Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения:
x = 3

 
Решение уравнения с одной переменной:

3.3 Решите: 3x + 2 = 0

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
3x = -2
Разделите обе части уравнения на 3:
x = -2/3 = -0,667

 

Дополнение: Непосредственное решение квадратного уравнения

 Непосредственное решение 3x  2  -7x-6 = 0 

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, поиск вершины:

4.1 Найдите вершину y = 3x 2 -7x-6

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент при первом члене, 3, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 1,1667

Подставив в формулу параболы 1,1667 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 3,0 * 1,17 * 1,17 — 7,0 * 1,17 — 6,0
или y = -10,083

Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения с осью X:

Корневой график для: y = 3x 2 -7x-6
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {1.17}
Вершина в точке {x, y} = {1.17, — 10.08}
x -Перехват (корни):
Корень 1 при {x, y} = {-0,67, 0,00}
Корень 2 при {x, y} = {3.00, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

4.2 Решение 3x 2 -7x-6 = 0, заполнив квадрат.

Разделите обе части уравнения на 3, чтобы получить 1 в качестве коэффициента первого члена:
x 2 — (7/3) x-2 = 0

Добавьте 2 к обеим сторонам уравнения:
x 2 — (7/3) x = 2

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 7/3, разделите его на два, получив 7/6, и возведите его в квадрат, получив 49/36

Прибавляем 49/36 к обеим частям уравнения:
В правой части имеем:
2 + 49/36 или, (2/1) + (49/36)
Общий знаменатель двух дробей равен 36. (72/36) + (49/36) дает 121/36
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы окончательно получаем:
x 2 — (7/3) x + (49/36) = 121/36

Сложение 49 / 36 превратил левую часть в полный квадрат:
x 2 — (7/3) x + (49/36) =
(x- (7/6)) • (x- (7/6) ) =
(x- (7/6)) 2
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x 2 — (7/3) x + (49/36) = 121/36 и
x 2 — (7/3) x + (49/36) = (x- (7/6)) 2
тогда, согласно закону транзитивности,
(x- (7/6)) 2 = 121/36

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 4.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x- (7/6)) 2 равен
(x- (7/6)) 2/2 =
(x- (7/6)) 1 =
x- (7/6)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 4.2.1 получаем:
x- (7/6) = √ 121/36

Добавьте 7/6 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 7/6 + √ 121/36

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 — (7/3) x — 2 = 0
имеет два решения:
x = 7/6 + √ 121/36
или
x = 7/6 — √ 121/36

Обратите внимание, что √ 121/36 можно записать как
√ 121 / √ 36, что равно 11/6

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу

4.3 Решение 3x 2 -7x-6 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

— B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 3
B = -7
C = -6

Соответственно B 2 — 4AC =
49 — (-72) =
121

Применение квадратичной формулы:

7 ± √ 121
x = —————
6

Можно ли упростить √ 121?

Да! Разложение на простые множители 121 равно
11 • 11
Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).

√ 121 = √ 11 • 11 =
± 11 • √ 1 =
± 11

Итак, теперь мы смотрим на:
x = (7 ± 11) / 6

Два реальных решения:

x = ( 7 + √121) / 6 = (7 + 11) / 6 = 3.000

или:

x = (7-√121) / 6 = (7-11) / 6 = -0,667

Были найдены два решения :

  1. x = -2/3 = -0,667
  2. x = 3

Вопросы по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса

Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам алгебры 9 класса.

  1. Упростите следующие алгебраические выражения.

    1. — 6x + 5 + 12x -6
    2. 2 (х — 9) + 6 (-x + 2) + 4x
    3. 3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x
    4. (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1)
    5. 1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4)
    6. (x 2 y) (xy 2 )
    7. (-x 2 y 2 ) (xy 2 )

    Решение

    1. Сгруппируйте похожие термины и упростите.
      — 6x + 5 + 12x -6 = (- 6x + 12x) + (5-6)

      = 6x — 1
    2. Раскройте скобки.

      2 (x — 9) + 6 (-x + 2) + 4x = 2x — 18 — 6x + 12 + 4x

      Группируйте термины и упрощайте.

      = (2x — 6x + 4x) + (- 18 + 12) = — 6
    3. Сгруппируйте похожие термины и упростите.

      3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x

      = (3x 2 + 6x 2 ) + (9x — x) + (12-20)

      = 9x 2 + 8x — 8
    4. Раскройте скобки.

      (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1)

      = x 2 + 4x + 2x + 8 — x 2 — x — 5x — 5

      Сгруппировать похожие термины.
      = (x 2 — x 2 ) + (4x + 2x — x — 5x) + (8-5)

      = 3
    5. Разверните и сгруппируйте.

      1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4)

      = 1,2x — 10,8 — 2,3x — 9,2

      = -1,1x — 20
    6. Перепишем следующим образом.

      (x 2 y) (xy 2 ) = (x 2 x) (y y 2 )

      Используйте правила экспоненты.

      = x 3 y 3
    7. Перепишите выражение следующим образом.

      (-x 2 y 2 ) (xy 2 ) = — (x 2 x) (y 2 y 2 )

      Используйте правила экспоненты.
      = — x 3 y 4

  2. Упростите выражения.

    1. (a b 2 ) (a 3 b) / (a ​​ 2 b 3 )
    2. (21 x 5 ) / (3 x 4 )
    3. (6 x 4 ) (4 y 2 ) / [(3 x 2 ) (16 y)]
    4. (4x — 12) / 4
    5. (-5x — 10) / (x + 2)
    6. (x 2 — 4x — 12) / (x 2 — 2 x — 24)

    Решение

    1. Используйте экспоненциальные правила, чтобы сначала упростить числитель.
      (a b 2 ) (a 3 b) / (a ​​ 2 b 3 ) = (a 4 b 3 ) / (a ​​ 2 b 3 )

      Перепишите следующим образом.

      (a 4 / a 2 ) (b 3 / b 3 )

      Используйте правило частного экспонент для упрощения.

      = 2
    2. Перепишите следующим образом.

      (21 x 5 ) / (3 x 4 ) = (21/3) (x 5 / x 4 )

      Упростить.
      = 7 х
    3. (6 x 4 ) (4 y 2 ) / [(3 x 2 ) (16 y)]

      Умножить члены в числителе и знаменателе и упростить.

      (6 x 4 ) (4 y 2 ) / [(3 x 2 ) (16 y)] = (24 x 4 y 2 ) / (48 x 2 y)

      Перепишите следующим образом.

      = (24/48) (x 4 / x 2 ) (y 2 / y)

      Упростить.

      = (1/2) х 2 у
    4. Выносим множитель 4 в числитель.
      (4х — 12) / 4 = 4 (х — 3) / 4

      Упростить.

      = х — 3
    5. Выносим множитель -5 в числитель.

      (-5x — 10) / (x + 2) = — 5 (x + 2) / (x + 2)

      Упростить.

      = — 5
    6. Разложите на множители числитель и знаменатель следующим образом.

      (x 2 — 4x — 12) / (x 2 — 2x — 24) = [(x — 6) (x + 2)] / [(x — 6) (x + 4)]

      Упростить.

      = (x + 2) / (x + 4), для всех x не равно 6

  3. Решите относительно x следующие линейные уравнения.

    1. 2х = 6
    2. 6х — 8 = 4х + 4
    3. 4 (х — 2) = 2 (х + 3) + 7
    4. 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
    5. — х / 5 = 2
    6. (х — 4) / (- 6) = 3
    7. (-3x + 1) / (x — 2) = -3
    8. х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5

    Решение

    1. Разделите обе части уравнения на 2 и упростите.

      2x / 2 = 6/2

      х = 3
    2. Добавьте 8 с обеих сторон и сгруппируйте похожие термины.

      6х — 8 + 8 = 4х + 4 + 8

      6x = 4x + 12

      Добавить — 4 раза в обе стороны и сгруппировать термины.
      6x — 4x = 4x + 12 — 4x

      2x = 12

      Разделите обе стороны на 2 и упростите.

      х = 6
    3. Раскройте скобки.

      4x — 8 = 2x + 6 + 7

      Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте термины.

      4х — 8 + 8 = 2х + 6 + 7 + 8

      4x = 2x + 21

      Добавить — 2x в обе стороны и сгруппировать термины.

      4x — 2x = 2x + 21 — 2x

      2x = 21

      Разделите обе стороны на 2.

      х = 21/2
    4. Добавьте 1,6 к обеим сторонам и упростите.

      0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2.3

      0,1 х — 1,6 + 1,6 = 0,2 х + 2,3 + 1,6

      0,1 х = 0,2 х + 3,9

      Добавьте — 0,2 x в обе стороны и упростите.

      0,1 х — 0,2 х = 0,2 х + 3,9 — 0,2 х

      — 0,1 х = 3,9

      Разделите обе стороны на — 0,1 и упростите.

      х = — 39
    5. Умножьте обе стороны на — 5 и упростите.

      — 5 (- х / 5) = — 5 (2)

      х = — 10
    6. Умножьте обе стороны на — 6 и упростите.

      (-6) (х — 4) / (- 6) = (-6) 3

      х — 4 = — 18

      Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
      х = — 14
    7. Умножьте обе стороны на (x — 2) и упростите.

      (x — 2) (- 3x + 1) / (x — 2) = -3 (x — 2)

      Развернуть правый термин.

      -3x + 1 = -3x + 6

      Добавьте 3х с обеих сторон и упростите.

      — 3x + 1 + 3x = — 3x + 6 + 3x

      1 = 6

      Последнее утверждение неверно, и уравнение не имеет решений.
    8. Умножьте все члены на НОК 5 и 3, что равно 15.

      15 (x / 5) + 15 (x — 1) / 3 = 15 (1/5)

      Упрощайте и расширяйте.

      3x + 15x — 15 = 3

      Сгруппируйте понравившиеся условия и решите.
      18 х = 3 + 15

      18 х = 18

      х = 1

  4. Найдите реальные решения следующих квадратных уравнений.

    1. 2 х 2 — 8 = 0
    2. х 2 = -5
    3. 2x 2 + 5x — 7 = 0
    4. (х — 2) (х + 3) = 0
    5. (х + 7) (х — 1) = 9
    6. х (х — 6) = -9

    Решение

    1. Разделите все термины на 2.

      2 x 2 /2 — 8/2 = 0/2

      и упростить

      х 2 — 4 = 0

      Фактор правой стороны.
      (х — 2) (х + 2) = 0

      Решите относительно x.

      x — 2 = 0 или x = 2

      x + 2 = 0 или x = -2

      Набор решений {-2, 2}
    2. Данное уравнение
      x 2 = -5 не имеет действительного решения, поскольку квадрат действительных чисел никогда не бывает отрицательным.
    3. Разложите левую сторону на множители следующим образом.

      2x 2 + 5x — 7 = 0
      Коэффициент

      (2x + 7) (x — 1) = 0

      Решите относительно x.

      2x + 7 = 0 или x — 1 = 0

      x = — 7/2, x = 1, набор решений: {- 7/2, 1}

    4. Решите для x.
      (х — 2) (х + 3) = 0

      x — 2 = 0 или x + 3 = 0
      Набор растворов
      : {-3, 2}
    5. Разверните левую часть.

      x 2 + 6x — 7 = 9

      Перепишите приведенное выше уравнение с правой частью, равной 0.

      х 2 + 6х — 16 = 0

      Фактор левой стороны.

      (х + 8) (х — 2) = 0

      Решите относительно x.

      x + 8 = 0 или x — 2 = 0
      Набор растворов
      : {-8, 2}
    6. Разверните левую часть и перепишите так, чтобы правая сторона была равна нулю.

      x 2 — 6x + 9 = 0

      Фактор левой стороны.
      (х — 3) 2 = 0

      Решите относительно x.

      х — 3 = 0
      Набор растворов
      : {3}

  5. Найдите любые реальные решения для следующих уравнений.

    1. х 3 -1728 = 0
    2. х 3 = — 64
    3. √x = -1
    4. √x = 5
    5. √ (х / 100) = 4
    6. √ (200 / х) = 2

    Решение

    1. Перепишем уравнение как.

      х 3 = 1728

      Возьмите кубический корень с каждой стороны.
      (x 3 ) 1/3 = (1728) 1/3
      Упростить.

      х = (1728) 1/3 = 12
    2. Возьмите кубический корень с каждой стороны.

      (x 3 ) 1/3 = (- 64) 1/3
      Упростить.

      х = — 4
    3. Уравнение √x = — 1 не имеет действительного решения, потому что квадрат действительного числа больше или равен нулю.
    4. Выровняйте обе стороны.

      (√x) 2 = 5 2
      Упростить.
      х = 25
    5. Выровняйте обе стороны.

      (√ (x / 100)) 2 = 4 2
      Упростить.

      х / 100 = 16

      Умножьте обе стороны на 100 и упростите.

      х = 1,600
    6. Выровняйте обе стороны.

      (√ (200 / x)) 2 = 2 2
      Упростить.

      200 / х = 4

      Умножьте обе стороны на x и упростите.

      х (200 / х) = 4 х

      200 = 4 х

      Решите относительно x.

      х = 50

  6. Оцените для данных значений a и b .

    1. a 2 + b 2 , для a = 2 и b = 2

      | 2a — 3b | , для a = -3 и b = 5
    2. 3a 3 — 4b 4 , для a = -1 и b = -2

    Решение

    1. Замените a и b их значениями и оцените.

      для a = 2 и b = 2

      a 2 + b 2 = 2 2 + 2 2 = 8
    2. Установите a = — 3 и b = 5 в данном выражении и оцените.

      | 2a — 3b | = | 2 (-3) — 3 (5) | = | -6 — 15 | = | -21 | = 21
    3. Установите a = — 1 и b = -2 в данном выражении и оцените.
      3a 3 — 4b 4 = 3 (-1) 3 — 4 (-2) 4 = 3 (-1) — 4 (16) = — 3-64 = — 67

  7. Решите следующие неравенства.

    1. х + 3 <0
    2. х + 1> -x + 5
    3. 2 (х — 2) <- (х + 7)

    Решение

    1. Добавьте -3 к обеим сторонам неравенства и упростите.

      х + 3 — 3 <0 - 3
      х <-3
    2. Добавьте x к обеим сторонам неравенства и упростите.
      х + 1 + х> — х + 5 + х

      2x + 1> 5

      Добавьте -1 к обеим сторонам неравенства и упростите.

      2x + 1 — 1> 5 — 1

      2x> 4

      Разделите обе стороны на 2.

      х> 2
    3. Разверните скобки и сгруппируйте похожие термины.

      2х — 4 <- х - 7
      Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.

      2х — 4 + 4 <- х - 7 + 4
      2x <- x - 3
      Добавьте x к обеим сторонам и упростите.

      2х + х <- х - 3 + х
      3x <- 3
      Разделите обе стороны на 3 и упростите.
      х <- 1

  8. При каком значении константы k квадратное уравнение x 2 + 2x = — 2k имеет два различных действительных решения?

    Решение

    Сначала находим записанное уравнение с правой частью, равной нулю.

    x 2 + 2x + 2k = 0

    Теперь вычислим дискриминант D квадратного уравнения.

    D = b 2 — 4 a c = 2 2 — 4 (1) (2k) = 4-8 k

    Чтобы решение имело два различных действительных решения, D должно быть положительным.Следовательно

    4-8 k> 0

    Решите неравенство, чтобы получить

    к <1/2
  9. При каком значении константы b линейное уравнение 2 x + b y = 2 имеет наклон, равный 2?

    Решение

    Решите относительно y и определите наклон

    б у = — 2 х + 2

    у = (- 2 / б) х + 2 / б

    наклон = (- 2 / b) = 2

    Решите уравнение (- 2 / b) = 2
    для б

    (- 2 / б) = 2

    -2 = 2 б

    Ь = — 1


  10. Какова точка пересечения оси y линии — 4 x + 6 y = — 12 ?

    Решение

    Задайте x = 0 в уравнении и решите относительно y.
    — 4 (0) + 6 y = — 12

    6 лет = — 12

    г = — 2

    y точка пересечения: (0, — 2)


  11. Каким будет отрезок оси x линии — 3 x + y = 3 ?

    Решение

    Задайте y = 0 в уравнении и решите относительно x.

    — 3 х + 0 = 3

    х = -1

    x перехват: (-1, 0)


  12. В какой точке пересекаются прямые x — y = 3 и — 5 x — 2 y = — 22 ?

    Решение

    Точка пересечения двух прямых является решением уравнений обеих прямых.Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему уравнений x — y = 3 и -5 x — 2 y = -22 одновременно. Уравнение x — y = 3 можно решить относительно x, чтобы получить

    х = 3 + у

    Заменим x на 3 + y в уравнении — 5 x — 2 y = -22 и решим относительно y

    -5 (3 + у) — 2 у = — 22

    -15-5 лет — 2 года = — 22

    -7 лет = — 22 + 15

    -7 г = — 7

    г = 1

    Заменим x на 3 + y в уравнении -5 x — 2 y = — 22 и решим относительно y

    х = 3 + у = 3 + 1 = 4

    Точка пересечения: (4, 1)


  13. При каком значении константы k линия -4 x + k y = 2 проходит через точку (2, -3) ?

    Решение

    Чтобы линия прошла через точку (2, -3) , упорядоченная пара (2, -3) должна быть решением уравнения прямой.Мы заменяем x на 2 и d y на — 3 в уравнении.

    — 4 (2) + к (-3) = 2

    Решите относительно k, чтобы получить

    к = — 10/3


  14. Каков наклон прямой с уравнением y — 4 = 10 ?

    Решение

    Запишите данное уравнение в форме пересечения наклона y = m x + b и укажите наклон m.

    г = 14

    Это горизонтальная линия, поэтому наклон равен 0.


  15. Каков наклон прямой с уравнением 2 x = -8 ?

    Решение

    Вышеприведенное уравнение можно записать как

    х = — 4

    Это вертикальная линия, поэтому наклон не определен.


  16. Найдите точки пересечения x и y прямой с помощью уравнения x = — 3 ?

    Решение

    Выше изображена вертикальная линия с точкой пересечения x, заданной только

    (-3, 0)


  17. Найдите точки пересечения x и y прямой с помощью уравнения 3 y — 6 = 3 ?

    Решение

    Данное уравнение можно записать в виде

    г = 3

    Это горизонтальная линия с точкой пересечения y, заданной только

    (0, 3)


  18. Каков наклон прямой, параллельной оси x?

    Решение

    Прямая, параллельная оси x, является горизонтальной линией, и ее наклон равен 0.


  19. Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x?

    Решение

    Линия, перпендикулярная оси x, является вертикальной линией, и ее наклон не определен.


Дополнительные ссылки и ссылки

Математика для средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Математика для средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами Домашняя страница
пожаловаться на это объявление
Учебное пособие по калькулятору алгебры

— MathPapa

Это руководство по использованию калькулятора алгебры , пошагового калькулятора для алгебры.

Решение уравнений

Сначала перейдите на главную страницу калькулятора алгебры. В текстовом поле калькулятора вы можете ввести математическую задачу, которую хотите вычислить.

Например, попробуйте ввести уравнение 3x + 2 = 14 в текстовое поле.

После того, как вы введете выражение, Калькулятор алгебры распечатает пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.


Примеры

Чтобы увидеть больше примеров задач, которые понимает калькулятор алгебры, посетите
Страница примеров.2.


Вычисление выражений

Калькулятор алгебры может вычислять выражения, содержащие переменную x.

Чтобы оценить выражение, содержащее x, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и значение, которое вы хотите вставить для x.
Например, команда 2x @ 3 вычисляет выражение 2x для x = 3, что равно 2 * 3 или 6.

Калькулятор алгебры также может вычислять выражения, содержащие переменные x и y.Чтобы оценить выражение, содержащее x и y, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y. Вот пример вычисления выражения xy в точке (3,4): xy @ (3,4).

Проверка ответов для решения уравнений

Так же, как калькулятор алгебры можно использовать для вычисления выражений,
Калькулятор алгебры также можно использовать для проверки ответов на решение уравнений, содержащих x.

В качестве примера предположим, что мы решили 2x + 3 = 7 и получили x = 2.Если мы хотим вставить 2 обратно в исходное уравнение, чтобы проверить нашу работу, мы можем сделать это: 2x + 3 = 7 @ 2. Поскольку ответ правильный, в калькуляторе алгебры отображается зеленый знак равенства.

Если вместо этого мы попробуем значение, которое не работает, скажем, x = 3 (попробуйте 2x + 3 = 7 @ 3), вместо этого калькулятор алгебры покажет красный знак «не равно».

Чтобы проверить ответ на систему уравнений, содержащую x и y, введите два уравнения, разделенные точкой с запятой, за которыми следует знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y.Пример: x + y = 7; х + 2у = 11 @ (3,4).


Режим планшета

Если вы используете планшет, например iPad, войдите в режим планшета, чтобы отобразить сенсорную клавиатуру.


Статьи по теме

Вернуться к калькулятору алгебры »

Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры

Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм числа сокращается как « журнал .

Прежде чем мы сможем решить логарифмические уравнения, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов:

Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;

⟹ log b (x) + log b (y) = log b (xy)

Разность двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.

⟹ log b (x) — log b (y) = log (x / y)

⟹ log b (x) n = n log b (x)

⟹ log b x = (log a x) / (log a b)

Логарифм любого положительного числа по основанию этого числа всегда равен 1.
b 1 = b ⟹ log b (b) = 1.

Пример:

  • Логарифм числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю.
    b 0 = 1 ⟹ журнал b 1 = 0.

Как решать логарифмические уравнения?

Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.

Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.

В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно:

  1. Уравнения, содержащие логарифмы на одной стороне уравнения.
  2. Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.

Как решить уравнения с односторонним логарифмом?

Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм b M = n ⇒ M = b n .

Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия:

  • Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
  • Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
  • Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
  • Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.

Пример 1

Логарифм решения 2 (5x + 7) = 5

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальную форму

logs 2 (5x + 7) 2 5 = 5x + 7

⇒ 32 = 5x + 7

⇒ 5x = 32-7

5x = 25

Разделим обе стороны на 5, чтобы получить

x = 5

Пример 2

Решите относительно x в логарифме (5x -11) = 2

Решение

Поскольку основание этого уравнения не дано, мы принимаем основание 10.

Теперь изменим логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 10 2 = 5x — 11

⇒ 100 = 5x -11

111 = 5x

111/5 = x

Следовательно, x = 111/5 — это ответ.

Пример 3

Логарифм решения 10 (2x + 1) = 3

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальной форме

log 10 (2x + 1x) = 3n⇒ 3n⇒ 3n⇒ + 1 = 10 3

⇒ 2x + 1 = 1000

2x = 999

Разделив обе стороны на 2, получим;

х = 499.5

Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;

⇒ log 10 (2 x 499,5 + 1) = log 10 (1000) = 3, так как 10 3 = 1000

Пример 4

Оценить ln (4x -1) = 3

Решение

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме как;

ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e 3

Но, как известно, e = 2,718281828

4x — 3 = (2.718281828) 3 = 20,085537

x = 5,271384

Пример 5

Решите логарифмическое уравнение log 2 (x +1) — log 2 (x — 40004) = 3

05 Решение

Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.

log 2 (x +1) — log 2 (x — 4) = 3 ⇒ log 2 [(x + 1) / (x — 4)] = 3

Теперь перепишем уравнение в экспоненциальной форме

⇒2 3 = [(x + 1) / (x — 4)]

⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]

Перекрестное умножение уравнения

⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]

⇒ x + 1 = 8x -32

7x = 33 …… (Сбор одинаковых терминов)

x = 33/7

Пример 6

Решите относительно x, если log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3

Решение

Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;

журнал 4 (x) + журнал 4 (x -12) = 3 ⇒ log 4 [(x) (x — 12)] = 3

⇒ log 4 (x 2 — 12x) = 3

Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.

⇒ 4 3 = x 2 — 12x

⇒ 64 = x 2 — 12x

Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его факторизацией.

x 2 -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0

x = -4 или 16

Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ что мнимое. Следовательно, 16 — единственное приемлемое решение.

Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения?

Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.

Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.

  • Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
  • Упростите, собрав одинаковые члены и решив переменную в уравнении.
  • Проверьте свой ответ, вернув его в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.

Пример 7

Журнал решения 6 (2x — 4) + журнал 6 ( 4) = журнал 6 (40)

Решение

Сначала упростим логарифмы.

лог 6 (2x — 4) + лог 6 (4) = лог 6 (40) ⇒ лог 6 [4 (2x — 4)] = лог 6 (40)

Теперь опустите логарифмы

⇒ [4 (2x — 4)] = (40)

⇒ 8x — 16 = 40

⇒ 8x = 40 + 16

8x = 56

x = 7

Пример. 8

Решите логарифмическое уравнение: log 7 (x — 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14

Решение

Упростите уравнение, применив правило произведения .

Логарифм 7 [(x — 2) (x + 3)] = log 7 14

Отбросьте логарифмы.

⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14

Распределите ФОЛЬГУ, чтобы получить;

⇒ x 2 — x — 6 = 14

⇒ x 2 — x — 20 = 0

⇒ (x + 4) (x — 5) = 0

x = -4 или x = 5

когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.

Пример 9

Логарифм решения 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6)

Решение

Учитывая уравнение; log 3 (x 2 + 3x) = log 3 (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить;
⇒ x 2 + 3x = 2x + 6
⇒ x 2 + 3x — 2x — 6 = 0
x 2 + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение)
Фактор множителя квадратное уравнение получить;

(x — 2) (x + 3) = 0
x = 2 и x = -3

Проверяя оба значения x, мы получаем x = 2, что является правильным ответом.

Пример 10

Журнал решения 5 (30x — 10) — 2 = log 5 (x + 6)

Решение

log 5 (30x — 10) — 2 = log 5 (x + 6)

Это уравнение можно переписать как;

⇒ log 5 (30x — 10) — log 5 (x + 6) = 2

Упростим логарифмы

log 5 [(30x — 10) / (x + 6)] = 2

Записать логарифм в экспоненциальной форме.

⇒ 5 2 = [(30x — 10) / (x + 6)]

⇒ 25 = [(30x — 10) / (x + 6)]

При перекрестном умножении получаем;

⇒ 30x — 10 = 25 (x + 6)

⇒ 30x — 10 = 25x + 150

⇒ 30x — 25x = 150 + 10

⇒ 5x = 160

x = 32

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Математика, уравнения 1, тест 3



2004 Rasmus ehf

Уравнения I
Тест 3

Печать

Инструкции

Внимательно прочтите каждый вопрос
и выберите ответ, который, по вашему мнению, наиболее правильный.Ты
можно выбрать только один ответ на каждый вопрос. Когда будете готовы, отметьте
ваши ответы в полях на экране компьютера и нажмите на кнопку «Отправить ответы» .
Удачи!


Решите следующие уравнения и
отметьте правильные ответы.

1. Решить
уравнение: 2 (X — 3) =
Х + 4

2. Решить
уравнение: 5X — (12 + 3X) = 2

3. Решить
уравнение: 15 — (6 — 8X) = 25

4. Решить
уравнение: 2 (X — 3) + 5 (X + 1) = 34

5. Решить
уравнение: (6X — 8) — (X + 4) = 6 —

х


6. Решить
уравнение: (5 — X) — (10 — 2X) = 6 —
Х — 5

7. Решить
уравнение: 5 (X — 2) + 2 (3X + 2) = 27

8. Решить
уравнение: 3 (1 — 3x) — (X + 5) = 20

9. Решить
уравнение: 31 + 2 (3X — 4) = 5 (2X +
3)

10. Решить
уравнение: 12 (2X — 3) — 6 (X — 8) =
120


Процент правильно ответивших =

Правильных ответов: Ваши ответы:

Тем по алгебре: Показатели

/ ru / algebra-themes / order-of-operations / content /

Что такое экспоненты?

Показатели — это числа, которые были умножены сами на себя.Например, 3 · 3 · 3 · 3 можно записать как показатель степени 3 4 : число 3 было умножено на само себя 4 раза.

Экспоненты полезны, потому что они позволяют записывать длинные числа в сокращенной форме. Например, это число очень большое:

.

1 000 000 000 000 000 000

Но вы могли бы записать это как экспонента:

10 18

Он также работает с маленькими числами с большим количеством десятичных знаков.Например, это число очень маленькое, но состоит из множества цифр:

.

.00000000000000001

Его также можно было бы записать в виде экспоненты:

10 -17

Ученые часто используют экспоненты для обозначения очень больших и очень маленьких чисел. Вы также часто будете встречать их в задачах алгебры.

Понимание экспонентов

Как вы видели на видео, экспоненты записываются так: 4 3 (вы бы прочитали это как 4 в 3-й степени ).Все показатели состоят из двух частей: с основанием , которое представляет собой умножаемое число; и степень , степень , которая представляет собой количество раз, когда вы умножаете основание.

Поскольку наша база равна 4, а наша степень равна 3, нам нужно будет умножить 4 на себя три раза. 3.Не волнуйтесь, это точно такое же число: основание — это число слева, а степень — это число справа. В зависимости от типа используемого калькулятора — и особенно если вы используете калькулятор на своем телефоне или компьютере — вам может потребоваться ввести показатель степени таким образом, чтобы вычислить его.

Показатели в 1-й и 0-й степени

Как бы вы упростили эти показатели?

7 1 7 0

Не расстраивайтесь, если вы запутались. Даже если вы чувствуете себя комфортно с другими показателями, непонятно, как вычислить их со степенями 1 и 0.К счастью, эти показатели следуют простым правилам:

  • Показатели степени 1
    Любой показатель степени 1 равен основанию , поэтому 5 1 равно 5, 7 1 равно 7, а x 1 равно x .
  • Показатели степени 0
    Любой показатель степени 0 равен 1 , поэтому 5 0 равно 1, а также 7 0 , x 0 и любой другой показатель степени со степенью 0 вы можете придумать.

Операции с показателями

Как бы вы решили эту проблему?

2 2 ⋅ 2 3

Если вы думаете, что вам нужно сначала решить экспоненты, а затем перемножить полученные числа, вы правы. (Если вы не уверены, ознакомьтесь с нашим уроком о порядке действий).

Как насчет этого?

х 3 / х 2

Или этот?

2x 2 + 2x 2

Хотя вы не можете точно решить эти проблемы без дополнительной информации, вы можете упростить их.В алгебре вас часто просят выполнить вычисления экспонент с переменными в качестве основы. К счастью, эти показатели легко складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение экспонент

Когда вы добавляете два показателя степени, вы не добавляете фактические полномочия — вы добавляете основания. Например, чтобы упростить это выражение, вы просто добавите переменные. У вас есть два xs, которые можно записать как 2x . Итак, x 2 + x 2 будет 2x 2 .

x 2 + x 2 = 2x 2

Как насчет этого выражения?

3 года 4 + 2 года 4

Вы добавляете 3y к 2y. Поскольку 3 + 2 равно 5, это означает, что 3y 4 + 2y 4 = 5y 4 .

3 года 4 + 2 года 4 = 5 лет 4

Вы могли заметить, что мы рассматривали только те задачи, в которых добавляемые показатели имели одинаковую переменную и мощность.Это потому, что вы можете добавлять экспоненты только в том случае, если их основания и экспоненты точно такие же, как . Таким образом, вы можете добавить их ниже, потому что оба члена имеют одинаковую переменную ( r ) и одинаковую мощность (7):

4к. 7 + 9к. 7

Никогда нельзя добавлять что-либо из них в том виде, в каком они написаны. В этом выражении есть переменные с двумя разными степенями:

3 + 9к 8

У этого есть те же возможности, но разные переменные, поэтому вы также не можете добавить его:

2 + 9с 2

Вычитание показателей

Вычитание экспонент работает так же, как их сложение.Например, вы можете придумать, как упростить это выражение?

5x 2 — 4x 2

5-4 равно 1, поэтому, если вы сказали 1 x 2 или просто x 2 , вы правы. Помните, что, как и при сложении показателей, вы можете вычитать только показатели с одинаковой степенью и основанием .

5x 2 — 4x 2 = x 2

Показатели умножения

Умножение экспонент — это просто, но способ, которым вы это делаете, может вас удивить.Чтобы умножить степень, сложите степени . Например, возьмите это выражение:

x 3 ⋅ x 4

Степени: 3 и 4 . Поскольку 3 + 4 равно 7, мы можем упростить это выражение до x 7 .

x 3 ⋅ x 4 = x 7

А как насчет этого выражения?

3x 2 ⋅ 2x 6

Степени равны 2 и 6 , поэтому наша упрощенная экспонента будет иметь степень 8.В этом случае нам также потребуется умножить коэффициенты. Коэффициенты равны 3 и 2. Нам нужно умножить их, как и любые другие числа. 3⋅2 равно 6 , поэтому наш упрощенный ответ: 6x 8 .

3x 2 ⋅ 2x 6 = 6x 8

Вы можете упростить умножение экспоненты только с той же переменной. Например, выражение 3x 2 ⋅2x 3 ⋅4y 2 будет упрощено до 24x 5 ⋅y 2 .Для получения дополнительной информации перейдите к нашему уроку «Упрощение выражений».

Показатели деления

Деление показателей аналогично их умножению. Вместо того, чтобы складывать степени, вы вычитаете их . Возьмите это выражение:

х 8 / х 2

Поскольку 8-2 равно 6, мы знаем, что x 8 / x 2 равно x 6 .

х 8 / х 2 = х 6

Что насчет этого?

10x 4 / 2x 2

Если вы думаете, что ответ — 5x 2 , вы правы! 10/2 дает нам коэффициент 5, а вычитание степеней ( 4-2 ) означает, что степень равна 2.

Возведение власти в степень

Иногда можно увидеть такое уравнение:

5 ) 3

Показатель степени на другом показателе степени может сначала показаться запутанным, но у вас уже есть все навыки, необходимые для упрощения этого выражения. Помните, что показатель степени означает, что вы умножаете основание само на себя столько раз. Например, 2 3 равно 2⋅2⋅2. Это означает, что мы можем переписать (x 5 ) 3 как:

x 5 x 5 x 5

Чтобы умножить показатель степени с одинаковым основанием, просто добавьте показателя степени.Следовательно, x 5 ⋅x 5 ⋅x 5 = x 5 + 5 + 5 = x 15 .

На самом деле есть еще более короткий способ упростить подобные выражения. Взгляните еще раз на это уравнение:

5 ) 3 = х 15

Вы заметили, что 5⋅3 тоже равно 15? Помните, умножение — это то же самое, что и добавление чего-либо более одного раза. Это означает, что мы можем думать о 5 + 5 + 5, как мы делали раньше, как о 5 умноженных на 3.Следовательно, когда вы возводите степень в степень , вы можете умножить степень .

Рассмотрим еще один пример:

6 ) 4

Так как 6⋅4 = 24, (x 6 ) 4 = x 24

х 24

Рассмотрим еще один пример:

(3x 8 ) 4

Во-первых, мы можем переписать это как:

3x 8 ⋅3x 8 ⋅3x 8 ⋅3x 8

Помните, что при умножении порядок не имеет значения.Следовательно, мы можем переписать это снова как:

3⋅3⋅3⋅3⋅x 8 ⋅x 8 ⋅x 8 ⋅x 8

Поскольку 3⋅3⋅3⋅3 = 81 и x 8 ⋅x 8 ⋅x 8 ⋅x 8 = x 32 , наш ответ:

81x 32

Обратите внимание, что это также было бы то же самое, что и 3 4 ⋅x 32 .

Все еще не знаете, как умножать, делить или возводить экспоненты в степень? Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как запомнить правила: